Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 45746 383874 383821 2026-04-16T12:09:52Z Profev 36331 /* Producte a escalar */ +propietat 383874 wikitext text/x-wiki Aquest resum intenta accedir a totes les branques de la geometria d'una forma breu i precisa donant propostes d'accés cap a altres mètodes més sintètics. === Matrius === Les matrius són valors reals agrupats en una quadrícula rectangular o recuadre. {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Ocultar" |Exemples de matrius segons el tipus de valors i possible procedència. |- |style="background:#fff;"|Matriu de nombres binaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en definir imatges en blanc i negre o definir grafs. Matrius de nombres fraccionaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{5}\\ \frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en resoldre sistemes d'equacions. Matrius de nombres reals: ::<math>\begin{pmatrix} \pi & 0\\ 0 & e \\ -1 & \sqrt{2}\end{pmatrix}</math> :: Podrien aparèixer només en problemes molt particulars. |} ==== Notació ==== Per referir-se a cada un dels valors d'una matriu usarem els termes <math>a_{i\,j}</math><ref>Els subíndex '''i''' i '''j''' es refereixen a cadascun dels possibles valors que poden prendre dins d'una matriu concreta, com un ''punt'' en un sistema de coordenades. Si la matriu és de '''n''' files i '''m''' columnes, <math>n\times m</math>, vol dir que '''i''' pot prendre els valors que van des de <math>i=1</math> fins arribar a <math>i=n</math> i el mateix per '''j''' que pot prendre valors de <math>j=1</math> fins arribar a <math>j=m</math>, essent aquesta notació una forma de referir-se a tots els termes d'una matriu i com que normalment no s'utilitzen amb valors majors que 9 la notació ha fet la contracció <math>a_{i,\,j}</math> <math>=a_{i\,j}</math>.</ref> de les dues següents maneres: :{|cellspacing="5" cellpadding="5" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="410px" |<math>A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & \cdots & a_{1\,n}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & \cdots & a_{2\,n}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & \cdots & a_{3\,n}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & \cdots & a_{4\,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & a_{m\,2} & a_{m\,3} & a_{m\,4} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}=(a_{i\,j})_{m\times n}</math> |} *En direm '''matriu de dimensió <math>m\times n</math>''', els dos subíndex sempre en aquest ordre, altura m i amplada n. :'''Nota''': No es considera matriu si té dimensió <math>1\times 1</math> :El conjunt de totes les matrius <math>m\times n</math> s'escriu <math>M_{m\times n}.</math> *Els noms habitualment en majúscula: A, B, C, D, E, F, G, H, I, ... . ===== Exemples ===== 1) Donada una matriu <math>4\times 5</math> tenim que és de la forma: ::<math>A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 6 & 0\\ -5 & 4 & 8 & 10 & 2\\ 0 & 7 & 0 & -4 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & a_{1\,5}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & a_{2\,5}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & a_{4\,5} \end{pmatrix}=(a_{i\;j})_{4\times 5}</math> :Dins d'una matriu també es poden identificar matrius i elements concrets com: :*'''Matrius columna''' <math>c_4(A)=\begin{pmatrix}-1\\ 6\\ 10\\ -4\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,4}\\ a_{2\,4}\\ a_{3\,4}\\ a_{4\,4}\end{pmatrix}=(a_{i\,4})_{4}.</math> :*'''Matriu fila''' <math>f_3(A)=\begin{pmatrix} -5 & 4 & 8 & 10 & 2\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\end{pmatrix}=(a_{3\;j})_{5}.</math> :*Elements de la '''diagonal''' són els elements <math>(a_{i\,i})</math> com <math>a_{1\,1}=2,</math> <math>a_{2\,2}=3,</math> <math>a_{3\,3}=8</math> o també <math>a_{4\,4}=-4.</math> :*'''Matriu transposada''' és la matriu resultant de convertir totes les columnes <math>c_i</math> en files <math>f_i</math> de forma que els elements <math>a_{i\,j}</math> ara ocupen el lloc simètric <math>b_{j\,i}</math> dins una nova matriu, en aquest cas obtenim una matriu <math>5\times 4</math>: ::<math>\begin{pmatrix} 2 & 0 & -5 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 8 & 0\\ -1& 6 & 10 & -4\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}=(b_{i\,j})_{5\times 4}</math> 2) '''Matrius quadrades''' si <math>m = n</math>, és a dir que l'amplada és igual a l'altura. :*'''Matriu diagonal''' si fora de la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular superior''' si sota la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}3 & -3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & -3 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 8 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular inferior''' si sobre la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0 & 2 & 0\\ 2 & 7 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu simètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 & 8 & -4\\ 3 & -4 & 1 & -1 & -5\\ 5 & 1 & 0 & 4 & 2\\ 8 & -1 & 4 & -2 & 9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & -3 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu antisimètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=-a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} -7 & -3 & -5 & -8 & 4\\ 3 & 1 & -1 & 0 & 5\\ 5 & 1 & 1 & -4 & -2\\ 8 & 0 & 4 & 1 & -9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & 1 \end{pmatrix}</math> 3) '''Matriu zero''' o nul·la si tots els elements són zeros i el seu nom és excepcionalment 0: ::<math>\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> ==== Operacions ==== Principals operacions on intervenen matrius, detallant cada element que s'opera. Estalviarem escriure termes utilitzant els punts suspensius que indiquen continuació ordenada, és a dir, escriurem <math>(a_{1\,1}\;\dots\;a_{1\,8})</math> en comptes de <math>(a_{1\,1}\;\;a_{1\,2}\;\;a_{1\,3}\;\;a_{1\,4}\;\;a_{1\,5}\;\;a_{1\,6}\;\;a_{1\,7}\;\;a_{1\,8}).</math> ===== Suma de matrius ===== Suma de dues matrius A i B es defineix per: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>A+B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m\,1} & \cdots & b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1}+b_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}+b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1}+b_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}+b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(a_{i\,j}+b_{i\,j})</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' *Propietat associativa: <math>A+(B+C)=(A+B)+C,</math> en aquest cas podem escriure simplement <math>A+B+C</math>. *Propietat commutativa: <math>A+B=B+A.</math> *Element neutre: <math>A+0=A,</math> en aquest cas direm que la matriu 0 és l'element zero. *Element invers: Donat <math>A,</math> existeix un element <math>-A</math> tal que <math>A+(-A)=0,</math> en aquest cas direm element oposat o negatiu, i podem escriure <math>A-A=0.</math> |} D'aquesta operació no en resulten noves matrius amb dimensions diferents.<ref>Aquesta propietat s'escriu com <math>M_{m\times n}+M_{m\times n}\longrightarrow M_{m\times n}.</math></ref> ====== Exemples ====== 1) <math>=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1+0 & 0+2\\ -2+0 & 1+1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 2 \end{pmatrix}</math> ===== Producte per escalar ===== Producte d'un valor real k '''per''' una matriu A es defineix per: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>k\cdot A</math> <math>=k\cdot\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}k\cdot a_{1\,1} & \cdots & k\cdot a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ k\cdot a_{m\,1} & \cdots & k\cdot a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(k\cdot a_{i\,j})</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' *Propietat distributiva respecte la suma de matrius: <math>a(A+B)=aA+aB.</math> *Propietat distributiva respecte la suma d'escalars: <math>(a+b)A=aA+bA.</math> *Propietat associativa: <math>(a\cdot b)A=a(b\cdot A).</math> *Element neutre respecte el producte: <math>1\cdot A=A,</math> l'anomenarem element unitat o u. |} ===== Producte de matrius ===== Bàsicament un producte de matrius repeteix el concepte de '''fila per columna''' i només en aquest ordre. Producte d'una matriu fila, f, <math>1\times n</math> per una matriu columna, c, <math>n\times 1</math>:<ref>En aquest cas particular no es posa l'índex corresponent a la dimensió 1, d'una matriu <math>1\times n</math> o <math>n\times 1,</math> i simplement es diu matriu fila de dimensió n o matriu columna de dimensió n.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" |<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n\end{pmatrix}</math> <math>=f(A)\cdot c(B)</math> <math>=a_1\cdot b_1+ \ldots + a_n\cdot b_n</math> <math>=d.</math> |} Més àmpliament el '''producte''' de matrius en general, que també és '''composició''' d'aplicacions <math>f\circ g=f(g)</math>, queda determinat de la següent manera: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,p}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,p} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p\,1} & \cdots & b_{p\,m} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}f_1(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_1(A)\cdot c_m(B)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_n(A)\cdot c_m(B) \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}d_{1\,1} & \cdots & d_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n\,1} & \cdots & d_{n\,m} \end{pmatrix}</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' No sempre commuta el producte de matrius <math>AB\neq BA.</math> *Propietat associativa: <math>A(BC)=(AB)C.</math> *Propietat distributiva: <math>A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC.</math> *Element neutre: <math>I_1A=AI_2=A</math>, l'anomenarem matriu identitat. ::<math>I_1</math> i <math>I_2</math> son matrius quadrades i poden ser de diferent dimensió(ordre), en aquest cas depenent de A. <math>Id_{2\times 2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix},</math> <math>Id_{3\times 3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},</math> <math>Id_{4\times 4}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\;\dots</math> Les matrius identitat són matrius diagonal i quadrades amb 1 a tota la diagonal i zero a la resta de llocs. *El producte d'una matriu <math>n\times p</math> per una matriu <math>p\times m</math> donant una matriu <math>n\times m</math>: *Es parla d'invers només d'una matriu quadrada, <math>n\times n</math>, si donat A podem obtenir <math>A^{-1}</math> tal que <math>AA^{-1}=A^{-1}A=I</math> que no sempre hi ha. |} ====== Exercicis de matrius ====== 1) Efectua les operacions proposades i digues o informa de les dimensions dels resultats com a mètode de comprovació obligat: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;" align="center" |<math>A_{n\times p}\;\cdot\;B_{p\times m}=C_{n\times m}</math> |} :a)<math>(1\; 2\;3\;4\;5)\cdot \begin{pmatrix}6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix}=</math> :b)<math>\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix}=</math> :c)<math>\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 3 & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\ 7 \end{pmatrix}=</math> :d)<math>(1\;\;-1\;\;2\;\;-2) \begin{pmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8\\ 9 & 10 \end{pmatrix}=</math> :e)<math>(1\;\; 2)\begin{pmatrix}3 & 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 & 10 \end{pmatrix}=</math> :f)<math>\begin{pmatrix}2 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 5\\ 6 & 7 \end{pmatrix}=</math> :g)<math>\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \\4 & -5 & -3 \end{pmatrix}=</math> :h)<math>\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 4 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1 \end{pmatrix}=</math> 2) Calcula cada matriu B que compleix cadascuna de les equacions <math>A=\begin{pmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}</math> :a)<math>A\;B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> :b)<math>A\;B = Id</math> :c)<math>2A+B=A^2</math> :d)<math>A=2\;(B-Id)</math> === Sistemes lineals === Els sistemes lineals estan associats a matrius de forma natural quan tenim <math>A_{mn}\cdot X=B ,</math> tenim la equivalència: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #f66;"|<math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |} Direm que el l'equació <math>A_{mn}\cdot X=B</math> equival a un sistema de m equacions i n incògnites. Ens interesa resoldre sistemes lineals amb n i m menors que 4, tot i que apareixen de més grans de forma puntual. ==== Resolució de sistemes lineals ==== Observem el sistema lineal següent que té associat una matriu triangular superior: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 5 & -4\\ 0 & -1 & 3 & -2 & 2\\ 0 & 0 & -3 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #bbb;"|<math>\begin{matrix} 2x + y -3z +5t -4s & =0\\ \;\;\;\;\;-y+3z-2t+2s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-3z+0t+s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t-2s & =-2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4s & = 4 \end{matrix}</math> |} Per solucionar el sistema començarem a resoldre'l per l'última equació i continuarem per la de sobre successivament fins la primera equació: :<math>4s=4</math> <math>\Rightarrow s=1</math> :<math>t-2s=-2</math> <math>\Rightarrow t-2(1)=-2</math> <math>\Rightarrow t=0</math> :<math>-3z+0t+s=0</math> <math>\Rightarrow -3z+0(0)+(1)=0</math> <math>\Rightarrow z=\tfrac{1}{3}</math> :<math>-y+3z-2t+2s=0</math> <math>\Rightarrow -y+3\left(\tfrac{1}{3}\right)-2(0)+2(1)=0</math> <math>\Rightarrow y=3</math> :<math>2x + y -3z +5t -4s=0</math> <math>\Rightarrow 2x + (3) -3\left(\tfrac{1}{3}\right) +5(0) -4(1)=0</math> <math>\Rightarrow x=1</math> Per tant la solució és <math>\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 3\\ \tfrac{1}{3}\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.</math> ==== Triangulació ==== Intentarem convertir un sistema qualsevol en un sistema associat a una matriu triangular superior seguint les regles següents: :1) Les equacions es poden sumar o restar entre elles. ::1.1) Les equacions es poden multiplicar o dividir per un valor concret. :2) Les equacions es poden intercanviar de lloc entre elles. :3) L'objectiu prioritari és fer zeros sota el primer terme de cada equació. És possible que la matriu triangular tingui zeros a la diagonal, això només vol dir que el sistema associat té més d'una solució. ===== Exemple ===== Donat el sistema següent, busqueu els valors de x, y i z. :<math>\begin{matrix} 5x+y-7z=11\\ 2x-5y+3z=4\\ x-2y+z=3 \end{matrix}\Bigg\}</math> El primer pas és reordenar les equacions <math>eq_1 \leftrightarrow eq_3</math> per poder treballar amb nombres petits al que podríem dir diagonal: :<math>\begin{matrix} x-2y+z=3\\ 2x-5y+3z=4\\ 5x+y-7z=11 \end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_2-2\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\\ \;\;0-y\;+z=-2\\ 5x+y-7z=11\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-5\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x\;-2y+\;z\;=3\;\;\;\\ 0\;\;-y\;+\;z\;=-2\\ 0+11y-12z=-4\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3+11\cdot eq_2\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\;\;\;\\ 0\;-y\;+z=-2\\ 0\;+0-z=-26\end{matrix}\Bigg\}</math> Ara ja podem resoldre els sistema: :<math>z=26</math> :<math>-y+z=-2</math> <math>\rightarrow -y+(26)=-2</math> <math>\rightarrow y=28</math> :<math>x-2y+z=3</math> <math>\rightarrow x-2(28)+(26)=3</math> <math>\rightarrow x=33</math> Per tant els sistema té una única solució <math>(26,28,33).</math> === Determinant === El determinant és un mètode que permet mesurar la informació redundant dins d'una matriu quadrada nxn exclusivament. Amb aquest objectiu podem obtenir tres lleis que afecten a files i columnes a l'interior de la matriu:<ref>Aquestes propietats equivalen a dos de les tres condicions teòriques amb les que realment s'ha construït el '''determinant''' quedant així una idea més natural que els alumnes es poden trobar al batxillerat.</ref> :1) Volem sumar o restar unes files a unes altres sense que es modifiqui el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :2) Volem intercanviar files sense que es modifiqui en termes absoluts el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :3) Tenir una fila de zeros equival a un determinant igual a zero, el mateix ha de succeir si tenim una columna de zeros. Tot això es va aconseguir, però al punt 2 s'ha observat un canvi de signe quan intercanvies l'ordre dues files o columnes. ==== Determinant de matrius 2x2 ==== [[File:Det2x2.svg|thumb|250px|Signatura]] El determinant d'una matriu 2x2 es calcula així: :<math>\det\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}</math> <math>=ad-cb.</math> La imatge mostra una signatura per recordar l'ordre de les operacions en forma d'embut. ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 8-3\cdot 5</math> <math>=-7.</math> ==== Determinant de matrius 3x3 ==== [[File:Espejo.svg|thumb|150px|Signatura alternativa.]] El determinant d'una matriu 3x3 fem: :<math>\det\begin{pmatrix} a_{1\;1} & a_{1\;2} & a_{1\;3}\\ a_{2\;1} & a_{2\;2} & a_{2\;3}\\ a_{3\;1} & a_{3\;2} & a_{3\;3}\end{pmatrix}</math> <math>=\color{blue}{a_{1\;1}a_{2\;2}a_{3\;3}+a_{1\;2}a_{2\;3}a_{3\;1}+a_{1\;3}a_{2\;1}a_{3\;2}}\color{black}{-(}\color{red}{a_{1\;3}a_{2\;2}a_{3\;1}+a_{1\;2}a_{2\;1}a_{3\;3}+a_{1\;1}a_{2\;3}a_{3\;2}}\color{black}{).}</math> La imatge següent mostra una signatura particular per recordar l'ordre de les operacions [[File:Det3x3a1.svg|350px]] ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 5\cdot (-1)+2\cdot 6\cdot 7+4\cdot 8\cdot 3-(3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot (-1)+6\cdot 8\cdot 1)</math> <math>=-5+84+96-(105-8+48)</math> <math>=175-(142)=33.</math> ==== Determinant de matrius nxn ==== Per fer determinants de matrius de dimensió més grans que 3 l'objectiu és aconseguir una fila o columna on tots els termes siguin zero excepte un d'ells. Regles: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) Les files poden sumar o restar a un altra tantes vegades com calgui. Idem columnes. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2+f_1}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 1 & 5 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}=5-3=2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) Si un valor multiplica una fila, llavors es multiplica el determinant. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2\cdot 5}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 5\cdot 3 & 0\\ 0 & 5\cdot 2 & 0\\ 3 & 5\cdot 1 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 15 & 0\\ 0 & 10 & 0\\ 3 & 5 & 1\end{vmatrix}=10=2\cdot 5</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|3) Si intercanviem dues files, llavors el determinant canvia de signe. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2 \leftrightarrow f_3}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 3 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 0\end{vmatrix}=-2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|4) Si una fila té tots els elements zeros, llavors el determinant és zero. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 10^2\\ 0 & \pi & 3\\ 0 & -1 & 12\end{vmatrix}</math> <math>=0</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|5) Si aconseguim una fila o columna de zeros excepte un d'ells, llavors la fila i columna corresponent a aquest valor es poden eliminar de la matriu, quedant una matriu (n-1)x(n-1), i aquest valor surt fora de la matriu multiplicat pel signe corresponent a la seva posició segons la matriu: :::<math>\begin{pmatrix} + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}</math> }} |- |Exemple: :::<math>\det(A)=\begin{vmatrix} 4 & -3 & 1 & 9\\ 0 & 5 & 6 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))\begin{vmatrix} 5 & 6 & 1\\ 2 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))(-(2))\begin{vmatrix} 6 & 1\\ 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=4\cdot(-2)(6\cdot 7-4\cdot 1)=-304.</math> |} ==== Propietats ==== 1) <math>\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)</math> 2) En general <math>\det(A+ B)\neq\det(A)+\det(B)</math> === Tipus de sistemes === Per tancar l'estudi de sistemes lineals només cal classificar els aquests sistemes donant una interpretació geomètrica per entendre el que es cuina al seu interior. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="400px" |colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Observació''' d'una equació lineal.}} |- | *Una equació lineal amb una incògnita pot determinar un únic punt sobre la recta real. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Una equació lineal amb dos incògnites pot determinar una única recta sobre el pla real. :[[File:RectaOrigen001.svg|300px]] *Una equació lineal amb tres incògnites pot determinar un pla sobre l'espai real. :[[File:Plano001.svg|300px]] Cada equació pot determinar elements amb una dimensió menys que l'espai on es troba. |} Buscar les solucions d'un sistema d'equacions lineals és buscar punts comuns que satisfan totes les equacions a la vegada, és a dir que busquem el lloc de trobada de tots els objectes de cada equació. :Direm que un sistema té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les equacions quedant només '''r''' equacions. :Direm que una matriu té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les files quedant només '''r''' files. :Direm que la matriu associada a un sistema lineal és '''ampliada''' si s'afegeix una '''nova columna''' corresponent als termes independents de les equacions, per parlar del rang d'una matriu ampliada escriurem que '''rang=r*'''. :::{|cellpadding="3" |- ||Sistema <math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu del sistema <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}\end{pmatrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu ampliada <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n} & b_1\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} & b_m \end{pmatrix}</math> |} '''Exemple''' :Donat el següent sistema, calculeu el seu rang: <math>\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+2u=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;2x-2y\;\;\;\;\;\;+2t+5u=7\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t\;\;+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-2\cdot eq_2\;\;}\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5+eq_1\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_4+eq_2\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5-3\cdot eq_4\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\leftarrow</math> '''rang = 4'''. Classificació dels sistemes lineals amb '''n''' incògnites. {|style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" |- |<math>Sistema\;\;lineal=\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;SC\\r=r*\end{matrix}\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;Determinat\;\;SCD\\r=n\end{matrix} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;indeterminat\;\;SCI\\r<n\end{matrix} \end{cases} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Incompatible\;\;SI\\r<r*\end{matrix}\end{cases}</math> |} :'''SCD:''' Una única solució, un punt. :'''SCI:''' Conjunt de solucions formant objectes de dimensió n-r. :'''SI:''' Sense solucions, segurament perquè alguns dels objectes és paral·lel a un altre o interseccions d'altres objectes. Ara sí podem estudiar les situacions que ens trobarem més sovint al batxillerat. ==== Sistemes lineals de dos incògnites ==== Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són rectes concurrents en un únic punt i es podran simplificar fins a restar-ne només dos equacions. :Una interpretació geomètrica seria imaginar tan rectes secants com rectes perpendiculars en un mateix punt que podem o no veure, d'això se'n diu feix de rectes: ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante001.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante002.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante003.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que totes les equacions són idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació. Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. :Una interpretació geomètrica seria imaginar rectes que no tenen punts en comú a totes les rectes a la vegada: o bé almenys un parell de rectes són paral·leles o bé en el punt on concorren les rectes manca almenys una recta. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaParalela001.svg|200px]] |} ==== Sistemes lineals de tres incògnites ==== Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són plans que passen per un sol punt i es podran simplificar fins a restar-ne només tres equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:TresPlanos001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que podria ser des de equacions idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació o també a més a més podria ser que tenim un feix de plans, es a dir que tots es tallen sobre una recta i per tant les seves equacions simplifiquen en només dues equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:Diedro001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. === Regla de Cramer === Gabriel Cramer(1704-1752) va ser el primer en fer la resolució de sistemes lineals amb el que avui anomenem determinats, d'aquí el seu nom al mètode. Donat un sistema lineal '''nxn''': ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}</math> La solució general de <math>x_i</math> és la divisió de dos determinants, al denominador el determinant de la matriu associada i al numerador el determinant de la mateixa matriu però substituint la columna ('''i''') per la columna del terme independent i encara que no sigui molt rigorós indicat així: ::<math>x_i=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,i-1} & b_1 & a_{1\,i+1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,i-1} & b_n & a_{n\,i+1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}</math> Clarament per estar ben definit necessitem que el determinant del denominador sigui diferent de zero i llavors el sistema és '''SCD'''. L'únic inconvenient és que mentre més gran el sistema, més determinats s'ha de fer i per tant és prohibitiu el seu ús en la computació ja que els càlculs creixen desorbitadament. De fet el sistema de triangulació és uns dels més eficients i la resta de mètodes són variants d'aquest. ==== Resolució de sistemes 2x2 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_{1} & a_{1\,2}\\ b_{2} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_{1}\\ a_{2\,1} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem solucions al sistema <math>\begin{matrix} x-y & =3\\ 2x+y & =6 \end{matrix}</math> :<math>\det(A)</math> <math>=\det\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=1\cdot 1-(2\cdot (-1))</math> <math>=3.</math> :<math>x</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 6 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}.</math> :<math>x=\frac{9}{3}=3\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y=\frac{0}{3}=0</math> ==== Resolució de sistemes 3x3 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1 & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ b_2 & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ b_3 & a_{3\,2} & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|, |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_1 & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & b_2 & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & b_3 & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_3=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & b_1\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & b_2\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & b_3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem les solucions del sistema <math>\begin{cases}x+y=1\\ x+z=2\\ y+z=3\end{cases}</math> :<math>x=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{0}{-2}=0</math> :<math>y=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-2}{-2}=1</math> :<math>z=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-4}{-2}=2</math> === Inverses de matrius per Gauss-Jordan === Per aplicar mètode i fer la inversa de la matriu A, s'ha de fer la següent construcció: <math>(A\,|\, I)</math> <math>=\left(\begin{array}{cccc|cccc} a_{1\,1} & a_{1\,2} & \dots & a_{1\,n} & 1 & 0 & \dots & 0\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & \dots & a_{2\,n} & 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n\,1} & a_{n\,2} & \dots & a_{n\,n} & 0 & 0 & \dots & 1\end{array}\right)</math> <math>=\cdots</math> <math>=\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & \dots & 0 & b_{1\,1} & b_{1\,2} & \dots & b_{1\,n}\\ 0 & 1 & \dots & 0 & b_{2\,1} & b_{2\,2} & \dots & b_{2\,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & b_{n\,1} & b_{n\,2} & \dots & b_{n\,n}\end{array}\right)</math> <math>=(I\,|\, A^{-1})</math> Per fer aquesta conversió indicada amb punts suspensius aplicarem: 1) Es pot intercanviar files sense cap problema. 2) Es pot multiplicar les files per un nombre diferent de zero. 3) A tota fila es pot sumar una altra multiplicada per un nombre. Estratègia habitual: a) S'ha de fer zeros sota la diagonal. b) continuar fent zeros sobre la diagonal. c) intentem deixar uns a la diagonal. En cas de voler fer diversos canvis en un mateix pas, recordeu que les files que es modifiquen no poden intervenir novament en una nova modificació al mateix pas. Millor fer un pas per cada nou canvi. ==== Exemple ==== 1) Calcula la invers de <math>A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1\end{pmatrix}</math> Sigui: <math>\begin{pmatrix} 1&1&\vdots&1&0\\ 2&1&\vdots&0&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_2\rightarrow f_2-2\cdot f_1</math> <math>\begin{pmatrix} 1&1&\vdots&1&0\\ 0&-1&\vdots&-2&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_1\rightarrow f_1+f_2</math> <math>\begin{pmatrix} 1&0&\vdots&-1&1\\ 0&-1&\vdots&-2&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_1\rightarrow -1\cdot f_1</math> <math>\begin{pmatrix} 1&0&\vdots&-1&1\\ 0&1&\vdots&2&-1\end{pmatrix}</math> Solució <math>A^{-1}=\begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1\end{pmatrix}</math> '''Exercici''': 1) Calculeu les inverses de les matrius donades: :a) <math>A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\ -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}</math> Tutorial alternatiu [https://www.youtube.com/watch?v=W214PLI0quQ aquí] == Geometria == La geometria ha canviat molt des del temps d'Euclides(300 aC), en aquest curs només veurem el treball que es coneix amb el nom de "Espai vectorial euclidià" però sense entrar en els fonaments d'aquest espai particular. Donarem els elements necessaris per treballar detalladament amb diversos objectes. === Elements === ==== Els punts ==== Només cal saber que són els elements més simples a partir dels quals es poden fer tots els altres elements i que es consideren com la base d'altres conceptes. '''Exemples''' *Un punt sobre la recta real és un el element del conjunt <math>\mathbb{R}</math> i coincideix amb el concepte d'un nombre real: el 5, el -4, el 1000, etc. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Un punt sobre el pla real és un element del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> i la seva forma d'escriure és <math>(3,5)</math> on 3 és la coordenada horitzontal i 5 és la coordenada vertical d'aquest punt. [[File:Coordinate with Origin.svg|200px]] *Un punt sobre l'espai real és un elements del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math> i la seva forma d'escriure és <math>(1,-3,7)</math> on 1 és una coordenada horitzontal(com llargada), -3 és una segona coordenada horitzontal(com amplada) i 7 és la coordenada vertical(simplement s'estén verticalment sobre de les altres dues). [[File:3D coordinate system.svg|200px]] Es té constància que el primer en idear aquestes representacions va ser René Descartes(1596-1650) i és així quan es va iniciar la nova geometria analítica permetent les representacions gràfiques. ==== Els vectors ==== [[File:Vector AB from A to B.svg|right|300px]] El concepte de vector a la geometria<ref>Les primeres aplicacions no utilitzen punts perquè només volien saber el seu mòdul i la direcció, i res més, però posteriorment s'ha donat un suport teòric molt més acurat del concepte de vector que és el que s'utilitza actualment a la geometria analítica</ref> està lligat a dos punts, per simplificar, al batxillerat pensarem que és un segment, és a dir, que geomètricament és físicament una línia recta o un camí entre dos punts dins una línia recta així podrem allargar-la(o equivalentment multiplicar-la per nombres enters) o escurçar-la( o equivalentment dividir-la) simplement multiplicant-la amb nombres més grans que 1 o nombres més petits que 1 respectivament. '''Definició i notació:''' Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^2</math><ref name="a"><math>\mathbb{R}^2</math> resumidament vol dir que tenen dos coordenades, <math>\mathbb{R}^3</math> vol dir que tenen tres coordenades i així <math>\mathbb{R}^n</math> vol dir que té '''n''' coordenades.</ref>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2)</math> és i està format com segueix: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2)</math> Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^3</math><ref name="a"/>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2,\;a_3)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2,\;b_3)</math> és i està format com segueix: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2,\;b_3-a_3)</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:550px;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Observació''' |- |Amb la mateixa operació de resta de matrius files s'obté una matriu fila que serà un vector. Llavors es generen les excepcions conceptuals següents:<ref>És excepció conceptual perquè intuïtivament de les operacions de dos elements del mateix tipus resulten un altre del mateix tipus i en canvi aparentment no passa; la raó és que això es pot fer si està escudat teòricament.</ref> *Si tenim un origen i un vector llavors tenim el destí. *Si tenim un origen i un destí llavors tenim el vector. *Si tenim un vector i un destí llavors tenim l'origen. S'interpreta algebraicament i respectivament com: :<math>B=\vec{v}+A</math> :<math>\vec{v}=B-A</math> :<math>A=B-\vec{v}</math> |} Per utilitzar vectors necessitem les principals operacions que definim tot seguit i fixeu-vos la semblança amb les operacions de matrius: ===== Suma de vectors ===== Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2).</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).</math> ====== Propietats de la suma ====== 1) Propietat commutativa: <math>\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}</math> 2) Propietat associativa: <math>\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}</math> :'''Nota''': Com a conseqüència podem escriure simplement <math>\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.</math> 3) Existeix '''element neutre''' <math>\vec{0}</math> si sempre <math>\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}.</math> 4) Tot vector, <math>\vec{u},</math> té invers additiu, <math>-\vec{u},</math> si <math>\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{u}-\vec{u}=\vec{0}.</math> ===== Producte per escalar ===== Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2).</math> Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2,\;\lambda\cdot u_3).</math> ====== Propietats del producte per escalar ====== 1) Propietat associativa: <math>\lambda\cdot(\beta\cdot\vec{u})=(\lambda\cdot\beta)\cdot\vec{u}.</math> :'''Nota''': Com a conseqüència podem escriure simplement <math>\lambda \beta \vec{u}.</math> 2) Existeix '''l'element neutre 1''' si sempre <math>1\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot 1=\vec{u}.</math> 3) Les propietats distributives: <math>(\lambda+\beta)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{u}</math> i <math>\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1) Estic en el punt <math>A=(5,\;5)</math> i casa meva està en el punt <math>B=(2,\;3).</math> Si camino en línia recta 5 vegades aquesta distància arribaria a la biblioteca. ¿En quin lloc està la biblioteca? ;Resolució: *El camí que va a casa meva ve determinat pel vector: ::<math>\vec{AB} =B-A=(2,\;3)-(5,\;5)=(-3,\;-2).</math> *Per tant si camino, des d'on estic i en línia recta, 5 vegades més, estic fent aquesta operació: ::<math>A+5\cdot\vec{AB}</math> <math>=(5,\;5)+5\cdot (-3,\;-2)</math> <math>=(5,\;5)+(5\cdot (-3),\;5\cdot (-2))</math> <math>=(5,\;5)+(-15,\;-10)</math> <math>=(-10,\;-5).</math> Solució: La biblioteca està al punt <math>C=(-10,\;-5).</math> 2) Dos arbres estan en els punts <math>A=(2,\;3)</math> i <math>B=(4,\;1),</math> però a mig camí d'un a l'altre hi ha un tresor. ¿On? ;Resolució: *El camí de A a B és: ::<math>\vec{AB}</math> <math>=B-A</math> <math>=(4,\;1)-(2,\;3)</math> <math>=(2,\;-2).</math> *Per trobar el punt mig del camí de A a B només cal fer la meitat del recorregut, és a dir: ::<math>\frac{\vec{AB}}{2}=\frac{(2,\;-2)}{2}</math> <math>=\tfrac{1}{2}(2,\;-2)</math> <math>=(\tfrac{1}{2}2,\;\tfrac{1}{2}(-2))</math> <math>=(1,\;-1).</math> Solució: el punt que busquem és <math>C</math> <math>=A+\frac{\vec{AB}}{2}</math> <math>=(2,\;3)+(1,\;-1)</math> <math>=(3,\;2).</math> |} ===== Producte a escalar ===== Sintèticament el producte a escalar és:<ref>El producte escalar té una part teòrica molt més profunda i molt condicionada, però pel curs de batxillerat es redueix simplement a un cas molt particular del producte de matrius.</ref> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2.</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3.</math> ====== Propietats del producte a escalar ====== 1) <math>\vec{u}\cdot\vec{u}\geqslant 0</math> sempre. 2) <math>\vec{u}\cdot\vec{u}=0\Leftrightarrow\vec{u}=\vec{0}</math> 3) <math>\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1)Sigui <math>\vec{u}=(1,\;2)</math> i <math>\vec{v}=(3,\;4)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(1,\;2)\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}=1\cdot 3+2\cdot 4=11</math> <math>\Rightarrow k=11.</math> 2)Sigui <math>\vec{u}=(3,\;4,\;5)</math> i <math>\vec{v}=(1,\;0,\;2)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(3,\;4,\;5)\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}=3\cdot 1+4\cdot 0+5\cdot 2=13.</math> <math>\Rightarrow k=13.</math> No es gaire difícil pensar en la mateixa operació per a vectors de 4 valors o més. |} ====== Longitud d'un vector ====== La longitud d'un vector més coneguda com '''mòdul''' d'un vector és el resultat de considerar el teorema de Pitàgores per trobar la hipotenuses segons el cas. Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.</math> Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2+u_3\cdot u_3}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |[[File:Vector(1,1).svg|150px|right]] 1) La longitud o mòdul del vector <math>\vec{u}=(1,\;1),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{u}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math> :Observem que la longitud del vector és la hipotenusa del triangle rectangle dibuixat, i per tant, és equivalent al teorema de Pitàgores. 