Viquitexts cawikisource https://ca.wikisource.org/wiki/P%C3%A0gina_principal MediaWiki 1.47.0-wmf.15 first-letter Media Especial Discussió Usuari Usuari Discussió Viquitexts Viquitexts Discussió Fitxer Fitxer Discussió MediaWiki MediaWiki Discussió Plantilla Plantilla Discussió Ajuda Ajuda Discussió Categoria Categoria Discussió Pàgina Pàgina Discussió Llibre Llibre Discussió Autor Autor Discussió TimedText TimedText talk Mòdul Mòdul Discussió Event Event talk 0 61070 185550 2026-08-16T17:58:40Z VoltaQantic 12164 Es crea la pàgina amb «# SOBRE L'ELECTRODINÀMICA DELS COSSOS EN MOVIMENT ## INTRODUCCIÓ És ben sabut que si apliquem l'electrodinàmica de Maxwell, tal com es concep actualment, als cossos en moviment, arribem a asimetries que no concorden amb els fenòmens observats. Pensem en l'acció mútua entre un imant i un conductor. Els fenòmens observats en aquest cas depenen només del moviment relatiu del conductor i de l'imant, mentre que segons la concepció habitual cal distingir en...». 185550 wikitext text/x-wiki # SOBRE L'ELECTRODINÀMICA DELS COSSOS EN MOVIMENT ## INTRODUCCIÓ És ben sabut que si apliquem l'electrodinàmica de Maxwell, tal com es concep actualment, als cossos en moviment, arribem a asimetries que no concorden amb els fenòmens observats. Pensem en l'acció mútua entre un imant i un conductor. Els fenòmens observats en aquest cas depenen només del moviment relatiu del conductor i de l'imant, mentre que segons la concepció habitual cal distingir entre els casos en què és l'un o l'altre dels cossos el que es mou. Si, per exemple, l'imant es mou i el conductor està en repòs, es produeix a les proximitats de l'imant un camp elèctric d'un cert valor energètic, que excita un corrent en aquelles parts del camp on hi ha un conductor. Però si l'imant està en repòs i el conductor es posa en moviment, no es produeix cap camp elèctric a les proximitats de l'imant, sinó que en el conductor apareix una força electromotriu que no correspon a cap energia en si mateixa; aquesta força provoca un corrent elèctric de la mateixa magnitud i el mateix comportament que la força elèctrica del cas anterior, sempre que suposem que el moviment relatiu és el mateix en ambdós casos. Exemples d'aquest tipus, com ara l'intent fallit de constatar el moviment de la Terra respecte al "medi lluminós", ens porten a suposar que no només en la mecànica sinó també en l'electrodinàmica cap propietat dels fets observats correspon al concepte de repòs absolut; sinó que, per a tots els sistemes de coordenades en què valen les equacions de la mecànica, valen igualment les equacions electrodinàmiques i òptiques equivalents, tal com ja s'ha demostrat per a magnituds de primer ordre. A continuació prendrem aquesta suposició (que anomenarem d'ara endavant el Principi de Relativitat) com a base, i hi afegirem una altra suposició —aparentment incompatible amb la primera a primer cop d'ull— que la llum es propaga en l'espai buit amb una velocitat c independent de l'estat de moviment del cos emissor. Aquestes dues hipòtesis basten per obtenir una teoria de l'electrodinàmica dels cossos en moviment, senzilla i coherent, fonamentada en la teoria de Maxwell per als cossos en repòs. La introducció d'un "èter lumínic" resultarà superflua, ja que, segons les idees que desenvoluparem, no introduirem ni un espai en repòs absolut dotat de propietats especials, ni associarem un vector velocitat a cap punt de l'espai buit on tenen lloc processos electromagnètics. Com qualsevol altra teoria de l'electrodinàmica, aquesta teoria es fonamenta en la cinemàtica dels cossos rígids; en l'enunciat de tota teoria física, tractem de relacions entre cossos rígids (sistemes de coordenades), rellotges i processos electromagnètics. Una consideració insuficient d'aquestes circumstàncies és la causa de les dificultats amb què topa actualment l'electrodinàmica dels cossos en moviment. ## I. — PART CINEMÀTICA ### § 1. Definició de simultaneïtat Considerem un sistema de coordenades en el qual siguin vàlides les equacions de la mecànica newtoniana. Per distingir aquest sistema d'un altre que introduirem més endavant, l'anomenarem sempre "el sistema en repòs". Si un punt material està en repòs en aquest sistema, la seva posició es pot determinar mitjançant una regla de mesura i expressar-se pels mètodes de la geometria euclidiana, o bé en coordenades cartesianes. Si volem descriure el moviment d'un punt material, els valors de les seves coordenades s'han d'expressar en funció del temps. Cal tenir sempre present que una definició matemàtica com aquesta només té sentit físic quan tenim una idea clara del que entenem per temps. Hem de considerar que les nostres nocions en què intervé el temps són sempre nocions de simultaneïtat. Per exemple, diem que un tren arriba aquí a les 7 en punt; això vol dir que la coincidència exacta de la busca petita del meu rellotge amb el 7 i l'arribada del tren són esdeveniments simultanis. Podria semblar que totes les dificultats relacionades amb la definició del temps es podrien resoldre si, en lloc de "temps", parléssim de la posició de la busca petita del meu rellotge. Una definició així és, de fet, suficient quan es tracta de definir el temps exclusivament per al lloc on es troba el rellotge. Però no n'hi ha prou quan cal relacionar