Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.45.0-wmf.6 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk 0 4655 373466 215462 2025-06-21T01:33:59Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373466 wikitext text/x-wiki {{:Main Page/Top}} __NOTOC__ __NOEDITSECTION__ {| cellspacing=3 width="100%" |- valign="top" |width="85%" bgcolor=white| {| |[[File:Wikiversity-banner.jpg|left|425px|Wikiversidad]] |<span style="font-size:180%"><span style="color:#444444">'''VIQUI'''</span><span style="color:#999999">'''VERSITAT'''</span></span><br clear=all> |} {{WV-ORG}} [[Viquiversitat:Benvingut|Benvingut]] a la '''Viquiversitat''', una '''plataforma educativa en línia lliure i gratuïta''', amb filosofia wiki. Aquí pots crear [[Viquiversitat:Projecte d'aprenentatge|projectes d'aprenentatge]] a qualsevol nivell educatiu, participar en un grup d'aprenentatge, crear continguts didàctics tals com exàmens, exercicis de pràctiques, fòrums de discussió sobre els dubtes en les matèries que estudies, etc. Actualment aquesta Viquiversitat compta amb '''{{Diq/Langinfo|name=CA}}''' articles dels [[Special:Statistics|{{NUMBEROFARTICLES}}]] de la Wikiversity Beta. |} {{Frame|Wikiversity:Announcements/ca}} {{Escoles}} {| |colspan=2 bgcolor="#fffffc" style="border:1px solid #cfcfcf;padding:1em;padding-top:0.5em;padding-bottom:0em;"| === Nous projectes d'aprenentatge === ''Si vols començar un nou curs o projecte d'aprenentatge, pots llegir [[Ajuda:Com crear un projecte d'aprenentatge]]'' === Nous departaments === ''Si vols començar un nou apartat, pots llegir [[Ajuda:Com crear un departament viquiversitari]]'' ===Sobre la Viquiversitat=== Si vols llegir o escriure sobre procés de fundació de la Viquiversitat, existeix una pàgina de coordinació plurilingüe anomenada http://beta.wikiversity.org . |- |colspan=2 bgcolor="#fffffc" style="border:1px solid #cfcfcf;padding:1em;padding-top:0.5em;padding-bottom:0em;"| <center> Altres Viquiversitats <center> [[:cs:Hlavní strana|Txec]]~ [[:de:Hauptseite|Alemany]]~ [[:el:Κύρια Σελίδα|Grec]]~ [[:es:Portada|Castellà]]~ [[:fi:Etusivu|Finès]]~ [[:fr:Accueil|Francès]]~ [[:it:Pagina principale|Italià]]~ [[:ja:メインページ|Japonès]]~ [[:pt:Página_principal|Portuguès]] </center> |- |colspan=2 bgcolor="#fffffc" style="border:1px solid #cfcfcf;padding:1em;padding-top:0.5em;padding-bottom:0em;"| {{Sisterprojects/Ca}} |} [[Category:Viquiversitat]] [[Category:CA]] [[ar:الصفحة الرئيسية]] [[cs:Hlavní strana]] [[de:Hauptseite]] [[el:Κύρια Σελίδα]] [[es:Portada]] [[fi:Etusivu]] [[fr:Accueil]] [[it:Pagina principale]] [[ja:メインページ]] [[pt:Página principal]] [[ru:Заглавная страница]] [[sl:Glavna stran]] [[sv:Portal:Huvudsida]] 0rkw9496w4b0ct0w2elh5lo1jw7ka86 10 8101 373467 365157 2025-06-21T01:34:30Z AtUkr 17909 added category 373467 wikitext text/x-wiki <br style="display: none;" /> Wikiversity és organitzat per la [[wikimedia:Home|Wikimedia Foundation]], una organització sense ànim de lucre que acull també una sèrie d'altres [[w:Wikipedia:Multilingual coordination|multilingual]] i [[w:Wikipedia:Copyrights|free-content]] projectes: {| cellpadding="4" style="text-align:left; background-color:transparent; width:100%;" | align="center" | [[File:Wikipedia-logo-v2.svg|35px|link=http://ca.wikipedia.org|Viquipèdia]] | '''[http://ca.wikipedia.org/wiki/Portada Viquipèdia]'''<br />Enciclopèdia lliure | align="center" | [[File:Wiktionary-logo.svg|51px|link=http://ca.wiktionary.org/wiki/Portada|Viccionari]] | '''[http://ca.wiktionary.org/wiki/Portada Viccionari]'''<br />Diccionari i tesaurus | align="center" | [[File:Wikiquote-logo.svg|51px|link=http://ca.wikiquote.org/wiki/Portada|Viquidites]] | '''[http://ca.wikiquote.org/wiki/Portada Viquidites]'''<br />Collection of quotations |- | align="center" | [[File:Wikinews-logo.svg|51px|link=http://ca.wikinews.org/wiki/Portada|Viquinotícies]] | '''[http://ca.wikinews.org/wiki/Portada Viquinotícies]'''<br />Notícies lliures en català | align="center" | [[File:Wikispecies-logo.svg|35px|link=wikispecies:Pàgina principal|Viquiespècies]] | '''[[wikispecies:Pàgina principal|Viquiespècies]]'''<br />Directori d'espècies | align="center" | [[File:Wikibooks-logo.svg|35px|link=http://ca.wikibooks.org/wiki/Portada|Viquillibres]] | '''[http://ca.wikibooks.org/wiki/Portada Viquillibres]'''<br />Llibres i manuals |- | align="center" | [[File:Wikisource-logo.svg|35px|link=http://ca.wikisource.org/wiki/Pàgina_principal|Viquitexts]] | '''[http://ca.wikisource.org/wiki/Pàgina_principal Viquitexts]</span>'''<br />Documents lliures | align="center" | [[File:Commons-logo.svg|31px|link=https://commons.wikimedia.org/wiki/Pàgina_principal|Commons]] | '''[http://commons.wikimedia.org/wiki/Pàgina_principal Commons]'''<br />Dipòsit multimèdia | align="center" | [[File:Wikimedia Community Logo.svg|35px|link=http://meta.wikimedia.org/wiki/Portada/ca|Meta-Wiki]] | '''[http://meta.wikimedia.org/wiki/Portada/ca Meta-Wiki]</span>'''<br />Coordinació Wikimedia |- | align="center" | [[File:MediaWiki-2020-icon.svg|37px|link=mw:MediaWiki/ca|MediaWiki]] | '''[[mw:MediaWiki/ca|MediaWiki]]</span>'''<br />El desenvolupament de programari lliure | align="center" | [[File:Wikidata-logo.svg|35px|link=d:wikidata:Pàgina principal|Wikidata]] | '''[[d:wikidata:Pàgina principal|Wikidata]]'''<br />Base de coneixement lliure | align="center" | [[File:Wikivoyage-Logo-v3-icon.svg|35px|link=Wikivoyage:|Wikivoyage]] | '''[[Wikivoyage:|Wikivoyage]]</span>'''<br />Guia Oberta |} </div> <noinclude>[[Category:CA Template]][[Category:CA]]</noinclude> eff0fcjn7pjnosdi1ro1tjetqmri3fv 10 8103 373469 70326 2025-06-21T01:34:49Z AtUkr 17909 added category 373469 wikitext text/x-wiki <!-- Box "Escoles" --> {{Facultats}} </div> [[Category:CA Template]] [[Category:CA]] gy9h8x2rmad481uc4etv1dtkt4v5j30 10 8104 373468 368806 2025-06-21T01:34:41Z AtUkr 17909 added category 373468 wikitext text/x-wiki [[Image:Crystal Clear app tutorials.png|35px]] [[Escola primària|Primària]] [[Image:Crystal_Clear_app_kaddressbook.png|35px]] [[Escola secundària|Secundària]] [[Image:Crystal Clear app kivio.png|35px]] [[Escola preuniversitària|Preuniversitari]] [[Image:Nuvola apps edu languages.svg|35px]] [[Escola d'idiomes]] === Facultats === '''[[Facultat de Ciències Exactes, Físiques i Naturals|Ciències Exactes, Físiques i Naturals]]''' [[Image:Crystal Clear app linneighborhood-vector.svg|35px]] [[Escola de Ciències de l'Espai|Astronomia]] [[Image:Nuvola_apps_kuickshow.svg|35px]] [[Departament de Biologia|Biologia]] [[Image:Gnome-globe.svg|35px]] [[Departament de Ciències Ambientals|Ciències Ambientals]] [[Image:Nuvola apps edu miscellaneous.svg|35px]] [[Departament de Ciències Físiques|Física]] [[Image:Nuvola apps kpercentage.png|35px]] [[Departament de Matemàtiques|Matemàtiques]] [[Image:Nuvola apps edu science.svg|35px]] [[Departament de Química|Química]] '''[[Facultat d'Enginyeria|Enginyeria]]''' [[Image:Airplane_silhouette.png|35px]] [[Departament d'Enginyeria Aeronàutica|Enginyeria Aeronàutica]] [[Image:Nuvola apps ksim.png|35px]] [[Departament d'Enginyeria Electrònica|Eninyeria Electrònica]] [[Image:Nuvola apps kcmsystem.svg|35px]] [[Departament d'Enginyeria Industrial|Enginyeria Industrial]] [[Image:Nuvola apps laptop pcmcia.png|35px]] [[Departament d'Enginyeria Informàtica|Enginyeria Informàtica]] [[Image:Nuvola apps ksim.png|35px]] [[Departament d'Enginyeria Mecatrónica|Eninyeria Mecatrónica]] [[Image:Crystal Project Kbattleship.png|35px]] [[Departament de Enginyeria Naval|Enginyeria Naval]] [[Image:Nuvola apps kalzium.svg|35px]] [[Departament d'Enginyeria Química|Enginyeria Química]] [[Image:Nuvola apps krfb.png|35px]] [[Departament d'Enginyeria de Sistemes|Enginyeria de Sistemes]] [[Image:Crystal Clear app linneighborhood-vector.svg|35px]] [[Departament d'Enginyaria de Telecomunicacions|Enginyeria de Telecomunicacions]] '''[[Arts i Humanitats|Arts i Humanitats]]''' [[Image:Gnome-home.svg|35px]] [[Escola de Arquitectura|Arquitectura]] [[Image:Nuvola apps package graphics.svg|35px]] [[Facultat d'Arts Plàstiques|Arts plàstiques]] [[Image:Barnprinter2.png‎|35px]] [[Facultat de Història |Història]] [[Image:Nuvola kdict glass.svg|35px]] [[Facultat de Filosofia|Filosofia]] [[Image:Nuvola apps edu languages.svg|35px]] [[Facultat de llengües|Llengües i Literatura Estranjera]] [[Image:Nuvola apps knotify.png|35px]] [[Facultat de Música|Música]] [[Image:P religion world.svg|35px]] [[Facultat de Teologia|Teologia]] '''[[Ciències de la Salut|Ciències de la Salut]]''' [[Image:Soccer ball.svg|35px]] [[Escola d'esports |Esports]] [[Image:Nuvola apps kcolorchooser.png|35px]] [[Facultat de Farmàcia|Farmàcia]] [[Image:Star of life2.svg|35px]] [[Facultat de Medicina|Medicina]] '''[[Estudis Socials|Estudis Socials]]''' [[File:Nuvola apps edu miscellaneous.svg|35px]] [[Facultat de Ciències de l'Educació|Ciències de la Educació]] [[Image:Nuvola_mimetypes_wordprocessing.png|35px]][[Departament de Ciències de la Documentació|Ciències de la Documentació]] [[Image:Greek uc psi icon.svg|35px]] [[Facultat de Psicologia|Psicologia]] [[Image:Nuvola apps chat.svg|35 px]] [[Facultat de Ciències Polítiques|Ciències Polítiques]] [[Image:Nuvola apps bookcase.svg|35px]] [[Facultat de Dret|Dret]] [[Image:Nuvola apps kchart.svg|35px]] [[Facultat de Ciències Econòmiques i Empresarials|Ciències Econòmiques i Empresarials]] [[Image:Childbook.svg|35px]] [[Facultat de Sociologia|Sociologia]] [[Image:Gnome-globe.svg|35px]] [[Facultat de Geografia|Geografia]] [[Image:Newspaper_Cover.svg|35px]] [[Facultat de Periodisme|Periodisme]] [[Category:CA Template]] [[Category:CA]] 3uml97fb3ks8gcetsjjtnvqsubifsb4 10 8105 373459 35167 2025-06-21T01:31:34Z AtUkr 17909 nominated for deletion 373459 wikitext text/x-wiki {{delete|unused template; [[Wikiversity:Announcements/ca]] should be used}} <!-- Tabló de anuncis --> {| cellspacing=3 width="100%" |- valign="top" |width="65%" bgcolor="#f0f0ff" style="border:1px solid #c6c9ff;padding:1em;padding-top:0.5em;"| ==Anuncis== <!--- Announces ----------------------> ====Maig 2008==== {{announce/local|27|S'ha proposat que la Wikiversity beta es tanqui i la nostra feina es divideixi en [[Meta:|Meta Wikimedia]] i en [[Incubator:| Incubator Wikimedia]]. Les teves [[m:Proposals for closing projects/Beta_Wikiversity|opinions poden decidir el destí d'aquest projecte]].}} {{announce/local|26|Les Viquiversitats en [[:cs:Hlavní_strana|Txec]], [[:ja:メインページ|Japonès]] and [[:pt:Página_principal|Portuguès]] ja estan obertes.}} {{announce/local|25|[[Wikiversity:Babel#Do_you_have_a_slogan_of_.22your.22_Wikiversity_.28at_beta.29_.3F|Tens un eslògan per a la "teva" Wikiversity ?]]}} {{announce/local|?|Vols afegir-te a un [[:en:Wikiversity:Meetings#Learning_on_Wikiversity|meeting sobre "Aprenent a la Wikiversity"]] ?}} {{announce/local|9|Indicador de la Wikipedia : entrevista sobre la Wikiversity anglesa publicada [[wikipedia:Wikipedia:Wikipedia_Signpost/2008-05-09/Wikiversity_interview|aquí]]}} ====Març 2008==== {{announce/local|1|[[Wikiversity:IRC meeting:New licence for Wikiversity Beta|Reunió IRC]] - Canvi de llicència per for Wikiversity Beta ?}} ====January 2008==== {{announce/local|19|[[:en:Thucydides:_The_Peloponnesian_War#Next_meeting|Reunió IRC]] - Història - [[:en:Thucydides: The Peloponnesian War|Història de la Guerra del Peloponès]]}} {{announce/local|12|[[:el:Κύρια Σελίδα|La Wikiversity en grec]] ja està oberta.}} ====Desembre 2007==== {{announce|Wikimedia-logo.svg|5|[[Wikiversity:IRC meeting:What is Wikiversity?|Reunió IRC: Què és Wikiversity]] es farà el 8 de desembre a les 23:00 UTC.}} <div style="text-align:center;">{{edit|Wikiversity:Announcements/En}} · <small>[http://beta.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversity:Announcements/En&action=watch watch]</small></div> </div><noinclude> bvp5gd50stf43ac4cphgjizppxj5gec 0 8429 373493 367163 2025-06-21T01:39:41Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373493 wikitext text/x-wiki =Escola secundària= L'educació secundària (també denominada segon ensenyament, ensenyament secundari, ensenyament mig, estudis mitjos) és la que té com objectiu capacitar a l'alumne per a prosseguir estudis superiors o bé per incorporar-se al món laboral. En acabar l'educació secundària es pretén que l'alumne hagi desenvolupat les suficients habilitats, valors i actituds per a assolir un bon desenvolupament en la societat. En particular, l'ensenyament secundari ha de preparar per a la universitat pensant en els que aspiren i poden continuar els seus estudis; preparar pel món del treball els que no segueixen estudiant i desitgen o necessiten incorporar-se a la vida laboral; i formar la personalitat integral dels joves, amb especial atenció en els aspectes relacionats amb l'acompliment ciutadà. Cada país té el seu propi mètode d'educació o pla d'estudi. == Sistemes educatius == [[Educació Secundària Obligatòria (Espanya)|Educació Secundària Obligatòria]] (Espanya) <!-- Després poden agrupar les propostes d'una mateixa assignatura per que en una pàgina intermedia l'alumne esculli entre elles--> :Ensenyament secundari obligatori (ESO): :*Matèries de 1 ESO ::*[[Matemàtiques_I_ESO|Matemàtiques primer esborrany]] ::*[[Matemàtiques. 1er ESO|Matemàtiques]] :*Matèries de 2 ESO :*Matèries de 3 ESO ::*[[Matemàtiques_III_ESO|Matemàtiques primer esborrany]] :*Matèries de 4 ESO ::*[[Matemàtiques 4 ESO|Matemàtiques orientades a l'ensenyament aplicat]] :Batxillerat ---- [[Educació secundària andorrana (Andorra)|Educació secundària andorrana]] (Andorra) :[https://www.educacio.ad/sistema-educatiu-andorra/permsea Govern_d'andorra] == Matèries típiques == * '''Arts:''' {{sec|arts interpretatives|interpretatives}}, {{sec|arts plàstiques|plàstiques}}, {{sec|arts industrials|industrials}}, {{sec|música}}, {{sec|expressió artística}} * '''Ciències exactes''': {{sec|matemàtiques}}, {{sec|estadística}} * '''Ciències aplicades''': {{sec|tecnologies}}, {{sec|tecnologia}}, {{sec|recursos digitals I}}, {{sec|recursos digitals II}}, {{sec|Digitalització}}, {{sec|programació i tractament de dades I}} i {{sec|programació i tractament de dades II}} * '''Ciències naturals i físiques''': {{sec|biologia}}, {{sec|ecologia}}, [[Departament_de_Ciències_Físiques|física]], [[Departament_de_Química|química]] * '''Ciències socials''': {{sec|geografia}}, {{sec|història}}, {{sec|ciutadania}} * '''Humanitats:''' {{sec|filosofia}}, {{sec|religió}}, {{sec|educació física}}. * '''Llengües:''' {{sec|español}}, {{sec|italiano}}, {{sec|français}}, {{sec|English}}, {{sec|Deutsch}}, {{sec|esperanto}}, {{sec|català}}. [[category:Escola secundària]] [[Category:CA]] [[es:Escuela secundaria]] cdk2hpi2qyx7ui9b3o0ycv6n5tei373 0 8433 373492 287772 2025-06-21T01:39:38Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373492 wikitext text/x-wiki == Presentació == Aquesta escola es dedicarà a l'àrea de l'ensenyement secundari. == Calculadora científica online == Per qui no disposi d'una calculadora completa li recomenem que faci servir la calculadora WIRIS ([[castellà]]): [http://herramientas.educa.madrid.org/wiris Wiris: Calculadora electrónica completa] == Currículum == Entenem per [[currículum de l'educació secundària obligatòria]] els objectius, competències bàsiques, continguts, mètodes pedagògics i criteris d'avaluació d'aquest ensenyament. == Plà d'estudis == == Primer cicle == ====1er ESO==== *[[Ciències de la Naturalesa. 1er ESO]] *[[Ciències Sociales, Geografia i Història. 1er ESO]] *[[Educació Visual i plàstica. 1er ESO]] *[[Llengua Castellana i Literatura. 1er ESO]] *[[Llengua Catalana. 1er ESO]] *[[Llengua Estrangera. 1er ESO]] *[[2ª Llengua estranjera. 1er ESO]] *[[Matemàtiques. 1er ESO]] *[[Música. 1er ESO]] ====2on ESO==== *[[Ciències de la Naturalesa. 2on ESO]] *[[Ciencias Sociales, Geografia i Història. 2on ESO]] *[[Educació Visual i Plàstica. 2on ESO]] *[[Llengua Castellana i Literatura. 2on ESO]] *[[Llengua Catalana. 2on ESO]] *[[Llengua Estranjera. 2on ESO]] *[[2ª Llengua estranjera. 2on ESO]] *[[Matemàtiques. 2on ESO]] *[[Tecnologia. 2on ESO]] == Segon cicle == ====3er ESO==== *[[Ciències de la Naturalesa (Biologia i geologia). 3er ESO]] *[[Ciències Socials, Geografia i Història. 3er ESO]] *[[Cultura Clàssica. 3er ESO]] *[[Educació Física. 3er ESO]] *[[Educació Visual i Plàstica. 3er ESO]] *[[Física i Química. 3er ESO]] *[[Llengua Castellana i Literatura. 3er ESO]] *[[Llengua Catalana. 3er ESO]] *[[Llengua Estranjera. 3er ESO]] *[[2ª Llengua estranjera. 3er ESO]] *[[Matemàtiques. 3er ESO]] *[[Música. 3er ESO]] *[[Tecnologia. 3er ESO]] ====4rt ESO==== '''Assignatures comunes''' *[[Ciències Socials, Geografia i Història. 4rt ESO]] *[[Educació Física. 4rt ESO]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] *[[Llengua Castellana i literatura. 4rt ESO]] *[[Llengua Catalana i literatura. 4rt ESO]] *[[Llengua Estranjera. 4rt ESO]] '''Assignatures optatives segons itinerari''' *[[Biologia i Geologia. 4rt ESO]] *[[Educació Plástica i Visual. 4rt ESO]] *[[Física i Química. 4rt ESO]] *[[Llatí. 4rt ESO]] *[[2ª Llengua estranjera. 4rt ESO]] *[[Música. 4rt ESO]] *[[Tecnologia. 4rt ESO]] [[Category:Escola secundària]] [[Category:CA]] fe02nxfj2wyvw9lbu046let8vtaw7j2 0 8462 373572 61147 2025-06-21T01:53:11Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373572 wikitext text/x-wiki La '''Facultat de Ciències Exactes, Físicas i Naturals''' serà el centre encargat, a la Viquiversitat, de dictar els cursos corresponents a les carreres de ciències no tècniques com matemàtiques, física, química, biologia, informatica o geologia ==Carreres== De moment, i a la espera de que algú s'encarregui de coordinar-los hi ha: ===[[Departament de les Ciències Físiques]]=== ===[[Departament de les ciències Químiques]]=== ===[[Departament de les ciències Matemàtiques]]=== ===[[Departament de les Ciències Biològiques]]=== (S'espera que algú se'n faci càrrec i col·loqui, a mida que vagin sortint, els departaments oficials) [[Category:Facultats]] [[Category:CA]] qbwn00za32o6fc46e7ynxit7p2iigt1 0 8485 373471 349756 2025-06-21T01:36:38Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373471 wikitext text/x-wiki {{Sobre la Viquiversitat}} <big>'''Benvingut a la Viquiversitat'''</big> '''Benvingut/da a la Viquiverstitat''', un dels projectes de la fundació sense ànim de lucre '''Wikimedia'''. ==Com puc participar a la Viquiversitat?== Podeu participar-hi com a alumne, com a professor, creant [[Viquiversitat:Projecte d'aprenentatge|projectes d'aprenentatge]] o obrint nous [[departaments]] carregant continguts que <big>'''no'''</big> '''siguin plagis''', etc. ==Com puc participar-hi com a professor?== Creant nous projectes d'aprenentatge, nous departaments, coordinant els departaments... ==Com puc participar-hi com a alumne?== Si esteu particularment interessat en algun dels departaments, aneu-hi fent-hi clic. Si encara no està creat o no existeix, vos animem a crear-lo. ==La Viquiversitat proporciona títols oficials?== '''No''' proporciona títols oficials ni tampoc remunera els qui la fan. Per ara, encara està en construcció. ==Què diferencia aquest projecte d'una universitat corrent?== Tres coses: * És gratuïta. * No es remuneren les contribucions perquè se suposa que es fan de manera voluntària. * No tenim una seu fixa. [[Category:Viquiversitat]] [[Category:CA]] [[ar:ويكي الجامعة:ترحيب بالقادمين الجدد]] [[cs:Wikiverzita:Wikiverzita/Zastaralý koncept 01]] [[de:Wikiversity:Willkommen]] [[en:Wikiversity:Welcome]] [[es:Ayuda:Bienvenido]] [[fi:Wikiopisto:Tervetuloa]] [[fr:Wikiversité:Accueil des nouveaux arrivants]] [[it:Aiuto:Benvenuto]] [[pt:Wikiversidade:Bem-Vindo]] 12s1104usocitykjlf4w7omh5k4yotd 10 8486 373470 131082 2025-06-21T01:36:26Z AtUkr 17909 added category 373470 wikitext text/x-wiki {| style="float:right; clear:right;" | {{Robelbox|theme=10|title=[[Topic:Viquiversitat|Sobre la Viquiversitat]]}} {| style="background:transparent; font-size:90%;" | [[Image:Woman teaching geometry.jpg|center|200px]] '''Introducció a la Viquiversitat''' *[[Viquiversitat:Benvingut|Benvingut]] *[[Viquiversitat:Ajuda|Passejos guiats per la Viquiversitat]] *[[Viquiversitat:Introducció per als professors|Introducció per als professors]] *[[Viquiversitat:Què és la Viquiversitat|Què és la Viquiversitat?]] *[[Viquiversitat:Què no és la Viquiversitat|Què no és la Viquiversitat?]] *[[Viquiversitat:FAQ|FAQ]] *[[Viquiversitat:Cultura|Cultura de la Viquiversitat]] *[[Més sobre la Viquiversitat...]] *[[Presentacions sobre la Viquiversitat]] <hr> '''La Viquiversitat: Un projecte d'aprenentatge''' #[[Viquiversitat:Introducció|Introducció]] #[[Viquiversitat (la resta de la història)]] |} {{Robelbox/close}} |} <noinclude> [[Category:CA Template]] [[Category:CA]] </noinclude> jkmva48h2cci329ap5ukwbws3lqfnlb 0 9056 373454 372422 2025-06-21T00:58:11Z AtUkr 17909 merged the header and the footer in, why even do this in the first place 373454 wikitext text/x-wiki * '''Notice''': This is not being updated, but regular activity checking on the projects are being made. Please refer to the discussion page on this page for the results. This page contains a list of all languages for which '''Wikiversity''' wiki sites have been created, and / or their progression since incubation. The Wikimedia Foundation (WMF) [[m:Language proposal policy#Requisites for final approval|language proposal policy]] states that there must be an active test project and 'MediaWiki (most important messages)' must be localized in order for a project to gain approval from the WMF [[m:Language committee|language committee]] (LangCom). The statistics are updated periodically (minimally, every three months). Beginning January 2019, historical data was moved to a sub-page ([[/Historical record]]). Only the current calendar year, and the preceding three complete calendar years will remain on this specific page. :''Note:'' projects which have been rejected by LangCom, or projects that have evidenced no activity for three consecutive years, are listed only on the [[/Historical record|historical record]] sub-page. ==Wikiversities in beta phase== ;Number of active contributors (registered users with 10+ edits in a month) :<span style="background:#fcfcfc; color:#000; border:1px solid #ccc">Did not exist (N.E.) at the time</span> :<span style="background:#f83; color:#000">No activity</span> :<span style="background:#ffdd33; color:#000">0 users</span> :<span style="background:#ddff33; color:#000">1–2 users</span> :<span style="background:#aaff33; color:#000">3+ users</span> <div style="overflow-x:scroll; overflow-y:hidden"> {|class="wikitable sortable" style=font-size:92% |+Status of incubation of potential new language versions of Wikiversity wikis<br>''(listed in order by language code sub-domain)'' !scope=col rowspan=2|language !scope=col rowspan=2|lang<br>code !scope=col rowspan=2|beta<br>since !scope=col rowspan=2|editing<br>status !scope=col rowspan=2|localization !scope=col rowspan=2|page<br>count !scope=col colspan=12|2022 !scope=col colspan=12|2023 !scope=col colspan=12|2024 !scope=col colspan=5|2025 !scope=col rowspan=2|status |- !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 |- |[[w:Belarusian language|Belarusian]] |{{Catanalysis|BE}}||2019-01 {{/Project|waiting|Belarusian}} {{/Localization|be|99}} |style=text-align:center|[[:Category:BE|{{PAGESINCATEGORY:BE|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Bulgarian language|Bulgarian]] |{{Catanalysis|BG}}||2007-05 {{/Project|eligible|Bulgarian}} {{/Localization|bg|100}} |style=text-align:center|[[:Category:BG|{{PAGESINCATEGORY:BG|pages}}]] {{Contrib| 0 | - | - | - | 0 | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Bengali language|Bengali]] |{{Catanalysis|BN}}||2018-02 {{/Project|waiting|Bengali}} {{/Localization|bn|100}} |style=text-align:center|[[:Category:BN|{{PAGESINCATEGORY:BN|pages}}]] {{Contrib| 1 | 2 | - | 0 | 0 | 1 | - | - | 0 | - | 0 | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 1 | 1 | - | - | 0 | - | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 1 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | - | 0 | 1 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | - | 2 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Catalan language|Catalan]] |{{Catanalysis|CA}}||2008-01 {{/Project|eligible|Catalan}} {{/Localization|ca|99}} |style=text-align:center|[[:Category:CA|{{PAGESINCATEGORY:CA|pages}}]] {{Contrib| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | - | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Zaza language|Zazaki]] |{{Catanalysis|DIQ}}||2008-06 {{/Project|eligible|Zazaki}} {{/Localization|diq|100}} |style=text-align:center|[[:Category:DIQ|{{PAGESINCATEGORY:DIQ|pages}}]] {{Contrib| 0 | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Esperanto|Esperanto]] |{{Catanalysis|EO}}||2006-08 {{/Project|no|Esperanto}} {{/Localization|eo|100}} |style=text-align:center|[[:Category:EO|{{PAGESINCATEGORY:EO|pages}}]] {{Contrib| 0 | 0 | - | 0 | - | 0 | - | 0 | 0 | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | 0 | 0 | - | 0 | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | 0 | 0 | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Estonian language|Estonian]] |{{Catanalysis|ET}}||2008-05 {{/Project|eligible|Estonian}} {{/Localization|et|100}} |style=text-align:center|[[:Category:ET|{{PAGESINCATEGORY:ET|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Persian language|Persian]] |{{Catanalysis|FA}}||2006-11 {{/Project|eligible|Persian}} {{/Localization|fa|100}} |style=text-align:center|[[:Category:FA|{{PAGESINCATEGORY:FA|pages}}]] {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | 0 | 0 | 0 | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | 0 | 0 | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Hebrew language|Hebrew]] |{{Catanalysis|HE}}||2007-03 {{/Project|eligible|Hebrew}} {{/Localization|he|100}} |style=text-align:center|[[:Category:HE|{{PAGESINCATEGORY:HE|pages}}]] {{Contrib| 2 | 1 | 2 | 1 | 4 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 2 | 2 }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | 0 | - | - | 0 | - | 0 | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Croatian language|Croatian]] |{{Catanalysis|HR}}||2009-01 {{/Project|no|Croatian}} {{/Localization|hr|100}} |style=text-align:center|[[:Category:HR|{{PAGESINCATEGORY:HR|pages}}]] {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Hungarian language|Hungarian]] |{{Catanalysis|HU}}||2008-04 {{/Project|eligible|Hungarian}} {{/Localization|hu|100}} |style=text-align:center|[[:Category:HU|{{PAGESINCATEGORY:HU|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | 0 | - | - | 0 | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Indonesian language|Indonesian]] |{{Catanalysis|ID}}||2015-12 {{/Project|waiting|Indonesian 2}} {{/Localization|id|100}} |style=text-align:center|[[:Category:ID|{{PAGESINCATEGORY:ID|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | 1 | 0 | - | - | - | - | 0 | - | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Georgian language|Georgian]] |{{Catanalysis|KA}}||2007-01 {{/Project|eligible|Georgian}} {{/Localization|ka|99}} |style=text-align:center|[[:Category:KA|{{PAGESINCATEGORY:KA|pages}}]] {{Contrib| - | 0 | 0 | - | 0 | - | 0 | 0 | - | - | - | 0 }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | - | 0 }}<!-- 2024 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Latin|Latin]] |{{Catanalysis|LA}}||2001-09 {{/Project|no|Latin}} {{/Localization|la|83}} |style=text-align:center|[[:Category:LA|{{PAGESINCATEGORY:LA|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Dutch language|Dutch]] |{{Catanalysis|NL}}||2006-10 {{/Project|eligible|Dutch}} {{/Localization|nl|100}} |style=text-align:center|[[:Category:NL|{{PAGESINCATEGORY:NL|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Norwegian language|Norwegian]] |{{Catanalysis|NO}}||2006-09 {{/Project|no|Norwegian}} |<span style=text-align:center>see below<ref><span class=plainlinks>nb: [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ALanguageStats&x=D&language=nb&suppresscomplete=1&group=core-0-mostused 100%] • nn: [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ALanguageStats&x=D&language=nn&suppresscomplete=1&group=core-0-mostused 98%]</span></ref></span> |style=text-align:center|[[:Category:NO|{{PAGESINCATEGORY:NO|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Punjabi language|Punjabi]] |{{Catanalysis|PA}}||2016-03 {{/Project|eligible|Punjabi}} {{/Localization|pa|95}} |style=text-align:center|[[:Category:PA|{{PAGESINCATEGORY:PA|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | 0 | 0 | 0 | - | - | - | - | 2 | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 0 | - | - | 0 | - | - | 0 | 0 | - | - | 0 | 0 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | 0 | 0 | - | 0 | - | 0 | - | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | - | 1 | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Polish language|Polish]] |{{Catanalysis|PL}}||2007-06 {{/Project|eligible|Polish 2}} {{/Localization|pl|99}} |style=text-align:center|[[:Category:PL|{{PAGESINCATEGORY:PL|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | 0 }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | 0 | 0 | - | - | - | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Pashto language|Pashto]] |{{Catanalysis|PS}}||2017-09 {{/Project|eligible|Pashto}} {{/Localization|ps|99}} |style=text-align:center|[[:Category:PS|{{PAGESINCATEGORY:PS|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Romanian language|Romanian]] |{{Catanalysis|RO}}||2007-03 {{/Project|eligible|Romanian 2}} {{/Localization|ro|100}} |style=text-align:center|[[:Category:RO|{{PAGESINCATEGORY:RO|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Scots language|Scots]] |{{Catanalysis|SCO}}||2017-06 {{/Project|no|Scots}} {{/Localization|sco|98}} |style=text-align:center|[[:Category:SCO|{{PAGESINCATEGORY:SCO|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Slovak language|Slovak]] |{{Catanalysis|SK}}||2009-01 {{/Project|eligible|Slovak}} {{/Localization|sk|100}} |style=text-align:center|[[:Category:SK|{{PAGESINCATEGORY:SK|pages}}]] {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | 1 | 0 | 0 | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | 1 | 0 | 1 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Swahili language|Swahili]] |{{Catanalysis|SW}}||2010-11 {{/Project|no|Swahili}} {{/Localization|sw|77}} |style=text-align:center|[[:Category:SW|{{PAGESINCATEGORY:SW|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Sylheti language|Sylheti]] |{{Catanalysis|SYL}}||2023-06 {{/Project|discussion|Sylheti}} {{/Localization|syl|100}} |style=text-align:center|[[:Category:SYL|{{PAGESINCATEGORY:SYL|pages}}]] {{/NE|17}} {{Contrib | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 1 | 2 | - | - | - | - | - | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 2 | 1 | 1 | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Telugu language|Telugu]] |{{Catanalysis|TE}}||2009-02 {{/Project|discussion|Telugu}} {{/Localization|te|100}} |style=text-align:center|[[:Category:TE|{{PAGESINCATEGORY:TE|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Turkish language|Turkish]] |{{Catanalysis|TR}}||2007-04 {{/Project|eligible|Turkish 2}} {{/Localization|tr|100}} |style=text-align:center|[[:Category:TR|{{PAGESINCATEGORY:TR|pages}}]] {{Contrib| 0 | - | - | - | 1 | - | 1 | 1 | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 1 | 0 | 0 | - | 0 | 1 | 1 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | - | - | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 1 | 0 | 0 | 0 | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Ukrainian language|Ukrainian]] |{{Catanalysis|UK}}||2007-10 {{/Project|eligible|Ukrainian 2}} {{/Localization|uk|100}} |style=text-align:center|[[:Category:UK|{{PAGESINCATEGORY:UK|pages}}]] {{Contrib| 0 | - | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | 0 | 0 | - | 0 | - | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | - | 0 | - | 0 | - | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Vietnamese language|Vietnamese]] |{{Catanalysis|VI}}||2008-07 {{/Project|eligible|Vietnamese}} {{/Localization|vi|100}} |style=text-align:center|[[:Category:VI|{{PAGESINCATEGORY:VI|pages}}]] {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 2 | 1 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- class="sortbottom" !scope=col rowspan=2|language !scope=col rowspan=2|lang<br>code !scope=col rowspan=2|beta<br>since !scope=col rowspan=2|editing<br>status !scope=col rowspan=2|localization !scope=col rowspan=2|page<br>count !scope=col colspan=12|2022 !scope=col colspan=12|2023 !scope=col colspan=12|2024 !scope=col colspan=5|2025 !scope=col rowspan=2|status |- !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 |}</div> ===References=== <References/> ==Wikiversities language versions now launched== <div style="margin-left:auto; margin-right:auto; overflow:auto; width:100%"> {|class="wikitable sortable" style="font-size:92%" |+Status of different language versions of launched Wikiversity wikis<br>''(listed in order individual launch date, then beta date)'' !scope=col rowspan=3|language !scope=col rowspan=3|beta<br>date !scope=col rowspan=3|launch<br>date !scope=col rowspan=3|meta<br>post !scope=col colspan=49|contributing editors |- !scope=col colspan=12|2016 !scope=col colspan=12|2017 !scope=col colspan=12|2018 !scope=col colspan=12|2019 !scope=col rowspan=2|done |- !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 |- |[[:en:|English]]|| 2006-07||2006-07 {{:States of Wikiversities/Project|created|English}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:de:|German]]|| 2006-07||2006-08 {{:States of Wikiversities/Project|created|German}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:es:|Spanish]]|| 2006-11||2006-11 {{:States of Wikiversities/Project|created|Spanish}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:fr:|French]]|| 2006-09||2006-12 {{:States of Wikiversities/Project|created|French}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:it:|Italian]]|| 2006-07||2007-05 {{:States of Wikiversities/Project|created|Italian 2}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:el:|Greek]]|| 2007-09||2008-01 {{:States of Wikiversities/Project|created|Greek}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:pt:|Portuguese]]|| 2006-08||2008-05 {{:States of Wikiversities/Project|created|Portuguese}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:cs:|Czech]]|| 2006-12||2008-05 {{:States of Wikiversities/Project|created|Czech}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:ja:|Japanese]]|| 2007-03||2008-05 {{:States of Wikiversities/Project|created|Japanese 2}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:fi:|Finnish]]|| 2008-01||2009-04 {{:States of Wikiversities/Project|created|Finnish 2}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:ru:|Russian]]|| 2006-09||2009-11 {{/Project|created|Russian 2}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:sv:|Swedish]]|| 2007-09||2010-11 {{/Project|created|Swedish 2}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:ar:|Arabic]]|| 2008-01||2011-07 {{/Project|created|Arabic}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:sl:|Slovene]]|| 2007-12||2012-03 {{/Project|created|Slovene}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:ko:|Korean]]|| 2008-02||2013-02 {{/Project|created|Korean}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:hi:|Hindi]]|| 2012-02||2017-08 {{/Project|created|Hindi}} {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 1 }}<!-- 2016 --> {{Contrib| 2 | 6 | 6 | 6 | 7 | 3 | 3 }}<!-- 2017 --> |colspan=29 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:zh:|Chinese]]|| 2006-09||2018-08 {{/Project|created|Chinese}} {{Contrib| 1 | 2 | 7 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 }}<!-- 2016 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | 1 | 3 | 1 | 2 | 2 }}<!-- 2017 --> {{Contrib| 2 | 6 | 2 | 6 | 3 | 4 | 5 | 4 }}<!-- 2018 --> |colspan=16 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px|link=phabricator:T199577]] |}</div> ;Tools * Activity: [https://meta.toolforge.org/catanalysis/ Catanalysis] * Localization: [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3AMessageGroupStats&x=D&group=core-0-mostused TranslateWiki] [[Category:States of Wikiversities|*]] r30itqb291q3lgron8poay55lwkyipm 373457 373454 2025-06-21T01:18:03Z Koavf 82 373457 wikitext text/x-wiki * '''Notice''': This is not being updated, but regular activity checking on the projects are being made. Please refer to the discussion page on this page for the results. This page contains a list of all languages for which '''Wikiversity''' wiki sites have been created, and / or their progression since incubation. The Wikimedia Foundation (WMF) [[m:Language proposal policy#Requisites for final approval|language proposal policy]] states that there must be an active test project and 'MediaWiki (most important messages)' must be localized in order for a project to gain approval from the WMF [[m:Language committee|language committee]] (LangCom). The statistics are updated periodically (minimally, every three months). Beginning January 2019, historical data was moved to a sub-page ([[/Historical record]]). Only the current calendar year, and the preceding three complete calendar years will remain on this specific page. :''Note:'' projects which have been rejected by LangCom, or projects that have evidenced no activity for three consecutive years, are listed only on the [[/Historical record|historical record]] sub-page. ==Wikiversities in beta phase== ;Number of active contributors (registered users with 10+ edits in a month) :<span style="background:#fcfcfc; color:#000; border:1px solid #ccc">Did not exist (N.E.) at the time</span> :<span style="background:#f83; color:#000">No activity</span> :<span style="background:#ffdd33; color:#000">0 users</span> :<span style="background:#ddff33; color:#000">1–2 users</span> :<span style="background:#aaff33; color:#000">3+ users</span> <div style="overflow-x:scroll; overflow-y:hidden"> {|class="wikitable sortable" style=font-size:92% |+Status of incubation of potential new language versions of Wikiversity wikis<br>''(listed in order by language code sub-domain)'' !scope=col rowspan=2|language !scope=col rowspan=2|lang<br>code !scope=col rowspan=2|beta<br>since !scope=col rowspan=2|editing<br>status !scope=col rowspan=2|localization !scope=col rowspan=2|page<br>count !scope=col colspan=12|2022 !scope=col colspan=12|2023 !scope=col colspan=12|2024 !scope=col colspan=5|2025 !scope=col rowspan=2|status |- !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 |- |[[w:Belarusian language|Belarusian]] |{{Catanalysis|BE}}||2019-01 {{/Project|waiting|Belarusian}} {{/Localization|be|99}} |style=text-align:center|[[:Category:BE|{{PAGESINCATEGORY:BE|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Bulgarian language|Bulgarian]] |{{Catanalysis|BG}}||2007-05 {{/Project|eligible|Bulgarian}} {{/Localization|bg|100}} |style=text-align:center|[[:Category:BG|{{PAGESINCATEGORY:BG|pages}}]] {{Contrib| 0 | - | - | - | 0 | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Bengali language|Bengali]] |{{Catanalysis|BN}}||2018-02 {{/Project|waiting|Bengali}} {{/Localization|bn|100}} |style=text-align:center|[[:Category:BN|{{PAGESINCATEGORY:BN|pages}}]] {{Contrib| 1 | 2 | - | 0 | 0 | 1 | - | - | 0 | - | 0 | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 1 | 1 | - | - | 0 | - | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 1 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | - | 0 | 1 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | - | 2 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Catalan language|Catalan]] |{{Catanalysis|CA}}||2008-01 {{/Project|eligible|Catalan}} {{/Localization|ca|99}} |style=text-align:center|[[:Category:CA|{{PAGESINCATEGORY:CA|pages}}]] {{Contrib| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | - | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Zaza language|Zazaki]] |{{Catanalysis|DIQ}}||2008-06 {{/Project|eligible|Zazaki}} {{/Localization|diq|100}} |style=text-align:center|[[:Category:DIQ|{{PAGESINCATEGORY:DIQ|pages}}]] {{Contrib| 0 | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Esperanto|Esperanto]] |{{Catanalysis|EO}}||2006-08 {{/Project|no|Esperanto}} {{/Localization|eo|100}} |style=text-align:center|[[:Category:EO|{{PAGESINCATEGORY:EO|pages}}]] {{Contrib| 0 | 0 | - | 0 | - | 0 | - | 0 | 0 | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | 0 | 0 | - | 0 | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | 0 | 0 | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Estonian language|Estonian]] |{{Catanalysis|ET}}||2008-05 {{/Project|eligible|Estonian}} {{/Localization|et|100}} |style=text-align:center|[[:Category:ET|{{PAGESINCATEGORY:ET|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Persian language|Persian]] |{{Catanalysis|FA}}||2006-11 {{/Project|eligible|Persian}} {{/Localization|fa|100}} |style=text-align:center|[[:Category:FA|{{PAGESINCATEGORY:FA|pages}}]] {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | 0 | 0 | 0 | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | 0 | 0 | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Hebrew language|Hebrew]] |{{Catanalysis|HE}}||2007-03 {{/Project|eligible|Hebrew}} {{/Localization|he|100}} |style=text-align:center|[[:Category:HE|{{PAGESINCATEGORY:HE|pages}}]] {{Contrib| 2 | 1 | 2 | 1 | 4 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 2 | 2 }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | 0 | - | - | 0 | - | 0 | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Croatian language|Croatian]] |{{Catanalysis|HR}}||2009-01 {{/Project|no|Croatian}} {{/Localization|hr|100}} |style=text-align:center|[[:Category:HR|{{PAGESINCATEGORY:HR|pages}}]] {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Hungarian language|Hungarian]] |{{Catanalysis|HU}}||2008-04 {{/Project|eligible|Hungarian}} {{/Localization|hu|100}} |style=text-align:center|[[:Category:HU|{{PAGESINCATEGORY:HU|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | 0 | - | - | 0 | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Indonesian language|Indonesian]] |{{Catanalysis|ID}}||2015-12 {{/Project|waiting|Indonesian 2}} {{/Localization|id|100}} |style=text-align:center|[[:Category:ID|{{PAGESINCATEGORY:ID|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | 1 | 0 | - | - | - | - | 0 | - | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Georgian language|Georgian]] |{{Catanalysis|KA}}||2007-01 {{/Project|eligible|Georgian}} {{/Localization|ka|99}} |style=text-align:center|[[:Category:KA|{{PAGESINCATEGORY:KA|pages}}]] {{Contrib| - | 0 | 0 | - | 0 | - | 0 | 0 | - | - | - | 0 }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | - | 0 }}<!-- 2024 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Latin|Latin]] |{{Catanalysis|LA}}||2001-09 {{/Project|no|Latin}} {{/Localization|la|83}} |style=text-align:center|[[:Category:LA|{{PAGESINCATEGORY:LA|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Dutch language|Dutch]] |{{Catanalysis|NL}}||2006-10 {{/Project|eligible|Dutch}} {{/Localization|nl|100}} |style=text-align:center|[[:Category:NL|{{PAGESINCATEGORY:NL|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Norwegian language|Norwegian]] |{{Catanalysis|NO}}||2006-09 {{/Project|no|Norwegian}} |<span style=text-align:center>see below<ref><span class=plainlinks>nb: [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ALanguageStats&x=D&language=nb&suppresscomplete=1&group=core-0-mostused 100%] • nn: [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ALanguageStats&x=D&language=nn&suppresscomplete=1&group=core-0-mostused 98%]</span></ref></span> |style=text-align:center|[[:Category:NO|{{PAGESINCATEGORY:NO|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Punjabi language|Punjabi]] |{{Catanalysis|PA}}||2016-03 {{/Project|eligible|Punjabi}} {{/Localization|pa|95}} |style=text-align:center|[[:Category:PA|{{PAGESINCATEGORY:PA|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | 0 | 0 | 0 | - | - | - | - | 2 | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 0 | - | - | 0 | - | - | 0 | 0 | - | - | 0 | 0 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | 0 | 0 | - | 0 | - | 0 | - | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | - | 1 | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Polish language|Polish]] |{{Catanalysis|PL}}||2007-06 {{/Project|eligible|Polish 2}} {{/Localization|pl|99}} |style=text-align:center|[[:Category:PL|{{PAGESINCATEGORY:PL|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | 0 }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | 0 | 0 | - | - | - | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Pashto language|Pashto]] |{{Catanalysis|PS}}||2017-09 {{/Project|eligible|Pashto}} {{/Localization|ps|99}} |style=text-align:center|[[:Category:PS|{{PAGESINCATEGORY:PS|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Romanian language|Romanian]] |{{Catanalysis|RO}}||2007-03 {{/Project|eligible|Romanian 2}} {{/Localization|ro|100}} |style=text-align:center|[[:Category:RO|{{PAGESINCATEGORY:RO|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Scots language|Scots]] |{{Catanalysis|SCO}}||2017-06 {{/Project|no|Scots}} {{/Localization|sco|98}} |style=text-align:center|[[:Category:SCO|{{PAGESINCATEGORY:SCO|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Slovak language|Slovak]] |{{Catanalysis|SK}}||2009-01 {{/Project|eligible|Slovak}} {{/Localization|sk|100}} |style=text-align:center|[[:Category:SK|{{PAGESINCATEGORY:SK|pages}}]] {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | 1 | 0 | 0 | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | 1 | 0 | 1 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Swahili language|Swahili]] |{{Catanalysis|SW}}||2010-11 {{/Project|no|Swahili}} {{/Localization|sw|77}} |style=text-align:center|[[:Category:SW|{{PAGESINCATEGORY:SW|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Sylheti language|Sylheti]] |{{Catanalysis|SYL}}||2023-06 {{/Project|discussion|Sylheti}} {{/Localization|syl|100}} |style=text-align:center|[[:Category:SYL|{{PAGESINCATEGORY:SYL|pages}}]] {{/NE|17}} {{Contrib | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 1 | 2 | - | - | - | - | - | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 2 | 1 | 1 | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Telugu language|Telugu]] |{{Catanalysis|TE}}||2009-02 {{/Project|discussion|Telugu}} {{/Localization|te|100}} |style=text-align:center|[[:Category:TE|{{PAGESINCATEGORY:TE|pages}}]] {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2023 --> {{Contrib| - | - | - | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2024 --> {{Contrib| - | - | - | - | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Turkish language|Turkish]] |{{Catanalysis|TR}}||2007-04 {{/Project|eligible|Turkish 2}} {{/Localization|tr|100}} |style=text-align:center|[[:Category:TR|{{PAGESINCATEGORY:TR|pages}}]] {{Contrib| 0 | - | - | - | 1 | - | 1 | 1 | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 1 | 0 | 0 | - | 0 | 1 | 1 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | - | - | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 1 | 0 | 0 | 0 | - }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Ukrainian language|Ukrainian]] |{{Catanalysis|UK}}||2007-10 {{/Project|eligible|Ukrainian 2}} {{/Localization|uk|100}} |style=text-align:center|[[:Category:UK|{{PAGESINCATEGORY:UK|pages}}]] {{Contrib| 0 | - | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2022 --> {{Contrib| - | 0 | 0 | - | 0 | - | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | - | 0 | - | 0 | - | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Vietnamese language|Vietnamese]] |{{Catanalysis|VI}}||2008-07 {{/Project|eligible|Vietnamese}} {{/Localization|vi|100}} |style=text-align:center|[[:Category:VI|{{PAGESINCATEGORY:VI|pages}}]] {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2022 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2023 --> {{Contrib| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2024 --> {{Contrib| 2 | 1 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2025 --> |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- class="sortbottom" !scope=col rowspan=2|language !scope=col rowspan=2|lang<br>code !scope=col rowspan=2|beta<br>since !scope=col rowspan=2|editing<br>status !scope=col rowspan=2|localization !scope=col rowspan=2|page<br>count !scope=col colspan=12|2022 !scope=col colspan=12|2023 !scope=col colspan=12|2024 !scope=col colspan=5|2025 !scope=col rowspan=2|status |- !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 |}</div> ===References=== <References/> ==Wikiversities language versions now launched== <div style="margin-left:auto; margin-right:auto; overflow:auto; width:100%"> {|class="wikitable sortable" style="font-size:92%" |+Status of different language versions of launched Wikiversity wikis<br>''(listed in order individual launch date, then beta date)'' !scope=col rowspan=3|language !scope=col rowspan=3|beta<br>date !scope=col rowspan=3|launch<br>date !scope=col rowspan=3|meta<br>post !scope=col colspan=49|contributing editors |- !scope=col colspan=12|2016 !scope=col colspan=12|2017 !scope=col colspan=12|2018 !scope=col colspan=12|2019 !scope=col rowspan=2|done |- !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 !scope=col|1 !scope=col|2 !scope=col|3 !scope=col|4 !scope=col|5 !scope=col|6 !scope=col|7 !scope=col|8 !scope=col|9 !scope=col|10 !scope=col|11 !scope=col|12 |- |[[:en:|English]]|| 2006-07||2006-07 {{:States of Wikiversities/Project|created|English}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:de:|German]]|| 2006-07||2006-08 {{:States of Wikiversities/Project|created|German}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:es:|Spanish]]|| 2006-11||2006-11 {{:States of Wikiversities/Project|created|Spanish}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:fr:|French]]|| 2006-09||2006-12 {{:States of Wikiversities/Project|created|French}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:it:|Italian]]|| 2006-07||2007-05 {{:States of Wikiversities/Project|created|Italian 2}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:el:|Greek]]|| 2007-09||2008-01 {{:States of Wikiversities/Project|created|Greek}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:pt:|Portuguese]]|| 2006-08||2008-05 {{:States of Wikiversities/Project|created|Portuguese}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:cs:|Czech]]|| 2006-12||2008-05 {{:States of Wikiversities/Project|created|Czech}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:ja:|Japanese]]|| 2007-03||2008-05 {{:States of Wikiversities/Project|created|Japanese 2}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:fi:|Finnish]]|| 2008-01||2009-04 {{:States of Wikiversities/Project|created|Finnish 2}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:ru:|Russian]]|| 2006-09||2009-11 {{/Project|created|Russian 2}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:sv:|Swedish]]|| 2007-09||2010-11 {{/Project|created|Swedish 2}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:ar:|Arabic]]|| 2008-01||2011-07 {{/Project|created|Arabic}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:sl:|Slovene]]|| 2007-12||2012-03 {{/Project|created|Slovene}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:ko:|Korean]]|| 2008-02||2013-02 {{/Project|created|Korean}} |colspan=48 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:hi:|Hindi]]|| 2012-02||2017-08 {{/Project|created|Hindi}} {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 1 }}<!-- 2016 --> {{Contrib| 2 | 6 | 6 | 6 | 7 | 3 | 3 }}<!-- 2017 --> |colspan=29 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- |[[:zh:|Chinese]]|| 2006-09||2018-08 {{/Project|created|Chinese}} {{Contrib| 1 | 2 | 7 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 }}<!-- 2016 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | 1 | 3 | 1 | 2 | 2 }}<!-- 2017 --> {{Contrib| 2 | 6 | 2 | 6 | 3 | 4 | 5 | 4 }}<!-- 2018 --> |colspan=16 bgcolor=#44ff33|open and active |style=text-align:center|[[File:Pictogram voting keep.svg|15px|link=phabricator:T199577]] |}</div> '''Tools''' * Activity: [https://meta.toolforge.org/catanalysis/ Catanalysis] * Localization: [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3AMessageGroupStats&x=D&group=core-0-mostused TranslateWiki] [[Category:States of Wikiversities| ]] n5z06bmzq9yung6egvlt20k2cqgue0h 0 9660 373570 78431 2025-06-21T01:53:10Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373570 wikitext text/x-wiki La {{PAGENAME}} és el disseny, l'anàlisi, i/o la construcció dels treballs per els propòsits pràctics. El consell dels enginyers pel desenvlupament professional, també conegut com ECPD, defineix l'enginyeria com: "''L'ús creatiu dels principis científics per dissenyar o desenvolupar les estructures, màquines, aparells, processos de fabricació o treballs que les utilitzen soles o en combinació;per construir o funcionar igual amb el coneixement complet del seu disseny; o per pronosticar el seu comportament sota les condicions de funcionament específiques; tots com respecte una funció prevista, economia de la operació i seguratat a la vida''." L'àmplia disciplina de l'enginyeria abarca una àmplia gamma de subdisciplines especialitzades que es centren en les condicions associades a desenvolupar una classe específica de producte de usar un tipus específic de tecnologia. En aquesta facultat es llisten les enginyeries i les capacitats bàsiques de cada una d'elles per orientar l'aspirant a enginyer. ==Enginyeria Aeronàutica== ==Enginyeria Agrícola== ==Enginyeria Biònica== ==Enginyeria Forestal== ==Enginyeria Biomèdica== ==Enginyeria Geogràfica== ==Enginyeria Civil== ==Enginyeria Elèctrica== ==Enginyeria Electrònica== ==Enginyeria Física== ==Enginyeria Geològica== ==Enginyeria Industrial== ==Enginyeria Informàtica== ==Enginyeria Mecànica== ==Enginyeria Mecatrònica== ==Enginyeria de Mines== ==Enginyeria en Producció Multimèdia== ==Enginyeria de Petrolis== ==Enginyeria de Camins, Canals i Ports== ==Enginyeria Química== ==Enginyeria de Sistemes== ==Enginyeria de las Telecomunicacions== ==Enginyeria Agronòmica== ==Enginyeria Topogràfica== [[Category:Facultats]] [[Category:CA]] [[en:School:Engineering]] [[es:Facultad de Ingeniería]] [[fr:Faculté:Sciences de l'ingénieur]] [[it:Facoltà:Ingegneria]] [[pt:Portal:Engenharia]] ov5huy7rx2auxnshdhugy4x6aw4as66 0 9955 373571 164435 2025-06-21T01:53:10Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373571 wikitext text/x-wiki [[File:Nuvola apps kchart.svg|right|120px]] La facultat de '''Ciències Económiques i Socials''' serà el centre encargat, a la Viquiversitat, de dictar els cursos corresponents a les carreres de ciències de l'economia. = Departaments = De moment es proposen els següents departaments fins que es proposi coordinació == [[Departament de Teoria Econòmica|Economia]] == Conté els cursos sobre economia teòrica, microeconomia, macroeconomia == [[Departament d'Empresa|Empresa]] == Conté els cursos sobre el funcionament de l'empresa, comptabilitat, estructura de l'empresa, Recursos Humans == [[Departament de Finances|Finances]] == Conté els cursos sobre mercats fincancers, instruments financers, matemàtica d'instruments financers. == [[Departament d'Història Econòmica|Història]] == Conté els cursos sobre Història Econòmica. [[Portada-ca|Portada viquiversitat]] [[Category:Facultats]] [[Category:CA]] [[ar:كلية علوم الاقتصاد]] [[de:Fachbereich Volkswirtschaftslehre]] [[en:School:Economics]] [[es:Departamento de Ciencias Económicas]] [[fr:Faculté:Économie]] [[it:Facoltà:Economia]] [[ru:Факультет экономики]] [[sv:Nationalekonomi]] i37e3zc60o6x7jrd1rl22v508lsxunc 0 9956 373481 61136 2025-06-21T01:38:21Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373481 wikitext text/x-wiki [[Image:NYSE-floor.jpg|right|]] =CURSOS= ==Funcionament dels Mercats Financers== ===[[Mercats Monetaris. Interbancari|Mercats Monetaris. Interbancari]]=== ===[[Mercat Deute Públic|Mercat Deute Públic]]=== ===[[Mercat de divises|Mercat de divises]]=== ===[[Mercat de renda fixa privada|Mercat de renda fixa privada]]=== ===[[Mercat Borsari|Mercat Borsari]]=== ===[[Mercat de derivats|Mercat de derivats]]=== ==Instruments derivats== ===[[Terminologia|Introducció. Terminologia]]=== ===[[Derivats de tipus d'interès|Derivats de tipus d'interès]]=== ===[[Derivats de divises|Derivats de divises]]=== ===[[Derivats d'accions|Derivats d'accions]]=== ===[[Derivats sobre bens|Derivats sobre bens]]=== ===[[Derivats de crèdit|Derivats de crèdit]]=== ==Institucions Financeres== ===[[Riscs en el Balanç|Riscs en el balanç]]=== ====[[Risc de tipus d'interès|Risc de tipus d'interès]]==== ====[[Risc de crèdit|Risc de Crèdit]]==== ====[[Risc de Mercat|Risc de Mercat]]==== ====[[Risc operacional|Risc operacional]]==== ===[[Estructura de capital]]=== [[Facultat de Ciències Econòmiques i Empresarials| Tornar a Facultat de Ciències Econòmiques i Empresarials]] [[Category:Departaments]] [[Category:CA]] ifokcc5am3d6piuuwr2yt9mzxefh6ci 0 9957 373465 197936 2025-06-21T01:33:23Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373465 wikitext text/x-wiki [[File:Antique_cash_register.png‎|left|80px]] Els mercats monetaris son aquells mercats on les institucions financeres com bancs, caixes d'estalvis, fons d'inversió, empreses i particulars demanden i ofereixen diners a diferents terminis. Es el mercat bàsic de fluctuació de diners en el dia a dia. Un subgrup d'aquest mercat és el mercat '''interbancari''' on els participants només són institucions financeres com bancs, caixes, cooperatives d'estalvi, etc. = Esquema del mercat monetari = [[Departament de Finances|Tornar a Departament de Finances]] [[Category:Articles relacionats amb el Departament de Finances]] [[Category:CA]] 7drox6nil8jnh4u0dkhcx5ec939kexl 0 9958 373464 197937 2025-06-21T01:33:17Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373464 wikitext text/x-wiki [[File:Título deuda 1.jpg|right|120px]] [[Departament de Finances|Tornar a Departament de Finances]] [[Category:Articles relacionats amb el Departament de Finances]] [[Category:CA]] pe286rp85chlsk2dwehqgoenaf4wjav 0 9959 373462 197938 2025-06-21T01:33:01Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373462 wikitext text/x-wiki [[File:South East Asia Exchange Rates (6031878489).jpg|right|200px]] [[Departament de Finances|Tornar a Departament de Finances]] [[Category:Articles relacionats amb el Departament de Finances]] [[Category:CA]] 13soroz7fnqhkjruezmvl702jny313s 0 9960 373463 198678 2025-06-21T01:33:09Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373463 wikitext text/x-wiki [[Departament de Finances|Tornar a Departament de Finances]] [[Category:Articles relacionats amb el Departament de Finances]] [[Category:CA]] l3bqngzyg5o9fb9s531ontsqi74bzo1 0 9961 373461 198679 2025-06-21T01:32:41Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373461 wikitext text/x-wiki [[Departament de Finances|Tornar a Departament de Finances]] [[Category:Articles relacionats amb el Departament de Finances]] [[Category:CA]] l3bqngzyg5o9fb9s531ontsqi74bzo1 0 10118 373495 287773 2025-06-21T01:39:47Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373495 wikitext text/x-wiki Les matemàtiques, en poques paraules, són la base de tot, per exemple, comptar és una cosa que la gent necessita habitualment a la vida quotidiana. Tan sigui per aquesta com per moltes altres, les matemàtiques són indispensables per la vida. Les matemàtiques es poden classificar en diferents blocs: * [[Aritmètica]] * [[Àlgebra]] * [[Geometria]] * [[Funcions]] * [[Estadística i Probabilitat]] Cada bloc conté temes diferents. Per exemple, l'àlgebra és tot el tema relacionat amb les equacions, que a la vegada conté unes subdivisions segons quin tipus de matèria s'hi expliqui. [[Category:Escola secundària]] [[Category:Matemàtiques]] [[Category:CA]] 1j9llzfg3qwfia1uqfgantw5l6g0zms 4 10709 373452 372232 2025-06-20T23:55:47Z Aca 34292 /* Update to Template:Main page */ new section 373452 wikitext text/x-wiki __NEWSECTIONLINK__ [[el:Βικιεπιστήμιο:Σημειωματάριο_επιστατών]] [[cs:Wikiverzita:Nástěnka správců]] [[en:Wikiversity:Request custodian action]] [[fr:Wikiversité:Requêtes aux administrateurs]] [[hi:विकिविश्वविद्यालय:प्रबंधक_नोटिसबोर्ड]] [[it:Wikiversità:Richieste agli amministratori]] [[ja:Wikiversity:用務員/伝言板]] [[pt:Wikiversidade:Pedidos a administradores]] [[ru:Викиверситет:Запросы действий хранителей]] [[zh:Wikiversity:管理员通告板]] {{Languages|Wikiversity:Request custodian action}} {{Browse | en = Request custodian action | fr = Requêtes pour les {{Mediawiki:group-sysop-member/fr}} | ja = 用務員伝言板 | ru = Запросы действий хранителей | sv = Begäran om hjälp från Custodian | diq = Xizmetkaran ra waştışe gurwan | tr = Hizmetliden yardım talepleri }} <div style="float:right;"> ;Discussion archive: [[/archive]]</div> == Bad translations == It seems that [[User:TG-article]] is doing a rather bad job at translating things. There are two pages they have fully translated. [[Wikiversity:Secondary research/pdc]] is meant to be written in Pennsylvania Dutch, instead it's a carbon copy of the Standard German version. And [[Wikiversity:Language select/it]] seems to be a machine translation of the Spanish version (given it uses ''idioma'' in place of ''lingua'' for "language"). The rest of their "translations" are limited to translating some headings. I think these "contributions" should be deleted. Besides, the user is already banned on several wikis; clearly, some sanctions are due here as well. Pinging {{ping|ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|Sotiale}} [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 21:07, 1 April 2025 (UTC) :{{ping|ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ}} thank you. Please delete their "translations" too. Meta-Wiki had the same issue, and they've already nuked those. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 22:10, 1 April 2025 (UTC) :Temporarily blocked the user from pages in the Wikiversity namespace. Currently, I am not a translation administrator. For the remaining actions, we will need to wait for a [[Wikiversity:Translation administrators|translation administrator]]. -- [[File:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ.png|75px|link=User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|]]([[User_talk:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|talk]]) 22:12, 1 April 2025 (UTC) ::Apologies, I didn't realise only translation admins could do this. Asked Minorax on Meta. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 22:21, 1 April 2025 (UTC) :::It appears that there are no active [[Wikiversity:Translation administrators|Translation administrators]] on this platform. As per the guidelines, I will designate myself as a translation administrator and proceed to clear the queue. --[[File:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ.png|75px|link=User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|]]([[User_talk:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|talk]]) 21:08, 4 April 2025 (UTC) ::::{{Done}} [[File:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ.png|75px|link=User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|]]([[User_talk:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|talk]]) 21:46, 4 April 2025 (UTC) == [[Wikiversity:Nospam]] == Old maintenance page that is no longer needed. Unfortunately it's protected so I can't place a template. Please delete it together with the subpage. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 23:19, 5 April 2025 (UTC) : {{done}}. --[[User:Sotiale|Sotiale]] ([[User talk:Sotiale|talk]]) 15:05, 12 April 2025 (UTC) == [[Wikiversity:Protected against recreation]] == Same as above. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 23:36, 5 April 2025 (UTC) : {{done}}. --[[User:Sotiale|Sotiale]] ([[User talk:Sotiale|talk]]) 15:06, 12 April 2025 (UTC) == Old experimental templates == * [[Wikiversity:Td]] * [[Wikiversity:Tda]] * [[Wikiversity:Tdb]] * [[Wikiversity:Tdc]] Very obvious candidates for deletion. Please get rid of them, as well as their subpages and [[User:Countrymike/Beach]]. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 00:18, 6 April 2025 (UTC) :Additions: :* [[Wikiversity:Threaded discussion plain]] :* [[Wikiversity:Threaded discussions with NavFrames with subst/preload]] :[[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 00:21, 6 April 2025 (UTC) : Done. --[[User:Sotiale|Sotiale]] ([[User talk:Sotiale|talk]]) 15:12, 12 April 2025 (UTC) == Vandal == {{user|Ufukgöçmensartmahmut}} Block the user, nuke the content. @[[User:Sotiale|Sotiale]], @[[User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ]]. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 18:25, 14 May 2025 (UTC) :{{Done}} -- [[File:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ.png|75px|link=User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|]]([[User_talk:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|talk]]) 22:59, 14 May 2025 (UTC) == Promotion account == {{user|Binoy raba}} This account has been promoting some Indian footballer, see [[Mahroos siddiquee Nadim]]. @[[User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ]] please block offenders indefinitely, or at least for longer than 1 day. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 07:58, 15 May 2025 (UTC) :{{Done}} -- [[File:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ.png|75px|link=User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|]]([[User_talk:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|talk]]) 23:28, 15 May 2025 (UTC) == Update to [[Template:Main page]] == Hello! Serbian and Croatian main pages were recently translated and unified under Serbo-Croatian. This is done in accordance with the comments within the Language Committee ([https://lists.wikimedia.org/hyperkitty/list/langcom@lists.wikimedia.org/message/WDDBCEA7VZPZ6GBRP74AIS4UN7PQXEWA/ mailing list]). According to modern linguistic science, Serbo-Croatian is considered a pluricentric language with four mutually intelligible standard varieties. There is no reason to separate these standard varieties when it comes to content, and, in line with the new [[meta:Language proposal policy|Language proposal policy]], separate variants will not be approved. Therefore, the links listed below (currently redirects) should be removed. First link: <pre><!-- hr -->[[Glavna stranica|{{#language:hr}}]] |</pre> Second link: <pre><!-- sr -->[[Главна страна|{{#language:sr}}]] |</pre> Thank you in advance, [[User:Aca|Aca]] ([[User talk:Aca|talk]]) 23:55, 20 June 2025 (UTC) l87sm57h7sluorag1qv4u47dxlyxy4b 373458 373452 2025-06-21T01:18:47Z AtUkr 17909 /* Unused States of Wikiversities pages */ new section 373458 wikitext text/x-wiki __NEWSECTIONLINK__ [[el:Βικιεπιστήμιο:Σημειωματάριο_επιστατών]] [[cs:Wikiverzita:Nástěnka správců]] [[en:Wikiversity:Request custodian action]] [[fr:Wikiversité:Requêtes aux administrateurs]] [[hi:विकिविश्वविद्यालय:प्रबंधक_नोटिसबोर्ड]] [[it:Wikiversità:Richieste agli amministratori]] [[ja:Wikiversity:用務員/伝言板]] [[pt:Wikiversidade:Pedidos a administradores]] [[ru:Викиверситет:Запросы действий хранителей]] [[zh:Wikiversity:管理员通告板]] {{Languages|Wikiversity:Request custodian action}} {{Browse | en = Request custodian action | fr = Requêtes pour les {{Mediawiki:group-sysop-member/fr}} | ja = 用務員伝言板 | ru = Запросы действий хранителей | sv = Begäran om hjälp från Custodian | diq = Xizmetkaran ra waştışe gurwan | tr = Hizmetliden yardım talepleri }} <div style="float:right;"> ;Discussion archive: [[/archive]]</div> == Bad translations == It seems that [[User:TG-article]] is doing a rather bad job at translating things. There are two pages they have fully translated. [[Wikiversity:Secondary research/pdc]] is meant to be written in Pennsylvania Dutch, instead it's a carbon copy of the Standard German version. And [[Wikiversity:Language select/it]] seems to be a machine translation of the Spanish version (given it uses ''idioma'' in place of ''lingua'' for "language"). The rest of their "translations" are limited to translating some headings. I think these "contributions" should be deleted. Besides, the user is already banned on several wikis; clearly, some sanctions are due here as well. Pinging {{ping|ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|Sotiale}} [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 21:07, 1 April 2025 (UTC) :{{ping|ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ}} thank you. Please delete their "translations" too. Meta-Wiki had the same issue, and they've already nuked those. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 22:10, 1 April 2025 (UTC) :Temporarily blocked the user from pages in the Wikiversity namespace. Currently, I am not a translation administrator. For the remaining actions, we will need to wait for a [[Wikiversity:Translation administrators|translation administrator]]. -- [[File:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ.png|75px|link=User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|]]([[User_talk:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|talk]]) 22:12, 1 April 2025 (UTC) ::Apologies, I didn't realise only translation admins could do this. Asked Minorax on Meta. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 22:21, 1 April 2025 (UTC) :::It appears that there are no active [[Wikiversity:Translation administrators|Translation administrators]] on this platform. As per the guidelines, I will designate myself as a translation administrator and proceed to clear the queue. --[[File:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ.png|75px|link=User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|]]([[User_talk:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|talk]]) 21:08, 4 April 2025 (UTC) ::::{{Done}} [[File:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ.png|75px|link=User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|]]([[User_talk:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|talk]]) 21:46, 4 April 2025 (UTC) == [[Wikiversity:Nospam]] == Old maintenance page that is no longer needed. Unfortunately it's protected so I can't place a template. Please delete it together with the subpage. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 23:19, 5 April 2025 (UTC) : {{done}}. --[[User:Sotiale|Sotiale]] ([[User talk:Sotiale|talk]]) 15:05, 12 April 2025 (UTC) == [[Wikiversity:Protected against recreation]] == Same as above. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 23:36, 5 April 2025 (UTC) : {{done}}. --[[User:Sotiale|Sotiale]] ([[User talk:Sotiale|talk]]) 15:06, 12 April 2025 (UTC) == Old experimental templates == * [[Wikiversity:Td]] * [[Wikiversity:Tda]] * [[Wikiversity:Tdb]] * [[Wikiversity:Tdc]] Very obvious candidates for deletion. Please get rid of them, as well as their subpages and [[User:Countrymike/Beach]]. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 00:18, 6 April 2025 (UTC) :Additions: :* [[Wikiversity:Threaded discussion plain]] :* [[Wikiversity:Threaded discussions with NavFrames with subst/preload]] :[[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 00:21, 6 April 2025 (UTC) : Done. --[[User:Sotiale|Sotiale]] ([[User talk:Sotiale|talk]]) 15:12, 12 April 2025 (UTC) == Vandal == {{user|Ufukgöçmensartmahmut}} Block the user, nuke the content. @[[User:Sotiale|Sotiale]], @[[User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ]]. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 18:25, 14 May 2025 (UTC) :{{Done}} -- [[File:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ.png|75px|link=User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|]]([[User_talk:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|talk]]) 22:59, 14 May 2025 (UTC) == Promotion account == {{user|Binoy raba}} This account has been promoting some Indian footballer, see [[Mahroos siddiquee Nadim]]. @[[User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ]] please block offenders indefinitely, or at least for longer than 1 day. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 07:58, 15 May 2025 (UTC) :{{Done}} -- [[File:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ.png|75px|link=User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|]]([[User_talk:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|talk]]) 23:28, 15 May 2025 (UTC) == Update to [[Template:Main page]] == Hello! Serbian and Croatian main pages were recently translated and unified under Serbo-Croatian. This is done in accordance with the comments within the Language Committee ([https://lists.wikimedia.org/hyperkitty/list/langcom@lists.wikimedia.org/message/WDDBCEA7VZPZ6GBRP74AIS4UN7PQXEWA/ mailing list]). According to modern linguistic science, Serbo-Croatian is considered a pluricentric language with four mutually intelligible standard varieties. There is no reason to separate these standard varieties when it comes to content, and, in line with the new [[meta:Language proposal policy|Language proposal policy]], separate variants will not be approved. Therefore, the links listed below (currently redirects) should be removed. First link: <pre><!-- hr -->[[Glavna stranica|{{#language:hr}}]] |</pre> Second link: <pre><!-- sr -->[[Главна страна|{{#language:sr}}]] |</pre> Thank you in advance, [[User:Aca|Aca]] ([[User talk:Aca|talk]]) 23:55, 20 June 2025 (UTC) == Unused States of Wikiversities pages == Heyo, another batch of pages for deletion. * [[States of Wikiversities/Translat12]] * [[States of Wikiversities/IY]] * [[States of Wikiversities/Historical record/2]] * [[States of Wikiversities/Historical record/IY]] * [[States of Wikiversities/Open]] * [[States of Wikiversities/Footer]] * [[States of Wikiversities/Header]] * [[States of Wikiversities/Historical record/Header]] * [[States of Wikiversities/Historical record/Footer]] * [[States of Wikiversities/Historical record/Localization]] * [[Template:States of Wikiversities/IY]] * [[Template:States of Wikiversities/Localization]] * [[Template:States of Wikiversities/NE]] * [[Template:States of Wikiversities/Project]] * [[Template:Contrib12]] * [[Template:Contrib3]] * [[Template:Contrib6]] [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 01:18, 21 June 2025 (UTC) 6x7iw7ua3zcgbjbqi7z50q0wqj1qm1l 0 10738 373487 126403 2025-06-21T01:39:07Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373487 wikitext text/x-wiki L'escola d'idiomes, com el seu nom indica és un projecte per tal de que els usuaris puguin aprendre algun idioma de la llista o si més no puguin tenir unes bases i també exemples sobre l'idioma en qüestió. Heus aquí una llista de les escoles que es proposa que hi hagi (lògicament es podran fer tants canvis com calguin): == Llengües que es parlen als mateixos llocs on es parla català == * [[Escola de català]] * [[Escola de castellà]] * [[Escola d'italià]] * [[Escola de francès]] * [[Escola de sard]] * [[Escola d'occità]] == Altres llengües estrangeres == * [[Escola d'anglès]] * [[Escola de xinès]] * [[Escola d'alemany]] * [[Escola de rus]] == Llengües clàssiques == * [[Escola de llatí]] * [[Escola de grec clàssic]] [[Category:Escola d'idiomes]] [[Category:CA]] getu3f4mxobkkkkgjwu7upkl6uraw3t 0 10918 373491 61183 2025-06-21T01:39:34Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373491 wikitext text/x-wiki ==Introducció i presentació== Aquesta escola es dedicarà a l'apartat d'educació primària que correspon als alumnes, les edats dels quals oscil·len entre els 6 anys i els 12 anys. L'estructurarem en tres cicles, ([[Escola_primària#Primer_cicle|1er]], [[Escola_primària#Segon_cicle|2on]] i [[Escola_primària#Tercer_cicle|3er]]) ==Apartats aliens a l'escola en qüestió implicats== ==Plà d'estudis== ===Primer cicle=== ====Primer==== *Matemàtiques I: els nombres, els conjunts numèrics, la suma/resta i la multiplicació/divisió. *Llengua I: Català. *Ciències de la naturalesa I: animals. *Coneixement del medi I: Senyalacions viàries. *Llengua forana Anglès I: Els nombres, els noms, verbs i pronoms. *Música I: Notes musicals i instruments musicals. *Dibuix I: Primers contactes. *Informàtica I: Coneixent i familiaritzant-se amb l'ordinador (maquinari i programari) *Llengua forana castellà I: Els nombres, els noms, verbs i pronoms, i primers contactes amb els [[textos en castellà]]. ====Segon==== *Matemàtiques II: Conjunts, restes. *Llengua II: Català. *Ciències de la naturalesa II: *Llengua forana Angès II: Noms, pronoms, verbs... *Música II: Apreciació musical, rítmica i estils musicals. *Dibuix II: Geometria bàsica. Dibuix artístic a llapis. *Llengua forana Castellà: Els noms, pronoms, verbs... *Informàtica II: Internet i multimèdia. ===Segon cicle=== ====Tercer==== *Matemàtiques III: Les taules de multiplicar, la multiplicació i la divisió. *Llengua III: Català. *Ciències de la naturalesa III: Botànica. *Llengua forana Anglès III: La oració. *Música III: Claus, armonia i cercles armònics. *Dibuix III: Perspectiva caballera. Coloreado *Informàtica III: Openoffice (Writer e Impress). *Llengua forana Castellà III: La oració. ====Quart==== *Matemàtiques IV: Divisió de diverses xifres, fraccions i resolució de problemes bàsics de la vida diària. *Llengua IV: Català. *Ciències de la naturalesa IV: Física (gravetat i termodinàmica). *Llengua forana Anglès IV: Assaig. *Música IV: Percussió. *Dibuix IV: Geometri. Dibuix de l'ésser humà. *Informàtica IV: Programació en gambes. *Llengua fornana Castellà IV: Assaig. ===Tercer cicle=== ====Cinquè==== *Matemàtiques V: matemàtica pràctica, i el seu ús en comptabilitat, física, clima... *Llengua V: Català. *Ciències de la naturalesa V: Països *Llengua forana Anglès V: Redacció. *Música V: Guitarra. *Dibuix V: Pintura *Informàtica V: Fotografia digital, retoc i edició d'imatges. *Llengua forana castellà VI: redacció ====Sisè==== *Matemàtiques VI: arrel quadrada, potències i àlgebra bàsica. *Llengua VI: Català. *Ciències de la naturalesa VI: el sistema solar, biologia. *Llengua forana anglès VI: Spelling. *Música VI: Flauta, producción analògica i digital. *Dibuix VI: representació del medi. *Llengua forana castellà VI: Cièncias. *Informàtica VI: Edició d'audio i video (audacity i cinelerra). [[Escola_secundària|Anar cap a educació secundària]] [[category:Escola Primària]] [[Category:CA]] 31u7ibbl3krem1jy6rlwssq22xqw6db 0 12044 373477 61139 2025-06-21T01:38:04Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373477 wikitext text/x-wiki =Apartats= *[[Apartat d'Arquitectura i Tecnologia de Computadores]] *[[Apartat de Cièncias de la Computació i Intel·ligencia Artificial]] *[[Apartat d'Estadística i Investigació Operativa]] *[[Apartat de Física Aplicada]] *[[Apartat d'Informàtica i Societat]] *[[Apartat de Llenguatge i Sistemes Informàtics]] *[[Apartat de Matemàtica Aplicada]] *[[Apartat d'Organització Industrial i Gestió d'Empreses]] *[[Apartat de Tecnologia Electrònica]] =Plans d'Estudis= * [[Escola d'Enginyeria Informàtica/Enginyer en Informàtica|Enginyer en Informàtica]] (10 semestres) * [[Escola d'Enginyeria Informàtica/Enginyer Tècnic en Informàtica de Sistemes|Enginyer Tècnic en Informàtica de Sistemes]] (6 semestres) * [[Escola d'Enginyeria Informàtica/Enginyer Tècnic en Informàtica de Gestió|Enginyer Tècnic en Informàtica de Gestió]] (6 semestres) * [[Escola d'Enginyeria Informàtica/ Grau en Enginyeria Informàtica|Grau en Enginyeria Informàtica]] (8 semestres) [[Category:Departaments]] [[Category:CA]] lpnisf9jgpqquntxpsc8pjazqtcsck5 0 12045 373460 194219 2025-06-21T01:32:18Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373460 wikitext text/x-wiki Aquest departament és part de del [[Departament d'Enginyeria Informàtica]]. == Presentació del departament == [[File:Codecity.jpg|thumb|200px|right|Realitat Virtual]] Benvingut al [[Departament de Llenguatges i Sistemes Informàtics]]. En aquests departament s'estudien i s'investiguen aquelles àrees relacionades amb els llenguatges de programació, i els diferents sistemes de processats de dades. Se subdivideix en vuit àrees de coneixement que abarquen des dels fonaments de programació en un pseudo-llenguatge algorítmic per aproximar al lector al paradigma de la programació imperativa, fins el procés d'enginyeria del programari passant per l'estudi de les bases teòriques dels S.O., dels diferents sistemes de processat de dades (bases de dades, compiladors, etc...) i de diversos paradigmes i plataformes de programació (programació distribuida, programació web, etc...). == Àrees de coneixement == * [[Àrea de fonaments de programació]] * [[Àrea d'estructures de dades i algoritmes]] * [[Àrea de bases de dades]] * [[Àrea de sistemes operatius]] * [[Àrea de llenguatges formals i autòmats]] * [[Àrea de processadors de llenguatges]] * [[Àrea de programació distribuida]] * [[Àrea d'enginyeria del programari]] * [[Àrea d'interacció persona-ordinador]] == Cursos == === [[Àrea de fonaments de programació]] === * Curs: [[Fonaments de programació]] * Curs: [[Estructures de dades i de la informació]] * Curs: [[Tècniques de programació]] === [[Àrea d'Estructures de dades i algoritmes]] === * Curs: [[Curs d'estructures de dades i algoritmes|Estructures de dades i algoritmes]] * Curs: [[Curs d'anàlisi i diseny d'algoritmes|Anàlisi i disseny d'algoritmes]] * Curs: [[Introducció a la Criptografia]] === [[Àrea de bases de dades]] === * Curs: [[Curs de fonaments de bases de dades|Fonaments de bases de dades]] * Curs: [[Curs de disseny de bases de dades|Disseny de bases de dades]] * Curs: [[Curs de Bases de Dades XML|Bases de Dades XML]] * Curs: [[Curs de Models de Bases de Dades|Models de Bases de Dades]] === [[Àrea de sistemes operatius]] === * Curs: [[Curs de sistemes operatius|Sistemes operatius]] * Curs: [[Curs de Software ERP|Software ERP]] === [[Àrea de llenguatges formals i autòmats]] === * Curs: [[Curs de llenguatges formals i autòmats|Llenguatges formals i autòmats]] * Curs: [[Curs d'amplificació de llegnuatges formals i autòmats|Amplificació de llenguatges formals i autòmats]] === [[Àrea de processadors de llenguatges]] === * Curs: [[Curs de Processadors de Llenguatges|Processadors de Llenguatges]] === [[Àrea de programació distribuida]] === * Curs: [[Curs de programació distribuida|Programació Distribuida]] * Curs: [[Disseny Web]] * Curs: [[Curs de Disseny d'interfícies Web|Disseny d'interfícies Web]] === [[Àrea d'enginyeria del programari]] === * Curs: [[Curs d'introducció a l'enginyeria del programari|Introducció a l'enginyeria del programari]] * Curs: [[Curs d'enginyeria del programari|Enginyeria del programari]] * Curs: [[Curs d'enginyeria del programari de gestió III|Enginyeria del programari de gestió III]] [[Category:Articles relacionats amb el Departament d'Enginyeria Informàtica]] [[Category:CA]] mz4noxqkv6a14agestz49oe2n2xd08r 0 12058 373490 61177 2025-06-21T01:39:30Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373490 wikitext text/x-wiki =Escola preuniversitària/Batxillerat= == Àrees del coneixement == Les diferents àrees de coneixement que s'aconsegueixin usar aquí es divideixen en quatre mòduls generals. S'ha de recordar que el que es pretén és donar una idea del que serà la formació universitària en sí, la qual cosa implica a que les diferents àrees estiguin moderades en quant el contingut. Així dons, aquestes són les àrees. #Àrea de ciències fisico-matemàtiques. #Àrea de ciències socials i humanitats. #Àrea de ciències de la salut i biològiques. #Àrea de coneixements tecnològics. ==Àrea fisico-matemàtica== L'objectiu d'aquesta àrea és proporcionar a l'estudiant un coneixement general dels principis bàsics de les matemàtiques i la física, així com la seva vinculació amb diverses àrees. ;[[Matemàtiques I]] ;[[Física I]] ;[[Química I]] ;[[Matemàtiques II]] ;[[Física II]] ;[[Química II]] ===Departaments=== [[Departament_de_Matemàtica|Departament de Matemàtiques]] [[Departament_de_Cièncias_Físicas|Departament de Física]] [[Departament_de_Química|Departament i Facultat de Química]] ==Àrea de ciències de la salut i biològiques== L'objectiu d'aquesta àrea és proporcionar a l'estudiant un coneixement general i fonamental dels principis bàsics de la biologia, així com la seva vinculació amb diverses carreres. ;[[Biologia I]] ;[[Ciències de la Terra I]] ==Informàtica== En l'actualitat és indispensable un coneixement bàsic d'informàtica pel desenvolupament de qualsevol professió i previament a l'ingrés a la universitat és necessari contar amb aquestes eines per una bona funcionalitat en els processos d'aprenentatge ;[[Llenguatges de programació]] ;[[Programari lliure]] __NOTOC__ ==Departaments implicats== *[[Faculta de Música]] [[Category:Escola Preuniversitària]] [[Category:CA]] d1qcck2hrtbho45vkrtfp2ssqawihrf 0 12060 373484 364941 2025-06-21T01:38:37Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373484 wikitext text/x-wiki <center> {|style="width:100%;margin-top:1px;background-color:#0b0b61;border:1px solid #aaaaaa" |style="width:50%;color:#fff"| {|style="width:280px;border:solid 0px;background:none" |- |style="width:280px;text-align:center;white-space:nowrap;color:#fff"| <div style="font-size:150%;border:none;margin:0;padding:.1em;color:#fff"> '''D<small>EPARTAMENT D'</small> A<small>STRONOMIA</small>'''</div> |} |style="width:20%;font-size:125%;color:#fff"| Benvinguts a l''''Escola de ciències de l'espai''' de la '''[[Portada-ca|Viquiversitat]]''' en català. |style="width:10%;font-size:125%;color:#fff"| |} </center> <div style="display:block;border:1px solid #aaaaaa;vertical-align: top;width:99%; background-color:#ffffcc;margin-bottom:10px;margin-top:5px;padding-left:5px;padding-right:4px;"> <h2 style="padding:3px; background:#ffcc00; color:#000; text-align:center; font-weight:bold; font-size:100%; margin-bottom:5px;margin-top:0;margin-left:-5px;margin-right:-4px;">Presentació</h2> [[Image:Hubble Space Telescope (27946391011).jpg|right|300px]] L''''astronomia''' (del grec ''αστρονομία = άστρον + νόμος'', etimològicament la "''llei de les estrelles''") és la ciència que s'ocupa de l'estudi dels cossos celestes, els seus moviments, els fenòmens associats a ells, el seu registre i el seu origen a partir de linformació que ens arriba d'ells mateixos en forma de radiació electromagnètica o a través de qualsevol altre medi. L'astronomia ha estat lligada a l'ésser humà des de l'antiguitat i totes les civilitzacions han tingut contacte amb aquesta ciència. Personatges com Aristòtil, Tales de Milet, Anaxàgores, Ptolomeu, Copèrnic, Sant Tomàs d'aquí, Brahe, Kepler, Gal·lileu, Newton, Kant, Kirchhof i Einstein han estat alguns dels seus cultivadors. És una de les poques ciències amb les que els aficionats encara poden desenvolupar un paper actiu, especialment amb el descobriment i el posterior seguiment de fenomens com corbes de llum d'estrelles variables, nous asteroides i cometes, etc. No s'ha de confondre l'astronomia amb l'astrologia, ja que, encara que ambdues comparteixin un origen comú, són MOLT diferents. L'astronomia és una ciència: els astrònoms procedeixen d'acord amb el mètode científic. I en canvi, l'astrologia, que s'ocupa de la suposada influència dels astres en la vida dels homes, és una pseudociència: els astròlegs segueixen un sistema d'hipòtesis científicament no provades. </div> =Panell d'anuncis= ''Aquí es mostra una sèrie de notícies relacionades amb l'astronomia'' =Àrees= ''Aquí es mostren les àrees de l'escola de ciències de l'espai'' =Projectes d'aprenentatge= ''Aquí es mostra una llista dels projectes d'aprenentatge actius o ja finalitzats dels departament d'astronomia =Recursos didàctics= ''Aquí es mostra una llista de '''recursos didèctics relacionats''' amb l'escola de ciències de l'espai.'' *[[Biblioteca de l'Escola de Ciències de l'Espai]] [[Category:Departaments]] [[Category:CA]] pq8zr023mqronbjoxwn63car8l98zfz 0 12061 373478 61226 2025-06-21T01:38:08Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373478 wikitext text/x-wiki <center> {|style="width:100%;margin-top:1px;background-color:#04b404;border:1px solid #aaaaaa" |style="width:50%;color:#fff"| {|style="width:280px;border:solid 0px;background:none" |- |style="width:280px;text-align:center;white-space:nowrap;color:#fff"| <div style="font-size:150%;border:none;margin:0;padding:.1em;color:#fff"> '''D<small>EPARTAMENT DE</small> B<small>IOLOGIA</small>'''</div> |} |style="width:20%;font-size:125%;color:#fff"| Bienvinguts al '''Departament de Biologia''' de la '''[[Portada-ca|Viquiversitat]]''' en català. |style="width:10%;font-size:125%;color:#fff"| |} </center> <div style="display:block;border:1px solid #aaaaaa;vertical-align: top;width:99%; background-color:#ffffcc;margin-bottom:10px;margin-top:5px;padding-left:5px;padding-right:4px;"> <h2 style="padding:3px; background:#ffcc00; color:#000; text-align:center; font-weight:bold; font-size:100%; margin-bottom:5px;margin-top:0;margin-left:-5px;margin-right:-4px;">Presentació</h2> [[Image:Trees and sunshine.JPG|right|300px]] La '''biologia''' (del grec «βιος» ''bios'', vida, i «λóγος» ''logos'', raonament, estudi, ciència) és una rama de les ciències naturals que té com objecte d'estudi els éssers vius, i més específicament el seu origen, evolució, característiques i comportament. La biologia s'ocupa tant de la descripció dels éssers vius a nivell individual com de les espècies en el seu conjunt, així com de les intereccions entre ells i l'entorn. D'aquesta manera, tracta d'estudiar l'estructura i la dinàmica funcional comunes a tots els organismes vius, amb el fi de'establir les lleis generals que regeixen la vida orgànica i els principis explicatius fonamentals d'aquesta. </div> =Panell d'anuncis= ''Aquí es mostra una sèrie de '''notícies''' relacionades amb el departament de biologia'' =Àrees= ''La seüent llista mostra les '''àrees'' que pertanyen al departament de biologia.'' *[[Biofísica]] *[[Bioinformàtica]] *[[Biologia cel·lular]] *[[Biologia de la conservació]] *[[Biologia deldesenvolupament]] *[[Biologia de sistemes]] *[[Biologia general]] *[[Biologia marina]] *[[Biologia mol·lecular]] *[[Bioquímica]] *[[Botànica]] *[[Ecologia]] *[[Etologia]] *[[Evolució]] *[[Exobiologia]] *[[Fisiologia]] *[[Genètica]] *[[Inmunologia]] *[[Microbiologia]] *[[Neurobiologia]] *[[Zoologia]] =Projectes d'aprenentatge= ''Aquí es mostra una llista dels '''projectes d'aprenentatge''' acius o ja finalitzats del departament de biologia.'' * [[Biologia Evolutiva de l'home]] * [[Entomologia Ambiental i Aplicada]] * [[Ictiologia aplicada]] * [[Zoologia aplicada de vertebrats terrestres]] * [[Zoologia d'Artròpodes]] * [[Geobotànica]] =Recursos didàctics= ''Aquí es mostra una sèrie de '''recursos didàctics''' relacionats amb el departament de biologia.'' * [[Biblioteca del Departament de Biologia]] [[Category:Departaments]] [[Category:CA]] imt97ewtz2s2w6tmux0cmm5olrec2bw 0 12077 373479 61796 2025-06-21T01:38:11Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373479 wikitext text/x-wiki <center> {|style="width:100%;margin-top:1px;background-color:#0b0b61;border:1px solid #aaaaaa" |style="width:50%;color:#fff"| {|style="width:280px;border:solid 0px;background:none" |- |style="width:280px;text-align:center;white-space:nowrap;color:#fff"| <div style="font-size:150%;border:none;margin:0;padding:.1em;color:#fff"> '''D<small>EPARTAMENT DE</small> C<small>ÈNCIES</small> A<small>MBIENTALS</small>'''</div> |} |style="width:20%;font-size:125%;color:#fff"| Benvinguts al departament de ciències ambientals ''' de la '''[[Portada-ca|Viquiversitat]]''' en català. |style="width:10%;font-size:125%;color:#fff"| |} </center> <div style="display:block;border:1px solid #aaaaaa;vertical-align: top;width:99%; background-color:#ffffcc;margin-bottom:10px;margin-top:5px;padding-left:5px;padding-right:4px;"> <h2 style="padding:3px; background:#ffcc00; color:#000; text-align:center; font-weight:bold; font-size:100%; margin-bottom:5px;margin-top:0;margin-left:-5px;margin-right:-4px;">Presentació</h2> [[Image:Nuvola_mimetypes_html.png|128px|left]] Aquest departament reuneix tots aquells professors de la Viquiversitat interessats en els coneixements relacionats específicament amb les ciències ambientals, un àmbit integrador i multidisciplinari que pretén coneixer millor el món en el què vivim i com podem actuar per conservar-lo en el millor estat possible. El departament de Ciències Ambientals organitzarà cursos per a la facultat de Ciències Ambientals, però donat el seu caràcter multidisciplinari podria arribar a oferir cursos en altres facultats o escoles o col·laborar en cursos d'altres estudis, i no solament en els de Grau en Ciències ambientals. </div> =Present a:= '''Facultats:''' *[[Faculta de Ciències Ambientals]] '''Projectes d'Aprenentatge:''' *[[Grau en Ciències Ambientals]] </div> </div> =Panell d'anuncis= =Cursos organitzats pel Departament= *'''[[Grau en Ciències Ambientals]]''' *'''Altres cursos''' **[[Cambi Climàtic]] **[[Protocol de Kyoto]] **[[Forat de la Capa d'Ozó]] **[[Gasos d'efecte hivernacle]] </div> </div> =Recursos= '''Webs de referència''' [[Category:Departaments]] [[Category:CA]] ra0m9kh4fi0037rxaxzyvl95yfxrnkz 0 12078 373480 61795 2025-06-21T01:38:17Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373480 wikitext text/x-wiki <center> {|style="width:100%;margin-top:1px;background-color:#0404b4;border:1px solid #aaaaaa" |style="width:50%;color:#000"| {|style="width:280px;border:solid 0px;background:none" |- |style="width:280px;text-align:center;white-space:nowrap;color:#000"| <div style="font-size:150%;border:none;margin:0;padding:.1em;color:#000"> '''D<small>EPARTAMENT</small> D<small>E</small> C<small>iències</small> F<small>ÍSIQUES</small>'''</div> |} |style="width:20%;font-size:125%;color:#000"| Benvinguts al '''Departament de Ciències Físiques''' de la [[Pàgina principal|Viquiversitat]] en català. |style="width:10%;font-size:125%;color:#000"| |} </center> <div style="display:block;border:1px solid #aaaaaa;vertical-align: top;width:99%; background-color:#ffffcc;margin-bottom:10px;margin-top:5px;padding-left:5px;padding-right:4px;"> <h2 style="padding:3px; background:#ffcc00; color:#000; text-align:center; font-weight:bold; font-size:100%; margin-bottom:5px;margin-top:0;margin-left:-5px;margin-right:-4px;">Presentació</h2> [[Image:Magnetosphere rendition.jpg|right|600px]] La '''Física''' (del grec «φυσικός», ''physĭca'', natural, plural de «φύσις», ''physis'', natura) és al ciència que estudia les propietats de la matèria, l'energia, l'espai i el temps, així com le sinteraccions que es donen entre ells La física és una de les disciplines acadèmiques més antigues, sorgida fa mils d'anys, potser a arrel de l'astronomia. Tot i això, des de fa uns pocs segles, la física habia estat considerada com sinònim de la filosofia, química, matemàtica o biologia; però a partir de la revolució científica del s. XVI va ressorgir per convertir-se en una ciència moderna única en el seu propi dret. Inclús així, avui en dia, en algunes esferes, com la física matemàtica o la física química, els límits de la física segueixen éssent difícils de distingir. La física no és només una ciència teòrica, és també una ciència experimental. Com tota ciència, busca que les seves conclusions puguin ser verificables mitjançant experiments i que la teoria pugui servir com a base per a realitzar prediccions sobre aconteixements futurs. Donadal'amplitud del camp d'estudi de la física, així com el seu desenvolupament històric en comparació amb altres ciències, se la pot considerar una ciència fonamental o central, ja que inclou dins del seu camp d'estudi, a la química, la biologia i la geologia, entre altres disciplines, a més a més d'explicar els fenòmens que els són propis a aquestes. </div> =Plà d'estudis= ''Aquí es mostra una sèrie de '''feines per fer''' relacionades amb el departament de física #Preparació i millora de la pàgina principal. #Per cada curs preparar: ##Un resum mínim del tema ##Un esbós del temari ##Bibliografia convencional i enllaços a les pàgines relacionades a la Viquipèdia #Reviasar i millorar el material enllaçat a la Viquipèdia #Preparar, si es tenen suficients coneixements, Viquillibres pels cursos =Àrees= ''Aquí es mostren les '''àrees''' que pertanyen al departament''. * [[Física estadística]] * [[Astrofísica]] * [[Biofísica]] * [[Geofísica]] * [[Quimicofísica]] * [[Física de partícules]] ** [[Física nuclear]] ** [[Física atòmica]] ** [[Física mol·lecular]] * [[Física de la matèria condensada]] * [[Mecànica clàssica]] * [[Mecànica quàntica]] * [[Mecànica de medis continuus]] ** [[Mecànica de sòlids]] *** [[Mecànica del sòlids rígids]] *** [[Mecànica de sòlids deformables]] ** [[Mecànica de fluids]] *** [[Mecànica de gasos]] *** [[Mecànica de líquids]] * [[Cinemàtica]] * [[Termodinàmica]] * [[Magnetisme]] * [[Electrònica]] * [[Electricitat]] * [[Electromagnetisme]] ** [[Magnetostàtica]] ** [[Electrostàtica]] ** [[Electrodinàmica clàssica]] ** [[Electrodinàmica quàntica]] * [[Ona]] ** [[Òptica]] ** [[Acústica]] * [[Relativitat]] ** [[Relativitat especial]] ** [[Relativitat general]] =Projectes d'aprenentatge= ''Aquí es mostren els '''progectes d'aprenentatge''' actius o ja acabats del departament.'' * '''Introducció a l'estudi de la física''' ** [[Física general]] ** [[Lliçons de física bàsica]] ** [[Curs elemental de física]] ** [[Història de la física]] * '''Física estadística''' ** [[Àlgebra]] ** [[Aritmètica i teoria de nombres]] ** [[Geometria]] ** [[Topologia]] ** [[Estudis:estadística i probabilitat]] ** [[Estudis:anàlisis matemàtic]] ** [[Càlcul integral]] ** [[Càlcul vectorial]] ** [[Llògica matemàtica]] * '''Física teòrica''' ** [[Mecànica]] *** [[Mecànica clàssica]] *** [[Mecànica teòrica]] *** [[Mecànica de medis continuus]] *** [[Mecànica de fluids]] *** [[Mecànica:desenvolupament 1]] ** [[Cinemàtica]] ** [[Termodinàmica]] ** [[Magnetisme]] ** [[Electrònica]] ** [[Electricitat]] ** [[Electromagnetisme]] ** [[Relativitat especial]] * '''Física experimental''' ** [[Taller de física]] * '''Astrofísica''' ** ''...'' * '''Biofísica''' ** ''...'' * '''Geofísica''' ** ''...'' * '''Quimicofísica''' ** ''...'' =Recursos didàctics= ''Aquí es mostren una sèrie de '''recusrsos didàctics''' relacionats amb el departament de física.'' * [[Biblioteca del Departament de Física]] [[Category:Departaments]] [[Category:CA]] m99kbtqzbcw8r7j1s52c125w7zj8sff 0 12079 373482 266866 2025-06-21T01:38:26Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373482 wikitext text/x-wiki <center> {|style="width:100%;margin-top:1px;background-color:#0404b4;border:1px solid #aaaaaa" |style="width:50%;color:#000"| {|style="width:280px;border:solid 0px;background:none" |- |style="width:280px;text-align:center;white-space:nowrap;color:#000"| <div style="font-size:150%;border:none;margin:0;padding:.1em;color:#000"> '''D<small>EPARTAMENT</small> D<small>E</small> M<small>ATEMÀTIQUES</small>'''</div> |} |style="width:20%;font-size:125%;color:#000"| Benvinguts al '''Departament de Matemàtiques''' de la [[Pàgina principal|Viquiversitat]] en català. |style="width:10%;font-size:125%;color:#000"| |} </center> <div style="display:block;border:1px solid #aaaaaa;vertical-align: top;width:99%; background-color:#f9f9ff;margin-bottom:10px;margin-top:5px;padding-left:5px;padding-right:4px;"> <h2 style="padding:3px; background:#aaccff; color:#000; text-align:center; font-weight:bold; font-size:100%; margin-bottom:5px;margin-top:0;margin-left:-5px;margin-right:-4px;">Presentació</h2 > [[Image:Mathematicsgeneral.jpg|right|300px]] Les '''matemàtiques''' (del grec μάθημα, ''máthema'': ciència, coneixement, aprenentatge, μαθηματικóς, ''mathematikós'': amant del coneixement) és l'estudi de patrons en les estructures d'ens abstractes i en les relacions entre elles. Alguns matemàtics es refereixen a ella com la "Reina de les Ciències". Encara que les matemàtiques siguin la suposada "Reina de les Ciències", no es consideren pas a si mateixes una ciència natural. Principalment, els matemàtics defineixen i investiguen estructures i conceptes abstractes per raons purament internes a les matemàtiques, per tal com l'estudi de tals estructures podria dur, com a resultat, per exemple, a una generalització elegant, o a una eina útil per als càlculs freqüents. A més a més, molts matemàtics estudien les seves àrees de preferència simplement per raons estètiques, tractant de fet les matemàtiques com una forma d'art, no pas com una ciència pràctica i aplicada. Tot i això, les estructures que els matemàtics investiguen prou sovint tenen un origen en les ciències naturals, i moltes vegades, a més a més, s'hi poden aplicar, particularment a la física. </div> =Àrees= *[[àlgebra]] *[[Anàlisi matemàtica]] *[[Geometria]] *[[Aritmètica i teoria de nombres]] *[[Anàlisi numèric]] *[[Estadística i probabilitat]] *[[Topologia]] *[[Computació]] *[[Llògica matemàtica]] =Projectes d'aprenentatge= *[[Plans d'estudi de matemàtiques|Projectes d'aprenentatge de matemàtiques]].</br> *[[Apunts de matemàtiques|Lliçons de matemàtiques bàsiques]] =Departaments relacionats= *[[Departament de matemàtiques elementals]] *[[Departament de matemàtiques aplicades]] [[Category:Departaments]] [[Category:CA]] ij4nxc388kwim3q9mggzt5k62b28u88 0 12080 373483 61237 2025-06-21T01:38:32Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373483 wikitext text/x-wiki <center> {|style="width:100%;margin-top:1px;background-color:#04b4ae;border:1px solid #aaaaaa" |style="width:50%;color:#000"| {|style="width:280px;border:solid 0px;background:none" |- |style="width:280px;text-align:center;white-space:nowrap;color:#000"| <div style="font-size:150%;border:none;margin:0;padding:.1em;color:#000"> '''D<small>EPARTAMENT DE</small> Q<small>UÍMICA</small>'''</div> |} |style="width:20%;font-size:125%;color:#000"| Bienvinguts al '''Departament de Química''' de la '''[[Pàgina principal|Viquiversitat]]''' en català. |style="width:10%;font-size:125%;color:#000"| |} </center> <div style="display:block; border:1px solid #aaaaaa; vertical-align:top; width:99%; background-color:#ffffff; margin-bottom:10px; margin-top:5px; padding-left:5px; padding-right:5px;"> <h2 style="padding:3px; background:#04b4ae; color:#000; text-align:center; font-weight:bold; font-size:100%; margin-bottom:5px; margin-top:0; margin-left:-5px; margin-right:-5px;"> Presentació </h2> [[Image:Snow crystals.png|right|300px]] La '''Química''' (de l'árabe «كيمياء», latinitzat com ''kēme'') és la ciència que estudia l'estructura, les propietats i transformacions de la matèria, així com els canvis que aquesta exeprimenta durant les reaccions químiques i la seva relació amb l'energia. La química moderna va néixer a partir de l'alquímia després de la revolució química (s. XVIII). Les disciplines de la química estan agrupades segons la classe de matèria sota estudi o el tipus d'estudi realitzat. Entre aquestes es troba la química inorgànica, la química orgànica, la bioquímica, la fisicoquímica i la química analítica que analitza mostres de substànices tractant d'entendre la seva composició i estructura. Per últim, existeixen altres rames de la química que han emergit en els últims temps, com per exemple, la neuroquímica. =Plà d'estudis= ''Aquí es mostra una sèrie de '''feines per fer''' relacionades amb el departament de química.'' # Preparació i millora de la pàgina principal # Per cada curs preparar: ## Un resum mínim del tema ## Un esbós del temari ## Bibliografia convencional i enllaços a les pàgines relacionades de Viquipèdia # Revisar i millorar el material enllaçat de Viquipèdia # Preparar, si es tenen suficients coneixement, Viquillibres per els cursos =Àrees= ''Aquí es mostren les '''àrees''' que pertanyen al departament de química.'' * [[Bioquímica]] * [[Fisicoquímica]] * [[Química analítica]] * [[Química inorgànica]] * [[Química orgànica]] =Projectes d'aprenentatge= ''Aquí es mostra una llista dels '''projectes d'aprenentatge''' actius o finalitzats del departament de química.'' * [[Història de la Química]] * [[Experimentació química]] * [[Extracció en fase sòlida]] * [[Hidrocarburs]] * [[Química per nens]] * '''Història''' ** [[Història de la Química (-1800)]] ** [[Història de la Química (1800-1900)]] ** [[Història de la Química (1900-)]] * '''Laboratoris''' ** [[Laboratori de química analítica I]] ** [[Laboratori de química analítica II]] ** [[Laboratori de química analítica III]] =Recursos didàctics= ''Aquí es mostren una sèrie de '''recursos didàctics''' relacionats amb el departament de química.'' * [[Biblioteca del Departament de Química]] [[Category:Departaments]] [[Category:CA]] gbdgcfy49e7dtvng3nalvtu8bxrkz1g 0 12082 373475 74023 2025-06-21T01:37:54Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373475 wikitext text/x-wiki [[Image:Airplane_silhouette.png|75px|left]]<div>'''Benvinguts/des a'''</div> <div style="color:#444444;font-size:2.4em; font-variant:small-caps;"> [[Pàgina principal|V<small>iquiversitat</small>]]<span style="color:#999999; font-size:0.8em;font-variant:small-caps;">- E<small>scola d'</small>E<small>nginyeria</small></span></div> <span style="color:#444444; font-size:2.5em;font-variant:small-caps;">E<small>nginyeria</small> A<small>eronàutica</small></span> =Objetius= Aquest projecte pretén formar enginyers capaços de treballar a qualsevol àmbit de l'aeronàutica. Un enginyer aeronàutic ha de saber sobre: *Disseny, desenvolupament i comprovació d'aeronaus, naus espacials o misils. *Supervisió dels processos de producció d'aquests productes. *Disseny d'infraestructures aeroportuàries incloent-hi servidumbres aeronàutiques i projecció de trajectòries d'aproximació. *Càlcul de trajectòries, òrbites i aproximacions de naus espacials. *Investigació i desenvolupament de les noves tecnologies en els camps de l'aviació, sistemes de defensa, exploració espacial, control d'aeronaus, instruments de navegació i comunicació, i més. Possibles especialitzacions d'aquests enginyers són: *Enginyeria d'Aviació Comercial. *Enginyeria d'Aviació Militar. *Enginyeria d'Aeoronaus d'Ala Rotatòria i Aeronaus VTOL. *Enginyeria Aeroespacial. *Disseny i desenvolupament de misils i cohets. *Aeorodinàmica *Termodinàmica. *Mecànica Celeste. *Propulsió. *Acústica. *Sistemes de control. =Matèries (per curs i semestre)= ===1A=== *[[Enginyeria Aeronàutica/Fonaments Físics de l'Enginyeria Aeronàutica|Fonaments Físics de l'Enginyeria Aeronàutica]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Càlcul Infinitessimal I|Càlcul Infinitessimal I]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Àlgebra Lineal|Àlgebra Lineal]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Química|Química]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Teoria del Transport Aeri|Teoria del Transport Aeri]]. ===1B=== *[[Enginyeria Aeronàutica/Càlcul Infinitessimal II|Càlcul Infinitessimal II]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Ciència i Tecnologia de Materials|Ciència i Tecnologia de Materials]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Expressió Gràfica|Expressió Gràfica]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Física General|Física General]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Computació i Programació|Computació i Programació]]. ===2A=== *[[Enginyeria Aeronàutica/Equacions Diferencials|Equacions Diferencials]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Mecànica I|Mecànica I]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Termodinàmica|Termodinàmica]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Circuits Elèctrics|Circuits Elèctrics]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Navegació i Circulació Aèria|Navegació i Circulació Aèria]]. ===2B=== *[[Enginyeria Aeronàutica/Estadística|Estadística]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Mecànica de Fluíds|Mecànica de Fluíds]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Circuits Electrònics|Circuits Electrònics]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Teoria d'Estructures|Teoria d'Estructures]]. *[[Enginyeria Aeronàutica/Tecnologia Aeroespacial|Tecnologia Aeroespacial]]. ===3A=== *[[Enginyeria Aeronàutica/Aerodinàmica|Aerodinàmica]] *[[Enginyeria Aeronàutica/Mecànica II|Mecànica II]] *[[Enginyeria Aeronàutica/Mecànica de transferència de calor i Gasos|Mecànica de transferència de calor i Gasos]] *[[Enginyeria Aeronàutica/Mètodes Matemàtics|Mètodes Matemàtics]] *[[Enginyeria Aeronàutica/Automàtica i Control|Automàtica i Control]] *[[Enginyeria Aeronàutica/Materials Aeroespacials|Materials Aeroespacials]] [[Category:Departaments]] [[Category:CA]] tnj3c9fkpby3e4ie9cc7wxckeq89qw0 0 12484 373476 63242 2025-06-21T01:38:00Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373476 wikitext text/x-wiki [[Image:Nuvola apps ksim.png|75px|left]]<div>'''Benvinguts/des a'''</div> <div style="color:#444444;font-size:2.4em; font-variant:small-caps;"> [[Pàgina principal|V<small>iquiversitat</small>]]<span style="color:#999999; font-size:0.8em;font-variant:small-caps;">- E<small>scola d'</small>E<small>nginyeria</small></span></div> <span style="color:#444444; font-size:2.5em;font-variant:small-caps;">E<small>nginyeria</small> E<small>lectrònica</small></span> Aquí s'estudien i s'investiguen aquelles àrees relacionades amb la microelectrònica i l'electrònica, així com sistemes de xarxes i comunicacions. L''''enginyeria electrònica''' és un disciplina de l''''enginyeria''' que es relaciona amb l'emissió, comportament i efectes dels electrons (com els electrons en un tub de rajos catòdics i en els transistors) i amb els dispositius, sistemes i equips electrònics. Els temes coberts dins del camp de l'electrònica inclouen la teoria de circuits, disseny de circuits analògics i digitals, modelatge de components, electrònica de potència, enginyeria de la instrumentació, telecomunicacions, disseny de circuits semiconductors i de control entre altres Es subdivideix en dues àrees de coneixement, la primera s'encarrega de l'estudi dels principis de l'electrònica, adquisició de de dades, instrumentació i tractament digital de senyals. La segona es centra en les xarxes de computadores i sitemes de comunicació. L'''enginyeria electrònica'' és una de les carreres d'enginyeria que més camp cobreix, des del disseny de petites joguines fins a controls de motors, sistemes de vigilància, sistemes biomèdics, sistemes de control d'aeronaus, entre moltes altres coses. <br /> </div> =Plans d'Estudis= Les carreres impartides en la facultat de Tecnologia: * [[Tècnic en enginyeria electrònica]] * [[Enginyeria electrònica|Carrera d'enginyeria electrònica]] * [[Doctorat en enginyeria electrònica]] =Objetius= L'estudi de l'electrònica implica coneixements de física, química i matemàtiques. El principal objectiu d'aquesta carrera és precisament coneixer els fonaments i les aplicacions mitjançant circuits analògics i digitals A mida que es vagi avançant en els cursos, es resoldran problemes i es realitzaran simulacions; sempre tenint en compte que aquestes són idealitzades, per tant, al desenvolupar un circuit el dissenyarem de manera robusta. Un altre dels objectius és l'ús correcte d'instruments de medició i lectura de dades tècniques, coneixement dels elements elextrònics (resistències, capacitadors, inductors). Les comunicacions electròniques són un ampli camp fonamentat especialment en l'analisis de senyals mitjançant transformades de Fourier i últimamament utilitzant Wavelets, per tant haurem de tenir molta base matemàtica. El nostre objectiu serà el desenvolupament de simulacions i aplicacions pràctiques d'aquests sistemes. =Disciplines= * [[Electrònica]] * [[Sistemes de Potència]] * [[Teoria de Control]] * [[Processament de Senyal]] * [[Comunicacions Analògiques]] * [[Comunicacions Digitals]] * [[Comunicacions RF]] * [[Electromagnetisme]] * [[Telecomunicacions]] * [[Òptica]] * [[Microsistemes o Nanosistemes]] * [[Biomedicina]] * [[Robòtica]] [[Category: Departaments]] [[Category:CA]] qr82ovqhj1z81gxry1nqalc7gc1ypsk 0 13688 373494 101427 2025-06-21T01:39:44Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373494 wikitext text/x-wiki == WEBQUEST: EL NOM DE LA ROSA == ==== INTRODUCCIÓ ==== Umberto Eco va publicar [[wikipedia:es:El_nombre_de_la_rosa%20el%201980|Il nome de la rosa]]. És una novel·la ambientada en el turbulent ambient religiós del segle XIV, en una abadia dels Alps Italians. El gran èxit de la novel·la féu que el francès Jean-Jacques Annaud en fes una versió cinematogràfica el 1986. Un cop hem vist la pel·lícula haureu d'investigar sobre la època i les disputes teològiques que es dónen al segle XIV. ==== PROCÉS ==== Per realitzar la tasca és necessari respondre les següents preguntes: # 1.- Què és l'augustinisme polític? # 2.- Quan es van fundar les primeres universitats? # 3.- Quines són les demostracions sobre l'existència de Déu proporcionades per Sant Anselm i Sant Tomàs? En què es basen? # 4.- En aquest moment hi ha un conflicte ideològic entre fe i raó. Per què va ser propiciat? # 5.- El personatge de Fra Guillem està basat en Guillem d'Ockham. Busca informació sobre aquest filòsof i digues quines són les característiques filosòfiques que el diferencien dels altres monjos. Què significa “la navalla d'Ockham”? Un cop hagis respost les preguntes, ja pots analitzar i comentar les següents [[wikiquote:es:El_nombre_de_la_rosa|cites]] de la pel·lícula. Qui les diu? Per què? * “Fuig, Adso, dels profetes i dels que estan disposats a morir per la veritat, perquè solen provocar també la mort de molts altres, a vegades abans que la pròpia, i a vegades enlloc de la pròpia.” * “No hi ha progrés, no hi ha revolució de les èpoques en les vicissituds del saber, sinó, com a molt, permanent i sublim recapitulació.” * “Stat rosa pristina nomine, nomina nuda tenemus.” (Tot el que queda d'una rosa morta, és el seu nom” * “La bellesa del cosmos no prové només de la unitat de la varietat, sinó també de la varietat en la unitat.” * "La ciència no consisteix només en saber el que s'ha de fer o pot fer-se, sinó també en saber el que es podria fer encara que potser no s'hauria de fer.” * “Els llibre no s'han fet perquè creiem el que diuen a ulls clucs, sinó perquè els analitzem”.'' ==== RECURSOS ==== Pots usar aquests o altres recursos, podria ser que en trobessis de millors. * http://www.mcgraw-hill.es/bcv/guide/capitulo/8448170326.pdf * http://es.wikipedia.org/wiki/Escolástica * http://www.alcoberro.info/planes/filosofsdeu2.html * http://ca.wikipedia.org/wiki/Guillem_d'Occam * http://Filopontos http://blocs.xtec.cat/filopontos ==== CONCLUSIÓ ==== Ara ja pots saber a què i qui fa referència la pel·lícula, no trobes que és una meravella? El recomanable és tornar-la a mirar i si t'animes, a llegir la novel·la que encara és molt millor per tot el que hi pots descobrir de filosofia, herboristeria, teologia, societat i economia medievals... [[Category:Escola secundària]] [[Category:CA]] a0gdsimzpctlnpkc01e2t5pvrflay7a 0 14977 373522 287775 2025-06-21T01:43:40Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373522 wikitext text/x-wiki == Presentació == Temari de matemàtiques de 1er de ESO. == Nombres naturals == Què n'aprendràs * Reconèixer i ordenar nombres naturals. * Fer operacions amb nombres naturals. * Fer servir potències i arrels quadrades. * Aproximar per arrodoniment o per truncament un nombre natural. * Calcular l’error comès en aproximar un nombre natural. ''' Nombres naturals '''<br /> ''' Multiplicació de nombres naturals '''<br /> ''' Divisió de nombres naturals '''<br /> ''' Potències de nombres naturals '''<br /> ''' Operacions amb potències '''<br /> ''' Arrels quadrades '''<br /> ''' Jerarquia de les operacions '''<br /> ''' Aproximacions i errors '''<br /> ''' Activitats finals '''<br /> == Divisibilitat == == Fraccions == == Nombres decimals == == Nombres enters == == Iniciació a l’àlgebra == == Sistema Mètric Decimal == == Proporcionalitat numèrica == == Angles i rectes == == Polígons i circumferències == == Perímetres i àrees == == Políedres i cossos de revolució == == Funcions i gràfiques == == Estadística i probabilitat == [[Category:Matemàtiques de primer d'ESO]] [[Category:CA]] 2om0rcouhhaopguzskcmb28zbg82dnw 0 22391 373488 126400 2025-06-21T01:39:11Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373488 wikitext text/x-wiki ==Recursos Wikimedia== ===Viccionari=== Diccionaris * [http://ca.wiktionary.org/wiki/Portada Diccionari de la llengua catalana] ===Viquillibres=== Manuals i reculls * [http://ca.wikibooks.org/wiki/Catal%C3%A0 Manual de català] * [http://ca.wikibooks.org/wiki/Frases_fetes_en_diferents_lleng%C3%BCes Frases fetes en català i altres llengües] ===Viquipèdia=== Articles * [http://ca.wikipedia.org/wiki/Catal%C3%A0 Llengua catalana] {{ca}} (també en altres llengües) * [http://ca.