Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 45746 383892 383891 2026-04-21T12:30:48Z Profev 36331 /* Distància entre elements */ + 383892 wikitext text/x-wiki Aquest resum intenta accedir a totes les branques de la geometria d'una forma breu i precisa donant propostes d'accés cap a altres mètodes més sintètics. === Matrius === Les matrius són valors reals agrupats en una quadrícula rectangular o recuadre. {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Ocultar" |Exemples de matrius segons el tipus de valors i possible procedència. |- |style="background:#fff;"|Matriu de nombres binaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en definir imatges en blanc i negre o definir grafs. Matrius de nombres fraccionaris: ::<math>\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{5}\\ \frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}</math> ::Podrien aparèixer en resoldre sistemes d'equacions. Matrius de nombres reals: ::<math>\begin{pmatrix} \pi & 0\\ 0 & e \\ -1 & \sqrt{2}\end{pmatrix}</math> :: Podrien aparèixer només en problemes molt particulars. |} ==== Notació ==== Per referir-se a cada un dels valors d'una matriu usarem els termes <math>a_{i\,j}</math><ref>Els subíndex '''i''' i '''j''' es refereixen a cadascun dels possibles valors que poden prendre dins d'una matriu concreta, com un ''punt'' en un sistema de coordenades. Si la matriu és de '''n''' files i '''m''' columnes, <math>n\times m</math>, vol dir que '''i''' pot prendre els valors que van des de <math>i=1</math> fins arribar a <math>i=n</math> i el mateix per '''j''' que pot prendre valors de <math>j=1</math> fins arribar a <math>j=m</math>, essent aquesta notació una forma de referir-se a tots els termes d'una matriu i com que normalment no s'utilitzen amb valors majors que 9 la notació ha fet la contracció <math>a_{i,\,j}</math> <math>=a_{i\,j}</math>.</ref> de les dues següents maneres: :{|cellspacing="5" cellpadding="5" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="410px" |<math>A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & \cdots & a_{1\,n}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & \cdots & a_{2\,n}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & \cdots & a_{3\,n}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & \cdots & a_{4\,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & a_{m\,2} & a_{m\,3} & a_{m\,4} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}=(a_{i\,j})_{m\times n}</math> |} *En direm '''matriu de dimensió <math>m\times n</math>''', els dos subíndex sempre en aquest ordre, altura m i amplada n. :'''Nota''': No es considera matriu si té dimensió <math>1\times 1</math> :El conjunt de totes les matrius <math>m\times n</math> s'escriu <math>M_{m\times n}.</math> *Els noms habitualment en majúscula: A, B, C, D, E, F, G, H, I, ... . ===== Exemples ===== 1) Donada una matriu <math>4\times 5</math> tenim que és de la forma: ::<math>A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 6 & 0\\ -5 & 4 & 8 & 10 & 2\\ 0 & 7 & 0 & -4 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & a_{1\,5}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & a_{2\,5}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\\ a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & a_{4\,5} \end{pmatrix}=(a_{i\;j})_{4\times 5}</math> :Dins d'una matriu també es poden identificar matrius i elements concrets com: :*'''Matrius columna''' <math>c_4(A)=\begin{pmatrix}-1\\ 6\\ 10\\ -4\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,4}\\ a_{2\,4}\\ a_{3\,4}\\ a_{4\,4}\end{pmatrix}=(a_{i\,4})_{4}.</math> :*'''Matriu fila''' <math>f_3(A)=\begin{pmatrix} -5 & 4 & 8 & 10 & 2\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix} a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\end{pmatrix}=(a_{3\;j})_{5}.</math> :*Elements de la '''diagonal''' són els elements <math>(a_{i\,i})</math> com <math>a_{1\,1}=2,</math> <math>a_{2\,2}=3,</math> <math>a_{3\,3}=8</math> o també <math>a_{4\,4}=-4.</math> :*'''Matriu transposada''' és la matriu resultant de convertir totes les columnes <math>c_i</math> en files <math>f_i</math> de forma que els elements <math>a_{i\,j}</math> ara ocupen el lloc simètric <math>b_{j\,i}</math> dins una nova matriu, en aquest cas obtenim una matriu <math>5\times 4</math>: ::<math>\begin{pmatrix} 2 & 0 & -5 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 8 & 0\\ -1& 6 & 10 & -4\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}=(b_{i\,j})_{5\times 4}</math> 2) '''Matrius quadrades''' si <math>m = n</math>, és a dir que l'amplada és igual a l'altura. :*'''Matriu diagonal''' si fora de la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular superior''' si sota la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}3 & -3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0 & -3 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 8 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu triangular inferior''' si sobre la diagonal són tots zeros: ::<math>\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -5 & 0 & 2 & 0\\ 2 & 7 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu simètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 & 8 & -4\\ 3 & -4 & 1 & -1 & -5\\ 5 & 1 & 0 & 4 & 2\\ 8 & -1 & 4 & -2 & 9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & -3 \end{pmatrix}</math> :*'''Matriu antisimètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=-a_{j\,i}:</math> ::<math>\begin{pmatrix} -7 & -3 & -5 & -8 & 4\\ 3 & 1 & -1 & 0 & 5\\ 5 & 1 & 1 & -4 & -2\\ 8 & 0 & 4 & 1 & -9\\ -4 & -5 & 2 & 9 & 1 \end{pmatrix}</math> 3) '''Matriu zero''' o nul·la si tots els elements són zeros i el seu nom és excepcionalment 0: ::<math>\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> ==== Operacions ==== Principals operacions on intervenen matrius, detallant cada element que s'opera. Estalviarem escriure termes utilitzant els punts suspensius que indiquen continuació ordenada, és a dir, escriurem <math>(a_{1\,1}\;\dots\;a_{1\,8})</math> en comptes de <math>(a_{1\,1}\;\;a_{1\,2}\;\;a_{1\,3}\;\;a_{1\,4}\;\;a_{1\,5}\;\;a_{1\,6}\;\;a_{1\,7}\;\;a_{1\,8}).</math> ===== Suma de matrius ===== Suma de dues matrius A i B es defineix per: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>A+B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m\,1} & \cdots & b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1}+b_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}+b_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1}+b_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}+b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(a_{i\,j}+b_{i\,j})</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' *Propietat associativa: <math>A+(B+C)=(A+B)+C,</math> en aquest cas podem escriure simplement <math>A+B+C</math>. *Propietat commutativa: <math>A+B=B+A.</math> *Element neutre: <math>A+0=A,</math> en aquest cas direm que la matriu 0 és l'element zero. *Element invers: Donat <math>A,</math> existeix un element <math>-A</math> tal que <math>A+(-A)=0,</math> en aquest cas direm element oposat o negatiu, i podem escriure <math>A-A=0.</math> |} D'aquesta operació no en resulten noves matrius amb dimensions diferents.<ref>Aquesta propietat s'escriu com <math>M_{m\times n}+M_{m\times n}\longrightarrow M_{m\times n}.</math></ref> ====== Exemples ====== 1) <math>=\begin{pmatrix}1 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1+0 & 0+2\\ -2+0 & 1+1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1 & 2\\ -2 & 2 \end{pmatrix}</math> ===== Producte per escalar ===== Producte d'un valor real k '''per''' una matriu A es defineix per: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>k\cdot A</math> <math>=k\cdot\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}k\cdot a_{1\,1} & \cdots & k\cdot a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ k\cdot a_{m\,1} & \cdots & k\cdot a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(k\cdot a_{i\,j})</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' *Propietat distributiva respecte la suma de matrius: <math>a(A+B)=aA+aB.</math> *Propietat distributiva respecte la suma d'escalars: <math>(a+b)A=aA+bA.</math> *Propietat associativa: <math>(a\cdot b)A=a(b\cdot A).</math> *Element neutre respecte el producte: <math>1\cdot A=A,</math> l'anomenarem element unitat o u. |} ===== Producte de matrius ===== Bàsicament un producte de matrius repeteix el concepte de '''fila per columna''' i només en aquest ordre. Producte d'una matriu fila, f, <math>1\times n</math> per una matriu columna, c, <math>n\times 1</math>:<ref>En aquest cas particular no es posa l'índex corresponent a la dimensió 1, d'una matriu <math>1\times n</math> o <math>n\times 1,</math> i simplement es diu matriu fila de dimensió n o matriu columna de dimensió n.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" |<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n\end{pmatrix}</math> <math>=f(A)\cdot c(B)</math> <math>=a_1\cdot b_1+ \ldots + a_n\cdot b_n</math> <math>=d.</math> |} Més àmpliament el '''producte''' de matrius en general, que també és '''composició''' d'aplicacions <math>f\circ g=f(g)</math>, queda determinat de la següent manera: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar" |<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,p}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,p} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_{1\,1} & \cdots & b_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p\,1} & \cdots & b_{p\,m} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}f_1(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_1(A)\cdot c_m(B)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_n(A)\cdot c_m(B) \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}d_{1\,1} & \cdots & d_{1\,m}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n\,1} & \cdots & d_{n\,m} \end{pmatrix}</math> |- |style="background:#fff;"|'''Propietats:''' No sempre commuta el producte de matrius <math>AB\neq BA.</math> *Propietat associativa: <math>A(BC)=(AB)C.</math> *Propietat distributiva: <math>A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC.