Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe

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    <title>Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe</title>
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        <username>Λυκας</username>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit {{math|term= V|SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=vordere Tafel|
|ISZ=|ESZ=,
}}  
{{math|term= M|SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=mittlere Tafel|
|ISZ=|ESZ=
}}
und {{math|term= H|SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=hintere Tafel|
|ISZ=|ESZ=
}}
bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur
{{
Zusatz/Klammer
|text=maximal|
|ISZ=|ESZ=
}}
zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge
{{
Zusatz/Klammer
|text=alle Möglichkeiten|
|ISZ=!|ESZ=
}}
muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll?
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Alltagslogik
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=3
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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    <title>Vorlage:GeoTemplate</title>
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      <contributor>
        <username>Speravir</username>
        <id>18499</id>
      </contributor>
      <comment>Aktualisierung Openstreetmap.de</comment>
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|+ style=&quot;font-size:130%; font-weight:bold;&quot;| {title}
|-
! colspan=&quot;4&quot;| Koordinaten
|-
| '''[[World Geodetic System 1984|WGS84]]'''
|colspan=&quot;3&quot;| &lt;span title=&quot;Breite&quot;&gt;{latdegabs}°&amp;nbsp;{latminint}′&amp;nbsp;{latsecdec}″&amp;nbsp;{latNS}&lt;/span&gt;, &lt;span title=&quot;Länge&quot;&gt;{londegabs}°&amp;nbsp;{lonminint}′&amp;nbsp;{lonsecdec}″&amp;nbsp;{lonEW}&lt;/span&gt;&lt;br /&gt; &lt;span class=&quot;geo&quot;&gt;&lt;span class=&quot;latitude&quot; title=&quot;Breite&quot;&gt;{latdegdec}&lt;/span&gt;°, &lt;span class=&quot;longitude&quot; title=&quot;Länge&quot;&gt;{londegdec}&lt;/span&gt;°&lt;/span&gt;
|-
| '''[[UTM-Koordinatensystem|UTM]]'''
|colspan=&quot;3&quot;| &lt;span title=&quot;Zone&quot;&gt;{utmzone}&lt;/span&gt; &lt;span title=&quot;Easting&quot;&gt;{utmeasting}&lt;/span&gt; &lt;span title=&quot;Northing&quot;&gt;{utmnorthing}&lt;/span&gt;
|-
| '''Geo URI'''
|colspan=&quot;3&quot;| geo:{latdegdec},{londegdec}
|-
|colspan=&quot;4&quot; style=&quot;padding:0;&quot;| &lt;!-- minimap --&gt;
&lt;div style=&quot;position:relative; width:360px; height:180px; overflow:hidden;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;position:absolute; top:0px;&quot;&gt;[[Datei:World location map.svg|360x180px|alt=|link=]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;position:absolute; top:94px; left:176px;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;position:absolute; bottom:{latdegint}px; left:{londegint}px;&quot; title=&quot;{title}&quot;&gt;[[Datei:Red pog.svg|8x8px|alt=|link=]]&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
|-
|colspan=&quot;4&quot; style=&quot;padding:0;&quot;| &lt;!-- OpenStreetMap embedded, see also: [[MediaWiki:GeoHack.js]] --&gt;
&lt;div id=&quot;osmEmbed&quot; class=&quot;OSM:{latdegdec}_{londegdec}_{osmzoom}_mapnik&quot; style=&quot;height:360px; width:360px;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
|-
! colspan=&quot;4&quot;| Objekt
|- 
| '''Typ'''
|style=&quot;text-transform:capitalize;&quot;| {type}
| '''Scale'''
| ± 1:{scale}
|- style=&quot;display:none{pagename};&quot;
! colspan=&quot;4&quot;| Artikel
|- style=&quot;display:none{pagename};&quot;
|colspan=&quot;4&quot;| 
Alle Koordinaten: [https://osm4wiki.toolforge.org/cgi-bin/wiki/wiki-osm.pl?project={{CONTENTLANG}}%26article%3D{pagename_gmaps} OSM], [https://tools.wmflabs.org/kmlexport?project={{CONTENTLANG}}&amp;article={pagename_gmaps} KML-Export]&lt;br /&gt;
Koordinaten aus verlinkten Artikeln: [https://osm4wiki.toolforge.org/cgi-bin/wiki/wiki-osm.pl?project={{CONTENTLANG}}%26article%3D{pagename_gmaps}%26linksfrom=1 OSM], [https://tools.wmflabs.org/kmlexport?project={{CONTENTLANG}}&amp;article={pagename_gmaps}&amp;linksfrom=1 KML-Export]
|}


