Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.46.0-wmf.23 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 14 56 383824 380970 2026-04-14T17:15:49Z ~2026-23060-54 55428 383824 wikitext text/x-wiki <languages/> {{Shortcut|[[CAT:CAT]]}} {{multilingual category}} <translate><!--T:1--> This is the top level category.</translate> {{catindex}} [[cs:Kategorie:Kategorie]] [[id:Kategori:Kategori]] [[de:Kategorie:!Hauptkategorie]] [[el:Κατηγορία:Κατηγορίες]] [[en:Category:Categories]] [[es:Categoría:Índice de categorías]] [[fr:Catégorie:Principale]] [[it:Categoria:Categorie]] [[ja:カテゴリ:主要カテゴリ]] [[ko:분류:분류]] [[pt:Categoria:Wikiversidade]] [[ru:Категория:Всё]] [[sl:Kategorija:Vsebina]] [[sv:Kategori:Topp]] [[zh:Category:分类]] m1vklbq3kovs1trv1szp4be0yil6wmw 4 238 383836 372264 2026-04-15T09:08:19Z ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ 51302 removing external link 383836 wikitext text/x-wiki <languages /><translate> <!--T:1--> Wikiversity is a Wikimedia Foundation project devoted to using [[w:Wiki|wiki]] technology to support online learning. More info at [[<tvar name=1>Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission</tvar>|Wikiversity:Mission]]. </translate> [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] e2apl3an67l5hlatezg10wmjo6f9suj 4 1861 383846 335254 2026-04-15T09:08:29Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383846 wikitext text/x-wiki <languages /> Wikiversity est un nouveau projet de la Fondation Wikimedia dédié à l'usage de la technologie [[w:Wiki|wiki]] pour l'apprentissage en ligne. Plus d'info sur [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:Mission]]. [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] 8lxqx7nr2jw12yc3b9ecgxwhxhs2vza 4 1863 383850 335258 2026-04-15T09:08:31Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383850 wikitext text/x-wiki <languages /> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity is a Wikimedia Foundation project devoted to using [[w:Wiki|wiki]] technology to support online learning. More info at [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:Mission]]. </div> [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] egwj3m8e45t858gxqf1ckftohwcjgv8 4 1917 383860 335264 2026-04-15T09:08:36Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383860 wikitext text/x-wiki <languages /> 維基學院是維基媒體基金會的一項新計劃。維基學院致力以維基技術支援網上學習。您可以到[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:使命]]了解更多信息。 [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] cd95cey6ou936158wtacthxxotq33p9 14 2366 383825 71536 2026-04-14T17:16:34Z ~2026-23060-54 55428 383825 wikitext text/x-wiki [[Image:Curly Brackets.svg|50px]] [[Category:Wikiversity]] [[Category:Root]] [[cs:Kategorie:Šablony]] [[id:Kategori:Kategori]] [[de:Kategorie:Vorlage]] [[el:Κατηγορία:Πρότυπα]] [[en:Category:Templates]] [[es:Categoría:Wikiversidad:Plantillas]] [[fi:Luokka:Mallineet]] [[fr:Catégorie:Modèle:Racine]] [[it:Categoria:Template]] [[ja:カテゴリ:ウィキバーシティのテンプレート]] [[pt:Categoria:!Predefinições]] [[ru:Категория:Шаблоны]] 0f08485nadhbgxx1844845pcxu1ytha 4 3297 383842 335252 2026-04-15T09:08:28Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383842 wikitext text/x-wiki <languages /> <div class="mw-translate-fuzzy"> Το Βικιεπιστήμιο είναι ένα νέο εγχείρημα του ιδρύματος Wikimedia που αναζητά τρόπους για τη χρησιμοποίηση της δύναμης ενός wiki να υποστηρίξει την διαδικτυακή μάθηση </div> [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] 8cgahan0kclk0wzdfbzs7yj1thg6n6p 4 4324 383839 355211 2026-04-15T09:08:26Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383839 wikitext text/x-wiki <languages /> ويكي الجامعة هو مشروع من مؤسسة ويكيميديا كرس لاستعمال تقنية الويكي لدعم التعلم على الإنترنت. [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] 0m0jnknkv8u54pauozumgri4auawebb 4 7775 383833 376659 2026-04-15T08:59:07Z ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ 51302 rv 383833 wikitext text/x-wiki <languages/> <translate> <!--T:1--> {|cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #f9f9f9; border: 1px #a0a0a0 solid; border-collapse: collapse; " rules="all" !Language !Wikiversity !motto !slogan !translation !community consensus |- |[[:cs:Wikiverzita:Hlavní strana|cs:]] |Wikiverzita | | | | |- |[[:de:Hauptseite|de:]] |Wikiversity | |[[:de:Wikiversity:Slogan|Lernen und Lehren]] |learning and teaching |10.2007 |- |[[:el:Κύρια Σελίδα|el:]] |Βικιεπιστήμιο |[[:el:Βικιβήμα|Ελεύθερη Παιδαγωγική Κοινότητα]] | |free pedagogic community |01.2008 |- |[[:en:Wikiversity:Main Page|en:]] |Wikiversity |[[:en:Wikiversity:Motto contest|open learning community]] ||[[:en:Wikiversity:Motto contest|set learning free]] | |05.2007<br>08.07 |- |[[:es:Portada|es:]] |Wikiversidad | || | | |- |[[:fr:Accueil|fr:]] |Wikiversité |[[:fr:Wikiversité:La salle café/8 mai 2007|communauté pédagogique libre]] | |free pedagogic community |2007 |- |[[עמוד ראשי|he:]] |ויקיברסיטה | | | |- |[[:it:Pagina principale|it:]] |Wikiversità | | |L'Apprendimento libero |2015 |- |[[:ja:メインページ|ja:]] | | | | | |- |[[:pt:Página principal|pt:]] |Wikiversidade |a universidade livre | |The free university | |- |[[Main Page|Beta]] |Wikiversity |There was "The shorter, the better" (see [[help:FAQ]]) but it hadn't caught on. | |- |[[ముఖ్య పుటము|te:]] |వికివిశ్వవిద్యాలయము |ఉచిత విద్యా వితరణ సంఘం. |విద్య పంచినప్పుడే వర్ధిల్లుతుంది.(Knowledge grows upon sharing) | |} <!--T:2--> ==Notes== <references/> <!--T:3--> ==For other Wikimedia projects== *'''[[:m:Wikipedia_logo_in_each_language|Wikipedia]]''' *'''[[:oldwikisource:Wikisource|Wikisource]]''' *'''[[:m:Wiktionary/logo/refresh/localization_text|Wiktionary]]''' <!--T:4--> [[de:Wikiversity:Slogan]] [[Category:Wikiversity]] </translate> 7vatydf9zrt7vv8wivvhm7uo8x1503x 4 8162 383853 335260 2026-04-15T09:08:34Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383853 wikitext text/x-wiki <languages /> <div class="mw-translate-fuzzy"> Следует отметить, что, реализуя данную цель, участники могут поставить другие цели и задачи для поддержки обучения и создания новых материалов. </div> [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] fwre3xsbtzywapbcd4yyle7x9ovt7ep 10 9216 383830 381140 2026-04-14T17:28:08Z ~2026-23060-54 55428 383830 wikitext text/x-wiki <!-- Languages not found in Names.php -->{{#switch:{{lc:{{{1|en}}}}} |#default={{#language:{{lc:{{{1|en}}}}}|en}} |ae=Avestan |arv=Kotava |bcr=Babine |byp=Bumaji |ikt=Western Canadian Inuktitut |tlh=Klingon |ttt=Tati |yao=Yao |yap=Yapese |yux=Southern Yukaghir }}<noinclude> ---- This template will return the English name of a language given the language code. '''usage:''' <nowiki>{{</nowiki>language|''language_code''}} '''Examples:''' * <nowiki>{{</nowiki>language|ar}} → {{language|ar}} * <nowiki>{{</nowiki>language|is}} → {{language|is}} * <nowiki>{{</nowiki>language|zh-hant}} → {{language|zh-hant}} * <nowiki>{{</nowiki>language|id}} → {{language|id}} '''See also:''' * <nowiki>{{#language:}}</nowiki> - returns language name in local language or the specified language. * [https://gerrit.wikimedia.org/r/gitweb?p=mediawiki/core.git;a=blob;f=languages/Names.php;hb=HEAD Names.php] [[Category:Multilingualism templates|{{PAGENAME}}]] </noinclude> d3efvwrz40lt87vr38moulr4gde4hzd 4 11043 383854 335261 2026-04-15T09:08:34Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383854 wikitext text/x-wiki <languages /> Wikiversity är ett projekt av Wikimedia Foundation vars mål är att använda Wikitekniken för undervisning. Lär mer på [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:Mission]]. [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] f87venw2flnedaaux71evj288g7blxi 10 12243 383829 381160 2026-04-14T17:26:00Z ~2026-23060-54 55428 383829 wikitext text/x-wiki {{#invoke:languages|browse}}<includeonly>{{#if:{{{category|?}}}|[[Category:{{{category|Pages allowing language selection{{#translation:}}}}}]]}}</includeonly><noinclude> See {{[[:template:languages|languages]]}} for a complete list of supported languages. == Usage == <pre> {{Browse2 | ar = | bg = | br = | cs = | de = | el = | en = | eo = | es = | fi = | fr = | it = | id = | ja = | ksh = | nl = | no = | pt = | ru = | tr = | zh = }} </pre> [[Category:Multilingualism templates|{{PAGENAME}}]] </noinclude> 6si8fw5jq6u4ur3tdy8s296aef88sz2 4 15139 383838 335249 2026-04-15T09:08:26Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383838 wikitext text/x-wiki <languages /> <div class="mw-translate-fuzzy"> Реализирайки тази цел, участниците могат да поставят други цели и задачи за поддръжка на обучението и създаване на нови материали. </div> [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] pegvf1y36k6zaupdk7yuu5xsrrr5oo2 4 32677 383849 335257 2026-04-15T09:08:31Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383849 wikitext text/x-wiki <languages /> Wikiversity è un progetto della Wikimedia Foundation che usa la tecnologia [[wiki]] per il supporto dell'apprendimento online .Per maggiore info [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:Mission]]. [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] lqhn1vejw1m5elctpo809vxqr7miyol 4 33385 383843 335251 2026-04-15T09:08:28Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383843 wikitext text/x-wiki <languages /> Wikiversity is a Wikimedia Foundation project devoted to using [[w:Wiki|wiki]] technology to support online learning. More info at [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:Mission]]. [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] ly632agi2h9y0dleerp7pacz1ws9n0l 4 33601 383857 335262 2026-04-15T09:08:35Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383857 wikitext text/x-wiki <languages /> Vikiversite, çevrimiçi öğrenmeyi desteklemek için [[:tr:viki|viki]] teknolojisini kullanmaya adanmış bir Wikimedia Vakfı projesidir. [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Vikiversite:Misyon]] sayfasında daha fazla bilgi bulunabilir. [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] j3b3j99tjeqidb1oehc8dzlnzys9gfs 4 33957 383847 335255 2026-04-15T09:08:29Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383847 wikitext text/x-wiki <languages /> विकिवर्सिटी, विकि तकनीक द्वारा ऑनलाइन शिक्षा को समर्पित, विकिमीडिया संस्थान की एक परियोजना है। अधिक जानकारी के लिए [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:लक्ष्य]] देखें। [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] 4d44whtlicfb5kwjz6a1pgqy7t2z006 4 36670 383848 335256 2026-04-15T09:08:30Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383848 wikitext text/x-wiki <languages /> Wikiversity adalah sebuah proyek Yayasan Wikimedia yang ditujukan untuk penggunaan teknologi [[wiki]] dalam mendukung pembelajaran daring. Info lebih lanjut di [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:Mission]]. [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] oj91ngtyq51dpsy87og0f4pcnikibsa 4 36934 383852 335259 2026-04-15T09:08:33Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383852 wikitext text/x-wiki <languages /> Wikiversidade é um projeto da Fundação Wikimedia dedicado ao uso tecnologia na [[wiki]] para apoiar a aprendizagem on-line. Mais informações em [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversidade:Missão]]. [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] avpmv6fbct77yp4qjirq30p7zohcuks 4 37839 383840 335250 2026-04-15T09:08:27Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383840 wikitext text/x-wiki <languages /> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity is a Wikimedia Foundation project devoted to using [[w:Wiki|wiki]] technology to support online learning. More info at [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:Mission]]. </div> [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] egwj3m8e45t858gxqf1ckftohwcjgv8 4 39410 383844 351679 2026-04-15T09:08:29Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383844 wikitext text/x-wiki <languages /> ویکی‌دانشگاه یک پروژه از بنیاد ویکی‌مدیا است که از فناوری [[w:Wiki|ویکی]] جهت پشتیبانی از یادگیری برخط استفاده می‌کند. اطلاعات بیش‌تر در [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|ویکی‌دانشگاه:مأموریت]]. [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] 5jlzxa6tuyoogzgzzwmlimje4gro6cl 4 43669 383858 335263 2026-04-15T09:08:35Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383858 wikitext text/x-wiki <languages /> Wikiversity là một dự án của Wikimedia Foundation dành cho việc sử dụng công nghệ [[w:Wiki|wiki]] để hỗ trợ học tập trực tuyến. Thêm thông tin tại [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:Mission]]. [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] 991eo1lbmv4owhk3apxvjhzckmb6she 0 45746 383814 383778 2026-04-14T16:58:23Z Profev 36331 /* Els vectors */ + 383814 wikitext text/x-wiki Aquest resum intenta accedir a totes les branques de la geometria d'una forma breu i precisa donant propostes d'accés cap a altres mètodes més sintètics. === Matrius === Les matrius són valors reals agrupats en una quadrícula rectangular o recuadre. {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Ocultar" |Exemples de matrius segons el tipus de valors i possible procedència. |- |style="background:#fff;"|Matriu de nombres binaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en definir imatges en blanc i negre o definir grafs. Matrius de nombres fraccionaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{5}\\ \frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en resoldre sistemes d'equacions. Matrius de nombres reals: ::<math>\begin{pmatrix} \pi & 0\\ 0 & e \\ -1 & \sqrt{2}\end{pmatrix}</math> :: Podrien aparèixer només en problemes molt particulars. |} ==== Notació ==== Per referir-se a cada un dels valors d'una matriu usarem els termes <math>a_{i\,j}</math><ref>Els subíndex '''i''' i '''j''' es refereixen a cadascun dels possibles valors que poden prendre dins d'una matriu concreta, com un ''punt'' en un sistema de coordenades. Si la matriu és de '''n''' files i '''m''' columnes, <math>n\times m</math>, vol dir que '''i''' pot prendre els valors que van des de <math>i=1</math> fins arribar a <math>i=n</math> i el mateix per '''j''' que pot prendre valors de <math>j=1</math> fins arribar a <math>j=m</math>, essent aquesta notació una forma de referir-se a tots els termes d'una matriu i com que normalment no s'utilitzen amb valors majors que 9 la notació ha fet la contracció <math>a_{i,\,j}</math> <math>=a_{i\,j}</math>.</ref> de les dues següents maneres: :{|cellspacing="5" cellpadding="5" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="410px" |<math>A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & \cdots & a_{1\,n}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & \cdots & a_{2\,n}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & \cdots & a_{3\,n}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & \cdots & a_{4\,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & a_{m\,2} & a_{m\,3} & a_{m\,4} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}=(a_{i\,j})_{m\times n}</math> |} *En direm '''matriu de dimensió <math>m\times n</math>''', els dos subíndex sempre en aquest ordre, altura m i amplada n. :'''Nota''': No es considera matriu si té dimensió <math>1\times 1</math> :El conjunt de totes les matrius <math>m\times n</math> s'escriu <math>M_{m\times n}.</math> *Els noms habitualment en majúscula: A, B, C, D, E, F, G, H, I, ... . ===== Exemples ===== 1) Donada una matriu <math>4\times 5</math> tenim que és de la forma: ::<math>A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 6 & 0\\ -5 & 4 & 8 & 10 & 2\\ 0 & 7 & 0 & -4 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & a_{1\,5}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & a_{2\,5}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & a_{4\,5} \end{pmatrix}=(a_{i\;j})_{4\times 5}</math> :Dins d'una matriu també es poden identificar matrius i elements concrets com: :*'''Matrius columna''' <math>c_4(A)=\begin{pmatrix}-1\\ 6\\ 10\\ -4\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,4}\\ a_{2\,4}\\ a_{3\,4}\\ a_{4\,4}\end{pmatrix}=(a_{i\,4})_{4}.</math> :*'''Matriu fila''' <math>f_3(A)=\begin{pmatrix} -5 & 4 & 8 & 10 & 2\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\end{pmatrix}=(a_{3\;j})_{5}.</math> :*Elements de la '''diagonal''' són els elements <math>(a_{i\,i})</math> com <math>a_{1\,1}=2,</math> <math>a_{2\,2}=3,</math> <math>a_{3\,3}=8</math> o també <math>a_{4\,4}=-4.</math> :*'''Matriu transposada''' és la matriu resultant de convertir totes les columnes <math>c_i</math> en files <math>f_i</math> de forma que els elements <math>a_{i\,j}</math> ara ocupen el lloc simètric <math>b_{j\,i}</math> dins una nova matriu, en aquest cas obtenim una matriu <math>5\times 4</math>: ::<math>\begin{pmatrix} 2 & 0 & -5 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 8 & 0\\ -1& 6 & 10 & -4\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}=(b_{i\,j})_{5\times 4}</math> 2) '''Matrius quadrades''' si <math>m = n</math>, és a dir que l'amplada és igual a l'altura. :*'''Matriu diagonal''' si fora de la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular superior''' si sota la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}3 & -3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & -3 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 8 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular inferior''' si sobre la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0 & 2 & 0\\ 2 & 7 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu simètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 & 8 & -4\\ 3 & -4 & 1 & -1 & -5\\ 5 & 1 & 0 & 4 & 2\\ 8 & -1 & 4 & -2 & 9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & -3 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu antisimètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=-a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} -7 & -3 & -5 & -8 & 4\\ 3 & 1 & -1 & 0 & 5\\ 5 & 1 & 1 & -4 & -2\\ 8 & 0 & 4 & 1 & -9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & 1 \end{pmatrix}</math> 3) '''Matriu zero''' o nul·la si tots els elements són zeros i el seu nom és excepcionalment 0: ::<math>\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> ==== Operacions ==== Principals operacions on intervenen matrius, detallant cada element que s'opera. Estalviarem escriure termes utilitzant els punts suspensius que indiquen continuació ordenada, és a dir, escriurem <math>(a_{1\,1}\;\dots\;a_{1\,8})</math> en comptes de <math>(a_{1\,1}\;\;a_{1\,2}\;\;a_{1\,3}\;\;a_{1\,4}\;\;a_{1\,5}\;\;a_{1\,6}\;\;a_{1\,7}\;\;a_{1\,8}).</math> ===== Suma de matrius ===== Suma de dues matrius A i B es defineix per: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>A+B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m\,1} & \cdots & b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1}+b_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}+b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1}+b_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}+b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(a_{i\,j}+b_{i\,j})</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' *Propietat associativa: <math>A+(B+C)=(A+B)+C,</math> en aquest cas podem escriure simplement <math>A+B+C</math>. *Propietat commutativa: <math>A+B=B+A.</math> *Element neutre: <math>A+0=A,</math> en aquest cas direm que la matriu 0 és l'element zero. *Element invers: Donat <math>A,</math> existeix un element <math>-A</math> tal que <math>A+(-A)=0,</math> en aquest cas direm element oposat o negatiu, i podem escriure <math>A-A=0.</math> |} D'aquesta operació no en resulten noves matrius amb dimensions diferents.<ref>Aquesta propietat s'escriu com <math>M_{m\times n}+M_{m\times n}\longrightarrow M_{m\times n}.</math></ref> ====== Exemples ====== 1) <math>=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1+0 & 0+2\\ -2+0 & 1+1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 2 \end{pmatrix}</math> ===== Producte per escalar ===== Producte d'un valor real k '''per''' una matriu A es defineix per: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>k\cdot A</math> <math>=k\cdot\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}k\cdot a_{1\,1} & \cdots & k\cdot a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ k\cdot a_{m\,1} & \cdots & k\cdot a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(k\cdot a_{i\,j})</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' *Propietat distributiva respecte la suma de matrius: <math>a(A+B)=aA+aB.