2) La longitud de <math>\vec{u}=(3,0)</math> és <math>L_\vec{u}=\sqrt{3^2+0^2}=3,</math> és el cas intuïtiu en que no és hipotenusa. 3) Longitud del vector <math>\vec{w}=(1,\;-1,\;0),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2},</math> cas en que el vector a l'espai té un valor nul, llavors la longitud es la mateixa que un vector de dos valors. 4) Longitud del vector <math>\vec{w}=(3,\;4,\;12),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13,</math> |} ====== Vectors unitaris ====== Per obtenir un vectors unitaris o vectors de longitud 1 a partir d'un vector qualsevol no nul, simplement s'ha d'extreure la seva longitud dividint el vector per la seva longitud: :<math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}</math> Construït així, aquest vector <math>\hat{u}</math> té longitud 1.<ref>La raó és la semblança de triangles, donat el triangle rectangle 3u,4u,5u si es vol que la hipotenusa sigui de longitud 1, només cal dividir totes les mesures entre el valor de la hipotenusa actual que és 5, per tant el triangle queda com <math>\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5},\tfrac{5}{5},</math> és a dir <math>0'6u\,,\,0'8u\,,\,1u</math> que és un triangle que té hipotenusa 1 i té els mateixos angles, per tant, la mateixa forma. Parlant de vectors, tenen la mateixa direcció i són de longitud 1.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1) Càlcul de vectors unitaris: <math>\vec{u}=(5,12)</math> i <math>\vec{v}=(1,1,1)</math> :a) <math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}=\frac{(2,12)}{\sqrt{5^2+12^2} }=\frac{(2,12)}{13}=(\tfrac{2}{13},\tfrac{12}{13}).</math> :b) <math>\hat{v}=\frac{\vec{u}}{l_u}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} }=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}).</math> Per comprovar això, calculant ara la seva longitud ha de donar 1. |} ====== Angle entre dos vectors ====== Per calcular l'angle entre dos vectors qualssevol <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> s'utilitza la fórmula:<ref>Per provar propietats de longitud i angulars entre vectors es fa amb expressions úniques sobre bases ortonormals que ve a continuació, però escapa a l'objectiu del curs, així s'ha considerat aquest ordre d'explicació com el més intuïtiu, agrupat i ordenat.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Observació" data-collapsetext="Ocultar" |<math>cos(\alpha)=\hat{v}\cdot\hat{u}=\frac{\vec{v}}{l_\vec{u}}\cdot\frac{\vec{u}}{l_\vec{v}}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{l_\vec{u}\cdot l_\vec{v}}</math> |- |Per calcular l'angle entre vectors fa falta convertir-los en unitaris <math>\hat{v}</math> i <math>\hat{u},</math> només cal aplicar la idea del producte i utilitzar la fórmula trigonomètrica del cosinus dins la circumferència unitat. A la imatge s'observa l'angle entre l'eix '''x''', <math>\hat{v},</math> i el vector taronja, <math>\hat{u},</math> on el cosinus és la longitud del vector vermell: [[File:Trigo.gif|400px]] |} ====== Vectors ortogonals ====== Dos vectors <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> són perpendiculars, formen un angle recte o són '''ortogonals''' si: :<math>\vec{u}\cdot\vec{v}=0</math> Exemple: Els vectors (1,0,0), (0,1,0) i (0,0,1) són ortogonals. '''Exercici''': 1) Quins dels vectors següents són perpendiculars? '''notació''' es fa <math>\vec{a}\bot\vec{b}</math> per indicar perpendicularitat entre dos vectors. <math>\vec{u_1}=(1,0,0),\;\vec{u_2}=(0,1,0),\;\vec{u_3}=(0,1,1),\vec{u_4}=(0,1,-1)</math> ====== Projecció d'un vector ====== Per projectar un vector <math>\vec{v}</math> en la direcció <math>\vec{u},</math> es pren el vector unitari <math>\hat{u}</math> que ens indica purament la direcció de projecció, així: *Longitud del vector projectat és: <math>l_\vec{p}=\vec{v}\cdot\hat{u}.</math> *Vector projectat és: <math>\vec{p}=l_\vec{p}\cdot\hat{u}.</math> ===== Base ===== Les bases són conjunts reduïts de vectors que s'utilitzen per construir qualsevol possibles vectors d'un espai de treball. Conjunts de vectors anomenats base canònica: :Base canònica a <math>\mathbb{R}^2</math> és: <math>\hat{i}=(1,\;0)\;\;i\;\;\hat{j}=(0,\;1)</math> :Base canònica a <math>\mathbb{R}^3</math> és: <math>\hat{i}=(1,\;0,\;0)\;,\;\;\hat{j}=(0,\;1,\;0)\;\;i\;\;\hat{k}=(0,\;0,\;1)</math> Base qualsevol <math>\vec{u}=(1,\;2,\;3)\;,\;\;\vec{v}=(2,\;0,\;-1)\;\;i\;\;\vec{s}=(1,\;0,\;1)</math> A partir de qualsevol base si volem construir altres vectors es necessita entendre el següent concepte de combinació lineal. ====== Combinació lineal de vectors ====== Combinació lineal és fer sumes i restes de vectors amb productes per escalar. :<math>a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> '''Exemple''': Donats els vectors <math>\vec{u}=(1,\;-2,\;0)</math>, <math>\vec{v}=(0,\;5,\;-1)</math> i <math>\vec{s}=(-3,\;1,\;4)</math> calculeu <math>\vec{w}:</math> 1) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}+3\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=(1,\;-2,\;0)+(-1)\cdot (0,\;5,\;-1)+3\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(1,\;-2,\;0)+(0,\;-5,\;1)+(-9,\;3,\;12)</math> <math>=(-8,\;-4,\;13)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(-8,\;-4,\;13)</math> 2) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=5\cdot\vec{u}+2\cdot\vec{v}-4\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=5\cdot (1,\;-2,\;0)+2\cdot (0,\;5,\;-1)+(-4)\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(5,\;-10,\;0)+(0,\;10,\;-2)+(12,\;-4,\;-16)</math> <math>=(17,\;-4,\;-18)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(17,\;-4,\;-18)</math> ====== Coordenades ====== Donada una base <math>\vec{u}\;,\;\;\vec{v}\;\;i\;\;\vec{s}</math> inventada, llavors: Si <math>\vec{w}=3\cdot\vec{u}-5\cdot\vec{v}+7\cdot\vec{s}</math> direm que 3,-5 i 7 són les coordenades de <math>\vec{w}</math> en aquesta base i per tant <math>\vec{w}=(3,-5,7)</math> en aquesta base. ====== Dependència i independència lineal ====== Donats els vectors <math>\vec{u}\;,\;\;\vec{v}\;\;i\;\;\vec{s};</math> Direm que són linealment dependents si hi ha a,b i c '''no tots nuls''' tals que <math>\vec{0}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> Direm que són linealment independent si no hi ha a,b i c '''no tots nuls'' tals que <math>\vec{0}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> ====== Producte vectorial ====== == Notes i referències == {{Reflist}} [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] dwp29hzba4r48y220v821swesqml942 383875 383874 2026-04-16T13:03:56Z Profev 36331 /* Base */ + 383875 wikitext text/x-wiki Aquest resum intenta accedir a totes les branques de la geometria d'una forma breu i precisa donant propostes d'accés cap a altres mètodes més sintètics. === Matrius === Les matrius són valors reals agrupats en una quadrícula rectangular o recuadre. {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Ocultar" |Exemples de matrius segons el tipus de valors i possible procedència. |- |style="background:#fff;"|Matriu de nombres binaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en definir imatges en blanc i negre o definir grafs. Matrius de nombres fraccionaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{5}\\ \frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en resoldre sistemes d'equacions. Matrius de nombres reals: ::<math>\begin{pmatrix} \pi & 0\\ 0 & e \\ -1 & \sqrt{2}\end{pmatrix}</math> :: Podrien aparèixer només en problemes molt particulars. |} ==== Notació ==== Per referir-se a cada un dels valors d'una matriu usarem els termes <math>a_{i\,j}</math><ref>Els subíndex '''i''' i '''j''' es refereixen a cadascun dels possibles valors que poden prendre dins d'una matriu concreta, com un ''punt'' en un sistema de coordenades. Si la matriu és de '''n''' files i '''m''' columnes, <math>n\times m</math>, vol dir que '''i''' pot prendre els valors que van des de <math>i=1</math> fins arribar a <math>i=n</math> i el mateix per '''j''' que pot prendre valors de <math>j=1</math> fins arribar a <math>j=m</math>, essent aquesta notació una forma de referir-se a tots els termes d'una matriu i com que normalment no s'utilitzen amb valors majors que 9 la notació ha fet la contracció <math>a_{i,\,j}</math> <math>=a_{i\,j}</math>.</ref> de les dues següents maneres: :{|cellspacing="5" cellpadding="5" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="410px" |<math>A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & \cdots & a_{1\,n}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & \cdots & a_{2\,n}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & \cdots & a_{3\,n}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & \cdots & a_{4\,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & a_{m\,2} & a_{m\,3} & a_{m\,4} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}=(a_{i\,j})_{m\times n}</math> |} *En direm '''matriu de dimensió <math>m\times n</math>''', els dos subíndex sempre en aquest ordre, altura m i amplada n. :'''Nota''': No es considera matriu si té dimensió <math>1\times 1</math> :El conjunt de totes les matrius <math>m\times n</math> s'escriu <math>M_{m\times n}.</math> *Els noms habitualment en majúscula: A, B, C, D, E, F, G, H, I, ... . ===== Exemples ===== 1) Donada una matriu <math>4\times 5</math> tenim que és de la forma: ::<math>A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 6 & 0\\ -5 & 4 & 8 & 10 & 2\\ 0 & 7 & 0 & -4 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & a_{1\,5}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & a_{2\,5}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & a_{4\,5} \end{pmatrix}=(a_{i\;j})_{4\times 5}</math> :Dins d'una matriu també es poden identificar matrius i elements concrets com: :*'''Matrius columna''' <math>c_4(A)=\begin{pmatrix}-1\\ 6\\ 10\\ -4\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,4}\\ a_{2\,4}\\ a_{3\,4}\\ a_{4\,4}\end{pmatrix}=(a_{i\,4})_{4}.</math> :*'''Matriu fila''' <math>f_3(A)=\begin{pmatrix} -5 & 4 & 8 & 10 & 2\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\end{pmatrix}=(a_{3\;j})_{5}.</math> :*Elements de la '''diagonal''' són els elements <math>(a_{i\,i})</math> com <math>a_{1\,1}=2,</math> <math>a_{2\,2}=3,</math> <math>a_{3\,3}=8</math> o també <math>a_{4\,4}=-4.</math> :*'''Matriu transposada''' és la matriu resultant de convertir totes les columnes <math>c_i</math> en files <math>f_i</math> de forma que els elements <math>a_{i\,j}</math> ara ocupen el lloc simètric <math>b_{j\,i}</math> dins una nova matriu, en aquest cas obtenim una matriu <math>5\times 4</math>: ::<math>\begin{pmatrix} 2 & 0 & -5 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 8 & 0\\ -1& 6 & 10 & -4\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}=(b_{i\,j})_{5\times 4}</math> 2) '''Matrius quadrades''' si <math>m = n</math>, és a dir que l'amplada és igual a l'altura. :*'''Matriu diagonal''' si fora de la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular superior''' si sota la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}3 & -3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & -3 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 8 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular inferior''' si sobre la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0 & 2 & 0\\ 2 & 7 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu simètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 & 8 & -4\\ 3 & -4 & 1 & -1 & -5\\ 5 & 1 & 0 & 4 & 2\\ 8 & -1 & 4 & -2 & 9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & -3 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu antisimètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=-a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} -7 & -3 & -5 & -8 & 4\\ 3 & 1 & -1 & 0 & 5\\ 5 & 1 & 1 & -4 & -2\\ 8 & 0 & 4 & 1 & -9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & 1 \end{pmatrix}</math> 3) '''Matriu zero''' o nul·la si tots els elements són zeros i el seu nom és excepcionalment 0: ::<math>\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> ==== Operacions ==== Principals operacions on intervenen matrius, detallant cada element que s'opera. Estalviarem escriure termes utilitzant els punts suspensius que indiquen continuació ordenada, és a dir, escriurem <math>(a_{1\,1}\;\dots\;a_{1\,8})</math> en comptes de <math>(a_{1\,1}\;\;a_{1\,2}\;\;a_{1\,3}\;\;a_{1\,4}\;\;a_{1\,5}\;\;a_{1\,6}\;\;a_{1\,7}\;\;a_{1\,8}).</math> ===== Suma de matrius ===== Suma de dues matrius A i B es defineix per: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>A+B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m\,1} & \cdots & b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1}+b_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}+b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1}+b_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}+b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(a_{i\,j}+b_{i\,j})</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' *Propietat associativa: <math>A+(B+C)=(A+B)+C,</math> en aquest cas podem escriure simplement <math>A+B+C</math>. *Propietat commutativa: <math>A+B=B+A.</math> *Element neutre: <math>A+0=A,</math> en aquest cas direm que la matriu 0 és l'element zero. *Element invers: Donat <math>A,</math> existeix un element <math>-A</math> tal que <math>A+(-A)=0,</math> en aquest cas direm element oposat o negatiu, i podem escriure <math>A-A=0.</math> |} D'aquesta operació no en resulten noves matrius amb dimensions diferents.<ref>Aquesta propietat s'escriu com <math>M_{m\times n}+M_{m\times n}\longrightarrow M_{m\times n}.</math></ref> ====== Exemples ====== 1) <math>=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1+0 & 0+2\\ -2+0 & 1+1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 2 \end{pmatrix}</math> ===== Producte per escalar ===== Producte d'un valor real k '''per''' una matriu A es defineix per: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>k\cdot A</math> <math>=k\cdot\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}k\cdot a_{1\,1} & \cdots & k\cdot a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ k\cdot a_{m\,1} & \cdots & k\cdot a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(k\cdot a_{i\,j})</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' *Propietat distributiva respecte la suma de matrius: <math>a(A+B)=aA+aB.</math> *Propietat distributiva respecte la suma d'escalars: <math>(a+b)A=aA+bA.</math> *Propietat associativa: <math>(a\cdot b)A=a(b\cdot A).</math> *Element neutre respecte el producte: <math>1\cdot A=A,</math> l'anomenarem element unitat o u. |} ===== Producte de matrius ===== Bàsicament un producte de matrius repeteix el concepte de '''fila per columna''' i només en aquest ordre. Producte d'una matriu fila, f, <math>1\times n</math> per una matriu columna, c, <math>n\times 1</math>:<ref>En aquest cas particular no es posa l'índex corresponent a la dimensió 1, d'una matriu <math>1\times n</math> o <math>n\times 1,</math> i simplement es diu matriu fila de dimensió n o matriu columna de dimensió n.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" |<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n\end{pmatrix}</math> <math>=f(A)\cdot c(B)</math> <math>=a_1\cdot b_1+ \ldots + a_n\cdot b_n</math> <math>=d.</math> |} Més àmpliament el '''producte''' de matrius en general, que també és '''composició''' d'aplicacions <math>f\circ g=f(g)</math>, queda determinat de la següent manera: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,p}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,p} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p\,1} & \cdots & b_{p\,m} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}f_1(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_1(A)\cdot c_m(B)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_n(A)\cdot c_m(B) \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}d_{1\,1} & \cdots & d_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n\,1} & \cdots & d_{n\,m} \end{pmatrix}</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' No sempre commuta el producte de matrius <math>AB\neq BA.</math> *Propietat associativa: <math>A(BC)=(AB)C.</math> *Propietat distributiva: <math>A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC.</math> *Element neutre: <math>I_1A=AI_2=A</math>, l'anomenarem matriu identitat. ::<math>I_1</math> i <math>I_2</math> son matrius quadrades i poden ser de diferent dimensió(ordre), en aquest cas depenent de A. <math>Id_{2\times 2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix},</math> <math>Id_{3\times 3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},</math> <math>Id_{4\times 4}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\;\dots</math> Les matrius identitat són matrius diagonal i quadrades amb 1 a tota la diagonal i zero a la resta de llocs. *El producte d'una matriu <math>n\times p</math> per una matriu <math>p\times m</math> donant una matriu <math>n\times m</math>: *Es parla d'invers només d'una matriu quadrada, <math>n\times n</math>, si donat A podem obtenir <math>A^{-1}</math> tal que <math>AA^{-1}=A^{-1}A=I</math> que no sempre hi ha. |} ====== Exercicis de matrius ====== 1) Efectua les operacions proposades i digues o informa de les dimensions dels resultats com a mètode de comprovació obligat: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;" align="center" |<math>A_{n\times p}\;\cdot\;B_{p\times m}=C_{n\times m}</math> |} :a)<math>(1\; 2\;3\;4\;5)\cdot \begin{pmatrix}6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix}=</math> :b)<math>\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix}=</math> :c)<math>\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 3 & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\ 7 \end{pmatrix}=</math> :d)<math>(1\;\;-1\;\;2\;\;-2) \begin{pmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8\\ 9 & 10 \end{pmatrix}=</math> :e)<math>(1\;\; 2)\begin{pmatrix}3 & 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 & 10 \end{pmatrix}=</math> :f)<math>\begin{pmatrix}2 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 5\\ 6 & 7 \end{pmatrix}=</math> :g)<math>\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \\4 & -5 & -3 \end{pmatrix}=</math> :h)<math>\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 4 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1 \end{pmatrix}=</math> 2) Calcula cada matriu B que compleix cadascuna de les equacions <math>A=\begin{pmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}</math> :a)<math>A\;B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> :b)<math>A\;B = Id</math> :c)<math>2A+B=A^2</math> :d)<math>A=2\;(B-Id)</math> === Sistemes lineals === Els sistemes lineals estan associats a matrius de forma natural quan tenim <math>A_{mn}\cdot X=B ,</math> tenim la equivalència: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #f66;"|<math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |} Direm que el l'equació <math>A_{mn}\cdot X=B</math> equival a un sistema de m equacions i n incògnites. Ens interesa resoldre sistemes lineals amb n i m menors que 4, tot i que apareixen de més grans de forma puntual. ==== Resolució de sistemes lineals ==== Observem el sistema lineal següent que té associat una matriu triangular superior: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 5 & -4\\ 0 & -1 & 3 & -2 & 2\\ 0 & 0 & -3 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #bbb;"|<math>\begin{matrix} 2x + y -3z +5t -4s & =0\\ \;\;\;\;\;-y+3z-2t+2s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-3z+0t+s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t-2s & =-2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4s & = 4 \end{matrix}</math> |} Per solucionar el sistema començarem a resoldre'l per l'última equació i continuarem per la de sobre successivament fins la primera equació: :<math>4s=4</math> <math>\Rightarrow s=1</math> :<math>t-2s=-2</math> <math>\Rightarrow t-2(1)=-2</math> <math>\Rightarrow t=0</math> :<math>-3z+0t+s=0</math> <math>\Rightarrow -3z+0(0)+(1)=0</math> <math>\Rightarrow z=\tfrac{1}{3}</math> :<math>-y+3z-2t+2s=0</math> <math>\Rightarrow -y+3\left(\tfrac{1}{3}\right)-2(0)+2(1)=0</math> <math>\Rightarrow y=3</math> :<math>2x + y -3z +5t -4s=0</math> <math>\Rightarrow 2x + (3) -3\left(\tfrac{1}{3}\right) +5(0) -4(1)=0</math> <math>\Rightarrow x=1</math> Per tant la solució és <math>\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 3\\ \tfrac{1}{3}\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.