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B2ria_de_la_llengua_catalana Història de la llengua catalana] {{ca}} (també en altres llengües) * [http://ca.wikipedia.org/wiki/Literatura_catalana Literatura catalana] {{ca}} (també en altres llengües) == Recursos externs == ===Diccionaris=== * [http://www.multilingue.cat Diccionari multilingüe] Inclou català, castellà, anglès, francès i alemany (GEC). * [http://www.diccionari.cat Diccionari de la llengua catalana] (GEC). * [http://dlc.iec.cat Diccionari de la llengua catalana] (IEC). * [http://www.diccionaris.cat Diccionaris] Diccionari de la llengua catalana, de sinònims i multilingüe català, castellà, anglès i francès (VOX - Larousse). ===Altres recursos=== * [http://www.termcat.cat Termcat]. Centre de terminologia. * [http://www.enciclopedia.cat Gran Enciclopèdia Catalana] Enciclopèdia en català (GEC). * [http://www.iec.cat/activitats/entrada.asp Institut d'Estudis Catalans (IEC)]. Acadèmia de la llengua. * [http://www.gencat.cat Generalitat de Catalunya]. [[Category:Escola d'idiomes]] [[Category:CA]] 9ibzs3zwda8nx4exk5fy1q3g5ifj33u 0 22392 373486 223648 2025-06-21T01:39:04Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373486 wikitext text/x-wiki ==Recursos Wikimedia== ===Viccionari=== Diccionaris * [http://en.wiktionary.org/wiki/Wiktionary:Main_Page Diccionari de la llengua anglesa]. {{en}} ===Viquillibres=== Manuals i reculls * [http://ca.wikibooks.org/wiki/Passat_Simple_en_angl%C3%A8s Gramàtica: el passat simple] * [http://ca.wikibooks.org/wiki/Frases_fetes_en_diferents_lleng%C3%BCes Frases fetes en anglès i altres llengües] ===Viquipèdia=== Articles * [[w:ca:Anglès]] {{ca}} (també en altres llengües) * [[w:ca:Gramàtica anglesa]] {{ca}} (també en altres llengües) * [[w:ca:Història de la llengua anglesa]] {{ca}} (també en altres llengües) * [[w:ca:Literatura anglesa]] {{ca}} (també en altres llengües) * [[w:ca:Característiques lingüístiques de l'anglès parlat per catalanòfons]] {{ca}} * [[w:ca:Llista de falsos amics del català amb l'anglès]] {{ca}} == Recursos externs == ===Diccionaris=== * [http://www.wordreference.com Wordreference]. Diccionari de la llengua anglesa, de sinònims i multilingüe (el multilingüe inclou castellà, però no català). * [http://www.multilingue.cat Diccionari multilingüe] Inclou català, castellà, anglès, francès i alemany (GEC). * [http://www.diccionaris.cat Diccionaris] Diccionari de la llengua catalana, de sinònims i multilingüe català, castellà, anglès i francès (VOX - Larousse). ===Altres recursos=== * [http://www.termcat.cat Termcat]. Centre de terminologia (varis idiomes). [[Category:Escola d'idiomes]] [[Category:CA]] [[ar:كلية اللغة الإنجليزية]] [[de:Fachbereich Anglistik]] [[el:Τμήμα:Αγγλικά]] [[en:English as a second language]] [[es:Departamento de Inglés]] [[fr:Département:Anglais]] [[ja:Topic:英語]] [[pt:Portal:Letras/Inglês]] [[ru:Английский язык]] [[sv:Engelska]] odqwbmwu0yhy0ak1vr1t02wrncbxew1 0 22393 373489 126408 2025-06-21T01:39:14Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373489 wikitext text/x-wiki ==Recursos Wikimedia== ===Viccionari=== Diccionaris * [http://ru.wiktionary.org/wiki/Заглавная_страница Diccionari de la llengua russa]. {{ru}} ===Viquillibres=== Manuals i reculls * [http://es.wikibooks.org/wiki/Ruso Curso de ruso para hispanohablantes] {{es}} ===Viquipèdia=== Articles * [http://ca.wikipedia.org/wiki/Rus Rus] {{ca}} (també en altres llengües) * [http://ca.wikipedia.org/wiki/Alfabet_cir%C3%ADl%C2%B7lic Alfabet ciríl·lic] {{ca}} (també en altres llengües) * [http://ca.wikipedia.org/wiki/Transliteraci%C3%B3_de_l%27alfabet_rus Transliteració de l'alfabet rus] {{ca}} (també en altres llengües) * [http://ca.wikipedia.org/wiki/Gram%C3%A0tica_russa Gramàtica russa] {{ca}} (també en altres llengües) * [http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_the_Russian_language History of the Russian language] {{en}} (també en altres llengües) * [http://ca.wikipedia.org/wiki/Literatura_russa Literatura russa] {{ca}} (també en altres llengües) == Recursos externs == ===Diccionaris=== * [http://www.wordreference.com Wordreference]. Diccionari de la llengua anglesa, de sinònims i multilingüe (inclou anglès-rus-anglès). * [http://dict.leo.org/rude?lp=rude&search= Leo]. Diccionari multilingüe (inclou alemany-rus-alemay). ===Altres recursos=== * [http://www.rusogratis.com Ruso gratis]. Material didàctic per a aprendre rus, inclou un curset d'escriptura, un de llengua, un de gramàtica i diversos recursos de suport, amb àudio i vídeo. {{es}} [[Category:Escola d'idiomes]] [[Category:CA]] [[en:Topic:Russian]] [[es:Departamento de Ruso]] [[fr:Département:Russe]] [[pt:Portal:Letras/Russo]] qky36tew7v0e9yood3ujzv7cuhgmwrz 0 22394 373485 126407 2025-06-21T01:39:01Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373485 wikitext text/x-wiki ==Recursos Wikimedia== ===Viccionari=== Diccionaris * [http://de.wiktionary.org/wiki/Wiktionary:Hauptseite Diccionari de la llengua alemanya]. {{de}} ===Viquillibres=== Manuals i reculls * [http://ca.wikibooks.org/wiki/Alemany Curs d'iniciació a l'alemany] ===Viquipèdia=== Articles * [http://ca.wikipedia.org/wiki/Alemany Alemany] {{ca}} (també en altres llengües) * [http://ca.wikipedia.org/wiki/Literatura_alemanya Literatura alemanya] {{ca}} (també en altres llengües) * [http://ca.wikipedia.org/wiki/Literatura_austr%C3%ADaca Literatura austríaca] {{ca}} (també en altres llengües) * [http://ca.wikipedia.org/wiki/Literatura_alsaciana Literatura alsaciana] {{ca}} (també en altres llengües) == Recursos externs == ===Diccionaris=== * [http://www.multilingue.cat Diccionari multilingüe] Inclou català, castellà, anglès, francès i alemany (GEC). * [http://www.wordreference.com Wordreference]. Diccionari de la llengua anglesa, de sinònims i multilingüe (inclou anglès-alemany-anglès). * [http://de.pons.eu Diccionari multilingüe] Inclou castellà i alemany (Pons). * [http://dict.leo.org Diccionari multilingüe] Inclou castellà i alemany (Leo). ===Altres recursos=== * [http://konjugator.lingofox.de/es/index.php Conjugador de verbs alemanys] {{es}} (també en altres llengües) * [http://www.goethe.de Goethe Institut]. * [http://rechtschreibrat.ids-mannheim.de/ Rat für deutsche Rechtschreibung] {{de}} [[Category:Escola d'idiomes]] [[Category:CA]] [[ar:كلية اللغة الألمانية]] [[de:Fachbereich Germanistik]] [[el:Τμήμα:Γερμανικά]] [[en:Topic:Learning German]] [[es:Departamento de Alemán]] [[fr:Département:Allemand]] [[pt:Portal:Letras/Alemão]] [[ru:Немецкий язык]] pnv55jhrnpu2ds1uh2wppmp3bg8nbwi 10 23168 373472 132215 2025-06-21T01:37:01Z AtUkr 17909 added category 373472 wikitext text/x-wiki <center> {| cellpadding="3" cellspacing="1" style="align:center; margin:5px; border:3px solid; border-color:#4169E1; text-size: small;" | style="padding: 5px" |[[File:Wikiversity-logo-ca.svg|60px]] |[[Pàgina principal|Pàgina principal]] | |[[Viquiversitat:Benvingut|Benvingut]] | |[[Viquiversitat:Introducció|Introducció]] | |[[Viquiversitat:Projecte d'aprenentatge|Projectes d'aprenentatge]] | |[[Viquiversitat:Polítiques|Polítiques]] | |[[Viquiversitat:Ajuda|Ajuda]] |[[File:Wikiversity-logo-ca.svg|60px]] |} </center> <noinclude> [[Category:Plantilles de navegació|WV-ORG]] [[Category:CA]] [[en:Template:Introduction]] [[es:Plantilla:WV-ORG]] </noinclude> 0ui5oynk2m84tf9oph7g3s8tq9dvc8q 14 23169 373581 131020 2025-06-21T01:55:20Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373581 wikitext text/x-wiki [[Category:CA Template]] [[Category:CA]] [[en:Category:Navigational templates]] [[es:Categoría:Wikiversidad:Plantillas_de_navegación]] [[pt:Categoria:!Predefinições de navegação]] eaxr6k5n2a29ess5pnzs8gus37vfpco 0 23172 373576 318272 2025-06-21T01:54:24Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373576 wikitext text/x-wiki {{center|1={{WV-ORG}}}} == Projectes d'aprenentatge == Un '''projecte d'aprenentatge''' consisteix en un conjunt de pàgines web dedicades a l'exploració acadèmica d'un tema particular. És a dir, un projecte d'aprenentatge és un conjunt de pàgines wiki destinades a ensenyar uns continguts determinats. Un curs o projecte d'aprenentatge implica la creació i el desenvolupament de pàgines web. Això representa editar pàgines wiki, i, per tant, incloure a la Viquiversitat com a qualsevol altra wiki, com la Viquipèdia o els Viquillibres, informació verificable amb referències a continguts ja existents. Això comporta, en tots els casos, elaborar una proposta adequada per al desenvolupament del procés d'aprenentatge, que inclogui resums, quadres sinòptics, explicacions generals i específiques, enllaços als materials de lectura i d'estudi i fins i tot propostes d'exercicis i questionaris. La pàgina de discussió de cada curs o projecte d'aprenentatge es convertirà en el mitjà principal d'interacció entre els seus participants. Allà es podrà preguntar o contestar qualsevol dubte sobre els temes plantejats. Aquest projecte intenta profunditzar sobre un tema en grup, de crear i desenvolupar nous coneixements a partir d'investigacions amb fonts ja publicades, i, sobretot, d'aprendre. És un projecte ambiciós, però paga la pena intentar-ho! == Grups d'estudi == L'unitat bàsica dins de la Viquiversitat són els [[Viquiversitat:Grups d'estudi|grups d'estudi]]. Un grup d'estudi, o comunitat d'aprenentatge, és un conjunt de persones que treballen en col·laboració per una causa comú: adquirir i compartir coneixements sobre un tema concret, i aconseguir així una determinada meta educacional dins de la Viquiversitat o de qualsevol altre projecte Wikimedia. == Enfocament pedagògic == A l'hora de crear i dissenyar un projecte d'aprenentatge és important establir quins són els objectius educacionals que es volen assolir, especialment els coneixements que s'han de construir i les habilitats cognitives i metacognitives que es volen desenvolupar. D'aquesta manera, en proposar un nou projecte d'aprenentatge, s'ha de pensar en la funció que cada procés i feina realitzada tenen en el compliment d'aquests objectius, és a dir, en el desenvolupament de les noves habilitats i en la construcció dels nous coneixements. == Com iniciar un projecte d'aprenentatge == Abans de començar un nou projecte, revisa primer els que ja exxisteixen. Podries col·laborar participant en un d'ells en comptes de crear-ne un de nou. Per ajudar-te a decidir-te, pots fer-te les preguntes següents: === Primer: Estàs segur que vols contribuir? === Recoda que això ho fas només perquè vols. Ningú t'obliga a fer res. Si pots, llegeix primer: [[Viquiversitat:Contribuir o no contribuir|Contribuir o no contribuir]]. === Segon: Existeix un projecte d'aprenentatge similar? === Revisa [[Viquiversitat:El claustre|la pàgina de discussió]] per a veure quins projectes hi ha en aquests moments. La teva idea podria servir per a un que ja existeix en comptes de començar-ne un de nou des de zero. === Últim pas: Atreveix-te! === Si les respostes a les preguntes anteriors han estat SI i NO, aleshores, endavant! Comença a construir el teu projecte. No ha de ser prefecte des del principi, ja que d'altres podran contribuir-hi en el futur. ''Nota: Per a donar format a la pàgina principal del nou projecte d'aprenentatge pots emprar com a guia [[Plantilla:Model de projecte d'aprenentatge|aquesta plantilla]] o afegir <nowiki>{{subst:Plantilla:Model de projecte d'aprenentatge}}</nowiki> a la nova pàgina i, un cop la salvis, només has de tornar a editar-la per a modificar i personalitzar els camps que apareixeran a la pàgina.'' == Vegeu també == * [[Ajuda:Com encetar una pàgina nova|Com encetar una pàgina nova]] * [[Viquiversitat:Materials didàctics|Materials didàctics]] * [[Viquiversitat:Proposta aprobada de la Viquiversitat|Proposta aprobada de la Viquiversitat]] * [[Viquiversitat:Polítiques|Polítiques]] [[Category:Viquiversitat:Projectes d'aprenentatge|Projecte]] [[Category:CA]] [[de:Wikiversity:Projekte]] [[en:Wikiversity:Learning projects]] [[es:Wikiversidad:Proyectos de aprendizaje]] 9z24q77fh95a60tcl5feym74zciqkx2 0 23174 373578 318258 2025-06-21T01:54:32Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373578 wikitext text/x-wiki {{center|1={{WV-ORG}}}} '''Abans de crear un article''', revisa primer si ja existeix o si algú ha escrit prèviament una pàgina de contingut similar. Si és així, sempre pots millorar-lo. Però si no és així, endavant! Ningú s'enfadarà perquè creis un article nou, de fet, la Viquiversitat es nodreix a base dels coneixements que depositen aquí els seus usuaris. De totes maneres, sí que '''és recomanable que revisis i respectis la [[Viquiversitat:Polítiques|política de la Viquiversitat]]'''. Un cop fet això, '''existeixen múltiples formes de crear un article''': == Com crear un article nou == === Per mitjà de l'eina de cerca === * Introdueix el nom d'un article a la barra de cerca de la Viquiversitat. * Fes clic sobre el botó "Cerca". * Si l'article existeix, el navegador t'hi dirigirà automàticament. * Si l'article no existeix, fes clic sobre el nou enllaç que apareixerà de color vermell, i comença'l! === Per mitjà d'un enllaç en vermell === * Senzillament fes clic sobre l'enllaç de color vermell que hi hagi dins d'un article que ja existeixi per a començar a crear-ne un de nou. === O així === <div style="border: 2px solid #fd6; background: #fff; margin:1em 1ex 1ex 1ex; padding: 1em; text-align:center"> {| cellpadding="8" cellspacing="0" border="0" | align="right" |'''''Introdueix un títol:'''''<br /><small>i fes clic sobre "Crea una pàgina"</small> | align="left" | <inputbox>type=create width=45 </inputbox> |} </div> == Experimenta! == Tens a la teva disposició un lloc on pots provar les teves habilitats i les diverses opcions d'edició, '''[[Viquiversitat:Pàgina de proves|utilitza'l!]]''' == Un consell == Abans de guardar una pàgina (''"Desa la pàgina"''), ja sigui en crear un article o en modificar-ne un que ja existeixi, fes clic sobre el botó del costat (''"Mostra una previsualització"'') per a veure prèviament els resultats i evitar estar fent petits canvis constantment. == Vegeu també == * [[Viquiversitat:Polítiques|Polítiques]] * [[Viquiversitat:Pàgina de proves|Assajos]] [[Category:Ajuda]] [[Category:CA]] [[el:Βοήθεια:Πώς να ξεκινήσεις μια νέα σελίδα]] [[en:Help:Starting a new page]] [[es:Ayuda:Comenzando una nueva página]] [[fr:Aide:Comment créer une page]] gcr4tmszj9zky5f9j4525eaii6lmykw 0 23178 373575 131044 2025-06-21T01:54:08Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373575 wikitext text/x-wiki [[Category:Viquiversitat]] [[Category:CA]] [[es:Wikiversidad:Zona de pruebas]] erl99a9cf8t1byho1q4sjeasy98glnu 0 23179 373579 131049 2025-06-21T01:54:35Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373579 wikitext text/x-wiki Vols ajudar i no saps com començar? No pateixis, tot seguit et fem alguns suggeriments: * '''Crea "infocaixes"''' (plantilles informatives) sobre les àrees d'estudi que t'interessin. Aquestes plantilles s'utilitzen a les pàgines d'usuari per a poder identificar fàcilment els interessos de cada col·laborador. * '''Crea i millora els portals''' de les àrees d'estudi de la Viquiversitat. Les facultats i els departaments necessiten un model de portal atractiu, pràctic i intuitiu per a atraure i facilitar la navegació de les visites. * '''Crea i millora els continguts''' dels projectes d'aprenentatge als quals vulguis participar (afegeix lliçons, retoca-les, aporta recursos útils per al projecte, dona'ls un format estàndard, etc). * '''Experimenta'''. La Viquiversitat és un lloc per a innovar els mètodes d'aprenentatge convencionals. És una plataforma que fomenta la creativitat dels participants. Recorda que pots crear material didàctic sonor, emprar imaatges o fins i tot penjar-hi videos. (Visita [[commons:Portada|Commons]] per a obtenir més informació). * '''No et desmoralitzis si estàs sol en un projecte'''. És normal. La viqui tot just comença. '''Promociona'l''', afegeix enllaços desde l'article relacionat a la Viquipèdia, o entre els amics i coneguts als quals pugui interessar, i '''millora'l'''. Com millor és la qualitat d'un projecte, majors són les probabilitats que algú hi vulgui participar. [[Category:Ajuda]] [[Category:CA]] [[es:Ayuda:Cómo puedo colaborar]] 1cagoq3jduup2sf5g11x8jy7f9j55lf 0 23180 373580 318274 2025-06-21T01:54:43Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373580 wikitext text/x-wiki [[Image:Help-browser.svg|right|150px]] {{center|1={{WV-ORG}}}} '''[[meta:Help:Help|Pàgina principal d'ajuda a Meta]]''' (en anglès) ''Aquesta pàgina recull els articles d'ajuda de la Viquiversitat. Si vols fer alguna pregunta sobre la Viquiversitat, pots escriure al [[Viquiversitat:El claustre|claustre]].'' Si vols començar a col·laborar i no saps per on començar, [[Ajuda:Com puc col·laborar|aquí]] trobaràs uns quants suggeriments. <inputbox> type=search width=20 namespaces=Ajuda**,Viquiversitat,Plantilla,Categoria searchbuttonlabel=Cerca a l'ajuda bgcolor=transparent break=no </inputbox> == Introducció == * [[Viquiversitat:Benvingut|Benvingut]] * [[Viquiversitat:Introducció|Introducció]] * [[Viquiversitat:Tutorial|Tutorial]] * [[Viquiversitat:Proposta aprovada de la Viquiversitat|Proposta aprovada de la Viquiversitat]] * [[Viquiversitat:Què és la Viquiversitat?|Què és la Viquiversitat?]] * [[Viquiversitat:Què no és la Viquiversitat?|Què no és la Viquiversitat?]] * [[Viquiversitat:Polítiques|Polítiques]] == Creació i edició de pàgines == * [[Ajuda:Com encetar una pàgina nova|Com encetar una pàgina nova]] * [[Ajuda:Com anomenar pàgines|Com anomenar pàgines]] * [[Ajuda:Com canviar el nom, moure o esborrar una pàgina|Com canviar el nom, moure o esborrar una pàgina]] * [[Ajuda:Com editar una pàgina|Com editar una pàgina]] * [[Ajuda:Referència ràpida|Referència ràpida]] * [[Ajuda:Resum d'edició|Resum d'edició]] * [[Ajuda:Llibre d'estil|Llibre d'estil]] == Enllaços == * [[Ajuda:Enllaç|Enllaç]] * [[Ajuda:Enllaç intern|Enllaç intern]] * [[Ajuda:Enllaç extern|Enllaç extern]] * [[Ajuda:Enllaç interviqui|Enllaç interviqui]] == Ensenyament i aprenentatge == * [[Ajuda:Com crear un departament viquiversitari|Com crear un departament viquiversitari]] * [[Ajuda:Com crear un projecte d'aprenentatge|Com crear un projecte d'aprenentatge]] * [[Ajuda:Com crear un tema d'estudi|Com crear un tema d'estudi]] == Altres == * [[Ajuda:Categoria|Categoria]] * [[Ajuda:Discussió|Discussió]] * [[Ajuda:Espai de noms de MediaWiki|Espai de noms de MediaWiki]] * [[Ajuda:Fòrmules|Fòrmules]] * [[Ajuda:HTML en viquitext|HTML en viquitext]] * [[Ajuda:Llistes|Llistes]] * [[Ajuda:Plantilles|Plantilles]] * [[Ajuda:Plantilles de Babel|Plantilles de Babel]] [[Category:Ajuda]] [[Category:CA]] [[cs:Nápověda:Obsah]] [[de:Wikiversity:Hilfe]] [[el:Βοήθεια:Περιεχόμενα]] [[en:Help:Contents]] [[es:Ayuda:Ayuda]] [[fi:Ohje:Sisällys]] [[fr:Aide:Sommaire]] [[it:Aiuto:Aiuto]] [[ja:ヘルプ:目次]] [[pt:Ajuda:Busca]] [[ru:Справка:Содержание]] rl5ka7v88kntkmyepfwchzi3rsuoslf 0 23181 373577 318257 2025-06-21T01:54:26Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373577 wikitext text/x-wiki {{center|1={{WV-ORG}}}} '''Abans de començar un projecte''', revisa primer els que ja existeixen. Pots col·laborar acabant un projecte en comptes de començar-ne un altre. Com a guia pots plantejar-te les següents qüestions: == Existeix un projecte d'aprenentatge similar? == '''Revisa [[Viquiversitat:El claustre|la pàgina de discussió]]''' per a comprovar els projectes que estan en marxa. Les teves idees podrien contribuir a un que ja existeixi en comptes de començar-ne un de nou. == Atreveix-te! == Si les respostes a les preguntes anteriors han estat SI i NO, aleshores '''endavant!''' Comença a construir el teu projecte. No cal que sigui perfecte des del principi, més gent hi podrà col·laborar en el futur! '''Nota: Per a donar format a la pàgina principal del nou projecte d'aprenentatge pots emprar com a guia [[Plantilla:Model de projecte d'aprenentatge|aquesta plantilla]] o afegir <nowiki>{{subst:Plantilla:Model de Projecte d'aprenentatge}}</nowiki> a la nova pàgina i, un cop la salvis, només has de tornar a editar-la per a modificar i personalitzar els camps que apareixeran a la pàgina.'' == Vegeu també == * [[Viquiversitat:Projecte d'aprenentatge|Projecte d'aprenentatge]] [[Category:Ajuda]] [[Category:CA]] [[es:Ayuda:Cómo crear un proyecto de aprendizaje]] 76kv1qzwt3tzw68ju0iarvlj1g91esm 14 23183 373582 131057 2025-06-21T01:55:23Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373582 wikitext text/x-wiki [[Category:CA Template]] [[Category:CA]] [[en:Category:Page creation templates]] l1f4b2b3v95nyyl93ly5ickiuqe46xi 10 23184 373474 131058 2025-06-21T01:37:30Z AtUkr 17909 added category 373474 wikitext text/x-wiki {| class="recuadro derecha" border="1" |+ {{{nom|{{PAGENAME}}}}} |- |'''Codi:'''|| {{{codi}}} {{#if:{{{prerrequisits|}}}|{{!}}- {{!}}'''Requisits:''' {{!}}{{{prerrequisits}}}}} {{#if:{{{durada|}}}|{{!}}- {{!}}'''Durada:''' {{!}}{{{durada}}}}} {{#if:{{{evaluació|}}}|{{!}}- {{!}}'''Evaluació:''' {{!}}{{{evaluació}}}}} |- |'''Tema d'estudi:'''|| [[{{{tema|Viquiversitat:Tema d'estudi}}}|{{{tema_n|{{{tema}}}}}}]] {{#if:{{{nivel|}}}|{{!}}- {{!}}'''Nivell:''' {{!}}[[{{{tema|Viquiversitat:Tema d'estudi}}}/{{{nivell|Nivell}}}|{{{nivell_n|{{{nivell}}}}}}]] {{{any|}}}}} {{#if:{{{escola|}}}|{{!}}- {{!}}'''Escola:''' {{!}}[[{{{escola_d|Escola}}} {{{dee|de}}} {{{escola|escola}}}|{{{escola_n|{{{escola}}}}}}]]}} {{#if:{{{departament|}}}|{{!}}- {{!}}'''Departament:''' {{!}}[[{{{departament_d|Departament}}} {{{ded|de}}} {{{departament|departament}}}|{{{departament_n|{{{departament}}}}}}]]}} |} [[Category:Viquiversitat:Projectes d'aprenentatge]] <noinclude> [[Category:Viquiversitat:Plantilles de creació de pàgines]] [[Category:CA]] [[es:Plantilla:Modelo de Proyecto de aprendizaje]] </noinclude> kvr9znvfodzq0l4ie1enq23u8lj8a57 0 23185 373473 131059 2025-06-21T01:37:14Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373473 wikitext text/x-wiki {{Projecte d'aprenentatge |codi = codi |prerrequisits = requisits preliminars |durada = durada |evaluació = suggeriments d'evaluació |tema = tema d'estudi |nivell = nivell |any = any |escola = escola |departament = departament }} :''[Breu descripció del projecte, en una o dues frases.]'' ==Objectius== Aquest projecte d'aprenentatge ofereix ____. *etc. ==[[Viquiversitat:Materials didàctics|Materials didàctics]]== Materials didàctics i [[Viquiversitat:Projecte d'aprenentatge|projectes d'aprenentatge]] es troben a l'espai del nom principal. Senzillament crea un <nowiki>[[Enlaç]</nowiki>] canviant “enllaç” pel nom de la lliçó i comença a escriure! També hauries de llegir [[Viquiversitat:Aprenentatge|el model d'aprenentatge de la Viquiversitat]]. Les lliçons haurien de centrar-se en activitats d'aprenentatge per als participants de la Viquiversitat. Els materials didàctics i els projectes es poden compartir amb els altres projectes. És a dir, hi pot haver cooperació entre diversos departaments que emprin els mateixos recursos educatius. ===Lliçons=== * Lliçó 1: ... ====Activitats==== Exercicis, proves de nivell de coneixements, treballs en grup, i d'altres tasques. Totes elles associades a les seves lliçons respectives. *1a activitat. *etc. ====Lectures==== Cada activitat té associades una sèrie de lectures recomanades. *Lectures per a la 1a activitat. * '''Guies d'estudi:''' * '''Article de la viquipèdia:''' [[w: __Títol de l'article__ ]] * Viquillibres:[[b:__Nom del Viquillibre___]] *etc. ==Referències== Altres lectures addicionals: ==Participants actius== Participants actius d'aquest [[Viquiversitat:Projecte d'aprenentatge#Grups d'estudi|grup d'estudi]] * ... [[Category:Viquiversitat]] <---include subject name <includeonly> [[Category:{{{1|{{PAGENAME}}}}}| ]] </includeonly> <noinclude> [[Category:Viquiversitat:Plantilles de creació de pàgines]] [[Category:CA]] [[es:Plantilla:Modelo de Proyecto de aprendizaje]] </noinclude> bxoc86u8ybh1intez6ehli6zlmdpph5 0 23186 373573 318271 2025-06-21T01:53:54Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373573 wikitext text/x-wiki {{center|1={{WV-ORG}}}} Un '''grup d'estudi''', o una comunitat d'aprenentatge, és un conjunt de persones que treballen en col·laboració per una causa comuna: adquirir i compartir coneixements sobre un tema concret i assolir un cert objectiu educacional dins de la Viquiversitat o de qualsevol altre projecte Viquimedia. L'objectiu principal de la creació d'aquests grups és augmentar la motivació dels participants involucrats en un projecte d'aprenentatge determinat, i també construir una font d'informació útil i de lliure disposició per a qui ho necessiti. Finalment, i per a que tots els grups d'estudi puguin funcionar correctament, s'han d'acomplir tres condicions: la col·laboració entre els membres del grup (cada membre realitza les seves aportacions i aquestes aportacions poden ser millorades per altres usuaris), la descentralització del grup (les aportacions són lliures i no necessiten passar per cap líder) i la correcta distribució de la feina (no és bo per a ningú que una sola persona carregui amb la major part de la feina). [[Category:Viquiversitat]] [[Category:CA]] [[es:Wikiversidad:Grupos de estudio]] fvj6dfquo3wylmrqlq8g90mtz6fgdui 0 23188 373574 318273 2025-06-21T01:53:57Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373574 wikitext text/x-wiki {{center|1={{WV-ORG}}}} ==Introducció a la Viquidiversitat== La [[pàgina principal]] és la pàgina més important, conté enllaços a les principals àrees de la Viquiversitat. La Viquiversitat està organitzada en '''Facultats''', dins de les quals hi ha '''Departaments''' que alhora contenen les '''Àrees'''. Finalment les '''Àrees''' contenen els '''projectes d'aprenentatge''' o cursos. Facultats -> Departaments -> Àrees -> Projectes d'aprenentatge. El [[claustre]] viquiversitari és el lloc on es pot contactar amb la comunitat, realitzar anuncis, sol·licitar ajuda i interactuar amb d'altres participants del projecte. Quan encetis un nou tema o contestis a una altra persona no oblidis signar els teus comentaris per a què els altres usuaris sàpiguen qui ha escrit una determinada pregunta o comentari. La pàgina d'[[Viquiversitat:Actualitat|actualitat]] és on es publiquen informes, notícies i tasques pendents relaives al projecte. Abans d'editar o crear articles fes una ullada al [[Viquiversitat:Manual d'estil|manual d'estil]] on podràs aprendre els elements més bàsics sobre com editar pàgines de la Viquiversitat. És molt útil la dónde podrás aprender los elementos más básicos sobre cómo editar páginas en Wikiversidad. Es muy útil la [[Viquiversitat:Pàgina de proves|pàgina de proves]]. Entra al món de la '''Viquiversitat'''! [[Category:Viquiversitat]] [[Category:CA]] [[ar:ويكي الجامعة:أسئلة متكررة]] [[cs:Wikiverzita:Co je to Wikiverzita?]] [[de:Wikiversity:Über Wikiversity]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Σχετικά]] [[en:Wikiversity:Introduction]] [[es:Wikiversidad:Primeros pasos]] [[fr:Wikiversité:Ce qu'est Wikiversité]] [[it:Wikiversità:Cos'è Wikiversità]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何か]] [[pt:Wikiversidade:Sobre]] [[ru:Викиверситет:Чем является Викиверситет]] 199g0vbowxp666d6z5th68n7dpeq6q4 0 27050 373456 156653 2025-06-21T01:12:38Z AtUkr 17909 nominated for quick deletion 373456 wikitext text/x-wiki {{delete|no content}} '''Delays In Construction''' - tai yra mokymasis […] {{nebaigtas}} [[Kategorija:LT]] keda1kygy8g9zq55wq23okvd0uq7jgw 0 37814 373549 351743 2025-06-21T01:51:28Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373549 wikitext text/x-wiki El curs de <math>4^t\,</math>ESO corresponent al segon cicle de Ensenyança Secundària Obligatòria(ESO), és l'ultim dels quatre cursos d'ESO i suposa un pas decisiu a l'hora determinar el nostre assoliment dels coneixements bàsics per accedir als diferents cursos proposats. = Introducció = El quart curs és una mena de "curs pont" mínim però complert del que es necessitarà per afrontar el Batxillerat. S'aconsella tenir cura del canvi metodològic per aquest curs, per que el coneixement s'acumula i posa a prova les capacitats d'assimilació dels alumnes. L'ideal és treballar contínuament tot el curs, començant fort, ja que els tres trimestres fan mitjana per decidir si el curs queda aprovat. Les matemàtiques de quart curs contenen a grans trets: *Numeració i càlcul. *Canvi i relacions. *Espai i forma. *Mesura. *Estadística i atzar. == Nombres reals == [[File:Latex real numbers square.svg|right|130px]] * [[Potències amb exponents enters|Formulari de potències]] :Exemples: :* [[Exemples de potències IV]] :Exercicis: :* [[Resolució potències]]. * [[Notació científica IV]] * [[L'error IV]] :Exercicis: :* [[Exercicis de notació científica IV]]. * [[Intervals IV]] :Exercicis: :* [[Exercicis d'interseccions i unions de conjunts IV|Interseccions i unions]]. :Solucions: :* [[Solució d'intervals IV]]. * [[Arrels IV|Arrels quadrades i arrels n-èsimes]]. * [[Potència d'exponent fraccionari IV|Generalització d'arrels com a potència]]. :Exercicis: :* [[Exercicis d'arrels IV|Exercicis variats per arrels]]. == Àlgebra == En aquesta secció es valora l'aspecte operatiu en l'àlgebra, es a dir, aplicació de fórmules, mètodes com simplificar fraccions de tot tipus i aïllament de incògnites aplicades en diversos exercicis. La representació d'equacions lineals és un element final del tema i és, per tant, un dels continguts considerats com a fonamentals en els següents temes. El contingut és el més utilitzats en cursos superiors sobretot en els aspectes d'anàlisi científic. * [[Àlgebra i geometria IV|Expressions algebraiques i productes notables]]. * Petit record de polinomis. * Fraccions algebraiques. :Exercicis: :* [[Exercicis d'algebra IV|Exercicis]]. * [[Equacions de primer grau IV|Equacions de primer grau]]. :Solucions: :* [[Exercicis d'equacions de primer grau IV|Recull de solucions]]. * Solucions de les equacions amb cap solució, una solució, dues solucions i més solucions. * Representació d'equacions lineals. :Exercicis resolts: :* [[Exercicis d'equacions lineals IV|Exercicis resolts]]. * Inequacions. ---- En aquesta secció es valora la capacitat d'us de fórmules i preveure dreceres. * [[Equacions de segon grau IV|Equacions de segon grau]]. * [[Sistemes d'equacions IV|Sistemes d'equacions]]. ---- Factorització de polinòmica en general: * [[Zeros d'equacions de productes de monomis IV|Zeros d'una equació de producte de monomis]]. * [[Factorització de polinomis IV|Divisió pel mètode de Ruffini]]. :Exercicis: :* [[Exercicis de factorització polinòmica IV|Exercicis proposats per deures]]. == Trigonometria == [[File:JuegoEngranes1.svg|right|180px]] Trigonometria i vectors * [[Introducció geomètrica bàsica IV|Semblança i igualtat per als triangle rectangle]]. * [[Trigonometria IV|Funcions trigonomètriques]]. * [[Vectors i punts IV|Introducció a vectors]]. == Funcions == * [[Introducció a les funcions IV|Introducció i Teoria]]. * [[La funció recta IV|Les rectes i les seves qualitats]] * [[Inequacions lineals amb dues incògnites IV|Regions al pla]]. == Probabilitat == * [[Probabilitat i combinatòria IV|Probabilitat]] == Estadística == * [[Estadística IV|Estadística aplicada]] = Bibliografia de continguts = *Currículum educació secundària obligatòria: **[http://xtec.gencat.cat/ca/curriculum/eso/curriculum Currículum de totes les matèries] [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 5wscinwzluj3ln7enb0qmoyghquwcst 0 37817 373554 308440 2025-06-21T01:51:31Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373554 wikitext text/x-wiki Exercicis solucionats ordenadament. == Deures dia 13 == Recordatori: 9) Situa els nombres sobre la recta real donada: només he ordenat. <math> \begin{array}{cccccccc} -2,& -\sqrt{3},& -0'8,& -\frac{1}{5},& \frac{1}{3},& \sqrt{2},& \frac{5}{2},& \pi\\ -2,& -1'732...,& -0'8,& -0'2,& 0'3333...,& 1'41421...,&2'5,& 3'141592... \end{array}</math> 10) Escriu dos nombres decimals entre 5'2 i 5'3: :Només cal afegir els decimals desitjats :5'2 < 5'21 < 5'22 < ... < 5'3 11) Escriu dues fraccions compreses entre <math>\frac{7}{9}</math> i <math>\frac{8}{9}.</math> :Només cal fer fraccions equivalents multiplicant cada valor per un nombre concret, suposant que sigui deu dona: ::<math>\frac{70}{90}</math> i <math>\frac{80}{90}.</math> :Per tant puc escollir les fraccions <math>\frac{71}{90},</math> <math>\frac{72}{90},</math> <math>\frac{73}{90},</math> ... 12) Escriu dues fraccions entre <math>-\frac{2}{3}</math> i <math>-\frac{1}{3}.</math> :Fem el mateix multiplicant per 10. :<math>-\frac{20}{30},</math> <math>-\frac{19}{30},</math> <math>-\frac{18}{30},</math> ... <math>-\frac{10}{30}.</math> 13) Substituïu amb "<" o ">" en els espais següents: :Si x > 3'1 llavors -x < -3'1 :Si x < 3'1 llavors -x > -3'1 14) Si tenim a<b i b<c llavors a < c. == Deures dia 14 == Solucions ampliades: * <math>5^{-1}=\frac{1}{5}=0'2</math> * <math>10^{-1}=\frac{1}{10}=0'1</math> * <math>100^{-1}=\frac{1}{100}=0'01</math> Potències de dos: * <math>2^8=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=256</math> * <math>2^7=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=128</math> * <math>2^6=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64</math> * <math>2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32</math> * <math>2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16</math> Expresseu en forma de potència: * <math>3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=3^7</math> * <math>3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=3^6</math> * <math>3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=3^5</math> * <math>3\cdot3\cdot3\cdot3=3^4</math> * Calculeu el valor de <math>(-1)^5=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1</math> * Reduïu el signe de <math>(-2)^6=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=2^6</math> * Reduïu el signe de <math>(-3)^7=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=-3^7</math> * Calculeu el valor de <math>(-1)^8=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=1</math> Reduïu y calculeu les fraccions aplicant les propietats: * <math>\left(\frac{2}{4}\right)^5</math> <math>=\left(\frac{1}{2}\right)^5</math> <math>=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}</math> <math>=\frac{1}{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}</math> <math>=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}</math> * <math>\left(\frac{2}{4}\right)^5</math> <math>=\left(\frac{1}{2}\right)^5</math> <math>=\left(2^{-1}\right)^5</math> <math>=2^{-1\cdot5}</math> <math>=2^{-5}</math> <math>=\frac{1}{2^5}</math> Calculeu reduint l'expressió següent: * <math>\left(1-\frac{1}{2}\right)^3</math> <math>=\left(\frac{2}{2}-\frac{1}{2}\right)^3</math> <math>=\left(\frac{2-1}{2}\right)^3</math> <math>=\left(\frac{1}{2}\right)^3</math> <math>=\left(2^{-1}\right)^3</math> <math>=2^{-3}</math> Simplifiqueu: * <math>\frac{2^5}{8^5}</math> <math>=\frac{2^5}{\left(2^3\right)^5}</math> <math>=\frac{2^5}{2^{15}}</math> <math>=2^5\cdot2^{-15}</math> == Deures dia 17 == 38) Expressa com una potència: * <math>\frac{1}{3^9}=</math> <math>3^{-9}</math> o també com a curiositat <math>\frac{1}{3^9}=</math> <math>\frac{1^9}{3^9}=</math> <math>\left(\frac{1}{3}\right)^9</math> * <math>\frac{1}{(-7)^4}=</math> <math>\frac{1}{+(7)^4}=</math> <math>\frac{1}{7^4}=</math> <math>7^{-4}</math> * <math>\frac{1}{\left(\frac{3}{4}\right)^2}=</math> <math>\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}=</math> <math>\left(\frac{4}{3}\right)^{2}</math> 41) Expressa només amb potències positives: * <math>\frac{5^{-3}\cdot 2^3}{3^{-2}\cdot 7^4}=</math> <math>\frac{3^2\cdot 2^3}{5^3\cdot 7^4}</math> * <math>\frac{11^{-3}\cdot 7^2}{13^4}=</math> <math>\frac{7^2}{11^3\cdot 13^4}</math> == Deures dia 18 i 20 == 43) Càlcul: * <math>4\cdot (3+2)^{-2}-(2-3)^2=</math> <math>4\cdot (5)^{-2}-(-1)^2=</math> <math>\frac{4}{5^{-2}}-(1)=</math> <math>\frac{4}{5^2}-\frac{25}{25}=</math> <math>\frac{4-25}{25}=</math> <math>\frac{-21}{25}</math> * <math>10-(3-5)^3=</math> <math>10-(-2)^3=</math> <math>10-(-8)=</math> <math>10+8=</math> <math>18</math> * <math>(5+2)^{-2}-(9-2)^{-1}=</math> <math>(7)^{-2}-(7)^{-1}=</math> <math>\frac{1}{7^2}-\frac{1}{7}=</math> <math>\frac{1}{7^2}-\frac{7}{7^2}=</math> <math>\frac{1-7}{7^2}=</math> <math>\frac{-6}{49}</math> * <math>(2^{-1}+3^{-1})^{-1}=</math> <math>\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)^{-1}=</math> <math>\left(\frac{5}{6}\right)^{-1}=</math> <math>\frac{6}{5}</math> * <math>\frac{3+2^{-1}}{5-4^{-1}}=</math> <math>\frac{3+\frac{1}{2}}{5-\frac{1}{4}}=</math> <math>\frac{\frac{7}{2}}{\frac{19}{4}}=</math> <math>\frac{7\cdot 4}{2\cdot19}=</math> <math>\frac{7\cdot 2}{1\cdot19}=</math> <math>\frac{14}{19}</math> * <math>\left( \frac{-1}{4}\right)^3+10\cdot2^{-6}-\left( \frac{8}{3}\right)^{-2}=</math> <math>\frac{(-1)^3}{4^3}+\frac{10}{2^6}-\frac{3^2}{8^2}=</math> <math>\frac{-1}{64}+\frac{10}{64}-\frac{9}{64}=</math> <math>\frac{-1+10-9}{64}=</math> <math>\frac{0}{64}=</math> <math>0</math> 44) Expressa amb una sola potència: * <math>(2^3)^{-2}\cdot 2^5=</math> <math>2^{3\cdot (-2)}\cdot 2^5=</math> <math>2^{-6}\cdot 2^5=</math> <math>2^{-6+5}=</math> <math>2^{-1}</math> * <math>\frac{(3^2)^{-5}}{3^{-4}}=</math> <math>\frac{3^{2\cdot (-5)}}{3^{-4}}=</math> <math>\frac{3^{-10}}{3^{-4}}=</math> <math>3^{-10-(-4)}=</math> <math>3^{-6}</math> == Deures dia 21 == [[Exemples de potències IV]] == Deures 25 == Propietats usades: :Propietat commutativa: ::<math>a\cdot r\cdot b\cdot s=a\cdot b\cdot r\cdot s</math> :Factor comú: ::<math>a\cdot r+b\cdot r=(a+ b)\cdot r</math> 1) <math>1,02\cdot 10^5\cdot 2,7\cdot 10^2=</math> <math>1,02\cdot 2,7\cdot 10^5\cdot 10^2=</math> <math>2,754\cdot 10^{5+2}=</math> <math>2,754\cdot 10^7</math> 2) <math>1,508\cdot 10^5\div(3,1\cdot 10^3)=</math> <math>\frac{1,508\cdot 10^5}{3,1\cdot 10^3}=</math> <math>\frac{1,508}{3,1}\cdot 10^{5-3}=</math> <math>0,48\cdot 10^2</math> 3c) <math>2,1\cdot 10^{200}+1,7\cdot 10^{202}=</math> <math>\frac{2,1}{10^2}\cdot 10^{200}\cdot 10^2+1,7\cdot 10^{202}=</math> <math>0,021\cdot 10^{202}+1,7\cdot 10^{202}=</math> <math>1,721\cdot 10^{202}</math> 3d) <math>2,1\cdot 10^{200}+1,7\cdot 10^{203}=</math> <math>\frac{2,1}{10^3}\cdot 10^{200}\cdot 10^3+1,7\cdot 10^{203}=</math> <math>0,0021\cdot 10^{203}+1,7\cdot 10^{203}=</math> <math>1,7021\cdot 10^{203}</math> 4) <math>\frac{ 7,014\cdot 10^{20}+8,4\cdot 10^{15}}{ 2\cdot 10^{-3} }=</math> <math>\frac{ 7,014\cdot 10^{20}+\frac{8,4}{10^5}\cdot 10^{15}\cdot 10^5}{ 2\cdot 10^{-3} }=</math> <math>\frac{ 7,014\cdot 10^{20}+0,000084\cdot 10^{20}}{ 2\cdot 10^{-3} }=</math> <math>\frac{ 7,014084\cdot 10^{20}}{ 2\cdot 10^{-3} }=</math> <math>\frac{ 7,014084}{2} \cdot 10^{20-(-3)}=</math> <math>3,507042 \cdot 10^{23}</math> 5) <math>\frac{1}{2,5\cdot 10^{50}}=</math> <math>\frac{1}{2,5}\cdot 10^{-50}=</math> <math>0,4\cdot 10^{-50}=</math> <math>4\cdot 10^{-1}\cdot 10^{-50}=</math> <math>4\cdot 10^{-51}</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] ilh245279ficy51e47sva2z705e60mt 0 37818 373552 366721 2025-06-21T01:51:29Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373552 wikitext text/x-wiki Petita secció amb fórmules definicions i propietats purament. Si teniu curiositat per veure una introducció rigorosa amb demostracions, podeu consultar les demostracions de cada una de les fórmules, en la direcció de wikipedia anomenada [https://es.wikipedia.org/wiki/Potenciación potenciació]. == Definició bàsica == {|class="floatright" width="149px" style="border: 1px solid #08f" |style="border: 1px solid #08f"|<math>a\cdot\frac{1}{b}=\frac{1}{b}\cdot a=\frac{a}{b}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> |} Definició de '''potència''' amb nombres naturals com a exponent: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^1 =& a \\ a^2 =& a\cdot a \\ \vdots & \\ a^n =& a\,\cdot\, ...\,\cdot\, a \\ \vdots & \\ \hline \end{array}</math> === Conseqüències === ;Propietats: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="368px" bgcolor="#f9f9ff" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="120px"|<math>a^n \cdot a^m=a^{n+m}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"|<math>\left(a^n \right)^m=a^{n \cdot m}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;" width="120px"|<math>\left(a \cdot b \right)^n=a^n \cdot b^n</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="220px"|<math>(-a)^n=\begin{cases} a^n & \text{ si n parell } \\ -a^n & \text{ si n imparell } \end{cases}</math> |} '''Notació''' per a exponents amb valors enters: <math>\begin{array}{|c l|} \hline a^{-1}= & \frac{1}{a} \\ \hline \end{array}</math> ;Propietats: {|style="border: 1px solid #00f;" cellpadding="3" cellspacing="0" bgcolor="#f9f9ff" width="272px" |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| <math>a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| <math>a^n=\frac{1}{a^{-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;" width="95px"| <math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math> |style="border: 1px solid #00f;" width="160px"| <math>\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}=\frac{1}{a^{m-n}}</math> |- |style="border: 1px solid #00f;" colspan="2"| <math>a^0=1\,\,\text{només si}\,\,a\neq 0</math> |} ;Exemples: {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" |- |colspan=2|1) Calcula el resultat de les potències següents: |- |valign="top" width="155px"| :a) <math>1^{27\;483}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\underbrace{1\cdot 1\cdot 1\cdot\;...\;\cdot 1}_{1\;apareix\;24\;483\;vegades}</math> <math>=1</math> |- |valign="top" width="155px"| :b) <math>0^{1\;000}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\underbrace{0\cdot 0\cdot 0\cdot\;...\;\cdot 0}_{0\;apareix\;24\;483\;vegades}</math> <math>=0</math> |- |valign="top" width="155px"| :c) <math>31\;401^{1}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|<math>31\;401</math> ja que l'u vol dir que apareix una vegada, per tant és el mateix nombre. |- |valign="top" width="155px"| :d) <math>73\;000\;000^{0}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|<math>1,</math> de fet com <math>\frac{a^n}{a^n}=1</math> sempre que <math>a^n</math> no sigui zero, llavors tenim la conseqüència següent: <math>1=\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0\Rightarrow</math> <math>1=a^0</math> |- |valign="top" width="155px"| :e) <math>(-1)^{30}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|1, perquè 30 és parell i, per tant, el signe menys s'anul·la i queda <math>1^{31}</math> que és 1. |- |valign="top" width="155px"| :f) <math>(-1)^{31}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|-1, perquè 30 és imparell i, per tant, el signe menys sobreviu i queda <math>-(1^{31})=-1.</math> |- |valign="top" width="155px"| :g) <math>-1^{30}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|-1, en aquest cas l'exponent no pot afectar el signe perquè està fora, equival a escriure <math>-\left(1^{30}\right)=-1.</math> |- |valign="top" width="155px"| :h) <math>-1^{31}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|-1, en aquest cas l'exponent no pot afectar el signe perquè està fora, equival a escriure <math>-\left(1^{31}\right)=-1.</math> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" |- |colspan=2|1) Expressa com a una sola potència |- |valign="top" width="160px"| :a) <math>3^7\cdot 5^7=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|<math>(3\cdot 5)^7.</math> |- |valign="top" width="160px"| :b) <math>2^{15}\cdot 3^{15}\cdot 7^{15}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|<math>(2\cdot 3\cdot 7)^{15}.</math> |- |valign="top" width="160px"| :c) <math>320^{10}\cdot 2^4\cdot 5^{54}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|<math>(2^6\cdot 5)^{10}\cdot 2^4\cdot 5^{54}=</math> <math>(2^6)^{10}\cdot 5^{10}\cdot 2^4\cdot 5^{54}=</math> <math>2^{60}\cdot 5^{64}\cdot 2^4=</math> <math>2^{64}\cdot 5^{64}=</math> <math>(2\cdot 5)^{64}=</math> <math>10^{64}.</math> |- |valign="top" width="160px"| :d) <math>3^7\cdot 3^8\cdot 3^0\cdot 5^0=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|<math>3^{7+8+0+0}=</math> <math>3^{15}.</math> |} 2) Expressa com a producte i divisió de potències positives de nombres primers: :a) <math>(28\cdot 5)^{10}=</math> :b) <math>(8\cdot 10)^8=</math> :c) <math>\left(\frac{50}{5^2}\right)^7=</math> :d) <math>\left(\frac{2^{-3}\cdot 3^{-2}\cdot 5^2}{2^8\cdot 3^{-10}\cdot 5^{-3}}\right)^3=</math> ==== Exercicis: ==== {| |- |width="200"|1) <math>(2\cdot 3)^2=</math> |2) <math>\left(\frac{15}{3}\right)^3=</math> |- |3*) <math>\frac{1}{2^2}\cdot 2^5=</math> |4) <math>\left(\frac{2\cdot 5}{5}\right)^{10}=</math> |- |5) <math>\frac{1}{5^{-3}}=</math> |6) <math>\frac{5^{20}}{5^{10}}=</math> |} == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] qrzipzk96d9k425ihg1wdviv2juomje 0 37832 373550 356477 2025-06-21T01:51:28Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373550 wikitext text/x-wiki [[File:Starsinthesky.jpg|500px]] La notació científica és una eina fonamental per deixar valors amb molta precisió, hi han diferents normatives per tal d'utilitzar aquesta notació en diverses àrees del treball científic unes amb més rigor que unes altres. == Definició de notació científica == Tot número '''x''' escrit en notació científica s'escriu de la següent forma: ::<math>x= \underbrace{ 1,070349082 }_{Mantissa}\, \cdot \underbrace{ 10^{20}}_{Pot\grave{e}ncia}</math> Parts '''obligatòries''' del disseny d'aquesta notació: #Dins la mantissa la part entera només té una única xifra '''diferent de zero'''. #Dins la mantissa la part decimal té la precisió demanada en xifres decimals. #La potència sempre amb base deu i un exponent enter '''n''': <math>10^n</math> '''Exemple de potencies de deu amb el metre''' {| class="wikitable" |+Múltiples del metre !Símbol !Nom !Metres !Metres |- |Ym |[[yottametre]] |10²⁴ |1 000 000 000 000 000 000 000 000 |- |Zm |[[zettametre]] |10²¹ |1 000 000 000 000 000 000 000 |- |Em |[[exàmetre]] |10¹⁸ |1 000 000 000 000 000 000 |- |Pm |[[petàmetre]] |10¹⁵ |1 000 000 000 000 000 |- |Tm |[[terámetre]] |10¹² |1 000 000 000 000 |- |Gm |[[gigàmetre]] |10⁹ |1 000 000 000 |- |Mm |[[megàmetre]] |10⁶ |1 000 000 |- |km |[[kilòmetre]] |10³ |1 000 |- |hm |[[hectòmetre]] |10² |100 |- |dam |[[decàmetre]] |10¹ |10 |} {| class="wikitable" |+Submúltiples del metre !Símbol !Nom !Metres !Metres |- |dm |[[decímetre]] |10^-1 |0,1 |- |cm |[[centímetre]] |10^-2 |0,01 |- |mm |[[mil·límetre]] |10^-3 |0,001 |- |µm |[[micròmetre]] |10^-6 |0,000 001 |- |nm |[[nanòmetre]] |10^-9 |0,000 000 001 |- |pm |[[picòmetre]] |10^-12 |0,000 000 000 001 |- |fm |[[femtòmetre]] |10^-15 |0,000 000 000 000 001 |- |am |[[attòmetre]] |10^-18 |0,000 000 000 000 000 001 |- |zm |[[zeptòmetre]] |10^-21 |0,000 000 000 000 000 000 001 |- |ym |[[yoctòmetre]] |10^-24 |0,000 000 000 000 000 000 000 001 |} '''Exemples de com interpretar la notació''' *<math>1,20\cdot 10^5</math> <math>=1,2\cdot 100\,\,000</math> <math>=120\,\,000</math> *<math>8,001\cdot 10^{-4}</math> <math>=\frac{8,001}{10\,\,000}</math> <math>=0,000\,\,800\,\,1</math> *<math>0,000\cdot 10^{200}</math> <math>=0</math> De fet al zero no se li fa notació científica perquè no el necessita, la notació científica és per nombres molt grans o molt petits. === Exercicis === Desfeu la notació científica d'aquests nombres per veure com són. *<math>1,4000\cdot 10^4=</math> *<math>8,0001\cdot 10^{-3}=</math> *<math>1,000\cdot 10^{10}=</math> *<math>9,999\cdot 10^1=</math> *<math>1,234\cdot 10^{-10}=</math> *<math>0,000\cdot 10^{100000}=</math> '''Exemples de com construir la notació''' *<math>0,0000010004 =</math> <math>1,0004\cdot 10^{-6}</math> *<math>459\,300\,000\,000=</math> <math>4,593\cdot 10^{11}</math> ===Exercicis === Convertiu a notació científica els valors següents: *<math>0,0004\cdot 1000 =</math> *<math>\frac{0,000001}{100} =</math> *<math>\frac{0,005\cdot 5}{10000} =</math> *<math>2435\cdot 10^5 =</math> *<math>10000,11\cdot 10^{-2} =</math> *<math>\frac{234\cdot 100000}{10^3} =</math> == Exercicis aplicats == [[File:The Sun by the Atmospheric Imaging Assembly of NASA's Solar Dynamics Observatory - 20100819.jpg|right|100px]] Al '''cosmos''' per mesurar longituds interplanetàries utilitzem la '''unitat astronòmica''': :1&nbsp;UA <math>=149\,\,597\,\,870\,\,700\,\,m</math> #Quina és aquesta mesura amb notació científica utilitzant una mantissa de 2 xifres? #Quina és la mesura més adequada per parlar d'aquest darrer número? Per mesurar longituds interestel·lars utilitzem l''''any llum''': :1&nbsp;Any&nbsp;llum <math>=9\,\,460\,\,730\,\,472\,\,580\,\,800\,\,m</math> #Quina és aquesta mesura amb notació científica utilitzant una mantissa de 2 xifres? #Quina és la mesura més adequada per parlar d'aquest darrer número? [[File:Bacteria collage.jpg|200px|right]] Al mon microscòpic de la '''natura''' tenim els bacteris que mesuren entre els 0,5&nbsp;μm i 5&nbsp;μm #Quin és el número que representen aquestes mesures en metres? #Quin és el número amb notació científica en metres? [[File:Átomo de óxigeno.png|200px|right]] Els elements amb els quals es construeixen els organismes microscòpics són els '''àtoms''' i la seva grandària està entorn els 1&nbsp;Å=100&nbsp;pm #Quin és el número que representen aquestes mesures en metres? #Quin és el número amb notació científica en metres? Els àtoms estan constituïdes per partícules subatòmiques com l''''electró''' que té un radi no més gran que <math>10^{-22}\,m.</math> #Quin és el número que representen aquestes mesures en metres? #Quina és la mesura més adequada per parlar d'aquest darrer número en metres? == Interpretació de calculadora == Diverses calculadores utilitzen '''l'abús''' de notació següent: : <math>9,1447\cdot 10^5=</math> <math>9,1447{}^{05}</math> El següent tipus de simplificació és la forma d'escriure en algun llenguatge de programació: : <math>9,1447\cdot 10^5=</math> <math>9,1447\text{E+5}</math> El darrer tipus de notació és el codi habitual per calculadores programables i llenguatges de programació i d'interpretació de text diversos: : <math>9,1447\cdot 10^5=</math> 9,1447*10^5 == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 63sicv7nuio369mgnwgpbjg6k7bytid 0 37833 373538 287766 2025-06-21T01:50:28Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373538 wikitext text/x-wiki Aquests exercicis fan una introducció gradual a la notació científica, exercitant les potències de deu i després operar amb notació científica. Exercicis: 1) Calculeu el valor de cada potència: :a) <math>10^6=</math> :b) <math>10^{-7}=</math> :c) <math>( 10^3)^5=</math> :d) <math>( 10^{-2})^3=</math> :e) <math>( 10^3)^{-5}=</math> :f) <math>( 10^{-3})^{-8}=</math> 2) Simplifiqueu com a una sola potència: :a) <math>\frac{10^6\cdot 10^3}{ 10^8} =</math> :b) <math>\frac{1}{10^4 10^7} =</math> :c) <math>\frac{10^5}{10^2 10^3} =</math> :d) <math>\frac{10^2}{ 10^4 10^8} =</math> :e) <math>\frac{10^{-8}\cdot 10^{-1}}{10^{-9} 10^{-3}}=</math> 3) Escriu en potència de deu els valors següents: :a) 0,0000023 = :b) 0,1 = :c) 100 = :d) 30 000,0023 = 4) Sintetitza en notació científica: :a) <math>10^2\cdot 0,00001=</math> :b) <math>21,20\cdot 0,01=</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] plpjzfhn1ad6yal6bluao8f3xjh1et3 0 37836 373531 287762 2025-06-21T01:49:38Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373531 wikitext text/x-wiki Exemples procedeixen sempre de exercicis o deures resolts que es poden convertir en exemples gràcies a les correccions. Els que tenen numeració canviaran per uns altres de propis. '''Exemples:''' == 47) Passar a potència de nombres primers: == * <math>2^4 \cdot 6^2 \cdot 14^3 =</math> <math>2^4 \cdot (3\cdot 2)^2 \cdot (2\cdot 7)^3 =</math> <math>2^4 \cdot (3^2\cdot 2^2) \cdot (2^3\cdot 7^3) =</math> <math>2^4 \cdot 3^2\cdot 2^2 \cdot 2^3\cdot 7^3 =</math> <math>2^{4+2+3} \cdot 3^2 \cdot 7^3 =</math> <math>2^9 \cdot 3^2 \cdot 7^3</math> * <math>4^3 \cdot 5^2 \cdot 10^{-3} =</math> <math>(2^2)^3 \cdot 5^2 \cdot (2\cdot 5)^{-3} =</math> <math>2^{2\cdot 3} \cdot 5^2 \cdot (2^{-3}\cdot 5^{-3} )=</math> <math>2^6 \cdot 5^2 \cdot 2^{-3}\cdot 5^{-3} =</math> <math>2^{6-3} \cdot 5^{2-3} =</math> <math>2^3 \cdot 5^{-1}</math> * <math>\frac{ 12^3 \cdot 3^5}{ (2^{-2})^4 \cdot 9^{-1} }=</math> <math>\frac{ (2^2\cdot 3)^3 \cdot 3^5}{ (2^{-2})^4 \cdot (3^2)^{-1} }=</math> <math>\frac{ (2^2)^3\cdot 3^3 \cdot 3^5}{ (2^{-2})^4 \cdot (3^2)^{-1} }=</math> <math>\frac{ 2^{2\cdot 3}\cdot 3^{3+5} }{ 2^{(-2)\cdot 4} \cdot 3^{2\cdot (-1)} }=</math> <math>\frac{ 2^6\cdot 3^8 }{ 2^{-8} \cdot 3^{-2} }=</math> <math>2^{6+8}\cdot 3^{8+2} =</math> <math>2^{14}\cdot 3^{10}</math> * <math>\frac{ 4^3 \cdot 8^{-2} }{2^5} =</math> <math>\frac{ (2^2)^3 \cdot (2^3)^{-2} }{2^5} =</math> <math>\frac{ 2^{2\cdot 3} \cdot 2^{3 \cdot (-2)} }{2^5} =</math> <math>\frac{ 2^6 \cdot 2^{-6} }{2^5} =</math> <math>2^{6-6-5} =</math> <math>2^{-5}</math> * <math>\frac{ 6^4 \cdot 4^{-3} }{ 8^{-2} \cdot 9^{-2} } =</math> <math>\frac{ (2\cdot 3)^4 \cdot (2^2)^{-3} }{ (2^3)^{-2} \cdot (3^2)^{-2} } =</math> <math>\frac{ 2^4\cdot 3^4 \cdot 2^{2\cdot (-3)} }{ 2^{3\cdot (-2)} \cdot 3^{2\cdot (-2)} } =</math> <math>\frac{ 2^4\cdot 3^4 \cdot 2^{-6} }{ 2^{-6} \cdot 3^{-4} } =</math> <math>2^{4-6+6}\cdot 3^{4+4} =</math> <math>2^4\cdot 3^8</math> * <math>15 \cdot \left( \frac{5}{2} \right)^{-2} =</math> <math>3\cdot 5 \cdot \frac{5^{-2}}{2^{-2}} =</math> <math>3\cdot 5 \cdot 5^{-2} \cdot 2^2 =</math> <math>3\cdot 5^{1-2}\cdot 2^2 =</math> <math>3\cdot 5^{-1}\cdot 2^2</math> * <math>(3\cdot 5)^{-2} \cdot 3^{-4} =</math> <math>3^{-2}\cdot 5^{-2} \cdot 3^{-4} =</math> <math>3^{-2-4}\cdot 5^{-2} =</math> <math>3^{-6}\cdot 5^{-2}</math> * <math>\frac{ 15^{-4}\cdot 81^{-2} }{ 25^{-1}\cdot 45^{-2} } =</math> <math>\frac{ (3\cdot 5)^{-4}\cdot (3^4)^{-2} }{ (5^2)^{-1}\cdot (3^2\cdot 5)^{-2} } =</math> <math>\frac{ 3^{-4}\cdot 5^{-4}\cdot 3^{4\cdot (-2)} }{ 5^{2\cdot (-1)}\cdot (3^2)^{-2}\cdot 5^{-2} } =</math> <math>\frac{ 3^{-4}\cdot 5^{-4}\cdot 3^{-8} }{ 5^{-2}\cdot 3^{2\cdot(-2)}\cdot 5^{-2} } =</math> <math>\frac{ 3^{-4}\cdot 5^{-4}\cdot 3^{-8} }{ 5^{-2}\cdot 3^{-4}\cdot 5^{-2} } =</math> <math>3^{-4-8+4}\cdot 5^{-4+2+2} =</math> <math>3^{-8}\cdot 5^0 =</math> <math>3^{-8}\cdot 1 =</math> <math>3^{-8}</math> == 48) Passar a una sola potència i calcula: == * <math>2^6\cdot 5^6 =</math> <math>(2\cdot 5)^6 =</math> <math>10^6 =</math> <math>1\,000\,000</math> * <math>\frac{ 27^2 }{ 9^2 } =</math> <math>\left(\frac{27}{9}\right)^2 =</math> <math>3^2 =</math> <math>9</math> Alternativa lenta d'aquest últim apartat: * <math>\frac{ 27^2 }{ 9^2 } =</math> <math>\frac{ (3^3)^2 }{ (3^2)^2 } =</math> <math>\frac{ 3^{3\cdot 2} }{ 3^{2\cdot 2} } =</math> <math>\frac{ 3^6 }{ 3^4 } =</math> <math>3^{6-4} =</math> <math>3^2 =</math> <math>9</math> == 49) Calculeu: == * <math>\frac{ 16^3 }{ 32^2 } =</math> <math>\frac{ (2^4)^3 }{ (2^5)^2 } =</math> <math>\frac{ 2^{4\cdot 3} }{ 2^{5\cdot 2} } =</math> <math>\frac{ 2^{12} }{ 2^{10} } =</math> <math>2^{12-10} =</math> <math>2^2 =</math> <math>4</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] pkm682b8q55bupuqx1ipqmpr7jcs9fq 0 37924 373544 364532 2025-06-21T01:50:32Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373544 wikitext text/x-wiki [[File:Latex real numbers square.svg|thumb|120px|Símbol de tots els nombres reals]] '''Els intervals''' són molt útils per agrupar en conjunts i analitzar els nombres en la recta real. La seva importància recau a l'hora de construir funcions amb la precisió deguda. [[File:Real Number Line.PNG|center]] Per estudiar els intervals es fa una introducció curta i acurada de les semirectes que són elements utilitzats per determinar més tard els intervals i altres productes amb més rigor. == Lògica d'intervals == En aquesta secció veurem com es treballen les condicions matemàtiques sobre la '''recta real'''. Concretament identificarem formes d'ajuntar condicions, escriure-les, descriure-les i representar-les matemàticament. === Les semirectes === A les matemàtiques quan utilitzem les següents condicions, suposicions o hipòtesis: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure lectura" data-collapsetext="Oculta lectura" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<big><big><big><math>a<b,\;\;a>b,\;\;a\leqslant b,\;\;a\geqslant b</math></big></big></big> |- |colspan="2"| <math>a<b</math> :Es llegeix '''a''' és més petit que '''b''', o inversament '''b''' és més gran que '''a'''. <math>a>b</math> :Es llegeix '''a''' és més gran que '''b''', o inversament '''b''' és més petit que '''a'''. <math>a\leqslant b</math> :Es llegeix '''a''' és més petit o igual que '''b''', o inversament '''b''' és més gran o igual que '''a'''. '''Nota''': dir "més petit o igual" vol dir que és cert tan si és més petit com si és més gran. <math>a\geqslant b</math> :Es llegeix '''a''' és més gran o igual que '''b''', o inversament '''b''' és més petit o igual que '''a'''. |} Veiem exemples quan un dels dos és un nombre i detallem analitzant el seu significat dins la recta real. ==== Exemples ==== ;1.- Condició <math>x>10</math> :Diu que els valors de <math>x</math> han de ser valors '''més gran''' que 10. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>10</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |<math>\;\;\;+\infty</math> |} :Descripció: S'assenyala en blau sobre la recta real els valors més grans que deu, però s'indica amb una rodona buida que no es vol assenyalar el deu, ja que el deu no pot ser més gran que deu i per tant no està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=(10,\,+\infty)</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre 10 i infinit positiu, amb el '''deu i l'infinit exclòs''' pels parèntesis. El seu nom és '''semirecta oberta'''. ;2.- Condició <math>x\leqslant -3.</math> :Diu que els valors de <math>x</math> han de ser valor '''més petit o igual''' que -3. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>-3</math> |- |<math>-\infty\;\;\;</math> |[[File:SemiRectaBC.svg|250px]] |} :Descripció: Aquesta representació assenyala els valors més petits que -3, i indica amb una rodona plena que el -3 també està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=(-\infty,\,-3]</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre infinit negatiu i -3, amb el -3 inclòs amb la clau ''']'''. El seu nom és '''semirecta tancada'''. ;3.- Condició <math>x\geqslant-1.</math> :Significat: el valor de <math>x</math> pot ser un valor '''més gran o igual''' que -1. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>-1</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|250px]] |<math>\;\;\;+\infty</math> |} :Descripció: Aquesta representació assenyala els valors més grans que -1, i indica amb una rodona plena que el -1 també està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=[-1,\,+\infty)</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre -1 i infinit positiu, amb el -1 inclòs amb la clau '''['''. El seu nom és semirecta tancada. ;4.- Condició <math>x<7.</math> :Significat: el valor de <math>x</math> pot ser un valor més petit que 7. Representació: :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>7</math> |- |<math>-\infty\;\;\;</math> |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |} :Descripció: Aquesta representació assenyala els valors més petits que 7, i indica amb una rodona buida que el 7 no està dins dels possibles valors de <math>x.</math> Notació: <math>I=(-\infty,\,7)</math> :Lectura: Conjunt de tots els valors reals entre infinit negatiu i 7, amb el 7 exclòs amb el parèntesi ''')'''. El seu nom és semirecta oberta. ==== Exercicis ==== S'ha de representar i escriure la seva notació corresponent a cada apartat: 1) <math>x\leqslant 0.</math> 2) <math>x\geqslant -2.</math> 3) <math>x<4.</math> 4) <math>x>-3.</math> === Operacions === Les condicions bàsicament es poden combinar o agrupar de dos formes, o bé buscant coincidències o unint possibilitats. Ens interessa analitzar les conseqüències d'aquestes dues combinacions, per això utilitzarem dos operadors: :::<big><big><big><big><math>I=A\cap B,\;\;I=A\cup B</math></big></big></big></big> Mentre llegiu alguns exemples fixeu-vos en la propietat commutativa d'aquestes operacions, <math>I=A\cap B=B\cap A</math> i <math>I=A\cup B=B\cup A</math>: *Feu atenció, es '''pinta''' la part interior d'aquest "recipient" de nombres, és un contenidor on les vores s'han d'especificar bé si estan dintre o fora. *També hi ha "recipients" de nombres que no tenen que estar enganxats físicament. {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|'''Fora''' |align="center"|'''Dins''' |align="center"|'''Fora''' |align="center"|'''Dins''' |align="center"|'''Fora''' |align="center"|'''Dins''' |- |[[File:SemiRectaVc.svg|80px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|100px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|80px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|100px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|80px]] |[[File:SemiRectaFut2.svg|100px]] |} ==== Intersecció ==== [[File:intersecciónAB.svg|right|180px]] Per fer una intersecció d'una condició A i amb una condició B només s'ha de indicar quins nombres compleixen les dues condicions '''a la vegada'''. Veiem exemples dels diferents producte de les possibles combinacions que es poden fer: ===== Exemples ===== 1.- Suposem que <math>x<3</math> i també afegim que <math>x>1,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues condicions simultàniament es a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>1</math> |align="center"|<math>3</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |} Condicions: <math>A=(-\infty,\,3)</math> i <math>B=(1,\,+\infty)</math> Operació intersecció: <math>I=</math> <math>A\cap B=</math> <math>(-\infty,\,3)\cap (1,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=(1,\,3)</math> :Descripció de I: És literalment el conjunt de tots els valors entre l'1 i el 3, sense incloure aquests dos nombres. Són només els valors continguts dins de A i B '''a la vegada'''. El seu nom és '''interval obert'''. 2.- Suposem que <math>x\leqslant 1</math> i que <math>x>-2</math>: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>-2</math> |align="center"|<math>1</math> |- |[[File:SemiRectaA.svg|250px]] |[[File:SemiRectaBC.svg|250px]] |} Operació: <math>(-\infty,\,1]\cap(-2,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=(-2,\,1]</math> El seu nom és '''interval obert per l'esquerra i tancat per la dreta''' o '''interval semiobert'''. [[File:IntersecciónABincluida.svg|right|120px]] 3.- Suposem que <math>x\leqslant 0</math> i que <math>x<-5,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament es a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |||align="center"|<math>-5</math> |align="center"|<math>0</math> |- |<math>-\infty\;\;\;</math> |[[File:SemiRectaB.svg|250px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|250px]] |} En aquest cas el que succeeix és que una intersecció d'un interval dintre d'un altre acaba guanyant el que sembla més petit. Condicions: <math>A=(-\infty,\,0]</math> i <math>B=(-\infty,\,-5)</math> Operacions: <math>(-\infty,\,0]\cap(-\infty,\,-5)</math> Notació del resultat: <math>I=(-\infty,\,-5)</math> :Descripció de I: són tots els valors que estan dins dels dos conjunts a la vegada però resulta que B està totalment dins de A per tant el resultat és B, és a dir I=B. [[File:IntersecciónABvacia.svg|right|240px]] 4.- Suposem que <math>x\leqslant -1</math> i que <math>x>3,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament es a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>-1</math> |align="center"|<math>3</math> |- |[[File:SemiRectaVc.svg|250px]] |[[File:SemiRectaVc.svg|250px]] |} Les condicions inicials són contradictòries, per tant, no tenen cap coincidència i ens queda un conjunt sense nombres, és a dir, un conjunt buit i que evidentment no hem de pintar res. Operació: <math>(-\infty,\,-1]\cap(3,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=\{\emptyset\}=\emptyset</math> El seu nom és '''conjunt buit'''. 5.- Suposem que <math>x\leqslant 9</math> i que <math>x\geqslant 9,</math> llavors, representarem sobre la recta només els valors que compleixen les dues suposicions simultàniament, és a dir: {|cellspacing="0" cellpadding="0" |- |align="center"|<math>9</math> |- |[[File:SemiRectaDot.svg|250px]] |} La única coincidència es el 9, que és un punt fronterer, i per tant es l'únic element que compleix les dues condicions. Operació: <math>(-\infty,\,9]\cap[9,\,+\infty)</math> Notació del resultat: <math>I=\{9\}</math> El seu nom és '''punt''' o conjunt d'un sol element. ==== Unió ==== [[File:UniónAB.svg|right|160px]] Per fer una unió de una condició A amb una condició B només s'ha de '''indicar''' que els diferents objectes estan junts encara que hi hagi '''forats''', després només arreglem els trams superposats quan apareguin com a un de sol. Es proposa anar directament a la notació matemàtica per anar més ràpid. ===== Exemples ===== 1.- Unió de semirectes: <math>A=(-\infty,\,8)</math> i <math>B=[9,\,\infty)</math> Operació: <math>I=A\cup B=(-\infty,\,8)\cup [9,\,\infty)</math> Resultat: '''casualment''' queda igual per que no es pot '''arreglar més''': <math>I=(-\infty,\,8)\cup [9,\,\infty)</math> Representació: :::<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th></th><th>{{center|1=8}}</th><th>{{center|1=9}}</th><th></th></tr><tr><th><math>-\infty\;\;\;</math></th><th>[[File:SemiRectaB.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]</th><th><math>\;\;\;+\infty</math></tr></table> Descripció: el resultat segueix sent dues semirectes. 2.- Unió de semirectes: <math>A=(-\infty,\,-2)</math> i <math>B=(-2,\,\infty)</math> Operació: <math>I=A\cup B=(-\infty,\,-2)\cup (-2,\,\infty)</math> Resultat: veiem que és gairebé tota la recta real, '''excepte''' el -2, no es pot arreglar més: <math>I=(-\infty,\,-2)\cup (-2,\,\infty)</math> Representació: :::<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th></th><th>{{center|1=-2}}</th><th></th></tr><tr><th><math>-\infty\;\;\;</math></th><th>[[File:SemiRectaFut.svg|160px]]</th><th><math>\;\;\;+\infty</math></tr></table> Descripció: el resultat també son dues semirectes, però, vegeu que són tots els nombres reals sense un punt, el -2, es a dir, l'indicat amb una rodona buida. 3.- Unió de semirectes: <math>A=(-\infty,\,10)</math> i <math>B=(-9,\,\infty)</math> Operació: <math>I=A\cup B=(-\infty,\,10)\cup (-9,\,\infty)=\mathbb{R}</math> Resultat: veiem que en ajuntar les dues semirectes no deixen cap forat, per tant el resultat es tots els nombres entre <math>-\infty</math> i <math>\infty</math> es a dir <math>\mathbb{R}.</math> Representació i descripció: s'hauria de pintar tota la recta sense forats. :::<math>-\infty\;\;\;</math>[[File:SemiRectaFut2.svg|300px]]<math>\;\;\;+\infty</math> 4.- Unió dels objectes A i B:<math>A=(0,\,2)\cup (4,\,6)</math> i <math>B=[1,\,3]\cup [5,\,7]</math> Operació: <math>I=(0,\,2)\cup (4,\,6)\cup [1,\,3]\cup [5,\,7]</math> Resultat: <math>I=(0,\,3]\cup (4,\,7]</math> Representació: només hem de pintar A i B, i veure que dona aquest resultat. :::<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|1=0}}</th><th>{{center|1=3}}</th><th>{{center|1=4}}</th><th>{{center|1=7}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaA.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th></tr></table> ==== Exercicis ==== #Busquem un valor que és major que deu i menor que catorze, o major que quinze i menor que setze. Representeu els valors acuradament. #Escriu la notació dels intervals representats a continuació: <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|1=-11}}</th><th>{{center|1=-10}}</th><th>{{center|1=-4}}</th><th>{{center|1=4}}</th><th>{{center|1=5}}</th><th>{{center|1=6}}</th><th>{{center|1=7}}</th><th>{{center|1=11}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaAC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaB.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaAC.svg|100px]]</th><th>[[File:SemiRectaB.svg|100px]]</th></tr></table> === Resum lèxic === Noms apareguts sense matisar si és obert o tancat però que hem de conèixer: *'''Element''' (quan parlem de l'element més simples i indivisibles d'un conjunt) :*'''Punt''' (quan ens referim a un únic nombre real com a element de la recta real, ...) *'''Conjunt''' (quan agrupem elements amb una finalitat definida) :*'''Recta''' (quan ens referim a tota la recta real com a conjunt de nombres) :*'''Semirecta''' (tots els punts de la recta que es troben a un mateix cantó d'un punt donat prèviament) :*'''Interval''' (tots els nombres de la recta delimitada per altres dos punts) *'''Buit''' (que no hi ha res, cap element, cap nombre real,...) == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] bevgoe15w96h9g8mlm5oi6aayh6ymdv 0 37926 373547 287765 2025-06-21T01:50:34Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373547 wikitext text/x-wiki Es important analitzar '''l'error''' quan es fan càlculs grans i llargs. Normalment en una fórmula els càlculs es poden aproximar grollerament, es a dir, fixant-se només en la quantitat de decimals i esperant que l'error no molt o inclús decreixi inesperadament. Els dos tipus de error son els mes utilitzats i els més senzills de calcular: == L'error absolut == Només cal calcular la '''diferencia''' de dos valors i mostra immediatament quin és el desviament d'una mesura o aproximació. :'''Error absolut''' = <math>E_a=</math> <math>|V_r-V_a|</math> Fixeu-vos que és una simple resta de dos valors: el '''valor real''' i el '''valor aproximat'''. Les dues barres s'anomenen valor absolut i s'encarreguen de deixar el resultat en positiu exclusivament. El '''valor real''' <math>V_r</math> és en general un valor donat i fixat com el més precís o més exacte que es vol aproximar. Per exemple volem aproximar el valor exacte de <math>\sqrt{5}</math> i la seva aproximació és 2,23 per tant: :<math>E_a=</math> <math>|V_r-V_a|=</math> <math>|\sqrt{5}-2,23|=</math> <math>|2,236067977...-2,23|=</math> <math>|0,006067977...|=</math> <math>0,006067977...=</math> <math>6,067977...\cdot 10^{-3}</math> == L'error relatiu == En aquest cas només cal fer una simple divisió. Sempre que dividim per un valor vol dir que prenem aquest valor com a '''unitat''' i d'aquí el nom de relatiu. Per tant aquest error analitza l'error proporcionalment a la mida real de les mesures que es fan. :'''Error relatiu''' = <math>E_r=</math> <math>\frac{E_a}{V_r}</math> Fixeu-vos que aquesta divisió pren com a unitat un valor suposadament real i depèn dels càlculs del error absolut. '''Exemples''': i) Un gratacel de 201,12 m aproximat per 200 m :::<math>E_a=</math> <math>|V_r-V_a|=</math> <math>|201,12-200|=</math> <math>|1,12|=</math> <math>1,12</math> :::<math>E_r=</math> <math>\frac{E_a}{V_r}=</math> <math>\frac{1,12}{201,12}=</math> <math>0,005568...=</math> <math>5,568...\cdot 10^{-3}</math> ii) Una mosca de 1,03 cm aproximada a 1 cm :::<math>E_a=</math> <math>|V_r-V_a|=</math> <math>|1,03-1|=</math> <math>|0,03|=</math> <math>3\cdot 10^{-2}</math> :::<math>E_r=</math> <math>\frac{E_a}{V_r}=</math> <math>\frac{3\cdot 10^{-2}}{1,03}=</math> <math>2,912621...\cdot 10^{-2}</math> Observació 1: L'error absolut del gratacel es 1,12 metres i, per tant, més gran que l'error absolut de la mosca que és tres dècimes de mil·límetre. Observació 2: L'error relatiu de la mosca es <math>2,912621...\cdot 10^{-2}</math> i, per tant més gran que l'error relatiu del gratacel <math>5,568...\cdot 10^{-3}</math>. Vegeu que la grandària del objecte a mesurar té efectes diferents en aquests càlculs. === Deures === #<math>\pi\simeq 3,1416</math> #<math>\sqrt{2}\simeq 1,4142</math> #<math>\frac{1}{3}\simeq 0,333\,333</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] n0umltqzjek89ozna4ihbypw47p0lcs 0 37936 373536 329217 2025-06-21T01:49:41Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373536 wikitext text/x-wiki En aquests exercicis es treballaran la conversió entre diferents expressions matemàtiques. == Exercicis d'una sola condició == 1) Representeu, escriu la notació i el nom de cada una de les condicions: :a) <math>r<6</math> :b) <math>r>6</math> :c) <math>r\geqslant -23</math> :d) <math>r\leqslant 23</math> 2) Representeu, escriu el nom i escriu la condició en cada cas: :a) <math>(-100,\,+\infty)</math> :b) <math>(-\infty,\,12]</math> :c) <math>[2,\,+\infty)</math> :d) <math>(-\infty,\,7)</math> 3) Representeu, escriu la condició i escriu la notació adaptada a cada apartat: :a) Una semirecta oberta amb tots els nombres negatius. :b) Una semirecta tancada amb tots els nombres positius. :c) Una semirecta oberta amb el <math>+\infty.</math> :d) Una semirecta tancada amb el <math>-\infty.</math> 4) Formuleu la condició, escriu la notació i escriu el nom de cada apartat: :a) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>-7</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaA.svg|160px]]</th><th><math>+\infty</math></th></tr></table> :b) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>8</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]</th><th><math>+\infty</math></th></tr></table> :c) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th></th><th>{{center|<math>0</math>}}</th></tr><tr><th><math>-\infty</math></th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th></tr></table> :d) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th></th><th>{{center|<math>100</math>}}</th></tr><tr><th><math>-\infty</math></th><th>[[File:SemiRectaB.svg|160px]]</th></tr></table> == Exercicis d'intersecció de dos condicions == 1) Representeu, escriu la notació i el nom de cada grup de condicions: :a) <math>s<6</math> i <math>s>0</math> :b) <math>s\geqslant 6</math> i <math>s\leqslant 8</math> :c) <math>s\geqslant -23</math> i <math>s<-20</math> :d) <math>s\leqslant 23</math> i <math>s>2</math> 2) Representeu, escriu el nom i escriu la condició en cada cas: :a) <math>(-100,\,8)</math> :b) <math>(-3,\,12]</math> :c) <math>[2,\,100)</math> :d) <math>[-5,\,-4]</math> :e) <math>\{5\}</math> :f) <math>\emptyset</math> 3) Representeu, escriu les condicions i escriu la notació adaptat a cada apartat: :a) Una interval obert. :b) Una interval obert per l'esquerra i tancat per la dreta. :c) Una interval tancat per l'esquerra i obert per la dreta. :d) Una interval tancat. :e) Un punt. :f) El buit. 4) Formuleu les condicions, escriu la notació i escriu el nom de cada apartat: :a) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>-0,1</math>}}</th><th>{{center|<math>0,1</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaA.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th></tr></table> :b) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>-10^{23}</math>}}</th><th>{{center|<math>-10^{22}</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaB.svg|160px]]</th></tr></table> :c) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>-\pi</math>}}</th><th>{{center|<math>\sqrt{2}</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th></tr></table> :d) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>12</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaDot.svg|160px]]</th></tr></table> == Exercicis d'unió de dos condicions == 1) Representeu, escriu la notació i el nom de cada grup de condicions: :a) <math>s<-6</math> o <math>s>0</math> :b) <math>s\geqslant 6</math> o <math>s\leqslant 8</math> :c) <math>s\geqslant -23</math> o <math>s>-20</math> :d) <math>s\leqslant 23</math> o <math>s<2</math> 2) Representeu, escriu el nom i escriu la condició en cada cas: :a) <math>(-\infty,\,8)\cup(9,\,+\infty)</math> :b) <math>(-\infty,\,2]\cup(3,\,+\infty)</math> :c) <math>(-\infty,\,-3'4)\cup[0,\,+\infty)</math> :d) <math>(-\infty,\,8]\cup[-8,\,+\infty)</math> :e) <math>\mathbb{R}</math> 3) Representeu, escriu les condicions i escriu la notació adaptat a cada apartat: :a) Dues semirectes obertes. :b) Una semirecta oberta amb una semirecta tancada. :c) Tots els nombres :d) Una interval tancat. :e) Un punt. :f) El buit. 4) Formuleu les condicions, escriu la notació i escriu el nom de cada apartat: :a) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>-3,2\cdot 10^9</math>}}</th><th>{{center|<math>-3,2\cdot 10^8</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaB.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]</th></tr></table> :b) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>-1,001</math>}}</th><th>{{center|<math>-1,0001</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaA.svg|160px]]</th></tr></table> :c) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>0</math>}}</th><th>{{center|<math>\sqrt{5}</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaBC.svg|160px]]</th><th>[[File:SemiRectaAC.svg|160px]]</th></tr></table> :d) <table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"><tr><th>{{center|<math>13</math>}}</th></tr><tr><th>[[File:SemiRectaFut.svg|160px]]</th></tr></table> === Exercici de raonament === 1) Representa acuradament el nombre <math>\pi</math> amb l'interval de l'error absolut si aquest és de <math>10^{-2}</math>.Procureu que l'interval sigui més llarg que un centímetre. 2) Hem fet una compra d'una beguda d'un litre, però hi ha una petita inscripció que ens diu l'error absolut sumat o restat: :<math>1\pm 0,05</math> Representa les dues possibilitats acuradament amb un interval de longitud major que un centímetre. == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] oykp2tjz7dq84609f4bouhihnzkuh0f 14 37971 373586 350626 2025-06-21T01:55:37Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373586 wikitext text/x-wiki Categoria que agrupa les matemàtiques d'aquest quart curs amb adaptacions. Conté els diferents ordres i maneres que hom té a l'hora de fer un curs d'un any. [[Category:Material de quart d'ESO]] [[Category:Matemàtiques d'ESO]] [[Category:CA]] r3qf34l9v79hmuvdu5gyb5mmikennen 14 37973 373585 372375 2025-06-21T01:55:34Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373585 wikitext text/x-wiki Material associat a primer d'ESO específicament a matemàtiques. [[Category:Material de primer d'ESO]] [[Category:Matemàtiques d'ESO]] [[Category:CA]] 3k1a7l5y55p10h5ekr2300dc53c47vm 0 37975 373527 356503 2025-06-21T01:49:34Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373527 wikitext text/x-wiki En aquesta secció es tracta un tema especific d'arrels i com es combinen. == Arrels == Aquest és un tema suficientment conegut com per fer una exposició oberta de tots els tipus d'arrels, orientat com a recordatori, però que servirà per reforçar els possibles oblits respecte aquest contingut. === Arrels quadrades === Presentació: <math>\sqrt{a}</math> = '''arrel quadrada''' de '''a'''. Definició: L'arrel quadrada de '''a''' és un valor real <big><big><span style="color:#f00">positiu</span></big></big> '''r''' que compleix que <math>r^2=a.</math> Observació: <math>\begin{matrix}\mathbb{R}^+&\xrightarrow{\sqrt{\,\,\bullet\,\,}}&\mathbb{R}^+\\ 0&&\sqrt{0}=&0\\ 1&&\sqrt{1}=&1\\ 4&&\sqrt{4}=&2\\ 100&&\sqrt{100}=&10\\ 0,01&&\sqrt{0,01}=&0,1\\ 250\,000&&\sqrt{250\,000}=&500\end{matrix}</math> === Arrels cúbiques === Presentació: <math>\sqrt[3]{a}</math> = '''arrel cúbica''' de '''a'''. Definició: L'arrel cúbica de '''a''' és un valor real '''r''', que compleix que <math>r^3=a.</math> Observació: <math>\begin{matrix}\mathbb{R}&\xrightarrow{\sqrt[3]{\,\,\bullet\,\,}}&\mathbb{R}\\ 0&&\sqrt[3]{0}=&0\\ 1&&\sqrt[3]{1}=&1\\ -1&&\sqrt[3]{-1}=&-1\\ 8&&\sqrt[3]{8}=&2\\ -8&&\sqrt[3]{-8}=&-2\\ -1000&&\sqrt[3]{-1000}=&10\\ 0,001&&\sqrt[3]{0,001}=&0,1\\ -8000&&\sqrt[3]{-8000}=&20\end{matrix}</math> === Arrels en general === Presentació: <math>\sqrt[n]{a}</math> = '''arrel n-èsima''' de '''a'''. Definició: L'arrel n-èsima de '''a''' és un valor real '''r''' <big><big>[[Condició|si]]</big></big> compleix que <math>r^n=a.</math> {|class="floatright" border="1" |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\sqrt[n]{a}=\begin{cases} \sqrt[n]{a}=x & \text{ si } a>0 \\ \sqrt[n]{a}=x & \text{ si } n \text{ és imparell } \\ \nexists=\text{ No existeix} & \text{ a la resta de casos } \end{cases}</math> |} Observació: L'arrel n-èsima '''r''', '''si existeix''', té el mateix signe de '''a'''. <math>\begin{matrix}\mathbb{R}&\xrightarrow{\sqrt[n]{\,\,\bullet\,\,}}&\mathbb{R}\\ a&&x\end{matrix}</math> ;Exemples: 1).<math>\sqrt[100]{1}=1</math> 3).<math>\sqrt[4]{10000}=10</math> 4).<math>\sqrt[7]{-1}=-1</math> ==== Lèxic ==== <big><big><big><big><math>\sqrt[\text{Índex}\rightarrow n]{a}_{ \leftarrow \text{Radicand}}^{\swarrow\text{Radical}}=x\leftarrow\text{arrel}</math></big></big></big></big> ;Exercicis: {|width="410" |width="190"| 1).<math>\sqrt[3]{-27}=</math> |width="100"| 2).<math>\sqrt[4]{16}=</math> |width="120"| 3).<math>\sqrt{\sqrt{16}\;}=</math> |- | 4).<math>\sqrt[5]{32}=</math> | 5).<math>\sqrt[6]{64}=</math> | 6).<math>\sqrt[3]{\sqrt{64}\;}=</math> |- | 7).<math>\sqrt[8]{100\,000\,000}=</math> | 8).<math>\sqrt[3]{-125}=</math> | 9).<math>\sqrt[7]{10^7}=</math> |- | 10).<math>\sqrt{\sqrt{\sqrt{100\,000\,000}\;}\;}=</math> | 11).<math>\sqrt{0,01}=</math> | 12).<math>\sqrt{0,0001}=</math> |- | 13).<math>\sqrt[3]{\sqrt{64\,000\,000}}=</math> | 14).<math>\sqrt[7]{10^{14}}=</math> |} === Propietats === Per poder treballar directament sobre les propietats suposarem que no es pot reduir l'ultim quadrat de <math>\sqrt{\,(-a)^2\,}=a</math> si a&nbsp;>&nbsp;0 perquè no dona el resultat correcte, ni de <math>\sqrt{\,-a\,}^{\,2}</math> amb a&nbsp;>&nbsp;0 perquè inicialment no existeix, aquesta darrera en cursos superiors es podrà fer contextualment. ;Notació: {|style="border: 1px solid grey;" cellpadding="3" cellspacing="0" |- |style="border: 1px solid grey;"| <math>\sqrt[n]{\,a\,}=a^{\frac{1}{n}}</math> |- | <span style="background-color:#ff6"><math>\sqrt[n]{\,a\,}^{\,m}</math></span> <math>=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m</math> <span style="background-color:#ff6"><math>=a^{\frac{m}{n}}</math></span> <span style="background-color:#ff6"><math>\sqrt[n]{\,\,a^m\,\,}</math></span> <math>=\left(a^m\right)^{\frac{1}{n}}</math> <span style="background-color:#ff6"><math>=a^{\frac{m}{n}}</math></span> I la fracció <math>\tfrac{m}{n}</math> de l'exponent es pot reduir si cal. |- | <math>\sqrt[n]{\,a\,}^{\,n}</math> <math>=\sqrt[n]{\,\,a^n\,\,}</math> <math>=a^{\frac{n}{n}}=a^1=a.</math> |- | <math>\sqrt[n]{\,\sqrt[m]{\,a\,}\,}</math> <math>=\left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{n}}</math> <math>=a^{\frac{1}{m}\cdot\frac{1}{n}}</math> <math>=a^{\frac{1}{n\cdot m}}</math> <math>=\sqrt[n\cdot m]{\,a\,}.</math> |} ;Propietats: {|style="border: 1px solid grey;" cellpadding="3" cellspacing="0" |- |style="border: 1px solid grey;"| <span style="background-color:#fbf"><math>\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}</math></span> <math>(a\cdot b)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}\cdot b^{\frac{1}{n}}</math> |style="border: 1px solid grey;"| <math>\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[m]{a}=\sqrt[n\cdot m]{\,\,a\,\,}^{\,m+n}</math> <math>a^{\frac{1}{n}}\cdot a^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}</math> |- |style="border: 1px solid grey;"| <span style="background-color:#fbf"><math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}</math></span> <math>\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}} }</math> |style="border: 1px solid grey;"| <math>\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{\,\,a\,\,}^{\,m-n}</math> <math>\frac{ a^{\frac{1}{n}} }{ a^{\frac{1}{m}} }=a^{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}}</math> |} == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] tfgekjgugf4qlib0i5tagwdqsj2wvp8 0 37976 373551 287788 2025-06-21T01:51:29Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373551 wikitext text/x-wiki En aquest tema donarem idea de com s'ha encarat el tema de arrels amb una nova notació. == Arrels com a potencia d'exponent fraccionari == Observacions per veure la necessitat de simplificar càlculs. === Observacions === Fórmula d'arrels: <math>\sqrt[n]{a}=r</math> si <math>a=r^n.</math> Arrels de potències amb índex igual a l'exponent. <math>\sqrt{2^2\;}=2</math> <math>\sqrt[3]{2^3\;}=2</math> <math>\sqrt[n]{2^n\;}=r</math> si <math>2^n=r^n.</math> Observeu que només tindrem l'arrel '''r''' si aquest és igual a 2, ja que surt <math>2^n=2^n</math> que clarament és cert perquè realment són iguals. === Definició de potencia d'exponent fraccionari === Definim ara com són les potències on l'exponent és una fracció <math>\frac{m}{n}</math>: <big><big><big><math>\begin{array}{|c|}\hline a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\\ \hline \end{array}</math></big></big></big> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 1y6szrfn58jy4la1xdhszf702wnp7gq 0 38040 373533 367082 2025-06-21T01:49:39Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373533 wikitext text/x-wiki Pàgina acumulativa d'exercicis d'arrels per a 4t ESO. Recull d'exercicis de radicació per treballar-los contínuament. ==Recordatori== ;La notació {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 2px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Amaga" |- |Si <math>a\geqslant 0</math> llavors <math>\sqrt[n]{\,a^\phantom{l}}^{\;m}=\sqrt[n]{a^{m\phantom{l} } }=a^{\frac{m}{n}}\geqslant 0</math> i la fracció <math>\frac{m}{n}</math> es pot reduir. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Estudi d'existència de solucions a <math>\mathbb{R}</math> del cas <math>a<0:</math> {|cellspacing="6" | {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellpadding="3" cellspacing="0" |+Existència de <math>\sqrt[n]{a^{m\phantom{l} } }</math> |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#ddf"|<small>n</small> \ <small>m</small> |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#ddf"|Parell |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#ddf"|Imparell |- |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#ddf"|Parell |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<big>Sí</big> |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#f00"|<big>No</big> |- |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#ddf"|Imparell |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<big>Sí</big> |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<big>Sí</big> |} | {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellpadding="3" cellspacing="0" |+Existència de <math>\sqrt[n]{\,a^\phantom{l}}^{\;m}</math> |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#ddf"|<small>n</small> \ <small>m</small> |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#ddf"|Parell |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#ddf"|Imparell |- |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#ddf"|Parell |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#f00"|<big>No</big> |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#f00"|<big>No</big> |- |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#ddf"|Imparell |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<big>Sí</big> |align="center" style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<big>Sí</big> |} |} Les 8 possibilitats de valors de '''n''' i '''m''' fan perillós simplificar-los com a fracció, ja que podrien canviar de parell a imparell desconeixent canvis de situacions a cada taula arribant a falsedats: :<math>1=\sqrt 1=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt[\cancel{2}]{ (-1)^\cancel{2} }=-1</math> Si existeix, es recomana fer el càlcul directament sense modificar l'enunciat, ja que les arrels per sí soles no són capaces de recuperar nombres negatius al quadrat. |} ;Propietats: :{|style="border: 2px solid #bbf;background:#fff" width="180px" cellpadding="3" cellspacing="0" |align="center"|<big><math>\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}</math></big> |- |align="center"|<big><math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b}}</math></big> |- |align="center"|<big><math>\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}</math></big> |} ;Exemple: <math>\sqrt[5]{\sqrt[3]{ \frac{2\cdot\sqrt{5}\cdot 3} {\sqrt{ 7\cdot\sqrt[3]{2}}} }}=\frac{ \sqrt[15]{2}\cdot\sqrt[30]{5}\cdot\sqrt[15]{3} }{ \sqrt[30]{7}\cdot\sqrt[90]{2} }</math> ;Observacions *Si no hi ha índex, vol dir que és dos: <math>\sqrt{342874}=\sqrt[2]{342874}</math> *Si l'índex i la potència són iguals i <math>a>0</math> llavors ratllem per anul·lar tots dos: <math>\sqrt[n]{a}^{\,n}=\sqrt[n]{a^{\,n\,}}=\sqrt[\cancel n]{a^{\cancel n}}=a</math> *Per extreure valors d'una arrel: :*Descompondre el nombre que hi ha dintre en factors primers. :*Agrupar potències de mateixa base independentment de l'índex. :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 2px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Amaga" |- |Al numerador mirem '''d'extreure''' valors múltiples d'aquest índex, el mètode més ràpid és: :<math>\frac{m}{n}=q+\frac{r}{n}</math> ve de la divisió entera <math>\begin{array}{rc} m & \begin{array}{|c} n\\ \hline \end{array}\\ r & q\\ \end{array}</math> :<math>\sqrt[n]{a^{m\phantom{l}}}=3^q\sqrt[n]{a^{r\phantom{l}}}</math> |- |Al denominador es pot aplicar el mateix mètode ràpid anterior una mica modificat: :<math>\frac{m}{n}=q+\frac{r}{n}</math> ve de la divisió entera <math>\begin{array}{rc} m & \begin{array}{|c} n\\ \hline \end{array}\\ r & q\\ \end{array}</math> :<math>\frac{1}{\sqrt[n]{ 3^{m\phantom{l}} }}=\frac{1}{3^q\sqrt[n]{ a^{r\phantom{l}} }}=\frac{ \sqrt[n]{3^{n-r\phantom{l}}} }{3^{q+1}}</math> |} ;Exemple de feina que es vol evitar: :<math>\sqrt[3]{\frac{5^{17}}{2^{20}}}=</math> <math>\sqrt[3]{\frac{5^{15}\cdot 5^2\cdot 2^1}{2^{20}\cdot 2^1}}</math> S'observa que 17 i 20 no es poden dividir per 3, per tant l'únic que cal fer és afegir valors al 20 i restar valors a 17 perquè sí siguin divisibles per 3 que és la arrel. Per tant es '''treu''' o separa <math>5^2</math> de <math>5^{17}</math> i s''''afegeix''' <math>2^1</math> un pel numerador i un altre pel denominador. Repartim l'arrel entre tots els termes: :<math>\sqrt[3]{\frac{5^{15}\cdot 5^2\cdot 2^1 }{ 2^{21}}}=</math> <math>\frac{\sqrt[3]{5^{15}}\cdot\sqrt[3]{5^2}\cdot\sqrt[3]{2^1} }{ \sqrt[3]{2^{21}}}=</math> <math>\frac{5^5\cdot\sqrt[3]{5^2\cdot 2^1} }{ 2^7}</math> I ja s'ha acabat perquè no es pot reduir més. ===Exercicis=== Fixeu-vos que els passos formen part de l'explicació, a vegades es veuen redundàncies, però és perquè es vegi l'origen del que sembla ja intuïtiu: {|border="0" width="100%" cellpadding="0" cellspacing="0" |colspan="2"|1) Extreu artesanalment el màxim de valors de dins de l’arrel: |- |width="49%" valign="top"| {|border="0" width="100%" cellpadding="7" cellspacing="0" | {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="60"|a) <math>\sqrt{8}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució a" data-collapsetext="Ok?"|<math>\sqrt{2^3}</math> <math>=\sqrt[2]{2^2\cdot 2^1}</math> <math>=\sqrt[2]{2^2}\cdot\sqrt[2]{ 2^1}</math> <math>=2\sqrt{2}</math> |} |- | {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="60"|b) <math>\sqrt[3]{8}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució b" data-collapsetext="Ok?"|<math>\sqrt[3]{2^3}</math> <math>=2^{\frac{3}{3}}</math> <math>=2^1=2</math> |} |- | {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="90"|c) <math>\sqrt{2048}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució c" data-collapsetext="Ok?"|<math>\sqrt{2^{11}}</math> <math>=\sqrt{2^{10}\cdot 2^1}</math> <math>=2^{\frac{10}{2}}\cdot\sqrt{2}</math> <math>=2^5\sqrt{2}</math> |} |- | {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="90"|d) <math>\sqrt[3]{2048}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució d" data-collapsetext="Ok?"|<math>\sqrt[3]{2^{11}}</math> <math>=\sqrt[3]{2^9\cdot 2^2}</math> <math>=\sqrt[3]{2^9}\cdot\sqrt[3]{2^2}</math> <math>=2^\frac{9}{3}\cdot\sqrt[3]{2^2}</math> <math>=2^3 \sqrt[3]{2^2}</math> |} |- | {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="90"|e) <math>\sqrt[5]{2048}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució e" data-collapsetext="Ok?"|<math>\sqrt[5]{2^{11}}</math> <math>=\sqrt[5]{2^{10}\cdot 2^1}</math> <math>=2^{\frac{10}{5}}\cdot\sqrt[5]{2}</math> <math>=2^2\sqrt[5]{2}</math> |} |- | {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="90"|f) <math>\sqrt[7]{2048}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució f" data-collapsetext="Ok?"|<math>\sqrt[7]{2^{11}}</math> <math>=\sqrt[7]{2^7\cdot 2^4}</math> <math>=\sqrt[7]{2^7}\cdot\sqrt[7]{2^4}</math> <math>=2^\frac{7}{7}\cdot\sqrt[7]{2^4}</math> <math>=2\sqrt[7]{2^4}</math> |} |- | {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="90"|g) <math>\sqrt[11]{2048}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució g" data-collapsetext="Ok?"|<math>\sqrt[11]{2^{11}}=2</math> |} |- | {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="80"|h) <math>\sqrt[3]{2^{46}}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució h" data-collapsetext="Ok?"|<math>\sqrt[3]{2^{3\cdot 15}\cdot 2^1}</math> <math>=\sqrt[3]{2^{3\cdot 15}}\cdot\sqrt[3]{2}</math> <math>=2^{15}\sqrt[3]{2}</math> <math>\begin{array}{rl} 46 & \begin{array}{|c} 3\\ \hline \end{array}\\ 1 & 15\\ \end{array}</math> llavors <math>\uparrow 46=3\cdot 15+1</math> |} |} |valign="top"| {|border="0" width="100%" cellpadding="7" cellspacing="0" |colspan="2"| {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="80"|i) <math>\sqrt[4]{3^{500}}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució i" data-collapsetext="Ok?"|<math>3^{\frac{500}{4}}</math> <math>=3^{125}</math> |} |- |colspan="2"| {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="95"|j) <math>\sqrt[6]{2^7\cdot 3^9}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució j" data-collapsetext="Ok?"|<math>\sqrt[6]{2^6\cdot 3^6\cdot 2^1\cdot 3^3}</math> <math>=\sqrt[6]{2^6}\cdot\sqrt[6]{3^6}\cdot\sqrt[6]{2^1\cdot 3^3}</math> <math>=2\cdot 3\cdot\sqrt[6]{2^1\cdot 3^3}</math> |} |- |colspan="2"| {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="150"|k) <math>\sqrt{a^2\cdot b^{100}\cdot n^{200}}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució k" data-collapsetext="Ok?"|<math>\left(a^2\cdot b^{100}\cdot n^{200}\right)^{\frac{1}{2}}</math> <math>=a^{\frac{2}{2}}\cdot b^{\frac{100}{2}}\cdot n^{\frac{200}{2}}</math> <math>=a^1\cdot b^{50}\cdot n^{100}</math> |} |- |colspan="2"| {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="80"|l) <math>\sqrt{a^{2\cdot8}}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució l" data-collapsetext="Ok?"|<math>\left(a^{2\cdot8}\right)^\frac{1}{2}</math> <math>=a^\frac{2\cdot8}{2}</math> <math>=a^8</math> |} |- |colspan="2"| {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="100"|m) <math>\sqrt{a^{2\cdot1000}}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució m" data-collapsetext="Ok?"|<math>a^\frac{2\cdot1000}{2}</math> <math>=a^{1000}</math> |} |- |colspan="2"| {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="80"|n) <math>\sqrt{a^{2\cdot n}}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució n" data-collapsetext="Ok?"|<math>a^\frac{2\cdot n}{2}</math> <math>=a^n</math> |} |- |colspan="2"| {|cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="80"|o) <math>\sqrt[n]{a^{3\cdot n}}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució o" data-collapsetext="Ok?"|<math>a^\frac{3\cdot n}{n}</math> <math>=a^3</math> |} |} |- |colspan="2"|2) Passa a potències d'exponent fraccionari, '''redueix''' i després torna a posar-ho amb arrels o amb una sola arrel quan es pugui: |- |width="50%" valign="top"| {|border="0" width="100%" cellpadding="7" cellspacing="0" |a) <math>\sqrt[n]{ 3241^{n\phantom{1}} }</math> <math>=3241^\frac{n}{n}</math> <math>=3241^1</math> <math>=3241</math> b) <math>\sqrt[6]{2^2}</math> <math>=2^\frac{2}{6}</math> <math>=2^\frac{1}{3}</math> <math>=\sqrt[3]{2}</math> c) <math>\sqrt[6]{2^3}</math> <math>=2^\frac{3}{6}</math> <math>=2^\frac{1}{2}</math> <math>=\sqrt{2}</math> d) <math>\sqrt[6]{2^4}</math> <math>=2^\frac{4}{6}</math> <math>=2^\frac{2}{3}</math> <math>=\sqrt[3]{2^2}</math> e) <math>\sqrt[30]{2^{42}}</math> <math>=2^\frac{42}{30}</math> <math>=2^\frac{21}{15}</math> <math>=2^\frac{7}{5}</math> <math>=\sqrt[5]{2^7}</math> f) <math>\sqrt[n]{2^{2\cdot n}}</math> <math>=2^\frac{\cancel n\cdot 2}{\cancel n}</math> <math>=2^2</math> |} |valign="top"| {|border="0" width="100%" cellpadding="7" cellspacing="0" |g) <math>\sqrt[3]{\frac{2^7 }{ 2^4}}</math> <math>=\left(2^{7-4}\right)^\frac{1}{3}</math> <math>=\left(2^3\right)^\frac{1}{3}</math> <math>=2^\frac{3}{3}</math> <math>=2^1=2</math> h) <math>\sqrt[5]{\frac{2^{34} }{ 2^{59}} }</math> <math>=\left(2^{34-59}\right)^\frac{1}{5}</math> <math>=\left(2^{-25}\right)^\frac{1}{5}</math> <math>=2^\frac{-25}{5}</math> <math>=2^{-5}</math> <math>=\frac{1}{2^5}</math> i) <math>\frac{ \sqrt[3]{60} }{ \sqrt[5]{60} }</math> <math>=\frac{ 60^\frac{1}{3} }{ 60^\frac{1}{5} }</math> <math>=60^{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}</math> <math>=60^\frac{2}{15}</math> <math>=\sqrt[15]{60^2}</math> ::Observació: <math>60=2^2\cdot 3\cdot 5</math>. |} |- |colspan="2"|3) Redueix el màxim possible els següents exercicis proposats: (hi ha passos que es poden saltar NO TOTS) |- |colspan="2" width="100%" valign="top"| {|border="0" width="100%" cellpadding="7" cellspacing="0" |a) <math>\sqrt[6]{\sqrt[5]{4\;}^{\;2}\; }</math> <math>=\left(\left(4^\frac{1}{5}\right)^2\right)^\frac{1}{6}</math> <math>=4^{\frac{1}{5}\cdot 2\cdot \frac{1}{6}}</math> <math>=4^\frac{2}{30}</math> <math>=4^\frac{1}{15}</math> <math>=\sqrt[15]{4}</math> b) <math>\sqrt[33]{\sqrt[5]{5^{\;33}\;}^{\;3}\; }</math> <math>=\left(\left(\left(5^{33}\right)^\frac{1}{5}\right)^3\right)^\frac{1}{33}</math> <math>=5^{33\cdot\frac{1}{5}\cdot 3\cdot \frac{1}{33}}</math> <math>=5^\frac{\cancel{33}\cdot 3}{ 5\cdot\cancel{33} }</math> <math>=5^\frac{3}{5}</math> <math>=\sqrt[5]{5^3}</math> c) <math>\frac{2^{20}\cdot\sqrt[6]{2^2} }{ 2^{50}\cdot\sqrt[4]{2^3}}</math> <math>=\frac{2^{20-50}\cdot{2^\frac{2}{6}} }{ 2^\frac{3}{4} }</math> <math>=2^{-30}\cdot 2^\frac{2}{6}\cdot 2^{-\frac{3}{4}}</math> <math>=2^{-30+\frac{2}{6}-\frac{3}{4}}</math> <math>=2^{\frac{-30\cdot 12+2\cdot 2-3\cdot 3}{12} }</math> <math>=2^{\frac{-360+4-9}{12} }</math> <math>=2^{\frac{-365}{12} }</math> <math>=2^{-30-\frac{5}{12} }</math> <math>=2^{-30-1+1-\frac{5}{12} }</math> <math>=2^{-31+\frac{12-5}{12} }</math> <math>=2^{-31+\frac{7}{12} }</math> <math>=\frac{\sqrt[12]{2^7}}{2^{31}}</math> :Amb el <math>mcm(6,4)=12</math>. |} {|border="0" width="100%" cellpadding="7" cellspacing="0" |d) <math>\sqrt[7]{\sqrt[3]{5^{\;21}\;}^{\;2}\; }</math> <math>=5^\frac{21\cdot 2}{7\cdot 3}</math> <math>=5^{2}</math> e) <math>\frac{\sqrt[4]{a^{20}}\cdot a^2\cdot\sqrt[7]{a^{21}}}{\sqrt[25]{a^{50}}\cdot\sqrt[45]{a^9}\cdot\sqrt[4]{a^2 2^8}}</math> <math>=\frac{a^\frac{20}{4}\cdot a^2\cdot a^\frac{21}{7}}{a^\frac{50}{25}\cdot a^\frac{9}{45}\cdot \left(a^\frac{2}{4}\cdot 2^\frac{8}{4}\right)}</math> <math>=\frac{ a^5\cdot\cancel{a^2}\cdot a^3}{ \cancel{a^2}\cdot a^\frac{1}{5}\cdot a^\frac{1}{2}\cdot 2^2}</math> <math>=\frac{ a^5\cdot a^3\cdot a^{-\frac{1}{5}}\cdot a^{-\frac{1}{2}}}{2^2}</math> <math>=\frac{ a^{5+3-\frac{1}{5}-\frac{1}{2}} }{2^2}</math> <math>=\frac{ a^{7+1-\frac{7}{10}} }{2^2}</math> <math>=\frac{ a^{7+\frac{3}{10}} }{2^2}</math> <math>=\frac{ a^7\sqrt[10]{a^3} }{2^2}</math> |} |} ==Recordatori== ;Racionalització Aquestes són les principals o úniques simplificacions que trobarem. La primera intenta anul·lar una arrel de qualsevol tipus al denominador. La segona només serveix per a arrels quadrades i en realitat és particular però útil. Ambdues propietats es poden demostrar fàcilment a partir de les anteriors. L'objectiu és que al denominador no hi hagi arrels, perquè les arrels produeixen errors de càlcul que són amplificades per les divisions. :{|style="border: 2px solid #bbf;background:#fff" width="400px" cellpadding="0" cellspacing="10" |+Fórmules |align="center"|<big><math>\frac{a}{\sqrt[n]{ b^{\,m} }}=\frac{ a\cdot\sqrt[n]{b^{\,n-m}} }{ \sqrt[n]{ b^{\,m} }\cdot\sqrt[n]{b^{\,n-m}} }=\frac{a\cdot\sqrt[n]{b^{\,n-m}} }{b}</math></big> |- |align="center"|<big><math>\frac{a\,}{ \sqrt{b\,}\pm\sqrt{c\,} }=\frac{ a\cdot(\sqrt{b\,}\mp\sqrt{c\,}) }{ (\sqrt{b\,}\pm\sqrt{c\,})(\sqrt{b\,}\mp\sqrt{c\,}) }=\frac{ a\cdot(\sqrt{b\,}\mp\sqrt{c\,}) }{ b-c }</math></big> |} ;Exemples 1) Racionalitza al màxim simplificant sempre que es pugui. a) <math>\frac{1}{\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}^2}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}</math> <math>=\frac{\sqrt{5}}{5}</math> b) <math>\frac{11}{\sqrt{11}}</math> c) <math>\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}</math> d) <math>\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}</math> e) <math>\frac{7\cdot\sqrt{31}}{\sqrt{31}\cdot\sqrt{7}}</math> f) <math>\frac{\sqrt{15}\cdot\sqrt{21}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}</math> g) <math>\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}}</math> h) <math>\frac{\sqrt{7}+\sqrt{42}}{\sqrt{27}\cdot\sqrt{7}}</math> i) <math>\frac{\sqrt{1}-\sqrt{21}}{\sqrt{21}\cdot\sqrt{8}}</math> === Exercicis combinats === 1) Simplifica al màxim les expressions següents. a) <math>\sqrt[3]{\frac{ \sqrt{10\cdot\sqrt{16}\cdot 20} }{\sqrt{16}}}</math> b) <math>\sqrt{\frac{ \sqrt{\sqrt{\sqrt{10000}}\cdot 5\cdot\sqrt{5}\cdot 15} }{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2^8}}}}}</math> c) <math>\sqrt{\frac{ \sqrt{5\cdot 2^7} }{\sqrt{10^5}}}</math> 2) Calcula les fraccions donades, recordant que s'ha de racionalitzar sempre i desfent tots els parèntesis. a) <math>\frac{ \frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{5}} }{ \frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{15}} }</math> b) <math>\frac{ \frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{7}} }{ \frac{1+\sqrt{5}}{7}+1 }</math> c) <math>...</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] j6lld1x78ccbot6muk3emzkgarwyo5m 0 38248 373559 290743 2025-06-21T01:51:34Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373559 wikitext text/x-wiki En aquesta secció farem primerament un paral·lelisme típic de la geometria i l'àlgebra. En temps del Grecs només entenien multiplicació com a rectangle i així van arribar de fer un volum de feina enorme. En l'actualitat la introducció purament sintàctica del àlgebra millora i facilita l'ús de les fórmules més complexes. Veiem primer la més senzilla: == Àrees de rectangles amb la mateixa altura == [[File:DistributivaGeom4.svg|right|400px]] Mirant l'àrea es veu clarament la propietat distributiva, és a dir, distribueix l'alçada <math>a</math> per a '''cada''' terme de la suma. :<math>A = a\cdot(\;b+\;c+\;d+\;e\;)= a\cdot b+a\cdot c+ a\cdot d+a\cdot e</math> == Àrees de triangles amb la mateixa altura == [[File:DistributivaGeom4b.svg|right|450px]] Mirant l'àrea es veu clarament la propietat distributiva, és a dir, distribueix l'alçada <math>a,</math> per a cada terme de la suma :<math>A=\frac{a\cdot (b+c+d+e)}{2}=\frac{a\cdot b}{2}+\frac{a\cdot c}{2}+\frac{a\cdot d}{2}+\frac{a\cdot e}{2}</math> == Quadrat d'una suma == Mirant l'àrea es veu clarament cada terme que surt de fer el quadrat d'una suma: :<math>(x+a)^2=x^2+2ax+a^2</math> {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Solució:}} |- |[[File:CuadradoSuma.svg|right|167px]]Es pot provar amb la propietat distributiva, on el primer parèntesis es distribueix dintre del segon parèntesis quedant: :<math>(x+a)^2=(x+a)\cdot (x+a)</math> <math>=(x+a)\cdot x+(x+a)a</math> <math>=x^2+a\cdot x+x\cdot a+a^2</math> <math>=x^2+2ax+a^2</math> |} == Quadrat d'una diferencia == Mirant l'àrea de <math>x^2</math> i visualitzant <math>(x-a)^2</math>, veiem que de fet aquest quadradet s'obté sumant <math>x^2+a^2</math> i després restant els rectangles associats a les parts dividides amb punts. :<math>(x-a)^2=x^2-2ax+a^2</math> {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Solució:}} |- |[[File:ProductoNotable.svg|right|310px]] |} == Producte de suma per diferencia == Vegem ara com es fa el producte següent: :<math>(x-a)\cdot (x+a)=x^2-a^2</math> {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Solució:}} |- |[[File:SumaPorDiferencia.svg|right|205px]] |} == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] jesnorebb9qvf65b7bqqguzldq59cl7 0 38405 373532 290745 2025-06-21T01:49:38Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373532 wikitext text/x-wiki == Sumes i restes de fraccions algebraiques == '''Busqueu''' sempre que es pugui dos quadrats restant-se i escriu-la com una multiplicació de binomis <math>(x+a)\cdot (x-a)=x^2-a^2</math> exemple: :<math>x^2-25=(x+5)\cdot (x-5)</math> o també <math>4x^2-9=(2x-3)\cdot (2x+3)</math> === Exercici 1 === Calculeu les sumes de fraccions algebraiques simplificant quan es pugui i traient factor comú: :a). <math>\frac{x+2}{2}+\frac{1-x}{x}=</math> :b). <math>1+\frac{1-x}{x}=</math> :c). <math>\frac{x+1}{x}+\frac{1}{x\cdot (x-1)}=</math> :d). <math>\frac{x}{2}+\frac{x+1}{2\cdot x}+\frac{-1}{2\cdot x}=</math> :e). <math>\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}=</math> === Exercici 2 === Expressa com a una fracció algebraica, simplificant sempre que es pugui: :a). <math>\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x^2-4}-\frac{1}{x-2}=</math> :b). <math>1-\frac{x+2}{x-2}+\frac{2}{x+2}+\frac{x}{4}=</math> === Exercici 3 === Expressa com a una fracció usant el mcm: :a). <math>\frac{1}{(x-2)\cdot x^2\cdot (x+1)}-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x^3}=</math> :b). <math>\frac{x}{x^2-4}+\frac{1}{(x-2)^3}-1=</math> == Productes i divisions de fraccions algebraiques == === Exercici 1 === Expressa com a una sola fracció simplificant: :a). <math>\frac{2\cdot x^2}{x-2}\cdot\frac{x-2}{4\cdot (x+2)^2}\cdot\frac{x-2}{x^3}=</math> :b). <math>\frac{x^2-16}{x+4}\cdot\frac{x^3}{x-4}\cdot\frac{x+4}{2\cdot x\cdot (x-4)}=</math> === Exercici 2 === :a). <math>\frac{\;\frac{(x+2)\cdot (x-3)^2}{(x+3)^2}\;}{\;\frac{(x-3)\cdot (x+2)}{(x+3)^3}\;}=</math> == Operacions combinades == Simplifiqueu en una sola fracció les següents expressions: :a).<math>\frac{1}{\;\frac{\frac{1}{x}-x}{1-x}\;}-\frac{\;\frac{1}{x-1}-\frac{\;1-\frac{1}{x}\;}{x}\;}{1+x}=</math> :b).<math>1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}}=</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] mmz9yrzot7zs5w6cjijhco4valfl8io 0 38814 373534 293422 2025-06-21T01:49:40Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373534 wikitext text/x-wiki Solucions 2018. Aquestes solucions es veuran modificades a mesura que apareguin nous exercicis en el curs. == Equacions 1/4 == Solució: {| |+ ! width="60 px" style="background:Lavender; color:Black"|Nivell 1 ! width="60 px" style="background:Lavender; color:Black"|Nivell 2 ! width="60 px" style="background:Lavender; color:Black"|Nivell 3 |- |a) 10 b) 8 c) 45 d) 36 e) 14 f) 7 g) 19 h) 40 i) 14 j) 36 |a) 8 b) 12 c) 21 d) 12 e) 3 f) 7 g) 7 h) 7 i) 10 j) 5 |a) 11 b) 10 c) 9 d) 3 e) 11 f) 2 g) 20 h) 16 i) 26 j) 14 |} == Equacions 2/4 == Solució: {| |+ ! width="60 px" style="background:Lavender; color:Black"|Nivell 1 ! width="60 px" style="background:Lavender; color:Black"|Nivell 2 ! width="60 px" style="background:Lavender; color:Black"|Nivell 3 |- |a) 15 b) 39 c) 25 d) 21 e) 15 f) 43 g) 41 h) 19 i) 23 j) 26 |a) 22 b) 7 |a) 38 b) 38 |} == Equacions 4/4 == Solució fitxa 4: a) El triangle equilàter té 3 costats x de longituds iguals, per tant, <math>3\cdot x = 81.</math> :Per tant la solució és 27. b) L'edat del pare, P, és el triple que la del seu fill x, per tant, escrivim <math>P=3\cdot x.</math> ::Junts sumen 44 anys, vol dir que <math>P+x=44.</math> ::Posem el resultat total com: <math>3\cdot x+x=44</math> on es pot llegir que <math>3\cdot x</math> és el pare i <math>x</math> és el fill. :Per tant la solució és per al fill <math>x=11</math> anys i per al pare <math>P=33</math> anys. c) Dos amics <math>A</math> i <math>x</math> tenen en total 87 cromos. ::L'amic <math>A</math> té el doble que <math>x</math>, es a dir, <math>A=2\cdot x.</math> ::Posem ara tot junt: <math>2\cdot x + x= 87</math> on es pot llegier que <math>2\cdot x</math> és un amic i <math>x</math> és l'altre. :Per tant la solució és <math>x=29</math> cromos i <math>A=2\cdot x=58</math> cromos. d) <math>x=11</math> m. e) EU té el doble que Alemanya, per tant, si els sumem dona <math>2\cdot A + A = 213</math> segons l'enunciat. :Per tant Alemanya té 71 atletes i EU 142 atletes. f) En la reunió hi ha una quantitat de gent desconeguda, per tant, <math>x</math> persones. ::Vegem que ara <math>x+32=3\cdot x-14</math> que es llegeix com: a la reunió s'afegeix 32 persones i ens dona 3 vegades la gent reunida menys 14. :Per tant la reunió tenia 23 persones. g) Un quadrat on "cada" un dels quatre costat és augmentat en 5 i resulta un perímetre de 168 cm, s'escriu com: :::<math>4\cdot (x+5)=168 \Rightarrow x=37 cm.</math> h) Un rectangle amb perímetre <math>x+x+(x+4)+(x+4)=100 cm,</math> per tant, <math>4x=100-8</math> i surt que <math>x=23 cm.</math> i) Un rectangle amb perímetre <math>x+x+2x+2x=78 cm,</math> per tant, surt <math>x=13 cm.</math> j) Un rectangle amb perímetre <math>x+x+(x+3)+(x+3)=26 cm,</math> aïllant surt <math>x=5 cm.</math> k) 7 discos=x+12 i 5 discos=x-18, llavors <math>7d-12=5d+18,</math> i aïllant: <math>2d=30</math> <math>\Rightarrow un\,disc=15cm.</math> l) Tenim dues "parts" que <math>60=x+y</math> i <math>3x+2y=152</math> substituint tenim <math>3x+2(60-x)=152,</math> aïllant "x" i substituint en alguna equació surt x=32 i per tant y=28. m) Tres nombres consecutius <math>x</math>, <math>(x+1)</math> i <math>(x+2)</math> tals que <math>-2(x+2)+3(x+(x+1))=527</math> d'on <math>4x=528</math> per tant <math>x=132.</math> n) Qüestionari amb 20 preguntes:<math>20=x+y</math> i llavors sabem que <math>3x-2y=30</math> per tant <math>3x-2(20-x)=30</math> d'on <math>5x-40=30</math> per tant <math>x=14.</math> o) Quatre amics amb edats x, x+3, x+6 i x+9 sumant 138 anys, llavors resolent <math>x+x+3+x+6+x+9=138</math> dona que <math>x=30</math> per tant tenen respectivament 30, 33, 36, 39 anys. p) Dos germans x i x+3, en 4 anys tindrem que <math>(x+4)+(x+3+4)=33</math> llavors <math>2x=22</math> per tant <math>x=11</math> és a dir que un té 11 anys i l'altre 14 anys. == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] ap3bstbxa2p8bh5pbm5l4pr9f4d3hdd 0 38815 373535 292571 2025-06-21T01:49:40Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373535 wikitext text/x-wiki Representació d'equacions amb dues incògnites del tipus: ::<math>ax+by=c</math> Per fer la representació només cal aïllar la "<math>y</math>" i després fer la taula de sempre. === Solucions === [[File:GráficaEjercicio.svg|center|500px]] a) <math>4x+7y=5</math> representat en blau. ::<math>4x+7y=5\Rightarrow y=\frac{5-4x}{7}</math> b) <math>x-y=2</math> representat en blau cel. ::<math>x-y=2\Rightarrow y=x-2</math> c) <math>3x+y=0</math> representat en taronja. ::<math>3x+y=0\Rightarrow y=-3x</math> d) <math>x=2</math> representat en verd oliva. ::Aquest cas és més senzill, ja que tota la columna de <math>x</math> és sempre 2. Com que no diu res de <math>y</math> vol dir que queda lliure de prendre el valor que vulgui. ::El resultat és una recta vertical on tots els seus punts són de la forma <math>(\,2,\,y\,),</math> en particular passa pel punt <math>(\,2,\,0\,),</math> que queda sobre l'eix X. e) <math>y=-1</math> representat en vermell. ::Aquest cas la columna de <math>y</math> és sempre -1. Com que no diu res de <math>x</math> vol dir que queda lliure de prendre el valor que vulgui. ::El resultat és una recta horitzontal on tots els seus punts són de la forma <math>(\,x,\,-1\,),</math> en particular passa pel punt <math>(\,0,\,-1\,),</math> que queda sobre l'eix Y. f) <math>3x=2y</math> representat en verd. ::<math>3x=2y\Rightarrow y=\frac{3x}{2}</math> g) <math>x+y=0</math> representat en morat. ::<math>x+y=0\Rightarrow y=-x</math> h) <math>23x+23y=0</math> és el mateix que (g). ::<math>23x+23y=0</math> fent factor comú 23 surt <math>23(x+y)=0</math> passant a dividir queda <math>x+y=\frac{0}{23}\Rightarrow x+y=0.</math> == Programari per representar equacions == Programa per representar equacions i funcions: versió recomanada i instal·lable GeoGebra 5.0.511.0. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Dibuix en format *.svg que inclou un miniprograma que representa funcions editant el codi. Arxiu per desar-ho amb el Bloc de notes: tipus *.*, format UTF-8 i un nom com Program.svg Porta per defecte l'equació (5-4*x)/7 que procedeix de 7y+4x=5 i podeu modificar-la.}} |- |<syntaxhighlight lang="xml"> <svg width="1000" height="1000" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"> <script><![CDATA[ var xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"; var ax1=-5;ax2=5;axw=1000;//Intervalo en X, valor menor ax1 y mayor ax2. ancho. var by1=-5;by2=10;byw=1000;//Intervalo en Y, valor menor by1 y mayor by2. alto. var nh=10;//numero de pasos o fragmentos. var Root=document.documentElement//elemento que contendrA todo lo creado. function create(){ var y;x=ax1;h=(ax2-ax1)/nh;//variables principales del cuerpo del script. var dim=axw/(ax2-ax1);//ajuste al marco. var cadena="m";ejes="m"; P=document.createElementNS(xmlns,"path");//creadores de elementos. E=document.createElementNS(xmlns,"path"); y=fx(x);//secciOn que genera una "cadena" de coordenadas centrada en el marco de imagen. cadena=cadena+(red((x-ax1)*dim,10))+","+(red(byw-(y-by1)*dim,10))+"L"; for(x=x+h;x<ax2+h;x=x+h,cadena=cadena+" "){//obtimizable. Bucle que calcula cada coordenada. y=fx(x);cadena=cadena+(red((x-ax1)*dim,10))+","+(red(byw-(y-by1)*dim,10)); }//fin de dicha secciOn para "cadena". ejes=ejes+0+","+(red(byw-(-by1)*dim,10))+"L"+axw+","+(red(byw-(-by1)*dim,10));//Cadena de eje x. ejes=ejes+"M"+(red((-ax1)*dim,10))+","+(red(byw,10))+"L"+(red((-ax1)*dim,10))+","+0;//Cadena de eje y. P.setAttributeNS(null,"d",cadena);P.setAttributeNS(null,"stroke","black"); P.setAttributeNS(null,"fill","none");Root.appendChild(P); E.setAttributeNS(null,"d",ejes);E.setAttributeNS(null,"stroke","black"); E.setAttributeNS(null,"stroke-width",3);E.setAttributeNS(null,"fill","none"); Root.appendChild(E); }//Para fOrmulas matemAticas: Math.sin(), ... function fx(u){return (5-4*u)/7 ;}//<<---ESTA ES LA VERDADERA FUNCIoN(u=x). ********************* FunciO editable ******************* function red(deci,mult){hh=deci*mult;ee=Math.round(hh);return ee/mult;}//redondeo, decimales=ceros de Mult. ]]></script> <g transform="translate(0.5,0.5)" onclick="create()"><rect x="30" y="40" width="180" height="60" fill="#ddd" stroke="black"/> <text id="T" x="76" y="76" font-size="18pt" fill="black">INICI fx</text></g> <path d="m0,0h999v999h-999z" stroke="#55f" stroke-width="2" fill="none"/> </svg> </syntaxhighlight> |} == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 77okyk0cmz8yv581dguew9yf9mznuim 0 38822 373528 357643 2025-06-21T01:49:35Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373528 wikitext text/x-wiki L'objectiu principal per a les equacions de segon grau es l'aplicació de la seva fórmula per fer les resolucions ràpides. == Introducció == Veiem com apareixen les equacions de segon grau, amb un exemple que es veu a ull. Suposem que ens demanen el següent: :En multiplicar dos nombres dona 2, i fent la suma surt 3. Llavors diuen ¿ de quins dos nombres es tracta ?<!-- deixo l'interrogant inicial per fer més èmfasi amb la pregunta. No es falta sinó expressivitat.--> Encara que es veu a simple vista, el procediment matemàtic és: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|<math>\left.\begin{array}{rl} a+b&=3\\a\cdot b&=2 \end{array}\right\} </math>}} |- |'''Un intent per resoldre'l''' :1) Aïllar una de les incògnites la que vulguem on vulguem, per exemple: :::<math>b=3-a</math> :2) Substituïm aquest equació ¡dins! de la següent equació:<!-- els símbols són necessaris per indicar només un mot! --> :::<math>a\cdot\overbrace{b}^{3-a}=2\Rightarrow a\cdot (3-a)=2</math> <math>\Rightarrow a\cdot 3 - a\cdot a=2</math> <math>\Rightarrow 0=a^2-3a+2</math> Finalment dona l'equació de segon grau i, per tant, necessitem un nou mètode per poder aïllar la "a". |} === Recordatori === Si ens donen una equació com <math>x^2=2</math> hem de saber que del quadrat poden ¡néixer! dues arrels, es com moure el quadrat a l'altre cantó de la iguatat. ::<math>x^2=2</math> <math>\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}</math> == Equació de segon grau == Direm que una equació és de segon grau si equival a igualar un polinomi de grau dos a zero. ::<math>ax^2+bx+c=0</math> Per aïllar la "x" en aquest cas s'utilitza una fórmula que es pot deduir amb molts passos: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>}} |- |'''Demostració''' Primerament fem els següents passos, alguns són estètics: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Rightarrow ax^2+bx=-c</math> Multipliquem per <math>-4a</math> a tots els termes: :<math>\Rightarrow 4a\cdot ax^2+4a\cdot bx=-4a\cdot c</math> <math>\Rightarrow 4a^2x^2+4abx=-4ac</math> L'ultim pas ha sigut afegir un element, <math>b^2</math>, només per poder usar el producte notable <math>(y+b)^2=y^2+2by+b^2</math>, d'això se'n diu mètode de quadratura i la <math>y=2ax</math>: :<math>\Rightarrow 4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac</math> <math>\Rightarrow (2ax+b)^2=b^2-4ac</math> Finalment ja podem aïllar completament la "x" i, per tant, resulta la fórmula inicial. :<math> 2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}</math> <math>\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.</math> |} == Exemples resolts == Els següents exemples porten dreceres per fer-les més ràpidament. Per que pugueu fer la vostra comparativa, faré una resolució aplicant la fórmula i després una resolució amb una drecera que haureu d'analitzar, entendre i utilitzar-la. 1) Calculeu els valors de "x" que compleixen l'equació <math>x^2+x=0.