== Globale Kartendienste ==
{| class=&quot;wikitable toptextcells zebra&quot;
|-
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;| '''Bing Maps'''
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;| [https://www.bing.com/maps?v=2&amp;cp={latdegdec}~{londegdec}&amp;style=r&amp;lvl={osmzoom}&amp;sp=Point.{latdegdec}_{londegdec}_{title}___ Karte]&amp;nbsp;&amp;middot; [https://www.bing.com/maps?v=2&amp;cp={latdegdec}~{londegdec}&amp;style=h&amp;lvl={osmzoom}&amp;sp=Point.{latdegdec}_{londegdec}_{title}___ Satellit]
|-
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;| '''Google Maps''' 
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;| [https://www.google.com/maps?ll={latdegdec},{londegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;t=m&amp;q={latdegdec},{londegdec}&amp;hl={language} Karte]&amp;nbsp;&amp;middot; [https://www.google.com/maps?ll={latdegdec},{londegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;t=h&amp;q={latdegdec},{londegdec}&amp;hl={language} Satellit]&amp;nbsp;&amp;middot; [https://www.google.com/maps/place//@{latdegdec},{londegdec},{osmzoom}z/data=!4m2!3m1!1s0x0:0x0!5m1!1e4?hl={language} Relief]
|-
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;| '''Google Earth''' 
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;| [https://earth.google.com/web/@{latdegdec},{londegdec},0a,{scale}d,1y,0h,60t,0r Satellit]
|-
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot; valign=&quot;top&quot;| '''OpenStreetMap'''
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;| [https://www.openstreetmap.org/?mlat={latdegdec}&amp;mlon={londegdec}&amp;zoom={osmzoom} Karte]&amp;nbsp;&amp;middot; [https://www.openstreetmap.org/?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;zoom={osmzoom} Karte ohne Markierung]&amp;nbsp;&amp;middot; [https://opentopomap.org/#marker={osmzoom}/{latdegdec}/{londegdec} OpenTopoMap]&amp;nbsp;&amp;middot; &lt;span class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[{{canonicalurl:toolforge:geohack/geohack.php|project=osm&amp;pagename={pagename}&amp;language={{CONTENTLANG}}&amp;params={params}&amp;title={title}}} Weitere OpenStreetMap-Karten]&lt;/span&gt;
|}

== Lokale Kartendienste ==
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-LOCAL&quot;&gt;&lt;/div&gt;

&lt;!-- Begin region specific --&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-REGIONS&quot;&gt;

== Lokale Anwendungen ==
=== Afrika ===

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-NA&quot;&gt;
==== {{NAM}} ====
* [https://namibia-topo.openstreetmap.org.za/#zoom={osmzoom}&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec} South African Chief Directorate: Surveys and Mapping 1:50k Topographic (1970s/1980s)] (via OpenStreetMap South Africa)
&lt;/div&gt;

=== Amerika ===

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-US&quot;&gt;
==== {{USA}} ====
* [https://mapper.acme.com/?ll={latdegdec},{londegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;t=T&amp;marker0={latdegdec},{londegdec},{title} '''ACME Mapper'''] – Topografische Karten
* [https://weather.msfc.nasa.gov/cgi-bin/get-abi?satellite=GOESEastconusband13&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;zoom=4&amp;type=Animation&amp;numframes=10&amp;palette=ir2.pal '''GOES-E Wetter-Satelliten-Bilder'''] der NASA
* [http://www.topoquest.com/map.php?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;datum=nad83&amp;zoom=32&amp;map=auto&amp;coord=d&amp;mode=zoomin&amp;size=l '''Topoquest'''] &amp;ndash; Topografische Karten.
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-CA&quot;&gt;

==== {{CAN}} ====
* [http://atlas.gc.ca/toporama/en/ '''National Atlas of Canada'''] – Topografische Karten (Karte ohne Direktlink)
&lt;/div&gt;

=== Asien ===

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-JP&quot;&gt;
==== {{JPN}} ====
Hinweis: Die Koordinaten auf manchen japanischen Map-Seiten können von denjenigen anderer Webseiten abweichen.