</math> ==== Triangulació ==== Intentarem convertir un sistema qualsevol en un sistema associat a una matriu triangular superior seguint les regles següents: :1) Les equacions es poden sumar o restar entre elles. ::1.1) Les equacions es poden multiplicar o dividir per un valor concret. :2) Les equacions es poden intercanviar de lloc entre elles. :3) L'objectiu prioritari és fer zeros sota el primer terme de cada equació. És possible que la matriu triangular tingui zeros a la diagonal, això només vol dir que el sistema associat té més d'una solució. ===== Exemple ===== Donat el sistema següent, busqueu els valors de x, y i z. :<math>\begin{matrix} 5x+y-7z=11\\ 2x-5y+3z=4\\ x-2y+z=3 \end{matrix}\Bigg\}</math> El primer pas és reordenar les equacions <math>eq_1 \leftrightarrow eq_3</math> per poder treballar amb nombres petits al que podríem dir diagonal: :<math>\begin{matrix} x-2y+z=3\\ 2x-5y+3z=4\\ 5x+y-7z=11 \end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_2-2\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\\ \;\;0-y\;+z=-2\\ 5x+y-7z=11\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-5\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x\;-2y+\;z\;=3\;\;\;\\ 0\;\;-y\;+\;z\;=-2\\ 0+11y-12z=-4\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3+11\cdot eq_2\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\;\;\;\\ 0\;-y\;+z=-2\\ 0\;+0-z=-26\end{matrix}\Bigg\}</math> Ara ja podem resoldre els sistema: :<math>z=26</math> :<math>-y+z=-2</math> <math>\rightarrow -y+(26)=-2</math> <math>\rightarrow y=28</math> :<math>x-2y+z=3</math> <math>\rightarrow x-2(28)+(26)=3</math> <math>\rightarrow x=33</math> Per tant els sistema té una única solució <math>(26,28,33).</math> === Determinant === El determinant és un mètode que permet mesurar la informació redundant dins d'una matriu quadrada nxn exclusivament. Amb aquest objectiu podem obtenir tres lleis que afecten a files i columnes a l'interior de la matriu:<ref>Aquestes propietats equivalen a dos de les tres condicions teòriques amb les que realment s'ha construït el '''determinant''' quedant així una idea més natural que els alumnes es poden trobar al batxillerat.</ref> :1) Volem sumar o restar unes files a unes altres sense que es modifiqui el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :2) Volem intercanviar files sense que es modifiqui en termes absoluts el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :3) Tenir una fila de zeros equival a un determinant igual a zero, el mateix ha de succeir si tenim una columna de zeros. Tot això es va aconseguir, però al punt 2 s'ha observat un canvi de signe quan intercanvies l'ordre dues files o columnes. ==== Determinant de matrius 2x2 ==== [[File:Det2x2.svg|thumb|250px|Signatura]] El determinant d'una matriu 2x2 es calcula així: :<math>\det\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}</math> <math>=ad-cb.</math> La imatge mostra una signatura per recordar l'ordre de les operacions en forma d'embut. ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 8-3\cdot 5</math> <math>=-7.</math> ==== Determinant de matrius 3x3 ==== [[File:Espejo.svg|thumb|150px|Signatura alternativa.]] El determinant d'una matriu 3x3 fem: :<math>\det\begin{pmatrix} a_{1\;1} & a_{1\;2} & a_{1\;3}\\ a_{2\;1} & a_{2\;2} & a_{2\;3}\\ a_{3\;1} & a_{3\;2} & a_{3\;3}\end{pmatrix}</math> <math>=\color{blue}{a_{1\;1}a_{2\;2}a_{3\;3}+a_{1\;2}a_{2\;3}a_{3\;1}+a_{1\;3}a_{2\;1}a_{3\;2}}\color{black}{-(}\color{red}{a_{1\;3}a_{2\;2}a_{3\;1}+a_{1\;2}a_{2\;1}a_{3\;3}+a_{1\;1}a_{2\;3}a_{3\;2}}\color{black}{).}</math> La imatge següent mostra una signatura particular per recordar l'ordre de les operacions [[File:Det3x3a1.svg|350px]] ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 5\cdot (-1)+2\cdot 6\cdot 7+4\cdot 8\cdot 3-(3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot (-1)+6\cdot 8\cdot 1)</math> <math>=-5+84+96-(105-8+48)</math> <math>=175-(142)=33.</math> ==== Determinant de matrius nxn ==== Per fer determinants de matrius de dimensió més grans que 3 l'objectiu és aconseguir una fila o columna on tots els termes siguin zero excepte un d'ells. Regles: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) Les files poden sumar o restar a un altra tantes vegades com calgui. Idem columnes. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2+f_1}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 1 & 5 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}=5-3=2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) Si un valor multiplica una fila, llavors es multiplica el determinant. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2\cdot 5}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 5\cdot 3 & 0\\ 0 & 5\cdot 2 & 0\\ 3 & 5\cdot 1 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 15 & 0\\ 0 & 10 & 0\\ 3 & 5 & 1\end{vmatrix}=10=2\cdot 5</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|3) Si intercanviem dues files, llavors el determinant canvia de signe. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2 \leftrightarrow f_3}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 3 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 0\end{vmatrix}=-2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|4) Si una fila té tots els elements zeros, llavors el determinant és zero. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 10^2\\ 0 & \pi & 3\\ 0 & -1 & 12\end{vmatrix}</math> <math>=0</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|5) Si aconseguim una fila o columna de zeros excepte un d'ells, llavors la fila i columna corresponent a aquest valor es poden eliminar de la matriu, quedant una matriu (n-1)x(n-1), i aquest valor surt fora de la matriu multiplicat pel signe corresponent a la seva posició segons la matriu: :::<math>\begin{pmatrix} + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}</math> }} |- |Exemple: :::<math>\det(A)=\begin{vmatrix} 4 & -3 & 1 & 9\\ 0 & 5 & 6 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))\begin{vmatrix} 5 & 6 & 1\\ 2 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))(-(2))\begin{vmatrix} 6 & 1\\ 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=4\cdot(-2)(6\cdot 7-4\cdot 1)=-304.</math> |} ==== Propietats ==== 1) <math>\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)</math> 2) En general <math>\det(A+ B)\neq\det(A)+\det(B)</math> === Tipus de sistemes === Per tancar l'estudi de sistemes lineals només cal classificar els aquests sistemes donant una interpretació geomètrica per entendre el que es cuina al seu interior. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="400px" |colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Observació''' d'una equació lineal.}} |- | *Una equació lineal amb una incògnita pot determinar un únic punt sobre la recta real. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Una equació lineal amb dos incògnites pot determinar una única recta sobre el pla real. :[[File:RectaOrigen001.svg|300px]] *Una equació lineal amb tres incògnites pot determinar un pla sobre l'espai real. :[[File:Plano001.svg|300px]] Cada equació pot determinar elements amb una dimensió menys que l'espai on es troba. |} Buscar les solucions d'un sistema d'equacions lineals és buscar punts comuns que satisfan totes les equacions a la vegada, és a dir que busquem el lloc de trobada de tots els objectes de cada equació. :Direm que un sistema té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les equacions quedant només '''r''' equacions. :Direm que una matriu té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les files quedant només '''r''' files. :Direm que la matriu associada a un sistema lineal és '''ampliada''' si s'afegeix una '''nova columna''' corresponent als termes independents de les equacions, per parlar del rang d'una matriu ampliada escriurem que '''rang=r*'''. :::{|cellpadding="3" |- ||Sistema <math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu del sistema <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}\end{pmatrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu ampliada <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n} & b_1\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} & b_m \end{pmatrix}</math> |} '''Exemple''' :Donat el següent sistema, calculeu el seu rang: <math>\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+2u=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;2x-2y\;\;\;\;\;\;+2t+5u=7\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t\;\;+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-2\cdot eq_2\;\;}\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5+eq_1\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_4+eq_2\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5-3\cdot eq_4\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\leftarrow</math> '''rang = 4'''. Classificació dels sistemes lineals amb '''n''' incògnites. {|style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" |- |<math>Sistema\;\;lineal=\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;SC\\r=r*\end{matrix}\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;Determinat\;\;SCD\\r=n\end{matrix} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;indeterminat\;\;SCI\\r<n\end{matrix} \end{cases} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Incompatible\;\;SI\\r<r*\end{matrix}\end{cases}</math> |} :'''SCD:''' Una única solució, un punt. :'''SCI:''' Conjunt de solucions formant objectes de dimensió n-r. :'''SI:''' Sense solucions, segurament perquè alguns dels objectes és paral·lel a un altre o interseccions d'altres objectes. Ara sí podem estudiar les situacions que ens trobarem més sovint al batxillerat. ==== Sistemes lineals de dos incògnites ==== Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són rectes concurrents en un únic punt i es podran simplificar fins a restar-ne només dos equacions. :Una interpretació geomètrica seria imaginar tan rectes secants com rectes perpendiculars en un mateix punt que podem o no veure, d'això se'n diu feix de rectes: ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante001.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante002.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante003.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que totes les equacions són idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació. Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. :Una interpretació geomètrica seria imaginar rectes que no tenen punts en comú a totes les rectes a la vegada: o bé almenys un parell de rectes són paral·leles o bé en el punt on concorren les rectes manca almenys una recta. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaParalela001.svg|200px]] |} ==== Sistemes lineals de tres incògnites ==== Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són plans que passen per un sol punt i es podran simplificar fins a restar-ne només tres equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:TresPlanos001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que podria ser des de equacions idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació o també a més a més podria ser que tenim un feix de plans, es a dir que tots es tallen sobre una recta i per tant les seves equacions simplifiquen en només dues equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:Diedro001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. === Regla de Cramer === Gabriel Cramer(1704-1752) va ser el primer en fer la resolució de sistemes lineals amb el que avui anomenem determinats, d'aquí el seu nom al mètode. Donat un sistema lineal '''nxn''': ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}</math> La solució general de <math>x_i</math> és la divisió de dos determinants, al denominador el determinant de la matriu associada i al numerador el determinant de la mateixa matriu però substituint la columna ('''i''') per la columna del terme independent i encara que no sigui molt rigorós indicat així: ::<math>x_i=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,i-1} & b_1 & a_{1\,i+1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,i-1} & b_n & a_{n\,i+1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}</math> Clarament per estar ben definit necessitem que el determinant del denominador sigui diferent de zero i llavors el sistema és '''SCD'''. L'únic inconvenient és que mentre més gran el sistema, més determinats s'ha de fer i per tant és prohibitiu el seu ús en la computació ja que els càlculs creixen desorbitadament. De fet el sistema de triangulació és uns dels més eficients i la resta de mètodes són variants d'aquest. ==== Resolució de sistemes 2x2 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_{1} & a_{1\,2}\\ b_{2} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_{1}\\ a_{2\,1} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem solucions al sistema <math>\begin{matrix} x-y & =3\\ 2x+y & =6 \end{matrix}</math> :<math>\det(A)</math> <math>=\det\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=1\cdot 1-(2\cdot (-1))</math> <math>=3.</math> :<math>x</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 6 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}.</math> :<math>x=\frac{9}{3}=3\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y=\frac{0}{3}=0</math> ==== Resolució de sistemes 3x3 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1 & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ b_2 & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ b_3 & a_{3\,2} & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|, |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_1 & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & b_2 & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & b_3 & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_3=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & b_1\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & b_2\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & b_3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem les solucions del sistema <math>\begin{cases}x+y=1\\ x+z=2\\ y+z=3\end{cases}</math> :<math>x=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{0}{-2}=0</math> :<math>y=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-2}{-2}=1</math> :<math>z=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-4}{-2}=2</math> === Inverses de matrius per Gauss-Jordan === Per aplicar mètode i fer la inversa de la matriu A, s'ha de fer la següent construcció: <math>(A\,|\, I)</math> <math>=\left(\begin{array}{cccc|cccc} a_{1\,1} & a_{1\,2} & \dots & a_{1\,n} & 1 & 0 & \dots & 0\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & \dots & a_{2\,n} & 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n\,1} & a_{n\,2} & \dots & a_{n\,n} & 0 & 0 & \dots & 1\end{array}\right)</math> <math>=\cdots</math> <math>=\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & \dots & 0 & b_{1\,1} & b_{1\,2} & \dots & b_{1\,n}\\ 0 & 1 & \dots & 0 & b_{2\,1} & b_{2\,2} & \dots & b_{2\,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & b_{n\,1} & b_{n\,2} & \dots & b_{n\,n}\end{array}\right)</math> <math>=(I\,|\, A^{-1})</math> Per fer aquesta conversió indicada amb punts suspensius aplicarem: 1) Es pot intercanviar files sense cap problema. 2) Es pot multiplicar les files per un nombre diferent de zero. 3) A tota fila es pot sumar una altra multiplicada per un nombre. Estratègia habitual: a) S'ha de fer zeros sota la diagonal. b) continuar fent zeros sobre la diagonal. c) intentem deixar uns a la diagonal. En cas de voler fer diversos canvis en un mateix pas, recordeu que les files que es modifiquen no poden intervenir novament en una nova modificació al mateix pas. Millor fer un pas per cada nou canvi. ==== Exemple ==== 1) Calcula la invers de <math>A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1\end{pmatrix}</math> Sigui: <math>\begin{pmatrix} 1&1&\vdots&1&0\\ 2&1&\vdots&0&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_2\rightarrow f_2-2\cdot f_1</math> <math>\begin{pmatrix} 1&1&\vdots&1&0\\ 0&-1&\vdots&-2&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_1\rightarrow f_1+f_2</math> <math>\begin{pmatrix} 1&0&\vdots&-1&1\\ 0&-1&\vdots&-2&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_1\rightarrow -1\cdot f_1</math> <math>\begin{pmatrix} 1&0&\vdots&-1&1\\ 0&1&\vdots&2&-1\end{pmatrix}</math> Solució <math>A^{-1}=\begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1\end{pmatrix}</math> '''Exercici''': 1) Calculeu les inverses de les matrius donades: :a) <math>A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\ -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}</math> Tutorial alternatiu [https://www.youtube.com/watch?v=W214PLI0quQ aquí] == Geometria == La geometria ha canviat molt des del temps d'Euclides(300 aC), en aquest curs només veurem el treball que es coneix amb el nom de "Espai vectorial euclidià" però sense entrar en els fonaments d'aquest espai particular. Donarem els elements necessaris per treballar detalladament amb diversos objectes. === Elements === ==== Els punts ==== Només cal saber que són els elements més simples a partir dels quals es poden fer tots els altres elements i que es consideren com la base d'altres conceptes. '''Exemples''' *Un punt sobre la recta real és un el element del conjunt <math>\mathbb{R}</math> i coincideix amb el concepte d'un nombre real: el 5, el -4, el 1000, etc. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Un punt sobre el pla real és un element del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> i la seva forma d'escriure és <math>(3,5)</math> on 3 és la coordenada horitzontal i 5 és la coordenada vertical d'aquest punt. [[File:Coordinate with Origin.svg|200px]] *Un punt sobre l'espai real és un elements del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math> i la seva forma d'escriure és <math>(1,-3,7)</math> on 1 és una coordenada horitzontal(com llargada), -3 és una segona coordenada horitzontal(com amplada) i 7 és la coordenada vertical(simplement s'estén verticalment sobre de les altres dues). [[File:3D coordinate system.svg|200px]] Es té constància que el primer en idear aquestes representacions va ser René Descartes(1596-1650) i és així quan es va iniciar la nova geometria analítica permetent les representacions gràfiques. ==== Els vectors ==== [[File:Vector AB from A to B.svg|right|300px]] El concepte de vector a la geometria<ref>Les primeres aplicacions no utilitzen punts perquè només volien saber el seu mòdul i la direcció, i res més, però posteriorment s'ha donat un suport teòric molt més acurat del concepte de vector que és el que s'utilitza actualment a la geometria analítica</ref> està lligat a dos punts, per simplificar, al batxillerat pensarem que és un segment, és a dir, que geomètricament és físicament una línia recta o un camí entre dos punts dins una línia recta així podrem allargar-la(o equivalentment multiplicar-la per nombres enters) o escurçar-la( o equivalentment dividir-la) simplement multiplicant-la amb nombres més grans que 1 o nombres més petits que 1 respectivament. '''Definició i notació:''' Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^2</math><ref name="a"><math>\mathbb{R}^2</math> resumidament vol dir que tenen dos coordenades, <math>\mathbb{R}^3</math> vol dir que tenen tres coordenades i així <math>\mathbb{R}^n</math> vol dir que té '''n''' coordenades.