Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.21 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 128732 1076194 729894 2026-03-29T10:03:39Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 1 */ 1076194 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Mit der '''Existenz für Skalarprodukte''' für normierte Räume wird durch den Satz von ''Jordan und von Neumann'' ein Zusammenhang zwischen der '''Parallelogrammgleichung''' und der Existenz eines Skalarproduktes auf normierten Räumen hergestellt. Die Parallelogrammgleichung in der [[w:de:Mathematik|Mathematik]] hat ihre Ursprünge in der elementaren [[w:de:Geometrie|Geometrie]]. Allgemeinere Formulierung gelten auch für normierte Vektorräume über [[w:de:komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] und in allgemeinen [[w:de:Innenproduktraum|Prähilberträumen]]. == Anwendung in der Geometrie == [[Datei:Parallelogrammgleichung 2D.svg|mini|Bezeichnungen am Parallelogramm]] Wir betrachten zunächst die Parallelogrammgleichung in der Euklidischen Geometrie. === Satz === In einem [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] mit den Seitenlängen ''a'', ''b'' und den Diagonalen ''e'', ''f'' gilt: : <math> 2\left(a^2+b^2\right)=e^2+f^2.</math> === Beweise === Der Satz folgt direkt und in besonders einfacher Weise aus dem [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]. Hierzu erweitern wir die nebenstehende Zeichnung noch um die Höhe <math>h_a</math> auf der linken Seite bei der Diagonalen ''f'' mit den Abschnitten ''q''. [[Datei:Parallelogrammgleichung 2D.svg|350px|Bezeichnungen am Parallelogramm]] ==== Beweisschritt 1 ==== Zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras ergibt zunächst die beiden Gleichungen :<math>(a+q)^2 + h_a^2 = e^2</math> :<math>(a-q)^2 + h_a^2 = f^2</math> Die Summe dieser beiden Gleichungen ergibt <math>2(a^2 + q^2 + h_a^2) = e^2+f^2</math>. Eine dritte Anwendung liefert <math>q^2 + h_a^2 = b^2</math> womit der Satz bewiesen ist. ==== Beweisschritt 2 ==== Der Beweis kann mit dem [[w:de:Kosinussatz|Kosinussatz]] wie folgt erfolgen: :<math>\begin{align}e^2+f^2 &= (a^2+b^2-2ab\ \cos(\beta))+(c^2+b^2-2cb\ \cos(\gamma)) \\ &= 2(a^2+b^2)\end{align}</math>, da <math>c=a</math> und <math>\cos(\gamma)=\cos(\pi-\beta)=-\cos(\beta)</math> ist. ==== Bemerkung 3 ==== Zwei Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> spannen ein Parallelogramm auf. [[Datei:Parallelogrammgleichung.svg|350px|Zwei linear unabhängige Vektoren spannen ein Parallelogramm auf]] In der linearen Algebra auf Schulniveau kann der Beweis mit [[w:de:Vektor|Vektoren]] und [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] in euklidischen zweidimensionale Geometrie behandelt werden. ==== Beweisschritt 4 ==== <!-- Mit <math> \color{red} \vec{e} \color{black} = \vec{a}+\vec{b} </math> und <math> \color{blue} \vec{f}\color{black} = \vec{a}-\vec{b} </math> --> Mit <math> {\vec{e}} = \vec{a} + \vec{b} </math> und <math> {\vec{f}} = \vec{a} - \vec{b} </math> gilt: :<math> \langle \vec{e},\vec{e}\rangle + \langle \vec{f},\vec{f}\rangle = \left( \langle \vec{a},\vec{a}\rangle +2 \vec \langle \vec{a},\vec{b}\rangle + \langle \vec{b},\vec{b}\rangle \right) + \left( \langle \vec{a},\vec{a}\rangle-2\langle \vec{a},\vec{b}\rangle + \langle \vec{b},\vec{b}\rangle \right) </math> :<math> =2 \langle \vec{a},\vec{a}\rangle+ 2 \langle \vec{b},\vec{b}\rangle </math>. === Verallgemeinerung und Umkehrung === Für ein beliebiges ebenes Viereck gilt mit den angegebenen Bezeichnungen: :<math>a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = e^2 + f^2 + 4 x^2, </math> wobei <math>x</math> den Abstand der Mittelpunkte der beiden Diagonalen bezeichnet. ==== Verallgemeinerung 1 ==== Ist das Viereck ein Parallelogramm, so stimmen die beiden Diagonalenmittelpunkte überein. Somit ist <math>x=0</math> und es ergibt sich die Parallelogrammgleichung als Spezialfall. ==== Verallgemeinerung 2 ==== Umgekehrt folgt: Gilt die Parallelogrammgleichung, so ist <math>x=0</math>. Die beiden Diagonalen halbieren sich also gegenseitig, das Viereck ist ein Parallelogramm. == Anwendung für komplexe Zahlen == Wenn man eine [[komplexe Zahl]] <math>x+iy \in \mathbb{C}</math> als Vektor <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> im zweidimensionalen Kartesischen Koordinatensystem auffasst, kann man die Existenz analog in die Gaußschen Zahlenebene übertragen === Satz === Für zwei [[w:de:Komplexe Zahl|komplexe]] Zahlen z,w gilt: :<math> 2\left(|z|^2+|w|^2\right) = |z+w|^2 + |z-w|^2. </math> === Beweis === Die Gültigkeit des Satzes ist offensichtlich, wenn man die Zahlen in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gauß'schen Zahlenebene]] interpretiert, in der <math>z</math> und <math>w</math> dann ein Parallelogramm mit den Diagonalen <math>z+w</math> und <math>z-w</math> aufspannen. Er lässt sich aber auch direkt rechnerisch herleiten mit dem Skalarprodukt. :<math>\langle z,w\rangle := \overline{z}\cdot w \in \mathbb{C} \qquad |z| = \sqrt{\overline{z}\cdot z} \in \mathbb{R}_o^{+} </math> ==== Beweis 1 ==== Unter Benutzung von <math>\left|z\right|^2 = \overline{z}z=\langle z,z \rangle</math> für jede komplexe Zahl <math>z</math> gilt: : <math> \begin{array}{rcl} \left|z+w\right|^2 &+& \left|z-w\right|^2 = \overline{(z+w)}\cdot (z+w)+\overline{(z-w)}/cdot (z-w) \\ &=& (\overline{z}+\overline{w})\cdot (z+w)+(\overline{z}-\overline{w}) \cdot (z-w)\\ &=& (\overline{z}z +\overline{z}w+\overline{w}z+\overline{w}w)+(\overline{z}z -\overline{z}w-\overline{w}z+\overline{w}w) \\ &=& 2\, \overline{z}z+2\overline{w}w = 2\, \langle z,z\rangle + 2\, \langle w,w\rangle \\ &=& 2\left|z\right|^2+2\left|w\right|^2 \end{array} </math> == Die Gleichung in Vektorräumen == Die Betrachtung in [[w:de:Prähilbertraum|Prähilberträumen]] stellt die am meisten abstrahierte Betrachtung dar. Selbstverständlich lassen sich die Aussagen der beiden vorhergehenden Abschnitte mit dem nun folgenden Satz beweisen (zum einen mit den Mitteln der [[w:de:Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]], zum anderen durch die Zurückführung von <math>\mathbb{C}</math> auf einen zweidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] unter Definition einer Multiplikation und einer Norm). Dennoch sind die jeweiligen Beweise mit den jeweils zur Verfügung stehenden Mitteln in der Sekundarstufe I und II über den Pythagos oder dem kanonischen Skalarprodukt im <math>\mathbb{R}^2</math> bereits umsetzbar. === Satz === In [[w:de:Prähilbertraum|Prähilberträumen]], also [[w:de:Vektorraum|Vektorräumen]], in denen ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] definiert ist, (oder in Vektorräumen mit zumindest einem positiv semidefiniten inneren Produkt) gilt: :<math>\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)</math> wobei <math>\|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle}</math> die durch das [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierte Norm]] ist. === Beweis === Zum Beweis benötigt man nur die Tatsache, dass ein Skalarprodukt eines jeden Prähilbertraumes bezüglich der Addition für beide Argumente (semi-)linear ist (siehe [[w:de:Innenproduktraum#Formale Definition|Definition des Skarlarproduktes]] und [[w:de:Sesquilinearform|Sesquilinearform]]). Dann erhält man: : <math>\|x+y\|^2+\|x-y\|^2 = \langle x+y, x+y\rangle + \langle x-y, x-y\rangle </math> : <math> = \langle x, x+y\rangle +\langle y, x+y\rangle \ +\ \langle x, x-y\rangle - \langle y, x-y\rangle </math> : <math> = \langle x, x \rangle +\langle x, y\rangle + \langle y, x \rangle +\langle y, y\rangle \ +\ \langle x, x\rangle - \langle x, y\rangle - \langle y, x\rangle + \langle y, y\rangle </math> : <math> = 2\langle x, x \rangle + 2\langle y, y\rangle = 2(\|x\|^2+\|y\|^2) </math> === Umkehrung === Die Parallelogrammgleichung gilt nicht in [[w:de:normierter Raum|normierten Vektorräumen]], deren [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] nicht durch ein Skalarprodukt definiert wird. Es gilt nämlich der '''Satz von Jordan-von Neumann''' (nach [[w:de:Pascual Jordan|Pascual Jordan]] und [[w:de:John von Neumann|John von Neumann]]): ==== Zusammenhang Norm - Skalarprodukt ==== Gilt in einem normierten Vektorraum <math>(V, \|{\cdot}\|)</math> die Parallelogrammgleichung, so gibt es ein Skalarprodukt <math>\langle {\cdot},{\cdot}\rangle</math>, das die Norm erzeugt, das heißt, für alle <math>x \in V</math> gilt :<math>\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}.</math> ==== Polarisationsformel ==== Dieses Skalarprodukt kann durch eine [[w:de:Polarisationsformel|Polarisationsformel]] definiert werden, im reellen Fall zum Beispiel durch :<math>\langle x, y\rangle = \frac 14\left({\|x+y\|^2-\|x-y\|^2}\right)</math> und im komplexen Fall durch :<math>\langle x,y \rangle = \frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right)+\frac{i}{4}\left(\|x+iy\|^2-\|x-iy\|^2\right).</math> === Parallelogrammgleichung im IR-[[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] === Seien <math>x,y \in V</math> aus dem normierten Verktorraum <math>V</math> und es gelte die Parallelogrammgleichung im <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum. :<math>\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)</math> Dann ist das Skalarprodukt dort durch die Polarisationsformel definiert (siehe nachfolgende Aufgabe): :<math>\langle x, y\rangle := \frac 14\left({\|x+y\|^2-\|x-y\|^2}\right)</math> === Aufgabe - von Parallelogrammgleichung zum Skalarprodukt === Zeigen Sie nun, dass die im Folgenden definiert Abbildung von <math> V \times V </math> nach <math> \mathbb{R}</math> Skalarprodukt ist, :<math> \begin{array}{rccl} \langle \cdot, \cdot \rangle & : V \times V & \to & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \mapsto & \langle x, y\rangle = \frac{1}{4}\left({\|x+y\|^2-\|x-y\|^2}\right) \end{array} </math> Weisen Sie dazu im reellen Fall die definierenden Eigenschaften einer symmetrische Bilinearform nach. == Quellen == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis''. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 203–204. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Hilberträume: Parallelogrammgleichung|Beweis zur Parallelogrammgleichung}} [[Kategorie:Vierecksgeometrie]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] [[Kategorie:Lineare Algebra]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz%20f%C3%BCr%20Skalarprodukte&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz%20f%C3%BCr%20Skalarprodukte&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz%20f%C3%BCr%20Skalarprodukte https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz%20f%C3%BCr%20Skalarprodukte] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz%20f%C3%BCr%20Skalarprodukte Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz%20f%C3%BCr%20Skalarprodukte * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz%20f%C3%BCr%20Skalarprodukte&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogrammgleichung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogrammgleichung Parallelogrammgleichung] https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogrammgleichung * Datum: 4.2.