* [http://maps.gsi.go.jp/#{osmzoom}/{latdegdec}/{londegdec}/ '''Geographical Survey Institute'''] – Topografische Karten, Luftbilder und Spezialkarten
** auch mit [http://cyberjapandata.gsi.go.jp/3d/site/index.html?did=std&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;z=14 3D-Ansicht (WebGL) und 3D-Datenexport]
* [http://www.mapion.co.jp/c/f?uc=1&amp;nl={latdegabs}/{latminint}/{latsecdec}&amp;el={londegabs}/{lonminint}/{lonsecdec}&amp;grp=all&amp;scl=250000 '''Mapion''']
* [http://www.mapfan.com/m.cgi?MAP={lonEW}{londegabs}.{lonminint}.{lonsecdec}{latNS}{latdegabs}.{latminint}.{latsecdec} '''MapFan Web''']
* [http://map.yahoo.co.jp/pl?lat={latdegabs}.{latminint}.{latsecdec}&amp;lon={londegabs}.{lonminint}.{lonsecdec} '''Yahoo! Japan'''] 
* [http://map.goo.ne.jp/map.php?MAP={lonEW}{londegabs}.{lonminint}.{lonsecdec}{latNS}{latdegabs}.{latminint}.{latsecdec} '''Goo'''] 
* [http://www.its-mo.com/z.htm?m={lonEW}{londegabs}.{lonminint}.{lonsecdec}{latNS}{latdegabs}.{latminint}.{latsecdec}&amp;l=8 '''Its-mo Guide''']
* [http://map.livedoor.com/map/?MAP={lonEW}{londegabs}.{lonminint}.{lonsecdec}{latNS}{latdegabs}.{latminint}.{latsecdec} '''Livedoor'''] 
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-RU&quot;&gt;

==== {{RUS}} ====
* '''{{lang|ru|Яндекс.Карти}}''' (yandex.ru):
** [https://maps.yandex.ru/?z={osmzoom}&amp;ll={londegdec},{latdegdec}&amp;spn={span},{span}&amp;pt={londegdec},{latdegdec}&amp;l=map Karte]
** [https://maps.yandex.ru/?z={osmzoom}&amp;ll={londegdec},{latdegdec}&amp;spn={span},{span}&amp;pt={londegdec},{latdegdec}&amp;l=sat Satellit]
** [https://maps.yandex.ru/?ll={londegdec},{latdegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;l=skl Hybrid]
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-TW&quot;&gt;
==== {{TWN}} ====
* [http://www.urmap.com/map?center={latdegdec},{londegdec}&amp;zoom={osmzoom} '''Urmap'''] 
&lt;/div&gt;

=== Ozeanien ===
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-AU&quot;&gt;
==== {{AUS}} ====
* [http://www.aus-emaps.com/topo.php?Lon={londegdec}&amp;Lat={latdegdec}&amp;zl=0.1 '''Geoscience Australia'''] – topografische Karten
&lt;/div&gt;

=== Europa ===
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-DK&quot;&gt;
==== {{DNK}} ====
* [http://kartor.eniro.se/?q={latdegdec},{londegdec}&amp;z={zoom} '''Eniro''']. Straßenkarten und Routenplaner, Satelliten- und Hybridkarten.
* [https://skraafoto.dataforsyningen.dk/?center={utmeasting}%2C{utmnorthing} '''Skråfoto''']. Schrägbildaufnahmen
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-DE&quot;&gt;

==== {{DEU}} ====
{{Anker|Deutschland}}
&lt;!--
Dokumentation zum Geolink-Dienst siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Vorlage:GeoTemplate/GeolinkConfig
--&gt;
* [https://karte.openstreetmap.de/#map={osmzoom}/{latdegdec}/{londegdec}&amp;layer=de '''Openstreetmap.de'''], OpenStreetMap-Karten mit für Deutschland angepasstem Layer
* [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=geoportalde&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale} '''Geoportal.de'''], bundesweit einheitliche Karte auf Basis der amtlichen [[ATKIS]]-Daten
* [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=bfnaturschutz&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale}&amp;style=524 '''Bundesamt für Naturschutz'''], Naturschutzgebiete und geschützte Biotope
* [http://geo.hlipp.de/latlong.php?lat={latdegdec}&amp;long={londegdec}&amp;From=umwandeln '''Geograph Deutschland'''], geographisch repräsentative Fotos für jeden Quadratkilometer