</ref>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2)</math> és i està format com segueix: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2)</math> Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^3</math><ref name="a"/>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2,\;a_3)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2,\;b_3)</math> és i està format com segueix: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2,\;b_3-a_3)</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:550px;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Observació''' |- |Amb la mateixa operació de resta de matrius files s'obté una matriu fila que serà un vector. Llavors es generen les excepcions conceptuals següents:<ref>És excepció conceptual perquè intuïtivament de les operacions de dos elements del mateix tipus resulten un altre del mateix tipus i en canvi aparentment no passa; la raó és que això es pot fer si està escudat teòricament.</ref> *Si tenim un origen i un vector llavors tenim el destí. *Si tenim un origen i un destí llavors tenim el vector. *Si tenim un vector i un destí llavors tenim l'origen. S'interpreta algebraicament i respectivament com: :<math>B=\vec{v}+A</math> :<math>\vec{v}=B-A</math> :<math>A=B-\vec{v}</math> |} Per utilitzar vectors necessitem les principals operacions que definim tot seguit i fixeu-vos la semblança amb les operacions de matrius: ===== Suma de vectors ===== Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2).</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).</math> ====== Propietats de la suma ====== 1) Propietat commutativa: <math>\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}</math> 2) Propietat associativa: <math>\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}</math> :'''Nota''': Com a conseqüència podem escriure simplement <math>\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.</math> 3) Existeix '''element neutre''' <math>\vec{0}</math> si sempre <math>\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}.</math> 4) Tot vector, <math>\vec{u},</math> té invers additiu, <math>-\vec{u},</math> si <math>\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{u}-\vec{u}=\vec{0}.</math> ===== Producte per escalar ===== Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2).</math> Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2,\;\lambda\cdot u_3).</math> ====== Propietats del producte per escalar ====== 1) Propietat associativa: <math>\lambda\cdot(\beta\cdot\vec{u})=(\lambda\cdot\beta)\cdot\vec{u}.</math> :'''Nota''': Com a conseqüència podem escriure simplement <math>\lambda \beta \vec{u}.</math> 2) Existeix '''l'element neutre 1''' si sempre <math>1\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot 1=\vec{u}.</math> 3) Les propietats distributives: <math>(\lambda+\beta)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{u}</math> i <math>\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1) Estic en el punt <math>A=(5,\;5)</math> i casa meva està en el punt <math>B=(2,\;3).</math> Si camino en línia recta 5 vegades aquesta distància arribaria a la biblioteca. ¿En quin lloc està la biblioteca? ;Resolució: *El camí que va a casa meva ve determinat pel vector: ::<math>\vec{AB} =B-A=(2,\;3)-(5,\;5)=(-3,\;-2).</math> *Per tant si camino, des d'on estic i en línia recta, 5 vegades més, estic fent aquesta operació: ::<math>A+5\cdot\vec{AB}</math> <math>=(5,\;5)+5\cdot (-3,\;-2)</math> <math>=(5,\;5)+(5\cdot (-3),\;5\cdot (-2))</math> <math>=(5,\;5)+(-15,\;-10)</math> <math>=(-10,\;-5).</math> Solució: La biblioteca està al punt <math>C=(-10,\;-5).</math> 2) Dos arbres estan en els punts <math>A=(2,\;3)</math> i <math>B=(4,\;1),</math> però a mig camí d'un a l'altre hi ha un tresor. ¿On? ;Resolució: *El camí de A a B és: ::<math>\vec{AB}</math> <math>=B-A</math> <math>=(4,\;1)-(2,\;3)</math> <math>=(2,\;-2).</math> *Per trobar el punt mig del camí de A a B només cal fer la meitat del recorregut, és a dir: ::<math>\frac{\vec{AB}}{2}=\frac{(2,\;-2)}{2}</math> <math>=\tfrac{1}{2}(2,\;-2)</math> <math>=(\tfrac{1}{2}2,\;\tfrac{1}{2}(-2))</math> <math>=(1,\;-1).</math> Solució: el punt que busquem és <math>C</math> <math>=A+\frac{\vec{AB}}{2}</math> <math>=(2,\;3)+(1,\;-1)</math> <math>=(3,\;2).</math> |} ===== Producte a escalar ===== Sintèticament el producte a escalar és:<ref>El producte escalar té una part teòrica molt més profunda i molt condicionada, però pel curs de batxillerat es redueix simplement a un cas molt particular del producte de matrius.</ref> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2.</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3.</math> ====== Propietats del producte a escalar ====== 1) <math>\vec{u}\cdot\vec{u}\geqslant 0</math> sempre. 2) <math>\vec{u}\cdot\vec{u}=0\Leftrightarrow\vec{u}=\vec{0}</math> 3) <math>\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1)Sigui <math>\vec{u}=(1,\;2)</math> i <math>\vec{v}=(3,\;4)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(1,\;2)\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}=1\cdot 3+2\cdot 4=11</math> <math>\Rightarrow k=11.</math> 2)Sigui <math>\vec{u}=(3,\;4,\;5)</math> i <math>\vec{v}=(1,\;0,\;2)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(3,\;4,\;5)\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}=3\cdot 1+4\cdot 0+5\cdot 2=13.</math> <math>\Rightarrow k=13.</math> No es gaire difícil pensar en la mateixa operació per a vectors de 4 valors o més. |} ====== Longitud d'un vector ====== La longitud d'un vector més coneguda com '''mòdul''' d'un vector és el resultat de considerar el teorema de Pitàgores per trobar la hipotenuses segons el cas. Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.</math> Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2+u_3\cdot u_3}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |[[File:Vector(1,1).svg|150px|right]] 1) La longitud o mòdul del vector <math>\vec{u}=(1,\;1),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{u}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math> :Observem que la longitud del vector és la hipotenusa del triangle rectangle dibuixat, i per tant, és equivalent al teorema de Pitàgores. 2) La longitud de <math>\vec{u}=(3,0)</math> és <math>L_\vec{u}=\sqrt{3^2+0^2}=3,</math> és el cas intuïtiu en que no és hipotenusa. 3) Longitud del vector <math>\vec{w}=(1,\;-1,\;0),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2},</math> cas en que el vector a l'espai té un valor nul, llavors la longitud es la mateixa que un vector de dos valors. 4) Longitud del vector <math>\vec{w}=(3,\;4,\;12),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13,</math> |} ====== Vectors unitaris ====== Per obtenir un vectors unitaris o vectors de longitud 1 a partir d'un vector qualsevol no nul, simplement s'ha d'extreure la seva longitud dividint el vector per la seva longitud: :<math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}</math> Construït així, aquest vector <math>\hat{u}</math> té longitud 1.<ref>La raó és la semblança de triangles, donat el triangle rectangle 3u,4u,5u si es vol que la hipotenusa sigui de longitud 1, només cal dividir totes les mesures entre el valor de la hipotenusa actual que és 5, per tant el triangle queda com <math>\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5},\tfrac{5}{5},</math> és a dir <math>0'6u\,,\,0'8u\,,\,1u</math> que és un triangle que té hipotenusa 1 i té els mateixos angles, per tant, la mateixa forma. Parlant de vectors, tenen la mateixa direcció i són de longitud 1.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1) Càlcul de vectors unitaris: <math>\vec{u}=(5,12)</math> i <math>\vec{v}=(1,1,1)</math> :a) <math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}=\frac{(2,12)}{\sqrt{5^2+12^2} }=\frac{(2,12)}{13}=(\tfrac{2}{13},\tfrac{12}{13}).</math> :b) <math>\hat{v}=\frac{\vec{u}}{l_u}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} }=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}).</math> Per comprovar això, calculant ara la seva longitud ha de donar 1. |} ====== Angle entre dos vectors ====== Per calcular l'angle entre dos vectors qualssevol <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> s'utilitza la fórmula:<ref>Per provar propietats de longitud i angulars entre vectors es fa amb expressions úniques sobre bases ortonormals que ve a continuació, però escapa a l'objectiu del curs, així s'ha considerat aquest ordre d'explicació com el més intuïtiu, agrupat i ordenat.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Observació" data-collapsetext="Ocultar" |<math>cos(\alpha)=\hat{v}\cdot\hat{u}=\frac{\vec{v}}{l_\vec{u}}\cdot\frac{\vec{u}}{l_\vec{v}}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{l_\vec{u}\cdot l_\vec{v}}</math> |- |Per calcular l'angle entre vectors fa falta convertir-los en unitaris <math>\hat{v}</math> i <math>\hat{u},</math> només cal aplicar la idea del producte i utilitzar la fórmula trigonomètrica del cosinus dins la circumferència unitat. A la imatge s'observa l'angle entre l'eix '''x''', <math>\hat{v},</math> i el vector taronja, <math>\hat{u},</math> on el cosinus és la longitud del vector vermell: [[File:Trigo.gif|400px]] |} ====== Vectors ortogonals ====== Dos vectors <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> són perpendiculars, formen un angle recte o són '''ortogonals''' si: :<math>\vec{u}\cdot\vec{v}=0</math> Exemple: Els vectors (1,0,0), (0,1,0) i (0,0,1) són ortogonals. '''Exercici''': 1) Quins dels vectors següents són perpendiculars? '''notació''' es fa <math>\vec{a}\bot\vec{b}</math> per indicar perpendicularitat entre dos vectors. <math>\vec{u_1}=(1,0,0),\;\vec{u_2}=(0,1,0),\;\vec{u_3}=(0,1,1),\vec{u_4}=(0,1,-1)</math> ====== Projecció d'un vector ====== Per projectar un vector <math>\vec{v}</math> en la direcció <math>\vec{u},</math> es pren el vector unitari <math>\hat{u}</math> que ens indica purament la direcció de projecció, així: *Longitud del vector projectat és: <math>l_\vec{p}=\vec{v}\cdot\hat{u}.</math> *Vector projectat és: <math>\vec{p}=l_\vec{p}\cdot\hat{u}.</math> ===== Base ===== Les bases són conjunts reduïts de vectors que s'utilitzen per construir qualsevol possibles vectors d'un espai de treball de manera única. Com podem definir una base amb més detall? necessitem les següents eines. Conjunts de vectors anomenats base canònica: :Base canònica a <math>\mathbb{R}^2</math> és: <math>\hat{i}=(1,\;0)\;\;i\;\;\hat{j}=(0,\;1)</math> :Base canònica a <math>\mathbb{R}^3</math> és: <math>\hat{i}=(1,\;0,\;0)\;,\;\;\hat{j}=(0,\;1,\;0)\;\;i\;\;\hat{k}=(0,\;0,\;1)</math> Base qualsevol <math>\vec{u}=(1,\;2,\;3)\;,\;\;\vec{v}=(2,\;0,\;-1)\;\;i\;\;\vec{s}=(1,\;0,\;1)</math> A partir de qualsevol base si volem construir altres vectors es necessita entendre el següent concepte de combinació lineal. ====== Combinació lineal de vectors ====== Combinació lineal és fer sumes i restes de vectors amb productes per escalar. :<math>a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> '''Exemple''': Donats els vectors <math>\vec{u}=(1,\;-2,\;0)</math>, <math>\vec{v}=(0,\;5,\;-1)</math> i <math>\vec{s}=(-3,\;1,\;4)</math> calculeu <math>\vec{w}:</math> 1) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}+3\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=(1,\;-2,\;0)+(-1)\cdot (0,\;5,\;-1)+3\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(1,\;-2,\;0)+(0,\;-5,\;1)+(-9,\;3,\;12)</math> <math>=(-8,\;-4,\;13)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(-8,\;-4,\;13)</math> 2) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=5\cdot\vec{u}+2\cdot\vec{v}-4\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=5\cdot (1,\;-2,\;0)+2\cdot (0,\;5,\;-1)+(-4)\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(5,\;-10,\;0)+(0,\;10,\;-2)+(12,\;-4,\;-16)</math> <math>=(17,\;-4,\;-18)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(17,\;-4,\;-18)</math> ====== Coordenades ====== Donada una base <math>\vec{u}\;,\;\;\vec{v}\;\;i\;\;\vec{s}</math> inventada, llavors: Si <math>\vec{w}=3\cdot\vec{u}-5\cdot\vec{v}+7\cdot\vec{s}</math> direm que 3,-5 i 7 són les coordenades de <math>\vec{w}</math> en aquesta base i per tant <math>\vec{w}=(3,-5,7)</math> en aquesta base. ====== Dependència i independència lineal ====== Donats els vectors <math>\vec{u}\;,\;\;\vec{v}\;\;i\;\;\vec{s};</math> Direm que són linealment dependents si hi ha a,b i c '''no tots nuls''' tals que <math>\vec{0}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> Direm que són linealment independent si no hi ha a,b i c '''no tots nuls''' tals que <math>\vec{0}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> '''Definició''': Direm una base és un conjunt de vectors linealment independents i que generen, fent combinacions lineals de forma única, tot altre vector de l'espai del qual són base. ===== Producte vectorial ===== El producte vectorial de dos vectors <math>\vec{u}=(a_1,a_2,a_3)\;\;i \;\;\vec{v}=(b_1,b_2,b_3)</math> és: :<math>\vec{u}\land\vec{v}=\bigg(\;\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}\;,\;-\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix}\;,\;\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix}\;\bigg)</math> El producte vectorial genera un vector perpendicular als dos inicials, ideal per fer mesures entre elements geomètrics. ====== Distància entre elements ====== Per generar una recta necessitem un punt i un vector. Per generar un pla necessitem un punt i dos vectors lineament independents. ;Distància punt pla. ;Distància recta pla. ;Distància recta recta. ;Distància recta punt. == Notes i referències == {{Reflist}} [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] dnb3ftkp0hb9efbue6716fhrsvfe0s8 0 48263 383877 383807 2026-04-16T17:34:27Z Profev 36331 /* Comparacions */+ 383877 wikitext text/x-wiki [[File:Babbages Analytical Engine, 1834-1871. (9660574685).jpg|420px|thumb|La màquina analítica del matemàtic Charles Babbage totalment mecànic del 1837]] Aquesta secció desenvolupa el coneixement bàsic dels algorismes per a la resolució de reptes i la seva aplicació a la computació. {|style="border: 1px solid #b85; background:#fed" cellspacing="8" |'''Definició'''. Un ''Algorisme'' és un conjunt estructurat d'instruccions orientades a cercar un objectiu. |} Un cop identificada una necessitat o problemàtica dins un context els objectius d'un algorisme poden ser analitzar, tractar o transformar dades o estats per fer diverses activitats resolutives dels objectius marcats. Ruta del curs segons el BOE: * Diagrames de flux i pseudocodi.(1ESO) * Estructures condicionals.(2ESO) * Bucles.(3ESO) * Recursivitat i funcions.(4ESO-A i 4ESO-B) === Màquines === Des de molt antic s'utilitzen mecanismes per facilitar diverses feines tant militars com religioses, la troballa més impactant és '''el mecanismes d'Anticitera''', 87 a.C., un artefacte grec que preveu estats del moviment estel·lar presumptament seguint registres babilònics que eren coneguts pel seu gran recull registres estel·lars en notació de sexagesimals, però el més fascinant és que aquest mecanisme porta moltes inscripcions i entre elles destaquen festivitats vinculades amb el calendari egipci entre d'altres. {| |[[File:Mechanism of Antikythera, 150-100 BC, NAMA, 191435.jpg|Troballa al fons del mar|290px|thumb]] |[[File:Antikythera mechanism - labelled.svg|Reconstrucció de l'engranatge|130px|thumb]] |} Aquests artefactes antics es poden considerar com a una maquinària capaç de reproduir activitats estàtiques i cícliques, inclús hi ha d'altres que podien interactuar amb l'entorn per prendre decisions mitjançant mecanismes molt curiosos. Què manca doncs als artefactes o mecanismes antics respecte dels actuals? * A l'actualitat hi ha maquinària que encara fa feines semblants, però d'altres han introduït als seus mecanismes enginys electrònic que els dota d'autonomia gràcies una programació simple que pot ser des de ''petits autòmats'' fins a sistemes operatius amb diversos programes. [[File:Esquema sistema operativo v01.png|right|200px]] Com s'organitzen els dispositius amb sistema operatiu? * Els dispositius amb sistema operatiu utilitzen diversos programes, aquests programes depenen totalment del sistema operatiu. Els programes per a webs fets amb JavaScript depenen dels navegadors que a la vegada depèn del sistema operatiu. == Programació == {|style="border: 1px solid #b85; background:#fed" cellspacing="8" |'''Definició'''. Un ''programa'' és un conjunt d'ordres que, interpretades per una màquina, efectuen diverses activitats dins de les seves possibilitats. |} En resum els programes són algorismes utilitzats pels dispositius, és a dir, programes que els dispositius poden executar. A la pràctica es diu programa a qualsevol arxiu executable i s'anomena codi a tot el que conté. Per dissenyar programes s'utilitzen diversos esquemes com els '''diagrames de flux''' entre d'altres i per escriure un programa es poden utilitzar diversos llenguatges com '''JavaScript'''. === Diagrames de flux === Un '''diagrama de flux''' és la representació esquemàtica per guardar, interpretar i estudiar l'activitat lògica de les ordres dins d'un programa. Els diagrames de flux ajuden a fer la documentació del funcionament de determinats aspectes d'un programa. Els diagrames de flux per a la programació estan proveïts d'una gran quantitat d'elements visuals de caràcter simbòlic. Per facilitar la comprensió i agilitzar el treball ens centrarem en els elements genèrics més destacats a partir dels quals es poden incloure o substituir per elements visuals més adequats de forma natural. ==== Elements ==== [[File:Diagrama flujo 006.svg|270px|thumb|right|Exemple de passar llista a classe]] Elements d'un diagrama de flux simplificat són: * Un '''inici''' i un '''final''' de programa. * Uns rectangles on s'escriu una llista d'ordres simples. * Uns rombes on s'escriu una condició obrint disjuntives del tipus cert i fals, o sí i no, o 1 i 0 respectivament. * Unes fletxes encadenen tots i cadascun dels diferents elements segons els objectius de l'algorisme. Didàcticament per qüestions de similitud amb un programa escrit; les fletxes majoritàriament avancen de forma descendent (pel centre o l'esquerra) però reculen de forma ascendent (per la dreta). '''Reptes''' 1) Fes un diagrama de flux per demanar un sol d'aquests objectes als companys i detalla les respostes dels companys depenent de cada fet, serà molt semblant al de passar llista a classe: {|width="720" |width="180"| *Un&nbsp;full *Un bolígraf |width="180"| *Una&nbsp;goma *Un llapis |width="180"| *Un&nbsp;regla *Una tisora |width="180"| *Un&nbsp;carregador *Una&nbsp;maquineta |} === JavaScript === {|align="right" bgcolor="#fec" style="border: 1px solid #b90" cellspacing="8" |'''Cronologia dels llenguatges''' 1r. Codi màquina en binari. 2n. Llenguatge d'assemblador. 