</math> :El primer pas, que es pot saltar, és identificar les 3 lletres de la fórmula ::<math>\underbrace{1}_ax^2\,\underbrace{+1}_b\,x\,\underbrace{+0}_c=0.</math> :Ara ja podem substituir a la fórmula els tres valors trobats: ::<math>x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 0}}{2\cdot 1}</math> <math>\Rightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{1}}{2}</math> <math>\Rightarrow x=\frac{-1\pm 1}{2}</math> <math>\Rightarrow \left\{ \begin{array}{rl}x=&-1\\x=&0\end{array}\right.</math> :'''Drecera''' ::<math>x^2+x=0</math> fent factor comú "x" podem convertir-lo en <math>x\cdot (x+1)=0</math> i per tant <math>\left\{ \begin{array}{rl}x=&-1\\x=&0\end{array}\right.</math> 2) Calculeu els valors de "x" que compleixen l'equació <math>x^2-16=0.</math> :El primer pas, que es pot saltar, és identificar les 3 lletres de la fórmula: ::<math>\underbrace{1}_a\,x^2\,\underbrace{+0}_b\,x\,\underbrace{-16}_c=0.</math> :Ara ja podem substituir a la fórmula els tres valors trobats: ::<math>x=\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\cdot 1\cdot (-16)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Rightarrow x=\frac{0\pm\sqrt{0+(+4)\cdot (+16)}}{2}</math> <math>\Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt 4\cdot\sqrt{16}}{2}</math> <math>\Rightarrow \left\{ \begin{array}{rl}x=&-4\\x=&+4\end{array}\right.</math> :'''Drecera''' ::<math>x^2-16=0</math> <math>\Rightarrow x^2=+16</math> <math>\Rightarrow x=\pm\sqrt{16}</math> <math>\Rightarrow \left\{ \begin{array}{rl}x=&-4\\x=&+4\end{array}\right.</math> == Exercicis == Resoleu quan es pugui: 1) <math>x^2+x-2=0</math> 2) <math>x^2-3x+2=0</math> 3) <math>2x^2-x-8=0</math> 4) <math>x^2-16=0</math> 5) <math>3x^2+9x=0</math> 6) <math>x^2+5x+6=0</math> 7) <math>x^2+6x+9=0</math> 8) <math>x^2+29x-30=0</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] t94iqwwijwcil2kygai75475rgpxncl 0 38871 373539 367613 2025-06-21T01:50:29Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373539 wikitext text/x-wiki Aquesta secció tracta de factoritzar polinomis, es a dir, convertir-lo en un producte de binomis i monomis amb diversos mètodes. Quina de les següents expressions és millor? ::<math>P(x)=x(x+2)(x-3)(x+1)(x-1)(x+1)(x+1)</math> <math>=x^7+x^6-8x^5-14x^4+x^3+13x^2+6x</math> És millor la primera expressió perquè, com és un producte de binomis i monomis, té tots els zeros exposats, és a dir, les solucions per veure on s'anul·la P(x) es veuen a simple vista estalviant temps en resoldre-la. ::<math>P(x)=0</math> sempre que el valor <math>x\in\{0,-2,3,-1, 1\}</math> En canvi, en la segona expressió els zeros estan amagats com a múltiples del terme sense x, anomenat '''terme independent''', o també terme de menor grau que és el coeficient 6. ::-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Per resoldre equacions del tipus <math>P(x)=0</math> poden sortir equacions de primer grau, de segon grau completes i incompletes, també necessitarem un mètode de recerca com Ruffini que ajuda ''sempre i quan el polinomi estigui ben arreglat per ser resolt amb facilitat''. == Divisió == La divisió directa de polinomis és útil per a situacions on els dos polinomis arbitraris són divisibles i altres situacions que no es veuen en aquest curs. El algoritme és el mateix que el de la divisió que es fa amb decimals.(En construcció) == Ruffini == Passos per veure com funciona Ruffini aplicat a la segona expressió de l'exemple introductori: ;Pas 1 :S'ha de fer una llista ordenada dels coeficients ordenat per fer un Ruffini introduint zeros allà on no hi ha un coeficient, si acaba en zero vol dir que ens hem oblidat de treure un factor comú de x: ::<math>\begin{array}{c|ccccccc}&1&1&-8&-14&1&13&6\\Multiplicador&\\ \hline &&&&&&&& \uparrow \text{ Recta de suma }\end{array}</math> ;Pas 2 :S'ha de cerca els divisors del terme independent 6 i escollir els més adequats '''per anar provant''', només cal fer la ''descomposició en factors primers, <math>6=3\cdot 2,</math> i anar fent combinacions'': ::-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 i 6. ;Pas 3 :Situar el divisor com el '''-2''' al lloc de multiplicador, la seva funció és exclusivament multiplicar. :*El significat d'això és equivalent a dividir el polinomi original per '''(x + 2)'''. :*Per defecte el significat del valor residu coincideix amb el valor de P(-2), per tant és també un mètode per valorar un polinomi. :Així es pot extreure un zero del polinomi. Pot quedar més zeros d'aquest tipus '''x = -2'''. ::<math>\begin{array}{c|ccccccc}&1&1&-8&-14&1&13&6\\-2&\\ \hline &1 \end{array}</math> :El primer terme del polinomi el baixem, en aquest cas l'1. ;Pas 4 :Hauríem de provar cada terme del pas 2 fins que el residu sigui zero, per tant fem Ruffini successivament. En aquest exemple pensem que després d'una cerca hem mirat quins valors dona residu zero, per tant, deixo l'operació bona: ::<math>\begin{array}{r|ccccccc} &1&1&-8&-14&1&13&6\\ -2&&-2&2&12&4&-10&-6\\ \hline &1&-1&-6&-2&5&3&\begin{array}{|c}0\\ \hline \end{array}\\ 3&&3&6&0&-6&-3 \\ \hline &1&2&0&-2&-1&\begin{array}{|c}0\\ \hline \end{array}\\ 1&&1&3&3&1\\ \hline &1&3&3&1&\begin{array}{|c}0\\ \hline \end{array}\\ -1&&-1&-2&-1\\ \hline &1&2&1&\begin{array}{|c}0\\ \hline\end{array}\\ -1&&-1&-1\\ \hline &1&1&\begin{array}{|c}0\\ \hline\end{array}\\ \end{array}</math> S'ha acabat de fer la descomposició ara només cal reconstruir el producte de binomis directament de la primera columna més l'ultim binomi de Ruffini: ::<math>(x+2)(x-3)(x-1)(x+1)(x+1)(x+1)</math> Tutorial semblant però que comença per valors petits *[https://www.youtube.com/watch?v=ozzalwEBhw0&t=410s Descomposició d'un polinomi amb arrels enteres] == Concepte de factorització == Al igual que <math>60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5.</math> Es vol transformar els polinomis en un producte de binomis de primer grau, com segueix: <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=(b_1x+c_1)\cdot(b_2x+c_2)\cdot ...\cdot(b_nx+c_n).</math> El mètode de Ruffini es capaç de fer una factorització, si existeix, del tipus: <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=(x+c_1)\cdot(x+c_2)\cdot ...\cdot(x+c_{n-1})\cdot(bx+c_n).</math> Però el polinomi han d'estar molt ben preparats sinó es pot quedar a mig camí en el millor des casos. ;Observació: Perquè <math>a_0=c_1\cdot c_2\cdot ...\cdot c_{n-1}\cdot c_n</math> ? Provem de fer la multiplicació <math>(x+a)(x+b)(x+c)</math> a veure com es comporta, primer els dos primers: :<math>\big((x+a)(x+b)\big)(x+c)</math> <math>=\big(x^2+(a+b)x+a\cdot b\big)(x+c)</math> <math>=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ac)x+(a\cdot b\cdot c)</math> Ara es veu clarament que el terme independent és el producte de les arrels canviades de signe <math>a\cdot b\cdot c.</math> === Exercicis === ;Exemples: 1) Donat el polinomi <math>P(x)=x^3-9x+2x^2-18</math> efectua les divisions següents per Ruffini: :a) <math>\frac{P(x)}{x+2}=Q(x)</math> :b) <math>\frac{Q(x)}{x-3}</math> 2) Donat el polinomi següents s'ha d'efectuar la factorització amb Ruffini. a) <math>P(x)=x^3-9x+2x^2-18</math> Solució: 2, -2 i -3, i per tant <math>P(x)=(x-2)\cdot(x+2)\cdot(x+3)\cdot(x+2).</math> b) <math>P(x)=3x^4+5x^3-17x^2-13x+6</math> Solució: 2, -3, -1 i 1/3, i per tant <math>P(x)=(3x-1)\cdot(x-2)\cdot(x+3)\cdot(x+1).</math> c) <math>P(x)=x^5+x^4-3x^3-3x^2-4x-4</math> Solució: -1, 2 i -2 amb un polinomi no factoritzable amb nombres reals 3) Construeix un polinomi amb els zeros -2, +2, -5 i +5 i aplica Ruffini per comprovar que estigui ben fet. == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] hohjvs6wn22k0zhyaa76bu6xaa4blcg 0 38885 373557 293227 2025-06-21T01:51:33Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373557 wikitext text/x-wiki Ara veiem de forma estesa, com buscar solucions d'equacions amb monomis i producte de monomis. == Bàsicament == Quan fem una equació d'un monomi igualat a zero, i busquem quins valors de "x" dona zero: ::<math>2x-5=0</math> Trivialment només cal aïllar la "x" donant: ::<math>x=\frac{-5}{2}</math> == Zeros de un producte de dos monomis == És quan fem una equació purament amb producte de monomis, si l'igualem a zero i busquem quins valors de "x" dona zero. Si considerem els monomis del tipus <math>(x+a)</math> per facilitar la visualització, tenim per exemple: :::<math>(x+2)\cdot(x-3)=0</math> :Per que aquest producte sigui zero, un dels dos parèntesis ha de ser zero. Tenim doncs dos possibilitats: ::Si el primer parèntesi és zero, vol dir que <math>(x+2)=0,</math> per tant, el valor de la incògnita és <math>x=-2.</math> ::Si el segon parèntesi és zero, vol dir que <math>(x-3)=0,</math> per tant, el valor de la incògnita és <math>x=3.</math> Llavors es diu que el producte <math>(x+2)\cdot(x-3)=0</math> té una "x" amb dues solucions -2 i 3. == Producte de monomis en general == Trobeu els valors de "x" que fan zero el producte de monomis següent: ::<math>(x+1)\cdot(x-3)\cdot(x+5)\cdot(x-0'1)\cdot(x-\frac{1}{2})\cdot(x+\sqrt{2})=0</math> Per tant, sense importar els valors coneguts, assenyalem la solució directament: Llavors el producte té les solucions o zeros següent: <math>-1,\,3,\,-5,\,0'1,\,\frac{1}{2},\,-\sqrt{2}.</math> === Exercici de raonament === Calculeu detalladament els zeros de: ::<math>23\cdot (2x+4)\cdot (x)\cdot (x-(-1))=0</math> Recorda que sortiran tantes solucions com "x" té aquesta equació, poden repetir-se moltes vegades, s'anomena multiplicitat del zero. '''Raonament''' :Llegint els termes d'esquerra a dreta tenim: ::a) El nombre o constant '''23''' que multiplica no té cap efecte per que mai és zero o bé simplement no té "x". ::b) El següent és <math>(2x+4)=0,</math> per tant <math>2x=-4</math> <math>\Rightarrow x=\frac{-4}{2}</math> i finalment <math>x=-2.</math> ::c) El següent terme que multiplica és <math>(x),</math> per tant és zero si efectivament <math>x=0.</math> ::d) Per últim <math>(x-(-1)),</math> és zero si, <math>(x-(-1))=0</math> <math>\Rightarrow x+1=0</math> <math>\Rightarrow x=-1.</math> :Resumint, els valors de x són: -2, 0, -1. === Exercici === 1) Calculeu els zeros de: :a) <math>x\cdot (x+1)\cdot x\cdot (x-1)=0</math> :b) <math>x\cdot x=0</math> :c) <math>(2x-8)\cdot (3x+12)=0</math> :d) <math>(x+1)\cdot (x+1)\cdot (x+1)\cdot (x+1)\cdot (x+1)=0</math> :e) <math>(x+2)\;x\;37\;(x+2)=0</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 2659r478gbnst58pdu7lmfmjsi6yl0o 0 38886 373555 371023 2025-06-21T01:51:31Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373555 wikitext text/x-wiki En aquesta secció començarem pel significat de equació i el sentit de solució d'una equació per donar pas a a interpretació dels [Sistemes_d%27equacions_III|sistemes d'equacions] ja treballats a 3rESO. == Equació == Una equació és una condició d'igualtat que sotmet dos expressions amb incògnites. :<math>1+\frac{2-x}{3}+3 \,\,\,=\,\,\, x-\frac{x-3}{5}</math> Les solucions d'una equació són els valors de les incògnites que fan complir la condició d'igualtat. Les equacions ens diuen com ha de ser cadascuna de les possibles solucions. Les equacions poden no tenir solució, tenir una quantitat finita de solucions, tenir una quantitat infinita numerable o no de solucions, o poden alliberar les incògnites quan aquestes desapareixen de l'equació. De vegades les equacions es poden subdividir en altres equacions. :<math>(1-x)(x+2)=0\Rightarrow\begin{cases} (1-x)=0 & \Rightarrow 1=x \\ \\ (x+2)=0&\Rightarrow x=2 \end{cases}</math> === Equació d'una incògnita === Donada una equació de la forma ax+b=0, on "a" i "b" són coneguts, la incògnita x es calcula aïllant-la: ::<math>ax+b=0</math> <math>\Rightarrow ax=-b</math> <math>\Rightarrow x=-\frac{b}{a}</math> Exemple: 1) Calcula cada valor de x que compleix l'equació demanada: :a) <math>3x-6=0</math> <math>\Rightarrow 3x=6</math> <math>\Rightarrow x=\frac{6}{3}</math> <math>\Rightarrow x=2.</math> :b) <math>\frac{2}{3}+\frac{1-\frac{x}{5}+2}{3}-\frac{1}{3}=2</math> <math>\Rightarrow\frac{2+1-\frac{x}{5}+2-1}{3}=2</math> <math>\Rightarrow 2+1-\frac{x}{5}+2-1=6</math> <math>\Rightarrow -\frac{x}{5}=2</math> <math>\Rightarrow x=-10</math> === Equació de dos incògnites === Són equacions amb dos incògnites com <math>3x+2y=1.</math> Es poden fer equacions de tantes incògnites com es desitgin. == Sistemes d'equacions == Es diu '''sistema d'equacions''' al conjunt de més d'una equació que presumptament cooperen per establir el valor de les incògnites. <math>\left.\begin{array}{l} y=3x-2\\x=4y+4 \\x+y=1 \end{array}\right\}</math> ==== Sistema lineals de dos equacions amb dos incògnites ==== En aquest cas cadascuna de les dues equacions es pot representar com rectes, aïllant una de les incògnites i fent les seves taules. Aquest fet facilita la comprensió del sistema d'equacions i què significa buscar la solució del sistema. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Curiositats" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Exemple abstracte''' per a curiosos |- |Sabem que cada equació és una recta de punts al pla, per tant ajuntant dues equacions s'indica amb una clau: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Curiositats" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases}</math>, on x i y són les incògnites. |- |Es pot escriure amb la conjunció '''i''': :<math>ax+by=c</math> i <math>dx+ey=f</math> També es pot escriure com a conjunts del tipus: ::{ àmbit de les incògnites | condicions sobre les incògnites } Com: :<math>\{x,y\in\mathbb{R} | ax+by=c, dx+ey=f\}</math> :<math>\{x\in\mathbb{R}\land y\in\mathbb{R} | ax+by=c\land dx+ey=f\}</math> |} això vol dir que busquem punts sobre una ''recta i l'altra'' a la vegada, és a dir, busquem la '''intersecció''' de les dues rectes si és que en té. :Si aïllem una de les incògnites, per exemple la "y", llavors obtenim: ::<math>\left.\begin{array}{rl} y&=\frac{c-ax}{b}\\dx+ey&=f \end{array}\right\} </math> :Ara ja podem substituir el valor de "y" dins de la segona equació ::<math>dx+e(\frac{c-ax}{b})=f</math> :i aïllant la "x" tenim el seu valor exacte, després el substituïm dins de qualsevol equació amb la incògnita "y" per així obtenir el seu valor. Aquest mètode és el més llarg, però deixa veure la intenció per arribar a la solució. |} ===== Exemples numèrics ===== 1) Representeu i calculeu els punts d'intersecció de cada sistema: :a) <math>\left.\begin{array}{rl} y=&2x-3\\y=&3-x\end{array}\right\} </math> {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Solució}} |- |En aquest cas ja tenim aïllada la "y", per tant, només cal substituir el seu valor dins l'altra ::<math>(2x-3)=3-x</math> <math>\Rightarrow 2x-3=3-x</math> <math>\Rightarrow 2x+x=3+3</math> <math>\Rightarrow 3x=6</math> <math>\Rightarrow x=2.</math> Ara substituint el valor de "x" en una que tingui "y": ::<math>y=3-x</math> <math>\Rightarrow y=3-(2)</math> <math>\Rightarrow y=1.</math> La solució és el punt <math>(\,x,\,y\,)</math> amb els valors: <math>\begin{array}{|c|}\hline x=2\\y=1\\ \hline \end{array}</math> Deixo la representació com a deures, indicant amb un cercle vermell el punt d'intersecció. |} :b) <math>\left.\begin{array}{rl} y=&x^2\\y=&4 \end{array}\right\} </math> {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Solució}} |- |En aquest cas ja tenim aïllada la "y", per tant, només cal substituir el seu valor dins l'altra ::<math>(x^2)=4</math> <math>\Rightarrow x^2=4</math> <math>\Rightarrow x=\pm\sqrt{4}</math> <math>\Rightarrow x=\pm 2.</math> No cal substituir el valor de "x" per que ja tenim el valor "y". La solució és el punt <math>(\,x,\,y\,)</math> amb els valors: <math>\begin{array}{|c|}\hline x=\pm 2\\y=4\\ \hline \end{array}</math> Deixo la representació com a deures, indicant amb un cercle vermell els dos punts d'intersecció. |} :c) <math>\left.\begin{array}{rl} y=&-x^2\\y=&-2+x \end{array}\right\} </math> :d) <math>\left.\begin{array}{rl} y=&x^2\\y=&3x-x^2 \end{array}\right\} </math> :e) <math>\left.\begin{array}{l} y=x\\y=2x-1 \end{array}\right\}</math> ==== Sistema no lineals de dos equacions amb dos incògnites ==== Es recomana utilitzar el mètode de substitució. Ara mirem d'aplicar sempre el mètode de substitució ja que serà el que farem servir per aquests casos. ;Exemples: 1) <math>\left.\begin{array}{l} y-x=0\\x^2+y^2=2 \end{array}\right\}</math> Solució: aïllant la y a la primera equació tenim y=x, llavors fem substitució a la segona equació queda com <math>x^2+(x)^2=2</math> que sumant dona <math>2x^2=2</math> i simplificant el 2 dona <math>x^2 =1</math> i per tant <math> x=\pm\sqrt{1},</math> és a dir <math> x=\pm 1</math> i <math> y=\pm 1.</math> Per tant té dos solucions (x,y) que són (1,1) i (-1,-1). 2) <math>\left.\begin{array}{l} y-x^2=0\\x^2+y=4 \end{array}\right\}</math> Solució: aïllant la y i substituint a la segona equació queda com <math>x^2+(x^2)=4</math> que sumant dona <math> 2x^2=4</math> i simplificant el 2 dona <math>x^2=2</math> i com abans dona <math>x=\pm\sqrt{2}.</math> Per tant té dos solucions (x,y) que són <math>(\sqrt{2},2)</math> i <math>(-\sqrt{2},2).</math> 3) <math>\left.\begin{array}{l} y+x=1\\2x^2+y^2=6 \end{array}\right\}</math> Solució: aïllant la y dona y=1-x substituint a la segona equació dona <math>2x^2+(1-x)^2=6</math> efectuant el quadrat dona <math>2x^2+1-2x+x^2=6</math> i agrupant dona <math>3x^2-2x-5=0</math> Aquesta equació es de 2n grau per tant té les solucions <math>x_1=\dfrac{5}{3}</math> i <math>x_2=-1</math> Per tant té dos solucions (x,y) que són <math>(\dfrac{5}{3},-\dfrac{2}{3})</math> i <math>(-1,2)</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 8f7t6qvde9pgbfj9bbwtjld1cbry61b 0 38888 373537 356941 2025-06-21T01:49:42Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373537 wikitext text/x-wiki Exercicis de factorització de polinomis com a multiplicació de polinomis indivisibles. Recordant la descomposició en factors primers de nombres enters també es pot repetir el mateix procediment per a polinomis. Exemple amb enters: <math>60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5</math> Exemple amb polinomis: <math>x^2-1=(x+1)\cdot (x-1)</math> En aquesta secció molts polinomis estan preparats per facilitar la divisió. Hi ha polinomi que no es poden descompondre de cap manera, però els evitarem. == Exercicis == 1) Feu la descomposició factorial de cada polinomi amb Ruffini successivament. :a) <math>x^3+5x^2-13x+7=(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)</math> :b) <math>x^5+3x^4+2x^3-2x^2-3x-1=(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)</math> :c) <math>x^3-2x^2-9x+18=(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)</math> :d) <math>x^3-19x+30=(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)</math> :e) <math>x^3-9x^2+27x-27=(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)</math> :f) <math>x^3-14x^2+49x-36=(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)</math> :g) <math>x^2+x-1=(x\;\;\;\;\;\;)(x\;\;\;\;\;\;)</math> 2) Preguntes: :a) Amb un polinomi de grau 4 en quants possibles binomis podria descompondre per Ruffini? :b) Amb un polinomi de grau 20 en quants possibles binomis podria descompondre per Ruffini? 3) Calculeu els zeros per Ruffini i quan es pugui també resoleu-la: :a) <math>x^3-8=0</math> :b) <math>x^3-5x^2+8x-4=0</math> :c) <math>x^2-6x+9=0</math> :d) <math>x^3-13x^2+23x-11=0</math> :e) <math>x^3-11x^2-25x-13=0</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 3oicntb01q3o2r3d2m6aok4c2q39idc 0 38889 373455 372420 2025-06-21T00:59:31Z AtUkr 17909 merged the header in 373455 wikitext text/x-wiki This page contains the historical activity record of the page [[States of Wikiversities]]. It covers all projects in Beta Wikiversity, and all projects that have been spun out of Beta Wikiversity into their own subdomains. It was created in January 2019. * The column "Number of pages" has been removed here because it is dynamic and depends on the current number of pages in the category, not the historical number of pages. * The column "Localization status" has been removed because it is semi-dynamic and depends on the current state of localization. The historical record on this is not particularly helpful to determining the eligibility of projects for approval, and no effort has been made in the past to capture the history here. It would be very hard to reconstruct, and not worth the effort. The most current information is always available at [[States of Wikiversities]]. == Beta Wikiversities == :''In this table, entries are ordered by language code.'' <div style="margin-left: auto; margin-right: auto; overflow:auto; width: 100%;"> {| class="wikitable" style="font-size:80%;" |+ style="text-align:left;|Number of Active Contributors <br>(Registered users with 10+ edits in a month)<br>Coloration: <span style="background:#fcfcfc; color:#000; border:1px solid #ccc">&nbsp;Did not exist (N.E.) at the time&nbsp;</span>, <span style="background:#f83; color:#000;">&nbsp;No activity&nbsp;</span>, <span style="background:#ffdd33; color:#000;">&nbsp;0 users&nbsp;</span>, <span style="background:#ddff33; color:#000;">&nbsp;1-2 users&nbsp;</span>, <span style="background:#aaff33; color:#000;">&nbsp;3+ users&nbsp;</span> |- ! rowspan="2" | Language<br>Name | rowspan="59" bgcolor="#000000" | ! rowspan="2" | Language<br>Code | rowspan="59" bgcolor="#000000" | ! rowspan="2" | In beta<br> since<br><small> (mm/yyyy) </small> | rowspan="59" bgcolor="#000000" | ! rowspan="2" | Official Status | rowspan="59" bgcolor="#000000" | ! colspan="6" | 2006 ! colspan="12" | 2007 ! colspan="12" | 2008 ! colspan="12" | 2009 ! colspan="12" | 2010 ! colspan="12" | 2011 ! colspan="12" | 2012 ! colspan="12" | 2013 ! colspan="12" | 2014 ! colspan="12" | 2015 ! colspan="12" | 2016 ! colspan="12" | 2017 ! colspan="12" | 2018 ! colspan="12" | 2019 ! colspan="12" | 2020 ! colspan="12" | 2021 ! rowspan="2" | S<br>t<br>a<br>t<br>u<br>s<br> |- ! 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 |- | [[w:Afrikaans language|Afrikaans]] | {{Catanalysis|AF}} || 03/2013 {{/Project|waiting|Afrikaans}} {{/NE|80}} {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Azerbaijani language|Azerbaijani]] | {{Catanalysis|AZ}} || 06/2009 {{/Project|no|Azerbaijani}} {{/NE|35}} {{Contrib| 0 | - | - | - | 0 | - | 0 }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | 0 | - | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Balochi language|S. Balochi]] | {{Catanalysis|BCC}} || 06/2008 {{/Project|no|Southern Balochi}} {{/NE|23}} {{Contrib| 0 | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Belarusian language|Belarusian]] | {{Catanalysis|BE}} || 2019-01 {{/Project|waiting|Belarusian}} {{/NE|150}} {{Contrib| 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| 1 | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Bulgarian language|Bulgarian]] | {{Catanalysis|BG}} || 05/2007 {{/Project|eligible|Bulgarian}} {{/NE|10}} {{Contrib| 1 | 2 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | - }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 1 | - | 0 | - | 0 | - | - | - | 0 | - | 0 | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 0 | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2009 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 1 | - | 0 | - | - | 0 | - | 0 | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| 0 | 0 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | - | 0 | 0 | - | 0 }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | 0 | 0 | - | 0 | 0 | - | - | 0 | 0 | 1 | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| 0 | - | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | - | - | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2013 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | - | - | 0 | - | - | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | 0 | 0 | 0 | 0 | - | 0 | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | 1 | 1 | 1 | 1 | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | 1 | 0 | 0 | - | 0 | 0 | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| 0 | - | - | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2019 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2020 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | 0 | 0 | - | 0 | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- |[[w:Bengali language|Bengali]] |{{Catanalysis|BN}} || 2018-02 {{/Project|waiting|Bengali}} {{/NE|139}} {{Contrib| 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Catalan language|Catalan]] | {{Catanalysis|CA}} || 01/2008 {{/Project|eligible|Catalan}} {{/NE|18}} {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | 2 | - | 1 | - | - | 0 }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | 0 | 0 | 2 | - | 0 | - | - | 1 | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| 0 | 1 | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | 0 | 0 }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | 0 | 1 | 0 | 0 | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | 0 | - | 0 | - | 0 | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | - | - | 0 | - | - | 0 }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | - | - | - | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | - | - | 0 | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | 0 | - | - | 0 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2018 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 }}<!-- 2019 --> {{Contrib| 1 | 0 | 1 | 0 | - | - | - | - | 1 | 1 | - | 1 }}<!-- 2020 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Zaza language|Zazaki]] | {{Catanalysis|DIQ}} || 06/2008 {{/Project|eligible|Zazaki}} {{/NE|23}} {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | 1 | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | 1 | - | 1 | 0 | 2 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | 1 | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | 1 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 1 | 0 | - | - | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | 1 | 1 | 3 }}<!-- 2018 --> {{Contrib| 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Esperanto|Esperanto]] | {{Catanalysis|EO}} || 08/2006 {{/Project|no|Esperanto}} {{/NE|1}} {{Contrib| 0 | 1 | 0 | 0 | - }}<!-- 2006 --> {{Contrib| - | - | - | 1 | 0 | 0 | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 1 | 0 | - | 0 | - | - | - | - | - | - | 0 | 2 }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 | 1 | 0 }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | 0 | - | 0 | - | 1 | 1 | 0 | 1 }}<!-- 2012 --> {{Contrib| 1 | 1 | - | 0 | 0 | - | - | 0 | 0 | - | - | 0 }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | 0 | - | - | 0 }}<!-- 2015 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | - | 0 | - | - | 1 | 1 | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | - | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| 0 | 0 | - | - | 0 | 1 | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | 0 | 1 | - | 0 | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | - | - | - | 0 | - | 0 | - | - | 0 }}<!-- 2020 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | 0 | - | 0 | 0 | - | - | 0 }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Estonian language|Estonian]] | {{Catanalysis|ET}} || 05/2008 {{/Project|eligible|Estonian}} {{/NE|22}} {{Contrib| 2 | 1 | - | 0 | 2 | 2 | 2 | 4 }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 2 | 5 | 5 | 2 | 1 | 0 | 0 | 2 | 7 | 4 | 4 | 6 }}<!-- 2009 --> {{Contrib| 2 | 2 | 2 | 3 | 2 | 3 | 1 | 3 | 4 | 5 | 17 | 8 }}<!-- 2010 --> {{Contrib| 1 | 3 | 1 | 3 | 0 | 2 | 0 | 2 | 5 | 2 | 1 | 1 }}<!-- 2011 --> {{Contrib| 5 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 }}<!-- 2012 --> {{Contrib| 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | - | 0 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 }}<!-- 2013 --> {{Contrib| 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 0 | 0 | 1 | 3 | 1 | 0 | 1 }}<!-- 2014 --> {{Contrib| 2 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | - | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2015 --> {{Contrib| 1 | 2 | 2 | 2 | 1 | - | 0 | - | - | - | 1 | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2017 --> {{Contrib| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Persian language|Persian]] | {{Catanalysis|FA}} || 11/2006 {{/Project|eligible|Persian}} {{/NE|4}} {{Contrib| 0 | - }}<!-- 2006 --> {{Contrib| - | 1 | 0 | - | 1 | 0 | - | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | 1 | 0 | 0 | - | 0 | 0 | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - | 1 | 0 | 1 | 0 }}<!-- 2010 --> {{Contrib| 1 | 0 | - | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | - | 0 }}<!-- 2011 --> {{Contrib| 1 | 0 | - | 1 | 0 | 0 | - | 0 | - | - | 0 | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| 0 | 0 | - | 0 | - | - | - | - | 0 | - | - | 0 }}<!-- 2013 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | 0 | 0 | - | - | 0 | - | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2014 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | 1 | - | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| 1 | 1 | 2 | - | 0 | - | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2017 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | - | 0 | - | - | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2019 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Galician language|Galician]] | {{Catanalysis|GL}} || 02/2008 {{/Project|eligible|Galician}} {{/NE|19}} {{Contrib| 0 | - | 0 | - | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Gilaki language|Gilaki]] | {{Catanalysis|GLK}} || 11/2007 {{/Project|eligible|Gilaki}} {{/NE|16}} {{Contrib| 1 | 1 }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 0 | - | - | 0 | 0 | - | - | - | 1 | 0 | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Alemannic German|Alemannic]] | {{Catanalysis|GSW}} || 02/2010 {{/Project|no|Alemannic}} {{/NE|43}} {{Contrib| 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Hakka Chinese|Hakka]] | {{Catanalysis|HAK}} || 12/2009 {{/Project|no|Hakka}} {{/NE|41}} {{Contrib| 0 }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Hebrew language|Hebrew]] | {{Catanalysis|HE}} || 03/2007 {{/Project|eligible|Hebrew}} {{/NE|8}} {{Contrib| 1 | 0 | 0 | - | 0 | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 1 | 4 | 2 }}<!-- 2013 --> {{Contrib| 2 | 3 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 }}<!-- 2014 --> {{Contrib| 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 5 | 2 | 1 | 2 | 3 }}<!-- 2015 --> {{Contrib| 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 | 3 | 2 | 2 | 3 }}<!-- 2016 --> {{Contrib| 2 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2017 --> {{Contrib| 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2 }}<!-- 2018 --> {{Contrib| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2019 --> {{Contrib| 1 | 1 | 3 | 3 | 2 | 2 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 | 2 }}<!-- 2020 --> {{Contrib| 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 3 | 3 | 3 }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Croatian language|Croatian]] | {{Catanalysis|HR}} || 01/2009 {{/Project|no|Croatian}} {{/NE|30}} {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | 1 | 0 | - | - | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Haitian Creole|Haitian]] | {{Catanalysis|HT}} || 01/2008 {{/Project|eligible|Haitian Creole}} {{/NE|18}} {{Contrib| 0 | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Hungarian language|Hungarian]] | {{Catanalysis|HU}} || 04/2008 {{/Project|eligible|Hungarian}} {{/NE|21}} {{Contrib| 0 | 0 | 0 | - | - | 1 | 1 | 1 | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 2 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | 0 | 0 | - | 0 | - | - | 0 | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | 0 | 0 | - | - | - | 1 | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | 0 | - | - | - | 0 | 0 }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | 1 | - | 0 | - | - | - | - | 0 | 0 }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Indonesian language|Indonesian]] | {{Catanalysis|ID}} || 12/2015 {{/Project|waiting|Indonesian 2}} {{/NE|113}} {{Contrib| 0 }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | 0 | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | 0 | - | - | 0 | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | 0 | 0 | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Icelandic language|Icelandic]] | {{Catanalysis|IS}} || 12/2008 {{/Project|no|Icelandic}} {{/NE|28}} {{Contrib| 0 | 0 }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Georgian language|Georgian]] | {{Catanalysis|KA}} || 01/2007 {{/Project|eligible|Georgian}} {{/NE|6}} {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 1 | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 0 | 0 | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | 0 | 1 | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| 0 | 0 | - | 0 | - | - | 0 | - | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Colognian dialect|Colognian]] | {{Catanalysis|KSH}} || 10/2006 {{/Project|no|Colognian}} {{/NE|2}} {{Contrib| 1 | 0 | - | 0 }}<!-- 2006 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | 0 }}<!-- 2009 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | 0 | 0 }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Kurdish language|Kurdish]] | {{Catanalysis|KU}} || 01/2012 {{/Project|eligible|Kurdish}} {{/NE|66}} {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | 1 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Latin|Latin]] | {{Catanalysis|LA}} || 01/2009 {{/Project|no|Latin}} {{/NE|30}} {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Limburgish language|Limburgish]] | {{Catanalysis|LI}} || 09/2007 {{/Project|eligible|Limburgish}} {{/NE|14}} {{Contrib| 0 | - | - | - }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | 0 | 1 | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Lingala|Lingala]] | {{Catanalysis|LN}} || 05/2007 {{/Project|no|Lingala}} {{/NE|10}} {{Contrib| 0 | - | - | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Lithuanian language|Lithuanian]] | {{Catanalysis|LT}} || 07/2012 {{/Project|eligible|Lithuanian}} {{/NE|72}} {{Contrib| 2 | 0 | 2 | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| 2 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | 0 | - | 5 | 3 | - | - | 0 | 0 | - | - | 1 }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | 0 | 3 | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 0 | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Latvian language|Latvian]] | {{Catanalysis|LV}} || 04/2009 {{/Project|no|Latvian}} {{/NE|33}} {{Contrib| 0 | 2 | 2 | - | 0 | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Malagasy language|Malagasy]] | {{Catanalysis|MG}} || 05/2010 {{/Project|no|Malagasy}} {{/NE|46}} {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{/NE|37}} | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Macedonian language|Macedonian]] | {{Catanalysis|MK}} || 01/2008 {{/Project|no|Macedonian}} {{/NE|18}} {{Contrib| 1 | - | - | - | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Malayalam|Malayalam]] | {{Catanalysis|ML}} || 01/2007 {{/Project|no|Malayalam}} {{/NE|6}} {{Contrib| 1 | 0 | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | 0 | - | 0 | - | 0 }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | 0 | - | - | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Marathi language|Marathi]] | {{Catanalysis|MR}} || 06/2008 {{/Project|no|Marathi}} {{/NE|23}} {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Malay language|Malay]] | {{Catanalysis|MS}} || 11/2011 {{/Project|no|Malay}} {{/NE|64}} {{Contrib| 0 | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Mirandese language|Mirandese]] | {{Catanalysis|MWL}} || 09/2017 {{/Project|no|Mirandese}} {{/NE|134}} {{Contrib| 0 | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Mazanderani language|Mazanderani]] | {{Catanalysis|MZN}} || 08/2009 {{/Project|eligible|Mazandarani}} {{/NE|37}} {{Contrib| 1 | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 1 | 0 | 1 | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Nepali language|Nepali]] | {{Catanalysis|NE}} || 04/2009 {{/Project|waiting|Nepali}} {{/NE|33}} {{Contrib| 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 0 | 0 | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Dutch language|Dutch]] | {{Catanalysis|NL}} || 10/2006 {{/Project|eligible|Dutch}} {{/NE|3}} {{Contrib| 0 | 0 | 0 }}<!-- 2006 --> {{Contrib| 1 | - | - | - | 0 | - | 0 | - | - | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 1 | 2 | - | - | 0 | 0 | - | 0 | 0 | 4 | 3 | 0 }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 2 | 0 | - | - | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | 1 | - | - | 0 | - | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 }}<!-- 2011 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2012 --> {{Contrib| 1 | 1 | - | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 }}<!-- 2013 --> {{Contrib| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 5 | 8 | 2 | 0 | 0 | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| 1 | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 0 | - | 0 | - | - | 0 | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Norwegian language|Norwegian]] | {{Catanalysis|NO}} || 09/2006 {{/Project|no|Norwegian}} {{/NE|2}} {{Contrib| 0 | - | - | - }}<!-- 2006 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2007 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Occitan language|Occitan]] | {{Catanalysis|OC}} || 11/2008 {{/Project|no|Occitan}} {{/NE|28}} {{Contrib| 0 | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Punjabi language|Punjabi]] | {{Catanalysis|PA}} || 03/2016 {{/Project|no|Punjabi}} {{/NE|116}} {{Contrib| 1 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | 0 | - | 0 | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| 0 | 0 | - | 0 | 0 | 0 | - | - | - | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2018 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | 0 | - | 0 | - | 0 | - | - | 1 | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 0 | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Polish language|Polish]] | {{Catanalysis|PL}} || 06/2007 {{/Project|eligible|Polish 2}} {{/NE|11}} {{Contrib| 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | - }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 0 | 0 | - | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | - | - | 0 }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 0 | - | - | 0 | 0 | - | - | - | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | 0 | 0 | - | - | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | 0 | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| 0 | - | - | 0 | - | - | - | 0 | - | 0 | - | 0 }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | 1 }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 0 | 1 | - | 0 | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | 0 | - | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | 1 | - | - | 1 }}<!-- 2020 --> {{Contrib| 1 | 0 | 3 | - | - | 0 | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Pashto language|Pashto]] | {{Catanalysis|PS}} || 09/2017 {{/Project|eligible|Pashto}} {{/NE|134}} {{Contrib| 1 | 0 | - | 0 }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Romanian language|Romanian]] | {{Catanalysis|RO}} || 03/2007 {{/Project|eligible|Romanian 2}} {{/NE|8}} {{Contrib| 1 | - | 0 | 1 | - | - | 1 | 2 | 4 | 3 }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | - | 0 | 1 | 1 | 0 }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 0 | - | 1 | 0 | 0 | - | 0 | - | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| 0 | 2 | 0 | - | - | 0 | - | 0 | - | 0 | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - | 0 | 0 }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | 2 | 0 | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | 0 | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Scots language|Scots]] | {{Catanalysis|SCO}} || 06/2017 {{/Project|no|Scots}} {{/NE|131}} {{Contrib| 1 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 0 | - | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Slovak language|Slovak]] | {{Catanalysis|SK}} || 01/2009 {{/Project|eligible|Slovak}} {{/NE|30}} {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | 0 | 0 | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | 1 | 1 | - | - | 0 | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Serbian language|Serbian]] | {{Catanalysis|SR}} || 11/2008 {{/Project|no|Serbian}} {{/NE|28}} {{Contrib| 0 | 0 }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2009 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | 1 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Swahili language|Swahili]] | {{Catanalysis|SW}} || 11/2010 {{/Project|no|Swahili}} {{/NE|52}} {{Contrib| 0 | 1 }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Tamil language|Tamil]] | {{Catanalysis|TA}} || 03/2010 {{/Project|rejected|Tamil}} {{/NE|44}} {{Contrib| 0 | - | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - }}{{/Rejected|42}}<!-- 2018 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Telugu language|Telugu]] | {{Catanalysis|TE}} || 02/2009 {{/Project|no|Telugu}} {{/NE|31}} {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | 1 | - | 1 | 0 | - | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Thai language|Thai]] | {{Catanalysis|TH}} || 03/2008 {{/Project|no|Thai}} {{/NE|20}} {{Contrib| 0 | 0 | 0 | - | - | - | 0 | 0 | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 1 | - | 1 | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Turkish language|Turkish]] | {{Catanalysis|TR}} || 04/2007 {{/Project|eligible|Turkish 2}} {{/NE|9}} {{Contrib| 0 | 0 | - | 1 | - | - | - | - | 0 }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | - | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 0 | 0 | - | - | 0 | - | - | - | 0 | - | 0 | 1 }}<!-- 2009 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | 0 | - | - | - | - | - | 1 | 0 | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 0 | - | - | 0 | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | 0 | - | 0 | - | - | - | 0 | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | 1 | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 2 | 0 | - | 0 | - | 0 | - | 0 | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | 0 | - | 0 | 0 | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | 0 | 0 | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| 0 | 0 | - | 1 | 0 | 2 | 0 | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | 1 | - | 1 | - | - | - | - | - | - | 0 | 0 }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Ukrainian language|Ukrainian]] | {{Catanalysis|UK}} || 10/2007 {{/Project|eligible|Ukrainian 2}} {{/NE|15}} {{Contrib| 0 | 1 | - }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | - | - | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | - | 0 | - | 0 | 0 | 1 | - | 0 | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | - | 0 | 0 | - | 1 | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| 0 | 1 | 1 | 0 | - | - | 0 | 0 | 0 | - | - | 1 }}<!-- 2011 --> {{Contrib| 1 | - | - | - | 0 | - | - | - | 1 | 1 | 1 | 4 }}<!-- 2012 --> {{Contrib| 3 | 1 | 2 | 1 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | 1 | 0 | 0 | 0 | - | - | 0 | - | 0 }}<!-- 2014 --> {{Contrib| 1 | - | 0 | 0 | - | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 0 | 2 }}<!-- 2015 --> {{Contrib| 1 | 2 | 6 | 0 | 2 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 }}<!-- 2016 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2017 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - | 0 | 0 | 1 | 1 }}<!-- 2018 --> {{Contrib| 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| 0 | - | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2020 --> {{Contrib| 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Vietnamese language|Vietnamese]] | {{Catanalysis|VI}} || 07/2008 {{/Project|no|Vietnamese}} {{/NE|24}} {{Contrib| 0 | 0 | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | 0 | 1 }}<!-- 2009 --> {{Contrib| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2010 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | - | 0 | 0 | - | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | 0 | 0 | 0 | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | 0 | 0 | - | - | 0 | 0 | - | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| 0 | - | - | - | 0 | 0 | 0 | - | - | 0 | 0 | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | - | - | 0 | 0 | 0 | - | 0 | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | 0 | - | - | 0 | - | - | 0 | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | - | 0 | 0 | 0 | - | - | 0 | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| 0 | - | 0 | - | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2018 --> {{Contrib| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }}<!-- 2019 --> {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 11 | 2 | 6 | 2 | 2 | 5 }}<!-- 2020 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 3 | 3 | 3 | 1 | 1 }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- | [[w:Yue Chinese|Yue]] | {{Catanalysis|YUE}} || 02/2008 {{/Project|eligible|Yue}} {{/NE|19}} {{Contrib| 0 | 0 | - | - | - | - | 0 | - | - | - | - }}<!-- 2008 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2009 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2010 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2011 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2012 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2013 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2014 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2015 --> {{Contrib| - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2016 --> {{Contrib| - | - | 0 | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2017 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2018 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2019 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2020 --> {{Contrib| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - }}<!-- 2021 --> | [[File:Pictogram voting oppose.svg|15px]] |- ! rowspan="2" | Language<br>Name ! rowspan="2" | Language<br>Code ! rowspan="2" | In beta<br> since<br><small> (mm/yyyy) </small> ! rowspan="2" | Official Status ! 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! rowspan="2" | S<br>t<br>a<br>t<br>u<br>s<br> |- ! colspan="6" | 2006 ! colspan="12" | 2007 ! colspan="12" | 2008 ! colspan="12" | 2009 ! colspan="12" | 2010 ! colspan="12" | 2011 ! colspan="12" | 2012 ! colspan="12" | 2013 ! colspan="12" | 2014 ! colspan="12" | 2015 ! colspan="12" | 2016 ! colspan="12" | 2017 ! colspan="12" | 2018 ! colspan="12" | 2019 ! colspan="12" | 2020 ! colspan="12" | 2021 |- |} </div> <references /> == Wikiversities now open == :''In this table, entries are ordered by date the Wikiversity project was created.'' <div style="margin-left: auto; margin-right: auto; overflow:auto; width: 100%;"> {| class="wikitable" style="font-size:75%;" |- ! rowspan="3" | Language<br>Code | rowspan="57" bgcolor="#000000" | ! rowspan="3" | In beta<br>since<br><small>mm/yy</small> | rowspan="57" bgcolor="#000000" | ! rowspan="3" | Open<br>since<br><small>mm/yy | rowspan="57" bgcolor="#000000" | ! rowspan="3" | Req.<br>in<br>meta | rowspan="57" bgcolor="#000000" | ! colspan="151" |Active contributors <br><small>more than 10 contribs by month<br> void equal no contribs this month</small> |- ! colspan="6" | 2006 ! colspan="12" | 2007 ! colspan="12" | 2008 ! colspan="12" | 2009 ! colspan="12" | 2010 ! colspan="12" | 2011 ! colspan="12" | 2012 ! colspan="12" | 2013 ! colspan="12" | 2014 ! colspan="12" | 2015 ! colspan="12" | 2016 ! colspan="12" | 2017 ! colspan="12" | 2018 ! rowspan="2" | D<br>o<br>n<br>e<br> |- ! 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 ! 0<br>1 || 0<br>2 || 0<br>3 || 0<br>4 || 0<br>5 || 0<br>6 || 0<br>7 || 0<br>8 || 0<br>9 || 1<br>0 || 1<br>1 || 1<br>2 |- | EN || 07/06 || 07/06 {{:States of Wikiversities/Project|created|English}} | colspan="150" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | DE || 07/06 || 08/06 {{:States of Wikiversities/Project|created|German}} {{Contrib| 1 }} | colspan="149" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | ES || 11/06 || 11/06 {{:States of Wikiversities/Project|created|Spanish}} {{Contrib| - | - | - | - }} | colspan="146" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | FR || 09/06 || 12/06 {{:States of Wikiversities/Project|created|French}} {{Contrib| - | 1 | 2 | - | 1 | - }} | colspan="144" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | IT || 07/06 || 05/07 {{:States of Wikiversities/Project|created|Italian 2}} {{Contrib| - | - | - | - | - | - }} {{Contrib| - | - | - | - }} | colspan="140" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | EL || 09/07 || 01/08 {{:States of Wikiversities/Project|created|Greek}} {{:States of Wikiversities/NE|12}} {{Contrib| 1 | 3 | 2 | 0 | 3 | 0 }} | colspan="132" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | JA || 03/07 || 05/08 {{:States of Wikiversities/Project|created|Japanese 2}} {{:States of Wikiversities/NE|4}} {{Contrib| 0 | 0 }} {{Contrib| - | 0 | 1 | 4 | 3 | 3 | 2 | 1 | 3 | 1 | 0 | 0 }} {{Contrib| 1 | 8 | 4 | 2 }} | colspan="128" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | CS || 12/06 || 05/08 {{:States of Wikiversities/Project|created|Czech}} {{:States of Wikiversities/NE|8}} {{Contrib| 0 | 0 | 2 | - | 1 | 1 | 0 | 0 | - | 1 }} {{Contrib| 3 | 1 | 2 | 4 | 2 | - }} | colspan="126" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | PT || 08/06 || 05/08 {{:States of Wikiversities/Project|created|Portuguese}} {{Contrib| - | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 }} {{Contrib| 0 | - | - | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 1 | 0 }} {{Contrib| - }} | colspan="125" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | FI || 01/08 || 04/09 {{:States of Wikiversities/Project|created|Finnish 2}} {{:States of Wikiversities/NE|18}} {{Contrib| 13 | 6 | 11 | 9 | 6 | 4 | 1 | 2 | 6 | 4 | 9 | 5 }} {{Contrib| 6 | 5 | 1 }} | colspan="117" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | RU || 09/06 || 11/09 {{/Project|created|Russian 2}} {{Contrib| - | 1 | 0 | - | 0 | 0 | - | - | - | - | 0 | 0 }} {{Contrib| - | 0 | 0 | 0 | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 }} {{Contrib| 0 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 }} {{Contrib| 0 | 4 | 7 | 5 }} | colspan="110" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | SV || 09/07 || 11/10 {{/Project|created|Swedish 2}} {{/NE|13}} {{Contrib | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 3 | 1 | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | - | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 4 | 2 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | - | 0 | 6 | 7 | 1 }} | colspan="98" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | AR || 01/08 || 07/11 {{/Project|created|Arabic}} {{/NE|18}} {{Contrib| - | 0 | - | - | - | 1 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | - }} {{Contrib| 2 | 3 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | - | 1 | 2 | 1 | - }} {{Contrib| 0 | - | 0 | - | 0 | - | - | 0 | - | - | - | 0 }} {{Contrib| 0 | 1 | 1 | 3 | 5 | 2 | 1 }} | colspan="89" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | SL || 12/07 || 03/12 {{/Project|created|Slovene}} {{/NE|16}} {{Contrib| 0 | 0 | 2 | - | - | - | 0 | - | - | 0 | - | - | - | - | - | 0 | 4 | 10 | 24 | 4 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 13 | 5 | - | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 | 6 | 11 | 3 | 2 | 0 | 4 | 17 | 6 | 1 | 5 | 15 | 23 | 16 }} {{Contrib| 20 | 8 }} | colspan="82" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | KO || 02/08 || 02/13 {{/Project|created|Korean}} {{/NE|19}} {{Contrib| 0 | 0 | - | 0 | 0 | - | 6 | 6 | 1 | 1 | 3 }} {{Contrib| 0 | 0 | 5 | 2 | 1 | 0 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 | 0 }} {{Contrib| 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 }} {{Contrib| - | 0 | 0 | 4 | 0 | 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | - | 0 }} {{Contrib| 1 | 0 | - | 0 | 5 | 9 | 12| 5 | 4 | 8 | 4 | 2 }} | 0 | colspan="71" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | HI || 02/12 || 08/17 {{/Project|created|Hindi}} {{/NE|67}} {{Contrib| 0 | 0 | - | 0 | - | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 }}<!-- Second half of 2012 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | - | - | - | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2013 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2014 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 }}<!-- 2015 --> {{Contrib| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 1 }}<!-- 2016 --> {{Contrib| 2 | 6 | 6 | 6 | 7 | 3 | 3 }}<!-- July 2017 --> | colspan="17" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px]] |- | ZH || 09/06 || 08/18 {{/Project|created|Chinese}} {{/NE|2}} {{Contrib| 0 | 1 | 3 | 2 }}<!-- 2006 --> {{Contrib| 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | - }}<!-- 2007 --> {{Contrib| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 5 | 4 | 1 | 4 }}<!-- 2008 --> {{Contrib| 0 | 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 1 }}<!-- 2009 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 4 | 2 | 4 | 2 }}<!-- 2010 --> {{Contrib| 1 | 3 | 1 | 1 | 2 | 5 | 6 | 6 | 1 | 1 | 0 | 2 }}<!-- 2011 --> {{Contrib| 2 | 3 | 5 | 3 | 1 | 1 | 1 | 2 | 7 | 5 | 5 | 4 }}<!-- 2012 --> {{Contrib| 2 | 3 | 3 | 5 | 6 | 7 | 3 | 9 | 6 | 10 | 3 | 3 }}<!-- 2013 --> {{Contrib| 3 | 5 | 6 | 2 | 2 | 5 | 3 | 2 | 3 | 3 | 12 | 25 }}<!-- 2014 --> {{Contrib| 4 | 3 | 2 | 2 | 2 | 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 }}<!-- 2015 --> {{Contrib| 1 | 2 | 7 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 }}<!-- 2016 --> {{Contrib| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 | 1 | 3 | 1 | 2 | 2 }}<!-- 2017 --> {{Contrib| 2 | 6 | 2 | 6 | 3 | 4 | 5 | 4 }}<!-- 2018 --> | colspan="4" bgcolor="#44ff33" | Open | [[File:Pictogram voting keep.svg|15px|link=phabricator:T199577]] |} </div> [[Category:States of Wikiversities|*]] oushmeb4wfk1xt6u4ortjrhzm8jycaq 0 38897 373546 294006 2025-06-21T01:50:33Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373546 wikitext text/x-wiki Aquesta secció fa un recordatori de geometria orientat per introduir com a necessitat les funcions trigonomètriques. Heu de fixar-vos en la quantitat de procediments que fem servir per determinar cada incògnita. == Semblança == Semblança és utilitzat pels matemàtics com un mètode per comparar objectes de diferents mides, però que mantenen la mateixa forma, com els d'una casa i el seu plànol. '''Definició''' :Direm que dos triangles són semblants quan tenen la mateixa forma però no necessàriament les mateixes mides. D'aquesta definició surten tres receptes per discriminar quan dos triangles són semblants. Recordeu que estem comparant dos triangles i només volem esbrinar si tenen o no la mateixa forma, independentment de les seves mides o el seu ordre. === Criteris de semblança === Tenim tres casos que ens permeten identificar còmodament la semblança entre triangles '''Primer cas''': és quan comparteixen dos angles iguals. ::[[File:Semejanza01.svg|200px]] '''Segon cas''': és quan comparteixen dos costats proporcionals i un angle igual. ::[[File:Semejanza02.svg|230px]] amb <math>\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}</math> '''Tercer cas''': és quan comparteixen tres costats proporcionals. ::[[File:Semejanza03.svg|260px]] amb <math>\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}</math> Pensem ara que qualsevol de les fraccions, com <math>\frac{a'}{a}</math>, ens dona la raó de semblança <math>r</math> entre dos triangles. Aquesta raó és un valor <math>r=\frac{a'}{a}</math> que permet passar totes les mides del primer triangle al segon. '''Exercici''' 1) Esbrineu quins dels triangles no són semblants: ::[[File:SemejanzaAplicada01.svg|430px]] 2) Calculeu els valors desconeguts i digueu quins costats són semblants. ::[[File:SemejanzaAplicada02.svg|250px]] == Igualtat entre triangles == Es pot trobar informació sobre un estudi més general de casos conegut com a congruències de geometria. És l'objectiu de la trigonometria fer igualtat de triangles i els següents criteris ajuden a reforçar la igualtat. '''Definició''' :Direm que dos triangles són iguals quan totes les seves dades queden unívocament determinades amb el mateix valor. === Criteris d'igualtat === Per fer igualtat entre triangles es demana també tres casos. '''Primer cas''': donat un triangle amb un costat i dos angles, llavors coneixem la resta de dades. <gallery> File:Postulado ALA 0.svg|A.L.A. File:Postulado ALA 1.svg|A.A.L. </gallery> '''Segon cas''': donat un triangle amb dos costats i l'angle entre ells, llavors coneixem la resta de dades. :[[File:Postulado LAL 0.svg|150px]] '''Tercer cas''': donat un triangle amb els seus tres costats, llavors coneixem la resta de dades. '''Exercici (dia 22e)''' {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) Calculeu totes les dades possibles de la figura: :[[File:SemejanzaAplicada03.svg|110px]]}} |- |'''Càlculs''' :En aquest cas podem calcular tots els costats: ::El primer triangle per Pitàgores té de costats 12, 15 i 9 ja que <math>9=\sqrt{15^2-12^2}</math>. ::Els dos triangles són semblants per què hi ha una correspondència entre els angles del triangle gran i el petit ja que hi ha un angle recte que els uneix i per tant <math>\alpha+\beta=90^\circ.</math> ::Fent cas als noms tenim que el costat 9 li correspon el costat 3 per tant amb una simple regla de tres podem fer les següents troballes, és a dir que el triangle petit té costats 3, 4 i 5. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) Calculeu totes les dades possibles de la figura: :[[File:SemejanzaAplicada04.svg|250px]]}} |- |'''Càlculs''' :En aquest cas podem calcular només angles, per tant només hem de traslladar els angles sabent que "els angles d'un triangle sumen 180°" i que "els angles oposats són igual". Aquestes dues frases són molt conegudes i es poden trobar a qualsevol cercador web. ::<math>40^\circ+90^\circ+\alpha=180^\circ \Rightarrow \alpha=50</math> :Ara només cal identificar els angles oposats sense càlculs. |} == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] btv00rlr8i3yywxjksfyibr0zll83yu 0 38972 373556 372239 2025-06-21T01:51:32Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373556 wikitext text/x-wiki [[File:Bernegger_Manuale_137.jpg|right|282px|thumb|Taula de l'astrònom alemany Matthias Bernegger de 1619. Va ser habitual expressar els valors de les funcions com a enters de 8 xifres.]] La necessitat de les funcions trigonomètriques apareix quan, a partir de mesures angulars volem calcular mides longitudinals i a l'invers. Cada funció trigonomètrica és una taula on a partir de l'angle en calcula proporcions al triangle rectangle i a l'invers. De fet cada funció amaga unes taules enormes de valors i pels últims decimals encara es podria fer una aproximació. Només cal veure els decimals que hi ha per adonar-se de la importància que té la precisió. Les funcions trigonomètriques ens ajuden a relacionar dades al triangle rectangle, es a dir a partir d'un angle i una longitud podem calcular la resta de dades, o a partir de dues longituds podem calcular la resta de dades. Intent de fer una taula de 15 valors del triangle rectangle allà per l'any 1800 a.c. observem que a la fila 11, la 5a començant per avall, en la seva notació sexagesimal i després en la nostra notació decimal tenim: {| | {|style="border: 1px solid #ccc;" cellpadding="2" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #ccc"|Brot |style="border: 1px solid #ccc"|Catet |style="border: 1px solid #ccc"|Hipot. |- |style="border: 1px solid #ccc"|1,33:45 |style="border: 1px solid #ccc"|45 |style="border: 1px solid #ccc"|1:15 |- |style="border: 1px solid #ccc"|1,5625 |style="border: 1px solid #ccc"|3 |style="border: 1px solid #ccc"|5 |} |[[File:Plimpton 322.jpg|300px]] |} A la actualitat aquest triangle rectangle el coneixem com la tripleta 3,4,5 i és el triangle rectangle més conegut que hi ha. El triangle rectangle 3,4,5 és pitagòric ja que <math>3^2+4^2=5^2</math> per tant 3 i 4 són els catets i 5 és la hipotenusa. En resum, fa 3800 anys els babilonis ja sabien de la seva importància i tenien les seves investigacions amb una profunditat i precisió de mil milionèsimes que avui dia encara és increïble. == Introducció == Triangle rectangle amb la hipotenusa de longitud 1 on s'assenyala com calcular directament el valor exacte de cada catet a partir de l'angle α. ::[[File:Trigonometric basic 01.svg|140px]] Al dibuix s'ha de veure el següent: *La longitud del catet oposat a l'angle es calcula sempre amb la funció sinus: <math>\sin(\alpha).</math> *La longitud del catet contigu a l'angle es calcula sempre amb la funció cosinus: <math>\cos(\alpha).</math> *Els dos valors sempre són més petits que la hipotenusa de valor 1. *Treballarem el sinus i cosinus amb graus sexagesimals, és a dir que cal assegurar-se que la calculadora fa <math>\sin(90^\circ)=1</math> ja que hi ha de més tipus. ;Exemple: Donat un triangle rectangle amb una hipotenusa de longitud 1 metre i un angle de <math>23^\circ</math> llavors tenim que: *El catet oposat mesura <math>\sin(23^\circ)=0,390\,731</math> metres. *El catet contigu mesura <math>\cos(23^\circ)=0,920\,505</math> metres. {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #ddf; background:#f5f5ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Desplega" data-collapsetext="Oculta" |- |'''Exercicis bàsics''' |- |1) S'ha de calcular les mesures del triangle rectangle de hipotenusa 1 i un angle <math>\alpha=45^\circ.</math> :<math>\sin(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=0,7071</math> :<math>\cos(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=0,7071</math> :El triangle és el 45°, 45° i 90°. 2) S'ha de calcular les mesures del triangle rectangle <math>\alpha=30^\circ.</math> :<math>\sin(\alpha)=\frac{1}{2}=0,5</math> :<math>\cos(\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2}=0,866</math> :El triangle és el 30°, 60° i 90°. 3) Suposem que tenim el triangle anterior i el angle és <math>\alpha=25^\circ.</math> per tant tenim: ::<math>\sin(\alpha)=0,4226</math> ::<math>\cos(\alpha)=0,9063</math> ::El triangle és el 25°, 65° i 90°. |} Hem d'anar en compte de que els triangles no es presenten en la mateixa posició que el dibuix per això es faran exercicis de pràctica amb diferents posicions durant la explicació del contingut. '''Amb calculadores''' :Recordeu ajustar la calculadora amb '''Mode Fix''' fins que <math>\sin (90)=1.</math> :Les funcions <math>\sin(\alpha)</math> i <math>\cos(\alpha)</math> estan definides a les calculadores científiques. ::Recordeu posar parèntesis, per tecles escrivim: "sin", "(", 35° i ")". ::Recordeu que per calcular l'angle partint de la longitud escriviu: "inv", "sin", "(", 0.823 i ")". :::Hi ha calculadores que a les inverses anomenen <math>\sin^{-1}</math> o simplement ArcSin. El mateix per cosinus i tangent. == Sinus, cosinus i tangent == Taula de les fórmules amb l'aïllament corresponent a cada valor: {| cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" class="wikitable" !rowspan="4"|[[File:Trigonometric basic 02.svg|120px]] ! <math>\sin(\alpha)=\tfrac{c}{a}</math> ! <math>\cos(\alpha)=\tfrac{b}{a}</math> ! <math>\tan(\alpha)=\tfrac{c}{b}</math> |- |<math>\alpha=\sin^{-1}\big(\tfrac{c}{a}\big)</math>||<math>\alpha=\cos^{-1}\big(\tfrac{b}{a}\big)</math>||<math>\alpha=\tan^{-1}\big(\tfrac{c}{b}\big)</math> |- |<math>c=\sin(\alpha)\cdot a</math>||<math>b=\cos(\alpha)\cdot a</math>||<math>c=\tan(\alpha)\cdot b</math> |- |<math>a=\frac{c}{\sin(\alpha)}</math>||<math>a=\frac{b}{\cos(\alpha)}</math>||<math>b=\frac{c}{\tan(\alpha)}</math> |- |colspan="4"| {|align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 0px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Observacions" data-collapsetext="Ocultar" |- |style="border: 0px"| |- |style="border: 0px"|Per semblança podem deduir com identificar el sinus, cosinus i la tangent partint del triangle inicial: [[File:Trigonometric basic 02.svg|95px]] <math>\xrightarrow{\,\,\,\times \frac{1}{a}\,\,\,}</math> [[File:Trigonometric basic 02 b.svg|95px]] <math>\xrightarrow{\,\,\,\,\,\,\,\,}</math> [[File:Trigonometric basic 02 c.svg|95px]] <math>\xrightarrow{\,\,\,\,\,\,\,\,}</math> [[File:Trigonometric basic 01.svg|130px]] Com <math>\sin(\alpha)=\tfrac{c}{a}</math> i <math>\cos(\alpha)=\tfrac{b}{a}</math> I per definició de la tangent tenim que <math>\tan(\alpha)=\tfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}</math> només cal saber que: :<math>\tan(\alpha)=\tfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\tfrac{\tfrac{c}{\cancel{a}}}{\tfrac{b}{\cancel{a}}}=\tfrac{c}{b}</math> Per tant és correcta la fórmula <math>\tan(\alpha)=\tfrac{c}{b}.</math> |} |} Esquema que suprimeix els noms referint-se a la posició que ocupa respecte l'angle desitjat dins un mateix triangle rectangle, tenint en compte: * '''Catet Oposat''' ( CO ) és el costat que està davant del mateix angle. * '''Catet Adjacent''' ( CA ) és el costat que uneix el mateix angle i l'angle recte. * '''Hipotenusa''' ( H ) és el costat més llarg que està davant de l'angle recte del mateix triangle. {| cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" class="wikitable" !rowspan="3"|[[File:Trigonometric basic 02 sct.svg|120px]] |<math>\sin(angle)=\tfrac{Catet Oposat}{Hipotenusa}</math> |- |<math>\cos(angle)=\tfrac{Catet Adjacent}{Hipotenusa}</math> |- |<math>\tan(angle)=\tfrac{Catet Oposat}{Catet Adjacent}</math> |} ;Exercicis: [[File:Exercicis de triangles rectangles per trigonometria v01.pdf|500px]] {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #ddf; background:#f5f5ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Desplega" data-collapsetext="Oculta" |- |'''Exemples''' |- |1) Calculeu tots els valors desconeguts proposats: ::[[File:Trigonometric basic 03.svg|200px]] :Per calcular tot un triangle rectangle només necessito un parell de dades, per tant, puc calcular el triangle rectangle més petit: ::<math>\cos(60^\circ)=\frac{50}{b} \Rightarrow</math> <math>b=\frac{50}{\cos(60^\circ)}</math> = 100m. ::<math>\tan(60^\circ)=\frac{c}{50} \Rightarrow</math> <math>c=\tan(60^\circ)\cdot 50</math> = 86,6m. :Ara ja podem calcular el costat '''a''' del triangle rectangle més gran, perquè tenim el catet '''c''', per tant: ::<math>\sin(35^\circ)=\frac{86,6}{a} \Rightarrow</math> <math>a=\frac{86,6}{\sin(35^\circ)}</math> = 150,98m. ::<math>\tan(35^\circ)=\frac{86,6}{x+50} \Rightarrow</math> <math>x+50=\frac{86,6}{\tan(35^\circ)}</math> = 123,6m. :::x=123,6-50=73,6m és la distància buscada. 2) Calculeu el valor de '''x''' que és la distància entre les illes del dibuix: ::[[File:Trigonometric basic 04.svg|200px]] :Clarament tenim dues dades per calcular-ho tot, però, per arribar a '''x''' hem de passar d'un triangle al altre ràpidament saltant de catet en catet: ::<math>\tan(60^\circ)=\frac{b}{500} \Rightarrow</math> <math>b=\tan(60^\circ)\cdot 500</math> = 866,0254&nbsp;m. ::<math>\tan(35^\circ)=\frac{x}{866,0254} \Rightarrow</math> <math>x=\tan(35^\circ)\cdot 866,0254</math> =606,3975&nbsp;m és la distància entre les illes del dibuix. |} == Relació circular entre el sinus i cosinus == [[File:Trigonometric basic 01.svg|right|140px]] Aplicant Pitàgores al triangle rectangle trigonomètric obtenim la relació: :<math>1^2=sin(\alpha)^2+cos(\alpha)^2</math> Mode simplificat d'escriure el mateix: :<math>1=sin^2 \alpha+cos^2 \alpha</math> Aquestes fórmules cobreixen tots els possibles triangles mesurant l'angle que fa la hipotenusa des de la semirecta horitzontal positiva. La semirecta horitzontal s'inicia al punt (0, 0) i s'allarga per sobre del punt (1, 0). [[File:Trigo-unitcircle-animation.gif|200px]][[File:Trigo.gif|350px]] {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure codi" data-collapsetext="Ocultar codi" |- |Codi desplegable del programa que permet fer una imatge interactiva. Es pot fer l'arxiu Trig.SVG amb qualsevol editor de text. |- |<syntaxhighlight lang="javascript" line> <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="400" height="200" onload="startup()" onmousemove="moveIt(evt)"> <script><![CDATA[ function startup(){ Gx=document.getElementById("vx"); Gy=document.getElementById("vy"); Gd=document.getElementById("vd"); An=document.getElementById("ang"); txAlf=document.getElementById("alf"); cos=document.getElementById("atx"); sin=document.getElementById("aty"); cAlf=document.getElementById("alfC"); } function moveIt(evt){ x=evt.pageX-100; y=evt.pageY-100; z=Math.sqrt(x*x+y*y); if(z==0){x=0;y=0;g=0;} else{x=x/z;a=x*20;cos.firstChild.nodeValue="x = "+x; y=y/z;b=y*20;sin.firstChild.nodeValue="y = "+(-y); g=-Math.asin(y)/3.1415926535897932384626433832795*180;if(x<=0){g=180-g;};if(g<0){g=g+360;} g1=Math.trunc(g); ga=(g-g1)*60; g2=Math.trunc(ga); gb=(ga-g2)*60; g3=Math.trunc(gb); gc=(gb-g3)*60; g4=Math.trunc(gc); gd=(gc-g4)*60; g5=Math.trunc(gd); } x=x*90;y=y*90; txAlf.firstChild.nodeValue="α = "+(g)+"º"; cAlf.firstChild.nodeValue=(g1)+"º"+(g2)+"'"+(g3)+"''"+g4+"'''"+g5+"''''"; if(x>=0){Gx.setAttributeNS(null,"d","m100,100h"+x+"l-10,-3m0,6l10,-3");} else{ Gx.setAttributeNS(null,"d","m100,100h"+x+"l10,-3m0,6l-10,-3");} if(y>0){ Gy.setAttributeNS(null,"d","m100,100v"+y+"l-3,-10m6,0l-3,10");} else{ Gy.setAttributeNS(null,"d","m100,100v"+y+"l3,10m-6,0l3,-10"); } Gd.setAttributeNS(null,"transform","rotate("+(-g)+")"); if(b<0){ An.setAttributeNS(null,"d","m100,100l20,0a20,20 0,0,0 "+(a-20)+","+(b)+"z");} else{ An.setAttributeNS(null,"d","m100,100l20,0a20,20 0,1,0 "+(a-20)+","+(b)+"z");} } ]]></script> <g transform="translate(0.5,0.5)"> <circle cx="100" cy="100" r="90" fill="none" stroke="black" stroke-width="1"/> <path id="ang" d="" fill="#8f8" stroke-width="1" stroke="#fa0"/> <path d="m0,100h200M100,0v200" fill="none" stroke="black" stroke-width="1"/> <path id="vx" d="" fill="none" stroke-width="1" stroke="#f00"/> <path id="vy" d="" fill="none" stroke-width="1" stroke="#00f"/> <g transform="translate(100,100)"><g id="vd" transform="rotate(0)"> <path d="m0,0h90l-10,5m0,-10l10,5" fill="none" stroke-width="1" stroke="#fa0"/> </g></g> </g> <text id="alf" x="200" y="20">α = 0º</text><text id="alfC" x="225" y="40">0º</text> <text id="atx" x="200" y="60">x</text><text id="aty" x="200" y="80">y</text> </svg> </syntaxhighlight> |} [https://marianov2024.github.io/Trigo/VectoresCirculoUnidad.svg Veure l'aplicació activa] {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #ddf; background:#f5f5ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Desplega" data-collapsetext="Oculta" |- |'''Exemples''' |- |1) Construeix els triangles rectangles d'angles 40°, 120°, 230° i -50° dins la circumferència unitat. :Solució: Els triangles sempre queden definits amb els tres punts <math>(0, 0),\; (\cos\alpha, 0)</math> i <math>(\cos\alpha, \sin\alpha)</math> sobre el pla amb coordenades. Dibuixa'l. 2) Calculeu l'altura '''h''' del castell proposat: ::[[File:Trigonometric basic 05.svg|180px]] :'''Solució:''' ::Aplicant tangent als dos angles obtenim una equació fàcil de resoldre: :::<math>\tan 70^\circ=\frac{h}{fossat} \Rightarrow</math> <math>h=\tan 70^\circ\cdot fossat</math> :::<math>\tan 30^\circ=\frac{h}{100+fossat} \Rightarrow</math> <math>h=\tan 30^\circ\cdot (100+fossat)</math> ::Igualem i tenim: <math>h=\tan 70^\circ\cdot fossat =\tan 30^\circ\cdot (100+fossat)</math> ::Distribuint: <math>\tan 70^\circ\cdot fossat =\tan 30^\circ\cdot 100+\tan 30^\circ\cdot fossat</math> ::Aïllant: <math>\tan 70^\circ\cdot fossat-\tan 30^\circ\cdot fossat =\tan 30^\circ\cdot 100</math> ::Factor comú '''fossat''' i aïllant: <math>fossat =\frac{\tan 30^\circ\cdot 100}{\tan 70^\circ-\tan 30^\circ}</math> = 26,6m :Finalment: <math>h=\tan 70^\circ\cdot fossat=\tan 70^\circ\cdot 26,6</math> = 73,1m 3) Calculeu el valor de '''x''' en el dibuix següent: ::[[File:Trigonometric basic 06.svg|210px]] :'''Solució:''' ::Apliquem successivament tangent per passar de catet en catet: :::<math>\tan 40^\circ=\frac{a}{20} \Rightarrow</math> <math>a=\tan 40^\circ\cdot 20</math> = 16,78cm :::<math>\tan 50^\circ=\frac{16,78}{b} \Rightarrow</math> <math>b=\frac{16,78}{\tan 50^\circ}</math> = 14,1cm :::<math>\tan 70^\circ=\frac{14,1}{x} \Rightarrow</math> <math>x=\frac{14,1}{\tan 70^\circ}</math> = 5,13cm 4) Ens donen la distancia entre la terra i el sol, la Unitat Astronòmica (1UA = 149597870700) i ens demanen el diàmetre del sol tenint en compte que l'angle amb el que es veu és 0,53°. 5) Càlcul de l'alçada total d'un edifici: ::[[File:Trigonometric basic 07.svg|90px]] :'''Solució:''' ::Veiem que verticalment el camp visual del espectador forma dos triangles rectangles i que el catet entre els angles coneguts mesura 10m. :::<math>\tan 50^\circ=\frac{a}{10} \Rightarrow</math> <math>a=\tan 50^\circ\cdot 10</math> = 11,9m :::<math>\tan 70^\circ=\frac{b}{10} \Rightarrow</math> <math>b=\tan 70^\circ\cdot 10</math> = 27,47m ::Per tant l'alçada total és de 39,4 metres. 6) |} == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 6qj5er74pznmzwjuqncrgo6hqpqe7x0 0 38973 373558 372381 2025-06-21T01:51:33Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373558 wikitext text/x-wiki [[File:Esferas interconectadas decorado.svg|700px]] La noció de punt i vector ha anat madurant al llarg del temps. Els matemàtics tenen definicions rigoroses amb una profunditat que supera l'establert per aquest curs. Els punts i vectors es poden situar particularment dins d'espais de dimensió <math>n</math> del tipus <math>\mathbb{R}^n.</math> En aquesta secció només veurem els vectors per a dos dimensions, és a dir, <math>n=2:</math> *El pla cartesià és el conjunt de punts coordenats simbolitzat com un conjunt del tipus <math>\mathbb{R}^2</math>. *Els elements del pla cartesià són dos nombres reals ordenats<ref>Dos nombres ordenats vol dir que per exemple <math>(3,-5)</math> no és el mateix que <math>(-5,3).</math></ref>, és a dir <math>\{\,(\,x,\,y\,)\,|\; x\in\mathbb{R}\,\, i\,\, y\in\mathbb{R}\;\}</math>. En cursos superiors es veurà que aquesta idea es pot estendre a punts i vectors dins l'espai de 3 o més dimensions, i també es pot estendre a altres objectes més inesperats. Didàcticament, en aquest tema es començarà la casa per la teulada teòrica, és a dir, s'introduirà com són els punts i vectors, i es deixa de banda el significat d'espai afí(espai de punts) i el d'espai vectorials(espai de vectors) que es deixa per cursos més enllà del batxillerat. == Introducció == Introducció a grans trets del que es pot fer amb els elements que apareixen dins d'aquest tema. === Vectors === Els '''vector''' es nomenen amb lletres minúscula amb una fletxa a sobre seu, s'anoten com elements <math>\vec{a}=(\,x,\,y\,)</math> del pla <math>\mathbb{R}^2,</math> és a dir, que és un parell ordenat de nombres, que: *Sempre es poden sumar entre ells i donar així un altre vector <math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}.</math> [[File:Vetorial space P.svg|right|150px]] :<math>\begin{array}{rlc} &\vec{u}=&(\,u_1,\,u_2\,)\\ +&\vec{v}=&(\,v_1,\,v_2\,)\\ \hline &\vec{u}+\vec{v}=&(u_1+v_1,\,u_2+v_2) \end{array}\,\,\,\,\,</math> o bé <math>(u_1,\,u_2)+(v_1,\,v_2)=(u_1+v_1,\,u_2+v_2).</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#eef" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Oculta" |- | |- |bgcolor="#fff"|<math>\begin{array}{rlcl} &\vec{u}=&(\,\,\,2,\,-1\,)\\ +&\vec{v}=&(\,-4,\,\,\,8\,)\\ \hline &\vec{w}=&(2-4,-1+8)& = (-2,7) \end{array}</math> |} *Sempre es poden multiplicar per un nombre real, <math>\lambda,</math> i donar així un altre vector <math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}.</math> [[File:Vectorial space ejemplo.svg|right|300px]] :<math>\begin{array}{rlc} &\vec{u}=&(\,u_1,\,u_2\,)\\ \times&\lambda\\ \hline &\lambda\cdot\vec{u}=&(\lambda\cdot u_1,\lambda\cdot u_2) \end{array}\,\,\,\,\,</math> o bé <math>\lambda\cdot (u_1,u_2)=(\lambda\cdot u_1,\,\lambda\cdot u_2)</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#eef" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Oculta" |- | |- |bgcolor="#fff"|<math>\begin{array}{rlcl} &\vec{u}=&(\,-7,\,\,\,2\,)\\ \times&\lambda=&4'1\\ \hline &\vec{w}=&(4'1\times(-7),4'1\times 2)&=(-28'7,8'2) \end{array}</math> |} ;L'únic element neutre respecte la suma: Un vector és l'element neutre si quan es suma amb un altre el deixa igual. :<math>(a,\;b)+(0,\;0)=(a,\;b)</math> clarament el <math>(0,\;0)</math> és l'element neutre respecte la suma i clarament no hi ha cap més. ;Notació d'un vector negatiu: :<math>\vec{u}=(2,\;3)</math> llavors <math>-\vec{u}=(-1)\cdot (2,\;3)=((-1)\cdot 2,\;(-1)\cdot 3)=(-2,\;-3)</math> Un vector és l'oposat additiu, és a dir, que és un vector negatiu a un altre, si en sumar-los dona l'element neutre respecte la suma. :<math>(a,\;b)+(-(a,\;b))=(a,\;b)+(-a,\;-b)=(a-a,\;b-b)=(0,\;0)</math> === Punts === El nom dels '''punts''' es posen amb lletres majúscules o minúscules segons l'ús, en aquesta secció s'utilitza majúscules preferentment, la notació d'un punt com a element del pla <math>\mathbb{R}^2</math> és <math>A=(\,x,\, y\,)</math> i: *Designen llocs estàtics al pla. *No hi ha punts més destacats<ref>Quan parlem de destacats parlem de si tenen alguna propietat o qualitat destacable i que no tenen els altres elements</ref> que uns altres. === Punts amb vectors === Conceptes i normes per barrejar vectors i punts: *'''Translació o vector lliure''': Un vector, com a translació, permet anar d'un punt a un altre punt; l'operació que permet això és la suma: '''un punt origen més un vector translació és un punt destí''', <math>A+\vec{v}=B.</math> :<math>\begin{array}{rlc} &A=&(\,A_1,\,A_2\,)\\ +&\vec{v}=&(\,v_1,\,v_2\,)\\ \hline &A+\vec{v}=&(A_1+v_1,A_2+v_2) \end{array}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#eef" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Oculta" |- | |- |bgcolor="#fff"|<math>\begin{array}{rlcl} &A=&(\,\,\,5,\,\,\,3\,)\\ +&\vec{v}=&(\,-2,\,\,\,1\,\,\,)\\ \hline &B=&(5-2,3+1)&=(3,\,4) \end{array}</math> |} *'''Vector fix''': L'element que uneix dos punts és un vector, l'operació que permet obtenir aquest vector està definit per l'operació resta de coordenades entre dos punts: '''un punt destí menys un punt origen és un únic vector''', <math>\overrightarrow{AB}=B-A.</math> Un conjunt de vectors és considera fix, si uneixen un mateix punt origen amb la resta de punts de destí. [[File:Vector AB from A to B.svg|right|200px]] :<math>\begin{array}{rlc} &B=&(\,B_1,\,B_2\,)\\ -&A=&(\,A_1,\,A_2\,)\\ \hline &A-B=&(B_1-A_1,B_2-A_2) \end{array}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#eef" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Oculta" |- | |- |bgcolor="#fff"|<math>\begin{array}{rlc} &B=&(\,\,\,1,\,\,\,2\,)\\ -&A=&(\,-3,\,\,\,1\,)\\ \hline &\overrightarrow{BA}=&(1-(-3),2-1)&=(4,1) \end{array}</math> |} Cal remarcar que aquesta distinció és artificiosa per ajudar a lligar conceptes en dues situacions particulars. ==== Exemples elementals ==== {|cellspacing="0" cellpadding="0" width="100%" style="border: 1px solid #77d; background:#eef" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Oculta" |- |1) Estem al lloc <math>A=(3,\,2)</math> i ens traslladem a un lloc <math>B</math> amb el vector <math>\vec{v}=(-1,\,1).</math> En quin lloc estic? |- |bgcolor="#fff"|L'únic que s'ha de fer és escriure la situació i la solució surt directament: :<math>A+\vec{v}=\text{¿}B?</math> <math>\Rightarrow (3,\,2)+(-1,\,1)=(3-1,\,2+1)=(2,\,3)</math> <math>\Rightarrow B=(2,\,3).</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="0" width="100%" style="border: 1px solid #77d; background:#eef" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Oculta" |- |2) Quin vector surt del punt <math>a=(2,\,-3)</math> i arriba al punt <math>b=(-1,\,-4)</math>? És important dibuixar els punts amb el vector. |- |bgcolor="#fff"|Sabem que <math>a+\text{¿}\vec{v}?=b,</math> llavors només cal aïllar el vector i queda com <math>\text{¿}\vec{v}?=b-a</math> per tant només cal fer aquesta operació: :<math>\vec{v}=\vec{ab}=b-a=(-1,\,-4)-(2,\,-3)=\left(-1-2,\,-4-(-3)\right)=(-3,\,-1)</math> :També es pot fer la operació com: <math>\begin{array}{rcr} &(-1,-4)\\ -&(2,-3)\\ \hline &(-1-2,-4-(-3))&=(-3,\,-1) \end{array}</math> Es pot dibuixar com una fletxa recta que surt des de '''a''' amb la punta o cap sobre '''b'''. |} {|cellspacing="0" cellpadding="0" width="100%" style="border: 1px solid #77d; background:#eef" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Oculta" |- |3) Estic al punt <math>a=(4,\,0),</math> em trasllado amb el vector <math>\vec{v}</math> després amb el vector <math>\vec{u}=(-1,1)</math> i finalment estic al punt <math>b=(-1,\,2).</math> Quin és el vector <math>\vec{v}</math>? És important dibuixar els punts amb el vector. |- |bgcolor="#fff"|Es planteja l'equació <math>a+\text{¿}\vec{v}?+\vec{u}=b</math> i aïllant es té: :<math>\vec{v}=b-\vec{u}-a=(-1,\,2)-(4,\,0)-(-1,1)=(-1-4+1,\,2-0-1)=(-4,\,1)</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="0" width="100%" style="border: 1px solid #77d; background:#eef" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Oculta" |- |4) Construcció d'una casa en format *.svg '''unint tots els punts finals''' partint '''sempre''' d'un mateix punt <math>a=(1,\,2)</math> cada cop i sumant els vectors següents per cada element de la casa. :a) Casa: <math>\vec{v_1}=(-3,\,-3)</math>, <math>\vec{v_2}=(3,\,-3)</math>, <math>\vec{v_3}=(3,\,3)</math>, <math>\vec{v_4}=(0,\,5)</math> i <math>\vec{v_5}=(-3,\,3).</math> :b) Porta: <math>\vec{u_1}=(-2,\,-3)</math>, <math>\vec{u_2}=(-1,\,-3)</math>, <math>\vec{u_3}=(-1,\,-1)</math> i <math>\vec{u_4}=(-2,\,-1).</math> :c) Finestra: <math>\vec{w_1}=(0,\,-2)</math>, <math>\vec{w_2}=(0,\,-1)</math>, <math>\vec{w_3}=(2,\,-1)</math> i <math>\vec{w_4}=(2,\,-2).</math> :d) Placa solar: <math>\vec{s_1}=(-2,\,1)</math>, <math>\vec{s_2}=(-2,\,3)</math>, <math>\vec{s_3}=(2,\,3)</math> i <math>\vec{s_4}=(2,\,1)</math> |- |bgcolor="#fff"|[[File:CasaTutorial00.svg|border|250px|left]] Els dos darrers nombres de la matriu '''matrix''' indica el punt '''a=(1,2)''' és l'origen. <syntaxhighlight lang="javascript"><g transform="matrix(1,0,0,1,1,2)"> <path id="casa" d="M-3,-3L3,-3 3,3 0,5 -3,3z" stroke="#f8f" fill="none" stroke-width="0.1"/> </g></syntaxhighlight> *El camí de línies és una '''d="M''' on la majúscula '''M''' indica que el camí s'inicia en '''a'''. *El -3,-3 no és més que el vector <math>\vec{v_1}=(-3,\,-3),</math> on han estalviat cada parèntesi. *La majúscula '''L''' fa que tots els vectors es reiniciïn des de la posició '''a''' unint-los amb línies rectes. *La resta de nombres 3,-3 3,3 0,5 -3,3 són els 4 vectors següents també des del punt '''a'''. *La '''z''' és per tancar el dibuix. |} [[File:Chenilles processionnaires (8).JPG|right|300px]] 5) Construcció en un arxiu vectorial SVG d'una figura '''dibuixant amb vectors successivament''' partint un sol cop del punt origen <math>b=(4,\,4),</math> és semblant un cuc de fletxes. El dibuix és una imatge simètrica, per tant, és més fàcil veure'n els errors. :<math>\vec{u_1}=(1,\,2)</math>, <math>\vec{u_2}=(0,\,2)</math>, <math>\vec{u_3}=(-1,\,1)</math>, <math>\vec{u_4}=(-1,\,-1)</math>, <math>\vec{u_5}=(0,\,-2)</math>, <math>\vec{u_6}=(2,\,-4)</math>, <math>\vec{u_5}</math>, <math>\vec{u_4}</math>, <math>\vec{u_3}</math>, <math>\vec{u_2}</math>, <math>\vec{u_1}</math>, <math>\vec{u_7}=(2,\,1)</math>, <math>\vec{u_8}=(2,\,0)</math>, <math>\vec{u_9}=(1,\,-1)</math>, <math>\vec{u_4}</math>, <math>\vec{u_{10}}=(-2,\,0)</math>, <math>\vec{u_{11}}=(-4,\,2)</math>, <math>\vec{u_{10}}</math>, <math>\vec{u_4}</math>, <math>\vec{u_9}</math>, <math>\vec{u_8}</math> i <math>\vec{u_7}.</math> Codi resultat amb un dibuix vectorial SVG: [[File:CasaTutorial01.svg|border|250px|left]] :d="M4,4l1,2 0,2 -1,1 -1,-1 0,-2 2,-4 0,-2 -1,-1 -1,1 0,2 1,2 2,1 2,0 1,-1 -1,-1 -2,0 -4,2 -2,0 -1,-1 1,-1 2,0 2,1" La primera parella de valors M4,4 serà el punt origen '''b'''. La ela minúscula "l" fa que els vectors formin una cadena que surt del punt origen '''b''' fent un camí amb tots els punts. S'observa que aquest escrit per dibuixar vectors successius estalvia tots els parèntesis deixant simplement espais. '''Nota''': la imatge del dibuix es pot descarregar en *.svg i dibuixar canviant els valors dels vectors amb qualsevol editor de text sense format: Llibreta, Notes o [https://texteditor.co/ "'''aquest editor text'''"]. {{clear}} {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #ddf; background:#f5f5ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Desplega" data-collapsetext="Oculta" |- |'''Exercicis''' |- |1) Tenint en compte l'exemple 4: :1r Dibuixeu el vostre prototip de casa sobre paper: un perfil, una porta i una finestra. :2n Descarregueu l'arxiu de la casa en una carpeta o escriptori: [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bf/CasaTutorial00.svg Clica aquí per obrir-lo i descarregar-lo o "desar com a".] :3r Obriu l'arxiu descarregat amb "obrir com" i busqueu l'elecció de "llibreta" o "bloc de notes", pels que tenen Chromebook utilitzeu [https://texteditor.co editor web]. :4t Editeu-lo segons el vostre dibuix desant-lo cada cop i amb el navegador aneu mirant els canvis visuals desats. :5è Un cop finalitzada la edició es desa com a NomCognom.svg obligat afegir '''svg''' i obligat seleccionar l'opció "tots els fitxers", sinó el editor fa el que vol. :6è Penjar-lo al classroom directament com a arxiu, no feu cas de la interpretació del classroom ja que s'obriran amb una carpeta per a la revisió. 2) Exercici de construcció d'un castell simple, uns 10 punts, aplicat sobre un dibuix SVG donat. :'''Primer''': Descàrrega del arxiu [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/CasaTutorial01.svg Clica aquí per obrir-lo i descarregar-lo.] :'''Segon''': Editeu amb el '''bloc de notes''' la cadena '''d="M3,3l1,2 0,2 -1,1 -1,-1 ...''' per substituir-los pels vostres vectors aquest cop '''vectors successius''', és a dir, un darrere l'altre. :'''Tercer''': Paral·lelament, per veure el progrés del dibuix, només cal obrir el mateix arxiu amb un navegador bo i veure el nostre dibuix com es va fent. :'''Quart''': un cop ha quedat el castellet petit, l'imprimiu(blanc i negre). 3) Estic al punt <math>A=(-4,\,-1),</math> puc arribar a casa meva en línia recta utilitzant el vector <math>\vec{u}=(2,\,1)</math> i en repetir-ho 2'3 vegades. *On està casa meva '''B'''? M'he trobat un amic que anava des de casa seva situat al punt <math>C=(-3,\,4)</math> en direcció a la biblioteca al punt <math>D=(0,\,-2)</math> en línia recta *On ens hem trobat? 4) Visc al punt <math>A=(-1,\,1),</math> sé que a mig camí de casa meva i el punt <math>B=(-3'5,\,2'4)</math> tinc amagat un tresor. *On tinc el tresor? Quan he fet la tercera part del camí de '''A''' a '''B''' he ensopegat. *On he ensopegat? |} === Longitud d'un vector === Com que els nostres vectors uneixen 2 punts o ens envien del primer punt al segon punt, direm que la seva longitud o mòdul serà la distància entre aquests dos punts. :<math>Longitud(\vec{u})=\|(u_1,\,u_2)\|</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2}</math> === Angle respecte l'horitzontal === [[File:Ángulo para coordenadas polares.svg|border|right|260px]] L'angle d'un vector en sentit antihorari respecte l'horitzontal és: :<math>\theta=Angle(\vec{u})</math> <math>=Angle(u_1,\,u_2)</math> <math>=\arctan\left(\frac{u_2}{u_1}\right)</math> <math>=\tan^{-1}\left(\frac{u_2}{u_1}\right)</math> Si el vector té alguna coordenada negativa la reconstrucció de l'angle es fa seguint l'esquema següent donat, només hem de saber reconstruir un triangle rectangle amb base la coordenada x, altura la coordenada y i calcular l'angle del triangle '''considerant els costats positius sempre'''. Si ens demanen l'angle <math>\theta</math> per a construir-lo en '''coordenades polars''' llavors hem de fer les operacions indicades a l'esquema que depenen del quadrant. En cursos superiors es pot simplificar l'esquema investigant el comportament de les fórmules trigonomètriques que ens permetran utilitzar coordenades negatives amb propietat. ==== Exemples ==== 1) Calculeu el mòdul i l'angle respecte l'horitzontal del vectors donats: :a) <math>\vec{u}=(6,\,6).</math> :b) <math>\vec{v}=(-3,\,4).</math> :c) <math>\vec{w}=(-2,\,-2).</math> :d) <math>\vec{a}=(12,\,-5).</math> 2) Dibuixa els vectors amb el triangle per calcular el modul i després calcula l'angle <math>\theta</math> per situar-lo en coordenades polars. :a) <math>\vec{u}=(5,\,-1).</math> :b) <math>\vec{v}=(-3,\,-5).</math> :c) <math>\vec{w}=(-2'5,\,2'5).</math> :d) <math>\vec{a}=(1,\,5).</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#eef" width="100%" |- |colspan="2"|3) Reconstrueix els vectors segons les dades de <math>\theta_{\vec{u}}</math> i longitud o mòdul <math>L_{\vec{u}}:</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100%"|a) Vector de <math>\theta_{\vec{u}}=45^{\circ}</math> i de <math>L_{\vec{u}}=\sqrt{\,2\,}.</math> |- |width="5"| |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" bgcolor="#fff"|[[File:Quadrants 02.svg|120px|right]] El valor de l'angle de <math>45^{\circ}</math> ens indica que estem al primer quadrant, I, i només cal reconstruir el triangle sobre el pla cartesià de tal manera que la hipotenusa serà el vector <math>\vec{u}=(u_1,\,u_2)</math> a reconstruir: *<math>u_1=\sqrt{\,2\,}\cdot\cos(45^{\circ})=2.</math> *<math>u_2=\sqrt{\,2\,}\cdot\sin(45^{\circ})=2.</math> Per tant el vector és <math>\vec{u}=(2,\,2).</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left"|b) Vector de <math>\theta_{\vec{v}}=200^{\circ}</math> i de <math>L_{\vec{v}}=\sqrt{\,2\,}.</math> |- |width="5"| |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" bgcolor="#fff"|[[File:Quadrants 02.svg|120px|right]] El valor de l'angle de <math>200^{\circ}</math> ens indica que estem al tercer quadrant, III, i només cal reconstruir el triangle de tal manera que la hipotenusa serà el vector <math>\vec{u}=(u_1,\,u_2)</math> a reconstruir amb les mides positives i després situar-lo al pla cartesià afegint els signes corresponents a posteriori: *<math>u_1=\sqrt{\,2\,}\cdot\cos(200^{\circ})=-1'328\,926 u.</math> *<math>u_2=\sqrt{\,2\,}\cdot\sin(200^{\circ})=-0'483\,689 u.</math> Per tant el vector és <math>\vec{u}=(-1'328\,926,\,-0'483\,689).</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left"|c) Vector de <math>\theta_{\vec{w}}=300^{\circ}</math> i de <math>L_{\vec{w}}=5.</math> |- |width="5"| |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" bgcolor="#fff"|[[File:Quadrants 02.svg|120px|right]] El valor de l'angle de <math>300^{\circ}</math> ens indica que estem al quart quadrant, IV, i només cal reconstruir el triangle de tal manera que la hipotenusa serà el vector <math>\vec{u}=(u_1,\,u_2)</math> a reconstruir amb les mides positives i després situar-lo al pla cartesià afegint els signes corresponents a posteriori: *<math>u_1=5\cdot\cos(300^{\circ})=2,5 u.</math> *<math>u_2=5\cdot\sin(300^{\circ})=-4,330\,124 u.</math> Per tant el vector és <math>\vec{u}=(2'5,\,-4'330\,124).</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left"|d) Vector de <math>\theta_{\vec{a}}=90^{\circ}</math> i de <math>L_{\vec{a}}=2.</math> |- |width="5"| |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" bgcolor="#fff"|[[File:Quadrants 02.svg|120px|right]] El valor de l'angle de <math>90^{\circ}</math> ens indica que estem la ordenada a la part positiva on el vector és de la forma <math>\vec{u}=(0,\,L_{\vec{a}})</math> de fet amb el mateix procediment queda: *<math>u_1=2\cdot\cos(90^{\circ})=0 u.</math> *<math>u_2=2\cdot\sin(90^{\circ})=2 u.</math> Per tant el vector és <math>\vec{u}=(0,\,2).</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left"|e) Vector de <math>\theta_{\vec{b}}=180^{\circ}</math> i de <math>L_{\vec{b}}=2\,cm.</math> |- |width="5"| |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" bgcolor="#fff"|[[File:Quadrants 02.svg|120px|right]] El valor de l'angle de <math>180^{\circ}</math> ens indica que estem la abscissa a la part negativa on el vector és de la forma <math>\vec{u}=(-L_{\vec{a}},\,0)</math> de fet amb el mateix procediment queda: *<math>u_1=2\cdot\cos(180^{\circ})=-2\, cm.</math> *<math>u_2=2\cdot\sin(180^{\circ})=0\, cm.</math> Per tant el vector és <math>\vec{u}=(-2,\,0).</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#eef" width="100%" |- |colspan="3"|4) Hem fet una quadrícula <math>10\times 10</math> amb coordenades al terra i sabem que una formiga situada al punt <math>A=(-3,\,1)</math> es mou exclusivament utilitzant tots múltiples del vector <math>\vec{u}=(1,-1).</math> Es vol determinar el '''lloc geomètric''' del seu moviment, dibuixant de tots els punts on es pot moure la formiga. Per això s'introdueix el multiplicador <math>\lambda</math> al vector <math>\vec{u}</math> i que pot prendre qualsevol valor que es vulgui. |- |valign="top" align="left"|Quina és l'equació d'aquest fet com a punt i vector?. S'ha de dibuixar també. |- |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" colspan="2" bgcolor="#fff"|Hem de fer el que diu l'enunciat i ja hem acabat: :<math>(x,y)=A+\lambda\cdot\vec{u}</math> El que tenim en realitat és la coneguda com '''equació paramètrica''' i <math>\lambda</math> és el seu paràmetre: :<math>(x,y)=(-3,\,1)+\lambda\cdot (1,\,-1).</math> |- |valign="top" align="left"|Es pot simplificar la variable <math>\lambda</math>?. |- |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" colspan="2" bgcolor="#fff"|Operant la multiplicació i sumant el punt obtenim: :<math>(x,y)=(-3,\,1)+(\,\lambda\cdot 1,\,\lambda\cdot (-1)\,)</math> <math>\Rightarrow\,(x,y)=(-3+\lambda\cdot1,1+\lambda\cdot (-1))</math> El que es fa és separar aquestes dues coordenades d'aquesta equació obtenint dues equacions: :Per la primera coordenada: <math>x = -3+\lambda\cdot 1</math> :Per la segona coordenada: <math>y = 1+\lambda\cdot (-1)</math> Hem de fer substitució aïllant <math>\lambda</math> d'una equació i substituir-la a l'altra: :De la primera equació obtenim que <math>\lambda=x+3</math> :Substituint a la segona obtenim <math>y = 1+(x+3)\cdot (-1)</math> i operant tenim: ::<math>y = 1-x-3</math> <math>\Rightarrow y = -2-x</math> |- |valign="top" align="left"|En cas de simplificar-la, que em queda?. S'ha de comprovar també |- |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" colspan="2" bgcolor="#fff"|El que em queda és una recta en funció de x i y. :<math>y = -2-x</math> D'aquest vector <math>\vec{u}</math> se'n diu '''vector director''' d'aquesta recta. Només cal comprovar si els dos punts, <math>(x,\,y)=(-3,\,1)</math> i <math>(x,\,y)=(-2,\,0)</math>, que surt al dibuixar, estan dins la recta fent substitució d'aquests valor a la recta: :<math>(1)=-2-(-3)\Rightarrow 1=1</math> És cert, per tant, aquest punt sí està sobre la recta. :<math>(0)=-2-(-2)\Rightarrow 0=0</math> És cert, per tant, aquest punt també està sobre la recta. Ja hem acabat la comprovació. |} 5) Calcula la recta que passa pel punt <math>B=(2,\,-2)</math> i té com a vector director <math>\vec{v}=(1,\,3).</math> 6) Calcula la recta que passa pel punt <math>C=(-3,\,4)</math> i té com a vector director <math>\vec{w}=(2,\,-3).</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#eef" width="100%" |- |colspan="3"|7) Partint del punt <math>A=(-1,\,-2)</math> volem veure quantes vegades hem d'utilitzar els vectors <math>\vec{v}=(1,\,0)</math> i <math>\vec{u}=(0,\,1)</math> per arribar al punt <math>B=(5,\,7).</math> |- |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" colspan="2" bgcolor="#fff"|Ens està demanant construir una '''combinació lineal''' de vectors i això es fa utilitzant una incògnita per a cada vector i per obtenir un vector únic suma: :<math>B=A+\lambda\,\vec{u}+\gamma\,\vec{v}</math> <math>\Rightarrow (5,\,7)=(-1,\,-2)+\lambda\, (0,\,1)+\gamma\, (1,\,0)</math> Separant per coordenades com a dues equacions i únicament aïllant les incògnites o paràmetres surt el valor: :<math>\begin{cases} 5=-1+\,\,\,0\,\,\,+\gamma\cdot 1\\ 7=-2+\lambda\cdot 1+\,\,\,0\,\,\, \end{cases}</math> <math>\,\,\Rightarrow\,\,\begin{cases} 5+1=\gamma\\ 7+2=\lambda \end{cases}</math> <math>\,\,\Rightarrow\,\,\begin{cases} \gamma=6\\ \lambda=9 \end{cases}</math> Per tant per sortir d'A i arribar a B cal utilitzar 6 vegades el vector <math>\vec{v}</math> i 9 vegades el vector <math>\vec{u}.</math> |} === Dimensió === En aquesta secció només volem fer un esborrany de la forma com es veuen les dimensions des del punt de vista pràctic usant coordenades. :*Quan tenim una sola coordenada vol dir que només podem determinar la posició dins un '''fil''' per exemple. No el treballarem. :*Quan tenim dues coordenades vol dir que només podem determinar la posició dins d'un '''full''' per exemple. :*Quan tenim tres coordenades vol dir que només podem determinar la posició a l'espai 3D. No el treballarem. :*Quan tenim quatre coordenades vol dir que determinem punts en 3D+temps. No el treballarem. === Operacions amb vectors === Recull de possibles operacions que es veuen als cursos de secundaria particularment. ==== Producte escalar ==== '''Producte de dos vectors a escalar''', el resultat és un nombre real <math>s=\vec{u}\cdot\vec{v}</math>: ::<math>\begin{array}{rc} &(a_1,a_2)\\ \times&(b_1,b_2)\\ \hline &a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2 \end{array}</math> ==== Producte vectorial ==== '''Producte de dos vectors a vector''', dona un com a resultat un vector perpendicular als dos vectors inicials. Aquesta operació apareix als següents cursos, però, evidentment amb 3 dimensions. == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] bk8ybiiqc06qbfxspu6azg7tn0yitwe 0 39194 373545 371493 2025-06-21T01:50:32Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373545 wikitext text/x-wiki Des d'un punt de vista més rigorós, el tema de funció és semblant al que hem fet en altres temes i seccions. Una conseqüència discreta de les funcions és la representació gràfica en diverses matèries per fer estudi de dades en àrees molt concretes: productivitat, consum, natalitat, canvis de temperatura, preu dels productes, etc. Les funcions a les matemàtiques és de gran utilitat per fer anàlisi rigorós del comportament de determinats successos, fins i tot, es poden fer estudis abstractes com a preludi elemental d'unes eines molt potents en cursos més avançats i on aquesta definició constaran com a assumides. Aquesta secció està preparada per fer-se íntegrament o parcialment si ja s'ha fet el tema de [[Funcions_b%C3%A0siques_IV|funcion bàsiques]] == Definició de funció == La definició de les funcions a l'ESO només aconsegueix relacionar parells de nombres (x, y) al pla on usem coordenades, però, dos nombres x i y es considera un punt A = (x, y) , per tant, una funció establirà una serie de punts al pla deixant una mena de dibuix que es diu gràfic de la funció. *El primer conjunt de nombres és anomenat '''domini''', '''X''', i pot tenir la forma de recta real <math>\mathbb{R}</math>, semirecta com <math>(-\infty,\,a]</math> o d'intervals. *El segon conjunt de nombres és anomenat '''recorregut''' (o imatge), '''Y'''. Compta amb la '''restricció''' que fa la nostra definició de funció: {|style="border: 1px solid #b85; background:#fed" cellspacing="8" |'''Definició''': Una '''funció''' és una relació entre dos conjunts de nombres que donat un element '''x''' del primer anomenat domini, assignarà '''un únic''' element '''y''' numèric del segon conjunt anomenat recorregut. |} Podem dir que <math>y=f(x)</math> es pot entendre i llegir dient que podríem obtenir '''y''' fent diferents operacions amb la '''x'''. {| class="wikitable" align="right" cellpadding="0" cellspacing="3" !colspan=2 style="text-align:left" |Esquema per a funcions |- |valign="top"|<math>\begin{array}{rc} f:&X \to Y\\ &\,x \mapsto y \end{array}</math> |valign="top"|<math>\begin{array}{c} X \xrightarrow{\;\;\;f\;\;\;} Y\\ \,x \mapsto y \end{array}</math> |} {| |valign="top"|'''Notacions''': *El nom d'una funció pot ser <math>f,g,h,i,\,...</math>. *La <math>X</math> majúscula indica el conjunt '''domini''' de la funció. *La <math>Y</math> majúscula indica el conjunt '''recorregut''' de la funció. |valign="top"|'''Una taula de valors''': |valign="top"|<math>\begin{array}{c|lr} x&y&=f(x)\\ \hline a&1\\ b&2\\ c&3\\ d&4\\ \end{array}</math> |} La representació es fa exactament igual com les equacions, partint de la taula de dos columnes obtenim els punts necessaris per fer la representació. === Exemples === {| |valign="top"|1) |valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&X&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}& Y\\&x &\mapsto& x-1 \end{array}</math> |valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline 0&-1\\1&0\\2&1\\3&2\\ \vdots& \vdots \end{array}</math> |} {| |valign="top"|2) |valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&[0,\,1]&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}& \mathbb{R}\\&x& \mapsto& 2-x \end{array}</math> |valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline 0&2\\0,1&1,9\\0,2&1,8\\0,3&1,7\\ \vdots& \vdots \\ 1&1\end{array}</math> |} {| |valign="top"|3) |valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&(1,\,2)&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}&\mathbb{R}\\&x&\mapsto& 1\end{array}</math> |valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline (1)&1\\1,1&1\\1,2&1\\1,3&1\\ \vdots& \vdots \\ (2)&1\end{array}</math> |} {| |valign="top"|4) |valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&[-1,\,0)&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&-1\end{array}</math> |valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline -1&-1\\-0,9&-1\\-0,8&-1\\-0,7&-1\\ \vdots& \vdots \\ (0)&-1\end{array}</math> |} {| |valign="top"|5) |valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&(-1,\,1]&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&x^2\end{array}</math> |valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline(-1)&1\\-0,5&0,25\\0&0\\0,5&0,25\\ \vdots& \vdots \\ 1&1\end{array}</math> |} {| |valign="top"|6) |valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&[0,\,+\infty)&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\sqrt{x}\end{array}</math> |valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline 0&0\\1&1\\4&2\\9&3\\ \vdots& \vdots \end{array}</math> |} {| |valign="top"|7) |valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&[1,\,+\infty)&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\cfrac{1}{x}\end{array}</math> |valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline 1&1\\2&0,5\\4&0,25\\5&0,2\\10&0,1\\ \vdots& \vdots \end{array}</math> |} === Funcions definides a trossos === Per detallar una funció, es pot fer de forma més sintètica i reduïda, parlant només de <math>f(x)=...</math> i, a continuació, el seu domini on es considera aquesta '''x'''. '''Exemples''' 1) Funció que assigna '''1''' als nombres més petits que dos i assigna '''0''' als nombres més grans o iguals que dos. ::<math>f(x)=\begin{cases} 1 & \text{ Si } x<2 \\0 & \text{ Si } 2\le x \end{cases}</math> 2) Funció que assigna '''0''' als nombres més petits o igual que zero i també més grans que dos, assigna '''x''' als nombres entre zero i u,i assigna '''2-x''' als nombres entre u i dos ambdós inclosos. ::<math>f(x)=\begin{cases} 0 &\text{ Si } x\le 0 \text{ o } 2<x\\x &\text{ Si } 0<x<1\\2-x &\text{ Si } 1\le x\le 2 \end{cases}</math> 3) Funció amb 7 parts?: ::<math>f(x)=\begin{cases} 1+x &\text{ Si } 0\le x<1\\2 &\text{ Si } 1\le x\le 2\\x &\text{ Si } 2<x\le 3\\2x-3 &\text{ Si } 3<x<4\\21-4x &\text{ Si } 4<x<5\\1 &\text{ Resta de cassos} \end{cases}</math> === Funció '''valor absolut''' === De les més utilitzades en totes les àrees del coneixement. ::<math>f(x)=|x|=\begin{cases} -x & \text{ si } x<0 \\x & \text{ si } 0\le x \end{cases}</math> Vegem com és la taula per cada una de les dues excepcions: :{| |<math>\begin{array}{c|c} x&-x\\ \hline (0)&0\\-1&1\\-2&2\\-3&3\\ \vdots& \vdots \end{array}</math>||<math>\begin{array}{c|c} x&x\\ \hline 0&0\\1&1\\2&2\\3&3\\ \vdots& \vdots \end{array}</math> |} ==== Observació ==== La distància o '''passa''' entre valors que anem provant és de una unitat: h = 1 *Per fer detalls més delicats podem escollir valors més petits: h = 0,5 *Si h és molt petit, llavors la taula serà molt gran i trigarem molt en omplir-la. '''Exemple''' de passa h = 0,1: :<math>\begin{array}{c|c} x&|x|\\ \hline 0&0\\0,1&0,1\\0,2&0,2\\0,3&0,3\\0,4&0,4\\0,5&0,5\\0,6&0,6\\0,7&0,7\\0,8&0,8\\0,9&0,9\\1&1\\ \vdots& \vdots \end{array}</math> Observeu que per representar el tros que va del zero a l'u hem fet massa càlculs per res. Pensem per tant en fer càlculs estratègicament situats per estalviar càlculs innecessaris. '''Exemple''' de programa que representa el <math>\sin(x*60)</math> amb diferents fragments nh=6 però que pot ser nh=9, nh=18 o nh=36. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Dibuix en format *.svg que inclou un miniprograma que representa funcions editant el codi. Arxiu per copiar i desar amb el Bloc de notes: tipus *.*, format UTF-8 i un nom com Program.svg}} |- |<syntaxhighlight lang="xml"> <svg width="1000" height="1000" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" onload="create(evt)"> <script><![CDATA[ var xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"; var ax1=-3;ax2=6;axw=1000;by1=-7;by2=6;byw=1000;//Interval:X,(ax1,ax2), Y,(by1,by2). var nh=6;//numero de pasos o fragmentos. var Root=document.documentElement//Contenedor de elementos. function create(){ var vy;vx=ax1;h=(ax2-ax1)/nh;dim=axw/(ax2-ax1);//variables y ajuste del marco. var cadena="m";ejes="m";cuadri="";by2=by1+(ax2-ax1);//marco cuadrado. G=document.createElementNS(xmlns,"g");Root.appendChild(G);G.setAttributeNS(null,"transform","scale("+(dim)+"),translate("+(-ax1)+","+(by2)+")"); P=document.createElementNS(xmlns,"path");E=document.createElementNS(xmlns,"path"); F=document.createElementNS(xmlns,"path");T=document.createElementNS(xmlns,"text");//creadores. vy=fx(vx);cadena=cadena+(vx)+","+(-vy)+"L"; for(vx=vx+h;vx<ax2+h;vx=vx+h,cadena=cadena+" "){ vy=fx(vx);cadena=cadena+(vx)+","+(-vy);} ejes=ejes+(0)+","+(-by1)+"L"+(0)+","+(-by2)+"q0.05,0.3 0.1,0.4q-0.1,-0.1 -0.2,0q0.05,-0.1 0.1,-0.4";//eje y. ejes=ejes+"M"+(ax1)+","+(0)+"L"+(ax2)+","+(0)+"q-0.3,-0.05 -0.4,-0.1q0.1,0.1 0,0.2q0.1,-0.05 0.4,-0.1";//eje x. for(i=0;i<(ax2-ax1)+1 || i<(by2-by1)+1;i++){ cuadri=cuadri+"M"+(Math.round(ax1-1)+i)+","+(-by1)+"L"+(Math.round(ax1-1)+i)+","+(-by2); cuadri=cuadri+"M"+(ax1)+","+(-Math.round(by1-1)-i)+"L"+(ax2)+","+(-Math.round(by1-1)-i); } T.setAttributeNS(null,"x",30);T.setAttributeNS(null,"y",150);T.setAttributeNS(null,"font-size","18pt"); F.setAttributeNS(null,"d",cuadri);F.setAttributeNS(null,"stroke","#444");F.setAttributeNS(null,"opacity","0.3"); F.setAttributeNS(null,"stroke-width",0.03);F.setAttributeNS(null,"fill","none");G.appendChild(F); E.setAttributeNS(null,"d",ejes);E.setAttributeNS(null,"stroke","black"); E.setAttributeNS(null,"stroke-width",0.03);E.setAttributeNS(null,"fill","black");G.appendChild(E); P.setAttributeNS(null,"d",cadena);P.setAttributeNS(null,"stroke","#00f");P.setAttributeNS(null,"stroke-width",0.03); P.setAttributeNS(null,"fill","none");G.appendChild(P); Msg=document.createTextNode(cuadri);T.appendChild(Msg);// G.appendChild(T);//sonda de cadena. }//Para fOrmulas matemAticas: Math.sin(), Math.Cos(), ... function fx(x){return Math.sin(x*3.14/3);}//<<---******FUNCIoN f a representar.********* ]]></script> <path d="m1,1h998v998h-998z" stroke="#f5f" stroke-width="2" fill="none"/> </svg> </syntaxhighlight> |} === Funció '''part entera''' === També es pot fer una funció de cada tipus de aproximació: La funció d'aproximació per truncament, més conegut com '''part entera''':[[File:Función Cu int.svg|right|280px]] ::<math>f(x)=[x]</math> :Taula per analitzar: ::<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline \vdots& \vdots \\ 0,8&0\\0,9&0\\1&1\\1,1&1\\1,2&1\\ \vdots& \vdots \end{array}</math> :No és una funció a trossos encara que estigui molt fragmentada. Fem ara la funció d'aproximació per '''arrodoniment''':[[File:Función Cu redon.svg|right|280px]] ::<math>f(x)=\bar x</math> :Taula per analitzar: ::<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline \vdots& \vdots \\ 0,3&0\\0,4&0\\0,5&1\\0,6&1\\0,7&1\\ \vdots& \vdots \end{array}</math> :Tampoc és una funció a trossos encara que estigui molt fragmentada. En programació es pot trobar com: Math.round(x) en javaScript. == Anàlisi gràfic == Mitjançant l'anàlisi gràfic és quan podem comprendre amb més fidelitat el comportament de cada funció. Es demana molt aquest tipus d'apreciacions per poder assegurar que es segueix el contingut del tema per anar-hi més lluny en un futur. === Continuïtat i discontinuïtat === La '''continuïtat''' o no d'una funció és el que el seu nom indica; només hem de comprovar que no hi ha salts al seu gràfic '''dins''' del seu domini. Per imaginar-ho, hem de pensar que: :Idealment una funció és '''continua''' quan '''es pot''' dibuixar el seu gràfic amb un llapis sense necessitat d'aixecar-lo del full. :Idealment una funció és '''discontinua''' quan '''no es pot''' dibuixar el seu gràfica amb un llapis sense aixecar-lo del full. ==== Exemples ==== 1) Funció contínua: [[File:Función Trigonométrica R100.svg|400px]] 2) Funció no contínua: [[File:Discontinuity removable.eps.png|200px]][[File:Discontinuity jump.eps.png|200px]][[File:Función xy discontinua 23.svg|200px]] === Creixement i decreixement === El creixement o decreixement només té sentit si sabem situar-nos, considerant que avancem pel gràfic anant en el sentit al infinit positiu. ==== Exemples ==== 1) Creixement en una funció: [[File:Monotonicity example1.png|150px]] 2) Decreixement en una funció: [[File:Monotonicity example2.png|150px]] === Màxims i mínims === Parlem de màxims i mínims relatius(locals) quan analitzem un lloc concret del seu domini, per tant: *Es considera '''un''' màxim relatiu a un tros del domini quan és el punt més gran o més alt. *Es considera '''un''' mínim relatiu a un tros del domini quan és el punt més petit o més fondo. Parlem de màxims i mínims absoluts(globals) quan es el punt més gran o més petit respectivament. [[File:Extrema example es.svg|280px]] === Simetries i periodicitat === Funció parella és la funció amb simetria vertical: :[[File:Función par 01.svg|300px]] Funció imparella és la funció amb simetria central, és a dir, simetria respecte el punt O = (0, 0): :[[File:Función impar 01.svg|300px]] Funció periòdica és la funció que repeteix exactament i exclusivament una part concreta del seu gràfic al llarg del eix X: :[[File:Sine waves different frequencies.svg|400px]] :[[File:Periodisk-växelstorhet.svg|300px]] === Concavitat i Convexitat === Senzillament és com analitzar la curvatura d'una funció respecte l'horitzontal, si és un tros de <math>\cup</math> es diu còncava i si és un tros de <math>\cap</math> es diu convexa. ;Nota: Aquesta nominació canvia quan estudiareu alguna especialitat, per tant es recomana seguir els apunts respectius. [[File:Graphique polynome 1 3 1.png|200px|còncava]][[File:F(x)-G(x).jpg|200px|convexa]] Els punts de continuïtat que uneixen una corba convexa amb una corba còncava en l'ordre que sigui es diu '''punt d'inflexió'''. Exemples on s'indica el punt d'inflexió: [[File:Cube root function with vertical tangent.svg|200px]][[File:Inflection point.png|200px]] === Trasllat de funcions === Per traslladar tots els punts d'una funció, necessitem un vector que ens digui el destí de tots els punts. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Dada la funció <math>f(x)</math> la seva funció traslladada amb el vector <math>\vec{(a,b)}</math> dona una funció: ::<math>g(x)=f(x-a)+b</math> }} |- |'''Demostració:''' Donada <math>f(x)</math> els seus punts son de la forma <math>(x,f(x))</math> i sumant el vector <math>\vec{(a,b)}</math> dona: ::<math>(x,f(x))+\vec{(a,b)}=(x+a,f(x)+b)</math> El truc de canvi de variable <math>z=x+a</math> i per tant <math>z-a=x</math> per tant queda: ::<math>(x+a,f(x)+b)=(z,f(z-a)+b)</math> Finalment maquillant amb z=x tenim: ::<math>(x,f(x-a)+b)</math> És a dir <math>g(x)=(x,f(x-a)+b)</math> |} Interpretació gràfica sobre taules, suposant que tenim la funció <math>f(x)=x^2</math>, traslladar la funció <math>\vec{(2,3)}</math> dona <math>g(x)=(x-2)^2+3</math>: {| |valign="top"|<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline \vdots& \vdots\\ -3&9\\-2&4\\-1&1\\0&0\\1&1\\2&4\\3&9\\ \vdots& \vdots \end{array}</math> |valign="top"|<math>\begin{array}{c|c} x&g(x)\\ \hline \vdots& \vdots\\ -1&12\\0&7\\1&4\\2&3\\3&4\\4&7\\5&12\\ \vdots& \vdots \end{array}</math> |} Vigilem les taules comparant per columnes: *Veieu que la primera columna de la segona taula és la primera columna de la primera taula sumant 2 als seus valors. *Veieu que la segona columna de la segona taula és la segona columna de la primera taula sumant 3 als seus valors. És una manera mólt ràpida de calcular-ho. Exemples: *[https://www.youtube.com/watch?v=drMwmtQV_L0 Tutorial per traslladar la funció <math>f(x)=|x|</math>.] *[https://es.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/stretching-functions/v/shifting-and-reflecting-functions Trasllats i reflexions.] *[https://www.youtube.com/watch?v=8yWFs-DYurk La primera part és interessant per <math>f(x)=(x)^2</math>, la segona part fa comparatives per a qui interessi.] == Funcions polinòmiques == Són funcions que es poden determinar mitjançant un polinomi com <math>f(x)=P(x)</math>, és a dir si <math>P(x)=2x^3-x+3</math> llavors: :<math>f(x)=2x^3-x+3</math> {| |valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&X&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}& Y\\&x &\mapsto& 2x^3-x+3 \end{array}</math> |valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&2x^3-x+3\\ \hline 0&2\cdot 0-0+3\\1&2\cdot 1 - 1+3\\ \vdots& \vdots \end{array}</math> |} Per tant si té taula llavors es pot representar. A continuació es presenten les funcions ordenades segons el seu grau donant importància a aspectes visuals del seu gràfic. === Funcions de polinomis de grau 1 o menor === Són les funcions del tipus <math>f(x)=ax+b.</math> Aquestes funcions són gràficament rectes al pla. ==== Classificació ==== ===== Funció constant ===== [[File:Función constante 01.svg|right|250px]] Les '''funcions constants''' són del tipus <math>f(x)=b</math> on b és un valor donat. Exemples de funcions constants: 1) <math>f(x)=8</math> 2) <math>g(x)=4,2</math> 3) <math>h(x)=-3,6</math> Visualment el seus gràfic de cadascuna és una única línia horitzontal ===== Funcions afins ===== [[File:Linear functions 03.svg|right|250px]] Les '''funcions afins''' són del tipus <math>f(x)=ax+b</math> amb <math>a\neq 0.</math> Exemples de funcions afins: 1) <math>f(x)=2x+1</math> 2) <math>g(x)=\frac{x}{2}+1</math> 3) <math>h(x)=-\frac{x}{5}+1</math> Visualment el seu gràfic de cadascuna és una única línia de qualsevol mena a excepció de les línies verticals. ====== Funcions lineals ====== [[File:Linear functions 01.svg|right|250px]] Les '''funcions lineals''' són del tipus <math>f(x)=ax,</math> però és habitual trobar-les com <math>f(x)=ax+b</math> degut al convenciment que el nom de lineal procedeix de ser línies rectes. En aquests casos es recomana seguir acuradament els textos donat pel docent concret. Exemples de funcions lineals: 1) <math>f(x)=2x</math> 2) <math>g(x)=\frac{x}{2}</math> 3) <math>h(x)=-\frac{x}{5}</math> ==== Determinació de la recta amb punts ==== ===== Mètode punt a l'origen pendent ===== <math>f(x)=\frac{a}{b}x+c</math> ===== Mètode dos punts lliures ===== <math>A=(a_1,\;a_2),\;B=(b_1,\;b_2)</math> <math>\frac{y-a_2}{x-a_1}=\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}</math> O directament: <math>f(x)=\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}(x-a_1)+a_2</math> === Funcions de polinomis de grau 2 === Són les funcions del tipus <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> i afegirem les del tipus <math>f(x)=a(x+d)^2+e</math> perquè comparteixen algunes característiques. Exemple de efectes de variacions dels valors a, b i c. Per als valors de d i e de la segona expressió l'únic efecte que fan és desplaçar el vèrtex de la paràbola al punt (-d,e) i res més. [[File:Quadratic equation coefficients.png|500px]] Aquestes funcions són gràficament paràboles al pla. === Funcions de polinomis de grau 3 === Principalment la funció <math>f(x)=ax^3.</math> Aquestes funcions són gràficament corbes cúbiques al pla. === Funció inversa === No és un polinomi però la pensarem com '''inversa d'un polinomi''' de grau 1, d'expressió general: :<math>f(x)=\frac{1}{ax+b}</math> Aquestes funcions són gràficament hipèrboles de dues fulles al pla. == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 2ot0ltnbvocr02j47fnp7y4sd5vvedl 0 39663 373543 362176 2025-06-21T01:50:31Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373543 wikitext text/x-wiki Les inequacions descriuen regions o parts segons l'espai on es treballa. * Sobre la recta real, cada inequació descriu una semirecta.