'''Kartendienste der Vermessungsverwaltungen der deutschen Bundesländer'''
{| class=&quot;wikitable toptextcells zebra&quot;
! style=&quot;text-align:left;&quot;| Dienst 
! style=&quot;text-align:left;&quot;| Bundesland 
! style=&quot;text-align:left;&quot;| Kartenlink
|- 
| Geoportal BW
| {{DE-BW}}
| &lt;small&gt;''[https://www.geoportal-bw.de/ Karte ohne Direktlink]''&lt;/small&gt;
|-
| [[BayernAtlas]]
| {{DE-BY}}
| [https://geoportal.bayern.de/bayernatlas?lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;zoom=10 Karte]
|- 
| FIS-Broker 
| {{DE-BE}}
| [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=fisbroker&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|-
| brandenburg-viewer
| {{DE-BB}} (tw. Berlin)
| [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=brandenburgviewer&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|- 
| GeoPortal Bremen
| {{DE-HB}}
| [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=geobremen&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;zoom={zoom} Karte]
|-
| Geo-Online Hamburg
| {{DE-HH}}
| [https://www.geoportal-hamburg.de/Geoportal/geo-online/?layerIDs=453&amp;center={utmeasting},{utmnorthing}&amp;zoomlevel={zoom} Karte]
|-
| Geoportal Hessen
| {{DE-HE}}
| [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=geohessen&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|-
| GAIA-MV
| {{DE-MV}}
| [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=gaiamv&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|- 
| NiedersachsenViewer
| {{DE-NI}}
| [https://www.geobasis.niedersachsen.de/?x={londegdec}&amp;y={latdegdec}&amp;z={osmzoom} Karte]
|-
| [[TIM-online]]
| {{DE-NW}}
| [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=timonline&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|- 
| GeoPortal.rlp
| {{DE-RP}}
| [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=geoportalrlp&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|-
| LANIS 
| {{DE-RP}}
| [http://map1.naturschutz.rlp.de/kartendienste_naturschutz/index.php?lang=de&amp;zl={osmzoom}&amp;x={utmeasting}&amp;y={utmnorthing}&amp;marker Karte]
|- 
| GeoPortal Saarland
| {{DE-SL}}
| &lt;small&gt;''[http://geoportal.saarland.de/mapbender/geoportal/mod_index.php?mb_user_myGui=Geoportal-SL Karte ohne Direktlink]''&lt;/small&gt;
|-
| Sachsenatlas
| {{DE-SN}}
| [https://geoportal.sachsen.de/cps/karte.html?position={%22x%22:{utmeasting},%22y%22:{utmnorthing},%22srs%22:25833,%22scale%22:8000} Karte]
|- 
| Sachsen-Anhalt-Viewer
| {{DE-ST}}
| [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=saviewer&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|-
| DigitalerAtlasNord
| {{DE-SH}} und Hamburg
| [https://danord.gdi-sh.de/viewer/resources/apps/Anonym/index.html?lang=de&amp;c={utmeasting},{utmnorthing}&amp;s={scale} Karte]
|- 
| Thüringen Viewer
| {{DE-TH}}
| &lt;small&gt;''[https://thueringenviewer.thueringen.de/thviewer Karte ohne Direktlink]''&lt;/small&gt;
|}
'''Weitere Kartendienste auf Ebene der deutschen Bundesländer'''
* '''[https://www.leo-bw.de/web/guest/karte-vollbild/-/gisviewer-expert/voll?_gisviewerexpertportlet_WAR_gisviewerportlet_map=Maps4BW,Reliefkarte&amp;_gisviewerexpertportlet_WAR_gisviewerportlet_center={latdegdec},{londegdec}&amp;_gisviewerexpertportlet_WAR_gisviewerportlet_zoomlevel={osmzoom} LEO-BW (Landesarchiv Baden-Württemberg)]''', historische und aktuelle Karten und Luftbilder Baden-Württembergs
* '''[https://historicmaps.toolforge.org/berlin/index.html#map={osmzoom}/{latdegdec}/{londegdec}/0 Historische Stadtpläne Berlins]''', etwa 70 georeferenzierte Berliner Stadtpläne zwischen 1652 und 1930 aus dem [https://warper.wmflabs.org/ WikiMaps Warper]
* '''[https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=histomapberlin&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale} HistoMap Berlin (Landesarchiv Berlin)]''', alte amtliche, georeferenzierte Karten zwischen 1910 und 1990 des Landesarchivs Berlin  
&lt;/div&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-EE&quot;&gt;