3r. Llenguatges d'alt nivell: {| | *C. *Fortran. *Smalltalk. *Ada. | *C++. *C#. *Cobol. *Delphi. |valign="top"| *Java. *PHP. |} 4t. Programació orientada a objectes. |} S'utilitzarà el llenguatge JavaScript pel seu us freqüent com a programes dins de pàgines webs, més coneguts com '''scripts''', està molt supervisat i té moltes actualitzacions que innoven i milloren el llenguatge, té similituds amb altres llenguatges més rigorosos. Cada Script té una ràpida execució pel navegador que el fa ideal per fer pràctiques. ==== Sintaxi ==== Per aprendre la sintaxi cal aprendre un lèxic bàsic de JavaScript i sense simplificacions, ja que traeixen la intuïció del principiant. Reduir simplificacions permetrà introduir instruccions resistent als errors. Així sempre posarem '''punt i coma''' per fer salts de línia o per introduir una nova instrucció sense salts. L'ordinador llegeix el codi escrupolosament de dalt a baix i d'esquerra a dreta. Eviteu fer una separació de ordres amb comes ja que segons l'intèrpret pot canviar molt d'un navegador a un altre. ===== Variables i gramàtica ===== [[File:2011 Trampeltier 1528.JPG|250px|<font color="#080">'''var'''</font> elSeuNom="camellet";|thumb]] Les variables, el fonament de la programació, s'encarreguen d'emmagatzemar tot tipus de valors, són com el ciment a la construcció. Hi ha molts tipus de variables i constants però per simplicitat gràcies a la generalització de variables de JavaScript es distingirà preferentment un '''número''' d'un '''text''', és important que aquest darrer sempre ha de portar cometes ja sigui simples o dobles: *Això és un número: 3894.427 *Això és un text: "332.349" o també '4256.771' {|bgcolor="#fdd" style="border: 1px solid #b42" |align="center" width="60px"|[[File:Achtung.png|50px]] |width="500px"| * És obligatori declarar les variables sempre. ::<font color="#080">'''var'''</font> ... |} Es declara una variable escrivint '''var''' davant del nom o etiqueta, es recomana '''no estalviar''' les declaracions de variables. Tota declaració es fa al principi del programa, funció o rutina entera. Així queda establert el tipus de valor o usabilitat de cada variable abans de fer cap operació amb elles. El nom o etiqueta de les variables no poden començar per un número ni tenir espais ni utilitzar '''paraules reservades''' ni símbols diferents de la part del abecedari comuna ni accents ni espais, i per inventar noms diferents es fa servir habitualment el mètode del camell que substitueix els espais per majúscules. '''Exemples''': 1.-Es proposa fer la declaració d'una variable anomenada '''nomDUsuariNou''' amb el text '''"jordi"''', un altre variable anomenada '''nUmeroIdentificador''' amb el número 3349280 i un codi en text que sigui 800245FF-x-40A. :<syntaxhighlight lang="javascript">var nomDUsuariNou = "Jordi"; var nUmeroIdentificador = 3349280; var codiCertificador = "800245FF-x-40A"</syntaxhighlight> 2.-Sintaxi de la declaració d'una variable '''a''' buida, d'una variable '''b''' amb valor numèric inicial de 7,5 on és obligat utilitzar la notació de "punt" per indicar la coma decimal, d'una variable '''c''' amb la cadena de text 7.5, i dues variables '''d''' i '''e''' amb la mateixa cadena de text '''Tr3s' 3s"b''' on les comes simples i dobles són com els parèntesis, una obre i la segona tanca, i la barra '''\''' crea una excepció i desactiva el tancament de les comes per poder escriure el seu símbol: :<syntaxhighlight lang="javascript">var a; var b = 7.5; var c = "7.5"; var d = "Tr3s' 3s\"b"; var e = 'Tr3s\' 3s"b';</syntaxhighlight> L'ordinador guarda un número com un valor en binari per operar directament sense contemplacions i en canvi si és una cadena de text llavors l'ordinador el guarda com una cadena de lletres o símbols numèrics però a dins d'aquesta cadena de text. Les cadenes de text no es poden multiplicar per 2 perquè és com multiplicar una lletra per un número i el navegador no interpreta aquest tipus d'operació totalment fora de context. ===== Comentaris ===== Es pot introduir comentaris acompanyant les ordres del programa, ja sigui per explicar el funcionament de les ordres o per anular ordres sense esborrar-les. Els comentaris s'han d'escriure sense accents ni símbols no reglamentats ja que el programa falla ràpidament. Tenim dos tipus de comentaris, que el navegador no els veu com ordres que formen part del programa(destacats en gris). *Per fer comentaris en tot el que queda de línia de codi farem servir les dues barres '''//''': :<font color="#090">'''var'''</font> a; <font color="#888">//A partir d'aquI Es un comentari fins i tot l'ordre var b = 8;</font> *Per fer comentaris puntuals intempestius utilitzarem com a parèntesi els símbols d'obrir comentari '''/*''' i tancar comentari '''*/''': :<font color="#090">'''var'''</font> a="3"; <font color="#888">/*var b = "213"; */</font> <font color="#090">'''var'''</font> c; ===== Operacions ===== Es poden fer operacions amb nombres, +, -, / i *, i una operació amb cadenes de text, +. S'han de diferenciar bé i no refiar-se de la sort. *Primer posem les variables receptores de valors i després de la igualtat van les operacions que generen el valor a guardar, on poden reaparèixer les mateixes variables sense cap conflicte. ::nouValor = 3+21/5+2*4; ::numeroCreixent = 2*numeroCreixent + 1; *Les operacions al programa respecten les prioritats de les operacions prioritzant els parèntesis. {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure-les" data-collapsetext="Ocultar-les" |- |Sumes amb l'operador '''+''': |- | :a= 3+2; <font color="#888">// suma dos nombres, 3+2, i es guarda dins '''a'''</font> :b= 7+a; <font color="#888">// suma un nombre, 7, i una variable, '''a''', i es guarda dins '''b'''</font> :c= b+8;<font color="#888">// suma una variable, '''b''', i un nombre, 8, i es guarda dins '''c'''</font> :d= a+b;<font color="#888">// suma dues variables, '''a''' i '''b''', i es guarda dins '''d'''</font> :d=d+2;<font color="#888">// augmenta en dues unitats el valor de '''d'''</font> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure-les" data-collapsetext="Ocultar-les" |- |Restes amb l'operador '''-''': |- | :a= 3-2; <font color="#888">// resta dos nombres, 3-2, i es guarda dins '''a'''</font> :b= 7-a; <font color="#888">// resta a un nombre, 7, la variable, '''a''', i es guarda dins '''b'''</font> :c= b-8;<font color="#888">// resta a una variable, '''b''', el nombre, 8, i es guarda dins '''c'''</font> :d= a-b;<font color="#888">// resta dues variables, '''a''' i '''b''', i es guarda dins '''d'''</font> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure-les" data-collapsetext="Ocultar-les" |- |Multiplicacions amb l'operador '''*''': |- | :a= 3*2; <font color="#888">// multiplica dos nombres, 3+2, i es guarda dins '''a'''</font> :b= 7*a; <font color="#888">// multiplica un nombre, 7, i una variable, '''a''', i es guarda dins '''b'''</font> :c= b*8;<font color="#888">// multiplica una variable, '''b''', i un nombre, 8, i es guarda dins '''c'''</font> :d= a*b;<font color="#888">// multiplica dues variables, '''a''' i '''b''', i es guarda dins '''d'''</font> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure-les" data-collapsetext="Ocultar-les" |- |Divisions amb l'operador '''/''': |- | :a= 3/2; <font color="#888">// divideix amb decimals dos nombres, 3 entre 2, i es guarda dins '''a'''</font> :b= 7/a; <font color="#888">// divideix amb decimals un nombre, 7, per la variable, '''a''', i es guarda dins '''b'''</font> :c= b/8;<font color="#888">// divideix amb decimals una variable, '''b''', pel nombre, 8, i es guarda dins '''c'''</font> :d= a/b;<font color="#888">// divideix amb decimals dues variables, '''a''' entre '''b''', i es guarda dins '''d'''</font> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure-les" data-collapsetext="Ocultar-les" |- |Encadena text amb l'operador '''+''': |- |La operació d'encadenar '''+''' es concep com l'acció d'ajuntar, enganxar o adherir dues cadenes de text. :a= "3+2"; <font color="#888">//'''a''' Es el text "3+2", el programa tE prohibit efectuar sumes o la operaciO que sigui.</font> :b= "7"+a; <font color="#888">//7 s'enganxa directament a "3+2", llavors '''b''' Es "73+2" i no veu el signe "+" perquè és la operació d'enganxar.</font> :c= b+"+8";<font color="#888">//'''b''' s'enganxa a "+8", llavors '''c''' Es "73+2+8"</font> :d= a+b;<font color="#888">//'''a''' s'enganxa a '''b''', i es guarda dins '''d''' com "3+273+2"</font> :e= "h"+"o"+"l"+"a";<font color="#888">//llavors '''e''' Es "hola"</font> |} ===== Comparacions ===== Les comparacions apareixen de moltes necessitats centrades principalment en '''preguntar quelcom''' o '''imposar condicions'''. Hi ha 6 comparacions i s'han d'escriure exactament com segueix: :{|class="wikitable" |- !colspan=2|Operadors simples !colspan=2|Operadors oposats |- ! !Significat ! !Significat |- |style="width:55px" align="center"|x<font color="#88f"> < </font>y |style="width:140px"|És x més petit que y ? |style="width:55px" align="center"|x<font color="#88f"> >= </font>y |style="width:190px"|És x més gran o igual que y ? |- |align="center"|x<font color="#88f"> > </font>y||És x més gran que y ? |align="center"|x<font color="#88f"> <= </font>y||És x més petit o igual que y ? |- |align="center"|x<font color="#88f"> == </font>y||És x igual a y ? |align="center"|x<font color="#88f"> != </font>y||És x diferent a y? |} '''Fragments''' destacats de programes: *Demana un número i compara si '''més petit''' que 3, i '''només''' en cas afirmatiu l'escriu: {| |style="width:550px"|<syntaxhighlight lang="javascript">x=demanaUnNombre('Escriu un número','0'); if(x<3){ escriu("El "+x+" és més petit que 3"); }</syntaxhighlight> |style="width:170px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Diagrama" data-collapsetext="Ocultar"|[[File:Diagrama flujo 003.svg|170px]] |} *Demana un número i compara és '''més petit''' que 3, i '''només''' en cas afirmatiu l'escriu i '''només''' en cas negatiu escriu la raó: {| |style="width:570px"|<syntaxhighlight lang="javascript">x=demanaUnNombre('Escriu un número','0'); if(x<3){ escriu("El "+x+" SÍ és més petit que 3"); } else{ escriu("El "+x+" NO és més petit que 3"); }</syntaxhighlight> |style="width:240px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Diagrama" data-collapsetext="Ocultar"|[[File:Diagrama flujo 004.svg|240px]] |} Per fer un '''bucle''', repetir un fragment, introduïm el '''for''' que insisteix mentre succeeixi el '''contrari''' del que s'espera. *Escriurem nombres i fins que no siguin '''més grans''' que 7 no sortirem del programa: {| |style="width:670px"|<syntaxhighlight lang="javascript">x=demanaUnNombre('Quin número és més gran que 7','0'); for(;x<=7;){ x=demanaUnNombre('Quin número és més gran que 7','0'); } escriu("Molt bé");</syntaxhighlight> |style="width:190px" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Diagrama" data-collapsetext="Ocultar"|[[File:Diagrama flujo 005.svg|190px]] |} ===== Funcions ===== ==== SVG amb script ==== Per a una programació més lúdica s'ha pensat en la utilització d'escripts incrustats dins d'una imatge del tipus [https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1ficos_vectoriales_escalables vectorial '''*.svg''']. Exercicis amb un '''algoritme bàsic''' ja preparat per ser modificat i rebre ordres, descarregueu-lo [https://marianov2024.github.io/Tutorial/base.svg d'aquí] i tot seguit obriu-lo amb [https://texteditor.co/ '''aquest editor text''']: {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#fbb" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure algoritme bàsic" data-collapsetext="Ocultar" |- |Alternativa |- |Utilitzant "'''l'editor Llibreta'''", "'''editor de text'''" o bé [https://texteditor.co/ "'''aquest editor text'''"], '''deseu sempre''' l'arxiu amb 3 condicions: ::'''Nom''': rectangleVostreNom.svg ::'''Tipus''': '''tots els arxius''' o equivalent *.* ::'''Codificació''': '''UTF-8'''. Enganxeu sempre tot el codi que apareix al requadre. Les entregues per [https://classroom.google.com/h classroom] es fan adjuntant arxius (icona del clip). <syntaxhighlight lang="javascript" line highlight="7-9"> <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1000" height="2000" font-size="20" stroke="none"> <script><![CDATA[ var xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"; var Root=document.documentElement; var salt=30,T,Msg; function programa(){ escriu("Hola món"); } function demanaUnNombre(t1,t2){return parseInt(prompt(t1,t2));} function demanaUnText(t1,t2){return prompt(t1,t2);} function salta(){salt=salt+30;return salt;} function escriu(pat,x=30,y=salta()){ T=document.createElementNS(xmlns,"text"); T.setAttributeNS(null,"x",x); T.setAttributeNS(null,"y",y); Msg=document.createTextNode(pat); T.appendChild(Msg); Root.appendChild(T); } ]]></script> <rect onclick="programa()" x="10.5" rx="5" y="10.5" ry="5" width="80" fill="#edd" height="30" stroke="black"/> </svg> </syntaxhighlight> |} ===== Exercicis ===== {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" |- |colspan=2|1.- Modifica l'algoritme bàsic per fer que escrigui << Hola classe >>. |- |Feina: *Carregar l'arxiu que s'ha descarregat a l'ordinador "base.svg" amb el programa [https://texteditor.co/ "'''aquest editor text'''"] amb l'opció "open file...". *Buscar el lloc on es dona l'ordre d'escriure "Hola món" i fer el canvi per "Hola classe". *Posa un nom nou o sinó afegirà un número per no sobreescriure'l. *Guarda i obrir amb el navegador, per Chromebook s'ha de arrossegar l'arxiu de la carpeta al navegador i l'obre a l'instant. Ha funcionat? |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" |- |colspan=2|2.- Modifica l'algoritme bàsic per fer que demani i etiqueti dos nombres, i escrigui la suma d'etiquetes. |- | ::'''Nom''' del programa: operacioVostreNom.svg ::'''Diagrama''' del programa: operacioVostreNom.png |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar"|<syntaxhighlight lang="javascript"> var a; var b; a=demanaUnNombre('Escriu el número a','0'); b=demanaUnNombre('Escriu el número b','0'); escriu("El valor de la operació és a*b = "+(a*b)); </syntaxhighlight> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar" |- |3.- Modifica l'algoritme bàsic per fer que demani dos nombres i dos cadenes de text, i tot seguit escrigui la suma dels dos primers i després la suma dels dos últims ordenadament. |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> var a; var b; var c; var d; a=demanaUnNombre('Escriu un número','0'); b=demanaUnNombre('Escriu un número','0'); c=demanaUnText('Escriu una paraula','?'); d=demanaUnText('Escriu la segona paraula','?'); escriu("La multiplicació és ="+(a*b)); escriu("Les teves paraules encadenades són ="+d+c); </syntaxhighlight> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar" |- |4.- Modifica l'algoritme bàsic per escriure els nombres del 3 al 100 avançant de dos en dos, i finalment escrigui l'últim número on s'ha quedat. |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> var x; x=0; for(;x<8;){ x=x+1; escriu(x); } escriu("El comptador ha arribat fins a "+x+" comptant de un en un");</syntaxhighlight> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar" |- |5.- Modifica l'algoritme bàsic per escriure els nombres del 4 al 50 de forma creixent i tot seguit de forma decreixent fins a -20. |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> var x; x=0; for(;x<8;){ x=x+1; escriu(x); } for(;x>-3;){ x=x-1; escriu(x); } escriu("El comptador ha arribat fins a "+x+" comptant de un en un");</syntaxhighlight> |} ;Exercicis de divisibilitat Un nombre '''p''' és divisible per un altre nombre '''q''', matemàticament s'escriu '''q'''|'''p''', només si en fer la divisió '''p'''/'''q''' dona un nombre enter. Per tant quan es fa la divisió no dona decimals, és a dir, no hi ha residu i per tant '''residu=0'''. La instrucció per demanar el residu de la divisió '''p'''/'''q''' és '''p'''%'''q'''. {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar" |- |1.- Modifica l'algoritme bàsic per determinar si és o no divisible per 3 el valor escrit. |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> var x; var a; a=2; x=demanaUnNombre('Escriu un número','0'); if(x%a==0){ escriu("El número "+x+" és divisible per "+a); } else{ escriu("El número "+x+" no és divisible per "+a); } </syntaxhighlight> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Pista" data-collapsetext="Ocultar" |- |2.- Modifica l'algoritme bàsic per determinar el conjunt dels divisors de l'u al 1000 del valor escrit per consola. |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> var x; var a; var llista; a=1; llista="{ "; x=demanaUnNombre('Escriu un número','0'); for(;a<10;){ if(x%a==0){ llista=llista+a; a=a+1; for(;a<10;){ if(x%a==0){ llista=llista+", "+a; } a=a+1; } } } llista=llista+" }"; escriu("El número "+x+" és divisible pels valors del conjunt "+llista); </syntaxhighlight> |} ;Exercicis de funcions Concepte matemàtic de funció és suficient per saber interpretar les diferents metàfores que es fan arreu. {| |Direm funció a qualsevol aplicació de un conjunt D en <math>\mathbb{R},</math> llavors per qualsevol element de D li correspon un únic element de <math>\mathbb{R}.</math> |- |align="center"|<math> \begin{array}{rrcl} f : & D & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & y = f(x) \end{array} </math> |} {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Codi del programa" data-collapsetext="Ocultar" |- |1.- Feu el diagrama de flux del programa donat que intenta representar la paràbola donada per la funció <math>f(x)=\frac{x^2}{70}.</math> |- |<syntaxhighlight lang="javascript" line highlight="14,17"> <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1000" height="1000" onload="programa(evt)"> <script><![CDATA[ var xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"; var Root=document.documentElement; function programa(evt){ C=document.getElementById("camino"); var x; var y; var d1=0; var d2=200; var p=10; var linia="M"; x=d1; y=x*x/70; linia=linia+x+","+y; for(x=d1;x<=d2;x=x+p){ y=x*x/70; linia=linia+"L"+x+","+y; } C.setAttribute("d",linia); } ]]></script> <path id="camino" d="M" fill="none" stroke-width="0.2" stroke="black"/> </svg> </syntaxhighlight> |} '''Exemples''': {|width=100% style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" cellpadding="5" cellspacing="0" |- |valign="top" width=50% style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Explicació" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) Sumador de 2 en 2 i s'atura en sobrepassar 50. |- |El procés s'inicia a '''Inici''', continua en un calaix d'ordres simples on tenim: *A=50, que vol dir que el valor 50 es guarda amb l'etiqueta '''A'''. S'ha afegit una fletxa didàctica supèrflua indicant el moviment del valor. *N=0, que vol dir que el valor 0 es guarda amb l'etiqueta '''N'''. És la forma típica amb la que s'inicia un comptador o sumador de valors. En finalitzar aquest calaix la fletxa ens porta a una disjuntiva amb la pregunta: ¿ És N més petit o igual que A ? *'''Cert''': llavors la fletxa de '''sí''' ens porta al calaix on: suma 2 al valor de '''N''' i aquesta suma es guarda a '''N''' on s'esborra el valor anterior i la fletxa ens porta novament a la disjuntiva. *'''Fals''': llavors la fletxa del '''no''' ens porta al calaix final destinat a escriure el número amb l'etiqueta '''N''' on finalment la fletxa finalitza a '''Fi'''. |} [[File:Diagrama flujo 002.svg|160px]] |valign="top" width=50% style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff"| {|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Explicació" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) Escriptor una successió del zero fins a sobrepassar 50. |- |El procés s'inicia a '''Inici''', continua en un calaix d'ordres simples on tenim: *A=50, que vol dir que el valor 50 es guarda amb l'etiqueta '''A'''. S'ha afegit una fletxa didàctica supèrflua indicant el moviment del valor. *N=0, que vol dir que el valor 0 es guarda amb l'etiqueta '''N'''. És la forma típica amb la que s'inicia un comptador o sumador de valors. *t=" ", variable text d'un espai i s'etiqueta amb '''t'''. En finalitzar aquest calaix la fletxa ens porta a una disjuntiva amb la pregunta: ¿ És N més petit o igual que A ? *'''Cert''': llavors la fletxa de '''sí''' ens porta al calaix on: :* Concatena el valor de '''N''' a la llista de valors '''t'''. :* suma 1 al valor de '''N''' i aquesta suma es guarda a '''N''' on s'esborra el valor anterior i la fletxa ens porta novament a la disjuntiva. *'''Fals''': llavors la fletxa del '''no''' ens porta al calaix final destinat a: :* Posar un punt i final a la llista de nombres '''t'''. :* Escriure la llista de nombres acumulats a '''t'''. Finalment la fletxa finalitza a '''Fi'''. |} [[File:Diagrama flujo 001.svg|190px]] |} Activitats per construir un diagrama de flux: 1) Dibuixa un diagrama lineal que: * Guardi 50 amb la etiqueta '''A'''. * Guardi 23.7 amb la etiqueta '''B'''. * Guardi la suma de les dues etiquetes amb la etiqueta '''S'''. :Finalment escriu la etiqueta '''S''' per pantalla. 