<ref>Temari del primer trimestre</ref> :* La intersecció de dos equacions podria ser entre una nova semirecta, un interval, un sol valor o el no res. * Sobre el pla real, cada inequació descriu un semiplà(part del pla que queda a un sol cantó d'una recta qualsevol). :* La intersecció de dos inequacions podria ser entre un nou semiplà, un angle agut, una recta, una franja entre rectes paral·leles o el no res. == Introducció == En aquesta secció usarem funcions, per determinar més còmodament, les equacions lineals que descriu cada semiplà. === Exemples === Els quatre exemples bàsics relatius a <math>f(x)=x+1</math> que cal repassar abans de fer cap exercici, sobre tot buscar les diferencies entre les quatre representacions. {| |<math>y>f(x)</math> [[File:inequa001.svg|300px]] |<math>y\geqslant f(x)</math> [[File:inequa002.svg|300px]] |- |<math>y<f(x)</math> [[File:inequa003.svg|300px]] |<math>y\leqslant f(x)</math> [[File:inequa004.svg|300px]] |} Observacions: *Les desigualtats estrictes "<" i ">" fan que la vora del semiplà sigui una línia a traços indicant que aquesta no pertany al semiplà definit. *Les desigualtats no estrictes "≤" i "≥" fan que la vora del semiplà sigui una línia contínua per indicar que aquesta pertany al semiplà definit. === Exemples fets === 1) Representeu la regió i calculeu l'angle de cada recta donada: {| |a) <math>y\leqslant \frac{x}{4}-1</math> [[File:inequaSol001.svg|300px]] |b) <math>y>2-\frac{3}{5}x</math> [[File:inequaSol002.svg|300px]] |- |c) <math>y\geqslant \frac{3x-2}{2}</math> [[File:inequaSol003.svg|300px]] |d) <math>y<2x+2-3x</math> [[File:inequaSol004.svg|300px]] |- |c) <math>y>\frac{-4+2x}{3}</math> [[File:inequaSol005.svg|300px]] |d) <math>y<3-\frac{x}{4}</math> [[File:inequaSol006.svg|300px]] |} == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] t37p6sd6us66i50kbdf3fqjypajpuva 0 39688 373548 308437 2025-06-21T01:50:34Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373548 wikitext text/x-wiki En aquesta secció es detallen les qualitats més rellevants de les rectes a quart d'ESO. Entenem com a rectes les funcions que tenen expressions com <math>f(x)=mx+d</math> i també les equacions que tenen una expressió del tipus <math>ax+by=c</math>. Recordem que donada la equació de la recta '''amb la incògnita''' <math>y</math> podem aïllar-la i obtenim la seva funció: ::<math>ax+by=c</math> <math>\Rightarrow by=c-ax</math> <math>\Rightarrow y=\frac{c-ax}{b}</math> <math>\Rightarrow f(x)=\frac{c-ax}{b}</math> <math>\Rightarrow f(x)=\frac{c}{b}-\frac{a}{b}x.</math> == Introducció == Aquesta secció desenvolupa petites eines per treballar-les amb les rectes en general en qualsevol de les dues formes: {|align="center" cellpadding="10" | {|style="border: 1px solid red;" bgcolor="#dfb" cellpadding="10" |<math>f(x)=mx+d</math> |} |o | {|style="border: 1px solid red;" bgcolor="#dfb" cellpadding="10" |<math>ax+by=c</math> |} |} Aquestes eines són bàsiques per fer seguiment de cursos posteriors on les funcions no són rectes. === Els punts de la recta === Tota recta està formada per punts, el mètode per escollir-ne un punt es la prova més senzilla que hi ha, per exemple: :Donada la recta <math>f(x)=3x+4,</math> volem un punt dins ella, suposem <math>x=2</math> <math>\Rightarrow f(2)=3(2)+4</math> <math>\Rightarrow f(2)=10</math> per tant <math>y=10</math> i obtenim el punt <math>(2,10)</math> que sabem que està sobre la recta. :Donada la recta <math>2x-y=3,</math> volem un punt dins ella, suposem <math>x=1</math> <math>\Rightarrow 2(1)-y=3</math> <math>\Rightarrow 2-y=3</math> <math>\Rightarrow -y=3-2</math> <math>\Rightarrow -y=1</math> <math>\Rightarrow y=-1</math> i obtenim el punt <math>(1,-1)</math> que sabem que està sobre la recta. === Recta per dos punts === Partint de dos punts qualssevol sobre la recta, es poden calcular o deduir molts elements, conceptes i eines, realment contenen la mateixa informació, vegeu-ne uns quants. ==== Vector director ==== [[File:Wiki slope in 2d.svg|right|300px]] El '''vector director''' d'una recta és un vector "paral·lel" a la recta.<ref>Encara que sigui intuïtiu, no s'ha introduït el concepte de generador encara.</ref> Podem obtenir vectors directors utilitzant dos punts qualssevol. :Donats dos punts qualssevol <math>A=(x_1,y_1)</math> i <math>B=(x_2,y_2)</math>, el vector <math>\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{(x_2-x_1,y_2-y_1)}=\overrightarrow{(\Delta x,\Delta y)}</math> és vector director. ===== Exemples ===== 1) Vector director de <math>f(x)=\frac{5}{21}x+3'1416,</math> només cal escriure la fracció que acompanya la "x" d'aquesta manera <math>\vec{v}=\overrightarrow{( 21, 5 )}.</math> 2) Vector director de <math>3x-7y=4'6,</math> només cal escriure desordenadament els nombres que apareixen amb un únic canvi de signe <math>\vec{v}=\overrightarrow{( 7, 3 )}.</math> ==== Pendent d'una recta ==== El '''pendent d'una recta''' és la tangent de l'angle d'aquesta recta o del vector director respecte l'horitzontal. :L'angle es calcula còmodament amb la tangent: <math>m=\tan \theta =\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> <math>\Rightarrow \theta = \tan^{-1}\frac{\Delta y}{\Delta x}.</math> ==== Construcció de la recta ==== Per construir una recta de la forma <math>f(x)=mx+d,</math> només cal traslladar-la sobre un dels seus punts com <math>(x_1,y_1)</math> donant <math>f(x)=m(x-x_1)+y_1,</math> es pot arreglar per que tingui millor aspecte. Per construir una recta de la forma <math>ay+bx=c,</math> fem el mateix i afegim <math>f(x)=y=mx+d,</math> <math>\Rightarrow -mx+y=d.</math> ==== Exemples ==== 1) Donats els punts <math>(1,2)</math> i <math>(4,4)</math> d'una recta, calculeu el vector director, el pendent, l'angle respecte l'horitzontal i la recta per aquest dos punts. :Vector director és <math>\vec{v}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{(4-1,4-2)}=\overrightarrow{(3,2)},</math> :Pendent de la recta és <math>m=\frac{2}{3},</math> :Angle respecte l'horitzontal <math>\theta=\tan^{-1}\frac{2}{3}=33,69^\circ,</math> :Recta pels punts és <math>y=\frac{2}{3}x</math> però traslladat, és a dir, <math>y=\frac{2}{3}(x-x_1)+y_1</math> <math>\Rightarrow y=\frac{2}{3}(x-1)+2</math> <math>\Rightarrow 3y=2(x-1)+6</math> <math>\Rightarrow 3y=2x-2+6</math> <math>\Rightarrow 3y-2x=4,</math> per tant, arreglant una mica podem tenir aquestes dues expressions de la mateixa recta: ::<math>f(x)=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3},</math> ::<math>-2x+3y=4.</math> 2)Donada la recta <math>f(x)=\frac{3}{5}x+23'1</math> calculeu el pendent, vector director i l'angle respecte l'horitzontal. :Vector director és <math>\vec{v}=\overrightarrow{(5,3)},</math> :Pendent de la recta és <math>m=\frac{3}{5},</math> :Angle respecte l'horitzontal <math>\theta=\tan^{-1}\frac{3}{5}=30,964^\circ.</math> === Recta perpendicular a un altra === [[File:VecDierector2.svg|right|300px]] Per obtenir una recta inclinada amb un pendent concret havíem vist que era necessari, entre d'altres eines, un vector director. ==== Vectors perpendiculars ==== Donat un vector <math>(a,b),</math> volem buscar un altre vector <math>(x,y)</math> que sigui perpendicular, és a dir, apliquem aquesta eina de vectors: :Dos vectors no nuls són perpendicular si els seu producte és zero, es a dir, <math>(a,b)\cdot(x,y)=0</math>.<ref>Vectors no nuls vol dir vectors que no siguin iguals a <math>(0,0).</math></ref> Desenvolupant el producte tenim <math>(a,b)\cdot(x,y)=ax+by=0</math> vegem la nostra cerca ens ha donat una '''recta''' on els punts d'aquesta recta tenen les coordenades dels vectors perpendiculars. *Per tant el vector <math>(a,b)</math> és perpendicular a qualsevol recta del tipus <math>ax+by=c,</math> sigui quin sigui el valor de c. *Un truc per calcular-los tots és intercanviar les coordenades i un únic signe com <math>(b,-a)</math> (gir cap a la dreta) ja que llavors <math>(a,b)\cdot(b,-a)=ab+b(-a)=ab-ab=0</math>. :*Podem multiplicar o dividir el vector <math>(b,-a)</math> pel valor '''n''' no nuls que vulguem ja que <math>(a,b)\cdot(nb,-na)=anb+b(-na)=n(ab-ab)=n0=0</math>. *Per tant una recta perpendicular a la recta <math>ax+by=c</math> és una recta de la forma <math>bx-ay=d</math>. '''Exemple:''' 1) Donat el vector <math>(2,5),</math> el seu vector perpendicular està sobre la recta <math>2x+5y=0</math> i per tant és <math>(5,-2).</math> 2) Donada la recta <math>2x-3y=10,</math> el seu vector perpendicular és <math>(2,-3)</math> amb vector perpendicular <math>(3,2),</math> aquest últim amb recta perpendicular <math>3x+2y=0.</math> :Si fem un dibuix s'entén millor ja que veuríem clarament el procediment directe per passar de <math>2x-3y=10</math> directament a <math>3x+2y=0.</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 7426tp184o0zuhqdp4uedrfdanf2qy4 0 39885 373553 308439 2025-06-21T01:51:30Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373553 wikitext text/x-wiki Aquest tema barreja probabilitat i combinatòria per tal de valorar "cassos possibles" en determinats problemes. == Probabilitat == La probabilitat és una funció encarregada de mesurar les possibilitats de succeir que tenen determinats successos o processos "dividit" per les possibilitats totals de successos possibles. === Definició === La probabilitat és una '''funció''' que '''mesura''' les possibilitats de succeir alguns fets o coses dividit per les possibilitats totals de succeir dits fets o coses, es a dir: ::<math>P:\Omega\longrightarrow[0,1]</math> Mostra d'un paral·lelisme amb els tants per cent: {| border="1" bordercolor="#ff0" bgcolor="#eef" cellpadding="10" |<math>\Omega</math> = Tots els successos possibles. |bgcolor="#fff"|<math>P(\Omega)=\frac{Total\,\,de\,\,successos}{Total\,\,de\,\,successos}=\frac{n}{n}=1</math>||<math>1\cdot 100 = 100%</math> |- |e = Element o '''part''' de <math>\Omega</math>. |bgcolor="#fff"|<math>P(\Omega)=\frac{Total\,\,que\,\,ocupa}{Total\,\,de\,\,successos}=\frac{a}{n}</math>||<math>\frac{a}{n}\cdot 100</math> |- |<math>\emptyset</math> = Conjunt de successos no possibles o buit. |bgcolor="#fff"|<math>P(\emptyset)=\frac{Cap\,\,part\,\,designada}{Total\,\,de\,\,successos}=\frac{0}{n}=0</math>||<math>0\cdot 100 = 0%</math> |} == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] a0mccluqjee9rjdmmghk6jmm2jx3fp9 0 40147 373530 356744 2025-06-21T01:49:37Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373530 wikitext text/x-wiki Aquest secció es tracta només de donar orientacions de com s'utilitza l'estadística a la realitat. '''Exemple orientador''' En analitzar la sang d'una persona tenim: :La sang és d'una única persona, llavors en aquest cas el terme '''població''' s'utilitza per referir-se a tota la sang d'aquesta persona. :L'anàlisi és d'una petita quantitat de sang extreta directament, llavors en aquest cas el terme '''mostra''' s'utilitza per referir-se a la quantitat de sang estreta. Amb la intenció de conèixer tota la sang, es fan servir unes quantes eines d'aproximació i valoració de l'error. :Per estudiar una determinada característica x de la sang fem servir el terme '''variable estadística'''. :Per estudiar la abundància d'una dada x com el d'un diàmetre ''concret'' de glòbuls vermell del de la sang fem servir el terme '''freqüència absoluta'''. == Taules de freqüències == Omplir taules de freqüències es purament mecànic, només cal fixar-si el que vol cada columna i com deixar les dades. Les taules de freqüències tenen les dades principals a les dues primeres columnes (dades en vertical). La primera columna és el tipus de succés esperat i la segona columna és per les vagades que ha sortit cada tipus de succés. === Freqüències absolutes === És com es coneix com a '''freqüència absoluta''' les dades obtingudes per cada succés. Al final de les dades es posa un requadre que és la suma total de successos per fer càlculs posteriors. === Freqüències relatives === La columna de '''freqüència relativa''' l'únic que fa és dividir cada valor de la freqüència absoluta entre el total. Al final de les dades es posa el requadre de suma total que dona aproximadament 1, depenent dels decimals utilitzats. El que aconseguim amb això és convertir els valors arbitraris en valors entre 0 i 1, anomenats '''tants per u'''. Aquest valors són molt fàcils de transformar i corresponen amb l'estudi de la probabilitat. === Tants per cent === La columna de '''tants per cent''' l'únic que fas és multiplicar per 100 la freqüència relativa, és a dir, moure dos llocs a la dreta la coma decimal. Al final de les dades es posa el requadre de suma total que dona aproximadament 100%. El que aconseguim amb això és el tant per cent amb que ha aparegut cada tipus de succés per poder fer-nos una idea general. ==== Exemples de taules ==== {|style="border: 0px" cellpadding="0" cellspacing="0" |valign="top" width="20px"|1) |valign="top"| {|style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |- |width="50px" style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#00ccff"|Notes |width="80px" style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#00ccff"|Freqüència absoluta |width="80px" style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#00ccff"|Freqüència relativa |width="30px" style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#00ccff"|% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|0 |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1÷20=0'05 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|5% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1 |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1÷20=0'05 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|5% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|2 |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|2 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|2÷20=0'1 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|10% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|3 |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|0 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|0÷20=0 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|0% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|4 |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|4 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|4÷20=0'2 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|20% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|5 |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|2 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|2÷20=0'1 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|10% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|6 |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|3 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|3÷20=0'15 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|15% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|7 |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|3 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|3÷20=0'15 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|15% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|8 |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1÷20=0'05 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|5% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|9 |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|2 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|2÷20=0'1 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|10% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|10 |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1÷20=0'05 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|5% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#ccccff"|Total |style="color:#a00;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|20 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|100% |} |width="20px"| |valign="top" width="20px"|2) |valign="top"| {|style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |- |width="60px" style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#00ccff"|Pesos |width="80px" style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#00ccff"|Freqüència absoluta |width="80px" style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#00ccff"|Freqüència relativa |width="30px" style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#00ccff"|% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[33,36)</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1÷40=0'025 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|2,5% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[36,39)</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|8 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|8÷40=0'2 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|20% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[39,42)</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|12 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|12÷40=0'3 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|30% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[42,45)</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|7 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|7÷40=0'175 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|17,5% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[45,48)</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|6 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|6÷40=0'15 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|15% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[48,51)</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|4 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|4÷40=0'1 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|10% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[51,54]</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|2 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|2÷40=0'05 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|5% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#ccccff"|Total |style="color:#a00;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|40 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|100% |} |} ==== Exercicis ==== Completa la taula de freqüències següent {|style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |- |width="60px" style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#00ccff"|Edad |width="80px" style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#00ccff"|Freqüència absoluta |width="80px" style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#00ccff"|Freqüència relativa |width="30px" style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#00ccff"|% |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[10,19)</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|5 |style="border: 1px solid #000;"| |style="border: 1px solid #000;"| |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[19,28)</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|8 |style="border: 1px solid #000;"| |style="border: 1px solid #000;"| |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[28,37)</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|11 |style="border: 1px solid #000;"| |style="border: 1px solid #000;"| |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[37,46)</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|8 |style="border: 1px solid #000;"| |style="border: 1px solid #000;"| |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[46,55)</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|5 |style="border: 1px solid #000;"| |style="border: 1px solid #000;"| |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[55,64)</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|7 |style="border: 1px solid #000;"| |style="border: 1px solid #000;"| |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>[64,73]</math> |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|6 |style="border: 1px solid #000;"| |style="border: 1px solid #000;"| |- |style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" bgcolor="#ccccff"|Total |style="border: 1px solid #000;"| |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|1 |style="color:#00a;border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|100% |} == Paràmetres de centralització == Són els valors que intenten '''veure''' de quina forma estan agrupades les dades i per tant cerquen concentracions d'aquestes dades. === Mitjana === La '''mitjana'''<ref>En català no existeix i està malament l'adaptació del castellà "media" com a promig o mitja</ref> o més ben dit mitjana aritmètica (Castellà: media aritmética, Anglès:Arithmetic mean, Francès:Moyenne arithmétique). :<math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}</math> on <math>x_i</math> són totes les dades aparegudes i '''n''' la quantitat de dades. === Mediana === La '''mediana''' és el valor que ocupa el centre de totes les dades ordenades. En cas de que la quantitat de valors siguin parell hem de agafar els dos valors centrals i fer la mitjana. === Moda === La '''moda''' són el conjunt de valors que més es repeteix. == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 6217vnkkp36v1laj8x8chqsf968q0x4 0 40183 373520 318902 2025-06-21T01:43:39Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373520 wikitext text/x-wiki Abstraccions que es treballaran durant el curs: *Resolució. *Raonament i prova. *Connexions. *Comunicació. = Seccions del curs = *[[Fitxa de la història dels nombres I|Història dels nombres]] *[[Fitxa dels nombres naturals I|Nombres naturals]] :*Els nombres primers. :*Màxim comú divisor. :*Mínim comú múltiple. :*Els codis. *[[Fitxa dels nombres enters I|Nombres enters]] :*Definició i ordenació dels enters. :*Operacions bàsiques i combinades amb enters. :*Potències. *[[Fitxa de les fraccions I|Les fraccions]] :*Definició i ordenació de les fraccions. :*Operacions bàsiques i combinades amb fraccions. :*Potències. *[[Fitxa dels nombres decimals I|Nombres decimals]] :*Definició i ordenació dels enters. :*Operacions bàsiques i combinades amb decimals. :*Potències i arrels. :*Altres sistemes de numeració.(romana, sexagesimal i binària) :*Unitats de mesura. *[[Proporcionalitat I|Proporcionalitat]] :*Proporcionalitat directa. :*Proporcionalitat inversa. *[[Elements geomètrics I|Geometria]] :*Longituds. :*Angles. :*Polígons. :*Àrees. :*Políedres. :*Volums. *[[Probabilitat i estadística I|Probabilitat i estadística]] :*Definició. :*Taules. :*Representació. = Blocs generals = *Numeració i càlcul. *Canvi i relacions. *Espai i forma. *Mesura. *Estadística i atzar. [[Category:Matemàtiques de primer d'ESO]] [[Category:CA]] ec46fia1n9wge3bazuuqthi23y6ynqi 0 40186 373516 306105 2025-06-21T01:43:36Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373516 wikitext text/x-wiki Per conèixer '''la història dels nombres''' primer hem d'especificar uns reptes per desvetllar l'interès de cada dada o idea donada. == Meditació per als nombres == És necessari saber els nombres per poder comptar? Quin és l'objectiu de la creació del nom dels nombres i el seu símbol? Quan van aparèixer els nombres? Quins usos ha tingut i tenen actualment els nombres? === Introducció === La prehistòria que estudia la societat, en aquest cas abans de l'ús de l'escriptura, és la que s'encarrega d'esbrinar tot tipus de fets basats en proves o evidències a partir de les quals es dedueixen o almenys es presumeixen dels successos del passat. :La primera prova de la que es dedueix que no calia obligatòriament conèixer els nombres per poder comptar es l'os d'Ishango un dels objectes prehistòrics amb marques regulars. [[File:Huesos de ishango.jpg|400px|thumb|Os d'Ishango mostrant unes marques ben definides i equidistants fetes per comptabilitzar o registrar successius fets que es repeteixen o que hi són presents]] Objectius hipotètics per a la creació dels nombres: {|style="border: 1px solid #088;" ||Comptar *Comptar animals o coses *Comptabilitzar dies |bgcolor="#dff"|Registrar quantitats ||Comunicar quantitats |} Objectius i usos més actuals: *Quantificar en general. *Registres amb unitats en llenguatge universal. '''Exemples particulars:''' Les xifres tant escrites com indicades amb distintius havien adquirit ja un sistema de numeració posicional bé escrit a Àsia o bé material a Amèrica entre d'altres tipus. {| ||[[File:Babylonian numerals.svg|400px]] ||[[File:Quipu.png|150px]] |} Quantitat de diners, mesurat en una divises i relacions entre elles. [[File:BMC 06.jpg|thumb|Monedes considerades com la divisa més antiga feta servir, una moneda per davant i darrera.]] *Valor dels objectes, mesurat en diners. Establir una comunicació universal anomenat Sistema Internacional(SI). *El massa dels objectes, mesurat en grams '''g'''. *La longitud, mesurat en metres '''m'''. *El temps, mesurat en hores '''h'''. == Meditació per les operacions == És necessari saber les taules de operacions per poder operar? Quin és l'objectiu de les operacions? Quan van aparèixer les operacions de nombres? Quins usos ha tingut i tenen actualment les operacions? === Introducció === Les operacions com a mecanisme per obtenir nombres a partir d'uns nombres inicials, és quelcom més complexe i requereix d'un estudi detallat d'aquests nombres inicials. Exemple: :Operació suma: 3 + 4 = 7 on 3 i 4 son nombres inicials i 7 el nombre obtingut amb la suma. :Operació multiplicació: <math>3\cdot 4=12</math> on 3 i 4 son nombres inicials i 12 el producte obtingut multiplicant. Per fer operacions més detallades fem servir taules de multiplicar i sumar, i per obtenir la resta de operacions usem diferents mètodes. === Exercicis === Tot exercici té un enunciat, un desenvolupament i un resultat. *L'enunciat conté les dades i l'objectiu desitjat. *El desenvolupament ha de ser ordenat i intel·ligible per tothom. *El resultat és el demanat per l'objectiu, freqüentment una dada i el tipus de valor. ::{|style="background:#ade; border: 1px solid #088;" |bgcolor="#fff"|Enunciat || |- ||Desenvolupament. || |- || |bgcolor="#fdd"|Resultats. |} == Plànol == [[Matemàtiques I ESO|Resta de seccions de primer d'ESO.]] [[Category:Matemàtiques de primer d'ESO]] [[Category:CA]] o6rxq79swyphw1t2g51mhet6feqxwm5 0 40270 373521 366715 2025-06-21T01:43:39Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373521 wikitext text/x-wiki [[File:Nippur cubit.JPG|750px]] En aquesta secció ens cuidem de les qualitats ideals que posseeixen els nombres natural i entendre què és la codificació en general. == Múltiples i divisors == Aquests dos conceptes estan molt lligats i junts milloren el raonament i la resolució de problemes. A ''Elements d'Euclides'', 300 a. C., es troben diversos exercicis dedicats a la comparació de mesures arbitraries. [[File:Euclides VII-2.svg|200px|center]] ;Exemple: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |Un nen agafa un pal, que no sap quan mesura, i comença a mesurar la llargada de l'hort del seu avi. Posa el pal successivament davant la seva posició anterior fins a sobrepassar la llargada de l'hort, això va sumar un total de 23 pals. :a) Quant mesura l'hort? i si el pal mesura 2&nbsp;m de llarg? :b) Tota mesura es pot fer amb pals? :c) Qualsevol cosa mesurable té aquestes propietats? |- |'''Solució:''' {| |valign="top"|a) ||Si amb 23 ha sobrepassat, llavors vol dir que la mesura de l'hort és 22 pals i una mica més, aquesta mida de més no és més gran que el pal. :<math>Llargada=Pal\cdot 22 + r,</math> on '''r''' és més petit que la mesura d'un pal. Si el pal té 2&nbsp;m de llarg, llavors l'hort mesura més de <math>22\times 2 m=44 m</math> sense sobrepassar els 26&nbsp;m. |- |valign="top"|b) ||Si la mesura és purament longitudinal res impedeix repetir la mesura del pal fins que s'acabi en algun moment. De fet es pot reescriure aquest fet com una divisió per predir quant ha de mesurar el pal o quantes vegades cal repetir el pal respectivament: :O bé <math>\;\;\;\begin{array}{rl} Llargada & \begin{array}{|c} 22\\ \hline \end{array} \\ r & Pal\\ \end{array}\;\;\;</math> o també <math>\;\;\;\begin{array}{rl} Llargada & \begin{array}{|c} Pal\\ \hline \end{array} \\ r & 22\\ \end{array}\;\;\;</math> |- |valign="top"|c) ||Aquest tipus de mesures es poden fer per mesurar espais plans amb un foli per exemple o espais volumètrics. Donada una mesura longitudinal que no es pugui mesurar i, per tant, sempre que posem novament el pal no arribem al seu extrem, significa que aquesta mida és infinita, <math>\infty</math>, i l'infinit no és cap nombre. |} |} === Els múltiples === A partir d'una unitat de mesura o nombre natural '''x''', tots els seus múltiples estan repartits com a punts dins la recta de nombres naturals amb el mateix espai entre ells. Això vol dir que podem mesurar qualsevol longitud amb un errors més petits que aquest nombre '''x'''. {|style="border: 1px solid #99f;" cellpadding="0" cellspacing="0" |width="100" align="center" style="border: 1px solid #99f"|1·x |width="100" align="center" style="border: 1px solid #99f"|2·x |width="100" align="center" style="border: 1px solid #99f"|3·x |width="100" align="center" style="border: 1px solid #99f"|4·x |width="100" align="center" style="border: 1px solid #99f"|5·x |width="100" align="center" style="border: 1px solid #99f"|6·x |width="100" align="center" style="border: 1px solid #99f"|7·x |} Per fer múltiples d'un nombre només cal multiplicar-lo per altres nombres inclús pel número zero. '''Exemple:''' *Múltiples de 1: <math>\dot{1}=\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, \dots \}</math> que són tots els nombres naturals *Múltiples de 2: <math>\dot{2}=\{ 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, \dots \}</math> *Múltiples de 3: <math>\dot{3}=\{ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, \dots \}</math> *Múltiples de 4: <math>\dot{4}=\{ 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, \dots \}</math> *Múltiples de 5: <math>\dot{5}=\{ 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, \dots \}</math> *Múltiples de 11: <math>\dot{11}=\{ 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, \dots \}</math> *Múltiples de 100: <math>\dot{100}=\{ 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, \dots \}</math> Dir que no se sap fer múltiples és dir que no se sap la taula de multiplicar. ;Observacions: *Hi ha nombres diferents de zero que apareixen dins de llistes de múltiples diferents, com el 8, 6, 12, etc. *Hi ha nombres que només apareixen dins dels múltiple d'1 i dels seus múltiples, com el 2, 3, 5, ... , se'n diuen nombres primers. ;Exercicis: 1) Escriu 10 termes successius dels múltiples de 6, 7 i 8: :<math>\dot{6}=</math> :<math>\dot{7}=</math> :<math>\dot{8}=</math> 2) S'ha vist que per fer múltiples de 3 només cal multiplicar-lo per qualsevol altre nombre: 4·3=12. Si es sumen dos múltiples de 3, seguirà sent un múltiple de 3? fes el raonament utilitzant 12 i 15. 3) Troba cada apartat: :a) El 13 de quins nombres és múltiple? :b) El 6 de quins nombres és múltiple? prova que és un múltiple d'aquests? només s'ha de dir que és igual a una multiplicació. :c) El 8 de quins nombres és múltiple? prova que és un múltiple d'aquests? === Els divisors === {|align="right" style="border: 1px solid black;" |<math>\begin{array}{rl} Dividend(dividendo) & \begin{array}{|c} Divisor\\ \hline \end{array} \\ Residu(residuo\, o\, resto) & Quocient(cociente)\\ \end{array}</math> |} Una divisió és '''exacta''' quan en fer la divisió no queda res al residu, és a dir, que el residu és zero. :::<math>\begin{array}{rl} 120 & \begin{array}{|c} 10\\ \hline \end{array} \\ 20 & 12\\ 0\\ \end{array}</math> Els '''divisors''' d'un nombre natural són els nombres que fan una divisió exacta al nombre natural, deixant un residu zero. Exemples: 1) Els divisors del nombre natural 14 són 1, 2, 7 i 14. 2) Els divisors del nombre natural 8 són 1, 2, 4 i 8. 3) Els divisors del nombre natural 11 són 1 i 11. ;Observació: *És obligat que el divisor més gran o igual que 1 i sigui més petit o igual que el nombre a dividir. :*L'u divideix a tots els nombres, llavors no cal provar-ho:<math>\begin{array}{rl} 751 & \begin{array}{|c} 1\\ \hline \end{array} \\ 0 & 751\\ \end{array}</math> :*Tot nombre es divideix per si mateix:<math>\begin{array}{rl} 751 & \begin{array}{|c} 751\\ \hline \end{array} \\ 0 & 1\\ \end{array}</math> *De cap de les maneres s'ha de pensar en el zero com a divisor, prohibit. *Cap divisor és més gran que el dividend, sinó apareix un 0'... , per exemple: :::<math>\begin{array}{ll} 5 & \begin{array}{|c} 7\\ \hline \end{array} \\ 50 & 0'7...\\ \end{array}</math> ;Exemples: *10 és divisible per 2 ja que 10 / 2 = 5 exactament, es pot llegir com que el 2 hi cap 5 vegades dins del 10 exactament. *20 no és divisible per 3 ja que 20 / 3 = 6 amb residu 2, es pot llegir com que el 3 hi cap 6 vegades dins del 20, però en sobren dos llocs per omplir dels 20 inicials. ;Exercicis: 1) Dona el residu i explica com s'ha de llegir el resultat: ::8 / 4 = ::15 / 15 = ::3 / 4 = ::100 / 3 = 2) Calculeu tots els divisors de 15. 3) Calculeu tots els divisors de 16. 4) Respon: :a) Els divisors d'un nombre poden ser majors que aquest? i per què? :b) Hi ha algun nombre amb infinits divisors? i per què? :c) Busqueu el nombre més petit que tingui només dos divisors que NO sigui l'u i ell mateix? explica'l una mica? 5) Respon: :a) Tots els múltiples de 5 són divisibles entre 5? :b) Tots els múltiples de 9 són divisibles entre 3? :c) Tots els múltiples de 6 són divisibles entre 2 i 3? :d) Busca tots els divisors de 30. El 30 és múltiple de tots els divisors? :e) Troba 5 múltiples de 3 que siguin divisibles per 2 i 5 a la vegada. :f) Construeix un nombre que sigui múltiple de 1,2,3,4,5 i 6. :g) 150 és múltiple de 3 si faig 150/2 també és múltiple de 3? i 150/5 ? i 150/3? == Nombres primers == Els '''nombres primers'''(en castellà '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Número_primo números primos]''' i en anglès '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number prime number]''') són aquells nombres naturals majors que 1 i que no té cap més divisor que l'u i ell mateix. ;Exemple de nombres primers: 1) 2 és un nombre primer perquè no té divisor diferent de l'u i del dos. Per què no hi ha cap nombre entre aquests dos. 2) 3 és un nombre primer perquè no té divisor diferent de l'u i del tres. El dos podria ser un candidat però no és divisor. 3) 5 és un nombre primer perquè 2, 3 i 4 no són divisors. 4) 7 és un nombre primer perquè 2, 3, 4, 5 i 6 no són divisors. ;Raonament: 1) Podem repartir 10 caramels entre 3 persones equitativament? no, perquè 3 no és ........ de 10. 2) Podem repartir 11 caramels entre un nombre major que 1 i menor que 11 persones equitativament? no, perquè 11 és un nombre ........ i sempre en sobrarien o faltarien alguns. === Criteris per buscar divisors === Part principal de la taula que ens diu com fer una recerca ràpida de divisors primers:<ref>Per obtenir la taula més gran tenim l'article de [https://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidad Divisibilidad de wikipedia].</ref> ::{|width="330px" cellpadding="4" cellspacing="0" style="border: 1px solid #88f;" |style="border: 1px solid #88f;" cellpadding="0" cellspacing="0" bgcolor="#aaddff" align="center"|Divisor |style="border: 1px solid #88f;" cellpadding="0" cellspacing="0" bgcolor="#ddddff"|Quan els nombres |- |style="border: 1px solid #88f;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|2 |style="border: 1px solid #88f;" cellpadding="0" cellspacing="0"|acaben en 0, 2, 4, 6 i 8. |- |style="border: 1px solid #88f;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|3 |style="border: 1px solid #88f;" cellpadding="0" cellspacing="0"|tenen la suma de xifres divisible per 3 |- |style="border: 1px solid #88f;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|5 |style="border: 1px solid #88f;" cellpadding="0" cellspacing="0"|acaben en 0 i 5. |} La resta de casos és discutible si és més pràctic fer la divisió directament que recordar el llarg mètode de sumes i restes de xifres. Llista de nombres primers fins al 100: ::{|class="wikitable" |bgcolor="#700" style="border: 1px solid black;"|0 || || || || || || || || || || || || || || || || || || || |- |bgcolor="#700" style="border: 1px solid black;"|1 ||11|| ||31||41|| ||61||71|| || ||101|| || ||131|| ||151|| || ||181||191 |- ||2|| || || || || || || || || || || || || || || || || || || |- ||3||13||23|| ||43||53|| ||73||83|| ||103||113|| || || || ||163||173|| ||193 |- |height="20"| || || || || || || || || || || || || || || || || || || || |- ||5|| || || || || || || || || || || || || || || || || || || |- |height="20"| || || || || || || || || || || || || || || || || || || || |- ||7||17|| ||37||47|| ||67|| || ||97||107|| ||127||137|| ||157||167|| || ||197 |- |height="20"| || || || || || || || || || || || || || || || || || || || |- || ||19||29|| || ||59|| ||79||89|| ||109|| || ||139||149|| || ||179|| ||199 |} A la primera '''columna''' apareixen el 2, 3, 5 i 7 que ja hem vist, els següents nombres primers ja no acaben en 0, 2, 4, 5, 6 i 8 com es veu a cada '''fila'''. No s'han de memoritzar tots els nombres primers, només amb les dues primeres columnes hi ha prou ja que molts candidats a nombres primers es poden descartar si surten a la taula de multiplicar (la taula de l'u no compta). Encara avui en dia es busquen [https://es.wikipedia.org/wiki/Mayor_n%C3%BAmero_primo_conocido nombres primers gegants], però els càlculs els fan amb ordinadors preparats. ==== Notació per a potències ==== '''Per no escriure tant''' farem ús de la notació amb exponents següent: :<math>\underbrace{13\cdot 13\cdot 13\cdot 13\cdot 13\cdot 13\cdot 13\cdot 13\cdot 13\cdot 13}_{apareix\;10\;vegades}=13^{10}</math> El nombre escrit en petit s'anomena exponent i indica les vegades que apareix multiplicant el terme '''a'''. ::<math>\underbrace{a\cdot a\cdot a\;\cdot\; ... \;\cdot\; a}_{apareix\;n\;vegades}=a^n</math> ::<math>a=a^1</math> ;Exemples: 1) <math>3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^8</math> on 8 és l'exponent. 2) <math>5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 7\cdot 7=5^6\cdot 7^3</math> on 6 és un exponent i 3 l'altre exponent. 3) <math>2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 11=</math> <math>2\cdot 3^4\cdot 5^6\cdot 7\cdot 11^2</math> o també <math>2^1\cdot 3^4\cdot 5^6\cdot 7^1\cdot 11^2</math> === Descomposició de nombres === Volem construir un nombre només multiplicant nombres primers, l'únic que cal és anar dividint-lo per nombres primers petit fins el darrer nombre primer. ;Exemples: {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" |- |1) Podem construir el nombre 2048 omplint la seva taula de descomposició: |- |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Passos" data-collapsetext="Ocultar"| {|width="300px" cellpadding="0" cellspacing="5" |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 2048 & 2?\\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 2048 & \begin{array}{|c} 2\\ \hline \end{array} \\ 0 & 1024\\ \end{array}</math> |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 2048 & 2\\ 1024 & 2?\\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 1024 & \begin{array}{|c} 2\\ \hline \end{array} \\ 0 & 512\\ \end{array}</math> |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 2048 & 2\\ 1024 & 2\\ 512 & 2?\\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 512 & \begin{array}{|c} 2\\ \hline \end{array} \\ 0 & 256\\ \end{array}</math> |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 2048 & 2\\ 1024 & 2\\ 512 & 2\\ 256 & 2?\\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 256 & \begin{array}{|c} 2\\ \hline \end{array} \\ 0 & 128\\ \end{array}</math> |- |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 2048 & 2\\ 1024 & 2\\ 512 & 2\\ 256 & 2\\ 128 & 2?\\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 128 & \begin{array}{|c} 2\\ \hline \end{array} \\ 0 & 64\\ \end{array}</math> |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 2048 & 2\\ 1024 & 2\\ 512 & 2\\ 256 & 2\\ 128 & 2\\ 64 & 2?\\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 64 & \begin{array}{|c} 2\\ \hline \end{array} \\ 0 & 32\\ \end{array}</math> |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 2048 & 2\\ 1024 & 2\\ 512 & 2\\ 256 & 2\\ 128 & 2\\ 64 & 2\\ 32 & 2?\\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 32 & \begin{array}{|c} 2\\ \hline \end{array} \\ 0 & 16\\ \end{array}</math> |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 2048 & 2\\ 1024 & 2\\ 512 & 2\\ 256 & 2\\ 128 & 2\\ 64 & 2\\ 32 & 2\\ 16 & 2?\\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 16 & \begin{array}{|c} 2\\ \hline \end{array} \\ 0 & 8\\ \end{array}</math> |- |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 2048 & 2\\ 1024 & 2\\ 512 & 2\\ 256 & 2\\ 128 & 2\\ 64 & 2\\ 32 & 2\\ 16 & 2\\ 8 & 2?\\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 8 & \begin{array}{|c} 2\\ \hline \end{array} \\ 0 & 4\\ \end{array}</math> |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 2048 & 2\\ 1024 & 2\\ 512 & 2\\ 256 & 2\\ 128 & 2\\ 64 & 2\\ 32 & 2\\ 16 & 2\\ 8 & 2\\ 4 & 2?\\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 4 & \begin{array}{|c} 2\\ \hline \end{array} \\ 0 & 2\\ \end{array}</math> |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 2048 & 2\\ 1024 & 2\\ 512 & 2\\ 256 & 2\\ 128 & 2\\ 64 & 2\\ 32 & 2\\ 16 & 2\\ 8 & 2\\ 4 & 2\\ 2 & 2?\\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 2 & \begin{array}{|c} 2\\ \hline \end{array} \\ 0 & 1\\ \end{array}</math> |style="border: 2px solid grey;" cellpadding="0" cellspacing="5" align="center"|<math>\begin{array}{r|c} 2048 & 2\\ 1024 & 2\\ 512 & 2\\ 256 & 2\\ 128 & 2\\ 64 & 2\\ 32 & 2\\ 16 & 2\\ 8 & 2\\ 4 & 2\\ 2 & 2\\ 1 & \\ \end{array}</math> |} |- |'''Solució''': podem construir el nombre 2048 expressant-lo com: <math>2048=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{11}</math> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" |- |2) Podem construir el nombre 3210 omplint la seva taula de descomposició: |- |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Passos" data-collapsetext="Ocultar"| {|width="300px" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 3210 & 2\\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 3210 & \begin{array}{|c} 2\\ \hline \end{array} \\ 0 & 1605\\ \end{array}</math> |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 3210 & 2\\ 1605 & 3\\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 1605 & \begin{array}{|c} 3\\ \hline \end{array} \\ 0 & 535\\ \end{array}</math> |style="vertical-align: top;"|<math>\begin{array}{r|c} 3210 & 2\\ 1605 & 3\\ 535 & 5 \\ \end{array}</math> ||<math>\begin{array}{rl} 535 & \begin{array}{|c} 5\\ \hline \end{array} \\ 0 & 107\\ \end{array}</math> |style="border: 2px solid grey;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|<math>\begin{array}{r|c} 3210 & 2\\ 1605 & 3\\ 535 & 5 \\ 107 & 107\\ 1 & \\ \end{array}</math><ref>107 és molt fàcil veure que és primer, només cal dividir-lo pel següent primer 7 i dona 15,2..., després pel següent primer 11 i dona 9,7..., com que 11>9 podem dir que ja no hi ha més divisors perquè voldria dir que hi hauria un divisor més petit que 9 que ja hem comprovat que no i, per tant, 107 és nombre primer.</ref> |} |- |'''Solució''': nombres primers que buscàvem per construir el nombre 3210 es multipliquen així <math>2\cdot 3\cdot 5\cdot 107 = 3210.</math> |} ;Observacions: *En principi no és gaire rellevant fer els divisors de 5 abans que els de 3, perquè és més ràpid i la descomposició serà la mateixa sigui quin sigui l'ordre escollit. L'ordre té importància per no descuidar cap divisor, és a dir, no equivocar-se. *Per revisar els exercicis és necessari que deixeu les divisions i la taula de descomposició resultant [1]. *Fer la descomposició en nombres primers és com fer una radiografia a un nombre mostrant les seves propietats internes que no es veuen a simple vista. '''Exercicis:''' Calculeu la descomposició dels següents nombres: {|style="height:100px" |style="width:200px"|a) 100 |style="width:200px"|b) 360 |style="width:200px"|c) 256 |style="width:200px"|d) 2310 |-style="height:100px" |style="width:200px"|e) 121 |style="width:200px"|f) 3500 |style="width:200px"|b) 625 |style="width:200px"|b) 160 |} == Màxim comú divisor == Busquem el divisor més gran a determinats nombres per tal de repartir o ajustar quantitats. Mètode per fer el màxim comú divisor: :{|class="wikitable" ||Per calcular el màxim comú divisor de diferents nombres: * primer s'ha de fer la descomposició de cadascun d'ells. * Desprès hem d'escriure els divisors comuns amb exponent més petit.<ref>Exponent petit perquè sinó no són divisors a tots ells.</ref> Finalment ja es poden multiplicar. |} Adonem-nos que tot divisor comú és més petit o igual que el màxim comú divisor i que tot divisor al màxim comú divisor és també divisor als mateixos nombres. ;Exemples: 1) Màxim comú divisor de 80 i 200: ::{|style="border: 1px solid #99f;" cellpadding="5" cellspacing="0" |colspan=2|<math>mcd(80,200)=?</math> |- |style="width:200px"|<math>\begin{array}{r|c} 80 & 2\\ 40 & 2\\ 20 & 2 \\ 10 & 2\\ 5 & 5\\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>80=2^4\cdot 5</math> |style="width:200px"|<math>\begin{array}{r|c} 200 & 2\\ 100 & 2\\ 50 & 2 \\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>200=2^3\cdot 5^2</math> |- |colspan=2|<math>mcd(80, 200)=2^3\cdot 5^1=2^3\cdot 5 = 40.</math> |} 2) Tenim 20 regalèssies, 200 núvols i 50 caramels. Quin és el nombre més gran d'amics amb qui puc compartir equitativament els meus dolços? sense trencar-ne cap. ::{|style="border: 1px solid #99f;" cellpadding="5" cellspacing="0" |colspan=3|<math>mcd(20,200,50)=?</math> |- |style="width:200px"|<math>\begin{array}{r|c} 20 & 2\\ 10 & 2\\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>20=2^2\cdot 5</math> |style="width:200px"|<math>\begin{array}{r|c} 200 & 2\\ 100 & 2\\ 50 & 2 \\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>200=2^3\cdot 5^2</math> |style="width:200px"|<math>\begin{array}{r|c} 50 & 2\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>50=2\cdot 5^2</math> |- |colspan=3|<math>mcd(20, 200, 50)=2^1\cdot 5^1=10</math> amics. |} 3) Hem d'enrajolar el terra d'una habitació rectangular de 880 cm de llarg amb 560 cm d'ample amb un sol tipus de rajoles quadrades, per no haver de tallar-les. La comanda es fa a una empresa que fabrica els models següents: ::a) <math>15 cm\times 15 cm</math> <math>(15=3\cdot 5)</math> ::b) <math>20 cm\times 20 cm</math> <math>(20=2^2\cdot 5)</math> ::c) <math>25 cm\times 25 cm</math> <math>(25=5^2)</math> ::d) <math>30 cm\times 30 cm</math> <math>(30=2\cdot 3\cdot 5)</math> :Després de fer un dibuix del problema, es mira quin és el màxim comú divisor de les dues mides de la habitació: ::{|style="border: 1px solid #99f;" cellpadding="5" cellspacing="0" |colspan=2|<math>mcd(880,560)=?</math> |- |style="width:250px"|<math>\begin{array}{r|c} 880 & 2\\ 440 & 2\\ 220 & 2\\ 110 & 2\\ 55 & 5\\ 11 & 11\\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>880=2^4\cdot 5\cdot 11</math> |style="width:250px"|<math>\begin{array}{r|c} 560 & 2\\ 280 & 2\\ 140 & 2 \\ 70 & 2\\ 35 & 5\\ 7 & 7\\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>560=2^4\cdot 5\cdot 7</math> |- |colspan=2|<math>mcd(880,560)=2^4\cdot 5.</math> |} :Finalment, mirant el mcd veig que les úniques mides que el poden dividir i per tant dividir les mides de la habitació és el tipus (b) <math>2^2\cdot 5=20</math> cm de costat. Compta, un altre mètode és dividir els dos costat del terra pel costat de cada rajola i veure quin es exacte, però l'exercici és un assaig de màxim comú divisor. == Mínim comú múltiple == Busquem el múltiple més petit a determinats nombres per tal de optimitzar càlculs i predir fets repetitius: Mètode per fer el mínim comú múltiple: :{|class="wikitable" ||Per calcular el mínim comú múltiple de diferents nombres: * primer s'ha de fer la descomposició de cadascun d'ells. * Desprès hem d'apuntar '''tot divisor''' i en cas de repetir-se agafem el d'exponent més gran.<ref>És com afegir els múltiples que falten a cada número per obtenir un número que sigui divisible per tots i que sigui el més petit possible.</ref> Finalment ja es poden multiplicar. |} '''Exemple:''' *Mínim comú múltiple de 15, 9 i 21: ::{|style="border: 1px solid #99f;" cellpadding="5" cellspacing="0" |colspan=2|<math>mcm(15,9,21)=?</math> |- |style="width:150px"|<math>\begin{array}{r|c} 15 & 3\\ 5 & 5\\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>15=3\cdot 5</math> |style="width:150px"|<math>\begin{array}{r|c} 9 & 3\\ 3 & 3\\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>9=3^2</math> |style="width:150px"|<math>\begin{array}{r|c} 21 & 3\\ 7 & 7\\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>21=3\cdot 7</math> |- |colspan=2|<math>mcm(15,9,21)=3^2\cdot 5\cdot 7=315.</math> |} *En una parada d'autobusos, dos autobusos surten a les 8 del matí, un fa sortides cada 33 minuts i l'altre cada 21 minuts. Quan tornaran a sortir al mateix temps? ::{|style="border: 1px solid #99f;" cellpadding="5" cellspacing="0" |colspan=2|<math>mcm(21,33)=?</math> |- |style="width:200px"|<math>\begin{array}{r|c} 21 & 3\\ 7 & 7\\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>21=3\cdot 7</math> |style="width:200px"|<math>\begin{array}{r|c} 33 & 3\\ 11 & 11\\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>33=3\cdot 11</math> |- |colspan=2|<math>mcm(21,33)=3\cdot 7\cdot 11=231.</math> |} :Per tant sortiran al mateix temps al cap de 231 minuts ( 3 hores i 51 minuts ), és a dir, a les 11:51 am. *En un engranatge de dos rodes dentades de 5 i 7 dents, es vol veure quan tornen a trobar-se les mateixes dents en la posició inicials. Es tracta de un fet repetitiu i per tant es fa fent múltiples de girs fins tornar al punt inicial. [[File:Engrane 5 y 7.svg|500px|right]] ::{|style="border: 1px solid #99f;" cellpadding="5" cellspacing="0" |colspan=2|<math>mcm(5,7)=?</math> |- |style="width:200px"|<math>\begin{array}{r|c} 5 & 5\\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>5=5</math> |style="width:200px"|<math>\begin{array}{r|c} 7 & 7\\ 1 & \\ \end{array}</math> <math>7=7</math> |- |colspan=2|<math>mcm(5,7)=5\cdot 7=35</math> contactes entre dents. |} :Si ens fixem la roda de 5 dents donarà 7 girs sencers i la roda de 7 dents donarà 5 girs sencers. = Els codis = Els codis serveixen per classificar, ocultar, simplificar, protegir o reforça tot tipus de dades com: *Determinades dades com etiquetes. *Missatges. *Arxius en general. *Qualsevol sistema de comunicació continu. == Sistema per codificar dades == Actualment els sistemes que permeten codificar dades amb molta cura requereixen d'un coneixement molt alt dels nombres naturals i de moltes propietats no estudiades a l'ESO, però en podem donar una idea del sistemes més senzills de codificació. '''Exemples de codificació:''' *El conegut '''password''', contrasenya o codi d'ingrés que barreja símbols per protegir i fer difícil la seva recerca. ::Xc8I7aA3 *El [https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_de_barras codi de barres]. ::[[File:EAN13.svg|200px|Código de barras EAN13.]] *El [https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_QR codi QR]. ::[[File:QRcódigo_portada_wikipedia_español.png|180px|El código QR para la [[URL]] de la portada de la Wikipedia en español]] *El codi de les [https://es.wikipedia.org/wiki/Matr%C3%ADculas_automovil%C3%ADsticas_de_Espa%C3%B1a plaques de matrícula d'Espanya]. ::[[File:Matrícula automovilística España 2000 5776 CNS.jpg|260px|Matrícula alfanumérica nacional.]] *El [https://es.wikipedia.org/wiki/DNI_(Espa%C3%B1a)#Número DNI] que no oculta sinó que protegeix de errades a l'hora de copiar-lo. ::{| class="wikitable" style="font-size:80%" ! Resto | 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10|| 11|| 12|| 13|| 14|| 15|| 16|| 17|| 18|| 19|| 20|| 21|| 22 |- ! Letra | T || R || W || A || G || M || Y || F || P || D || X || B || N || J || Z || S || Q || V || H || L || C || K || E |} '''El codi com llenguatge de comunicació''' *El [https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_morse codi morse]: imatge de la dreta. [[File:International_Morse_code.png|200px|right]] *El [https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_binario codi binari o millor dit sistema dels nombres en base binària] :::[[File:Wikipedia in binary.gif|200px]] *El sistema hexadecimal. ::{|class="wikitable" style="font-size:80%" !Hexadecimal |0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||a||b||c||d||e||f |- !Decimal |0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||13||14||15 |} *El sistemes estàndards de compressió i codificació de imatges. ::Les imatges compresses amb aquests sistemes ocupen menys espai de dades a l'hora d'emmagatzemar-les. :::{| |- |[https://es.wikipedia.org/wiki/Joint_Photographic_Experts_Group JPEG] |[https://es.wikipedia.org/wiki/Graphics_Interchange_Format GIF] |[https://es.wikipedia.org/wiki/Portable_Network_Graphics PNG] |- |[[File:Phalaenopsis JPEG.png|200px]] |[[File:Rotating earth (large).gif|200px]] |[[File:PNG transparency demonstration 2.png|200px]] |} *El codi del senyal de [https://es.wikipedia.org/wiki/Televisi%C3%B3n_digital_terrestre_en_Espa%C3%B1a#Definición_estándar_(SD) televisió TDT] que protegeix, comprimeix i millora la qualitat d'imatge de la televisió alliberant espai per augmentar la quantitat de canals de televisió. :::[[File:Digital_terrestrial_television_standards.svg|700px]] == Plànol == [[Matemàtiques I ESO|Resta de seccions de primer d'ESO.]] == Anotacions == [[Category:Matemàtiques de primer d'ESO]] [[Category:CA]] 3rs62c7gjaj0yusnuwt0pcfmqmg57xu 0 40321 373519 366779 2025-06-21T01:43:38Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373519 wikitext text/x-wiki En aquesta secció veurem la utilitat dels nombres enters i aprendrem a usar la seva notació correctament. == Presentació == Exemples previs de nombres enters al nostre entorn: *Mesura de la temperatura: el termòmetre i les línies isotèrmiques: {| |- |[[File:Raumthermometer Fahrenheit+Celsius.jpg|260px]] |style="width:50px"| |[[File:Isotherms ugglan.jpg|420px]] |} *Càlcul dels anys: {| |- |[[File:Cronología idiomas.png|400px]] |- |<timeline> DateFormat = yyyy ImageSize = width:800 height:350 PlotArea = left:20 right:20 bottom:20 top:0 Colors = id:canvas-bar value:rgb(0.97,0.97,0.97) id:grid_minor value:rgb(0.86,0.86,0.86) id:grid_major value:rgb(0.80,0.80,0.80) id:live_exthe value:lightorange legend:Extrahelenístico id:live_inthe value:dullyellow legend:Helenístico id:live_jesus value:red id:live_posje value:lavender legend:Poscristiano id:fact_inthe value:teal Period = from:-400 till:100 TimeAxis = orientation:horizontal format:yyyy AlignBars = justify ScaleMinor = unit:year increment:10 start:-390 gridcolor:grid_minor ScaleMajor = unit:year increment:20 start:-400 gridcolor:grid_major BackgroundColors = canvas:canvas-bar bars:canvas-bar Legend = orientation:vertical left:39 top:84 BarData= barset:inventions PlotData= barset:inventions width:17 from:-384 till:-322 text:"[[Aristóteles de Estagira|Aristóteles]]" color:live_exthe anchor:from from:-356 till:-323 text:"[[Alejandro Magno]]" color:live_exthe anchor:from from:-341 till:-270 text:"[[Epicuro de Samos|Epicuro]]" color:live_inthe anchor:from from:-333 till:-264 text:"[[Zenón de Citio]]" color:live_inthe anchor:from from:-305 till:-282 text:"[[Ptolomeo I Sóter|Ptolomeo I]]" color:live_inthe anchor:from from:-276 till:-195 text:"[[Eratóstenes de Cirene|Eratóstenes]]" color:live_inthe anchor:from from:-196 till:-196 text:"[[_Piedra de Rosetta]]" color:fact_inthe anchor:from from:-181 till:-145 text:"[[Ptolomeo VI]]" color:live_inthe anchor:from from:-133 till:-133 text:"[[Numancia| Conquista de Numancia]]" color:fact_inthe anchor:from from:-100 till:-44 text:"[[Julio César]]" color:live_inthe anchor:from from:-83 till:-30 text:"[[Marco Antonio]]" color:live_inthe anchor:from from:-69 till:-30 text:"[[Cleopatra VII|Cleopatra]]" color:live_inthe anchor:from from:-44 till:-30 text:"[[Ptolomeo XV]]" color:live_inthe anchor:from from:-20 till:50 text:"[[Filón de Alejandría]]" color:live_exthe anchor:from from:-4 till:29 text:"[[Jesús de Nazaret]]" color: from:live_posje anchor:from till:30 text:"[[Séneca]]" color:live_posje anchor:from from:37 till:68 text:"[[Nerón]]" color:live_posje anchor:from from:38 till:94 text:"[[Flavio Josefo]]" color:live_posje anchor:from </timeline> |} *Fusos horaris: [[File:Standard time zones of the world (2012)-es.svg|600px]] *Mesura de l'alçaria respecte del nivell del mar: [[File:Criptodepression.pdf|400px]] *L'ascensor: panell d'accés al aparcament. [[File:Panel de ascensor bajos.jpg|400px]] *Índex borsaris: Imatge fixa(no actualitzada). {|class="wikitable" !Bolsa !Valor !Variación !Variación(%) |- |style="color:DodgerBlue"| IBEX 35 | 8.924,00 |style="color:Red"| -117,10 |style="color:Red"| -1,29% |- |style="color:DodgerBlue"| Futuros S&P 500 | 2.920,88 |style="color:Red"| -16,62 |style="color:Red"| -0,57% |- |style="color:DodgerBlue"| Futuros Nasdaq | 7.697,25 |style="color:Red"| -42,75 |style="color:Red"| -0,55% |- |style="color:DodgerBlue"| Dow 30 | 26.478,02 |style="color:Red"| -95,70 |style="color:Red"| -0,36% |- |style="color:DodgerBlue"| DAX | 11.967,90 |style="color:Red"| -129,53 |style="color:Red"| -1,07% |- |style="color:DodgerBlue"| Índice dólar | 98,595 |style="color:Red"| -0,070 |style="color:Red"| -0,07% |- |style="color:DodgerBlue"| Índice euro | 95,89 |style="color:Lime"| +0,16 |style="color:Lime"| +0,16% |- |style="color:DodgerBlue"| Futuros Bitcoin | 8.190,0 |style="color:Red"| -65,0 |style="color:Red"| -0,79% |} *Saldo bancari. :Per exemple nombres positius per un saldo i nombres negatius per indicar deutes. :*El contrari d'afegir o +1 és extreure o -1. :*El contrari de sumar o +1 és restar o -1. :*El contrari d'avançar o +1 és retrocedir o -1. :I així successivament. === Ordenació === Per construcció de la recta numèrica només cal dir que '''sempre''' els de la dreta són més grans que els de l'esquerra. Concretament: *Donat un número qualsevol, tot número situat a l'esquerra és més petit i tot número situat a la dreta és més gran. [[File:Number-line.svg|700px]] '''Símbols per expressar o indicar l'ordre entre els nombres i particularment els enters:''' *El símbol següent entre les lletres <math>a>b</math> indica que: ::'''a''' és més gran que '''b''' o ::'''b''' és més petit que '''a'''. *El símbol següent entre les lletres <math>a<b</math> indica que: ::'''a''' és més petit que '''b''' o ::'''b''' és més gran que '''a'''. *El símbol següent entre les lletres <math>a\geqslant b</math> indica que: ::'''a''' és més gran que '''b''' i inclús podria ser igual o ::'''b''' és més petit que '''a''' i inclús podria ser igual. *El símbol següent entre les lletres <math>a\leqslant b</math> indica que: ::'''a''' és més petit que '''b''' i inclús podria ser igual o ::'''b''' és més gran que '''a''' i inclús podria ser igual. === Sumes i restes === La operació suma i resta com a notació signe usant la recta numèrica: ;Exemple: {| |- | :a) +1+3-2+5-4=+3=3 :b) +5-2-2-2=-1 :c) -3+6-7+8-9=-5 :d) -10+3+3+3+3=+2=2 | :e) -3-4-5-6-7=-25 :f) -1+1-1+1-1+1-1+1=+0=0 :g) -9+8+8-9=-2 :h) -2+3+3-2+3+3-2=+6=6 |} ;Exercicis: 1) -3-5+7-0 = 2) -7+6+0 = 3) -10+4-10+8-10+6 = 4*) 1-2+3-4+5-6+7-...+61-62 = [[File:Tursiops truncatus 01.jpg|200px|right]] 5) Un dofí dins del mar ascendeix 200 metres per caçar, després descendeix 400 metres tot seguit ascendeix 300 metres i, després de voltar, torna a ascendir 300 metres on roman quiet una estona i finalment ascendeix 200 metres arribant a la superfície del mar. :a) Feu un esquema ideal del recorregut del dofí. :b) A quina profunditat es trobava inicialment? 6) Un ascensor avariat té adaptat un panell temporalment que no és gens adequat, llavors quan puja ho fa de 3 en 3, i quan baixa ho fa de 5 en 5. S'ha d'esbrinar '''la suma que dona el resultat''' demanat en aquest edifici com indica l'esquema: {|width="240" cellpadding="0" cellspacing="0" align="left" |- |🌞 |- |width="40" bgcolor="#fff"| |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"| |width="20" bgcolor="#fff" style="border: 1px solid #000;" align="center"|+5 |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"| |width="40" bgcolor="#fff"| |- |width="40" bgcolor="#fff"| |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"| |width="20" bgcolor="#fff" style="border: 1px solid #000;" align="center"|+4 |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"| |width="40" bgcolor="#fff"| |- |width="40" bgcolor="#fff"| |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"| |width="20" bgcolor="#fff" style="border: 1px solid #000;" align="center"|+3 |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"| |width="40" bgcolor="#fff"| |- |width="40" bgcolor="#fff"| |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;" align="right"|👫 |width="20" bgcolor="#fff" style="border: 1px solid #000;" align="center"|+2 |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"| |width="40" bgcolor="#fff"| |- |width="40" bgcolor="#fff"| |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"| |width="20" bgcolor="#fff" style="border: 1px solid #000;" align="center"|+1 |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"| |width="40" bgcolor="#fff"| |- |width="40" bgcolor="#fff" valign="bottom"|🌲🌴 |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"| |width="20" bgcolor="#fff" style="border: 1px solid #000;" align="center"|+0 |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"| |width="40" bgcolor="#fff"|🚗 |- |width="40" bgcolor="#fda"| |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"| |width="20" bgcolor="#fff" style="border: 1px solid #000;" align="center"|-1 |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"|🏃 |width="40" bgcolor="#fda"| |- |width="40" bgcolor="#fda"| |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;" align="right"|🧍 |width="20" bgcolor="#fff" style="border: 1px solid #000;" align="center"|-2 |width="70" bgcolor="#eef" style="border: 1px solid #000;"| |width="40" bgcolor="#fda"| |- |bgcolor="#fda" height="20"| |bgcolor="#fda"| |bgcolor="#fda"| |bgcolor="#fda"| |bgcolor="#fda"| |} a) Es vol pujar del pis -1 al pis 5e. b) Es vol pujar del pis -2 al pis 5e. a) Es vol baixar del 2n pis al 1r. {{clear}} === Producte de signes === Aquesta taula s'ha de memoritzar, perquè serveix per '''multiplicar, dividir i simplificar parèntesis'''. {| align="center" |- | {|class="wikitable col1cen col2cen center" style="width:200px;background:#f8faff;border: 1px solid #00f;" |- |style="width:100px;border: 1px solid #00f;" |<math>+\times +=+</math> |style="width:100px;border: 1px solid #00f;" |<math>-\times +=-</math> |- |style="width:100px;border: 1px solid #00f;" |<math>+\times -=-</math> |style="width:100px;border: 1px solid #00f;" |<math>-\times -=+</math> |- |} |} ;¿Per què serveix i on el veurem? :Si tenim +15&nbsp;€ i es quadruplica, és a dir que es multiplica per 4, llavors fem (+15)⨯(+4)=+60&nbsp;€ i no hi ha més, no pot sortir negatiu. :Si tenim un deute de -200&nbsp;€ i multipliquem aquest per 3, llavors el que volem fer és (-200)⨯(+3)=-600 que significa de tenim un deute i és de -600&nbsp;€ i l'ordre no importa també (+3)⨯(-200)=-600&nbsp;€ però ha de ser negatiu sinó vol dir que guanyem i això no pot ser. ==== Simplificació de parèntesis ==== És freqüent trobar parèntesis amb '''un sol terme dins''' com -(-2), (-3), -(9) o (5), es pot interpretar com -(-2), +(-3), -(+9) o +(+5) respectivament ja que tot nombre sense signe és positiu. :'''Mètode de simplificació:''' s'identifiquen els signes de dins i de fora del parèntesis i es multipliquen amb la taula. Vegem-ho directament amb exemples explicats: {| |valign="top"|1) |valign="top"| {| |- |style="width:300px" valign="top"|a) <math>-(-2)</math> <math>=\overbrace{-(-}^{-\times -=+}2)</math> <math>=+2</math> <math>=2</math> b) <math>-(+5)</math> <math>=\overbrace{-(+}^{-\times +=-}5)</math> <math>=-5</math> c) <math>+(-8)</math> <math>=\overbrace{+(-}^{+\times -=-}8)</math> <math>=-8</math> d) <math>+(+11)</math> <math>=\overbrace{+(+}^{+\times +=+}11)</math> <math>=+11</math> <math>=11</math> e) <math>+(-0)</math> <math>=\overbrace{+(-}^{+\times -=-}0)</math> <math>=-0</math> <math>=0</math> :El zero és l'únic número en el que el signe no és rellevant, sobretot per que no es pot confondre amb un altre enter. |style="width:20px"| |valign="top"|6) <math>(-4)</math> <math>=\overbrace{+(-}^{+\times -=-}4)</math> <math>=-4</math> f) <math>-(7)</math> <math>=\overbrace{-(+}^{-\times +=-}7)</math> <math>=-7</math> g) <math>(10)</math> <math>=\overbrace{+(+}^{+\times +=+}10)</math> <math>=+10</math> <math>=10</math> |} |} 2) <math>-\Big(+(-9)\;\Big)</math> <math>=-\Big(\overbrace{+(-}^{+\times -=-}9)\;\Big)</math> <math>=-(-9)</math> <math>=\overbrace{-(-}^{-\times -=+}9)</math> <math>=+9</math> <math>=9</math> 3) <math>-\Big(-(-1)\;\Big)</math> <math>=-\Big(\overbrace{-(-}^{-\times -=+}1)\;\Big)</math> <math>=-(+1)</math> <math>=\overbrace{-(+}^{-\times +=-}1)</math> <math>=-1</math> ;Exercicis: :{| |- |style="width:300px" valign="top"|1) <math>+(+11)=</math> 2) <math>+(-100)=</math> 3) <math>-(+51)=</math> 4) <math>-(-3)=</math> |style="width:20px"| |style="width:300px" valign="top"|5) <math>(-12)=</math> 6) <math>(2)=</math> 7) <math>-(8)=</math> 8) <math>-(-(-2))=</math> |} ==== Multiplicació ==== Per multiplicar dos nombres enters només cal '''multiplicar els signes''' amb la taula i després multipliquem els nombres, vegem-ho amb exemples: :{| |- |valign="top"|a) <math>(+2)\times (+2)</math> <math>=+\;\;2\times 2</math> <math>=+4</math> <math>=4</math> b) <math>(-4)\times (+2)</math> <math>=-\;\;4\times 2</math> <math>=-8</math> c) <math>(+2)\times (-3)</math> <math>=-\;\;2\times 3</math> <math>=-6</math> d) <math>(-3)\times (-5)</math> <math>=+\;\;3\times 5</math> <math>=+15</math> <math>=15</math> |style="width:20px"| |valign="top"|e) <math>-(+2)\times (+5)</math> <math>=-(+\;\;2\times 5)</math> <math>=-(+10)</math> <math>=-10</math> f) <math>-(+3)\times (-1)</math> <math>=-(-\;\;3\times 1)</math> <math>=-(-3)</math> <math>=+3</math> <math>=3</math> g) <math>-(-2)\times (+6)</math> <math>=-(-\;\;2\times 6)</math> <math>=-(-12)</math> <math>=+12</math> <math>=12</math> h) <math>-(-7)\times (-3</math> <math>)=-(+\;\;7\times 3)</math> <math>=-(+21)</math> <math>=-21</math> |} '''Exercicis:''' :{| |- |style="width:300px" valign="top"|1) <math>-(+5)\times (+5)=</math> 2) <math>-(-5)\times (-3)=</math> 3) <math>-(+7)\times (-4)=</math> 4) <math>-(-10)\times (+7)=</math> |style="width:20px"| |style="width:300px" valign="top"|5) <math>-(+2)\times 2=</math> 6) <math>-2\times 8=</math> 7) <math>-4\times (-5)=</math> 8) <math>-(-5)\times 11=</math> |} ==== Divisió ==== En la divisió succeeix exactament el mateix, els signes es multipliquen i els nombres es divideixen com indica la operació, com per exemple: :{| |- |valign="top"|a) <math>(+16)\div (+2)</math> <math>=+\;\;16\div 2</math> <math>=+8</math> <math>=8</math> b) <math>(-4)\div (+2)</math> <math>=-\;\;4\div 2</math> <math>=-2</math> c) <math>(+9)\div (-3)</math> <math>=-\;\;9\div 3</math> <math>=-3</math> d) <math>(-25)\div (-5)</math> <math>=+\;\;25\div 5</math> <math>=+5</math> <math>=5</math> |style="width:20px"| |valign="top"|e) <math>-(+35)\div (+5)</math> <math>=-(+\;\;35\div 5)</math> <math>=-(+7)</math> <math>=-7</math> f) <math>-(+3)\div (-1)</math> <math>=-(-\;\;3\div 1)</math> <math>=-(-3)</math> <math>=+3</math> <math>=3</math> g) <math>-(-18)\div (+6)</math> <math>=-(-\;\;18\div 6)</math> <math>=-(-3)</math> <math>=+3</math> <math>=3</math> h) <math>-(-27)\div (-3)</math> <math>=-(+\;\;27\div 3)</math> <math>=-(+9)</math> <math>=-9</math> |} '''Exercicis:''' :{| |- |valign="top"|1) <math>-(+100)\div (+5)=</math> 2) <math>-(-21)\div (-3)=</math> 3) <math>-(+64)\div (-4)=</math> 4) <math>-(-10)\div (+2)=</math> |style="width:20px"| |valign="top"|5) <math>-100\div 5=</math> 6) <math>-(-21)\div (-(-3))=</math> 7) <math>-64\div (-4)=</math> 8) <math>-(-10)\div 2=</math> |} :9) La temperatura d'un poble era 20 graus centígrads i es registres les següents variacions o oscil·lacions de temperatura fins a l'actualitat amb la taula: :::{|width="500px" |- |a) -7||b) +6||c) -9||d) +10||e) -6||f) +5||g) -10||h) +11 |} ::Quina temperatura té actualment el poble? === Potències === Ja havíem vist les potencies amb nombres naturals, es a dir amb els nombres <math>\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\dots\}.</math> ::{|class="wikitable col1cen col2cen center" style="width:200px" |- ||<math>a^n=\underbrace{a\times\dots\times a}_{n\;\;vegades}=b</math> |} Per fer el mateix amb els enters només cal vigilar amb els nombres negatius, per exemple: :a) <math>(-2)^1=(-2)=-2</math> :b) <math>(-3)^2=(-3)\times (-3)</math> <math>=+\;\; 3\times 3</math> <math>=+9=9</math> :c) <math>(-2)^{10}</math> <math>=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)</math> <math>\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)</math> <math>=+1024</math> <math>=1024</math> :d) <math>(-1)^8</math> <math>=\underbrace{(-1)\times (-1)}_+\times\underbrace{(-1)\times (-1)}_+\times\underbrace{(-1)\times (-1)}_+\times\underbrace{(-1)\times (-1)}_+</math> <math>=(+1)\times (+1)\times (+1)\times (+1)</math> <math>=+1</math> <math>=1</math> :e) <math>(-1)^9</math> <math>=\underbrace{(-1)\times (-1)}_+\times\underbrace{(-1)\times (-1)}_+\times\underbrace{(-1)\times (-1)}_+\times\underbrace{(-1)\times (-1)}_+</math> <math>\times (-1)=(+1)\times (+1)\times (+1)\times (+1)\times (-1)</math> <math>=-1</math> Així podem dir que: ::{|class="wikitable col1cen col2cen" style="width:500px" |- ||<math>(-a)^n=\underbrace{(-a)\times\dots\times (-a)}_{n\;\;vegades}=a^n=+b=b</math> quan '''n''' és parell <math>(-a)^n=\underbrace{(-a)\times\dots\times (-a)}_{n\;\;vegades}=-(a^n)=-b</math> quan '''n''' és imparell o senar |} Clarament el signe menys sobreviu només si l'exponent és imparell i per tant és en el que ens hem de fixar. '''Exercicis de simplificació i càlcul''' :{| |- |style="width:300px"|1) <math>(-2)^5=</math> 2) <math>(-3)^3=</math> 3) <math>(-5)^2=</math> 4) <math>(-1)^{888}=</math> 5) <math>(-1)^{999}=</math> |style="width:50px"| |style="width:300px"|6) <math>+(+1)^{10}=</math> 7) <math>+(-1)^{8}=</math> 8) <math>-(1)^{6}=</math> 9) <math>-(-1)^{22}=</math> 10) <math>-(-2)^{7}=</math> |} ==== Prioritats ==== Com que ens agrada escriure pocs parèntesis, estem obligats a fer cas dels càlculs segons aquest ordre de prioritat: :1a) Els '''parèntesis'''. ::2a) '''potencies'''. :::3a) '''Productes''' i divisions. ::::4a) '''Sumes''' i restes. Per tant hem de fer amb prioritat unes operacions i '''després''' les de prioritat més baixa. '''Exemples de productes i divisions amb sumes i restes:''' Recordeu que primer es fan les multiplicacions o divisions i finalment quedarà una simple sèrie de sumes o restes. Les multiplicacions i divisions successives es fan d'esquerra a dreta com es veu al apartat '''e''': :a) <math>5+3\times 2-11\times 3-4\times 5+5</math> <math>=5+\overbrace{3\times 2}-\overbrace{11\times 3}-\overbrace{4\times 5}+5</math> <math>=5+6-33-20+5</math> <math>=69</math> :b) <math>1-3+1\times (-2)\times (+3)-4+5</math> <math>=1-3+\overbrace{1\times (-2)\times (+3)}-4+5</math> <math>=1-3+(-6)-4+5</math> <math>=-7</math> :c) <math>2+9\div 3-3\div3+4\div 2-8</math> <math>=2+\overbrace{9\div 3}-\overbrace{3\div 3}+\overbrace{4\div 2}-8</math> <math>=2+3-1+2</math> <math>=6</math> :d) <math>9-6+1\times 18\div 3\div 2-3+6+1</math> <math>=9-6+\overbrace{1\times 18\div 3\div 2}-3+6+1</math> <math>=9-6+3-3+6+1</math> <math>=10</math> :e) <math>-4+24\cdot 2\div 4\div 3\cdot 2 -1</math> <math>=-4+\overbrace{\underbrace{24\cdot 2}\div 4\div 3\cdot 2}-1</math> <math>=-4+\overbrace{\underbrace{48\div 4}\div 3\cdot 2}-1</math> <math>=-4+\overbrace{\underbrace{12\div 3}\cdot 2}-1</math> <math>=-4+\overbrace{4\cdot 2}-1</math> <math>=-4+2-1</math> '''Exemples de potències amb productes i divisions amb sumes i restes:''' Sempre té prioritat l'exponent sobre la resta d'operacions o signes: :a) <math>9+3^2=9+\overbrace{3^2}=9+9=18</math> :b) <math>2\cdot 3^3=2\cdot\overbrace{3^3}=2\cdot 27=54</math> :c) <math>-3^4-2=-\overbrace{3^4}-2=-(81)-2=-81-2=-83</math> '''Exemples d'operacions amb parèntesis:''' Els parèntesis són els constructors del nostre llenguatge matemàtic sense ells no podríem escriure <math>(-1-2)\cdot 3=-3\cdot 3=-9</math> que no es el mateix que <math>-1-2\cdot 3=-1-6=-7,</math> tampoc podríem escriure <math>(-2)^4=+16=16</math> ja que no dona el mateix que <math>-2^4=-16</math> entre d'altres expressions. Per tant les seves operacions internes van primer que la resta d'operacions del voltant. Es tracta de anar calculant de dins cap a fora. :a) <math>(-1-(2-5)\cdot 2)\cdot 3</math> <math>=(-1-\overbrace{(2-5)}\cdot 2)\cdot 3</math> <math>=(-1\overbrace{-(-3)\cdot 2})\cdot 3</math> <math>=(\overbrace{-1+6})\cdot 3</math> <math>=5\cdot 3</math> <math>=15</math> :b) <math>(-1-(2-(-(3-2)+3))+2)\cdot(-(3-(4-3)+4)</math> <math>=(-1-(2-(-(1)+3))+2)\cdot(-(3-(1)+4)</math> <math>=(-1-(2-(-1+3))+2)\cdot(-(3-1+4))</math> <math>=(-1-(2-(2))+2)\cdot(-(6))</math> <math>=(-1-(2-2)+2)\cdot(-6)</math> <math>=(-1-(0)+2)\cdot(-6)</math> <math>=(-1-0+2)\cdot(-6)</math> <math>=(-1+2)\cdot(-6)</math> <math>=(1)\cdot(-6)</math> <math>=-6</math> == Plànol == [[Matemàtiques I ESO|Resta de seccions de primer d'ESO.]] == Anotacions == [[Category:Matemàtiques de primer d'ESO]] [[Category:CA]] ta17fk8mg502b7lxewtkp647yoy3vws 0 40327 373517 365735 2025-06-21T01:43:37Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373517 wikitext text/x-wiki En aquesta secció veurem les diferents formes d'interpretació per treballar-ne totes conjuntament. == Presentació de les fraccions == Les fraccions tenen principalment quatre interpretacions, la notació, una locució típica, una interpretació visual i el valor numèric: '''Notació:''' És un símbol compost de dos nombres anomenats: ::[[File:Numerador y denominador.svg]] '''Locució:''' Les fraccions hereten lèxic dels ordinals<ref>Taula d'abreviatures dels ordinals i els partitius {|class="wikitable col1cen col2cen col3cen center" style="width:1300px" !rowspan="2" style="width:50px"|Romans !rowspan="2" style="width:60px"|Fracció !colspan="3"|Català !colspan="3"|Castellà |- !colspan="2"|Ordinal !Fracció !colspan="2"|Ordinal !Fracció |- ||I ||<math>\frac{1}{1}=1</math> |style="width:120px"|1r.<math>\left(1.^r\right)</math>, 1a.<math>\left(1.^a\right)</math> 1rs, 1es |style="width:200px"|Primer, primera, primers, primeres |style="width:210px"|Unitat, enter o sencer |style="width:90px"|<math>1.^o</math>, <math>1.^{er}</math>, <math>1.^a</math> ||Primero, primer, primera ||Unidad, entera |- ||II ||<math>\frac{1}{2}</math> ||2n, 2a 2ns, 2es ||segon, segona segons, segones ||un mig, mitja, (meitat) mitjos, mitjes ||<math>2.^o</math>, <math>2.^a</math> |style="width:200px"|segundo, segunda ||un medio, media, (mitad) medios, medias |- ||III ||<math>\frac{1}{3}</math> ||3r, 3a 3rs, 3es ||tercer, tercera tercers, terceres ||un terç, tercera terços, terceres ||<math>3.^o</math>, <math>3.^{er}</math>, <math>3.^a</math> ||tercero, tercer, tercera ||un tercio, tercia, tercios, tercias |- ||IV ||<math>\frac{1}{4}</math> ||4t, 4a 4ts, 4es, ||quart, quarta quarts, quartes ||un quart, quarta, quarts, quartes ||<math>4.^o</math>, <math>4.^a</math> ||cuarto, cuarta ||un cuarto, cuarta cuartos, cuartas |- ||V ||<math>\frac{1}{5}</math> ||5è, 5a 5ns, 5es ||cinquè, cinquena o quint, quinta cinquens, cinquenes ||un cinquè, cinquena cinquens, cinquenes ||<math>5.^o</math>, <math>5.^a</math> ||quinto, quinta ||un quinto, quinta quintos, quintas |- ||VI ||<math>\frac{1}{6}</math> ||6è, 6a 6ns, 6es ||sisè, sisena sisens, sisenes ||un sisè, sisena sisens, sisenes ||<math>6.^o</math>, <math>6.^a</math> ||sexto, sexta ||un sexto, sexta |- ||VII ||<math>\frac{1}{7}</math> ||7è, 7a 7ns, 7es ||setè, setena o sèptim, sèptima setens, setenes ||un setè, setena setens, setenes ||<math>7.^o</math>, <math>7.^a</math> ||séptimo, séptima ||un séptimo, séptima |- ||VIII ||<math>\frac{1}{8}</math> ||8è, 8a 8ns, 8es ||vuitè, vuitena o octau, octava vuitens, vuitenes ||un vuitè, vuitena vuitens, vuitenes ||<math>8.^o</math>, <math>8.^a</math> ||octavo, octava ||un octavo, octava |- ||IX ||<math>\frac{1}{9}</math> ||9è, 9a 9ns, 9es ||novè, novena novens, novenes ||un novè, novena novens, novenes ||<math>9.^o</math>, <math>9.^a</math> ||noveno, novena (nono, nona) ||un noveno, novena |- ||X ||<math>\frac{1}{10}</math> ||10è, 10a 10ns, 10es ||desè, desena desens, desenes ||un desè, desena (dècim, dècima) ||<math>10.^o</math>, <math>10.^a</math> ||décimo, décima ||un décimo, décima |- ||XI ||<math>\frac{1}{11}</math> ||11è, 11a 11ns, 11es ||onzè, onzena onzens, onzenes ||un onzè, onzena ||<math>11.^o</math>, <math>11.^a</math> ||undécimo ||un onceavo, onceava (undécimo) |- ||XII ||<math>\frac{1}{12}</math> ||12è, 12a 12ns, 12es ||dotzè, dotzena dotzens, dotzenes ||un dotzè, dotzena ||<math>12.^o</math>, <math>12.^a</math> ||duodécimo, decimo segundo o doceno ||un doceavo o duodécimo (dozavo) |- ||XIII ||<math>\frac{1}{13}</math> ||13è, 13a 13ns, 13es ||tretzè, tretzena tretzens, tretzenes ||un tretzè, tretzena ||<math>13.^o</math>, <math>13.^a</math> ||decimotercero o decimotercio (tredécimo o treceno) ||un treceavo, treceava (trezavo) |- ||XIV ||<math>\frac{1}{14}</math> ||14è, 14a 14ns, 14es ||catorzè, catorzena catorzens, catorzenes ||un catorzè, catorzena ||<math>14.^o</math>, <math>14.^a</math> ||decimocuarto, decimocuarta (catorceno) ||un catorceavo, catorceava |- ||XV ||<math>\frac{1}{15}</math> ||15è, 15a 15ns, 15es ||quinzè, quinzena quinzens, quinzenes ||un quinzè, quinzena ||<math>15.^o</math>, <math>15.^a</math> ||decimoquinto, decimoquinta (quinceno) ||un quinceavo, quinceava |- ||XVI ||<math>\frac{1}{16}</math> ||16è, 16a 16ns, 16es ||setzè, setzena setzens, setzenes ||un setzè, setzena ||<math>16.^o</math>, <math>16.^a</math> ||decimosexto, decimosexta (dieciseiseno) ||un dieciseisavo, dieciseisava |- ||XVII ||<math>\frac{1}{17}</math> ||17è, 17a 17ns, 17es ||dissetè, dissetena dissetens, dissetenes ||un dissetè, dissetena ||<math>17.^o</math>, <math>17.^a</math> ||decimoséptimo, decimoséptima (decimosétimo) ||un diecisieteavo, diecisieteavo |- ||XVIII ||<math>\frac{1}{18}</math> ||18è, 18a 18ns, 18es ||divuitè, divuitena divuitens, divuitenes ||un divuitè, divuitena ||<math>18.^o</math>, <math>18.^a</math> ||decimoctavo, decimoctava (deciocheno) ||un dieciochoavo, dieciochoava |- ||XIX ||<math>\frac{1}{19}</math> ||19è, 19a 19ns, 19es ||dinovè, dinovena dinovens, dinovenes ||un dinovè, dinovena ||<math>19.^o</math>, <math>19.^a</math> ||decimonoveno, decimonovena o decimonono, decimonona ||un diecinueveavo, diecinueveava |- ||XX ||<math>\frac{1}{20}</math> ||20è, 20a 20ns, 20es ||vintè, vintena o vigèsim, vigèsima ||un vintè, vintena o vigèsim, vigèsima ||<math>20.^o</math>, <math>20.^a</math> ||vigésimo, vigésima (veinteno) ||un veinteavo, veinteava (veinteno) |- ||XXI ||<math>\frac{1}{21}</math> ||21è, 21a 21ns, 21es ||vint-i-unè, vint-i-unena ||un vint-i-unè, vint-i-unena ||<math>21.^o</math>, <math>21.^a</math> ||vigesimoprimero, vigesimoprimera ||un veintiunavo, veintiunava |- ||XXII ||<math>\frac{1}{22}</math> ||22è, 22a ||vint-i-dosè, vint-i-dosena ||un vint-i-dosè, vint-i-dosena ||<math>22.^o</math>, <math>22.^a</math> ||vigesimosegundo, vigesimosegunda ||un veintidosavo, veintidosava |- ||XXIII ||<math>\frac{1}{23}</math> ||23è, 23a ||vint-i-tresè, vint-i-tresena ||un vint-i-tresè, vint-i-tresena ||<math>23.^o</math>, <math>23.^a</math> ||vigesimotercero, vigesimotercera ||un veintitresavo, veintitresava |- ||XXIV ||<math>\frac{1}{24}</math> ||24è, 24a ||vint-i-quatrè, vint-i-quatrena ||un vint-i-quatrè, vint-i-quatrena ||<math>24.^o</math>, <math>24.^a</math> ||vigesimocuarto, vigesimocuarta ||un veinticuatravo, veintricuatrava |- ||XXV ||<math>\frac{1}{25}</math> ||25è, 25a ||vint-i-cinquè, vint-i-cinquena ||un vint-i-cinquè, vint-i-cinquena ||<math>25.^o</math>, <math>25.^a</math> ||vigesimoquinto, vigesimoquinta ||un veinticincoavo, veinticincoava |- ||XXVI ||<math>\frac{1}{26}</math> ||26è, 26a ||vint-i-sisè, vint-i-sisena ||un vint-i-sisè, vint-i-sisena ||<math>26.^o</math>, <math>26.^a</math> ||vigesimosexto, vigesimosexta ||un veintiseisavo, veintiseisava |- ||XXVII ||<math>\frac{1}{27}</math> ||27è, 27a ||vint-i-setè, vint-i-setena ||un vint-i-setè, vint-i-setena ||<math>27.^o</math>, <math>27.^a</math> ||vigesimoséptimo, vigesimoséptima ||un veintisieteavo, veintisieteava |- ||XXVIII ||<math>\frac{1}{28}</math> ||28è, 28a ||vint-i-vuitè, vint-i-vuitena ||un vint-i-vuitè, vint-i-vuitena ||<math>28.^o</math>, <math>28.^a</math> ||vigesimoctavo, vigesimoctava ||un veintiochavo, veintiochava |- ||XXIX ||<math>\frac{1}{29}</math> ||29è, 29a ||vint-i-novè, vint-i-novena ||un vint-i-novè, vint-i-novena ||<math>29.^o</math>, <math>29.^a</math> ||vigesimonoveno, vigesimonovena ||un veintinueveavo, veintinueveava |- ||XXX ||<math>\frac{1}{30}</math> ||30è, 30a ||trentè, trentena o trigèsim, trigèsima ||un trentè, trentena ||<math>30.^o</math>, <math>30.^a</math> ||trigésimo, trigésima (treinteno) ||un trigésimo, trigésima o treintavo treintava (treinteno) |- ||XXXI ||<math>\frac{1}{31}</math> ||31è, 31a ||trenta-unè, trenta-unena ||un trenta-unè, trenta-unena ||<math>31.^o</math>, <math>31.^a</math> ||trigésimoprimero, trigésimoprimera ||un trigésimoprimero, trigésimoprimera o treintaiunavo, treintaiunava |- ||XL ||<math>\frac{1}{40}</math> ||40è, 40a ||quarantè, quarantena o quadragèsim, quadragèsima ||un quarantè, quarantena ||<math>40.^o</math>, <math>40.^a</math> ||cuadragésimo, cuadragésima ||un cuadragésimo, cuadragésima o cuarentavo, cuarentava |- ||L ||<math>\frac{1}{50}</math> ||50è, 50a ||cinquantè, cinquantena o quinquagèsim, quinquagèsima ||un cinquantè, cinquantena ||<math>50.^o</math>, <math>50.^a</math> ||quincuagésimo, quincuagésima ||un quincuagésimo, quincuagésima o cincuentavo, cincuentava |- ||LX ||<math>\frac{1}{60}</math> ||60è, 60a ||seixantè, seixantena o sexagèsim, sexagèsima ||un seixantè, seixantena ||<math>60.^o</math>, <math>60.^a</math> ||sexagésimo, sexagésima ||un sexagésimo, sexagésima o sesentavo, sesentava |- ||LXX ||<math>\frac{1}{70}</math> ||70è, 70a ||setantè, setantena o septuagèsim, septuagèsima ||un setantè, setantena ||<math>70.^o</math>, <math>70.^a</math> ||septuagésimo, septuagésima ||un septuagésimo, septuagésima o setentavo, setentava |- ||LXXX ||<math>\frac{1}{80}</math> ||80è, 80a ||vuitantè, vuitantena o octogèsim, octogèsima ||un vuitantè, vuitantena ||<math>80.^o</math>, <math>80.^a</math> ||octogésimo, octogésima ||un octogésimo, octogésima o ochentavo, ochentava |- ||XC ||<math>\frac{1}{90}</math> ||90è, 90a ||norantè, norantena o nonagèsim, nonagèsima ||un norantè, norantena ||<math>90.^o</math>, <math>90.^a</math> ||nonagésimo, nonagésima ||un nonagésimo, nonagésima o noventavo, noventava |- ||C ||<math>\frac{1}{100}</math> ||100è, 100a ||centèsim, centèsima o centè, centena ||un centèsim, centèsima o centè, centena ||<math>100.^o</math>, <math>100.^a</math> ||centésimo, centésima ||un centésimo, centésima o centavo, centava |- ||CC ||<math>\frac{1}{200}</math> ||200è, 200a ||dos-centè, dos-centena ||un dos-centè, dos-centena ||<math>200.^o</math>, <math>200.^a</math> ||ducentésimo, ducentésima ||un ducentésimo, ducentésima |- ||CCC ||<math>\frac{1}{300}</math> ||300è, 300a ||tres-centè, tres-centena ||un tres-centè, tres-centena ||<math>300.^o</math>, <math>300.^a</math> ||tricentésimo, tricentésima ||un tricentésimo, tricentésima |- ||CD ||<math>\frac{1}{400}</math> ||400è, 400a ||quatre-centè, quatre-centena ||un quatre-centè, quatre-centena ||<math>400.^o</math>, <math>400.^a</math> ||cuadringentésimo, cuadringentésima ||un cuadringentésimo, cuadringentésima |- ||D ||<math>\frac{1}{500}</math> ||500è, 500a ||cinc-centè, cinc-centena ||un cinc-centè, cinc-centena ||<math>500.^o</math>, <math>500.^a</math> ||quingentésimo, quingentésima ||un quingentésimo, quingentésima |- ||DC ||<math>\frac{1}{600}</math> ||600è, 600a ||sis-centè, sis-centena ||un sis-centè, sis-centena ||<math>600.^o</math>, <math>600.^a</math> ||sexcentésimo, sexcentésima ||un sexcentésimo, sexcentésima |- ||DCC ||<math>\frac{1}{700}</math> ||700è, 700a ||set-centè, set-centena ||un set-centè, set-centena ||<math>700.^o</math>, <math>700.^a</math> ||septingentésimo, septingentésima ||un septingentésimo, septingentésima |- ||DCCC ||<math>\frac{1}{800}</math> ||800è, 800a ||vuit-centè, vuit-centena ||un vuit-centè, vuit-centena ||<math>800.^o</math>, <math>800.^a</math> ||octingentésimo, octingentésima ||un octingentésimo, octingentésima |- ||CM ||<math>\frac{1}{900}</math> ||900è, 900a ||nou-centè, nou-centena ||un nou-centè, nou-centena ||<math>900.^o</math>, <math>900.^a</math> ||noningentésimo, noningentésima ||un noningentésimo, noningentésima |- ||M ||<math>\frac{1}{1000}</math> ||1000m, 1000a ||mil·lèsim, mil·lèsima ||un mil·lèsim, mil·lèsima ||<math>1000.^o</math>, <math>1000.^a</math> ||milésimo, milésima ||un milésimo, milésima |- ||MM ||<math>\frac{1}{2000}</math> ||2000m, 2000a ||dos-mil·lèsim dos-mil·lèsima ||un dos-mil·lèsim dos-mil·lèsima ||<math>2000.^o</math>, <math>2000.^a</math> ||dosmilésimo, dosmilésima ||un dosmilésimo, dosmilésima |- ||<math>\overline{X}</math> ||<math>\frac{1}{10\,000}</math> ||10 000m 10 000a ||deu-mil·lèsim deu-mil·lèsima ||un deu-mil·lèsim, deu-mil·lèsima ||<math>10\,000.^o</math> <math>10\,000.^a</math> ||diezmilésimo, diezmilésima ||un diezmilésimo, diezmilésima |- ||<math>\overline{C}</math> ||<math>\frac{1}{100\,000}</math> ||100 000m 100 000a ||cent-mil·lèsim, cent-mil·lèsima ||un cent-mil·lèsim, cent-mil·lèsima ||<math>100\,000.^o</math> <math>100\,000.^a</math> ||cienmilésimo, cienmilésima ||un cienmilésimo, cienmilésima |- ||<math>\overline{M}</math> ||<math>\frac{1}{1\,000\,000}</math> ||1 000 000m 1 000 000a ||milionèsim, milionèsima ||un milionèsim, milionèsima ||<math>1\,000\,000.^o</math> <math>1\,000\,000.^a</math> ||millonésimo, millonésima ||un millonésimo, millonésima |} Consultat a: * [https://aplicacions.llengua.gencat.cat/llc/AppJava/index.html Optimot], article ''Abreviatures dels ordinals 2021''. * [https://dle.rae.es/ Diccionari de la RAE] * [https://www.rae.es/dpd/ordinales Diccionario panhispánico de dudas], article ''Ordinales''. </ref> :Exemple: <math>\frac{2}{6}</math> llegit com ''dos sisens'' interpreta que ''de cada 6 parts n'agafem 2''. '''Representació''' ::{|style="border: 1px solid #000;" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #000;width:50px;height:50px;" bgcolor="#00f"| |style="border: 1px solid #000;width:50px;height:50px;" bgcolor="#00f"| |style="border: 1px solid #000;width:50px;height:50px;" bgcolor="#00f"| |style="border: 1px solid #000;width:50px;height:50px;"| |} representació de ''tres quarts''. '''Valor''' Cada fracció és també un valor ja que actuen sobre una unitat del tipus que sigui que en puguem fer parts iguals. :Exemple: <math>\frac{2}{5}</math> <math>=2/5</math> <math>=2\div 5</math> <math>=0,4</math> === Ordenació === Com que cada fracció és un valor, llavors les podem ordenar, veiem que només cal fer la divisió: '''Exemple:''' 1) Ordena de més petit a més gran <math>\frac{1}{5},</math> <math>\frac{1}{2}</math> i <math>\frac{1}{10}.</math> :En fer la divisió surt: <math>\frac{1}{5}=0'2,</math> <math>\frac{1}{2}=0'5</math> i <math>\frac{1}{10}=0'1.</math> :Llavors veiem que de més petit a més gran tenim: <math>\frac{1}{10},</math> <math>\frac{1}{5}</math> i <math>\frac{1}{2}</math> 2) Ordeneu de més petit a més gran <math>\frac{3}{2},</math> <math>\frac{6}{4}</math> i <math>\frac{12}{8}.</math> :En fer la divisió surt: <math>\frac{3}{2}=1'5,</math> <math>\frac{6}{4}=1'5</math> i <math>\frac{12}{8}=1'5.</math> :Llavors veiem que tenim que tots són iguals: <math>\frac{3}{2}</math> <math>=\frac{6}{4}</math> <math>=\frac{12}{8}</math> '''Exercicis:''' 1) Ordeneu les següents fraccions: :<math>\frac{2}{10},</math> <math>\frac{3}{5},</math> <math>\frac{1}{2},</math> <math>\frac{7}{14},</math> <math>\frac{5}{2},</math> <math>\frac{4}{5},</math> <math>\frac{11}{5}</math> i <math>\frac{12}{5}</math> '''Fraccions amb mateix denominador''' Per comparar fraccions amb el mateix denominador, només cal comparar el numerador. Llavors el numerador diu directament qui és més gran, veiem un exemple. '''Exemple:''' 1) Ordena de més petit a més gran les fraccions següents: :<math>\frac{3}{11},</math> <math>\frac{7}{11},</math> <math>\frac{2}{11},</math> <math>\frac{9}{11}</math> i <math>\frac{5}{11}.</math> :Mirant el numerador surt: <math>\frac{2}{11}</math> <math><\frac{3}{11}</math> <math><\frac{5}{11}</math> <math><\frac{7}{11}</math> <math><\frac{9}{11}.</math> En canvi si les fraccions tenen el mateix numerador, llavors si el denominador és més gran tenim que el valor de la fracció és més petit: :<math>\frac{11}{2}</math> <math>>\frac{11}{3}</math> <math>>\frac{11}{4}</math> <math>>\frac{11}{5}</math> <math>>\frac{11}{6}.</math> '''Exercici:''' 1) Ordeneu les fraccions següents: :<math>\frac{30}{17},</math> <math>\frac{17}{17},</math> <math>\frac{4}{17},</math> <math>\frac{3}{17},</math> <math>\frac{10}{17},</math> <math>\frac{7}{17},</math> <math>\frac{2}{17},</math> <math>\frac{6}{17},</math> <math>\frac{11}{17},</math> <math>\frac{5}{17},</math> <math>\frac{9}{17},</math> <math>\frac{8}{17}</math> i <math>\frac{1}{17}.</math> 2) Ordeneu les fraccions següents: :<math>\frac{2}{11},</math> <math>\frac{1}{11},</math> <math>\frac{20}{11},</math> <math>\frac{3}{11},</math> <math>\frac{20}{7},</math> <math>\frac{20}{2},</math> <math>\frac{20}{8}</math> i <math>\frac{20}{4}.</math> ::Perquè no cal fer totes les divisions? ==== Fraccions equivalents ==== Consisteix en la cerca de fraccions que tinguin el mateix valor associat, es a dir que tinguin la mateixa regió pintada en un dibuix. {| ||[[File:Fracción 3 de 4 modelo 001.svg|150px]] |style="width:50px"| ||[[File:Fracción 15 de 20 modelo 001.svg|150px]] |style="width:50px"| ||[[File:Fracción 20 de 80 modelo 001.svg|150px]] |} La representació mostra clarament com aquestes fraccions tenen la mateixa regió pintada per tant es tracta de la mateixa encara que s'hagi subdividit en molts trossos, llavors podem escriure que: ::<math>\frac{3}{4}=\frac{15}{20}=\frac{60}{80}</math> Es pot observar que tota fracció es pot reduir sempre que numerador i denominador siguin divisibles pel mateix nombre, per exemple. :::<math>\frac{2000}{3000}=\frac{2}{3}</math> ==== Reducció de fraccions ==== Hi ha un procediment de simplificació simple i un mètode una mica més curt. '''Reducció simple de fraccions''' Només cal veure quins nombres poden dividir a la vegada al numerador i al denominador: :<math>\frac{80}{160}\underbrace{\overbrace{=}^{\div 2}}_{\div 2}</math> <math>\frac{40}{80}\underbrace{\overbrace{=}^{\div 2}}_{\div 2}</math> <math>\frac{20}{40}\underbrace{\overbrace{=}^{\div 2}}_{\div 2}</math> <math>\frac{10}{20}\underbrace{\overbrace{=}^{\div 2}}_{\div 2}</math> <math>\frac{5}{10}\underbrace{\overbrace{=}^{\div 5}}_{\div 5}</math> <math>\frac{1}{2}</math> '''Mètode de reducció directa''' Com que es tracta de dividir numerador i denominador a la vegada llavors busquem el nombre més gran que ho faci i es diu '''màxim comú divisor''' que en un sol pas ja ho té fet. En el cas anterior en nostre màxim comú divisor és 80: :<math>\frac{80}{160}\underbrace{\overbrace{=}^{\div 80}}_{\div 80}</math> <math>\frac{1}{2}</math> === Multiplicació i divisió === Per multiplicar i dividir només cal fixar-se en la fórmula que identifica clarament les operacions. '''Fórmula per multiplicar''' :<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}</math> <math>=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> '''Fórmula per dividir''' :<math>\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}</math> <math>=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}</math> Si volem fer operacions amb un nombre no fraccionari, llavors només cal expressar-lo com a fracció afegint un u al denominador, com per exemple: :<math>37=\frac{37}{1}</math> :<math>495=\frac{495}{1}</math> Recordeu que molts són exemples del mètode, ja que alguns es veu a ull el resultat. '''Exemples de multiplicacions:''' 1) <math>\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{9}</math> <math>=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 9}</math> <math>=\frac{6}{36}</math> <math>\underbrace{\overbrace{=}^{\div 6}}_{\div 6}\frac{1}{6}</math> 2) <math>\frac{6}{2}\cdot\frac{5}{3}</math> <math>=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 3}</math> <math>=\frac{30}{6}</math> <math>\underbrace{\overbrace{=}^{\div 6}}_{\div 6}\frac{5}{1}=5</math> 3) <math>\frac{66}{6}\cdot\frac{7}{11}</math> <math>=\frac{11}{1}\cdot\frac{7}{11}</math> <math>=\frac{11\cdot 7}{1\cdot 11}</math> <math>=\frac{77}{11}</math> <math>\underbrace{\overbrace{=}^{\div 11}}_{\div 11}\frac{7}{1}=7</math> 4) <math>\frac{100}{130}\cdot 13</math> <math>=\frac{100}{130}\cdot\frac{13}{1}</math> <math>=\frac{100\cdot 13}{130\cdot 1}</math> <math>=\frac{1300}{130}</math> <math>\underbrace{\overbrace{=}^{\div 130}}_{\div 130}\frac{10}{1}=10</math> '''Exemples de divisions''' 1) <math>\frac{3}{4}\div\frac{9}{2}</math> <math>=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 9}</math> <math>=\frac{6}{36}</math> <math>\underbrace{\overbrace{=}^{\div 6}}_{\div 6}\frac{1}{6}</math> 2) <math>\frac{6}{2}\div\frac{3}{5}</math> <math>=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 3}</math> <math>=\frac{30}{6}</math> <math>\underbrace{\overbrace{=}^{\div 6}}_{\div 6}\frac{5}{1}=5</math> 3) <math>\frac{66}{6}\div\frac{11}{7}</math> <math>=\frac{11}{1}\cdot\frac{7}{11}</math> <math>=\frac{11\cdot 7}{1\cdot 11}</math> <math>=\frac{77}{11}</math> <math>\underbrace{\overbrace{=}^{\div 11}}_{\div 11}\frac{7}{1}=7</math> 4) <math>13\div\frac{130}{100}</math> <math>=\frac{13}{1}\div\frac{130}{100}</math> <math>=\frac{13\cdot 100}{1\cdot 130}</math> <math>=\frac{1300}{130}</math> <math>\underbrace{\overbrace{=}^{\div 130}}_{\div 130}\frac{10}{1}=10</math> ==== Potències ==== Només es tracta d'aplicar la notació de potència i surt directament. '''Exemples''' :<math>\bigg(\frac{5}{11}\bigg)^5=\bigg(\frac{5}{11}\bigg)\cdot\bigg(\frac{5}{11}\bigg)\cdot\bigg(\frac{5}{11}\bigg)\cdot\bigg(\frac{5}{11}\bigg)\cdot\bigg(\frac{5}{11}\bigg)</math> <math>=\frac{5}{11}\cdot\frac{5}{11}\cdot\frac{5}{11}\cdot\frac{5}{11}\cdot\frac{5}{11}</math> :<math>\bigg(-\frac{3}{2}\bigg)^3=\bigg(-\frac{3}{2}\bigg)\cdot\bigg(-\frac{3}{2}\bigg)\cdot\bigg(-\frac{3}{2}\bigg)</math> <math>=-\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}</math> '''Exercicis''' 1) <math>\bigg(\frac{5}{11}\bigg)^5=</math> 2) <math>\bigg(-\frac{20}{30}\bigg)^3=</math> 3) <math>\bigg(\frac{-5}{55}\bigg)^2=</math> 4) <math>\bigg(\frac{64}{-32}\bigg)^5=</math> === Sumes i restes === Principalment depèn del denominador seguir un mètode o un altre ==== Fraccions amb mateix denominador ==== Sumes i restes amb mateix denominador dona una fracció amb el mateix denominador, per exemple: :<math>\frac{2}{5}+\frac{4}{5}=\frac{2+4}{5}=\frac{6}{5}</math> :<math>\frac{-3}{7}+\frac{4}{7}=\frac{-3+4}{7}=\frac{1}{7}</math> :<math>\frac{2}{3}+\frac{-4}{3}=\frac{2-4}{3}=\frac{-2}{3}</math> Cal adonar-se que les operacions de sumes i restes es queden al numerador: :<math>\frac{-2}{31}+\frac{5}{31}-\frac{3}{31}+\frac{6}{31}=\frac{-2+5-3+6}{31}=\frac{6}{31}</math> ==== Fraccions amb diferent denominador ==== Per fraccions amb diferent denominador només cal pensar en multiplicar-les fins que coincideixin unes amb les altres, es a dir, arribar a un múltiple comú si és petit és molt millor. '''Exemples''' <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{4}</math> diferent denominador, per tant si multiplique fracció de denominador més petit per dos surt directament en quarts i per tant les podem sumar tranquil·lament, fem-ho: :<math>\frac{1\times 2}{2\times 2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2+1}{4}=\frac{3}{4}</math> <math>\frac{2}{6}+\frac{1}{2}</math> diferent denominador, per tant si multiplique fracció de denominador més petit per tres surt directament en sisens i per tant les podem sumar tranquil·lament, fem-ho: :<math>\frac{2}{6}+\frac{1\times 3}{2\times 3}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{2+3}{6}=\frac{5}{6}</math> '''Mètode brut''' Cal pensar que els denominadors han de ser els mateixos i per tant s'ha de deduir el denominador final. Repte: <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}</math> diferents denominador, com que no es pot de un en un llavors el fem a la vegada, el primer per dos i el segon per tres i surt sis a tots dos llocs!! :<math>\frac{1\times 3}{2\times 3}+\frac{1\times 2}{3\times 2}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}</math> '''Mètode elegant''' Es tracta de saber el denominador final i es fa amb el mínim comú múltiple dels denominadors; si es veu a ull millor. '''Exemple''' ==== Prioritats ==== Les prioritats son les mateixes que amb els nombres enters, i pensant que una fracció sempre la podem reduir. == Plànol == [[Matemàtiques I ESO|Resta de seccions de primer d'ESO.]] == Anotacions == [[Category:Matemàtiques de primer d'ESO]] [[Category:CA]] 5bxnm2p8kw7skogz7jsh6w7cu82uqc5 0 40328 373518 367524 2025-06-21T01:43:37Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373518 wikitext text/x-wiki Aquesta secció presenta els nombres decimals aplicats a la mesura. == Presentació dels nombres decimals == Els nombres decimals volen introduir valors més petits que les unitats, per fer-ho utilitzen la coma decimal, exemple: :<math>1\;metre+\frac{3}{10}\;de\;metre=1,3\;metres</math> :<math>1\;metre+\frac{7}{100}\;de\;metre=1,07\;metres</math> :<math>1\;metre+\frac{2}{1000}\;de\;metre=1,002\;metres</math> I així successivament. *Mentre més zeros té el divisor, més petit és el valor que suma. *Mentre més petit és el valor que suma, més llocs decimals es mou cap a la dreta. Penseu que aquest sistema ens diu fins al més petit dels canvis d'una mesura que volem fer. Per fer la '''construcció dels nombres decimals''' més en general amb valors de totes les mides veiem l'exemple següent: :<math>248+\frac{3}{10}+\frac{7}{100}+\frac{4}{1000}+\frac{5}{10000}=248,3745</math> === Notació === A tot nombre decimal podem distingir dos parts: {|cellspacing="0" border="1" cellpadding="0" |align="center" style="color:black" colspan="2" style="font-size:200%;" |10283,12345 |- |align="center" style="width:100px;color:#000;background:#aae;"|Part entera |align="center" style="width:100px;color:#000;background:#eaa;"|Part decimal |} === Ordenació === Els nombres decimals es poden situar a la recta numèrica com si es tractessin de fraccions: {| ||[[File:Parte de regla de 3 a 4 en milésimas.svg|500px]] |- |style="width:500px" bgcolor="#eef"|En aquesta imatge podem trobar les dècimes que hi ha entre el número 3 i el 4, però, si ens fixem podem veure dècimes de dècimes, es a dir, centèsimes. Pensem en el 3,4 i el 3,04. |} Per comparar nombres decimals semblants s'ha de fer comparant xifres d'esquerra a dreta fins que aparegui un nombre diferent. '''Exemple:''' 1) En comparar 222,22322 i 222,22222 veiem que d'esquerra a dreta totes les xifres són iguals excepte quan topem amb un 3 a les mil·lèsimes, llavors veiem que la mil·lèsima 3 és més gran que la mil·lèsima 2 de la segona xifra, podem dir llavors que: ::<math>222,22322>222,22222</math> 2) Comparem ara 4,92845 i 4,92855 veiem que a les deumil·lèsimes són diferents per tant direm que: ::<math>4,92845<4,92855</math> 3) Si comparem 10,00001 amb 10,0001 clarament en les deumil·lèsimes apareix un u al segon terme que el fa més gran, llavors: ::<math>10,00001<10,0001</math> '''Exercicis:''' 1) Compareu els nombres següents: :a) 0,0000111 i 0,000002 :b) 0,999999 i 0,99998 :c) 0,1221 i 0,11221 2) Situeu els nombres 3,1 , 3,11 , 3,01 , 3,5 , 3,9 , 3,99 i 3,09 sobre: El regle. :::[[File:Parte de regla de 3 a 4 en milésimas.svg|700px]] === Sumes i restes === Per efectuar sumes o restes, només cal situar les comes decimals un a sobre l'altre, dit d'un altra forma, situem la part sencera com sempre i tot seguit afegim la part decimal si es que en té. :<math> \begin{array}{c} 2005,01\\ +\,\,\,\,25,091\\ \hline \,\,2030,101 \end{array} </math> <math> \begin{array}{c} \,2346,234\\ -\,213,133\\ \hline \,\,\,2133,101 \end{array} </math> Si en algun moment falten xifres decimals per fer operacions, sempre podem afegir zeros. Un cop arreglat, fem la resta de nombres com sempre i finalment penseu en que al resultat les comes estan alineades. '''Exercicis''' 1) 55,5555-32,123 = 2) 100-0,0001 = === Multiplicacions === Per fer multiplicacions també es fa com sempre, inclús no fa falta alinear però feu-ho sempre per si de cas, multipliquem i finalment penseu en que el resultat té tantes xifres decimals com xifres decimals en tenen els dos primers nombres 'ajuntats' o 'conjuntament. <math> \begin{array}{rl} 3413,1201&\longleftarrow 4\,xifres\,\,decimals\\ \times\,\,20,01&\longleftarrow 2\,xifres\,\,decimals\\ \hline 34\,\,131\,201\\ 000\,\,000\,00\,\,\,\\ 0000\,\,000\,0\,\,\,\,\,\,\\ 68262\,\,402\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \hline 68296,533\,201&\longleftarrow 4+2\,xifres\,\,decimals\\ \end{array} </math> Exercicis: 1) <math>1000\times0,0001=</math> 2) <math>0,0231\times10000=</math> 3) <math>0,0026\times0,00451=</math> === Divisions === En les divisions només cal posar la coma decimal en el moment que es baixen xifres decimals: :<math> \begin{array}{rl} 1\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&\begin{array}{|c} 7\,\,\,\,\,\,\,\\ \hline \end{array}\\ 40\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,& 1,571428\\ 50\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&\\ 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&\\ 30\,\,\,\,\,\,\,\,&\\ 20\,\,\,\,&\\ 60&\\ 4&\\ \end{array} </math> ==== Potències i arrels ==== ==== Prioritats ==== == Unitats de mesura == En aquesta secció es treballaran els principals múltiples i submúltiples de les unitats en general. === El metre === El metre és la unitat estàndard per mesurar les longituds. Cal memoritzar la següent taula: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|[[File:UnidadesMetro.svg|500px]]}} |- |km = kilòmetre. hm = hectòmetre. dam = decàmetre. m = metre. dm = decímetre. cm = centímetre. mm = mil·límetre. |} Per utilitzar aquesta taula només cal pensar en els salts de la coma decimal per anar d'una unitat a un altra. '''Exemples:''' 1) 1 km = ... m. Mirant la taula veiem que ens hem de desplaçar 3 llocs per anar de '''km''' a '''m''', per tant la coma decimal s'ha de moure cap a la dreta, en la mateixa direcció que a la taula, fent que 1,km = 1000,m que ja coneixíem. Observem que quan no hi ha xifres afegim zeros sense cap problema. 2) 1 m = ... mm. Mirant la taula veiem que ens hem de desplaçar 3 llocs per anar de '''m''' a '''mm''', per tant la coma decimal s'ha de moure cap a la dreta, en la mateixa direcció que a la taula, fent que 1,m = 1000,mm es a dir 1000 mm. 3) 13 000 mm. Per anar de '''mm''' a '''dam''' hem de moure la coma decimal cap a l'esquerra, en la mateixa direcció que a la taula donant 13 000 mm = 1,3 000 dam = 1,3 dam. === El gram i la tona === El gram és la unitat de massa dels cossos, en direm pes amb el ben entès que ens referim a la massa mesurada a la terra. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|[[File:UnidadesGramos.svg|500px]]}} |- |kg = kilogram. hg = hectogram. dag = decagram. g = gram. dg = decigram. cg = centigram. mg = mil·ligram. |} Els grams es comporten igual que els metres, per tant només cal repetir el procediment de canvi d'unitats. Després tenim la '''tona''', on 1&nbsp;t = 1000&nbsp;kg i no forma part del ''sistema internacional''. '''Exercicis:''' 1) Conversió d'unitats: :a) 1000&nbsp;g = ¿?&nbsp;kg. :b) 1000&nbsp;mg = ¿?&nbsp;g. :c) 26&nbsp;g = ...... mg :d) 3,1&nbsp;g = ...... kg :e) 120&nbsp;cg = ...... dag :f) 0,024&nbsp;hg = ...... cg === El metre quadrat i l'àrea === El metre quadrat és la unitat estàndard per mesurar les superfícies, es a dir, espais plans. Cal recordar que es la mateixa taula però amb un expontent 2, que indica que una superfície està mesurada amb quadradets: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|[[File:UnidadesMetroCuadrado.svg|500px]]}} |- |<math>km^2</math> = kilòmetre quadrat. <math>hm^2</math> = hectòmetre quadrat. <math>dam^2</math> = decàmetre quadrat. <math>m^2</math> = metre quadrat. <math>dm^2</math> = decímetre quadrat. <math>cm^2</math> = centímetre quadrat. <math>mm^2</math> = mil·límetre quadrat. |} Per utilitzar aquesta taula només cal pensar '''en multiplicar per dos''' els salts de la coma decimal per anar d'una unitat a un altra. '''Exemples:''' 1) 3 <math>km^2</math> = ... <math>m^2</math>. Mirant la taula veiem que ens hem de desplaçar 3 llocs per anar de '''km quadrat''' a '''m quadrat''', per tant la coma decimal s'ha de moure cap a la dreta, en la mateixa direcció que a la taula i multiplicat per l'exponent 2, fent que 3,km = 3&nbsp;000&nbsp;000,&nbsp;m. Observem que quan no hi ha xifres afegim zeros sense cap problema. 2) 1 <math>m^2</math> = ... <math>cm^2</math>. Mirant la taula veiem que ens hem de desplaçar 2 llocs per anar de '''m quadrat''' a '''cm quadrat''', per tant la coma decimal s'ha de moure cap a la dreta, en la mateixa direcció que a la taula i multiplicat per l'exponent 2, fent que 1,m = 10&nbsp;000,&nbsp;cm. 3) 2,001 <math>mm^2</math> = ... <math>hm^2</math>. Mirant la taula veiem que ens hem de desplaçar 5 llocs per anar de '''mm quadrat''' a '''hm quadrat''', per tant la coma decimal s'ha de moure cap a l'esquerra, en la mateixa direcció que a la taula i multiplicat per l'exponent 2, fent que 2,001 km = 0,000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;200&nbsp;1&nbsp;m. === El metre cúbic i el litre === El metre cúbic s'utilitza per mesurar el volum dels cossos, es a dir, l'espai que ocupa els cossos sigui quina sigui la seva grandària. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|[[File:UnidadesMetroCúbico.svg|500px]]}} |- |<math>km^3</math> = kilòmetre cúbic. <math>hm^3</math> = hectòmetre cúbic. <math>dam^3</math> = decàmetre cúbic. <math>m^3</math> = metre cúbic. <math>dm^3</math> = decímetre cúbic. <math>cm^3</math> = centímetre cúbic. <math>mm^3</math> = mil·límetre cúbic. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|[[File:UnidadesLitro.svg|500px]]}} |- |<math>kl</math> = kilolitre. <math>hl</math> = hectolitre. <math>dal</math> = decalitre. <math>l</math> = litre. <math>dl</math> = decilitre. <math>cl</math> = centilitre. <math>ml</math> = mil·lilitre. |} === Sistema general de prefixes per qualsevol unitat === Taula dels múltiples i submúltiples de les unitats de mesura, no s'ha de memoritzar tota la taula però si saber-la utilitzar. {| class="wikitable" |+ |style="font-size:larger;font-weight:bold;color:white;background:#88f;"| 10ⁿ |style="font-size:larger;font-weight:bold;color:white;background:#88f;"| Prefixe |style="font-size:larger;font-weight:bold;color:white;background:#88f;"| Símbol |style="font-size:larger;font-weight:bold;color:white;background:#88f;"| Escala curta |style="font-size:larger;font-weight:bold;color:white;background:#88f;"| Escala llarga |align="center" colspan="3" style="font-size:larger;font-weight:bold;color:white;background:#88f;"|Valor decimal |style="font-size:larger;font-weight:bold;color:white;background:#88f;"| Assignació |- | 10²⁴ | [[yotta]] | Y- |align="center"| [[Septillón]] |align="center"| [[Cuatrillón]] |align="right" colspan="2"| 1 000 000 000 000 000 000 000 000 | | 1991 |- | 10²¹ | [[zetta]] | Z- |align="center"| [[Sextillón]] |align="center"| Mil trillones |align="right" colspan="2"| 1 000 000 000 000 000 000 000 | | 1991 |- | 10¹⁸ | [[exa]] | E- |align="center"| [[Quintillón]] |align="center"| [[Trillón]] |align="right" colspan="2"|1 000 000 000 000 000 000 | | 1975 |- | 10¹⁵ | [[Peta (prefijo)|peta]] | P- |align="center"| [[Cuatrillón]] |align="center"| Mil billones |align="right" colspan="2"| 1 000 000 000 000 000 | | 1975 |- | 10¹² | [[tera (prefijo)|tera]] | T- |align="center"| [[Trillón]] |align="center"| [[Billón]] |align="right" colspan="2"| 1 000 000 000 000 | | 1960 |- | 10⁹ | [[giga]] | G- | align="center"|[[Billón]] | align="center"|[[Millardo|Mil millones / Millardo]] |align="right" colspan="2"| 1 000 000 000 | | 1960 |- | 10⁶ | [[mega (prefijo)|mega]] | M- |colspan="2" align="center"| [[Millón]] |align="right" colspan="2"| 1 000 000 | | 1960 |- | 10³ | [[Kilo (prefijo)|kilo]] | k- |colspan="2" align="center"| [[Mil|Mil / Millar]] |align="right" colspan="2"| 1 000 | | 1795 |- | 10² | [[hecto]] | h- |colspan="2" align="center"| [[Cien|Cien / Centena]] |align="right" colspan="2"| 100 | | 1795 |- | 10¹ | [[deca]] | da- |colspan="2" align="center"| [[Diez|Diez / Decena]] |align="right" colspan="2"| 10 | | 1795 |- | 10⁰ |colspan="2" align="center"| ''<font color="gray">Sin prefijo</font>'' |colspan="2" align="center"| [[Uno|Uno / Unidad]] |align="right" colspan="2"| 1 | | |- | 10⁻¹ | [[deci]] | d- |colspan="2" align="center"| Décimo | |align="left" colspan="2"| 0.1 | 1795 |- | 10⁻² | [[centi]] | c- |colspan="2" align="center"| Centésimo | |align="left" colspan="2"| 0.01 | 1795 |- | 10⁻³ | [[mili]] | m- |colspan="2" align="center"| Milésimo | |align="left" colspan="2"| 0.001 | 1795 |- | 10⁻⁶ | [[micro (prefijo)|micro]] | µ- |colspan="2" align="center"| [[Millonésimo]] | |align="left" colspan="2"| 0.000 001 | 1960 |- | 10⁻⁹ | [[nano (prefijo)|nano]] | n- |align="center"| Billonésimo |align="center"| Milmillonésimo | |align="left" colspan="2"| 0.000 000 001 | 1960 |- | 10⁻¹² | [[pico (prefijo)|pico]] | p- |align="center"| Trillonésimo |align="center"| Billonésimo | |align="left" colspan="2"| 0.000 000 000 001 | 1960 |- | 10⁻¹⁵ | [[femto]] | f- |align="center"| Cuatrillonésimo |align="center"| Milbillonésimo | |align="left" colspan="2"| 0.000 000 000 000 001 | 1964 |- | 10⁻¹⁸ | [[atto]] | a- |align="center"| Quintillonésimo |align="center"| Trillonésimo | |align="left" colspan="2"| 0.000 000 000 000 000 001 | 1964 |- | 10⁻²¹ | [[zepto]] | z- |align="center"| Sextillonésimo |align="center"| Miltrillonésimo | |align="left" colspan="2"| 0.000 000 000 000 000 000 001 | 1991 |- | 10⁻²⁴ | [[yocto]] | y- |align="center"| Septillonésimo |align="center"| Cuatrillonésimo | |align="left" colspan="2"| 0.000 000 000 000 000 000 000 001 | 1991 |- | | | | | | |style="width:8px"| |} ==== Complements del metre ==== Quan es parla de mides grans s'utilitzen altres prefixes relatius als metres, però poc utilitzats: Tm, Gm, Mm i km. En canvi per comparar mides al sistema solar s'utilitza la Unitat Astronòmica que és la distància de la Terra al Sol: :1&nbsp;UA = 149 597 870 700 m. Que equival a 0,149 597 870 7&nbsp;Tm. [[File:Astronomical unit.png|300px]] Quan es parla de mides més petites que el metre s'utilitzen els prefixes per indicar-ho sense tants zeros, per exemple: [[File:Candida albicans.jpg|300px]] ==== El byte i byte per segon ==== A informàtica el byte, B, s'utilitza per quantificar dades molt grans. El byte té 256 valors amb els quals es fa un paral·lelisme de lletres d'un text grollerament, és a dir cada byte serà una lletra suposadament. Nota: no es poden utilitzar submúltiples de byte. :1&nbsp;kB = <math>10^3\;B</math> = 1000&nbsp;B :1&nbsp;MB = <math>10^6\;B</math> = 1000&nbsp;000&nbsp;B :1&nbsp;GB = <math>10^9\;B</math> = 1000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;B :1&nbsp;TB = <math>10^12\;B</math> = 1000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;B ==== El pixel ==== A les pantalles fetes amb reticles lluminosos s'utilitza el pixel, px, considerat com a unitat d'imatge que poden representar aquestes pantalles i que està composta idealment per 3 colors amb els diferents valors de vermell, verd i blau. Nota: No es pot subdividir de cap manera. :1&nbsp;kpx = <math>10^3\;px</math> = 1000&nbsp;px :1&nbsp;Mpx = <math>10^6\;px</math> = 1000&nbsp;000&nbsp;px :1&nbsp;Gpx = <math>10^9\;px</math> = 1000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;px :1&nbsp;Tpx = <math>10^12\;px</math> = 1000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;px == Plànol == [[Matemàtiques I ESO|Resta de seccions de primer d'ESO.]] == Anotacions == [[Category:Matemàtiques de primer d'ESO]] [[Category:CA]] mhzci91cdyfh5jfsdjusiv5up12rfez 0 40365 373564 319024 2025-06-21T01:52:28Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373564 wikitext text/x-wiki Abstraccions que es treballaran durant el curs: *Resolució. *Raonament i prova. *Connexions. *Comunicació. = Seccions del curs = *Esquema dels nombres. :*Prioritats de les operacions. :*Operacions combinades. :*Intervals. *[[Equacions 3 ESO|Equacions]]. :*Resolució. ::*Equacions lineals. ::*Equacion de segon grau. :*Representació. :*Resolució de sistemes. :*Exercici transversals. = Blocs generals = *Numeració i càlcul. *Canvi i relacions. *Espai i forma. *Mesura. *Estadística i atzar. [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] qprj067tt28m74o1keoqxwo8rt2n0x1 0 41684 373523 368542 2025-06-21T01:43:41Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373523 wikitext text/x-wiki Aquesta secció tracta sobre el comportament dels valors. Comparem un comportament natural o ideal dels valors, ja sigui dins d'una taula o bé un esquema de valors, amb la resta de comportaments coneguts. == Raó == Parlem de '''raó''' quan volem transformar un valor '''a''' en un altre '''b''', vegem aquest comportament amb exemples: '''Exemples:''' {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |1) Volem trobar un valor '''r''' que en multiplicar-lo per 5 el resultat sigui 3, es a dir que volem <math>5\cdot r=3</math>. ::<math>5\xrightarrow{\;\;\;r\;\;\;} 3</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| 1r.-Assajant amb el r=0,1? no dona. :Després amb el r=0,2? tampoc. :I amb r=0,6 sí funciona: <math>5\times 0,6=3,</math> per tant l'hem trobat, es a dir la raó '''r''' és 0,6 per tempteix. 2n.-Es pot fer també amb un mètode mecànic <math>r=\frac{3}{5}</math>, es a dir, cal posar el nombre que volem obtenir al numerador a dalt de la fracció i el valor de sortida o inicial al denominador a sota. :Vegem-ho: <math>5\times\frac{3}{5}=\frac{5\cdot 3}{5}=3</math> és correcte, per tant dona la mateixa raó degut a que la fracció és una divisió. Si dividim 3 entre 5 dona 0,6 que és '''r'''. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |2) Inversament volem trobar un valor '''r''' que en multiplicar-lo per 3 el resultat sigui 5, es a dir que volem <math>3\cdot r=5</math>. ::<math>3\xrightarrow{\;\;\;r\;\;\;} 5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| 1r.-Assajant amb el r=2? no dona. :Després amb el r=1,5? tampoc. :I amb r=1,6666 sí aproxima bastant: <math>3\times 1,6666=5,</math> per tant l'hem trobat un raó bastant aproximada, es a dir la raó '''r''' és 1,6666, això es tempteig. 2n.