</math> *Propietat distributiva respecte la suma d'escalars: <math>(a+b)A=aA+bA.</math> *Propietat associativa: <math>(a\cdot b)A=a(b\cdot A).</math> *Element neutre respecte el producte: <math>1\cdot A=A,</math> l'anomenarem element unitat o u. |} ===== Producte de matrius ===== Bàsicament un producte de matrius repeteix el concepte de '''fila per columna''' i només en aquest ordre. Producte d'una matriu fila, f, <math>1\times n</math> per una matriu columna, c, <math>n\times 1</math>:<ref>En aquest cas particular no es posa l'índex corresponent a la dimensió 1, d'una matriu <math>1\times n</math> o <math>n\times 1,</math> i simplement es diu matriu fila de dimensió n o matriu columna de dimensió n.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" |<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n\end{pmatrix}</math> <math>=f(A)\cdot c(B)</math> <math>=a_1\cdot b_1+ \ldots + a_n\cdot b_n</math> <math>=d.</math> |} Més àmpliament el '''producte''' de matrius en general, que també és '''composició''' d'aplicacions <math>f\circ g=f(g)</math>, queda determinat de la següent manera: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,p}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,p} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p\,1} & \cdots & b_{p\,m} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}f_1(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_1(A)\cdot c_m(B)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_n(A)\cdot c_m(B) \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}d_{1\,1} & \cdots & d_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n\,1} & \cdots & d_{n\,m} \end{pmatrix}</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' No sempre commuta el producte de matrius <math>AB\neq BA.</math> *Propietat associativa: <math>A(BC)=(AB)C.</math> *Propietat distributiva: <math>A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC.</math> *Element neutre: <math>I_1A=AI_2=A</math>, l'anomenarem matriu identitat. ::<math>I_1</math> i <math>I_2</math> son matrius quadrades i poden ser de diferent dimensió(ordre), en aquest cas depenent de A. <math>Id_{2\times 2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix},</math> <math>Id_{3\times 3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},</math> <math>Id_{4\times 4}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\;\dots</math> Les matrius identitat són matrius diagonal i quadrades amb 1 a tota la diagonal i zero a la resta de llocs. *El producte d'una matriu <math>n\times p</math> per una matriu <math>p\times m</math> donant una matriu <math>n\times m</math>: *Es parla d'invers només d'una matriu quadrada, <math>n\times n</math>, si donat A podem obtenir <math>A^{-1}</math> tal que <math>AA^{-1}=A^{-1}A=I</math> que no sempre hi ha. |} ====== Exercicis de matrius ====== 1) Efectua les operacions proposades i digues o informa de les dimensions dels resultats com a mètode de comprovació obligat: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;" align="center" |<math>A_{n\times p}\;\cdot\;B_{p\times m}=C_{n\times m}</math> |} :a)<math>(1\; 2\;3\;4\;5)\cdot \begin{pmatrix}6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix}=</math> :b)<math>\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix}=</math> :c)<math>\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 3 & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\ 7 \end{pmatrix}=</math> :d)<math>(1\;\;-1\;\;2\;\;-2) \begin{pmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8\\ 9 & 10 \end{pmatrix}=</math> :e)<math>(1\;\; 2)\begin{pmatrix}3 & 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 & 10 \end{pmatrix}=</math> :f)<math>\begin{pmatrix}2 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 5\\ 6 & 7 \end{pmatrix}=</math> :g)<math>\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \\4 & -5 & -3 \end{pmatrix}=</math> :h)<math>\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 4 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1 \end{pmatrix}=</math> 2) Calcula cada matriu B que compleix cadascuna de les equacions <math>A=\begin{pmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}</math> :a)<math>A\;B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> :b)<math>A\;B = Id</math> :c)<math>2A+B=A^2</math> :d)<math>A=2\;(B-Id)</math> === Sistemes lineals === Els sistemes lineals estan associats a matrius de forma natural quan tenim <math>A_{mn}\cdot X=B ,</math> tenim la equivalència: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #f66;"|<math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |} Direm que el l'equació <math>A_{mn}\cdot X=B</math> equival a un sistema de m equacions i n incògnites. Ens interesa resoldre sistemes lineals amb n i m menors que 4, tot i que apareixen de més grans de forma puntual. ==== Resolució de sistemes lineals ==== Observem el sistema lineal següent que té associat una matriu triangular superior: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 5 & -4\\ 0 & -1 & 3 & -2 & 2\\ 0 & 0 & -3 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #bbb;"|<math>\begin{matrix} 2x + y -3z +5t -4s & =0\\ \;\;\;\;\;-y+3z-2t+2s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-3z+0t+s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t-2s & =-2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4s & = 4 \end{matrix}</math> |} Per solucionar el sistema començarem a resoldre'l per l'última equació i continuarem per la de sobre successivament fins la primera equació: :<math>4s=4</math> <math>\Rightarrow s=1</math> :<math>t-2s=-2</math> <math>\Rightarrow t-2(1)=-2</math> <math>\Rightarrow t=0</math> :<math>-3z+0t+s=0</math> <math>\Rightarrow -3z+0(0)+(1)=0</math> <math>\Rightarrow z=\tfrac{1}{3}</math> :<math>-y+3z-2t+2s=0</math> <math>\Rightarrow -y+3\left(\tfrac{1}{3}\right)-2(0)+2(1)=0</math> <math>\Rightarrow y=3</math> :<math>2x + y -3z +5t -4s=0</math> <math>\Rightarrow 2x + (3) -3\left(\tfrac{1}{3}\right) +5(0) -4(1)=0</math> <math>\Rightarrow x=1</math> Per tant la solució és <math>\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 3\\ \tfrac{1}{3}\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.</math> ==== Triangulació ==== Intentarem convertir un sistema qualsevol en un sistema associat a una matriu triangular superior seguint les regles següents: :1) Les equacions es poden sumar o restar entre elles. ::1.1) Les equacions es poden multiplicar o dividir per un valor concret. :2) Les equacions es poden intercanviar de lloc entre elles. :3) L'objectiu prioritari és fer zeros sota el primer terme de cada equació. És possible que la matriu triangular tingui zeros a la diagonal, això només vol dir que el sistema associat té més d'una solució. ===== Exemple ===== Donat el sistema següent, busqueu els valors de x, y i z. :<math>\begin{matrix} 5x+y-7z=11\\ 2x-5y+3z=4\\ x-2y+z=3 \end{matrix}\Bigg\}</math> El primer pas és reordenar les equacions <math>eq_1 \leftrightarrow eq_3</math> per poder treballar amb nombres petits al que podríem dir diagonal: :<math>\begin{matrix} x-2y+z=3\\ 2x-5y+3z=4\\ 5x+y-7z=11 \end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_2-2\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\\ \;\;0-y\;+z=-2\\ 5x+y-7z=11\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-5\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x\;-2y+\;z\;=3\;\;\;\\ 0\;\;-y\;+\;z\;=-2\\ 0+11y-12z=-4\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3+11\cdot eq_2\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\;\;\;\\ 0\;-y\;+z=-2\\ 0\;+0-z=-26\end{matrix}\Bigg\}</math> Ara ja podem resoldre els sistema: :<math>z=26</math> :<math>-y+z=-2</math> <math>\rightarrow -y+(26)=-2</math> <math>\rightarrow y=28</math> :<math>x-2y+z=3</math> <math>\rightarrow x-2(28)+(26)=3</math> <math>\rightarrow x=33</math> Per tant els sistema té una única solució <math>(26,28,33).</math> === Determinant === El determinant és un mètode que permet mesurar la informació redundant dins d'una matriu quadrada nxn exclusivament. Amb aquest objectiu podem obtenir tres lleis que afecten a files i columnes a l'interior de la matriu:<ref>Aquestes propietats equivalen a dos de les tres condicions teòriques amb les que realment s'ha construït el '''determinant''' quedant així una idea més natural que els alumnes es poden trobar al batxillerat.</ref> :1) Volem sumar o restar unes files a unes altres sense que es modifiqui el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :2) Volem intercanviar files sense que es modifiqui en termes absoluts el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :3) Tenir una fila de zeros equival a un determinant igual a zero, el mateix ha de succeir si tenim una columna de zeros. Tot això es va aconseguir, però al punt 2 s'ha observat un canvi de signe quan intercanvies l'ordre dues files o columnes. ==== Determinant de matrius 2x2 ==== [[File:Det2x2.svg|thumb|250px|Signatura]] El determinant d'una matriu 2x2 es calcula així: :<math>\det\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}</math> <math>=ad-cb.</math> La imatge mostra una signatura per recordar l'ordre de les operacions en forma d'embut. ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 8-3\cdot 5</math> <math>=-7.</math> ==== Determinant de matrius 3x3 ==== [[File:Espejo.svg|thumb|150px|Signatura alternativa.]] El determinant d'una matriu 3x3 fem: :<math>\det\begin{pmatrix} a_{1\;1} & a_{1\;2} & a_{1\;3}\\ a_{2\;1} & a_{2\;2} & a_{2\;3}\\ a_{3\;1} & a_{3\;2} & a_{3\;3}\end{pmatrix}</math> <math>=\color{blue}{a_{1\;1}a_{2\;2}a_{3\;3}+a_{1\;2}a_{2\;3}a_{3\;1}+a_{1\;3}a_{2\;1}a_{3\;2}}\color{black}{-(}\color{red}{a_{1\;3}a_{2\;2}a_{3\;1}+a_{1\;2}a_{2\;1}a_{3\;3}+a_{1\;1}a_{2\;3}a_{3\;2}}\color{black}{).}</math> La imatge següent mostra una signatura particular per recordar l'ordre de les operacions [[File:Det3x3a1.svg|350px]] ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 5\cdot (-1)+2\cdot 6\cdot 7+4\cdot 8\cdot 3-(3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot (-1)+6\cdot 8\cdot 1)</math> <math>=-5+84+96-(105-8+48)</math> <math>=175-(142)=33.</math> ==== Determinant de matrius nxn ==== Per fer determinants de matrius de dimensió més grans que 3 l'objectiu és aconseguir una fila o columna on tots els termes siguin zero excepte un d'ells. Regles: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) Les files poden sumar o restar a un altra tantes vegades com calgui. Idem columnes. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2+f_1}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 1 & 5 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}=5-3=2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) Si un valor multiplica una fila, llavors es multiplica el determinant. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2\cdot 5}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 5\cdot 3 & 0\\ 0 & 5\cdot 2 & 0\\ 3 & 5\cdot 1 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 15 & 0\\ 0 & 10 & 0\\ 3 & 5 & 1\end{vmatrix}=10=2\cdot 5</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|3) Si intercanviem dues files, llavors el determinant canvia de signe. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2 \leftrightarrow f_3}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 3 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 0\end{vmatrix}=-2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|4) Si una fila té tots els elements zeros, llavors el determinant és zero. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 10^2\\ 0 & \pi & 3\\ 0 & -1 & 12\end{vmatrix}</math> <math>=0</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|5) Si aconseguim una fila o columna de zeros excepte un d'ells, llavors la fila i columna corresponent a aquest valor es poden eliminar de la matriu, quedant una matriu (n-1)x(n-1), i aquest valor surt fora de la matriu multiplicat pel signe corresponent a la seva posició segons la matriu: :::<math>\begin{pmatrix} + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}</math> }} |- |Exemple: :::<math>\det(A)=\begin{vmatrix} 4 & -3 & 1 & 9\\ 0 & 5 & 6 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))\begin{vmatrix} 5 & 6 & 1\\ 2 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))(-(2))\begin{vmatrix} 6 & 1\\ 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=4\cdot(-2)(6\cdot 7-4\cdot 1)=-304.</math> |} ==== Propietats ==== 1) <math>\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)</math> 2) En general <math>\det(A+ B)\neq\det(A)+\det(B)</math> === Tipus de sistemes === Per tancar l'estudi de sistemes lineals només cal classificar els aquests sistemes donant una interpretació geomètrica per entendre el que es cuina al seu interior. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="400px" |colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Observació''' d'una equació lineal.}} |- | *Una equació lineal amb una incògnita pot determinar un únic punt sobre la recta real. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Una equació lineal amb dos incògnites pot determinar una única recta sobre el pla real. :[[File:RectaOrigen001.svg|300px]] *Una equació lineal amb tres incògnites pot determinar un pla sobre l'espai real. :[[File:Plano001.svg|300px]] Cada equació pot determinar elements amb una dimensió menys que l'espai on es troba. |} Buscar les solucions d'un sistema d'equacions lineals és buscar punts comuns que satisfan totes les equacions a la vegada, és a dir que busquem el lloc de trobada de tots els objectes de cada equació. :Direm que un sistema té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les equacions quedant només '''r''' equacions. :Direm que una matriu té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les files quedant només '''r''' files. :Direm que la matriu associada a un sistema lineal és '''ampliada''' si s'afegeix una '''nova columna''' corresponent als termes independents de les equacions, per parlar del rang d'una matriu ampliada escriurem que '''rang=r*'''. :::{|cellpadding="3" |- ||Sistema <math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu del sistema <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}\end{pmatrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu ampliada <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n} & b_1\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} & b_m \end{pmatrix}</math> |} '''Exemple''' :Donat el següent sistema, calculeu el seu rang: <math>\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+2u=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;2x-2y\;\;\;\;\;\;+2t+5u=7\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t\;\;+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-2\cdot eq_2\;\;}\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5+eq_1\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_4+eq_2\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5-3\cdot eq_4\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\leftarrow</math> '''rang = 4'''. Classificació dels sistemes lineals amb '''n''' incògnites. {|style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" |- |<math>Sistema\;\;lineal=\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;SC\\r=r*\end{matrix}\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;Determinat\;\;SCD\\r=n\end{matrix} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;indeterminat\;\;SCI\\r<n\end{matrix} \end{cases} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Incompatible\;\;SI\\r<r*\end{matrix}\end{cases}</math> |} :'''SCD:''' Una única solució, un punt. :'''SCI:''' Conjunt de solucions formant objectes de dimensió n-r. :'''SI:''' Sense solucions, segurament perquè alguns dels objectes és paral·lel a un altre o interseccions d'altres objectes. Ara sí podem estudiar les situacions que ens trobarem més sovint al batxillerat. ==== Sistemes lineals de dos incògnites ==== Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són rectes concurrents en un únic punt i es podran simplificar fins a restar-ne només dos equacions. :Una interpretació geomètrica seria imaginar tan rectes secants com rectes perpendiculars en un mateix punt que podem o no veure, d'això se'n diu feix de rectes: ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante001.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante002.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante003.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que totes les equacions són idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació. Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. :Una interpretació geomètrica seria imaginar rectes que no tenen punts en comú a totes les rectes a la vegada: o bé almenys un parell de rectes són paral·leles o bé en el punt on concorren les rectes manca almenys una recta. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaParalela001.svg|200px]] |} ==== Sistemes lineals de tres incògnites ==== Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són plans que passen per un sol punt i es podran simplificar fins a restar-ne només tres equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:TresPlanos001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que podria ser des de equacions idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació o també a més a més podria ser que tenim un feix de plans, es a dir que tots es tallen sobre una recta i per tant les seves equacions simplifiquen en només dues equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:Diedro001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. === Regla de Cramer === Gabriel Cramer(1704-1752) va ser el primer en fer la resolució de sistemes lineals amb el que avui anomenem determinats, d'aquí el seu nom al mètode. Donat un sistema lineal '''nxn''': ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}</math> La solució general de <math>x_i</math> és la divisió de dos determinants, al denominador el determinant de la matriu associada i al numerador el determinant de la mateixa matriu però substituint la columna ('''i''') per la columna del terme independent i encara que no sigui molt rigorós indicat així: ::<math>x_i=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,i-1} & b_1 & a_{1\,i+1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,i-1} & b_n & a_{n\,i+1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}</math> Clarament per estar ben definit necessitem que el determinant del denominador sigui diferent de zero i llavors el sistema és '''SCD'''. L'únic inconvenient és que mentre més gran el sistema, més determinats s'ha de fer i per tant és prohibitiu el seu ús en la computació ja que els càlculs creixen desorbitadament. De fet el sistema de triangulació és uns dels més eficients i la resta de mètodes són variants d'aquest. ==== Resolució de sistemes 2x2 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_{1} & a_{1\,2}\\ b_{2} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_{1}\\ a_{2\,1} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem solucions al sistema <math>\begin{matrix} x-y & =3\\ 2x+y & =6 \end{matrix}</math> :<math>\det(A)</math> <math>=\det\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=1\cdot 1-(2\cdot (-1))</math> <math>=3.</math> :<math>x</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 6 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}.