en el temps esdeveniments que tenen lloc en llocs diferents —o, el que és el mateix, quan cal estimar temporalment l'ocurrència d'esdeveniments que tenen lloc en llocs allunyats del rellotge. Pel que fa a aquest intent d'estimació temporal dels esdeveniments, ens podem satisfer de la manera següent. Suposem que un observador situat a l'origen de coordenades, amb el rellotge, associa el raig de llum que li arriba per l'espai, i que li dóna testimoni de l'esdeveniment el temps del qual cal estimar, amb la posició corresponent de les busques del rellotge. Però aquesta associació té el defecte que depèn de la posició de l'observador proveït del rellotge, com sabem per experiència. Podem arribar a un resultat més pràctic pel procediment següent. Si un observador es troba a A amb un rellotge, pot estimar el temps dels esdeveniments que tenen lloc a les immediacions d'A cercant la posició de les busques del rellotge que és simultània a l'esdeveniment. Si un observador es troba a B amb un rellotge —afegim que el rellotge és de la mateixa mena que el d'A—, pot estimar el temps dels esdeveniments que tenen lloc al voltant de B. Però, sense més premisses, no és possible comparar temporalment els esdeveniments de B amb els d'A. Fins ara tenim un temps-A i un temps-B, però no un temps comú a A i B. Aquest darrer temps (és a dir, el temps comú) es pot definir si establim, per definició, que el temps que la llum triga a anar d'A a B és igual al temps que triga a anar de B a A. Per exemple, un raig de llum surt d'A en el temps-A t_A cap a B, arriba i és reflectit a B en el temps-B t_B, i torna a A en el temps-A t'_A. Segons la definició, els dos rellotges són síncrons si t_B − t_A = t'_A − t_B. Suposem que aquesta definició de simultaneïtat és possible sense implicar cap contradicció, per a qualsevol nombre de punts, i que, per tant, valen les relacions següents: 1. Si el rellotge de B és síncron amb el rellotge d'A, el rellotge d'A és síncron amb el rellotge de B. 2. Si el rellotge d'A, així com el rellotge de B, són síncrons amb el rellotge de C, els rellotges d'A i de B són síncrons entre ells. Així, amb l'ajuda de certes experiències físiques, hem establert el que entenem en parlar de rellotges en repòs en llocs diferents, síncrons entre si; i, en fer-ho, hem arribat a una definició de simultaneïtat i de temps. D'acord amb l'experiència, suposarem que la magnitud 2·AB̄ / (t'_A − t_A) = c, on c és una constant universal. Hem definit el temps essencialment mitjançant un rellotge en repòs en un sistema en repòs. Per la seva adaptació al sistema en repòs, anomenem el temps definit d'aquesta manera "temps del sistema en repòs". ### § 2. Sobre la relativitat de la longitud i del temps Les reflexions següents es basen en el Principi de Relativitat i en el Principi de la constància de la velocitat de la llum, que definim de la manera següent: 1. Les lleis segons les quals canvien els estats dels sistemes físics són independents de si aquests canvis es refereixen a un o altre de dos sistemes de coordenades en moviment relatiu de translació uniforme. 2. Tot raig de llum es mou en el "sistema de coordenades en repòs" amb la mateixa velocitat c, independentment de si aquest raig de llum és emès per un cos en repòs o en moviment. Per tant, velocitat = trajecte de la llum / interval de temps, on per "interval de temps" entenem el temps tal com s'ha definit al § 1. Considerem una barra rígida en repòs; té una longitud l quan es mesura amb una regla de mesura en repòs; suposem que l'eix de la barra és col·locat al llarg de l'eix X del sistema en repòs, i que després se li comunica una velocitat uniforme v, paral·lela a l'eix X. Preguntem-nos ara per la longitud de la barra en moviment; aquesta es pot obtenir mitjançant qualsevol d'aquestes dues operacions: (a) L'observador, proveït de la regla de mesura, es mou juntament amb la barra que cal mesurar i en determina la longitud per superposició directa, exactament com si l'observador, la regla de mesura i la barra a mesurar estiguessin en repòs. (b) L'observador determina, mitjançant rellotges col·locats en un sistema en repòs (rellotges síncrons tal com s'ha definit al § 1), els punts d'aquest sistema en què es troben els extrems de la barra a mesurar en un instant determinat t. La distància entre aquests dos punts, mesurada amb la regla de mesura utilitzada abans, ara en repòs, és una longitud que podem anomenar "la longitud de la barra". Segons el Principi de Relativitat, la longitud obtinguda per l'operació (a), que podem anomenar "la longitud de la barra en el sistema en moviment", és igual a la longitud l de la barra en el sistema en repòs. La longitud que s'obté pel segon mètode es pot anomenar "la longitud de la barra en moviment mesurada des del sistema en repòs". Aquesta longitud l'haurem d'estimar sobre la base dels nostres principis, i veurem que és diferent de l. En la cinemàtica generalment acceptada, se sol suposar tàcitament que les longituds definides per aquestes dues operacions són iguals, o, en altres paraules, que en una època de temps t un cos rígid en moviment és geomètricament reemplaçable pel mateix cos en la condició de repòs. **Relativitat del temps** Suposem que dos rellotges síncrons amb els rellotges del sistema en repòs es porten als extrems A