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Parallelogrammgleichung Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Parallelogrammgleichung Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 863gunlzoex7a4k2ytpqd3i9nw4egdj 2 159825 1076193 1075773 2026-03-28T19:52:47Z Paul Sutermeister 37610 1076193 wikitext text/x-wiki Die Prüfung dauert 30 Minuten.</br>Schreiben Sie 5 E-Mails. '''Aufgabe 1''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie ein Fahrrad ein. Animieren Sie das Fahrrad mit Einfliegen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Fahrrad.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 2''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie einen Hund ein. Animieren Sie den Hund mit Springen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Hund.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 3''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie eine Katze ein. Animieren Sie die Katze mit Drehen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Katze.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 4''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie ein Flugzeug ein. Animieren Sie das Flugzeug mit einem Animationspfad. Speichern Sie die Datei als Nachname_Flugzeug.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 5''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie ein Schiff ein. Animieren Sie das Schiff mit Einfliegen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Schiff.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. <!--'''Aufgabe 16''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie eine Wolke ein. Animieren Sie die Wolke mit Springen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Wolke.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 17''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie einen Stern ein. Animieren Sie den Stern mit Vergrössern / Verkleinern. Speichern Sie die Datei als Nachname_Stern.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 18''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie einen Apfel ein. Animieren Sie den Apfel mit Drehen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Apfel.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 19''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie ein Buch ein. Animieren Sie das Buch mit Springen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Buch.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 20''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie ein Handy ein. Animieren Sie das Handy mit Einfliegen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Handy.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 21''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie einen Tisch ein. Animieren Sie den Tisch mit Springen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Tisch.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 22''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie einen Stuhl ein. Animieren Sie den Stuhl mit Einfliegen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Stuhl.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 23''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie ein Glas ein. Animieren Sie das Glas mit Vergrössern / Verkleinern. Speichern Sie die Datei als Nachname_Glas.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 24''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie eine Uhr ein. Animieren Sie die Uhr mit Drehen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Uhr.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 25''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie einen Zug ein. Animieren Sie den Zug mit einem Animationspfad. Speichern Sie die Datei als Nachname_Zug.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 26''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie eine Brücke ein. Animieren Sie die Brücke mit Springen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Bruecke.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 27''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie einen Schuh ein. Animieren Sie den Schuh mit Einfliegen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Schuh.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 28''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie einen Rucksack ein. Animieren Sie den Rucksack mit Springen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Rucksack.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 29''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie eine Tasse ein. Animieren Sie die Tasse mit Vergrössern / Verkleinern. Speichern Sie die Datei als Nachname_Tasse.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. '''Aufgabe 30''' Öffnen Sie PowerPoint. Erstellen Sie eine neue Präsentation. Fügen Sie eine Lampe ein. Animieren Sie die Lampe mit Einfliegen. Speichern Sie die Datei als Nachname_Lampe.pptx. Schicken Sie die Datei per E-Mail an die Lehrperson. == Aufgabe 1 == # Öffnen Sie '''PowerPoint'''. # Erstellen Sie eine '''neue Präsentation'''. # Fügen Sie ein '''Haus''' ein. # Animieren Sie das '''Haus''' mit '''Springen'''. # Speichern Sie die Datei als '''Nachname_Haus.pptx'''. # Schicken Sie die Datei '''per E-Mail an die Lehrperson'''. == Aufgabe 2 == # Öffnen Sie '''PowerPoint'''. # Erstellen Sie eine '''neue Präsentation'''. # Fügen Sie einen '''Vogel''' ein. # Animieren Sie den '''Vogel''' mit '''Einfliegen'''. # Speichern Sie die Datei als '''Nachname_Vogel.pptx'''. # Schicken Sie die Datei '''per E-Mail an die Lehrperson'''. == Aufgabe 3 == # Öffnen Sie '''PowerPoint'''. # Erstellen Sie eine '''neue Präsentation'''. # Fügen Sie einen '''Ball''' ein. # Animieren Sie den '''Ball''' mit '''Vergrössern / Verkleinern'''. # Speichern Sie die Datei als '''Nachname_Ball.pptx'''. # Schicken Sie die Datei '''per E-Mail an die Lehrperson'''. == Aufgabe 4 == # Öffnen Sie '''PowerPoint'''. # Erstellen Sie eine '''neue Präsentation'''. # Fügen Sie einen '''Menschen''' ein. # Animieren Sie den '''Menschen''' mit '''Drehen'''. # Speichern Sie die Datei als '''Nachname_Mensch.pptx'''. # Schicken Sie die Datei '''per E-Mail an die Lehrperson'''. == Aufgabe 5 == # Öffnen Sie '''PowerPoint'''. # Erstellen Sie eine '''neue Präsentation'''. # Fügen Sie ein '''Auto''' ein. # Animieren Sie das '''Auto''' mit einem '''Animationspfad'''. # Speichern Sie die Datei als '''Nachname_Auto.pptx'''. # Schicken Sie die Datei '''per E-Mail an die Lehrperson'''. == Aufgabe 6 == # Öffnen Sie '''PowerPoint'''. # Erstellen Sie eine '''neue Präsentation'''. # Fügen Sie eine '''Sonne''' ein. # Animieren Sie die '''Sonne''' mit '''Springen'''. # Speichern Sie die Datei als '''Nachname_Sonne.pptx'''. # Schicken Sie die Datei '''per E-Mail an die Lehrperson'''. == Aufgabe 7 == # Öffnen Sie '''PowerPoint'''. # Erstellen Sie eine '''neue Präsentation'''. # Fügen Sie einen '''Baum''' ein. # Animieren Sie den '''Baum''' mit '''Einfliegen'''. # Speichern Sie die Datei als '''Nachname_Baum.pptx'''. # Schicken Sie die Datei '''per E-Mail an die Lehrperson'''. == Aufgabe 8 == # Öffnen Sie '''PowerPoint'''. # Erstellen Sie eine '''neue Präsentation'''. # Fügen Sie einen '''Fisch''' ein. # Animieren Sie den '''Fisch''' mit einem '''Animationspfad'''. # Speichern Sie die Datei als '''Nachname_Fisch.pptx'''. # Schicken Sie die Datei '''per E-Mail an die Lehrperson'''. == Aufgabe 9 == # Öffnen Sie '''PowerPoint'''. # Erstellen Sie eine '''neue Präsentation'''. # Fügen Sie eine '''Blume''' ein. # Animieren Sie die '''Blume''' mit '''Vergrössern / Verkleinern'''. # Speichern Sie die Datei als '''Nachname_Blume.pptx'''. # Schicken Sie die Datei '''per E-Mail an die Lehrperson'''. == Aufgabe 10 == # Öffnen Sie '''PowerPoint'''. # Erstellen Sie eine '''neue Präsentation'''. # Fügen Sie einen '''Berg''' ein. # Animieren Sie den '''Berg''' mit '''Springen'''. # Speichern Sie die Datei als '''Nachname_Berg.pptx'''. # Schicken Sie die Datei '''per E-Mail an die Lehrperson'''. hfon9yrrfqgbph1ztvxw0547kopxfs8 106 162407 1076210 1076069 2026-03-29T11:51:23Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale */ 1076210 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Holomorphe Funktion * Konvexes Gebiet * Stammfunktion == Satz - Existenz von Stammfunktion auf konvexen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> und <math>G \subseteq \mathbb{C}</math> ist konvex, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> ist eine Stammfunktion von <math> f </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. == Beweis == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>G</math>. Man zeigt nun, dass <math> f </math> eine Stammfunktion <math> F </math> besitzt. === Schritt 1: Auswahl eines festen Punktes aus dem Gebiet === Ein Punkt <math>z_o \in G</math> wird gewählt. Der Punkt <math> z_o</math> dient als fester Anfangspunkt eines Integrationsweges <math>\gamma_{[z_o,z]}:[0,1] \to \mathbb{C} </math> von <math> z_o</math> als [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z \in G</math>. :<math> \gamma_{[z_o,z]}(t) := (1-t) \cdot z_o + t\cdot z </math>. === Schritt 2: Definition einer Stammfunktion === Man definiert nun die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> durch :<math> F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> wird im weitere Verlauf gezeigt. === Schritt 3: Differenzierbarkeit von F === Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt. Sei <math> z \in G </math> und <math> h \in \mathbb{C} </math> so klein gewählt, dass <math> z + h \in G </math> ebenfalls. Dies ist möglich, da <math>G</math> offen ist. === Schritt 4: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> berechnet man zunächst: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde gezeigt, dass <math>F</math> eine holomorphe Funktion und <math> F'=f </math> auf einem konvexen Gebiet <math> G</math> gilt. Also ist <math> F </math> eine Stammfunktion <math>f</math>, die über <math>F(z)</math> durch das [[Wegintegral]] über <math> f </math> von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. Gezeigt wurde damit auch, dass die Stammfunktion <math> F </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Satz - Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmigen]] [[w:de:Gebiet_(Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subseteq \mathbb{C}</math>, dann besitzt <math>f</math> eine Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> ist eine Stammfunktion von <math> f </math> mit <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in G </math>. === Beweis - Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten === Der Beweis des Satz zur Existenz von Stammfunktion auf sternförmigen Gebieten für holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> erfolgt analog zum Satz für konvexe Gebiete. ==== Beweisschritt 1 - Definition des Wegintegral ==== Da <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]] ist, gibt es ein <math>z_0 \in G</math>, so dass für alle <math>z \in M</math> die [[w:de:Strecke (Geometrie)|Strecke]] : <math>[z_0 , z] = \left\{ \; (1-t)\cdot z_0+t\cdot z \;\; | \;\; t \in [0,1] \;\right\}</math> eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]] von <math>G</math> ist. Man definiert nun die Stammfunktion als Wegintegral über <math>\gamma_{z_o,z}</math> als [[Konvexkombination]] <math>\gamma_{z_o,z}(t) =z_o\cdot (1-t) \cdot z_0+t\cdot z </math> mit <math>t \in [0,1]</math>: :<math> F(z) := \int_{\gamma_{z_o,z}} f(\zeta)\, d\zeta </math> ==== Beweisschritt 2 - sternförmig - konvex ==== Ist <math>G</math> eine [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] dann ist auch die Verbindungsstrecke <math>[z+h,z]\subset G</math> und man kann die Beweisschritte oben ohne Einschränkung weiter durchgeführt werden. In einer sternförmigen Mengen mit Zentrum <math>z_o</math> kann man nur dafür garantieren, dass Die Teilmengenbeziehung <math> [z+h,z] \subset G</math> benötigt man aber, um das folgende Wegintegral definieren zu können: :<math>\int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta</math> ==== Beweisschritt 3 - Offenheit von G ==== Da <math>G</math> offen ist, gibt es ein <math> r > 0 </math>, dass <math> D_r(z) \subseteq G </math> gilt. Man betrachtet in der obigen Beweisführung zu [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebieten]]. == Siehe auch == * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] t2yyzc4c8sza99itjdduio8vsynjtxh 106 162408 1076207 1062688 2026-03-29T11:49:51Z Bert Niehaus 20843 /* Mittelwertsatz für Wegintegrale */ 1076207 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte: * die gegebene stetige Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wird in die Real- und Imaginärteilfunktion mit <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> * Anwendung des Mittelwertsatzes aus der reellen Analysis auf die Realteilfunktion <math>f_1</math> und die Imaginärteilfunktion mit <math>f_2</math>. * Anwendung der Mittelwertsatz auf einen Grenzwert auf eine Konvexkombination <math>\gamma_z</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> ::<math> \lim_{z\to z_o} \frac{1}{z-z_o} \cdot \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta = f(z_o) </math> === Repräsentation des Wegintegral === Der Mittelwertsatz für holomorphe Funktionen zeigt, dass man den Wert des Wegintegrals über eine holomorphe Funktion durch eine Auswertung der Funktion <math>f</math> an einem Punkt <math> \gamma(t_o)</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> und dem Wegintegral über die konstante Funktion 1 ausdrücken kann. <span id="Mittelwertsatz"></span> == Mittelwertsatz für Wegintegrale == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> die Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion, und sei <math>\gamma: [a, b] \to G</math> ein stückweise glatter Weg. Dann gibt es ein <math> t_1,t_2 \in [a, b] </math>, so dass :<math> \int_{\gamma} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot (b-a) </math> === Beweis === Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte: * Definition des Integrals verwenden, * Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion, * Anwendung des Mittelwertsatzes für reellwertige Funktionen === Beweischritt 1 - Definition des Integrals=== Das Integral einer holomorphen Funktion <math> f </math> über einen Weg <math>\gamma</math> ist definiert als: :<math> \int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \, dt. </math> === Beweischritt 2 - Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion=== Da <math> f </math> und <math>\gamma</math> stetig sind, ist die Funktion <math>h:= (f\circ \gamma) \cdot \gamma\,{'}</math> eine stetige Funktion mit <math>h : [a,b] \to \mathbb{C} </math>. Diese lässt sich mit <math>h_1:[a,b]\to \mathbb{R} </math> und <math>h_2:[a,b]\to \mathbb{R} </math> in die Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>h=h_1+i\cdot h_2</math> zerlegen. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{a}^{b} \underbrace{f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t)}_{=h(t)} \, dt & = & \displaystyle \int_{a}^{b} h(t) \, dt = \int_{a}^{b} h_1(t) \, dt + i \cdot \int_{a}^{b} h_2(t) \, dt \\ \end{array} </math> === Beweischritt 3 - Mittelwertsatz für reellwertige Integrale=== Durch Ersetzung und Anwendung der Linearität des Integrals erhält mit dem [[w:de:Mittelwertsatz der Integralrechnung|Mittelwertsatz der Integralrechnung]] für reellwertige Funktionen jeweils auf die Real- und Imagitärteilfunktion <math>h_1</math> und <math>h_2</math> an. Es existieren <math> t_1, t_2 \in [a, b] </math>, so dass: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \, dt & = & \displaystyle \int_{a}^{b} h_1(t) \, dt + i \cdot \int_{a}^{b} h_2(t) \, dt \\ & = & \big( h_1(t_1) \cdot (b-a) \big) + i \cdot \big( h_2(t_2) \cdot (b-a) \big) \\ & = & \big( h_1(t_1) + i \cdot h_2(t_2) \big) \cdot (b-a) \\ & = & \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot (b-a) \end{array} </math> === Fazit === Der Mittelwertsatz für holomorphe Funktionen liefert nun die Möglichkeit, dass das Wegintegral einer holomorphen Funktion <math> f </math> über einen Weg <math>\gamma</math> durch die Auswertung der Realteilfunktion <math> f_1 </math> und der Imaginärteilfunktion <math> f_2 </math> an zwei Punkten <math>\gamma(t_1), \, \gamma(t_2)</math> auf der Spur von dem Weg <math>\gamma </math> auszudrückt werden kann. <math>t_1 \in [0,1]</math> und <math>t_2 \in [0,1]</math> können dabei unterschiedlich sein. == Korollar - Mittelwertsatz für Konvexkombinationen == Sei <math>f: G\to \mathbb{C} </math> eine stetige Funktion, <math>z_o \in G</math> und <math>\gamma_z : [0,1] \to G</math> die folgende [[Konvexkombination]] von <math>z_0</math> nach <math>z</math> :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> dann gilt für :<math> \lim_{z\to z_o} \frac{1}{z-z_o} \cdot \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta = f(z_o) </math> == Beweis - Korollar == Da <math>G</math> offen ist, gibt es mit <math>z_o\in G</math> ein Kreisscheibe <math>D_r(z_o) = \{z\in G \, : \, |z-z_o| < r \} \subseteq G </math>, die ganz in <math>G</math> liegt. Man betrachtet den Grenzwertprozesse <math>z\to z_o</math>, daher kann man ohne Einschränkung <math>z\in G</math> so wählen, dass <math>|z-z_0| < r </math> gilt bzw. <math>z\in D_r(z_o)</math> erfüllt ist. === Beweisschritt 1 - Korollar - Definition Integrationsweg === Zunächst wird die [[Konvexkombination]] von <math>z_o</math> nach <math>z</math> definiert. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> Für <math>z\in D_r(z_o)</math> liegt auch die Spur von <math>\gamma_z</math> in der Kreisscheibe, d.h. <math>Spur(\gamma_z)\subseteq D_r(z_o)</math>. === Beweisschritt 2 - Korollar - Anwendung Mittelwertsatz === Über die Anwendung der Mittelwertsatz für Wegintegrale erhält man <math>t_{z,1},t_{z,2} \in [0,1]</math> mit <math>b-a = 1-0 = 1</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta & = & \big( f_1(\gamma_z(t_{z,1})) \cdot \underbrace{\gamma\,{'}\!\!\!_z(t_{z,1})}_{=z-z_o} + i \cdot f_2(\gamma_z(t_{z,2})) \cdot \underbrace{\gamma\,{'}\!\!\!_z(t_{z,2})}_{=z-z_o} \big) \\ & = & \big( f_1(\gamma_z(t_{z,1})) + i \cdot f_2(\gamma_z(t_{z,2})) \big) \cdot (z-z_o)\\ \\ \end{array} </math> Dabei ist zu berücksichtigen, dass die reellen Zahlen <math>t_{z,1},t_{z,2} \in [0,1]</math> von der Wahl von <math>z</math> für die Konvexkombination <math>\gamma_z</math> abhängen. === Beweisschritt 3 - Korollar - Anwendung Mittelwertsatz === Wenn man nun den Term für den Grenzwertprozess <math>z\to z_o</math> aus der Aussage des Korollars betrachtet, erhält man folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \frac{1}{z-z_o} \cdot \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta & = & \big( f_1(\gamma_z(t_{z,1})) + i \cdot f_2(\gamma_z(t_{z,2})) \big) \\ \\ \end{array} </math> Man muss nun untersuchen, welche Konvergenz für die Terme <math> \gamma_z(t_{z,1}) </math> und <math> \gamma_z(t_{z,2}) </math> in Abhängigkeit von <math>z\to z_o</math> vorliegt. === Beweisschritt 3 - Korollar Grenzwertprozess === Für den Grenzwertübergang <math>z\to z_0</math> folgt für beliebige <math>t\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \lim\limits_{z\to z_o} \gamma_z(t) & = & (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \\ & = & (1-t)\cdot z_0 + t\cdot \underbrace{\lim\limits_{z\to z_o} z}_{=z_o} \\ & = & (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z_o = z_o \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Korollar Grenzwertprozess === Diese Grenzwerteigenschaft wird nun für die reellen Zahlen <math>t_{z,1},t_{z,2} \in [0,1]</math> angewendet und man erhält: :<math> \lim_{z\to z_o} \gamma_z(t_{z,1}) = \lim_{z\to z_o} \gamma_z(t_{z,2}) = z_0 </math> Mit der vorausgesetzten [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> sind auch die Realteil- und Imaginärteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> stetig. === Beweisschritt 5 - Korollar Grenzwertprozess === Die Stetigkeit der Realteil- und Imaginärteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> liefert dann für beliebige <math>t_{z,1},t_{z,2} \in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \lim\limits_{z\to z_o} f_1(\gamma_z(t_{z,1})) & = & f_1(z_o) \\ \lim\limits_{z\to z_o} f_2(\gamma_z(t_{z,2})) & = & f_2(z_0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Korollar - Grenzwertprozess === Insgesamt erhält man damit für Grenzwertbetrachtung <math>z\to z_0</math> von [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] von <math>z_0</math> nach <math>z</math> angewendet auf den Mittelwertsatz für Wegintegrale folgende Darstellung: :<math> \lim_{z\to z_o} \frac{f(\zeta)}{z-z_o} \cdot \int_{\gamma_z} f(\zeta) \, d\zeta = f_1(z_o) + i\cdot f_2(z_o) = f(z_o) </math> Damit folgt die Behauptung des Korollars. <math>\Box</math> == Bemerkung - Korollar == Das Korollar zum Mittelwertsatz für Wegintegral wird im Beweis des [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Satzes