-Es pot fer també amb un mètode mecànic <math>r=\frac{5}{3}</math>, es a dir, cal posar el nombre que volem obtenir al numerador a dalt de la fracció i el valor de sortida o inicial al denominador a sota. :Vegem-ho: <math>3\times\frac{5}{3}=\frac{3\cdot 5}{3}=5</math> és correcte, per tant dona la mateixa raó degut a que la fracció és una divisió. Si dividim 5 entre 3 dona <math>1'\hat 6</math> que és '''r''' que és molt més exacte que el tempteig.. |} 3) Vegem ara com omplir una columna de valors diferents amb una sola raó recordant la secció passada. :{|class="wikitable col1cen col2cen center" style="width:130px" |- ||1 kg ||0,20 € |- ||2 kg ||x |- ||3 kg ||x |- ||5 kg ||x |- ||10 kg ||x |- ||50 kg ||x |- ||100 kg ||x |- ||1000 kg ||x |} == Proporcionalitat directa == Proporcionalitat directa o simplement proporcionalitat és precisament la relació entre dues fileres de dades amb una raó entre les fileres com abans. Una forma mecànica, sense aplicar raó, per esbrinar el valor de '''x''' són les següents depenent d'on estigui la incògnita: ::{|style="width:800px" ||<math> \left . \begin{array}{ccc} a & \longrightarrow & b \\ c & \longrightarrow & x \end{array} \right \} \rightarrow x = \frac{c \cdot b}{a} </math> ||<math> \left . \begin{array}{ccc} a & \longrightarrow & b \\ x & \longrightarrow & c \end{array} \right \} \rightarrow x = \frac{c \cdot a}{b} </math> |} :Si us fixeu bé, són la mateixa fórmula, feu la següent lectura: ''multipliquem en diagonal i dividim pel extrem que queda''. Vegem com es fan servir: '''Exemples:''' 1) Comparant la quantitat de pantalons i el preu a pagar: :{|class="wikitable col1cen col2cen center" style="width:130px" |- ||x ||9 € |- ||3 ||27 € |- ||10 ||x |- ||20 ||x |- ||x ||360 € |- ||50 ||x |- ||x ||9000 € |- ||10000 ||x |} == Proporcionalitat inversa == Proporcionalitat inversa o indirecta és una relació molt habitual entre dades que '''no''' és proporcional, es a dir no hi ha cap mena de raó entre per a tots els valors, de fet ens interessa la facilitat amb la que es poden fer els càlculs. ::{|style="width:800px" ||<math> \left . \begin{array}{ccc} a & \longrightarrow & b \\ c & \longrightarrow & x \end{array} \right \} \rightarrow x = \frac{a \cdot b}{c} </math> ||<math> \left . \begin{array}{ccc} a & \longrightarrow & b \\ x & \longrightarrow & c \end{array} \right \} \rightarrow x = \frac{b \cdot a}{c} </math> |} === Deures === Completa les taules següents segons les dades demanades: 1) Taula d'una empresa per a construccions de cases d'un mateix tipus. {|class="wikitable col1cen col2cen center" style="width:300px" !Cases !Portes !Finestres !Anys |- ||||||3 || |- ||||12 ||||1 |- ||3 ||18 |||| |- ||4 ||||20 || |- ||||||||10 |- ||20 |||||| |} 2) Taula de '''treball''' al camp amb 153ha terra cultivable: {|class="wikitable col1cen col2cen center" style="width:300px" !Pagesos !Hores !Dies !Anys |- ||3 ||||50 || |- ||||8 |||| |- ||10 |||||| |- ||||||||1 |- ||||||||20 |} 3) Troba el valors assenyalats de la taula següent: {|class="wikitable col1cen col2cen center" style="width:300px" !Cases !Obrers !Anys |- ||1 ||2 ||4 |- ||1 ||8 ||a |- ||b ||4 ||4 |- ||c ||4 ||8 |- ||8 ||d ||8 |} === Comparativa entre els mètodes de proporcionalitat === Es tracta de aprendre a distingir les situacions en tres grans grups: dades proporcionals, dades inversament proporcionals i d'altres relacions. Un tutorial en castellà pot ser [https://www.youtube.com/watch?v=QVl-L5SARp0 aquest tutorial per proporcionalitat directa i inversa] només ens interessa el mètode ràpid. == Plànol == [[Matemàtiques I ESO|Resta de seccions de primer d'ESO.]] == Anotacions == [[Category:Matemàtiques de primer d'ESO]] [[Category:CA]] bkj5t1ryqnq18reag5lq2zdo3lu23wh 0 41746 373515 320121 2025-06-21T01:43:35Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373515 wikitext text/x-wiki [[File:Plato Pio-Clemetino Inv305.jpg|200px|right]] La geometria fou unes de les assignatures més valorades a l'antiguitat i va ser la precursora del raonament matemàtic general. Es veu que el filòsof grec Plató va arribar a dir a la seva acadèmia: '''No entri ningú que no sàpiga geometria''' Els geòmetres van fer ràpidament una mena de llenguatge per facilitar les recerques de noves propietats que mica en mica enriquia tot el coneixement matemàtic i filosòfic. == Elements geomètrics == [[File:Los Elementos de Euclides (1576) - Libro I.pdf|200px|right]] El llibre '''Els elements''' signat amb el nom de Euclides l'any 300 a.C. va ser una de les obres més completes que deixen bocabadats encara els investigadors. === Elements simples === Els elements de la geometria conegudes com '''formes geomètriques''' són la base de tot anàlisi dins la geometria. Veiem els principals elements de geometria plana: ==== El punt ==== El '''punt''' és l'element que no pot ser dividit en altres parts o elements. És important saber que qualsevol altre element està fet de punts. Notació habitual: Per posar noms als punts es fa amb una lletra majúscula: A, B, C, D, E, F, G, ... ::{| || [[File:PuntosDidacticos.svg]] || [[File:PuntosTécnicos.svg]] |- || Punts per esquemes. || Punts per dibuix tècnic. |} ==== La recta ==== La '''recta''' és la línia recta que s'estén indefinidament en dos sentits i per tant no té extrems. Notació habitual: Per posar noms a les rectes es fa amb una lletra minúscula: a, b, c, d, e, f, g, ... ::{| || [[File:RectasGeneral.svg]] |- ||Aspecte de les rectes. |} ==== La semirecta ==== La '''semirecta''' és cada una de les parts en que un punt divideix una recta i per tant té un extrem que és per on s'ha dividit la recta. Hereta el nom de les rectes amb alguna indicació extra. ::{| || [[File:Semirrecta.svg]] |- ||Aspecte de les semirectes. |} ==== El segment ==== El '''segment''' és la porció de recta situada entre dos punts donats. ::{| || [[File:SegmentoNotación.svg]] |- ||Aspecte dels segments. |} === L'angle === [[File:ÁnguloBásico.svg|right]] Per mesurar un angle anomenat '''α''' necessitem un punt de base d'on surten dues rectes de referencia que mesurin la separació o desviació entre elles. Per mesurar aquest angle podem utilitzar el transportador que ens dirà el seu valor. Fixem-nos com s'ha detallat un angle al dibuix, el punt A fa de punt base, la primera recta passa pel punt A i C, i la segona passa pel punt A i B. A := Vèrtex. α := Mesura del angle en graus sexagesimals.<ref>És habitual posar noms grecs als angles com α, β, γ, δ, ε, θ ... de vegades es posa <math>\angle BAC</math> o també <math>\widehat{\rm BAC}.</math></ref> Semirecta AC i semirecta AB := Costats del angle. ==== Tipus d'angle segons la seva mida ==== Extracte de l'article [https://ca.wikipedia.org/wiki/Angle angle en wikipedia]. {| class="wikitable" border="1" ! Tipus !! Descripció |- | Angle nul || L'angle nul és aquell que mesura 0°. :<math>\alpha = 0^{\circ}</math> Els dos costats d'un angle nul són paral.lels i per tant són indistingibles. |- | Angle agut [[File:Ángulo agudo.svg|100px|Angle agut]] || L'angle agut està format per dues semirectes amb una mesura major de 0° i menor de 90°. :<math>0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}</math> |- | Angle recte [[File:Ángulo recto.svg|100px|Angle recte]] || L'angle recte és aquell que mesura 90°. :<math>\alpha = 90^{\circ}</math> Els dos costats d'un angle recte són perpendiculars. |- | Angle obtús [[File:Ángulo obtuso.svg|100px|Angle obtús]] || Un angle obtús té una mida major de 90° i menor de 180°. :<math>90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}</math> |- | Angle pla<br />o estès [[File:Ángulo llano.svg|100px|Angle pla]] ||L'angle pla és l'angle limitat per dues [[semirecta|semirectes]] oposades. Mesura 180°. :<math>\alpha = 180^{\circ}</math> |- | Angle complet [[File:Ángulo completo.svg|100px|Angle complet]] || Un angle complet té una mida de 360°. Els dos costats d'un angle complet tornen a ser paral.lels i per tant són indistingibles. |} ==== Posicions relatives de les rectes ==== Quan parlem de posicions relatives fem referència al estudi de totes les posibles formes de situar dos rectes sobre el pla, és a dir, sobre un full. ===== Rectes secants ===== Qualsevol recta que talla algo s'en diu '''recta secant'''. ::{| || [[File:Secante001.svg]] |- || La recta '''a''' és secant a la recta '''b''', també és secant a la circumferència i la recta '''b''' també és secant a la recta '''a'''. |} ====== Rectes perpendiculars ====== De les rectes secants que descriuen l'angle recte s'en diuen '''rectes perpendiculars'''. ::{| || [[File:Perpendicular001.svg]] |- || La recta '''a''' és perpendicular a la recta '''b''' i la recta '''b''' també és perpendicular a la recta '''a'''. |} ===== Rectes paral·leles ===== Es diu que dues rectes són paral·leles quan no es tallen mai. Aquest fet no ens serveix de gaire, per tant farem servir un altre explicació: Dues rectes són paral·leles quan en tallar-les per un altre descriuen angles corresponent iguals, es a dir, que els angles amb la mateixa orientació siguin iguals. [[File:Paralelo003.svg]] Exemple relatiu a la imatge anterior: 1) Si α = 30° i β = 40° llavors les rectes '''a''' i '''c''' no són paral·leles. 2) Si α = 41° i β = 41° llavors segur que '''a''' i '''c''' són paral·leles. 3) [[File:Paralelo004.svg]] ====== Rectes coincidents ====== Les '''rectes coincidents''' són les rectes que per alguna circumstància estan situades una al damunt de l'altre i per tant són indistingibles. ==== El transportador ==== [[File:Protractor katomierz.jpg|right|150px]] El '''transportador''' és l'element que s'utilitza per mesurar o construir angles. Vegeu un transportador a la dreta. '''Notació complexa''' dels graus sexagesimals i la notació decimal del grau: <math>20^{\circ} 30' 40'' = 20^{\circ} + 30' + 40'' = 20^{\circ} + \frac{30}{60} + \frac{40}{60\cdot 60} = \dots = 20,5\widehat{1}^{\circ}.</math> El sistema ==== Sumes i restes d'angles ==== Per fer sumes seguirem el mateix mètode que [https://www.youtube.com/watch?v=_PplVVZ070E aquest vídeo tutorial]. ==== Forma decimal dels graus ==== Per fer conversió de segons a graus-minuts-segons tenim [https://www.youtube.com/watch?v=rkjzcheNrOQ aquest vídeo tutorial]. == Exercicis del tema == Full 1 d'exercicis: [[File:Rectes paral004.pdf|600px|center]] [[File:Rectes paral004.pdf|600px|center|page 2]] {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Solució:}} |- |Només cal fixar-se en els angles que es situen mirant cap a un mateix lloc, anomenats '''angles corresponents''', si són iguals ja hem acabat per que segur que les rectes són paral·leles. La forma a lo bèstia seria trobar tots els angles i veure si un parell d'angles corresponets són iguals, en aquest mètode hi ha perill de fer errades. a) Les rectes a i c són paral·leles perquè els seus angles corresponents són de 90° tots dos. b) Les rectes a i c són paral·leles perquè si busquem l'angle oposat a 80° també es 80° i per tant veiem que els angles corresponents són iguals. c) Les rectes b i a NO són paral·leles perquè encara que tinguin el mateix color, els angles corresponents són diferents <math>81^{\circ}\neq 82^{\circ}.</math> d) Les rectes a i c són paral·leles perquè l'angle consecutiu a 100° (l'angle del costat dret) és 80°, per tant els angles corresponents són iguals. e) Les rectes a i c són paral·leles perquè els seus angles corresponents són de 110° tots dos. f) Les rectes a i b NO són paral·leles perquè per que els angles corresponents no són iguals, <math>100^{\circ}\neq 101^{\circ}.</math> g) Les rectes a i b són paral·leles perquè l'angle consecutiu a 87° (l'angle per per sota) és 93°, per tant és igual a l'altre angle de 93°. h) Les rectes a i c NO són paral·leles perquè si busquem angles corresponents, veurem que no són iguals, 110° i 70°. Si mirem angles conjugats <math>110^{\circ}+ 110^{\circ}\neq 180^{\circ}.</math> i) Les rectes a i c són paral·leles ja que l'angle entre '''a''' i '''c''' és <math>60^{\circ}+60^{\circ}=60^{\circ}</math> i si els sumem dona 180°. j) Les rectes a i b NO són paral·leles fins que no ens diguin almenys un angle entre '''c''' i '''b'''. (La millor resposta es "no se sap"). k) Només cal pensar en parelles de rectes, per descartar-les: d i b NO són paral·leles per tenir angles corresponents diferents, així a i c NO ho són per la mateixa raó. L) Aquesta és la pregunta del deu: si fem una paral·lela a la recta a que pasi pel vèrtex del angle recte veurem que buscant angles apareixen per duplicat tots els corresponets iguals. De fet els dos triangles petits tenen els mateixos angles que en sumar-los ha de ser 180°. 2) Càlcul: :a) 2° 30' 45" + 3° 30' 45" = 5° 60' 90" =(arreglant)= 6° 1' 30". ::<math>\begin{array}{cccc} & 2^\circ & 30' & 45''\\ +& 3^\circ & 30' & 45''\\ \hline & 5^\circ & 60' & 90''\\ & & +1' & -60''\\ & +1^\circ & -60'\\ \hline & 6^\circ & 1' & 30''\\ \end{array}</math> :b) 1° 50' 59" + 58° 50' 59" = 59° 100' 118" =(arreglant)= 60° 41' 58". ::<math>\begin{array}{cccc} & 1^\circ & 50' & 59''\\ +& 58^\circ & 50' & 59''\\ \hline & 59^\circ & 100' & 118''\\ & & +1' & -60''\\ & +1^\circ & -60'\\ \hline & 60^\circ & 41' & 58''\\ \end{array}</math> :c) Arreglem la primera xifra per poder restar: 1° 1' 1" = 0° 60' 61" ara ja el podem restar: 0° 60' 60" - 0° 2' 2" = 0° 58' 59". ::<math>\begin{array}{cccc} & 1^\circ & 1' & 1''\\ -& 0^\circ & 2' & 2''\\ \hline\end{array}</math> ::Arreglem la primera fila ja que hi ha nombres més petits que a sota seu, per tant inflem les xifres, vegem-ho : ::<math>\begin{array}{cccc} & 1^\circ & 1' & 1''\\ & & -1' & +60''\\ & -1^\circ & +60'\\ \hline & 0^\circ & 60' & 61''\\ \end{array}</math> ::Ara ja podem fer la resta com sempre: ::<math>\begin{array}{cccc} & 0^\circ & 60' & 61''\\ -& 0^\circ & 2' & 2''\\ \hline & 0^\circ & 58' & 59''\\ \end{array}</math> :d) Podem multiplicar perfectament i dona 3° 120' 150" arreglat 5° 2' 30". També podem sumar tres cops 1° 40' 50" i surt el mateix. ::::<math>\begin{array}{cccc} & 1^\circ & 40' & 50''\\ \times& & & 3\\ \hline & 3^\circ & 120' & 150''\\ & & +1' & -60''\\ & +1^\circ & -60'\\ \hline & 4^\circ & 61' & 90''\\ & & +1' & -60''\\ & +1^\circ & -60'\\ \hline & 5^\circ & 2' & 30''\\ \end{array}</math> 3) Qüestion: :a) 1° és com les hores, tenen 60' (minuts). :b) De 180' (minuts) puc treure tres vegades 60' (minuts) per tant surten 180/60 = 3° (graus). :c) De 10° podem treure 10 vegades 60' (minuts) per tant surten 10 · 60 = 600' (minuts). :d) 60" (segons) és 1' (minut). :e) De 2' (minuts) puc treure dues vegades 60" (segons) per tant surten 120" (segons). :f) De 600" (segons) si 60"=1' puc treure 600/60 = 10' (minuts). 4) GPS: :a) Regla de tres, si 360° és 40000 km llavors 1° és x, càlculs x = 1° · 40000 km / 360° = 111,111 km. :b) Regla de tres, si 60' és 111,111 km llavors 1' és x, càlculs x = 1' · 111,111 km / 60' = 1,851 km. :c) Regla de tres, si 60" és 1,851 km llavors 1" és x, càlculs x = 1" · 1,851 km / 60" = 0,0308 km = 30,8 metres. |} Full 2 d'exercicis: [[File:Visió general angle3.pdf|600px|center]] {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Solució:}} |- |1) Deducció de la mesura dels angles: Recordeu sempre que una recta horitzontal porta un angle de 180° amagat i un quadrat indica un angle de 90° :a) La recta horitzontal indica que la suma dels tres angles és 180°, per tant 180°=60°+α+60°, per tant l'angle que falta té el valor de α=60°. :b) El quadrat vol dir que les dues rectes tenen angle de 90° a tots quatre costats, per tant α=90°. :c) La recta horitzontal indica que 180°=60°+α+90°, per tant l'angle que falta té 30°. :d) La recta horitzontal indica que 180°=45°+90°+α, per tant l'angle que falta té 45°. :e) Tots els angles sumats entrorn d'un vèrtex sumen 360°, per tant 360°=30°+90°+α+90°, per tant l'angle que falta és α=150°, per que en sumar-los tots dona 360°. :f) Fixem-nos que l'angle de 60° és la suma de α+45°, ja que tenen els mateixos costat, per tant l'angel que falta és α=15°. 2) Lo mateix que que abans, cal trobar α. :a) Recta horitzontal, per tant 180°=120°+α+α, per tant α+α és 60° en total, i per tant α=30°. :b) Recta horitzontal, per tant 180°=α+100°+α, per tant α+α és 80° en total, i per tant α=40°. :c) 108° té mateixos costats que la suma dels dos petit, per tant 108°=α+α, i per tant α=54°. 3) Angles sobre tangents a rectes paral·leles. :Entorn de l'angle de 50° tenim 130°, 50°, 130°. :Sota de l'angle de 50° tornem a tenir 50°, 130°, 50°, 130°. :Entorn de l'angle de 130° tenim 50°, 130°, 50°. :Sobre de l'angle de 130° tenim també 50°, 130°, 50°, 130°. :Podem dibuixar una segona paral·lela sobre el vèrtex de l'angle que està sol, i veureu clarament que és la suma de dos angles de 50°, per tant és 100°. |} == Plànol == [[Matemàtiques I ESO|Resta de seccions de primer d'ESO.]] == Anotacions == [[Category:Matemàtiques de primer d'ESO]] [[Category:CA]] 4vtiai7d0mpmhsvzij4x1mkyas5seue 0 42085 373568 319032 2025-06-21T01:52:32Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373568 wikitext text/x-wiki Esborrany per fer temaris, de moment hi ha uns quants links == Els nombres == == Equacions == Exercicis full 1: [[File:Resolució de sistemes 001.pdf|thumb|center|700px]] [[File:Resolució de sistemes 001.pdf|page=2|thumb|center|700px]] Solució: Exercici full 2: [[File:Resolució de sistemes 002.pdf|thumb|center|700px]] [[File:Resolució de sistemes 002.pdf|page=2|thumb|center|700px]] Solució: [[Category:Material de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] qup48e22e76sebhxwhxfae762lznko3 14 42087 373587 350625 2025-06-21T01:55:40Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373587 wikitext text/x-wiki Suposem que la assignatura és hipotecament material. [[Category:Material de tercer d'ESO]] [[Category:Matemàtiques d'ESO]] [[Category:CA]] p6lm233w7gj4wmq3qu1r5awg4ddvs20 0 44940 373508 331745 2025-06-21T01:41:49Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373508 wikitext text/x-wiki Matemàtiques del itinerari científic == Tema 0 == '''Recordatori''' i reforç per adequar la diversitat. === Equacions === === Potencies i arrels === === Sistemes d'equacions === == Tema 1 == '''Els nombres''' i llurs propietats. == Tema 2 == '''Trigonometria''' i aplicacions. == Tema 3 == '''Polinomis''' i arrels. == Tema 4 == Funcions '''exponencial''' i '''logaritmica'''. == Tema 5 == Límits i derivades. La '''recta''' com a funció. == Tema 6 == Funcions en general. [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] i3khh3dx2tw3epushbjzwtpko12xvp3 14 44941 373584 331555 2025-06-21T01:55:30Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373584 wikitext text/x-wiki Categoria que agrupa els temaris de batxillerat orientats a les diferents modalitats, de moment hi ha '''científic''', '''socials''' i '''humanístic'''. [[Category:Escola secundària]] [[Category:CA]] gypk26plbaa0hf705s6tx474guy8y99 14 44942 373583 331558 2025-06-21T01:55:27Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373583 wikitext text/x-wiki Categoria per agrupar tots els temaris de matemàtiques de cada modalitat, posteriorment es poden agrupar en més subcategories. [[Category:Matemàtiques]] [[Category:Batxillerat]] [[Category:CA]] a7cufcvf9hq57c08z7t4fqbwx7o66rm 0 44952 373513 363732 2025-06-21T01:41:54Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373513 wikitext text/x-wiki Petites taules per fer derivades suficients de primer de batxillerat en general. S'han afegit algunes curiositats per qui vulgui saber més. Taula dels '''diferents''' símbols i notacions utilitzats per a funcions, derivades, constants i constants conegudes. {| class="wikitable" style="background:#fff;" !valign="top" width="160 px"|'''Funcions !valign="top" width="140 px"|'''Derivades''' !valign="top" width="120 px"|'''Constant''' !valign="top" width="160 px"|'''Constants conegudes''' |- | <math>\begin{array}{c}f(x), g(x), h(x), \dots \\ f, g, h, \dots \\ u, v, w\\ x, y, z \end{array}</math> | <math>\begin{array}{rcl}f(x) & \to & f'(x) \\ f & \to & Df\\ f & \to & \frac{df}{dx}\\ y & \to & y'\\ u & \to & u'\\ v & \to & v' \end{array}</math> | <math>\begin{array}{c} k\\ a, b, c, \dots \in \mathbb{R}\\ m, n, \dots \in \mathbb{N}\\ r, s, \dots \end{array}</math> | <math>\begin{array}{l} \pi=3,141\,592\,653\,589\,793\dots\\ e=2,718\,281\,828\,459\,045\dots\\ \phi=1,618\,033\,988\,749\,894\dots\\ \sqrt{2}=1,414\,213\,562\,373\,095\dots\end{array}</math> |} {| class="wikitable" ! N° ! Funció ! Funció derivada ! Exemples |- |1||<math>f(x)=k</math>||<math>f'(x)=0</math>||<math>\begin{array}{lcl}f(x)=4 & \to & f'(x)=0 \\ f(x)=2\pi+e+\sqrt{2} & \to & f'(x)=0 \\ f(x)=Sin(2\pi+1) & \to & f'(x)=0 \end{array}</math> |- |2||<math>f(x)=x^n</math>||<math>f'(x)=n\cdot x^{n-1}</math> on <math>n\neq 0</math> |rowspan="2"|<math>\begin{array}{lcl} f(x)=x^{-3} & \to & f'(x)=-3x^{-4}\\ f(x)=x^1 & \to & f'(x)=1x^0=1 \\ f(x)=x^2 & \to & f'(x)=2x \\ f(x)=x^5 & \to & f'(x)=5x^4 \end{array}</math> |- |2.1||<math>f(x)=x</math>||<math>f'(x)=1</math> |- |3||<math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math>||<math>f'(x)=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}</math> |rowspan="2"|<math>\begin{array}{lcl}f(x)=\sqrt[2]{x} & \to & f'(x)=\frac{1}{2\sqrt[2]{x}} \\ f(x)=\sqrt[3]{x} & \to & f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}} \\ f(x)=\sqrt[7]{x} & \to & f'(x)=\frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}} \end{array}</math> |- |3.1||<math>f(x)=\sqrt{x}</math>||<math>f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math> |- |4||<math>f(x)=a^x</math>||<math>f'(x)=a^x\cdot\ln a</math> |rowspan="2"|<math>\begin{array}{lcl}f(x)=4^x & \to & f'(x)=4^x\cdot\ln 4\\ f(x)=3\cdot e^x -5x+4 & \to & f'(x)=3e^x-5 \end{array}</math> |- |4.1||<math>f(x)=e^x</math>||<math>f'(x)=e^x</math> |- |5||<math>f(x)=\log_ax</math>||<math>f'(x)=\frac{1}{x\cdot\ln a}</math> |rowspan="2"|<math>\begin{array}{lcl}f(x)=\log_2x & \to & f'(x)=\frac{1}{x\cdot\ln 2}\\ f(x)=x\ln x & \to & f'(x)=1\cdot\ln x+x\frac{1}{x}\end{array}</math> |- |5.1||<math>f(x)=\ln x</math>||<math>f'(x)=\frac{1}{x}</math> |- |6||<math>f(x)=\sin x</math>||<math>f'(x)=\cos x</math> |rowspan="3"|<math>\begin{array}{lcl}f(x)=5\sin x & \to & f'(x)=6\cos x\\ f(x)=2\cos x-3\ln x & \to & f'(x)=-2\sin x-\frac{3}{x}\\ f(x)=\frac{\tan x}{3}-\frac{2\cos x}{5} & \to & f'(x)=\frac{1}{3\cos^2x}+\frac{2\sin x}{5}\end{array}</math> |- |7||<math>f(x)=\cos x</math>||<math>f'(x)=-\sin x</math> |- |8||<math>f(x)=\tan x</math>||<math>f'(x)=\frac{1}{\cos^2x}</math> |- |9||<math>f(x)=\arcsin x</math>||<math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> |rowspan="3"|<math>\begin{array}{lcl}f(x)=2\arcsin x & \to & f'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\\ f(x)=x\cdot\arctan x & \to & f'(x)=\arctan x+\frac{x}{1+x^2}\end{array}</math> |- |10||<math>f(x)=\arccos x</math>||<math>f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> |- |11||<math>f(x)=\arctan x</math>||<math>f'(x)=\frac{1}{1+x^2}</math> |} {| class="wikitable" ! N° ! Operació ! Funció derivada ! Exemples |- |1||<math>u+v</math>||<math>(u+v)'=u'+v'</math>||<math>\begin{array}{lcl}f(x)=x^4+6 & \to & f'(x)=4\cdot x^3 + 0 = 4x^3\\ f(x)=\pi + e\cdot 3 + \sqrt{x} & \to & f'(x)=0+0+\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}</math> |- |2||<math>u\cdot v</math>||<math>(u\cdot v)'=u'\cdot v + u\cdot v'</math> |rowspan="2"|<math>\begin{array}{lcl}f(x)=x^2\cdot \sqrt{x} & \to & f'(x)=2 x\cdot\sqrt{x}+x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=2x\sqrt{x}+x\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{5}{2}x\sqrt{x}\\ f(x)=5x^2+3x & \to & f'(x)=5(x^2)'+3(x)'=5\cdot 2x+3\cdot 1=10x+3 \end{array}</math> |- |2.1||<math>k\cdot v</math>||<math>(k\cdot v)'=k\cdot v'</math> |- |3||<math>\frac{u}{v}</math>||<math>\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'\cdot v - u\cdot v'}{v^2}</math> |rowspan="3"|<math>\begin{array}{lcl}f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x}} & \to & f'(x)=\frac{2x\cdot\sqrt{x}-x^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x}\right)^2}=\frac{2x\sqrt{x}-x\cdot\frac{1}{2}\sqrt{x}}{x}=\frac{3}{2}\sqrt{x}\\ f(x)=\frac{x}{3}-\frac{3x^2}{5} & \to & f'(x)=\frac{1}{3}-\frac{6x}{5}\\ f(x)=\frac{1}{x} & \to & f'(x)=-\frac{1}{x^2}\\ f(x)=\frac{5}{x}-\frac{3}{x^2} & \to & f'(x)=-\frac{5}{x^2}-\left(-\frac{3\cdot 2x}{\left(x^2\right)^2}\right)=-\frac{5}{x^2}+\frac{6}{x^3}\end{array}</math> |- |3.1||<math>\frac{u}{k}</math>||<math>\left(\frac{u}{k}\right)'=\frac{u'}{k}</math> |- |3.2||<math>\frac{k}{v}</math>||<math>\left(\frac{k}{v}\right)'=\frac{- k\cdot v'}{v^2}</math> |- |4||<math>f\left(g(x)\right)</math>||<math>\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'(g(x))\cdot g'(x)</math>||Regla de la cadena <math>f(x)=\cos x^2</math> <math>\to</math> <math>f'(x)=-\sin x^2\cdot 2x</math> |} [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] e731sdgzq3wl4g2mvg64azwyd21twxh 0 45030 373499 333014 2025-06-21T01:41:41Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373499 wikitext text/x-wiki Els nombres és l'eina més important des de fa milers d'anys. En aquests últims segles ha obtingut una normalització més rigorosa i el seu ús s'ha generalitzat moltíssim. === Esquema general === <math> Complexos\;\mathbb{C} \begin{cases} Reals\;\mathbb{R} \begin{cases} Racionals\;\mathbb{Q} \begin{cases} Enters\;\mathbb{Z} \begin{cases} Naturals\;\mathbb{N}\\ Cero\;0\\ Enters\;negatius \end{cases}\\ Fraccionaris \end{cases}\\ Irracionals\;\mathbb{I} \end{cases}\\ Imaginaris\;i\mathbb{R} \end{cases} </math> Descripció de l'esquema donant els elements de cada conjunt: :<math>\mathbb{N}=</math> <math>\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,\dots,\,n,\,\dots\}</math> :<math>\mathbb{Z}=</math> <math>\mathbb{N}\cup{0}\cup\{-1,\,-2,\,-3,\,-4,\,-5,\,-6,\,\dots\}=</math><math>\{\dots,\,-5,\,-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,\dots\}</math> :<math>\mathbb{Q}=</math> <math>\{\dots,\,-\frac{2}{2},\,-\frac{3}{1},\,-\frac{1}{2},\,-\frac{2}{1},\,-\frac{1}{1},\,\frac{0}{1},\,\frac{1}{1},\,\frac{2}{1},\,\frac{1}{2},\,\frac{3}{1},\,\frac{2}{2},\,\frac{1}{3},\,\frac{4}{1},\,\dots\}</math> Els nombres que no poden ser representats com a fraccions s'anomenen nombres irracionals, <math>\mathbb{I}</math>: :<math>\mathbb{I}=</math> <math>\{\sqrt{2},\,e,\,\pi,\,\sqrt{3},\,\sqrt[3]{5},\,\dots\}</math> ==== Nombres decimals ==== Els nombres decimals poden representar els nombres <math>\mathbb{Q}</math> utilitzant la notació de període. Els ordinadors i calculadores a l'hora de fer els càlculs utilitzen una part molt petita dels nombres decimals ja que no tenen espai intern i a més estan restringits a la notació binaria. :Decimals exactes: <math>3,5</math> :Decimals periòdics purs: <math>4,\widehat{31}</math> :Decimals periòdics mixtes: <math>122,35\,\widehat{274}</math> ==== Notació científica ==== Notació molt fàcil d'usar i pràctica amb una amplia gamma de valors aproximats i intuïtius: Exemple: <math>3,9001\cdot 10^3</math> Parts del número en notació científica: :El 3 és la part entera escrita amb una sola xifra diferent de zero. :El 9001 és la part decimal. :<math>10^3</math> ens indica la escala d'aquest nombre, si és molt gran o petitíssim. També es poden evitar exponents grans o petits fent canvis d'unitats. == Notas == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] ist4uewjb1914v8af8daaz25iwdvtbe 0 45036 373503 364218 2025-06-21T01:41:45Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373503 wikitext text/x-wiki Exercicis de derivades destinat a batxillerat. * [[Taula derivades-batx|Taula de derivades de funcions del 1 fins al 6, i totes les operacions]] Per treballar autònomament es pot fer servir aquestes dues eines:[[File:Symbolab logo.png|100px|right]][[File:PhotoMath Logo.png|100px|right]] *La [https://es.symbolab.com/ web de Symbolab] que treballa amb notació LaTeX: :Per enganxar una fórmula s'ha de activar editar i buscar al fórmula, seleccionar-la i enganxar-la a la web Symbolab, no seleccioneu les dues capsules seguents <nowiki><math></math></nowiki> pròpies de "wikipedia", només lo que està dins d'elles. :: <nowiki><math>\left(frac{1}{x}+x^3-4x^2+5\right)'</math></nowiki> *També es pot utilitzar l'aplicació [https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Alpha Wolfram Alpha] que fa el mateix. *També es pot utilitzar l'aplicació [https://es.wikipedia.org/wiki/Photomath Photomath] que permet amb una càmera resoldre problemes enunciats físicament que es puguin veure. == Bàsic == ;Exemple: Derivada segons la taula de [Taula_derivades-batx derivades] P1, P2, P2.1 i P3. 1) <math>f(x)= x^3</math> aplicant P2. <math>\rightarrow f'(x)=( x^3)'=3\cdot x^{3-1}=3x^2</math> 2) <math>f(x)= \sqrt[3]{x}</math> aplicant P3. <math>\rightarrow f'(x)=( \sqrt[3]{x})'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{3-1}}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}</math> 3) <math>f(x)= \sqrt[5]{x}</math> aplicant P3. <math>\rightarrow f'(x)=( \sqrt[5]{x})'=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^{5-1}}}=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}</math> 4) <math>f(x)= x^5</math> aplicant P2. <math>\rightarrow f'(x)=( x^5)'=5\cdot x^{5-1}=5x^4</math> 5) <math>f(x)= x^{\frac{5}{2}}</math> aplicant P2. <math>\rightarrow f'(x)=(x^{\frac{5}{2}})'=\frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1}=\frac{5}{2}x^\frac{2}{2}</math> === Linealitat de la derivada === === Multiplicació de funcions === A partir d'ara per aplicar els mètodes omplireu el requadre fg que teniu a la dreta. {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" |- |width=150px|<math>f(x)=</math> |width=150px|<math>f\,'(x)=</math> |- |<math>g(x)=</math>||<math>g\,'(x)=</math> |} ::<math>\left(f(x)\cdot g(x)\right)'</math> <math>=f\,'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g\,'(x)</math> ;Exemples: === Divisió de funcions === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" |- |width=150px|<math>f(x)=</math> |width=150px|<math>f\,'(x)=</math> |- |<math>g(x)=</math>||<math>g\,'(x)=</math> |} ::<math>\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'</math> <math>=\frac{f\,'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g\,'(x)}{g(x)^2}</math> ;Exemples: {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 0px" width="100%" |width="50%" height="55px"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) <math>h(x)=\frac{x-3}{x^2}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{x-3}{x^2}\right)'=</math> <math>\frac{1\cdot\left(x^2\right)-(x-3)\cdot 2x}{\left(x^2\right)^2}=</math> <math>\frac{x^2-(x-3)\cdot 2x}{x^4}=</math> <math>\frac{x-(x-3)\cdot 2}{x^3}=</math> <math>\frac{x-2x+6}{x^3}=</math> <math>\frac{-x+6}{x^3}</math> Compareu aquest altre procediment: <math>h'(x)=\left(\frac{x-3}{x^2}\right)'=</math> <math>\left(\frac{x}{x^2}-\frac{3}{x^2}\right)'=</math> <math>\left(\frac{1}{x}\right)'-\left(\frac{3}{x^2}\right)'=</math> <math>-\frac{1}{x^2}+2\cdot\frac{3}{x^3}=</math> <math>-\frac{1}{x^2}+\frac{6}{x^3}=</math> <math>\frac{-x+6}{x^3}</math> |} |width="50%" height="55px"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) <math>h(x)=\frac{x^4-1}{x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{x^4-1}{x}\right)'=</math> <math>\frac{\left(4x^3\right)\cdot x-\left(x^4-1\right)\cdot 1}{x^2}=</math> <math>\frac{4x^4-x^4+1}{x^2}=</math> <math>\frac{3x^4+1}{x^2}</math> |} |- |width="50%" height="55px"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) <math>h(x)=\frac{\sqrt{x}+x}{x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{\sqrt{x}+x}{x}\right)'=</math> <math>\frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)\cdot x-\left(\sqrt{x}+x\right)\cdot 1}{x^2}=</math> <math>\frac{\frac{x}{2\sqrt{x}}+x-\sqrt{x}-x}{x^2}=</math> <math>\frac{\frac{x\cdot\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}+x-\sqrt{x}-x}{x^2}=</math> <math>\frac{\frac{1}{2}\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-x}{x^2}=</math> <math>\frac{\left(\frac{1}{2}-1\right)\sqrt{x}+x-x}{x^2}=</math> <math>\frac{-\frac{1}{2}\sqrt{x}}{x^2}=</math> <math>-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{x}}{x^2}</math> |} |width="50%" height="55px"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |4) <math>h(x)=\frac{x\sqrt{x}}{x^3}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{x\sqrt{x}}{x^3}\right)'=</math> <math>\left(\frac{\sqrt{x}}{x^2}\right)'=</math> <math>\frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\cdot x^2-\sqrt{x}\cdot 2x}{\left(x^2\right)^2}=</math> <math>\frac{\frac{1\cdot\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}\cdot x^2-\sqrt{x}\cdot 2x}{\left(x^2\right)^2}=</math> <math>\frac{\frac{\sqrt{x}}{2x}\cdot x^2-\sqrt{x}\cdot 2x}{x^4}=</math> <math>\frac{\frac{\sqrt{x}}{2}\cdot x-\sqrt{x}\cdot 2x}{x^4}=</math> <math>\frac{\frac{\sqrt{x}}{2}-\sqrt{x}\cdot 2}{x^3}=</math> <math>-\frac{3}{2}\frac{\sqrt{x}}{x^3}</math> Compareu aquest altre procediment: <math>h'(x)=\left(\frac{x\sqrt{x}}{x^3}\right)'=</math> <math>\left(x^{1+\frac{1}{2}-3}\right)'=</math> <math>\left(x^{-\frac{3}{2}}\right)'=</math> <math>-\tfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}</math> |} |- |width="50%" height="55px"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |5) <math>h(x)=\frac{3+x}{x^2}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{3+x}{x^2}\right)'=</math> <math>\frac{(3+x)'\cdot x^2-(3+x)\cdot(x^2)'}{(x^2)^2}=</math> <math>\frac{1\cdot x^2-(3+x)\cdot2x}{x^4}=</math> <math>\frac{x-(3+x)\cdot2}{x^3}=</math> <math>\frac{x-6-2x}{x^3}=</math> <math>\frac{-x-6}{x^3}</math> Compareu aquest altre procediment: <math>h'(x)=\left(\frac{3}{x^2}+\frac{x}{x^2}\right)'=</math> <math>\left(\frac{3}{x^2}\right)'+\left(\frac{1}{x}\right)'=</math> <math>-\frac{6}{x^3}-\frac{1}{x^2}</math> |} |width="50%" height="55px"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |6) <math>h(x)=\frac{1}{x^8+x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{1}{x^8+x}\right)'</math> <math>=\frac{(1)'(x^8+x)-1\left(x^8+x\right)'}{(x^8+x)^2}</math> <math>=\frac{0(x^8+x)-1\left(8\cdot x^7+1\right)}{(x^8+x)^2}</math> <math>=-\frac{8x^7+1}{(x^8+x)^2}</math> També es pot fer servir l'esquema, deixant parèntesis intencionadament per donar força a la composició: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #faa" |- |width="120px" style="border: 1px solid #faa"|<math>f(x)=\frac{1}{x}</math> |style="border: 1px solid #faa"|<math>f'(x)=-\frac{1}{x^2}</math> |- |style="border: 1px solid #faa"|<math>g(x)=x^8+x</math> |style="border: 1px solid #faa"|<math>g'(x)=8x^7+1</math> |} <math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'</math> <math>=f'\big(g(x)\big)g'(x)</math> <math>=-\frac{1}{(x^8+x)^2}\cdot\left(8 x^7+1\right)</math> |} |- |width="50%" height="55px"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |7) <math>h(x)=\frac{x^2+\ln x}{\sqrt[4]{x}}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{x^2+\ln x}{\sqrt[4]{x}}\right)'</math> <math>=\frac{\left(x^2+\ln x\right)'\sqrt[4]{x}-(x^2+\ln x)\left(\sqrt[4]{x}\right)'}{(\sqrt[4]{x})^2}</math> <math>=\frac{(2x+\frac{1}{x})\sqrt[4]{x}-(x^2+\ln x)\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} }{(\sqrt[4]{x})^2}</math> <math>=\frac{(2x+\frac{1}{x})\sqrt[4]{x}-(x^2+\ln x)\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} }{\sqrt{x}}.</math> |} |width="50%" height="55px"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |8) <math>h(x)=\frac{x^2-xe^x}{e^x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{x^2-xe^x}{e^x}\right)'</math> <math>=\frac{\left(\color{Red}{x^2-xe^x}\right)'e^x-(x^2-xe^x)\left(e^x\right)'}{\left(e^x\right)^2}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #faa" |- |width="120px" style="border: 1px solid #faa"|<math>f(x)=x^2-x\cdot e^x</math> |style="border: 1px solid #faa"|<math>f'(x)=2x-\left(\left(x\right)'e^x+(x)\left(e^x\right)'\right)</math> <math>=2x-(1\cdot e^x+x\cdot e^x)</math> <math>=2x-e^x-xe^x</math> |} <math>h'(x)=\frac{\left(2x-e^x-xe^x\right)e^x-(x^2-xe^x)e^x}{\left(e^x\right)^2}</math> Reduint <math>e^x</math> a numerador i denominador tenim: <math>h'(x)=\frac{\left(2x-e^x-xe^x\right)-(x^2-xe^x)}{\left(e^x\right)}</math> <math>=\frac{2x-e^x-xe^x-x^2+xe^x}{e^x}</math> <math>=\frac{2x-e^x-x^2}{e^x}</math> ---- Una forma diferent seria convertir-ho en una resta de la forma: <math>h'(x)=\left(\frac{x^2}{e^x}-\frac{xe^x}{e^x}\right)'</math> <math>=\left(\frac{x^2}{e^x}-x\right)'</math> <math>=\left(\frac{x^2}{e^x}\right)'-1</math> <math>=\frac{\left(x^2\right)'e^x-(x^2)\left(e^x\right)'}{\left(e^x\right)^2}-1</math> <math>=\frac{2x\cdot e^x-(x^2)\cdot e^x}{\left(e^x\right)^2}-1</math> <math>=\frac{2x-x^2}{e^x}-1</math> Que finalment és el mateix que el que havia quedat abans, comproveu-lo. |} |- |width="50%" height="55px"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |9) <math>h(x)=\frac{x^2\ln x+\ln x}{(x-1)\ln x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| |} |width="50%" height="55px"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |10) <math>h(x)=\frac{2-\sqrt{2}+\pi}{1+x^2+x^3}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| |} |} === Composició de funcions === Exercicis per aplicar la composició de funcions directament conegut com '''regla de la cadena'''. {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" |- |width=150px|<math>f(x)=</math> |width=150px|<math>f\,'(x)=</math> |- |<math>g(x)=</math>||<math>g\,'(x)=</math> |} ::<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f\,'\big(g(x)\big)\cdot g\,'(x)</math> ;Exemples: {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) <math>h(x)=e^{x+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Esquema, deixant parèntesis intencionadament per donar força a la composició: :{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" |- |width=200px|<math>f(x)=e^{(x)}</math> |<math>f'(x)=e^{(x)}</math> |- |<math>g(x)=x+1</math> |<math>g'(x)=\left(x+1\right)'=1</math> |} <math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'\big(g(x)\big)g'(x)=e^{x+1}\cdot 1</math> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) <math>h(x)=(3x^2-4)^2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|... |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) <math>h(x)=\frac{1}{x^2-x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|... |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |4) <math>h(x)=\ln(x+1)</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|... |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |5) <math>h(x)=\sqrt[3]{x+2}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|... |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |6) <math>h(x)= \sqrt[5]{e^x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|... |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |7) <math>h(x)=\ln(\sqrt{x})</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|... |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |8) <math>h(x)=\frac{1}{(x+1)^2}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|... |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |9) <math>h(x)=\sqrt{\ln x+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|... |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució *" data-collapsetext="Ocultar" |- |10) <math>h(x)=(3x^2-5x)^3</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Esquema, deixant parèntesis intencionadament per donar força a la composició: :{| |- |width=200px|<math>f(x)=(x)^3</math> |<math>f'(x)=3(x)^2</math> |- |<math>g(x)=3x^2-5x</math> |<math>g'(x)=3\cdot 2\cdot x-5=6x-5</math> |} <math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'\big(g(x)\big)g'(x)=3(3x^2-5x)^2 (6x-5)</math> [https://www.youtube.com/watch?v=m_5-WS9Nd68 Tutorial] |} === Autoservei d'exercicis === A continuació es donen dues taules per servir-nos els nostres propis exercicis que volem practicar, recordant que hi ha eines online per resoldre'ls. {|class="wikitable" style="background:#fff;" cellspacing="0" cellpadding="3" |- |colspan="6" style="background:#ddf" align="center"|'''Funcions <math>f(x)</math> i <math>g(x)</math>''' |- |colspan="2" rowspan="2"| |colspan="4" align="center" style="background:#def"|<math>f(x)</math> |- |<math>P(x)</math>||<math>\sqrt[n]{x}</math>||<math>a^x</math>||<math>\log_a{x}</math> |- |rowspan="4" style="background:#def"|<math>g(x)</math> |<math>P(x)</math> |align="center"|1,1 |align="center"|1,2 |align="center"|1,3 |align="center"|1,4 |- |<math>\sqrt[n]{x}</math> |align="center"|2,1 |align="center"|2,2 |align="center"|2,3 |align="center"|2,4 |- |<math>a^x</math> |align="center"|3,1 |align="center"|3,2 |align="center"|3,3 |align="center"|3,4 |- |<math>\log_a{x}</math> |align="center"|4,1 |align="center"|4,2 |align="center"|4,3 |align="center"|4,4 |} Desprès de decidir les funcions corresponents a '''f''' i '''g''' heu de escollir una de les operacions següents i derivar-la per practicar totes les possibles derivades existents, de fet es poden ajuntar '''moltes''' funcions i després derivar-les, però millor a poc a poc. {|class="wikitable" style="background:#fff;" cellspacing="0" cellpadding="3" |- |1.||<math>f(x)+g(x)</math> |- |2.||<math>f(x)\cdot g(x)</math> |- |3.||<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math> |- |4.||<math>f\circ g (x)=f\big(g(x)\big)</math> |} '''Exemple:''' 1.- A la primera taula agafen el requadre 2,3 per tant pot ser <math>f(x)=\sqrt[3]{x}</math> i <math>g(x)=e^x.</math> Per tant si a la segona taula escollim el número 3, la nostra [[Taula_derivades-batx|derivada]] a fer és: :<math>\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{e^x}\right)=\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{e^x}\right)'.</math> 2.- A la primera taula agafen el requadre 3,4 per tant pot ser <math>f(x)=2^x</math> i <math>g(x)=\log_5 x.</math> Per tant si a la segona taula escollim el número 4, la nostra [[Taula_derivades-batx|derivada]] a fer és: :<math>\frac{d}{dx}\left(2^{\log_5 x}\right)=\left(2^{\log_5 x}\right)'.</math> ==== Composicions de funcions successives ==== === Derivada de la funció potencial-exponencial === == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 43wtoixvs0kb8n69kiy2r3aqyndveaa 0 45169 373511 335979 2025-06-21T01:41:52Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373511 wikitext text/x-wiki Definició algebraica de polinomi, es donen els conceptes elementals del que és un polinomi i la seva identificació extensament. == Definicions == Un '''monomi''' o terme és un conjunt de valors constants(coeficients) i variables amb potències enteres que es multipliquen. === '''Exemple de monomis:''' === :1) <math>3\cdot x</math> el punt de multiplicació es pot estalviar <math>3x</math> :2) -7 :3) <math>xy</math> :4) <math>a8x^5</math> :5) <math>-5x^2y^32</math> els valors es poden multiplicar <math>-10x^2y^3</math> [[File:Expresión algebraica.svg|right|250px]] Un '''polinomi''' no és més que sumes de [https://www.youtube.com/watch?v=KA1JtsR_NT4 monomis] o [https://www.youtube.com/watch?v=zqoPv_l0X20 termes] i, per tant, veurem que són multiplicacions separades per sumes i restes. A la imatge veiem assenyalats els termes del polinomi <math>-2x^2+20-x+\sqrt{3}y</math> === '''Exemples de polinomis:''' === :1) <math>-3xz+5yx^3-12xy^2z-3</math> és un polinomi en arbitrari amb 4 termes. :2) <math>2-3x+x^2+5x^3+7x^4-9x^5</math> és el tipus de polinomis que més usarem amb 6 termes. Forma algebraica general d'un polinomi p(x): ::<math>p(x)</math> <math>=a_nx^n+\dots+a_6x^6</math> <math>+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0x^0</math> on tots els coeficients <math>a_i</math> són constants i poden ser qualsevol nombre real: <math>-5, 0, \sqrt{5}, -\tfrac{3}{7}</math> o <math> 2\sqrt{3}</math>, i on '''n''' és un nombre natural(només assegura que el polinomi tingui una quantitat finita de termes). '''Exemples donant les <math>a</math> amb cada subíndex:''' :1) Quin és el polinomi <math>q(x)</math> si els únics coeficients diferents de zero són <math>a_0=1</math>, <math>a_1=-2</math>, <math>a_6=-5</math> i <math>a_8=\tfrac{12}{5}</math>? {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Solució:}} |- |Substituïm els valors sobre la forma general, donant el resultat: <math>q(x)</math> <math>=\tfrac{12}{5}x^8+0x^7+(-5)x^6+0x^5+0x^4+0x^3+0x^2+(-2)x^1+1x^0</math> Simplificant els termes multiplicats per zero i <math>x^0=1</math>, tenim que: <math>q(x)=\tfrac{12}{5}x^8+(-5)x^6+(-2)x^1+1</math>, és a dir, <math>q(x)=\tfrac{12x^8}{5}-5x^6-2x+1.</math> |} :2) Quin és el polinomi <math>r(x)</math> si els únics coeficients diferents de zero són <math>a_3=-1</math>, <math>a_4=12</math>, <math>a_5=1</math> i <math>a_6=\sqrt{2}</math>? {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Solució:}} |- |Substituïm els valors sobre la forma general, donant el resultat: <math>r(x)</math> <math>=\sqrt{2}x^6+1x^5+12x^4+(-1)x^3+0x^2+0x^1+0x^0</math> Simplificant els termes multiplicats per zero, tenim que: <math>r(x)=\sqrt{2}x^6+1x^5+12x^4+(-1)x^3</math>, és a dir, <math>q(x)=\sqrt{2}x^6+x^5+12x^4-x^3.</math> |} == Operacions == === Suma de polinomis === Els polinomis es poden sumar directament de forma horitzontal o posant un sota l'altre i sumar-lo com si fos una suma de nombres: :Cal tenir en compte que només es poden sumar els termes amb el mateix tipus de variable i potència. Exemple: ::<math>(3x^5)+(8x^{15})</math> no es pot sumar perquè un terme té variable amb potencia 5 i l'altre terme té variable amb potència 15. ::<math>(3x^{13})+(-2x^{13})=(3-2)x^{13}=1x^{13}=x^{13}</math> perquè tenen variable amb la mateixa potència i per tant aquest sí que es pot sumar. Quan els polinomis són llargs, <math>p(x)=-x^3+3x^2+x-1</math> i <math>q(x)=x^4+x^3-x^2-2x+6,</math> per sumar <math>p(x)+q(x)</math> farem servir el següent sistema. {|cellpadding="10" |style="width:300px"|<math> \begin{array}{ccc} & & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\ \begin{array}{|c|}\hline +\\ \hline \end{array} & x^4 & +x^3 & -x^2 & -2x & +6 \\ \hline & x^4 & 0 & 2x^2 & -x & +5 \\ \end{array} </math> |bgcolor="#eef"|Per sumar verticalment tindrem en compte: :1) Cal ordenar el polinomi amb les potencies decreixents, deixant zeros en cas de faltar alguna potència. :2) En posar el segon polinomi a sota cal fer correspondre les potencies iguals. |} === Producte per escalar === Podem multiplicar un polinomi, <math>p(x)=-x^3+3x^2+x-1,</math> per un nombre, <math>-2.</math> Vegem la multiplicació: {|cellpadding="10" |style="width:300px"|<math> \begin{array}{ccc} & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\ \begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & & & -2 \\ \hline & +2x^3 & -6x^2 & -2x & +2 \\ \end{array} </math> |bgcolor="#eef"|Per multiplicar el polinomi per un escalar és el mateix que fer la '''propietat distributiva''', fixeu-vos que el nombre '''-2''' multiplica als 4 termes: :<math>(-2)\cdot p(x)=-2\cdot(-x^3+3x^2+x-1)</math> <math>=(-2)\cdot(-x^3)+(-2)\cdot(3x^2)+(-2)\cdot(x)-(-2)\cdot(1)</math> <math>=+2x^3-6x^2-2x+2</math> |} === Resta de polinomis === La raó que porta a fer la resta després de la multiplicació és deguda a que convertirem la resta en suma. Suposem que volem restar a <math>p(x)=-x^3+3x^2+x-1</math> el polinomi <math>q(x)=x^4+x^3-x^2-2x+6,</math> llavors el que fem es multiplicar el polinomi que resta per '''-1''', és a dir, <math>(-1)\cdot(x^4+x^3-x^2-2x+6)</math> <math>=-x^4-x^3+x^2+2x-6</math> i ja es pot sumar, vegem la diferencia: {|cellpadding="10" |style="width:300px"|<math> \begin{array}{ccc} & & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\ \begin{array}{|c|}\hline -\\ \hline \end{array} & x^4 & +x^3 & -x^2 & -2x & +6 \\ \hline & -x^4 & -2x^3 & 4x^2 & +3x & -7 \\ \end{array} </math> |style="width:300px"|<math> \begin{array}{ccc} & & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\ \begin{array}{|c|}\hline +\\ \hline \end{array} & -x^4 & -x^3 & +x^2 & +2x & -6 \\ \hline & -x^4 & -2x^3 & 4x^2 & +3x & -7 \\ \end{array} </math> |} Recordeu que la segona proposta es per estalviar errors, en cas d'usar la primera forma directament, si ho fa correctament, també està bé. === Producte de polinomis === Podem anar més enllà que un producte per escalar i multiplicar el polinomi, <math>p(x)=-x^3+3x^2+x-1,</math> per tot un monomi qualsevol com <math>p(x)=4x^3.</math> Vegem la multiplicació: {|cellpadding="10" |style="width:300px"|<math> \begin{array}{ccc} & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\ \begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & & & 4x^3 \\ \hline & -4x^6 & +12x^5 & +4x^4 & -4x^3 \\ \end{array} </math> |bgcolor="#eef"|Per multiplicar el polinomi per un monomi és la mateixa '''propietat distributiva''', fixeu-vos que el nombre <math>p(x)=4x^3</math> multiplica als 4 termes: :<math>(4x^3)\cdot p(x)=(4x^3)\cdot(-x^3+3x^2+x-1)</math> <math>=(4x^3)\cdot(-x^3)+(4x^3)\cdot(3x^2)+(4x^3)\cdot(x)-(4x^3)\cdot(1)</math> <math>=-4x^6+12x^5+4x^4-4x^3</math> |} Ara veiem com es multipliquen dos polinomis en general com si fos el producte de dos nombres qualsevols <math>p(x)=-x^2+x-1</math> i <math>q(x)=3x^2+2x+1</math>. {|cellpadding="10" |style="width:300px"|<math> \begin{array}{ccc} & & -x^2 & +x & -1 \\ \begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & 3x^2 & 2x & 1 \\ \hline & & -x^2 & +x & -1 \\ & -2x^3 & +2x^2 & -2x & \\ -3x^4 & +3x^3 & -3x^2 & & \\ \hline -3x^4 & x^3 & -2x^2 & -x & -1 \\ \end{array} </math> |bgcolor="#eef"|Per multiplicar el polinomi en aquest cas surten tres files, que fan els tres termes del segon polinomi i són les següents: :<math>(-x^2+x-1)(1)=-x^2+x-1</math> :<math>(-x^2+x-1)(2x)=-2x^3+2x^2-2x</math> :<math>(-x^2+x-1)(3x^2)=-3x^4+3x^3-3x^2</math> Si hem col·locat ordenadament les fileres, fent correspondre les potències iguals, llavors ja podem sumar-les. |} ==== Producte notables o identitats notables ==== Encara que hi ha molts productes notables, ens interesa el cas de productes de polinomis(binomis) freqüents: Del producte <math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd</math>, que el podem fer com si fos un producte de polinomis, podem obtenir les següents identitads: 1) <math>(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab.</math> 2) <math>(x+a)(x+a)=x^2+2ax+a^2.</math> 3) <math>(x+a)(x-a)=x^2-a^2.</math> 4) <math>(x-a)(x-a)=x^2-2ax+a^2.</math> === Divisió de polinomis === Per dividir polinomis farem servir també el sistema de divisió numèric estès, és a dir, amb una resta explícita. Donats els polinomis <math>p(x)=x^4-1</math> i <math>q(x)=x-1</math> volem fer la divisió <math>p(x)\div q(x)</math> {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Passos:}} |- |El primer pas ha sigut trobar la <math>x^3</math> de forma que en '''restar''' el producte <math>(x^3)(x-1)=x^4-x^3</math> doni un zero sota les <math>x^4.</math> :<math> \begin{array}{l} \begin{array}{c} \;\;\;x^4 & \;\;\;0 & \;\;\;\;0 & \;\;\;\;0 & -1 \end{array} & \begin{array}{|c} x-1\\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{c} -x^4 & +x^3 & & & \end{array} & \begin{array}{|c|}\hline x^3 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{c} \hline \;\;\; 0 & +x^3\\ \end{array} & \end{array} </math> Un cop feta cada resta podem baixar els termes restants del polinomi a l'alçada de <math>x^3.</math> En aquest cas només he baixat un zero per que no té termes amb <math>x^2</math> perquè ajuda a espaiar les operacions, si els baixo tots quedaria el polinomi <math>x^3+0+0-1</math> res més. El següent pas és fer zeros sota les <math>x^3</math> llavors: :<math> \begin{array}{l} \begin{array}{c} \;\;\;x^4 & \;\;\;0 & \;\;\;\;0 & \;\;\;\;0 & -1 \end{array} & \begin{array}{|c} x-1\\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{c} -x^4 & +x^3 & & & \end{array} & x^3 \begin{array}{|c|}\hline +x^2 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{c} \hline \;\;\; 0 & +x^3 & \;\; 0\\ & -x^3 & +x^2 \\ \hline & \;\;\; 0 & +x^2\\ \end{array} & \end{array} </math> Continuem fent zeros sota les <math>x^2</math> llavors: :<math> \begin{array}{l} \begin{array}{c} \;\;\;x^4 & \;\;\;0 & \;\;\;\;0 & \;\;\;\;0 & -1 \end{array} & \begin{array}{|c} x-1\\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{c} -x^4 & +x^3 & & & \end{array} & x^3+x^2\begin{array}{|c|}\hline +x \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{c} \hline \;\;\; 0 & +x^3 & \;\; 0\\ & -x^3 & +x^2\\ \hline & \;\;\; 0 & +x^2 & \;\; 0\\ & & -x^2 & +x \\ \hline & & \;\;\; 0 & +x\\ \end{array} & \end{array} </math> Per últim vegem que dona en continuar fent zeros: :<math> \begin{array}{l} \begin{array}{c} \;\;\;x^4 & \;\;\;0 & \;\;\;\;0 & \;\;\;\;0 & -1 \end{array} & \begin{array}{|c} x-1\\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{c} -x^4 & +x^3 & & & \end{array} & x^3+x^2+x\begin{array}{|c|}\hline +1 \\ \hline \end{array}\\ \begin{array}{c} \hline \;\;\; 0 & +x^3 & \;\; 0\\ & -x^3 & +x^2\\ \hline & \;\;\; 0 & +x^2 & \;\; 0\\ & & -x^2 & +x \\ \hline & & \;\;\; 0 & +x & -1\\ & & & -x & +1 \\ \hline & & & \;\;\; 0 & \;\;\; 0\\ \end{array} & \end{array} </math> Per tant com que el reste és zero llavors vol dir que la divisió és exacta, és a dir: :<math>\frac{x^4-1}{x-1}=x^3+x^2+x+1</math> O també que: :<math>x^4-1=(x-1)\cdot(x^3+x^2+x+1)</math> |} Exercicis: 1) Efectueu les divisions següents seguint els passos anteriors: :a) <math>\frac{3x^4-x^3-2x^2+1}{x+1}=</math> :b) <math>\frac{x^4+5x^3+7x^2+2}{-x+2}=</math> ==== Ruffini ==== Ruffini és un mètode especial per accelerar divisions particulars, usat per cercar o assajar possibles solucions d'equacions polinòmiques. Volem convertir polinomis del tipus <math>x^2+3x+2</math> en expressions del tipus <math>(x+2)(x+1)</math> ja que sabem <math>x^2+3x+2=(x+2)(x+1)</math>, per tant es poden fer amb les divisions del tipus: ::<math>\frac{x^2+3x+2}{x+2}=(x+1)</math> o també <math>\frac{x^2+3x+2}{x+1}=(x+2)</math> Per tant volem convertir polinomis en producte de binomis fent poc a poc divisions fins que no quedin més possibilitats, vegem el mètode: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Passos:}} |- |Primer de tot, per descompondre un polinomi en producte de binomis, cal fixar-se en el terme independent ja que conté la multiplicació de tots els termes independents dels binomis que volem trobar. :{|style="border: 1px solid red;" |'''Observació:''' Quin són els candidats a termes independents dels binomis: :<math>(x+a)(x+b)(x+c)=(x+a)(x^2+(b+c)x+bc)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x\begin{array}{|c|}\hline +abc \\ \hline \end{array}</math> per tant els termes independents, dels binomis, multiplicats dona '''abc''' que és el terme independent del polinomi resultant. |} Donat el polinomi <math>x^4-5x^2\begin{array}{|c|}\hline +4 \\ \hline \end{array}</math> farem els següents passos: I) En la descomposició del terme independent 4 dona <math>4=2^2</math> i per tant els posibles divisors de 4 són -1, 1, -2, 2 i 4. II) Escriure la capsa següent convertint el polinomi <math>x^4-5x^2+4</math> en una expressió sense desprovista de '''x''' però posant zeros en la posició on manquen potencies de '''x''', és a dir, <math>1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4</math> :<math>\begin{array}{rl} \begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \downarrow\\ \hline \end{array}\\ &1\\ \end{array}</math> :*La línia horitzontal és la de sumar. :*La línia vertical separa el multiplicador, en aquest cas és '''2''', que correspon al terme independen del polinomi divisor <math>x-2</math> conviat de signe. :*Baixem el primer terme del polinomi '''1''' com la fletxa indica. II.1) Multipliquem el multiplicador 2 pel valor 1 baixat i el resultat el sumem a la següent columna. :<math>\begin{array}{rl} \begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;2\cdot 1\\ \hline \end{array}\\ &1\\ \end{array}</math> II.2) Fem la suma per fer obtenint el següent valor que multiplicarem. :<math>\begin{array}{rl} \begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\\ \hline \end{array}\\ &1\;\;\;\;+2\\ \end{array}</math> {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%" | border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Repetició dels passos II.1 i II.2 fins omplir tota la taula}} |- |II.1) Multipliquem el multiplicador 2 pel 2 obtingut en la suma anterior <math>2\cdot 2=4</math> :<math>\begin{array}{rl} \begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\; 2\cdot 2\\ \hline \end{array}\\ &1\;\;\;\;+2\\ \end{array}</math> II.2) Fem la suma <math>-5+4=-1.</math> :<math>\begin{array}{rl} \begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\\ \hline \end{array}\\ &1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\\ \end{array}</math> II.1) <math>2\cdot (-1)=-2.</math> :<math>\begin{array}{rl} \begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\;\;\;-2\\ \hline \end{array}\\ &1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\\ \end{array}</math> II.2) <math>-2+0=-2.</math> :<math>\begin{array}{rl} \begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\;\;\;-2\\ \hline \end{array}\\ &1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2\\ \end{array}</math> II.1) <math>2\cdot (-2)=-4.</math> :<math>\begin{array}{rl} \begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\;\;\;-2\;\;\;-4\\ \hline \end{array}\\ &1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2\\ \end{array}</math> II.2) <math>+4-4=0.</math> |} Finalment obtenim la taula plena: :<math>\begin{array}{rl} \begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\;\;\;-2\;\;\;-4\\ \hline \end{array}\\ &1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2\;\;\;\;+0\\ \end{array}</math> Si la última suma dona zero llavors vol dir que la divisió és exacta i la cadena resultant sense l'últim zero és <math>1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2</math> i el podem traduir com un polinomi amb terme independent és aquest '''-2''', per tant el polinomi el reconstruirem com <math>1x^3+2x^2-1x-2.</math> Ara podem afirmar que: ::<math>x^4-5x^2+4=(x-2)(1x^3+2x^2-1x-2)</math> També podem dir que <math>x-2</math> és un divisor del polinomi <math>x^4-5x^2+4.</math> |} == Factorització de polinomis == Factoritzar polinomis és fer una descomposició en productes de binomis de del tipus '''ax+b''', i apareixen tants com la màxima potència és a dir: :<math>a_nx^n+\dots+a_3x^3</math> <math>+a_2x^2+a_1x^1+a_0x^0</math> <math>=a_n(x+b_1)(x+b_2)(x+b_3)\cdot \dots\cdot(x+b_n)</math> No sempre es poden factoritzar els polinomis, per tant, factoritzarem polinomis que es poden factoritzar fàcilment per Ruffini: Exemple: Donat el polinomi <math>2x^4+x^3-8x^2-x+6,</math> es demana factoritzar-lo: :{| |<math>\begin{array}{rl} \begin{array}{r}\\ \;\;1\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}2\;\;\;+1\;\;\;-8\;\;\;-1\;\;\;+6\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+3\;\;\;-5\;\;\;-6\\ \hline \end{array}\\ &2\;\;\;\;+3\;\;\;-5\;\;\;-6\;\;\;\;+0\\ \end{array}</math> |bgcolor="#ffe"|Per tant diu que <math>2x^4+x^3-8x^2-x+6</math> <math>=(x-1)(2x^3+3x^2-5x-6)</math> |- |<math>\begin{array}{rl} \begin{array}{r}\\ \;\;-1\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}2\;\;\;+3\;\;\;-5\;\;\;-6\\ \;\;\;\;\;\;-2\;\;\;\;-1\;\;\;+6\\ \hline \end{array}\\ &2\;\;\;\;+1\;\;\;-6\;\;\;\;+0\\ \end{array}</math> |bgcolor="#ffe"|Per tant diu que <math>2x^3+3x^2-5x-6</math> <math>=(x+1)(2x^2+x-6)</math> |- |<math>\begin{array}{rl} \begin{array}{r}\\ \;\;-2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}2\;\;\;+1\;\;\;-6\\ \;\;\;\;\;\;-4\;\;\;+6\\ \hline \end{array}\\ &2\;\;\;\;-3\;\;\;+0\\ \end{array}</math> |bgcolor="#ffe"|Per tant diu que <math>2x^2+x-6</math> <math>=(x+2)(2x-3)</math> i ja hem acabat. |} En resum podem dir que les taules de Ruffini es poden ajuntar([https://www.youtube.com/watch?v=ozzalwEBhw0 tutorial]) i el polinomi finalment queda com: :<math>2x^4+x^3-8x^2-x+6</math> <math>=(x-1)(x+1)(x+2)(2x-3)</math> == Equacions polinòmiques == Com que les equacions no tenen un mètode general persolucionar-les, podem utilitzar factorització polinòmica per trobar solucions. Suposem que tenim l'equació: :<math>2x^4+x^3-8x^2-x+6=0</math> Per factorització polinòmica tenim que en realitat és: :<math>(x-1)(x+1)(x+2)(2x-3)=0</math> Sabem que una multiplicació és zero si i només si un dels multiplicands és zero, es a dir que: :o bé (x-1)=0, o bé (x+1)=0, o bé (x+2)=0, o bé (2x-3)=0 i no cal que ho siguin a la vegada. ::Si (x-1)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=1. ::Si (x+1)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=-1. ::Si (x+2)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=-2. ::Si (2x-3)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és <math>x=-\frac{3}{2}.</math> i així es com trobarem les seves solucions. == Valoració de polinomis == Per valorar polinomis com si fos una funció només hem de canviar totes les x per el valor que es decideixi([https://www.youtube.com/watch?v=MCbKYBUeE3U tutorial]). Exemple: Suposem que volem valorar el polinomi <math>p(x)=2x^4+x^3-8x^2-x+6</math> per x=0. Quin es el seu resultat? :<math>p(0)=2(0)^4+(0)^3-8(0)^2-(0)+6=0+0+0+6=6,</math> per tant el resultat de valorar el polinomi en x=0 és 6. Suposem ara que el valorem en x=2: :<math>p(2)=2(2)^4+(2)^3-8(2)^2-(2)+6=32+8-32-2+6=12,</math> per tant el resultat de valorar el polinomi en x=2 és 6. Veiem ara que passa si x=-2: :<math>p(-2)=2(-2)^4+(-2)^3-8(-2)^2-(-2)+6=32-8-32+2+6=0,</math> per tant el resultat de valorar el polinomi en x=-2 és 0. D'això en diem que el -2 és un zero del polinomi o també que -2 és arrel del polinomi. == Funció polinòmica == Degut al fet que donat un valor de '''x''' obtenim una valoració '''y''' d'un polinomi, podem presentar tot polinomi com a funció. Exemple: == Notes == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 27azyd1bshgndg25hrxna2c3smo1a3z 0 45359 373505 341720 2025-06-21T01:41:47Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373505 wikitext text/x-wiki Lliçó amb temari per integrals indefinides i definides. === Integrals indefinides === Havíem vist les [[Taula_derivades-batx|'''derivades''']] com la funció pendent d'una funció f, és a dir, que podíem calcular-la com un límit [[File:DerivadaModel001.gif|200px|right]] :<math>\lim_{s\rightarrow x}\frac{f(s)-f(x)}{s-x}</math> <math>=\frac{a}{b}</math> <math>=f'(x)</math> També es pot escriure substituint '''s''' per '''x+h''': :<math>\lim_{x+h\rightarrow x}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}</math> <math>=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> <math>=f'(x)</math> Podem canviar el límit per la notació <math>\frac{df}{dx}</math> molt més utilitzada: :<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> <math>=\frac{d(f(x))}{dx}</math> <math>=\frac{d}{dx}f(x)</math> <math>=f'(x)</math> Integrar és fer el contrari, és a dir, exclusivament de les pendents volem trobar la funció. Com sabeu, a partir del pendent no podem construir la recta tangent, perquè necessitem la altura del punt de tangencia que manca, de fet si trobem aquest valor en un punt concret llavors sabrem trobar la funció. Vegem l'exemple d'una funció en verd i la seva integral en blau deduïda a partir del valor de la funció i vegem també que podem començar la integral desde qualsevol altura, aquesta raó prova que situar els eixos de coordenades és arbitrari. {| |- |[[File:CorrespondenciaParaIntegrar001.gif|400px]] |[[File:IntegraciónConociendoPendiente001.gif|400px]] |} Exemples de integració de derivades que mostra que no podem recuperar tota la funció: {|class="wikitable" !Funció <math>f(x)</math> !Derivada <math>f'(x)</math> !Integral de <math>f'(x)</math> |- |style="width:180px;padding-left:10px;"|0 |style="width:180px;padding-left:10px;"|0 |style="width:180px;padding-left:10px" rowspan="3"|c |- |style="padding-left:10px;"|1 |style="padding-left:10px;"|0 |- |style="padding-left:10px;"|a |style="padding-left:10px;"|0 |- |style="padding-left:10px;"|<math>x</math> |style="padding-left:10px;"|<math>f'(x)=g(x)=1+0</math> |style="padding-left:10px;"|<math>x+c</math> |- |style="padding-left:10px;"|<math>\ln(x)</math> |style="padding-left:10px;"|<math>\frac{1}{x}+0\;\;\;\;</math> amb <math>x>0</math> |style="padding-left:10px;"|<math>\ln(x)+c\;\;\;\;</math> amb <math>x>0</math> |- |style="padding-left:10px;"|<math>\sin(x)</math> |style="padding-left:10px;"|<math>\cos(x)+0</math> |style="padding-left:10px;"|<math>sin(x)+c</math> |} ==== Definició ==== Escriurem la '''integral indefinida''' de f(x) com: :<math>\int f(x)dx</math> <math>= F(x) + c</math> :La seva lectura és: integral <math>\left( \int \right)</math> de f(x) respecte x (dx), és (=) una funció F(x) més una constant (+c) indeterminada o indefinida. ==== Taula d'integrals ==== Per confirmar que una integral està ben feta només hem de derivar-lo {| style="border-spacing: 2px; border: 1px solid blue; width:650px" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="100%" |colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1)<math>\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} + c</math>}} |- |''Demostració:'' Només cal derivar la seva integral i veure si dona la funció sense integrar <math>x^n</math>. Per linealitat tenim que: :<math>\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\right)'</math> <math>=\frac{1}{n+1}\left(x^{n+1}\right)'+(c)'.</math> Derivant sabent que <math>(x^n)'=nx^{n-1}</math> tenim que la nostra expressió a simplificar és: :<math>=\frac{1}{n+1}\left((n+1)x^{(n+1)-1}\right)+(0)</math> <math>=x^n.</math> El domini de '''x''' és tots els nombres reals, <math>\mathbb{R}.</math> |valign="bottom"|<math>\Box</math> |} |- | :1.1)<math>\int 1\;dx= x + c</math> |- | :1.2)<math>\int x\;dx=\frac{x^2}{2} + c</math> |- | :1.3)<math>\int x^2 dx=\frac{x^3}{3} + c</math> |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="100%" |colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2)<math>\int\frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\sqrt{x} + c</math>}} |- |''Demostració:'' Derivant la seva integral: :<math>\left(\sqrt{x} + c\right)'</math> <math>=\left(\sqrt{x}\right)' + (c)'</math> <math>=\frac{1}{2\sqrt{x}}.</math> El domini de '''x''' és tots els nombres reals positius incloent el zero, <math>\mathbb{R}^+\cup\{0\}.</math> |valign="bottom"|<math>\Box</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="100%" |colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|3)<math>\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + c</math>}} |- |''Demostració:'' Derivant la seva integral segons el signe de '''x''', si <math>x>0</math> tenim que <math>|x|=x</math>: :<math>\left(\ln(x) + c\right)'</math> <math>=\left(\ln(x)\right)' + (c)'</math> <math>=\frac{1}{x}.</math> Si <math>x<0</math> tenim que <math>|x|=-x</math>: :<math>\left(\ln(-x) + c\right)'</math> <math>=\left(\ln(-x)\right)' + (c)'.</math> Derivant amb la regla de la cadena tenim: :<math>=\left(\ln(-x)\right)'</math> <math>=\frac{1}{-x}\cdot(-1)</math> <math>=\frac{1}{x}.</math> Així obtenim la mateixa funció tan pels positius com pels negatius. El domini de '''x''' és tots els nombres reals excloent el zero, <math>\mathbb{R}-\{0\}.</math> |valign="bottom"|<math>\Box</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="100%" |colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|4)<math>\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a} + c</math>}} |- |''Demostració:'' Derivant la seva integral: :<math>\left(\frac{a^x}{\ln a} + c\right)'</math> <math>=\frac{1}{\ln a}\left(a^x\right)' + (c)'</math> <math>=\frac{1}{\ln a}\left(\ln a\cdot a^x\right)+0</math> <math>=a^x.</math> El domini de '''x''' és tots els nombres reals, <math>\mathbb{R}.</math> |valign="bottom"|<math>\Box</math> |} |- | :4.1)<math>\int e^xdx= e^x + c</math> |- |5)<math>\int\sin x\;dx=-\cos x + c</math> |- |6)<math>\int\cos x\;dx=\sin x + c</math> |- |7)<math>\int\tan x\;dx=-\ln|\cos x| + c</math> |- |8)<math>\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin{x} + c</math> |- |9)<math>\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan{x} + c</math> |} Una de les propietats més usades per integrar és la linealitat de la integral que permet integrar polinomis de forma inmediata fragmentant totes les sumes i restes d'una integral en sumes i restes de integrals. '''Linealitat de la integral''' {| style="border-spacing: 2px; border: 1px solid blue;" |<math>\int \Big(\;f(x)+g(x)\;\Big)dx</math> <math>=\int f(x)\;dx+\int g(x)\;dx</math> |- |<math>\int \Big(\;a\cdot f(x)\;\Big)dx</math> <math>=a\cdot\int f(x)\;dx</math> |} ===== Exemples ===== {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) <math>\int \;\sin(x)-3x^5+e^x\;dx</math>}} |- |Primer apliquem la separació en sumes i restes, marcant amb uns parèntesis aquest fet, tot seguit traiem fora de la integral només les constants que multipliquen o divideixen, no s'ha de tocar cap altra constant: :<math>\int \Big(\;\sin(x)-3x^5+e^x\;\Big)dx</math> <math>=\int \Big(\;\sin(x)\;\Big)dx+\int\Big(\;-3\cdot x^5\;\Big)dx+\int \Big(\;e^x\;\Big)dx</math> <math>=\int \Big(\;\sin(x)\;\Big)dx-3\cdot\int\Big(\;x^5\;\Big)dx+\int \Big(\;e^x\;\Big)dx</math> <math>=-cos(x)-3\cdot\frac{x^6}{6}+e^x+c</math> <math>=-cos(x)-\frac{x^6}{2}+e^x+c</math> |valign="bottom"|<math>\Box</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) <math>\int \;\frac{2}{3x}-\frac{1}{\frac{3}{5}\sqrt{x}}\;dx</math>}} |- |Primer de tot separem les constants de les funcions integrables, també podem crear constants necessàries com <math>1=\frac{2}{2}</math>: :<math>\int \;\frac{2}{3x}-\frac{1}{\frac{3}{5}\sqrt{x}}\;dx</math> <math>=\int \;\frac{2}{3}\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{3\cdot 2}{5\cdot 2}\sqrt{x}}\;dx</math> <math>=\int \;\frac{2}{3}\frac{1}{x}-\frac{5\cdot 2}{3}\frac{1}{ 2\sqrt{x}}\;dx</math> Ara ja podem aplicar la linealitat: :<math>\int \;\frac{2}{3}\frac{1}{x}-\frac{5\cdot 2}{3}\frac{1}{ 2\sqrt{x}}\;dx</math> <math>=\frac{2}{3}\int\;\frac{1}{x}\;dx-\frac{5\cdot 2}{3}\int\;\frac{1}{ 2\sqrt{x}}\;dx</math> Finalment utilitzant la taula de integrals trobem que tenim fetes aquestes integrals i només queda arreglar-lo una mica: :<math>\frac{2}{3}\int\;\frac{1}{x}\;dx-\frac{5\cdot 2}{3}\int\;\frac{1}{ 2\sqrt{x}}\;dx</math> <math>=\frac{2}{3}\ln |x|-\frac{5\cdot 2}{3}\sqrt{x}</math> <math>=\frac{2\ln |x|}{3}-\frac{10\sqrt{x}}{3}.</math> |valign="bottom"|<math>\Box</math> |} ==== Desfent la regla de la cadena ==== De la regla de la cadena obtenim el resultat següent: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\Big(\;f\big(g(x)\big)\;\Big)'</math> <math>=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)</math> |align="center" width="50px"|<math>\Rightarrow</math> |style="border: 2px solid #f88;"|<math>\int f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)\;dx</math> <math>=f\big(g(x)\big)+c</math> |} Per integrar hem de desfer aquest pas identificant <math>g'(x)</math> i la <math>g(x)</math> d'on ha sortit, per exemple: {|class="wikitable" !Volem <math>\int f'\big(g(x))\cdot g'(x)\;dx</math> !Identificació de g, g', f' i f !Resultat |- |<math>\int (e^x-1)^2\cdot e^x\;dx</math> |<math>g(x)=e^x-1</math> <math>\Rightarrow g'(x)=e^x</math> i <math>f'(x)=(x)^2</math> <math>\Rightarrow f(x)=\frac{x^3}{3}</math> |<math>f(g(x))</math> <math>=\frac{(e^x-1)^3}{3}+c</math> |- |<math>\int (2x^3+5)^4\cdot 6x^2\;dx</math> |<math>g(x)=2x^3+5</math> <math>\Rightarrow g'(x)=6x^2</math> i <math>f'(x)=(x)^4</math> <math>\Rightarrow f(x)=\frac{x^5}{5}</math> |<math>f(g(x))</math> <math>=\frac{(2x^3+5)^5}{5}+c</math> |- |<math>\int \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}\;dx</math> |<math>g(x)=3x+1</math> <math>\Rightarrow g'(x)=3</math> i <math>f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math> <math>\Rightarrow f(x)=\sqrt{x}</math> |<math>f(g(x))</math> <math>=\sqrt{3x+1}+c</math> |- |<math>\int \frac{2x}{x^2+4}\;dx</math> |<math>g(x)=x^2+4</math> <math>\Rightarrow g'(x)=2x</math> i <math>f'(x)=\frac{1}{x}</math> <math>\Rightarrow f(x)=\ln|x|</math> |<math>f(g(x))</math> <math>=\ln(x^2+4)+c</math> |- |<math>\int e^{5x+1}\cdot 5\;dx</math> |<math>g(x)=5x+1</math> <math>\Rightarrow g'(x)=5</math> i <math>f'(x)=e^{(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=e^x</math> |<math>f(g(x))</math> <math>=e^{(5x+1)}+c</math> |- |<math>\int\sin(3x^2+1)\cdot 6x\;dx</math> |<math>g(x)=3x^2+1</math> <math>\Rightarrow g'(x)=6x</math> i <math>f'(x)=\sin(x)</math> <math>\Rightarrow f(x)=-\cos(x)</math> |<math>f(g(x))</math> <math>=-\cos(3x^2+1)+c</math> |- |<math>\int\cos(x^4)\cdot 4x^3\;dx</math> |<math>g(x)=x^4</math> <math>\Rightarrow g'(x)=4x^3</math> i <math>f'(x)=\cos(x)</math> <math>\Rightarrow f(x)=\sin(x)</math> |<math>f(g(x))</math> <math>=\sin(x^4)+c</math> |- |<math>\int \frac{2x+1}{\cos^2(x^2+x)}\;dx</math> |<math>g(x)=x^2+x</math> <math>\Rightarrow g'(x)=2x+1</math> i <math>f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=\tan(x)</math> |<math>f(g(x))</math> <math>=\tan(x^2+x)+c</math> |} ===== Exemples ===== {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) <math>\int\cos(x^2+1)\;x\;dx</math>}} |- |Pas 1: S'identifica el candidat a <math>g(x)</math> dins la funció <math>f'(x)</math> i per confirmar aquest candidat hem de trobar la seva derivada fora de <math>f'(x).</math> :Si <math>g(x)=x^2+1,</math> llavors vol dir que <math>g'(x)=2x,</math> però fora hi ha una sola '''x''' i li manca un '''2''', per tant es fabrica un dos multiplicant per '''1''', sabent que <math>1=\tfrac{2}{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 2</math> per tant puc dir que: ::<math>\int\cos(x^2+1)\;x\;dx</math> <math>=\int\cos(x^2+1)\;1\cdot x\;dx</math> <math>=\int\cos(x^2+1)\;\tfrac{1}{2}2\;x\;dx</math> :Només cal apartar fora de la integral aquest un mig que sobra i ja podem integrar: ::<math>\tfrac{1}{2}\int\cos(x^2+1)\cdot 2\;x\;dx</math> Pas 2: S'integra la suposada funció <math>f'(x).</math> :<math>f(x)</math> <math>=\int f'(x)\;dx</math> <math>=\int\cos(x)\;dx</math> <math>=\sin(x)</math> Finalment substituint com indica el requadre vermell les funcions obtenim la integral: :<math>\tfrac{1}{2}\cdot\int\cos(x^2+1)\cdot 2\;x\;dx</math> <math>=\tfrac{1}{2}\cdot f\big(g(x)\big)+c</math> <math>=\tfrac{1}{2}\sin(x^2+1)+c</math> En resum tinc que <math>\int\cos(x^2+1)\;x\;dx</math> <math>=\tfrac{1}{2}\sin(x^2+1)+c.</math> |- | ||<math>\Box</math> |- |Si no queda clar, consulteu [https://www.youtube.com/watch?v=as66XkPAAYo&t=80s aquest tutorial] |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) <math>\int\;e^{15x}\;dx</math>}} |- |Pas 1: Busquem el candidat a <math>g(x)</math> i la seva derivada: :Si <math>g(x)=15x</math> la seva derivada és <math>g'(x)=15</math> però com que només es un nombre que no tenim llavors el podem fabricar amb <math>1=\frac{15}{15}</math> quedant: ::<math>\int\;e^{15x}\;dx</math> <math>=\int\;e^{15x}\cdot 1\;dx</math> <math>=\int\;e^{15x}\cdot \frac{15}{15}\;dx</math> <math>=\frac{1}{15}\int\;\underbrace{\;e^{\;\;\overbrace{15x}^{g(x)}\;\;}\;}_{f'(x)}\cdot\underbrace{\;15\;}_{g'(x)}\;dx</math> Pas 2: Fem la taula: :{|style="border: 2px solid #88f;" cellpadding="5" |- |width="200px"|<math>f'(x)=e^x</math> |width="200px"|<math>f(x)=e^x</math> |- |<math>g(x)=15x</math>||<math>g'(x)=15</math> |} Substituint tenim que: :<math>\frac{1}{15}\int\;e^{15x}15\;dx</math> <math>=\frac{1}{15}\;f(g(x))+c</math> <math>=\frac{1}{15}\;e^{15x}+c</math> |- | ||<math>\Box</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|3) <math>\int\;\frac{1}{2\sqrt{-7x}}\;dx</math>}} |- |Pas 1: Busquem el candidat a <math>g(x)</math> i la seva derivada: :Si <math>g(x)=-7x</math> la seva derivada és <math>g'(x)=-7</math> però com que només es un nombre que no tenim llavors el podem fabricar amb <math>1=\frac{-7}{-7}</math> quedant: ::<math>\int\;\frac{1}{2\sqrt{-7x}}\;dx</math> <math>=\int\;\frac{1}{2\sqrt{-7x}}\cdot 1\;dx</math> <math>=\int\;\frac{1}{2\sqrt{-7x}}\cdot \frac{-7}{-7}\;dx</math> <math>= \frac{1}{-7}\int\;\frac{1}{2\sqrt{-7x}}\cdot -7\;dx</math> <math>= \frac{1}{-7}\int\;\overbrace{\frac{1}{2\sqrt{}\overline{\underbrace{-7x}_{g(x)}} }}^{f'(x)}\cdot\underbrace{-7}_{g'(x)}\;dx</math> Pas 2: Fem la taula: :{|style="border: 2px solid #88f;" cellpadding="5" |- |width="200px"|<math>f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math> |width="200px"|<math>f(x)=\sqrt{x}</math> |- |<math>g(x)=-7x</math>||<math>g'(x)=-7</math> |} Substituint tenim que: :<math>\frac{1}{-7}\int\;\frac{1}{2\sqrt{-7x}}\cdot -7\;dx</math> <math>=\frac{1}{-7}\;f(g(x))+c</math> <math>=\frac{1}{-7}\;\sqrt{-7x}+c</math> |- | ||<math>\Box</math> |} ==== Integració per parts ==== El mètode d'integració per parts permet canviar una integral per un altra més senzilla, un cop entès el mètode com es fa rutinàriament, només cal observar els exemples per aprendre a fer-lo servir. :<math>\int f(x)\;g'(x)\;dx</math> <math>=f(x)\;g(x)-\int f'(x)\;g(x)\;dx</math> ===== Exemples ===== {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) Es vol calcular <math>\int a\;x\;\sin\;x\;dx</math> amb el valor <math>a=30.</math>}} |- |La integral que s'ha de fer és <math>\int 30\;x\;\sin\;x\;dx</math> s'aparta la xifra que multiplica fora de la integral <math>30\int x\;\sin\;x\;dx</math> i seguim els pasos següents: Pas 1.1: S'ha de decidir qui serà la funció <math>f(x)</math> i <math>g'(x).</math> :Sigui <math>f(x)=x</math> i <math>g'(x)=\sin x,</math> llavors: Pas 1.2: Es deriva un i s'integra l'altra: :<math>f'(x)=(x)'=1</math> :<math>g(x)=\int g'(x) \;dx=\int\sin x\;dx</math> <math>=-\cos x</math> Pas 2: Substitució a la fórmula: :<math>30\int x\;\sin\;x\;dx</math> <math>=30(-x\;\cos x-\int-\cos x\;dx)</math> <math>=30(-x\;\cos x+\int\cos x\;dx)</math> <math>=-30\;x\;\cos x+30\;\sin x+c</math> |- | ||<math>\Box</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) <math>\int \;x^3\;\sin\;x\;dx.</math>}} |- |Pas 1: S'ha de decidir qui serà la funció <math>f(x)</math> i <math>g'(x).</math> :{|style="border: 2px solid #88f;" cellpadding="5" |- |width="200px"|<math>f(x)=x^3</math> |width="200px"|<math>f'(x)=3x^2</math> |- |<math>g'(x)=\sin x</math>||<math>g(x)=-\cos x</math> |} Pas 2:es substitueix a la fórmula: |- | ||<math>\Box</math> |} ==== Canvi de variable ==== Aquest mètode permet fer una '''substitució de variables''' que pretenen simplificar les integrals. Suposem que volem fer <math>\int f(x)\;dx,</math> i no sabem integrar-la directament, però ens adonem que podem substituir funcions que dificulten la integració per una nova funció, quedant: {| cellpadding="5" |- |width="250px"|<math>\int f(x)\;dx</math> <math>=\int f(g(t))g'(t)dt</math> |style="border: 2px solid #5b5;"|<math>\int f(h(x))\;dx</math> <math>=\int f(t)\cdot g'(t)\;dt</math> |} S'ha de tenir clar el requadre de derivades següent. Hem de derivar si la variable està totalment aïllada, ja sigui '''x''' o bé '''t'''. :{|style="border: 2px solid #88f;" cellpadding="5" |- |width="140px"|<math>x=g(t)</math> |width="140px"|<math>h(x)=t</math> |- ||<math>dx=g'(t)dt</math>||<math>h'(x)dx=dt</math> |} La funció <math>h'(x)</math> no s'utilitza en general. ===== Exemples ===== Càlcul d'integrals amb canvi de variable: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) <math>\int x\sqrt{x-1}\;dx.</math>}} |- |Pas 1: S'ha de intuir el canvi de variable més adequat: Com que no podem fer <math>\int\sqrt{x-1}\;dx,</math> però si que podríem fer <math>\int\sqrt{x}\;dx,</math> llavors hem de deduir que el canvi més adequat és <math>t=x-1</math> quedant l'esquema o requadre següent per fer substitucions: :{|style="border: 2px solid #88f;" cellpadding="5" |- |width="200px"|<math>t=x-1</math> |width="200px"|<math>t+1=x</math> |- |<math>dt=dx</math>||<math>dt=dx</math> |} Pas 2: Substituïm la variable quedant la integral: :<math>\int(t+1)\;\sqrt{t}\;dt</math> <math>=\int(t+1)\;t^{\frac{1}{2}}\;dt</math> <math>=\int t^{3/2}+t^{1/2}\;dt</math> <math>=\frac{2}{5}t^\frac{5}{2}+\frac{2}{3}t^\frac{3}{2}+c.</math> Pas 3: S'ha de desfer el canvi de variable: :<math>\frac{2}{5}t^\frac{5}{2}+\frac{2}{3}t^\frac{3}{2}+c</math> <math>=\frac{2}{5}(x-1)^\frac{5}{2}+\frac{2}{3}(x-1)^\frac{3}{2}+c.</math> |- | ||<math>\Box</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) <math>\int (x+1)^8x\;dx.</math>}} |- |Pas 1: S'ha de intuir el canvi de variable més adequat: Com que no volem desenvolupar <math>(x+1)^8</math> però si que podríem fer <math>\int x^8\;dx,</math> llavors hem de deduir que el canvi més adequat és <math>t=x+1</math> quedant l'esquema o requadre següent per fer substitucions: :{|style="border: 2px solid #88f;" cellpadding="5" |- |width="200px"|<math>t=x+1</math> |width="200px"|<math>t-1=x</math> |- |<math>dt=dx</math>||<math>dt=dx</math> |} Pas 2: Substituïm la variable quedant la integral: :<math>\int(t)^8\;(t-1)\;dt</math> <math>=\int t^9-t^8\;dt</math> <math>=\frac{t^{10}}{10}-\frac{t^9}{9}+c.</math> Pas 3: S'ha de desfer el canvi de variable: :<math>\frac{t^{10}}{10}-\frac{t^9}{9}+c</math> <math>=\frac{(x+1)^{10}}{10}-\frac{(x+1)^9}{9}+c.</math> |- | ||<math>\Box</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|3) <math>\int\frac{1-e^x}{e^{2x}}\;dx.</math>}} |- |Pas 1: Per practicar canvi de variable com que es repeteix <math>e^x</math> possiblement puc simplificar-lo amb una '''t''' quedant l'esquema o requadre següent per fer substitucions: :{|style="border: 2px solid #88f;" cellpadding="5" |- |width="200px"|<math>t=e^x</math> |width="200px"|<math>\ln t=x</math> |- |<math>dt=e^x dx</math>||<math>\frac{1}{t}dt=dx</math> |} Pas 2: Substituïm la variable quedant la integral: :<math>\int\frac{1-e^x}{e^{2x}}\;dx</math> <math>=\int\frac{1-e^x}{(e^x)^2}\;dx</math> <math>=\int\frac{1-t}{(t)^2}\;\frac{1}{t}dt</math> <math>=\int\frac{1-t}{t^3}dt</math> <math>=\int\frac{1}{t^3}-\frac{1}{t^2}\;dt</math> <math>=-\frac{1}{2t^2}+\frac{1}{t}+c.</math> Pas 3: S'ha de desfer el canvi de variable: :<math>-\frac{1}{2t^2}+\frac{1}{t}+c</math> <math>=-\frac{1}{2e^{2x}}+\frac{1}{e^x}+c</math> |- | ||<math>\Box</math> |} === Integrals definides === ==== Regla de Barrow ==== [[File:IntegralModel001.gif|right|200px]] Càlcul d'àrea dins un interval [a, b] i delimitat per una funció i l'eix de les abscisses. :<math>\int_{x=a}^{x=b} f(x)\;dx</math> <math>=\int_a^b f(x)\;dx</math> <math>=\bigg[F(x)\bigg]_a^b</math> <math>=F(b)-F(a)</math> ===== Exemples ===== {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) <math>\int_1^2 x^3-2x^2+x+2\;dx</math>}} |- |[[File:Área para integral definida v001.svg|right|150px]] Seguim els passos de la regla de Barrow: :<math>\int_1^2 x^3-2x^2+x+2\;dx</math> <math>=\bigg[\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\bigg]_1^2</math> <math>=\frac{(2)^4}{4}-\frac{2(2)^3}{3}+\frac{(2)^2}{2}+2(2)-\Bigg(\frac{(1)^4}{4}-\frac{2(1)^3}{3}+\frac{(1)^2}{2}+2(1)\Bigg)</math> <math>=4-\frac{16}{3}+2+4-\Bigg(\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+2\Bigg)</math> <math>=\frac{31}{12}</math> |- | ||<math>\Box</math> |} ==== Àrees entre dues funcions ==== [[File:Área para integral definida v002.gif|right|200px]] Es tracta de fer resta d'àrees en una sola integral :{| cellpadding="5" |- |width="210px"|<math>\int_a^b\;f(x)\;dx-\int_a^b\;g(x)\;dx=</math> |style="border: 2px solid #7df;"|<math>\int_a^b\;f(x)-g(x)\;dx</math> |} ===== Exemples ===== 1) Calculeu l'àrea delimitada per les funcions donades en cada apartat: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|a) <math>f(x)=x^2,</math> <math>g(x)=\frac{1}{2}</math> i <math>h(x)=\frac{1}{x}</math>}} |- |[[File:Área para integral definida v003.svg|right|300px]] Per fer l'esquema gràfic hem de veure com es tallen les gràfiques entre elles: :I) <math>f(x)=g(x)</math> <math>\rightarrow x^2=\frac{1}{2}</math> <math>\rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}.</math> ::Llavors aquests dos punts, <math>\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\;\tfrac{1}{2}\right)</math> i <math>\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\;\tfrac{1}{2}\right)</math>, determinen una regió '''A''', pintat en verd a la imatge. :II) <math>g(x)=h(x)</math> <math>\rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{x}</math> <math>\rightarrow x=2.</math> ::Llavors ja tenim un nou punt que és <math>\left(2,\;\tfrac{1}{2}\right)</math>, però encara no ha tancat cap regió encara. :III) <math>f(x)=h(x)</math> <math>\rightarrow x^2=\frac{1}{x}</math> <math>\rightarrow x^3=1</math> <math>\rightarrow x=\sqrt[3]{1}=1.</math> ::Aquest punt (1, 1) permet fer la regió '''B''' i '''C''' de la imatge. Un cop trobades les regions i separades pels punts ja podem fer les tres integrals corresponents a cada regió: :<math>A=\int_{-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}\;\tfrac{1}{2}-x^2\;dx</math> <math>=\Big[\tfrac{x}{2}-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}</math> <math>=\left(\frac{\tfrac{1}{\sqrt{2}} }{2}-\frac{\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}} \right)^3}{3}\right)-\left(\frac{-\tfrac{1}{\sqrt{2}} }{2}-\frac{\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^3}{3}\right)</math> <math>=\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{6\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{6\sqrt{2}}</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{3\sqrt{2}}</math> <math>=\frac{2}{3\sqrt{2}}</math> <math>=\frac{\sqrt{2}}{3}\;\;u^2.</math> :<math>B=\int_{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}^1\;x^2-\tfrac{1}{2}\;dx</math> <math>=\Big[\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x}{2}\Big]_{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}^1</math> <math>=\left(\tfrac{1^3}{3}-\tfrac{1}{2}\right)-\left(\frac{\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^3}{3}-\frac{\tfrac{1}{\sqrt{2}} }{2}\right)</math> <math>=\left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{3\cdot 2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)</math> <math>=-\tfrac{1}{6}-\frac{1}{6\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}</math> <math>=-\tfrac{1}{6}+\frac{1}{3\sqrt{2}}</math> <math>=-\tfrac{1}{6}+\frac{\sqrt{2}}{6}</math> <math>=\frac{\sqrt{2}-1}{6}\;\;u^2.</math> :<math>C=\int_1^2\;\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{2}\;dx</math> <math>=\Big[\ln|x|-\tfrac{x}{2}\Big]_1^2</math> <math>=\left(\ln|2|-\tfrac{2}{2}\right)-\left(\ln|1|-\tfrac{1}{2}\right)</math> <math>=\ln 2-1+\tfrac{1}{2}</math> <math>=\ln 2-\tfrac{1}{2}\;\;u^2</math> Per tant l'àrea total és <math>A+B+C</math> <math>=\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{2}-1}{6}+\ln 2-\tfrac{1}{2}</math> <math>=\frac{3\sqrt{2}-4}{6}+\ln 2\;\;u^2</math> |- | ||<math>\Box</math> |} === Treballs === En aquesta secció es pengen els treballs que es proposin: *[[Treball integrals adaptació Ll1|Treball diversificat d'integrals indefinides i definides]] === Observacions i notes === [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] ey2hakziwdv5u7wawwz8esw8dbabo2r 0 45425 373514 338213 2025-06-21T01:41:55Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373514 wikitext text/x-wiki Treball de gama variada per entregues diferents. Es proposen per cada estudiant valors diferents '''a<b''' i '''c''' un decimal entre 1 i 20. == Integrals indefinides == 1) Calculeu les integrals immediates amb operacions deixant els passos utilitzats: :{| |- |width="250px"|a) <math>\int x^{a+3}dx </math> b) <math>\int \frac{1}{x^{b+2}} dx</math> c) <math>\int \frac{1}{2(a-1)\sqrt{x}} dx</math> d) <math>\int b^x dx</math> e) <math>\int \sin(x)+b\; dx</math> f) <math>\int \frac{\cos(x)}{a} dx</math> g) <math>\int \tan(x)-\frac{1}{b} dx</math> |width="300px"|h) <math>\int \frac{a-5}{\sqrt{1-x^2}} dx</math> i) <math>\int a-b+ax-bx\; dx</math> j) <math>\int \left(a+4\right)x^{a+3} dx</math> k) <math>\int a\cdot\sin(x)+b\cdot\ln(x)\;dx</math> l) <math>\int \frac{1}{\sqrt{x}}-b\;dx</math> m) <math>5x+\int a+bx\; dx</math> n) <math>\int x^{2a}+x+1\; dx -\int x^b+x+1\;dx</math> |} 2) Calculeu les integrals '''[[Integració_adaptació_Ll1#Desfent_la_regla_de_la_cadena|desfent la regla de la cadena]]''': :{| |- |width="250px"|a) <math>\int \left(e^x-a\right)^2b\cdot e^x\; dx</math> b) <math>\int \left(a\cdot x^3+1\right)^2x^2 dx</math> c) <math>\int \frac{a2x}{2\sqrt{ax^2+1}}\; dx</math> d) <math>\int \frac{ax^{a-1}}{x^a+1}\;dx</math> |width="250px"|e) <math>\int e^{a-x^2}(-2x)\; dx</math> f) <math>\int \sin\left(ax^2+b\right)a^2x\; dx</math> g) <math>\int \tfrac{30x}{\cos^2a+x^2}\; dx</math> |} 3) Calculeu les integrals utilitzant exclusivament '''[[Integració_adaptació_Ll1#Integració per parts|integració per parts]]'''. :{| |- |width="250px"|a) <math>\int x^a\ln x\; dx</math> b) <math>\int b\ln x\; dx</math> |width="250px"|c) <math>\int \ln(ax)\; dx</math> |} 4) Calculeu la integral utilitzant exclusivament canvi de variable <math>t=x^2</math>, escriviu el '''[[Integració_adaptació_Ll1#Canvi_de_variable|requadre de derivades]]'''. ::<math>\int e^{ax^2}x\; dx</math> == Integrals definides == 5) Calculeu les integrals definides. Consulteu el següent [https://www.youtube.com/watch?v=K15rvmw2WwI video tutorial] per fer-se una idea: :{| |- |width="250px"|a) <math>\int_0^c x^2\; dx</math> b) <math>\int_{-c}^c\sin(x)+1\; dx</math> |width="250px"|c) <math>\int_c^{2c}x\; dx</math> d) <math>\int_0^{\tfrac{c}{2}}1-x^2\; dx</math> |} 6) Feu un esquema '''a mà''' (confirmeu-lo amb el GeoGebra) i calculeu l’àrea definida entre x=-1 i x=c, i delimitat amb les funcions en cada cas. Podeu consultar el següent [https://www.youtube.com/watch?v=gJcfR_kdo7Y video tutorial] per fer-se una idea: :a) <math>f(x)=4-x^2</math> i <math>g(x)=-3</math> :b) <math>f(x)=x-2</math> i <math>g(x)=\cos(x)+1</math> '''Nota:''' f i g només es tallen al punt (2'32, 0'32) :c) <math>f(x)=c+1+\frac{x}{2}</math> i <math>g(x)=c+x</math> :*Si l'àrea queda dividida en dos trossos, separeu la integral en dos sectors diferents. 7) Feu un esquema '''a mà''' (confirmeu-lo amb el GeoGebra) i calculeu l’àrea definida entre x=c i x=6, i delimitat amb les funcions: :<math>f(x)=\sin\left(\frac{x^2}{2}\right)+2'3</math> i <math>g(x)=\sin\left(\frac{x^2}{2}\right)+x</math> :*Si l'àrea queda dividida en dos trossos, separeu la integral en dos sectors diferents. 8) Volum de cossos de revolució, vegi [https://www.youtube.com/watch?v=DkT3umJMl8I video tutoria] semblant: :a) Calculeu el volum del cos de revolució generat per la gràfica de la funció <math>f(x)=ax</math> girant al voltant de l'eix d'abscisses en l'interval [0, 2]. :b) Comprova que s'obté el mateix calculant el volum del cos resultant <math>\left(V=\tfrac{1}{3}\pi r^w h\right)</math> [[file:Cone revolution.gif]] [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] dmsnslki9h8y1zqp4khhar5dvhomwy8 0 45746 373510 353888 2025-06-21T01:41:51Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373510 wikitext text/x-wiki Aquest resum intenta accedir a totes les branques de la geometria d'una forma breu i precisa donant propostes d'accés cap a altres mètodes més sintètics. === Matrius === Les matrius són valors agrupats com si fossin dins d'una quadrícula rectangular. {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Ocultar" |- |Exemples de matrius segons el tipus de nombres i possible procedència. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Matriu de nombres binaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en definir imatges en blanc i negre o definir grafs. Matrius de nombres fraccionaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{5}\\ \frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en resoldre sistemes d'equacions. Matrius de nombres reals: ::<math>\begin{pmatrix} \pi & 0\\ 0 & e \\ -1 & \sqrt{2}\end{pmatrix}</math> :: Podrien aparèixer només en problemes molt particulars. |} ==== Notació ==== Per referir-se a cada un dels valors d'una matriu usarem els termes <math>a_{i\,j}</math><ref>Els subíndex '''i''' i '''j''' es refereixen a cadascun dels possibles valors que poden prendre dins d'una matriu concreta com un sistema de coordenades. Si la matriu és de '''n''' files i '''m''' columnes, <math>n\times m</math>, vol dir que '''i''' pot prendre els valors que van des de i=1 fins arribar a i=n i el mateix per '''j''' que pot prendre valors de j=1 fins arribar a j=m, essent aquesta notació una forma de referir-se a tots els termes d'una matriu i com que normalment no s'utilitzen amb valors majors que 9 la notació ha fet la contracció <math>a_{i,\,j}</math> <math>=a_{i\,j}</math>.</ref> de les dues següents maneres: :{|cellspacing="5" cellpadding="5" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="410px" |<math>A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & \cdots & a_{1\,n}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & \cdots & a_{2\,n}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & \cdots & a_{3\,n}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & \cdots & a_{4\,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & a_{m\,2} & a_{m\,3} & a_{m\,4} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}=(a_{i\,j})_{m\times n}</math> |} *En direm '''matriu de dimensió <math>m\times n</math>''', els dos subíndex sempre en aquest ordre, altura m i amplada n. :El conjunt de totes les matrius <math>m\times n</math> s'escriu <math>M_{m\times n}.</math> *Els noms habitualment en majúscula: A, B, C, D, E, F, G, H, I, ... . ===== Exemples ===== 1) Donada una matriu <math>4\times 5</math> tenim que és de la forma: ::<math>A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 6 & 0\\ -5 & 4 & 8 & 10 & 2\\ 0 & 7 & 0 & -4 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & a_{1\,5}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & a_{2\,5}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & a_{4\,5} \end{pmatrix}=(a_{i\;j})_{4\times 5}</math> :Dins d'una matriu també es poden identificar matrius i elements concrets com: :*'''Matrius columna''' <math>c_4(A)=\begin{pmatrix}-1\\ 6\\ 10\\ -4\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,4}\\ a_{2\,4}\\ a_{3\,4}\\ a_{4\,4}\end{pmatrix}=(a_{i\,4})_{4}.</math> :*'''Matriu fila''' <math>f_3(A)=\begin{pmatrix} -5 & 4 & 8 & 10 & 2\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\end{pmatrix}=(a_{3\;j})_{5}.</math> :*Elements de la '''diagonal''' són els elements <math>(a_{i\,i})</math> com <math>a_{1\,1}=2,</math> <math>a_{2\,2}=3,</math> <math>a_{3\,3}=8</math> o també <math>a_{4\,4}=-4.</math> :*'''Matriu transposada''' és la matriu resultant de convertir totes les columnes <math>c_i</math> en files <math>f_i</math> de forma que els elements <math>a_{i\,j}</math> ara ocupen el lloc simètric <math>b_{j\,i}</math> dins una nova matriu, en aquest cas obtenim una matriu 5x4: ::<math>\begin{pmatrix} 2 & 0 & -5 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 8 & 0\\ -1& 6 & 10 & -4\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}=(b_{i\,j})_{5\times 4}</math> 2) '''Matrius quadrades''' si <math>m = n</math>, és a dir que l'amplada és igual a l'altura. :*'''Matriu diagonal''' si fora de la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular superior''' si sota la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}3 & -3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & -3 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 8 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular inferior''' si sobre la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0 & 2 & 0\\ 2 & 7 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu simètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 & 8 & -4\\ 3 & -4 & 1 & -1 & -5\\ 5 & 1 & 0 & 4 & 2\\ 8 & -1 & 4 & -2 & 9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & -3 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu antisimètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=-a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} -7 & -3 & -5 & -8 & 4\\ 3 & 1 & -1 & 0 & 5\\ 5 & 1 & 1 & -4 & -2\\ 8 & 0 & 4 & 1 & -9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & 1 \end{pmatrix}</math> 3) '''Matriu zero''' o nul·la si tots els elements són zeros i el seu no és excepcionalment 0: ::<math>\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> ==== Operacions ==== Principals operacions on intervenen matrius, detallant cada element que s'opera. Estalviarem escriur termes utilitzant els punts suspensius que indiquen continuació ordenada, és a dir, escriurem <math>(a_{1\,1}\;\dots\;a_{1\,8})</math> en comptes de <math>(a_{1\,1}\;\;a_{1\,2}\;\;a_{1\,3}\;\;a_{1\,4}\;\;a_{1\,5}\;\;a_{1\,6}\;\;a_{1\,7}\;\;a_{1\,8}).</math> ===== Sumes ===== Suma de dues matrius A i B es defineix per: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff9f6" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |- |colspan="3"|<math>A+B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m\,1} & \cdots & b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1}+b_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}+b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1}+b_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}+b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(a_{i\,j}+b_{i\,j})</math> }} |- |'''Propietats:''' *Propietat associativa: A+(B+C)=(A+B)+C, en aquest cas podem escriure simplement A+B+C. *Propietat commutativa: A+B=B+A. *Element neutre: A+0=A, en aquest cas direm que 0 és l'element zero. *Element invers: Donat A, existeix un element -A tal que A+(-A)=0, en aquest cas direm element oposat o negatiu. |} D'aquesta operació no en resulten noves matrius amb dimensions diferents.<ref>Aquesta propietat s'escriu com <math>M_{m\times n}+M_{m\times n}\longrightarrow M_{m\times n}.</math></ref> ====== Exemples ====== 1) <math>=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1+0 & 0+2\\ -2+0 & 1+1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 2 \end{pmatrix}</math> ===== Producte per escalar ===== Producte d'una constant k '''per''' una matriu A es defineix per: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff3f0" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="80%" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|<math>k\cdot A</math> <math>=k\cdot\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}k\cdot a_{1\,1} & \cdots & k\cdot a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ k\cdot a_{m\,1} & \cdots & k\cdot a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(k\cdot a_{i\,j})</math> }} |- |'''Propietats:''' *Propietat distributiva respecte la suma de matrius: a(A+B)=aA+aB. *Propietat distributiva respecte la suma d'escalars: (a+b)A=aA+bA. *Propietat associativa: (a\cdot b)A=a(b\cdot A). *Element neutre respecte el producte: 1*A=A, l'anomenarem element unitat o u. |} ===== Producte de matrius ===== Producte d'una matriu fila (f) <math>1\times n</math> per una matriu columna (c) <math>n\times 1</math>:<ref>En aquest cas particular no es posa l'índex corresponent a la dimensió 1, d'una matriu <math>n\times 1</math> o <math>1\times m</math>, ja que no serveix per a res, es diu matriu fila de dimensió n o matriu columna de dimensió m.</ref> :<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n\end{pmatrix}</math> <math>=f(A)\cdot c(B)</math> <math>=a_1\cdot b_1+ \ldots + a_n\cdot b_n</math> <math>=d.</math> Producte d'una matriu nxp per una matriu pxm donant una matriu nxm: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff3f0" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="80%" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,p}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,p} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p\,1} & \cdots & b_{p\,m} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}f_1(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_1(A)\cdot c_m(B)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_n(A)\cdot c_m(B) \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}d_{1\,1} & \cdots & d_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n\,1} & \cdots & d_{n\,m} \end{pmatrix}</math> }} |- |'''Propietats:''' No sempre commuta el producte de matrius <math>AB\neq BA</math> *Propietat associativa: A(BC)=(AB)C *Propietat distributiva: A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC. *Element neutre: <math>I_1A=AI_2=A</math>, l'anomenarem matriu identitat. ::<math>I_1</math> i <math>I_2</math> son matrius quadrades i poden ser de diferent dimensió(ordre), en aquest cas depenent de A. :Exemple d'una matriu identitat de dimensió 5. :::<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> Parlarem invers si donat A podem obtenir <math>A^{-1}</math> tal que <math>AA^{-1}=A^{-1}A=I</math> |} === Sistemes lineals === Els sistemes lineals estan associats a matrius de forma natural quan tenim <math>A_{mn}\cdot X=B ,</math> tenim la equivalencia: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #f66;"|<math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |} Direm que el l'equació <math>A_{mn}\cdot X=B</math> equival a un sistema de m equacions i n incògnites. Ens interesa resoldre sistemes lineals amb n i m menors que 4, tot i que apareixen de més grans de forma puntual. ==== Resolució de sistemes lineals ==== Observem el sistema lineal següent que té associat una matriu triangular superior: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 5 & -4\\ 0 & -1 & 3 & -2 & 2\\ 0 & 0 & -3 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #bbb;"|<math>\begin{matrix} 2x + y -3z +5t -4s & =0\\ \;\;\;\;\;-y+3z-2t+2s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-3z+0t+s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t-2s & =-2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4s & = 4 \end{matrix}</math> |} Per solucionar el sistema començarem a resoldre'l per l'última equació i continuarem per la de sobre successivament fins la primera equació: :<math>4s=4</math> <math>\Rightarrow s=1</math> :<math>t-2s=-2</math> <math>\Rightarrow t-2(1)=-2</math> <math>\Rightarrow t=0</math> :<math>-3z+0t+s=0</math> <math>\Rightarrow -3z+0(0)+(1)=0</math> <math>\Rightarrow z=\tfrac{1}{3}</math> :<math>-y+3z-2t+2s=0</math> <math>\Rightarrow -y+3\left(\tfrac{1}{3}\right)-2(0)+2(1)=0</math> <math>\Rightarrow y=3</math> :<math>2x + y -3z +5t -4s=0</math> <math>\Rightarrow 2x + (3) -3\left(\tfrac{1}{3}\right) +5(0) -4(1)=0</math> <math>\Rightarrow x=1</math> Per tant la solució és <math>\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 3\\ \tfrac{1}{3}\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.</math> ==== Triangulació ==== Intentarem convertir un sistema qualsevol en un sistema associat a una matriu triangular superior seguint les regles següents: :1) Les equacions es poden sumar o restar entre elles. ::1.1) Les equacions es poden multiplicar o dividir per un valor concret. :2) Les equacions es poden intercanviar de lloc entre elles. :3) L'objectiu prioritari és fer zeros sota el primer terme de cada equació. És possible que la matriu triangular tingui zeros a la diagonal, això només vol dir que el sistema associat té més d'una solució. ===== Exemple ===== Donat el sistema següent, busqueu els valors de x, y i z. :<math>\begin{matrix} 5x+y-7z=11\\ 2x-5y+3z=4\\ x-2y+z=3 \end{matrix}\Bigg\}</math> El primer pas és reordenar les equacions <math>eq_1 \leftrightarrow eq_3</math> per poder treballar amb nombres petits al que podríem dir diagonal: :<math>\begin{matrix} x-2y+z=3\\ 2x-5y+3z=4\\ 5x+y-7z=11 \end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_2-2\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\\ \;\;0-y\;+z=-2\\ 5x+y-7z=11\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-5\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x\;-2y+\;z\;=3\;\;\;\\ 0\;\;-y\;+\;z\;=-2\\ 0+11y-12z=-4\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3+11\cdot eq_2\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\;\;\;\\ 0\;-y\;+z=-2\\ 0\;+0-z=-26\end{matrix}\Bigg\}</math> Ara ja podem resoldre els sistema: :<math>z=26</math> :<math>-y+z=-2</math> <math>\rightarrow -y+(26)=-2</math> <math>\rightarrow y=28</math> :<math>x-2y+z=3</math> <math>\rightarrow x-2(28)+(26)=3</math> <math>\rightarrow x=33</math> Per tant els sistema té una única solució <math>(26,28,33).</math> === Determinant === El determinant és un mètode que permet mesurar la informació redundant dins d'una matriu quadrada nxn exclusivament. Amb aquest objectiu podem obtenir tres lleis que afecten a files i columnes a l'interior de la matriu:<ref>Aquestes propietats equivalen a dos de les tres condicions teòriques amb les que realment s'ha construït el '''determinant''' quedant així una idea més natural que els alumnes es poden trobar al batxillerat.</ref> :1) Volem sumar o restar unes files a unes altres sense que es modifiqui el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :2) Volem intercanviar files sense que es modifiqui en termes absoluts el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :3) Tenir una fila de zeros equival a un determinant igual a zero, el mateix ha de succeir si tenim una columna de zeros. Tot això es va conseguir, però al punt 2 s'ha observat un canvi de signe quan intercanvies l'ordre dues files o columnes. ==== Determinant de matrius 2x2 ==== [[File:Det2x2.svg|thumb|250px|Signatura]] El determinant d'una matriu 2x2 es calcula així: :<math>\det\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}</math> <math>=ad-cb.</math> La imatge mostra una signatura per recordar l'ordre de les operacions en forma d'embut. ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 8-3\cdot 5</math> <math>=-7.</math> ==== Determinant de matrius 3x3 ==== [[File:Espejo.svg|thumb|150px|Signatura alternativa.]] El determinant d'una matriu 3x3 fem: :<math>\det\begin{pmatrix} a_{1\;1} & a_{1\;2} & a_{1\;3}\\ a_{2\;1} & a_{2\;2} & a_{2\;3}\\ a_{3\;1} & a_{3\;2} & a_{3\;3}\end{pmatrix}</math> <math>=\color{blue}{a_{1\;1}a_{2\;2}a_{3\;3}+a_{1\;2}a_{2\;3}a_{3\;1}+a_{1\;3}a_{2\;1}a_{3\;2}}\color{black}{-(}\color{red}{a_{1\;3}a_{2\;2}a_{3\;1}+a_{1\;2}a_{2\;1}a_{3\;3}+a_{1\;1}a_{2\;3}a_{3\;2}}\color{black}{).}</math> La imatge següent mostra una signatura particular per recordar l'ordre de les operacions [[File:Det3x3a1.svg|350px]] ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 5\cdot (-1)+2\cdot 6\cdot 7+4\cdot 8\cdot 3-(3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot (-1)+6\cdot 8\cdot 1)</math> <math>=-5+84+96-(105-8+48)</math> <math>=175-(142)=33.</math> ==== Determinant de matrius nxn ==== Per fer determinants de matrius de dimensió més grans que 3 l'objectiu és aconseguir una fila o columna on tots els termes siguin zero excepte un d'ells. Regles: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) Les files poden sumar o restar a un altra tantes vegades com calgui. Idem columnes. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2+f_1}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 1 & 5 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}=5-3=2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) Si un valor multiplica una fila, llavors es multiplica el determinant. Idem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2\cdot 5}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 5\cdot 3 & 0\\ 0 & 5\cdot 2 & 0\\ 3 & 5\cdot 1 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 15 & 0\\ 0 & 10 & 0\\ 3 & 5 & 1\end{vmatrix}=10=2\cdot 5</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|3) Si intercanviem dues files, llavors el determinant canvia de signe. Idem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2 \leftrightarrow f_3}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 3 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 0\end{vmatrix}=-2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|4) Si una fila té tots els elements zeros, llavors el determinant és zero. Idem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 10^2\\ 0 & \pi & 3\\ 0 & -1 & 12\end{vmatrix}</math> <math>=0</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|5) Si aconseguim una fila o columna de zeros excepte un d'ells, llavors la fila i columna corresponent a aquest valor es poden eliminar de la matriu, quedant una matriu (n-1)x(n-1), i aquest valor surt fora de la matriu multiplicat pel signe corresponent a la seva posició segons la matriu: :::<math>\begin{pmatrix} + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}</math> }} |- |Exemple: :::<math>\det(A)=\begin{vmatrix} 4 & -3 & 1 & 9\\ 0 & 5 & 6 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))\begin{vmatrix} 5 & 6 & 1\\ 2 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))(-(2))\begin{vmatrix} 6 & 1\\ 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=4\cdot(-2)(6\cdot 7-4\cdot 1)=-304.</math> |} ==== Propietats ==== 1) <math>\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)</math> 2) En general <math>\det(A+ B)\neq\det(A)+\det(B)</math> === Tipus de sistemes === Per tancar l'estudi de sistemes lineals només cal classificar els aquests sistemes donant una interpretació geomètrica per entendre el que es cuina al seu interior. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="400px" |colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Observació''' d'una equació lineal.}} |- | *Una equació lineal amb una incògnita pot determinar un únic punt sobre la recta real. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Una equació lineal amb dos incògnites pot determinar una única recta sobre el pla real. :[[File:RectaOrigen001.svg|300px]] *Una equació lineal amb tres incògnites pot determinar un pla sobre l'espai real. :[[File:Plano001.svg|300px]] Cada equació pot determinar elements amb una dimensió menys que l'espai on es troba. |} Buscar les solucions d'un sistema d'equacions lineals és buscar punts comuns que satisfan totes les equacions a la vegada, és a dir que busquem el lloc de trobada de tots els objectes de cada equació. :Direm que un sistema té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les equacions quedant només '''r''' equacions. :Direm que una matriu té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les files quedant només '''r''' files. :Direm que la matriu associada a un sistema lineal és '''ampliada''' si s'afegeix una '''nova columna''' corresponent als termes independents de les equacions, per parlar del rang d'una matriu ampliada escriurem que '''rang=r*'''. :::{|cellpadding="3" |- ||Sistema <math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu del sistema <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}\end{pmatrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu ampliada <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n} & b_1\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} & b_m \end{pmatrix}</math> |} '''Exemple''' :Donat el següent sistema, calculeu el seu rang: <math>\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+2u=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;2x-2y\;\;\;\;\;\;+2t+5u=7\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t\;\;+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-2\cdot eq_2\;\;}\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5+eq_1\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_4+eq_2\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5-3\cdot eq_4\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\leftarrow</math> '''rang = 4'''. Classificació dels sistemes lineals amb '''n''' incògnites. {|style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" |- |<math>Sistema\;\;lineal=\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;SC\\r=r*\end{matrix}\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;Determinat\;\;SCD\\r=n\end{matrix} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;indeterminat\;\;SCI\\r<n\end{matrix} \end{cases} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Incompatible\;\;SI\\r<r*\end{matrix}\end{cases}</math> |} :'''SCD:''' Una única solució, un punt. :'''SCI:''' Conjunt de solucions formant objectes de dimensió n-r. :'''SI:''' Sense solucions, segurament perquè alguns dels objectes és paral·lel a un altre o interseccions d'altres objectes. Ara sí podem estudiar les situacions que ens trobarem més sovint al batxillerat. ==== Sistemes lineals de dos incògnites ==== Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són rectes concurrents en un únic punt i es podran simplificar fins a restar-ne només dos equacions. :Una interpretació geomètrica seria imaginar tan rectes secants com rectes perpendiculars en un mateix punt que podem o no veure, d'això se'n diu feix de rectes: ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante001.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante002.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante003.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que totes les equacions són idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació. Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. :Una interpretació geomètrica seria imaginar rectes que no tenen punts en comú a totes les rectes a la vegada: o bé almenys un parell de rectes són paral·leles o bé en el punt on concorren les rectes manca almenys una recta. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaParalela001.svg|200px]] |} ==== Sistemes lineals de tres incògnites ==== Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són plans que passen per un sol punt i es podran simplificar fins a restar-ne només tres equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:TresPlanos001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que podria ser desde equacions idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació o també a més a més podria ser que tenim un feix de plans, es a dir que tots es tallen sobre una recta i per tant les seves equacions simplifiquen en només dues equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:Diedro001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. === Regla de Cramer === Gabriel Cramer(1704-1752) va ser el primer en fer la resolució de sistemes lineals amb el que avui anomenem determinats, d'aquí el seu nom al mètode. Donat un sistema lineal '''nxn''': ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}</math> La solució general de <math>x_i</math> és la divisió de dos determinants, al denominador el determinant de la matriu associada i al numerador el determinant de la mateixa matriu però substituint la columna ('''i''') per la columna del terme independent i encara que no sigui molt rigorós indicat així: ::<math>x_i=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,i-1} & b_1 & a_{1\,i+1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,i-1} & b_n & a_{n\,i+1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}</math> Clarament per estar ben definit necessitem que el determinant del denominador sigui diferent de zero i llavors el sistema és '''SCD'''. L'únic inconvenient és que mentre més gran el sistema, més determinats s'ha de fer i per tant és prohibitiu el seu ús en la computació ja que els càlculs creixen desorbitadament. De fet el sistema de triangulació és uns dels més eficients i la resta de mètodes són variants d'aquest. ==== Resolució de sistemes 2x2 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_{1} & a_{1\,2}\\ b_{2} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_{1}\\ a_{2\,1} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem solucions al sistema <math>\begin{matrix} x-y & =3\\ 2x+y & =6 \end{matrix}</math> :<math>\det(A)</math> <math>=\det\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=1\cdot 1-(2\cdot (-1))</math> <math>=3.</math> :<math>x</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 6 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}.</math> :<math>x=\frac{9}{3}=3\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y=\frac{0}{3}=0</math> ==== Resolució de sistemes 3x3 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1 & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ b_2 & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ b_3 & a_{3\,2} & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|, |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_1 & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & b_2 & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & b_3 & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_3=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & b_1\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & b_2\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & b_3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem les solucions del sistema <math>\begin{cases}x+y=1\\ x+z=2\\ y+z=3\end{cases}</math> :<math>x=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{0}{-2}=0</math> :<math>y=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-2}{-2}=1</math> :<math>z=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-4}{-2}=2</math> == Geometria == La geometria ha canviat molt des del temps d'Euclides(300 aC), en aquest curs només veurem el treball que es coneix amb el nom de "Espai vectorial euclidià" però sense entrar en els fonaments d'aquest espai particular. Donarem els elements necessaris per treballar detalladament amb diversos objectes. === Elements === ==== Els punts ==== Només cal saber que són els elements més simples a partir dels quals es poden fer tots els altres elements i que es consideren com la base d'altres conceptes. '''Exemples''' *Un punt sobre la recta real és un el element del conjunt <math>\mathbb{R}</math> i coincideix amb el concepte d'un nombre real: el 5, el -4, el 1000, etc. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Un punt sobre el pla real és un element del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> i la seva forma d'escriure és <math>(3,5)</math> on 3 és la coordenada horitzontal i 5 és la coordenada vertical d'aquest punt. [[File:Coordinate with Origin.svg|200px]] *Un punt sobre l'espai real és un elements del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math> i la seva forma d'escriure és <math>(1,-3,7)</math> on 1 és una coordenada horitzontal(com llargada), -3 és una segona coordenada horitzontal(com amplada) i 7 és la coordenada vertical(simplement s'estén verticalment sobre de les altres dues). [[File:3D coordinate system.svg|200px]] Es té constància que el primer en idear aquestes representacions va ser René Descartes(1596-1650) i és així quan es va iniciar la nova geometria analítica permetent les representacions gràfiques. ==== Els vectors ==== [[File:Vector AB from A to B.svg|right|300px]] El concepte de vector a la geometria<ref>Les primeres aplicacions no utilitzen punts perquè només volien saber el seu mòdul i la direcció, i res més, però posteriorment s'ha donat un suport teòric molt més acurat del concepte de vector que és el que s'utilitza actualment a la geometria analítica</ref> està lligat a dos punts. '''Definició i notació:''' Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^2</math>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2)</math> és i està format de la següent: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2)</math> Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^3</math>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2,\;a_3)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2,\;b_3)</math> és i està format de la següent: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2,\;b_3-a_3)</math> {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="500px" |colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Observació'''}} |- |Respectant la idea de resta de matrius files obtenim un nou element, que segueix sent una matriu fila, l'anomenarem vector. *Dels valors que té ja no en direm coordenades sinó components. Tenim doncs les propietats següents: *Si tenim un origen i un vector llavors tenim el destí. *Si tenim un origen i un destí llavors tenim el vector. *Si tenim un vector i un destí llavors tenim l'origen. Podem utilitzar algebraicament els punts i vectors com: :<math>\vec{v}=B-A</math> :<math>\vec{v}+A=B</math> :<math>A=B-\vec{v}</math> |} Per utilitzar vectors necessitem les principals operacions que definim tot seguit i fixeu-vos la semblança amb les operacions de matrius: ===== Suma de vectors ===== Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2).