</math> :<math>x=\frac{9}{3}=3\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y=\frac{0}{3}=0</math> ==== Resolució de sistemes 3x3 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1 & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ b_2 & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ b_3 & a_{3\,2} & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|, |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_1 & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & b_2 & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & b_3 & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_3=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & b_1\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & b_2\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & b_3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem les solucions del sistema <math>\begin{cases}x+y=1\\ x+z=2\\ y+z=3\end{cases}</math> :<math>x=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{0}{-2}=0</math> :<math>y=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-2}{-2}=1</math> :<math>z=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-4}{-2}=2</math> == Geometria == La geometria ha canviat molt des del temps d'Euclides(300 aC), en aquest curs només veurem el treball que es coneix amb el nom de "Espai vectorial euclidià" però sense entrar en els fonaments d'aquest espai particular. Donarem els elements necessaris per treballar detalladament amb diversos objectes. === Elements === ==== Els punts ==== Només cal saber que són els elements més simples a partir dels quals es poden fer tots els altres elements i que es consideren com la base d'altres conceptes. '''Exemples''' *Un punt sobre la recta real és un el element del conjunt <math>\mathbb{R}</math> i coincideix amb el concepte d'un nombre real: el 5, el -4, el 1000, etc. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Un punt sobre el pla real és un element del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> i la seva forma d'escriure és <math>(3,5)</math> on 3 és la coordenada horitzontal i 5 és la coordenada vertical d'aquest punt. [[File:Coordinate with Origin.svg|200px]] *Un punt sobre l'espai real és un elements del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math> i la seva forma d'escriure és <math>(1,-3,7)</math> on 1 és una coordenada horitzontal(com llargada), -3 és una segona coordenada horitzontal(com amplada) i 7 és la coordenada vertical(simplement s'estén verticalment sobre de les altres dues). [[File:3D coordinate system.svg|200px]] Es té constància que el primer en idear aquestes representacions va ser René Descartes(1596-1650) i és així quan es va iniciar la nova geometria analítica permetent les representacions gràfiques. ==== Els vectors ==== [[File:Vector AB from A to B.svg|right|300px]] El concepte de vector a la geometria<ref>Les primeres aplicacions no utilitzen punts perquè només volien saber el seu mòdul i la direcció, i res més, però posteriorment s'ha donat un suport teòric molt més acurat del concepte de vector que és el que s'utilitza actualment a la geometria analítica</ref> està lligat a dos punts, per simplificar, al batxillerat pensarem que és un segment, és a dir, que geomètricament és físicament una línia recta o un camí entre dos punts dins una línia recta així podrem allargar-la(o equivalentment multiplicar-la per nombres enters) o escurçar-la( o equivalentment dividir-la) simplement multiplicant-la amb nombres més grans que 1 o nombres més petits que 1 respectivament. '''Definició i notació:''' Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^2</math><ref name="a"><math>\mathbb{R}^2</math> resumidament vol dir que tenen dos coordenades, <math>\mathbb{R}^3</math> vol dir que tenen tres coordenades i així <math>\mathbb{R}^n</math> vol dir que té '''n''' coordenades.</ref>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2)</math> és i està format com segueix: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2)</math> Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^3</math><ref name="a"/>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2,\;a_3)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2,\;b_3)</math> és i està format com segueix: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2,\;b_3-a_3)</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:550px;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Observació''' |- |Amb la mateixa operació de resta de matrius files s'obté una matriu fila que serà un vector. Llavors es generen les excepcions conceptuals següents:<ref>És excepció conceptual perquè intuïtivament de les operacions de dos elements del mateix tipus resulten un altre del mateix tipus i en canvi aparentment no passa; la raó és que això es pot fer si està escudat teòricament.</ref> *Si tenim un origen i un vector llavors tenim el destí. *Si tenim un origen i un destí llavors tenim el vector. *Si tenim un vector i un destí llavors tenim l'origen. S'interpreta algebraicament i respectivament com: :<math>B=\vec{v}+A</math> :<math>\vec{v}=B-A</math> :<math>A=B-\vec{v}</math> |} Per utilitzar vectors necessitem les principals operacions que definim tot seguit i fixeu-vos la semblança amb les operacions de matrius: ===== Suma de vectors ===== Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2).</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).</math> ====== Propietats de la suma ====== 1) Propietat commutativa: <math>\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}</math> 2) Propietat associativa: <math>\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}</math> :'''Nota''': Com a conseqüència podem escriure simplement <math>\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.</math> 3) Existeix '''element neutre''' <math>\vec{0}</math> si sempre <math>\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}.</math> 4) Tot vector, <math>\vec{u},</math> té invers additiu, <math>-\vec{u},</math> si <math>\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{u}-\vec{u}=\vec{0}.</math> ===== Producte per escalar ===== Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2).</math> Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2,\;\lambda\cdot u_3).</math> ====== Propietats del producte per escalar ====== 1) Propietat associativa: <math>\lambda\cdot(\beta\cdot\vec{u})=(\lambda\cdot\beta)\cdot\vec{u}.</math> :'''Nota''': Com a conseqüència podem escriure simplement <math>\lambda \beta \vec{u}.</math> 2) Existeix '''l'element neutre 1''' si sempre <math>1\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot 1=\vec{u}.</math> 3) Les propietats distributives: <math>(\lambda+\beta)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{u}</math> i <math>\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1) Estic en el punt <math>A=(5,\;5)</math> i casa meva està en el punt <math>B=(2,\;3).</math> Si camino en línia recta 5 vegades aquesta distància arribaria a la biblioteca. ¿En quin lloc està la biblioteca? ;Resolució: *El camí que va a casa meva ve determinat pel vector: ::<math>\vec{AB} =B-A=(2,\;3)-(5,\;5)=(-3,\;-2).</math> *Per tant si camino, des d'on estic i en línia recta, 5 vegades més, estic fent aquesta operació: ::<math>A+5\cdot\vec{AB}</math> <math>=(5,\;5)+5\cdot (-3,\;-2)</math> <math>=(5,\;5)+(5\cdot (-3),\;5\cdot (-2))</math> <math>=(5,\;5)+(-15,\;-10)</math> <math>=(-10,\;-5).</math> Solució: La biblioteca està al punt <math>C=(-10,\;-5).</math> 2) Dos arbres estan en els punts <math>A=(2,\;3)</math> i <math>B=(4,\;1),</math> però a mig camí d'un a l'altre hi ha un tresor. ¿On? ;Resolució: *El camí de A a B és: ::<math>\vec{AB}</math> <math>=B-A</math> <math>=(4,\;1)-(2,\;3)</math> <math>=(2,\;-2).</math> *Per trobar el punt mig del camí de A a B només cal fer la meitat del recorregut, és a dir: ::<math>\frac{\vec{AB}}{2}=\frac{(2,\;-2)}{2}</math> <math>=\tfrac{1}{2}(2,\;-2)</math> <math>=(\tfrac{1}{2}2,\;\tfrac{1}{2}(-2))</math> <math>=(1,\;-1).</math> Solució: el punt que busquem és <math>C</math> <math>=A+\frac{\vec{AB}}{2}</math> <math>=(2,\;3)+(1,\;-1)</math> <math>=(3,\;2).</math> |} ===== Producte a escalar ===== Sintèticament el producte a escalar és:<ref>El producte escalar té una part teòrica molt més profunda i molt condicionada, però pel curs de batxillerat es redueix simplement a un cas molt particular del producte de matrius.</ref> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2.</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3.</math> ====== Propietats del producte a escalar ====== No es gaire rellevant però per curiositat tenim les dos principals. 1) <math>\vec{u}\cdot\vec{u}\geqslant 0</math> sempre. 2) <math>\vec{u}\cdot\vec{u}=0\Leftrightarrow\vec{u}=\vec{0}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1)Sigui <math>\vec{u}=(1,\;2)</math> i <math>\vec{v}=(3,\;4)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(1,\;2)\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}=1\cdot 3+2\cdot 4=11</math> <math>\Rightarrow k=11.</math> 2)Sigui <math>\vec{u}=(3,\;4,\;5)</math> i <math>\vec{v}=(1,\;0,\;2)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(3,\;4,\;5)\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}=3\cdot 1+4\cdot 0+5\cdot 2=13.</math> <math>\Rightarrow k=13.</math> No es gaire difícil pensar en la mateixa operació per a vectors de 4 valors o més. |} ====== Longitud d'un vector ====== La longitud d'un vector més coneguda com '''mòdul''' d'un vector és el resultat de considerar el teorema de Pitàgores per trobar la hipotenuses segons el cas. Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.</math> Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2+u_3\cdot u_3}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |[[File:Vector(1,1).svg|150px|right]] 1) La longitud o mòdul del vector <math>\vec{u}=(1,\;1),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{u}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math> :Observem que la longitud del vector és la hipotenusa del triangle rectangle dibuixat, i per tant, és equivalent al teorema de Pitàgores. 2) La longitud de <math>\vec{u}=(3,0)</math> és <math>L_\vec{u}=\sqrt{3^2+0^2}=3,</math> és el cas intuïtiu en que no és hipotenusa. 3) Longitud del vector <math>\vec{w}=(1,\;-1,\;0),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2},</math> cas en que el vector a l'espai té un valor nul, llavors la longitud es la mateixa que un vector de dos valors. 4) Longitud del vector <math>\vec{w}=(3,\;4,\;12),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13,</math> |} ====== Vectors unitaris ====== Per obtenir un vectors unitaris o vectors de longitud 1 a partir d'un vector qualsevol no nul, simplement s'ha d'extreure la seva longitud dividint el vector per la seva longitud: :<math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}</math> Construït així, aquest vector <math>\hat{u}</math> té longitud 1.<ref>La raó és la semblança de triangles, donat el triangle rectangle 3u,4u,5u si es vol que la hipotenusa sigui de longitud 1, només cal dividir totes les mesures entre el valor de la hipotenusa actual que és 5, per tant el triangle queda com <math>\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5},\tfrac{5}{5},</math> és a dir <math>0'6u\,,\,0'8u\,,\,1u</math> que és un triangle que té hipotenusa 1 i té els mateixos angles, per tant, la mateixa forma. Parlant de vectors, tenen la mateixa direcció i són de longitud 1.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1) Càlcul de vectors unitaris: <math>\vec{u}=(5,12)</math> i <math>\vec{v}=(1,1,1)</math> :a) <math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}=\frac{(2,12)}{\sqrt{5^2+12^2} }=\frac{(2,12)}{13}=(\tfrac{2}{13},\tfrac{12}{13}).</math> :b) <math>\hat{v}=\frac{\vec{u}}{l_u}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} }=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}).</math> Per comprovar això, calculant ara la seva longitud ha de donar 1. |} ====== Angle entre dos vectors ====== Per calcular l'angle entre dos vectors qualssevol <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> s'utilitza la fórmula:<ref>Per provar propietats de longitud i angulars entre vectors es fa amb expressions úniques sobre bases ortonormals que ve a continuació, però escapa a l'objectiu del curs, així s'ha considerat aquest ordre d'explicació com el més intuïtiu, agrupat i ordenat.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Observació" data-collapsetext="Ocultar" |<math>cos(\alpha)=\hat{v}\cdot\hat{u}=\frac{\vec{v}}{l_\vec{u}}\cdot\frac{\vec{u}}{l_\vec{v}}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{l_\vec{u}\cdot l_\vec{v}}</math> |- |Per calcular l'angle entre vectors fa falta convertir-los en unitaris <math>\hat{v}</math> i <math>\hat{u},</math> només cal aplicar la idea del producte i utilitzar la fórmula trigonomètrica del cosinus dins la circumferència unitat. A la imatge s'observa l'angle entre l'eix '''x''', <math>\hat{v},</math> i el vector taronja, <math>\hat{u},</math> on el cosinus és la longitud del vector vermell: [[File:Trigo.gif|400px]] |} ====== Vectors ortogonals ====== Dos vectors <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> són perpendiculars, formen un angle recte o són '''ortogonals''' si: :<math>\vec{u}\cdot\vec{v}=0</math> Exemple: Els vectors (1,0,0), (0,1,0) i (0,0,1) són ortogonals. '''Exercici''': 1) Quins dels vectors següents són perpendiculars? '''notació''' es fa <math>\vec{a}\bot\vec{b}</math> per indicar perpendicularitat entre dos vectors. <math>\vec{u_1}=(1,0,0),\;\vec{u_2}=(0,1,0),\;\vec{u_3}=(0,1,1),\vec{u_4}=(0,1,-1)</math> ====== Projecció d'un vector ====== Per projectar un vector <math>\vec{v}</math> en la direcció <math>\vec{u},</math> es pren el vector unitari <math>\hat{u}</math> que ens indica purament la direcció de projecció, així: *Longitud del vector projectat és: <math>l_\vec{p}=\vec{v}\cdot\hat{u}.</math> *Vector projectat és: <math>\vec{p}=l_\vec{p}\cdot\hat{u}.</math> ===== Base ===== Les bases són conjunts reduïts de vectors que s'utilitzen per construir qualsevol possibles vectors d'un espai de treball. Conjunts de vectors anomenats base canònica: :Base canònica a <math>\mathbb{R}^2</math> és: <math>\hat{i}=(1,\;0)\;\;i\;\;\hat{j}=(0,\;1)</math> :Base canònica a <math>\mathbb{R}^3</math> és: <math>\hat{i}=(1,\;0,\;0)\;,\;\;\hat{j}=(0,\;1,\;0)\;\;i\;\;\hat{k}=(0,\;0,\;1)</math> Base qualsevol <math>\vec{u}=(1,\;2,\;3)\;,\;\;\vec{v}=(2,\;0,\;-1)\;\;i\;\;\vec{s}=(1,\;0,\;1)</math> A partir de qualsevol base si volem construir altres vectors es necessita entendre el següent concepte de combinació lineal. ====== Combinació lineal de vectors ====== Combinació lineal és fer sumes i restes de vectors amb productes per escalar. :<math>a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> '''Exemple''': Donats els vectors <math>\vec{u}=(1,\;-2,\;0)</math>, <math>\vec{v}=(0,\;5,\;-1)</math> i <math>\vec{s}=(-3,\;1,\;4)</math> calculeu <math>\vec{w}:</math> 1) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}+3\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=(1,\;-2,\;0)+(-1)\cdot (0,\;5,\;-1)+3\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(1,\;-2,\;0)+(0,\;-5,\;1)+(-9,\;3,\;12)</math> <math>=(-8,\;-4,\;13)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(-8,\;-4,\;13)</math> 2) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=5\cdot\vec{u}+2\cdot\vec{v}-4\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=5\cdot (1,\;-2,\;0)+2\cdot (0,\;5,\;-1)+(-4)\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(5,\;-10,\;0)+(0,\;10,\;-2)+(12,\;-4,\;-16)</math> <math>=(17,\;-4,\;-18)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(17,\;-4,\;-18)</math> ====== Coordenades ====== Donada una base <math>\vec{u}\;,\;\;\vec{v}\;\;i\;\;\vec{s}</math> inventada, llavors: Si <math>\vec{w}=3\cdot\vec{u}-5\cdot\vec{v}+7\cdot\vec{s}</math> direm que 3,-5 i 7 són les coordenades de <math>\vec{w}</math> en aquesta base i per tant <math>\vec{w}=(3,-5,7)</math> en aquesta base. ====== Dependència i independència lineal ====== Donats els vectors <math>\vec{u}\;,\;\;\vec{v}\;\;i\;\;\vec{s};</math> Direm que són linealment dependents si hi ha a,b i c '''no tots nuls''' tals que <math>\vec{0}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> Direm que són linealment independent si no hi ha a,b i c '''no tots nuls'' tals que <math>\vec{0}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> ====== Producte vectorial ====== == Notes i referències == {{Reflist}} [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 8niiwolozm3g5ut3h4hbr4bxlwhhvzn 383819 383814 2026-04-14T17:07:01Z Profev 36331 /* Regla de Cramer */ + 383819 wikitext text/x-wiki Aquest resum intenta accedir a totes les branques de la geometria d'una forma breu i precisa donant propostes d'accés cap a altres mètodes més sintètics. === Matrius === Les matrius són valors reals agrupats en una quadrícula rectangular o recuadre. {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Ocultar" |Exemples de matrius segons el tipus de valors i possible procedència. |- |style="background:#fff;"|Matriu de nombres binaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en definir imatges en blanc i negre o definir grafs. Matrius de nombres fraccionaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{5}\\ \frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en resoldre sistemes d'equacions. Matrius de nombres reals: ::<math>\begin{pmatrix} \pi & 0\\ 0 & e \\ -1 & \sqrt{2}\end{pmatrix}</math> :: Podrien aparèixer només en problemes molt particulars. |} ==== Notació ==== Per referir-se a cada un dels valors d'una matriu usarem els termes <math>a_{i\,j}</math><ref>Els subíndex '''i''' i '''j''' es refereixen a cadascun dels possibles valors que poden prendre dins d'una matriu concreta, com un ''punt'' en un sistema de coordenades. Si la matriu és de '''n''' files i '''m''' columnes, <math>n\times m</math>, vol dir que '''i''' pot prendre els valors que van des de <math>i=1</math> fins arribar a <math>i=n</math> i el mateix per '''j''' que pot prendre valors de <math>j=1</math> fins arribar a <math>j=m</math>, essent aquesta notació una forma de referir-se a tots els termes d'una matriu i com que normalment no s'utilitzen amb valors majors que 9 la notació ha fet la contracció <math>a_{i,\,j}</math> <math>=a_{i\,j}</math>.</ref> de les dues següents maneres: :{|cellspacing="5" cellpadding="5" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="410px" |<math>A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & \cdots & a_{1\,n}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & \cdots & a_{2\,n}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & \cdots & a_{3\,n}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & \cdots & a_{4\,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & a_{m\,2} & a_{m\,3} & a_{m\,4} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}=(a_{i\,j})_{m\times n}</math> |} *En direm '''matriu de dimensió <math>m\times n</math>''', els dos subíndex sempre en aquest ordre, altura m i amplada n. :'''Nota''': No es considera matriu si té dimensió <math>1\times 1</math> :El conjunt de totes les matrius <math>m\times n</math> s'escriu <math>M_{m\times n}.</math> *Els noms habitualment en majúscula: A, B, C, D, E, F, G, H, I, ... . ===== Exemples ===== 1) Donada una matriu <math>4\times 5</math> tenim que és de la forma: ::<math>A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 6 & 0\\ -5 & 4 & 8 & 10 & 2\\ 0 & 7 & 0 & -4 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & a_{1\,5}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & a_{2\,5}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & a_{4\,5} \end{pmatrix}=(a_{i\;j})_{4\times 5}</math> :Dins d'una matriu també es poden identificar matrius i elements concrets com: :*'''Matrius columna''' <math>c_4(A)=\begin{pmatrix}-1\\ 6\\ 10\\ -4\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,4}\\ a_{2\,4}\\ a_{3\,4}\\ a_{4\,4}\end{pmatrix}=(a_{i\,4})_{4}.</math> :*'''Matriu fila''' <math>f_3(A)=\begin{pmatrix} -5 & 4 & 8 & 10 & 2\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\end{pmatrix}=(a_{3\;j})_{5}.</math> :*Elements de la '''diagonal''' són els elements <math>(a_{i\,i})</math> com <math>a_{1\,1}=2,</math> <math>a_{2\,2}=3,</math> <math>a_{3\,3}=8</math> o també <math>a_{4\,4}=-4.