über Stammfunktion und geschlossene Wege]] angewendet. Dabei betrachtet man analog [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] von <math>z</math> nach <math>z+h</math> und für den Limes <math>h\to 0</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Satz - Stammfunktion - geschlossene Wege]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kdgw4ocj2o3j1id607wwdw5731pngpe 106 167880 1076209 1062558 2026-03-29T11:50:55Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt SG2.10: Mittelwertsatz für Wegintegrale */ 1076209 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dem Satz zur [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktionen]] für geschlossene Wege betrachtet man als Voraussetzung stetige Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]], bei denen das [[Wegintegral]] die Konsequenzen für beliebige geschlossene Wege verschwindet. Der Satz besagt nun, dass bereits unter dieser Voraussetzung [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktionen]] auf <math>G</math> existieren. === Holmorphiekriterium === Die Eigenschaft, dass für beliebige geschlossene Wege <math>\gamma : [a,b] \to G </math> das Wegintegral verschwindet, d.h. :<math> \oint_\gamma f(\zeta) \, d\zeta = 0 </math> gilt, ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]]. Der Satz über Stammfunktionen und geschlossene Wege bereitet diese Aussage vor, der erst nach dem Beweis der [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) zu einem [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] wird. == Satz - Stammfunktion und geschlossene Wege == Sei <math>G</math> ein einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> stetig, dann sind folgende Bedingungen äquivalent. * '''(GW)''' Für beliebige geschlossene Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> die Eigenschaft ::<math> \oint_\gamma f(\zeta) \, d\zeta = 0 </math> * '''(SF)''' die Funktion <math>f</math> besitzt eine Stammfunktion <math>F</math> auf <math>G</math>. == Beweis - Stammfunktion und geschlossene Wege == Der Satz über Stammfunktionen und geschlossene Wege ist eine Äquivalenzaussage. Daher sind zwei Beweisrichtungen zu zeigen: * '''(SG1)''' (SF)<math>\Rightarrow</math>(GW) Aus der Existenz von Stammfunktionen für <math>f</math> folgt, dass geschlossene Wegintegrale <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> * '''(SG2)''' (GS)<math>\Rightarrow</math>(SF) Wenn für beliebige geschlossene Wegintegrale <math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0</math> gilt, dann besitzt <math>f</math> auch Stammfunktionen. === Beweisteil SG1 === Nach Voraussetzung habe <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> und sei :<math> \gamma: [a,b] \to G </math> ein beliebiger geschlossener Weg mit <math>\gamma(a) = \gamma(b)</math>. ==== Schritt SG1.1: Definition des Wegintegrals ==== Für den geschlossenen Weg <math>\gamma : [a,b] \to G </math> in dem Gebiet <math> G</math> wird nun die Definition des [[Wegintegral|Wegintegrals]] verwendet. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> ==== Schritt SG1.2: Anwendung der Substitutionsregel ==== Durch Anwendung der [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] auf [[Wegintegral#Stammfunktion|Wegintegrale]] erhält man: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\underbrace{\gamma(b)}_{=\gamma(a)}) - F(\gamma(a)) = 0 </math> Dabei wurde ausgenutzt, dass bei geschlossenen Wegen der Anfangs- und Endpunkt in <math>\mathbb{C}</math> übereinstimmen und <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> gilt. === Beweisteil SG2 === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] <math>G</math> ist nach Definition wegzusammenhängend, dann wählt man zu einem festen Startpunkt <math>s\in G</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> einen [[Integrationsweg]] <math>\gamma_z: [0,1] \to G</math> mit <math> \gamma_z(0) = s </math> und <math> \gamma_z(1) = z</math>. ==== Schritt SG2.1: Ziel des Beweisteils ==== Man definiert nur eine Funktion <math>F: G\to \mathbb{C}</math>, von der man im Verlaufe des Beweise nachweist, dass diese Funktion eine Stammfunktion von <math>f</math> mit <math>F'=f</math> ist. Die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wird wie folgt definiert: :<math> F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\zeta) \, d\zeta . </math> Dass diese definierte Funktion <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, wird im weiteren Verlauf des Beweisteils (SG2) gezeigt. ==== Schritt SG2.2: Differenzierbarkeit von F ==== Man muss nun zeigen, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> gilt und berechnet zunächst die Darstellung des Differenzenquotienten. :<math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> ==== Schritt SG2.3: Offenheit von G ==== Sei <math> z \in G </math> gewählt. Da <math>G</math> offen ist, existiert ein Radius <math> r > 0 </math> und eine Kreisscheibe <math>D_r(z)</math>, die ganz in <math>G</math> liegt. Man kann man ein <math> h \in \mathbb{C} </math> so klein mit <math>|h|< r</math> wählen, dass <math> z + h \in D_r(z) \subseteq G </math> gilt. ==== Schritt SG2.4: Differenzierbarkeit von F ==== Der Zähler aus der Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] ist <math> F(z + h) - F(z)</math> und diese Differenz wird nun Definition als Wegintegral dargestellt wird und später zu einem geschlossenen Weg umgeformt. :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{z+h}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{z}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Es wird sich zeigen, dass man diese Differenz bzgl. <math> F </math> als [[Wegintegral]] über <math>f</math> von dem Punkt <math>z</math> nach <math>z+h</math> über eine [[Konvexkombination]] als Integrationsweg ausdrücken kann. ==== Schritt SG2.5: G offen ==== Da <math>G</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] ist, ist <math>G</math> offen. Daher existiert eine offene Kreisscheibe <math> D_r(z) := \{ \zeta \in \mathbb{C} \, : \, |\zeta - z| < r \} </math>, die ganz in <math>G</math> liegt (d.h. <math>D_r(z)\subseteq G</math>). Man möchte den Grenzwert des Differenzenquotienten :<math> \lim_{h\to 0} \frac{F(z+h)-F(z)}{h} </math> betrachten. Dafür wählt man für <math>h\to 0</math> das <math>h</math> so klein, dass <math>|h| < r</math> gilt. ==== Schritt SG2.6: Konvexkombination in G ==== Mit <math>D_r(z)\subseteq G</math> und <math>|h| < r</math> liegt die [[Konvexkombination]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_{[z,z+h]}} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_{[z,z+h]}}(t)= (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) \end{array} </math> mit <math> \gamma{\,}'\!\!_{_{[z,z+h]}}(t) = (z+h)-z = h </math> und <math>Spur(\gamma_{_{[z,z+h]}}) \subset D_r(z)\subseteq G</math>. ==== Schritt SG2.7: Konstruktion - geschlossener Weg in G ==== Man betrachtet den geschlossenen Weg <math>\gamma := \gamma_{_{z+h}} - \gamma_{_{[z+h,z]}} - \gamma_{_{z}} </math>, wobei <math> \gamma_{_{[z+h,z]}} = - \gamma_{_{[z,z+h]}}</math> und die Integration über die [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] <math>\gamma</math> unter Verwendung der Voraussetzung für geschlossene Integrationswege: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \oint_{\gamma} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & \int_{\gamma_{_{z+h}}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{_{[z+h,z]}}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{-\gamma_{_{z}}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> ==== Schritt SG2.8: Differenzdarstellung als Wegintegral ==== Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> ==== Schritt SG2.9: Differenzierbarkeit von F ==== Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> ==== Schritt SG2.10: Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot (b-a) </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. ==== Schritt SG2.11: Einsetzen der Terme ==== Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> ==== Schritt SG2.12: Grenzwertprozess ==== Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Fazit === Insgesamt wurde Äquivalenz <math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 0</math> für beliebige geschlossene Wege und Existenz einer holomorphen Stammfunktion <math>F</math> gezeigt mit <math> F'=f </math>, wenn <math>f</math> auf dem Gebiet <math> G</math> stetig ist. Also ist <math> F </math> als Stammfunktion holomorph mit Ableitung <math>f</math>, wobei <math>F(z)</math> über ein [[Wegintegral]] von <math> f </math> für einen Weg <math>\gamma</math> von <math>s</math> nach <math>z</math> definiert wird. Die Holomorphie von <math>f</math> selbst ist damit noch nicht nachgewiesen. Gezeigt wurde damit nur, dass die Stammfunktion <math> F </math> mit <math> F'=f </math> wohldefiniert und differenzierbar ist. == Beispiel - Stammfunktion - Differenzierbarkeit == Die folgenden Funktion <math>f</math> auf <math>\mathbb{R}</math> zeigt, dass man zunächst einmal nicht aus der Differenzierbarkeit von <math>F</math> auch die Differenzierbarkeit von <math>f</math> folgt. :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f(x) = 2\cdot |x| \end{array} </math> besitzt eine Stammfunktion <math>F(x)=|x|\cdot x </math> auf <math>\mathbb{R}</math>. <math>f</math> selbst ist aber nicht auf ganz <math>\mathbb{R}</math> differenzierbar. === Differenzierbarkeit der Ausgangsfunktion f === Daher kann man im Allgemeinen an dieser Stelle des Kurses noch nicht folgern, dass mit der komplexen Differenzierbarkeit der Stammfunktion <math>F</math> auf <math>G</math> durch <math>F'=f</math> auch <math>f</math> [[Holomorphie|holomorph]] ist. Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) liefert als Korrollar, dass jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die einmal komplex differenzierbar ist, auch unendlich oft komplex differenzierbar ist. === Aufgabe - reelle Stammfunktionen === Zeigen Sie bei dem obigen Beispiel, dass für die <math>F(x)=|x|\cdot x </math> auf <math>\mathbb{R}</math> gilt, dass <math>F'=f</math> ist. == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion_auf_konvexen_Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Wegintegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] g96smsniqrikqhn78rgkbtmbb43ssb7 106 170005 1076176 1076156 2026-03-28T15:37:56Z Paul Sutermeister 37610 1076176 wikitext text/x-wiki <div style=" border:1px solid #b7dfc8; background:#f1fbf5; padding:0.8em; border-radius:4px; "> '''Lernziel: Sie lernen, ein [[:w:Tabellenkalkulation|Tabellenkalkulationsprogramm]] (zum Beispiel [[:w:Microsoft Excel|Excel]]) anzuwenden:'''<ref>Logik u.a. nach [[:w:International Certification of Digital Literacy|ICDL]]-Syllabus: [https://www.ecdl.ch/fileadmin/ECDL/CH/Dokumente/ECDL-Syllabus-Base-de.pdf ''ECDL Base Syllabus''].