</math> *Element neutre: <math>I_1A=AI_2=A</math>, l'anomenarem matriu identitat. ::<math>I_1</math> i <math>I_2</math> son matrius quadrades i poden ser de diferent dimensió(ordre), en aquest cas depenent de A. <math>Id_{2\times 2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix},</math> <math>Id_{3\times 3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},</math> <math>Id_{4\times 4}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\;\dots</math> Les matrius identitat són matrius diagonal i quadrades amb 1 a tota la diagonal i zero a la resta de llocs. *El producte d'una matriu <math>n\times p</math> per una matriu <math>p\times m</math> donant una matriu <math>n\times m</math>: *Es parla d'invers només d'una matriu quadrada, <math>n\times n</math>, si donat A podem obtenir <math>A^{-1}</math> tal que <math>AA^{-1}=A^{-1}A=I</math> que no sempre hi ha. |} ====== Exercicis de matrius ====== 1) Efectua les operacions proposades i digues o informa de les dimensions dels resultats com a mètode de comprovació obligat: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;" align="center" |<math>A_{n\times p}\;\cdot\;B_{p\times m}=C_{n\times m}</math> |} :a)<math>(1\; 2\;3\;4\;5)\cdot \begin{pmatrix}6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix}=</math> :b)<math>\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix}=</math> :c)<math>\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 3 & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\ 7 \end{pmatrix}=</math> :d)<math>(1\;\;-1\;\;2\;\;-2) \begin{pmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 7 & 8\\ 9 & 10 \end{pmatrix}=</math> :e)<math>(1\;\; 2)\begin{pmatrix}3 & 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 & 10 \end{pmatrix}=</math> :f)<math>\begin{pmatrix}2 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 5\\ 6 & 7 \end{pmatrix}=</math> :g)<math>\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \\4 & -5 & -3 \end{pmatrix}=</math> :h)<math>\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 4 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1 \end{pmatrix}=</math> 2) Calcula cada matriu B que compleix cadascuna de les equacions <math>A=\begin{pmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}</math> :a)<math>A\;B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> :b)<math>A\;B = Id</math> :c)<math>2A+B=A^2</math> :d)<math>A=2\;(B-Id)</math> === Sistemes lineals === Els sistemes lineals estan associats a matrius de forma natural quan tenim <math>A_{mn}\cdot X=B ,</math> tenim la equivalència: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #f66;"|<math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |} Direm que el l'equació <math>A_{mn}\cdot X=B</math> equival a un sistema de m equacions i n incògnites. Ens interesa resoldre sistemes lineals amb n i m menors que 4, tot i que apareixen de més grans de forma puntual. ==== Resolució de sistemes lineals ==== Observem el sistema lineal següent que té associat una matriu triangular superior: :{|cellpadding="3" |- ||<math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 5 & -4\\ 0 & -1 & 3 & -2 & 2\\ 0 & 0 & -3 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ -2\\ 4 \end{pmatrix}</math> |align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math> |style="border: 2px solid #bbb;"|<math>\begin{matrix} 2x + y -3z +5t -4s & =0\\ \;\;\;\;\;-y+3z-2t+2s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-3z+0t+s & =0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t-2s & =-2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4s & = 4 \end{matrix}</math> |} Per solucionar el sistema començarem a resoldre'l per l'última equació i continuarem per la de sobre successivament fins la primera equació: :<math>4s=4</math> <math>\Rightarrow s=1</math> :<math>t-2s=-2</math> <math>\Rightarrow t-2(1)=-2</math> <math>\Rightarrow t=0</math> :<math>-3z+0t+s=0</math> <math>\Rightarrow -3z+0(0)+(1)=0</math> <math>\Rightarrow z=\tfrac{1}{3}</math> :<math>-y+3z-2t+2s=0</math> <math>\Rightarrow -y+3\left(\tfrac{1}{3}\right)-2(0)+2(1)=0</math> <math>\Rightarrow y=3</math> :<math>2x + y -3z +5t -4s=0</math> <math>\Rightarrow 2x + (3) -3\left(\tfrac{1}{3}\right) +5(0) -4(1)=0</math> <math>\Rightarrow x=1</math> Per tant la solució és <math>\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ t\\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 3\\ \tfrac{1}{3}\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.</math> ==== Triangulació ==== Intentarem convertir un sistema qualsevol en un sistema associat a una matriu triangular superior seguint les regles següents: :1) Les equacions es poden sumar o restar entre elles. ::1.1) Les equacions es poden multiplicar o dividir per un valor concret. :2) Les equacions es poden intercanviar de lloc entre elles. :3) L'objectiu prioritari és fer zeros sota el primer terme de cada equació. És possible que la matriu triangular tingui zeros a la diagonal, això només vol dir que el sistema associat té més d'una solució. ===== Exemple ===== Donat el sistema següent, busqueu els valors de x, y i z. :<math>\begin{matrix} 5x+y-7z=11\\ 2x-5y+3z=4\\ x-2y+z=3 \end{matrix}\Bigg\}</math> El primer pas és reordenar les equacions <math>eq_1 \leftrightarrow eq_3</math> per poder treballar amb nombres petits al que podríem dir diagonal: :<math>\begin{matrix} x-2y+z=3\\ 2x-5y+3z=4\\ 5x+y-7z=11 \end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_2-2\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\\ \;\;0-y\;+z=-2\\ 5x+y-7z=11\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-5\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix} x\;-2y+\;z\;=3\;\;\;\\ 0\;\;-y\;+\;z\;=-2\\ 0+11y-12z=-4\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3+11\cdot eq_2\;\;}\begin{matrix} x-2y+z=3\;\;\;\\ 0\;-y\;+z=-2\\ 0\;+0-z=-26\end{matrix}\Bigg\}</math> Ara ja podem resoldre els sistema: :<math>z=26</math> :<math>-y+z=-2</math> <math>\rightarrow -y+(26)=-2</math> <math>\rightarrow y=28</math> :<math>x-2y+z=3</math> <math>\rightarrow x-2(28)+(26)=3</math> <math>\rightarrow x=33</math> Per tant els sistema té una única solució <math>(26,28,33).</math> === Determinant === El determinant és un mètode que permet mesurar la informació redundant dins d'una matriu quadrada nxn exclusivament. Amb aquest objectiu podem obtenir tres lleis que afecten a files i columnes a l'interior de la matriu:<ref>Aquestes propietats equivalen a dos de les tres condicions teòriques amb les que realment s'ha construït el '''determinant''' quedant així una idea més natural que els alumnes es poden trobar al batxillerat.</ref> :1) Volem sumar o restar unes files a unes altres sense que es modifiqui el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :2) Volem intercanviar files sense que es modifiqui en termes absoluts el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes. :3) Tenir una fila de zeros equival a un determinant igual a zero, el mateix ha de succeir si tenim una columna de zeros. Tot això es va aconseguir, però al punt 2 s'ha observat un canvi de signe quan intercanvies l'ordre dues files o columnes. ==== Determinant de matrius 2x2 ==== [[File:Det2x2.svg|thumb|250px|Signatura]] El determinant d'una matriu 2x2 es calcula així: :<math>\det\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}</math> <math>=ad-cb.</math> La imatge mostra una signatura per recordar l'ordre de les operacions en forma d'embut. ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 5 & 8 \end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 8-3\cdot 5</math> <math>=-7.</math> ==== Determinant de matrius 3x3 ==== [[File:Espejo.svg|thumb|150px|Signatura alternativa.]] El determinant d'una matriu 3x3 fem: :<math>\det\begin{pmatrix} a_{1\;1} & a_{1\;2} & a_{1\;3}\\ a_{2\;1} & a_{2\;2} & a_{2\;3}\\ a_{3\;1} & a_{3\;2} & a_{3\;3}\end{pmatrix}</math> <math>=\color{blue}{a_{1\;1}a_{2\;2}a_{3\;3}+a_{1\;2}a_{2\;3}a_{3\;1}+a_{1\;3}a_{2\;1}a_{3\;2}}\color{black}{-(}\color{red}{a_{1\;3}a_{2\;2}a_{3\;1}+a_{1\;2}a_{2\;1}a_{3\;3}+a_{1\;1}a_{2\;3}a_{3\;2}}\color{black}{).}</math> La imatge següent mostra una signatura particular per recordar l'ordre de les operacions [[File:Det3x3a1.svg|350px]] ===== Exemple ===== :<math>\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & -1\end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 5\cdot (-1)+2\cdot 6\cdot 7+4\cdot 8\cdot 3-(3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot (-1)+6\cdot 8\cdot 1)</math> <math>=-5+84+96-(105-8+48)</math> <math>=175-(142)=33.</math> ==== Determinant de matrius nxn ==== Per fer determinants de matrius de dimensió més grans que 3 l'objectiu és aconseguir una fila o columna on tots els termes siguin zero excepte un d'ells. Regles: :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) Les files poden sumar o restar a un altra tantes vegades com calgui. Idem columnes. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2+f_1}</math> <math>=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 1 & 5 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}=5-3=2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) Si un valor multiplica una fila, llavors es multiplica el determinant. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2\cdot 5}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 5\cdot 3 & 0\\ 0 & 5\cdot 2 & 0\\ 3 & 5\cdot 1 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 15 & 0\\ 0 & 10 & 0\\ 3 & 5 & 1\end{vmatrix}=10=2\cdot 5</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|3) Si intercanviem dues files, llavors el determinant canvia de signe. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2 \leftrightarrow f_3}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0\\ 3 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 0\end{vmatrix}=-2</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|4) Si una fila té tots els elements zeros, llavors el determinant és zero. Ídem columna. }} |- |Exemple: :<math>2=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 10^2\\ 0 & \pi & 3\\ 0 & -1 & 12\end{vmatrix}</math> <math>=0</math> |} :{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px" |colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|5) Si aconseguim una fila o columna de zeros excepte un d'ells, llavors la fila i columna corresponent a aquest valor es poden eliminar de la matriu, quedant una matriu (n-1)x(n-1), i aquest valor surt fora de la matriu multiplicat pel signe corresponent a la seva posició segons la matriu: :::<math>\begin{pmatrix} + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + & - & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}</math> }} |- |Exemple: :::<math>\det(A)=\begin{vmatrix} 4 & -3 & 1 & 9\\ 0 & 5 & 6 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))\begin{vmatrix} 5 & 6 & 1\\ 2 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))(-(2))\begin{vmatrix} 6 & 1\\ 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=4\cdot(-2)(6\cdot 7-4\cdot 1)=-304.</math> |} ==== Propietats ==== 1) <math>\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)</math> 2) En general <math>\det(A+ B)\neq\det(A)+\det(B)</math> === Tipus de sistemes === Per tancar l'estudi de sistemes lineals només cal classificar els aquests sistemes donant una interpretació geomètrica per entendre el que es cuina al seu interior. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="400px" |colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Observació''' d'una equació lineal.}} |- | *Una equació lineal amb una incògnita pot determinar un únic punt sobre la recta real. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Una equació lineal amb dos incògnites pot determinar una única recta sobre el pla real. :[[File:RectaOrigen001.svg|300px]] *Una equació lineal amb tres incògnites pot determinar un pla sobre l'espai real. :[[File:Plano001.svg|300px]] Cada equació pot determinar elements amb una dimensió menys que l'espai on es troba. |} Buscar les solucions d'un sistema d'equacions lineals és buscar punts comuns que satisfan totes les equacions a la vegada, és a dir que busquem el lloc de trobada de tots els objectes de cada equació. :Direm que un sistema té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les equacions quedant només '''r''' equacions. :Direm que una matriu té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les files quedant només '''r''' files. :Direm que la matriu associada a un sistema lineal és '''ampliada''' si s'afegeix una '''nova columna''' corresponent als termes independents de les equacions, per parlar del rang d'una matriu ampliada escriurem que '''rang=r*'''. :::{|cellpadding="3" |- ||Sistema <math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu del sistema <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}\end{pmatrix}</math> |align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math> ||Matriu ampliada <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n} & b_1\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} & b_m \end{pmatrix}</math> |} '''Exemple''' :Donat el següent sistema, calculeu el seu rang: <math>\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+2u=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;2x-2y\;\;\;\;\;\;+2t+5u=7\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t\;\;+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-2\cdot eq_2\;\;}\begin{cases} \;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ -x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5+eq_1\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_4+eq_2\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5-3\cdot eq_4\;\;}\begin{cases} x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\ \;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\leftarrow</math> '''rang = 4'''. Classificació dels sistemes lineals amb '''n''' incògnites. {|style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" |- |<math>Sistema\;\;lineal=\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;SC\\r=r*\end{matrix}\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;Determinat\;\;SCD\\r=n\end{matrix} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;indeterminat\;\;SCI\\r<n\end{matrix} \end{cases} \\ \\ \begin{matrix}Sistema\;\;Incompatible\;\;SI\\r<r*\end{matrix}\end{cases}</math> |} :'''SCD:''' Una única solució, un punt. :'''SCI:''' Conjunt de solucions formant objectes de dimensió n-r. :'''SI:''' Sense solucions, segurament perquè alguns dels objectes és paral·lel a un altre o interseccions d'altres objectes. Ara sí podem estudiar les situacions que ens trobarem més sovint al batxillerat. ==== Sistemes lineals de dos incògnites ==== Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són rectes concurrents en un únic punt i es podran simplificar fins a restar-ne només dos equacions. :Una interpretació geomètrica seria imaginar tan rectes secants com rectes perpendiculars en un mateix punt que podem o no veure, d'això se'n diu feix de rectes: ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante001.