3) Dibuixa un diagrama lineal que: * Guardi 3 amb la etiqueta '''R'''. * Guardi el doble de la etiqueta '''R''' amb la etiqueta '''T'''. * Guardi la etiqueta '''T''' més una unitat amb la etiqueta '''T'''. :Finalment escriu la etiqueta '''T''' per pantalla. 4) Dibuixa un diagrama que: * Guardi un número dins la etiqueta '''A'''. * Pregunti si '''A''' es més petit que 3. :* En cas de ser cert escriu '''A'''<3. :* En cas de ser fals escriu '''A'''>=3. :Finalment finalitza el programa. === Projecte === Mostra 1.- Esbrina què fa el programa. <syntaxhighlight lang="javascript"> <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="100%" height="100%" onload="startup()" onmousemove="moure(evt)" onmouseup="apaga(evt)"> <script><![CDATA[ var x=0; function startup(){ C=document.getElementById("C"); } function moure(evt){ if(x==1){ C.setAttributeNS(null,"cx",evt.pageX); C.setAttributeNS(null,"cy",evt.pageY); } } function mouMe(evt){ x=1; } function apaga(evt){ x=0; } ]]></script> <circle cx="60" cy="60" r="40" fill="white" stroke="black" stroke-width="3"/> <circle id="C" onmousedown="mouMe(evt)" cx="60" cy="60" r="22" fill="darkgrey" opacity="0.7" stroke="lightgrey" stroke-width="8"/> </svg> </syntaxhighlight> Mostra 2.-Esbrina què fa el programa i feu que escrigui els quadrats per verificar el teorema de Pitàgores. <syntaxhighlight lang="javascript"><svg width="1500" height="1500" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" onload="startup(evt)"> <script><![CDATA[ var xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"; var Root=document.documentElement; var C; var CC; var H; var a,b,c; var sl=0; function startup(evt){ C=document.getElementById("catet1"); CC=document.getElementById("catet2"); H=document.getElementById("hipot"); } function demanaUnNombre(t1,t2){return parseInt(prompt(t1,t2));} function demanaUnText(t1,t2){return prompt(t1,t2);} function cat1(evt){ a=demanaUnNombre("Catet 1","0"); C.firstChild.nodeValue=a; } function cat2(evt){ b=demanaUnNombre("Catet 2","0"); CC.firstChild.nodeValue=b; } function hipo(evt){ c=demanaUnNombre("Hipotenusa","0"); H.firstChild.nodeValue=c; } function prova(){ if(a*a+b*b-c*c==0){ escriu("Sí"); } else{ escriu("NO"); } } function escriu(pat){ T=document.createElementNS(xmlns,"text"); T.setAttributeNS(null,"x",100); T.setAttributeNS(null,"y",20+sl);sl=sl+22; T.setAttributeNS(null,"font-size","20pt"); Msg=document.createTextNode(pat); T.appendChild(Msg); Root.appendChild(T); } ]]></script> <g transform="translate(0.5,0.5)"> <g onmousedown="cat1(evt)"> <path d="M-2,60v-30h30v30z" stroke="#ccf" fill="#fcc" opacity="0.1"/> <text id="catet1" x="6" y="48" font-size="9">C1</text> </g> <g onmousedown="cat2(evt)"> <path d="M32,28v-30h30v30z" stroke="#ccf" fill="#fcc" opacity="0.1"/> <text id="catet2" x="42" y="13" font-size="9">C2</text> </g> <g onmousedown="hipo(evt)"> <path d="M44,66v-30h30v30z" stroke="#ccf" fill="#fcc" opacity="0.1"/> <text id="hipot" x="55" y="53" font-size="9">H</text> </g> <path onmousedown="prova()" d="M20,70v-50h60zM20,20h7v7h-7z" stroke="#000" fill="#ffd"/> </g> </svg> </syntaxhighlight> ==== Categoria lliçó ==== [[Category:Matemàtiques de tercer d'ESO]] [[Category:CA]] jltk0eetmx69k13gphlsra43kka76xm 0 49596 383878 383808 2026-04-17T08:09:06Z Dušan Kreheľ 45022 akt. 383878 wikitext text/x-wiki == Varianty názvu obce == Keďže prvá písomná zmienka obce Fintice (Slovensko) je z roku 1272,<ref>{{cite journal | last1 = Boleš | first1 = Konštantín Daniel | date = 2016 | title = DAROVACIA LISTINA KRÁĽA ŠTEFANA V. NA MAJETOK FYNTHA | url = http://nhe.ktfke.sk/data/uploads/archiv/notitiae-1_2016.pdf | journal = NOTITIÆ HISTORIÆ ECCLESIASTICÆ | volume = 5 | issue = 1 | pages = 115 | issn = 1338-9572 | access-date = }}</ref> čo je väčší časový odstup voči súčastnosti, tak sa skúmajú jednak nasledujúce tvary obce Fintice: * Fyntha, * Finta, * [<span style="font-family:monospace;font-size:0.95em">Finťice</span>], * [<span style="font-family:monospace;font-size:0.95em">Finčiče</span>], * Suncia,<ref name="dmi"/> * Fruncta,<ref name="dmi"/> * Finzi (nemecká výslovnosť [Finci]), * Fincice, tak aj slovo: * [<span style="font-family:monospace;font-size:0.95em">fin</span>]. == Etymológia == Slovo je odvodené vlastného podstatného mena Finta, resp. jeho varianty. V stredovekej latinčine, odkiaľ pochádza najstaršia písomná zmienka, sa pri pomenovaní obce podľa osoby zapísoval<ref>[[:w:sk:Medieval Latin|Medieval Latin]]</ref> jej názov v neohýbanom tvare. Slovo Fintice je zložené z dvoch tvarov <i>Finti</i> + <i>-ce</i>: * <i>Fint</i>: ** tvary: *** slovanizovaný: [Finťi], *** neslovanizovaný: [Finti], * <i>-ice</i>: ** spodstatnené prídavné meno obsahujúce suffix stredovekej písanej latinčiny <i>-icē</i> (na základe analýzy slov ''finticē'' a ''becē'' jedného dokumentu<ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/ita-bnc-in2-00001627-001/page/n51/mode/2up?q=sintice | title = Legenda aurea sanctorum, sive Lombardica historia | last = Jacobus | first = de Voragine | date = 1497 }}</ref>), čo je skrátené pre <i>-icae</i> (možný súvis alebo odvedenie od ''-itiae'')<ref>[[:wiktionary:en:-itiae#Latin|-itiae]] (po anglicky)</ref> a označuje genitív jednotného čísla alebo nominatív plurálu:<ref>[[:wiktionary:en:-icus#Latin|-icus]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:-icae#Latin|-icia]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:belong|belong]] (po anglicky)</ref> *** Asociácia prípadne k čomu: <table class="wikitable" style="text-align:center"><tr><th></th><th>Latinčina</th><th>Slovenčina</th></tr><tr style="background:#FFFFAC"><td>''rieka'' (slovenčina)</td><td>m<ref>[[:wiktionary:en:rivus#Latin|villa]] (po anglicky)</ref></td><td>f</td></tr><tr><td>''villa'' (latinčina)</td><td>f<ref>[[:wiktionary:en:villa#Latin|rivus]] (po anglicky)</ref></td><td>f</td></tr><tr><td>''dedina'' (slovenčina)</td><td>m / n / m<ref>[[:wiktionary:en:village#English|village]] (po anglicky)</ref></td><td>f</td></tr><tr style="background:#FFFFAC"><td>''terra'' (latinčina),<br> ''zem'' (slovenčina)</td><td>f<ref>[[:wiktionary:en:terra#Latin|terra]] (po anglicky)</ref></td><td>f</td></tr><tr><td>''mesto'' (slovenčina)</td><td>n<ref>[[:wiktionary:en:oppidum#Latin|oppidum]] (po anglicky)</ref></td><td>n</td></tr></table> ** praktický medzinárodný zápis (a zároveň neutrálny pre domácich a cudzincov<ref>{{cite journal | last1 = Boleš | first1 = Konštantín Daniel | date = 2019 | title = POČIATKY A VÝVOJ HRADNÉHO PANSTVA ŠEBEŠ | url = http://nhe.ktfke.sk/data/uploads/archiv/notitiae-2_2019.pdf | journal = NOTITIÆ HISTORIÆ ECCLESIASTICÆ | volume = 8 | issue = 2 | pages = 118 | issn = 1338-9572 }}</ref>), a ktorý je podobný/ekvivalentný v slovenčine <i>-icke</i> (napr. fintické zvony). ** niekto odvádza že od potoka. Pôvodný všeobecnejší význam [[:wiktionary:Reconstruction:Proto-Indo-European/kʷey-|*kʷey-]] sa asi neskôr špecifikoval a od neho sa „oddelil“ [[:wiktionary:Reconstruction:Proto-Indo-European/pent-|*pent-]]. Toto rozdelenie je zrejme v slovenčine, kde máme pre ''*pent-'' slová ako ''tiecť'', ''vytekať'', ''funí'', a pre ''*kʷey-'' slová čin(iť), činka. U predkov slova ''<b style="color:brown">f</b>in<b style="color:brown">t</b>a'' mohlo dosť k nasledujúcim zmenám: * <b style="color:brown">f</b> zmenené na: ** na [''v''] (napr. '''v'''ynúť, '''v'''ynájsť), ** na [''č''] (napr. rumunské '''''c'''inta'' &#91;''činta''&#93;), ** na [''c''] (napr. '''c'''icať), ** na [''p'']: *** chorvátske '''p'''ičiti (slovensky ''piť''), *** latinského ''fingo''<ref>[[:wiktionary:en:fingo|fingo]] (po anglicky)</ref> a ''pingo'',<ref>[[:wiktionary:en:pingo|pingo]] (po anglicky)</ref> ** na [''r''] (napr. rinčať), ** na [''k'']: *** anglické '''''k'''ind'' – ''dieťa'' (možno súvisí s „dieťa piští/pišči, kričí“). *** slovenské kýchať, * <b style="color:brown">t</b> zmenené: ** na [č/ć] – napr. slová ''či(či)'''č'''kať'', ''čačkať'', ** na [t/ť] – napr. slovo ''fin'''t'''a'', ''fin'''t'''iť'' [''fin'''ť'''iť''], ** na [d] – napr. nemecké slovo ''fin'''d'''en'', ** na [g]: ***gronský ''pin'''g'''u'' (slovensky ''kopec''), ***inuktitutský ''pin'''g'''u'' (slovensky ''malý kopček''),<ref>[[:wiktionary:en:pingo|pingo]] (po anglicky)</ref> ***anglický ''pen'''g'''uin'' (slovensky tučniak),<ref>[[:wiktionary:en:penguin|penguin]] (po anglicky)</ref> ** na [dž] – nárečovo slovensky a potom ukrajinsky, južnoslovansky ''findža'' a podobné perzsky, ** na [z] – sardinsky ''finza''. Pôvodný význam ''*kʷey-'' možno vznikol z vody alebo dymu alebo bol nimi ovplyvnený.<br>Voda: *pramení, *tečie, **zvíja sa (t. j. [[:w:sk:Meander (riečny)|meandruje]]), *pení sa, * zaplavuje (t. j. aj „kreslí“, keď klesá hladina vody), * rozdeľuje, * a „dáva život“ (dáva pitie, organizmy, materiál na tehly, …). == Ako vlastné podstatné meno == * 9. stor. pred Kr., <span style="color:brown">Fintas</span>, Grecko,<ref>[[:w:sk:Fintas|Fintas]]</ref><ref>[[:w:de:Phintas|Phintas]] (po nemecky)</ref><ref>[[:w:de:Phintas|Phintas]] (po nemecky)</ref> * 7. stor. pred Kr., <span style="color:brown">Phintas</span> (podľa Androkleide),<ref>[[:w:de:Phintas_(Androkleide)|Phintas (Androkleide)]] (po nemecky)</ref> * ? – 279 pred Kr., Phidias z Agrigenta, založil mesto Φιντίας (Fintias, dnešná [[:w:en:Licata|Licata]], Sicília, Taliansko),<ref name="Φιντίας">[[:w:el:Φιντίας_του_Αγκριτζέντο|Φιντίας_του_Αγκριτζέντο]] (po grécky)</ref> * 3. storočie, Finn McColl, Írsko,<ref>[https://thewildgeese.irish/profiles/blogs/the-legend-fionn-mac-cunhaill The Heroic Legend of Fionn mac Cumhaill]</ref> * 526 – 603, <span style="color:brown">Fintan z Clonenagh</span>, Írsko,<ref>[[:w:Fintan_of_Clonenagh|Fintan of Clonenagh]] (po anglicky)</ref> * ? – 635, <span style="color:brown">Fintán z Taghmon</span>, Severné Írsko<ref>[[:w:Fintan_of_Clonenagh|Fintan of Clonenagh]] (po anglicky)</ref><ref>[[:w:Fintán of Taghmon|Fintán of Taghmon]] (po anglicky)</ref> * 803/804 – 878, <span style="color:brown">Fintan z Rheinau</span>, Írsko/Švajčiarsko,<ref>[[:w:Fintan_of_Rheinau|Fintan of Rheinau]] (po anglicky)</ref> * 1332, <span style="color:brown">Phinta, kňaz svätej Anny</span>, Comuna Sântana de Mureș, Mureș (Rumunsko), * 1367, Finčevec, Chorvátsko, ''Paulus filius Fynech'',<ref>{{cite web |url=https://hrcak.srce.hr/file/33305 |title=GRAĐA ZA TOPONOMASTIKU I HAGIOGRAFIJU KALNIČKOG KRAJA |last=Balog |first=Zdenko |access-date = 2023-12-08 }}</ref> * 1367, <span style="color:brown">Paulus filius Finech</span>; súvis so Finčevec, Chorvátsko.<ref name="Finech">ZDENKO BALOG: GRAĐA ZA TOPONOMASTIKU I HAGIOGRAFIJU KALNIČKOG KRAJAč; Cris, god. VI., br. 1/2004., str. 59-72</ref><ref>[[:w:en:Finčevec|Finčevec]] (po anglicky)</ref> Rod (zrejme):<ref>{{cite web |url=https://mi.abtk.hu/images/gyujtemenyek/regeszta-mutatok/masodik-sorozat/fiok_144._a-i-10._szemely_erzsebet_-_f.pdf |title=fiok 144. a-i-10 F |last=Székely |first=Erzsébet }}</ref> * <b style="color:#592A59">Fynta, Dávid syn, Scelench castrum, 1282-10-08</b> – Zeleneč, okres Trnava, Slovensko;<ref>{{cite web | url = https://blog.sme.sk/dzurjanin/cestovanie/miesto-stareho-novy-ale-socialisticky-31-januar-2009 | title = Miesto starého nový, ale socialistický (31. január 2009 | last = Dzurjanin | first = Zdenko | date = 2009-02-05 | website = sme.sk | publisher = Petit Press, a.s. }}</ref><ref>[[:w:sk:Zeleneč|Zeleneč]]</ref> * <b style="color:#592A59">Finta, Alber, 1328</b> – dnes Albeř, Čechy (žeby?); *<b style="color:#592A59">Finta; Finta fia, Sarfeu (Vas m), cca 382-06-06</b> – dnes Blatné, Senec, Slovensko;<ref>{{cite web | url = https://pdfweb.truni.sk/download?monografie/belakova-hydronymia-2014.pdf | title = HYDRONYMIA SEVERNEJ ČASTI POVODIA MALÉHO DUNAJA | last = Beláková | first = Mária | date = 2014 | place = Trnava }}</ref><ref>[[:w:sk:Blatné|Blatné]]</ref> *<b style="color:#592A59">Finta Diozisius, Szcutmiklós vara, 1276</b> – dnes hrad/pevnosť v Turda, Sedmohradsko, Rumunsko;<ref>[[:w:Mikod_Kökényesradnót|Mikod Kökényesradnót]] (po anglicky)</ref><ref>[[:w:cs:Turda|Turda]] (po česky)</ref> *<b style="color:#592A59">Finta Peter, comes, Mosolány, 1330-04-29</b> – Mocsolya, Rumunsko,<ref>{{cite web | url = https://www.arcanum.com/en/online-kiadvanyok/Tunderkert-tunderkert-1/szilagy-varmegye-monographiaja-5E50/iv-kotet-89C9/mocsolya-8B6C/ | title = Mocsolya. | website = arcanum.com }}</ref><ref>[[:w:hu:Mocsolya|Mocsolya]] (po maďarsky)</ref> *<b style="color:#592A59">Fintai Ilona,Finta leánya; Sarfeu (Vas m); 1382-06-06</b>, *<b style="color:#592A59">Fyntha-i Miklós; Feketehygh vára, Fyntha birtok, Sáros megye; 1272-11-16</b><ref group="Pozn.">Maď. „''Feketehygh''“ = slov. „''Čierný les''“ ([https://mdh.unideb.hu/korai_telepules.php?adatlap=01-27-5&km=Aba%C3%BAj Zdroj informácie])</ref><ref group="Pozn.">Možno je zdroj [https://archives.hungaricana.hu/en/charters/26670/ DIPLOMATIKAI LEVÉLTÁR (Q szekció) • Családi levéltárak (P szekcióból) • Dessewffy család, grófi (Q 62) • 74669 ]</ref>. === Pra-meno *Finta === Na základe analýzy z 12. a 13. storočia:<ref name="prafinta">{{cite web | url = https://www.researchgate.net/profile/Maria-Novakova-6/publication/302928937_The_personal_names_in_Slovakia_in_the_13th_century/links/573376c508ae9f741b261454/The-personal-names-in-Slovakia-in-the-13th-century.pdf | title = Najstaršie uhorské osobné mená a pomenovacia prax na Slovensku v 13.-14. storočí. | last = Nováková | first = Mária | date = 2010-06-30 | publisher = Filozofická fakulta Trnavskej univerzity v Trnave, Katedra histórie | access-date = 2023-12-08 | quote = }}</ref> *&#42;Finta: **Fyn, **Fynta/Phynta/Phinta. Tiež: * Finzi (zrejme rod).<ref name="finzi"/> == Miesta == * Fintice, okres Prešov, Slovensko, * Fincovce – dnes Pavlovce, Slovensko,<ref name="Vynohradiv">CHYTIL, Alois. Chytilův místopis Československé republiky. V Praze: Alois Chytil, 1930. Dostupné tiež z: https://dikda.snk.sk/uuid/uuid:1127bbd3-869e-4169-b1ae-92a45b00ba92</ref> * Finthen – dedina, od r. 1969 sučasť Mainz, Nemecko,<ref>{{cite web | url = https://www.mainz.de/leben-und-arbeit/stadtteile/finthen/finthen.php | title = Willkommen im Stadtteil Finthen | publisher = Landeshauptstadt Mainz | access-date = 2025-01-19 }}</ref> * Φιντίας / Fintias, dnešná [[:w:en:Licata|Licata]], Sicília, Taliansko,<ref name="Φιντίας"/> * Fintorica, miesto, Šišov, Slovensko * Finta, dvor, Vynohradiv, Ukrajina,<ref name="Vynohradiv"/> * Finta, chotár, Neverice, Slovensko,<ref name="Vynohradiv"/> * Fîntînița, Moldavsko, * …, * zoznamy: ** [[:w:pl:Fântânele|Fântânele]] (plwiki) == Možné významy == * súvisiace s '''vtákmi''': ** '''''vrabec''''': *** z praindoeuropančiny ''*(s)ping-'' (''malý vták, vrabec''),<ref>[[:wiktionary:en:Reconstruction:Proto-Germanic/finkô|Reconstruction:Proto-Germanic/finkô]] (po anglicky)</ref> ** '''''pinka''''': *** z praindoeuropančiny ''*(s)pingos'' (''pinka''),<ref>[[:wiktionary:en:finch#English|finch#English]] (po anglicky)</ref> ** '''''ďateľ''''': *** zo starej angličtiny ''fina'' (''ďateľ'') + suffix -ta,<ref>[[:wiktionary:en:fina#Old_English|fina]]</ref><ref>[[:wiktionary:en:woodpecker#English|woodpecker]]</ref> * súvisiace s '''vodou''': ** '''ryba''': *** Alóza finta (Alosa fallax) – lebo je ''Finta'' (maďarsky, ukrajinský a ruský) a ''Finte'' (nemecký),<ref>{{cite web | url = https://www.mpsr.sk/resources/documents/2028.xlsx | title = 2028.xlsx }}</ref> *** U nás by alóza finta nemala žiť,<ref>{{cite web | url = https://www.srz-ds.sk/atlas-ryb | title = Atlas rýb | website = www.srz-ds.sk }}</ref><ref>{{cite web | url = https://fishbase.mnhn.fr/summary/SpeciesSummary.php?id=5355&lang=english | title = Alosa fallax (Lacepède, 1803), Twaite shad }}</ref> takže by sa mohlo prípadne jednať o '''''alóza neškvrnitá''''' (''Alosa immaculata'', ''Alosa pontica''),<ref>{{cite web | url = https://fish-commercial-names.ec.europa.eu/fish-names/commercial-designations_sk?ms=SK | title = Slovensko - Obchodné označenia | access-date = 2023-10-18 }}</ref> *** súvis s rybolovom? (?), ** '''prameň''', '''tiecť''', '''vytekať''', '''prúdiť''': *** z pra-západnej nemčiny ''finþan'',<ref>[[:wiktionary:Reconstruction:Proto-West_Germanic/finþan|Proto-West Germanic/finþan]] (po anglicky)</ref> *** z praindoeurópskeho ''pent-'',<ref>[[:wiktionary:Reconstruction:Proto-Indo-European/pent-|Proto-Indo-European/pent-]] (po anglicky)</ref> *** z latinského fons<ref>[[:wiktionary:fons#Latin|fons#Latin]] (po anglicky)</ref> → fontana,<ref>[[:wiktionary:fontana#Latin|fontana#Latin]] (po anglicky)</ref> *** Z latinského fio<ref>[[:wiktionary:en:fio#Latin|fio#Latin]] (po anglicky)</ref> → na rumunské ființă,<ref>[[:wiktionary:en:ființă#Romanian|ființă#Romanian]] (po anglicky)</ref> *** gótsky [[:wiktionary:en:𐍆𐌹𐌽𐌸𐌰𐌽#Gothic|𐍆𐌹𐌽𐌸𐌰𐌽]] (po anglicky), *** dedina Finthen, dnes súčasť Mainz (pramene a rimské akvadukty);<ref>[[:w:de:Mainz-Finthen|Mainz-Finthen]] (po nemecky)</ref> *** rumunsky fântână – prameň, „vodná“ stena;<ref>[[:wiktionary:en:fântână#Romanian|fântână#Romanian]] (po anglicky)</ref> *** podobné so slovenským slovom ''fontána'', **'''močiare''', '''bažina''': *** možno narážka na terén a ''lužné lúky a lesy'' (okolo rieky Sekčov a západne od centra obce),<ref>{{cite web | url = https://www.staremapy.sk/?zoom=14&lat=49.05064262694256&lng=21.28843477764502&map=VM2 | title = Voj. mapovanie 2 - mapa rok 1839 | access-date = 2023-10-18 }}</ref><ref>[[:w:sk:Fintice#Záplavy|Fintice#Záplavy]]</ref> ***Fintau, Nemecko<ref>[[:w:de:Fintau|Fintau]] (po nemecky)</ref> – rieka, ktorá sa do močiarov vlieva; ***Fintel (hist. aj Wintla), Nemecko – bažinový terén,<ref>[[:w:de:Fintel|Fintel]] (po nemecky)</ref> *** Fintavägen, Svédsko; značková cesta („pristupová cesta“) – a la „prameň“ prichádzajúcich áut do sídliska;<ref>{{cite web | url = https://www.openstreetmap.org/way/1071987913 | title = Cesta: Fintavägen (1071987913) | access-date = 2023-10-18 }}</ref> *** Fintlandsmoor, Nemecko – močiar, rašelinisko;<ref>[[:w:de:Fintlandsmoor|Fintlandsmoor]] (po nemecky)</ref> ** '''plač''': *** slovinský ''finčica'' – ženský „hanblivý“/prúderný plač;<ref name="sl-1891">{{cite web | url = https://archive.org/details/slovenskonemkisl01pletuoft/page/200/mode/2up?view=theater | title = Slovensko-nemki slovar. Uredil M. Pleternik | last = Pleternik | first = Makso | date = 1891 }}</ref><ref>[[:wiktionary:en:weiblich#German|weiblich#German]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:Scham|Scham]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:shame|shame]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:bashfulness|bashfulness]] (po anglicky)</ref> '''„k cieľu“''', '''„pri cieli“''': * kampidská sardínčina ''finza(s)'',<ref>https://hemerotecadigital.uanl.mx/items/browse?advanced%5B0%5D%5Belement_id%5D=39&advanced%5B0%5D%5Btype%5D=is+exactly&advanced%5B0%5D%5Bterms%5D=Men%C3%A9ndez+Pidal%2C+Ram%C3%B3n%2C+1869-1968%2C+Director&output=omeka-xml</ref><ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/bub_gb_KTtwV0X6jo8C/page/28/mode/2up?q=finza | title = Etymologisches Wörterbuch der romanischen Sprachen von | last = Friedrich | first = Diez | date = 1870 }}</ref> *'''cesta'''': ** z protoindoeurópskeho ''*pent-'' – „ísť, prejsť; cesta, most“,<ref name="finþan"/> *'''nájsť''': ** z protoindoeurópskeho ''*pent-'' – „ísť, prejsť; cesta, most“,<ref name="finþan"/> ** z prazápadnej nemčiny ''finþan'' – „nájsť, objaviť, prísť na to“,<ref name="finþan">[[:wikt:en:Reconstruction:Proto-West_Germanic/finþan|*finþan]] (po anglicky)</ref> ** z pranemčiny ''finþan'' – „nájsť, objaviť, prísť na to“,<ref>[[:wikt:en:Reconstruction:Proto-Germanic/finþaną|*finþaną]] (po anglicky)</ref> ** bavorský ''fint'' znamená významovo ''nájsť'',<ref>[[:w:de:Bairisch|Bairisch]] (po nemecky)</ref> ** gótsky ''fintha'' znamená ''nájsť'',<ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/sitzungsberichte1882knig/page/38/mode/2up?q=finde | title = Sitzungsberichte der königl. böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften in Prag | author = Königlich-böhmische Gesellschaft der Wissenschaften (Prague, Hungary) | date = 1883 }}</ref><ref>{{cite web | url = https://germanic.ge/en/got/word/fin%C3%BEan/ | title = finþan | author = Chrestomathy of Gothic and Anglo-Saxon }}</ref> ** zo starej irštiny „objaviť“, „odkryť“, „zistiť“, „vedieť“,<ref>[[:wiktionary:en:rofinnadar#Old_Irish|rofinnadar#Old_Irish]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:discover|discover]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:find_out|find_out]] (po anglicky)</ref> *'''lovec, zberač''':<ref name="fini"/> ** stará nemčina ''*fenthan'' – „hľadať pešo“,<ref name="fini">Maixner, Miroslav. [https://is.muni.cz/th/vw94m/DIPLOMOVA_PRACE_Sami_ethnicity.pdf KONSTRUKCE SÁMSKÉ ETNICKÉ IDENTITY]. 