i B d'una barra; és a dir, el temps dels rellotges correspon al temps del sistema en repòs en els punts on arriben; aquests rellotges són, doncs, síncrons en el sistema en repòs. Imaginem, a més, que hi ha dos observadors situats als dos rellotges i que es mouen amb ells, i que aquests observadors apliquen el criteri de simultaneïtat als dos rellotges. En el temps t_A surt d'A un raig de llum, és reflectit a B en el temps t_B, i torna a A en el temps t'_A. Tenint en compte el principi de la constància de la velocitat de la llum, tenim t_B − t_A = r_AB / (c − v), t'_A − t_B = r_AB / (c + v), on r_AB és la longitud de la barra en moviment, mesurada en el sistema en repòs. Per tant, els observadors situats amb els rellotges no trobaran els rellotges síncrons, encara que l'observador del sistema en repòs hagi de declarar-los síncrons. Veiem, doncs, que no podem atribuir cap significat absolut al concepte de simultaneïtat, sinó que dos esdeveniments simultanis vistos des d'un sistema no seran simultanis vistos des d'un sistema que es mou en relació amb ell. ### § 3. Teoria de la transformació de coordenades i de temps d'un sistema en repòs a un sistema que es mou respecte d'aquest amb velocitat uniforme Considerem, en el sistema en repòs, dos sistemes de coordenades, és a dir, dues sèries de tres rectes mútuament perpendiculars que surten d'un punt. Fem coincidir els eixos X d'ambdós, i que els eixos Y i Z siguin paral·lels. Donem a cadascun dels sistemes una regla de mesura rígida i un cert nombre de rellotges, i suposem que les regles i els rellotges de cada sistema són exactament iguals entre si. Suposem que el punt inicial d'un dels sistemes (k) té una velocitat constant en la direcció de l'eix X de l'altre, que és el sistema en repòs K, i que aquest moviment també es comunica a les regles i als rellotges del sistema (k). A cada instant t del sistema en repòs K correspon una posició determinada dels eixos del sistema en moviment, que sempre són paral·lels als eixos del sistema en repòs. Per t entenem sempre el temps del sistema en repòs. Suposem que l'espai es mesura tant amb la regla en repòs del sistema en repòs com amb la regla en moviment del sistema en moviment, i que obtenim així les coordenades (x, y, z) per al sistema en repòs, i (ξ, η, ζ) per al sistema en moviment. Determinem el temps t de cada punt del sistema en repòs (proveït de rellotges) mitjançant els rellotges situats en el sistema en repòs, amb l'ajuda de senyals lluminosos com s'ha descrit al § 1. Determinem igualment el temps τ del sistema en moviment per a cada punt del sistema en moviment (en el qual hi ha rellotges en repòs relatiu respecte del sistema en moviment) mitjançant el mètode de senyals lluminosos entre aquests punts, de la manera descrita al § 1. A cada sistema de valors (x, y, z, t), que determina completament la posició i el temps d'un esdeveniment en el sistema en repòs, li correspon un sistema de valors (ξ, η, ζ, τ); ara el problema és trobar el sistema d'equacions que relaciona aquestes magnituds. En primer lloc, és clar que, a causa de la propietat d'homogeneïtat que atribuïm al temps i a l'espai, les equacions han de ser lineals. Si posem x' = x − vt, és clar que en un punt en repòs relatiu del sistema K tenim un sistema de valors (x', y, z) independents del temps. Determinem ara τ com a funció de (x', y, z, t). Per fer-ho, cal expressar en equacions el fet que τ no és res més que el temps donat pels rellotges en repòs en el sistema k, que han de ser posats síncrons de la manera descrita al § 1. Suposem que en el temps τ₀ s'envia un raig de llum des de l'origen del sistema k al llarg de l'eix X cap a x', que és reflectit en aquest punt en el temps τ₁ cap a l'origen de les coordenades en moviment, i que hi arriba en el temps τ₂; llavors hem de tenir ½(τ₀ + τ₂) = τ₁. Si ara introduïm la condició que τ és funció de les coordenades, i apliquem el principi de la constància de la velocitat de la llum en el sistema en repòs, tenim ½[τ(0,0,0,t) + τ(0,0,0,{t + x'/(c−v) + x'/(c+v)})] = τ(x',0,0, t + x'/(c−v)). Cal notar que, en lloc de l'origen de coordenades, podríem haver triat qualsevol altre punt com a punt de sortida dels rajos de llum, i, per tant, l'equació anterior és vàlida per a tots els valors de (x', y, z, t). Una consideració similar, aplicada als eixos Y i Z, tenint en compte que la llum, vista des del sistema en repòs, es propaga sempre al llarg d'aquests eixos amb la velocitat √(c²−v²), ens dóna les equacions ∂τ/∂y = 0, ∂τ/∂z = 0. D'aquestes equacions es dedueix que τ és una funció lineal de x' i t. De l'equació (1) obtenim τ = a(t − vx'/(c²−v²)), on a és una funció desconeguda de v. Amb l'ajuda d'aquests resultats, és fàcil obtenir les magnituds (ξ, η, ζ), si expressem mitjançant equacions el fet que la llum, mesurada en el sistema en moviment, es propaga sempre amb la velocitat constant c (com exigeix el principi de la constància de la velocitat de la llum en conjunció amb el principi de relativitat). Per a un temps τ = 0, si el raig s'envia en la direcció dels ξ creixents, tenim ξ = cτ, és a dir, ξ = ac(t − vx'/(c²−v²)). Ara bé, el raig de llum es mou respecte de l'origen de k amb una velocitat c−v, mesurada en el sistema en repòs; per tant, x'/(c−v) = t. Substituint aquest valor de t a l'equació de