</ref> '''[[Kurs:Tabellenkalkulation#Arbeiten_mit_Dokumenten|A - Programm bedienen]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Zelle|B - Zelle]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Arbeitsblatt|C - Arbeitsblatt]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formel und Funktion|D - Formeln und Funktionen]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formatierung|E - Übersichtlich gestalten (Formatierung)]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Diagramm|F - Diagramme]].'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Ausgabe|G - Dokument abgabefertig machen]].'''</div> <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''A - Programm bedienen'''</big> </div> == Übungen == # Kopiere untenstehende Tabelle in ein leeres Excel-Dokument (in diesem neuen Dokument ab Zelle A1). # Speichere diese Datei unter dem Namen Zeitaufwand in C: im Ordner deiner Wahl. Schliesse die Datei. # Öffne die Datei Zeitaufwand.xls aus Laufwerk C:. # Ändere im Blatt Tabelle1 den Zoommodus auf den Wert 100%. Speichere die Datei als Excel-Vorlage unter Zeitaufwand.xltx in C: im Ordner deiner Wahl. Schliesse die Vorlage. # Erstelle eine neue Arbeitsmappe. Speichere die Mappe unter ☺.xlsx in C:\ im Unterordner deiner Wahl. Schliesse die Datei. # Erstelle ein neues Excel-Dokument. Gib Folgendes ein: X. Schliesse die Anwendung, ohne die Datei zu speichern. {| class="wikitable" ! KW !! Tätigkeit !! Anzahl !! Zeit (h) !! Zeit pro Aufgabe (h) !! Viel Arbeit? |- | 10 || E-Mails schreiben || 35 || 3 || =D2/C2 || |- | 11 || Rechnungen kontrolieren || 20 || 2 || || |- | 12 || Daten eingeben || 50 || 40 || || |- | 13 || Ordner sortieren || 30 || 2.5 || || |} ==Einzelnachweise== <references/> [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation| ]] 6o93hcmf6m5o0tccaq3h7drfih58mr5 106 170006 1076178 1076123 2026-03-28T15:52:25Z Paul Sutermeister 37610 1076178 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''E - Tabelle übersichtlich machen'''</big> </div> = Übung = # Formatiere das gesamte Blatt mit der '''Schriftart''' Calibri. # Formatiere die Zeilen 1 bis 53 in der '''Schriftgrösse''' 12 Pt. # Füge eine neue Zeile 1 ein, schreibe in A1 "Zeitmanagement". Verbinde die Zellen A1 bis F1 und richte die Überschrift '''horizontal zentriert''' aus. # Richte in Zeile 1 alle Zellinhalte '''vertikal zentriert''' zwischen dem oberen und dem unteren Rand aus. # Formatiere den Bereich A1 bis F1 mit einer beliebigen '''Hintergrundfarbe''', z.B. Hellgrün. # Ändere die Breite der Spalten A bis F auf '''optimale Breite'''. {{inuse}} # Formatiere alle Zahlen, wo sinnvoll, mit einem '''Tausendertrennzeichen''', ohne '''Dezimalstellen'''. # Formatiere den Wert in G99 im '''Prozentformat''' mit einer Dezimalstelle. # Formatiere die Zelle G99 mit einem '''Zeilenumbruch'''. # Formatiere den Bereich B9 bis G99 mit einer doppelten '''Rahmenlinie''' unten. # Entferne von den Zellen G99 und P999 das Format '''Fett'''. # '''Übertrage die Formatierung''' von der Zelle P88 auf die Zellen Q99 bis R200. # Formatiere die Zahlen im Bereich von P6 bis Q77 mit einem '''Währungssymbol''', mit Tausendertrennzeichen, mit 3 Dezimalstellen [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] rs8staydxvobjivxzllyydakdsgsh29 1076179 1076178 2026-03-28T15:52:45Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1076179 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''E - Tabelle übersichtlich machen'''</big> </div> = Übung = # Formatiere das gesamte Blatt mit der '''Schriftart''' Calibri. # Formatiere die Zeilen 1 bis 53 in der '''Schriftgrösse''' 12 Pt. # Füge eine neue Zeile 1 ein, schreibe in A1 "Zeitmanagement". Verbinde die Zellen A1 bis F1 und richte die Überschrift '''horizontal zentriert''' aus. # Richte in Zeile 1 alle Zellinhalte '''vertikal zentriert''' zwischen dem oberen und dem unteren Rand aus. # Formatiere den Bereich A1 bis F1 mit einer beliebigen '''Hintergrundfarbe''', z.B. Hellgrün. # Ändere die Breite der Spalten A bis F auf '''optimale Breite'''. = Weitere Übungen= {{inuse}} # Formatiere alle Zahlen, wo sinnvoll, mit einem '''Tausendertrennzeichen''', ohne '''Dezimalstellen'''. # Formatiere den Wert in G99 im '''Prozentformat''' mit einer Dezimalstelle. # Formatiere die Zelle G99 mit einem '''Zeilenumbruch'''. # Formatiere den Bereich B9 bis G99 mit einer doppelten '''Rahmenlinie''' unten. # Entferne von den Zellen G99 und P999 das Format '''Fett'''. # '''Übertrage die Formatierung''' von der Zelle P88 auf die Zellen Q99 bis R200. # Formatiere die Zahlen im Bereich von P6 bis Q77 mit einem '''Währungssymbol''', mit Tausendertrennzeichen, mit 3 Dezimalstellen [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] 5eiy2as2ml5to4a2alm5k5qxpm7gca1 106 170015 1076166 1076162 2026-03-28T14:24:20Z Paul Sutermeister 37610 1076166 wikitext text/x-wiki {{inuse}} <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Zellen</big>''' </div> = Übung = # Öffne die Datei Zeitaufwand.xlsx im Systemlaufwerk. '''Korrigiere''' den Deutschfehler in der Zelle B3. # Korrigiere die Zahl in Zelle D4 auf 4. # Gib in Zelle G2 das heutige Datum ein (ohne Funktion). # '''Verschiebe''' den Bereich A1 bis G5 so, dass KW dann in Zelle B2 steht. # '''Lösche''' den Inhalt der Zelle H3. # '''Sortiere''' die Liste absteigend nach KW. # Verlängere in der Spalte B die Datenreihe bis zur Kalenderwoche 1. # '''Kopiere''' den Zellinhalt der Zelle F6 in die Zelle F3. # '''Sortiere''' die Tabelle aufsteigend nach Kalenderwoche. # Fülle die Spalte B bis KW 52 aus. # Kopiere die Funktion von Zelle F3 nach unten bis Kalenderwoche 52. # Verschiebe die Zellen C12:F15 nach C3:F6. # Fülle die Spalten C:F bis Zeile 54 aus. # '''Ersetze''' in den Spalten E und F die Einträge (h) durch (Stunde). # '''Suche''' nach den Zellen, in denen "Stunde" enthalten ist. Korrigiere auf "Stunden". # Kopiere die sechs Überschriften und die darunterliegenden vier Zeilen auf ein neues Tabellenblatt (Tabelle2) in die Zelle B2. Speichere und schliesse die Datei (aber nicht das Programm). [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] m13zwaf2ou9o01zzxyfgrddetjwr72g 1076167 1076166 2026-03-28T14:30:17Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1076167 wikitext text/x-wiki {{inuse}} <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Zellen</big>''' </div> = Übung = # Öffne die Datei Zeitaufwand.xlsx im Systemlaufwerk. '''Korrigiere''' den Deutschfehler in der Zelle B3. # Korrigiere die Zahl in Zelle D4 auf 4. # Gib in Zelle G2 das heutige Datum ein (ohne Funktion). # '''Verschiebe''' den Bereich A1 bis G5 so, dass KW dann in Zelle B2 steht. # '''Lösche''' den Inhalt der Zelle H3. # '''Sortiere''' die Liste absteigend nach KW. # Verlängere in der Spalte B die Datenreihe bis zur Kalenderwoche 1. # '''Kopiere''' den Zellinhalt der Zelle F6 in die Zelle F3. # '''Sortiere''' die Tabelle aufsteigend nach Kalenderwoche. # Fülle die Spalte B bis KW 52 aus. # Kopiere die Funktion von Zelle F3 nach unten bis Kalenderwoche 52. # Verschiebe die Zellen C12:F15 nach C3:F6. # Fülle die Spalten C:F (Wiederholungen der Zeilen 3 bis 6) bis Zeile 54 aus. # '''Ersetze''' in den Spalten E und F die Einträge (h) durch (Stunde). # '''Suche''' nach den Zellen, in denen "Stunde" enthalten ist. Korrigiere auf "Stunden". # Kopiere die sechs Überschriften und die darunterliegenden vier Zeilen auf ein neues Tabellenblatt (Tabelle2) in die Zelle B2. Speichere und schliesse die Datei (aber nicht das Programm). [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] 7tayel3q3qvpe8gms7wftagemon5mxj 1076168 1076167 2026-03-28T14:45:53Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1076168 wikitext text/x-wiki {{inuse}} <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Zellen</big>''' </div> = Übung = # Öffne die Datei Zeitaufwand.xlsx im Systemlaufwerk. '''Korrigiere''' den Deutschfehler in der Zelle B3. # Korrigiere die Zahl in Zelle D4 auf 4. # Gib in Zelle G2 das heutige Datum ein (ohne Funktion). # '''Verschiebe''' den Bereich A1 bis G5 so, dass KW dann in Zelle B2 steht. # '''Lösche''' den Inhalt der Zelle H3. # '''Sortiere''' die Liste absteigend nach KW. # Verlängere in der Spalte B die Datenreihe bis zur Kalenderwoche 1. # '''Kopiere''' den Zellinhalt der Zelle F6 in die Zelle F3. # '''Sortiere''' die Tabelle aufsteigend nach Kalenderwoche. # Fülle die Spalte B bis KW 52 aus. # Kopiere die Funktion von Zelle F3 nach unten bis Kalenderwoche 52. # Verschiebe die Zellen C12:F15 nach C3:F6. # Fülle die Spalten C:F (Wiederholungen der Zeilen 3 bis 6) bis Zeile 54 aus. # '''Ersetze''' in den Spalten E und F die Einträge (h) durch (Stunde). # '''Suche''' nach den Zellen, in denen "Stunde" enthalten ist. Korrigiere auf "Stunden". # Ersetze im Tabellenblatt alle "Daten" durch "Zahlungen". # Kopiere die sechs Überschriften und die darunterliegenden vier Zeilen auf ein neues Tabellenblatt (Tabelle2) in die Zelle B2. Speichere und schliesse die Datei (aber nicht das Programm). [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] by4dngq4wpu5qnoubzvh5z1wszt9tcu 1076177 1076168 2026-03-28T15:38:16Z Paul Sutermeister 37610 1076177 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Zellen</big>''' </div> = Übung = # Öffne die Datei Zeitaufwand.xlsx im Systemlaufwerk. '''Korrigiere''' den Deutschfehler in der Zelle B3. # Korrigiere die Zahl in Zelle D4 auf 4. # Gib in Zelle G2 das heutige Datum ein (ohne Funktion). # '''Verschiebe''' den Bereich A1 bis G5 so, dass KW dann in Zelle B2 steht. # '''Lösche''' den Inhalt der Zelle H3. # '''Sortiere''' die Liste absteigend nach KW. # Verlängere in der Spalte B die Datenreihe bis zur Kalenderwoche 1. # '''Kopiere''' den Zellinhalt der Zelle F6 in die Zelle F3. # '''Sortiere''' die Tabelle aufsteigend nach Kalenderwoche. # Fülle die Spalte B bis KW 52 aus. # Kopiere die Funktion von Zelle F3 nach unten bis Kalenderwoche 52. # Verschiebe die Zellen C12:F15 nach C3:F6. # Fülle die Spalten C:F (Wiederholungen der Zeilen 3 bis 6) bis Zeile 54 aus. # '''Ersetze''' in den Spalten E und F die Einträge (h) durch (Stunde). # '''Suche''' nach den Zellen, in denen "Stunde" enthalten ist. Korrigiere auf "Stunden". # Ersetze im Tabellenblatt alle "Daten" durch "Zahlungen". # Kopiere die sechs Überschriften und die darunterliegenden vier Zeilen auf ein neues Tabellenblatt (Tabelle2) in die Zelle B2. Speichere und schliesse die Datei (aber nicht das Programm). [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] sxve6zp344mctd3v4vjbdlek3760vpb 106 170016 1076165 1076164 2026-03-28T12:01:32Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1076165 wikitext text/x-wiki {{inuse}} <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Arbeitsblatt'''</big> </div> = Übung = # Öffne die Datei mit dem Namen Zeitaufwand auf deiner Festplatte. Öffne das Tabellenblatt Tabelle2. # Füge zwischen Spalte D und Spalte E eine neue Spalte ein. # Ändere die Zeilenhöhe der Zeile 2 mindestens auf den Wert 50. # Erhöhe die Breite der Spalte C auf 17. # Füge ein neues Blatt in dieser Mappe ein. Benenne das neue Blatt mit Arbeitszeit. Verschiebe das Blatt so, dass es das erste Blatt in der Mappe ist. # Erstelle eine Kopie des Blattes Tabelle2, z.B. am Ende der Mappe. # Lösche das Blatt Tabelle1. # Fixiere die Zeilen 1 bis 4, damit die Überschriften immer sichtbar sind - auch wenn du in der langen Liste nach unten scrollst. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] oxlig0vyw8unvnbtnswd2rdnbz5ebf9 1076169 1076165 2026-03-28T14:51:18Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1076169 wikitext text/x-wiki {{inuse}} <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Arbeitsblatt'''</big> </div> = Übung = # Öffne die Datei mit dem Namen Zeitaufwand auf deiner Festplatte. Öffne das Tabellenblatt Tabelle2. # Füge zwischen Spalte D und Spalte E eine neue Spalte ein. # Ändere die Zeilenhöhe der Zeile 2 mindestens auf den Wert 50. # Erhöhe die Breite der Spalte C auf 17. # Füge ein neues Blatt in dieser Mappe ein. Benenne das neue Blatt mit Arbeitszeit. Verschiebe das Blatt so, dass es das erste Blatt in der Mappe ist. # Erstelle eine Kopie des Blattes Tabelle2, z.B. am Ende der Mappe. # Lösche das Blatt Tabelle1. # Lösche im Arbeitsblatt "Tabelle2 (2)" eine Zeile und eine Spalte, sodass KW in A1 ist. # Fixiere die Zeilen 1 bis 4, damit die Überschriften immer sichtbar sind - auch wenn du in der langen Liste nach unten scrollst. # Speichere die Datei als Vorlage und schliesse das Programm. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] p9loyivgiszq5e1oy52ec3ttugcdeu5 1076170 1076169 2026-03-28T14:54:03Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1076170 wikitext text/x-wiki {{inuse}} <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Arbeitsblatt'''</big> </div> = Übung = # Öffne die Datei mit dem Namen Zeitaufwand auf deiner Festplatte. Öffne das Tabellenblatt Tabelle2. # Füge zwischen Spalte D und Spalte E eine neue Spalte ein. # Ändere die Zeilenhöhe der Zeile 2 mindestens auf den Wert 50. # Erhöhe die Breite der Spalte C auf 17. # Füge ein neues Blatt in dieser Mappe ein. Benenne das neue Blatt mit Arbeitszeit. Verschiebe das Blatt so, dass es das erste Blatt in der Mappe ist. # Erstelle eine Kopie des Blattes Tabelle2, z.B. am Ende der Mappe. # Lösche das Blatt Tabelle1. # Lösche im Arbeitsblatt "Tabelle2 (2)" eine Zeile und eine Spalte, sodass KW in A1 ist. # Fixiere eine oder mehrere Zeilen, damit die Überschriften immer sichtbar sind - auch wenn du in der langen Liste nach unten scrollst. # Speichere die Datei als Vorlage und schliesse das Programm. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] 8xi3qwuodvkf52642mn8sg5wanbeg7t 1076171 1076170 2026-03-28T14:55:09Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1076171 wikitext text/x-wiki {{inuse}} <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Arbeitsblatt'''</big> </div> = Übung = # Öffne die Datei mit dem Namen Zeitaufwand auf deiner Festplatte. Öffne das Tabellenblatt Tabelle2. # Füge zwischen Spalte D und Spalte E eine neue Spalte ein. # Ändere die Zeilenhöhe der Zeile 2 mindestens auf den Wert 50. # Erhöhe die Breite der Spalte C auf 17. # Füge ein neues Blatt in dieser Mappe ein. Benenne das neue Blatt mit Arbeitszeit. Verschiebe das Blatt so, dass es das erste Blatt in der Mappe ist. # Erstelle eine Kopie des Blattes Tabelle2, z.B. am Ende der Mappe. # Lösche das Blatt Tabelle1. # Lösche im Arbeitsblatt "Tabelle2 (2)" eine Zeile und eine Spalte, sodass KW in A1 ist. # Fixiere eine oder mehrere Zeilen, damit die Überschriften immer sichtbar sind - auch wenn du in der langen Liste nach unten scrollst. # Speichere die Datei als Vorlage unter dem Dateinamen Zeitaufwand-Vorlage und schliesse das Programm. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] erkvlj9m71eslf3l1fkqc40nit6gpac 106 170017 1076172 1076120 2026-03-28T15:00:50Z Paul Sutermeister 37610 1076172 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>D - Formel und Funktion</big> '''Formeln''' * [https://zenodo.org/records/15796617 Grundrechenarten] * [https://zenodo.org/records/16750288 Ausfüllen Rechnen Prozente] '''Funktionen''' * [https://zenodo.org/records/15033093 Summe Mittelwert] * [https://zenodo.org/records/18051993 Maximum Minimum] * WENN * [https://zenodo.org/records/15298974 Anzahl Zählenwenn] </div> = Übung = {{inuse}} # Öffne die Vorlage Zeitaufwand-Vorlage in deinem Laufwerk C. # Berechne in der Zelle C9 mit einer Funktion die '''Summe''' vom Bereich F9 bis G99. # Berechne in der Zelle X99 den Anteil von ... am Gesamten mit der Formel: G8 '''dividiert''' durch G9. Gib die Zellbezüge so ein, dass du die Formel nach unten kopieren kannst. Kopiere die Formel nach unten bis zur Zelle X150. (Ändere nicht das bereits zugewiesene Prozentformat.) # Berechne in der Zelle X99 mit einer Funktion den '''Durchschnitt''' der Werte im Bereich Y9 bis Y99. # Berechne in der Zelle G99 das Total mit der Formel: B10 '''mal''' B20 # Berechne in der Zelle G99 die Differenz von Verkaufspreis '''minus''' Einkaufspreis. # Gib in die Zelle P99 das Wort X ein. Gib in P100 eine Funktion ein, die Folgendes bewirkt: '''Wenn''' die Zahl in O100 kleiner ist als 999, dann soll die Zahl 10 ausgegeben werden, sonst soll der Text nein ausgegeben werden. Kopieren Sie diese Funktion in den Bereich P101 bis P999. # Ermittle in der Zelle R99 mit einer Funktion den '''kleinsten''' Wert im Bereich P88 bis Q99. # Ermittl in der Zelle S44 mit einer Funktion den höchsten Wert im Bereich R3 bis S33. # Ändere in der Zelle P99 die Formel so, dass sie der guten Praxis bei der Erstellung von Formeln entspricht. # In der Zelle C15 wird '''#WERT!''' angezeigt. Korrigiere den Zellinhalt, der zu dieser Fehlermeldung führt. # Korrigiere die Funktion in der Zelle G77. (es steht dort '''#NAME?''') # Ermittle in der Zelle F88 mit einer Funktion die '''Anzahl''' der Beträge im Bereich P88 bis R99. # Gib in Zelle M44 ein: Gehalt gerundet. Gib in die Zelle M45 eine Funktion ein, die den Inhalt der Zelle L45 auf 0 Dezimalstellen kaufmännisch rundet. Kopiere diese Funktion nach unten bis M100. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] 71bq28z08u9nz954ywfawzwcm60sueb 1076173 1076172 2026-03-28T15:34:01Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1076173 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>D - Formel und Funktion</big> '''Formeln''' * [https://zenodo.org/records/15796617 Grundrechenarten] * [https://zenodo.org/records/16750288 Ausfüllen Rechnen Prozente] '''Funktionen''' * [https://zenodo.org/records/15033093 Summe Mittelwert] * [https://zenodo.org/records/18051993 Maximum Minimum] * WENN * [https://zenodo.org/records/15298974 Anzahl Zählenwenn] </div> = Übung = {{inuse}} # Öffne die Vorlage Zeitaufwand-Vorlage in deinem Laufwerk C. # Schreibe in H2 "Gesamtzeit". Berechne in der Zelle I2 mit einer Funktion die '''Summe''' aller Stunden. # Berechne in der Zelle E3 den Anteil von Stunden am Gesamten aller Aufgaben mit der Formel: D2 '''dividiert''' durch C2. Gib die Zellbezüge so ein, dass du die Formel nach unten kopieren kannst. Kopiere die Formel nach unten bis zur Zelle E53. # Berechne in der Zelle X99 mit einer Funktion den '''Durchschnitt''' der Werte im Bereich C2 bis C53. # Gib in F2 eine Funktion ein, die Folgendes bewirkt: '''Wenn''' die Zahl in E2 kleiner ist als 0.1, dann soll "ok" ausgegeben werden, sonst soll der Text "viel Arbeit" ausgegeben werden. Kopiere diese Funktion in den Bereich F3 bis F53. # Erweitere die Formel in E2:E53 mit dem Faktor 60. Dann hast du die Anzahl Minuten. Formatiere E2:E53 bedingt, sodass in den Zellen das Wort Minuten steht. # Ändere die WENN-Formel in Zelle F2 so ab, dass "viel Arbeit" angezeigt wird, solange E2 gleich oder grösser ist als 5. Kopiere die Formel nach unten. (Ändere nicht das bereits zugewiesene Prozentformat.) # Berechne in der Zelle G99 das Total mit der Formel: B10 '''mal''' B20 # Berechne in der Zelle G99 die Differenz von Verkaufspreis '''minus''' Einkaufspreis. # Ermittle in der Zelle R99 mit einer Funktion den '''kleinsten''' Wert im Bereich P88 bis Q99. # Ermittl in der Zelle S44 mit einer Funktion den höchsten Wert im Bereich R3 bis S33. # Ändere in der Zelle P99 die Formel so, dass sie der guten Praxis bei der Erstellung von Formeln entspricht. # In der Zelle C15 wird '''#WERT!''' angezeigt. Korrigiere den Zellinhalt, der zu dieser Fehlermeldung führt. # Korrigiere die Funktion in der Zelle G77. (es steht dort '''#NAME?''') # Ermittle in der Zelle F88 mit einer Funktion die '''Anzahl''' der Beträge im Bereich P88 bis R99. # Gib in Zelle M44 ein: Gehalt gerundet. Gib in die Zelle M45 eine Funktion ein, die den Inhalt der Zelle L45 auf 0 Dezimalstellen kaufmännisch rundet. Kopiere diese Funktion nach unten bis M100. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] hxoorr7iaqrwl85net14qgb0tg9wf5u 1076174 1076173 2026-03-28T15:36:33Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1076174 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>D - Formel und Funktion</big> '''Formeln''' * [https://zenodo.org/records/15796617 Grundrechenarten] * [https://zenodo.org/records/16750288 Ausfüllen Rechnen Prozente] '''Funktionen''' * [https://zenodo.org/records/15033093 Summe Mittelwert] * [https://zenodo.org/records/18051993 Maximum Minimum] * WENN * [https://zenodo.org/records/15298974 Anzahl Zählenwenn] </div> = Übung = {{inuse}} # Öffne die Vorlage Zeitaufwand-Vorlage in deinem Laufwerk C. # Schreibe in H2 "Gesamtzeit". Berechne in der Zelle I2 mit einer Funktion die '''Summe''' aller Stunden. # Berechne in der Zelle E3 den Anteil von Stunden am Gesamten aller Aufgaben mit der Formel: D2 '''dividiert''' durch C2. Gib die Zellbezüge so ein, dass du die Formel nach unten kopieren kannst. Kopiere die Formel nach unten bis zur Zelle E53. # Berechne in der Zelle X99 mit einer Funktion den '''Durchschnitt''' der Werte im Bereich C2 bis C53. # Gib in F2 eine Funktion ein, die Folgendes bewirkt: '''Wenn''' die Zahl in E2 kleiner ist als 0.1, dann soll "ok" ausgegeben werden, sonst soll der Text "viel Arbeit" ausgegeben werden. Kopiere diese Funktion in den Bereich F3 bis F53. # Erweitere die Formel in E2:E53 mit dem Faktor 60. Dann hast du die Anzahl Minuten. Formatiere E2:E53 bedingt, sodass in den Zellen das Wort Minuten steht. # Ändere die WENN-Formel in Zelle F2 so ab, dass "viel Arbeit" angezeigt wird, solange E2 gleich oder grösser ist als 5. Kopiere die Formel nach unten. # Schreibe in E1 "Minuten pro Aufgabe". (Ändere nicht das bereits zugewiesene Prozentformat.) # Berechne in der Zelle G99 das Total mit der Formel: B10 '''mal''' B20 # Berechne in der Zelle G99 die Differenz von Verkaufspreis '''minus''' Einkaufspreis. # Ermittle in der Zelle R99 mit einer Funktion den '''kleinsten''' Wert im Bereich P88 bis Q99. # Ermittl in der Zelle S44 mit einer Funktion den höchsten Wert im Bereich R3 bis S33. # Ändere in der Zelle P99 die Formel so, dass sie der guten Praxis bei der Erstellung von Formeln entspricht. # In der Zelle C15 wird '''#WERT!''' angezeigt. Korrigiere den Zellinhalt, der zu dieser Fehlermeldung führt. # Korrigiere die Funktion in der Zelle G77. (es steht dort '''#NAME?''') # Ermittle in der Zelle F88 mit einer Funktion die '''Anzahl''' der Beträge im Bereich P88 bis R99. # Gib in Zelle M44 ein: Gehalt gerundet. Gib in die Zelle M45 eine Funktion ein, die den Inhalt der Zelle L45 auf 0 Dezimalstellen kaufmännisch rundet. Kopiere diese Funktion nach unten bis M100. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] 522u8rg0ba6pyqwvigo2jr9f34pmp9g 1076175 1076174 2026-03-28T15:37:36Z Paul Sutermeister 37610 1076175 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>D - Formel und Funktion</big> '''Formeln''' * [https://zenodo.org/records/15796617 Grundrechenarten] * [https://zenodo.org/records/16750288 Ausfüllen Rechnen Prozente] '''Funktionen''' * [https://zenodo.org/records/15033093 Summe Mittelwert] * [https://zenodo.org/records/18051993 Maximum Minimum] * WENN * [https://zenodo.org/records/15298974 Anzahl Zählenwenn] </div> = Übung = # Öffne die Vorlage Zeitaufwand-Vorlage in deinem Laufwerk C. # Schreibe in H2 "Gesamtzeit". Berechne in der Zelle I2 mit einer Funktion die '''Summe''' aller Stunden. # Berechne in der Zelle E3 den Anteil von Stunden am Gesamten aller Aufgaben mit der Formel: D2 '''dividiert''' durch C2. Gib die Zellbezüge so ein, dass du die Formel nach unten kopieren kannst. Kopiere die Formel nach unten bis zur Zelle E53. # Berechne in der Zelle X99 mit einer Funktion den '''Durchschnitt''' der Werte im Bereich C2 bis C53. # Gib in F2 eine Funktion ein, die Folgendes bewirkt: '''Wenn''' die Zahl in E2 kleiner ist als 0.1, dann soll "ok" ausgegeben werden, sonst soll der Text "viel Arbeit" ausgegeben werden. Kopiere diese Funktion in den Bereich F3 bis F53. # Erweitere die Formel in E2:E53 mit dem Faktor 60. Dann hast du die Anzahl Minuten. Formatiere E2:E53 bedingt, sodass in den Zellen das Wort Minuten steht. # Ändere die WENN-Formel in Zelle F2 so ab, dass "viel Arbeit" angezeigt wird, solange E2 gleich oder grösser ist als 5. Kopiere die Formel nach unten. # Schreibe in E1 "Minuten pro Aufgabe". = Weitere Übungen = {{inuse}} (Ändere nicht das bereits zugewiesene Prozentformat.) # Berechne in der Zelle G99 das Total mit der Formel: B10 '''mal''' B20 # Berechne in der Zelle G99 die Differenz von Verkaufspreis '''minus''' Einkaufspreis. # Ermittle in der Zelle R99 mit einer Funktion den '''kleinsten''' Wert im Bereich P88 bis Q99. # Ermittl in der Zelle S44 mit einer Funktion den höchsten Wert im Bereich R3 bis S33. # Ändere in der Zelle P99 die Formel so, dass sie der guten Praxis bei der Erstellung von Formeln entspricht. # In der Zelle C15 wird '''#WERT!''' angezeigt. Korrigiere den Zellinhalt, der zu dieser Fehlermeldung führt. # Korrigiere die Funktion in der Zelle G77. (es steht dort '''#NAME?''') # Ermittle in der Zelle F88 mit einer Funktion die '''Anzahl''' der Beträge im Bereich P88 bis R99. # Gib in Zelle M44 ein: Gehalt gerundet. Gib in die Zelle M45 eine Funktion ein, die den Inhalt der Zelle L45 auf 0 Dezimalstellen kaufmännisch rundet. Kopiere diese Funktion nach unten bis M100. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] 74imqhbw8jffup1x1kwa6b3vtdlzmsl 106 170018 1076180 1076102 2026-03-28T15:53:26Z Paul Sutermeister 37610 1076180 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''F - DIAGRAMM'''</big> Vorübung: [https://zenodo.org/records/18144586 Diagramm] </div> = Übung = {{inuse}} # Erstelle vom Bereich B9 bis G99 ein Balkendiagramm. Akzeptiere die Standardeinstellungen. Füge im Diagramm folgenden Diagrammtitel ein: X. Platziere das Diagramm als Objekt im Blatt Kartenverkauf zirka ab der Zelle K88. # Ändere im Balkendiagramm bei der Beschriftung der horizontalen Wert-Achse die Schriftgrösse auf 13.5 Pt. # Ändere im Säulendiagramm die Farbe der Balken in eine beliebige andere Farbe, z.B. Blau. # Lösche das Diagramm. # Füge im Kreisdiagramm als Datenbeschriftung die Prozentsätze hinzu. (Die Werte sollen nicht angezeigt werden.) # Ändere den Diagrammtyp in ein Balkendiagramm. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] pqh0wp1614bbc4fj8pbfhd3o61pgep2 106 170019 1076181 1076122 2026-03-28T15:56:56Z Paul Sutermeister 37610 1076181 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''G - Ausgabe'''</big> </div> = Übung = # Triff Vorbereitungen zum Druck: Füge in der '''Fusszeile''' rechts ein Feld für das aktuelle Datum ein. Füge in der Fusszeile links ein Feld für den Dateinamen ein. # Ändere die '''Seitenränder''' auf folgende Werte: Rand links: 2 cm; Rand oben: 3 cm. # Triff Vorbereitungen zum Druck: Lege fest, dass beim Drucken die '''Spaltenüberschriften''' von Zeile 1 auf jeder Seite oben gedruckt werden. # Triff Vorbereitungen zum Druck: Lege fest, dass beim Drucken die '''Gitternetzlinien''' auch ausgedruckt werden. # Ändere die '''Seitenausrichtung''' des Blattes auf Hochformat. # Füge in der '''Kopfzeile''' in der Mitte deinen Namen ein. # Triff Vorbereitungen zum Druck: Lege fest, dass der Ausdruck bei Bedarf automatisch der Breite nach auf eine '''A4-Seite''' verkleinert wird. Bezüglich der Höhe lege keine Beschränkung fest. [[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]] qlpygxzzg7bnm73gaz9pcdexeply6r9 106 170021 1076182 1076090 2026-03-28T16:07:04Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1076182 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] == Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann wird das komplexe Integral über die Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} f(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} f(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegrals über Stammfunktionen]] an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_4) - F_(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_2) - F_(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_4) - F_(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_3) - F_(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegrals über Stammfunktionen]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. == Siehe auch == * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] aeoyo7j1q0p9jn7x3d2y2nmi4k961lo 106 170032 1076183 1076089 2026-03-28T16:22:20Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexer Flächeninhalt für ein Viereck */ 1076183 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegrale über den Rand des Rechtecks kein geschlossenen Weg sein kann, denn dann wäre komplexe Flächenintegral nach dem [[Cauhy-Integralsatz]] 0. === Komplexer Flächeninhalt für ein Viereck === Für achsenparallele Rechtecke <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> kann nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)=z</math> berechnet werden: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = z_4-z_3-z_2 +z_1 </math> === Lemma von Goursat - Ergänzung von gegenläufigen Wegintegralen=== In dem Rechteck wird nun auf der Diagonalen zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> die Diagonale betrachtet, auf der zwei gegenläufigen Wegintegralen zu dem komplexwertigen Flächenintegral für das Rechteck <math>R</math> ergänzt. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{R} f(z) \, dz + \underbrace{ \int_{\langle z_2,z_3 \rangle} f(z) \, dz + \underbrace{\int_{\langle z_3,z_2 \rangle} f(z) \, dz}_{=-\int_{\langle z_2,z_3 \rangle} f(z) \, dz} }_{=0} </math> ==== Veranschaulichung - Ergänzung von gegenläufigen Wegintegralen ==== Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] ==== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ==== In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wo wie diese beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] mit einer forgesetzten Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 11 bestimmte Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})}_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] ca2ib32otj7lpkdfkeo8pmystcv30wd 1076184 1076183 2026-03-28T16:22:37Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral */ 1076184 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegrale über den Rand des Rechtecks kein geschlossenen Weg sein kann, denn dann wäre komplexe Flächenintegral nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] 0. === Komplexer Flächeninhalt für ein Viereck === Für achsenparallele Rechtecke <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> kann nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)=z</math> berechnet werden: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = z_4-z_3-z_2 +z_1 </math> === Lemma von Goursat - Ergänzung von gegenläufigen Wegintegralen=== In dem Rechteck wird nun auf der Diagonalen zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> die Diagonale betrachtet, auf der zwei gegenläufigen Wegintegralen zu dem komplexwertigen Flächenintegral für das Rechteck <math>R</math> ergänzt. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{R} f(z) \, dz + \underbrace{ \int_{\langle z_2,z_3 \rangle} f(z) \, dz + \underbrace{\int_{\langle z_3,z_2 \rangle} f(z) \, dz}_{=-\int_{\langle z_2,z_3 \rangle} f(z) \, dz} }_{=0} </math> ==== Veranschaulichung - Ergänzung von gegenläufigen Wegintegralen ==== Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] ==== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ==== In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wo wie diese beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] mit einer forgesetzten Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 11 bestimmte Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})}_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] n3kahklecw63uesxyn5l12hmdsm4a2k 1076185 1076184 2026-03-28T16:23:46Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral */ 1076185 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. === Komplexer Flächeninhalt für ein Viereck === Für achsenparallele Rechtecke <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> kann nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)=z</math> berechnet werden: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = z_4-z_3-z_2 +z_1 </math> === Lemma von Goursat - Ergänzung von gegenläufigen Wegintegralen=== In dem Rechteck wird nun auf der Diagonalen zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> die Diagonale betrachtet, auf der zwei gegenläufigen Wegintegralen zu dem komplexwertigen Flächenintegral für das Rechteck <math>R</math> ergänzt. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{R} f(z) \, dz + \underbrace{ \int_{\langle z_2,z_3 \rangle} f(z) \, dz + \underbrace{\int_{\langle z_3,z_2 \rangle} f(z) \, dz}_{=-\int_{\langle z_2,z_3 \rangle} f(z) \, dz} }_{=0} </math> ==== Veranschaulichung - Ergänzung von gegenläufigen Wegintegralen ==== Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] ==== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ==== In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wo wie diese beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] mit einer forgesetzten Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 11 bestimmte Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})}_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 9suattepdqbkj36ywfsz8m6a9pzhfvn 1076186 1076185 2026-03-28T16:30:16Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral */ 1076186 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz in Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Viereck === Für achsenparallele Rechtecke <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> kann nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)=z</math> berechnet werden: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = z_4-z_3-z_2 +z_1 </math> === Lemma von Goursat - Ergänzung von gegenläufigen Wegintegralen=== In dem Rechteck wird nun auf der Diagonalen zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> die Diagonale betrachtet, auf der zwei gegenläufigen Wegintegralen zu dem komplexwertigen Flächenintegral für das Rechteck <math>R</math> ergänzt. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{R} f(z) \, dz + \underbrace{ \int_{\langle z_2,z_3 \rangle} f(z) \, dz + \underbrace{\int_{\langle z_3,z_2 \rangle} f(z) \, dz}_{=-\int_{\langle z_2,z_3 \rangle} f(z) \, dz} }_{=0} </math> ==== Veranschaulichung - Ergänzung von gegenläufigen Wegintegralen ==== Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] ==== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ==== In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wo wie diese beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] mit einer forgesetzten Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 11 bestimmte Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})}_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] n3esig1os829enbvpsib7zgw2myhshc 1076187 1076186 2026-03-28T16:44:46Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegralsatz in Dreiecke */ 1076187 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> == Motivation des Zerlegungslemmas == Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wo wie diese beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] mit einer forgesetzten Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 11 bestimmte Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})}_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 1dhwl1np0n0sjt7t46bm12gvhsk59nw 1076188 1076187 2026-03-28T16:45:27Z Bert Niehaus 20843 /* Motivation des Zerlegungslemmas */ 1076188 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 11 bestimmte Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})}_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] st5r6dn6ar39ifvchgef2sc430sloxi 1076189 1076188 2026-03-28T16:45:46Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Zerlegungslemma */ 1076189 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wo wie diese beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] mit einer forgesetzten Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 11 bestimmte Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})}_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] alddzwbxmrxr9epu3uot3h4g7ojan4p 1076190 1076189 2026-03-28T16:46:34Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke */ 1076190 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wo wie diese beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] mit einer forgesetzten Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 11 bestimmte Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})}_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] p4q46iu29n6gmhmarqt3gvybhz671ug 1076191 1076190 2026-03-28T16:48:20Z Bert Niehaus 20843 /* Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie */ 1076191 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 11 bestimmte Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})}_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] ja4cya6q4of4v0zrhhh7d6il2uu8y1i 1076192 1076191 2026-03-28T19:24:05Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral */ 1076192 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 11 bestimmte Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})}_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] jixlqabaaoimyahiubrr3xfmbq05fsm 1076195 1076192 2026-03-29T10:16:37Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals */ 1076195 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt bestimmte Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 1gtwad8u20nlzyf00absufo30hr5c6c 1076196 1076195 2026-03-29T10:17:36Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals */ 1076196 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] hfs3wy07o5gwlqxxo39qf8mti7xeyyp 1076197 1076196 2026-03-29T10:57:43Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke */ 1076197 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> ==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ==== In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechte <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 940x6g4gsgvcv4ezvffydjj4eduv4pt 1076198 1076197 2026-03-29T11:00:47Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche */ 1076198 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> ==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ==== In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] ==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] kinrohcl1jm7rgnp33tg05rfslzy7ew 1076199 1076198 2026-03-29T11:01:21Z Bert Niehaus 20843 /* Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke */ 1076199 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> ==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ==== In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] ==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 35toshojrtw7vd9zz9yzyu1e87fzg8d 1076200 1076199 2026-03-29T11:09:11Z Bert Niehaus 20843 /* Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke */ 1076200 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> ==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ==== In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] ==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Approximation der Dreiecksfläche ==== Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] axi2qmafjauziz81b7ha2fcfk1dlqa2 1076201 1076200 2026-03-29T11:13:11Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1076201 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> ==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ==== In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] ==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Approximation der Dreiecksfläche ==== Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 7.1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 7.3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] m82x7yra30yy7bwbv5ah72yjrdpaewy 1076202 1076201 2026-03-29T11:13:43Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck */ 1076202 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> ==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ==== In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] ==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Approximation der Dreiecksfläche ==== Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] bd2uwiy6rdh6fty57gcvxkp4nn07ev3 1076203 1076202 2026-03-29T11:17:16Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1076203 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> ==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ==== In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] ==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Approximation der Dreiecksfläche ==== Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] cgie6li8t0kahzwbybdib13acr4we24 1076204 1076203 2026-03-29T11:18:46Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche */ 1076204 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> ==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ==== In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] ==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Approximation der Dreiecksfläche ==== Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] aq0yra5ale7hzez5fyeu8r51acyqmls 1076205 1076204 2026-03-29T11:19:08Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals */ 1076205 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> ==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ==== In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] ==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Approximation der Dreiecksfläche ==== Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 5enoeq6g523xzky6crjoz3fyrygelgk 1076206 1076205 2026-03-29T11:48:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals */ 1076206 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> ==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ==== In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] ==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Approximation der Dreiecksfläche ==== Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 2kogpkxuc24tupafi6uhwajppjbv2rf 1076208 1076206 2026-03-29T11:50:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale */ 1076208 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \left( \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz + \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> ==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ==== In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] ==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Approximation der Dreiecksfläche ==== Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 97q0l9lqgz9i1n2a0q9yaadslhd14pm