</math> :*'''Matriu transposada''' és la matriu resultant de convertir totes les columnes <math>c_i</math> en files <math>f_i</math> de forma que els elements <math>a_{i\,j}</math> ara ocupen el lloc simètric <math>b_{j\,i}</math> dins una nova matriu, en aquest cas obtenim una matriu <math>5\times 4</math>: ::<math>\begin{pmatrix} 2 & 0 & -5 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 8 & 0\\ -1& 6 & 10 & -4\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}=(b_{i\,j})_{5\times 4}</math> 2) '''Matrius quadrades''' si <math>m = n</math>, és a dir que l'amplada és igual a l'altura. :*'''Matriu diagonal''' si fora de la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular superior''' si sota la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}3 & -3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & -3 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 8 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular inferior''' si sobre la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0 & 2 & 0\\ 2 & 7 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu simètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 & 8 & -4\\ 3 & -4 & 1 & -1 & -5\\ 5 & 1 & 0 & 4 & 2\\ 8 & -1 & 4 & -2 & 9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & -3 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu antisimètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=-a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} -7 & -3 & -5 & -8 & 4\\ 3 & 1 & -1 & 0 & 5\\ 5 & 1 & 1 & -4 & -2\\ 8 & 0 & 4 & 1 & -9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & 1 \end{pmatrix}</math> 3) '''Matriu zero''' o nul·la si tots els elements són zeros i el seu nom és excepcionalment 0: ::<math>\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> ==== Operacions ==== Principals operacions on intervenen matrius, detallant cada element que s'opera. Estalviarem escriure termes utilitzant els punts suspensius que indiquen continuació ordenada, és a dir, escriurem <math>(a_{1\,1}\;\dots\;a_{1\,8})</math> en comptes de <math>(a_{1\,1}\;\;a_{1\,2}\;\;a_{1\,3}\;\;a_{1\,4}\;\;a_{1\,5}\;\;a_{1\,6}\;\;a_{1\,7}\;\;a_{1\,8}).</math> ===== Suma de matrius ===== Suma de dues matrius A i B es defineix per: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>A+B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m\,1} & \cdots & b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1}+b_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}+b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1}+b_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}+b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(a_{i\,j}+b_{i\,j})</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' *Propietat associativa: <math>A+(B+C)=(A+B)+C,</math> en aquest cas podem escriure simplement <math>A+B+C</math>. *Propietat commutativa: <math>A+B=B+A.</math> *Element neutre: <math>A+0=A,</math> en aquest cas direm que la matriu 0 és l'element zero. *Element invers: Donat <math>A,</math> existeix un element <math>-A</math> tal que <math>A+(-A)=0,</math> en aquest cas direm element oposat o negatiu, i podem escriure <math>A-A=0.</math> |} D'aquesta operació no en resulten noves matrius amb dimensions diferents.<ref>Aquesta propietat s'escriu com <math>M_{m\times n}+M_{m\times n}\longrightarrow M_{m\times n}.</math></ref> ====== Exemples ====== 1) <math>=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1+0 & 0+2\\ -2+0 & 1+1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 2 \end{pmatrix}</math> ===== Producte per escalar ===== Producte d'un valor real k '''per''' una matriu A es defineix per: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>k\cdot A</math> <math>=k\cdot\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}k\cdot a_{1\,1} & \cdots & k\cdot a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ k\cdot a_{m\,1} & \cdots & k\cdot a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(k\cdot a_{i\,j})</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' *Propietat distributiva respecte la suma de matrius: <math>a(A+B)=aA+aB.</math> *Propietat distributiva respecte la suma d'escalars: <math>(a+b)A=aA+bA.</math> *Propietat associativa: <math>(a\cdot b)A=a(b\cdot A).</math> *Element neutre respecte el producte: <math>1\cdot A=A,</math> l'anomenarem element unitat o u. |} ===== Producte de matrius ===== Bàsicament un producte de matrius repeteix el concepte de '''fila per columna''' i només en aquest ordre. Producte d'una matriu fila, f, <math>1\times n</math> per una matriu columna, c, <math>n\times 1</math>:<ref>En aquest cas particular no es posa l'índex corresponent a la dimensió 1, d'una matriu <math>1\times n</math> o <math>n\times 1,</math> i simplement es diu matriu fila de dimensió n o matriu columna de dimensió n.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" |<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n\end{pmatrix}</math> <math>=f(A)\cdot c(B)</math> <math>=a_1\cdot b_1+ \ldots + a_n\cdot b_n</math> <math>=d.</math> |} Més àmpliament el '''producte''' de matrius en general, que també és '''composició''' d'aplicacions <math>f\circ g=f(g)</math>, queda determinat de la següent manera: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,p}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,p} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p\,1} & \cdots & b_{p\,m} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}f_1(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_1(A)\cdot c_m(B)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_n(A)\cdot c_m(B) \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}d_{1\,1} & \cdots & d_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n\,1} & \cdots & d_{n\,m} \end{pmatrix}</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' No sempre commuta el producte de matrius <math>AB\neq BA.</math> *Propietat associativa: <math>A(BC)=(AB)C.</math> *Propietat distributiva: <math>A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC.</math> *Element neutre: <math>I_1A=AI_2=A</math>, l'anomenarem matriu identitat. ::<math>I_1</math> i <math>I_2</math> son matrius quadrades i poden ser de diferent dimensió(ordre), en aquest cas depenent de A. <math>Id_{2\times 2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix},</math> <math>Id_{3\times 3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},</math> <math>Id_{4\times 4}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\;\dots</math> Les matrius identitat són matrius diagonal i quadrades amb 1 a tota la diagonal i zero a la resta de llocs. *El producte d'una matriu <math>n\times p</math> per una matriu <math>p\times m</math> donant una matriu <math>n\times m</math>: *Es parla d'invers només d'una matriu quadrada, <math>n\times n</math>, si donat A podem obtenir <math>A^{-1}</math> tal que <math>AA^{-1}=A^{-1}A=I</math> que no sempre hi ha. |} ====== Exercicis de matrius ====== 1) Efectua les operacions proposades i digues o informa de les dimensions dels resultats com a mètode de comprovació obligat: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;" align="center" |<math>A_{n\times p}\;\cdot\;B_{p\times m}=C_{n\times m}</math> |} :a)<math>(1\; 2\;3\;4\;5)\cdot \begin{pmatrix}6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix}=</math> :b)<math>\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix}=</math> :c)<math>\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 3 & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\ 7 \end{pmatrix}=</math> :d)<math>(1\;\;-1\;\;2\;\;-2) \begin{pmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8\\ 9 & 10 \end{pmatrix}=</math> :e)<math>(1\;\; 2)\begin{pmatrix}3 & 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 & 10 \end{pmatrix}=</math> :f)<math>\begin{pmatrix}2 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 5\\ 6 & 7 \end{pmatrix}=</math> :g)<math>\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \\4 & -5 & -3 \end{pmatrix}=</math> :h)<math>\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 4 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1 \end{pmatrix}=</math> 2) Calcula cada matriu B que compleix cadascuna de les equacions <math>A=\begin{pmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}</math> :a)<math>A\;B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> :b)<math>A\;B = Id</math> :c)<math>2A+B=A^2</math> :d)<math>A=2\;(B-Id)</math> === Sistemes lineals === Els sistemes lineals estan associats a matrius de forma natural quan tenim <math>A_{mn}\cdot X=B ,</math> tenim la equivalència: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #f66;"|<math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |} Direm que el l'equació <math>A_{mn}\cdot X=B</math> equival a un sistema de m equacions i n incògnites. Ens interesa resoldre sistemes lineals amb n i m menors que 4, tot i que apareixen de més grans de forma puntual. ==== Resolució de sistemes lineals ==== Observem el sistema lineal següent que té associat una matriu triangular superior: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 5 & -4\\ 0 & -1 & 3 & -2 & 2\\ 0 & 0 & -3 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #bbb;"|<math>\begin{matrix} 2x + y -3z +5t -4s & =0\\ \;\;\;\;\;-y+3z-2t+2s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-3z+0t+s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t-2s & =-2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4s & = 4 \end{matrix}</math> |} Per solucionar el sistema començarem a resoldre'l per l'última equació i continuarem per la de sobre successivament fins la primera equació: :<math>4s=4</math> <math>\Rightarrow s=1</math> :<math>t-2s=-2</math> <math>\Rightarrow t-2(1)=-2</math> <math>\Rightarrow t=0</math> :<math>-3z+0t+s=0</math> <math>\Rightarrow -3z+0(0)+(1)=0</math> <math>\Rightarrow z=\tfrac{1}{3}</math> :<math>-y+3z-2t+2s=0</math> <math>\Rightarrow -y+3\left(\tfrac{1}{3}\right)-2(0)+2(1)=0</math> <math>\Rightarrow y=3</math> :<math>2x + y -3z +5t -4s=0</math> <math>\Rightarrow 2x + (3) -3\left(\tfrac{1}{3}\right) +5(0) -4(1)=0</math> <math>\Rightarrow x=1</math> Per tant la solució és <math>\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 3\\ \tfrac{1}{3}\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.</math> ==== Triangulació ==== Intentarem convertir un sistema qualsevol en un sistema associat a una matriu triangular superior seguint les regles següents: :1) Les equacions es poden sumar o restar entre elles. ::1.1) Les equacions es poden multiplicar o dividir per un valor concret. :2) Les equacions es poden intercanviar de lloc entre elles. :3) L'objectiu prioritari és fer zeros sota el primer terme de cada equació. És possible que la matriu triangular tingui zeros a la diagonal, això només vol dir que el sistema associat té més d'una solució. ===== Exemple ===== Donat el sistema següent, busqueu els valors de x, y i z. :<math>\begin{matrix} 5x+y-7z=11\\ 2x-5y+3z=4\\ x-2y+z=3 \end{matrix}\Bigg\}</math> El primer pas és reordenar les equacions <math>eq_1 \leftrightarrow eq_3</math> per poder treballar amb nombres petits al que podríem dir diagonal: :<math>\begin{matrix} x-2y+z=3\\ 2x-5y+3z=4\\ 5x+y-7z=11 \end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_2-2\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\\ \;\;0-y\;+z=-2\\ 5x+y-7z=11\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-5\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x\;-2y+\;z\;=3\;\;\;\\ 0\;\;-y\;+\;z\;=-2\\ 0+11y-12z=-4\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3+11\cdot eq_2\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\;\;\;\\ 0\;-y\;+z=-2\\ 0\;+0-z=-26\end{matrix}\Bigg\}</math> Ara ja podem resoldre els sistema: :<math>z=26</math> :<math>-y+z=-2</math> <math>\rightarrow -y+(26)=-2</math> <math>\rightarrow y=28</math> :<math>x-2y+z=3</math> <math>\rightarrow x-2(28)+(26)=3</math> <math>\rightarrow x=33</math> Per tant els sistema té una única solució <math>(26,28,33).</math> === Determinant === El determinant és un mètode que permet mesurar la informació redundant dins d'una matriu quadrada nxn exclusivament. Amb aquest objectiu podem obtenir tres lleis que afecten a files i columnes a l'interior de la matriu:<ref>Aquestes propietats equivalen a dos de les tres condicions teòriques amb les que realment s'ha construït el '''determinant''' quedant així una idea més natural que els alumnes es poden trobar al batxillerat.</ref> :1) Volem sumar o restar unes files a unes altres sense que es modifiqui el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :2) Volem intercanviar files sense que es modifiqui en termes absoluts el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :3) Tenir una fila de zeros equival a un determinant igual a zero, el mateix ha de succeir si tenim una columna de zeros. Tot això es va aconseguir, però al punt 2 s'ha observat un canvi de signe quan intercanvies l'ordre dues files o columnes. ==== Determinant de matrius 2x2 ==== [[File:Det2x2.svg|thumb|250px|Signatura]] El determinant d'una matriu 2x2 es calcula així: :<math>\det\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}</math> <math>=ad-cb.</math> La imatge mostra una signatura per recordar l'ordre de les operacions en forma d'embut. ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 8-3\cdot 5</math> <math>=-7.</math> ==== Determinant de matrius 3x3 ==== [[File:Espejo.svg|thumb|150px|Signatura alternativa.]] El determinant d'una matriu 3x3 fem: :<math>\det\begin{pmatrix} a_{1\;1} & a_{1\;2} & a_{1\;3}\\ a_{2\;1} & a_{2\;2} & a_{2\;3}\\ a_{3\;1} & a_{3\;2} & a_{3\;3}\end{pmatrix}</math> <math>=\color{blue}{a_{1\;1}a_{2\;2}a_{3\;3}+a_{1\;2}a_{2\;3}a_{3\;1}+a_{1\;3}a_{2\;1}a_{3\;2}}\color{black}{-(}\color{red}{a_{1\;3}a_{2\;2}a_{3\;1}+a_{1\;2}a_{2\;1}a_{3\;3}+a_{1\;1}a_{2\;3}a_{3\;2}}\color{black}{).}</math> La imatge següent mostra una signatura particular per recordar l'ordre de les operacions [[File:Det3x3a1.svg|350px]] ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 5\cdot (-1)+2\cdot 6\cdot 7+4\cdot 8\cdot 3-(3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot (-1)+6\cdot 8\cdot 1)</math> <math>=-5+84+96-(105-8+48)</math> <math>=175-(142)=33.</math> ==== Determinant de matrius nxn ==== Per fer determinants de matrius de dimensió més grans que 3 l'objectiu és aconseguir una fila o columna on tots els termes siguin zero excepte un d'ells. Regles: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) Les files poden sumar o restar a un altra tantes vegades com calgui. Idem columnes. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2+f_1}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 1 & 5 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}=5-3=2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) Si un valor multiplica una fila, llavors es multiplica el determinant. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2\cdot 5}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 5\cdot 3 & 0\\ 0 & 5\cdot 2 & 0\\ 3 & 5\cdot 1 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 15 & 0\\ 0 & 10 & 0\\ 3 & 5 & 1\end{vmatrix}=10=2\cdot 5</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|3) Si intercanviem dues files, llavors el determinant canvia de signe. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2 \leftrightarrow f_3}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 3 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 0\end{vmatrix}=-2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|4) Si una fila té tots els elements zeros, llavors el determinant és zero. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 10^2\\ 0 & \pi & 3\\ 0 & -1 & 12\end{vmatrix}</math> <math>=0</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|5) Si aconseguim una fila o columna de zeros excepte un d'ells, llavors la fila i columna corresponent a aquest valor es poden eliminar de la matriu, quedant una matriu (n-1)x(n-1), i aquest valor surt fora de la matriu multiplicat pel signe corresponent a la seva posició segons la matriu: :::<math>\begin{pmatrix} + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}</math> }} |- |Exemple: :::<math>\det(A)=\begin{vmatrix} 4 & -3 & 1 & 9\\ 0 & 5 & 6 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))\begin{vmatrix} 5 & 6 & 1\\ 2 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))(-(2))\begin{vmatrix} 6 & 1\\ 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=4\cdot(-2)(6\cdot 7-4\cdot 1)=-304.</math> |} ==== Propietats ==== 1) <math>\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)</math> 2) En general <math>\det(A+ B)\neq\det(A)+\det(B)</math> === Tipus de sistemes === Per tancar l'estudi de sistemes lineals només cal classificar els aquests sistemes donant una interpretació geomètrica per entendre el que es cuina al seu interior. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="400px" |colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Observació''' d'una equació lineal.}} |- | *Una equació lineal amb una incògnita pot determinar un únic punt sobre la recta real. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Una equació lineal amb dos incògnites pot determinar una única recta sobre el pla real. :[[File:RectaOrigen001.svg|300px]] *Una equació lineal amb tres incògnites pot determinar un pla sobre l'espai real. :[[File:Plano001.svg|300px]] Cada equació pot determinar elements amb una dimensió menys que l'espai on es troba. |} Buscar les solucions d'un sistema d'equacions lineals és buscar punts comuns que satisfan totes les equacions a la vegada, és a dir que busquem el lloc de trobada de tots els objectes de cada equació. :Direm que un sistema té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les equacions quedant només '''r''' equacions. :Direm que una matriu té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les files quedant només '''r''' files. :Direm que la matriu associada a un sistema lineal és '''ampliada''' si s'afegeix una '''nova columna''' corresponent als termes independents de les equacions, per parlar del rang d'una matriu ampliada escriurem que '''rang=r*'''. :::{|cellpadding="3" |- ||Sistema <math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu del sistema <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}\end{pmatrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu ampliada <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n} & b_1\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} & b_m \end{pmatrix}</math> |} '''Exemple''' :Donat el següent sistema, calculeu el seu rang: <math>\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+2u=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;2x-2y\;\;\;\;\;\;+2t+5u=7\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t\;\;+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-2\cdot eq_2\;\;}\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5+eq_1\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_4+eq_2\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5-3\cdot eq_4\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\leftarrow</math> '''rang = 4'''. Classificació dels sistemes lineals amb '''n''' incògnites. {|style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" |- |<math>Sistema\;\;lineal=\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;SC\\r=r*\end{matrix}\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;Determinat\;\;SCD\\r=n\end{matrix} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;indeterminat\;\;SCI\\r<n\end{matrix} \end{cases} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Incompatible\;\;SI\\r<r*\end{matrix}\end{cases}</math> |} :'''SCD:''' Una única solució, un punt. :'''SCI:''' Conjunt de solucions formant objectes de dimensió n-r. :'''SI:''' Sense solucions, segurament perquè alguns dels objectes és paral·lel a un altre o interseccions d'altres objectes. Ara sí podem estudiar les situacions que ens trobarem més sovint al batxillerat. ==== Sistemes lineals de dos incògnites ==== Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són rectes concurrents en un únic punt i es podran simplificar fins a restar-ne només dos equacions. :Una interpretació geomètrica seria imaginar tan rectes secants com rectes perpendiculars en un mateix punt que podem o no veure, d'això se'n diu feix de rectes: ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante001.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante002.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante003.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que totes les equacions són idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació. Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. :Una interpretació geomètrica seria imaginar rectes que no tenen punts en comú a totes les rectes a la vegada: o bé almenys un parell de rectes són paral·leles o bé en el punt on concorren les rectes manca almenys una recta. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaParalela001.svg|200px]] |} ==== Sistemes lineals de tres incògnites ==== Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són plans que passen per un sol punt i es podran simplificar fins a restar-ne només tres equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:TresPlanos001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que podria ser des de equacions idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació o també a més a més podria ser que tenim un feix de plans, es a dir que tots es tallen sobre una recta i per tant les seves equacions simplifiquen en només dues equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:Diedro001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. === Regla de Cramer === Gabriel Cramer(1704-1752) va ser el primer en fer la resolució de sistemes lineals amb el que avui anomenem determinats, d'aquí el seu nom al mètode. Donat un sistema lineal '''nxn''': ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}</math> La solució general de <math>x_i</math> és la divisió de dos determinants, al denominador el determinant de la matriu associada i al numerador el determinant de la mateixa matriu però substituint la columna ('''i''') per la columna del terme independent i encara que no sigui molt rigorós indicat així: ::<math>x_i=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,i-1} & b_1 & a_{1\,i+1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,i-1} & b_n & a_{n\,i+1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}</math> Clarament per estar ben definit necessitem que el determinant del denominador sigui diferent de zero i llavors el sistema és '''SCD'''. L'únic inconvenient és que mentre més gran el sistema, més determinats s'ha de fer i per tant és prohibitiu el seu ús en la computació ja que els càlculs creixen desorbitadament. De fet el sistema de triangulació és uns dels més eficients i la resta de mètodes són variants d'aquest. ==== Resolució de sistemes 2x2 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_{1} & a_{1\,2}\\ b_{2} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_{1}\\ a_{2\,1} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem solucions al sistema <math>\begin{matrix} x-y & =3\\ 2x+y & =6 \end{matrix}</math> :<math>\det(A)</math> <math>=\det\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=1\cdot 1-(2\cdot (-1))</math> <math>=3.</math> :<math>x</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 6 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}.</math> :<math>x=\frac{9}{3}=3\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y=\frac{0}{3}=0</math> ==== Resolució de sistemes 3x3 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1 & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ b_2 & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ b_3 & a_{3\,2} & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|, |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_1 & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & b_2 & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & b_3 & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_3=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & b_1\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & b_2\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & b_3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem les solucions del sistema <math>\begin{cases}x+y=1\\ x+z=2\\ y+z=3\end{cases}</math> :<math>x=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{0}{-2}=0</math> :<math>y=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-2}{-2}=1</math> :<math>z=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-4}{-2}=2</math> === Inverses de matrius per Gauss-Jordan === '''Exercici''': 1) Calculeu les inverses de les matrius donades: :a) <math>A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\ -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}</math> Tutorial alternatiu [https://www.youtube.com/watch?v=W214PLI0quQ aquí] == Geometria == La geometria ha canviat molt des del temps d'Euclides(300 aC), en aquest curs només veurem el treball que es coneix amb el nom de "Espai vectorial euclidià" però sense entrar en els fonaments d'aquest espai particular. Donarem els elements necessaris per treballar detalladament amb diversos objectes. === Elements === ==== Els punts ==== Només cal saber que són els elements més simples a partir dels quals es poden fer tots els altres elements i que es consideren com la base d'altres conceptes. '''Exemples''' *Un punt sobre la recta real és un el element del conjunt <math>\mathbb{R}</math> i coincideix amb el concepte d'un nombre real: el 5, el -4, el 1000, etc. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Un punt sobre el pla real és un element del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> i la seva forma d'escriure és <math>(3,5)</math> on 3 és la coordenada horitzontal i 5 és la coordenada vertical d'aquest punt. [[File:Coordinate with Origin.svg|200px]] *Un punt sobre l'espai real és un elements del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math> i la seva forma d'escriure és <math>(1,-3,7)</math> on 1 és una coordenada horitzontal(com llargada), -3 és una segona coordenada horitzontal(com amplada) i 7 és la coordenada vertical(simplement s'estén verticalment sobre de les altres dues). [[File:3D coordinate system.svg|200px]] Es té constància que el primer en idear aquestes representacions va ser René Descartes(1596-1650) i és així quan es va iniciar la nova geometria analítica permetent les representacions gràfiques. ==== Els vectors ==== [[File:Vector AB from A to B.svg|right|300px]] El concepte de vector a la geometria<ref>Les primeres aplicacions no utilitzen punts perquè només volien saber el seu mòdul i la direcció, i res més, però posteriorment s'ha donat un suport teòric molt més acurat del concepte de vector que és el que s'utilitza actualment a la geometria analítica</ref> està lligat a dos punts, per simplificar, al batxillerat pensarem que és un segment, és a dir, que geomètricament és físicament una línia recta o un camí entre dos punts dins una línia recta així podrem allargar-la(o equivalentment multiplicar-la per nombres enters) o escurçar-la( o equivalentment dividir-la) simplement multiplicant-la amb nombres més grans que 1 o nombres més petits que 1 respectivament. '''Definició i notació:''' Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^2</math><ref name="a"><math>\mathbb{R}^2</math> resumidament vol dir que tenen dos coordenades, <math>\mathbb{R}^3</math> vol dir que tenen tres coordenades i així <math>\mathbb{R}^n</math> vol dir que té '''n''' coordenades.</ref>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2)</math> és i està format com segueix: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2)</math> Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^3</math><ref name="a"/>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2,\;a_3)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2,\;b_3)</math> és i està format com segueix: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2,\;b_3-a_3)</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:550px;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Observació''' |- |Amb la mateixa operació de resta de matrius files s'obté una matriu fila que serà un vector. Llavors es generen les excepcions conceptuals següents:<ref>És excepció conceptual perquè intuïtivament de les operacions de dos elements del mateix tipus resulten un altre del mateix tipus i en canvi aparentment no passa; la raó és que això es pot fer si està escudat teòricament.</ref> *Si tenim un origen i un vector llavors tenim el destí. *Si tenim un origen i un destí llavors tenim el vector. *Si tenim un vector i un destí llavors tenim l'origen. S'interpreta algebraicament i respectivament com: :<math>B=\vec{v}+A</math> :<math>\vec{v}=B-A</math> :<math>A=B-\vec{v}</math> |} Per utilitzar vectors necessitem les principals operacions que definim tot seguit i fixeu-vos la semblança amb les operacions de matrius: ===== Suma de vectors ===== Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2).</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).</math> ====== Propietats de la suma ====== 1) Propietat commutativa: <math>\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}</math> 2) Propietat associativa: <math>\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}</math> :'''Nota''': Com a conseqüència podem escriure simplement <math>\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.</math> 3) Existeix '''element neutre''' <math>\vec{0}</math> si sempre <math>\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}.</math> 4) Tot vector, <math>\vec{u},</math> té invers additiu, <math>-\vec{u},</math> si <math>\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{u}-\vec{u}=\vec{0}.</math> ===== Producte per escalar ===== Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2).</math> Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2,\;\lambda\cdot u_3).</math> ====== Propietats del producte per escalar ====== 1) Propietat associativa: <math>\lambda\cdot(\beta\cdot\vec{u})=(\lambda\cdot\beta)\cdot\vec{u}.</math> :'''Nota''': Com a conseqüència podem escriure simplement <math>\lambda \beta \vec{u}.</math> 2) Existeix '''l'element neutre 1''' si sempre <math>1\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot 1=\vec{u}.</math> 3) Les propietats distributives: <math>(\lambda+\beta)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{u}</math> i <math>\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1) Estic en el punt <math>A=(5,\;5)</math> i casa meva està en el punt <math>B=(2,\;3).</math> Si camino en línia recta 5 vegades aquesta distància arribaria a la biblioteca. ¿En quin lloc està la biblioteca? ;Resolució: *El camí que va a casa meva ve determinat pel vector: ::<math>\vec{AB} =B-A=(2,\;3)-(5,\;5)=(-3,\;-2).</math> *Per tant si camino, des d'on estic i en línia recta, 5 vegades més, estic fent aquesta operació: ::<math>A+5\cdot\vec{AB}</math> <math>=(5,\;5)+5\cdot (-3,\;-2)</math> <math>=(5,\;5)+(5\cdot (-3),\;5\cdot (-2))</math> <math>=(5,\;5)+(-15,\;-10)</math> <math>=(-10,\;-5).</math> Solució: La biblioteca està al punt <math>C=(-10,\;-5).</math> 2) Dos arbres estan en els punts <math>A=(2,\;3)</math> i <math>B=(4,\;1),</math> però a mig camí d'un a l'altre hi ha un tresor. ¿On? ;Resolució: *El camí de A a B és: ::<math>\vec{AB}</math> <math>=B-A</math> <math>=(4,\;1)-(2,\;3)</math> <math>=(2,\;-2).</math> *Per trobar el punt mig del camí de A a B només cal fer la meitat del recorregut, és a dir: ::<math>\frac{\vec{AB}}{2}=\frac{(2,\;-2)}{2}</math> <math>=\tfrac{1}{2}(2,\;-2)</math> <math>=(\tfrac{1}{2}2,\;\tfrac{1}{2}(-2))</math> <math>=(1,\;-1).</math> Solució: el punt que busquem és <math>C</math> <math>=A+\frac{\vec{AB}}{2}</math> <math>=(2,\;3)+(1,\;-1)</math> <math>=(3,\;2).</math> |} ===== Producte a escalar ===== Sintèticament el producte a escalar és:<ref>El producte escalar té una part teòrica molt més profunda i molt condicionada, però pel curs de batxillerat es redueix simplement a un cas molt particular del producte de matrius.</ref> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2.</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3.</math> ====== Propietats del producte a escalar ====== No es gaire rellevant però per curiositat tenim les dos principals. 1) <math>\vec{u}\cdot\vec{u}\geqslant 0</math> sempre. 2) <math>\vec{u}\cdot\vec{u}=0\Leftrightarrow\vec{u}=\vec{0}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1)Sigui <math>\vec{u}=(1,\;2)</math> i <math>\vec{v}=(3,\;4)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(1,\;2)\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}=1\cdot 3+2\cdot 4=11</math> <math>\Rightarrow k=11.</math> 2)Sigui <math>\vec{u}=(3,\;4,\;5)</math> i <math>\vec{v}=(1,\;0,\;2)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(3,\;4,\;5)\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}=3\cdot 1+4\cdot 0+5\cdot 2=13.</math> <math>\Rightarrow k=13.</math> No es gaire difícil pensar en la mateixa operació per a vectors de 4 valors o més. |} ====== Longitud d'un vector ====== La longitud d'un vector més coneguda com '''mòdul''' d'un vector és el resultat de considerar el teorema de Pitàgores per trobar la hipotenuses segons el cas. Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.</math> Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2+u_3\cdot u_3}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |[[File:Vector(1,1).svg|150px|right]] 1) La longitud o mòdul del vector <math>\vec{u}=(1,\;1),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{u}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math> :Observem que la longitud del vector és la hipotenusa del triangle rectangle dibuixat, i per tant, és equivalent al teorema de Pitàgores. 2) La longitud de <math>\vec{u}=(3,0)</math> és <math>L_\vec{u}=\sqrt{3^2+0^2}=3,</math> és el cas intuïtiu en que no és hipotenusa. 3) Longitud del vector <math>\vec{w}=(1,\;-1,\;0),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2},</math> cas en que el vector a l'espai té un valor nul, llavors la longitud es la mateixa que un vector de dos valors. 4) Longitud del vector <math>\vec{w}=(3,\;4,\;12),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13,</math> |} ====== Vectors unitaris ====== Per obtenir un vectors unitaris o vectors de longitud 1 a partir d'un vector qualsevol no nul, simplement s'ha d'extreure la seva longitud dividint el vector per la seva longitud: :<math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}</math> Construït així, aquest vector <math>\hat{u}</math> té longitud 1.<ref>La raó és la semblança de triangles, donat el triangle rectangle 3u,4u,5u si es vol que la hipotenusa sigui de longitud 1, només cal dividir totes les mesures entre el valor de la hipotenusa actual que és 5, per tant el triangle queda com <math>\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5},\tfrac{5}{5},</math> és a dir <math>0'6u\,,\,0'8u\,,\,1u</math> que és un triangle que té hipotenusa 1 i té els mateixos angles, per tant, la mateixa forma. Parlant de vectors, tenen la mateixa direcció i són de longitud 1.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1) Càlcul de vectors unitaris: <math>\vec{u}=(5,12)</math> i <math>\vec{v}=(1,1,1)</math> :a) <math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}=\frac{(2,12)}{\sqrt{5^2+12^2} }=\frac{(2,12)}{13}=(\tfrac{2}{13},\tfrac{12}{13}).</math> :b) <math>\hat{v}=\frac{\vec{u}}{l_u}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} }=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}).</math> Per comprovar això, calculant ara la seva longitud ha de donar 1. |} ====== Angle entre dos vectors ====== Per calcular l'angle entre dos vectors qualssevol <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> s'utilitza la fórmula:<ref>Per provar propietats de longitud i angulars entre vectors es fa amb expressions úniques sobre bases ortonormals que ve a continuació, però escapa a l'objectiu del curs, així s'ha considerat aquest ordre d'explicació com el més intuïtiu, agrupat i ordenat.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Observació" data-collapsetext="Ocultar" |<math>cos(\alpha)=\hat{v}\cdot\hat{u}=\frac{\vec{v}}{l_\vec{u}}\cdot\frac{\vec{u}}{l_\vec{v}}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{l_\vec{u}\cdot l_\vec{v}}</math> |- |Per calcular l'angle entre vectors fa falta convertir-los en unitaris <math>\hat{v}</math> i <math>\hat{u},</math> només cal aplicar la idea del producte i utilitzar la fórmula trigonomètrica del cosinus dins la circumferència unitat. A la imatge s'observa l'angle entre l'eix '''x''', <math>\hat{v},</math> i el vector taronja, <math>\hat{u},</math> on el cosinus és la longitud del vector vermell: [[File:Trigo.gif|400px]] |} ====== Vectors ortogonals ====== Dos vectors <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> són perpendiculars, formen un angle recte o són '''ortogonals''' si: :<math>\vec{u}\cdot\vec{v}=0</math> Exemple: Els vectors (1,0,0), (0,1,0) i (0,0,1) són ortogonals. '''Exercici''': 1) Quins dels vectors següents són perpendiculars? '''notació''' es fa <math>\vec{a}\bot\vec{b}</math> per indicar perpendicularitat entre dos vectors. <math>\vec{u_1}=(1,0,0),\;\vec{u_2}=(0,1,0),\;\vec{u_3}=(0,1,1),\vec{u_4}=(0,1,-1)</math> ====== Projecció d'un vector ====== Per projectar un vector <math>\vec{v}</math> en la direcció <math>\vec{u},</math> es pren el vector unitari <math>\hat{u}</math> que ens indica purament la direcció de projecció, així: *Longitud del vector projectat és: <math>l_\vec{p}=\vec{v}\cdot\hat{u}.</math> *Vector projectat és: <math>\vec{p}=l_\vec{p}\cdot\hat{u}.</math> ===== Base ===== Les bases són conjunts reduïts de vectors que s'utilitzen per construir qualsevol possibles vectors d'un espai de treball. Conjunts de vectors anomenats base canònica: :Base canònica a <math>\mathbb{R}^2</math> és: <math>\hat{i}=(1,\;0)\;\;i\;\;\hat{j}=(0,\;1)</math> :Base canònica a <math>\mathbb{R}^3</math> és: <math>\hat{i}=(1,\;0,\;0)\;,\;\;\hat{j}=(0,\;1,\;0)\;\;i\;\;\hat{k}=(0,\;0,\;1)</math> Base qualsevol <math>\vec{u}=(1,\;2,\;3)\;,\;\;\vec{v}=(2,\;0,\;-1)\;\;i\;\;\vec{s}=(1,\;0,\;1)</math> A partir de qualsevol base si volem construir altres vectors es necessita entendre el següent concepte de combinació lineal. ====== Combinació lineal de vectors ====== Combinació lineal és fer sumes i restes de vectors amb productes per escalar. :<math>a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> '''Exemple''': Donats els vectors <math>\vec{u}=(1,\;-2,\;0)</math>, <math>\vec{v}=(0,\;5,\;-1)</math> i <math>\vec{s}=(-3,\;1,\;4)</math> calculeu <math>\vec{w}:</math> 1) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}+3\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=(1,\;-2,\;0)+(-1)\cdot (0,\;5,\;-1)+3\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(1,\;-2,\;0)+(0,\;-5,\;1)+(-9,\;3,\;12)</math> <math>=(-8,\;-4,\;13)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(-8,\;-4,\;13)</math> 2) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=5\cdot\vec{u}+2\cdot\vec{v}-4\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=5\cdot (1,\;-2,\;0)+2\cdot (0,\;5,\;-1)+(-4)\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(5,\;-10,\;0)+(0,\;10,\;-2)+(12,\;-4,\;-16)</math> <math>=(17,\;-4,\;-18)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(17,\;-4,\;-18)</math> ====== Coordenades ====== Donada una base <math>\vec{u}\;,\;\;\vec{v}\;\;i\;\;\vec{s}</math> inventada, llavors: Si <math>\vec{w}=3\cdot\vec{u}-5\cdot\vec{v}+7\cdot\vec{s}</math> direm que 3,-5 i 7 són les coordenades de <math>\vec{w}</math> en aquesta base i per tant <math>\vec{w}=(3,-5,7)</math> en aquesta base. ====== Dependència i independència lineal ====== Donats els vectors <math>\vec{u}\;,\;\;\vec{v}\;\;i\;\;\vec{s};</math> Direm que són linealment dependents si hi ha a,b i c '''no tots nuls''' tals que <math>\vec{0}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> Direm que són linealment independent si no hi ha a,b i c '''no tots nuls'' tals que <math>\vec{0}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> ====== Producte vectorial ====== == Notes i referències == {{Reflist}} [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] ltetfcxi1mk383y3gc8g4tyi7g18mar 383821 383819 2026-04-14T17:09:31Z Profev 36331 /* Inverses de matrius per Gauss-Jordan */ Duplicat de Matrius ccss 383821 wikitext text/x-wiki Aquest resum intenta accedir a totes les branques de la geometria d'una forma breu i precisa donant propostes d'accés cap a altres mètodes més sintètics. === Matrius === Les matrius són valors reals agrupats en una quadrícula rectangular o recuadre. {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Ocultar" |Exemples de matrius segons el tipus de valors i possible procedència. |- |style="background:#fff;"|Matriu de nombres binaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en definir imatges en blanc i negre o definir grafs. Matrius de nombres fraccionaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{5}\\ \frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en resoldre sistemes d'equacions. Matrius de nombres reals: ::<math>\begin{pmatrix} \pi & 0\\ 0 & e \\ -1 & \sqrt{2}\end{pmatrix}</math> :: Podrien aparèixer només en problemes molt particulars. |} ==== Notació ==== Per referir-se a cada un dels valors d'una matriu usarem els termes <math>a_{i\,j}</math><ref>Els subíndex '''i''' i '''j''' es refereixen a cadascun dels possibles valors que poden prendre dins d'una matriu concreta, com un ''punt'' en un sistema de coordenades. Si la matriu és de '''n''' files i '''m''' columnes, <math>n\times m</math>, vol dir que '''i''' pot prendre els valors que van des de <math>i=1</math> fins arribar a <math>i=n</math> i el mateix per '''j''' que pot prendre valors de <math>j=1</math> fins arribar a <math>j=m</math>, essent aquesta notació una forma de referir-se a tots els termes d'una matriu i com que normalment no s'utilitzen amb valors majors que 9 la notació ha fet la contracció <math>a_{i,\,j}</math> <math>=a_{i\,j}</math>.