ξ, obtenim ξ = a·c²/(c²−v²)·x'. D'una manera anàloga, considerant el raig de llum que es mou al llarg de l'eix Y, obtenim η = cτ = ac(t − vx'/(c²−v²)), on y/√(c²−v²) = t, x' = 0. Per tant, η = a·c/√(c²−v²)·y, ζ = a·c/√(c²−v²)·z. Si per x' substituïm el seu valor x−tv, obtenim τ = φ(v)·β(t − vx/c²), ξ = φ(v)·β(x − vt), η = φ(v)·y, ζ = φ(v)·z, on β = 1/√(1−v²/c²), i φ(v) = αc/√(c²−v²) = α/β és una funció de v. Si no fem cap suposició sobre la posició inicial del sistema en moviment ni sobre l'origen de t, s'ha d'afegir una constant additiva al costat dret. Ara hem de demostrar que tot raig de llum es mou en el sistema en moviment amb velocitat c (mesurada en el sistema en moviment), en el cas —com de fet hem suposat— que c és també la velocitat en el sistema en repòs; ja que encara no hem aportat cap prova que sostingui la suposició que el principi de relativitat sigui compatible amb el principi de la constància de la velocitat de la llum. En un temps τ = t = 0, envieu una ona esfèrica des de l'origen comú dels dos sistemes de coordenades, i deixeu que es propagui amb velocitat c en el sistema K. Si (x, y, z) és un punt assolit per l'ona, tenim x² + y² + z² = c²t². Amb l'ajuda de les nostres equacions de transformació, transformem aquesta equació i obtenim, per un càlcul senzill, ξ² + η² + ζ² = c²τ². Per tant, l'ona es propaga en el sistema en moviment amb la mateixa velocitat c, i com una ona esfèrica. Així doncs, mostrem que els dos principis són mútuament compatibles. En les transformacions hem obtingut una funció indeterminada φ(v), i ara procedim a trobar-la. Introduïm, amb aquest propòsit, un tercer sistema de coordenades k', que es posa en moviment relatiu al sistema k, un moviment paral·lel a l'eix ξ. Sigui la velocitat de l'origen (−v). En el temps t = 0, tots els punts inicials de coordenades coincideixen, i per a t = x = y = z = 0, el temps t' del sistema k' = 0. Direm que (x', y', z', t') són les coordenades mesurades en el sistema k'; aplicant dues vegades les equacions de transformació, obtenim t' = φ(−v)β(−v){τ + (v/c²)ξ} = φ(v)φ(−v)·t, x' = φ(v)β(v)(ξ + vτ) = φ(v)φ(−v)·x, etc. Com que les relacions entre (x', y', z', t') i (x, y, z, t) no contenen el temps explícitament, K i k' estan en repòs relatiu. Sembla que els sistemes K i k' són idèntics. ∴ φ(v)·φ(−v) = 1. Considerem ara la part de l'eix Y entre (ξ=0, η=0, ζ=0) i (ξ=0, η=1, ζ=0). Recobrim aquest tros de l'eix Y amb una barra que es mou amb velocitat v respecte del sistema K i perpendicular al seu eix; els extrems de la barra tenen, doncs, les coordenades x₁ = vt, y₁ = l/φ(v), z₁ = 0 x₂ = vt, y₂ = l/φ(v), z₂ = 0. Per tant, la longitud de la barra mesurada en el sistema K és l/φ(v). Per al sistema que es mou amb velocitat (−v), tenim per raons de simetria, l/φ(v) = l/φ(−v), ∴ φ(v) = φ(−v), ∴ φ(v) = 1. ### § 4. Significat físic de les equacions obtingudes referents als cossos rígids en moviment i als rellotges en moviment Considerem una esfera rígida (és a dir, una que té forma esfèrica quan es mesura en el sistema en repòs) de radi R, en repòs relatiu al sistema (K), amb el centre a l'origen de K; llavors l'equació de la superfície d'aquesta esfera, que es mou amb velocitat v respecte de K, és ξ² + η² + ζ² = R². En el temps t = 0, l'equació expressada en termes de (x, y, z, t) és x²/(√(1−v²/c²))² + y² + z² = R². Un cos rígid que té la forma d'una esfera quan es mesura en el sistema en moviment té, doncs, en l'estat de moviment —vist des del sistema en repòs— la forma d'un el·lipsoide de revolució amb semieixos R√(1−v²/c²), R, R. Per tant, les dimensions Y i Z de l'esfera (i, per tant, de qualsevol figura) no semblen modificades pel moviment, però la dimensió X es contrau en la relació 1 : √(1−v²/c²); la contracció és tant més gran com més gran és v. Per a v = c, tots els cossos en moviment, vistos des d'un sistema en repòs, es redueixen a plans. Per a una velocitat superior a la de la llum, les nostres proposicions perden sentit; en la nostra teoria, c fa el paper d'una velocitat infinita. És clar que resultats similars són vàlids per a cossos en repòs en un sistema en repòs, quan es consideren des d'un sistema que es mou uniformement. Considerem ara que un rellotge en repòs en el sistema en repòs marca el temps t, i, en repòs relatiu al sistema en moviment, és capaç de marcar el temps τ; suposem que està col·locat a l'origen del sistema en moviment k i disposat de manera que marqui el temps τ. Quant guanya el rellotge, vist des del sistema en repòs K? Tenim τ = 1/√(1−v²/c²)·(t − v/c²·x), i x = vt, ∴ τ − t = [1 − √(1−v²/c²)]·t. Per tant, el rellotge s'endarrereix una quantitat ½·v²/c² per segon de moviment, com a segona aproximació. D'aquí se'n segueix la peculiar conseqüència següent. Suposem que en dos punts A i B del sistema en repòs hi ha dos rellotges que són síncrons en el sentit explicat al § 3 quan es veuen des del sistema en repòs. Suposem que el rellotge d'A es posa en moviment en la línia que l'uneix amb B; llavors, un cop arribat a B, ja no es trobaran síncrons, sinó que el rellotge que s'havia posat en moviment des d'A s'endarrerirà respecte del rellotge que havia romàs a B en una quantitat ½·t·v²/c², on t és el temps requerit per al trajecte. Veiem immediatament que aquest resultat també és vàlid quan el rellotge