==== {{EST}} ====
* [http://geoportaal.maaamet.ee/url/xgis-latlon.php?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;out=xgishtml5 '''Maa-amet''']  Luftbilder/Karten der Landesverwaltung (Maa-amet, Land Board) von Estland
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-FI&quot;&gt;

==== {{FIN}} ====
* [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=paikkatietoikkuna&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale=5 '''Paikkatietoikkuna''']. Topografische Karte, Luftbilder des Landesvermessungsamts von Finnland (Maanmittauslaitos).
* [http://kartor.eniro.se/?q={latdegdec},{londegdec}&amp;z={zoom} '''Eniro''']. Straßenkarten und Topografie; Routenplaner.
* [https://www.fonecta.fi/kartat?lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;z={osmzoom} '''Fonecta''']. Straßenkarten und Topografie; Routenplaner.
*: auch als [https://www.fonecta.fi/kartat?lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;l=SAT Satellit] und [https://www.fonecta.fi/kartat?lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;l=HYB Hybrid]
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-FR&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-BL&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-GF&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-GP&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-MF&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-MQ&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-NC&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-PF&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-PM&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-RE&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-TF&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-WF&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-YT&quot;&gt;
==== {{FRA}} ====
* [https://www.geoportail.gouv.fr/carte?c={londegdec},{latdegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;l0=GEOGRAPHICALGRIDSYSTEMS.PLANIGNV2::GEOPORTAIL:OGC:WMTS(1)&amp;permalink=yes '''Géoportail'''] (Karte), [https://www.geoportail.gouv.fr/carte?c={londegdec},{latdegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;l0=ORTHOIMAGERY.ORTHOPHOTOS::GEOPORTAIL:OGC:WMTS(1)&amp;permalink=yes Satellit], [https://www.geoportail.gouv.fr/carte?c={londegdec},{latdegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;l0=CADASTRALPARCELS.PARCELS::GEOPORTAIL:OGC:WMTS(1)&amp;permalink=yes Kataster]&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-GB&quot;&gt;
==== {{GBR}} ====
'''{osgb36ref}''' im [[National Grid (Ordnance Survey)]]. Anmerkung: Dies gilt nicht in [[Nordirland]], wo der [[Irish Grid]] benutzt wird.

* [https://osmaps.ordnancesurvey.co.uk/osmaps/{latdegdec},{londegdec},{osmzoom} '''OS Maps''' (Topografische Karte des Ordnance Survey)]
* [http://streetmap.co.uk/grid/{osgb36easting}_{osgb36northing}_3 '''StreetMap''']
* [http://maps.nls.uk/geo/explore/#zoom={osmzoom}&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;layers=1&amp;b=1 '''Historische Karten der National Library of Scotland''' (Karten von England, Schottland und Wales etwa von 1840 bis 1950)]
* [http://www.geograph.org.uk/gridref/{osgb36ref} '''Geograph British Isles''']

&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-IS&quot;&gt;

==== {{ISL}} ====
* [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=iceland&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;zoom={zoom} '''National Land Survey of Iceland''' (Karte)], auch mit ''Basemap'' topografische Karte, Satellit u. a.
* [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=iceland_ja&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;zoom={zoom} '''Já Map''' (Karte)], auch mit Luftbild und Streetview
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-IT&quot;&gt;
==== {{ITA}} ====
* [http://www.pcn.minambiente.it/viewer/ '''Geoportale Nazionale''' (Karte ohne Direktlink)]
* [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=geobrowser&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale} '''Geobrowser Südtirol''' (Karte)]
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-IE&quot;&gt;
==== {{IRL}} ====
* [https://webapps.geohive.ie/mapviewer/index.html '''Ordnance Survey Ireland''' (Karten und Luftbilder ohne Direktlink)]
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-LI&quot;&gt;

==== {{LIE}} ====
Unten aufgeführte Schweizer Kartendienste decken Liechtenstein ebenfalls ab.