</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).</math> ===== Producte per escalar ===== Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2).</math> Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2,\;\lambda\cdot u_3).</math> :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Exercicis:'''}} |- |1) Estic en el punt <math>A=(5,\;5),</math> casa meva està en el punt <math>B=(2,\;3).</math> Si camino en línia recta 5 vegades més arribaria a la biblioteca. ¿En quin lloc està la biblioteca? *El camí que va a casa meva ve determinat pel vector: ::<math>\vec{AB}</math> <math>=B-A</math> <math>=(2,\;3)-(5,\;5)</math> <math>(-3,\;-2).</math> *Per tant si camino, des d'on estic i en línea recta, 5 vegades més, estic fent aquesta operació: ::<math>A+5\cdot\vec{AB}</math> <math>=(5,\;5)+5\cdot (-3,\;-2)</math> <math>=(5,\;5)+(5\cdot (-3),\;5\cdot (-2))</math> <math>=(5,\;5)+(-15,\;-10)</math> <math>=(-10,\;-5)</math> Solució: La biblioteca està al punt <math>C=(-10,\;-5).</math> 2) Dos arbres estan en els punts <math>A=(2,\;3)</math> i <math>B=(4,\;1),</math> però a mig camí hi ha un tresor. ¿On? *El camí de A a B és: ::<math>\vec{AB}</math> <math>=B-A</math> <math>=(4,\;1)-(2,\;3)</math> <math>=(2,\;-2).</math> *Per trobar el punt mig del camí de A a B només cal fer la meitat del recorregut, és a dir: ::<math>\frac{\vec{AB}}{2}</math> <math>=\frac{(2,\;-2)}{2}</math> <math>=\tfrac{1}{2}(2,\;-2)</math> <math>=(\tfrac{1}{2}2,\;\tfrac{1}{2}(-2))</math> <math>=(1,\;-1).</math> Solució: el punt que busquem és <math>C</math> <math>=A+\frac{\vec{AB}}{2}</math> <math>=(2,\;3)+(1,\;-1)</math> <math>=(3,\;2)</math> |} ===== Producte a escalar ===== Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2.</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> el seu producte és: :<math>\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3=3+0+15=18.</math> :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Exemple:'''}} |- |Sigui <math>\vec{u}=(3,\;4,\;5)</math> i <math>\vec{v}=(1,\;0,\;3)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(3,\;4,\;5)\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 3\end{pmatrix}=3\cdot 1+4\cdot 0+5\cdot 3.</math> |} ====== Longitud d'un vector ====== Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.</math> Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2+u_3\cdot u_3}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.</math> :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Exemples:'''}} |- |[[File:Vector(1,1).svg|150px|right]] 1) Longitud del vector <math>\vec{u}=(1,\;1),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{u}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math> :Observem que la longitud del vector és la hipotenusa del triangle rectangle dibuixat, i per tant, és equivalent al teorema de Pitàgores. 2) Longitud del vector <math>\vec{w}=(1,\;-1,\;0),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2}</math> |} ====== Vectors unitaris ====== Per obtenir vectors unitaris, que són vectors de longitud 1, només cal extreure la seva longitud, per tant, hem de dividir el vector per la seva longitud: :<math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}</math> Construït així, aquest vector <math>\hat{u}</math> té longitud 1. ====== Projecció d'un vector ====== Primer de tot necessitem una direcció on volem projectar, es donada amb un vector unitari <math>\hat{u}</math>, llavors per projectar-hi <math>\vec{v}</math> farem: *La longitud del vector projectat és: <math>l_\vec{p}=\vec{v}\cdot\hat{u}.</math> Per tant el vector projectat és: <math>\vec{p}=l_\vec{p}\cdot\hat{u}</math> ====== Angle entre dos vectors ====== Per calcular l'angle entre dos vectors qualsevols <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> s'utilitza la fórmula: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|<math>cos(\alpha)=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{l_\vec{u}\cdot l_\vec{v}}</math>}} |- |Per calcular l'angle entre <math>\vec{v}</math> i <math>\hat{u}</math> només cal aplicar la fórmula trigonomètrica: <math>cos(\alpha)=\frac{l_\vec{p}}{l_\vec{u}}=\frac{\vec{v}\cdot\hat{u}}{l_\vec{v}}</math> |} ===== Base ===== Les bases de vectors s'utilitzen per construir tots els possibles vectors d'un espai de treball. El conjunt de vectors més senzills i utilitzats com a base, anomenat base canònica, a <math>\mathbb{R}^3</math> és: :<math>\hat{i}=(1,\;0,\;0)\;,\;\;\hat{j}=(0,\;1,\;0)\;\;i\;\;\hat{k}=(0,\;0,\;1)</math> ====== Combinació lineal de vectors ====== Combinació lineal és fer sumes i restes de vectors amb productes per escalar. '''Exemple''': Donats els vectors <math>\vec{u}=(1,\;-2,\;0)</math>, <math>\vec{v}=(0,\;5,\;-1)</math> i <math>\vec{s}=(-3,\;1,\;4)</math> calculeu <math>\vec{w}:</math> 1) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}+3\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=(1,\;-2,\;0)+(-1)\cdot (0,\;5,\;-1)+3\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(1,\;-2,\;0)+(0,\;-5,\;1)+(-9,\;3,\;12)</math> <math>=(-8,\;-4,\;13)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(-8,\;-4,\;13)</math> 2) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=5\cdot\vec{u}+2\cdot\vec{v}-4\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=5\cdot (1,\;-2,\;0)+2\cdot (0,\;5,\;-1)+(-4)\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(5,\;-10,\;0)+(0,\;10,\;-2)+(12,\;-4,\;-16)</math> <math>=(17,\;-4,\;-18)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(17,\;-4,\;-18)</math> == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] d5zbdjdhelmbb56jotn88sua6x6e7wh 0 46018 373498 339341 2025-06-21T01:41:40Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373498 wikitext text/x-wiki Línia de presentació de les derivades nivell bàsic. És important haver assolit una bona comprensió del tema de funció contínua, rectes i límits. === Introducció === [[File:Portrait of Sir Isaac Newton, 1689.jpg|right|150px]] Les derivades introduïdes per [https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Isaac Newton] s'utilitzen bàsicament per trobar pendents a nivell local sobre les gràfiques de les funcions. ==== Taxa de variació mitjana ==== Amb dos punts sobre un gràfic, <math>A = (a, f(a))</math> i <math>B = (b, f(b))</math>, el pendent entre aquests dos punts s'anomena '''taxa de variació mitjana''' entre '''a''' i '''b''': <math>TVM_{[a,b]} =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> Aquesta taxa no requereix els successos intermedis només mesura el pendent de la recta hipotètica que passa per aquest dos punts és, per tant, una relació donada per una divisió entre dues mesures <math>\frac{unitat\;\;vertical}{unitat\;\;horitzontal}</math>: ==== Derivada ==== La '''taxa de variació instantània''' o '''derivada''' en <math>x_1</math> dona el pendent de la recta tangent en el punt <math>(x_1,\;f(x_1))</math>, per tant, necesita que només hi hagi una única recta tangent. [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] gq658htxaevx4pmtfqmfs56glu608fn 0 46072 373540 367149 2025-06-21T01:50:29Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373540 wikitext text/x-wiki Aquesta secció pretén mostrar la idea bàsica del concepte de funció. === Introducció === Cal fixar-se en els gràfics més senzills per assimilar aquest concepte, com per exemple: [[File:Recorrido N001.svg|center|600px]] '''Observacions''': Aquest gràfic mostra un circuit de 157 kilòmetres de llargària, des de Lleida fins a Andorra, indicant l'altura també en kilòmetres. 1) Per a cada kilòmetre ens indica una única altura en kilòmetres. 2) Les mesures horitzontals comprenen tots els possibles valors des del kilòmetre 0 fins el kilòmetre 157 on finalitza el circuit. 3) Les mesures verticals comprenen totes les possibles altures que hom té en cada lloc del circuit compresos entre 0,15&nbsp;km i els 2,015&nbsp;km. 4) Fixeu-vos que la representació dels valors verticals i horitzontals són kilòmetres, però amb mides diferents per que s'ha modificat la proporció entre ells donant un efecte visual de circuit de muntanya. === Definicions === '''Una funció f''' ha de permetre determinar o assignar per cada valor horitzontal un únic valor vertical.(1) Anomenarem '''domini''' de '''f''' a tots els possibles valors horitzontals on '''f''' treballa.(2) Anomenarem '''recorregut''' o '''imatge''' de '''f''' a tots els valors capaços de ser determinats per la funció '''f'''.(3) ==== Determinació de funcions ==== [[File:Esquema de aplicación v001.svg|right|250px]] Per determinar una funció necessitem fixar les dades del seu domini i del seu recorregut, i que determinin correctament la funció. *Per parlar d'un element a l'atzar del domini escriurem simplement '''x'''. *Per parlar d'un element del recorregut escriurem '''f(x)''' o també '''y''', és aquesta raó que porta a escriure: ::::<math>y=f(x)</math> Aquestes lletres '''x''' i '''y''' que permeten parlar d'elements sense dir de qui es tracta se'n diuen '''variables''' o '''desconegudes''', i de la variable '''y''' direm també que és '''dependent''' de '''x'''. {{clear}} ==== Gràfica d'una funció ==== [[File:Gráfica de función v001.svg|left]] Per obtindre la gràfica d'una funció nomes cal tenir en compte quin és el domini i quin és el recorregut: {| |- | *El domini en verd el trobarem a l'eix horitzontal anomenat '''eix d'abscisses'''. *El recorregut en vermell el trobarem a l'eix vertical anomenat '''eix d'ordenades'''. |} Cada cop que es calcula un punt <math>(\;x,\;y\;)</math> el que fem es trobar un punt del gràfic de la funció dibuixat en blau. {{clear}} ===== Exemples ===== {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|1) Donada una funció definida per la següent taula: {| border="1px" cellspacing="0" cellpadding="6" |- |style="border:1px solid grey;" align="center"|'''x''' |style="border:1px solid grey;" align="center"|0 |style="border:1px solid grey;" align="center"|1 |style="border:1px solid grey;" align="center"|2 |style="border:1px solid grey;" align="center"|3 |style="border:1px solid grey;" align="center"|4 |style="border:1px solid grey;" align="center"|5 |style="border:1px solid grey;" align="center"|6 |style="border:1px solid grey;" align="center"|7 |style="border:1px solid grey;" align="center"|8 |- |style="border:1px solid grey;" align="center"|'''f(x)''' |style="border:1px solid grey;" align="center"|0 |style="border:1px solid grey;" align="center"|3 |style="border:1px solid grey;" align="center"|1 |style="border:1px solid grey;" align="center"|4 |style="border:1px solid grey;" align="center"|2 |style="border:1px solid grey;" align="center"|0 |style="border:1px solid grey;" align="center"|3 |style="border:1px solid grey;" align="center"|1 |style="border:1px solid grey;" align="center"|2 |} |style="vertical-align: top;"| {|style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Que és aquesta taula?" data-collapsetext="Vist" |+ |- | Aquesta taula té dues files sempre horitzontals: *la primera fila encapçalada per '''x''' recull tots els valors de x com 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8 que podrien ser dies. *La segona fila encapçalada per '''f(x)''' recull dades associades a les anteriors que podrien ser martells venuts. S'observa que el dia 2 ha venut 1 martell, el dia 6 ha venut 3 martells, el dia 7 ha tornat a vendre només un martell i així successivament. La taula també pot estar disposada verticalment sense cap problema, només caldrà llegir-la per columnes sempre verticals. |} |- |colspan="2"| {|style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure solució" data-collapsetext="Oculta solució" |Es demana construir la seva gràfica. |- |style="border: 1px solid #ccc;" bgcolor="#fff"|Per construir la funció només cal identificar els punts del tipus <math>(\;x,\;f(x)\;)</math> dins del pla de coordenades: [[File:Gráfica de función v002.svg|left]] {| |- | *El domini són els valors <math>\{0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8\;\}.</math> *El recorregut són els valors <math>\{0,\;1,\;2,\;3,\;4\;\}.</math> |} S'observa que el seu gràfic només són els nou punts blaus resultants. {|style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="De quins punts parlen?" data-collapsetext="Vist" |+ |- |bgcolor="#fff"|Si parlen dels punts del tipus <math>(\;x,\;f(x)\;)</math> vol dir que podem extreure de la taula els valors aparellats verticalment i són els següents: <math>(0,\;0),</math> <math>(1,\;3),</math> <math>(2,\;1),</math> <math>(3,\;4),</math> <math>(4,\;2),</math> <math>(5,\;0),</math> <math>(6,\;3),</math> <math>(7,\;1)</math> i <math>(8,\;2),</math> per tant vol dir que es poden representar com a punts en un pla amb coordenades. |} |} |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|2) Donada una funció definida per la seva representació gràfica: {| |- | [[File:Gráfica de función v003.svg|240px|left]] || {| border="1px" cellspacing="0" cellpadding="6" |- |style="border:1px solid grey;" align="center"|'''x''' |style="border:1px solid grey;" align="center"|0 |style="border:1px solid grey;" align="center"|1 |style="border:1px solid grey;" align="center"|2 |style="border:1px solid grey;" align="center"|3 |style="border:1px solid grey;" align="center"|4 |style="border:1px solid grey;" align="center"|5 |style="border:1px solid grey;" align="center"|6 |style="border:1px solid grey;" align="center"|7 |style="border:1px solid grey;" align="center"|8 |- |style="border:1px solid grey;" align="center"|'''f(x)''' |style="border:1px solid grey;" align="center"| |style="border:1px solid grey;" align="center"| |style="border:1px solid grey;" align="center"| |style="border:1px solid grey;" align="center"| |style="border:1px solid grey;" align="center"| |style="border:1px solid grey;" align="center"| |style="border:1px solid grey;" align="center"| |style="border:1px solid grey;" align="center"| |style="border:1px solid grey;" align="center"| |} |} |- |colspan="2"| {|style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure solució" data-collapsetext="Oculta solució" |Es demana omplir la taula donada. |- |style="border: 1px solid #ccc;" bgcolor="#fff"|Per omplir la taula només cal identificar els punts del tipus <math>(\;x,\;f(x)\;)</math> dins del pla de coordenades: {| border="1px" cellspacing="0" cellpadding="6" |- |style="border:1px solid grey;" align="center"|'''x''' |style="border:1px solid grey;" align="center"|0 |style="border:1px solid grey;" align="center"|1 |style="border:1px solid grey;" align="center"|2 |style="border:1px solid grey;" align="center"|3 |style="border:1px solid grey;" align="center"|4 |style="border:1px solid grey;" align="center"|5 |style="border:1px solid grey;" align="center"|6 |style="border:1px solid grey;" align="center"|7 |style="border:1px solid grey;" align="center"|8 |- |style="border:1px solid grey;" align="center"|'''f(x)''' |style="border:1px solid grey;" align="center"|1 |style="border:1px solid grey;" align="center"|0 |style="border:1px solid grey;" align="center"|1 |style="border:1px solid grey;" align="center"|3 |style="border:1px solid grey;" align="center"|0 |style="border:1px solid grey;" align="center"|2 |style="border:1px solid grey;" align="center"|3 |style="border:1px solid grey;" align="center"|2 |style="border:1px solid grey;" align="center"|1 |} {|style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="D'on surten les dades?" data-collapsetext="Vist" |+ |- |bgcolor="#fff"|Si parlen dels punts del tipus <math>(\;x,\;f(x)\;)</math> vol dir que podem extreure de la taula els valors aparellats verticalment i són els següents: <math>(0,\;1),</math> <math>(1,\;0),</math> <math>(2,\;1),</math> <math>(3,\;3),</math> <math>(4,\;0),</math> <math>(5,\;2),</math> <math>(6,\;3),</math> <math>(7,\;2)</math> i <math>(8,\;1),</math> per tant vol dir que podem omplir la taula amb els punts del pla. |} |} |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|3) Donada una funció definida per la seva representació gràfica: |- |[[File:Gráfica de función v004.svg|240px|left]] |- |colspan="2"| {|style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure solució" data-collapsetext="Oculta solució" |Es demana determinar el domini i recorregut. |- |style="border: 1px solid #ccc;" bgcolor="#fff"|Per deduir els [[Intervals IV|intervals]] del domini i recorregut, cal identificar la línia blava com punts del tipus <math>(\;x,\;f(x)\;),</math> els possibles valors de '''x''' que serà el domini i els possibles valors de '''f(x)''' que parlen del recorregut: La '''x''' parla del domini i per tant només cal fixar-se en els valors que pot prendre, clarament els valors van des de el -1 fins al 3, però també del 4 fins al 7. La rodona blanca amb coordenada x=3 vol dir que no hem d'incloure aquest 3 com un valor de dins de l'interval. Solució: *El domini de la funció són els valors dels intervals [-1, 3) i [4,7] que escrit conjuntament és <math>[-1,\;3) \cup [4,\;7].</math> La '''f(x)''' parla del recorregut i per tant només cal fixar-se en els seus valors, els valors que observen a l'eix d'ordenades van des de el 1 fins al 2, i també des de el 3 fins al 4. Solució: *El recorregut de la funció són els valors dels intervals [1, 2] i [3, 4] que escrit conjuntament és <math>[1,\;2] \cup [3,\;4].</math> Observeu que la bola blanca en el punt (3, 1) no canvia res al recorregut ja que el punt (-1, 1) es ple i per tant aquest f(x)=1 li pertany. |} |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|4) Construeix una representació d'una funció que tingui: * El domini <math>[-2, 0)\cup (1, 2]</math> * El recorregut <math>[-2,-1]\cup [0,2)</math> |- |style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure solució" data-collapsetext="Oculta solució"| [[File:Gráfica de función v005.svg|210px]] |} ===== Exercicis ===== Exercicis de [[Exemples de funcions a trossos|de funcions a trossos]] [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 77dpkl923u11fm453b2vf485w89s528 0 47286 373565 355609 2025-06-21T01:52:29Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373565 wikitext text/x-wiki En aquesta secció s'introdueix al treball de totes les fraccions com un conjunt. === Introducció === A l'antiguitat trobem mols vestigis de fraccions que tenen diferents formes, uns associats a dibuixos uns altres barrejant altres símbols. A l'Amèrica en trobem els asteques que mesuraven longituds amb diferents mesures on unes eren fraccions d'altres indicats amb [http://3.bp.blogspot.com/-AcqAHi_OAmo/VgYn0noakuI/AAAAAAAAAHU/N-EeBRYtJyM/s320/imagen2.png dibuixos]. A l'antic continent han aparegut diverses vegades les fraccions: :Els primers que van utilitzar amb consciencia les fraccions van ser els sumeris i la seva escriptura va anar evolucionant fins a obtenir un sistema numèric sexagesimal molt modern. :Els egipcis van fer fraccions amb parts de l'ull d'Horus. ::[[File:Eye of Horus (fractions).svg|200px]] === Els nombres racionals === Els nombres racionals són valors de la forma: :<math>\frac{a}{b}</math> On '''a''' és un nombre enter i '''b''' és un nombre enter diferent de zero. '''Exemples:''' :<math>\frac{4}{5},</math> <math>\frac{7}{-2},</math> <math>\frac{-1}{9},</math> <math>-\frac{7}{3},</math> <math>\frac{4}{2},</math> <math>\frac{0}{8}</math> o <math>-\frac{1}{2}</math> ==== La recta numèrica amb fraccions ==== Les fraccions són valors que es poden expressar amb valors decimals aproximats, només cal dividir el numerador entre el denominador. :<math>\frac{1}{1}=1,</math> <math>-\frac{1}{1}=-1</math> <math>\frac{1}{2}=0'5,</math> <math>-\frac{1}{2}=-0'5,</math> <math>\frac{3}{2}=1'5,</math> <math>-\frac{3}{2}=-1'5,</math> <math>\frac{2}{1}=2</math> i <math>-\frac{2}{1}=-2</math> El lloc de cada fracció és doncs: [[File:Recta racional v001.svg]] ==== Oposat d'una fracció ==== Per fer l'oposat d'una fracció només cal canviar el signe que tingui. '''Exemples:''' {|cellspacing="5" style="border: 1px solid #ddf;" |- |bgcolor="#ddf"|Número||<math>\xrightarrow{\;\;\;Op\;\;\;}</math> |bgcolor="#ddf"|Oposat |- |align="right"|<math>\frac{3}{2}</math> |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="right"|<math>-\frac{3}{2}</math> |- |align="right"|<math>-\frac{1}{2}</math> |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="right"|<math>\frac{1}{2}</math> |- |align="right"|<math>\frac{2}{1}</math> |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="right"|<math>-\frac{2}{1}</math> |- |align="right"|<math>\frac{0}{1}</math> |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="right"|<math>\frac{0}{1}</math> |} ===== Propietats ===== *La suma de nombres oposats és zero. *La distància de la fracció al zero i del seu oposat al zero és la mateixa. :*És com una simetria des de el zero i on el zero es queda quiet. *L'oposat d'un oposat torna a ser el mateix número. ==== Invers d'una fracció ==== Per fer l'Invers d'una fracció només cal intercanviar el numerador amb el denominador. '''Exemples:''' {|cellspacing="5" style="border: 1px solid #ddf;" |- |bgcolor="#ddf"|Número||<math>\xrightarrow{\;\;\;Inv\;\;\;}</math> |bgcolor="#ddf"|Invers |- |align="right"|<math>\frac{3}{2}</math> |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="right"|<math>\frac{2}{3}</math> |- |align="right"|<math>-\frac{7}{2}</math> |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="right"|<math>-\frac{2}{7}</math> |- |align="right"|<math>\frac{5}{8}</math> |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="right"|<math>\frac{8}{5}</math> |- |align="right"|<math>\frac{0}{1}</math> |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="right"|No en té. |} ===== Propietats ===== *El producte de números inversos és 1. :*Un número i el seu invers tenen el mateix signe. *L'invers d'un invers torna a ser el mateix números. ==== Valor absolut ==== Per fer valor absolut només cal esborrar el signe '''negatiu'''. '''Exemples:''' {|cellspacing="5" style="border: 1px solid #ddf;" |- |bgcolor="#ddf"|Número||<math>\xrightarrow{\;\;\;|\cdot|\;\;\;}</math> |bgcolor="#ddf"|Invers |- |align="right"|<math>\frac{3}{2}</math> |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="right"|<math>\frac{2}{3}</math> |- |align="right"|<math>-\frac{7}{2}</math> |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="right"|<math>\frac{2}{7}</math> |- |align="right"|<math>\frac{5}{8}</math> |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="right"|<math>\frac{8}{5}</math> |- |align="right"|<math>\frac{0}{1}</math> |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="right"|<math>\frac{0}{1}</math> |} ==== Operacions ==== Les operacions amb fraccions són importants de cara a obtenir fraccions simples i irreductibles que hauria de ser un hàbit per sempre. Recordem que per simplificar o reduir fraccions es busca un divisor comú al numerador i denominador, i fem l'operació fins que ja no es pugui més. ::<math>\frac{8}{32}=\frac{4\cdot 2}{16\cdot 2}=\frac{4\cdot\cancel 2}{16\cdot\cancel 2}=\frac{4}{16}</math> Per tant això equival a dividir per 2 al numerador i denominador, com que es pot dividir més continuem: ::<math>\frac{4}{16}=\frac{2\cdot 2}{8\cdot 2}=\frac{2\cdot\cancel 2}{8\cdot\cancel 2}=\frac{2}{2}=\frac{2}{4\cdot 2}=\frac{\cancel 2}{4\cdot\cancel 2}=\frac{1}{4}.</math> Com que ja no podem dividir més ja està reduït. '''Observacions''' *En reduir una fracció mai pot aparèixer un zero, pensem que en reduir apareix un 1 al numerador i denominador. Exemple molt detallat on un nombre es repeteix multiplicant al numerador i denominador llavors es simplifica com 1: :::<math>\frac{42}{6}=\frac{21\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{21\cdot\cancel 2}{3\cdot\cancel 2}=\frac{21\cdot 1}{3\cdot 1}=\frac{21}{3}=\frac{7\cdot 3}{1\cdot 3}=\frac{7\cdot\cancel 3}{1\cdot\cancel 3}=\frac{7\cdot 1}{1\cdot 1}=\frac{7}{1}=7.</math> ===== Producte ===== Per fer el producte o multiplicació de dues fraccions presentem una fórmula però cal fixar-se en els exemples. ::<math>\frac{\color{blue}a\color{black}}{\color{red}b\color{black}}\cdot\frac{\color{blue}c\color{black}}{\color{red}d\color{blue}}=\frac{\color{blue}a\cdot c\color{black}}{\color{red}b\cdot d\color{black}}</math> '''Exemples:''' a) <math>\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}</math> b) <math>\frac{-1}{2}\cdot\frac{5}{3}=\frac{-1\cdot 5}{2\cdot 3}=\frac{-5}{6}=-\frac{5}{6}</math> c) <math>\frac{7}{-2}\cdot\frac{8}{3}=\frac{7\cdot 8}{-2\cdot 3}=\frac{56}{-6}=-\frac{56}{6}=-\frac{28}{3}</math> d) <math>5\cdot\frac{2}{3}=\frac{5}{1}\cdot\frac{2}{3}=\frac{5\cdot 2}{1\cdot 3}=\frac{10}{3}</math> ===== Divisió ===== Per fer la divisió entre dues fraccions presentem una fórmula però cal fixar-se en els exemples. ::<math>\frac{\color{blue}a\color{black}}{\color{red}b\color{black}}\div\frac{\color{red}c\color{black}}{\color{blue}d\color{black}}=\frac{\color{blue}a\cdot d\color{black}}{\color{red}b\cdot c\color{black}}</math> '''Exemples:''' a) <math>\frac{2}{3}\div\frac{5}{7}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 5}=\frac{14}{15}</math> b) <math>\frac{-1}{2}\div\frac{5}{3}=\frac{-1\cdot 3}{2\cdot 5}=\frac{-3}{10}=-\frac{3}{10}</math> c) <math>\frac{7}{-2}\div\frac{8}{3}=\frac{7\cdot 3}{-2\cdot 8}=\frac{21}{-16}=-\frac{21}{16}</math> d) <math>5\div\frac{2}{3}=\frac{5}{1}\div\frac{2}{3}=\frac{5\cdot 3}{1\cdot 2}=\frac{15}{2}</math> ===== Sumes i restes ===== Les sumes successives de fraccions es poden agrupar en dos grups, les que tenen mateix denominador i les que no tenen mateix denominador on es distingeix també casos o dreceres. ====== Mateix denominador ====== Fórmula per sumar i restar fraccions amb mateix denominador: ::<math>\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}</math> ::<math>\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}</math> '''Exemples:''' a) <math>\frac{23}{2}-\frac{13}{2}+\frac{5}{2}=\frac{23-13+5}{2}=\frac{15}{2}</math> b) <math>\frac{4}{3}+\frac{5}{3}-\frac{6}{3}=\frac{4+5-6}{3}=\frac{3}{3}=1</math> c) <math>\frac{-3}{5}+\frac{7}{5}-\frac{-1}{5}-\frac{3}{5}=\frac{-3+7-(-1)-3}{5}=\frac{2}{3}</math> ====== Diferent denominador ====== ===== Potències ===== ==== Notació científica ==== ===== Operacions ===== == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] tp6wwi8zeou0erak2l0g85v446opq4v 0 47413 373524 368476 2025-06-21T01:43:41Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373524 wikitext text/x-wiki Breu recordatori sobre proporcionalitat de primer i segon d'ESO. === Proporcionalitat directa === Una regla de tres determina i és sempre una proporcionalitat directa, veiem exemples: 1) Completa la taula següent que relaciona el preu amb les unitats comprades. {| |width=10px| || {|cellspacing="5" style="border: 1px solid #ddf;" |bgcolor="#ddf"|Euros||<math>\xrightarrow{\;\;\; \;\;\;}</math> |bgcolor="#ddf"|Caixes |- |align="right"|5&nbsp;€ |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|2 |- |align="right"|10&nbsp;€ |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|x |- |align="right"|y |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|8 |- |align="right"|z |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|10 |} ||[[File:Strawberries - “Delight”. (8030136782).jpg|200px]] |} 2) Completa la taula següent que relaciona el preu amb els metres de fil comprats. {| |width=10px| || {|cellspacing="5" style="border: 1px solid #ddf;" |- |bgcolor="#ddf"|Euros||<math>\xrightarrow{\;\;\; \;\;\;}</math> |bgcolor="#ddf"|Metres |- |align="right"|2&nbsp;€ |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|30&nbsp;m |- |align="right"|7&nbsp;€ |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|x |- |align="right"|y |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|300&nbsp;m |- |align="right"|z |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|1000&nbsp;m |} |[[File:Threads2.jpg|250px]] |} 3) Completa la taula següent que compara el nombre d'obrers amb la quantitat de rajoles reparades en un sol dia. {| |width=10px| || {|cellspacing="5" style="border: 1px solid #ddf;" |- |bgcolor="#ddf"|Obrers||<math>\xrightarrow{\;\;\; \;\;\;}</math> |bgcolor="#ddf"|Rajoles |- |align="right"|3&nbsp;o |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|33&nbsp;r |- |align="right"|8&nbsp;o |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|x |- |align="right"|y |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|400&nbsp;r |- |align="right"|z |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|500&nbsp;r |} |[[File:Obreros valmetro.jpg|200px]] |} ==== Regla de tres i l'àlgebra ==== [[File:Cavendish Banana DS.jpg|left|80px]] Una regla de tres té associada una expressió algèbrica fàcil de resoldre, veiem aquest paral·lelisme: Suposem que amb 2 € comprem 5 plàtans, llavor tenim: {| |width=10px| || {|cellspacing="5" style="border: 1px solid #ddf;" '''Esquema de regla de tres''' |- |bgcolor="#ddf"|Euros||<math>\xrightarrow{\;\;\; \;\;\;}</math> |bgcolor="#ddf"|Platans |- |align="right"|2 € |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|5 |- |align="right"|x € |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|7 |- |align="right"|0 € |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|0 |- |align="right"|40 € |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|100 |} |width=20px| || {| '''Visió algèbrica''' |- || <math>\frac{2}{x}=\frac{5}{7}</math> |} |width=20px| || {| '''Resolució''' |- || <math>x=\frac{2\cdot 7}{5}</math> |} |} Amb aquesta equivalència clarament podem fer el següent canvi per aïllar ràpidament la x i veure que és exactament la mateixa operació que amb regla de tres: {| |width=10px| || {|cellspacing="5" style="border: 1px solid #ddf;" |bgcolor="#ddf"|Euros||<math>\xrightarrow{\;\;\; \;\;\;}</math> |bgcolor="#ddf"|Platans |- |align="right"|x € |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|7 |- |align="right"|2 € |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|5 |} |width=20px| || {| <math>\frac{x}{2}=\frac{7}{5}</math> |} |width=20px| || {| ||<math>x=2\cdot\frac{7}{5}=</math> |style="border: 1px solid grey;"|<math>\frac{2\cdot 7}{5}</math> |} |} S'observa que: * Per resoldre l'equació <math>\frac{x}{2}=\frac{7}{5}</math> només cal canviar de costat de la igualtat el 2 que divideix que passa la igualtat a multiplicar els <math>\frac{7}{5}.</math> * La resolució per regla de tres és exactament la mateixa que la resolució algèbrica. * L'equació equivalent per evitar divisions per zero és <math>x\cdot 5=2\cdot 7</math> que surt de multiplicar en creu. === Representació === Exemples de representació i observacions típiques. 1) Comparem el nombre de treballadors i els diners gastats. :Suposem que un empresari paga als seus treballadors 1000 €. taula+gràfic 2) Comparem els diners al banc i els interessos a 10 anys idealment. :Suposem que els interessos són del 20%: taula+gràfic === Proporcionalitat inversa === Diem que la proporcionalitat inversa necessita un concepte o una dada fixada per determinar-la. 1) Suposem que es vol construir un únic mur de 10 metres de llarg i sabem que 2 operaris el farien en 5 hores, per tant. [[File:BrickWall26.jpg|100px]] {| |width=10px| || {|cellspacing="5" style="border: 1px solid #ddf;" '''Taula''' |- |bgcolor="#ddf"|Operaris||<math>\xrightarrow{\;\;\; \;\;\;}</math> |bgcolor="#ddf"|Temps |- |align="right"|2 o |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|5 h |- |align="right"|1 o |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|10 h |- |align="right"|0 o |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"| Impossible |- |align="right"|5 o |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|2 h |- |align="right"|10 o |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|1 h |} |width=20px| || '''gràfic''' |} 2) Suposem que la distància de casa a la feina siguin 20 kilòmetres i volem comparar la velocitat i el temps utilitzat. {| |width=10px| || {|cellspacing="5" style="border: 1px solid #ddf;" '''Taula''' |- |bgcolor="#ddf"|Velocitat||<math>\xrightarrow{\;\;\; \;\;\;}</math> |bgcolor="#ddf"|Temps |- |align="right"|2 km/h |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|10 h |- |align="right"|1 km/h |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|20 h |- |align="right"|0 km/h |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"| Impossible |- |align="right"|5 km/h |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|4 h |- |align="right"|10 km/h |align="center"|<math>\longmapsto</math> |align="left"|2 h |} |width=20px| || '''gràfic''' |} == Anotacions == [[Category:Matemàtiques de primer d'ESO]] [[Category:CA]] m1spnmudy68qcaatq252a2vyw4o2e23 0 47446 373566 367588 2025-06-21T01:52:30Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373566 wikitext text/x-wiki Els polinomis són expressions algèbriques molt utilitzades a la resolució de problemes complexos. La seva classificació i manipulació és molt senzilla, ajudant a millorar diferents problemes. Aquest fet fa que es vulgui convertir qualsevol expressió algèbrica a una forma polinòmica. === Expressions algèbriques === Les '''expressions algèbriques''' apareixen en sintetitzar diferents problemes per exemple: 1) El perímetre d'un quadrat es la suma de longituds dels seus 4 costats: :Expressió algèbrica és: P=x+x+x+x que també es pot escriure com P=4x. 2) La diagonal d'un quadrat de costat desconegut: :Expressió algèbrica: <math>D=\sqrt{2}\times x</math> 3) L'àrea d'un quadrat és el producte dels seus dos costats: :Expressió algèbrica és: <math>A=x\times x</math> que també es pot escriure com <math>A=x^2.</math> 4) El volum d'un cub és el producte de les tres dimensions que té: :Expressió algèbrica: <math>V=x\times x\times x</math> o també <math>V=x^3.</math> ==== Polinomis ==== [[File:Expresión algebraica.svg|right|250px]] Una de les expressions algèbriques més habituals són els '''polinomis''' que són sumes i restes de termes que estan separats per sumes o restes encerclades com a la imatge. Els termes són números o constants('''coeficients''' com <math>\sqrt{2}</math> o <math>\frac{1}{3}</math> que es com dividir) multiplicats per incògnites('''literals''' sempre multiplicant). El terme sense incògnita es diu '''terme independent'''. * Dels polinomis amb un sol terme en direm '''monomis''', com per exemple <math>2x^2</math> * Dels polinomis amb dos termes en direm '''binomis''', com per exemple <math>x^3+2x</math> * Dels polinomis amb tres termes en direm '''trinomi''', com per exemple <math>2x^2+x-3</math> Els noms més habituals per distingir polinomis són: P(x), Q(x), R(x), S(x), ... només són noms i no podeu operar o manipular la x que té entre parèntesis ja que forma part del nom com indicador de incògnita. * El polinomi <math>P(x) = 0</math> se'n diu polinomi nul. * El polinomi <math>P(x) = 7</math> o qualsevol altre constant diferent de 7, se'n diu polinomi constant. Com a terme se'n diu terme independent ja que no porta '''x'''. ;Exercicis: 1) Quants termes tenen els polinomis donats: :a) <math>100\cdot x^2-1</math>? :b) <math>x^5-\pi+\sqrt{5}-x^3+x^2-13</math>? Per estudiar expressions polinòmiques hem d'ordenar i deixar agrupats termes amb les mateixes incògnites i potències com a una sola sense duplicitats i termes ordenats segons el valor de les potències de més gran a més petit. Els polinomis que d'aquesta secció són de la forma: ::<math>P(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... +a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x +a_0.</math> Parlar de <math>a_i</math> és parlar dels coeficients <math>a_0, a_1, a_2, a_3, ... .</math>. La '''n''' només es refereix al terme de potència més gran i ha d'existir, sinó no es parla de polinomis, inversament si parlem de polinomis diem que existeix un valor de '''n''' que és un nombres natural. Exemples: {|cellpadding="3" cellspacing="0" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |1) Donats els polinomis següents esbrina els valors de totes les <math>a_i.</math> :a) <math>x^5-x^4+x+1</math> :b) <math>2x^6+3x^5</math> :c) <math>-1+x-3x^2</math> |- | :a) <math>a_5=1, a_4=-1, a_3=0, a_2=0, a_1=1, a_0=1</math> :b) <math>a_6=2, a_5=3, a_4=0, a_3=0, a_2=0, a_1=0, a_0=0</math> :c) <math>a_2=-3, a_1=1, a_0=-1</math> |} 2) Arregla i digues quina de les expressions següents és un polinomi segons la definició donada i identifica els coeficients i la part literal: ::{| |width="200px"|a) <math>x\cdot x\cdot x \cdot 5</math> |width="200px"|b) <math>\frac{3}{70}x</math> |width="200px"|c) <math>\frac{2}{x}</math> |- |d) <math>x^0</math> |e) <math>0</math> |f) <math>6-4^x</math> |} ===== Grau d'un polinomi ===== Per calcular el grau d'un polinomi en general, només hem de comptar quantes incògnites té multiplicant a cada termes i escollir la quantitat més gran, exemple: *Grau de ( <math>0</math> ) = '''0''', ja que el polinomi nul no té cap '''x''' multiplicant. *Grau de ( <math>100\cdot x\cdot y</math> ) = '''2''', ja que tenim dos incògnites multiplicant, la '''x''' i la '''y'''. *Grau de ( <math>-5x^3y^4</math> ) = '''7''', ja que tenim 7 incògnites multiplicant: <math>x\cdot x\cdot x\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y.</math> *Grau de ( <math>9x-x^3</math> ) = '''3''', ja que el primer terme és de grau 1 i el segon terme hi ha tres '''x''' multiplicant-se per tant és de grau 3, i per tant el més gran de 1 i 3, és 3. *Grau de ( <math>x\cdot y\cdot x-x^5+y^4-10x^2+50</math> ) = '''5''', ja que tenim els graus 3, 5, 4, 2 i 0, per tant el més gran és 5. Per a polinomis treballats en aquesta secció, els grau és simplement la potència més gran. ===== Suma de polinomis ===== Els polinomis es poden sumar verticalment com si fos una suma de nombres o horitzontalment, veiem com es fa [https://www.youtube.com/watch?v=Yng9FbUK2MY en aquest tutorial] i deixem uns exemples fets. ====== Ordenació i espaiat imaginari ====== Presentem una forma còmoda d'ordenar termes d'un polinomi indicant com poden ser els espais. *Sempre de potencia més gran a potència més petita <math>x^0</math> o 1, sobretot per efectuar sumes. *Si falta una de les potències deixem un espai per cada terme que falta. ::{|cellspacing="10" |align="center"|<math>\dots</math> |align="center"|<math>x^5</math> |align="center"|<math>x^4</math> |align="center"|<math>x^3</math> |align="center"|<math>x^2</math> |align="center"|<math>x</math> |align="center"|1 |- |style="background:#ddf; color:black; width:30px; height:30px"| |style="background:#ddf; color:black; width:30px"| |style="background:#ddf; color:black; width:30px"| |style="background:#ddf; color:black; width:30px"| |style="background:#ddf; color:black; width:30px"| |style="background:#ddf; color:black; width:30px"| |style="background:#ddf; color:black; width:30px"| |} '''Disposició vertical''' per sumar els polinomis <math>P(x)=-x^3+3x^2+x+4</math> i <math>Q(x)=x^4+x^3-x^2-2x+6</math> {|cellpadding="10" |style="width:300px"|<math> \begin{array}{ccc} & & -x^3 & +3x^2 & +x & +4 \\ \begin{array}{|c|}\hline +\\ \hline \end{array} & x^4 & +x^3 & -x^2 & -2x & +6 \\ \hline & x^4 & 0 & 2x^2 & -x & +10 \\ \end{array} </math> |bgcolor="#eef" style="width:600px"|Per sumar verticalment tindrem en compte: :1) Cal ordenar el polinomi amb les potencies decreixents, deixant zeros o espais en cas de faltar alguna potència. :2) En posar el segon polinomi a sota cal fer correspondre les potencies iguals o sigui del mateix tipus. :3) Mireu de no '''sumar''' termes amb diferent potència i no existeixen les '''sumes portants''' tot queda dins una mateixa vertical, com si a l'exemple hi hagués 5 sumes petites i individuals. |} '''Exemples''' {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure solució" data-collapsetext="Oculta-la" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|1) Suma els polinomis <math>P(x)=x^5+2x^3+8x</math> i <math>Q(x)=x^5+x^3-2x^2-6</math> |- |colspan="2"| <math> \begin{array}{ccc} & x^5 & +2x^3 & & +8x & \\ \begin{array}{|c|}\hline +\\ \hline \end{array} & x^5 & +x^3 & -2x^2 & & -6 \\ \hline & 2x^5 & +3x^3 & -2x^2 & +8x & -6 \\ \end{array} </math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure solució" data-collapsetext="Oculta-la" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|2) Suma els polinomis <math>P(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x</math> i <math>Q(x)=-x^4-x^3-x^2-x-1</math> |- |colspan="2"| <math> \begin{array}{ccc} & x^5 & +x^4 & +x^3 & +x^2 & +x & \\ \begin{array}{|c|}\hline +\\ \hline \end{array} & & -x^4 & -x^3 & -x^2 & -x & -1 \\ \hline & x^5 & +0x^4 & +0x^3 & +0x^2 & +0x & -1 \\ \end{array} </math> Per tant la solució és finalment <math>x^5-1</math> i no cal posar els termes nuls o zeros. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure solució" data-collapsetext="Oculta-la" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|3) Suma els polinomis <math>P(x)=x^{10}</math> i <math>Q(x)=x</math> |- |colspan="2"| <math> \begin{array}{ccc} & x^{10} & \\ \begin{array}{|c|}\hline +\\ \hline \end{array} & & x \\ \hline & x^{10} & +x \\ \end{array} </math> Per tant la solució és finalment <math>x^{10}+x</math> i per aquesta raó porta a fer sumes horitzontals que són més ràpides ja que es veuen ràpidament i no cal escriure tant. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure solució" data-collapsetext="Oculta-la" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|4) Suma els polinomis <math>P(x)=x</math> i <math>Q(x)=-x</math> |- |colspan="2"| <math> \begin{array}{ccc} & x \\ \begin{array}{|c|}\hline +\\ \hline \end{array} & -x \\ \hline & 0 \\ \end{array} </math> Per tant la solució és 0 i que podem anomenar polinomi nul. |} '''Disposició horitzontal''' per sumar, només cal indicar amb parèntesis els polinomis a sumar '''Exemple''' 1) Suma els polinomis <math>P(x)=-x^2+9x+3</math> i <math>Q(x)=-x+7</math> llavors fem: ::<math>(-x^2+9x+3)+(-x+7)</math> :Primer pas: treure directament els parèntesis positius o que sumen. ::<math>-x^2+9x+3-x+7</math> :Segon pas: sumar els termes del mateix tipus o potència que són 9x amb -x i 7 amb 3. ::<math>-x^2+8x+10</math> :Ja no cal sumar més per que tots són de diferent tipus. ===== Multiplicació de polinomis ===== Disposició vertical típica per multiplicar polinomis: {|cellpadding="10" |style="width:300px"|<math> \begin{array}{ccc} & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\ \begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & & & \;\;\;1 \\ \hline & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\ \end{array} </math> |bgcolor="#eef"|Multiplicar un polinomi per 1, es exactament igual que multiplicar un nombre per 1: <math> \begin{array}{ccc} & 5 & 3 & 8 & 7 \\ \begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & & & 1 \\ \hline & 5 & 3 & 8 & 7 \\ \end{array} </math> |} {|cellpadding="10" |style="width:300px"|<math> \begin{array}{ccc} & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\ \begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & & & -1 \\ \hline & +x^3 & -3x^2 & -x & +1 \\ \end{array} </math> |bgcolor="#eef"|Multiplicar un polinomi per -1 només vol dir que canviem tots els signes del polinomi, la taula és: <math> \begin{array}{ccc} + & \cdot & + & = & + \\ - & \cdot & + & = & - \\ + & \cdot & - & = & - \\ - & \cdot & - & = & + \\ \end{array} </math> |} {|cellpadding="10" |style="width:300px"|<math> \begin{array}{ccc} & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\ \begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & & & \;\;x \\ \hline & -x^4 & +3x^3 & +x^2 & -x \\ \end{array} </math> |bgcolor="#eef"|Multiplicar un polinomi per una sola x només vol dir un sol increment de la potència: <math>-1\times x= -1x=-x</math> <math>+x \times x= +x^{1+1}=+x^2</math> <math>+3x^2 \times x= +3x^{2+1}=+3x^3</math> <math>-x^3 \times x= -x^{3+1}=-x^4</math> |} Mètode general per multiplicar polinomis ====== Polinomi per monomi ====== {|cellpadding="10" |style="width:300px"|<math> \begin{array}{ccc} & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\ \begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & & & \color{blue}3x\color{black} \\ \hline & -3x^4 & +9x^3 & +3x^2 & -3x \\ \end{array} </math> |bgcolor="#eef"|Sempre ordenats de potència més gran a més petita: <math>-1 \times \color{blue}3x\color{black}= -3x</math> <math>+x \times \color{blue}3x\color{black}= +3x^{1+1}=+3x^2</math> <math>+3x^2 \times \color{blue}3x\color{black}= +9x^{2+1}=+9x^3</math> <math>-x^3 \times \color{blue}3x\color{black}= -3x^{3+1}=-x^4</math> |} ====== Polinomi per polinomi ====== {|cellpadding="10" |style="width:300px"|<math> \begin{array}{ccc} & & -x^2 & +x & -1 \\ \begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & \color{green}3x^2 & \color{BrickRed}+2x & \color{blue}+1\color{black} \\ \hline & & \color{blue}-x^2 & \color{blue}+x & \color{blue}-1 \\ & \color{BrickRed}-2x^3 & \color{BrickRed}+2x^2 & \color{BrickRed}-2x & \\ \color{green}-3x^4 & \color{green}+3x^3 & \color{green}-3x^2 & & \\ \hline -3x^4 & +x^3 & -2x^2 & -x & -1 \\ \end{array} </math> |bgcolor="#eef"|En multiplicar dos polinomis han d'estar ordenats internament i hem de fer els buits en forma d'escala típics com a la multiplicació de nombres necessaris per fer la suma final, però no és una multiplicació portant. Comencem multiplicant el segon polinomi des de el terme de grau més petit fins al més gran multiplican-lo pel primer polinomi deixant a sota els seu resultat; horitzontalment fent servir la propietat distributiva el veuríem així: :<math>(-x^2+x-1)\cdot(\color{blue}1\color{black})=-x^2+x-1.</math> :<math>(-x^2+x-1)\cdot(\color{blue}2x\color{black})=-2x^3+2x^2-2x.</math> :<math>(-x^2+x-1)\cdot(\color{blue}3x^2\color{black})=-3x^4+3x^3-3x^2.</math> Si hem col·locat ordenadament les fileres, '''fent correspondre les potències iguals''', llavors ja podem sumar-les. |} Exemples: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure solució" data-collapsetext="Oculta-la" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|1) <math>P(x)=x^3-x^2+1</math> multiplicat per <math>Q(x)=-2x^2+2</math> |- |colspan="2"| <math> \begin{array}{ccc} & & x^3 & -x^2 & +1 \\ \begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & & -2x^2 & +2 \\ \hline & & 2x^3 & -2x^2 & & +2 \\ -2x^5 & +2x^4 & & -2x^2 & & \\ \hline -2x^5 & +2x^4 & +2x^3 & -4x^2 & & +2 \\ \end{array} </math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure solució" data-collapsetext="Oculta-la" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|2) <math>P(x)=2x^4-3x^3+x</math> multiplicat per <math>Q(x)=x^3+x^2+x+1</math> |- |colspan="2"| <math> \begin{array}{ccc} & & & 2x^4 & -3x^3 & +x \\ \begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & & x^3 & +x^2 & +x & +1 \\ \hline & & & 2x^4 & -3x^3 & & +x \\ & & +2x^5 & -3x^4 & & +x^2 & \\ & +2x^6 & -3x^5 & & +x^3 & &\\ +2x^7 & -3x^6 & & +x^4 & & &\\ \hline 2x^7 & -x^6 & -x^5 & +0 & -2x^3 & +x^2 & +x\\ \end{array} </math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure solució" data-collapsetext="Oculta-la" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|3) <math>P(x)=-x^4+x^2+x-5</math> multiplicat per <math>Q(x)=x^3+2x^2+3x-1</math> |- |colspan="2"| <math> \begin{array}{ccc} & & -x^4 & & +x^2 & +x & -5 \\ \begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & & x^3 & +2x^2 & +3x & -1 \\ \hline & & & +x^4 & & -x^2 & -x & +5 \\ & & -3x^5 & & +3x^3 & +3x^2 & -15x & \\ &-2x^6 & & +2x^4 & +2x^3 & -10x^2 & &\\ -x^7 & & +x^5 & +x^4 & -5x^3 & & &\\ \hline -x^7 & -2x^6 & -2x^5 & +4x^4 & +0 & -8x^2 & -16x & +5\\ \end{array} </math> |} Exercicis de multiplicacions: 1) <math>P(x)=x^2+x+1</math> multiplicat per <math>Q(x)=2x+2</math> 2) <math>P(x)=x^4+x^2+1</math> multiplicat per <math>Q(x)=x^2-2</math> 3) <math>P(x)=x^5+x^3+x</math> multiplicat per <math>Q(x)=x^3-x^2</math> ===== Resta de polinomis ===== Per restar polinomis el que es fa és convertir la resta en suma de polinomis, es pot pensar que (3)-(4) és el mateix que (3)+(-4) i l'únic que hem de fer es introduir la resta dins del parèntesis del polinomi: Per restar al polinomi <math>P(x)=-x^3+3x^2+x+4</math> el polinomi <math>Q(x)=x^4+x^3-x^2-2x+6</math> escriurem: :<math>(-x^3+3x^2+x+4)-(x^4+x^3-x^2-2x+6)=</math> Aquí es veu que <math>-(x^4+x^3-x^2-2x+6)</math> es pot escriure com <math>-1\cdot (x^4+x^3-x^2-2x+6)</math> i per tant només cal multiplicar-lo per '''-1''' aquest polinomi donant <math>+(-x^4-x^3+x^2+2x-6)</math> i ja tenim la resta preparada per fer-la com una suma. == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] jm6b2l22umghhk81nmr5c642ax8edcn 0 47468 373560 358561 2025-06-21T01:52:26Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373560 wikitext text/x-wiki En aquesta secció veurem els dos mètodes generals per aïllar la x i com es combinen entre ells. Són molt utilitzades a les matemàtiques a partir de segon d'ESO. [[File:Balanza MPA.jpg|400px|right]] == Igualtats i equacions == Una '''igualtat'''<ref>No confondre aquesta definició amb el nom del símbol igual, '''='''. A vegades utilitzen el terme '''identitat''' per evitar ambigüitats. No es recomana dir igualtat a tot el que porti el símbol igual.</ref> és afirmar que dos coses són iguals, saber que el valor a banda i banda de la igualtat és exactament el mateix. En general es diu igualtat quan es vol proposar aquest fet i no cal provar-lo. Es pot fer que dues coses siguin iguals en determinats aspectes o situacions excloent altres aspectes: :{| |width="200"| *<math>x=2\; kg</math> |width="200"| *<math>x^2=x\cdot x</math> |} Una '''equació''' és una proposta de relació entre dos expressions unides amb un símbol d'igualtat, però que no són necessàriament iguals de bon principi. Així una equació estableix una condició entre dues expressions. :{| |width="200"| *<math>2\cdot x-3 = 5</math> |width="200"| *<math>x = 2\cdot a</math> |} La utilització freqüent d'equacions és per establir lligams entre diversos valors i per tant deduir uns respecte d'altres. Així docs s'estableix la cercar valors a partir d'altres valors. La resolució d'equacions permet determinar els valors pels quals es produeix una igualtat. Així resoldre una equació és preguntar-se quins valors es transforma en igualtat i trobar aquests valors. En aquesta secció per trobar els valors buscats de '''x''' l'únic que cal fer és aïllar la '''x''' seguint petites receptes d'aïllament. === Mètode per aïllar === Que vol dir aïllar la x? :Vol dir deixar la x sola a una banda del símbol igual, =, i a l'altra cantó no pot haver-hi cap x, exemple de x aïllada: ::<math>x=\frac{\;\;\frac{\sqrt{3}-1}{2}-4\;\;}{5-2^2}</math> :Aquesta posició ens permet calcular el valor de x fent purament càlculs. Podem aïllar una y? :Sí que es pot, però es prioritza l'aïllament de x. De fet podem aïllar el que es vulgui o es demani. Quin procediment farem per aïllar la x? :Cada operació té un procediment o mètode algebraic per desfer-la que per simplificar-lo en direm '''moviments''', només farem els més importants a recordar '''per sempre'''. ==== Moviments per sumes i restes ==== [[File:Chess in Dupont.jpg|150px|right]] {|style="border: 2px solid #ccf;" cellpadding="10" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x+a=y</math> <math>x=y-a</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x-a=y</math> <math>x=y+a</math> |- |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>a+x=y</math> <math>x=-a+y</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>-a+x=y</math> <math>x=+a+y</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure les demostracions de les 4 regles" data-collapsetext="Oculta-les" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|'''Nota''': La x també es pot moure en qualsevol moment. |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>x+a=y</math> Comparant l'equació amb una balança, si restem a un costat de la igualtat llavors també restem a l'altre costat per mantenir la igualtat o equilibri en cas de la balança(vermell): ::<math>x+a=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+a\color{red}-a\color{black}=y\color{red}-a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+0=y-a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=y-a</math> El resultat és un '''moviment'''; tot valor '''+a''' que suma i és positiu a un costat passa a l'altre amb signe canviat '''-a''': <math>x=y-a</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>x-a=y</math> Comparant l'equació amb una balança, si sumem a un costat de la igualtat llavors també sumem a l'altre costat per mantenir la igualtat o equilibri en cas de la balança(vermell): ::<math>x-a=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x-a\color{red}+a\color{black}=y\color{red}+a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x+0=y+a\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=y+a</math> El resultat és un '''moviment'''; tot valor '''-a''' que resta o és negatiu sumant a un costat passa a l'altre amb signe canviat '''+a''': <math>x=y+a</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>a+x=y</math> ::<math>a+x=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\;\color{red}-a\color{black}+a+x=\color{red}-a\color{black}+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; 0+x=-a+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=-a+y.</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Cas''': <math>-a+x=y</math> ::<math>-a+x=y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\;\color{red}+a\color{black}-a+x=\color{red}+a\color{black}+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; 0+x=a+y\;\;\;</math> <math>\Rightarrow\;\;\; x=a+y.</math> |} Exemples: {|width="100%" |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>1)\;2+x=14</math> |- |colspan="2"|A +2 li suma una x, si volem deixar sola la x llavors el +2 passa a l'altre cantó com a -2. ::+ x = + 14 - 2 Operant surt: :: x = 12 Ja hem acabat. |} |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>2)\;x-3=14</math> |- |colspan="2"|A x li resta 3, si volem deixar sola la x llavors el -3 passa a l'altre cantó com a +3. ::+ x = + 14 + 3 Operant surt: :: x = 17 Ja hem acabat. |} |- |width="50%"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>3)\;-4+x=0</math> |- |colspan="2"|A -4 li suma x, si volem deixar sola la x llavors el -4 passa a l'altre cantó com a +4. ::+ x = + 0 + 4 Operant surt: :: x = 4 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>4)\;x+1=1</math> |- |colspan="2"|A +x li suma 1, si volem deixar sola la x llavors el +1 passa a l'altre cantó com a -1. ::+ x = + 1 - 1 Operant surt: :: x = 0 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>5)\;3+x-2=7</math> |- |colspan="2"|A +3 li suma x i li resta 2, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a l'altre cantó com a -3 i el -2 passa a l'altre cantó com a +2. ::+ x = + 7 - 3 + 2 Operant surt: :: x = 6 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>6)\;x-3+x=x+10</math> |- |colspan="2"|A +x li resta 3 i li suma x, si volem deixar sola la x llavors *El -3 passa a l'altre cantó com a +3. *El +x del cantó dret passa a l'altre cantó com a -x. ::+ x + x - x = + 10 + 3 Operant surt: :: x = 13 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>7)\;3x-2=2x+5</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta *El +2x passa a l'altre cantó com a -2x. *El -2 passa a l'altre cantó com a +2. ::3x-2x=5+2 Operant surt: :: x = 7 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>8)\;4-x+2+2x=10</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta *El -x+2x és x perquè a 2x li restem una x. No hem fet cap moviment per sobre el signe d'igualtat. *El +4 i +2 passa a l'altre cantó com -4 i -2. ::x=10-4-2 Operant surt: ::x=4 Ja hem acabat. |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>9)\;x+5+x-4=5+x-3</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta. *Canviant de lloc el +5, -4 i +x tenim. ::x+x-x=5-3-5+4 Operant surt: ::x=1 Ja hem acabat. |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>10)\;x-5+x-2=7-x+2x</math> |- |colspan="2"|Agrupen les x a l'esquerra i les constants a la dreta. *Canviant de lloc el -x, +2x, -5 i -2 tenim. ::x+x+x-2x=7+5+2 Operant surt: ::x=14 Ja hem acabat. |} |} ===== Exercicis ===== Els exercicis s'han de fer amb els passos de la taula encara que es vegi a ull la solució. {| |width="200"| *<math>5+x=8</math> |width="200"| *<math>x-5=13 x=13+5 = x=18</math> |width="200"| *<math>-3+x=7</math> |width="200"| *<math>2+x-1=5</math> |- |width="200"| *<math>-3+x+2=-8</math> |width="200"| *<math>-2+x-2=-7</math> |width="200"| *<math>x+5+x=x+8</math> |width="200"| *<math>0+x-3+2x=2x+6</math> |} ==== Moviments per multiplicacions i divisions ==== {|style="border: 2px solid #ccf;" cellpadding="10" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>x\cdot a=y</math> <math>x=\frac{y}{a}</math> |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>\frac{x}{a}=y</math> <math>x=y\cdot a</math> |- |style="border: 2px solid #ccf;"|<math>a\cdot x=y</math> <math>x=\frac{y}{a}</math> |style="border: 2px solid #ccf;"| <math>\frac{x}{a}=y</math> <math>x=a\cdot y</math> |} '''Nota''': aquest moviments no canvien mai el signe. Exemples: {| |width="300px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>1)\;3\cdot x=16</math> |- |colspan="2"|A +3 li multiplica x, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a dividir a +16 sense canvi de signe perquè era una multiplicació: ::<math>+ x =\frac{+16}{+3}</math> és a dir <math>x =\frac{16}{3}.</math> |} |width="300px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>2)\;x\cdot 10=0</math> |- |colspan="2"|A +x li multiplica +10, si volem deixar sola la x llavors el +10 passa a dividir a +0 sense canvi de signe perquè era una multiplicació: ::<math>+ x =\frac{+0}{+10}</math> Operant surt <math>x =0.</math> |} |width="300px"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="300px" style="vertical-align: top;"|<math>3)\;\frac{x}{37}=1</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix +37, si volem deixar sola la x llavors el +37 passa a multiplicar a +1 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+1\cdot (+37)</math> Operant surt <math>x =37</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>4)\;\frac{x}{-2}=5</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix -2, si volem deixar sola la x llavors el -2 passa a multiplicar a +5 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+5 \cdot (-2)</math> Operant surt <math>x =-10</math> |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>5)\;\frac{x\cdot 2}{3}=10</math> |- |colspan="2"|A +x li multiplica el +2 i després divideix +3, si volem deixar sola la x llavors el +3 passa a multiplicar a +10 sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x 2 =+10 \cdot 3</math> ara el +2 que multiplica passa a dividir com a +2 sense canvi de digne perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =\frac{+10 \cdot 3}{+2}</math> Operant surt <math>x =15</math> |} | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>6)\;\frac{x}{4}=\frac{3}{4}</math> |- |colspan="2"|A +x li divideix +4, si volem deixar sola la x llavors el +4 passa a multiplicar la fracció <math>+\frac{3}{4}</math> o al +3, és el mateix, sense canvi de signe perquè estava dividint: ::<math>+ x =+\frac{3}{4} \cdot 4</math> o millor escrit <math>+ x =+\frac{3 \cdot 4}{4}</math> Operant surt <math>x =3</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>7)\;8\cdot x = 8\cdot 15</math> |- |colspan="2"|A +8 multiplica a x, si volem deixar sola la x llavors el +8 passa a dividir a 8·15 sense canvi de signe perquè estava multiplicant: ::<math>+ x =\frac{+8 \cdot 15}{+8}</math> Operant surt <math>x =15</math> |} |} === Solucions d'una equació === En solucionar equacions senzilles apareixien 3 casos a tenir en compte sempre. ==== Una solució ==== Tenen una solució les equacions on la x pren un únic valor com per exemple: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure resolució" data-collapsetext="Oculta-la" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|<math>3x+2=8</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|Resolent tenim: ::<math>3\cdot x = 8 - 2</math> ::<math>3\cdot x = 6</math> ::<math>x =\frac{6}{3}</math> Per tant <math>x =2</math> |} Per tant l'únic valors és x=2, si provem un altre valor sigui quin sigui no funciona. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure les proves" data-collapsetext="Oculta-les" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|Proves amb diferents valors de l'equació <math>3x+2=8.</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|Comprovem si la solució x=2 és certa, per tant es subtitueix 2 dins l'equació: ::<math>3\cdot (2)+2=8</math> operant tenim <math>6+2=8</math> i finalment <math>8=8</math> i com que és cert tenim que la solució és correcta. Comprovem una possible solucions com x=0 que és la més ràpida: ::<math>3\cdot (0)+2=8</math> operant tenim <math>0+2=8</math> i finalment <math>2=8</math> i com que és fals tenim que 0 no és solució. Comprovem una possible solució com x=4: ::<math>3\cdot (4)+2=8</math> operant tenim <math>12+2=8</math> i finalment <math>14=8</math> i com que és fals tenim que 4 no és solució. Comprovem una possible solució com x=-3: ::<math>3\cdot (-3)+2=8</math> operant tenim <math>-9+2=8</math> i finalment <math>-7=8</math> i com que és fals tenim que -3 no és solució. i així podem provar qualsevol altre valor per a x i garanteix que no funcionarà tampoc gràcies a la utilització correcta dels moviments algebraics. |} ==== Cap solució ==== No tenen cap solució les equacions on fent moviments desapareix la x i queda una igualtat contradictòria com: :<math>3x+2=x+1+2x</math> ==== Tot valor és solució ==== Tots els valors són solució d'una equació on fent moviments on desapareix la x obtenim trivialitats del tipus 0=0 com: :<math>x+5=3+x+2</math> ==== Equació de segon grau ==== Les equacions de segon grau són de la forma: :<math>ax^2+bx+c=0</math> Per tant es tracta d'un polinomi de grau 2 igualat a zero. La fórmula de resolució és la següent: :<math>x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> Exemples detallats: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|1) <math>3x^2+2x-5=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=3'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=2'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=-5'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució, recordant que els negatius s'han d'introduir amb parèntesis: :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3\cdot (-5)}}{2\cdot 3}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{6}=\frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6}=\frac{-2 \pm 8}{6}</math> <math>=\begin{cases} \frac{-2 + 8}{6}=\frac{6}{6}=1\\ \\ \frac{-2 - 8}{6}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3} \end{cases}</math> Per tant les dues solucions són <math>x_1=1</math> i <math>x_2=-\frac{5}{3}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|2) <math>5x^2-6x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=5'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=-6'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució, recordant que els negatius s'han d'introduir amb parèntesis: :<math>x=\frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5\cdot 1}}{2\cdot 5}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{+6 \pm \sqrt{36-20}}{10}=\frac{6 \pm \sqrt{16}}{10}=\frac{6 \pm 4}{10}</math> <math>=\begin{cases} \frac{6 + 4}{10}=\frac{10}{10}=1\\ \\ \frac{6 - 4}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} \end{cases}</math> Per tant les dues solucions són <math>x_1=1</math> i <math>x_2=\frac{1}{5}.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|3) <math>x^2+x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=1'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=1'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució: :<math>x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}</math> Si el discriminant és negatiu, en aquest cas -3, direm que l'equació de segon grau no té solució. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="70%" data-expandtext="Veure el càlcul de solucions detallat" data-collapsetext="Oculta'l" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|4) <math>x^2+2x+1=0</math> |- |colspan="2" style="border: 1px solid #77d;"|'''Càlcul de solucions''': Pas 1: Identificar a, b i c. :La "a" sempre serà el valor que acompanya a <math>x^2</math> i en aquest cas '''a=1'''. :La "b" és qui acompanya a x i en aquest cas es '''b=2'''. :Per últim "c" és qui està sol, es a dir '''c=1'''. Pas 2: Substituir a, b i c dins la fórmula de resolució: :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}</math> Ara ja només es qüestió de calcular el valor de dins de l'arrel anomenat "discriminant". :<math>x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{0}}{2}=\frac{-1 \pm 0}{2}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}</math> Si el discriminant és zero direm que l'equació de segon grau té una única solució que és <math>x=-\frac{1}{2}.</math> |} == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] 58pusnh6jvuf8okr8xmhnlbpfmy9mze 0 47558 373567 368024 2025-06-21T01:52:31Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373567 wikitext text/x-wiki Els sistemes d'aquesta secció barregen equacions lineals i per tant no sortirà equacions amb potències més grans que 1. Conté un petit recordatori i un anàlisi d'una equació amb 2 incògnites prèviament per connectar amb la representació. === Equacions amb dues incògnites === Per resumir i refrescar el tema d'equacions es fan les següents pinzellades: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure tipus de solucions" data-collapsetext="Oculta-les" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|Les equacions lineals amb una sola incògnita '''x''' poden tenir diversos tipus de solucions. |- | {|style="border: 1px solid #ffa; background:#fff" |- ||1) <math>2x+5=x+7</math> <math>\;\;\Rightarrow\;\;2x-x=7-5</math> <math>\;\;\Rightarrow\;\;x=2</math> Per tant '''x''' té un valor com a única solució. |- ||2) <math>x+5=x+7</math> <math>\;\;\Rightarrow\;\;x-x=7-5</math> <math>\;\;\Rightarrow\;\;0=2</math> Per tant '''x''' no té cap valor com a solució. |- ||3) <math>x+7=x+7</math> <math>\;\;\Rightarrow\;\;x-x=7-7</math> <math>\;\;\Rightarrow\;\;0=0</math> Per tant '''x''' té qualsevol valor com a solució. |} |} Ara les equacions són de dues incògnites unes trivials i d'altres no tant: {|cellpadding="0" cellspacing="2" width="100%" |1) |width="100%"| {| |style="border:1px solid red;"|<math>y=2+x</math> |} |- ||| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure valors" data-collapsetext="Oculta'ls" |- |width="50%" style="vertical-align: top;" colspan="2"|Existeixen molts valors de x i y que compleixen aquesta equació. |- |valign="top" width="200px"|'''Taula''' per analitzar els diferents valors de l'equació: {|class="wikitable" style="border: 2px solid #aaf; cellpadding: 80" ||x||-3||-2||-1||0||1||2||3||4 |- ||y||-1||0||1||2||3||4||5||6 |} || '''Representació''' de la taula amb coordenades: [[File:Recta y=2+x.svg|300px]] |} |- |2) |width="100%"| {| |style="border:1px solid red;"|<math>x^2+xy+y^2=1</math> |} |- ||| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure valors" data-collapsetext="Oculta'ls" |- |width="50%" style="vertical-align: top;" colspan="2"|Existeixen molts valors de x i y que compleixen aquesta equació. |- |valign="top" width="200px"|'''Taula''' per analitzar els diferents valors de l'equació: {|class="wikitable" style="border: 2px solid #aaf; cellpadding: 80" ||x||-1||-1||0||0||1||1 |- ||y||1||0||1||-1||-1||0 |} || '''Representació''' de la taula amb coordenades: [[File:Rotated ellipse.svg|300px]] |} |} {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" width="100%" |colspan=2|'''Definició''' |- |width="5px"| ||Una '''equació lineal amb dues incògnites''' és una condició que informa algebraicament de quina és la '''relació''' entre '''x''' i '''y''', i que determinen rectes al pla. |} Per tant aquest tipus d'equació lliga el comportament de les seves incògnites. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure interpretacions" data-collapsetext="Oculta" |'''Com es pot interpretar?''' |- |Es pot interpretar imaginant que les incògnites abans estaven lliures al pla i amb una equació no estan tan lliures i tenen un objectiu comú que es pot interpretar i visualitzar amb gràfics com: *Un camí que apareix per alguna vora, continua en línia recta i desapareix per un altra vora. *Si una incògnita es mou del seu valor, llavors l'altra incògnita es veu obligada a actuar en conseqüència. *Un punt al pla en moviment. *Les incògnites cooperen per fer dibuixos al pla. *Abans teníem un objecte de dimensió 2, un pla (x,y), i amb l'equació ha passat a dimensió 1, una línia recta. Aquestes equacions s'agrupen dins d'un últim conjunt enorme d'equacions i són les '''equacions implícites'''. No es pot confondre equació amb funció. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="300px" class="mw-collapsible mw-collapsed" width="100%" data-expandtext="Veure eines" data-collapsetext="Oculta-les" |- |width="50%" style="vertical-align: top;"|Eines digitals d'ajuda per la representació. |- | GeoGebra :[https://www.geogebra.org/classic?lang=ca Aplicació online.] :[https://www.geogebra.org/download Aplicació intalable] es recomana '''Clàssic 5'''. [https://es.symbolab.com/ Symbolab online.] |} === Sistemes d'equacions === {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" width="100%" |colspan=2|'''Definició''' |- |width="5px"| ||Un '''sistema d'equacions lineals amb dues incògnites''' és una agrupació de més d'una d'equació lineal i les solucions han de complir totes les equacions a la vegada. |} Explicació del comportament d'un '''sistema de dos equacions''' amb dos incògnites de la forma: <math>\begin{cases} y=2-x \\ y=x+1 \end{cases}</math> {|cellpadding="3" || '''Taula''' de <math> y=2-x</math> {|class="wikitable" style="border: 2px solid #aaf; cellpadding: 80" ||x||-2||0||2 |- ||y||4||2||0 |} || || '''Taula''' de <math> y=x+1</math> {|class="wikitable" style="border: 2px solid #aaf; cellpadding: 80" ||x||-2||0||2 |- ||y||-1||1||3 |} |} ;Representació conjunta: [[File:Sistema y=2-x i y=x+1.svg|400px]] '''Interpretació''' La primera equació ens diu que els valors x i y han de comportar-se dibuixant la recta taronja, és a dir, ens diu que els valors x i y han d'estar sobre la recta taronja. La segona equació ens diu, que no!, que els valors x i y han de comportar-se com la recta blava, és a dir, ens diu que els valors x i y han d'estar sobre la recta blava. Què és una solució d'aquesta baralla? Una solució es veure '''on''' estan d'acord les dues equacions i res més. En resum, les dues equacions només estan d'acord en el punt on es tallen les dues rectes que és el punt (&nbsp;0'5,&nbsp;1'5&nbsp;) que és el mateix que dir x&nbsp;=&nbsp;0'5 i y&nbsp;=&nbsp;1'5, que és la solució. ==== Exemples ==== 1)<math>\begin{cases} y+x=0 \\ 2y-x=0\end{cases}</math> 2)<math>\begin{cases} y=\frac{1-x}{2} \\ y=x \end{cases}</math> 3)<math>\begin{cases} x+y=1 \\ x+y=2\\ x+y=-1 \end{cases}</math> === Mètodes de resolució de sistemes === Els sistemes es poden resoldre principalment de 3 formes diferents. El menys utilitzat és d'igualació però és ocasionalment útil. El de substitució s'ha de tenir molt present ja que pot aparèixer en altres mètodes. El de reducció és el més treballat sobretot quan es tracten grans quantitats d'equacions lineals, els ordinadors tenen sistemes de càlcul molt especialitzats en aquestes equacions lineals ja que surten a totes les branques científiques i d'oci. ==== Mètode d'igualació ==== Aquest mètode s'aplica per treure una incògnita repetida, aplicable a només dues equacions on la una mateixa incògnita es pot aïllar fàcilment de les dues equacions a la vegada. Donat el sistema <math>\begin{cases} 3y=x \\ y=2-x \end{cases}</math> <math>1^r</math>) Aïllament de les '''y'''. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Obtenim el comportaments de cada '''y''' en funció de '''x'''. |} :<math>\Rightarrow\begin{cases} \color{red}y\color{black}=\frac{x}{3} \\ \color{red}y\color{black}=2-x \end{cases}</math> <math>2^n</math>) Igualació de les '''y'''. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||S'igualen les expressions iguals a '''y''', és com preguntar-li al sistema "quan els dos comportaments de '''y''' són iguals o coincideixen" i ella respondrà amb un valor concret de '''x'''. |- ||En realitat es té que <math>\;\;\frac{x}{3}=\color{red}y\color{black}=2-x\;\;</math> on els extrems han de ser iguals obligatòriament, per tant podem esborrar '''y'''. |} ::<math>\frac{x}{3}=2-x</math> Es multipliquen els tres '''termes''' pels denominadors o idealment el m.c.m. d'ells. ::<math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; \color{red}3\color{black}\cdot\frac{x}{3}=\color{red}3\color{black}\cdot 2-\color{red}3\color{black}\cdot x</math> ::<math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; 1\cdot x =6-3\cdot x</math> ::<math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; x+3x =6</math> ::<math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; 4x =6</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; x =\frac{6}{4}</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; \color{red} \begin{array}{|c|}\hline \color{black}x=\frac{3}{2}\color{red} \\ \hline \end{array}</math> <math>3^r</math>) Càlcul de y: {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Es substitueix la '''x''' trobada a una de les equacions on la '''y''' està aïllada, la primera equació per exemple. |width="80px" bgcolor="#fff"|<math>\frac{\;\;\frac{a}{b}\;\;}{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}</math> |} :::<math>y=\frac{(x)}{3}</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; y=\frac{(\frac{3}{2})}{\frac{3}{1}}</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; \color{red} \begin{array}{|c|}\hline \color{black}y=\frac{1}{2}\color{red} \\ \hline \end{array}</math> <math>4^t</math>) Comprovació. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Ara es substitueix els valors trobats per confirmar-los. |} ::<math>\begin{cases} 3\cdot (\frac{1}{2})=(\frac{3}{2}) \\ (\frac{1}{2})=2-(\frac{3}{2}) \end{cases}</math> :Ja està acabat perquè el sistema '''original''' confirma que els valors trobats de x i y donen una igualtat certa. Exemple 2: Donat el sistema <math>\begin{cases} x+y=3 \\ x-y=1 \end{cases}</math> <math>1^r</math>) Aïllem '''les y''' que apareixen a cada equació. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Obtenim el comportament de una '''y''' en funció de '''x''' de les dues equacions. |} ::<math>\begin{cases} \color{red}y\color{black}=3-x \\ \color{red}y\color{black}=x-1 \end{cases}</math> {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Com que la '''y''' és igual a les dues equacions, llavors vol dir que les dues equacions són iguals entre elles i per tant les pots igualar quedant una sola equació amb una sola incògnita que és la '''x'''. |} <math>2^n</math>) Igualem les dues equacions entre si, desapareixent la '''y'''. ::<math>3-x=x-1</math> <math>\Leftrightarrow 3+1=x+x</math> <math>\Leftrightarrow 4=2x</math> <math>\Leftrightarrow \frac{4}{2}=x</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\color{red} \begin{array}{|c|}\hline \color{black}x=2\color{red} \\ \hline \end{array}</math> <math>3^r</math>) Càlcul de '''y'''. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Es substitueix la '''x=2''' a qualsevol equació donant directament el valor de '''y'''. |} :<math>y=3-x</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; y=3-(2)</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; \color{red} \begin{array}{|c|}\hline \color{black}y=1\color{red} \\ \hline \end{array}</math> <math>4^t</math>) Comprovació. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Ara es substitueix els valors trobats per confirmar-los. |} ::<math>\begin{cases} (2)+(1)=3 \\ (2)-(1)=1 \end{cases}</math> Els tutorial pels sistemes següents [https://www.youtube.com/watch?v=i1pXpCNaKDc aquí], on aïllen primer les '''x''' però sortirà la mateixa solució, primer surt el valor de '''y''' i després el valor de '''x'''. :1)<math>\begin{cases} x+y=2 \\ x-y=6 \end{cases}</math> :2)<math>\begin{cases} x+2y=5 \\ 4x+2y=14 \end{cases}</math> ==== Mètode de substitució ==== Aquest mètode s'aplica quan només es pot aïllar una incògnita a una equació i a l'altre no es pot aïllar per alguna raó. Donat el sistema <math>\begin{cases} x+y=3 \\ x-y=1 \end{cases}</math> <math>1^r</math>) Aïllem '''una''' de les '''y'''. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Obtenim el comportament de una '''y''' en funció de '''x'''. |} ::<math>\color{red}y\color{black}=3-x</math> <math>2^n</math>) Substitució de '''y''' a la segona equació. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||S'introdueix la primera equació dins l'altra, gràcies a que té la '''y''' aïllada, per tant obtenim una equació només amb '''x'''. |} :<math>x-\color{red}y\color{black}=1</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; x-(3-x)=1</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; x-3+x=1</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; 2x=1+3</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; x=\frac{4}{2}</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\color{red} \begin{array}{|c|}\hline \color{black}x=2\color{red} \\ \hline \end{array}</math> <math>3^r</math>) Càlcul de '''y'''. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Es substitueix la '''x=2''' a l'equació on la '''y''' està aïllada. |} :<math>y=3-x</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; y=3-(2)</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\; \color{red} \begin{array}{|c|}\hline \color{black}y=1\color{red} \\ \hline \end{array}</math> <math>4^t</math>) Comprovació. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Ara es substitueix els valors trobats per confirmar-los. |} ::<math>\begin{cases} (2)+(1)=3 \\ (2)-(1)=1 \end{cases}</math> :Ja està acabat perquè el sistema '''original''' confirma que els valors trobats de x i y donen una igualtat certa. Els tutorial pels sistemes següents [https://www.youtube.com/watch?v=VuZWI0Uy47U aquí], on aïllen primer les '''x''', només mireu el primer sistema de Susi, el segon sistema de Susi excedeix el nostre nivell. :1)<math>\begin{cases} x+3y=4 \\ 2x-y=1 \end{cases}</math> :2)<math>\begin{cases} x-2y=-4 \\ 3x+y=9 \end{cases}</math> [https://www.youtube.com/watch?v=LTfv1G2iYuQ tutorial aquí] :3)<math>\begin{cases} 2x-5y=12 \\ 3x+4y=-5 \end{cases}</math> [https://www.youtube.com/watch?v=BtwudZMtXv0 tutorial aquí, en català] :4)<math>\begin{cases} x+6y=27 \\ 7x-3y=9 \end{cases}</math> [https://www.youtube.com/watch?v=apPXOlZnRhg tutorial aquí] ==== Mètode de reducció ==== Aquest mètode s'utilitza molt per a grans sistemes d'equacions, sembla una divisió perquè busca múltiples d'equacions i extreure'ls fent zeros sota el primer terme de cada equació successiva. Donat el sistema <math>\begin{cases} \color{blue}2\color{black}x+3y=1 \\ \color{red}3\color{black}x-2y=1 \end{cases}</math> <math>1^r</math>) Es fa coincidir les quantitats de '''x''' de les dues equacions. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Multipliquem entre elles el valor de x, però de vegades només cal multiplicar-ne o dividir-ne només una sense que surtin fraccions i surt ràpidament, assegureu-vos que queden iguals les quantitats de '''x'''. |} :Generalitzant es multipliquen les equacions pel número de x de l'altra equació. ::<math>\begin{cases} \color{red}3\color{black}\cdot 2x+\color{red}3\color{black}\cdot 3y=\color{red}3\color{black}\cdot 1 \\ \color{blue}2\color{black}\cdot 3x-\color{blue}2\color{black}\cdot 2y=\color{blue}2\color{black}\cdot 1 \end{cases}</math> <math>\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\begin{cases} 6x+9y=3 \\ 6x-4y=2 \end{cases}</math> <math>2^n</math>) Es resta una equació de l'altra. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Es converteix la resta en suma canviant el signe del la equació restadora(subtrahend). Es pot restar directament però ens podem equivocar. La resta ha de donar un '''0x''' altrament ens hem equivocat. |} ::<math> \begin{array}{ccc} & 6x & +9y & =3 \\ \begin{array}{|c|}\hline -\\ \hline \end{array} & 6x & -4y & =2 \\ \hline && ? \end{array} </math> <math>\Rightarrow\;\; \begin{array}{ccc} & 6x & +9y & =3 \\ \begin{array}{|c|}\hline +\\ \hline \end{array} & -6x & +4y & =-2 \\ \hline & \color{red}0x\color{black} & +13y & =1 \\ \end{array} </math> <math>\Rightarrow\;\;13y=1</math> <math>\Rightarrow\;\;y=\frac{1}{13}</math> <math>3^r</math>) Càlcul de '''x'''. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Es substitueix la '''y''' trobada a una de les equacions, la primera equació per exemple. |} ::<math>6x-4(y)=2</math> <math>\;\;\Rightarrow\;\;6x-4(\frac{1}{13})=2</math> :Es multiplica per 13. ::<math>13\cdot 6x-13\cdot 4(\frac{1}{13})=13\cdot 2</math> <math>\;\;\Rightarrow\;\;78x-4=26</math> <math>\;\;\Rightarrow\;\;78x=26+4</math> <math>\;\;\Rightarrow\;\;78x=30</math> <math>\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{30}{78}</math> <math>\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{5}{13}</math> <math>4^t</math>) Comprovació. {|bgcolor="#ffd" style="border: 1px solid #fdd;" class="floatright" width="400px" cellpadding="5" ||Ara es substitueix els valors trobats per confirmar-los. |} ::<math>\begin{cases} 2(\frac{5}{13})+3(\frac{1}{13})=1 \\ 3(\frac{5}{13})-2(\frac{1}{13})=1 \end{cases}</math> :Ja està acabat perquè el sistema '''original''' confirma que els valors trobats de x i y donen una igualtat certa. Els tutorial pels sistemes següents [https://www.youtube.com/watch?v=_1UHZ4Vnnlo aquí], al (1) i (3) redueixen '''Y''' però sortirà la mateixa solució, primer surt el valor de '''x''' i després el valor de '''y''', i al (2) ho fan al invers. :1)<math>\begin{cases} 4x+y=-3 \\ -3x+y=11 \end{cases}</math> :2)<math>\begin{cases} 3x-2y=12 \\ x+5y=38 \end{cases}</math> :3)<math>\begin{cases} 2x+3y=19 \\ 5x-2y=0 \end{cases}</math> ;Com crear exercicis: Per crear infinits exercicis de sistemes l'únic que cal fer és donar valors al atzar a les lletres a, b, c, d, e i f: <math>\begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases}</math> Ara només cal resoldre'l i anar comprovant-lo amb eines digitals per si apareixen errors. ==== Curiositat ==== Analitzem els sistemes amb equacions duplicades per veure què diu, utilitzant els 3 mètodes que han de donar el mateix: <math>\begin{cases} 5x+y=1 \\ 5x+y=1 \end{cases}</math> == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] bt96wkemj9fuc5vlxpcuwy0qikxj28n 14 48166 373588 350623 2025-06-21T01:55:43Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373588 wikitext text/x-wiki [[Category: Matemàtiques]] [[Category:CA]] ak7sezfdkgvayizq0zbeyna7xh4v8hj 0 48167 373526 367151 2025-06-21T01:43:43Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373526 wikitext text/x-wiki Aquesta secció analitza com s'efectuen els repartiments en general a la vida diària i les eines que podem utilitzar per millorar la eficiència descriptiva i analítica per a una acció comunicativa. '''Objectius:''' * Utilitzar diverses estratègies per repartir unitats o quantitats. * Utilitzar mètodes d'aproximació decimal. * Utilitzar diversos procediments per presentar els resultats. * Utilitzar els múltiples i divisors de forma natural per abordar diversos problemes. * Mostrar l'ampli us i aplicació de les matemàtiques a la vida quotidiana. * Animar a la investigació amb totes aquestes eines. * Conèixer fets històrics més rellevants adequant anècdotes. * Apreciar i valorar cadascun dels objectius. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Temporització per al docent" data-collapsetext="Amaga" |- | |- |Es deixen plegats els possibles comentaris o explicacions que es poden fer, o determinades solucions que poden ser interessants. Es recomana no fer totes les explicacions plegades ja que moltes són elementals o redundants amb perill d'avorriment alt. Gradualment s'introduiran enllaços a noves direccions necessàries per accedir a nou coneixement. La següent temporització està basat en que el material web s'hagi finalitzat amb tota la seva amplitud. La diferència entre les hores depèn del tipus d'alumnat, l'estratègia del docent i la suma d'hores esperada. * Introducció: repàs de primaria si escau segons el tipus de classe de 0 a 1h. * Història: amb una llegida i que l'interessat pugui preguntar o analitzar ½h a 1h. :* Algunes activitats pràctiques dins l'esperit creatiu de l'alumne inspirat en els antics, lliure segons el docent. * Repartiments d'unitats: sobre les fraccions unitat de 0 a 2h. * Notació general de la fracció: utilització de la notació de fracció entera, 1h. * Fraccions enteres: entendre i recordar conceptes de primaria per fixar-los, 1h. * Producte i divisió de fraccions enteres: amb fraccions equivalents de 2h a 3h. * Sumes i restes de fraccions enteres: amb mcm i mcd de 2h a 4h. -en construcció-. |} == Introducció == Recordatori o bases intuïtiva de les operacions inverses. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |Donada la suma 4+3=7. A partir del 7 quina operació permet recuperar el 4 o el 3 inicials? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Si 4+3=7 llavors l'operació és la resta 7-3 = 4 o també 7-4 = 3 i ja està. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |Donada la resta 5-2=3. A partir del 3 quina operació permet recuperar el 5 inicial? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Si 5-2=3 llavors l'operació és la suma 3+2 = 5 i ja està. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |Podem concloure que la resta desfà la suma i que la suma desfà la resta? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Sí clarament, només cal respectar l'ordre de les operacions. Es pot resumir el concepte com: si jo sumo una unitat per desfer-ho he de restar una unitat i a l'invers. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |Donada la multiplicació <math>4\cdot 3=12.</math> A partir del 12 quina operació permet recuperar el 3 o el 4 inicials? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Si <math>4\cdot 3=12,</math> llavors l'operació és la divisió <math>12\div 3=4</math> o també <math>12\div 3 =4</math> i ja està. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |Donada la divisió <math>6\div 3=2</math>. A partir del 2 quina operació permet recuperar el 6 inicial? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Si <math>6\div 3=2,</math> llavors l'operació és la multiplicació <math>2\cdot 3=6</math> recuperant el valor esperat. |} '''Mostres i exemples:''' 1.-Cal repartir 5 pomes per a cada una de les 8 persones d'una reunió. *Quantes pomes hem repartit en total? Doncs en total són <math>5\times 8=40</math> pomes. Visualment: {| cellpadding="5" align="center" style="border: 0px solid black;" cellpadding="5" cellspacing="0" |- | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|[[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>8\times</math>[[File:CincoManzanas1.svg|30px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>8\times 5\times</math>[[File:UnaManzana1.svg|20px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>40\times</math>[[File:UnaManzana1.svg|20px]] |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" align="right" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- | |- |Pluja d'idees d'adaptacions didàctiques. Nivell de primaria. *Literalment, el dibuix mostra que 8 agrupacions idèntiques es poden canviar per un 8 que multiplica a la agrupació de 5 pomes. En un segon pas mostra com la agrupació de 5 pomes es pot canviar per un 5 que multiplica a una poma. Finalment observem que només hem de multiplicar 8 per 5 que dona 40 que és la quantitat de pomes que hem repartit en total. *Es pot entendre com el primer factor comú que es pot fer intuïtivament: {| cellpadding="5" align="center" style="border: 0px solid black;" cellpadding="5" cellspacing="0" |- | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|[[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>(1+1+1+1+1+1+1+1)\times</math>[[File:CincoManzanas1.svg|20px]] |} {| cellpadding="5" align="center" style="border: 0px solid black;" cellpadding="5" cellspacing="0" |- |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>8\times</math>[[File:CincoManzanas1.svg|20px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>8\times (1+1+1+1+1)\times</math>[[File:UnaManzana1.svg|15px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>8\times 5\times</math>[[File:UnaManzana1.svg|15px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>40\times</math>[[File:UnaManzana1.svg|15px]] |} *Quan es pot fer això?: Quan són diferents? iguals? creixents o decreixents? *Amb quins elements es pot aplicar?: Diferents elements o iguals? *Quines característiques es poden comparar per trobar igualtats?: Forma, volum, pes, disposició, composició, olor, quantitat o nombre, color, textura, lluentor, pertinença, ... i qualsevol detall identificable per fer una comparació. |} 2.-Tenim un espai rectangular de 6&nbsp;m d'amplada i 7&nbsp;m de llarg. *Quants metres quadrats té aquest espai? Doncs en total tenim <math>6\times 7=42\,\,m^2.</math> {|align="center" style="border: 0px solid black;" cellpadding="3" cellspacing="0" |- | {| |- | |align="center"|7 |- |6 |[[File:Cuadricula6x7simple.svg|98px]] |} |= | {| |- |align="center"|6 |[[File:Filas6x7cuadrados.svg|98px]] |} |= | {| |align="center"|<math>6\times</math>[[File:Fila7cuadrados.svg|98px]] |} |= <math>6\times 7\times</math>[[File:Cuadrado20x20unico.svg|14px]] | |= |<math>42\times</math> |[[File:Cuadrado20x20unico.svg|14px]] |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" align="right" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- | |- |Pluja d'idees d'adaptacions didàctiques. Nivell de primaria. *Literalment, es vol veure quants quadradets té aquest rectangle. Així: :*Es pot identificar que hi ha 6 tires idèntiques, llavors fem el recompte amb 6 multiplicat per una tira, però llavors com cada tira té 7 quadradets, llavors és el mateix que 6 multiplicat per 7 donant el nombre total de quadradets. :*Aquest és el procediment més fàcil per calcular àrees rectangulars. |} ;Pràctica immediata: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |1.-S'ha repartit 40 pomes entre 8 persones. Quantes pomes toca a cadascú? |- |Doncs <math>40\div 8=5</math> pomes a cada persona. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |2.-Tenim un espai amb un àrea de <math>42\,\,m^2</math> i 7&nbsp;m de llarg. Quina és l'amplada de l'espai? |- |Doncs <math>42\div 7=6\,\,m.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" |- |width="200"|3.-Càlcul aritmètic ràpid: ||a) <math>8\times 2\div 8=</math> |rowspan="2"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- | |- ||a=2, b=2. |} |- |||b) <math>2\div 3\times 3=</math> |} Aquests fets i molts d'altres porten la necessitat de partir o fer parts, trossejar, dividir o fraccionar en peces iguals o en valors iguals diverses quantitats idealment per distribuir-les o repartir-les i inversament també porten a ajuntar, agrupar, unir, encaixar o reconstruir objectes diversos. Aquesta necessitat té com a conseqüència la introducció dels '''múltiples''', '''divisors''', '''fraccions''' i '''aproximacions''' com a eines necessàries per abordar diferents problemes. == Història == Les fraccions apareix amb naturalitat amb el llenguatge. Hi ha registres d'aquestes fraccions a les primeres escriptures de les antigues civilitzacions. Els registres més coneguts són els quantitatius, on s'utilitzen diversos objectes amb valors fixos per anotar la mesura, permetent considerar unes mides com a fraccions d'unes altres gràcies a la relació exacta que té un objecte amb un altre. Els primers registres es van fer sobre diferents suports ja sigui en fang, escultures, escrits en papirs o altres mètodes de registre. *Els sumeris, que ja escrivien entorn del 5000 a.c. i va anar evolucionant a la cuneïforme, van utilitzar peces de fang amb diferents formes i també inscripcions al fang amb dibuixos que és el nom del que han contat. ::[[File:Clay accounting ball with calculi, counters, and evolution of cuneiform - Oriental Institute Museum, University of Chicago - DSC07070.JPG|400px]] * Els protoelamites veïns dels sumeris ja comerciaven amb aquestes fraccions: ::[[File:NumeraciónProtoelamita.svg|500px]] * Els babilonis, que es van apropiar de l'escriptura sumèria, van utilitzar fraccions de 60 parts d'una unitat que més tard va acabar en un sistema sexagesimal molt potent. ::[[File:NumeraciónBabilónica.svg|500px]] *Els egipcis van utilitzar fraccions d'una unitat amb una especie de quocient arbitrari. També van utilitzar símbols concrets com l'ull d'Horus per fer fraccions de potències de 2. ::[[File:Eye of Ra (fractions).svg|130px]] *En altres latituds els Asteques havien registrat longituds de terrenys, utilitzant mitjos i cinquenes parts de la unitat de forma reduïda. ::[[File:NumeraciónAzteca.svg|230px]] == Repartiments d'unitats == [[File:Queso fresco.JPG|200px|right]] Donat un formatge sencer es vol repartir entre 6 persones. :{|style="border: 1px solid grey;" |- | * Acció demanada: dividir aquesta unitat de formatge en 6 parts iguals. Possibles solucions: * Fer una divisió radial del formatge en 6 parts iguals. * Si el formatge pesa 600 grams llavors només cal donar 100 grams a cadascú sense importar la forma, però els seu pes serà la característica que ha de ser igual. El símbol ideal que s'utilitza és la fracció <math>\frac{1}{6}</math>, on l'u al numerador fa referència a un formatge sencer i el sis del denominador indica les parts en que s'ha dividit. |} ==== Notació de fracció entera unitaria ==== [[File:Numerador y denominador.svg|200px|right]] Per escriure que ''una unitat es divideix en una quantitat de parts iguals'' s'ha d'utilitzar nombres sense decimals al denominador, es a dir nombres enters i diferents de zero, i fem servir la notació: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\frac{1}{n}</math>, on '''1''' és el '''numerador''', dividend o valor a dividir, i '''n''' és el '''denominador''', divisor o valor enter que divideix però <math>n\neq 0.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|[[File:Solar-calculator.jpg|90px|right]] Tota fracció és un nombre decimal. Per calcular el seu valor decimal amb la calculadora s'ha d'escriure: :<math>\begin{array}{|c|}\hline 1\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline /\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline n\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline =\\ \hline \end{array}</math> :També :<math>\begin{array}{|c|}\hline 1\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline \div \\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline n\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline =\\ \hline \end{array}</math>. '''Exemple''': <math>\frac{1}{6}=0,166666666666666666666...=0,1\widehat{6}</math> Els egipcis van desenvolupar un altra notació que indica les parts d'una unitat arbitràriament: {| align="center" border=0 |<span style="font-size:35px;">𓐝</span> <math>= \frac{1}{2},</math> |width="30px"| |<span style="font-size:35px;">𓏼𓂋</span> <math>= \frac{1}{3},</math> |width="30px"| |<span style="font-size:35px;">𓏽𓂋</span> <math>= \frac{1}{4},</math> |width="30px"| |<span style="font-size:35px;">𓐃𓂋</span> <math>= \frac{1}{5},</math> |width="30px"| |<span style="font-size:35px;">𓏿𓂋</span> <math>= \frac{1}{6},</math> |width="30px"|... |<span style="font-size:35px;">𓎆𓂋</span> <math>= \frac{1}{10}</math> |} A el regla de la imatge teniu escrites i detallades les fraccions sobre una vara de fusta especial i sota les fraccions es pot apreciar l'esforç artesà de dividir la unitat fixada. [[file:Measuring ruler-N 1538-IMG 4492-transparent.png.jpeg|900px]] |} ===== Exemples de fracció unitària ===== {| align="center" style="border: 1px solid grey;" bgcolor="#ffe" cellpadding="5" cellspacing="0" |- | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#ddf" colspan="2"|'''Símbol''' | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#ddf"|'''Circulars''' | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#ddf" rowspan="2"|'''Ortoèdrics''' | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#ddf" colspan="2"|'''Rectangulars''' | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#ddf"|'''Mètric''' | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#ddf"|'''Objectes''' |- | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Fracció | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Decimal | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Radial | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Agrupats | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Tires | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Longituds | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Unitats |- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\frac{1}{2}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0,5 |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:IconoMitadMedio1.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:MedioOrtoedro1.svg|60px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:IconoMedioRec1.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:MediaParteTira.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:MediaUnidad1.svg|150px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:UnaMitad.svg|60px]] |- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\frac{1}{4}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0,25 |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:IconoCuarto1.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:CuartoOrtoedro1.svg|60px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:IconoCuartoRec1.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:CuartaParteTira.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:CuartaUnidad1.svg|150px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:UnaCuartaParte.svg|60px]] |- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\frac{1}{5}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0,2 |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:IconoQuinto1.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:QuintoOrtoedro1.svg|60px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:IconoQuintoRec1.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:QuintaParteTira.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:QuintaUnidad1.svg|150px]] |- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\frac{1}{8}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0,125 |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:IconoOctavo1.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:OctavoOrtoedro1.svg|60px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:IconoOctavaRec1.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:OctavaParteTira.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:OctavaUnidad1.svg|150px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:UnaOctavaParte.svg|60px]] |- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\frac{1}{100}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0,01 |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:IconoCentesima1.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:centavoOrtoedro1.svg|60px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:IconoCentesimaRec1.svg|60px]] |style="border: 1px solid #aaf;"| |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:CentesimaUnidad1.svg|150px]] |style="border: 1px solid #aaf;"| |- |colspan="8"| {|cellspacing="0" align="center" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Explicació" data-collapsetext="Tanca" |- |Detallat per columnes <math>\Rightarrow</math> |- | *Es mostra a la '''primera''' columna les fraccions i a la següent columna el seu valor decimal, de fet aritmèticament són el mateix, però una fracció aporta molta més informació, i de fet indica la procedència d'aquest valor decimal. *A la '''tercera''' columna hi ha la divisió radial del cercle, on ''el cercle és la unitat'', també té moltes variants una d'aquestes és la divisió radial del semicercle utilitzat per les eleccions al parlament per la semblança amb aquest físicament. *A la '''quarta''' columna es representen les divisions dins d'un ortoedre(les cares fan 90 graus amb les veïnes com un maó o un bric sense cares inclinades) o també un cub clarament es com tallar un formatge, en forma de ''cub que és la unitat'', en cubs o ortoedres més petits. *A la '''cinquena''' columna es presenten divisions dins d'una ''figura plana que és la unitat'' dividit en parts iguals segons convingui, tenen variants o agrupacions molt curioses. *A la '''sisena''' columna tenim divisions dins una tira que és la unitat, representat com a una cadena de rectangles. *A la '''setena''' columna tenim la identificació de les fraccions sobre la unitat longitudinal del sistema mètric com si fos una tira. *A la '''octava''' columna tenim la identificació de la fracció de 8 figures que representen la unitat. S'ha de deixar molt clar quina és la unitat, sense ella no hi ha manera de començar a fer particions. S'han deixat dos imatges per considerar-se no necessàries. |} |} ===== Aplicació de les fraccions ===== L'objectiu primari de les fraccions és aplicar-les directament a les quantitats destinades. ;'''Com s'apliquen aquestes fraccions?''' :Doncs multiplicant-les pel valor a repartir: :* Si es vol repartir dos metres de cinta adhesiva entre 8 persones, llavors hi ha dos opcions equivalents: ::* Dividint <math>2\div 8</math> donant 0,25 metres o 25 centímetres. ::* Multiplicant <math>2\times\tfrac{1}{8}</math> és a dir <math>2\times 0,125</math> donant 0,25 metres o 25 centímetres. :* Si es vol repartir 350 litres de llet entre 10 persones, llavors: ::* Dividint <math>350\div 10</math> donant 35 litres. ::* Multiplicant <math>350\times\tfrac{1}{10}</math> és a dir <math>350\times 0,1</math> donant 35 litres. Que es pugui fer de dues maneres és perquè podem multiplicar 350 per l'u abans que dividir <math>350\times\tfrac{1}{10}=350\times 1\div 10= 350\div 10</math> això justifica la notació general: :::<math>a\times\tfrac{1}{b}=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{a}{b}\\ \hline \end{array}=\tfrac{1}{b}\times a</math> on estudiarem <math>a</math> i <math>b</math> sense decimals. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Ocultar" |- |[[File:Accessories-calculator Faenza.svg|left|30px]]La '''inversa''' de la multiplicació de nombres per calculadores científiques és <math>n^{-1}=\tfrac{1}{n}=(1\div n)</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Exemple: * Si es vol repartir 140 caramels entre 20 persones llavors multiplico per la inversa <math>140\times 20^{-1}</math> <math>=140\times (1\div 20)</math> <math>=140\times 0'05</math> = 7 caramels per cadascú. Algunes calculadores científiques poden fer directament <math>\begin{array}{|c|}\hline 1\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline 4\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline 0\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline 0\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline x^{-1}\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline =\\ \hline \end{array}</math> |} ;'''Multiplicació per augmentar o reduir?''' : En multiplicar 3 per un nombre positiu més gran que 1 com el '''10''', llavors aquest 3 creix o augmenta fins a 30. ::[[File:Lente001.jpg|300px]] <math>3\xrightarrow{\;\;\;\times 10\;\;\;}30</math> : En multiplicar 3 per un nombre positiu més petit que 1 com el '''0'2''', llavors aquest 3 decreix o disminueix fins a 0'6. ::[[File:Lente002.jpg|300px]] <math>3\xrightarrow{\;\;\;\times 0'2\;\;\;}0,6</math> === Fraccions enteres === Aquesta secció presenta la notació actual de '''fracció''' que evita o simplifica la multiplicació d'una fracció unitària per un nombre o també evita la suma de moltes fraccions unitàries idèntiques estalviant així temps i agilitzant operacions secundàries. ==== Notació de fracció ==== {|align="right" style="border: 1px solid #77d" cellspacing="0" cellpadding="3" |- |colspan="2" style="background:#ddf"|'''Tipus de fraccions''' |- |style="border: 1px solid #bbd;background:#f4f4ff"|Model |style="border: 1px solid #bbd;background:#f4f4ff"|Nom |- |style="border: 1px solid #bbd"|<math>\frac{1}{b}</math> |style="border: 1px solid #bbd"|'''unitària''' |- |style="border: 1px solid #bbd"|<math>\frac{a}{b}\,\,i\,\,a<b</math> |style="border: 1px solid #bbd"|'''pròpia''' |- |style="border: 1px solid #bbd"|<math>\frac{a}{b}\,\,i\,\,a>b</math> |style="border: 1px solid #bbd"|'''impròpia''' |} Per escriure que ''un valor arbitrari es divideix en una quantitat de parts iguals'' fem servir la notació general de fraccions: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\dfrac{a}{b}</math>, on '''ɑ''' és el '''numerador''', dividend o valor a dividir, i '''b''' és el '''denominador''', divisor o valor que divideix però no nul, es a dir, diferent de zero, <math>b\neq 0.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| {|cellspacing="0" cellpadding="5" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Nivell pro" data-collapsetext="Ocultar" |- |La fracció demana les '''vegades que el valor <math>b</math> està dins del valor <math>a</math>''' amb aquesta pregunta es pot reconstruir el mecanisme de les divisions que coneixem. |- |style="border: 1px solid #fbb"|Es vol repartir 19€ entre 8 persones, per tant, tenim la fracció <math>\frac{19}{8}</math> i vull obtenir el seu valor decimal per saber quant toca a cadascú: Es veu que 8 cap 2 vegada com a màxim dins de 19, es a dir, que <math>8\times 2< 19</math> i sobra un 3 que falta dividir entre 8 que s'escriu com:<ref group="note" name="cap"/> :<math>\frac{19}{8}=2+\frac{3}{8}</math> ::Es llegeix com que cada persona rep 2€ i falten 3€ a repartir entre les 8 persones. S'ha de descanviar 3€ en dècimes d'euro, així, 3€ = 30 dècimes per repartir-les entre 8 persones, per tant, tenim la fracció <math>\frac{30}{8}.</math> Novament es veu que 8 cap 3 vegades com a màxim dins de 30, és a dir, que <math>8\times 3\subset 30</math> i sobra un 6 que falta dividir entre 8 que s'escriu com: :<math>\frac{30}{8}</math> <math>=3+\frac{6}{8}</math> ::Es llegeix com que cada persona rep 3 dècimes d'euro i falta 6 dècimes a repartir entre 8 persones. S'ha de descanviar 6 dècimes d'euro, així, 6 dècimes = 60 cèntims per repartir-les entre 8 persones, per tant, tenim la fracció <math>\frac{60}{8}.</math> Novament es veu que 8 cap 7 vegades com a màxim dins de 60, és a dir, que <math>8\times 7\subset 60</math> i sobra un 4 que falta dividir entre 8 que s'escriu com: :<math>\frac{60}{8}</math> <math>=7+\frac{4}{8}</math> ::Es llegeix com que cada persona rep 7 cèntims i sobren 4 cèntims a repartir entre 8 persones. S'ha de descanviar 4 cèntims, així, 4 cèntims són 40 mil·lèsimes d'euro, unitat que no existeix, per tant, tenim la fracció <math>\frac{40}{8}.</math> Novament es veu que 8 cap exactament 5 vegades dins de 40 ja que <math>8\times 5=40.</math> :<math>\frac{40}{8}</math> <math>=5</math> ::Es llegeix com que cada persona rep 5 mil·lèsimes d'euro. El resultat és docs <math>\frac{19}{8}=2+0'3+0'07+0'005=2,375\euro</math> són les vegades que 8 està dins de 19 amb tots els decimals es a dir <math>19\euro\div 8</math>. |} Tota fracció impròpia es pot escriure com un nombre més una fracció pròpia <math>s+\tfrac{a}{b}</math> <math>=s\;\;^a/_b,</math> on <math>a<b</math> d'aquesta suma en diem '''nombres mixtos''': :<math>3,5=3+\tfrac{1}{2}=3\;\;^1/_2</math> es pot desfer fent <math>=\dfrac{3\times 2+1}{2}=\dfrac{7}{2}.</math> :<math>2,75=2+\tfrac{3}{4}=2\;\;^3/_4</math> es pot desfer fent <math>=\dfrac{2\times 4+3}{4}=\dfrac{11}{4}.</math> :<math>7,8=7+\tfrac{4}{5}=7\;\;^4/_5</math> es pot desfer fent <math>=\dfrac{7\times 5+4}{5}=\dfrac{39}{5}.</math> S'ha d'interpretar i conèixer bé aquesta notació, ja que, és una forma d'escriure el mateix: :<math>a\div b=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{a}{b}\\ \hline \end{array}</math> :<math>a\times \frac{1}{b}=\frac{a\times 1}{b}=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{a}{b}\\ \hline \end{array}</math> :<math>\frac{1}{b}\times a=\frac{1\times a}{b}=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{a}{b}\\ \hline \end{array}</math> :<math>1=a\div a=\dfrac{a}{a}</math> '''Exemple intuïtiu:''' Si repartim 310 pans entre 310 persones hem de fer <math>\dfrac{310\,\,Pans}{310\,\,Persones}</math> <math>=\dfrac{1\,\,Pa}{1\,\,Persona}</math> <math>=1\dfrac{Pa}{Persona}</math> <math>=1\;\;^{Pa}/_{Persona}</math> que es llegeix ''un pa '''per''' cada persona''. Si multipliquem una fracció pel número '''1''' no tenim cap canvi. :<math>\frac{a}{b}\times 1=\frac{a\times 1}{b}=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{a}{b}\\ \hline \end{array}</math> :<math>1\times\frac{1}{b}=\frac{1\times a}{b}=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{a}{b}\\ \hline \end{array}</math> |} ;Exemples d'aplicació de la notació: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |1) Sumes de fraccions iguals <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=?</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Es demana ajuntar parts o trossos iguals per tant :<math>\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}</math> <math>=5\times\frac{1}{3}</math> <math>=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{5}{3}\\ \hline \end{array}</math> Utilitzant decimals és més elaborat: ::<math>0'\widehat{3\,}+0'\widehat{3\,}+0'\widehat{3\,}+0'\widehat{3\,}+0'\widehat{3\,}</math> <math>=5\times 0'\widehat{3\,}</math> <math>=\begin{array}{|c|}\hline 1'\widehat{6\,}\\ \hline \end{array}</math> és a dir que en realitat <math>5\div 3</math> <math>=1'\widehat{6\,}.</math> Quin és el millor? doncs depèn de la situació pot ser un o l'altre. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |2) Sumes de fraccions mateix denominador: <math>\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=?</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Només cal interpretar cada fracció per separat per adonar-se que són totes iguals: :<math>\frac{3}{7}+\frac{2}{7}</math> <math>=\bigg(\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\bigg)+\bigg(\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\bigg)</math> <math>=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{5}{7}\\ \hline \end{array}</math> S'ha de recordar que com que tot són sumes llavors podem treure els parèntesis i es sumar tranquil·lament. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |3) Restes de fraccions mateix denominador: <math>\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=?</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Només cal interpretar cada fracció per separat per adonar-se que són totes iguals: :<math>\frac{4}{5}-\frac{3}{5}</math> <math>=\bigg(\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\bigg)+\bigg(-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\bigg)</math> <math>=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{1}{5}\\ \hline \end{array}</math> Podem treure els parèntesis i es resta tranquil·lament. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |4) Quants setens hi ha a l'expressió: <math>\frac{13}{7}?</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Només cal entendre que el numerador parla de quants setens tenim, en aquest cas 13 setens. |} ;Interpretacions de <math>\frac{a}{b}:</math> {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Amaga" |- | *Quantitat de vegades que '''b''' cap dins de '''ɑ'''.<ref group="note" name="cap">Direm que "3 '''cap''' 4 vegades dins 13", abusant del llenguatge, es refereix a les vegades que puc '''ocupar en grup de 3 espais''' sense sobrepassar els '''13 espais donats''' </ref> ::[[File:Interpretando una fracción 001.svg|100px]] <math>\Rightarrow\frac{a}{b}=6</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Exemple 1''': Es vol fer un estudi més general sobre distribució d'espai, en primer lloc s'analitzen 13 places d'aparcament de cotxes i es vol estudiar quants '''grups de 3''' cotxes cap a dins, és a dir, omplir-lo de 3 en 3, visualment amb un dibuix ja es veu la solució: [[File:Estacionamiento en línea 001.svg|center|300]] :Amb una divisió entera també tindrem la solució <math>\begin{matrix} 13 & \begin{array}{|c} 3 \\ \hline \end{array} \\ 1 & 4 \end{matrix}</math> i el resultat diu que cap 4 grups de 3 cotxes i sobra un espai. :Amb calculadora <math>\frac{13\;places}{3\;places\;agrupades}=4,\widehat{3\,},</math> per tant, són 4 agrupacions i els decimals <math>0'\widehat{3\,}</math> només indiquen que han sobrat espais, per recuperar aquest espai residual s'ha de multiplicar per 3 donant <math>0'\widehat{3\,}\times 3=1</math> lloc. [[File:Huevera o caja de una docena de huevos 00.jpg|100px|right]] '''Exemple 2''': S'estudia una ouera per a una dotzena d'ous i 5 gallines que donen 1 ou diari cadascuna. Es vol saber en quants dies s'ocupa aquesta ouera i, per tant, necessitaré una nova ouera. Esquema on visualment ja es veu la solució: ::[[File:IconoDoceavoRecV01.svg|150px]] :Amb una divisió entera també tindrem la solució <math>\begin{matrix} 12 & \begin{array}{|c} 5 \\ \hline \end{array} \\ 2 & 2 \end{matrix}</math> i el resultat diu que en 2 dies s'omple la ouera i sobren 2 espais, i per tant necessitarem una de nova. :Amb calculadora <math>\frac{12\;espais}{5\;espais\;per\;dia\;ocupats}=2'4,</math> per tant, en 2 dies s'ocupa aquesta primera ouera i els decimals 0'4 només indiquen que han sobrat espais, en aquest cas sobren <math>0'4\times 5=2</math> llocs. '''Nota:''' Aquests exemples són expressament molt fàcils i es poden veure a ull però amb valors més grans és difícil de fer-lo a ull. Identifiqueu la idea més simple que dona. També es por fer un resum amb les pròpies paraules. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Amaga" |- | *Valor de cadascuna de les '''b''' parts iguals que es poden fer del valor '''ɑ'''. ::[[File:Interpretando una fracción 002.svg|100px]] <math>\Rightarrow\frac{a}{b}=4</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Exemple 1: Es vol destinar un espai de 60 metres per a estacionament de vehicles en línia (un davant de l'altre). Quants metres tindria cada aparcament si es vol fer-ne 15? i si es vol fer-ne 18? :Si es vol 15, s'ha de fer la divisió <math>\frac{60\;m}{15\;espais}=4\frac{m}{espai},</math> per tant 4 metres per espai. :Si es vol 18, s'ha de fer la divisió <math>\frac{60\;m}{18\;espais}=3,\widehat{3\,}\frac{m}{espai},</math> per tant 3,333 metres per espai aproximadament. '''Nota:''' Evidentment si es vol anar directament a una mesura com 3 metres per aparcament s'aplica la idea anterior <math>\frac{60\;m}{3\;m}=20\;aparcaments.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Explicació" data-collapsetext="Amaga" |- | *Per cada '''b''' elements d'un conjunt n'agafem '''ɑ''' elements o ,equivalentment, agafem '''ɑ''' elements per cada '''b''' elements d'un conjunt. ::[[File:Interpretando una fracción 003.svg|400px]] <math>\frac{2}{20}</math> del motiu és verd. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aquí només cal dir que es considera que el fris decoratiu és molt gran, llavors només cal identificar el '''motiu''' que es repeteix i construir una fracció a partir del que es demana d'ell. També es pot fer una equivalència amb: *'''b''' és el total de elements d'un '''conjunt unitat''' divisible, i '''ɑ''' és la quantitat que es necessita. :*<math>\frac{parts\;escollides}{total\;de\;parts\;escollibles}</math> :*<math>\frac{elements\;seleccionats}{tots\;els\;elements\;seleccionables}</math> :*<math>\frac{parts\;pintades}{total\;de\;parts\;pintables}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Explicació" data-collapsetext="Amaga" |- | *A partir de '''b''' s'obté el tipus d'elements utilitzats i '''ɑ''' els elements que es necessiten. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aquesta darrera interpretació és la més general i la que produeix fraccions impròpies de forma natural. Quan es diu que a partir de '''b''' s'obté el tipus d'elements, està parlant de que els elements són <math>\frac{1}{b}</math> com a una ''unitat fraccionària''. Si es demanen 400 pans d'un quart, ¿Quant pesa?. Llavors el que es fa és <math>400\times\frac{1}{4}=</math> <math>\frac{400}{4}=</math> 100&nbsp;kg. A algunes aplicacions parlen que és necessari <math>\frac{5}{5}</math> per arribar a un objectiu, només cal observar que '''la unitat desitjada està formada per 5 elements''', llavors: * Si es diu que hi ha <math>\frac{1}{5}</math> del que es desitja, vol dir que hi ha la cinquena part de la unitat de 5 elements, és a dir, tens un sol element i es demanen 5. * Si es diu que hi ha <math>\frac{55}{5}</math> del que es desitja, vol dir que hi ha 55 cinquenes parts de la unitat de 5 elements, és a dir, sobren 50 elements. |} ===== Exemples ===== {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |1) Un comprador fa una comanda de 15 trossos d'un mateix tipus de formatge, aquest formatge es ven en mitjos de formatge. A quants formatges sencers equival la compra feta realment? escriu-lo en nombres mixtos i després en nombres decimals. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Com que 15 no es pot dividir entre 2 llavors apartem un dels 15 i obtenim 14. :Directament separem un mig dels 15 que tinc <math>15\times\frac{1}{2}</math> <math>=\frac{14}{2}+\frac{1}{2}</math> :Es calcula els 14 mitjos: <math>=\frac{14}{2}+\frac{1}{2}</math> <math>=\begin{array}{|c|}\hline 7+\dfrac{1}{2}.\\ \hline \end{array}</math> :I amb decimals <math>=7+\frac{1}{2}</math> = 7 + 0'5 <math>=\begin{array}{|c|}\hline 7'5.\\ \hline \end{array}</math> De fet la divisió entera ens diu com és el nombre, el residu 1 és l'u d'aquest un mig: :<math>\begin{matrix} 15 & \begin{array}{|c}2\\ \hline \end{array}\\ 1 & 7 \end{matrix} \;\;\;\Rightarrow\;\;\; \frac{15}{2}=7+\frac{1}{2}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |2) Un home es menja la meitat d'una pizza, després té més gana però només es menja l'equivalent a un quart de la pizza inicial. Quina fracció s'ha menjat realment respecte de la pizza unitat? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Si es representa clarament el mig és el mateix que dos quarts [[File:Fracción suma 1 de 4 i 1 de 2.svg|200px|center]] Per tant en comptes de <math>\frac{1}{4}+\frac{1}{2}</math> el que realment tinc és <math>\frac{1}{4}+\frac{2}{4}</math> i que sumant dona <math>\begin{array}{|c|}\hline \dfrac{3}{4}\\ \hline \end{array}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |3) Suposant que el fris és indefinidament llarg. Quina fracció del fris és de color verd? [[File:Friso de triángulos equiláteros 0001.svg|600px|center]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|El patró que es repeteix és el parell verd-carbassa; de dos triangles un és verd, per tant, <math>\frac{1}{2}</math> del fris és de color verd. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |4) Suposant que el fris és indefinidament llarg. Quina fracció del fris és de color verd i quina no és de color verd? [[File:Friso de triángulos equiláteros 0002.svg|600px|center]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Doncs com que el patró que es repeteix és verd-carbassa-blau cel-carbassa; de quatre triangles un és verd, per tant, <math>\frac{1}{4}</math> del fris és verd i <math>\frac{3}{4}</math> del fris no és verd. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |5) Suposant que el fris és indefinidament llarg. Quina fracció del fris és de color verd i quina no és de color verd? [[File:Friso de triángulos equiláteros 0003.svg|600px|center]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Doncs com que el patró que es repeteix és verd-carbassa-carbassa; de tres triangles un és verd, per tant, <math>\frac{1}{3}</math> del fris és verd i <math>\frac{2}{3}</math> del fris no és verd. |} ==== Sumes i restes de fraccions enteres ==== {|cellspacing="0" cellpadding="5" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" |- |style="border: 2px solid #77d;" align="center"|<math>\,\,\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math> |style="border: 1px solid #77d;" align="center"|<math>\,\,\frac{a}{n}-\frac{b}{n}=\frac{a-b}{n}</math> |- |style="border: 1px solid #77d;" align="center"|<math>-\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{-a+b}{n}</math> |style="border: 1px solid #77d;" align="center"|<math>-\frac{a}{n}-\frac{b}{n}=\frac{-a-b}{n}</math> |- |colspan="2"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Ocultar" |- | |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aquesta demostració val per tots, només cal repetir l'estratègia de interpretar la notació: <math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}</math> <math>=\underbrace{ \underbrace{\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_a+\underbrace{\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_b}_{a+b}</math> <math>=\frac{a+b}{n}</math> |} |} '''Exercicis:''' 1) Quina és la quantitat total resultant a cada cas: :a) S'ha venut els formatges indicats: <math>4+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=</math> :b) S'han repartit els següents trossos de barres de pa de 2kg: <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=</math> :c) En una capsa tenim un pastís dividit en 35 trossos, per repartir-la entre els seus companys, Marta agafa 5, Josep n'agafa 10, Pere n'agafa 10 i Joan es menja 3. Quina fracció de pastís queda per repartir? :d) Un restaurador suma l'àrea les fraccions de rajoles restaurades, cada rajola té 1 metre quadrats que ha restaurat: <math>\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+\frac{5}{4}=</math> :e*canviar) Un venedor de farines ven les següents quantitats en fraccions de kilograms: <math>4+\frac{2}{10}+\frac{3}{100}+\frac{7}{1000}=</math> :e) Volem saber quina és la fracció total de cada tipus de rajola de cadascun dels recobriments següents, pistes: ::* Imaginem que els dibuixos són recobriments extensos i hem dibuixat un trosset petit de com es repeteix el dibuix. ::* S'ha de prendre com a unitat un '''tros''' del dibuix, anomenat patró, amb el qual es pot fer o dibuixar tot el recobriment i deduir les fraccions de tot, només a partir d'aquest tros ben escollit. :::{|cellspacing="3" cellpadding="3" |- |c.1) [[File:Revestimiento0006.svg|200px]] |c.2) [[File:Revestimiento0005.svg|200px]] |- |c.3) [[File:Revestimiento0007.svg|200px]] |c.4) [[File:Revestimiento0001.svg|200px]] |- |c.5) [[File:Revestimiento0002.svg|200px]] |c.6) [[File:Revestimiento0004.svg|200px]] |- |c.7) [[File:Revestimiento0003.svg|200px]] |} 2) Calculeu la operació indicada: {| |width="300"| :a) <math>\frac{1}{5}+\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=</math> |width="300"| :b) <math>\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=</math> |- |width="300"| :c) <math>\frac{8}{3}+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=</math> |width="300"| :d) <math>-\frac{6}{3}+\frac{5}{3}=</math> |- |width="300"| :e) <math>\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=</math> |width="300"| :f) <math>\frac{5}{8}+\frac{1}{8}-\frac{6}{8}=</math> |} ==== Multiplicació de fraccions ==== {|class="floatright" style="border: 1px solid #08f" width="149" |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{\,\,\frac{a}{b}\,\,}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> <math>=\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}</math> |} {|style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" cellspacing="0" cellpadding="8" width="120" |- |<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |} '''Exemples''' 1) <math>\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{7}=\frac{2\cdot 3}{5\cdot 7}=\frac{6}{35}</math> 2) <math>\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{2\cdot 4}{5\cdot 3}=\frac{8}{15}</math> ===== Reducció de fraccions ===== Tenim una fracció <math>\frac{p}{q}</math> amb '''p''' i '''q''' divisibles per c, és a dir que '''p = a · c''' i '''q = b · c''', llavors es compleix que: {|style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" cellspacing="0" cellpadding="8" width="195" |- |<math>\frac{p}{q}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{a\cdot\cancel c}{b\cdot\cancel c}=\frac{a}{b}</math> |} ;Exemples: 1) <math>\frac{6}{15}=\frac{2\cdot\cancel 3}{5\cdot\cancel 3}=\frac{2}{3}</math> 2) <math>\frac{8}{6}=\frac{4\cdot\cancel 2}{3\cdot\cancel 2}=\frac{4}{3}</math> 3) <math>\frac{30}{70}=\frac{10\cdot 3}{10\cdot 7}</math> <math>=\frac{\cancel{10}\cdot 3}{\cancel{10}\cdot 7}</math> <math>=\frac{3}{7}</math> 4) <math>\frac{49}{35}=\frac{7\cdot 7}{5\cdot 7}</math> <math>=\frac{7\cdot \cancel 7}{5\cdot \cancel 7}</math> <math>=\frac{7}{5}</math> ;Exercicis de multiplicacions i divisions: {| |width="300"| 1) <math>\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{5}=</math> |width="300"| 2) <math>\frac{8}{3}\cdot\frac{6}{4}=</math> |- |width="300"| 3) <math>\frac{4}{15}\cdot\frac{3}{12}=</math> |width="300"| 4) <math>\frac{100}{7}\cdot\frac{14}{200}=</math> |- |width="300"| 5) <math>\frac{\,\,\frac{3}{4}\,\,}{\frac{3}{4}}=</math> |width="300"| 6) <math>\frac{2}{5}\div\frac{4}{3}=</math> |- |width="300"| 7) <math>\frac{1}{3}\div\frac{4}{9}=</math> |width="300"| 8) <math>\frac{\,\,\frac{25}{3}\,\,}{\frac{5}{3}}=</math> |- |width="300"| 9) <math>\frac{\frac{1}{5}-\frac{3}{5}}{\frac{7}{5}}=</math> |} ;Exercicis de reducció: 1) <math>\frac{128}{8}=</math> 2) <math>\frac{60}{12}=</math> 3) <math>\frac{45}{18}=</math> 4) Són equivalents les fraccions següents? '''Nota:''' dues fraccions són equivalents quan en reduir-les surt la mateixa fracció. Aquest terme s'utilitza per evitar dir '''iguals''' ja que simbòlicament no ho són. :a)<math>\frac{500}{70}</math> i <math>\frac{100}{14}</math> :b)<math>\frac{42}{66}</math> i <math>\frac{21}{11}</math> :c)<math>\frac{128}{8}</math> i <math>\frac{16}{1}</math> ==== Sumes i restes de fraccions ==== ;Observació: {|width="100%" |width="40"|<math>\frac{1}{3}\rightarrow</math> |width="100"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #000" |width="20" height="86" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |width="20" height="86" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |width="20" height="86" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |} |width="40" rowspan="2"| <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\rightarrow</math> |rowspan="2" width="95"| {| |width="20"| |width="40"|<math>\leftarrow 3\rightarrow</math> |- |width="20"| <math>\begin{matrix}\uparrow\\ 4 \\ \downarrow \end{matrix}</math> |width="70"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #000" |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |- |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |- |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |- |width="20" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |width="20" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |width="20" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |} |} |width="40" rowspan="2"|<math>=\frac{7}{12}</math> | |- |width="40"|<math>\frac{1}{4}\rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #000" |width="64" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |- |width="60" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |- |width="60" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |- |width="60" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |} |} Explicació de l'esquema: S'ha de veure que els terços casualment són divisions verticals, els quarts són divisions horitzontals i quan volem sumar tots dos l'únic que cal és fer les divisions una sobre l'altra. Es veu clarament que un terç són 4 quadradets i un quart són 3 quadradets de un total de 12, per tant el resultat és <math>\frac{7}{12}.</math> ===== Mètode de suma o resta en general ===== Sempre es pot fer aquests procediments i s'ha de reduir sempre que es pugui: 1r Mètode sense miraments: {|cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #88f;"|<math>\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d}\pm\frac{b\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a\cdot d\pm b\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més extensament" data-collapsetext="Ocultar"| {|bgcolor="#f0f6ff" |<math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d}+\frac{b\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |<math>\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d}-\frac{b\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a\cdot d-b\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |<math>-\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=-\frac{a\cdot d}{b\cdot d}+\frac{b\cdot c}{b\cdot d}=\frac{-a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |<math>-\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=-\frac{a\cdot d}{b\cdot d}-\frac{b\cdot c}{b\cdot d}=\frac{-a\cdot d-b\cdot c}{b\cdot d}</math> |} |} 2n Mètode eficient: {|cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #88f;"|<math>\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ a\cdot\frac{mcm}{b}\pm c\cdot\frac{mcm}{d} }{mcm}</math> on '''mcm(b,d)''' és el mínim comú múltiple. |- |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més extensament" data-collapsetext="Ocultar"| {|bgcolor="#f0f6ff" |<math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ a\cdot\frac{mcm}{b}+c\cdot\frac{mcm}{d} }{mcm}</math> |- |<math>\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ a\cdot\frac{mcm}{b}-c\cdot\frac{mcm}{d} }{mcm}</math> |} |} 3r Mètode del espavilat: Es tracta de fer expressament que tots els denominadors siguin iguals multiplicant pel numerador i denominador per un número. Si es veu difícil apliqueu l'anterior i segur que està bé. {|cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #88f;"|<math>\frac{3}{4}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}=\frac{3\cdot 4}{4\cdot 4}+\frac{3\cdot 2}{8\cdot 2}-\frac{5}{16}=\frac{12}{16}+\frac{6}{16}-\frac{5}{16}=\frac{13}{16}</math> |- |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Explicació" data-collapsetext="Ocultar"| {|bgcolor="#f0f6ff" |Es veu els denominadors 4, 8 i 16. *Es pot veure que el 4 l'he de multiplicar per 4 per arribar a 16. *Es pot veure que el 8 només l'he de multiplicar per 2 per arribar a 16. Ja està! és el que s'ha de fer com indica l'enunciat, he de multiplicar a numerador i denominador a la vegada per aquests nombres. Finalment es fa la suma normal. |} |} ;Observacions: *<math>a\div n\times(b+c) =\dfrac{a\times b}{n}+\dfrac{a\times c}{n}</math> anomenada '''propietat distributiva''' respecte la suma. ;Exemple: {|style="border: 1px solid #88f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="100%" |width="100" valign="top"|1) <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 1" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{1\cdot 3+2\cdot 1}{2\cdot 3}</math> <math>=\frac{3+2}{6}</math> <math>=\frac{5}{6}</math> |- |valign="top"|2) <math>\frac{5}{6}+\frac{1}{4}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 2" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{5\cdot 4+6\cdot 1}{6\cdot 4}</math> <math>=\frac{20+6}{24}</math> <math>=\frac{26}{24}^{\;\div 2}_{\;\div 2}</math> <math>=\frac{13}{12}</math> |- |valign="top"|3) <math>\frac{3}{7}+\frac{4}{3}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 3" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{3\cdot 3+4\cdot 7}{3\cdot 7}</math> <math>=\frac{9+28}{21}</math> <math>=\frac{37}{21}</math> |- |valign="top"|4) <math>\frac{2}{6}+\frac{3}{2}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 4" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{2\cdot 2+6\cdot 3}{6\cdot 2}</math> <math>=\frac{4+18}{12}</math> <math>=\frac{22}{12}^{\;\div 2}_{\;\div 2}</math> <math>=\frac{11}{6}</math> |- |valign="top"|5) <math>\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 5" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{3\cdot 6-4\cdot 1}{4\cdot 6}</math> <math>=\frac{18-4}{24}</math> <math>=\frac{14}{24}^{\;\div 2}_{\;\div 2}</math> <math>=\frac{7}{12}</math> |- |valign="top"|6) <math>\frac{4}{5}-\frac{1}{20}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 6" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{4\cdot 20-5\cdot 1}{5\cdot 20}</math> <math>=\frac{80-5}{100}</math> <math>=\frac{75}{100}^{\;\div 5}_{\;\div 5}</math> <math>=\frac{15}{20}^{\;\div 5}_{\;\div 5}</math> <math>=\frac{3}{4}</math> |- |valign="top"|7) <math>\frac{5}{4}-\frac{2}{25}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 7" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{5\cdot 25-4\cdot 2}{4\cdot 25}</math> <math>=\frac{125-8}{100}</math> <math>=\frac{117}{100}</math> |- |valign="top"|8) <math>-\frac{7}{8}+\frac{3}{4}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 8" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{-7\cdot 4+8\cdot 3}{8\cdot 4}</math> <math>=\frac{-28+24}{32}</math> <math>=\frac{-4}{32}^{\;\div 4}_{\;\div 4}</math> <math>=-\frac{1}{8}</math> |} == Exercicis == Recull d'exercicis de tots els apartats. 1) Reparteix esbrinant el valor que toca a cadascú. :a) Un formatge de 800 grams repartit per a 8 persones. :b) 21 metres quadrats repartits per a 7 persones. :c) 60 maons repartits per a 4 persones. 2) Indica el valor de cada fracció... ==Notas== {{reflist|group="note"}} ==References== {{reflist}} [[Category:Matemàtiques de primer d'ESO]] [[Category:CA]] dztbpii04mrn9mqggn8mnttpuwd93y5 0 48263 373569 372787 2025-06-21T01:52:31Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373569 wikitext text/x-wiki [[File:Babbages Analytical Engine, 1834-1871. (9660574685).jpg|420px|thumb|La màquina analítica del matemàtic Charles Babbage totalment mecànic del 1837]] Aquesta secció desenvolupa el coneixement bàsic dels algorismes per a la resolució de reptes i la seva aplicació a la computació. {|style="border: 1px solid #b85; background:#fed" cellspacing="8" |'''Definició'''. Un ''Algorisme'' és un conjunt estructurat d'instruccions orientades a cercar un objectiu. |} Un cop identificada una necessitat o problemàtica dins un context els objectius d'un algorisme poden ser analitzar, tractar o transformar dades o estats per fer diverses activitats resolutives dels objectius marcats. Ruta del curs segons el BOE: * Diagrames de flux i pseudocodi.(1ESO) * Estructures condicionals.(2ESO) * Bucles.(3ESO) * Recursivitat i funcions.(4ESO-A i 4ESO-B) === La màquina === Des de molt antic s'utilitzen mecanismes per facilitar diverses feines tant militars com religioses, la troballa més impactant és '''el mecanismes d'Anticitera''', 87 a.C., un artefacte grec que preveu estats del moviment estel·lar presumptament seguint registres babilònics que eren coneguts pel seu gran recull registres estel·lars en notació de sexagesimals, però el més fascinant és que aquest mecanisme porta moltes inscripcions i entre elles destaquen festivitats vinculades amb el calendari egipci entre d'altres. {| |[[File:Mechanism of Antikythera, 150-100 BC, NAMA, 191435.jpg|Troballa al fons del mar|290px|thumb]] |[[File:Antikythera mechanism - labelled.svg|Reconstrucció de l'engranatge|130px|thumb]] |} Aquests artefactes antics es poden considerar com a una maquinària capaç de reproduir activitats estàtiques i cícliques, inclús hi ha d'altres que podien interactuar amb l'entorn per prendre decisions mitjançant mecanismes molt curiosos. Què manca doncs als artefactes antics respecte dels actuals? * A l'actualitat hi ha maquinària que encara fa feines semblants però d'altres han introduït als seus mecanismes enginys electrònic que els dota d'autonomia gràcies una programació simple que pot ser des de autòmats fins a sistemes operatius amb diversos programes. [[File:Esquema sistema operativo v01.png|right|200px]] Com s'organitzen els dispositius amb sistema operatiu? * Els dispositius amb sistema operatiu utilitzen diversos programes i aquests programes depenen totalment del sistema operatiu. Els programes per a webs fets amb JavaScript depenen dels navegadors que a la vegada depèn del sistema operatiu. == La programació == {|style="border: 1px solid #b85; background:#fed" cellspacing="8" |'''Definició'''. Un ''programa'' és un conjunt d'ordres que, interpretades per la màquina, efectuen diverses activitats dins de les seves possibilitats. |} En resum els programes són algorismes utilitzats pels dispositius, és a dir, programes que els dispositius poden executar. A la pràctica es diu programa a qualsevol arxiu executable i s'anomena codi a tot el que conté. Per dissenyar programes s'utilitzen diversos esquemes com els '''diagrames de flux''' entre d'altres i per escriure un programa es poden utilitzar diversos llenguatges com '''JavaScript'''. === Diagrames de flux === Un '''diagrama de flux''' és la representació esquemàtica per guardar, interpretar i estudiar l'activitat lògica de les ordres dins d'un programa. Els diagrames de flux ajuden a fer la documentació del funcionament de determinats aspectes d'un programa. Els diagrames de flux per a la programació estan proveïts d'una gran quantitat d'elements visuals de caràcter simbòlic. Per facilitar la comprensió i agilitzar el treball ens centrarem en els elements genèrics més destacats a partir dels quals es poden incloure o substituir per elements visuals més adequats de forma natural. ==== Elements ==== [[File:Diagrama flujo 006.svg|270px|thumb|right|Exemple de passar llista a classe]] Elements d'un diagrama de flux simplificat són: * Un '''inici''' i un '''final''' de programa. * Uns rectangles on s'escriu una llista d'ordres simples. * Uns rombes on s'escriu una condició obrint disjuntives del tipus cert i fals, o sí i no, o 1 i 0 respectivament. * Unes fletxes encadenen tots i cadascun dels diferents elements segons els objectius de l'algorisme. Didàcticament per qüestions de similitud amb un programa escrit; les fletxes majoritàriament avancen de forma descendent (pel centre o l'esquerra) però reculen de forma ascendent (per la dreta). '''Reptes''' 1) Fes un diagrama de flux per demanar un sol d'aquests objectes als companys i detalla les respostes dels companys depenent de cada fet, serà molt semblant al de passar llista a classe: :{|width="480" |width="120"| *Un&nbsp;full *Un bolígraf |width="120"| *Una&nbsp;goma *Un llapis |width="120"| *Un&nbsp;regla *Una tisora |width="120"| *Un&nbsp;carregador *Una&nbsp;maquineta |} === JavaScript === {|align="right" bgcolor="#fec" style="border: 1px solid #b90" cellspacing="8" |'''Cronologia dels llenguatges''' 1r. Codi màquina en binari. 2n. Llenguatge d'assemblador. 3r. Llenguatges d'alt nivell: {| | *C. *Fortran. *Smalltalk. *Ada. | *C++. *C#. *Cobol. *Delphi. |valign="top"| *Java. *PHP. |} 4t. Programació orientada a objectes. |} S'utilitzarà el llenguatge JavaScript pel seu us freqüent com a programes dins de pàgines webs, més coneguts com '''scripts''', està molt supervisat i té moltes actualitzacions que innoven i milloren el llenguatge, té similituds amb altres llenguatges més rigorosos. Cada Script té una ràpida execució pel navegador que el fa ideal per fer pràctiques. ==== Sintaxi ==== Per aprendre la sintaxi cal aprendre un lèxic bàsic de JavaScript i sense simplificacions, ja que traeixen la intuïció del principiant. Reduir simplificacions permetrà introduir instruccions resistent als errors. Així sempre posarem '''punt i coma''' per fer salts de línia o per introduir una nova instrucció sense salts. L'ordinador llegeix el codi escrupolosament de dalt a baix i d'esquerra a dreta. Eviteu fer una separació de ordres amb comes ja que segons l'intèrpret pot canviar molt d'un navegador a un altre. ===== Variables i gramàtica ===== [[File:2011 Trampeltier 1528.JPG|220px|<font color="#080">'''var'''</font> elSeuNomDusuari="camellet";|thumb]] Les variables, el fonament de la programació, s'encarreguen d'emmagatzemar tot tipus de valors, són com el ciment a la construcció. Hi ha molts tipus de variables i constants però per simplicitat gràcies a les variables embolcall de JavaScript es distingirà preferentment un '''número''' d'un '''text''', és important que aquest darrer sempre ha de portar cometes ja sigui simples o dobles: *Això és un número: 3894.427 *Això és un text: "332.349" o també '4256.771' {|bgcolor="#fdd" style="border: 1px solid #b42" |align="center" width="60px"|[[File:Achtung.png|50px]] | * És obligatori declarar les variables sempre. ::<font color="#080">'''var'''</font> ... |} Es declara una variable escrivint '''var''' davant del nom o etiqueta, es recomana '''no estalviar''' les declaracions de variables. Tota declaració es fa al principi del programa, funció o rutina entera. Així queda establert el tipus de valor o usabilitat de cada variable abans de fer cap operació amb elles. El nom o etiqueta de les variables no poden començar per un número ni tenir espais ni utilitzar '''paraules reservades''' ni símbols diferents de la part del abecedari comuna ni accents ni espais, i per inventar noms diferents es fa servir habitualment el mètode del camell que substitueix els espais per majúscules. '''Exemples''': 1.-Es proposa fer la declaració d'una variable anomenada '''nomDUsuariNou''' amb el text '''"jordi"''', un altre variable anomenada '''nUmeroIdentificador''' amb el número 3349280 i un codi en text que sigui 800245FF-x-40A. :<syntaxhighlight lang="javascript">var nomDUsuariNou = "Jordi"; var nUmeroIdentificador = 3349280; var codiCertificador = "800245FF-x-40A"</syntaxhighlight> 2.-Sintaxi de la declaració d'una variable '''a''' buida, d'una variable '''b''' amb valor numèric inicial de 7,5 on és obligat utilitzar la notació de "punt" per indicar la coma decimal, d'una variable '''c''' amb la cadena de text 7.5, i dues variables '''d''' i '''e''' amb la mateixa cadena de text '''Tr3s' 3s"b''' on les comes simples i dobles són com els parèntesis, una obre i la segona tanca, i la barra '''\''' crea una excepció i desactiva el tancament de les comes per poder escriure el seu símbol: :<syntaxhighlight lang="javascript">var a; var b = 7.5; var c = "7.5"; var d = "Tr3s' 3s\"b"; var e = 'Tr3s\' 3s"b';</syntaxhighlight> L'ordinador guarda un número com un valor en binari per operar directament sense contemplacions i en canvi si és una cadena de text llavors l'ordinador el guarda com una cadena de lletres o símbols numèrics però a dins d'aquesta cadena de text. Les cadenes de text no es poden multiplicar per 2 perquè és com multiplicar una lletra per un número i el navegador no interpreta aquest tipus d'operació totalment fora de context. ===== Comentaris ===== Es pot introduir comentaris acompanyant les ordres del programa, ja sigui per explicar el funcionament de les ordres o per anular ordres sense esborrar-les. Els comentaris s'han d'escriure sense accents ni símbols no reglamentats ja que el programa falla ràpidament. Tenim dos tipus de comentaris, que el navegador no els veu com ordres que formen part del programa(destacats en gris). *Per fer comentaris en tot el que queda de línia de codi farem servir les dues barres '''//''': :<font color="#090">'''var'''</font> a; <font color="#888">//A partir d'aquI Es un comentari fins i tot l'ordre var b = 8;</font> *Per fer comentaris puntuals intempestius utilitzarem com a parèntesi els símbols d'obrir comentari '''/*''' i tancar comentari '''*/''': :<font color="#090">'''var'''</font> a="3"; <font color="#888">/*var b = "213"; */</font> <font color="#090">'''var'''</font> c; ===== Operacions ===== Es poden fer operacions amb nombres, +, -, / i *, i una operació amb cadenes de text, +. S'han de diferenciar bé i no refiar-se de la sort. *Primer posem les variables receptores de valors i després de la igualtat van les operacions que generen el valor a guardar, on poden reaparèixer les mateixes variables sense cap conflicte. ::nouValor = 3+21/5+2*4; ::numeroCreixent = 2*numeroCreixent + 1; *Les operacions al programa respecten les prioritats de les operacions prioritzant els parèntesis. {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure-les" data-collapsetext="Ocultar-les" |- |Sumes amb l'operador '''+''': |- | :a= 3+2; <font color="#888">// suma dos nombres, 3+2, i es guarda dins '''a'''</font> :b= 7+a; <font color="#888">// suma un nombre, 7, i una variable, '''a''', i es guarda dins '''b'''</font> :c= b+8;<font color="#888">// suma una variable, '''b''', i un nombre, 8, i es guarda dins '''c'''</font> :d= a+b;<font color="#888">// suma dues variables, '''a''' i '''b''', i es guarda dins '''d'''</font> :d=d+2;<font color="#888">// augmenta en dues unitats el valor de '''d'''</font> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure-les" data-collapsetext="Ocultar-les" |- |Restes amb l'operador '''-''': |- | :a= 3-2; <font color="#888">// resta dos nombres, 3-2, i es guarda dins '''a'''</font> :b= 7-a; <font color="#888">// resta a un nombre, 7, la variable, '''a''', i es guarda dins '''b'''</font> :c= b-8;<font color="#888">// resta a una variable, '''b''', el nombre, 8, i es guarda dins '''c'''</font> :d= a-b;<font color="#888">// resta dues variables, '''a''' i '''b''', i es guarda dins '''d'''</font> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure-les" data-collapsetext="Ocultar-les" |- |Multiplicacions amb l'operador '''*''': |- | :a= 3*2; <font color="#888">// multiplica dos nombres, 3+2, i es guarda dins '''a'''</font> :b= 7*a; <font color="#888">// multiplica un nombre, 7, i una variable, '''a''', i es guarda dins '''b'''</font> :c= b*8;<font color="#888">// multiplica una variable, '''b''', i un nombre, 8, i es guarda dins '''c'''</font> :d= a*b;<font color="#888">// multiplica dues variables, '''a''' i '''b''', i es guarda dins '''d'''</font> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure-les" data-collapsetext="Ocultar-les" |- |Divisions amb l'operador '''/''': |- | :a= 3/2; <font color="#888">// divideix amb decimals dos nombres, 3 entre 2, i es guarda dins '''a'''</font> :b= 7/a; <font color="#888">// divideix amb decimals un nombre, 7, per la variable, '''a''', i es guarda dins '''b'''</font> :c= b/8;<font color="#888">// divideix amb decimals una variable, '''b''', pel nombre, 8, i es guarda dins '''c'''</font> :d= a/b;<font color="#888">// divideix amb decimals dues variables, '''a''' entre '''b''', i es guarda dins '''d'''</font> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure-les" data-collapsetext="Ocultar-les" |- |Encadena text amb l'operador '''+''': |- |La operació d'encadenar '''+''' es concep com l'acció d'ajuntar, enganxar o adherir dues cadenes de text. :a= "3+2"; <font color="#888">//'''a''' Es el text "3+2", el programa tE prohibit efectuar sumes o la operaciO que sigui.</font> :b= "7"+a; <font color="#888">//7 s'enganxa directament a "3+2", llavors '''b''' Es "73+2" i no veu el signe "+" perquè és la operació d'enganxar.</font> :c= b+"+8";<font color="#888">//'''b''' s'enganxa a "+8", llavors '''c''' Es "73+2+8"</font> :d= a+b;<font color="#888">//'''a''' s'enganxa a '''b''', i es guarda dins '''d''' com "3+273+2"</font> :e= "h"+"o"+"l"+"a";<font color="#888">//llavors '''e''' Es "hola"</font> |} ===== Comparacions ===== Les comparacions apareixen de moltes necessitats centrades principalment en '''preguntar quelcom''' o '''imposar condicions'''. Hi ha 6 comparacions i s'han d'escriure exactament com segueix: :{|class="wikitable" |- !colspan=2|Operadors simples !colspan=2|Operadors oposats |- ! !Significat ! !Significat |- |style="width:45px" align="center"|x<font color="#88f"> < </font>y |style="width:140px"|És x més petit que y ? |style="width:45px" align="center"|x<font color="#88f"> >= </font>y |style="width:190px"|És x més gran o igual que y ? |- |align="center"|x<font color="#88f"> > </font>y||És x més gran que y ? |align="center"|x<font color="#88f"> <= </font>y||És x més petit o igual que y ? |- |align="center"|x<font color="#88f"> == </font>y||És x igual a y ? |align="center"|x<font color="#88f"> != </font>y||És x diferent a y? |} '''Fragments''' destacats de programes: *Demana un número i compara si '''més petit''' que 3, i '''només''' en cas afirmatiu l'escriu: {| |style="width:350px"|<syntaxhighlight lang="javascript">x=demanaUnNombre('Escriu un número','0'); if(x<3){ escriu("El "+x+" és més petit que 3"); }</syntaxhighlight> |style="width:170px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Diagrama" data-collapsetext="Ocultar"|[[File:Diagrama flujo 003.svg|170px]] |} *Demana un número i compara és '''més petit''' que 3, i '''només''' en cas afirmatiu l'escriu i '''només''' en cas negatiu escriu la raó: {| |style="width:370px"|<syntaxhighlight lang="javascript">x=demanaUnNombre('Escriu un número','0'); if(x<3){ escriu("El "+x+" SÍ és més petit que 3"); } else{ escriu("El "+x+" NO és més petit que 3"); }</syntaxhighlight> |style="width:240px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Diagrama" data-collapsetext="Ocultar"|[[File:Diagrama flujo 004.svg|240px]] |} Per fer un '''bucle''', repetir un fragment, introduïm el '''for''' que insisteix mentre succeeixi el '''contrari''' del que s'espera. *Escriurem nombres i fins que no siguin '''més grans''' que 7 no sortirem del programa: {| |style="width:470px"|<syntaxhighlight lang="javascript">x=demanaUnNombre('Quin número és més gran que 7','0'); for(;x<=7;){ x=demanaUnNombre('Quin número és més gran que 7','0'); } escriu("Molt bé");</syntaxhighlight> |style="width:190px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Diagrama" data-collapsetext="Ocultar"|[[File:Diagrama flujo 005.svg|190px]] |} ===== Funcions ===== ==== SVG amb script ==== Per poder fer programació lúdica s'ha pensat en la utilització d'escripts incrustats dins d'una imatge del tipus [https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1ficos_vectoriales_escalables vectorial '''*.svg'''] ja preparada per rebre ordres. {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#fbb" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure algoritme bàsic" data-collapsetext="Ocultar" |- |Alternativa |- |Utilitzant "'''l'editor Llibreta'''", "'''editor de text'''" o bé [https://texteditor.co/ "'''aquest editor text'''"], '''deseu sempre''' l'arxiu amb 3 condicions: ::'''Nom''': rectangleVostreNom.svg ::'''Tipus''': '''tots els arxius''' o equivalent *.* ::'''Codificació''': '''UTF-8'''. Enganxeu sempre tot el codi que apareix al requadre. Les entregues per [https://classroom.google.com/h classroom] es fan adjuntant arxius (icona del clip). <syntaxhighlight lang="javascript" line highlight="7-9"> <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2000" height="8000"> <script><![CDATA[ var xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"; var Root=document.documentElement; var salto=0; function programa(){ //sempre declareu les variables a utilitzar amb "var". escriu("Hola món"); } function demanaUnNombre(t1,t2){return parseInt(prompt(t1,t2));} function demanaUnText(t1,t2){return prompt(t1,t2);} function escriu(pat){ T=document.createElementNS(xmlns,"text"); T.setAttributeNS(null,"x",30); T.setAttributeNS(null,"y",70+salto);salto=salto+30; T.setAttributeNS(null,"font-size","15pt"); Msg=document.createTextNode(pat); T.appendChild(Msg); Root.appendChild(T); } ]]></script> <rect onclick="programa()" x="10" y="10" width="80" fill="#edd" height="30" stroke="black"/> </svg> </syntaxhighlight> |} Exercicis per modificar '''l'algoritme bàsic''', descarregueu-lo [https://marianov2024.github.io/Tutorial/base.svg d'aquí] i tot seguit obriu [https://texteditor.co/ "'''aquest editor text'''"]: {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" |- |colspan=2|1.- Modifica l'algoritme bàsic per fer que escrigui << Hola classe >>. |- |Feina: *Carregar l'arxiu que s'ha descarregat a l'ordinador "base.svg" amb el programa [https://texteditor.co/ "'''aquest editor text'''"] amb l'opció "open file...". *Buscar el lloc on es dona l'ordre d'escriure "Hola món" i fer el canvi per "Hola classe". *Posa un nom nou o sinó afegirà un número per no sobreescriure'l. *Guarda i obrir amb el navegador, per Chromebook s'ha de arrossegar l'arxiu de la carpeta al navegador i l'obre a l'instant. Ha funcionat? |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" |- |colspan=2|2.- Modifica l'algoritme bàsic per fer que demani i etiqueti dos nombres, i escrigui la suma d'etiquetes. |- | ::'''Nom''' del programa: operacioVostreNom.svg ::'''Diagrama''' del programa: operacioVostreNom.png |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|<syntaxhighlight lang="javascript"> var a; var b; a=demanaUnNombre('Escriu el número a','0'); b=demanaUnNombre('Escriu el número b','0'); escriu("El valor de la operació és a*b = "+(a*b)); </syntaxhighlight> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar" |- |3.- Modifica l'algoritme bàsic per fer que demani dos nombres i dos cadenes de text, i tot seguit escrigui la suma dels dos primers i després la suma dels dos últims ordenadament. |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> var a; var b; var c; var d; a=demanaUnNombre('Escriu un número','0'); b=demanaUnNombre('Escriu un número','0'); c=demanaUnText('Escriu una paraula','?'); d=demanaUnText('Escriu la segona paraula','?'); escriu("La multiplicació és ="+(a*b)); escriu("Les teves paraules encadenades són ="+d+c); </syntaxhighlight> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar" |- |4.- Modifica l'algoritme bàsic per escriure els nombres del 3 al 100 avançant de dos en dos, i finalment escrigui l'últim número on s'ha quedat. |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> var x; x=0; for(;x<8;){ x=x+1; escriu(x); } escriu("El comptador ha arribat fins a "+x+" comptant de un en un");</syntaxhighlight> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar" |- |5.- Modifica l'algoritme bàsic per escriure els nombres del 4 al 50 de forma creixent i tot seguit de forma decreixent fins a -20. |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> var x; x=0; for(;x<8;){ x=x+1; escriu(x); } for(;x>-3;){ x=x-1; escriu(x); } escriu("El comptador ha arribat fins a "+x+" comptant de un en un");</syntaxhighlight> |} ;Exercicis de divisibilitat Un nombre '''p''' és divisible per un altre nombre '''q''', matemàticament s'escriu '''q'''|'''p''', només si en fer la divisió '''p'''/'''q''' dona un nombre enter. Per tant quan es fa la divisió no dona decimals, és a dir, no hi ha residu i per tant '''residu=0'''. La instrucció per demanar el residu de la divisió '''p'''/'''q''' és '''p'''%'''q'''. {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar" |- |1.- Modifica l'algoritme bàsic per determinar si és o no divisible per 3 el valor escrit. |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> var x; var a; a=2; x=demanaUnNombre('Escriu un número','0'); if(x%a==0){ escriu("El número "+x+" és divisible per "+a); } else{ escriu("El número "+x+" no és divisible per "+a); } </syntaxhighlight> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar" |- |2.- Modifica l'algoritme bàsic per determinar el conjunt dels divisors de l'u al 1000 del valor escrit per consola. |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> var x; var a; var llista; a=1; llista="{ "; x=demanaUnNombre('Escriu un número','0'); for(;a<10;){ if(x%a==0){ llista=llista+a; a=a+1; for(;a<10;){ if(x%a==0){ llista=llista+", "+a; } a=a+1; } } } llista=llista+" }"; escriu("El número "+x+" és divisible pels valors del conjunt "+llista); </syntaxhighlight> |} ;Exercicis de funcions Concepte matemàtic de funció és suficient per saber interpretar les diferents metàfores que es fan arreu. {| |Direm funció a qualsevol aplicació de un conjunt D en <math>\mathbb{R},</math> llavors per qualsevol element de D li correspon un únic element de <math>\mathbb{R}.</math> |- |align="center"|<math> \begin{array}{rrcl} f : & D & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & y = f(x) \end{array} </math> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Codi del programa" data-collapsetext="Ocultar" |- |1.- Feu el diagrama de flux del programa donat que intenta representar la paràbola donada per la funció <math>f(x)=\frac{x^2}{70}.</math> |- |<syntaxhighlight lang="javascript" line highlight="14,17"> <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1000" height="1000" onload="programa(evt)"> <script><![CDATA[ var xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"; var Root=document.documentElement; function programa(evt){ C=document.getElementById("camino"); var x; var y; var d1=0; var d2=200; var p=10; var linia="M"; x=d1; y=x*x/70; linia=linia+x+","+y; for(x=d1;x<=d2;x=x+p){ y=x*x/70; linia=linia+"L"+x+","+y; } C.setAttribute("d",linia); } ]]></script> <path id="camino" d="M" fill="none" stroke-width="0.2" stroke="black"/> </svg> </syntaxhighlight> |} '''Exemples''': {|width=100% style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" cellpadding="5" cellspacing="0" |- |valign="top" width=50% style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Explicació" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) Sumador de 2 en 2 i s'atura en sobrepassar 50. |- |El procés s'inicia a '''Inici''', continua en un calaix d'ordres simples on tenim: *A=50, que vol dir que el valor 50 es guarda amb l'etiqueta '''A'''. S'ha afegit una fletxa didàctica supèrflua indicant el moviment del valor. *N=0, que vol dir que el valor 0 es guarda amb l'etiqueta '''N'''. És la forma típica amb la que s'inicia un comptador o sumador de valors. En finalitzar aquest calaix la fletxa ens porta a una disjuntiva amb la pregunta: ¿ És N més petit o igual que A ? *'''Cert''': llavors la fletxa de '''sí''' ens porta al calaix on: suma 2 al valor de '''N''' i aquesta suma es guarda a '''N''' on s'esborra el valor anterior i la fletxa ens porta novament a la disjuntiva. *'''Fals''': llavors la fletxa del '''no''' ens porta al calaix final destinat a escriure el número amb l'etiqueta '''N''' on finalment la fletxa finalitza a '''Fi'''. |} [[File:Diagrama flujo 002.svg|160px]] |valign="top" width=50% style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Explicació" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) Escriptor una successió del zero fins a sobrepassar 50. |- |El procés s'inicia a '''Inici''', continua en un calaix d'ordres simples on tenim: *A=50, que vol dir que el valor 50 es guarda amb l'etiqueta '''A'''. S'ha afegit una fletxa didàctica supèrflua indicant el moviment del valor. *N=0, que vol dir que el valor 0 es guarda amb l'etiqueta '''N'''. És la forma típica amb la que s'inicia un comptador o sumador de valors. *t=" ", variable text d'un espai i s'etiqueta amb '''t'''. En finalitzar aquest calaix la fletxa ens porta a una disjuntiva amb la pregunta: ¿ És N més petit o igual que A ? *'''Cert''': llavors la fletxa de '''sí''' ens porta al calaix on: :* Concatena el valor de '''N''' a la llista de valors '''t'''. :* suma 1 al valor de '''N''' i aquesta suma es guarda a '''N''' on s'esborra el valor anterior i la fletxa ens porta novament a la disjuntiva. *'''Fals''': llavors la fletxa del '''no''' ens porta al calaix final destinat a: :* Posar un punt i final a la llista de nombres '''t'''. :* Escriure la llista de nombres acumulats a '''t'''. Finalment la fletxa finalitza a '''Fi'''. |} [[File:Diagrama flujo 001.svg|190px]] |} Activitats per construir un diagrama de flux: 1) Dibuixa un diagrama lineal que: * Guardi 50 amb la etiqueta '''A'''. * Guardi 23.7 amb la etiqueta '''B'''. * Guardi la suma de les dues etiquetes amb la etiqueta '''S'''. :Finalment escriu la etiqueta '''S''' per pantalla. 3) Dibuixa un diagrama lineal que: * Guardi 3 amb la etiqueta '''R'''. * Guardi el doble de la etiqueta '''R''' amb la etiqueta '''T'''. * Guardi la etiqueta '''T''' més una unitat amb la etiqueta '''T'''. :Finalment escriu la etiqueta '''T''' per pantalla. 4) Dibuixa un diagrama que: * Guardi un número dins la etiqueta '''A'''. * Pregunti si '''A''' es més petit que 3. :* En cas de ser cert escriu '''A'''<3. :* En cas de ser fals escriu '''A'''>=3. :Finalment finalitza el programa. === Projecte === Mostra 1.- Esbrina què fa el programa. <syntaxhighlight lang="javascript"> <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="100%" height="100%" onload="startup()" onmousemove="moure(evt)" onmouseup="apaga(evt)"> <script><![CDATA[ var x=0; function startup(){ C=document.getElementById("C"); } function moure(evt){ if(x==1){ C.setAttributeNS(null,"cx",evt.pageX); C.setAttributeNS(null,"cy",evt.pageY); } } function mouMe(evt){ x=1; } function apaga(evt){ x=0; } ]]></script> <circle cx="60" cy="60" r="40" fill="white" stroke="black" stroke-width="3"/> <circle id="C" onmousedown="mouMe(evt)" cx="60" cy="60" r="22" fill="darkgrey" opacity="0.7" stroke="lightgrey" stroke-width="8"/> </svg> </syntaxhighlight> Mostra 2.-Esbrina què fa el programa i feu que escrigui els quadrats per verificar el teorema de Pitàgores. <syntaxhighlight lang="javascript"><svg width="1500" height="1500" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" onload="startup(evt)"> <script><![CDATA[ var xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"; var Root=document.documentElement; var C; var CC; var H; var a,b,c; var sl=0; function startup(evt){ C=document.getElementById("catet1"); CC=document.getElementById("catet2"); H=document.getElementById("hipot"); } function demanaUnNombre(t1,t2){return parseInt(prompt(t1,t2));} function demanaUnText(t1,t2){return prompt(t1,t2);} function cat1(evt){ a=demanaUnNombre("Catet 1","0"); C.firstChild.nodeValue=a; } function cat2(evt){ b=demanaUnNombre("Catet 2","0"); CC.firstChild.nodeValue=b; } function hipo(evt){ c=demanaUnNombre("Hipotenusa","0"); H.firstChild.nodeValue=c; } function prova(){ if(a*a+b*b-c*c==0){ escriu("Sí"); } else{ escriu("NO"); } } function escriu(pat){ T=document.createElementNS(xmlns,"text"); T.setAttributeNS(null,"x",100); T.setAttributeNS(null,"y",20+sl);sl=sl+22; T.setAttributeNS(null,"font-size","20pt"); Msg=document.createTextNode(pat); T.appendChild(Msg); Root.appendChild(T); } ]]></script> <g transform="translate(0.5,0.5)"> <g onmousedown="cat1(evt)"> <path d="M-2,60v-30h30v30z" stroke="#ccf" fill="#fcc" opacity="0.1"/> <text id="catet1" x="6" y="48" font-size="9">C1</text> </g> <g onmousedown="cat2(evt)"> <path d="M32,28v-30h30v30z" stroke="#ccf" fill="#fcc" opacity="0.1"/> <text id="catet2" x="42" y="13" font-size="9">C2</text> </g> <g onmousedown="hipo(evt)"> <path d="M44,66v-30h30v30z" stroke="#ccf" fill="#fcc" opacity="0.1"/> <text id="hipot" x="55" y="53" font-size="9">H</text> </g> <path onmousedown="prova()" d="M20,70v-50h60zM20,20h7v7h-7z" stroke="#000" fill="#ffd"/> </g> </svg> </syntaxhighlight> ==== Categoria lliçó ==== [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] 1vbwb7sxpdou71qbcwts4obxon3jlx8 0 48306 373497 351751 2025-06-21T01:41:39Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373497 wikitext text/x-wiki Aquesta lliçó analitzarà la combinatòria analitzant les construccions de les eines més habituals. == La selecció == Hi ha dos tipus de fer seleccions successives sobre un conjunt. La primera selecció sempre serà la mateixa. *Donat un recipient fosc amb 7 tipus de boles, totes diferents. Per treure la primera bola sempre hi haurà les 7 possibilitats inicials. '''Exemple:''' {| | [[File:Esferas combinatoria 0001.svg|left|100px]]1) La quantitat de possibilitats d'escollir una bola d'una bossa fosca amb boles numerades del valor 1 al valor '''m''' sempre seran '''m''' possibilitats. Hem de pensar que la '''m''' és el nombre màxim de boles amb el benentès que si '''m'''=2 vol dir que a tota la bossa només hi ha 2 boles. Qui diu bossa pot dir qualsevol tipus de recipient que no deixa veure l'interior d'aquest i per tant tot tipus de selecció pot ser possible. |- | [[File:One-red-dice-01.jpg|50px|right]] 2) La quantitat de possibilitats que apareixen en llençar un dau de 6 cares de diferent valor són 6 possibilitats. |- | [[File:Nixie2.gif|left|60px]]3) La quantitat de xifres que podem fer amb una vàlvula nixie que representa xifres del 0 al 9 són 10 possibilitats. |} Amb seleccions successives tenim: *Elecció o extracció d'un segon element sense restitució: :{| |- |width="75"|[[File:Esferas combinatoria 0002.svg|75px]] |width="10"|<math>\rightarrow</math> |width="30"|[[File:Esferas combinatoria 0003.svg|30px]] |width="100"| |width="75"|[[File:Esferas combinatoria 0005.svg|75px]] |width="10"|<math>\rightarrow</math> |width="30"|[[File:Esferas combinatoria 0004.svg|30px]] |- |colspan="7"|Cada cop que s'extreu una bola la següent extracció té una possibilitat menys. |} *Elecció o extracció d'un segon element amb restitució: :{| |- |width="75"|[[File:Esferas combinatoria 0002.svg|75px]] |width="10"|<math>\rightarrow</math> |width="30"|[[File:Esferas combinatoria 0003.svg|30px]] |width="100"| |width="75"|[[File:Esferas combinatoria 0002.svg|75px]] |width="10"|<math>\rightarrow</math> |width="30"|[[File:Esferas combinatoria 0003.svg|30px]] |- |colspan="7"|Cada cop que s'extreu una bola, es retorna dins, i la següent extracció té les mateixes possibilitats. |} === Diagrames d'arbre === Els diagrames d'arbre pretenen esquematitzar tot tipus de selecció i per tant estudia tot tipus de selecció d'elements. Tot diagrama d'arbre comença per un nus buit. De tot nus surten tantes branques com eleccions diferents hi ha. Exemple... Exercici quiniela de futbol. === Variacions amb repetició === Definició: Una '''variació amb repetició''' de '''m''' elements és el nombre de variants ordenades diferents que podem fer escollint, amb restitució, '''n''' elements cada cop. Exemple explicatius de n elements... :{|style="border: 1px solid #000; background:#fff8ef" |<math> VR_{m,n}=\underbrace{m\times\dots\times m}_n=m^n</math> |} Exercicis... === Variacions ordinàries === Definició: Una '''variació ordinària''' de '''m''' elements és el nombre de variants ordenades diferents que podem fer escollint, sense restitució, '''n''' elements cada cop. Exemple explicatius de n elements... :{|style="border: 1px solid #000; background:#fff8ef" |<math> V_{m,n}=\underbrace{m\times (m-1)\times (m-2)\times\dots\times (m-(n-1))}_n</math> |} Exercicis: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |1) Quantes possibles variants ordenades podem obtenir agafant dos boles, sense restitució, d'una bossa amb boles de 4 colors diferents? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Suposem que els colors són vermell, verd, blau i groc, llavors el seu diagrama d'arbre és: {|style="border: 1px solid #000" |align="center"|Arbre |align="center"|Resultat |- |[[File:Círculos combinatoria 0001.svg|150px]] |[[File:Círculos combinatoria 0001b.svg|75px]] |} A la primera elecció hi ha 4 possibilitats. A la segona elecció hi ha només 3 possibilitats. Per tant el nombre total de possibilitats és <math>4\times 3 = 12</math> variants ordenades. |} Repte... [[File:5-choose-3 product rule.svg]] === Permutacions === Definició: Les "permutacions ordinàries" de '''m''' elements és el nombre de variants (permutacions) ordenades diferents que podem fer escollint, sense restitució, els '''m''' elements. :{|style="border: 1px solid #000; background:#fff8ef" |<math> P_m=m!=V^m_m</math> |} Exemples... Exercicis... === Permutacions amb repetició === Definició: Les "permutacions amb repetició" de '''m''' elements és el nombre de variants ordenades diferents que podem fer escollint, sense restitució i amb certs elements indistingibles, els m elements. :{|style="border: 1px solid #000; background:#fff8ef" |<math> P_m^{a,b,\dots}=\frac{m!}{a!\times b!\times\dots}</math> |} Exemples... Exercicis... [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] kb7roh1px6yjeyoh7p8yu6ron10ttvi 0 48377 373504 364258 2025-06-21T01:41:46Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373504 wikitext text/x-wiki [[File:Taylor del sen x v01.png|1000px]] Exercicis de límits ordenats segons el procediments preparat exclusivament per funcions. Cal recordar que podeu fer servir eines per fer límits i comprovar la solució o inclús el procediment. * Symbolab. === Resum de límits === Donada la funció <math>f(x)</math> i un valors <math>a\in \mathbb{R}</math> direm que: :<math>\lim_{x\rightarrow a} f(x) = L</math> és el límit de la funció <math>f(x)</math> quan la seva <math>x</math> s'apropa contínuament al valor <math>a</math> i en direm <math>L.</math> [[File:Límite básico m1.svg|400px]] Notes: *El valor <math>a</math> no cal que sigui del domini sinó que almenys la <math>x</math> es pugui apropar indefinidament. *Si la <math>x</math> s'acost amb valors <math>x<a</math> direm que és el límit lateral: ::<math>\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = L_1</math> *Si la <math>x</math> s'acost amb valors <math>a<x</math> direm que és el límit lateral: ::<math>\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = L_2</math> *Un límit sobre <math>x\in\mathbb{R}</math> existeix, si i només si, <math>L_1=L_2</math> *Si el valor <math>a</math> està dins del domini, <math>a\in Dom(f),</math> llavors segur que: ::<math>\lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)</math> === Límits amb funcions elementals === Presentem els límits de funcions elementals quan ens apropem a la vora exterior del seu domini. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Curiositats" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) <math>f(x)=x^r</math> |- | :Quan <math>0<r</math> i <math>r\in\mathbb{R}</math> tenim: ::<math>\lim_{x\rightarrow +\infty} x^r = +\infty</math> :Quan <math>r<0</math> i <math>r\in\mathbb{R}</math> tenim: ::<math>\lim_{x\rightarrow +\infty} x^r = 0^+</math> ::<math>\lim_{x\rightarrow 0^+} x^r = +\infty</math> :Quan <math>1\leqslant r</math> i <math>r\in\mathbb{N}</math> tenim: ::<math>\lim_{x\rightarrow -\infty} x^r = +\infty, r\,\, parell</math> ::<math>\lim_{x\rightarrow -\infty} x^r = -\infty, r\,\, imparell</math> :Quan <math>r=\frac{1}{q},\,\, 1\leqslant q</math> i <math>q\in\mathbb{N}</math> tenim: ::<math>\lim_{x\rightarrow -\infty} x^\frac{1}{q} = No es pot, q\,\, parell</math> ::<math>\lim_{x\rightarrow -\infty} x^\frac{1}{q} = -\infty, r\,\, imparell</math> |} === Operacions de límits com a aplicació === Si <math>\lim_{x\to a}{f(x)}=L_f</math> i <math>\lim_{x\to a}{g(x)}=L_g</math> *<math>\lim_{x\to a}{\left(f(x)+g(x)\right)}=\lim_{x\to a}{f(x)}+\lim_{x\to a}{g(x)}=L_f+L_g</math> *<math>\lim_{x\to a}{\left(b\cdot f(x)\right)}=b\cdot\lim_{x\to a}{f(x)}=b\cdot L_f, b\in\mathbb{R}</math> *<math>\lim_{x\to a}{\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\lim_{x\to a}{f(x)}\cdot\lim_{x\to a}{g(x)}=L_f\cdot L_g</math> *<math>\lim_{x\to a}{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}=\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}}=\frac{L_f}{L_g}</math> *<math>\lim_{x\to a}{\left(f(x)^{g(x)}\right)}=\left(\lim_{x\to a}{f(x)}\right)^{\lim_{x\to a}{g(x)}}=\left(L_f\right)^{L_g}</math> ==== Operacions amb límits de funcions ==== Taula sense indeterminacions, és a dir, que en vermell els límits no està decidit encara. {|class="wikitable center" |style="border: 1px solid #000;background:#9bf;"|<math>L_f=</math> |colspan=4 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |colspan=4 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>a\ne 0</math> |colspan=4 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |colspan=4 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |- |style="border: 1px solid #000;background:#9bf;"|<math>L_g=</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b\ne 0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b\ne 0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b\ne 0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b\ne 0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |- |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>L_f+L_g</math> |<math>0</math>||<math>b</math>||<math>-\infty</math>||<math>+\infty</math>||<math>a</math>||<math>a+b</math>||<math>-\infty</math>||<math>+\infty</math>||<math>-\infty</math>||<math>-\infty</math>||<math>-\infty</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>+\infty</math>||<math>+\infty</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>+\infty</math> |- |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>L_f\cdot L_g</math> ||<math>0</math>||<math>0</math> |bgcolor="#f00"| |bgcolor="#f00"| ||<math>0</math>||<math>a\cdot b</math>||<math>\pm\infty</math>||<math>\pm\infty</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>\pm\infty</math>||<math>+\infty</math>||<math>-\infty</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>\pm\infty</math>||<math>-\infty</math>||<math>+\infty</math> |- |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>\frac{L_f}{L_g}</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>\pm\infty</math>||<math>\frac{a}{b}</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>\pm\infty</math>||<math>\pm\infty</math> |bgcolor="#f00"| |bgcolor="#f00"| ||<math>\pm\infty</math>||<math>\pm\infty</math> |bgcolor="#f00"| |bgcolor="#f00"| |} {|class="wikitable center" |style="border: 1px solid #000;background:#9bf;"|<math>L_f=</math> |colspan=5 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0^+</math> |colspan=3 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0<a<1</math> |colspan=5 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>1</math> |colspan=3 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>1<a</math> |colspan=5 style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |- |style="border: 1px solid #000;background:#9bf;"|<math>L_g=</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b<0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0<b</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b<0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0<b</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>-\infty</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>b<0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>0<b</math> |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>+\infty</math> |- |style="border: 1px solid #000;background:#cdf;"|<math>{L_f}^{L_g}</math> ||<math>+\infty</math>||<math>+\infty</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>+\infty</math>||<math>a^b</math>||<math>0</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>1</math>||<math>1</math>||<math>1</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>0</math>||<math>a^b</math>||<math>+\infty</math>||<math>0</math>||<math>0</math> |bgcolor="#f00"| ||<math>+\infty</math>||<math>+\infty</math> |} ==== Límits amb propietats bàsiques ==== {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" |- |colspan="3" bgcolor="#eef" |1) Càlcul de límits si <math>f(x)=x.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>a)\lim_{x\rightarrow 0} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow 0} x= 0,</math> també es pot dir que el límit és zero per substitució ja que <math>f(0)=0.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>b)\lim_{x\rightarrow r} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow r} x= r,</math> també es pot dir que el límit és r per substitució ja que <math>f(r)=r.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>c)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} x=-\infty,</math> pràcticament per definició de <math>x.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>d)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} x=+\infty,</math> pràcticament per definició de <math>x.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" |- |colspan="3" bgcolor="#eef" |2) Càlcul de límits si <math>f(x)=3,</math> anomenada funció '''constant'''. |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>a)\lim_{x\rightarrow 0} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow 0} 3= 3,</math> també es pot dir que el límit és 3 per substitució ja que <math>f(0)=3.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>b)\lim_{x\rightarrow r} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow r} 3= 3,</math> també es pot dir que el límit és 3 per substitució ja que <math>f(r)=3.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>c)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} 3=3.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>d)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} 3=3.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" |- |colspan="3" bgcolor="#eef" |3) Càlcul de límits si <math>f(x)=x^2-1.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>a)\lim_{x\rightarrow 2} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow 2}\left( x^2-1\right)= 2^2-1.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>b)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left(x^2-1\right)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left(x\cdot x-1\right)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} (x\cdot x)-\lim_{x\rightarrow -\infty}(1)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} (x)\cdot\lim_{x\rightarrow -\infty}(x)-\lim_{x\rightarrow -\infty}(1)</math> <math>=(-\infty)\cdot(-\infty)-1</math> <math>=+\infty-1=+\infty.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>c)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left(x^2-1\right)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left(x\cdot x-1\right)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} (x\cdot x)-\lim_{x\rightarrow +\infty}(1)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} (x)\cdot\lim_{x\rightarrow +\infty}(x)-\lim_{x\rightarrow +\infty}(1)</math> <math>=(+\infty)\cdot(+\infty)-1</math> <math>=+\infty-1=+\infty.</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" |- |colspan="3" bgcolor="#eef" |4) Càlcul de límits si <math>f(x)=5\cdot\sqrt{x}.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>a)\lim_{x\rightarrow 4} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow 4} \left(5\cdot\sqrt{x}\right)= 5\cdot\sqrt{4}=5\cdot2=10.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>b)\lim_{x\rightarrow 0} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow 0} \left(5\cdot\sqrt{x}\right)= 5\cdot\sqrt{0}=5\cdot0=0.</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>c)\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow -\infty} \left(5\cdot\sqrt{x}\right),</math> no és possible que <math>x</math> prengui valors negatius, ja que <math>Dom(f)=[0,+\infty)</math> |- |width="5"| |valign="top" align="left" width="100"|<math>d)\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"|<math>=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left(5\cdot\sqrt{x}\right)</math> <math>=\lim_{x\rightarrow +\infty}(5)\cdot\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x}\right)</math> <math>=5\cdot(+\infty)</math> <math>=+\infty.</math> |} ===== Exercicis ===== 1) Càlcul de operacions entre límits. :a) <math>+\infty\cdot(-4)=</math> [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 6wot96r9ritgp6odqgtbxah02dhb2fx 0 48398 373563 352375 2025-06-21T01:52:28Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373563 wikitext text/x-wiki Es pretén exercitar la utilització dels radicals sobre tot fórmules molt concretes, a la pràctica consisteix en agrupar arrels com a una sola arrel completant el radicant i efectuar les arrels tant com sigui possible i preparats per no fer servir la calculadora. A les solucions es troben diverses estratègies o alternatives acceptables però marcaré amb un asterisc, '''*''', les que van bé per practicar encara que sigui la pitjor forma de fer-ho. :{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellspacing="0" |- |style="border: 1px solid #bbf;" width=80px|<math>\sqrt{\;a^2\;}=a</math> |style="border: 1px solid #bbf;" rowspan="2" width=190px|<math>\sqrt{\;a^2\cdot\;b^2\cdot\;c^2\;}=a\cdot b\cdot c</math> |style="border: 1px solid #bbf;" rowspan="2"|<math>\sqrt{\;a^n\;}=a^{n\div 2}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;"|<math>\sqrt{\;a\;}^{\,2}=a</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;" colspan="3"|<math>\sqrt{\;a\cdot b\;}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}</math> |} === Exercicis === Productes de dos arrels, s'ha d'utilitzar les fórmules anteriors: {|width=100% cellspacing="1" cellpadding="0" |- |width=33%| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>1)\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Alternatives: <math>a*) =\sqrt{2\cdot 2}</math> <math>=\sqrt{2^2}</math> = 2. <math>b) =\sqrt{2\cdot 2}</math> <math>=\sqrt{4}</math> = 2. <math>c) =\sqrt{2}^{\;2}</math> = 2. |} |width=33%| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>2)\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Alternatives: <math>a*) =\sqrt{3\cdot 3}</math> <math>=\sqrt{3^2}</math> = 3. <math>b) =\sqrt{3\cdot 3}</math> <math>=\sqrt{9}</math> = 3. <math>c) =\sqrt{3}^{\;2}</math> = 3. |} |width=33%| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>3)\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Alternatives: <math>a*) =\sqrt{8\cdot 2}</math> <math>=\sqrt{2^3\cdot 2}</math> <math>=\sqrt{2^4}</math> <math>=\sqrt{(2^2)^2}</math> <math>= 2^2.</math> <math>b) =\sqrt{8\cdot 2}</math> <math>=\sqrt{16}</math> = 4. |} |- | {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>4)\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Alternatives: <math>a*) =\sqrt{27\cdot 3}</math> <math>=\sqrt{3^3\cdot 3}</math> <math>=\sqrt{3^4}</math> <math>=\sqrt{(3^2)^2}</math> <math>= 3^2.</math> <math>b) =\sqrt{27\cdot 3}</math> <math>=\sqrt{81}</math> = 9. |} | {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>5)\sqrt{10}\cdot\sqrt{40}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Alternatives: <math>a*) =\sqrt{2\cdot 5\cdot 2^3\cdot 5}</math> <math>=\sqrt{2^4\cdot 5^2}</math> <math>=\sqrt{(2^2)^2}\cdot\sqrt{5^2}</math> <math>= 2^2\cdot 5.</math> <math>b) =\sqrt{10\cdot 4\cdot 10}</math> <math>=\sqrt{10^2\cdot 4}</math> <math>=10\cdot 2= 20.</math> <math>c) =\sqrt{10\cdot 4\cdot 10}</math> <math>=\sqrt{400}</math> = 20. |} |<math>6)\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}=</math> |- |<math>7)\sqrt{8}\cdot\sqrt{50}=</math> |<math>8)\sqrt{18}\cdot\sqrt{2}=</math> |<math>9)\sqrt{2}\cdot\sqrt{98}=</math> |- |<math>10)\sqrt{27}\cdot\sqrt{75}=</math> |} Producte de tres arrels, s'ha d'utilitzar les fórmules anteriors: {|width=100% |- |width=50%|<math>1)\sqrt{6}\cdot\sqrt{21}\cdot\sqrt{14}=</math> |width=50%| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>2)\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Hi ha dues possibilitats: a) <math>\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}</math> <math>=\sqrt{2\cdot 6\cdot 3}</math> <math>=\sqrt{36}</math> <math>=6.</math> b) <math>\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}</math> <math>=\sqrt{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3}</math> <math>=\sqrt{2^2\cdot 3^2}</math> <math>=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{3^2}</math> <math>=2\cdot 3</math> <math>=6.</math> |} |- |<math>3)\sqrt{15}\cdot\sqrt{12}\cdot\sqrt{20}=</math> |<math>4)\sqrt{26}\cdot\sqrt{130}\cdot\sqrt{20}=</math> |- | {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext=":)" data-collapsetext=":D" |- |<math>5)\sqrt{8}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Alternatives: a*) <math>\sqrt{8\cdot 6\cdot 3}</math> <math>=\sqrt{2^3\cdot 3\cdot 2 \cdot 3}</math> <math>=\sqrt{2^4\cdot 3^2}</math> <math>=\sqrt{2^4}\cdot \sqrt{3^2}</math> <math>=2^2\cdot 3=12.</math> b) <math>\sqrt{8\cdot 6\cdot 3}</math> <math>=\sqrt{8\cdot 3\cdot 2\cdot 3}</math> <math>=\sqrt{16\cdot 9}</math> <math>=\sqrt{16}\cdot \sqrt{9}</math> <math>=4\cdot 3=12.</math> |} |<math>6)\sqrt{27}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}=</math> |- |<math>7)\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}\cdot\sqrt{2}=</math> |<math>8)\sqrt{35}\cdot\sqrt{15}\cdot\sqrt{21}=</math> |- |<math>9)\sqrt{21}\cdot\sqrt{27}\cdot\sqrt{7}=</math> |<math>10)\sqrt{10}\cdot\sqrt{15}\cdot\sqrt{6}=</math> |} S'ha de buidar les arrels dels quadrats ràpidament: :{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellpadding="10" |- |<math>\sqrt{a^{13}}</math> com que 13 és imparell li traiem una '''a''': |- | :<math>\sqrt{a^{12}\cdot a}=\sqrt{a^{12}}\cdot\sqrt{a}=a^{12\div 2}\cdot\sqrt{a}=a^6\cdot\sqrt{a}</math> |} {|width=100% |- |width=33%|<math>1)\sqrt{2^5}=</math> |width=33%|<math>2)\sqrt{3^7}=</math> |width=33%|<math>3)\sqrt{5^5}=</math> |- |<math>4)\sqrt{4^{11}}=</math> |<math>5)\sqrt{2^{13}}=</math> |<math>6)\sqrt{3^9}=</math> |- |<math>7)\sqrt{11^3}=</math> |<math>8)\sqrt{5^7}=</math> |<math>9)\sqrt{7^{15}}=</math> |} [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] j23nsa0rd2s8zzx0kaig0flna9jr38o 0 48554 373507 354031 2025-06-21T01:41:48Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373507 wikitext text/x-wiki Petita introducció a la '''lògica proposicional''' === Exercicis previstos === 1) Determineu quines expressions són fórmules proposicionals. :{| |- |width="300"|a) <math>P</math> b) <math> PQ \lor S</math> c) <math> \neg ( P \rightarrow P )</math> d) <math> (\neg P)\rightarrow P</math> e) <math> \neg P \neg Q</math> f) <math> P \leftrightarrow (\neg Q)</math> |g) <math> \big( (P\lor ) \land Q \big)</math> h) <math> \big(\neg(P \rightarrow Q )\big) \land (\neg R)</math> i) <math> \lor P\land Q</math> j) <math> P\lor (Q \neg R)</math> k) <math> P\lor(Q\land R)</math> l) <math> P\lor Q\land R</math> |} 2) Elimineu tots els parèntesis innecessaris :{| |- |width="300"|a) <math>(P\land Q)\rightarrow \big(\neg(R)\big)</math> b) <math>\Big(\neg\big(P\land(Q\rightarrow R)\big)\Big)\lor(S\lor P)</math> c) <math>\Big(P\rightarrow\big(Q\rightarrow (R\rightarrow S)\big)\Big)</math> d) <math>\Big(\big( (P\rightarrow Q)\rightarrow R\big)\rightarrow S)</math> e) <math>\bigg(\Big(\neg\big(P\land(\neg Q)\big)\Big)\land\big(\neg(R\lor S)\big)\bigg)</math> |f) <math>\Big(\big((\neg P)\lor(\neg Q)\big)\rightarrow \big((\neg R)\land S\big)\Big)</math> g) <math>\bigg(\big(\neg(\neg P)\big)\land\Big(\neg\big((P\rightarrow R)\lor Q\big)\Big)\bigg)</math> h) <math>\big((P\land Q)\lor\big)</math> i) <math>\big(P\land(Q\lor R)\big)</math> j) <math>\Big(\neg\big((\neg P)\lor\neg(Q)\big)\Big)</math> |} 3) Escriviu tots els parèntesis superflus i determineu quina és la connectiva principal :{| |- |width="300"|a) <math>\neg R\lor R</math> b) <math>P\land Q\rightarrow R</math> c) <math>P\land Q\land R</math> d) <math>P\land Q\lor R</math> e) <math>P\lor\neg Q\rightarrow\neg R\lor\neg (S\rightarrow Q)</math> |f) <math>\neg\neg P\land\neg Q</math> g) <math>\neg(\neg R\rightarrow S\lor P)</math> h) <math>P\rightarrow Q\rightarrow R</math> i) <math>P\rightarrow Q\land S\rightarrow R</math> j) <math>(P\land\neg Q)\lor S\rightarrow P</math> |} 4) Formalitzeu les següents frases mitjançant fórmules proposicionals. :{|style="border: 1px solid #aac;" cellpadding="10px" cellspacing="0px" |- | Nota: per formalitzar frases hem de identificar els '''àtoms''' que seran idees concretes que simplement no es poden trencar en altres '''àtoms''' ( A, B, C, ... , P, Q, R, S, ...) i '''connectius''' (<math>\neg</math> = la '''negació''', <math>\,\lor</math> = o = la '''disjunció''', <math>\land</math> = i = la '''conjunció''', <math>\rightarrow</math> = tenir com a conseqüència = '''implicació''' i <math>\leftrightarrow</math> = si, i solament si = '''equivalència'''). |} :{| |- | a) Ser o no ser. b) Si menjo massa i em prenc un cafè, no puc dormir. c) Sempre que la vaixella xinesa de porcellana que vam comprar a Hong Kong es renta amb aigua massa calenta, es trenquen un parell de plats d'aquells tan fins que no sé perquè serveixen. d) Si fas els deures, no et castiguen; i si no(no fas els deures), sí(et castiguen). e) Quan vaig a la platja , llegeixo el diari o em banyo(però no les dues coses) f) Quan plou i fa sol, surt l'arc de Sant Martí i estic content. g) Si quan plou, fa sol, aleshores surt l'arc de Sant Martí i estic content. h) Quan plou i surt l'arc de Sant Martí, estic content si fa sol. i) Plou, fa sol, surt l'arc de Sant Martí i estic content. j) Quan no plou, no surt l'arc de Sant Martí i no estic content si no fa sol. k) Quan no plou no surt l'arc de Sant Martí, i no estic content si no fa sol. l) Només et mulles quan plou. m) Una relació és d'equivalència si, i només si és reflexiva, simètrica i transitiva. n) No es podrà curar el càncer fins que no es determini la seva causa i es trobi un nou medicament. o) Es necessita coratge i habilitat per escalar una muntanya. p) Quan sento parlar dels darrers aconteixements, ni entec que passa, ni sento simpatia per les persones involucrades. q) Si vaig en cotxe, trobo aparcament quan arribo aviat. r) Si vaig en cotxe, només trobo aparcament quan arribo aviat. s) Quan cal portar calculadora per aprovar, cal recordar les fórmules per estar tranquil. t) Tant si plou com si neva, cal portar gavardina per no mullar-se. |} === Semàntica === {|align="right" style="border: 1px solid grey;" cellpadding="0" cellspacing="0" |- |colspan="3" width="50px"| {|cellpadding="2" cellspacing="0"| |Combinacions de V i F segons la quantitat d'àtoms. |} |- |valign="top" align="center" style="border: 1px solid grey;"|1 <math> \begin{array}{c} P\\ \hline V\\ F\end{array} </math> |valign="top" align="center" style="border: 1px solid grey;"|2 <math> \begin{array}{cc} P&Q\\ \hline V&V\\ V&F\\ F&V\\ F&F\end{array} </math> |valign="top" align="center" style="border: 1px solid grey;"|3 <math> \begin{array}{ccc} P&Q&R\\ \hline V&V&V\\ V&V&F\\ V&F&V\\ V&F&F\\ F&V&V\\ F&V&F\\ F&F&V\\ F&F&F\end{array} </math> |} La següent secció vol analitzar la veracitat d'una determinada '''afirmació''', però, aquesta veracitat(V) o falsedat(F) dependrà de les condicions inicials de veracitat de cada àtom que compon aquesta afirmació. Per fer aquest anàlisi cal estudiar totes les possibles combinacions de V i F que tenen aquests àtoms, així si cada àtom té 2 valors V i F, llavors 5 àtoms tenen <math>2^5</math> valors que són 32 possibles valors. Per estalviar contingut s'ha de pensar en '''si determinats successos són possibles''' a la fórmula proposicional, llavors direm que són verdaders en cas contrari falsos. Un altre forma és pensar en '''si determinats successos poden contradir''' la hipòtesi o fórmula proposicional, llavors direm que són falsos en cas contrari verdader. Podem omplir taules a partir de les taules següents: <math> \begin{array}{c|cc} P & \neg P \\ \hline V & F \\ F & V \\ \end{array} </math> <math> \begin{array}{cc|c} P & Q & P \rightarrow Q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \end{array} </math> <math> \begin{array}{cc|c} P & Q & P \leftrightarrow Q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & V \\ \end{array} </math> <math> \begin{array}{cc|c} P & Q & P \lor Q \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \end{array} </math> <math> \begin{array}{cc|c} P & Q & P \land Q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \end{array} </math> Per fer '''taules de la veritat''' d'una fórmula proposicional només cal ser conscient del seu arbre i fer la taula començant per les puntes(àtoms) i arribar fins la tija(fórmula proposicional), exemple per completar: 5) Fes l'arbre i omple la taula de veritat de la fórmula <math>P \lor \neg Q \rightarrow \neg (P \land \neg Q)</math> <math> \begin{array}{cc||c|c|c|c|c} P & Q & \neg Q & P \lor\neg Q & P \land\neg Q & \neg (P \land\neg Q) & P \lor \neg Q \rightarrow \neg (P \land \neg Q)\\ \hline V & V & & \\ V & F & & \\ F & V & & \\ F & F & & \\ \end{array} </math> 6) Feu les taules de la veritat per cada apartat. :a) <math> \neg\neg P\rightarrow P</math> :b) <math>( P\rightarrow Q)\rightarrow(\neg Q\rightarrow \neg P)</math> :c) <math> P \lor (Q\rightarrow \neg P)</math> :d) <math> \neg P\rightarrow P</math> :e) <math> P\lor Q \rightarrow\neg(R\land Q)</math> :f) <math> \neg\big(P\lor (Q \rightarrow R ) \big)\land(R\lor \neg P)</math> :g) <math> \neg(P\lor\neg Q)\land\neg Q</math> :h) <math> P\lor(P\rightarrow Q)</math> :i) <math> \neg P\land\big(\neg(P\rightarrow Q)\big)</math> :j) <math> P\rightarrow P\land Q</math> :k) <math> (P\rightarrow Q)\rightarrow (Q\rightarrow P)</math> :l) <math> (P\lor \neg Q)\land(\neg P\lor Q)</math> 7) Demostreu les següents equivalències :a) <math>(P\rightarrow Q)\land(P\rightarrow R)\approx\big(P\rightarrow (Q\land R)\big)</math> :b) <math>(P\rightarrow Q)\rightarrow(P\land Q)\approx(\neg P\rightarrow Q)\land(Q\rightarrow P)</math> :c) <math>P\land Q\land(\neg P\lor\neg Q)\approx\neg P\land\neg Q\land(P\lor Q)</math> :d) <math>P\lor\big(P\rightarrow(P\land Q)\big)\approx\neg P\lor\neg Q\lor(P\land A)</math> [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] m90wu55epw3i1cu219l55y1nzrcv24a 0 48876 373509 354215 2025-06-21T01:41:50Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373509 wikitext text/x-wiki Aquest resum intenta accedir a la geometria analítica d'una forma breu i precisa donant propostes d'accés cap a altres mètodes més sintètics. == Matrius == Les matrius són valors agrupats com si fossin dins d'una quadrícula rectangular. {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Ocultar" |- |Exemples de matrius segons el tipus de nombres i possible procedència. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Matriu de nombres binaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en definir imatges en blanc i negre o definir grafs. Matrius de nombres fraccionaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{5}{2} & -4 & 0\\ \tfrac{3}{2} & 0 & \tfrac{3}{11} & 0 & \tfrac{2}{5}\end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en resoldre sistemes d'equacions. Matrius de nombres reals: ::<math>\begin{pmatrix} \pi & 0\\ 0 & e \\ -1 & \sqrt{2}\end{pmatrix}</math> :: Podrien aparèixer només en problemes molt particulars. |} === Notació === Per referir-se a cada un dels valors d'una matriu usarem els termes <math>a_{i\,j}</math><ref>Els subíndex '''i''' i '''j''' es refereixen a cadascun dels possibles valors que poden prendre dins d'una matriu concreta com un sistema de coordenades. Si la matriu és de '''n''' files i '''m''' columnes, <math>n\times m</math>, vol dir que '''i''' pot prendre els valors que van des de i=1 fins arribar a i=n i el mateix per '''j''' que pot prendre valors de j=1 fins arribar a j=m, essent aquesta notació una forma de referir-se a tots els termes d'una matriu i com que normalment no s'utilitzen amb valors majors que 9 la notació ha fet la contracció <math>a_{i,\,j}</math> <math>=a_{i\,j}</math>.</ref> de les dues següents maneres: :{|cellspacing="5" cellpadding="5" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="410px" |<math>A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & \cdots & a_{1\,n}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & \cdots & a_{2\,n}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & \cdots & a_{3\,n}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & \cdots & a_{4\,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & a_{m\,2} & a_{m\,3} & a_{m\,4} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}=(a_{i\,j})_{m\times n}</math> |} *En direm '''matriu de dimensió <math>m\times n</math>''', els dos subíndex sempre en aquest ordre, altura m i amplada n. :El conjunt de totes les matrius <math>m\times n</math> s'escriu <math>M_{m\times n}.</math> *Els noms habitualment en majúscula: A, B, C, D, E, F, G, H, I, ... . ==== Exemples ==== 1) Donada una matriu <math>4\times 5</math> tenim que és de la forma: ::<math>A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 6 & 0\\ -5 & 4 & 8 & 10 & 2\\ 0 & 7 & 0 & -4 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & a_{1\,5}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & a_{2\,5}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & a_{4\,5} \end{pmatrix}=(a_{i\;j})_{4\times 5}</math> :Dins d'una matriu també es poden identificar matrius i elements concrets com: :*'''Matrius columna''' <math>c_4(A)=\begin{pmatrix}-1\\ 6\\ 10\\ -4\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,4}\\ a_{2\,4}\\ a_{3\,4}\\ a_{4\,4}\end{pmatrix}=(a_{i\,4})_{4}.</math> :*'''Matriu fila''' <math>f_3(A)=\begin{pmatrix} -5 & 4 & 8 & 10 & 2\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\end{pmatrix}=(a_{3\;j})_{5}.</math> :*Elements de la '''diagonal''' són els elements <math>(a_{i\,i})</math> com <math>a_{1\,1}=2,</math> <math>a_{2\,2}=3,</math> <math>a_{3\,3}=8</math> o també <math>a_{4\,4}=-4.</math> :*'''Matriu transposada''' és la matriu resultant de convertir totes les columnes <math>c_i</math> en files <math>f_i</math> de forma que els elements <math>a_{i\,j}</math> ara ocupen el lloc simètric <math>b_{j\,i}</math> dins una nova matriu, en aquest cas obtenim una matriu 5x4: ::<math>\begin{pmatrix} 2 & 0 & -5 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 8 & 0\\ -1& 6 & 10 & -4\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}=(b_{i\,j})_{5\times 4}</math> 2) '''Matrius quadrades''' si <math>m = n</math> llavors direm que la matriu és '''d'ordre n''', és a dir que l'amplada és igual a l'altura. :*'''Matriu diagonal''' si fora de la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular superior''' si sota la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}3 & -3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & -3 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 8 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular inferior''' si sobre la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0 & 2 & 0\\ 2 & 7 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu simètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 & 8 & -4\\ 3 & -4 & 1 & -1 & -5\\ 5 & 1 & 0 & 4 & 2\\ 8 & -1 & 4 & -2 & 9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & -3 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu antisimètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=-a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} -7 & -3 & -5 & -8 & 4\\ 3 & 1 & -1 & 0 & 5\\ 5 & 1 & 1 & -4 & -2\\ 8 & 0 & 4 & 1 & -9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & 1 \end{pmatrix}</math> 3) '''Matriu zero''' o nul·la si tots els elements són zeros i el seu no és excepcionalment 0: ::<math>\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> === Operacions === Principals operacions on intervenen matrius, detallant cada element que s'opera. Estalviarem escriure termes utilitzant els punts suspensius que indiquen continuació ordenada, és a dir, escriurem <math>(a_{1\,1}\;\dots\;a_{1\,8})</math> en comptes de <math>(a_{1\,1}\;\;a_{1\,2}\;\;a_{1\,3}\;\;a_{1\,4}\;\;a_{1\,5}\;\;a_{1\,6}\;\;a_{1\,7}\;\;a_{1\,8}),</math> i es poden col·locar de verticals o diagonals. ==== Sumes ==== Suma de dues matrius A i B es defineix per: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff9f6" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |- |colspan="3"|<math>A+B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m\,1} & \cdots & b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1}+b_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}+b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1}+b_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}+b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(a_{i\,j}+b_{i\,j})</math> |- |'''Propietats:''' *Propietat associativa: A+(B+C)=(A+B)+C, en aquest cas podem escriure simplement A+B+C. *Propietat commutativa: A+B=B+A. *Element neutre: A+0=A, en aquest cas direm que 0 és l'element zero. *Element invers: Donat A, existeix un element -A tal que A+(-A)=0, en aquest cas direm element oposat o negatiu. |} D'aquesta operació no en resulten noves matrius amb dimensions diferents.<ref>Aquesta propietat s'escriu com <math>M_{m\times n}+M_{m\times n}\longrightarrow M_{m\times n}.</math></ref> ===== Exemples ===== 1) <math>\begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1+0 & 0+2\\ -2+0 & 1+1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 2 \end{pmatrix}</math> 2) <math>\begin{pmatrix}-4 & 3 & 2\\ 1 & 5 & -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 2 & 0\\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}-4+0 & 3+2 & 2+0\\ 1-2 & 5+0 & -1+1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}-4 & 5 & 2\\ -1 & 5 & 0 \end{pmatrix}</math> 3) <math>Oposat \begin{pmatrix}-3 & 2 & -1\\ 6 & -4 & 5 \end{pmatrix}</math> <math>=-\begin{pmatrix}-3 & 2 & -1\\ 6 & -4 & 5 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}3 & -2 & 1\\ -6 & 4 & -5 \end{pmatrix}</math> ==== Producte per escalar ==== Producte d'una constant k '''per''' una matriu A es defineix per: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff9f6" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |- |colspan="3"|<math>k\cdot A</math> <math>=k\cdot\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}k\cdot a_{1\,1} & \cdots & k\cdot a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ k\cdot a_{m\,1} & \cdots & k\cdot a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(k\cdot a_{i\,j})</math> |- |'''Propietats:''' *Propietat distributiva respecte la suma de matrius: <math>a\cdot (A+B)=a\cdot A+a\cdot B.</math> *Propietat distributiva respecte la suma d'escalars: <math>(a+b)\cdot A=a\cdot A+b\cdot A.</math> *Propietat associativa: <math>(a\cdot b)\cdot A=a\cdot (b\cdot A).</math> *Element neutre respecte el producte: <math>1\cdot A=A,</math> l'anomenarem element unitat o u. |} ===== Exemple ===== 1) <math>3\cdot\begin{pmatrix}2 & 1\\ -3 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}3\cdot 2 & 3\cdot 1\\ 3\cdot (-3) & 3\cdot 0 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}6 & 3\\ -9 & 0 \end{pmatrix}.</math> 2) <math>-2\cdot\begin{pmatrix}3 & -5\\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}-2\cdot 3 & -2\cdot (-5)\\ -2\cdot 0 & -2\cdot (-1) \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}-6 & +10\\ 0 & +2 \end{pmatrix}.</math> ===== Exercici ===== 1) demostra que <math>-\begin{pmatrix}5 & 8\\ 2 & -7 \end{pmatrix}</math> <math>=(-1)\cdot\begin{pmatrix}5 & 8\\ 2 & -7 \end{pmatrix}.</math> ==== Producte de matrius ==== ===== Matriu fila multiplicat per matriu columna ===== Producte d'una matriu fila (f) <math>1\times n</math> per una matriu columna (c) <math>n\times 1</math>:<ref>En aquest cas particular no es posa l'índex corresponent a la dimensió 1, d'una matriu <math>n\times 1</math> o <math>1\times m</math>, ja que no serveix per a res, es diu matriu fila de dimensió n o matriu columna de dimensió m.</ref> :<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n\end{pmatrix}</math> <math>=f(A)\cdot c(B)</math> <math>=a_1\cdot b_1+ \ldots + a_n\cdot b_n</math> <math>=d.</math> ====== Exemples ====== 1) <math>\begin{pmatrix}4 & 2 & 1 & -2 & -5 & 8 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 4 \\ 5 \\ 4 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}</math> <math>=4\cdot 2 + 2\cdot 1 + 1\cdot 4 + (-2)\cdot 5 + (-5)\cdot 4 + 8\cdot (-3) + 0\cdot -1 </math> <math>=-40.</math> 2) <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> <math>=1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 </math> <math>=0.</math> ===== Matriu nxp multiplicat per pxm ===== Producte d'una matriu <math>n\times p</math> per una matriu <math>p\times m</math> donant una matriu <math>n\times m</math>: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff9f6" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |- |colspan="3"|<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,p}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,p} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p\,1} & \cdots & b_{p\,m} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}f_1(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_1(A)\cdot c_m(B)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_n(A)\cdot c_m(B) \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}d_{1\,1} & \cdots & d_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n\,1} & \cdots & d_{n\,m} \end{pmatrix}</math> |- |'''Propietats:''' No sempre commuta el producte de matrius <math>AB\neq BA</math> *Propietat associativa: A(BC)=(AB)C *Propietat distributiva: A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC. *Element neutre: <math>I_1A=AI_2=A</math>, l'anomenarem matriu identitat. ::<math>I_1</math> i <math>I_2</math> són matrius quadrades i poden ser de diferent dimensió(ordre), en aquest cas depenent de A. :Exemple d'una matriu identitat de dimensió 5. :::<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> Parlarem d'invers si donat A podem obtenir <math>A^{-1}</math> tal que <math>AA^{-1}=A^{-1}A=I</math> |} ====== Exemples ====== 1) Multiplicació a <math>M_{2\times 2}</math> remarcant les files d'un i les columnes de l'altre: :<math>\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-5&6\\7&-8\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}6\\-8\end{pmatrix}\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1\cdot (-5)+2\cdot 7&&1\cdot 6+2\cdot (-8)\\ && \\ 3\cdot (-5)+4\cdot 7&&3\cdot 6+4\cdot (-8)\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}9&-10\\13&14\end{pmatrix}</math> 2) De la multiplicació d'una matriu per una matriu columna en resulta una matriu columna: :a)<math>\begin{pmatrix}-8 & -1 & 2 & -3\\ 0 & 7 & 3 & 6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4 \\ 3 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}-8\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 2+(-3)\cdot 1\\ 0\cdot 4+7\cdot 3+3\cdot 2+6\cdot 1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}-34\\ 33\end{pmatrix}</math> :b)<math>\begin{pmatrix}2 & 1\\ 5 & 3 \\ 0 & 1 \\-2 & -3\\ 0 & 6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}2\cdot 1+1\cdot 2\\5\cdot 1+3\cdot 2\\0\cdot 1+1\cdot 2\\-2\cdot 1+(-3)\cdot 2\\0\cdot 1+6\cdot 2\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}4\\11\\2\\-8\\12\end{pmatrix}</math> 3) De la multiplicació d'una matriu fila per una matriu en resulta una matriu fila: <math>\begin{pmatrix}-1 & 4 & -2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&0&4\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}-1\cdot (-1)+4\cdot 0+(-2)\cdot 1&-1\cdot 0+4\cdot 2+(-2)\cdot 0&-1\cdot 4+4\cdot 0+(-2)\cdot 3\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}-1&8&-10\end{pmatrix}</math> 4) Multiplicació d'una matriu columna per una matriu fila: :<math>\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 4 \\ 5 \\ 4 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4 & 2 & 1 & -2 & -5 & 8 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}8&4&2&-4&-10&16&0\\4&2&1&-2&-5&8&0\\16&8&4&-8&-20&32&0\\20&10&5&-10&-25&40&0\\16&8&4&-8&-20&32&0\\-12&-6&-3&6&15&-24&0\\-4&-2&-1&2&5&-8&0\end{pmatrix}.</math> ====== Producte amb matrius del mateix ordre ====== Aquí remarcarem les propietats de les matrius quadrades com a exemples: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff9f6" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |- |colspan="3"| *<math>AB\neq BA</math> |- |Només cal veure un cas afirmatiu, ja que també pot passar que <math>AB= BA</math> Sigui <math>AB</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}.</math> Per tant <math>BA</math> <math>=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}.</math> Clarament tenim que <math>\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}</math>, és a dir <math>AB\neq BA.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff9f6" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |- |colspan="3"| *<math>AI=IA=A</math> |- |Cas: <math>AI</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}=A.</math> Cas: <math>IA</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}=A.</math> Per tant <math>AI=IA=A.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff9f6" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |- |colspan="3"| *<math>AA^{-1}=A^{-1}A=I</math> |- |Cas: <math>AA^{-1}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & -1\\-1 & 1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=I.</math> Cas: <math>A^{-1}A</math> <math>=\begin{pmatrix}2 & -1\\-1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=I.</math> Per tant <math>AA^{-1}=A^{-1}A=I.</math> |} === Inversa de Gauss-Jordan === Per aplicar mètode i fer la inversa de la matriu A, s'ha de fer la següent construcció: <math>(A\,\vdots\, I)</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{1\,1} & a_{1\,2} & \dots & a_{1\,n} & \vdots & 1 & 0 & \dots & 0\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & \dots & a_{2\,n} & \vdots & 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n\,1} & a_{n\,2} & \dots & a_{n\,n} & \vdots & 0 & 0 & \dots & 1\end{pmatrix}</math> <math>=\cdots</math> <math>=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 & \vdots & b_{1\,1} & b_{1\,2} & \dots & b_{1\,n}\\ 0 & 1 & \dots & 0 & \vdots & b_{2\,1} & b_{2\,2} & \dots & b_{2\,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & \vdots & b_{n\,1} & b_{n\,2} & \dots & b_{n\,n}\end{pmatrix}</math> <math>=(I\,\vdots\, A^{-1})</math> Per fer aquesta conversió indicada amb punts suspensius aplicarem: 1) Es pot intercanviar files sense cap problema. 2) Es pot multiplicar les files per un nombre diferent de zero. 3) A tota fila es pot sumar una altra multiplicada per un nombre. Estratègia habitual: a) S'ha de fer zeros sota la diagonal. b) intentem deixar uns a la diagonal. c) continuar fent zeros sobre la diagonal. ==== Exemple ==== 1) Calcula la invers de <math>A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1\end{pmatrix}</math> Sigui: <math>\begin{pmatrix} 1&1&\vdots&1&0\\ 2&1&\vdots&0&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_2\rightarrow f_2-2\cdot f_1</math> <math>\begin{pmatrix} 1&1&\vdots&1&0\\ 0&-1&\vdots&-2&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_1\rightarrow f_1+f_2</math> <math>\begin{pmatrix} 1&0&\vdots&-1&1\\ 0&-1&\vdots&-2&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_1\rightarrow -1\cdot f_1</math> <math>\begin{pmatrix} 1&0&\vdots&-1&1\\ 0&1&\vdots&2&-1\end{pmatrix}</math> Solució <math>A^{-1}=\begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1\end{pmatrix}</math> === El rang === El rang d'una matriu ens informa de quanta informació útil es disposa. El mètode general es fer zeros zota la diagonal de la matriu intentant sobrepassar-la fins que no es pugui més, llavors el rang de la matriu serà la quantitat de files no nules que han quedat. L'objectiu es que sota el primer terme de cada fila tot sigui zero. ==== Exemple ==== 1) Calcule el rang de les matrius següents: (en construcció) === Determinant === El determinant és un mètode que permet mesurar la informació redundant dins d'una matriu quadrada nxn exclusivament. Amb aquest objectiu podem obtenir tres lleis que afecten a files i columnes a l'interior de la matriu:<ref>Aquestes propietats equivalen a dos de les tres condicions teòriques amb les que realment s'ha construït el '''determinant''' quedant així una idea més natural que els alumnes es poden trobar al batxillerat.</ref> :1) Volem sumar o restar unes files a unes altres sense que es modifiqui el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :2) Volem intercanviar files sense que es modifiqui en termes absoluts el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :3) Tenir una fila de zeros equival a un determinant igual a zero, el mateix ha de succeir si tenim una columna de zeros. Tot això es va conseguir, però al punt 2 s'ha observat un canvi de signe quan intercanvies l'ordre dues files o columnes. ==== Determinant de matrius 2x2 ==== [[File:Det2x2.svg|thumb|250px|Signatura]] El determinant d'una matriu 2x2 es calcula així: :<math>\det\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}</math> <math>=ad-cb.</math> La imatge mostra una signatura per recordar l'ordre de les operacions en forma d'embut. ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 8-3\cdot 5</math> <math>=-7.</math> ==== Determinant de matrius 3x3 ==== [[File:Espejo.svg|thumb|150px|Signatura alternativa.]] El determinant d'una matriu 3x3 fem: :<math>\det\begin{pmatrix} a_{1\;1} & a_{1\;2} & a_{1\;3}\\ a_{2\;1} & a_{2\;2} & a_{2\;3}\\ a_{3\;1} & a_{3\;2} & a_{3\;3}\end{pmatrix}</math> <math>=\color{blue}{a_{1\;1}a_{2\;2}a_{3\;3}+a_{1\;2}a_{2\;3}a_{3\;1}+a_{1\;3}a_{2\;1}a_{3\;2}}\color{black}{-(}\color{red}{a_{1\;3}a_{2\;2}a_{3\;1}+a_{1\;2}a_{2\;1}a_{3\;3}+a_{1\;1}a_{2\;3}a_{3\;2}}\color{black}{).}</math> La imatge següent mostra una signatura particular per recordar l'ordre de les operacions [[File:Det3x3a1.svg|350px]] ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 5\cdot (-1)+2\cdot 6\cdot 7+4\cdot 8\cdot 3-(3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot (-1)+6\cdot 8\cdot 1)</math> <math>=-5+84+96-(105-8+48)</math> <math>=175-(142)=33.</math> ==== Determinant de matrius nxn ==== Per fer determinants de matrius de dimensió més grans que 3 l'objectiu és aconseguir una fila o columna on tots els termes siguin zero excepte un d'ells. Regles: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) Les files poden sumar o restar a un altra tantes vegades com calgui. Idem columnes. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2+f_1}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 1 & 5 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}=5-3=2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) Si un valor multiplica una fila, llavors es multiplica el determinant. Idem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2\cdot 5}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 5\cdot 3 & 0\\ 0 & 5\cdot 2 & 0\\ 3 & 5\cdot 1 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 15 & 0\\ 0 & 10 & 0\\ 3 & 5 & 1\end{vmatrix}=10=2\cdot 5</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|3) Si intercanviem dues files, llavors el determinant canvia de signe. Idem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2 \leftrightarrow f_3}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 3 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 0\end{vmatrix}=-2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|4) Si una fila té tots els elements zeros, llavors el determinant és zero. Idem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 10^2\\ 0 & \pi & 3\\ 0 & -1 & 12\end{vmatrix}</math> <math>=0</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|5) Si aconseguim una fila o columna de zeros excepte un d'ells, llavors la fila i columna corresponent a aquest valor es poden eliminar de la matriu, quedant una matriu (n-1)x(n-1), i aquest valor surt fora de la matriu multiplicat pel signe corresponent a la seva posició segons la matriu: :::<math>\begin{pmatrix} + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}</math> }} |- |Exemple: :::<math>\det(A)=\begin{vmatrix} 4 & -3 & 1 & 9\\ 0 & 5 & 6 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))\begin{vmatrix} 5 & 6 & 1\\ 2 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))(-(2))\begin{vmatrix} 6 & 1\\ 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=4\cdot(-2)(6\cdot 7-4\cdot 1)=-304.</math> |} ==== Propietats ==== 1) <math>\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)</math> 2) En general <math>\det(A+ B)\neq\det(A)+\det(B)</math> = Referències = [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 20dp3mwlbrm0hzyoftln8ysx8d57yk6 0 48903 373506 354235 2025-06-21T01:41:47Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373506 wikitext text/x-wiki Aquesta secció recull mètodes per fer la invers d'una matriu. == Inversa per menors == Per fer aquest tipus d'inversa es necessiten petites eines o conceptes per obtenir una visió simplista i ràpida del que és la inversa amb menors. === Menor complementari === El '''menor complementari''' de <math>a_{2\,3}</math> de la matriu <math>A=\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 5&6&\begin{array}{|c|}\hline 7\\ \hline \end{array}&8\\ 9&10&11&12\\ 13&14&15&16\end{pmatrix}</math> és el '''determinant''': <math>M_{2\,3}=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4\\ 9 & 10 & 12\\ 13 & 14 & 16\end{vmatrix}</math> === Adjunt d'un element === L''''adjunt''' de <math>a_{2\,3}</math> de la matriu <math>A=\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 5&6&\begin{array}{|c|}\hline 7\\ \hline \end{array}&8\\ 9&10&11&12\\ 13&14&15&16\end{pmatrix}</math> Tenint en compte els signes següents: <math>\begin{pmatrix} + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}</math> és el determinant <math>(-1)^{2+3}\cdot M_{2\,3}=(-1)^{2+3}\cdot\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4\\ 9 & 10 & 12\\ 13 & 14 & 16\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4\\ 9 & 10 & 12\\ 13 & 14 & 16\end{vmatrix}</math> === Menors de diferent ordre === Aquí parlem en plural ja que es tracta d'identificar-los simplement. Els '''menors d'ordre 1''' d'una matriu són tots els seus elements. Si la matriu és <math>3\times 5,</math> llavors té 15 menors d'ordre 1 sense importar si es repeteixen. Els '''menors d'ordre 2''' d'una matriu són tots els determinants de matrius <math>2\times 2</math> que podem obtenir eliminant les files i columnes que siguin necessàries. :[[File:Menor de orden 2 v001.gif|120px]] Els '''menors d'ordre 3''' d'una matriu són tots els determinants de matrius <math>3\times 3</math> que podem obtenir eliminant les files i columnes que siguin necessàries. :[[File:Menor de orden 3 v001.gif|120px]] I així successivament per als menors d'ordre superior. === Càlcul de rang per menors === Per calcular el rang només cal buscar el menor més gran possible que no sigui zero, llavors l'ordre d'aquest menor és el rang. * S'ha de començar pels menors d'ordre més grans i, si tots són zero, continuar la recerca dels següents menors d'ordre inferior. === Adjunta d'una matriu === L''''adjunta''' d'una matriu '''quadrada''' és una nova matriu del mateix ordre, on els elements ara són els adjunts dels elements anteriors i un signe <math>(-1)^{i+j}</math>, per exemple i com a similitud de: Donada la matriu <math>A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{pmatrix},</math> llavors: <math>adjunta(A)=Adj(A)=\begin{pmatrix}M_{1\,1} & -M_{1\,2} & M_{1\,3}\\-M_{2\,1} & M_{2\,2} & -M_{2\,3}\\M_{3\,1} & -M_{3\,2} & M_{3\,3}\end{pmatrix}</math> tenim: <math>A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix},</math> llavors: <math>adjunta(A)=Adj(A)</math> <math>=\begin{pmatrix}\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix}2&3\\8&9\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&2\\7&8\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}2&3\\5&6\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1&2\\4&5\end{vmatrix}\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}-3 & 6 & -3\\6 & -12 & 6\\-3 & 6 & -3\end{pmatrix}.</math> === Càlcul d'inversa === Per aquest càlcul es fa servir la fórmula: <math>\frac{1}{det(A)}\cdot Adj(A)^t</math> Exercici: Calculeu amb aquest mètode la inversa de les matrius: a) <math>A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\3 & 1 & -2\\-4 & -1 & 0\end{pmatrix}</math> b) <math>B=\begin{pmatrix}-2 & -1 & 0\\0 & 1 & 3\\1 & 2 & -1\end{pmatrix}</math> c) <math>C=\begin{pmatrix}1 & 3 & 4\\6 & -1 & 2\\-4 & 4 & 2\end{pmatrix}</math> d) <math>D=\begin{pmatrix}-1 & 4 & 0\\0 & 1 & 1\\-2 & 2 & -1\end{pmatrix}</math> e) <math>E=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\1 & 0 & 2\\-3 & 1 & 4\end{pmatrix}</math> = Referències = [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] m46w6ly7w9srph0djvgwd43jneyvkia 0 48904 373512 354510 2025-06-21T01:41:53Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373512 wikitext text/x-wiki Aquesta lliçó és una introducció completa presumint certa base a etapes anteriors. == Introducció == Principalment centrada en la definició de funcions, representació, resolució d'equacions i inequacions. === La funció === Resum característic i descriptiu de les funcions: {|style="border: 1px solid grey;" bgcolor="#aaf" |align="center"| '''Abstracta''' |align="center"| '''Taula''' |- |style="border: 1px solid grey;" bgcolor="white"| <math>\begin{matrix}f: & X & \longrightarrow & Y\\& a & \longmapsto & b\\& c & \longmapsto & d\end{matrix}</math> |style="border: 1px solid grey;" bgcolor="white"| <math>\begin{array}{c|c} X & Y\\ \hline a & b\\c & d\end{array}</math> |} * La columna de X és el domini de la funció f(x), '''Dom(f)''', i són tots els valors que accepta '''f'''. * La columna de Y és el recorregut de f(x), '''Rec(f)''', i són tots els possibles valors als que arriba '''f'''. [[File:Cartesian coordinates 2D.svg|Quadrants del pla|200px|thumb]] Normalment el domini s'utilitza sobre l'eix de les abscisses X i el recorregut sobre l'eix de les ordenades Y * Punts de tall amb les abscisses si busquem f(x)=0 * Punts de tall amb les ordenades si y=f(0) * La gràfica és simètrica respecte l'eix d'ordenades si f(x)=f(-x) a tot el domini, serà una funció parella. * La gràfica és simètrica respecte l'origen d'ordenades si f(x)=-f(-x) a tot el domini, serà una funció imparella. * Una funció és periòdica si es repeteix contínuament al seu domini i per tant f(x)=f(x+p), i si p és el més petit possible en direm període de f. ==== Funcions polinòmiques ==== Són les funcions definides per un polinomi com <math>f(x)=x^5-3x^2+x-10.</math> *Dom(f) és tots els nombres reals. :*Si tots els exponents són parells, 0, 2, 4, ..., llavors la funció és parella. :*Si tots els exponents són imparells, 1, 3, 5, ..., llavors la funció és imparella. *Són contínues i derivables al seu domini. :*Si el terme d'exponent més gran que 1 és d'exponent imparell, llavors el recorregut són tots els nombres reals, una branca va a infinit i l'altre a menys infinit. :*Si el terme d'exponent més gran que 1 és positiu llavors les dues branques van a infinit. :*Si el terme d'exponent més gran que 1 és negatiu llavors les dues branques van a menys infinit. ==== Funcions racionals ==== *Dom(f) és tots els reals menys el punts on s'anul·la el denominador. *Són continues al seu domini. *Poden aparèixer noves branques als punts on s'anul·la el denominador. *Pot perdre les branques associades al numerador. ==== Funcions irracionals ==== Sigui <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> *Si n és un nombre natural parell major o igual a 2: :*Dom(f) és el conjunt dels valors on x>0. :*Només té una branca. *Si n és un nombre natural imparell major o igual a 3: :*Dom(f) és el conjunts dels nombres reals. :*Té dues branques. '''Nota''': *<math>\sqrt{x\,\,}^2=x,</math> amb <math>x>0</math> *<math>\sqrt{x^2\,\,}=|x|</math> ==== Funció exponencial ==== Sigui <math>f(x)=a^x</math> on a>0. *Dom(f) és el conjunt dels nombres reals. :* Si 0<a<1 la funció és decreixent. :* Si 1<a la funció és creixent. *Rec(f) és el conjunt dels valors reals positius sense incloure el zero. ==== Funcions a trossos ==== Aquestes funcions tenen totes les peculiaritats possibles segons la definició de cada tros. ===== Exercicis ===== 1) Determina el domini, el recorregut i els punts de tall amb els eixos de les funcions següents {|width=100% cellspacing="4" cellpadding="0" |width=50%| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |a) <math>f(x)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf; background:#fffff8"|Per qualsevol valor de '''x''', la funció diu que la '''y''' és zero, que representada es una recta horitzontal. *<math>Dom(f)=\{-\infty,+\infty\}=\mathbb{R}</math> *<math>Rec(f)=\{0\}</math> *Talla amb l'eix '''Y''' al (0,0) i no és que talli a tot arreu sinó, més ben dit, està sobre l'eix '''X''' |} | b) <math>f(x)=-1</math> |- | c) <math>f(x)=x+1</math> | d) <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> |- | e) <math>f(x)=\frac{1}{x-3}</math> | f) <math>f(x)=\sqrt{x+1}</math> |- | g) <math>f(x)=\sqrt{-x}</math> | h) <math>f(x)=\sqrt{2-x}</math> |} === Vectors i rectes === ==== Vectors ==== [[File:Vector AB from A to B.svg|right|250px]] El concepte de vector a la geometria<ref>Les primeres aplicacions no utilitzen punts perquè només volien saber el seu mòdul i la direcció, i res més, però posteriorment s'ha donat un suport teòric molt més acurat del concepte de vector que és el que s'utilitza actualment a la geometria analítica</ref> està lligat a dos punts. '''Definició i notació:''' Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^2</math>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2)</math> és i està format de la següent forma: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2)</math> Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^3</math>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2,\;a_3)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2,\;b_3)</math> és i està format de la següent forma: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2,\;b_3-a_3)</math> {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="500px" |colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Observació'''}} |- |Respectant la idea de resta de matrius files obtenim un nou element, que segueix sent una matriu fila, l'anomenarem vector. *Dels valors que té ja no en direm coordenades sinó components. Tenim doncs les propietats següents: *Si tenim un origen i un vector llavors tenim el destí. *Si tenim un origen i un destí llavors tenim el vector. *Si tenim un vector i un destí llavors tenim l'origen. Podem utilitzar algebraicament els punts i vectors com: :<math>\vec{v}=B-A</math> :<math>\vec{v}+A=B</math> :<math>A=B-\vec{v}</math> |} Per utilitzar vectors necessitem les principals operacions que definim tot seguit i fixeu-vos la semblança amb les operacions de matrius: ===== Suma de vectors ===== Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2).</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).</math> Representació de sumes: Per definició ''u''+''v'' produeix un altre vector ''w'', és com encadenar, sempre visualment, un vector ''u'' i després un ''v''. [[File:Vetorial_space_P.GIF|center|180px]] :1) Dir que ''u''+''v''=''v''+''u'', vol dir que la suma és commutativa. Degut a això aquest fet se'n diu regla del paral·lelogram. [[File:Vectorial space P 1.GIF|center|180px]] :2) Dir que ''u''+(''v''+''w'')=(''u''+''v'')+''w'', vol dir que la suma té la propietat associativa. [[File:Vectorial_space_P_2.GIF|center|180px]] :3) Dir que existeix un vector zero tal que ''u''+0=''u'', és equivalent a demanar l'existència de l'element neutre es a dir que no pot fer cap modificació sobre els vectors. [[File:Vectorial space P_3.GIF|center|180px]] :4) Dir que ''u''+(-''u'')=0, és parlar de l'existència de l'element oposat , -''u'', que sumat a ''u'' és zero. [[File:Vectorial space P_4.GIF|center|180px]] ===== Producte per escalar ===== Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2).</math> Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2,\;\lambda\cdot u_3).</math> :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Exercicis:'''}} |- |1) Estic en el punt <math>A=(5,\;5),</math> casa meva està en el punt <math>B=(2,\;3).</math> Si camino en línia recta 5 vegades més arribaria a la biblioteca. ¿En quin lloc està la biblioteca? *El camí que va a casa meva ve determinat pel vector: ::<math>\vec{AB}</math> <math>=B-A</math> <math>=(2,\;3)-(5,\;5)</math> <math>(-3,\;-2).</math> *Per tant si camino, des d'on estic i en línea recta, 5 vegades més, estic fent aquesta operació: ::<math>A+5\cdot\vec{AB}</math> <math>=(5,\;5)+5\cdot (-3,\;-2)</math> <math>=(5,\;5)+(5\cdot (-3),\;5\cdot (-2))</math> <math>=(5,\;5)+(-15,\;-10)</math> <math>=(-10,\;-5)</math> Solució: La biblioteca està al punt <math>C=(-10,\;-5).</math> 2) Dos arbres estan en els punts <math>A=(2,\;3)</math> i <math>B=(4,\;1),</math> però a mig camí hi ha un tresor. ¿On? *El camí de A a B és: ::<math>\vec{AB}</math> <math>=B-A</math> <math>=(4,\;1)-(2,\;3)</math> <math>=(2,\;-2).</math> *Per trobar el punt mig del camí de A a B només cal fer la meitat del recorregut, és a dir: ::<math>\frac{\vec{AB}}{2}</math> <math>=\frac{(2,\;-2)}{2}</math> <math>=\tfrac{1}{2}(2,\;-2)</math> <math>=(\tfrac{1}{2}2,\;\tfrac{1}{2}(-2))</math> <math>=(1,\;-1).</math> Solució: el punt que busquem és <math>C</math> <math>=A+\frac{\vec{AB}}{2}</math> <math>=(2,\;3)+(1,\;-1)</math> <math>=(3,\;2)</math> |} ===== Producte a escalar ===== Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2.</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> el seu producte és: :<math>\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3=3+0+15=18.</math> :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Exemple:'''}} |- |Sigui <math>\vec{u}=(3,\;4,\;5)</math> i <math>\vec{v}=(1,\;0,\;3)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(3,\;4,\;5)\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 3\end{pmatrix}=3\cdot 1+4\cdot 0+5\cdot 3.</math> |} ====== Longitud d'un vector ====== Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.</math> Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2+u_3\cdot u_3}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.</math> :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Exemples:'''}} |- |[[File:Vector(1,1).svg|150px|right]] 1) Longitud del vector <math>\vec{u}=(1,\;1),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{u}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math> :Observem que la longitud del vector és la hipotenusa del triangle rectangle dibuixat, i per tant, és equivalent al teorema de Pitàgores. 2) Longitud del vector <math>\vec{w}=(1,\;-1,\;0),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2}</math> |} === Tipus de sistemes === Per tancar l'estudi de sistemes lineals només cal classificar aquests sistemes donant una interpretació geomètrica per entendre el que es cuina al seu interior. {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Ocultar" |- |Interpretació geomètrica d'una única equació. |- | *Una equació lineal amb una incògnita pot determinar un únic punt sobre la recta real. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Una equació lineal amb dos incògnites pot determinar una única recta sobre el pla real. :[[File:RectaOrigen001.svg|300px]] *Una equació lineal amb tres incògnites pot determinar un pla sobre l'espai real. :[[File:Plano001.svg|300px]] Cada equació pot determinar elements amb una dimensió menys que l'espai on es troba. |} Buscar les solucions d'un sistema d'equacions lineals és buscar punts comuns que satisfan totes les equacions a la vegada, és a dir que busquem el lloc de trobada de tots els objectes de cada equació. :Direm que un sistema té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les equacions quedant només '''r''' equacions. :Direm que una matriu té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les files quedant només '''r''' files. :Direm que la matriu associada a un sistema lineal és '''ampliada''' si s'afegeix una '''nova columna''' corresponent als termes independents de les equacions, per parlar del rang d'una matriu ampliada escriurem que '''rang=r*'''. :::{|cellpadding="3" |- ||Sistema <math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu del sistema <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}\end{pmatrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu ampliada <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n} & b_1\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} & b_m \end{pmatrix}</math> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Ocultar" |- |'''Exemple''' |- | :Donat el següent sistema, calculeu el seu rang: <math>\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+2u=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;2x-2y\;\;\;\;\;\;+2t+5u=7\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t\;\;+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-2\cdot eq_2\;\;}\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5+eq_1\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_4+eq_2\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5-3\cdot eq_4\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\leftarrow</math> '''rang = 4'''. |} Classificació dels sistemes lineals amb '''n''' incògnites. {|style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" |- |<math>Sistema\;\;lineal=\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;SC\\r=r*\end{matrix}\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;Determinat\;\;SCD\\r=n\end{matrix} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;indeterminat\;\;SCI\\r<n\end{matrix} \end{cases} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Incompatible\;\;SI\\r<r*\end{matrix}\end{cases}</math> |} :'''SCD:''' Una única solució, un punt. :'''SCI:''' Conjunt de solucions formant objectes de dimensió n-r. :'''SI:''' Sense solucions, segurament perquè alguns dels objectes és paral·lel a un altre o interseccions d'altres objectes. Ara sí podem estudiar les situacions que ens trobarem més sovint al batxillerat. ==== Sistemes lineals de dos incògnites ==== Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són rectes concurrents en un únic punt i es podran simplificar fins a restar-ne només dos equacions. :Una interpretació geomètrica seria imaginar tan rectes secants com rectes perpendiculars en un mateix punt que podem o no veure, d'això se'n diu feix de rectes: ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante001.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante002.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante003.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que totes les equacions són idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació. Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. :Una interpretació geomètrica seria imaginar rectes que no tenen punts en comú a totes les rectes a la vegada: o bé almenys un parell de rectes són paral·leles o bé en el punt on concorren les rectes manca almenys una recta. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaParalela001.svg|200px]] |} ==== Sistemes lineals de tres incògnites ==== Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són plans que passen per un sol punt i es podran simplificar fins a restar-ne només tres equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:TresPlanos001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que podria ser desde equacions idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació o també a més a més podria ser que tenim un feix de plans, es a dir que tots es tallen sobre una recta i per tant les seves equacions simplifiquen en només dues equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:Diedro001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. ==== Exercicis ==== 1) Analitza quin tipus de sistema és i després resol si es pot. :a) <math>\begin{cases} -3x & +3y & =1 \\ \,\,\,\,\,\,\,x & \,\,\,-y & =5 \end{cases}</math> :b) <math>\begin{cases} x & +y & =0 \\ x & -y & =0 \end{cases}</math> :c) <math>\begin{cases} \,\,\,x & +3y & =5 \\ 7x & \,\,\,-y & =2 \end{cases}</math> :d) <math>\begin{cases} -x & +y & =0\\ \,\,\,\,x & \,\,\,-y & =0 \end{cases}</math> :e) <math>\begin{cases} 2x & +3y & =10 \\ 4x & -3y & =2 \end{cases}</math> :f) <math>\begin{cases} 2x & +3y & +z & =10 \\ 4x & -3y & -z & =2 \\ x & +2y & +z & =0\end{cases}</math> :g) <math>\begin{cases} \,\,\,x & +2y & +3z & =0 \\ 2x & -y & +5z & =0\\ \,\,\,x & -3y & +2z & =0 \end{cases}</math> :h) <math>\begin{cases} \,\,\,5x & -2y & +z & =0 \\ -5x & +2y & -z & =1\\ 10x & -4y & +2z & =-1 \end{cases}</math> :i) <math>\begin{cases} \,\,\,2x & \,\,\,-y & +5z & =1 \\ -5x & +2y & -z & =-2\\ -3x & \,\,\,+y & +4z & =-1\end{cases}</math> === Inequacions === Les inequacions lineals o afins són del tipus: :<math>ax+by+c\leq 0</math> :<math>ax+by+c<0</math> :<math>ax+by+c>0</math> :<math>ax+by+c\geq 0</math> Equació associada a les inequacions anteriors que delimita dos semiplans: :<math>ax+by+c=0</math> La inequació divideix el pla en dos semiplans i cada inequació només es refereix a un d'ells. ¿Quin és el semiplà d'una equació? Si hem representat l'equació associada, per trobar el semiplà tenim dos eines: Primer mètode estàndard: *Sondeig: valorar el punt <math>(0,0)</math> amb la inequació per comprovar que estigui dins i en cas afirmatiu vol dir que aquell semiplà és el buscat. En cas de dubte valorar el punt <math>(0,1)</math> o per últim <math>(1,0)</math> que comprovin la inequació. Per cercar-lo més ràpid hem de procurar simplement que el punt no estigui sobre la recta que divideix el pla. Segon mètode: *Aïllem totalment la '''y''' a la inequació i la mateixa desigualtat ens indica si és el pla que està per sobre o per sota. Amb exemples es veu ràpidament: {| |<math>y>ax+c</math> [[File:inequa001.svg|200px]] |<math>y\geqslant ax+c</math> [[File:inequa002.svg|200px]] |- |<math>y<ax+c</math> [[File:inequa003.svg|200px]] |<math>y\leqslant ax+c</math> [[File:inequa004.svg|200px]] |} Una lectura és que si surt <math>y\geqslant</math> o <math>y></math> llavors es tracta del semiplà que està per sobre la recta associada. Per altra banda si surt <math>y\leqslant</math> o <math>y<</math> llavors es tracta del semiplà que està per sota de la recta associada. És gràcies a la '''y''', segona coordenada dels punts del pla, que permet visualitzar-ho. ==== Determinació de regions del pla ==== Els sistemes d'inequacions determinen una regió convexa anomenada '''regió de factibilitat''' que és el resultat de fer intersecció de tots els semiplans donats. '''Exemples:''' ==== Funció objectiu ==== La funció objectiu que utilitzarem és del tipus: :<math>f(x,y)=c_1x+c_2y+c</math> Aquesta funció assigna un valor a cada punt de la regió de factibilitat. == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] ni7g0jlf18a41z23n9zm1g24idrq1sy 3 49278 373453 372781 2025-06-20T23:56:41Z Aca 34292 /* Update to Template:Main page */ Reply 373453 wikitext text/x-wiki [[User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ/Sandbox|Sandbox]] | [[Wikiversity:Babel|Babel]] | [[Wikiversity:Request custodian action|Requests]] | [[Special:UnusedCategories|Unused categories]] | [[:Category:Candidates for speedy deletion|Speedy]] | [[Special:PageTranslation|Mark for translation]] | Archives: [[/2023]] [[/2024]] [[/2025]] {{User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ/Custodian}} ---- == This Month in Education: January 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 1 • January 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Advancing Education Pillar in Kosovo: 2024 Journey|Advancing Education Pillar in Kosovo: 2024 Journey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Auckland Museum Wikipedia Students Making Progress|Auckland Museum Wikipedia Students Making Progress]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Celebrating 10 Years of Wiki Education|Celebrating 10 Years of Wiki Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Empowering Multilingual Students: Expanding Wikipedia Through Collaboration of foreign languages faculty's students of the University of Tehran|Empowering Multilingual Students: Expanding Wikipedia Through Collaboration of foreign languages faculty's students of the University of Tehran]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Ensuring accurate and authentic information with 1Lib1Ref Campaign in Anambra|Ensuring accurate and authentic information with 1Lib1Ref Campaign in Anambra]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Experiences of Wikipedia in the classroom with a gender perspective in Monterrey |Experiences of Wikipedia in the classroom with a gender perspective in Monterrey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Fine Arts University Students exploring Wikipedia in Tirana, Albania|Fine Arts University Students exploring Wikipedia in Tirana, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Lviv hosted Ukraine’s first student photo walk for Wikipedia|Lviv hosted Ukraine’s first student photo walk for Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Many new trained volunteers and new articles at the end of the year in Macedonia|Many new trained volunteers and new articles at the end of the year in Macedonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Wikimedia and Scientific Events in Brazil|Wikimedia and Scientific Events in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Wiki Workshop- Call for Contributions|Wiki Workshop- Call for Contributions]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:56, 5 February 2025 (UTC)</div> </div> <!-- Message sent by User:ZI Jony@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=28111205 --> == This Month in Education: February 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 2 • February 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Activities series at the Shefit Hekali school in Peqin, Albania|Activities series at the Shefit Hekali school in Peqin, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia Brazil has formed a partnership with a public policy research institute|Wikimedia Brazil has formed a partnership with a public policy research institute]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Preserving Heritage: Tuluvas Aati Month Educational Wikimedia Programs|Preserving Heritage: Tuluvas Aati Month Educational Wikimedia Programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Reflecting on our Past: Farewell to the Auckland Museum Summer Students|Reflecting on our Past: Farewell to the Auckland Museum Summer Students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Successful Conclusion of the Second Phase of "Reading Wikipedia in the Classroom" in Yemen|Successful Conclusion of the Second Phase of "Reading Wikipedia in the Classroom" in Yemen]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wiki Workshop in Mitrovica |Wiki Workshop in Mitrovica]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia MKD' Education: Lots of new trained users, lots of new articles|Wikimedia MKD' Education: Lots of new trained users, lots of new articles]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia Serbia receives accreditation from the National Library of Serbia for the Wiki Senior seminar|Wikimedia Serbia receives accreditation from the National Library of Serbia for the Wiki Senior seminar]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 09:04, 12 March 2025 (UTC)</div> </div> <!-- Message sent by User:ZI Jony@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=28314249 --> == Kurdish portal deletion == The page is empty because there is no content it transcludes or links to. The Kurdish test project has no content at all. Why would it need a portal? And the red links are templates which don't exist either. The whole page has no value. [[User:AtUkr|AtUkr]] ([[User talk:AtUkr|talk]]) 19:12, 2 April 2025 (UTC) :Thanks for your input regarding [[Portal:Zanistên siruştî]]. I'll ping {{ping|User:Pispor}} and {{ping|Bikarhêner}} to get their thoughts. If the Kurdish community decides to abandon it, I can assist with deletion. -- [[File:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ.png|75px|link=User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|]]([[User_talk:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|talk]]) 20:52, 2 April 2025 (UTC) == This Month in Education: March 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 3 • March 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/A Whole New World: Research Findings on New Editor Integration in Serbian Wikipedia|A Whole New World: Research Findings on New Editor Integration in Serbian Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Bolivia: a new round of Leamos Wikipedia begins in Bolivia|Bolivia: a new round of Leamos Wikipedia begins in Bolivia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Faculty of Social Sciences Workshop in Albania|Faculty of Social Sciences Workshop in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Lots of contributions and trainings as part of Wikimedia MKD's Education Programme|Lots of contributions and trainings as part of Wikimedia MKD's Education Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Wikimedia organized multiple events of science and education in Brazil during the month of March|Wikimedia organized multiple events of science and education in Brazil during the month of March]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:04, 10 April 2025 (UTC)</div> </div> <!-- Message sent by User:ZI Jony@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=28458563 --> == This Month in Education: April 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 4 • April 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Ceremony of giving certificates and awarding the winners of the edit-a-thon: Meet Slovenia|Ceremony of giving certificates and awarding the winners of the edit-a-thon: Meet Slovenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/The Workshops Wikimedia & Education are back in Brazil|The Workshops Wikimedia & Education are back in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/EduWiki Nigeria: Advancing Digital Literacy in Schools|EduWiki Nigeria: Advancing Digital Literacy in Schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Empowering the Next Generation: Wikidata Training at Federal Government Boys College, FGBC Abuja|Empowering the Next Generation: Wikidata Training at Federal Government Boys College, FGBC Abuja]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Final Wikipedia project with Shefit Hekali school in Peqin, Albania|Final Wikipedia project with Shefit Hekali school in Peqin, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Teachers who graduated from the Leamos Wikipedia program in Bolivia become mentors for their colleagues |Teachers who graduated from the Leamos Wikipedia program in Bolivia become mentors for their colleagues]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Wikivoyage in Has region, Northern Albania|Wikivoyage in Has region, Northern Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Wikivoyage workshop in Bulqiza|Wikivoyage workshop in Bulqiza]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 02:49, 10 May 2025 (UTC)</div> </div> <!-- Message sent by User:ZI Jony@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=28656387 --> == This Month in Education: May 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 5 • May 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Journalism students at Aleksandër Xhuvani University explore Wikipedia in Albania|Journalism students at Aleksandër Xhuvani University explore Wikipedia in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Reviewing pending articles editathon with high school students in Albania|Reviewing pending articles editathon with high school students in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Several educational workshops to promote science on Wiki were held in Brazil in the month of May|Several educational workshops to promote science on Wiki were held in Brazil in the month of May]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Simón Bolívar Teacher Training College joins the Let's Read Wikipedia Program|Simón Bolívar Teacher Training College joins the Let's Read Wikipedia Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Students become Editors: Wikimedia Chile launches Latin America's first Vikidia Workshop|Students become Editors: Wikimedia Chile launches Latin America's first Vikidia Workshop]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/The DemocraTICon competition was held, this year for the first time with a discipline focused on Wikipedia |The DemocraTICon competition was held, this year for the first time with a discipline focused on Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Wikimedia MKD's "Lajka" workshop in Skopje|Wikimedia MKD's "Lajka" workshop in Skopje]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 02:58, 28 May 2025 (UTC)</div> </div> <!-- Message sent by User:ZI Jony@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=28771448 --> == Update to [[Template:Main page]] == Hi! Can you please update this template as Serbian and Croatian main pages are now translated and unified under Serbo-Croatian, in line with the current LangCom policy. Basically, the following line should be added: <pre> <!-- sh -->[[Glavna stranica|{{#language:sh}}]] | </pre> with sr and hr links being removed. Thank you in advance, [[User:Aca|Aca]] ([[User talk:Aca|talk]]) 20:47, 8 June 2025 (UTC) :Thanks! Can you also remove the following links, which are now unused/unnecessary? :First link: :<pre><!-- hr -->[[Glavna stranica|{{#language:hr}}]] |</pre> :Second link: :<pre><!-- sr -->[[Главна страна|{{#language:sr}}]] |</pre> :Thanks for your quick responses and continued maintenance of Wikiversity Beta! – [[User:Aca|Aca]] ([[User talk:Aca|talk]]) 22:48, 9 June 2025 (UTC) ::Hi! I’ve added sh as requested. However, to remove hr and sr, we need more information, such as a link to the relevant Language Committee discussion or community consensus. Also, please consider posting a request at [[Wikiversity:Request custodian action]] so that it can be reviewed and handled appropriately. Thanks! --[[File:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ.png|75px|link=User:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|]]([[User_talk:ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ|talk]]) 20:45, 10 June 2025 (UTC) :::Done! Thanks. – [[User:Aca|Aca]] ([[User talk:Aca|talk]]) 23:56, 20 June 2025 (UTC) rc6x52cq9qto4gwey9wep4i933dxn6e 0 49460 373501 367594 2025-06-21T01:41:43Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373501 wikitext text/x-wiki Aquesta secció treballa els decimals així com les diverses connexions amb altres conceptes tècnics dins la programació. L'objectiu és proveir d'un programa que permet exercitar el concepte de mètrica a diferents nivells de precisió així com la explicació de com i per què funciona amb la possibilitat de poder introduir canvis o millores que apareguin. === Teoria === Eines utilitzades pel desenvolupament del programa: 1) Per representar l'interval del tipus <math>[\,a\,,\,b\,]</math> sobre una pantalla horitzontalment suposant que l'ample és de 1000 píxels i per tant un interval del tipus <math>[\,1\,,\,1000\,]</math> necessitem una funció de semblança entre aquests dos intervals. La funció <math>f</math> se'n diu afí i és la següent: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |<math> \begin{array}{rrcl} f : & [\,a\,,\,b\,] & \longrightarrow & [\,1\,,\,1000\,] \\ & x & \mapsto & (x-a)\cdot\frac{999}{b-a}+1\\ & a & \mapsto & 1\\ & b & \mapsto & 1000 \end{array} </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Desglossament de la funció afí com a composició de tres funcions més simples: Es requereix una funció bijectiva <math>g(x)</math> que traslladi l'interval <math>[\,a\,,\,b\,]</math> a un interval que comenci per zero com <math>[\,0\,,\,c\,],</math> és a dir, volem un trasllat com <math>g(x)=x-a.</math> :<math>g:[\,a\,,\,b\,] \longrightarrow [\,0\,,\,c\,]</math> on <math>c=b-a.</math> Es requereix una funció lineal de proporcionalitat directa <math>h(x)</math> que converteixi l'interval <math>[\,0\,,\,c\,]</math> a l'interval <math>[\,0\,,\,999\,]</math> on <math>999=1000-1</math> corresponent a mil píxels, és a dir, <math>h(x)=x\cdot\frac{999}{c}</math> ja que la raó de semblança és <math>\alpha=\frac{999}{c}</math> :<math>h:[\,0\,,\,c\,] \longrightarrow [\,0\,,\,999\,]</math> Es requereix una funció bijectiva <math>i(x)</math> que traslladi l'interval <math>[\,0\,,\,999\,]</math> a l'interval <math>[\,1\,,\,1000\,]</math> i amb el trasllat <math>i(x)=x+1</math> és suficient. :<math>i:[\,0\,,\,999\,] \longrightarrow [\,1\,,\,1000\,]</math> En resum tenim que <math>f(x) =i\Big(\,h\big(\,g(x)\,\big)\,\Big)</math> |} 2) En cursos superiors es veu que <math>f</math> és composició de funcions isomètriques i proporcionalitat directa, es a dir que dues mesures iguals dins <math>[\,a\,,\,b\,]</math> també són iguals dins de <math>[\,1\,,\,1000\,].</math> Cal doncs detallar la graduació del regla primer sobre els píxels que ens diran la graduació mínima que pot visualitzar o acceptar aquesta mena de projecció i després traslladar-la a <math>[\,a\,,\,b\,]</math> per conèixer el seu valor o la seva densitat. La densitat màxima <math>\delta</math> sobre els píxels és la distància entre línies negres de la representació d'una línia negra, una línia blanca i novament negra en cicle. La distància entre línies negres, de centre a centre dels seus píxels negres, és de dos píxels, per tant és aquesta mida la mínima sobre <math>[\,1\,,\,1000\,]</math> és: :<math>\delta\geq 2</math>. Dividint per la raó de proporció <math>\alpha</math> obtenim la mesura mínima, M, sobre l'interval <math>[\,a\,,\,b\,]:</math> :<math>M\geq\frac{2}{\alpha}.</math> Ara només cal saber quin tipus de mida pot acceptar, si és <math>10^4,</math> <math>10^2,</math> <math>10^1,</math> <math>10^0,</math> <math>10^{-1},</math> etc. Es considera que :<math>10^x\geq\frac{2}{\alpha}</math> on <math>x\in\mathbb{N}</math> Apliquem logaritme en base 10 per saber-ho directament: :<math>x\geq\frac{\log \frac{2}{\alpha} }{\log 10 }</math> Finalitza així el càlcul de la graduació sobre <math>[\,a\,,\,b\,]</math> que amb un valor enter <math>x</math> per sobre del que dona els càlculs donarà <math>10^x</math>. ==== Programa exercici ==== Es dona el codi necessari per construir l'arxiu SVG amb un programa dins autònom. El programa demanarà de bon principi amb un interrogant ('''?'''), en clicar l'interrogant demanarà localitzar un valor; només s'ha de clicar sobre la solució i veure si diu SÍ(sí que s'ha encertat) o si diu NO(que no s'ha encertat). Es pot clicar que mostri la solució mentre passegem el punter per la pantalla on afegeix altres informacions de sondeig: {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#fbb" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure algoritme bàsic" data-collapsetext="Ocultar" |- |Utilitzant "'''l'editor Llibreta'''", "'''editor de text'''" o bé [https://texteditor.co/ "'''aquest editor text'''"], '''deseu sempre''' l'arxiu amb 3 condicions: ::'''Nom''': exerciciDecimal.svg ::'''Tipus''': '''tots els arxius''' o equivalent *.* ::'''Codificació''': '''UTF-8'''. Clica '''veure codi''' i enganxeu tot el codi que apareix al requadre dins l'arxiu que es crea. Alternativament mireu si es pot descarregar [https://marianov2024.github.io/SVG/decimales.svg d'aquí.] |- | <syntaxhighlight lang="javascript" line> <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2000" height="4000"> <script><![CDATA[ var xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"; var Root=document.documentElement; var salto=90; var ha=0.95949,hb=0.959632,hu,hu1,hu2,hd,va,vb;//intervalos:Dom e Im.(u=unidad base) var wiH=1000,dmarcas=2; //valor pantalla y separaciOn aceptable var ai,aj,ak,punt,marcas,pat,ran,nrandom;//auxiliares function programa(){ var i,j,k; marcas=document.getElementById("reglado"); hu=hb-ha;//longitud intervalo hd=wiH/hu;//razOn de proporciOn hu1=Math.ceil( Math.log(dmarcas/hd)/Math.log(10) );//nivel de longitud en base 10. hu1=Math.pow(10,hu1);//longitud de graduaciOn punt=document.getElementById("coor"); ran=document.getElementById("txtRec"); nrandom=red(ha+hu*Math.random(),hu1); ran.firstChild.nodeValue="Localitza: "+nrandom.toPrecision(6);//Presentador: esconde decimales internamente. for(pat="",i=red(ha,hu1)-ha;i<=hu;i=i+hu1){ pat=pat+"M"+(Math.round(i*hd)+0.5)+","+70+"v"+17; } for(i=red(ha,hu1*5)-ha;i<=hu;i=i+hu1*5){ pat=pat+"M"+(Math.round(i*hd)+0.5)+","+70+"v"+20; } for(i=red(ha,hu1*10)-ha;i<=hu;i=i+hu1*10){ pat=pat+"M"+(Math.round(i*hd)+0.5)+","+70+"v"+30; } for(i=red(ha,hu1*50)-ha;i<=hu;i=i+hu1*50){ pat=pat+"M"+(Math.round(i*hd)+0.5)+","+70+"v"+40; j=i+ha; escriuA(j.toPrecision(6),i*hd,150); } for(i=red(ha,hu1*100)-ha;i<=hu;i=i+hu1*100){ pat=pat+"M"+(Math.round(i*hd)+0.5)+","+70+"v"+50; } //marcas.setAttribute("stroke-width",1); marcas.setAttribute("d",pat); document.documentElement.setAttribute("onmousemove","dardo(evt)"); } function dardo(evt){//indica donde estA el ratOn. ai=evt.pageX; hu2=Math.ceil( Math.log(hu/wiH)/Math.log(10) ); hu2=Math.pow(10,hu2); aj=redo(ha+ai/hd,hu2*.5);//paso a medidas exactas. if(Math.abs(aj-nrandom)<hu1*.7){ak="SI";} else{ak="No";} punt.firstChild.nodeValue=(aj.toPrecision(6))+"|px="+ai+"|Sol="+ak; punt.setAttributeNS(null,"x",(100+ai*.8)); } function sol(){ escriu( ak ); } function ver(){ var i=punt.getAttribute("y"); if(i==62){ punt.setAttributeNS(null,"y",-62); } else{ punt.setAttributeNS(null,"y",62); } } function red(deci,mult){ //aproxima super. var ee; ee=Math.ceil(deci/mult); return ee*mult; } function redo(deci,mult){ //aproxima redondeo. var ee; ee=Math.round(deci/mult); return ee*mult; } function demanaUnNombre(t1,t2){return parseInt(prompt(t1,t2));} function demanaUnText(t1,t2){return prompt(t1,t2);} function escriu(pat){ T=document.createElementNS(xmlns,"text"); T.setAttributeNS(null,"x",30); T.setAttributeNS(null,"y",70+salto);salto=salto+30; T.setAttributeNS(null,"font-size","20"); Msg=document.createTextNode(pat); T.appendChild(Msg); Root.appendChild(T); } function escriuA(pat,x,y){ T=document.createElementNS(xmlns,"text"); T.setAttributeNS(null,"x",x); T.setAttributeNS(null,"y",y); T.setAttributeNS(null,"text-anchor","middle"); T.setAttributeNS(null,"font-size","20"); Msg=document.createTextNode(pat); T.appendChild(Msg); Root.appendChild(T); } ]]></script> <path id="reglado" d="m" fill="none" stroke="#000000" stroke-width="1"/> <g onclick="programa()"> <rect x="10" y="10" width="200" fill="#edd" height="30" stroke="black"/> <text id="txtRec" x="110" y="32" font-size="20" text-anchor="middle">?</text> </g> <g onclick="ver()"> <rect x="220" y="10" width="80" fill="#feb753" height="30" stroke="black"/> <text id="txtRec" x="260" y="32" font-size="20" text-anchor="middle">Solución</text> </g> <text id="coor" x="380" y="-62" font-size="20" text-anchor="middle">.</text> <rect onclick="sol()" x="0" y="60" width="1500" fill="#0ff" height="80" stroke="none" opacity="0"/> </svg> </syntaxhighlight> |} ==== Paraules clau ==== *Aplicació matemàtica. :*Bijectiva. :*Funció. ::*Isomètrica. ::*Semblança. :*Projecció. :*Proporcionalitat directa. ::*Raó de proporcionalitat. :*Trasllat. *Interval. [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] f9dna1s5onjgqhfmhyeuk1cu0nrme61 0 49556 373496 356479 2025-06-21T01:41:38Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373496 wikitext text/x-wiki Conjunt d'anotacions temporals interpretades '''arbitràriament''' de les lliçons dels elements d'Euclides. Si es vol una traducció de bona font llavors aquest no és el text, aquest text s'ha creat aprofitant l'existència de paraules que permeten definir millor o de forma molt diferent els axiomes. El recull de lliçons d'Euclides són descripcions temàtiques de les àrees que es volien explicar, i com tota explicació requeria un lèxic previ i artificial molt precís, és a dir, molt ideal, molt concret i per tant no tenia ambigüitats i sense especificar diferents interpretacions com fan els diccionaris. === Axiomes === Definicions: '''El punt''': Un punt no té parts. '''Línia''': Una línia longitudinal no té ample. '''Extrem d'una línia''': Si una línia té extrem, llavors l'extrem és un punt. '''La recta''': Una línia recta és la línia que no es desvia del seu curs en cap dels seus punts. '''La superfície''': Una superfície és la que té llargada i amplada però no té gruix. '''La vora''': Si una superfície té un extrem, llavors aquest es diu vora i és una línia. == Referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 3k4nf16cikv328vr9qwpjndxdno5r04 0 49611 373502 356827 2025-06-21T01:41:44Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373502 wikitext text/x-wiki Exercicis relacionats amb arrels vinculats al batxillerat en general. En construcció i per tant anirà creixent. == Notació == Treballs amb la notació index-potència. === Propietats bàsiques === === Mètodes de simplificació === === Racionalització === == Exercicis amb connexions == === Geometria === {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#fff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar" |- |1.- Demostreu que els triangles següents són semblants [[File:Semejanza 001.png|600px]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fffaf6"| Hem de demostrar que els triangles són semblants, per tant, la divisió dels costats corresponents ha de donar el mateix valor. Per tant volem veure que les divisions següents tenen el mateix valor: :<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) } \text{¿=?} \frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }</math> Per tant, fem primer la primera divisió i després la segona per veure si es la mateixa: *<math>\frac{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) }{ (5+\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5})}{4(5+\sqrt{5})}=</math> <math>\frac{(1+\sqrt{5}) \color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }{4(5+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5-\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (5+(-1+5)\sqrt{5}-5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> *<math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ (20-4\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5}) }{ 4(5-\sqrt{5}) }=</math> <math>\frac{ (-1+\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }{ 4(5-\sqrt{5})\color{limegreen}{(5+\sqrt{5})} }=</math> <math>\frac{ (-5+(-1+5)\sqrt{5}+5) }{ 4(5^2-5) }=</math> <math>\frac{ 4\sqrt{5} }{ 4\cdot 20 }=</math> <math>\frac{\sqrt{5}}{20}.</math> Així demostrem que els dos triangles rectangles són semblants. |} [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] t9afdboubm4wb8vielsb7j6jztyvvef 0 50042 373562 358450 2025-06-21T01:52:27Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373562 wikitext text/x-wiki {|style="border: 0px solid grey;" cellpadding="0" cellspacing="0" width="600" |style="border: 1px solid grey;" width="500px"|[[File:Brass scales with flat trays balanced.png|150px|right]]Conjunt d'exercicis per fer fotocòpies: - S'ha inclòs espais per resoldre'ls sobre fotocòpies. - No adjunteu solucions ja que són les pràctiques. - Preparat per ésser directament convertit en PDF. |- |Conceptes previs: Mètode dels canvis d'operacions. [[File:CuatroReglas.svg|300px]] Propietat distributiva i factor comú. |- |height="400"| |} {|border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%" |align="center" border="1" colspan="3"|<big>'''Resolució d'equacions'''</big> |- |align="left" border="1" colspan="3"|1r. Moure termes amb x a un costat de la igualtat i els que no tenen cap x a l'altre costat. :El positiu passa negatiu i el negatiu passa a positiu. 2n. Sumem tots els termes del mateix tipus. 3r. Aïllem totalment la x enviant els valors a l'altre costat. :El que divideix passa a multiplicar i el que multiplica passa a dividir. Compta, els signe no es modifica. Finalment només cal fer les operacions amb els nombres. |- |style="width:33.3%" align="left" valign="top"|'''Exercicis nivell 1''' a) <math>x+8=10</math> b) <math>4+x=-3</math> c) <math>x-7=11</math> d) <math>-3+x=-2</math> e) <math>2x+3-x=1</math> f) <math>-x+2+2x=6</math> g) <math>4+x-3=7</math> h) <math>4=5-x</math> i) <math>1=3-x+1</math> j) <math>2=x+21</math> k) <math>0=2x-3-x</math> |style="width:33.3%" align="left" valign="top"|'''Exercicis nivell 2''' a) <math>3+2x=x</math> b) <math>3x=4+2x</math> c) <math>4x-5=3x+7</math> d) <math>4-2x=-3x+2</math> e) <math>-5x+3=1-4x</math> f) <math>-3x-1=-4x-7</math> g) <math>-5+5x=-6+6x</math> h) <math>4x+4=5x+3</math> i) <math>1-2x=7-3x</math> j) <math>2+2x=1-x</math> k) <math>x-3=2x-10</math> |align="left" valign="top"|'''Exercicis nivell 3''' a) <math>3+x+4=2+x-10-x</math> b) <math>x+4+x+1=3+x+1</math> c) <math>2x+3+x=32+x+3</math> d) <math>5x-2+x=3x+10</math> e) <math>4-3x-5-6x=7-5x</math> f) <math>x+17-20x=1-11x</math> g) <math>7x+1=7x-3-4x</math> h) <math>x+7+x+3+x=13x</math> i) <math>2x+10+2x+10=8x</math> j) <math>121x+11=0</math> k) <math>a+2x-7=a-5x</math> |- |align="left" border="1" colspan="3"|'''Equacions amb infinites solucions''': quan desapareix la '''x''' i queda una igualtat certa. :<math>3x+1=x+1+2x\,\,\,\,</math> <math>\Rightarrow 3x-x-2x=1-1\,\,\,\,</math> <math>\Rightarrow 0=0</math> |- |align="left" border="1" colspan="3"|'''Equacions sense cap solucions''': quan desapareix la '''x''' i queda una igualtat falsa. :<math>3x=x+2+2x\,\,\,\,</math> <math>\Rightarrow 3x-x-2x=2\,\,\,\,</math> <math>\Rightarrow 0=2</math> |- |align="left" border="1" colspan="3"|El '''mínim comú denominador''' unifica denominadors amb el mcm d'aquests. Altres alternatives acaben fent xifres molt grans. Volem resoldre: :<math>1+\frac{x}{2}-\frac{x}{3}+2x=\frac{3}{4}+x\,\,\,\,</math> el mcm(2,3,4)=12. :<math>\frac{12\cdot 1+6\cdot x-4\cdot x+12\cdot 2x}{12}=\frac{3\cdot 3+12x}{12}</math> Simplifiquem el 12 dels denominadors i agrupem tot. :<math>12+6x-4x+24x=9+12x\,\,\,\,</math> <math>\Rightarrow 6x-4x+24x-12x=9-12\,\,\,\,</math> <math>\Rightarrow 14x=-3\,\,\,\,</math> <math>\Rightarrow x=-\frac{3}{14}</math> |- |style="width:33.3%" align="left" valign="top"|'''Exercicis nivell 1''' a) <math>\frac{2x}{5}=\frac{3}{2}</math> b) <math>\frac{1-x}{2}=\frac{1}{3}</math> c) <math>\frac{2}{-3}=\frac{3x}{2}</math> d) <math>\frac{3}{10}=x\frac{6}{5}</math> e) <math>\frac{x}{2}+\frac{3}{5}=0</math> f) <math>\frac{5}{3}-\frac{x}{7}=0</math> g) <math>\frac{x-1}{2}+\frac{2}{3}=0</math> h) <math>\frac{3}{2}-\frac{x-1}{5}=0</math> |style="width:33.3%" align="left" valign="top"|'''Exercicis nivell 1''' |align="left" valign="top"|'''Exercicis nivell 1''' |} [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] 047rr7ulsavoaknstocccxpff3hc9sp 0 50151 373561 367708 2025-06-21T01:52:26Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373561 wikitext text/x-wiki Recull de funcions a trossos que s'anirà omplint poc a poc. En principi agruparem pel nombre de trossos i dins d'aquest pel tipus de funcions. == Funció a trossos == === Funció de dos trossos === === Funció de tres trossos === ==== Funcions afins ==== 1) <math>f(x)=\begin{cases} 1 & \text{ si } x<-1 \\ 0 & \text{ si } -1\leq x<0\\ -1 & \text{ si } 0\leq x \end{cases}</math> 2) <math>f(x)=\begin{cases} 0 & \text{ si } x<0 \\ 1 & \text{ si } 0\leq x\leq 3\\ x & \text{ si } 3<x \end{cases}</math> 3) <math>f(x)=\begin{cases} 1 & \text{ si } x<-2 \\ 2 & \text{ si } -2\leq x<-1\\ 3 & \text{ si } -1\leq x<0\\ 4 & \text{ si } 0\leq x<1\\ 5 & \text{ si } 1\leq x \end{cases}</math> 4) <math>f(x)=\begin{cases} 1 & \text{ si } x<-2 \\ x-2 & \text{ si } -2\leq x<-1\\ 0 & \text{ si } -1\leq x\leq 0\\ 3-x & \text{ si } 0 <x<1\\ -3 & \text{ si } 1\leq x \end{cases}</math> {| |5) <math>f(x)=\begin{cases} 1 & \text{ si } x<-2 \\ x & \text{ si } -2\leq x<-1\\ -x & \text{ si } -1\leq x<0\\ x+1 & \text{ si } 0\leq x\leq1\\ 2x-1 & \text{ si } 1<x\leq 2\\ -2 & \text{ si} 2< x \end{cases}</math> |<syntaxhighlight lang="latex">f(x)=\begin{cases} 1 & \text{ if } x<-2 \\ x & \text{ if } -2\leq x<-1\\ -x & \text{ if } -1\leq x<0\\ x+1 & \text{ if } 0\leq x\leq 1\\ 2x-1 & \text{ if } 1<x\leq 2\\ -2 & \text{ if } 2< x \end{cases} </syntaxhighlight> |} ==== Funcions quadràtiques ==== 1) <math>f(x)=\begin{cases} (1-x)^2 & \text{ si } x<1 \\ x & \text{ si } 1\leq x< 2\\ \dfrac{x^2}{4} & \text{ si } 2\leq x \end{cases}</math> 2) <math>f(x)=\begin{cases} -x^2 & \text{ si } x<-1 \\ -x & \text{ si } -1\leq x< 1\\ \dfrac{x^2}{2} & \text{ si } 1\leq x \end{cases}</math> ==== Funcions hiperbòliques ==== ==== Qualsevol funció ==== === Funció de quatre trossos o més === ==== Funcions quadràtiques ==== 1) <math>f(x)=\begin{cases} 2 & \text{ si } x<-1 \\ x^2-2 & \text{ si } -1\leq x\leq 0\\ -x^2+2 & \text{ si } 0< x\leq 2\\ x & \text{ si } 3<x \end{cases}</math> 2) <math>f(x)=\begin{cases} -1 & \text{ si } x<-1 \\ -x^2 & \text{ si } -1\leq x\leq 0\\ 2 & \text{ si } 0< x\leq 1\\ x^2 & \text{ si } 1< x\leq 2\\ x & \text{ si } 2<x \end{cases}</math> == Notes == == Referències == [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] h4hgbwpoynsvekxfzabae9abpn19ljq 0 51070 373500 361079 2025-06-21T01:41:42Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373500 wikitext text/x-wiki == Introducció == Orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes següents d'inequacions a programació, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització. Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria. === Equacions per tipus === ==== Equacions lineals ==== ==== Equacions racionals ==== ==== Equacions irracionals ==== Les equacions irracionals són les que tenen la incògnita x dins l'arrel, al radicand. :<math>\sqrt{x+1}=x</math> Exemples a estudiar: 1) <math>\sqrt{x^2+1}=2x</math> ;Resolució i comprovació: :<math>\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=(2x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x^2+1=2^2x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=4x^2-x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=3x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{1}{3}=x^2\;</math> ::<math>x_1=\frac{1}{ \sqrt{3} }=\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> sí és correcte. ::<math>x_2=-\frac{1}{ \sqrt{3} }=-\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu. 2) <math>\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1 </math> ;Resolució i comprovació: :<math>\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}\right)^2=(-1)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x-1}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}^2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}=x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}^2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;(x-1)(x+2)=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x^2+x-2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}\;</math> <math>\Rightarrow\;x-2=0\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> ::<math>\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1 ?\;</math> <math>\Rightarrow\;1-2=-1\;</math> <math>\Rightarrow\;-1=-1\;</math> sí és correcte. 3) <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8} </math> ;Resolució i comprovació: :<math>\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2=\sqrt{x+8}^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x^2+3x}=5-x\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)^2=(5-x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;2^2\sqrt{x^2+3x}^2=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(x^2+3x)=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x-25+10x-x^2=0\;</math> <math>\Rightarrow \;3x^2+22x-25=0\;</math> ::<math>x_1=1\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?\;</math> <math>\Rightarrow \;1+2=3\;</math> <math>\Rightarrow \;3=3\;</math> sí és correcte. ::<math>x_2=-\frac{25}{3}\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?\;</math> no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu. 4) <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}</math> ;Resolució i comprovació: :<math>\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\;\right)^2=\sqrt{2x^2+1}^{\;2}\;</math> <math>\Rightarrow \;x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{1-x^2)}\right)^2=\left((2x^2-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4=4x^4+1\;</math> <math>\Rightarrow \;3=4x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{3}{4}=x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\pm\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x\;</math> En aquest cas fem la comprovació amb <math>x = \pm 0,930\,605</math> i surt: ::<math>x_1 = 0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. ::<math>x_2 = -0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. ==== Equacions logarítmiques ==== ==== Equacions exponencials ==== [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 6iqnpkr0ohcm3tqzhpeb6nmpd1mdyri 0 51157 373541 370272 2025-06-21T01:50:30Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373541 wikitext text/x-wiki {|align="right" style="border: 1px solid #66f;" bgcolor="#f8f8ff" cellpadding="3" cellspacing="0" |colspan="2" style="border: 1px solid #66f;"|'''Operacions''': <math>\color{red}<\color{black}, >,\leqslant i \geqslant</math> |- |style="border: 1px solid #66f;"|<math>\begin{array}{rcl} a+b&<&c\\ b&<&c-a \end{array}</math> |style="border: 1px solid #66f;"|<math>\begin{array}{rcl} -a+b&<&c\\ b&<&c+a \end{array}</math> |- |style="border: 1px solid #66f;"|Si <math>a>0</math> <math>\begin{array}{rcl} a\cdot b&<&c\\ b&<&\cfrac{c}{a} \end{array}</math> |style="border: 1px solid #66f;"|Si <math>a>0</math> <math>\begin{array}{rcl} \cfrac{b}{a}&<&c\\ b&<&c\cdot a \end{array}</math> |- |style="border: 2px solid #f00;" bgcolor="#fed"|Si <math>a<0</math> <math>\begin{array}{rcl} a\cdot b&<&c\\ b&>&\cfrac{c}{a} \end{array}</math> |style="border: 2px solid #f00;" bgcolor="#fed"|Si <math>a<0</math> <math>\begin{array}{rcl} \cfrac{b}{a}&<&c\\ b&>&c\cdot a \end{array}</math> |} Secció per treballar les inequacions fraccionàries a la vegada que la representació sobre la recta real i la seva extensió a dos variables. S'utilitzen taules de signes per fer l'esquema gràfic, només com a procediment pedagògic per avaluar ja que s'ha de preveure el funcionament i comportament dels signes. Fora d'aquesta secció i amb la seva experiència es pot simplificar tant com es vulgui o directament fer l'esquema de representació inclús amb altres tipus d'inequacions. Per netedat de llenguatge algebraic ens referirem als punts com <math>(x,y)</math> per tant aquestes lletres, x i y, només seran incògnites. Per referir-nos funcions en general utilitzarem <math>f(x), g(x), h(x)\dots\,.</math> = Introducció = Hi ha 4 possibles exemples d'inequacions amb diverses funcions <math>f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}</math> que s'ha de comparar amb rigor. En cas d'una inequació amb dos incògnites assegureu-vos que la incògnita '''y''' estigui ben aïllada. {|style="border: 1px solid #aaf;" bgcolor="#fff" cellpadding="3" cellspacing="0" |- |style="border: 1px solid #66f;"|1) <math>y<f(x)</math> [[File:Inequality v001.svg|300px]] |style="border: 1px solid #66f;"|2) <math>y>f(x)</math> [[File:Inequality v002.svg|300px]] |- |style="border: 1px solid #66f;"|3) <math>y\leqslant f(x)</math> [[File:Inequality v003.svg|300px]] |style="border: 1px solid #66f;"|4) <math>y\geqslant f(x)</math> [[File:Inequality v004.svg|300px]] |} == Exemples == === Inequacions lineals === Les inequacions lineals són del tipus <math>y< mx+n</math> i els seus zeros o arrels són <math>mx+n=0</math> <math>\Rightarrow x=-\frac{n}{m}.</math> :[[File:Inequality base1.svg|300px]] Aquestes inequacions divideixen el pla coordenat en dues parts anomenats semiplans. Per més detall es pot llegir [[Inequacions lineals amb dues incògnites IV|Inequacions lineals]]. ==== Amb dos incògnites ==== {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Execució" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) Donat <math>y<3x+2,</math> es farà la '''taula de signes''' i després l''''esquema de representació''' per esbrinar la regió que descriu. |- |bgcolor="#fff"| ;Taula de signes: *Busquem el zero de <math>3x+2,</math> és a dir <math>3x+2=0</math> <math>\Rightarrow x=-\tfrac{2}{3}</math> llavors situem aquest valor a sobre la taula per tenir-lo present. *Els signes desconeguts es calculen fent assaig amb valors hipotètics: ::Més petit que <math>-\tfrac{2}{3}</math> com el -2, i calculant surt 3(-2)+2=-4 és negatiu. ::Més grans que <math>-\tfrac{2}{3}</math> com el 0, i calculant surt 3(0)+2=2 és positiu. {|style="border: 0px solid #aaf;" cellpadding="3" cellspacing="0" |Zeros | | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>-\tfrac{2}{3}</math> |- |<math>-\tfrac{2}{3}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>3x+2</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center" width="100px"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center" width="100px"|+ |} ;Esquema de representació: [[File:Inequality base2.svg]] |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Execució" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) Donat <math>y\geqslant 5x-\sqrt{2},</math> es farà la '''taula de signes''' i després l''''esquema de representació''' per esbrinar la regió que descriu. |- |bgcolor="#fff"| ;Taula de signes: *Busquem el zero de <math>5x-\sqrt{2},</math> és a dir <math>5x-\sqrt{2}=0</math> <math>\Rightarrow x=\tfrac{\sqrt{2}}{5}</math> llavors situem aquest valor a sobre la taula per tenir-lo present. {|style="border: 0px solid #aaf;" cellpadding="3" cellspacing="0" |Zeros | | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{\sqrt{2}}{5}</math> |- |<math>\tfrac{\sqrt{2}}{5}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>5x-\sqrt{2}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center" width="100px"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center" width="100px"|+ |} ;Esquema de representació: |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Execució" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) Donat <math>y\geqslant 1-x,</math> es farà la '''taula de signes''' i després l''''esquema de representació''' per esbrinar la regió que descriu. |- |bgcolor="#fff"| ;Taula de signes: *Busquem el zero de <math>1-x,</math> és a dir <math>1-x=0</math> <math>\Rightarrow x=1</math> llavors situem aquest valor a sobre la taula per tenir-lo present. {|style="border: 0px solid #aaf;" cellpadding="3" cellspacing="0" |Zeros | | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>1</math> |- |<math>1</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>1-x</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center" width="100px"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center" width="100px"|- |} ;Esquema de representació: |} ==== Amb una incògnita ==== {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) S'ha de trobar el valor d''''x''' que compleix l'inequació :<math>\frac{x+1}{3}-\frac{2-x}{5}>2x-1</math> |- |bgcolor="#fff"|Per simplificar denominadors, o bé multipliquem pel mcm(3,5)=15 o bé equivalentment fem denominador comú mcm(3,5) tot seguit operem, fem la propietat distributiva i agrupem termes semblants: :<math>\color{ForestGreen}15\color{black}\,\frac{x+1}{3}-\color{ForestGreen}15\color{black}\,\frac{2-x}{5}>\color{ForestGreen}15\color{black}\,\cdot 2x-\color{ForestGreen}15\color{black}\,\cdot 1</math> <math>\Rightarrow\,\,\,5(x+1)-3(2-x)>30x-15</math> <math>\Rightarrow\,\,\,5x+5-6+3x>30x-15</math> <math>\Rightarrow\,\,\,5x+3x-30x>-15-5+6</math> <math>\Rightarrow\,\,\,-22x>-14</math> <math>\Rightarrow\,\,\,x<+\tfrac{14}{22}</math> <math>\Rightarrow\,\,\,x<\tfrac{7}{11}</math> ;Interval o semirecta: <math>\Rightarrow\,\,\,x\in\left(-\infty,\tfrac{7}{11}\right)</math> ;Gràfic: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" | |align="center"|<math>\tfrac{7}{11}</math> |- |<math>-\infty</math> |[[File:SemiRectaB.svg|160px]] |} |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) S'ha de trobar el valor d''''x''' que compleix l'inequació :<math>x+1-\frac{2x-3}{2}>\frac{3x+2}{3}</math> |- |bgcolor="#fff"|mcm(2,3)=6 <math>\color{ForestGreen}6\color{black}\,x+\color{ForestGreen}6\color{black}\,\cdot1-\color{ForestGreen}6\color{black}\,\frac{2x-3}{2}>\color{ForestGreen}6\color{black}\,\frac{3x+2}{3}</math> <math>\Rightarrow\,\,\,6x+6-3(2x-3)>2(3x+2)</math> <math>\Rightarrow\,\,\,6x+6-6x+9>6x+4</math> <math>\Rightarrow\,\,\,6x-6x-6x>4-6-9</math> <math>\Rightarrow\,\,\,-6x>-11</math> <math>\Rightarrow\,\,\,x<\tfrac{11}{6}</math> ;Interval o semirecta: <math>\Rightarrow\,\,\,x\in\left(-\infty,\tfrac{11}{6}\right)</math> ;Gràfic: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" | |align="center"|<math>\tfrac{11}{6}</math> |- |<math>-\infty</math> |[[File:SemiRectaB.svg|160px]] |} |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) S'ha de trobar el valor d''''x''' que compleix l'inequació :<math>\frac{1}{18}+x+\frac{2x+1}{6}\geqslant 1-\frac{2x-7}{9}-2x</math> |- |bgcolor="#fff"|mcm(18,6,9)=18 <math>\color{ForestGreen}18\color{black}\,\frac{1}{18}+\color{ForestGreen}18\color{black}\,x+\color{ForestGreen}18\color{black}\,\frac{2x+1}{6}\geqslant\color{ForestGreen}18\color{black}\,\cdot 1-\color{ForestGreen}18\color{black}\,\frac{2x-7}{9}-\color{ForestGreen}18\color{black}\,\cdot2x</math> <math>\Rightarrow\,\,\,1+18x+3(2x+1)\geqslant 18-2(2x-7)-36x</math> <math>\Rightarrow\,\,\,1+18x+6x+3\geqslant 18-4x+14-36x</math> <math>\Rightarrow\,\,\,18x+4x+6x+36x\geqslant 18+14-1-3</math> <math>\Rightarrow\,\,\,64x\geqslant 28</math> <math>\Rightarrow\,\,\,x\geqslant \tfrac{28}{64}</math> <math>\Rightarrow\,\,\,x\geqslant \tfrac{7}{16}</math> ;Interval o semirecta: <math>\Rightarrow\,\,\,x\in\Big[\tfrac{7}{16},+\infty\Big)</math> ;Gràfic: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" |align="center"|<math>\tfrac{7}{16}</math> |- |[[File:SemiRectaAC.svg|160px]] |<math>+\infty</math> |} |} === Inequacions fraccionaries === Aquí es presenten les inequacions no lineals procedents de polinomis. ==== Amb dos incògnites ==== Es poden comprendre a partir de l'ampliació didàctica dels exemples amb una sola incògnita. ==== Amb una incògnita ==== {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |valign="top"|1) Troba els valors de x que compleixin la inequació <math>0\geqslant\frac{(1-x)x(x+2)(-2)}{(x-2)(x+1)(3-x)}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" colspan="2"|'''Resolució''': 1r) Es fa la taula de signes de la fracció algebraica <math>f(x)=\frac{(1-x)x(x+2)(-2)}{(x-2)(x+1)(3-x)}</math> {|style="border: 0px solid #aaf;" cellpadding="3" cellspacing="0" align="center" |Zeros | | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|-2 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|-1 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|1 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|2 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|3 |- |1 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>1-x</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |- |0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>x</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | -2 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>x+2</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>-2</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |- |2 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x-2}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | -1 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x+1}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- |3 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{3-x}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |- | |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>f(x)</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |} 2n) Es fa l'esquema de representació pintant <math>y \geqslant f(x)</math>, pas didàctic. :[[File:Inecuación v003.svg|600px]] 3r) S'encercla només la part on '''y = 0''' del que hem pintat, que està sobre l'eix '''x''' i escrivim la seva notació. :<math>x\in(-\infty,-2]\cup (-1, 0]\cup [1,2)\cup (3,+\infty)</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |valign="top"|2) Troba els valors de x que satisfan <math>0\geqslant\frac{x^2-1}{x(x^2-4)}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" colspan="2"|'''Resolució''': ;Taula: Recordeu que hem de considerar la fracció com a producte dels seus elements lineals ::<math>f(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)(x-2)}=(x+1)\cdot(x-1)\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x+2}\cdot\frac{1}{x-2}</math> {|style="border: 0px solid #aaf;" cellpadding="3" cellspacing="0" align="center" |Zeros | | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|-2 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|-1 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|1 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|2 |- | -1 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>x+1</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- |1 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>x-1</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- |0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | -2 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x+2}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- |2 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x-2}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>f(x)</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |} ;Esquema de representació, pintant <math>y\geqslant f(x)</math>: :[[File:Inecuación v001.svg|600px]] ;Valors que pot prendre la x per aquesta inequació, '''y=0''': Per deduir la x s'ha de mirar si l'eix x i veure si està pintat. :<math>x\in(-\infty,-2)\cup [-1, 0)\cup [1,2)</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |valign="top"|3) Troba els valors de x tals que <math>0\leqslant\frac{x^2-2x}{x^2-2x+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" colspan="2"|'''Resolució''': Es factoritza els polinomis de grau major que 1, si es pot, en aquest cas sí: ::<math>0\leqslant\frac{x(x-2)}{(x-1)(x-1)}</math> ;Taula {|style="border: 0px solid #aaf;" cellpadding="3" cellspacing="0" align="center" |Zeros | | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|1 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|2 |- |0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>x</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- |2 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>x-2</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- |1 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x-1}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- |1 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x-1}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>f(x)</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |} ;Esquema de representació, <math>y\leqslant f(x)</math>: :[[File:Inecuación v002.svg|400px]] ;Valors que pot prendre la x per aquesta inequació: Per deduir els valors de x s'ha de mirar si l'eix x està pintat. :<math>x\in(-\infty,0]\cup [2, +\infty)</math> ;Observació: Si la mateixa inequació fos <math>0\geqslant f(x)</math> llavors <math>x\in [0,1)\cup (1,2]</math> |} ==== Exercicis ==== 1) Pinta la regió canviant el zero per una '''y''' i troba els valors de x a cada cas: :a) <math>0\leqslant\frac{(2x+1)(1-x)}{(x+1)(2x-1)}</math> :b) <math>0\geqslant\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(3-x)}</math> :c) <math>0<\frac{-3(x+1)(x+1)(x-1)}{(x+2)(1-3x)}</math> :d) <math>0>\frac{(2-x)(1-x)}{-x(x+1)(x+1)}</math> :e) <math>0\geqslant\frac{(x+1)(-x)}{-6(x+1)(3-x)}</math> :f) <math>0>(2-x)(1-x)(1-x)(x+1)(x+2)</math> :g) <math>0\leqslant\frac{-1}{(x+1)(1-x)(2x-1)(2x-3)}</math> [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] thp588q9uwkbgyt1mrketd3grp58l2o 0 52425 373529 371014 2025-06-21T01:49:36Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373529 wikitext text/x-wiki [[File:Diophantus-cover-Fermat.jpg|thumb|150px|L'''Aritmètica'' de Diofant introdueix el simbolisme algebraic per resoldre equacions pel segle III&nbsp;a.C.]] Secció destinada a continuar les equacions de primer grau i segon grau, aprofundint el mètode de Ruffini. S'integrarà sistemes de representació com a mètode de valoració polinòmica, comprovació i supervisió com a connexió entre conceptes. L'ordre històric va ser diferent perquè succeeix de forma abstracta, a vegades casual i aplicat a successos molt concrets. Es deixen algunes dades històriques per mostrar la lentitud amb que es fan els avenços, sobretot quan es fan estudis partint de zero. S'ha procurat un llenguatge de baix nivell amb redundàncies desitjades per fer èmfasi en certes característiques i interpretacions. == Equacions de primer grau == {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Amaga" |- |Les '''equacions de primer grau''' són equacions que un cop simplificades són del tipus <math>ax+b=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero i, és a dir, es un polinomi de grau 1 igualat a zero, amb una resolució trivial: :<math>ax+b=0</math> <math>\Leftrightarrow ax=-b</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-b}{a}</math> Per tant es pot dir que sempre té solució i és única. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Exemples amb resolució:''' 1) <math>3x+9=0</math> <math>\Leftrightarrow 3x=-9</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-9}{3}</math> <math>\Leftrightarrow x=-3.</math> 2) <math>3 + 2x-1=-5+x+4</math> <math>\Leftrightarrow x+3=0</math> <math>\Leftrightarrow x=-3.</math> |} == Equacions lineals == {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Amaga" |Les [[Exercicis d'equacions lineals IV|'''equacions lineals''']] sobre 2 incògnites d'on poden sortir '''les funcions afins''', són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax+by=c</math> on almenys '''a''' o '''b''' siguin diferents de zero i com a funció afí poden ser del tipus <math>y=dx+e</math> sempre que el valors de '''b''' no sigui zero, <math>b\ne 0,</math> en cas contrari és una recta vertical. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Les solucions d'aquest tipus d'equacions és una relació entre '''x''' i '''y''', i això es pot representar al pla cartesià.[[File:GráficaEjercicio.svg|right|200px]] Representació de les equacions a) <math>x+y=0.</math> b) <math>4x+7y=5</math> c) <math>x-y=2</math> d) <math>3x=2y</math> e) <math>x=2</math> f) <math>3x+y=0</math> g) <math>y=-1</math> |} |width="205px" rowspan="2"|[[File:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|200px|thumb|'''René Descartes''' va introduir la geometria analítica per l'any 1630&nbsp;d.C.]] |- | ;Exercicis per representar 1) Els clavells costen 2&nbsp;€ la unitat, les roses 3&nbsp;€ la unitat i jo tinc 35&nbsp;€. :a) Quantes possibles combinacions tinc si vull gastar tot el que tinc? Representa'l. :b) Puc gastar tot en clavells? :c) Puc gastar tot en roses? 2) Els cargols d'un cert tipus es venen en capses de 5 unitats, les platines que es volen comprar es venen en capses de 12 unitats. :Quantes possibles compres tinc si es vol comprar 20 capses independentment del contingut? Representa'l. |} == Equacions de segon grau == {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple resolt" data-collapsetext="Amaga" |- |Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^2+bx+c=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| S'ha de recordar que les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: :<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> i <math>x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> Això és degut al signe de <math>\pm</math> que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. '''Exemple i resolució:''' :<math>x^2+5x-6=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\ x_2=-6. \end{cases}</math> |} |width="205px" rowspan="2"|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura per l'any 820&nbsp;d.C.]] |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Amaga" | ;Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització. ;Observació sobre el discriminant <math>\Delta=b^2-4ac</math>: Què passa si el discriminant fos positiu: <math>\pm\sqrt{\Delta}?</math> * Té 2 solucions diferents. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos zero: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?</math> * Té una solució. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)^2</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos negatiu: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?</math> * No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. * El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. * El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''. Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''? * Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. :* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. * Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. :* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. : El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles: :* Mentre més gran és, puja més la paràbola. :* Mentre més petit és, baixa més la paràbola. |} |} == Equacions polinòmiques == Per resoldre equacions polinòmiques es pot fer servir [[Factorització_de_polinomis_IV|'''Ruffini''']], no és un mètode útil per resoldre equacions però es donen equacions arreglades per ser resoltes amb facilitat. Teniu exercicis de resolució d'equacions amb Ruffini [[Factorització_de_polinomis_IV#Exercicis|al tema de Ruffini 1 i 2.]] Només cal entendre que resoldre una equació és factoritzar-la i dir quins són els valors pels quals la factorització és zero. Exercicis: 1) Resol fent Ruffini successivament. :a) <math>x^3+5x^2-13x+7=0</math> :b) <math>x^5+3x^4+2x^3-2x^2-3x-1=0</math> :c) <math>x^3-2x^2-9x+18=0</math> :d) <math>x^3-19x+30=0</math> :e) <math>x^3-9x^2+27x-27=0</math> :f) <math>x^3-14x^2+49x-36=0</math> :g) <math>x^2+x-1=0</math> Solucions:a) 1 i -7, b) 1 i -1, c)3, -3 i 2, d)3, 2 i -5, e)3, f)1, 9 i 4 g)<math>\frac{-1-\sqrt{5}}{2}</math> i <math>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}</math> == Equacions biquadràtiques == {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i exemple resolt" data-collapsetext="Amaga" |- |Les '''equacions biquadràtiques''' són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^4+bx^2+c=0.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolucions equivalents''' '''1a''' resolució utilitzant canvi de variable: <math>z=x^2</math> d'on <math>z^2=x^4</math> i per tant l'equació biquadràtica es converteix en <math>az^2+bz+c=0</math> que és una equació de segon grau i per tant té les solucions: :<math>z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.</math> d'on hem de resoldre <math>z=x^2</math> que dona <math>x=\pm\sqrt{z}</math> '''2a''' resolució utilitzant la solució genèrica: <math>x=\pm_1\sqrt{\frac{-b\pm_2\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}</math> ;Exemple de cada resolució: '''1a''' resolució de l'equació amb el canvi <math>z=x^2</math> i <math>z^2=x^4</math> de <math>x^4-5x^2+4=0</math> <math>\Leftrightarrow z^2-5z+4=0</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}z_1=1 \\ z_2=4 \end{cases}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases} x_1=\;\;\;1 \\ x_2=-1\\ x_3=\;\;\;2\\ x_4=-2. \end{cases}</math> '''2a''' resolució de l'equació <math>x^4-5x^2+4=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\pm_1\sqrt{\frac{5\pm_2\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}}</math> <math>\Leftrightarrow x=\pm_1\sqrt{\frac{5\pm_23}{2}}\Rightarrow\begin{cases} \pm\sqrt{1} \Rightarrow\begin{cases} \;\;\;1\\ -1\end{cases} \\ \pm\sqrt{4} \Rightarrow\begin{cases} \;\;\;2\\ -2 \end{cases} \end{cases}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases} x_1=\;\;\;1 \\ x_2=-1\\ x_3=\;\;\;2\\ x_4=-2. \end{cases}</math> |} == Equacions en general == Una equació estableix un lligam entre dues expressions algèbriques: :<math>f(x)=g(x)</math> Aquestes expressions <math>f(x)</math> i <math>g(x)</math> poden ser de molts tipus, des de polinomis fins a funcions arbitràries. En aquesta secció veurem una part molt petita de la infinitat que existeixen. Quan imposem la equació el que realment estem fent és veure per quins valors de '''x''' coincideixen, en aquest cas s'observen dos punts un anomenat <math>x_1</math> i un altre anomenat <math>x_2</math> [[File:Ecuación v001.svg|center]] '''Teatralització''': Imaginem que la funció f(x) només vol els valors blaus i la funció g(x) només vol els valors vermells. En quin llocs les funcions f(x) i g(x) es posen d'acord ? === Equacions amb fraccions algèbriques === Exercicis d'equacions racionals per practicar la seva resolució i el seu estudi. Exercicis amb fraccions algèbriques factoritzades: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |1) <math>2x=-\frac{1}{x+1}+2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució :<math>\frac{2x\cdot (x+1)}{x+1}=-\frac{1}{x+1}+\frac{2\cdot (x+1)}{x+1}</math> :<math>2x\cdot (x+1)=-1+2\cdot (x+1)</math> i <math>x\ne -1</math> :<math>2x^2+2x=-1+2x+2</math> <math>\Leftrightarrow 2x^2=1</math> <math>\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{2}</math> <math>\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}</math> <math>\Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |2) <math>x+\frac{2}{x-2}=-\frac{x}{x-2}-2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució :<math>\frac{x\cdot (x-2)}{x-2}+\frac{2}{x-2}=-\frac{x}{x-2}-\frac{2\cdot (x-2)}{x-2}</math> :<math>x\cdot (x-2)+2=-x-2\cdot (x-2)</math> i <math>x\ne 2</math> :<math>x^2-2x+2=-x-2x+4</math> <math>\Leftrightarrow x^2+x-2=0</math> <math>\Rightarrow x_1=1, x_2=-2</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |3) <math>x^2-\frac{5x^2}{x+1}=\frac{5x}{x+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució :<math>\frac{x^2\cdot (x+1)}{x+1}-\frac{5x^2}{x+1}=\frac{5x}{x+1}</math> :<math>x^2\cdot (x+1)-5x^2=5x</math> i <math>x\ne -1</math> :<math>x^3+x^2-5x^2=5x</math> <math>\Leftrightarrow x^3-4x^2-5x=0</math> <math>\Leftrightarrow x(x^2-4x-5)=0</math> <math>\Rightarrow x_1=0, x_2=5, x_3=\cancel{-1}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució explicada" data-collapsetext="Amaga" |- |4) <math>\frac{x^2}{x+2}=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{(x+3)(x+2)}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Per obtenir un denominador comú primer hem de fer el mínim comú múltiple <math>mcm(\;(x+2)\;,\;(x+3)\;,\;(x+3)(x+2)\;),</math> com que els únics factors són <math>(x+3)</math> i <math>(x+2)</math> llavors només cal agafar el producte de tots dos i ja és el mcm perquè només hi ha potència 1. *<math>mcm=(x+2)(x+3)</math> que és el mínim comú denominador i ara només cal ajustar el numerador: :<math>\frac{(x+3)x^2}{(x+3)(x+2)}=\frac{1\cdot (x+2)}{(x+3)(x+2)}+\frac{1}{(x+3)(x+2)}</math> {|bgcolor="#dfd" |[[File:Achtung.png|50px]] |Ara hem de simplificar denominadors d'una equació i cal apuntar-se els valors de '''x''' on és zero aquest denominador, és a dir <math>(x+3)(x+2)=0,</math> que té els zeros '''x=-3''' i '''x=-2''' que són valors '''prohibits com a solució''' a la equació original. |} :<math>(x+3)x^2=1\cdot (x+2)+1</math> <math>\Leftrightarrow x^3+3x^2=x+2+1</math> <math>\Leftrightarrow x^3+3x^2-x-3=0</math> on Ruffini diu que és el mateix que (x+3)(x+1)(x-1)=0 i que té solució -3, -1 i 1 però ja hem dit que el -3 estava prohibit, per tant la '''solució són els valors <math>x_1 = -1</math> i <math>x_2 = 1</math>'''. {|width="100%" | {|bgcolor="#dfd" |Es necessari sempre provar novament les solucions per si sobra alguna solució. |} |align="right"| <math>\Box</math> |} '''Comprovació amb eines tecnològiques''' Amb el [https://www.geogebra.org/calculator|'''GeoGebra'''] podeu representar cada extrem de la equació com a dues funcions diferents: *<math>f(x)=\frac{x^2}{x+2}</math> *<math>g(x)=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{(x+3)(x+2)}</math> Un cop dibuixades només heu de mirar només la coordenada '''x''' dels punts on es toquen les dues funcions i observareu que només es troben als dos punts <math>x_1 = -1</math> i <math>x_2 = 1</math>. |} 5) <math>\frac{x^2}{x+1}-\frac{1}{x+1}+1=\frac{4}{x-3}</math> 6) <math>\frac{x^3}{x+10}+\frac{9}{(x+1)(x+10)}=\frac{x^2}{x+1}</math> Equacions amb fraccions algèbriques sense factoritzar: a) <math>\frac{x}{x+1}=\frac{20}{x^2-1}</math> b) <math>\frac{x^3-3x-2}{x^3+3x^2-4}=0</math> c) <math>\frac{x^3}{x^3+3x^2+2x}=\frac{4}{x+1}+\frac{1-4x}{x^2+3x+2}</math> ==== Representació de fraccions algèbriques ==== Secció per representar les fraccions algèbriques especialment per trobar zeros d'aquestes. A partir de qualsevol equació de les anteriors es pot obtenir fàcilment fraccions del tipus: :<math>\frac{P(x)}{Q(x)}=0</math> Agrupant tots els termes a un cantó de la igualtat, ajuntar-los en una sola fracció i reduir el resultat. Mai enviar a dividir gratuïtament expressions perquè surt car. Ara busquem quan és '''zero, positiva o negativa''' aquestes fraccions algèbriques com a funcions sense importar el valor concret, per tant donem els quatre exemples principals en el que es basa tot i algunes curiositats: ;Exemples: {|cellspacing="0" cellpadding="3" |valign="top"|1) <math>f(x)=(x+1)</math> '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf"|-1|| |- |style="border: 1px solid #000"|x+1 |style="border: 1px solid #000"|- - - - - - |style="border: 1px solid #000" align="center"|0 |style="border: 1px solid #000"|++++++ |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos001.svg|170px]] |valign="top"|2) <math>f(x)=(2-x)</math> '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf"|2|| |- |style="border: 1px solid #000"|2-x |style="border: 1px solid #000"|++++++ |style="border: 1px solid #000" align="center"|0 |style="border: 1px solid #000"|- - - - - - |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos002.svg|170px]] |valign="top"|3) <math>f(x)=\frac{1}{(1-x)}</math> '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf" align="center"|1|| |- |style="border: 1px solid #000"|<math>\tfrac{1}{1-x}</math> |style="border: 1px solid #000"|++++++ |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000"|- - - - - - |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos003.svg|170px]] |valign="top"|4) <math>f(x)=\frac{1}{(x+2)}</math> '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf" align="center"|-2|| |- |style="border: 1px solid #000"|<math>\tfrac{1}{x+2}</math> |style="border: 1px solid #000"|- - - - - - |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000"|++++++ |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos004.svg|170px]] |- |valign="top"|5) <math>f(x)=(x+3)^n</math> amb <math>n\in\mathbb{N}</math> i parell '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf" align="center"|-3|| |- |style="border: 1px solid #000"|<math>(x+3)^n</math> |style="border: 1px solid #000"|++++++ |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000"|++++++ |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos005.svg|170px]] |valign="top"|6) <math>f(x)=(x+3)^n</math> amb <math>n\in\mathbb{N}</math> i imparell '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf" align="center"|-3|| |- |style="border: 1px solid #000"|<math>(x+3)^n</math> |style="border: 1px solid #000"|- - - - - - |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000"|++++++ |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos006.svg|170px]] |} === Equacions irracionals === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #bbf" width="340px"|'''Propietats''' |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Però" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)</math> <math>\Rightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> |- |Garantint que <math>x</math> són nombres reals on <math>g(x)\geqslant 0.</math> |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" |<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Rightarrow f(x)=\pm g(x).</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Però" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Però" data-collapsetext="Amaga" |<math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0.</math> En cas de que l'equació sigui <math>\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}</math> Llavors només cal prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>f(x)=0</math> i <math>g(x)=0.</math> Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" |<math>f(x)=g(x)</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)^2.</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Ja que" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=a-b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2</math> <math>=a-b</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Ja que" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |} |} Exercicis d'equacions irracionals per practicar la seva resolució i el seu estudi. 1)Exemples elementals: a) <math>x=\sqrt{x}</math> b) <math>x=\sqrt{x+1\;}\;+1</math> c) <math>\sqrt{x}=x^2</math> d) <math>\sqrt{2x}=4-x</math> 2)Exemples amb 2 arrels: a) <math>\sqrt{x}=\sqrt{2x-1}</math> b) <math>1+\sqrt{x}=\sqrt{2x-2}</math> c) <math>1=\sqrt{x}-\sqrt{5-x}</math> d) <math>\sqrt{5-x^2}=\sqrt{x^2-3}</math> e) <math>2\sqrt{5-x^2}=\sqrt{8-x^2}</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] crbdmwbpfjce1m6nul1vummnbks5lte 0 52756 373542 371148 2025-06-21T01:50:30Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373542 wikitext text/x-wiki Aquesta secció treballa les inequacions sense la part gràfica però que hom la pot incloure lliurement, sobretot al tractar inequacions no lineals. Les lleis que regeixen les resolucions de les inequacions són senzilles però cal fer molta atenció a no equivocar-se. == Introducció == {|align="right" style="border: 1px solid #66f;" bgcolor="#f8f8ff" cellpadding="3" cellspacing="0" |colspan="2" style="border: 1px solid #66f;"|'''Operacions''': <math>\color{red}<\color{black}, >,\leqslant i \geqslant</math> |- |style="border: 1px solid #66f;"|<math>\begin{array}{rcl} a+b&<&c\\ b&<&c-a \end{array}</math> |style="border: 1px solid #66f;"|<math>\begin{array}{rcl} -a+b&<&c\\ b&<&c+a \end{array}</math> |- |style="border: 1px solid #66f;"|Si <math>a>0</math> <math>\begin{array}{rcl} a\cdot b&<&c\\ b&<&\cfrac{c}{a} \end{array}</math> |style="border: 1px solid #66f;"|Si <math>a>0</math> <math>\begin{array}{rcl} \cfrac{b}{a}&<&c\\ b&<&c\cdot a \end{array}</math> |- |style="border: 2px solid #f00;" bgcolor="#fed"|Si <math>a<0</math> <math>\begin{array}{rcl} a\cdot b&<&c\\ b&>&\cfrac{c}{a} \end{array}</math> |style="border: 2px solid #f00;" bgcolor="#fed"|Si <math>a<0</math> <math>\begin{array}{rcl} \cfrac{b}{a}&<&c\\ b&>&c\cdot a \end{array}</math> |} Una inequació no és més que una relació entre dues expressions utilitzant les desigualtats que coneixem: ::<math> <, >,\leqslant i \geqslant</math> Treballem el requadre donat amb l'objectiu d'aïllar x, és a dir, deixar-la sola a un cantó de cada inequació. === Exemples === 0) Si tenim una inequació sempre podem '''copiar-la''' al revés sense sense tocar res de dins de les expressions: {|cellspacing="3" cellpadding="3" |valign="top"|a) |valign="top" width="70px"|<math>1\leqslant x</math> <math>x\geqslant 1</math> |valign="top"|b) |valign="top" width="70px"|<math>y\geqslant -2</math> <math>-2\leqslant y</math> |valign="top"|c) |valign="top" width="70px"|<math>a<b</math> <math>b>a</math> |valign="top"|d) |valign="top" width="70px"|<math>t>s</math> <math>s<t</math> |} 1) Sempre podem passar les expressions que sumen globalment a l'altre cantó restant globalment, i igualment el que està restant canvia de cantó sumant: {|cellspacing="3" cellpadding="3" |valign="top"|a) |valign="top" width="130px"|<math>3+x<4</math> <math>\;\;\;\;\;\;x<-3+4</math> <math>\;\;\;\;\;\;x<1.</math> |valign="top"|b) |valign="top" width="130px"|<math>x+5<2</math> <math>\;\;\;\;\;\;x<2-5</math> <math>\;\;\;\;\;\;x<-3.</math> |valign="top"|c) |valign="top" width="130px"|<math>-2+x<0</math> <math>\;\;\;\;\;\;\;\;x<+2+0</math> <math>\;\;\;\;\;\;\;\;x<2.</math> |valign="top"|d) |valign="top" width="130px"|<math>x-4<-5</math> <math>\;\;\;\;\;\;x<-5+4</math> <math>\;\;\;\;\;\;x<-1.</math> |} 2) Atenció! si tenim una expressió multiplicant o dividint globalment, per moure-la hem de saber si és positiva, zero o negativa de segur ja que es produeixen canvis. {|cellspacing="3" cellpadding="3" |a) Si és positiva llavors el moviment es igual que a les equacions: |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" |valign="top"|i) |valign="top" width="100px"|<math>2\cdot x<8</math> <math>\;\;\;\;\;x<\tfrac{8}{2}</math> <math>\;\;\;\;\;x<4</math> |valign="top"|ii) |valign="top" width="100px"|<math>x\cdot 3<-6</math> <math>\;\;\;\;\;x<\tfrac{-6}{3}</math> <math>\;\;\;\;\;x<-2</math> |valign="top"|iii) |valign="top" width="100px"|<math>\tfrac{x}{3}<5</math> <math>x<5\cdot 3</math> <math>x<15</math> |valign="top"|iv) |valign="top" width="100px"|<math>\tfrac{x}{2}<-2</math> <math>x<-2\cdot 2</math> <math>x<-4</math> |} |- |b) Si és zero, primerament si multiplica mai pot passar a dividir i en segon lloc si divideix llavors segur que hi ha un error. |- | {|align="right" style="border: 1px solid #66f;" bgcolor="#f8f8ff" cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #66f;"|Intercanvis permesos |- |style="border: 1px solid #66f;" align="center"|<math><\;\;\;\leftrightarrow\;\;\;></math> <math>\geqslant\;\;\;\leftrightarrow\;\;\;\leqslant</math> |} {|cellspacing="0" cellpadding="0" |c) Si és negatiu llavors en moure l'expressió la desigualtat canvia de ordre, és important no tocar el signe menys ja que la acció no és sumar ni restar, sinó multiplicar o dividir i per tant no es pot canviar pel signe més: |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" |valign="top"|i) |valign="top" width="120px"|<math>-2\cdot x<8</math> <math>\;\;\;\;\;\;\;x>\tfrac{8}{-2}</math> <math>\;\;\;\;\;\;\;x<-4</math> |valign="top"|ii) |valign="top" width="120px"|<math>x\cdot -3>-6</math> <math>\;\;\;\;\;\;\;x<\tfrac{-6}{-3}</math> <math>\;\;\;\;\;\;\;x<+2</math> |valign="top"|iii) |valign="top" width="120px"|<math>\tfrac{x}{-3}\geqslant 5</math> <math>\;\;x\leqslant 5\cdot (-3)</math> <math>\;\;x\leqslant -15</math> |valign="top"|iv) |valign="top" width="120px"|<math>\tfrac{x}{-2}\leqslant -2</math> <math>\;\;x\geqslant -2\cdot (-2)</math> <math>\;\;x\geqslant +4</math> |} |} '''Nota''': si alguna expressió conté una incògnita com la x i està multiplicant o dividint llavors no es fa la '''llei 2''', perquè suposa un desplegament de cassos ampli fent suposicions com ''si fos positiu llavors...'', ''si fos zero llavors...'' i ''si fos negatiu llavors...''. 3) per resoldre una inequació amb fraccions l'únic que cal fer és el mínim comú múltiple dels denominadors com a les equacions: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |valign="top"|a) |width="100%"|<math>\frac{x+1}{2}\geqslant x-3/5</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" colspan="2"|mcm(2,5)=10 i <math>x\leqslant\frac{11}{5}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |valign="top"|b) |width="100%"|<math>\frac{x-5}{5}-1\geqslant\frac{x+6}{3}-2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" colspan="2"|mcm(3,5)=15 i <math>x\leqslant -15</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |valign="top"|c) |width="100%"|<math>\frac{5-x}{2}-\frac{1}{3}\leqslant\frac{x+7}{3}+\frac{1}{4}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" colspan="2"|mcm(2,3,4)=12 i <math>x\geqslant -\frac{1}{2}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |valign="top"|d) |width="100%"|<math>\frac{x^2+1}{3}-\frac{x}{5}< \frac{x^2-2}{3}-\frac{x}{2}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" colspan="2"|mcm(3,5,2)=30 i <math>x<-\frac{10}{3}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |valign="top"|e) |width="100%"|<math>\frac{2x^2-4}{2}-\frac{x+8}{3}>x^2+\frac{x}{6}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" colspan="2"|mcm(2,3,6)=6 i <math>x<-\frac{28}{3}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |valign="top"|e) |width="100%"|<math>\frac{x^2+x-2}{3}+\frac{x+8+x^2}{3}>\frac{2x^2+2}{3}+\frac{x}{5}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" colspan="2"|mcm(3,5)=15 i <math>x>-\frac{20}{7}</math> |} === Exercicis === 1) Determina els possibles valors de x. :a) <math>-2+x+5<6</math> :b) <math>x+3+x-1<x+7</math> :c) <math>(-x+5)-2(x-1)<1-x</math> :d) <math>7-x<2</math> :e) <math>5<6-x+4</math> :f) <math>x+2<-1+2x-5</math> :g) <math>2x>8</math> :h) <math>3x-9\geqslant x-11</math> :i) <math>1\leqslant 5x+21</math> 2) Determina els valors de x amb cura del canvi de desigualtats quan succeeixi. :a) <math>-x>-3</math> :b) <math>8<-x</math> :c) <math>9\leqslant -3x</math> :d) <math>5x+10<-2x-4</math> :e) <math>2x+2-x+10+6x<10x-5-5x+1+x</math> :f) <math> -2x-x-5x-4x\leqslant 3+5-12+3-7</math> 3) Exercicis per multiplicar tota una inequació per un valors: {|align="right" style="border: 1px solid #66f;" bgcolor="#f8f8ff" cellpadding="0" cellspacing="0" |style="border: 1px solid #66f;"|Productes amb mcm, divisions amb mcd ... |- | {|cellpadding="3" cellspacing="0" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Com?" data-collapsetext="Amaga" |style="border: 1px solid #66f;" align="center"|<math>-\tfrac{x}{2}+\tfrac{3}{4}+x<-\tfrac{1-x}{3} </math> <math>-6x+9+12x<-4+4x</math> |- |style="border: 1px solid #66f;" bgcolor="#fdfdff"| {|cellpadding="8" cellspacing="0" width="500" |Es multiplica pel mínim comú múltiple dels denominadors 2, 4 i 3, que és 12: <math>-\color{red}12\color{black}\cdot\frac{x}{2}+\color{red}12\color{black}\cdot\frac{3}{4}+\color{red}12\color{black}\cdot x<-\color{red}12\color{black}\cdot\frac{1-x}{3}</math> Es divideix pels denominadors: <math>-6\cdot x+3\cdot 3+12\cdot x<-4\cdot (1-x)</math> S'efectuen els productes: <math>-6x+9+12x<-4+4x</math> Finalment es pot resoldre: <math>-6x+12x-4x<-4-9</math> <math>2x<-13</math> <math>x<-\tfrac{13}{2}</math> |} |} |- | {|cellpadding="3" cellspacing="0" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Com?" data-collapsetext="Amaga" |style="border: 1px solid #66f;" align="center"|<math>-x-3-2x<-4x-(2-x)</math> <math>x+3+2x>4x+(2-x)</math> |- |style="border: 1px solid #66f;" bgcolor="#fdfdff"| {|cellpadding="8" cellspacing="0" width="500" |Quan es necessita simplificar signes o canviar-los, només es multiplica per -1 a banda i banda, canviant l'ordre de la desigualtat obligatòriament al mateix temps: <math>-\color{red}(-1)\color{black}x-\color{red}(-1)\color{black}3-\color{red}(-1)\color{black}2x\;\color{red}>\color{black}\;-\color{red}(-1)\color{black}4x-\color{red}(-1)\color{black}(2-x)</math> el resultat és: <math>x+3+2x>4x+(2-x)</math> Finalment es pot resoldre: <math>x+3+2x>4x+2-x</math> <math>x+2x-4x+x>-3+2</math> <math>0>-1</math> x pot prendre qualsevol valor ja que zero sempre és més gran que menys 1. |} |} |- | {|cellpadding="3" cellspacing="0" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Com?" data-collapsetext="Amaga" |style="border: 1px solid #66f;" align="center"|<math>-4(-2-8x)+8<-16x-8(x-1)</math> <math>-(-2-8x)+2<-4x-2(x-1)</math> |- |style="border: 1px solid #66f;" bgcolor="#fdfdff"| {|cellpadding="8" cellspacing="0" width="500" |Per reduir la mida dels coeficients casualment tots tenen un divisor comú i és el màxim comú divisor dels coeficients de cada terme; 4, 8 16 i 8 donant 4, no mireu dins de parèntesis que no es veuran afectats per la divisió. <math>\frac{-4(-2-8x)}{\color{red}4\color{black}}+\frac{8}{\color{red}4\color{black}}<\frac{-16x}{\color{red}4\color{black}}+\frac{-8(x-1)}{\color{red}4\color{black}}</math> S'efectuen les divisions: <math>-(-2-8x)+2<-4x-2(x-1)</math> Finalment es pot resoldre: <math>+2+8x+2<-4x-2x+2</math> <math>8x+4x+2x<2-2-2</math> <math>14x<-2</math> <math>x<-\frac{2}{14}</math> <math>x<-\frac{1}{7}</math> |} |} |} :a) <math>\frac{x}{3}\geqslant 2-\frac{5}{3}</math> :b) <math>-\frac{x}{2}+4<\frac{x}{4}</math> :c) <math>x+\frac{2}{5}\geqslant \frac{x}{2}</math> :d) <math>2x+\frac{x}{2}>\frac{1}{3}</math> :e) <math>\frac{1}{6}-\frac{x}{2}\leqslant \frac{x}{3}</math> :f) <math>\frac{x+1}{10}-\frac{1-x}{5}<\frac{x-3}{2}</math> :g) <math>\frac{x-3}{12}-\frac{3}{4}>\frac{3-2x}{4}</math> :h) <math>\frac{3x-4}{7}+\frac{5-x}{14}\leqslant 0</math> 4) Diversitat de solucions per a una inequació: :a) <math>\frac{5x}{6} -\frac{7}{3}>x+1-\frac{x}{6}</math> :b) <math>\frac{5x}{6} -\frac{7}{3}\leqslant x+1-\frac{x}{6}</math> == Sistemes d'inequacions no lineals == En aquest cas és important la interpretació dels enunciats que es donen principalment ja que la resolució d'aquests casos es fa igual que [[Inequacions_fraccionàries_IV|les inequacions fraccionàries]] o improvisar sabent com és com es dibuixa segons les constants que porta la equació de 2n grau [[File:Quadratic equation coefficients.png|400px|center|thumb|Efecte del canvi de valors <math>ax^2+bx+c</math> d'una equació de 2n grau]] La principal és la '''a''' per a les inequacions de 2n grau, docs ens diu si la paràbola es còncava o convexa. ;Exemples {|align="right" style="border: 1px solid #ccf;" |'''Interpretacions''': |- |El producte de ..a.. i ..b.. és ..c.. |- |La multiplicació de ..a.. i ..b.. dona ..c.. |- |El producte de ..a.. per ..b.. és igual a ..c.. |- |<math> a\cdot b = c</math> |} 1) Interpreta i resol donant exactament les semirectes o intervals de les possibles solucions de les afirmacions verbals: :a) El quadrat d'un valor menys cent és més gran que zero. ::'''Solució''': Traducció <math>x^2-100 > 0</math> càlcul de <math>x= \pm\sqrt{100}=\pm 10</math> per tant la inequació a solucionar és <math>(x-10)(x+10)>0</math> fent la taula de signes o mirant la seva representació surt que '''x''' està a les semirectes <math>(-\infty,-10)\cup (10,\infty).</math> :b) El quadrat d'un valor és més gran que set. ::'''Solució''': Traducció <math>x^2>7</math> es a dir <math>x^2-7>0</math> igual que (a) <math>x=\pm\sqrt{7}</math> per tant la inequació a solucionar és <math>(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})>0</math> fent la taula de signes o la seva representació surt que '''x''' està a les semirectes <math>(-\infty,-\sqrt{7})\cup (\sqrt{7},\infty).</math> :c) El doble de vuit menys el quadrat d'un valor desconegut és més gran o igual que zero. ::'''Solució''': Traducció <math>16-x^2\geqslant 0</math> per tant <math>x=\pm\sqrt{16}=4</math> per tant amb taula de signes surt que '''x''' està a l'interval <math>[-4,4].</math> :d) El producte d'un valor i aquest valor més deu és major que zero. ::'''Solució''': Traducció <math>x\cdot (x+10)>0</math> per tant directament amb la taula i representació '''x''' està a les semirectes <math>(-\infty,-10)\cup (0,\infty).</math> :e) El producte de dels diners menys un euro i els mateixos diners menys quatre euros és més petit que zero. ::'''Solució''': Traducció <math>(x-1)\cdot (x-4)<0</math> que amb la taula i representació '''x''' està a les semirectes <math>(1,\;4).</math> :f) Un valor al quadrat més el doble d'aquest valor és més gran o igual que tres. ::'''Solució''': Traducció <math>x^2\geqslant 3</math> resolent surt que <math>x=\pm\sqrt{3}</math> i amb la taula i representació de <math>(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\geqslant 0</math> i '''x''' està a les semirectes <math>(-\infty,-\sqrt{3}]\cup [\sqrt{3},\infty).</math> :g) El quíntuple d'un valor menys el quadrat d'aquest és menor que quatre. ::'''Solució''': Traducció <math>5x-x^2<4</math> ordenant <math>-x^2+5x-4<0</math> resolent surt que <math>x_1=4</math> i <math>x_2=1</math> aplicant <math>ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)</math> per tant la inequació és <math>-(x-4)(x-1)<0</math> que amb la taula i representació '''x''' està a les semirectes <math>(-\infty,1)\cup (4,\infty).</math> == Sistemes d'inequacions lineals o afins d'una incògnita == Un '''sistema d'inequacions''' és un conjunt d'inequacions on la '''x''' ha de complir totes les inequacions que hi ha a la vegada. '''Pista''': Cada inequació exigeix un lloc per la x, només cal veure '''on estan d'acord''' totes les inequacions donades a la vegada. ==== Exemples sistemes d'equacions ==== {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |valign="top"|1) |width="100%"|<math>\begin{matrix}2x < x+2\\ 1-3x\leqslant 4 \end{matrix}\bigg\}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" colspan="2"|Simplificació: <math>\begin{matrix}2x-x < 2\\ -3x\leqslant 4 -1\end{matrix}\bigg\}</math> ∼ <math>\begin{matrix}x < 2\\ -3x\leqslant 3\end{matrix}\bigg\}</math> ∼ <math>\begin{matrix}x < 2\\ x\leqslant \frac{3}{-3}\end{matrix}\bigg\}</math> ∼ <math>\begin{matrix}x < 2\\ x\geqslant -1\end{matrix}\bigg\}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" | |align="center"|-1 |align="center"|2 |- |<math>-\infty</math> |[[File:SemiRectaAC.svg|180px]] |[[File:SemiRectaB.svg|180px]] |<math>+\infty</math> |} '''Notació''': la x està dins de l'interval [ -1, 2 ) |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |valign="top"|2) |width="100%"|<math>\begin{matrix}\frac{x}{3} < x-3\\ 1-\frac{x}{4}\leqslant 2 \end{matrix}\bigg\}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" colspan="2"|Simplificació: <math>\begin{matrix}x<3(x-3)\\ 4-x\leqslant 8\end{matrix}\bigg\}</math> ∼ <math>\begin{matrix}x<3x-9\\ 4-8\leqslant +x\end{matrix}\bigg\}</math> ∼ <math>\begin{matrix}+9<3x-x\\ -4\leqslant x\end{matrix}\bigg\}</math> ∼ <math>\begin{matrix}9<2x\\ -4\leqslant x\end{matrix}\bigg\}</math> ∼ <math>\begin{matrix}\frac{9}{2}<x\\ -4\leqslant x\end{matrix}\bigg\}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" | |align="center"|-4 |align="center"|<math>\tfrac{9}{2}</math> |- |<math>-\infty</math> |[[File:SemiRectaVC.svg|180px]] |[[File:SemiRectaA.svg|180px]] |<math>+\infty</math> |} '''Notació''': la x està dins la semirecta oberta ( ⁹⁄₂, +∞ ) |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |valign="top"|3) |width="100%"|<math>\begin{matrix}\frac{1}{5}-x < 0\\ 1 > \frac{5x+1}{2}\end{matrix}\bigg\}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" colspan="2"|Simplificació: <math>\begin{matrix}\frac{1}{5}<x\\ 2>5x+1\end{matrix}\bigg\}</math> ∼ <math>\begin{matrix}\frac{1}{5}<x\\ 2-1>5x\end{matrix}\bigg\}</math> ∼ <math>\begin{matrix}\frac{1}{5}<x\\ 1>5x\end{matrix}\bigg\}</math> ∼ <math>\begin{matrix}\frac{1}{5}<x\\ \frac{1}{5}>x\end{matrix}\bigg\}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" | |align="center"|<math>\tfrac{1}{5}</math> |- |<math>-\infty</math> |[[File:SemiRectaVC.svg|180px]] |<math>+\infty</math> |} '''Notació''': la x no està a cap interval o no té solució a ℝ, és a dir, la x està al conjunt sense elements {⌀}. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |valign="top"|4) |width="100%"|<math>\begin{matrix}2+3x\leqslant 3\\ 3(1+x)\geqslant 4\end{matrix}\bigg\}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" colspan="2"|Simplificació: <math>\begin{matrix}3x\leqslant 3-2\\ 1+x\geqslant \frac{4}{3}\end{matrix}\bigg\}</math> ∼ <math>\begin{matrix}3x\leqslant 1\\ x\geqslant \frac{4}{3}-1\end{matrix}\bigg\}</math> ∼ <math>\begin{matrix}x\leqslant \frac{1}{3}\\ x\geqslant \frac{1}{3}\end{matrix}\bigg\}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="0" | |align="center"|<math>\tfrac{1}{3}</math> |- |<math>-\infty</math> |[[File:SemiRectaDot.svg|180px]] |<math>+\infty</math> |} '''Notació''': la solució és x = ⅓. |} ==== Exercicis ==== 1) Resol cada sistema donat :a) <math>\begin{matrix}-1+5x\leqslant 2\\ 1-\frac{x}{3}\geqslant 4\end{matrix}\bigg\}</math> :b) <math>\begin{matrix}x\geqslant 4-x\\ \frac{x+1}{3}< 4\end{matrix}\bigg\}</math> :c) <math>\begin{matrix}\frac{x-1}{2}<x\\ x-\frac{1}{5}\leqslant 2x\end{matrix}\Bigg\}</math> :d) <math>\begin{matrix}\frac{x+3}{3}<0\\ -2x<\frac{-4}{5}\end{matrix}\Bigg\}</math> :e) <math>\begin{matrix}-1<-\frac{x-1}{2}-2\\ \frac{15x}{7}>-4+\frac{x}{7}\end{matrix}\Bigg\}</math> :f) <math>\begin{matrix}\frac{1-3x}{3}<\frac{1}{3}-\pi \\ \frac{x}{2}-(x-4)>\frac{2+x}{2}\end{matrix}\Bigg\}</math> :g) <math>\begin{matrix}\frac{13}{8}<\frac{x+3}{2}\\ \frac{x+1}{2}+\frac{x}{2}<\frac{6}{10}+\frac{x}{2}\end{matrix}\Bigg\}</math> :h) <math>\begin{matrix}\frac{7}{4}<\frac{x+3}{4}+1\\ \frac{x-2}{-2}+1>\frac{3}{2}\end{matrix}\Bigg\}</math> [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 1hrfg10gbsr2yiplsk1wnkebjtkl0d2 0 53453 373525 372376 2025-06-21T01:43:42Z AtUkr 17909 added [[Category:CA]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 373525 wikitext text/x-wiki Aquesta secció i reforça el coneixement dels punts al pla cartesià que prèviament pot haver-se explicat. === Introducció === Els punts al pla de coordenades venen definits per dos nombres x i y. {|align="center" |width="100px"| {|style="border: 1px solid #000;" cellpadding="2" cellspacing="0" bgcolor="#fbfbfe" |style="border: 1px solid #000" align="center" bgcolor="#eef"|X |style="border: 1px solid #000" align="center" bgcolor="#eef"|Y |- |style="border: 1px solid #000" align="center"| -3 |style="border: 1px solid #000" align="center"|1 |- |style="border: 1px solid #000" align="center"| -1,5 |style="border: 1px solid #000" align="center"| -2,5 |- |style="border: 1px solid #000" align="center"|0 |style="border: 1px solid #000" align="center"|0 |- |style="border: 1px solid #000" align="center"|2 |style="border: 1px solid #000" align="center"|3 |} | [[File:Cartesian-coordinate-system.svg|250px]] |} Exercicis: [[File:CasaTutorial00.svg|border|250px|right]] 1) Completa les coordenades x i y de la casa dibuixada sobre els eixos de coordenades donats, construint les taules del perfil de la casa, de la porta i de la finestra. {{clear}} 2) Descarregueu la imatge de sota no està en format adequat. L'extensió SVG que vol dir que permet dibuixos amb punts i no amb pixels. *Descarregueu la imatge en *.svg clicant [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/CasaTutorial01.svg aquí] *Utilitzeu un editor de text per canviar el dibuix amb qualsevol editor de text sense format: Llibreta, Notes o [https://texteditor.co/ "'''aquest editor text'''"]. Modifiqueu-la per dibuixar la vostra proposta de casa, per tant busqueu aquesta cadena i no toqueu res més: {|align="left" |width="300px"| [[File:CasaTutorial01.svg|border|250px|left]] |} :d="M4,4l1,2 0,2 -1,1 -1,-1 0,-2 2,-4 0,-2 -1,-1 -1,1 0,2 1,2 2,1 2,0 1,-1 -1,-1 -2,0 -4,2 -2,0 -1,-1 1,-1 2,0 2,1" *La primera lletra del codi de punts és "M" majúscula i significa que usarem punts. *Cada punt de la nostra taula serà una parelleta com "5,7" que vol dir x=5 i y=7. *Els punts estan separats només amb espais, però el primer espai hem de canviar la "l" minúscula per la "L" majúscula que vol dir fer línies rectes de punt a punt. *Ara ja podeu omplir amb els vostres punts. :d="M L " {{clear}} ==Notas== {{reflist|group="note"}} ==References== {{reflist}} [[Category:Matemàtiques de primer d'ESO]] [[Category:CA]] nwupcfquou43mvfmr833jy5k99i6b9w 1198 53866 373402 2025-06-20T12:40:23Z Peterxy12 54108 Created page with "首页" 373402 wikitext text/x-wiki 首页 tur2v7q1x2ndxfrgn16q4ykiwtq8rx5 0 53867 373403 2025-06-20T12:40:23Z Peterxy12 54108 Created page with "首页" 373403 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity is a [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|project]] of the [[Wikimedia Foundation]]. It is a centre for the creation and use of free learning materials and activities. We host [[Free content/En|free]] education resources and scholarly projects. We also aim to collaborate with other Wikimedia projects and support their content development. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:category:CA|Catalan]], [[:category:SK|Slovak]], [[:category:SYL|Sylheti]], [[:category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity Beta? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Wikiversity:multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Wikiversity:Policies|policy]] for [[Wikiversity:research guidelines|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[category:wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities in that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Help:FAQ/En|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> axklw8t4u6soe951shr4hgcz47n4kos 373405 373403 2025-06-20T12:40:47Z Peterxy12 54108 Created page with "===维基学院是什么？===" 373405 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity is a [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|project]] of the [[Wikimedia Foundation]]. It is a centre for the creation and use of free learning materials and activities. We host [[Free content/En|free]] education resources and scholarly projects. We also aim to collaborate with other Wikimedia projects and support their content development. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:category:CA|Catalan]], [[:category:SK|Slovak]], [[:category:SYL|Sylheti]], [[:category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity Beta? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Wikiversity:multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Wikiversity:Policies|policy]] for [[Wikiversity:research guidelines|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[category:wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities in that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Help:FAQ/En|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> 043qar73fmeot8dtbvhoojkvlwyhjzu 373407 373405 2025-06-20T12:41:29Z Peterxy12 54108 Created page with "维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用免费学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|免费]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。" 373407 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用免费学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|免费]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:category:CA|Catalan]], [[:category:SK|Slovak]], [[:category:SYL|Sylheti]], [[:category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity Beta? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Wikiversity:multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Wikiversity:Policies|policy]] for [[Wikiversity:research guidelines|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[category:wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities in that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Help:FAQ/En|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> ief8xaz66t9214sge350v9jkdl6ng07 373409 373407 2025-06-20T12:42:25Z Peterxy12 54108 373409 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:category:CA|Catalan]], [[:category:SK|Slovak]], [[:category:SYL|Sylheti]], [[:category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity Beta? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Wikiversity:multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Wikiversity:Policies|policy]] for [[Wikiversity:research guidelines|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[category:wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities in that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Help:FAQ/En|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> 7ekjyt2m9rroia4822ny0a9kec2xnzu 373411 373409 2025-06-20T12:43:42Z Peterxy12 54108 Created page with "许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|另外更多]]维基学院项目的孵化语言版本。" 373411 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|另外更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity Beta? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Wikiversity:multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Wikiversity:Policies|policy]] for [[Wikiversity:research guidelines|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[category:wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities in that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Help:FAQ/En|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> 1ayd5zco4zlpgnqpufk4s8olyghxfnu 373413 373411 2025-06-20T12:44:08Z Peterxy12 54108 Created page with "==什么是测试维基学院？==" 373413 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|另外更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Wikiversity:multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Wikiversity:Policies|policy]] for [[Wikiversity:research guidelines|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[category:wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities in that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Help:FAQ/En|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> 9twqrcvwmcxt2k2a8huwapjwp2b1nmh 373415 373413 2025-06-20T12:44:18Z Peterxy12 54108 373415 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Wikiversity:multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Wikiversity:Policies|policy]] for [[Wikiversity:research guidelines|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[category:wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities in that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Help:FAQ/En|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> k6p5886ncr12u5zzf9xuo7tnw3c0jds 373417 373415 2025-06-20T12:45:21Z Peterxy12 54108 Created page with "维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。" 373417 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[category:wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities in that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Help:FAQ/En|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> ji8ofnws006aswxg6m95xgf1fqnf1ux 373419 373417 2025-06-20T12:45:48Z Peterxy12 54108 Created page with "测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。" 373419 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Help:FAQ/En|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> c0dr57un6s0jr7uk5wldq6p3zyw2nib 373421 373419 2025-06-20T12:46:04Z Peterxy12 54108 Created page with "''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。" 373421 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 ''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Help:FAQ/En|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> 25ioil6do4wh06rn4vq6nmhrc1c7vw9 373423 373421 2025-06-20T12:46:18Z Peterxy12 54108 373423 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 ''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Help:FAQ/En|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> auksir6zs4i9lrzeb5qed0jdfvkjq7s 373425 373423 2025-06-20T12:46:40Z Peterxy12 54108 Created page with "“另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。”" 373425 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 ''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 “另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。” <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> ligs7jkftmahxw0txoew3uwldzyrol7 373427 373425 2025-06-20T12:46:53Z Peterxy12 54108 373427 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 ''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 ''另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。'' <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> iliqmpgeohprt4zl3n508r5b1eu1z66 373429 373427 2025-06-20T12:47:09Z Peterxy12 54108 Created page with "== 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]] 我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 ** 维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 ** [[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只..." 373429 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 ''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 ''另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。'' == 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]] 我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 ** 维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 ** [[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只进行高质量的学术研究活动。 <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> 1fi2nv6799sgpspah5uce7aw7uo6uam 373431 373429 2025-06-20T12:47:21Z Peterxy12 54108 373431 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 ''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 ''另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。'' == 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]] 我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 **维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 **[[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只进行高质量的学术研究活动。 <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> fm64lomn4bcjyjb168ok9iyuwlv83nl 373433 373431 2025-06-20T12:47:26Z Peterxy12 54108 373433 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 ''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 ''另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。'' == 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]] 我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 *维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 *[[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只进行高质量的学术研究活动。 <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> m652lapv5ehgidjbdzy2rolibd7kq87 373435 373433 2025-06-20T12:47:33Z Peterxy12 54108 373435 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 ''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 ''另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。'' == 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]]我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 *维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 *[[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只进行高质量的学术研究活动。 <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> lswtuyh23qauwvgeflturabxqytcx0o 373437 373435 2025-06-20T12:47:50Z Peterxy12 54108 Created page with "== 发表您的意见 == * 对维基学院的反馈：[[Wikiversity:Feedback]] * 如需管理员帮助：[[Wikiversity:request custodian action]]。 * 对网站的一般评论、建议和提案：[[Wikiversity:Babel]] * 来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html 新帖] 来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ 维基学院邮件列表]。" 373437 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 ''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 ''另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。'' == 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]]我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 *维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 *[[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只进行高质量的学术研究活动。 == 发表您的意见 == * 对维基学院的反馈：[[Wikiversity:Feedback]] * 如需管理员帮助：[[Wikiversity:request custodian action]]。 * 对网站的一般评论、建议和提案：[[Wikiversity:Babel]] * 来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html 新帖] 来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ 维基学院邮件列表]。 <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> hxwu5zkanb1q5ih9j4wpqagufb0ut2d 373439 373437 2025-06-20T12:47:53Z Peterxy12 54108 373439 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 ''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 ''另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。'' == 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]]我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 *维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 *[[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只进行高质量的学术研究活动。 == 发表您的意见 == * 对维基学院的反馈：[[Wikiversity:Feedback]] * 如需管理员帮助：[[Wikiversity:request custodian action]]。 * 对网站的一般评论、建议和提案：[[Wikiversity:Babel]] * 来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html 新帖]来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ 维基学院邮件列表]。 <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> 5fgfpizs991cdoj6kv3nv6yad8n54h8 373441 373439 2025-06-20T12:48:08Z Peterxy12 54108 373441 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 '''要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 ''另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。'' == 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]]我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 *维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 *[[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只进行高质量的学术研究活动。 == 发表您的意见 == * 对维基学院的反馈：[[Wikiversity:Feedback]] * 如需管理员帮助：[[Wikiversity:request custodian action]]。 * 对网站的一般评论、建议和提案：[[Wikiversity:Babel]] * 来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html 新帖]来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ 维基学院邮件列表]。 <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> 8rs7ozmda4ru1wonoxdkf1w0slzy0v9 373443 373441 2025-06-20T12:51:43Z Peterxy12 54108 373443 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[维基媒体基金会|Wikimedia Foundation]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 '''要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 ''另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。'' == 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]]我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 *维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 *[[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只进行高质量的学术研究活动。 == 发表您的意见 == * 对维基学院的反馈：[[Wikiversity:Feedback]] * 如需管理员帮助：[[Wikiversity:request custodian action]]。 * 对网站的一般评论、建议和提案：[[Wikiversity:Babel]] * 来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html 新帖]来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ 维基学院邮件列表]。 <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> bidg7sy7hlux27xr63joyn2bm7c2lyo 373445 373443 2025-06-20T12:52:04Z Peterxy12 54108 373445 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> ===维基学院是什么？=== 维基学院是[[Wikimedia Foundation|维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> ==什么是测试维基学院？== 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 '''要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 ''另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。'' == 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]]我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 *维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 *[[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只进行高质量的学术研究活动。 == 发表您的意见 == * 对维基学院的反馈：[[Wikiversity:Feedback]] * 如需管理员帮助：[[Wikiversity:request custodian action]]。 * 对网站的一般评论、建议和提案：[[Wikiversity:Babel]] * 来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html 新帖]来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ 维基学院邮件列表]。 <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> l5pjl2aw9lhg93g794y6yjw57hudvr0 1198 53868 373404 2025-06-20T12:40:47Z Peterxy12 54108 Created page with "===维基学院是什么？===" 373404 wikitext text/x-wiki ===维基学院是什么？=== 85be721jewa6bhpwom80zvfgyrnwh08 1198 53869 373406 2025-06-20T12:41:28Z Peterxy12 54108 Created page with "维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用免费学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|免费]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。" 373406 wikitext text/x-wiki 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用免费学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|免费]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 4yu9lfzfunfqio7pza7ua8k53u5s73h 373408 373406 2025-06-20T12:42:24Z Peterxy12 54108 373408 wikitext text/x-wiki 维基学院是[[维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 nvrp27n21d54vaq6evgzrm8wn6w906k 373442 373408 2025-06-20T12:51:43Z Peterxy12 54108 373442 wikitext text/x-wiki 维基学院是[[维基媒体基金会|Wikimedia Foundation]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 2wab893cmslw08p4w7btwcfgv08o1na 373444 373442 2025-06-20T12:52:04Z Peterxy12 54108 373444 wikitext text/x-wiki 维基学院是[[Wikimedia Foundation|维基媒体基金会]]的一个[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|项目]]。它是一个创建和使用自由的学习材料和活动的中心。我们托管[[Free content/En|自由的]]教育资源和学术项目。我们也致力于与其他维基媒体项目合作，并支持他们的内容开发。 se3axsk156okd7w2ya43ivrpjox0phg 1198 53870 373410 2025-06-20T12:43:41Z Peterxy12 54108 Created page with "许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|另外更多]]维基学院项目的孵化语言版本。" 373410 wikitext text/x-wiki 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|另外更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 b3yygfvm8nkdbw8qq7t61m965tdl98w 373414 373410 2025-06-20T12:44:17Z Peterxy12 54108 373414 wikitext text/x-wiki 许多项目已经从测试维基学院毕业，现在拥有自己的[[Wikiversity:Separate projects|独立项目]]。在测试维基学院，贡献者目前正在致力于[[:category:CA|加泰罗尼亚语]]、[[:category:SK|斯洛伐克语]]、[[:category:SYL|锡尔赫特语]]、[[:category:VI|越南语]]和[[States of Wikiversities|更多]]维基学院项目的孵化语言版本。 3dvkj316wgjrbb9h76pyugihmq39ax5 1198 53871 373412 2025-06-20T12:44:07Z Peterxy12 54108 Created page with "==什么是测试维基学院？==" 373412 wikitext text/x-wiki ==什么是测试维基学院？== byd9x3783t8qyuhh47r1bvjt89rm72v 1198 53872 373416 2025-06-20T12:45:21Z Peterxy12 54108 Created page with "维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。" 373416 wikitext text/x-wiki 维基学院测试版是一个[[Wikiversity:multilingualism|多语言]]中心，用于协调不同语言的维基学院项目，以便进一步实现我们的[[Wikiversity:Mission|使命]]，如[[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|维基学院项目提案]]所述。本网站主持有关维基学院[[Wikiversity:Policies|政策]]的讨论，涉及[[Wikiversity:research guidance|原创研究]]。 4polsy7x4kldsy4dlibwdihvav0yup1 1198 53873 373418 2025-06-20T12:45:47Z Peterxy12 54108 Created page with "测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。" 373418 wikitext text/x-wiki 测试维基学院还可作为尚未拥有自己网站的维基学院的孵化器。 h4r4dnujnlzaa6d6sxf2k9m9pwkqmvo 1198 53874 373420 2025-06-20T12:46:03Z Peterxy12 54108 Created page with "''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。" 373420 wikitext text/x-wiki ''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 7gc5mhl4t9eqglpjnqkwmfiuop0t6ax 373422 373420 2025-06-20T12:46:18Z Peterxy12 54108 373422 wikitext text/x-wiki ''‘要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 4eo03f520667z83pews6722sy2l10hk 373440 373422 2025-06-20T12:48:07Z Peterxy12 54108 373440 wikitext text/x-wiki '''要建立一个新的维基学院网站'''，您需要三位活跃的项目参与者。然后您可以[[m:Requests for new languages#Wikiversity|请求]]（位于[[m:|Meta]]）申请建立一个新的语言域名。同时，请将您项目的主页添加到[[Template:Main page]]。 gsd39ysku03i0oz1hfdzspz15xt3wz0 1198 53875 373424 2025-06-20T12:46:39Z Peterxy12 54108 Created page with "“另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。”" 373424 wikitext text/x-wiki “另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。” 8qmi0q6v0cblk329xjimup3avmivm0t 373426 373424 2025-06-20T12:46:52Z Peterxy12 54108 373426 wikitext text/x-wiki ''另请参阅：[[Help:FAQ/En|常见问题]]。'' 8hg8ij10rsrb0jag8657l0jorhjsgq4 1198 53876 373428 2025-06-20T12:47:09Z Peterxy12 54108 Created page with "== 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]] 我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 ** 维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 ** [[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只..." 373428 wikitext text/x-wiki == 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]] 我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 ** 维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 ** [[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只进行高质量的学术研究活动。 0mbpemt9c5u6r85t8b83jje6tx5l80z 373430 373428 2025-06-20T12:47:20Z Peterxy12 54108 373430 wikitext text/x-wiki == 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]] 我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 **维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 **[[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只进行高质量的学术研究活动。 9nigpjqezfj4pyw1vaf80wib60z0u1d 373432 373430 2025-06-20T12:47:25Z Peterxy12 54108 373432 wikitext text/x-wiki == 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]] 我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 *维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 *[[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只进行高质量的学术研究活动。 el9sevokc63z2o8r2uqlo62gbfov6cs 373434 373432 2025-06-20T12:47:33Z Peterxy12 54108 373434 wikitext text/x-wiki == 正在进行的工作 == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|开发]]我们的多语言门户网站 (http://www.wikiversity.org) * 制定（并翻译）适用于所有语言维基学院项目的[[Wikiversity:policies|政策与指南]]。 *维基学院是否应允许所有类型的[[Wikiversity:Research/En|研究]]，包括[[Wikiversity:Original research/En|原创研究]]。 *[[Wikiversity:Research guidance/En|研究指南]]——需要哪些规则来确保只进行高质量的学术研究活动。 1jroueb9jsp9bt1v26u8pxw4kmzb4ey 1198 53877 373436 2025-06-20T12:47:49Z Peterxy12 54108 Created page with "== 发表您的意见 == * 对维基学院的反馈：[[Wikiversity:Feedback]] * 如需管理员帮助：[[Wikiversity:request custodian action]]。 * 对网站的一般评论、建议和提案：[[Wikiversity:Babel]] * 来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html 新帖] 来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ 维基学院邮件列表]。" 373436 wikitext text/x-wiki == 发表您的意见 == * 对维基学院的反馈：[[Wikiversity:Feedback]] * 如需管理员帮助：[[Wikiversity:request custodian action]]。 * 对网站的一般评论、建议和提案：[[Wikiversity:Babel]] * 来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html 新帖] 来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ 维基学院邮件列表]。 6rulzbvmk28x9bi5gucgouwg3ssyotd 373438 373436 2025-06-20T12:47:52Z Peterxy12 54108 373438 wikitext text/x-wiki == 发表您的意见 == * 对维基学院的反馈：[[Wikiversity:Feedback]] * 如需管理员帮助：[[Wikiversity:request custodian action]]。 * 对网站的一般评论、建议和提案：[[Wikiversity:Babel]] * 来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html 新帖]来自[http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ 维基学院邮件列表]。 le2owmb27lmb1etmsluvl0i5gx7icc3 1198 53878 373446 2025-06-20T12:52:41Z Peterxy12 54108 Created page with "メインページ" 373446 wikitext text/x-wiki メインページ 1049z9qkdzuloy01mwybwt4ky7a6lu4 0 53879 373447 2025-06-20T12:52:42Z Peterxy12 54108 Created page with "メインページ" 373447 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity is a [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|project]] of the [[Wikimedia Foundation]]. It is a centre for the creation and use of free learning materials and activities. We host [[Free content/En|free]] education resources and scholarly projects. We also aim to collaborate with other Wikimedia projects and support their content development. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:category:CA|Catalan]], [[:category:SK|Slovak]], [[:category:SYL|Sylheti]], [[:category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity Beta? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Wikiversity:multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Wikiversity:Policies|policy]] for [[Wikiversity:research guidelines|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[category:wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities in that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Help:FAQ/En|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> axklw8t4u6soe951shr4hgcz47n4kos 373450 373447 2025-06-20T12:55:33Z Peterxy12 54108 Created page with "== ウィキバーシティとは何ですか? ==" 373450 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements/en}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> == ウィキバーシティとは何ですか? == ウィキバーシティは[[ウィキメディア財団]]の[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|プロジェクト]]です。無料の学習教材やアクティビティの作成と利用のための拠点です。[[Free content/En|無料]]の教育リソースと学術プロジェクトをホストしています。また、他のウィキメディアプロジェクトと連携し、コンテンツ開発を支援することも目指しています。 <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:category:CA|Catalan]], [[:category:SK|Slovak]], [[:category:SYL|Sylheti]], [[:category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity Beta? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Wikiversity:multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Wikiversity:Policies|policy]] for [[Wikiversity:research guidelines|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[category:wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities in that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Help:FAQ/En|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == * [[m:Talk:Www.wikiversity.org template|Develop]] our multilingual portal (http://www.wikiversity.org) * Develop (and translate) our [[Wikiversity:policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Wikiversity:Research/En|research]], including [[Wikiversity:Original research/En|original research]]. ** [[Wikiversity:Research guidelines/En|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == * Feedbacks for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <br clear="both" /> {{Sisterprojects}} {{Main page interwikis}} <noinclude> [[Category:EN]] </noinclude> 20pfuc3q9olnrsbwy1h7icrtzz239sp 1198 53880 373448 2025-06-20T12:54:03Z Peterxy12 54108 Created page with "== ウィキバーシティとは何ですか? ==" 373448 wikitext text/x-wiki == ウィキバーシティとは何ですか? == a4fz4o8dpxzc1s9bdvy86pry5uwy1ga 1198 53881 373449 2025-06-20T12:54:14Z Peterxy12 54108 Created page with "ウィキバーシティは[[ウィキメディア財団]]の[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|プロジェクト]]です。無料の学習教材やアクティビティの作成と利用のための拠点です。[[Free content/En|無料]]の教育リソースと学術プロジェクトをホストしています。また、他のウィキメディアプロジェクトと連携し、コンテンツ開発を支援することも目指しています。" 373449 wikitext text/x-wiki ウィキバーシティは[[ウィキメディア財団]]の[[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|プロジェクト]]です。無料の学習教材やアクティビティの作成と利用のための拠点です。[[Free content/En|無料]]の教育リソースと学術プロジェクトをホストしています。また、他のウィキメディアプロジェクトと連携し、コンテンツ開発を支援することも目指しています。 2w2dclc9y6a7am5f9cy7rs18cp3i711