2011</ref> ** pragermančina [[:wiktionary:en:Reconstruction:Proto-Germanic/finnaz|finnaz]] (''chodiť pešo''),<ref name="Finn">[[:wiktionary:en:Finn|Finn]] (po anglicky)</ref> ** stará norčina [[:wiktionary:en:finnr|finnr]] (''lovec, zberač''),<ref name="Finn"/> '''päť''': * zo stredno-hornej nemčiny ''vünf'',<ref name="mhn-vinf">[[:wiktionary:vinf#Mòcheno|vinf#Mòcheno]] (po anglicky)</ref> * v jazyku Mòcheno (v Taliansku) ''vinf'' značí päť,<ref name="mhn-vinf"/><ref>[[:w:Mòcheno language|Mòcheno language]] (po anglický)</ref> '''podvodník''': * slovinsky ''finka'' – prasa, svina (pri hre),<ref name="sl-1891"/> '''trik''': * súčastné europské jazyky (napr. v športe), '''výmysel''': * zo staršej slovenčiny,<ref>{{cite web | url = https://slovnik.juls.savba.sk/bernolak-hq/fi/Finta.png | title = Finta.png }}</ref><ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/bub_gb_baZZAAAAcAAJ/page/4368/mode/2up | title = Slowár slowenskí česko-latinsko-ňemecko-uherskí = seu, Lexicon slavicum bohemico-latino-germanico-ungaricum | last = Bernolák | first = Anton | date = 1825 | publisher = Budae, typis et sumtibus Typogr. Reg. univers. hungaricae }}</ref> '''skrytý''': * v berberskom jazyku názov oázy ''Fint'' znamená ''skryté'',<ref>{{cite web | url = https://www.sudmaroc-hotel-terrassedesdelices.com/l-oasis-de-fint-1/ | title = L'Oasis de Fint | date = 2023-10-18 }}</ref> '''„strážisko“''': * latinské ''finita'' ako tvar slova ''finitus'' – '''hraničná''',<ref>[[:wiktionary:en:finita#Latin|finita#Latin]] (po anglický)</ref><ref>[[:wiktionary:en:finitus#Latin|finitus#Latin]] (po anglický)</ref> * zo starej angličtiny ''finta'' – '''hraničné územie''', '''družina'''/'''posádka''', '''sledovať''';<ref name="sa-1">[[:wiktionary:en:finta#Old_English|finta#Old_English]] (po anglicky)</ref><ref name="sa-2">[[:wiktionary:en:tail#Etymology_1|tail#Etymology_1]] (po anglický)</ref><ref>[[:wiktionary:en:tailing#Noun|tailing#Noun]] (po anglický)</ref> '''(o)zdobiť''', „'''pačiť sa'''“: * zo slovenského ''fintiť'', * možno odvodené z latinského ''fingo'',<ref>[[:wiktionary:en:fingo|fingo]] (po anglicky)</ref> * možno odvodené z latinského ''pingo'',<ref>[[:wiktionary:en:pingo|pingo]]</ref> * grecké slovo [https://lexikolefkadas.gr/finta-i/ φίντα] (''fínta'', stredný rod), * ozdobná šálka, viď položku ''šálka'', * '''horenos'''<ref name="prafinta"/> – „namyslený človek, nafúkanec“,<ref>Krátky slovník slovenského jazyka. Red. J. Kačala – M. Pisárčiková – M. Považaj. 4. dopl. a upr. vyd. Bratislava: Veda 2003. 985 s. ISBN 80-224-0750-X (autorský kolektív: J. Doruľa, J. Kačala, M. Marsinová, I. Masár, Š. Michalus, Š. Peciar, M. Pisárčiková, M. Považaj, V. Slivková, E. Smiešková, E. Tibenská, M. Urbančok). Heslo ''horenos''. </ref> * dánsky ''finde'' – "mať určitý pocit potešenia alebo (menej často) nelibosti",<ref>{{cite web | url = https://ordnet.dk/ddo/ordbog?query=finde | title = finde | author = Det Danske Sprog- og Litteraturselskab }}</ref> súvis s '''rámeno'''m: * z latinčiny ''fin'' – rámeno,<ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/bim_eighteenth-century_a-classical-dictionary-o_grose-francis-f-a-s_1785/page/n81/mode/2up | title = A classical dictionary of the vulgar tongue. 1785 | author = Grose, Francis, F. A. S. | date = 1785 }}</ref> '''páska''': * portugálsky ''cinta'' [finta],<ref>[[:wiktionary:cinta#Spanish|cinta#Spanish]] (po anglicky)</ref> '''šikovný''', '''osláviť''', '''brondzový''': * stará gotčina ''𐍆𐌹𐌽'' (''fin'') – [[:w:en:nomina sacra|nomina sacra]] ''lord'' (vo význame ''pán'', ''vládca'' alebo ''majster''),<ref>[[:wiktionary:en:𐍆𐌹𐌽#Gothic|𐍆𐌹𐌽#Gothic]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:𐍆𐍂𐌰𐌿𐌾𐌰#Gothic|𐍆𐍂𐌰𐌿𐌾𐌰#Gothic]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:lord#English|lord#English]] (po anglicky)</ref> * stará francúzština ''fin'':<ref>https://www.jeantosti.com/noms/f2.html</ref> ** 14. storočie: ''šikovný''; ** 15. storočí: ''malý'',''malicherný'';<ref group="Pozn.">Možno došlo k negácií alebo k ironizovaniu významu.</ref>.<ref>[[:wiktionary:en:petit|petit]] (po anglicky)</ref> * z jidiš ''Finzi'',<ref name="finzi">{{cite web | url = https://www.jewishencyclopedia.com/articles/6124-finzi | title = FINZI | author = JewishEncyclopedia.com | date = 1989 }}</ref> * egyptský Pa-neḥas – „ten bronzovej farby“,<ref>[[:w:en:Phinehas|Phinehas]] (po anglicky)</ref> * z hebrejského ''פִּינְחָס‎''/''Pinchas'',<ref>[[:w:en:פינחס|פינחס]] (po hebrejsky)</ref> * „vedieť dotiahnuť (niečo) do konca“: ** zo starej angličtiny '''finta''' znamenajúc:<ref name="sa-1"/> *** „tail“ – slovenský „chvost“,<ref name="sa-2"/> „časť“ (niečoho), *** „sequence“ – slovenský „sekvencia“, *** „result“ – slovenský „výsledok“, * v slovenčine: ** „Pekne si to vyfintil.“ – „Pekne si sa s tým »pohral«.“ („Super, popipľal si sa s tým, že výsledok je výborný / excelentý / nad očakávanie / dôsledné spravený.“), '''rozseknúť''', '''rozštiepiť''': * latinské ''findo'', * praindoeurópske ''*bʰinédti'',<ref>[[:wiktionary:Reconstruction:Proto-Indo-European/bʰinédti|Proto-Indo-European/bʰinédti]] (po anglicky)</ref> '''„vzácne“ drevo''' * praindoeurópske ''*finьtъ'' – tujový:<ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/etymologicky-slovnik-jazyka-staroslovenskeho/ESJS_3/page/170/mode/2up | title = Etymologický slovník jazyka staroslověnského | author = E. Havlová, A. Erhart, I. Janyšková | date = 1989 }}</ref> ** zaznamenané iba v súvistlosti s drevom, ** možný nedoslovný význam ako „vzácne“ drevo, ** možno narážka na stromy<ref>{{cite web | url = https://www.fintice.sk/o-obci-fintice.html | title = O obci Fintice | author = Obecný úrad Fintice }}</ref> ako ''javor horský'' a ''lipa malolistá'' v katastri obce, '''súvis s peniazmi''': * „finta“ – španielský starodávna daň („finītus“ ⇒ „fintito“ <súvis so „finito“ – „nastaviť limity“>),<ref>{{cite web | url = https://books.google.sk/books?id=gYtvAwAAQBAJ&pg=PA716&lpg=PA716&dq=family+finta&source=bl&ots=D0_xpvopM0&sig=ACfU3U1xPOG4gFw5UGpVI2Y4cq86bRP13w&hl=sk&sa=X&ved=2ahUKEwjdvfGj8aKEAxUWi_0HHdodA384PBDoAXoECAkQAQ#v=onepage&q=family%20finta&f=false | title = A Comprehensive Etymological Dictionary of the Spanish Language with Families of Words based on Indo-European Roots | last = Roberts | first = Edward Arthur | date = 2014 }}</ref> * podobné so: ** srbsko-chorvatský ''funta''/''фунта'' – jednotka váha, finančná mena,<ref>[[:wiktionary:funta#Serbo-Croatian|funta#Serbo-Croatian]]</ref><ref>[[:wiktionary:фунта#Serbo-Croatian|фунта#Serbo-Croatian]]</ref><ref>{{cite web |url=https://ensk.dict.cc/?s=currency |title=dict.cc &#124; currency &#124; English-Slovak Dictionary |website=dict.cc |publisher=Paul Hemetsberger}}</ref> ** macedonský ''фунта'' – jednotka váha, finančná mena,<ref>[[:wiktionary:фунта#Macedonian|фунта#Macedonian]] (po anglicky)</ref> ** ruský ''фунт'' – jednotka váha, finančná mena,<ref>[[:wiktionary:фунт#Russian|фунт#Russian]] (po anglicky)</ref> ** ukrainský ''фунт'' – libra alebo jednotka váhy, množstva,<ref>[[:wiktionary:фунт#Ukrainian|фунт#Ukrainian]] (po anglicky)</ref> ** jidiš ''פֿונט''/''funt'' – jednotka hmotnosti, pôvodovne označenie pre ruskú mieru (po anglicky),<ref>[[:wiktionary:פֿונט#Yiddish|פֿונט#Yiddish]]</ref> ** armenský ''ֆունտ''/''funt'' – libra alebo jednotka váhy,<ref>[[:wiktionary:ֆունտ#Armenian|ֆունտ#Armenian]] (po anglicky)</ref> '''krivý''', '''ohnutý''' * z maďarského slova ''finta'',<ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/magyaroklevlsz00szamuoft/page/124/mode/2up?q=FINTA | title = Magyar oklevél-szótár, régi oklevelekben és egyéb iratokban elöforduló magyar szók gyüjteménye. Legnagyobb részüket gyüjtötte Szamota István. A Magyar Tudományos Akadémia megbízásából szótárrá szerk. Zolnai Gyula | last = Szamota | first = István | last2 = Zolnai | first2 = Gyula | date = 1210 | publisher = Budapest V. Hornyánszky }}</ref><ref>[[:wiktionary:en:curvus|curvus]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:bent#English|bent#English]] (po anglicky)</ref><ref name="hu-1886">{{cite web | url = https://archive.org/details/englishhungarian02bizo/page/156/mode/2up | title = English-Hungarian dictionary | last = Bizonfy | first = Ferencz | date = 1886 }}</ref> * zo starej angličtiny ''finta'',<ref name="sa-1"/><ref name="sa-2"/> * tiež aj Finteușu Mare, Maramureș; Rumunsko,<ref>[[:w:ro:Finteușu_Mare,_Maramureș|Finteușu_Mare, Maramureș]] (po rumunsky),</ref> '''skalnatý''': * z maďarského slova ''finta'',<ref name="hu-1886"></ref> '''poľovník'''/'''ľovec''': * stará horná nemčina ''vende'',<ref>[[:w:en:Finn (ethnonym)|Finn (ethnonym)]] (po anglicky).</ref> * „… ,scricfinni‘ sú vašniví lovcí/zberači, …“,<ref group="Pozn.">Prvá časť slova ''scric'' znamená ''lyžovať''. (Referencia: https://snl.no/finner_-_samer)</ref><ref>{{cite web | url = https://snl.no/skridfinner | title = skridfinner | author = Store norske leksikon }} (po nórsky).</ref> '''nôž''': * poľsky ''finka'' – puzdrový nôž, <ref>[[:wiktionary:finka#Polish|finka#Polish]] (po anglicky)</ref><ref>[[:w:Sheath_knife|Sheath knife]] (po anglicky)</ref> '''klam''', '''lesť''':<ref>Historický slovník slovenského jazyka. A – J. Red. M. Majtán et al. 1. vyd. Bratislava: Veda 1991. 535 s. ISBN 80-224-0228-1 (spoluautori V. Blanár, E. Jóna, I. Kotulič, E. Krasnovská, R. Kuchar, M. Majtán, M. Majtánová, Š. Peciar, B. Ricziová, J. Skladaná). (heslo [https://slovnik.juls.savba.sk/?w=finta&s=exact&c=v785&cs=&d=hssj# finta])</ref> * zo slovenského slova ''finta'', '''pasca''': * grécky [https://www.slang.gr/lemma/13317-finta φίντα] (''fínta''), ''botanické významy:'' * '''absint''' (nápoj) alebo '''[[:w:sk:Palina pravá|Palina pravá]]''' (''Artemisia absinthium''),<ref>{{cite web | url = https://books.google.sk/books?id=JrbKqL-w5tAC&pg=PA63&lpg=PA63&dq=fyntha+latin&source=bl&ots=R7y5pNmEuz&sig=ACfU3U1YM7F4RYhFTGT1otBPF74flt9RBA&hl=sk&sa=X&ved=2ahUKEwiljNjg2YKAAxUX7qQKHS8mD-s4ChDoAXoECB4QAw#v=onepage&q=fyntha&f=false | title = Dizionario italiano, latino e francese in cui si contiene, non solamente un compendio del dizionario della Crusca, ma ancora tutto cio, che v'ha di piu rimmarchevole ne' migliori lessicografi, etimologisti, e glossarii,... raccolto dall' abbate Annibale Antonini. Nuova edizione. Riveduta, corretta, e notabilmente accresciuta. Tomo primo, Zväzok 1 | last = Antonini | first = Annibale | date = 1770 }}</ref><ref>[[:wiktionary:assenzio|assenzio]] (po anglicky)</ref><ref>[[:w:Absinthe|Absinthe]] (po anglicky)</ref> * ''Suncia''<ref name="dmi">{{cite web | url = https://www.knihydominikani.sk/hlavna_nemethy_24?fpcmeno=zahradne | title = Historický schematizmus slov. farností | website = www.dominikani.sk | access-date = 2023-10-18 }}</ref> – v stredovekej latinčine '''''[[:w:sk:Valeriána_lekárska|Valeriána lekárska]]''''' (''Valeriana officinalis''),<ref>Ferrari V., 2016 - [https://bibliotecadigitale.provincia.cremona.it/monografie/download/monografia_11.pdf Lessico botanico popolare della provincia di Cremona: dialettale, etimologico], “Monografie di Pianura”, n. 11, Provincia di Cremona, Cremona.</ref> '''uzdraviť:''' * ''„zmeniť predpokladaný ortieľ smrti“'' – t. j. vyliečiť sa, * Cethern mac Fintain (Írska mytológia),<ref>[[:w:Cethern_mac_Fintain|Cethern mac Fintain]] (po anglicky)</ref> '''skok''', '''skákanie''': * maďarské ''finz'' a príbuzne slová,<ref>{{cite web | url = http://misc.bibl.u-szeged.hu/25180/1/015_020_001-175.pdf | title = A' SZÓELEMZÉS' ÉS SZÓÉRTELMEZÉS ALAP-ELVEI. | author = Fábián István | date = 1853 | access-date = 2025-01-22 }}</ref> '''zabávači/šašovia:''' * maď. ''fintorog'', ''fintur'', ''fintor'' – slov. grimasa,<ref>[[:w:hu:Magyar_duda|Magyar duda]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:fintor#Hungarian|fintor#Hungarian]] (po anglicky)</ref><ref>Szentpétery Imre: Az Árpádházi királyok okleveleinek kritikai jegyzéke II. kötet 2-3. füzet 1272–1290 (Magyar Országos Levéltár kiadványai, II. Forráskiadványok 9. Budapest, 1961 (heslo [https://library.hungaricana.hu/en/view/MolDigiLib_MOLkiadv2_09/?pg=460&layout=s Fintor]) (po maďarsky)</ref><ref>[[:w:hu:Magyar duda|Magyar duda]] (po maďarsky)</ref><ref>[[:w:hu:Magyar_duda|Magyar duda]] (po anglicky)</ref> * ''Fruncta'' – stará francúzština ''frunce'' = ''fronce'' (''mračiť sa'', ''chmúriť sa'') + suffix ''-ta'',<ref name="dmi"/><ref>[[:wiktionary:en:frunce#Old_French|frunce#Old_French]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:fronce#Old_French|fronce#Old_French]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:froncer#French|froncer#French]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:scowl|scowl]] (po anglicky)</ref><ref>Synonymický slovník slovenčiny. Red. M. Pisárčiková. 3. nezm. vyd. Bratislava: Veda 2004. 998 s. ISBN 80-224-0801-8 (kolektív autorov: A. Anettová, I. Hrubaničová, Š. Michalus, E. Pícha, M. Pisárčiková, M. Považaj, E. Tibenská). (heslo [https://slovnik.juls.savba.sk/?w=kaboni%C5%A5&s=exact&c=4777&cs=&d=sss# kaboniť]</ref> '''ako „urážka“/„žart“''' (?): * v poľštine: „zadymení papier držaní pod nosom“.<ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/acompletedictio00rykagoog/page/54/mode/2up?view=theater | title = A complete dictionary English and Polish and Polish and English | last = Rykaczewski | first = Erazm | date = 1849 }}</ref> '''šálka'''/'''hrnček''':<ref>[[:wiktionary:tr:fincan#Türkçe|finka]] (po tatarsky)</ref> * perský <span lang="fa">پنگان</span> (pingān),<ref name="sh_findžan"/> * arabský <span lang="ar"> فِنْجَان</span> (finjān),<ref name="sh_findžan"/> * srbsko-chorvátsky ''findžan'',<ref name="sh_findžan">[[:wiktionary:en:findžan#Serbo-Croatian|findžan]] (po anglicky)</ref> * ukrajinsky ''фінджа''/''findža'',<ref>[[:wiktionary:фінджа#Ukrainian|фінджа]] (po anglicky)</ref> * slovenské nárečia ''findža''.<ref>{{cite web | url = https://narecie.sk/find%C5%BEa | title = Slovo findža }}</ref> '''Fínec''': * [[:w:en:Finn (ethnonym)|Finn (etnonymum)]] (po anglicky). == Poznámky == <References group="Pozn."/> == Pozri tiež == * [http://nhe.ktfke.sk/archiv/notitiae-12017/ Notitiae 1/2017] (príspevok ''DEDINA – VILLA BELCELLA A ÚZEMIE ZA ZÁSEKMI – ULTRA INDAGINES'') * {{cite web |url=https://is.muni.cz/th/vw94m/DIPLOMOVA_PRACE_Sami_ethnicity.pdf |title=KONSTRUKCE SÁMSKÉ ETNICKÉ IDENTITY |last=Maixner |first=Miroslav }} * {{cite web |url=https://www.academia.edu/45643150/FINTA_Z_RODU_ABA_VOJVODA_A_PALAT%C3%8DN |title=FINTA Z RODU ABA -VOJVODA A PALATÍN |last=Blanár |first=Dominik }}, * [[:wiktionary:en:Fintan|Fintan]] (meno, po anglicky), * stará angličtina: [[:wiktionary:en:finta#Old_English|finta]] (po anglicky), * [[Etymológia_slov#fín_(slovenský),_Finn_(anglický),_finnr_(stará_norčina),_Finnic_(angličtina)|fín (slovenský), Finn (anglický), finnr (stará_norčina), Finnic (angličtina)]]. == Referencie == <References/> [[Category:SK/Etymológia]] [[Category:SK/Fintice]] [[Category:SK/Pomenovanie]] 9ohow9ingoa7ptut4wfijjaz8m9rocb 0 55520 383876 383811 2026-04-16T16:21:42Z Profev 36331 /* Distribucions */ + 383876 wikitext text/x-wiki L'objectiu directe és recordar taules de freqüències i introduir distribucions. == Taules de freqüències == Omplir taules de freqüències és purament mecànic, només cal fixar-se en el que vol cada columna i deixar les dades. Les taules de freqüències tenen les dades principals a les dues primeres columnes (dades en vertical). La primera columna és el tipus de succés esperat i la segona columna és per les vegades que ha sortit cada tipus de succés. === Freqüències absolutes === Un procès de recompte es coneix com a '''freqüència absoluta''' les dades obtingudes per cada cas. Al final de les dades es posa un requadre que és la suma total de successos per fer càlculs posteriors. === Freqüències relatives === La columna de '''freqüència relativa''' l'únic que fa és ''dividir'' cada valor de la freqüència absoluta entre el total. Al final de les dades es posa el requadre de suma total que dona aproximadament 1, depenent dels decimals utilitzats. El que aconseguim amb això és convertir els valors arbitraris en valors entre 0 i 1, anomenats '''tants per u'''. Aquest valors són molt fàcils de transformar i corresponen amb l'estudi de la probabilitat. === Tants per cent === La columna de '''tants per cent''' l'únic que fas és multiplicar per 100 la freqüència relativa, és a dir, moure dos llocs a la dreta la coma decimal. Al final de les dades es posa el requadre de suma total que dona aproximadament 100%. El que aconseguim amb això és el tant per cent amb que ha aparegut cada tipus de succés per poder fer-nos una idea general. === Freqüència acumulada === El que fa és, com el seu nom indica, acumular les anteriors freqüències anteriors. Exemples: == Distribucions == === Variable aleatòria === En relació amb els elements d'una '''mostra''' es pot construir una funció X(s) que a cada element de la mostra li fa correspondre un nombre real identificador d'aquest element concret de la mostra. Es només etiquetar els elements, exemple: Si <math>\Omega=\{A,B\},</math> llavors podria ser que X(A) = -1, X(B) = 2, i res més. === Distribució de probabilitat === En relació a la ''variable aleatòria'' i, com el seu nom indica, reparteix la probabilitat a cada valor de la variable aleatòria. Només ha de complir que la suma de totes les probabilitats repartides sumi 1 com és de esperar, exemple anterior: P(X = -1) = 0'2 i P(X = 2) = 0'8, llavors P(X = -1)+P(X = 2) = 0'2 + 0'8 = 1, és correcte. això es pot fer amb mostres, <math>\Omega,</math> de 3 elements o elements numerables(discreta), i inclús si la variable aleatòria transita d'un valor al següent de forma contínua(variable continua). '''Mitjana''' d'una variable discreta que pren '''n''' valors: <math>\mu=\sum_{i=0}^n \bigg( x_i P(X=x_i) \bigg).</math> '''Variancia''' <math>\sigma^2=\sum_{i=0}^n \bigg( (x_i-\mu)^2P(X=x_i) \bigg)=\sum_{i=0}^n \bigg( x_i^2 P(X=x_i) \bigg) -\mu^2.</math> '''Desviació típica''' és <math>\sigma.</math> ==== Distribució binomial ==== Donada una serie de successos de dos alternatives A i B on P(A) = p i P(B) = q, on p + q = 1 o q = 1- p. Es vol saber la probabilitat de que el succés A surti 20 vegades de 30 intents. <math>X\sim B(n,p)</math> on n = 30 número d'elements de la variable, p = probabilitat el element buscat. <math>P(X=20)={30\choose 20} p^{20} q^{30-20}</math> <math>{n \choose r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}</math> [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] plqwgmmlhp6394bb7dzcu2iqo4sisaq