</ref> de les dues següents maneres: :{|cellspacing="5" cellpadding="5" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="410px" |<math>A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & \cdots & a_{1\,n}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & \cdots & a_{2\,n}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & \cdots & a_{3\,n}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & \cdots & a_{4\,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & a_{m\,2} & a_{m\,3} & a_{m\,4} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}=(a_{i\,j})_{m\times n}</math> |} *En direm '''matriu de dimensió <math>m\times n</math>''', els dos subíndex sempre en aquest ordre, altura m i amplada n. :'''Nota''': No es considera matriu si té dimensió <math>1\times 1</math> :El conjunt de totes les matrius <math>m\times n</math> s'escriu <math>M_{m\times n}.</math> *Els noms habitualment en majúscula: A, B, C, D, E, F, G, H, I, ... . ===== Exemples ===== 1) Donada una matriu <math>4\times 5</math> tenim que és de la forma: ::<math>A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 6 & 0\\ -5 & 4 & 8 & 10 & 2\\ 0 & 7 & 0 & -4 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & a_{1\,5}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & a_{2\,5}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & a_{4\,5} \end{pmatrix}=(a_{i\;j})_{4\times 5}</math> :Dins d'una matriu també es poden identificar matrius i elements concrets com: :*'''Matrius columna''' <math>c_4(A)=\begin{pmatrix}-1\\ 6\\ 10\\ -4\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,4}\\ a_{2\,4}\\ a_{3\,4}\\ a_{4\,4}\end{pmatrix}=(a_{i\,4})_{4}.</math> :*'''Matriu fila''' <math>f_3(A)=\begin{pmatrix} -5 & 4 & 8 & 10 & 2\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\end{pmatrix}=(a_{3\;j})_{5}.</math> :*Elements de la '''diagonal''' són els elements <math>(a_{i\,i})</math> com <math>a_{1\,1}=2,</math> <math>a_{2\,2}=3,</math> <math>a_{3\,3}=8</math> o també <math>a_{4\,4}=-4.</math> :*'''Matriu transposada''' és la matriu resultant de convertir totes les columnes <math>c_i</math> en files <math>f_i</math> de forma que els elements <math>a_{i\,j}</math> ara ocupen el lloc simètric <math>b_{j\,i}</math> dins una nova matriu, en aquest cas obtenim una matriu <math>5\times 4</math>: ::<math>\begin{pmatrix} 2 & 0 & -5 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 8 & 0\\ -1& 6 & 10 & -4\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}=(b_{i\,j})_{5\times 4}</math> 2) '''Matrius quadrades''' si <math>m = n</math>, és a dir que l'amplada és igual a l'altura. :*'''Matriu diagonal''' si fora de la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular superior''' si sota la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}3 & -3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & -3 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 8 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular inferior''' si sobre la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0 & 2 & 0\\ 2 & 7 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu simètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 & 8 & -4\\ 3 & -4 & 1 & -1 & -5\\ 5 & 1 & 0 & 4 & 2\\ 8 & -1 & 4 & -2 & 9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & -3 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu antisimètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=-a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} -7 & -3 & -5 & -8 & 4\\ 3 & 1 & -1 & 0 & 5\\ 5 & 1 & 1 & -4 & -2\\ 8 & 0 & 4 & 1 & -9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & 1 \end{pmatrix}</math> 3) '''Matriu zero''' o nul·la si tots els elements són zeros i el seu nom és excepcionalment 0: ::<math>\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> ==== Operacions ==== Principals operacions on intervenen matrius, detallant cada element que s'opera. Estalviarem escriure termes utilitzant els punts suspensius que indiquen continuació ordenada, és a dir, escriurem <math>(a_{1\,1}\;\dots\;a_{1\,8})</math> en comptes de <math>(a_{1\,1}\;\;a_{1\,2}\;\;a_{1\,3}\;\;a_{1\,4}\;\;a_{1\,5}\;\;a_{1\,6}\;\;a_{1\,7}\;\;a_{1\,8}).</math> ===== Suma de matrius ===== Suma de dues matrius A i B es defineix per: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>A+B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m\,1} & \cdots & b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1}+b_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}+b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1}+b_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}+b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(a_{i\,j}+b_{i\,j})</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' *Propietat associativa: <math>A+(B+C)=(A+B)+C,</math> en aquest cas podem escriure simplement <math>A+B+C</math>. *Propietat commutativa: <math>A+B=B+A.</math> *Element neutre: <math>A+0=A,</math> en aquest cas direm que la matriu 0 és l'element zero. *Element invers: Donat <math>A,</math> existeix un element <math>-A</math> tal que <math>A+(-A)=0,</math> en aquest cas direm element oposat o negatiu, i podem escriure <math>A-A=0.</math> |} D'aquesta operació no en resulten noves matrius amb dimensions diferents.<ref>Aquesta propietat s'escriu com <math>M_{m\times n}+M_{m\times n}\longrightarrow M_{m\times n}.</math></ref> ====== Exemples ====== 1) <math>=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1+0 & 0+2\\ -2+0 & 1+1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 2 \end{pmatrix}</math> ===== Producte per escalar ===== Producte d'un valor real k '''per''' una matriu A es defineix per: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>k\cdot A</math> <math>=k\cdot\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}k\cdot a_{1\,1} & \cdots & k\cdot a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ k\cdot a_{m\,1} & \cdots & k\cdot a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(k\cdot a_{i\,j})</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' *Propietat distributiva respecte la suma de matrius: <math>a(A+B)=aA+aB.</math> *Propietat distributiva respecte la suma d'escalars: <math>(a+b)A=aA+bA.</math> *Propietat associativa: <math>(a\cdot b)A=a(b\cdot A).</math> *Element neutre respecte el producte: <math>1\cdot A=A,</math> l'anomenarem element unitat o u. |} ===== Producte de matrius ===== Bàsicament un producte de matrius repeteix el concepte de '''fila per columna''' i només en aquest ordre. Producte d'una matriu fila, f, <math>1\times n</math> per una matriu columna, c, <math>n\times 1</math>:<ref>En aquest cas particular no es posa l'índex corresponent a la dimensió 1, d'una matriu <math>1\times n</math> o <math>n\times 1,</math> i simplement es diu matriu fila de dimensió n o matriu columna de dimensió n.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" |<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n\end{pmatrix}</math> <math>=f(A)\cdot c(B)</math> <math>=a_1\cdot b_1+ \ldots + a_n\cdot b_n</math> <math>=d.</math> |} Més àmpliament el '''producte''' de matrius en general, que també és '''composició''' d'aplicacions <math>f\circ g=f(g)</math>, queda determinat de la següent manera: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,p}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,p} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p\,1} & \cdots & b_{p\,m} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}f_1(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_1(A)\cdot c_m(B)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_n(A)\cdot c_m(B) \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}d_{1\,1} & \cdots & d_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n\,1} & \cdots & d_{n\,m} \end{pmatrix}</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' No sempre commuta el producte de matrius <math>AB\neq BA.</math> *Propietat associativa: <math>A(BC)=(AB)C.</math> *Propietat distributiva: <math>A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC.</math> *Element neutre: <math>I_1A=AI_2=A</math>, l'anomenarem matriu identitat. ::<math>I_1</math> i <math>I_2</math> son matrius quadrades i poden ser de diferent dimensió(ordre), en aquest cas depenent de A. <math>Id_{2\times 2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix},</math> <math>Id_{3\times 3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},</math> <math>Id_{4\times 4}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\;\dots</math> Les matrius identitat són matrius diagonal i quadrades amb 1 a tota la diagonal i zero a la resta de llocs. *El producte d'una matriu <math>n\times p</math> per una matriu <math>p\times m</math> donant una matriu <math>n\times m</math>: *Es parla d'invers només d'una matriu quadrada, <math>n\times n</math>, si donat A podem obtenir <math>A^{-1}</math> tal que <math>AA^{-1}=A^{-1}A=I</math> que no sempre hi ha. |} ====== Exercicis de matrius ====== 1) Efectua les operacions proposades i digues o informa de les dimensions dels resultats com a mètode de comprovació obligat: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;" align="center" |<math>A_{n\times p}\;\cdot\;B_{p\times m}=C_{n\times m}</math> |} :a)<math>(1\; 2\;3\;4\;5)\cdot \begin{pmatrix}6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix}=</math> :b)<math>\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix}=</math> :c)<math>\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 3 & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\ 7 \end{pmatrix}=</math> :d)<math>(1\;\;-1\;\;2\;\;-2) \begin{pmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8\\ 9 & 10 \end{pmatrix}=</math> :e)<math>(1\;\; 2)\begin{pmatrix}3 & 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 & 10 \end{pmatrix}=</math> :f)<math>\begin{pmatrix}2 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 5\\ 6 & 7 \end{pmatrix}=</math> :g)<math>\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \\4 & -5 & -3 \end{pmatrix}=</math> :h)<math>\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 4 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1 \end{pmatrix}=</math> 2) Calcula cada matriu B que compleix cadascuna de les equacions <math>A=\begin{pmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}</math> :a)<math>A\;B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> :b)<math>A\;B = Id</math> :c)<math>2A+B=A^2</math> :d)<math>A=2\;(B-Id)</math> === Sistemes lineals === Els sistemes lineals estan associats a matrius de forma natural quan tenim <math>A_{mn}\cdot X=B ,</math> tenim la equivalència: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #f66;"|<math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |} Direm que el l'equació <math>A_{mn}\cdot X=B</math> equival a un sistema de m equacions i n incògnites. Ens interesa resoldre sistemes lineals amb n i m menors que 4, tot i que apareixen de més grans de forma puntual. ==== Resolució de sistemes lineals ==== Observem el sistema lineal següent que té associat una matriu triangular superior: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 5 & -4\\ 0 & -1 & 3 & -2 & 2\\ 0 & 0 & -3 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #bbb;"|<math>\begin{matrix} 2x + y -3z +5t -4s & =0\\ \;\;\;\;\;-y+3z-2t+2s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-3z+0t+s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t-2s & =-2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4s & = 4 \end{matrix}</math> |} Per solucionar el sistema començarem a resoldre'l per l'última equació i continuarem per la de sobre successivament fins la primera equació: :<math>4s=4</math> <math>\Rightarrow s=1</math> :<math>t-2s=-2</math> <math>\Rightarrow t-2(1)=-2</math> <math>\Rightarrow t=0</math> :<math>-3z+0t+s=0</math> <math>\Rightarrow -3z+0(0)+(1)=0</math> <math>\Rightarrow z=\tfrac{1}{3}</math> :<math>-y+3z-2t+2s=0</math> <math>\Rightarrow -y+3\left(\tfrac{1}{3}\right)-2(0)+2(1)=0</math> <math>\Rightarrow y=3</math> :<math>2x + y -3z +5t -4s=0</math> <math>\Rightarrow 2x + (3) -3\left(\tfrac{1}{3}\right) +5(0) -4(1)=0</math> <math>\Rightarrow x=1</math> Per tant la solució és <math>\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 3\\ \tfrac{1}{3}\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.</math> ==== Triangulació ==== Intentarem convertir un sistema qualsevol en un sistema associat a una matriu triangular superior seguint les regles següents: :1) Les equacions es poden sumar o restar entre elles. ::1.1) Les equacions es poden multiplicar o dividir per un valor concret. :2) Les equacions es poden intercanviar de lloc entre elles. :3) L'objectiu prioritari és fer zeros sota el primer terme de cada equació. És possible que la matriu triangular tingui zeros a la diagonal, això només vol dir que el sistema associat té més d'una solució. ===== Exemple ===== Donat el sistema següent, busqueu els valors de x, y i z. :<math>\begin{matrix} 5x+y-7z=11\\ 2x-5y+3z=4\\ x-2y+z=3 \end{matrix}\Bigg\}</math> El primer pas és reordenar les equacions <math>eq_1 \leftrightarrow eq_3</math> per poder treballar amb nombres petits al que podríem dir diagonal: :<math>\begin{matrix} x-2y+z=3\\ 2x-5y+3z=4\\ 5x+y-7z=11 \end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_2-2\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\\ \;\;0-y\;+z=-2\\ 5x+y-7z=11\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-5\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x\;-2y+\;z\;=3\;\;\;\\ 0\;\;-y\;+\;z\;=-2\\ 0+11y-12z=-4\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3+11\cdot eq_2\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\;\;\;\\ 0\;-y\;+z=-2\\ 0\;+0-z=-26\end{matrix}\Bigg\}</math> Ara ja podem resoldre els sistema: :<math>z=26</math> :<math>-y+z=-2</math> <math>\rightarrow -y+(26)=-2</math> <math>\rightarrow y=28</math> :<math>x-2y+z=3</math> <math>\rightarrow x-2(28)+(26)=3</math> <math>\rightarrow x=33</math> Per tant els sistema té una única solució <math>(26,28,33).</math> === Determinant === El determinant és un mètode que permet mesurar la informació redundant dins d'una matriu quadrada nxn exclusivament. Amb aquest objectiu podem obtenir tres lleis que afecten a files i columnes a l'interior de la matriu:<ref>Aquestes propietats equivalen a dos de les tres condicions teòriques amb les que realment s'ha construït el '''determinant''' quedant així una idea més natural que els alumnes es poden trobar al batxillerat.</ref> :1) Volem sumar o restar unes files a unes altres sense que es modifiqui el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :2) Volem intercanviar files sense que es modifiqui en termes absoluts el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :3) Tenir una fila de zeros equival a un determinant igual a zero, el mateix ha de succeir si tenim una columna de zeros. Tot això es va aconseguir, però al punt 2 s'ha observat un canvi de signe quan intercanvies l'ordre dues files o columnes. ==== Determinant de matrius 2x2 ==== [[File:Det2x2.svg|thumb|250px|Signatura]] El determinant d'una matriu 2x2 es calcula així: :<math>\det\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}</math> <math>=ad-cb.</math> La imatge mostra una signatura per recordar l'ordre de les operacions en forma d'embut. ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 8-3\cdot 5</math> <math>=-7.</math> ==== Determinant de matrius 3x3 ==== [[File:Espejo.svg|thumb|150px|Signatura alternativa.]] El determinant d'una matriu 3x3 fem: :<math>\det\begin{pmatrix} a_{1\;1} & a_{1\;2} & a_{1\;3}\\ a_{2\;1} & a_{2\;2} & a_{2\;3}\\ a_{3\;1} & a_{3\;2} & a_{3\;3}\end{pmatrix}</math> <math>=\color{blue}{a_{1\;1}a_{2\;2}a_{3\;3}+a_{1\;2}a_{2\;3}a_{3\;1}+a_{1\;3}a_{2\;1}a_{3\;2}}\color{black}{-(}\color{red}{a_{1\;3}a_{2\;2}a_{3\;1}+a_{1\;2}a_{2\;1}a_{3\;3}+a_{1\;1}a_{2\;3}a_{3\;2}}\color{black}{).}</math> La imatge següent mostra una signatura particular per recordar l'ordre de les operacions [[File:Det3x3a1.svg|350px]] ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 5\cdot (-1)+2\cdot 6\cdot 7+4\cdot 8\cdot 3-(3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot (-1)+6\cdot 8\cdot 1)</math> <math>=-5+84+96-(105-8+48)</math> <math>=175-(142)=33.</math> ==== Determinant de matrius nxn ==== Per fer determinants de matrius de dimensió més grans que 3 l'objectiu és aconseguir una fila o columna on tots els termes siguin zero excepte un d'ells. Regles: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) Les files poden sumar o restar a un altra tantes vegades com calgui. Idem columnes. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2+f_1}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 1 & 5 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}=5-3=2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) Si un valor multiplica una fila, llavors es multiplica el determinant. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2\cdot 5}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 5\cdot 3 & 0\\ 0 & 5\cdot 2 & 0\\ 3 & 5\cdot 1 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 15 & 0\\ 0 & 10 & 0\\ 3 & 5 & 1\end{vmatrix}=10=2\cdot 5</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|3) Si intercanviem dues files, llavors el determinant canvia de signe. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2 \leftrightarrow f_3}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 3 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 0\end{vmatrix}=-2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|4) Si una fila té tots els elements zeros, llavors el determinant és zero. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 10^2\\ 0 & \pi & 3\\ 0 & -1 & 12\end{vmatrix}</math> <math>=0</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|5) Si aconseguim una fila o columna de zeros excepte un d'ells, llavors la fila i columna corresponent a aquest valor es poden eliminar de la matriu, quedant una matriu (n-1)x(n-1), i aquest valor surt fora de la matriu multiplicat pel signe corresponent a la seva posició segons la matriu: :::<math>\begin{pmatrix} + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}</math> }} |- |Exemple: :::<math>\det(A)=\begin{vmatrix} 4 & -3 & 1 & 9\\ 0 & 5 & 6 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))\begin{vmatrix} 5 & 6 & 1\\ 2 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))(-(2))\begin{vmatrix} 6 & 1\\ 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=4\cdot(-2)(6\cdot 7-4\cdot 1)=-304.</math> |} ==== Propietats ==== 1) <math>\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)</math> 2) En general <math>\det(A+ B)\neq\det(A)+\det(B)</math> === Tipus de sistemes === Per tancar l'estudi de sistemes lineals només cal classificar els aquests sistemes donant una interpretació geomètrica per entendre el que es cuina al seu interior. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="400px" |colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Observació''' d'una equació lineal.}} |- | *Una equació lineal amb una incògnita pot determinar un únic punt sobre la recta real. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Una equació lineal amb dos incògnites pot determinar una única recta sobre el pla real. :[[File:RectaOrigen001.svg|300px]] *Una equació lineal amb tres incògnites pot determinar un pla sobre l'espai real. :[[File:Plano001.svg|300px]] Cada equació pot determinar elements amb una dimensió menys que l'espai on es troba. |} Buscar les solucions d'un sistema d'equacions lineals és buscar punts comuns que satisfan totes les equacions a la vegada, és a dir que busquem el lloc de trobada de tots els objectes de cada equació. :Direm que un sistema té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les equacions quedant només '''r''' equacions. :Direm que una matriu té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les files quedant només '''r''' files. :Direm que la matriu associada a un sistema lineal és '''ampliada''' si s'afegeix una '''nova columna''' corresponent als termes independents de les equacions, per parlar del rang d'una matriu ampliada escriurem que '''rang=r*'''. :::{|cellpadding="3" |- ||Sistema <math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu del sistema <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}\end{pmatrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu ampliada <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n} & b_1\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} & b_m \end{pmatrix}</math> |} '''Exemple''' :Donat el següent sistema, calculeu el seu rang: <math>\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+2u=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;2x-2y\;\;\;\;\;\;+2t+5u=7\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t\;\;+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-2\cdot eq_2\;\;}\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5+eq_1\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_4+eq_2\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5-3\cdot eq_4\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\leftarrow</math> '''rang = 4'''. Classificació dels sistemes lineals amb '''n''' incògnites. {|style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" |- |<math>Sistema\;\;lineal=\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;SC\\r=r*\end{matrix}\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;Determinat\;\;SCD\\r=n\end{matrix} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;indeterminat\;\;SCI\\r<n\end{matrix} \end{cases} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Incompatible\;\;SI\\r<r*\end{matrix}\end{cases}</math> |} :'''SCD:''' Una única solució, un punt. :'''SCI:''' Conjunt de solucions formant objectes de dimensió n-r. :'''SI:''' Sense solucions, segurament perquè alguns dels objectes és paral·lel a un altre o interseccions d'altres objectes. Ara sí podem estudiar les situacions que ens trobarem més sovint al batxillerat. ==== Sistemes lineals de dos incògnites ==== Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són rectes concurrents en un únic punt i es podran simplificar fins a restar-ne només dos equacions. :Una interpretació geomètrica seria imaginar tan rectes secants com rectes perpendiculars en un mateix punt que podem o no veure, d'això se'n diu feix de rectes: ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante001.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante002.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante003.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que totes les equacions són idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació. Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. :Una interpretació geomètrica seria imaginar rectes que no tenen punts en comú a totes les rectes a la vegada: o bé almenys un parell de rectes són paral·leles o bé en el punt on concorren les rectes manca almenys una recta. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaParalela001.svg|200px]] |} ==== Sistemes lineals de tres incògnites ==== Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són plans que passen per un sol punt i es podran simplificar fins a restar-ne només tres equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:TresPlanos001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que podria ser des de equacions idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació o també a més a més podria ser que tenim un feix de plans, es a dir que tots es tallen sobre una recta i per tant les seves equacions simplifiquen en només dues equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:Diedro001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. === Regla de Cramer === Gabriel Cramer(1704-1752) va ser el primer en fer la resolució de sistemes lineals amb el que avui anomenem determinats, d'aquí el seu nom al mètode. Donat un sistema lineal '''nxn''': ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}</math> La solució general de <math>x_i</math> és la divisió de dos determinants, al denominador el determinant de la matriu associada i al numerador el determinant de la mateixa matriu però substituint la columna ('''i''') per la columna del terme independent i encara que no sigui molt rigorós indicat així: ::<math>x_i=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,i-1} & b_1 & a_{1\,i+1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,i-1} & b_n & a_{n\,i+1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}</math> Clarament per estar ben definit necessitem que el determinant del denominador sigui diferent de zero i llavors el sistema és '''SCD'''. L'únic inconvenient és que mentre més gran el sistema, més determinats s'ha de fer i per tant és prohibitiu el seu ús en la computació ja que els càlculs creixen desorbitadament. De fet el sistema de triangulació és uns dels més eficients i la resta de mètodes són variants d'aquest. ==== Resolució de sistemes 2x2 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_{1} & a_{1\,2}\\ b_{2} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_{1}\\ a_{2\,1} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem solucions al sistema <math>\begin{matrix} x-y & =3\\ 2x+y & =6 \end{matrix}</math> :<math>\det(A)</math> <math>=\det\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=1\cdot 1-(2\cdot (-1))</math> <math>=3.</math> :<math>x</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 6 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}.</math> :<math>x=\frac{9}{3}=3\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y=\frac{0}{3}=0</math> ==== Resolució de sistemes 3x3 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1 & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ b_2 & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ b_3 & a_{3\,2} & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|, |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_1 & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & b_2 & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & b_3 & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_3=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & b_1\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & b_2\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & b_3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem les solucions del sistema <math>\begin{cases}x+y=1\\ x+z=2\\ y+z=3\end{cases}</math> :<math>x=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{0}{-2}=0</math> :<math>y=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-2}{-2}=1</math> :<math>z=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-4}{-2}=2</math> === Inverses de matrius per Gauss-Jordan === Per aplicar mètode i fer la inversa de la matriu A, s'ha de fer la següent construcció: <math>(A\,|\, I)</math> <math>=\left(\begin{array}{cccc|cccc} a_{1\,1} & a_{1\,2} & \dots & a_{1\,n} & 1 & 0 & \dots & 0\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & \dots & a_{2\,n} & 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n\,1} & a_{n\,2} & \dots & a_{n\,n} & 0 & 0 & \dots & 1\end{array}\right)</math> <math>=\cdots</math> <math>=\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & \dots & 0 & b_{1\,1} & b_{1\,2} & \dots & b_{1\,n}\\ 0 & 1 & \dots & 0 & b_{2\,1} & b_{2\,2} & \dots & b_{2\,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & b_{n\,1} & b_{n\,2} & \dots & b_{n\,n}\end{array}\right)</math> <math>=(I\,|\, A^{-1})</math> Per fer aquesta conversió indicada amb punts suspensius aplicarem: 1) Es pot intercanviar files sense cap problema. 2) Es pot multiplicar les files per un nombre diferent de zero. 3) A tota fila es pot sumar una altra multiplicada per un nombre. Estratègia habitual: a) S'ha de fer zeros sota la diagonal. b) continuar fent zeros sobre la diagonal. c) intentem deixar uns a la diagonal. En cas de voler fer diversos canvis en un mateix pas, recordeu que les files que es modifiquen no poden intervenir novament en una nova modificació al mateix pas. Millor fer un pas per cada nou canvi. ==== Exemple ==== 1) Calcula la invers de <math>A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1\end{pmatrix}</math> Sigui: <math>\begin{pmatrix} 1&1&\vdots&1&0\\ 2&1&\vdots&0&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_2\rightarrow f_2-2\cdot f_1</math> <math>\begin{pmatrix} 1&1&\vdots&1&0\\ 0&-1&\vdots&-2&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_1\rightarrow f_1+f_2</math> <math>\begin{pmatrix} 1&0&\vdots&-1&1\\ 0&-1&\vdots&-2&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_1\rightarrow -1\cdot f_1</math> <math>\begin{pmatrix} 1&0&\vdots&-1&1\\ 0&1&\vdots&2&-1\end{pmatrix}</math> Solució <math>A^{-1}=\begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1\end{pmatrix}</math> '''Exercici''': 1) Calculeu les inverses de les matrius donades: :a) <math>A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\ -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}</math> Tutorial alternatiu [https://www.youtube.com/watch?v=W214PLI0quQ aquí] == Geometria == La geometria ha canviat molt des del temps d'Euclides(300 aC), en aquest curs només veurem el treball que es coneix amb el nom de "Espai vectorial euclidià" però sense entrar en els fonaments d'aquest espai particular. Donarem els elements necessaris per treballar detalladament amb diversos objectes. === Elements === ==== Els punts ==== Només cal saber que són els elements més simples a partir dels quals es poden fer tots els altres elements i que es consideren com la base d'altres conceptes. '''Exemples''' *Un punt sobre la recta real és un el element del conjunt <math>\mathbb{R}</math> i coincideix amb el concepte d'un nombre real: el 5, el -4, el 1000, etc. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Un punt sobre el pla real és un element del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> i la seva forma d'escriure és <math>(3,5)</math> on 3 és la coordenada horitzontal i 5 és la coordenada vertical d'aquest punt. [[File:Coordinate with Origin.svg|200px]] *Un punt sobre l'espai real és un elements del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math> i la seva forma d'escriure és <math>(1,-3,7)</math> on 1 és una coordenada horitzontal(com llargada), -3 és una segona coordenada horitzontal(com amplada) i 7 és la coordenada vertical(simplement s'estén verticalment sobre de les altres dues). [[File:3D coordinate system.svg|200px]] Es té constància que el primer en idear aquestes representacions va ser René Descartes(1596-1650) i és així quan es va iniciar la nova geometria analítica permetent les representacions gràfiques. ==== Els vectors ==== [[File:Vector AB from A to B.svg|right|300px]] El concepte de vector a la geometria<ref>Les primeres aplicacions no utilitzen punts perquè només volien saber el seu mòdul i la direcció, i res més, però posteriorment s'ha donat un suport teòric molt més acurat del concepte de vector que és el que s'utilitza actualment a la geometria analítica</ref> està lligat a dos punts, per simplificar, al batxillerat pensarem que és un segment, és a dir, que geomètricament és físicament una línia recta o un camí entre dos punts dins una línia recta així podrem allargar-la(o equivalentment multiplicar-la per nombres enters) o escurçar-la( o equivalentment dividir-la) simplement multiplicant-la amb nombres més grans que 1 o nombres més petits que 1 respectivament. '''Definició i notació:''' Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^2</math><ref name="a"><math>\mathbb{R}^2</math> resumidament vol dir que tenen dos coordenades, <math>\mathbb{R}^3</math> vol dir que tenen tres coordenades i així <math>\mathbb{R}^n</math> vol dir que té '''n''' coordenades.</ref>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2)</math> és i està format com segueix: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2)</math> Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^3</math><ref name="a"/>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2,\;a_3)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2,\;b_3)</math> és i està format com segueix: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2,\;b_3-a_3)</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:550px;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Observació''' |- |Amb la mateixa operació de resta de matrius files s'obté una matriu fila que serà un vector. Llavors es generen les excepcions conceptuals següents:<ref>És excepció conceptual perquè intuïtivament de les operacions de dos elements del mateix tipus resulten un altre del mateix tipus i en canvi aparentment no passa; la raó és que això es pot fer si està escudat teòricament.</ref> *Si tenim un origen i un vector llavors tenim el destí. *Si tenim un origen i un destí llavors tenim el vector. *Si tenim un vector i un destí llavors tenim l'origen. S'interpreta algebraicament i respectivament com: :<math>B=\vec{v}+A</math> :<math>\vec{v}=B-A</math> :<math>A=B-\vec{v}</math> |} Per utilitzar vectors necessitem les principals operacions que definim tot seguit i fixeu-vos la semblança amb les operacions de matrius: ===== Suma de vectors ===== Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2).</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).</math> ====== Propietats de la suma ====== 1) Propietat commutativa: <math>\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}</math> 2) Propietat associativa: <math>\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}</math> :'''Nota''': Com a conseqüència podem escriure simplement <math>\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.</math> 3) Existeix '''element neutre''' <math>\vec{0}</math> si sempre <math>\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}.</math> 4) Tot vector, <math>\vec{u},</math> té invers additiu, <math>-\vec{u},</math> si <math>\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{u}-\vec{u}=\vec{0}.</math> ===== Producte per escalar ===== Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2).</math> Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2,\;\lambda\cdot u_3).</math> ====== Propietats del producte per escalar ====== 1) Propietat associativa: <math>\lambda\cdot(\beta\cdot\vec{u})=(\lambda\cdot\beta)\cdot\vec{u}.</math> :'''Nota''': Com a conseqüència podem escriure simplement <math>\lambda \beta \vec{u}.</math> 2) Existeix '''l'element neutre 1''' si sempre <math>1\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot 1=\vec{u}.</math> 3) Les propietats distributives: <math>(\lambda+\beta)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{u}</math> i <math>\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1) Estic en el punt <math>A=(5,\;5)</math> i casa meva està en el punt <math>B=(2,\;3).</math> Si camino en línia recta 5 vegades aquesta distància arribaria a la biblioteca. ¿En quin lloc està la biblioteca? ;Resolució: *El camí que va a casa meva ve determinat pel vector: ::<math>\vec{AB} =B-A=(2,\;3)-(5,\;5)=(-3,\;-2).</math> *Per tant si camino, des d'on estic i en línia recta, 5 vegades més, estic fent aquesta operació: ::<math>A+5\cdot\vec{AB}</math> <math>=(5,\;5)+5\cdot (-3,\;-2)</math> <math>=(5,\;5)+(5\cdot (-3),\;5\cdot (-2))</math> <math>=(5,\;5)+(-15,\;-10)</math> <math>=(-10,\;-5).</math> Solució: La biblioteca està al punt <math>C=(-10,\;-5).</math> 2) Dos arbres estan en els punts <math>A=(2,\;3)</math> i <math>B=(4,\;1),</math> però a mig camí d'un a l'altre hi ha un tresor. ¿On? ;Resolució: *El camí de A a B és: ::<math>\vec{AB}</math> <math>=B-A</math> <math>=(4,\;1)-(2,\;3)</math> <math>=(2,\;-2).</math> *Per trobar el punt mig del camí de A a B només cal fer la meitat del recorregut, és a dir: ::<math>\frac{\vec{AB}}{2}=\frac{(2,\;-2)}{2}</math> <math>=\tfrac{1}{2}(2,\;-2)</math> <math>=(\tfrac{1}{2}2,\;\tfrac{1}{2}(-2))</math> <math>=(1,\;-1).</math> Solució: el punt que busquem és <math>C</math> <math>=A+\frac{\vec{AB}}{2}</math> <math>=(2,\;3)+(1,\;-1)</math> <math>=(3,\;2).</math> |} ===== Producte a escalar ===== Sintèticament el producte a escalar és:<ref>El producte escalar té una part teòrica molt més profunda i molt condicionada, però pel curs de batxillerat es redueix simplement a un cas molt particular del producte de matrius.</ref> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2.</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3.</math> ====== Propietats del producte a escalar ====== No es gaire rellevant però per curiositat tenim les dos principals. 1) <math>\vec{u}\cdot\vec{u}\geqslant 0</math> sempre. 2) <math>\vec{u}\cdot\vec{u}=0\Leftrightarrow\vec{u}=\vec{0}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1)Sigui <math>\vec{u}=(1,\;2)</math> i <math>\vec{v}=(3,\;4)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(1,\;2)\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}=1\cdot 3+2\cdot 4=11</math> <math>\Rightarrow k=11.</math> 2)Sigui <math>\vec{u}=(3,\;4,\;5)</math> i <math>\vec{v}=(1,\;0,\;2)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(3,\;4,\;5)\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}=3\cdot 1+4\cdot 0+5\cdot 2=13.</math> <math>\Rightarrow k=13.</math> No es gaire difícil pensar en la mateixa operació per a vectors de 4 valors o més. |} ====== Longitud d'un vector ====== La longitud d'un vector més coneguda com '''mòdul''' d'un vector és el resultat de considerar el teorema de Pitàgores per trobar la hipotenuses segons el cas. Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.</math> Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2+u_3\cdot u_3}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |[[File:Vector(1,1).svg|150px|right]] 1) La longitud o mòdul del vector <math>\vec{u}=(1,\;1),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{u}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math> :Observem que la longitud del vector és la hipotenusa del triangle rectangle dibuixat, i per tant, és equivalent al teorema de Pitàgores. 2) La longitud de <math>\vec{u}=(3,0)</math> és <math>L_\vec{u}=\sqrt{3^2+0^2}=3,</math> és el cas intuïtiu en que no és hipotenusa. 3) Longitud del vector <math>\vec{w}=(1,\;-1,\;0),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2},</math> cas en que el vector a l'espai té un valor nul, llavors la longitud es la mateixa que un vector de dos valors. 4) Longitud del vector <math>\vec{w}=(3,\;4,\;12),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13,</math> |} ====== Vectors unitaris ====== Per obtenir un vectors unitaris o vectors de longitud 1 a partir d'un vector qualsevol no nul, simplement s'ha d'extreure la seva longitud dividint el vector per la seva longitud: :<math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}</math> Construït així, aquest vector <math>\hat{u}</math> té longitud 1.<ref>La raó és la semblança de triangles, donat el triangle rectangle 3u,4u,5u si es vol que la hipotenusa sigui de longitud 1, només cal dividir totes les mesures entre el valor de la hipotenusa actual que és 5, per tant el triangle queda com <math>\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5},\tfrac{5}{5},</math> és a dir <math>0'6u\,,\,0'8u\,,\,1u</math> que és un triangle que té hipotenusa 1 i té els mateixos angles, per tant, la mateixa forma. Parlant de vectors, tenen la mateixa direcció i són de longitud 1.