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante002.svg|200px]] |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante003.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que totes les equacions són idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació. Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. :Una interpretació geomètrica seria imaginar rectes que no tenen punts en comú a totes les rectes a la vegada: o bé almenys un parell de rectes són paral·leles o bé en el punt on concorren les rectes manca almenys una recta. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaParalela001.svg|200px]] |} ==== Sistemes lineals de tres incògnites ==== Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són plans que passen per un sol punt i es podran simplificar fins a restar-ne només tres equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:TresPlanos001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que podria ser des de equacions idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació o també a més a més podria ser que tenim un feix de plans, es a dir que tots es tallen sobre una recta i per tant les seves equacions simplifiquen en només dues equacions. ::{|style="border: 1px solid #99f" |- |style="border: 1px solid #99f"|[[File:Diedro001.svg|200px]] |} Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles. === Regla de Cramer === Gabriel Cramer(1704-1752) va ser el primer en fer la resolució de sistemes lineals amb el que avui anomenem determinats, d'aquí el seu nom al mètode. Donat un sistema lineal '''nxn''': ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}</math> La solució general de <math>x_i</math> és la divisió de dos determinants, al denominador el determinant de la matriu associada i al numerador el determinant de la mateixa matriu però substituint la columna ('''i''') per la columna del terme independent i encara que no sigui molt rigorós indicat així: ::<math>x_i=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,i-1} & b_1 & a_{1\,i+1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,i-1} & b_n & a_{n\,i+1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & \cdots & a_{1\,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}</math> Clarament per estar ben definit necessitem que el determinant del denominador sigui diferent de zero i llavors el sistema és '''SCD'''. L'únic inconvenient és que mentre més gran el sistema, més determinats s'ha de fer i per tant és prohibitiu el seu ús en la computació ja que els càlculs creixen desorbitadament. De fet el sistema de triangulació és uns dels més eficients i la resta de mètodes són variants d'aquest. ==== Resolució de sistemes 2x2 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_{1} & a_{1\,2}\\ b_{2} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_{1}\\ a_{2\,1} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem solucions al sistema <math>\begin{matrix} x-y & =3\\ 2x+y & =6 \end{matrix}</math> :<math>\det(A)</math> <math>=\det\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=1\cdot 1-(2\cdot (-1))</math> <math>=3.</math> :<math>x</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 6 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{vmatrix}}.</math> :<math>x=\frac{9}{3}=3\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y=\frac{0}{3}=0</math> ==== Resolució de sistemes 3x3 ==== Donat el sistema: ::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}</math> Llavors: ::{| |- |<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1 & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ b_2 & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ b_3 & a_{3\,2} & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|, |<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_1 & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & b_2 & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & b_3 & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |align="center" width="50px"|i |<math>x_3=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & b_1\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & b_2\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & b_3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math> |} ===== Exemples ===== Busquem les solucions del sistema <math>\begin{cases}x+y=1\\ x+z=2\\ y+z=3\end{cases}</math> :<math>x=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{0}{-2}=0</math> :<math>y=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-2}{-2}=1</math> :<math>z=\frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-4}{-2}=2</math> === Inverses de matrius per Gauss-Jordan === Per aplicar mètode i fer la inversa de la matriu A, s'ha de fer la següent construcció: <math>(A\,|\, I)</math> <math>=\left(\begin{array}{cccc|cccc} a_{1\,1} & a_{1\,2} & \dots & a_{1\,n} & 1 & 0 & \dots & 0\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & \dots & a_{2\,n} & 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n\,1} & a_{n\,2} & \dots & a_{n\,n} & 0 & 0 & \dots & 1\end{array}\right)</math> <math>=\cdots</math> <math>=\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & \dots & 0 & b_{1\,1} & b_{1\,2} & \dots & b_{1\,n}\\ 0 & 1 & \dots & 0 & b_{2\,1} & b_{2\,2} & \dots & b_{2\,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & b_{n\,1} & b_{n\,2} & \dots & b_{n\,n}\end{array}\right)</math> <math>=(I\,|\, A^{-1})</math> Per fer aquesta conversió indicada amb punts suspensius aplicarem: 1) Es pot intercanviar files sense cap problema. 2) Es pot multiplicar les files per un nombre diferent de zero. 3) A tota fila es pot sumar una altra multiplicada per un nombre. Estratègia habitual: a) S'ha de fer zeros sota la diagonal. b) continuar fent zeros sobre la diagonal. c) intentem deixar uns a la diagonal. En cas de voler fer diversos canvis en un mateix pas, recordeu que les files que es modifiquen no poden intervenir novament en una nova modificació al mateix pas. Millor fer un pas per cada nou canvi. ==== Exemple ==== 1) Calcula la invers de <math>A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1\end{pmatrix}</math> Sigui: <math>\begin{pmatrix} 1&1&\vdots&1&0\\ 2&1&\vdots&0&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_2\rightarrow f_2-2\cdot f_1</math> <math>\begin{pmatrix} 1&1&\vdots&1&0\\ 0&-1&\vdots&-2&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_1\rightarrow f_1+f_2</math> <math>\begin{pmatrix} 1&0&\vdots&-1&1\\ 0&-1&\vdots&-2&1\end{pmatrix}</math> fem <math>f_1\rightarrow -1\cdot f_1</math> <math>\begin{pmatrix} 1&0&\vdots&-1&1\\ 0&1&\vdots&2&-1\end{pmatrix}</math> Solució <math>A^{-1}=\begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1\end{pmatrix}</math> ==== Exercicis ==== 1) Calculeu les inverses de les matrius donades: :a) <math>A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\ -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}</math> Tutorial alternatiu [https://www.youtube.com/watch?v=W214PLI0quQ aquí] :b) <math>B=\begin{pmatrix}1 & 5 & 4\\ -4 & 5 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}</math> Tutorial alternatiu [https://www.youtube.com/watch?v=MRWPhA5RQyA aquí] == Geometria == La geometria ha canviat molt des del temps d'Euclides(300 aC), en aquest curs només veurem el treball que es coneix amb el nom de "Espai vectorial euclidià" però sense entrar en els fonaments d'aquest espai particular. Donarem els elements necessaris per treballar detalladament amb diversos objectes. === Elements === ==== Els punts ==== Només cal saber que són els elements més simples a partir dels quals es poden fer tots els altres elements i que es consideren com la base d'altres conceptes. '''Exemples''' *Un punt sobre la recta real és un el element del conjunt <math>\mathbb{R}</math> i coincideix amb el concepte d'un nombre real: el 5, el -4, el 1000, etc. :{|cellspacing="0" cellpadding="0" |- ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]] ||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]] |} *Un punt sobre el pla real és un element del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> i la seva forma d'escriure és <math>(3,5)</math> on 3 és la coordenada horitzontal i 5 és la coordenada vertical d'aquest punt. [[File:Coordinate with Origin.svg|200px]] *Un punt sobre l'espai real és un elements del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math> i la seva forma d'escriure és <math>(1,-3,7)</math> on 1 és una coordenada horitzontal(com llargada), -3 és una segona coordenada horitzontal(com amplada) i 7 és la coordenada vertical(simplement s'estén verticalment sobre de les altres dues). [[File:3D coordinate system.svg|200px]] Es té constància que el primer en idear aquestes representacions va ser René Descartes(1596-1650) i és així quan es va iniciar la nova geometria analítica permetent les representacions gràfiques. ==== Els vectors ==== [[File:Vector AB from A to B.svg|right|300px]] El concepte de vector a la geometria<ref>Les primeres aplicacions no utilitzen punts perquè només volien saber el seu mòdul i la direcció, i res més, però posteriorment s'ha donat un suport teòric molt més acurat del concepte de vector que és el que s'utilitza actualment a la geometria analítica</ref> està lligat a dos punts, per simplificar, al batxillerat pensarem que és un segment, és a dir, que geomètricament és físicament una línia recta o un camí entre dos punts dins una línia recta així podrem allargar-la(o equivalentment multiplicar-la per nombres enters) o escurçar-la( o equivalentment dividir-la) simplement multiplicant-la amb nombres més grans que 1 o nombres més petits que 1 respectivament. '''Definició i notació:''' Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^2</math><ref name="a"><math>\mathbb{R}^2</math> resumidament vol dir que tenen dos coordenades, <math>\mathbb{R}^3</math> vol dir que tenen tres coordenades i així <math>\mathbb{R}^n</math> vol dir que té '''n''' coordenades.</ref>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2)</math> és i està format com segueix: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2)</math> Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^3</math><ref name="a"/>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2,\;a_3)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2,\;b_3)</math> és i està format com segueix: :<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2,\;b_3-a_3)</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:550px;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Observació''' |- |Amb la mateixa operació de resta de matrius files s'obté una matriu fila que serà un vector. Llavors es generen les excepcions conceptuals següents:<ref>És excepció conceptual perquè intuïtivament de les operacions de dos elements del mateix tipus resulten un altre del mateix tipus i en canvi aparentment no passa; la raó és que això es pot fer si està escudat teòricament.