es mou d'A a B seguint una línia poligonal, i també quan A i B coincideixen. Si suposem que el resultat obtingut per a una línia poligonal també és vàlid per a una línia corba, obtenim la llei següent. Si a A hi ha dos rellotges síncrons, i si posem en moviment un d'ells amb una velocitat constant al llarg d'una corba tancada fins que torni a A, completant el trajecte en t segons, llavors, en arribar, aquest darrer rellotge s'endarrerirà respecte del rellotge en repòs en ½·t·v²/c² segons. D'aquí concloem que un rellotge situat a l'equador ha de ser més lent, en una quantitat molt petita, que un rellotge construït de manera idèntica situat al pol, essent totes les altres condicions idèntiques. ### § 5. Teorema d'addició de velocitats Sigui un punt que es mou en el sistema k (que es mou amb velocitat v al llarg de l'eix X del sistema K) segons l'equació ξ = w_ξ·τ, η = w_η·τ, ζ = 0, on w_ξ i w_η són constants. Cal trobar el moviment del punt respecte del sistema K. Si introduïm ara el sistema d'equacions del § 3 en l'equació de moviment del punt, obtenim x = (w_ξ+v)/(1+vw_ξ/c²), y = (1−v²/c²)^(1/2)·w_η·t/(1+vw_ξ/c²), z = 0. La llei del paral·lelogram de velocitats és vàlida només fins a la primera aproximació. Podem posar U² = (∂x/∂t)² + (∂y/∂t)², w² = w_ξ² + w_η², i α = tan⁻¹(w/w_ξ), és a dir, α és l'angle entre les velocitats v i w. Llavors tenim U = [(v²+w²+2vw·cos α) − (vw·sin α/c)²]^(1/2) / (1 + vw·cos α/c²). Cal notar que v i w intervenen simètricament en l'expressió de la velocitat. Si w té la direcció de l'eix ξ del sistema en moviment, U = (v+w)/(1+vw/c²). D'aquesta equació veiem que, en combinar dues velocitats, cadascuna de les quals és més petita que c, obtenim una velocitat que sempre és més petita que c. Si posem v = c−χ, i w = c−λ, on χ i λ són cadascuna més petites que c, U = c·(2c−χ−λ)/(2c−χ−λ+χλ/c²) < c. També és clar que la velocitat de la llum c no es pot alterar afegint-hi una velocitat més petita que c. Per a aquest cas, U = (c+v)/(1+cv/c²) = c. Hem obtingut la fórmula per a U per al cas en què v i w tenen la mateixa direcció; també es pot obtenir combinant dues transformacions segons el § 3. Si, a més dels sistemes K i k, introduïm el sistema k', l'origen del qual es mou paral·lelament a l'eix ξ amb velocitat w, llavors entre les magnituds x, y, z, t i les magnituds corresponents de k', obtenim un sistema d'equacions que difereix de les equacions del § 3 només en el fet que, en lloc de v, hem d'escriure (v+w)/(1+vw/c²). Veiem que aquesta mena de transformacions paral·leles formen un grup. Hem deduït la cinemàtica corresponent als nostres dos principis fonamentals, necessària per als nostres propòsits, i ara passem a la seva aplicació a l'electrodinàmica. ## II. — PART ELECTRODINÀMICA ### § 6. Transformació de les equacions de Maxwell per al buit pur. Sobre la naturalesa de la força electromotriu produïda pel moviment en un camp magnètic Suposem que les equacions de Maxwell-Hertz per al buit pur són vàlides en el sistema en repòs K, de manera que (1/c)·∂/∂t[X,Y,Z] = |∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z; L M N|, i (1/c)·∂/∂t[L,M,N] = −|∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z; X Y Z|, … (1) on [X, Y, Z] són les components de la força elèctrica, i L, M, N les components de la força magnètica. Si apliquem les transformacions del § 3 a aquestes equacions, i si referim els processos electromagnètics al sistema de coordenades que es mou amb velocitat v, obtenim, (1/c)·∂/∂τ[X, β(Y−(v/c)N), β(Z+(v/c)M)] = |∂/∂ξ ∂/∂η ∂/∂ζ; L β(M+(v/c)Z) β(N−(v/c)Y)|, i (1/c)·∂/∂τ[L, β(M+(v/c)Z), β(N−(v/c)Y)] = −|∂/∂ξ ∂/∂η ∂/∂ζ; X β(Y−(v/c)N) β(Z+(v/c)M)|, … (2) on β = 1/√(1−v²/c²). El Principi de Relativitat exigeix que les equacions de Maxwell-Hertz per al buit pur també siguin vàlides per al sistema k, si ho són per al sistema K; és a dir, per als vectors de les forces elèctrica i magnètica que actuen sobre les masses elèctriques i magnètiques en el sistema en moviment k, definits per la seva reacció ponderomotriu, valen les mateixes equacions, és a dir: (1/c)·∂/∂τ[X',Y',Z'] = |∂/∂ξ ∂/∂η ∂/∂ζ; L' M' N'|, (1/c)·∂/∂τ[L',M',N'] = −|∂/∂ξ ∂/∂η ∂/∂ζ; X' Y' Z'| … (3) És clar que ambdós sistemes d'equacions (2) i (3), desenvolupats per al sistema k, han d'expressar el mateix, ja que ambdós sistemes són equivalents a les equacions de Maxwell-Hertz per al sistema K. Com que ambdós sistemes d'equacions (2) i (3) concorden llevat dels símbols que representen els vectors, se'n segueix que les funcions que apareixen als llocs corresponents han de concordar llevat d'un factor ψ(v), que depèn només de v i és independent de (ξ, η, ζ, τ). D'aquí les relacions, [X',Y',Z'] = ψ(v)[X, β(Y−(v/c)N), β(Z+(v/c)M)], [L',M',N'] = ψ(v)[L, β(M+(v/c)Z), β(N−(v/c)Y)]. Llavors, amb un raonament similar al seguit al § 3, es pot demostrar que ψ(v) = 1. ∴ [X',Y',Z'] = [X, β(Y−(v/c)N), β(Z+(v/c)M)] [L',M',N'] = [L, β(M+(v/c)Z), β(N−(v/c)Y)]. Per a la interpretació d'aquestes equacions, fem les observacions següents. Considerem una massa elèctrica puntual d'una magnitud unitat en el sistema en repòs K, és a dir, que exerceix una força unitat sobre una massa semblant situada a una distància d'1 cm. Si aquesta quantitat d'electricitat és en repòs en el sistema en repòs, la força que hi actua és equivalent al vector (X, Y, Z) de força elèctrica. Però si aquesta quantitat d'electricitat és en repòs relatiu respecte del sistema en moviment (almenys en el moment considerat), la força que hi actua, mesurada en el sistema en moviment, és equivalent al vector (X', Y', Z'). Les tres primeres de les equacions (1), (2), (3) es poden expressar de la manera següent: 1. Si un pol elèctric puntual unitat es mou en un camp electromagnètic, a més de la força elèctrica hi actua una força electromotriu que, negligint els termes de segon ordre i superiors en v/c, és equivalent al producte vectorial del vector velocitat per la força magnètica, dividit per la velocitat de la llum (mode antic d'expressió). 