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1) Càlcul de vectors unitaris: <math>\vec{u}=(5,12)</math> i <math>\vec{v}=(1,1,1)</math> :a) <math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}=\frac{(2,12)}{\sqrt{5^2+12^2} }=\frac{(2,12)}{13}=(\tfrac{2}{13},\tfrac{12}{13}).</math> :b) <math>\hat{v}=\frac{\vec{u}}{l_u}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} }=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}).</math> Per comprovar això, calculant ara la seva longitud ha de donar 1. |} ====== Angle entre dos vectors ====== Per calcular l'angle entre dos vectors qualssevol <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> s'utilitza la fórmula:<ref>Per provar propietats de longitud i angulars entre vectors es fa amb expressions úniques sobre bases ortonormals que ve a continuació, però escapa a l'objectiu del curs, així s'ha considerat aquest ordre d'explicació com el més intuïtiu, agrupat i ordenat.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Observació" data-collapsetext="Ocultar" |<math>cos(\alpha)=\hat{v}\cdot\hat{u}=\frac{\vec{v}}{l_\vec{u}}\cdot\frac{\vec{u}}{l_\vec{v}}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{l_\vec{u}\cdot l_\vec{v}}</math> |- |Per calcular l'angle entre vectors fa falta convertir-los en unitaris <math>\hat{v}</math> i <math>\hat{u},</math> només cal aplicar la idea del producte i utilitzar la fórmula trigonomètrica del cosinus dins la circumferència unitat. A la imatge s'observa l'angle entre l'eix '''x''', <math>\hat{v},</math> i el vector taronja, <math>\hat{u},</math> on el cosinus és la longitud del vector vermell: [[File:Trigo.gif|400px]] |} ====== Vectors ortogonals ====== Dos vectors <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> són perpendiculars, formen un angle recte o són '''ortogonals''' si: :<math>\vec{u}\cdot\vec{v}=0</math> Exemple: Els vectors (1,0,0), (0,1,0) i (0,0,1) són ortogonals. '''Exercici''': 1) Quins dels vectors següents són perpendiculars? '''notació''' es fa <math>\vec{a}\bot\vec{b}</math> per indicar perpendicularitat entre dos vectors. <math>\vec{u_1}=(1,0,0),\;\vec{u_2}=(0,1,0),\;\vec{u_3}=(0,1,1),\vec{u_4}=(0,1,-1)</math> ====== Projecció d'un vector ====== Per projectar un vector <math>\vec{v}</math> en la direcció <math>\vec{u},</math> es pren el vector unitari <math>\hat{u}</math> que ens indica purament la direcció de projecció, així: *Longitud del vector projectat és: <math>l_\vec{p}=\vec{v}\cdot\hat{u}.</math> *Vector projectat és: <math>\vec{p}=l_\vec{p}\cdot\hat{u}.</math> ===== Base ===== Les bases són conjunts reduïts de vectors que s'utilitzen per construir qualsevol possibles vectors d'un espai de treball. Conjunts de vectors anomenats base canònica: :Base canònica a <math>\mathbb{R}^2</math> és: <math>\hat{i}=(1,\;0)\;\;i\;\;\hat{j}=(0,\;1)</math> :Base canònica a <math>\mathbb{R}^3</math> és: <math>\hat{i}=(1,\;0,\;0)\;,\;\;\hat{j}=(0,\;1,\;0)\;\;i\;\;\hat{k}=(0,\;0,\;1)</math> Base qualsevol <math>\vec{u}=(1,\;2,\;3)\;,\;\;\vec{v}=(2,\;0,\;-1)\;\;i\;\;\vec{s}=(1,\;0,\;1)</math> A partir de qualsevol base si volem construir altres vectors es necessita entendre el següent concepte de combinació lineal. ====== Combinació lineal de vectors ====== Combinació lineal és fer sumes i restes de vectors amb productes per escalar. :<math>a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> '''Exemple''': Donats els vectors <math>\vec{u}=(1,\;-2,\;0)</math>, <math>\vec{v}=(0,\;5,\;-1)</math> i <math>\vec{s}=(-3,\;1,\;4)</math> calculeu <math>\vec{w}:</math> 1) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}+3\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=(1,\;-2,\;0)+(-1)\cdot (0,\;5,\;-1)+3\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(1,\;-2,\;0)+(0,\;-5,\;1)+(-9,\;3,\;12)</math> <math>=(-8,\;-4,\;13)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(-8,\;-4,\;13)</math> 2) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=5\cdot\vec{u}+2\cdot\vec{v}-4\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=5\cdot (1,\;-2,\;0)+2\cdot (0,\;5,\;-1)+(-4)\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(5,\;-10,\;0)+(0,\;10,\;-2)+(12,\;-4,\;-16)</math> <math>=(17,\;-4,\;-18)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(17,\;-4,\;-18)</math> ====== Coordenades ====== Donada una base <math>\vec{u}\;,\;\;\vec{v}\;\;i\;\;\vec{s}</math> inventada, llavors: Si <math>\vec{w}=3\cdot\vec{u}-5\cdot\vec{v}+7\cdot\vec{s}</math> direm que 3,-5 i 7 són les coordenades de <math>\vec{w}</math> en aquesta base i per tant <math>\vec{w}=(3,-5,7)</math> en aquesta base. ====== Dependència i independència lineal ====== Donats els vectors <math>\vec{u}\;,\;\;\vec{v}\;\;i\;\;\vec{s};</math> Direm que són linealment dependents si hi ha a,b i c '''no tots nuls''' tals que <math>\vec{0}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> Direm que són linealment independent si no hi ha a,b i c '''no tots nuls'' tals que <math>\vec{0}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> ====== Producte vectorial ====== == Notes i referències == {{Reflist}} [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 4s0pnf0nivnw7wxyccfsordhz818t7c 4 46133 383841 339616 2026-04-15T09:08:28Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383841 wikitext text/x-wiki <languages /> Wikiversity ist ein Projekt der Wikimedia Foundation, das die [[w:de:Wiki|Wiki]]-Technik zur Unterstützung des Online-Lernens nutzt. Weitere Informationen auf [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:Mission]]. [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] 5fd5anrm8fzi5yrhrlqi5i6qon5q8wy 4 48579 383855 352929 2026-04-15T09:08:34Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383855 wikitext text/x-wiki <languages /> Wikiversity ni mradi wa Wikimedia Foundation ulioanzishwa kwa kutumia teknolojia ya [[w:Wiki|wiki]] ili kusaidia katika kujifunza mtandaoni. Kwa habari zaidi soma [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:malengo]] [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] rysxkau9mgk7j5nof8wooonua5jxzbh 14 49775 383831 364154 2026-04-15T08:45:57Z ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ 51302 removed [[Category:Main Page]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 383831 wikitext text/x-wiki These templates are used on the main page. ဤတမ်းပလိတ်များကို ပင်မစာမျက်နှာတွင် အသုံးပြုသည်။ တဲမ်းပလိတ်ယိုစားဖုံးနောဝ်ꩻ ခုမ်အီ ဗဟိုႏလိတ်မဲ့ငါကို။ [[Wikiversity:အဓိကလိတ်မဲ့ငါ/Project]] [[Category:Templates]] [[Category:BLK]] 3u0xib8fojjlvnxlj5u8stfja68l2bz 4 49949 383837 359124 2026-04-15T09:08:26Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383837 wikitext text/x-wiki <languages /> ဝီခီတက္ကသိုလ်ႏနဝ်ꩻ ကအီႏစွဲးထဲမ် အွန်လုဲင်းလောင်းထာꩻသွဉ်ထူႏယို သုင်ꩻအီနေး [[w:Wiki|ဝီခီ]]နယ်ꩻပညာႏတဲင် ပလို့ꩻသော့ꩻခါꩻဒါႏ ထွာဝီခီမီဒီယာ အဗူႏပဲင်ႏ ထာꩻမာꩻခြပ်ရဲဉ်ႏတဗာႏသွူ။ထဲင်းယင်းအချက်အဆင်ႏဖုံႏ[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|ဝီခီတက္ကသိုလ်ႏ:မိစ်ဆိဉ်]]ကို။ [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] iw92klv311nplxlu4czw1u344ipk5of 4 52505 383856 368021 2026-04-15T09:08:34Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383856 wikitext text/x-wiki <languages /> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity is a Wikimedia Foundation project devoted to using [[w:Wiki|wiki]] technology to support online learning. More info at [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:Mission]]. </div> [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] egwj3m8e45t858gxqf1ckftohwcjgv8 4 52951 383851 370477 2026-04-15T09:08:32Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383851 wikitext text/x-wiki <languages /> ਵਿਕੀਵਰਸਿਟੀ ਇੱਕ ਵਿਕੀਮੀਡੀਆ ਸੰਸਥਾ ਦਾ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਐ ਜੋ [[w:Wiki|ਵਿਕੀ]] ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਔਨਲਾਈਨ ਸਿੱਖਿਆ ਨੂੰ ਸਮਰਥਨ ਦੇਣ ਲਈ ਸਮਰਪਿਤ ਐ। [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|ਵਿਕੀਵਰਸਿਟੀ:ਟੀਚਾ]] 'ਤੇ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ। [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] 5t0lt5wlof8xcwi0nixp69dx9bb15us 4 53526 383845 372622 2026-04-15T09:08:29Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383845 wikitext text/x-wiki <languages /> ויקיברסיטה הוא מיזם של קרן ויקימדיה המוקדש לשימוש בטכנולוגיית [[w:he:ויקי|ויקי]] לתמיכה בלמידה מקוונת. למידע נוסף בקרו ב[[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|ויקיברסיטה:משימה]]. [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] 6u4wqo1ar9wjzupqq34y3n2abaodorv 4 53920 383859 373666 2026-04-15T09:08:36Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383859 wikitext text/x-wiki <languages /> Wikiversity jẹ iṣẹ Wikimedia Foundation ti yasọtọ si lilo imọ-ẹrọ [[w:Wiki|wiki]] lati ṣe atilẹyin ẹkọ lori ayelujara. Alaye kun kun nipa re se ku si [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|Wikiversity:Mission]]. [[Category:Wikiversity{{#translation:}}]] [[ar:مساعدة:FAQ/Ar]] [[cs:Wikiverzita:Nejčastěji kladené otázky]] [[de:Wikiversity:FAQ]] [[el:Συχνές ερωτήσεις (FAQ)]] [[en:Wikiversity:FAQ]] [[it:Aiuto:FAQ]] [[pt:Wikiversidade:FAQ]] p9l26ygq5g2kvobe2eyt2rh3srtxq73 1198 54721 383834 376662 2026-04-15T08:59:17Z FuzzyBot 31756 Importing a new version from external source 383834 wikitext text/x-wiki ==Notes== <references/> gw07ara7jur4br9f7b8jclo7xqqbl8a 4 54724 383835 376665 2026-04-15T08:59:18Z FuzzyBot 31756 Updating to match new version of source page 383835 wikitext text/x-wiki <languages/> {|cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 0; background: #f9f9f9; border: 1px #a0a0a0 solid; border-collapse: collapse; " rules="all" !Language !Wikiversity !motto !slogan !translation !community consensus |- |[[:cs:Wikiverzita:Hlavní strana|cs:]] |Wikiverzita | | | | |- |[[:de:Hauptseite|de:]] |Wikiversity | |[[:de:Wikiversity:Slogan|Lernen und Lehren]] |learning and teaching |10.2007 |- |[[:el:Κύρια Σελίδα|el:]] |Βικιεπιστήμιο |[[:el:Βικιβήμα|Ελεύθερη Παιδαγωγική Κοινότητα]] | |free pedagogic community |01.2008 |- |[[:en:Wikiversity:Main Page|en:]] |Wikiversity |[[:en:Wikiversity:Motto contest|open learning community]] ||[[:en:Wikiversity:Motto contest|set learning free]] | |05.2007<br>08.07 |- |[[:es:Portada|es:]] |Wikiversidad | || | | |- |[[:fr:Accueil|fr:]] |Wikiversité |[[:fr:Wikiversité:La salle café/8 mai 2007|communauté pédagogique libre]] | |free pedagogic community |2007 |- |[[עמוד ראשי|he:]] |ויקיברסיטה | | | |- |[[:it:Pagina principale|it:]] |Wikiversità | | |L'Apprendimento libero |2015 |- |[[:ja:メインページ|ja:]] | | | | | |- |[[:pt:Página principal|pt:]] |Wikiversidade |a universidade livre | |The free university | |- |[[Main Page|Beta]] |Wikiversity |There was "The shorter, the better" (see [[help:FAQ]]) but it hadn't caught on. | |- |[[ముఖ్య పుటము|te:]] |వికివిశ్వవిద్యాలయము |ఉచిత విద్యా వితరణ సంఘం. |విద్య పంచినప్పుడే వర్ధిల్లుతుంది.(Knowledge grows upon sharing) | |} ==Notes== <references/> ==For other Wikimedia projects== *'''[[:m:Wikipedia_logo_in_each_language|Wikipedia]]''' *'''[[:oldwikisource:Wikisource|Wikisource]]''' *'''[[:m:Wiktionary/logo/refresh/localization_text|Wiktionary]]''' [[de:Wikiversity:Slogan]] [[Category:Wikiversity]] o3j7o9vpnonjc76qsj7wk6buvwbg1fu 14 55499 383828 383717 2026-04-14T17:18:41Z ~2026-23060-54 55428 Created page with "Kategori:Wikiversity" 383828 wikitext text/x-wiki <languages/> {{shortcut|[[CAT:WV]]}} {{multilingual category |Kategori:Wikiversity}} [[Category:Root{{#translation:}}]] [[ar:تصنيف:ويكي الجامعة]] [[cs:Kategorie:Wikiverzita]] [[de:Kategorie:Wikiversity]] [[el:Κατηγορία:Βικιεπιστήμιο]] [[en:Category:Wikiversity]] [[es:Categoría:Wikiversidad]] [[fi:Luokka:Wikiopisto]] [[fr:Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[it:Categoria:Wikiversità]] [[ja:Category:ウィキバーシティ]] [[ko:분류:위키배움터]] [[pt:Categoria:!Wikiversidade]] [[ru:Категория:Викиверситет]] [[zh:Category:維基學院]] oro1tgb81riq4lxez5xdirl7v3899m3 2 55522 383822 2026-04-14T17:10:37Z ~2026-23060-54 55428 Created blank page 383822 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 1198 55523 383826 2026-04-14T17:18:27Z ~2026-23060-54 55428 Created page with "Kategori:Wikiversity" 383826 wikitext text/x-wiki Kategori:Wikiversity adlwv9vjgjd8o0d0tvpfxrsz0ur52tx 1198 55524 383827 2026-04-14T17:18:40Z ~2026-23060-54 55428 Created page with "Kategori:Wikiversity" 383827 wikitext text/x-wiki Kategori:Wikiversity adlwv9vjgjd8o0d0tvpfxrsz0ur52tx 0 55525 383832 2026-04-15T08:47:10Z ꠢꠣꠍꠘ ꠞꠣꠎꠣ 51302 Redirected page to [[Category:Wikiversity administration]] 383832 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[Category:Wikiversity administration]] b30lyeom1mayy45k8sr5pf34tu08uur 14 55526 383861 2026-04-15T09:08:37Z FuzzyBot 31756 Automatically creating translation of category used on [[Wikiversity:About/ar]] 383861 wikitext text/x-wiki <languages/> {{shortcut|[[CAT:WV]]}} {{multilingual category |<span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">This category is about general Wikiversity issues.</span>}} [[Category:Root{{#translation:}}]] [[ar:تصنيف:ويكي الجامعة]] [[cs:Kategorie:Wikiverzita]] [[de:Kategorie:Wikiversity]] [[el:Κατηγορία:Βικιεπιστήμιο]] [[en:Category:Wikiversity]] [[es:Categoría:Wikiversidad]] [[fi:Luokka:Wikiopisto]] [[fr:Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[it:Categoria:Wikiversità]] [[ja:Category:ウィキバーシティ]] [[ko:분류:위키배움터]] [[pt:Categoria:!Wikiversidade]] [[ru:Категория:Викиверситет]] [[zh:Category:維基學院]] srpknku8zlpwtlgso1qlsf7impaupie 14 55527 383862 2026-04-15T09:08:37Z FuzzyBot 31756 Automatically creating translation of category used on [[Wikiversity:About/bg]] 383862 wikitext text/x-wiki <languages/> {{shortcut|[[CAT:WV]]}} {{multilingual category |<span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">This category is about general Wikiversity issues.</span>}} [[Category:Root{{#translation:}}]] [[ar:تصنيف:ويكي الجامعة]] [[cs:Kategorie:Wikiverzita]] [[de:Kategorie:Wikiversity]] [[el:Κατηγορία:Βικιεπιστήμιο]] [[en:Category:Wikiversity]] [[es:Categoría:Wikiversidad]] [[fi:Luokka:Wikiopisto]] [[fr:Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[it:Categoria:Wikiversità]] [[ja:Category:ウィキバーシティ]] [[ko:분류:위키배움터]] [[pt:Categoria:!Wikiversidade]] [[ru:Категория:Викиверситет]] [[zh:Category:維基學院]] srpknku8zlpwtlgso1qlsf7impaupie 14 55528 383863 2026-04-15T09:08:38Z FuzzyBot 31756 Automatically creating translation of category used on [[Wikiversity:About/he]] 383863 wikitext text/x-wiki <languages/> {{shortcut|[[CAT:WV]]}} {{multilingual category |<span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">This category is about general Wikiversity issues.</span>}} [[Category:Root{{#translation:}}]] [[ar:تصنيف:ويكي الجامعة]] [[cs:Kategorie:Wikiverzita]] [[de:Kategorie:Wikiversity]] [[el:Κατηγορία:Βικιεπιστήμιο]] [[en:Category:Wikiversity]] [[es:Categoría:Wikiversidad]] [[fi:Luokka:Wikiopisto]] [[fr:Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[it:Categoria:Wikiversità]] [[ja:Category:ウィキバーシティ]] [[ko:분류:위키배움터]] [[pt:Categoria:!Wikiversidade]] [[ru:Категория:Викиверситет]] [[zh:Category:維基學院]] srpknku8zlpwtlgso1qlsf7impaupie 14 55529 383864 2026-04-15T09:08:38Z FuzzyBot 31756 Automatically creating translation of category used on [[Wikiversity:About/hi]] 383864 wikitext text/x-wiki <languages/> {{shortcut|[[CAT:WV]]}} {{multilingual category |<span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">This category is about general Wikiversity issues.</span>}} [[Category:Root{{#translation:}}]] [[ar:تصنيف:ويكي الجامعة]] [[cs:Kategorie:Wikiverzita]] [[de:Kategorie:Wikiversity]] [[el:Κατηγορία:Βικιεπιστήμιο]] [[en:Category:Wikiversity]] [[es:Categoría:Wikiversidad]] [[fi:Luokka:Wikiopisto]] [[fr:Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[it:Categoria:Wikiversità]] [[ja:Category:ウィキバーシティ]] [[ko:분류:위키배움터]] [[pt:Categoria:!Wikiversidade]] [[ru:Категория:Викиверситет]] [[zh:Category:維基學院]] srpknku8zlpwtlgso1qlsf7impaupie 14 55530 383865 2026-04-15T09:08:38Z FuzzyBot 31756 Automatically creating translation of category used on [[Wikiversity:About/it]] 383865 wikitext text/x-wiki <languages/> {{shortcut|[[CAT:WV]]}} {{multilingual category |<span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">This category is about general Wikiversity issues.</span>}} [[Category:Root{{#translation:}}]] [[ar:تصنيف:ويكي الجامعة]] [[cs:Kategorie:Wikiverzita]] [[de:Kategorie:Wikiversity]] [[el:Κατηγορία:Βικιεπιστήμιο]] [[en:Category:Wikiversity]] [[es:Categoría:Wikiversidad]] [[fi:Luokka:Wikiopisto]] [[fr:Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[it:Categoria:Wikiversità]] [[ja:Category:ウィキバーシティ]] [[ko:분류:위키배움터]] [[pt:Categoria:!Wikiversidade]] [[ru:Категория:Викиверситет]] [[zh:Category:維基學院]] srpknku8zlpwtlgso1qlsf7impaupie 14 55531 383866 2026-04-15T09:08:39Z FuzzyBot 31756 Automatically creating translation of category used on [[Wikiversity:About/no]] 383866 wikitext text/x-wiki <languages/> {{shortcut|[[CAT:WV]]}} {{multilingual category |<span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">This category is about general Wikiversity issues.</span>}} [[Category:Root{{#translation:}}]] [[ar:تصنيف:ويكي الجامعة]] [[cs:Kategorie:Wikiverzita]] [[de:Kategorie:Wikiversity]] [[el:Κατηγορία:Βικιεπιστήμιο]] [[en:Category:Wikiversity]] [[es:Categoría:Wikiversidad]] [[fi:Luokka:Wikiopisto]] [[fr:Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[it:Categoria:Wikiversità]] [[ja:Category:ウィキバーシティ]] [[ko:분류:위키배움터]] [[pt:Categoria:!Wikiversidade]] [[ru:Категория:Викиверситет]] [[zh:Category:維基學院]] srpknku8zlpwtlgso1qlsf7impaupie 14 55532 383867 2026-04-15T09:08:39Z FuzzyBot 31756 Automatically creating translation of category used on [[Wikiversity:About/sw]] 383867 wikitext text/x-wiki <languages/> {{shortcut|[[CAT:WV]]}} {{multilingual category |<span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">This category is about general Wikiversity issues.</span>}} [[Category:Root{{#translation:}}]] [[ar:تصنيف:ويكي الجامعة]] [[cs:Kategorie:Wikiverzita]] [[de:Kategorie:Wikiversity]] [[el:Κατηγορία:Βικιεπιστήμιο]] [[en:Category:Wikiversity]] [[es:Categoría:Wikiversidad]] [[fi:Luokka:Wikiopisto]] [[fr:Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[it:Categoria:Wikiversità]] [[ja:Category:ウィキバーシティ]] [[ko:분류:위키배움터]] [[pt:Categoria:!Wikiversidade]] [[ru:Категория:Викиверситет]] [[zh:Category:維基學院]] srpknku8zlpwtlgso1qlsf7impaupie 14 55533 383868 2026-04-15T09:08:39Z FuzzyBot 31756 Automatically creating translation of category used on [[Wikiversity:About/vi]] 383868 wikitext text/x-wiki <languages/> {{shortcut|[[CAT:WV]]}} {{multilingual category |<span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">This category is about general Wikiversity issues.</span>}} [[Category:Root{{#translation:}}]] [[ar:تصنيف:ويكي الجامعة]] [[cs:Kategorie:Wikiverzita]] [[de:Kategorie:Wikiversity]] [[el:Κατηγορία:Βικιεπιστήμιο]] [[en:Category:Wikiversity]] [[es:Categoría:Wikiversidad]] [[fi:Luokka:Wikiopisto]] [[fr:Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[it:Categoria:Wikiversità]] [[ja:Category:ウィキバーシティ]] [[ko:분류:위키배움터]] [[pt:Categoria:!Wikiversidade]] [[ru:Категория:Викиверситет]] [[zh:Category:維基學院]] srpknku8zlpwtlgso1qlsf7impaupie 14 55534 383869 2026-04-15T09:08:40Z FuzzyBot 31756 Automatically creating translation of category used on [[Wikiversity:About/yo]] 383869 wikitext text/x-wiki <languages/> {{shortcut|[[CAT:WV]]}} {{multilingual category |<span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">This category is about general Wikiversity issues.</span>}} [[Category:Root{{#translation:}}]] [[ar:تصنيف:ويكي الجامعة]] [[cs:Kategorie:Wikiverzita]] [[de:Kategorie:Wikiversity]] [[el:Κατηγορία:Βικιεπιστήμιο]] [[en:Category:Wikiversity]] [[es:Categoría:Wikiversidad]] [[fi:Luokka:Wikiopisto]] [[fr:Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[it:Categoria:Wikiversità]] [[ja:Category:ウィキバーシティ]] [[ko:분류:위키배움터]] [[pt:Categoria:!Wikiversidade]] [[ru:Категория:Викиверситет]] [[zh:Category:維基學院]] srpknku8zlpwtlgso1qlsf7impaupie