</ref> *Si tenim un origen i un vector llavors tenim el destí. *Si tenim un origen i un destí llavors tenim el vector. *Si tenim un vector i un destí llavors tenim l'origen. S'interpreta algebraicament i respectivament com: :<math>B=\vec{v}+A</math> :<math>\vec{v}=B-A</math> :<math>A=B-\vec{v}</math> |} Per utilitzar vectors necessitem les principals operacions que definim tot seguit i fixeu-vos la semblança amb les operacions de matrius: ===== Suma de vectors ===== Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2).</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> la suma és: :<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).</math> ====== Propietats de la suma ====== 1) Propietat commutativa: <math>\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}</math> 2) Propietat associativa: <math>\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}</math> :'''Nota''': Com a conseqüència podem escriure simplement <math>\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.</math> 3) Existeix '''element neutre''' <math>\vec{0}</math> si sempre <math>\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}.</math> 4) Tot vector, <math>\vec{u},</math> té invers additiu, <math>-\vec{u},</math> si <math>\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{u}-\vec{u}=\vec{0}.</math> ===== Producte per escalar ===== Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2).</math> Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és: :<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2,\;\lambda\cdot u_3).</math> ====== Propietats del producte per escalar ====== 1) Propietat associativa: <math>\lambda\cdot(\beta\cdot\vec{u})=(\lambda\cdot\beta)\cdot\vec{u}.</math> :'''Nota''': Com a conseqüència podem escriure simplement <math>\lambda \beta \vec{u}.</math> 2) Existeix '''l'element neutre 1''' si sempre <math>1\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot 1=\vec{u}.</math> 3) Les propietats distributives: <math>(\lambda+\beta)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{u}</math> i <math>\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1) Estic en el punt <math>A=(5,\;5)</math> i casa meva està en el punt <math>B=(2,\;3).</math> Si camino en línia recta 5 vegades aquesta distància arribaria a la biblioteca. ¿En quin lloc està la biblioteca? ;Resolució: *El camí que va a casa meva ve determinat pel vector: ::<math>\vec{AB} =B-A=(2,\;3)-(5,\;5)=(-3,\;-2).</math> *Per tant si camino, des d'on estic i en línia recta, 5 vegades més, estic fent aquesta operació: ::<math>A+5\cdot\vec{AB}</math> <math>=(5,\;5)+5\cdot (-3,\;-2)</math> <math>=(5,\;5)+(5\cdot (-3),\;5\cdot (-2))</math> <math>=(5,\;5)+(-15,\;-10)</math> <math>=(-10,\;-5).</math> Solució: La biblioteca està al punt <math>C=(-10,\;-5).</math> 2) Dos arbres estan en els punts <math>A=(2,\;3)</math> i <math>B=(4,\;1),</math> però a mig camí d'un a l'altre hi ha un tresor. ¿On? ;Resolució: *El camí de A a B és: ::<math>\vec{AB}</math> <math>=B-A</math> <math>=(4,\;1)-(2,\;3)</math> <math>=(2,\;-2).</math> *Per trobar el punt mig del camí de A a B només cal fer la meitat del recorregut, és a dir: ::<math>\frac{\vec{AB}}{2}=\frac{(2,\;-2)}{2}</math> <math>=\tfrac{1}{2}(2,\;-2)</math> <math>=(\tfrac{1}{2}2,\;\tfrac{1}{2}(-2))</math> <math>=(1,\;-1).</math> Solució: el punt que busquem és <math>C</math> <math>=A+\frac{\vec{AB}}{2}</math> <math>=(2,\;3)+(1,\;-1)</math> <math>=(3,\;2).</math> |} ===== Producte a escalar ===== Sintèticament el producte a escalar és:<ref>El producte escalar té una part teòrica molt més profunda i molt condicionada, però pel curs de batxillerat es redueix simplement a un cas molt particular del producte de matrius.</ref> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2.</math> Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> el seu producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3.</math> ====== Propietats del producte a escalar ====== 1) <math>\vec{u}\cdot\vec{u}\geqslant 0</math> sempre. 2) <math>\vec{u}\cdot\vec{u}=0\Leftrightarrow\vec{u}=\vec{0}</math> 3) <math>\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1)Sigui <math>\vec{u}=(1,\;2)</math> i <math>\vec{v}=(3,\;4)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(1,\;2)\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}=1\cdot 3+2\cdot 4=11</math> <math>\Rightarrow k=11.</math> 2)Sigui <math>\vec{u}=(3,\;4,\;5)</math> i <math>\vec{v}=(1,\;0,\;2)</math> llavors el producte és: :<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(3,\;4,\;5)\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}=3\cdot 1+4\cdot 0+5\cdot 2=13.</math> <math>\Rightarrow k=13.</math> No es gaire difícil pensar en la mateixa operació per a vectors de 4 valors o més. |} ====== Longitud d'un vector ====== La longitud d'un vector més coneguda com '''mòdul''' d'un vector és el resultat de considerar el teorema de Pitàgores per trobar la hipotenuses segons el cas. Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.</math> Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3,</math> la seva longitud és: :<math>l_\vec{u}=|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2+u_3\cdot u_3}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |[[File:Vector(1,1).svg|150px|right]] 1) La longitud o mòdul del vector <math>\vec{u}=(1,\;1),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{u}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math> :Observem que la longitud del vector és la hipotenusa del triangle rectangle dibuixat, i per tant, és equivalent al teorema de Pitàgores. 2) La longitud de <math>\vec{u}=(3,0)</math> és <math>L_\vec{u}=\sqrt{3^2+0^2}=3,</math> és el cas intuïtiu en que no és hipotenusa. 3) Longitud del vector <math>\vec{w}=(1,\;-1,\;0),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2},</math> cas en que el vector a l'espai té un valor nul, llavors la longitud es la mateixa que un vector de dos valors. 4) Longitud del vector <math>\vec{w}=(3,\;4,\;12),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13,</math> |} ====== Vectors unitaris ====== Per obtenir un vectors unitaris o vectors de longitud 1 a partir d'un vector qualsevol no nul, simplement s'ha d'extreure la seva longitud dividint el vector per la seva longitud: :<math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}</math> Construït així, aquest vector <math>\hat{u}</math> té longitud 1.<ref>La raó és la semblança de triangles, donat el triangle rectangle 3u,4u,5u si es vol que la hipotenusa sigui de longitud 1, només cal dividir totes les mesures entre el valor de la hipotenusa actual que és 5, per tant el triangle queda com <math>\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5},\tfrac{5}{5},</math> és a dir <math>0'6u\,,\,0'8u\,,\,1u</math> que és un triangle que té hipotenusa 1 i té els mateixos angles, per tant, la mateixa forma. Parlant de vectors, tenen la mateixa direcció i són de longitud 1.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure" data-collapsetext="Ocultar" |'''Exemples:''' |- |1) Càlcul de vectors unitaris: <math>\vec{u}=(5,12)</math> i <math>\vec{v}=(1,1,1)</math> :a) <math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}=\frac{(2,12)}{\sqrt{5^2+12^2} }=\frac{(2,12)}{13}=(\tfrac{2}{13},\tfrac{12}{13}).</math> :b) <math>\hat{v}=\frac{\vec{u}}{l_u}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} }=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}).</math> Per comprovar això, calculant ara la seva longitud ha de donar 1. |} ====== Angle entre dos vectors ====== Per calcular l'angle entre dos vectors qualssevol <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> s'utilitza la fórmula:<ref>Per provar propietats de longitud i angulars entre vectors es fa amb expressions úniques sobre bases ortonormals que ve a continuació, però escapa a l'objectiu del curs, així s'ha considerat aquest ordre d'explicació com el més intuïtiu, agrupat i ordenat.</ref> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Observació" data-collapsetext="Ocultar" |<math>cos(\alpha)=\hat{v}\cdot\hat{u}=\frac{\vec{v}}{l_\vec{u}}\cdot\frac{\vec{u}}{l_\vec{v}}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{l_\vec{u}\cdot l_\vec{v}}</math> |- |Per calcular l'angle entre vectors fa falta convertir-los en unitaris <math>\hat{v}</math> i <math>\hat{u},</math> només cal aplicar la idea del producte i utilitzar la fórmula trigonomètrica del cosinus dins la circumferència unitat. A la imatge s'observa l'angle entre l'eix '''x''', <math>\hat{v},</math> i el vector taronja, <math>\hat{u},</math> on el cosinus és la longitud del vector vermell: [[File:Trigo.gif|400px]] |} ====== Vectors ortogonals ====== Dos vectors <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> són perpendiculars, formen un angle recte o són '''ortogonals''' si: :<math>\vec{u}\cdot\vec{v}=0</math> Exemple: Els vectors (1,0,0), (0,1,0) i (0,0,1) són ortogonals. '''Exercici''': 1) Quins dels vectors següents són perpendiculars? '''notació''' es fa <math>\vec{a}\bot\vec{b}</math> per indicar perpendicularitat entre dos vectors. <math>\vec{u_1}=(1,0,0),\;\vec{u_2}=(0,1,0),\;\vec{u_3}=(0,1,1),\vec{u_4}=(0,1,-1)</math> ====== Projecció d'un vector ====== Per projectar un vector <math>\vec{v}</math> en la direcció <math>\vec{u},</math> es pren el vector unitari <math>\hat{u}</math> que ens indica purament la direcció de projecció, així: *Longitud del vector projectat és: <math>l_\vec{p}=\vec{v}\cdot\hat{u}.</math> *Vector projectat és: <math>\vec{p}=l_\vec{p}\cdot\hat{u}.</math> ===== Base ===== Les bases són conjunts reduïts de vectors que s'utilitzen per construir qualsevol possibles vectors d'un espai de treball de manera única. Com podem definir una base amb més detall? necessitem les següents eines. Conjunts de vectors anomenats base canònica: :Base canònica a <math>\mathbb{R}^2</math> és: <math>\hat{i}=(1,\;0)\;\;i\;\;\hat{j}=(0,\;1)</math> :Base canònica a <math>\mathbb{R}^3</math> és: <math>\hat{i}=(1,\;0,\;0)\;,\;\;\hat{j}=(0,\;1,\;0)\;\;i\;\;\hat{k}=(0,\;0,\;1)</math> Base qualsevol <math>\vec{u}=(1,\;2,\;3)\;,\;\;\vec{v}=(2,\;0,\;-1)\;\;i\;\;\vec{s}=(1,\;0,\;1)</math> A partir de qualsevol base si volem construir altres vectors es necessita entendre el següent concepte de combinació lineal. ====== Combinació lineal de vectors ====== Combinació lineal és fer sumes i restes de vectors amb productes per escalar. :<math>a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> '''Exemple''': Donats els vectors <math>\vec{u}=(1,\;-2,\;0)</math>, <math>\vec{v}=(0,\;5,\;-1)</math> i <math>\vec{s}=(-3,\;1,\;4)</math> calculeu <math>\vec{w}:</math> 1) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}+3\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=(1,\;-2,\;0)+(-1)\cdot (0,\;5,\;-1)+3\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(1,\;-2,\;0)+(0,\;-5,\;1)+(-9,\;3,\;12)</math> <math>=(-8,\;-4,\;13)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(-8,\;-4,\;13)</math> 2) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=5\cdot\vec{u}+2\cdot\vec{v}-4\cdot \vec{s}</math> llavors: :<math>\vec{w}=5\cdot (1,\;-2,\;0)+2\cdot (0,\;5,\;-1)+(-4)\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(5,\;-10,\;0)+(0,\;10,\;-2)+(12,\;-4,\;-16)</math> <math>=(17,\;-4,\;-18)</math> Tenim que <math>\vec{w}=(17,\;-4,\;-18)</math> ====== Coordenades ====== Donada una base <math>\vec{u}\;,\;\;\vec{v}\;\;i\;\;\vec{s}</math> inventada, llavors: Si <math>\vec{w}=3\cdot\vec{u}-5\cdot\vec{v}+7\cdot\vec{s}</math> direm que 3,-5 i 7 són les coordenades de <math>\vec{w}</math> en aquesta base i per tant <math>\vec{w}=(3,-5,7)</math> en aquesta base. ====== Dependència i independència lineal ====== Donats els vectors <math>\vec{u}\;,\;\;\vec{v}\;\;i\;\;\vec{s};</math> Direm que són linealment dependents si hi ha a,b i c '''no tots nuls''' tals que <math>\vec{0}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> Direm que són linealment independent si no hi ha a,b i c '''no tots nuls''' tals que <math>\vec{0}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}+c\cdot\vec{s}</math> '''Definició''': Direm una base és un conjunt de vectors linealment independents i que generen, fent combinacions lineals de forma única, tot altre vector de l'espai del qual són base. ===== Producte vectorial ===== El producte vectorial de dos vectors <math>\vec{u}=(a_1,a_2,a_3)\;\;i \;\;\vec{v}=(b_1,b_2,b_3)</math> és: :<math>\vec{u}\land\vec{v}=\bigg(\;\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}\;,\;-\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix}\;,\;\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix}\;\bigg)</math> El producte vectorial genera un vector perpendicular als dos inicials, ideal per fer mesures entre elements geomètrics. ;Propietats: a) <math>\vec{u}\land\vec{v}=-\vec{v}\land\vec{u}</math> b) Si el moviment de <math>\vec{u}</math> a <math>\vec{v}</math> és horari el vector perpendicular surt darrera del seu pla, respecte l'observador. c) Si el moviment de <math>\vec{u}</math> a <math>\vec{v}</math> és antihorari el vector perpendicular surt endavant del seu pla, respecte l'observador. d) <math>a(\vec{u}\land\vec{v})=(a\vec{u})\land\vec{v}=\vec{u}\land(a\vec{v}).