2. Si un pol elèctric puntual unitat es mou en un camp electromagnètic, la força que hi actua és equivalent a la força elèctrica existent a la posició del pol unitat, que obtenim transformant el camp a un sistema de coordenades en repòs relatiu respecte del pol elèctric unitat (mode nou d'expressió). Teoremes semblants són vàlids pel que fa a la força magnètica. Veiem que, en la teoria desenvolupada, la força electromotriu fa el paper d'un concepte auxiliar, la introducció del qual en la teoria es deu a la circumstància que les forces elèctrica i magnètica no tenen existència independent de l'estat de moviment del sistema de coordenades. És clar, a més, que l'asimetria esmentada a la introducció, que apareix quan tractem el corrent excitat pel moviment relatiu d'un imant i d'un conductor, desapareix. També la qüestió sobre la seu de l'energia electromagnètica es revela desproveïda de sentit. ### § 7. Teoria del principi de Doppler i de l'aberració En el sistema K, a gran distància de l'origen de coordenades, hi ha una font d'ones electrodinàmiques, representada amb prou aproximació, en una part de l'espai que no conté l'origen, per les equacions: X = X₀ sin Φ, Y = Y₀ sin Φ, Z = Z₀ sin Φ, L = L₀ sin Φ, M = M₀ sin Φ, N = N₀ sin Φ, Φ = ω(t − (lx+my+nz)/c). Aquí (X₀, Y₀, Z₀) i (L₀, M₀, N₀) són els vectors que determinen les amplituds del tren d'ones, i (l, m, n) els cosinus directors de la normal a l'ona. Preguntem-nos ara per la composició d'aquestes ones, quan són investigades per un observador en repòs en un medi en moviment k: aplicant les equacions de transformació obtingudes al § 6 per a les forces elèctrica i magnètica, i les equacions de transformació obtingudes al § 3 per a les coordenades i el temps, obtenim immediatament: X' = X₀ sin Φ', L' = L₀ sin Φ', Y' = β(Y₀−(v/c)N₀) sin Φ', M' = β(M₀+(v/c)Z₀) sin Φ', Z' = β(Z₀+(v/c)M₀) sin Φ', N' = β(N₀−(v/c)Y₀) sin Φ', Φ' = ω'(τ − (l'ξ+m'η+n'ζ)/c), on ω' = ωβ(1−lv/c), l' = (l−v/c)/(1−lv/c), m' = m/[β(1−lv/c)], n' = n/[β(1−lv/c)]. De l'equació per a ω' se'n segueix: si un observador es mou amb velocitat v respecte d'una font de llum infinitament allunyada que emet ones de freqüència ν, de manera que la línia que uneix la font de llum i l'observador formi un angle Φ amb la velocitat de l'observador referida a un sistema de coordenades en repòs respecte de la font, llavors la freqüència ν' percebuda per l'observador ve representada per la fórmula ν' = ν·(1 − cos Φ·v/c) / √(1−v²/c²). Aquest és el principi de Doppler per a qualsevol velocitat. Si Φ = 0, l'equació pren la forma senzilla ν' = ν·√[(1−v/c)/(1+v/c)]. Veiem que —contràriament a la concepció habitual— ν = ∞ per a v = −c. Si Φ' = angle entre la normal de l'ona (direcció del raig) en el sistema en moviment i la línia de moviment de l'observador, l'equació per a l' pren la forma cos Φ' = (cos Φ − v/c)/(1 − (v/c)cos Φ). Aquesta equació expressa la llei d'aberració en la seva forma més general. Si Φ = π/2, l'equació pren la forma senzilla cos Φ' = −v/c. Encara hem d'investigar l'amplitud de les ones que apareixen en aquestes equacions. Si A i A' són les amplituds en els sistemes en repòs i en moviment (elèctrica o magnètica), tenim A'² = A²·(1−(v/c)cos Φ)²/(1−v²/c²). Si Φ = 0, això es redueix a la forma senzilla A'² = A²·(1−v/c)/(1+v/c). D'aquestes equacions, es desprèn que per a un observador que es mou amb velocitat c cap a la font de llum, la font hauria d'aparèixer infinitament intensa. ### § 8. Transformació de l'energia dels rajos de llum. Teoria de la pressió de radiació sobre un mirall perfecte Com que A²/8π és igual a l'energia de la llum per unitat de volum, hem de considerar A'²/8π com l'energia de la llum en el sistema en moviment. A'²/A² denotaria, per tant, la relació entre les energies d'un complex de llum determinat "mesurat en moviment" i "mesurat en repòs", essent iguals els volums del complex de llum mesurats en K i en k. Però no és aquest el cas. Si l, m, n són els cosinus directors de la normal de l'ona de llum en el sistema en repòs, aleshores no passa energia a través dels elements de superfície de la superfície esfèrica (x−clt)² + (y−cmt)² + (z−cnt)² = R², que s'expandeix amb la velocitat de la llum. Podem dir, doncs, que aquesta superfície sempre tanca el mateix complex de llum. Considerem ara la quantitat d'energia que aquesta superfície tanca, quan es considera des del sistema k, és a dir, l'energia del complex de llum relativa al sistema k. Vista des del sistema en moviment, la superfície esfèrica esdevé una superfície el·lipsoidal, que té, en el temps τ = 0, l'equació: (βξ − lβ(v/c)ξ)² + (η − mβ(v/c)ξ)² + (ζ − nβ(v/c)ξ)² = R². Si S = volum de l'esfera, S' = volum d'aquest el·lipsoide, un càlcul senzill mostra que: S'/S = β/√(1−(v/c)cos Φ) [nota: en el text original apareix sota l'arrel; vegeu l'equació donada] Si E denota la quantitat d'energia lumínica mesurada en el sistema en repòs, i E' la quantitat mesurada en el sistema en moviment, tancades per les superfícies esmentades, llavors E'/E = [(A'²/8π)S'] / [(A²/8π)S] = (1−(v/c)cos Φ)/√(1−v²/c²). Si Φ = 0, tenim la fórmula senzilla: E'/E = √[(1−v/c)/(1+v/c)]. Cal observar que l'energia i la freqüència d'un complex de llum varien segons la mateixa llei amb l'estat de moviment de l'observador. Suposem que hi ha un mirall perfectament reflectant al pla de coordenades ξ = 0, sobre el qual es reflecteix l'ona plana considerada al paràgraf anterior. Preguntem-nos ara per la pressió de la llum exercida sobre la superfície reflectant, i per la direcció, la freqüència i la intensitat de la llum després de la reflexió. Sigui la llum incident definida per les magnituds A cos Φ, v (referides al sistema K). Vista des de k, tenim les magnituds corresponents: A' = A·(1−(v/c)cos Φ)/√(1−v²/c²), cos Φ' = (cos Φ − v/c)/(1 − (v/c)cos Φ), ν' = ν·(1−(v/c)cos Φ)/√(1−v²/c²). Per a la llum reflectida, obtenim, quan el procés es refereix al sistema k: A'' = A', cos Φ'' = −cos Φ', ν'' = ν'. Mitjançant una transformació de retorn al sistema en repòs, obtenim per a K, per a la llum reflectida: A''' = A''·(1+(v/c)cos Φ'')/√(1−v²/c²) = A·(1−2(v/c)cos Φ+v²/c²)/(1−v²/c²), cos Φ''' = (cos Φ''+v/c)/(1+(v/c)cos Φ'') = −[(1+v²/c²)cos Φ−2v/c] / (1−2(v/c)cos Φ+v²/c²), ν''' = ν''·(1+(v/c)cos Φ'')/√(1−v²/c²) = ν·(1−2(v/c)cos Φ+v²/c²)/(1−v²/c²). La quantitat d'energia que incideix sobre la superfície unitat del mirall per unitat de temps (mesurada en el sistema en repòs) és A²/[8π(c cos Φ−v)]. La quantitat d'energia que surt de la superfície unitat del mirall per unitat de temps és A'''²/[8π(−c cos Φ''+v)]. La diferència d'aquestes dues expressions és, segons el principi d'energia, la quantitat de treball exercit per la pressió de llum per unitat de temps. Si posem això igual a P·v, on P = pressió de la llum, tenim P = 2·(A²/8π)·(cos Φ−v/c)²/[1−(v/c)²]. Com a primera aproximació, obtenim P = 2·(A²/8π)·cos²Φ, d'acord amb els fets i amb altres teories. Tots els problemes de l'òptica dels cossos en moviment es poden resoldre pel mètode utilitzat aquí. El punt essencial és que les forces elèctrica i magnètica de la llum, influïdes per un cos en moviment, s'han de transformar a un sistema de coordenades en repòs relatiu respecte del cos. D'aquesta manera, tot problema de l'òptica dels cossos en moviment es redueix a una sèrie de problemes de l'òptica dels cossos en repòs. ### § 9. Transformació de les equacions de Maxwell-Hertz Partim de les equacions: (1/c)(ρu_x + ∂X/∂t) = ∂N/∂y − ∂M/∂z, (1/c)(ρu_y + ∂Y/∂t) = ∂L/∂z − ∂N/∂x, (1/c)(ρu_z + ∂Z/∂t) = ∂M/∂x − ∂L/∂y, (1/c)∂L/∂t = ∂Y/∂z − ∂Z/∂y, (1/c)∂M/∂t = ∂Z/∂x − ∂X/∂z, (1/c)∂N/∂t = ∂X/∂y − ∂Y/∂x, on ρ = ∂X/∂x + ∂Y/∂y + ∂Z/∂z, denota 4π vegades la densitat d'electricitat, i (u_x, u_y, u_z) són les components de velocitat de l'electricitat. Si ara suposem que les masses elèctriques estan lligades de manera invariable a cossos petits i rígids (ions, electrons), aquestes equacions formen la base electromagnètica de l'electrodinàmica i l'òptica de Lorentz per als cossos en moviment. Si aquestes equacions, vàlides en el sistema K, es transformen al sistema k amb l'ajuda de les equacions de transformació dels § 3 i § 6, obtenim les equacions: (1/c)(ρ'u_ξ + ∂X'/∂τ) = ∂N'/∂η − ∂M'/∂ζ, ∂L'/∂τ = ∂Y'/∂ζ − ∂Z'/∂η, (1/c)(ρ'u_η + ∂Y'/∂τ) = ∂L'/∂ζ − ∂N'/∂ξ, ∂M'/∂τ = ∂Z'/∂ξ − ∂X'/∂ζ, (1/c)(ρ'u_ζ + ∂Z'/∂τ) = ∂M'/∂ξ − ∂L'/∂η, ∂N'/∂τ = ∂X'/∂η − ∂Y'/∂ξ, on (u_x−v)/(1−u_xv/c) = u_ξ, u_y/[β(1−vu_x/c²)] = u_η, ρ' = ∂X'/∂ξ + ∂Y'/∂η + ∂Z'/∂ξ = β(1−vu_x/c²)·ρ, u_z/[β(1−vu_x/c²)] = u_ζ. Com que el vector (u_ξ, u_η, u_ζ) no és res més que la velocitat de la massa elèctrica mesurada en el sistema k, com es pot veure fàcilment a partir del teorema d'addició de velocitats del § 4, es mostra així que, prenent com a base el nostre principi cinemàtic, la base electromagnètica de la teoria de Lorentz de l'electrodinàmica dels cossos en moviment correspon al postulat de relativitat. Es pot fer notar breument que la llei important següent es dedueix fàcilment de les equacions desenvolupades en aquesta secció: si un cos elèctricament carregat es mou de qualsevol manera en l'espai, i si la seva càrrega no canvia, vista des d'un sistema que es mou amb ell, aleshores la càrrega roman constant fins i tot quan es considera des del sistema en repòs K. ### § 10. Dinàmica de l'electró (accelerat lentament) Suposem que una partícula puntual, que té la càrrega elèctrica e (que anomenarem d'ara endavant "electró"), es mou en el camp electromagnètic; assumim el següent respecte a la seva llei de moviment. Si l'electró es troba en repòs en una època determinada, en la següent "partícula de temps" el moviment té lloc segons les equacions m·d²x/dt² = eX, m·d²y/dt² = eY, m·d²z/dt² = eZ, on (x, y, z) són les coordenades de l'electró, i m la seva massa. Suposem que l'electró posseeix la velocitat v en una certa època. Investiguem ara les lleis segons les quals l'electró es mourà en la "partícula de temps" immediatament posterior a aquesta època. Sense influir en la generalitat del tractament, podem suposar que, en el moment que estem considerant, l'electró es troba a l'origen de coordenades i es mou amb velocitat v al llarg de l'eix X del sistema. És clar que, en aquest moment (t=0), l'electró es troba en repòs relatiu respecte del sistema k, que es mou paral·lelament a l'eix X amb velocitat constant v. De les suposicions fetes més amunt, en combinació amb el principi de relativitat, és clar que, vist des del sistema k, l'electró es mou segons les equacions m·d²ξ/dt² = eX', m·d²η/dt² = eY', m·d²ζ/dt² = eZ', en el temps immediatament posterior al moment considerat, on els símbols (ξ, η, ζ, τ, X', Y', Z') es refereixen al sistema k. Si ara fixem que, per a t=v=y=z=0, τ=ξ=η=ζ=0, aleshores són vàlides les equacions de transformació donades al § 3 (i § 6), i tenim: τ = β(t − vx/c²), ξ = β(x−vt), η = y, ζ = z, X' = X, Y' = β(Y−(v/c)N), Z' = β(Z+(v/c)M). Amb l'ajuda d'aquestes equacions, podem transformar les equacions de moviment anteriors del sistema k al sistema K, i obtenim: (A) d²x/dt² = (e/m)·(1/β³)·X, d²y/dt² = (e/m)·(1/β)·(Y−(v/c)N), d²z/dt² = (e/m)·(1/β)·(Z+(v/c)M). Considerem ara, seguint el mètode habitual, la massa longitudinal i la massa transversal d'un electró en moviment. Escrivim les equacions (A) en la forma mβ³·d²x/dt² = eX = eX', mβ²·d²y/dt² = eβ[Y−(v/c)N] = eY', mβ²·d²z/dt² = eβ[Z+(v/c)M] = eZ', i observem primer que eX', eY', eZ' són les components de la força ponderomotriu que actua sobre l'electró, considerades en un sistema en moviment que, en aquest moment, es mou amb una velocitat igual a la de l'electró. Aquesta força es pot mesurar, per exemple, mitjançant una balança de molla en repòs en aquest darrer sistema. Si anomenem breument aquesta força "la força que actua sobre l'electró", i mantenim l'equació número de massa × número d'acceleració = número de força, i si a més fixem que les acceleracions es mesuren en el sistema en repòs K, aleshores, de les equacions anteriors, obtenim: Massa longitudinal = m/(√(1−v²/c²))³, Massa transversal = m/√(1−v²/c²). Naturalment, quan es donen altres definicions de la força i de l'acceleració, s'obtenen altres nombres per a la massa; així doncs, veiem que cal procedir amb molta cura en comparar les diferents teories del moviment de l'electró. Observem que aquest resultat sobre la massa també és vàlid per a la massa material ponderable; ja que, en el nostre sentit, un punt material ponderable pot convertir-se en un electró afegint-hi una càrrega elèctrica tan petita com es vulgui. Determinem ara l'energia cinètica de l'electró. Si l'electró es mou des de l'origen de coordenades del sistema K amb velocitat inicial 0, de manera constant al llarg de l'eix X, sota l'acció d'una força electromotriu X, és clar que l'energia extreta del camp electrostàtic té el valor ∫eXdx. Com que l'electró només s'accelera lentament, i, en conseqüència, no s'emet energia en forma de radiació, l'energia extreta del camp electrostàtic es pot igualar a l'energia W del moviment. Considerant tot el procés de moviment en qüestió, i com que és vàlida la primera de les equacions (A), obtenim: W = ∫eXdx = ∫₀^v mβ³v dv = mc²·[1/√(1−v²/c²) − 1]. Per a v=c, W és infinitament gran. Com mostra el nostre resultat anterior, les velocitats superiors a la de la llum no poden tenir cap possibilitat d'existència. En conseqüència dels arguments esmentats, aquesta expressió per a l'energia cinètica també ha de ser vàlida per a masses ponderables. Ara podem enumerar les característiques del moviment dels electrons disponibles per a la verificació experimental, que se segueixen de les equacions (A). 1. De la segona de les equacions (A) se'n segueix que una força elèctrica Y i una força magnètica N produeixen desviacions iguals en un electró que es mou amb velocitat v, quan Y = Nv/c. Per tant, veiem que, segons la nostra teoria, és possible obtenir la velocitat d'un electró a partir de la relació entre la desviació magnètica A_m i la desviació elèctrica A_e, aplicant la llei: A_m/A_e = v/c. Aquesta relació es pot verificar mitjançant experiments, ja que la velocitat de l'electró es pot mesurar directament per mitjà de camps elèctrics i magnètics oscil·lants ràpidament. 2. Del valor deduït per a l'energia cinètica de l'electró, se'n segueix que, quan l'electró passa a través d'una diferència de potencial P, la velocitat v adquirida ve donada per la relació següent: P = ∫Xdx = (m/e)·c²·[1/√(1−v²/c²) − 1]. 3. Calculem el radi de curvatura R de la trajectòria, quan l'única força deflectora és una força magnètica N que actua perpendicularment a la velocitat de projecció. De la segona de les equacions (A) obtenim: −d²y/dt² = v²/R = (e/m)·(v/c)·N·√(1−v²/c²), o bé R = mvβc/(eN). Aquestes tres relacions constitueixen expressions completes per a la llei de moviment de l'electró segons la teoria anterior. --- *Nota del traductor: aquesta és una traducció al català del text anglès "On the Electrodynamics of Moving Bodies" (traducció clàssica de W. Perrett i G. B. Jeffery), que correspon a l'article original d'Albert Einstein "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" (1905). Les equacions s'han mantingut en la seva notació original.* 5jjavjwuduqfgbm6z6bjjdwou20ntoe