</math> ====== Distància entre elements ====== Principals elements a geometria des de el punt de vista dels punts i vectors: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Ocultar" | *'''Els punts''' només són un lloc a l'espai en el que viuen. |- |style="background:#fff;"| - Al pla, de dos dimensions, <math>\mathbb{R}^2</math> és de la forma: <math>A=(a_1,a_2)</math> - A l'espai, de tres dimensions, <math>\mathbb{R}^3</math> és de la forma: <math>A=(a_1,a_2,a_3)</math> Hi ha punts de més dimensions però no entren a batxillerat. |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Ocultar" | *Per generar '''una recta''' necessitem o bé dos punts o bé un punt i un vector,i que tenen expressions implícites també. |- |style="background:#fff;"| - A <math>\mathbb{R}^2</math> amb <math>A=(a_1,a_2)</math> i <math>B=(b_1,b_2)</math> dos punts de la recta o <math>\vec{u}=\overrightarrow{(u_1,u_2)}</math> un vector de dins de la recta(vector director), tenim les següents expressions: :<math>r: (x,y)=A+\lambda\overrightarrow{AB}</math> ::<math>r: \frac{x-a_1}{b_1-a_1}=\frac{y-a_2}{b_2-a_2}</math> [[File:Achtung.png|25px]] Si apareix un zero al denominador es fa servir l'expressió, d'on surt l'equació de la recta vertical o horitzontal. :<math>r: (x,y)=A+\lambda\vec{u}</math> ::<math>r: \frac{x-a_1}{u_1}=\frac{y-a_2}{u_2}</math> [[File:Achtung.png|25px]] ídem. - A <math>\mathbb{R}^3</math> amb <math>A=(a_1,a_2,a_3)</math> i <math>B=(b_1,b_2,b_3)</math> dos punts de la recta o <math>\vec{u}=\overrightarrow{(u_1,u_2,u_3)}</math> un vector de dins de la recta(vector director), tenim les següents expressions: :<math>r: (x,y,z)=A+\lambda\overrightarrow{AB}</math> ::<math>r: \frac{x-a_1}{b_1-a_1}=\frac{y-a_2}{b_2-a_2}=\frac{z-a_3}{b_3-a_3}</math> [[File:Achtung.png|25px]] ídem. :<math>r: (x,y)=A+\lambda\vec{u}</math> ::<math>r: \frac{x-a_1}{u_1}=\frac{y-a_2}{u_2}=\frac{z-a_3}{u_3}</math> [[File:Achtung.png|30px]] ídem. |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Ocultar" | *Per generar '''un pla''' necessitem o bé tres punts no alineats, o bé un punt i dos vectors lineament independents, que seran la '''base''' del pla. |- |style="background:#fff;"| :<math>\pi: (x,y,z)=A+\lambda\vec{u}+\gamma\vec{v}</math> {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#fff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Ocultar" |L'equació general d'un pla és: <math>Ax+By+Cz=D</math> |- |Primer es comprova que el vector <math>\overrightarrow{(A,B,C)}</math> és perpendicular als vectors de dins del pla <math>Ax+By+Cz=0</math> :Si es reescriu l'equació del pla com a producte a escalar queda evident: <math>{\overrightarrow{(A,B,C)} }\cdot \begin{pmatrix}x\\ y \\ z \end{pmatrix}=0</math> Ara s'ha de comprovar que els plans <math>Ax+By+Cz=D</math> i <math>Ax+By+Cz=0</math> són paral·lels si <math>D\neq 0,</math> és a dir, comprovem si tenen la mateixa perpendicular. :Si es fa un sistema amb els dos plans, si són paral·lels, el sistema no té solució. Només s'ha d'aplicar reducció: ::<math>\begin{cases} Ax+By+Cz=0 \\ Ax+By+Cz=D \end{cases}</math> <math>\xrightarrow[e_2-e_1]{}\begin{cases} Ax+By+Cz=0 \\ 0=D \end{cases}</math> per tant contradicció, Sistema incompatible, són plans paral·lels. |} |} *Per generar tot <math>\mathbb{R}^3</math> necessitem o bé 4 punts no coplanaris<ref>'''Coplanaris''' aquí vol dir que necessàriament almenys un punt no està dins del mateix pla que determinen els altres tres punts.</ref>, o bé un punt i tres vectors lineament independents anomenats '''base'''. Anomenem distància entre dos elements a la mínima distància entre ells, és a dir, la longitud del camí més curt que hi ha entre aquests elements. Per simplicitat serà la norma del vector més petit que uneix un punt del primer element i un altre punt del segon element, sempre podem trobar aquests vectors amb alguna perpendicularitat. Notarem com a distància entre dos elements com: <math>d(Element \;1, Element\; 2)\in\mathbb{R}</math> ;Distància punt pla. {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Ocultar" |La distància d'un pla, <math>\pi: Ax+By+Cz=D,</math> al punt <math>(0,0,0)</math> és :<math>d(\pi,0)=\frac{D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} }</math> |- |style="background:#fff;"|'''Cas <math>D=0</math>''': Donat un pla <math>Ax+By+Cz=0</math> el vector <math>\overrightarrow{(A,B,C)}</math> és perpendicular a tots els vectors <math>\overrightarrow{0P}=\overrightarrow{(x,y,z)},</math> on <math>P=(x,y,z)</math> i <math>0=(0,0,0)</math> són punts del pla. La seva equació és, en realitat, un '''producte a escalar''' com: :<math>{\overrightarrow{(A,B,C)} }\cdot \begin{pmatrix}x\\ y \\ z \end{pmatrix}=0</math> <math>\Leftrightarrow Ax+By+Cz=0</math> i com que dona zero vol dir que tots els vectors <math>\overrightarrow{0P}</math> de dins del pla són perpendiculars al vector <math>\overrightarrow{(A,B,C)}.</math> ---- '''Cas <math>D\neq0</math>''': Donat un pla de <math>\mathbb{R}^3</math> de la forma <math>Ax+By+Cz=D</math> se sap dos coses: primer que és paral·lel al pla <math>Ax+By+Cz=0</math> perquè no tenen punts en comú i que, per tant, el vector <math>\vec{n}=\overrightarrow{(A,B,C)}</math> és perpendicular al pla. És el mateix que escriure: :<math>{\overrightarrow{(A,B,C)} }\cdot \begin{pmatrix}x\\ y \\ z \end{pmatrix}=D</math> '''Observació''': Si es divideix el vector per la seva norma s'obté un vector unitari: <math>\hat{n}=\frac{ \overrightarrow{(A,B,C)} }{\sqrt{A^2+B^2+C^2} }</math> Però si es divideix la seva equació per la norma llavors queda com: <math>\frac{Ax+By+Cz}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} }=\frac{D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} },</math> llavors, l'expressió del pla queda com: :<math>\hat{n}\cdot (x,y,z)=\frac{D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} }</math> :El '''producte a escalar''' <math>\hat{n}\cdot (x,y,z)</math> és mesurar la projecció del vector <math>\overrightarrow{0P}</math> en la direcció de <math>\hat{n}</math> que és la direcció del camí més curt entre el punt <math>0=(0,0,0)</math> i el pla <math>\pi.</math> En resum: <math>\hat{n}\cdot (x,y,z)=\frac{D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math> parla de quina és la longitud de tots els vectors <math>\overrightarrow{0P}</math> en la direcció <math>\hat{n},</math> on <math>P</math> són punts del pla. |} {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border:1px solid #77d;background:#f3f7ff;width:100%;" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Ocultar" |La distància entre dos plans paral·lels, si <math>\pi: Ax+By+Cz=D,</math> i <math>\beta: Ex+Fy+Gz=H,</math> és: :<math>d(\pi,\beta)=\left|\frac{D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} }-\frac{H}{\sqrt{E^2+F^2+G^2} }\right|</math> |- |style="background:#fff;"|Trivial després de la proposició anterior, es dibuixen tots els casos i clarament cada projecció en direcció la perpendicular dels plan els distingeix de forma unívoca. |} ;Distància recta pla. ;Distància recta recta. ;Distància recta punt. Exercicis: 1) Donat un parell de vectors, <math>\vec{u}=\overrightarrow{(1,2,3)}</math> i <math>\vec{v}=\overrightarrow{(-1,3,-1)},</math> calcula: :a) Un vector <math>\vec{w}</math> perpendicular a ambdós. :b) Normalitza el vector perquè sigui unitari, és a dir, de longitud 1. :c) Multiplica <math>\hat{w}</math> per <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v},</math> què s'observa? 2) Tenim un pla generat paramètricament <math>(1,1,1)+\lambda\overrightarrow{(1,1,0)}+\gamma\overrightarrow{(0,-1,1)},</math> calcula: :a) El vector perpendicular a ambdós vectors de la fórmula paramètrica. :b) Normalitza el vector. :c) Multiplica els vectors que hi ha a la fórmula paramètrica pel vector normal i digues què s'observa? :d) podem trobar la equació del pla de la forma <math>Ax+By+Cz=D?</math> == Notes i referències == {{Reflist}} [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] drtylbe6r41a5ihe1clb1eihbc7075o 0 49596 383898 383889 2026-04-21T19:11:51Z Dušan Kreheľ 45022 + obsah; fix 383898 wikitext text/x-wiki == Varianty názvu obce == Keďže prvá písomná zmienka obce Fintice (Slovensko) je z roku 1272,<ref>{{cite journal | last1 = Boleš | first1 = Konštantín Daniel | date = 2016 | title = DAROVACIA LISTINA KRÁĽA ŠTEFANA V. NA MAJETOK FYNTHA | url = http://nhe.ktfke.sk/data/uploads/archiv/notitiae-1_2016.pdf | journal = NOTITIÆ HISTORIÆ ECCLESIASTICÆ | volume = 5 | issue = 1 | pages = 115 | issn = 1338-9572 | access-date = }}</ref> čo je väčší časový odstup voči súčastnosti, tak sa skúmajú nasledujúce tvary obce Fintice: * Fyntha, * Finta, * Fincice,<ref>{{cite journal | author = Michal Lacko, S.J. | title = Miestopis Slovenska za posledných sto roko | journal = Most | url = https://archive.org/details/most.1964.v11n03-04/page/174/mode/2up?q=fintice | issn = | publisher = Slovenský ústav | place = Cleveland, Ohio, U.S.A. | volume = 11 | issue = 3-4 | date = 1964 }}</ref> * [<span style="font-family:monospace;font-size:0.95em">Finťice</span>], * [<span style="font-family:monospace;font-size:0.95em">Finčiče</span>], * Suncia,<ref name="dmi"/> * Fruncta,<ref name="dmi"/> * Finzi (nemecká výslovnosť [Finci]), * Fincice, tak aj slovo: * [<span style="font-family:monospace;font-size:0.95em">fin</span>]. == Etymológia == Názov obce je najskôr odvodené od vlastného podstatného mena Finta. V stredovekej latinčine, odkiaľ pochádza najstaršia písomná zmienka obce, sa pri pomenovaní obce podľa osoby zapísoval<ref>[[:w:sk:Medieval Latin|Medieval Latin]]</ref> jej názov v neohýbanom tvare. Teda slovo Fintice je zložené z dvoch časti <i>Finti</i> + <i>-ce</i>: * <i>Fint</i>: ** tvary: *** slovanizovaný: [Finťi], *** neslovanizovaný: [Finti], * <i>-ice</i>: ** spodstatnené prídavné meno obsahujúce suffix stredovekej písanej latinčiny <i>-icē</i> (na základe analýzy slov ''finticē'' a ''becē'' jedného dokumentu<ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/ita-bnc-in2-00001627-001/page/n51/mode/2up?q=sintice | title = Legenda aurea sanctorum, sive Lombardica historia | last = Jacobus | first = de Voragine | date = 1497 }}</ref>), čo je skrátené pre <i>-icae</i> (možný súvis alebo odvedenie od ''-itiae'')<ref>[[:wiktionary:en:-itiae#Latin|-itiae]] (po anglicky)</ref> a označuje genitív jednotného čísla alebo nominatív plurálu:<ref>[[:wiktionary:en:-icus#Latin|-icus]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:-icae#Latin|-icia]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:belong|belong]] (po anglicky)</ref> *** Asociácia prípadne k čomu: <table class="wikitable" style="text-align:center"><tr><th></th><th>Latinčina</th><th>Slovenčina</th></tr><tr style="background:#FFFFAC"><td>''rieka'' (slovenčina)</td><td>m<ref>[[:wiktionary:en:rivus#Latin|villa]] (po anglicky)</ref></td><td>f</td></tr><tr><td>''villa'' (latinčina)</td><td>f<ref>[[:wiktionary:en:villa#Latin|rivus]] (po anglicky)</ref></td><td>f</td></tr><tr><td>''dedina'' (slovenčina)</td><td>m / n / m<ref>[[:wiktionary:en:village#English|village]] (po anglicky)</ref></td><td>f</td></tr><tr style="background:#FFFFAC"><td>''terra'' (latinčina),<br> ''zem'' (slovenčina)</td><td>f<ref>[[:wiktionary:en:terra#Latin|terra]] (po anglicky)</ref></td><td>f</td></tr><tr><td>''mesto'' (slovenčina)</td><td>n<ref>[[:wiktionary:en:oppidum#Latin|oppidum]] (po anglicky)</ref></td><td>n</td></tr></table> ** praktický medzinárodný zápis (a zároveň neutrálny pre domácich a cudzincov<ref>{{cite journal | last1 = Boleš | first1 = Konštantín Daniel | date = 2019 | title = POČIATKY A VÝVOJ HRADNÉHO PANSTVA ŠEBEŠ | url = http://nhe.ktfke.sk/data/uploads/archiv/notitiae-2_2019.pdf | journal = NOTITIÆ HISTORIÆ ECCLESIASTICÆ | volume = 8 | issue = 2 | pages = 118 | issn = 1338-9572 }}</ref>), a ktorý je podobný/ekvivalentný v slovenčine <i>-icke</i> (napr. fintické zvony). ** niekto odvádza že od potoka. Pôvodný všeobecnejší význam [[:wiktionary:Reconstruction:Proto-Indo-European/kʷey-|*kʷey-]] sa asi neskôr špecifikoval a od neho sa „oddelil“ [[:wiktionary:Reconstruction:Proto-Indo-European/pent-|*pent-]]. Toto rozdelenie je zrejme v slovenčine, kde máme pre ''*pent-'' slová ako ''tiecť'', ''vytekať'', ''funí'', a pre ''*kʷey-'' slová čin(iť), činka. U predkov slova ''<b style="color:brown">f</b>in<b style="color:brown">t</b>a'' mohlo dosť k nasledujúcim zmenám: * <b style="color:brown">f</b> zmenené na: ** na [''v''] (napr. '''v'''ynúť, '''v'''ynájsť), ** na [''č''] (napr. rumunské '''''c'''inta'' &#91;''činta''&#93;), ** na [''c''] (napr. '''c'''icať), ** na [''p'']: *** chorvátske '''p'''ičiti (slovensky ''piť''), *** latinského ''fingo''<ref>[[:wiktionary:en:fingo|fingo]] (po anglicky)</ref> a ''pingo'',<ref>[[:wiktionary:en:pingo|pingo]] (po anglicky)</ref> ** na [''r''] (napr. rinčať), ** na [''k'']: *** anglické '''''k'''ind'' – ''dieťa'' (možno súvisí s „dieťa piští/pišči, kričí“). *** slovenské kýchať, * <b style="color:brown">t</b> zmenené: ** na [č/ć] – napr. slová ''či(či)'''č'''kať'', ''čačkať'', ** na [t/ť] – napr. slovo ''fin'''t'''a'', ''fin'''t'''iť'' [''fin'''ť'''iť''], ** na [d] – napr. nemecké slovo ''fin'''d'''en'', ** na [g]: ***gronský ''pin'''g'''u'' (slovensky ''kopec''), ***inuktitutský ''pin'''g'''u'' (slovensky ''malý kopček''),<ref>[[:wiktionary:en:pingo|pingo]] (po anglicky)</ref> ***anglický ''pen'''g'''uin'' (slovensky tučniak),<ref>[[:wiktionary:en:penguin|penguin]] (po anglicky)</ref> ** na [dž] – nárečovo slovensky a potom ukrajinsky, južnoslovansky ''findža'' a podobné perzsky, ** na [z] – sardinsky ''finza''. Pôvodný význam ''*kʷey-'' možno vznikol z vody alebo dymu alebo bol nimi ovplyvnený.<br>Voda: *pramení, *tečie, **zvíja sa (t. j. [[:w:sk:Meander (riečny)|meandruje]]), *pení sa, * zaplavuje (t. j. aj „kreslí“, keď klesá hladina vody), * rozdeľuje, * a „dáva život“ (dáva pitie, organizmy, materiál na tehly, …). == Ako vlastné podstatné meno == * 9. stor. pred Kr., <span style="color:brown">Fintas</span>, Grecko,<ref>[[:w:sk:Fintas|Fintas]]</ref><ref>[[:w:de:Phintas|Phintas]] (po nemecky)</ref><ref>[[:w:de:Phintas|Phintas]] (po nemecky)</ref> * 7. stor. pred Kr., <span style="color:brown">Phintas</span> (podľa Androkleide),<ref>[[:w:de:Phintas_(Androkleide)|Phintas (Androkleide)]] (po nemecky)</ref> * 6. stor. pred Kr., <span style="color:brown">Fintias</span>, grécky maliar,<ref>[[:w:sk:Fintias (maliar)|Phintas (Androkleide)]]</ref> * ? – 279 pred Kr., Phidias z Agrigenta, založil mesto Φιντίας (Fintias, dnešná [[:w:en:Licata|Licata]], Sicília, Taliansko),<ref name="Φιντίας">[[:w:el:Φιντίας_του_Αγκριτζέντο|Φιντίας_του_Αγκριτζέντο]] (po grécky)</ref> * 3. storočie, Finn McColl, Írsko,<ref>[https://thewildgeese.irish/profiles/blogs/the-legend-fionn-mac-cunhaill The Heroic Legend of Fionn mac Cumhaill]</ref> * 526 – 603, <span style="color:brown">Fintan z Clonenagh</span>, Írsko,<ref>[[:w:Fintan_of_Clonenagh|Fintan of Clonenagh]] (po anglicky)</ref> * ? – 635, <span style="color:brown">Fintán z Taghmon</span>, Severné Írsko<ref>[[:w:Fintan_of_Clonenagh|Fintan of Clonenagh]] (po anglicky)</ref><ref>[[:w:Fintán of Taghmon|Fintán of Taghmon]] (po anglicky)</ref> * 803/804 – 878, <span style="color:brown">Fintan z Rheinau</span>, Írsko/Švajčiarsko,<ref>[[:w:Fintan_of_Rheinau|Fintan of Rheinau]] (po anglicky)</ref> * 1332, <span style="color:brown">Phinta, kňaz svätej Anny</span>, Comuna Sântana de Mureș, Mureș (Rumunsko), * 1332, <span style="color:brown">Monch et Fyntha</span>, Črnomir, Chorvátsko,<ref name="C1908">{{cite web |url=https://archive.org/details/codex-diplomaticus-vi-1908./Codex%20diplomaticus%20X%201912 |title=Diplomatički zbornik Kraljevine Hrvatske, Dalmacije i Slavonije Codex Diplomaticus I- XVIII Latin, Croatian |access-date = 2026-04-17 }}</ref> * 1341, Fyntha et Nicolaus,<ref name="C1908"/> * 1367, Finčevec, Chorvátsko, ''Paulus filius Fynech'',<ref>{{cite web |url=https://hrcak.srce.hr/file/33305 |title=GRAĐA ZA TOPONOMASTIKU I HAGIOGRAFIJU KALNIČKOG KRAJA |last=Balog |first=Zdenko |access-date = 2023-12-08 }}</ref> * 1367, <span style="color:brown">Paulus filius Finech</span>; súvis so Finčevec, Chorvátsko.<ref name="Finech">ZDENKO BALOG: GRAĐA ZA TOPONOMASTIKU I HAGIOGRAFIJU KALNIČKOG KRAJAč; Cris, god. VI., br. 1/2004., str. 59-72</ref><ref>[[:w:en:Finčevec|Finčevec]] (po anglicky)</ref> Rod (zrejme):<ref>{{cite web |url=https://mi.abtk.hu/images/gyujtemenyek/regeszta-mutatok/masodik-sorozat/fiok_144._a-i-10._szemely_erzsebet_-_f.pdf |title=fiok 144. a-i-10 F |last=Székely |first=Erzsébet }}</ref> * <b style="color:#592A59">Fynta, Dávid syn, Scelench castrum, 1282-10-08</b> – Zeleneč, okres Trnava, Slovensko;<ref>{{cite web | url = https://blog.sme.sk/dzurjanin/cestovanie/miesto-stareho-novy-ale-socialisticky-31-januar-2009 | title = Miesto starého nový, ale socialistický (31. január 2009 | last = Dzurjanin | first = Zdenko | date = 2009-02-05 | website = sme.sk | publisher = Petit Press, a.s. }}</ref><ref>[[:w:sk:Zeleneč|Zeleneč]]</ref> * <b style="color:#592A59">Finta, Alber, 1328</b> – dnes Albeř, Čechy (žeby?); *<b style="color:#592A59">Finta; Finta fia, Sarfeu (Vas m), cca 382-06-06</b> – dnes Blatné, Senec, Slovensko;<ref>{{cite web | url = https://pdfweb.truni.sk/download?monografie/belakova-hydronymia-2014.pdf | title = HYDRONYMIA SEVERNEJ ČASTI POVODIA MALÉHO DUNAJA | last = Beláková | first = Mária | date = 2014 | place = Trnava }}</ref><ref>[[:w:sk:Blatné|Blatné]]</ref> *<b style="color:#592A59">Finta Diozisius, Szentmiklós vára, 1276</b> – Mikleuš, Chorvátsko;<ref>[[:w:hu:Szentmiklós (Horvátország)|Szentmiklós (Horvátország)]] (po maďarsky)</ref> *<b style="color:#592A59">Finta Peter, comes, Mosolány, 1330-04-29</b> – Mocsolya, Rumunsko,<ref>{{cite web | url = https://www.arcanum.com/en/online-kiadvanyok/Tunderkert-tunderkert-1/szilagy-varmegye-monographiaja-5E50/iv-kotet-89C9/mocsolya-8B6C/ | title = Mocsolya. | website = arcanum.com }}</ref><ref>[[:w:hu:Mocsolya|Mocsolya]] (po maďarsky)</ref> *<b style="color:#592A59">Fintai Ilona,Finta leánya; Sarfeu (Vas m); 1382-06-06</b>, *<b style="color:#592A59">Fyntha-i Miklós; Feketehygh vára, Fyntha birtok, Sáros megye; 1272-11-16</b><ref group="Pozn.">Maď. „''Feketehygh''“ = slov. „''Čierný les''“ ([https://mdh.unideb.hu/korai_telepules.php?adatlap=01-27-5&km=Aba%C3%BAj Zdroj informácie])</ref><ref group="Pozn.">Možno je zdroj [https://archives.hungaricana.hu/en/charters/26670/ DIPLOMATIKAI LEVÉLTÁR (Q szekció) • Családi levéltárak (P szekcióból) • Dessewffy család, grófi (Q 62) • 74669 ]</ref>. === Pra-meno *Finta === Je románskeho pôvodu vyskytujúce sa vo tvaroch (na základe analýzy z 13. a 14. storočia): *Fyn, *Fynta/Phynta/Phinta.<ref name="prafinta">{{cite web | url = https://www.researchgate.net/profile/Maria-Novakova-6/publication/302928937_The_personal_names_in_Slovakia_in_the_13th_century/links/573376c508ae9f741b261454/The-personal-names-in-Slovakia-in-the-13th-century.pdf | title = Najstaršie uhorské osobné mená a pomenovacia prax na Slovensku v 13.-14. storočí. | last = Nováková | first = Mária | date = 2010-06-30 | publisher = Filozofická fakulta Trnavskej univerzity v Trnave, Katedra histórie | access-date = 2023-12-08 | quote = }}</ref> Tiež: * Finzi (zrejme rod).<ref name="finzi"/> Ak význam Fintha má pôvod v románskych jazykov, potom ho môžeme významovo (podľa 13./14. storočia storočia) vysvetliť ako ''šikovný'' / ''zručný''. Románsky pôvod môže súvisieť s románskym obyvateľsvom vo vtedajšom Uhorsku, ktorý bol oplyvnený križiackými výpravami a rádmi templárov a johanitov. Rád johanitov dostal v listine z r. 1247 poverenie<ref>{{cite web | url = https://www.academia.edu/6430925/Rom%C3%A1nske_obyvate%C4%BEstvo_v_%C5%A1trukt%C3%BArach_Uhorsk%C3%A9ho_kr%C3%A1%C4%BEovstva_slovak_ | title = Románske obyvateľstvo v štruktúrach Uhorského kráľovstva | last = Bučko | first = Peter }}</ref> stražiť 5 uhorských hradov a ktorý pôsobili aj v blízkosti Fintíc (Medzany,<ref>{{cite web | url = https://myslovakia.sk/sk/medziansky-hradok | title = Medziansky hrádok }}</ref> Hanušovciach nad Topľou a Medzianky<ref>{{cite web | url = https://www.legendarium.info/vylet/hrad-medzianky | title = Hrad Medzianky }}</ref>). == Miesta == * Fintice, okres Prešov, Slovensko, * Fincovce – dnes Pavlovce, Slovensko,<ref name="Vynohradiv">CHYTIL, Alois. Chytilův místopis Československé republiky. V Praze: Alois Chytil, 1930. Dostupné tiež z: https://dikda.snk.sk/uuid/uuid:1127bbd3-869e-4169-b1ae-92a45b00ba92</ref> * Finthen – dedina, od r. 1969 sučasť Mainz, Nemecko,<ref>{{cite web | url = https://www.mainz.de/leben-und-arbeit/stadtteile/finthen/finthen.php | title = Willkommen im Stadtteil Finthen | publisher = Landeshauptstadt Mainz | access-date = 2025-01-19 }}</ref> * Φιντίας / Fintias, dnešná [[:w:en:Licata|Licata]], Sicília, Taliansko,<ref name="Φιντίας"/> * Fintorica, miesto, Šišov, Slovensko * Finta, dvor, Vynohradiv, Ukrajina,<ref name="Vynohradiv"/> * Finta, chotár, Neverice, Slovensko,<ref name="Vynohradiv"/> * Fîntînița, Moldavsko, * …, * zoznamy: ** [[:w:pl:Fântânele|Fântânele]] (plwiki) == Možné významy == * súvisiace s '''vtákmi''': ** '''''vrabec''''': *** z praindoeuropančiny ''*(s)ping-'' (''malý vták, vrabec''),<ref>[[:wiktionary:en:Reconstruction:Proto-Germanic/finkô|Reconstruction:Proto-Germanic/finkô]] (po anglicky)</ref> ** '''''pinka''''': *** z praindoeuropančiny ''*(s)pingos'' (''pinka''),<ref>[[:wiktionary:en:finch#English|finch#English]] (po anglicky)</ref> ** '''''ďateľ''''': *** zo starej angličtiny ''fina'' (''ďateľ'') + suffix -ta,<ref>[[:wiktionary:en:fina#Old_English|fina]]</ref><ref>[[:wiktionary:en:woodpecker#English|woodpecker]]</ref> * súvisiace s '''vodou''': ** '''ryba''': *** Alóza finta (Alosa fallax) – lebo je ''Finta'' (maďarsky, ukrajinský a ruský) a ''Finte'' (nemecký),<ref>{{cite web | url = https://www.mpsr.sk/resources/documents/2028.xlsx | title = 2028.xlsx }}</ref> *** U nás by alóza finta nemala žiť,<ref>{{cite web | url = https://www.srz-ds.sk/atlas-ryb | title = Atlas rýb | website = www.srz-ds.sk }}</ref><ref>{{cite web | url = https://fishbase.mnhn.fr/summary/SpeciesSummary.php?id=5355&lang=english | title = Alosa fallax (Lacepède, 1803), Twaite shad }}</ref> takže by sa mohlo prípadne jednať o '''''alóza neškvrnitá''''' (''Alosa immaculata'', ''Alosa pontica''),<ref>{{cite web | url = https://fish-commercial-names.ec.europa.eu/fish-names/commercial-designations_sk?ms=SK | title = Slovensko - Obchodné označenia | access-date = 2023-10-18 }}</ref> *** škotský ''finnack'', ''finnoc'', ''finner'' – „biely pstruh“,<ref>{{cite web | url = https://books.google.sk/books?id=vxkAAAAAYAAJ&pg=PT169&dq=finner&lr=&ei=r6kZSvaCNobYMYSO-KIJ&redir_esc=y#v=onepage&q=finner&f=false | title = An Etymological Dictionary of the Scottish Language: In which the Words are Explained in Their Different Senses, Authorized by the Names of the Writers by Whom They are Used, Or the Titles of the Works in which They Occur, and Deduced from Their Originals | last = Jamieson | first = John | date = 1818 }}</ref> *** súvis s rybolovom? (?), ** '''plutva''': *** stará angličtina ''finn'',<ref name="etymonline-fin">{{cite web | url = https://www.etymonline.com/word/fin | title = Origin and history of fin | website = etymonline.com }}</ref> *** pragermančina ''*finno'',<ref name="etymonline-fin"/> ** '''prameň''', '''tiecť''', '''vytekať''', '''prúdiť''': *** z pra-západnej nemčiny ''finþan'',<ref>[[:wiktionary:Reconstruction:Proto-West_Germanic/finþan|Proto-West Germanic/finþan]] (po anglicky)</ref> *** z praindoeurópskeho ''pent-'',<ref>[[:wiktionary:Reconstruction:Proto-Indo-European/pent-|Proto-Indo-European/pent-]] (po anglicky)</ref> *** z latinského fons<ref>[[:wiktionary:fons#Latin|fons#Latin]] (po anglicky)</ref> → fontana,<ref>[[:wiktionary:fontana#Latin|fontana#Latin]] (po anglicky)</ref> *** Z latinského fio<ref>[[:wiktionary:en:fio#Latin|fio#Latin]] (po anglicky)</ref> → na rumunské ființă,<ref>[[:wiktionary:en:ființă#Romanian|ființă#Romanian]] (po anglicky)</ref> *** gótsky [[:wiktionary:en:𐍆𐌹𐌽𐌸𐌰𐌽#Gothic|𐍆𐌹𐌽𐌸𐌰𐌽]] (po anglicky), *** dedina Finthen, dnes súčasť Mainz (pramene a rimské akvadukty);<ref>[[:w:de:Mainz-Finthen|Mainz-Finthen]] (po nemecky)</ref> *** rumunsky fântână – prameň, „vodná“ stena;<ref>[[:wiktionary:en:fântână#Romanian|fântână#Romanian]] (po anglicky)</ref> *** podobné so slovenským slovom ''fontána'', **'''močiare''', '''bažina''': *** stará horná nemčina ''fenni'',<ref name="ancestry-fenn">{{cite web | url = https://www.ancestry.com/last-name-meaning/fenn | title = Fenn Surname Meaning | author = Ancestry }}</ref> *** stredodolná nemčina a starofrízština ''fenne'',<ref name="ancestry-fenn"/> *** možno narážka na terén a ''lužné lúky a lesy'' (okolo rieky Sekčov a západne od centra obce),<ref>{{cite web | url = https://www.staremapy.sk/?zoom=14&lat=49.05064262694256&lng=21.28843477764502&map=VM2 | title = Voj. mapovanie 2 - mapa rok 1839 | access-date = 2023-10-18 }}</ref><ref>[[:w:sk:Fintice#Záplavy|Fintice#Záplavy]]</ref> ***Fintau, Nemecko<ref>[[:w:de:Fintau|Fintau]] (po nemecky)</ref> – rieka, ktorá sa do močiarov vlieva; ***Fintel (hist. aj Wintla), Nemecko – bažinový terén,<ref>[[:w:de:Fintel|Fintel]] (po nemecky)</ref><ref>{{cite web | url = https://www.ancestry.com/last-name-meaning/fintel | title = Fintel Surname Meaning | author = Ancestry }}</ref> *** Fintavägen, Svédsko; značková cesta („pristupová cesta“) – a la „prameň“ prichádzajúcich áut do sídliska;<ref>{{cite web | url = https://www.openstreetmap.org/way/1071987913 | title = Cesta: Fintavägen (1071987913) | access-date = 2023-10-18 }}</ref> *** Fintlandsmoor, Nemecko – močiar, rašelinisko;<ref>[[:w:de:Fintlandsmoor|Fintlandsmoor]] (po nemecky)</ref> ** '''plač''': *** slovinský ''finčica'' – ženský „hanblivý“/prúderný plač;<ref name="sl-1891">{{cite web | url = https://archive.org/details/slovenskonemkisl01pletuoft/page/200/mode/2up?view=theater | title = Slovensko-nemki slovar. Uredil M. Pleternik | last = Pleternik | first = Makso | date = 1891 }}</ref><ref>[[:wiktionary:en:weiblich#German|weiblich#German]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:Scham|Scham]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:shame|shame]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:bashfulness|bashfulness]] (po anglicky)</ref> '''„k cieľu“''', '''„pri cieli“''': * kampidská sardínčina ''finza(s)'',<ref>https://hemerotecadigital.uanl.mx/items/browse?advanced%5B0%5D%5Belement_id%5D=39&advanced%5B0%5D%5Btype%5D=is+exactly&advanced%5B0%5D%5Bterms%5D=Men%C3%A9ndez+Pidal%2C+Ram%C3%B3n%2C+1869-1968%2C+Director&output=omeka-xml</ref><ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/bub_gb_KTtwV0X6jo8C/page/28/mode/2up?q=finza | title = Etymologisches Wörterbuch der romanischen Sprachen von | last = Friedrich | first = Diez | date = 1870 }}</ref> *'''cesta'''': ** z protoindoeurópskeho ''*pent-'' – „ísť, prejsť; cesta, most“,<ref name="finþan"/> *'''nájsť''': ** z protoindoeurópskeho ''*pent-'' – „ísť, prejsť; cesta, most“,<ref name="finþan"/> ** z prazápadnej nemčiny ''finþan'' – „nájsť, objaviť, prísť na to“,<ref name="finþan">[[:wikt:en:Reconstruction:Proto-West_Germanic/finþan|*finþan]] (po anglicky)</ref> ** z pranemčiny ''finþan'' – „nájsť, objaviť, prísť na to“,<ref>[[:wikt:en:Reconstruction:Proto-Germanic/finþaną|*finþaną]] (po anglicky)</ref> ** bavorský ''fint'' znamená významovo ''nájsť'',<ref>[[:w:de:Bairisch|Bairisch]] (po nemecky)</ref> ** gótsky ''fintha'' znamená ''nájsť'',<ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/sitzungsberichte1882knig/page/38/mode/2up?q=finde | title = Sitzungsberichte der königl. böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften in Prag | author = Königlich-böhmische Gesellschaft der Wissenschaften (Prague, Hungary) | date = 1883 }}</ref><ref>{{cite web | url = https://germanic.ge/en/got/word/fin%C3%BEan/ | title = finþan | author = Chrestomathy of Gothic and Anglo-Saxon }}</ref> ** zo starej irštiny „objaviť“, „odkryť“, „zistiť“, „vedieť“,<ref>[[:wiktionary:en:rofinnadar#Old_Irish|rofinnadar#Old_Irish]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:discover|discover]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:find_out|find_out]] (po anglicky)</ref> *'''lovec, zberač''':<ref name="fini"/> ** stará nemčina ''*fenthan'' – „hľadať pešo“,<ref name="fini">Maixner, Miroslav. [https://is.muni.cz/th/vw94m/DIPLOMOVA_PRACE_Sami_ethnicity.pdf KONSTRUKCE SÁMSKÉ ETNICKÉ IDENTITY]. 2011</ref> ** pragermančina [[:wiktionary:en:Reconstruction:Proto-Germanic/finnaz|finnaz]] (''chodiť pešo''),<ref name="Finn">[[:wiktionary:en:Finn|Finn]] (po anglicky)</ref> ** stará norčina [[:wiktionary:en:finnr|finnr]] (''lovec, zberač''),<ref name="Finn"/> '''päť''': * zo stredno-hornej nemčiny ''vünf'',<ref name="mhn-vinf">[[:wiktionary:vinf#Mòcheno|vinf#Mòcheno]] (po anglicky)</ref> * v jazyku Mòcheno (v Taliansku) ''vinf'' značí päť,<ref name="mhn-vinf"/><ref>[[:w:Mòcheno language|Mòcheno language]] (po anglický)</ref> '''podvodník''': * slovinsky ''finka'' – prasa, svina (pri hre),<ref name="sl-1891"/> '''trik''': * súčastné europské jazyky (napr. v športe), '''výmysel''': * zo staršej slovenčiny,<ref>{{cite web | url = https://slovnik.juls.savba.sk/bernolak-hq/fi/Finta.png | title = Finta.png }}</ref><ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/bub_gb_baZZAAAAcAAJ/page/4368/mode/2up | title = Slowár slowenskí česko-latinsko-ňemecko-uherskí = seu, Lexicon slavicum bohemico-latino-germanico-ungaricum | last = Bernolák | first = Anton | date = 1825 | publisher = Budae, typis et sumtibus Typogr. Reg. univers. hungaricae }}</ref> '''skrytý''': * v berberskom jazyku názov oázy ''Fint'' znamená ''skryté'',<ref>{{cite web | url = https://www.sudmaroc-hotel-terrassedesdelices.com/l-oasis-de-fint-1/ | title = L'Oasis de Fint | date = 2023-10-18 }}</ref> '''„strážisko“''': * latinské ''finita'' ako tvar slova ''finitus'' – '''hraničná''',<ref>[[:wiktionary:en:finita#Latin|finita#Latin]] (po anglický)</ref><ref>[[:wiktionary:en:finitus#Latin|finitus#Latin]] (po anglický)</ref> * zo starej angličtiny ''finta'' – '''hraničné územie''', '''družina'''/'''posádka''', '''sledovať''';<ref name="sa-1">[[:wiktionary:en:finta#Old_English|finta#Old_English]] (po anglicky)</ref><ref name="sa-2">[[:wiktionary:en:tail#Etymology_1|tail#Etymology_1]] (po anglický)</ref><ref>[[:wiktionary:en:tailing#Noun|tailing#Noun]] (po anglický)</ref> * španielsky ''finca'' – „nehnuteľnosť“, „farma“, „hacienda“,<ref>[[:wiktionary:en:finca#Spanish|finca#Spanish]] (po anglický)</ref> '''(o)zdobiť''', „'''pačiť sa'''“: * zo slovenského ''fintiť'', * možno odvodené z latinského ''fingo'',<ref>[[:wiktionary:en:fingo|fingo]] (po anglicky)</ref> * možno odvodené z latinského ''pingo'',<ref>[[:wiktionary:en:pingo|pingo]]</ref> * grecké slovo [https://lexikolefkadas.gr/finta-i/ φίντα] (''fínta'', stredný rod), * ozdobná šálka, viď položku ''šálka'', * '''horenos'''<ref name="prafinta"/> – „namyslený človek, nafúkanec“,<ref>Krátky slovník slovenského jazyka. Red. J. Kačala – M. Pisárčiková – M. Považaj. 4. dopl. a upr. vyd. Bratislava: Veda 2003. 985 s. ISBN 80-224-0750-X (autorský kolektív: J. Doruľa, J. Kačala, M. Marsinová, I. Masár, Š. Michalus, Š. Peciar, M. Pisárčiková, M. Považaj, V. Slivková, E. Smiešková, E. Tibenská, M. Urbančok). Heslo ''horenos''.</ref> * dánsky ''finde'' – „mať určitý pocit potešenia alebo (menej často) nelibosti",<ref>{{cite web | url = https://ordnet.dk/ddo/ordbog?query=finde | title = finde | author = Det Danske Sprog- og Litteraturselskab }}</ref> * '''biely''', '''svetlovlasý''': ** zo strednej angličtiny ''Fin(n)''; skrátene poangličené ''Fionn'', skratené ''Finn'', z pôvodného gálskeho ''Ó Finn'' – ''Fionn potomok'',{{cite web | url = https://www.ancestry.com/last-name-meaning/finn | title = Finn Surname Meaning | author = Ancestry }} '''uskutočňovať''', '''stať sa''', '''byť''': * latinsky ''fiō'',<ref>[[:wiktionary:fio#Latin|fio#Latin]] (po anglicky)</ref> * (prenesene) latinsky ''fin'' – „rámeno“,<ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/bim_eighteenth-century_a-classical-dictionary-o_grose-francis-f-a-s_1785/page/n81/mode/2up | title = A classical dictionary of the vulgar tongue. | author = Grose, Francis, F. A. S. | date = 1785 }}</ref> * rumunsky ''fi'' – byť,<ref>[[:wiktionary:fi#Romanian|fi#Romanian]] (po anglicky)</ref> * rumunsky ''ființă'' [fiinca] – „bytosť“, „stvorenie“,<ref>[[:wiktionary:ființă#Romanian|ființă#Romanian]] (po anglicky)</ref> * rumunsky ''ființa'' [fiinca] – „existovať“,<ref>[[:wiktionary:ființa#Romanian|ființa#Romanian]] (po anglicky)</ref> '''páska''': * portugálsky ''cinta'' [finta],<ref>[[:wiktionary:cinta#Spanish|cinta#Spanish]] (po anglicky)</ref> '''šikovný''', '''osláviť''', '''brondzový''': * stará gotčina ''𐍆𐌹𐌽'' (''fin'') – [[:w:en:nomina sacra|nomina sacra]] ''lord'' (vo význame ''pán'', ''vládca'' alebo ''majster''),<ref>[[:wiktionary:en:𐍆𐌹𐌽#Gothic|𐍆𐌹𐌽#Gothic]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:𐍆𐍂𐌰𐌿𐌾𐌰#Gothic|𐍆𐍂𐌰𐌿𐌾𐌰#Gothic]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:lord#English|lord#English]] (po anglicky)</ref> * stará francúzština ''fin'':<ref>https://www.jeantosti.com/noms/f2.html</ref> ** pôvodne: „jemný, nežný, dokonalý alebo krehký“, ** 14. storočie: ''šikovný''; ** 15. storočí: ''malý'',''malicherný'';<ref group="Pozn.">Možno došlo k negácií alebo k ironizovaniu významu.</ref>.<ref>[[:wiktionary:en:petit|petit]] (po anglicky)</ref> * stará francúzština a stredna angličtina ''fin(e)'' – „výborný príjemný čestný dokonalý“,<ref name="ancestry-fine">{{cite web | url = https://www.ancestry.com/last-name-meaning/fine | title = Fine Surname Meaning | author = Ancestry }}</ref> * latinsky ''finis'' – „dokonalý vynikajúci“,<ref name="ancestry-fine"/> * z jidiš ''Finzi'',<ref name="finzi">{{cite web | url = https://www.jewishencyclopedia.com/articles/6124-finzi | title = FINZI | author = JewishEncyclopedia.com | date = 1989 }}</ref> * egyptský Pa-neḥas – „ten bronzovej farby“,<ref>[[:w:en:Phinehas|Phinehas]] (po anglicky)</ref> * z hebrejského ''פִּינְחָס‎''/''Pinchas'',<ref>[[:w:en:פינחס|פינחס]] (po hebrejsky)</ref> * španielsky ''pinco'' – „schopný preniknúťs veľkou intenzitou“,<ref>[[:wikt:en:finco#Portuguese|finco#Portuguese]] (po anglicky)</ref> * „vedieť dotiahnuť (niečo) do konca“: ** zo starej angličtiny '''finta''' znamenajúc:<ref name="sa-1"/> *** „tail“ – slovenský „chvost“,<ref name="sa-2"/> „časť“ (niečoho), *** „sequence“ – slovenský „sekvencia“, *** „result“ – slovenský „výsledok“, * v slovenčine: ** „Pekne si to vyfintil.“ – „Pekne si sa s tým »pohral«.“ („Super, popipľal si sa s tým, že výsledok je výborný / excelentý / nad očakávanie / dôsledné spravený.“), '''rozseknúť''', '''rozštiepiť''': * latinské ''findo'', * praindoeurópske ''*bʰinédti'',<ref>[[:wiktionary:Reconstruction:Proto-Indo-European/bʰinédti|Proto-Indo-European/bʰinédti]] (po anglicky)</ref> '''„vzácne“ drevo''': * praindoeurópske ''*finьtъ'' – tujový:<ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/etymologicky-slovnik-jazyka-staroslovenskeho/ESJS_3/page/170/mode/2up | title = Etymologický slovník jazyka staroslověnského | author = E. Havlová, A. Erhart, I. Janyšková | date = 1989 }}</ref> ** zaznamenané iba v súvistlosti s drevom, ** možný nedoslovný význam ako „vzácne“ drevo, ** možno narážka na stromy<ref>{{cite web | url = https://www.fintice.sk/o-obci-fintice.html | title = O obci Fintice | author = Obecný úrad Fintice }}</ref> ako ''javor horský'' a ''lipa malolistá'' v katastri obce, '''súvis s peniazmi''': * „finta“ – španielský starodávna daň („finītus“ ⇒ „fintito“ <súvis so „finito“ – „nastaviť limity“>),<ref>{{cite web | url = https://books.google.sk/books?id=gYtvAwAAQBAJ&pg=PA716&lpg=PA716&dq=family+finta&source=bl&ots=D0_xpvopM0&sig=ACfU3U1xPOG4gFw5UGpVI2Y4cq86bRP13w&hl=sk&sa=X&ved=2ahUKEwjdvfGj8aKEAxUWi_0HHdodA384PBDoAXoECAkQAQ#v=onepage&q=family%20finta&f=false | title = A Comprehensive Etymological Dictionary of the Spanish Language with Families of Words based on Indo-European Roots | last = Roberts | first = Edward Arthur | date = 2014 }}</ref> * podobné so: ** srbsko-chorvatský ''funta''/''фунта'' – jednotka váha, finančná mena,<ref>[[:wiktionary:funta#Serbo-Croatian|funta#Serbo-Croatian]]</ref><ref>[[:wiktionary:фунта#Serbo-Croatian|фунта#Serbo-Croatian]]</ref><ref>{{cite web |url=https://ensk.dict.cc/?s=currency |title=dict.cc &#124; currency &#124; English-Slovak Dictionary |website=dict.cc |publisher=Paul Hemetsberger}}</ref> ** macedonský ''фунта'' – jednotka váha, finančná mena,<ref>[[:wiktionary:фунта#Macedonian|фунта#Macedonian]] (po anglicky)</ref> ** ruský ''фунт'' – jednotka váha, finančná mena,<ref>[[:wiktionary:фунт#Russian|фунт#Russian]] (po anglicky)</ref> ** ukrainský ''фунт'' – libra alebo jednotka váhy, množstva,<ref>[[:wiktionary:фунт#Ukrainian|фунт#Ukrainian]] (po anglicky)</ref> ** jidiš ''פֿונט''/''funt'' – jednotka hmotnosti, pôvodovne označenie pre ruskú mieru (po anglicky),<ref>[[:wiktionary:פֿונט#Yiddish|פֿונט#Yiddish]]</ref> ** armenský ''ֆունտ''/''funt'' – libra alebo jednotka váhy,<ref>[[:wiktionary:ֆունտ#Armenian|ֆունտ#Armenian]] (po anglicky)</ref> '''krivý''', '''ohnutý''' * z maďarského slova ''finta'',<ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/magyaroklevlsz00szamuoft/page/124/mode/2up?q=FINTA | title = Magyar oklevél-szótár, régi oklevelekben és egyéb iratokban elöforduló magyar szók gyüjteménye. Legnagyobb részüket gyüjtötte Szamota István. A Magyar Tudományos Akadémia megbízásából szótárrá szerk. Zolnai Gyula | last = Szamota | first = István | last2 = Zolnai | first2 = Gyula | date = 1210 | publisher = Budapest V. Hornyánszky }}</ref><ref>[[:wiktionary:en:curvus|curvus]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:bent#English|bent#English]] (po anglicky)</ref><ref name="hu-1886">{{cite web | url = https://archive.org/details/englishhungarian02bizo/page/156/mode/2up | title = English-Hungarian dictionary | last = Bizonfy | first = Ferencz | date = 1886 }}</ref> * zo starej angličtiny ''finta'',<ref name="sa-1"/><ref name="sa-2"/> * tiež aj Finteușu Mare, Maramureș; Rumunsko,<ref>[[:w:ro:Finteușu_Mare,_Maramureș|Finteușu_Mare, Maramureș]] (po rumunsky),</ref> '''skalnatý''': * z maďarského slova ''finta'',<ref name="hu-1886"></ref> '''poľovník'''/'''ľovec''': * stará horná nemčina ''vende'',<ref>[[:w:en:Finn (ethnonym)|Finn (ethnonym)]] (po anglicky).</ref> * „… ,scricfinni‘ sú vašniví lovcí/zberači, …“,<ref group="Pozn.">Prvá časť slova ''scric'' znamená ''lyžovať''. (Referencia: https://snl.no/finner_-_samer)</ref><ref>{{cite web | url = https://snl.no/skridfinner | title = skridfinner | author = Store norske leksikon }} (po nórsky).</ref> '''nôž''': * poľsky ''finka'' – puzdrový nôž, <ref>[[:wiktionary:finka#Polish|finka#Polish]] (po anglicky)</ref><ref>[[:w:Sheath_knife|Sheath knife]] (po anglicky)</ref> '''klam''', '''lesť''':<ref>Historický slovník slovenského jazyka. A – J. Red. M. Majtán et al. 1. vyd. Bratislava: Veda 1991. 535 s. ISBN 80-224-0228-1 (spoluautori V. Blanár, E. Jóna, I. Kotulič, E. Krasnovská, R. Kuchar, M. Majtán, M. Majtánová, Š. Peciar, B. Ricziová, J. Skladaná). (heslo [https://slovnik.juls.savba.sk/?w=finta&s=exact&c=v785&cs=&d=hssj# finta])</ref> * zo slovenského slova ''finta'', '''pasca''': * grécky [https://www.slang.gr/lemma/13317-finta φίντα] (''fínta''), ''botanické významy:'' * '''absint''' (nápoj) alebo '''[[:w:sk:Palina pravá|Palina pravá]]''' (''Artemisia absinthium''),<ref>{{cite web | url = https://books.google.sk/books?id=JrbKqL-w5tAC&pg=PA63&lpg=PA63&dq=fyntha+latin&source=bl&ots=R7y5pNmEuz&sig=ACfU3U1YM7F4RYhFTGT1otBPF74flt9RBA&hl=sk&sa=X&ved=2ahUKEwiljNjg2YKAAxUX7qQKHS8mD-s4ChDoAXoECB4QAw#v=onepage&q=fyntha&f=false | title = Dizionario italiano, latino e francese in cui si contiene, non solamente un compendio del dizionario della Crusca, ma ancora tutto cio, che v'ha di piu rimmarchevole ne' migliori lessicografi, etimologisti, e glossarii,... raccolto dall' abbate Annibale Antonini. Nuova edizione. Riveduta, corretta, e notabilmente accresciuta. Tomo primo, Zväzok 1 | last = Antonini | first = Annibale | date = 1770 }}</ref><ref>[[:wiktionary:assenzio|assenzio]] (po anglicky)</ref><ref>[[:w:Absinthe|Absinthe]] (po anglicky)</ref> * ''Suncia''<ref name="dmi">{{cite web | url = https://www.knihydominikani.sk/hlavna_nemethy_24?fpcmeno=zahradne | title = Historický schematizmus slov. farností | website = www.dominikani.sk | access-date = 2023-10-18 }}</ref> – v stredovekej latinčine '''''[[:w:sk:Valeriána_lekárska|Valeriána lekárska]]''''' (''Valeriana officinalis''),<ref>Ferrari V., 2016 - [https://bibliotecadigitale.provincia.cremona.it/monografie/download/monografia_11.pdf Lessico botanico popolare della provincia di Cremona: dialettale, etimologico], “Monografie di Pianura”, n. 11, Provincia di Cremona, Cremona.</ref> '''uzdraviť:''' * ''„zmeniť predpokladaný ortieľ smrti“'' – t. j. vyliečiť sa, * Cethern mac Fintain (Írska mytológia),<ref>[[:w:Cethern_mac_Fintain|Cethern mac Fintain]] (po anglicky)</ref> '''skok''', '''skákanie''': * maďarské ''finz'' a príbuzne slová,<ref>{{cite web | url = http://misc.bibl.u-szeged.hu/25180/1/015_020_001-175.pdf | title = A' SZÓELEMZÉS' ÉS SZÓÉRTELMEZÉS ALAP-ELVEI. | author = Fábián István | date = 1853 | access-date = 2025-01-22 }}</ref> '''zabávači/šašovia:''' * maď. ''fintorog'', ''fintur'', ''fintor'' – slov. grimasa,<ref>[[:w:hu:Magyar_duda|Magyar duda]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:fintor#Hungarian|fintor#Hungarian]] (po anglicky)</ref><ref>Szentpétery Imre: Az Árpádházi királyok okleveleinek kritikai jegyzéke II. kötet 2-3. füzet 1272–1290 (Magyar Országos Levéltár kiadványai, II. Forráskiadványok 9. Budapest, 1961 (heslo [https://library.hungaricana.hu/en/view/MolDigiLib_MOLkiadv2_09/?pg=460&layout=s Fintor]) (po maďarsky)</ref><ref>[[:w:hu:Magyar duda|Magyar duda]] (po maďarsky)</ref><ref>[[:w:hu:Magyar_duda|Magyar duda]] (po anglicky)</ref> * ''Fruncta'' – stará francúzština ''frunce'' = ''fronce'' (''mračiť sa'', ''chmúriť sa'') + suffix ''-ta'',<ref name="dmi"/><ref>[[:wiktionary:en:frunce#Old_French|frunce#Old_French]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:fronce#Old_French|fronce#Old_French]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:froncer#French|froncer#French]] (po anglicky)</ref><ref>[[:wiktionary:en:scowl|scowl]] (po anglicky)</ref><ref>Synonymický slovník slovenčiny. Red. M. Pisárčiková. 3. nezm. vyd. Bratislava: Veda 2004. 998 s. ISBN 80-224-0801-8 (kolektív autorov: A. Anettová, I. Hrubaničová, Š. Michalus, E. Pícha, M. Pisárčiková, M. Považaj, E. Tibenská). (heslo [https://slovnik.juls.savba.sk/?w=kaboni%C5%A5&s=exact&c=4777&cs=&d=sss# kaboniť]</ref> '''ako „urážka“/„žart“''' (?): * v poľštine: „zadymení papier držaní pod nosom“.<ref>{{cite web | url = https://archive.org/details/acompletedictio00rykagoog/page/54/mode/2up?view=theater | title = A complete dictionary English and Polish and Polish and English | last = Rykaczewski | first = Erazm | date = 1849 }}</ref> '''šálka'''/'''hrnček''':<ref>[[:wiktionary:tr:fincan#Türkçe|finka]] (po tatarsky)</ref> * perský <span lang="fa">پنگان</span> (pingān),<ref name="sh_findžan"/> * arabský <span lang="ar"> فِنْجَان</span> (finjān),<ref name="sh_findžan"/> * srbsko-chorvátsky ''findžan'',<ref name="sh_findžan">[[:wiktionary:en:findžan#Serbo-Croatian|findžan]] (po anglicky)</ref> * ukrajinsky ''фінджа''/''findža'',<ref>[[:wiktionary:фінджа#Ukrainian|фінджа]] (po anglicky)</ref> * slovenské nárečia ''findža''.<ref>{{cite web | url = https://narecie.sk/find%C5%BEa | title = Slovo findža }}</ref> '''Fínec''': * [[:w:en:Finn (ethnonym)|Finn (etnonymum)]] (po anglicky). == Poznámky == <References group="Pozn."/> == Pozri tiež == * [http://nhe.ktfke.sk/archiv/notitiae-12017/ Notitiae 1/2017] (príspevok ''DEDINA – VILLA BELCELLA A ÚZEMIE ZA ZÁSEKMI – ULTRA INDAGINES'') * {{cite web |url=https://is.muni.cz/th/vw94m/DIPLOMOVA_PRACE_Sami_ethnicity.pdf |title=KONSTRUKCE SÁMSKÉ ETNICKÉ IDENTITY |last=Maixner |first=Miroslav }} * {{cite web |url=https://www.academia.edu/45643150/FINTA_Z_RODU_ABA_VOJVODA_A_PALAT%C3%8DN |title=FINTA Z RODU ABA -VOJVODA A PALATÍN |last=Blanár |first=Dominik }}, * [[:wiktionary:en:Fintan|Fintan]] (meno, po anglicky), * stará angličtina: [[:wiktionary:en:finta#Old_English|finta]] (po anglicky), * [[Etymológia_slov#fín_(slovenský),_Finn_(anglický),_finnr_(stará_norčina),_Finnic_(angličtina)|fín (slovenský), Finn (anglický), finnr (stará_norčina), Finnic (angličtina)]]. * [https://www.academia.edu/6430925/Rom%C3%A1nske_obyvate%C4%BEstvo_v_%C5%A1trukt%C3%BArach_Uhorsk%C3%A9ho_kr%C3%A1%C4%BEovstva_slovak_ Bučko, Peter. Románske Obyvateľstvo v Štruktúrach Uhorského Kráľovstva (Slovak).] == Referencie == <References/> [[Category:SK/Etymológia]] [[Category:SK/Fintice]] [[Category:SK/Pomenovanie]] i9nmrhtmqfoj2p3hwjap9co3aqzn7tp 0 55536 383893 2026-04-21T15:50:09Z Noodlenoob902 55450 Created page with "Etkin vatandaş çevreye ve ülkesine sahip çıkan.Ülkeni vatandaşına denir." 383893 wikitext text/x-wiki Etkin vatandaş çevreye ve ülkesine sahip çıkan.Ülkeni vatandaşına denir. 5phqvysngbwe5louet0egrom9sl1ybs 383894 383893 2026-04-21T15:51:04Z Noodlenoob902 55450 383894 wikitext text/x-wiki Etkin vatandaş ülkesine sahip çıkan.Ülkeni vatandaşına denir. bqr074n7u3b4l4ycmhsmdhpwtjewb43 383895 383894 2026-04-21T15:52:12Z Noodlenoob902 55450 383895 wikitext text/x-wiki Etkin vatandaş ülkesine sahip çıkaran ülkeni vatandaşına denir. 4lvnnyiygvm7vbfq17qj8t99jurwrkd 383896 383895 2026-04-21T15:53:11Z Noodlenoob902 55450 383896 wikitext text/x-wiki Etkin vatandaş ülkesine sahip çık ülkeni vatandaşına denir. ihd5tqcpmb1pq29988t5oqf8jclms4g 383897 383896 2026-04-21T15:53:25Z Noodlenoob902 55450 383897 wikitext text/x-wiki Etkin vatandaş ülkesine sahip ülkeni vatandaşına denir. 8l197fi5wqrhsle34hcacygf0bo35sj