* [[Schweizer Landeskoordinaten#Landesvermessung 1995|CH1903+ / LV95]]: ca. '''E=2{ch1903easting},&amp;nbsp;N=1{ch1903northing}'''
&lt;!-- * Liechtensteinisches Referenzsystem (vor 2014): {{#expr: {ch1903easting}-600000) }}, {{#expr: {ch1903northing}-200000 }}--&gt;
* CH1903 / LV03: '''{ch1903easting},&amp;nbsp;{ch1903northing}'''

{| class=&quot;wikitable toptextcells zebra&quot;
|-
| '''Swisstopo''' ''(map.geo.admin.ch)''
| [http://map.geo.admin.ch/?zoom=8&amp;X={ch1903northing}&amp;Y={ch1903easting}&amp;crosshair=marker Karte]&amp;nbsp;&amp;middot; [http://map.geo.admin.ch/?zoom=8&amp;X={ch1903northing}&amp;Y={ch1903easting}&amp;bgLayer=ch.swisstopo.swissimage&amp;crosshair=marker Luftbild] &amp;nbsp;&amp;middot; [http://map.geo.admin.ch/?topic=swisstopo&amp;X={ch1903northing}&amp;Y={ch1903easting}&amp;zoom=8&amp;time=1952&amp;layers=ch.swisstopo.zeitreihen&amp;crosshair=marker Zeitreise]
|-
| '''map.search.ch'''
| [http://map.search.ch/{ch1903easting},{ch1903northing} Karte]
|-
| '''Mapplus/Tydac'''
| [http://www.mapplus.ch/frame.php?map=&amp;x=2{ch1903easting}&amp;y=1{ch1903northing}&amp;zl=8 Karte]
|-
| '''SchweizMobil'''
| [http://map.wanderland.ch/?lang=de&amp;X={ch1903easting}&amp;Y={ch1903northing}&amp;scale=25000&amp;layers=Wanderland Wanderland]&amp;nbsp;&amp;middot; [http://map.veloland.ch/?lang=de&amp;X={ch1903easting}&amp;Y={ch1903northing}&amp;scale=25000&amp;layers=Veloland Veloland]&amp;nbsp;&amp;middot; [http://map.mountainbikeland.ch/?lang=de&amp;X={ch1903easting}&amp;Y={ch1903northing}&amp;scale=25000&amp;layers=Mountainbikeland Mountainbikeland]&amp;nbsp;&amp;middot; [http://map.skatingland.ch/?lang=de&amp;X={ch1903easting}&amp;Y={ch1903northing}&amp;scale=25000&amp;layers=Skatingland Skatingland]&amp;nbsp;&amp;middot; [http://map.kanuland.ch/?lang=de&amp;X={ch1903easting}&amp;Y={ch1903northing}&amp;scale=25000&amp;layers=Kanuland Kanuland]
|-
| '''geodaten.llv.li'''
| [https://geodaten.llv.li/geoportal/public.html Karte], Manuelle Eingabe erforderlich (Unter «Erweiterte Suche», «Koordinate»: Ostwert: '''2{ch1903easting}''', Nordwert: '''1{ch1903northing}''' eingeben)
|}
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-LU&quot;&gt;
==== {{LUX}} ====
* [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=luxemburg&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale}&amp;style=100 '''Administration du cadastre et de la topographie''' (Topografische Karte)]
*:auch als [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=luxemburg&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale}&amp;style=0 Luftbild]
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-NO&quot;&gt;
==== {{NOR}} ====
* [https://norgeskart.no/#!?zoom={osmzoom}&amp;lon={utm33easting}&amp;lat={utm33northing}&amp;project=norgeskart&amp;layers=1002 '''Norgeskart''']. Topografische Karte der norwegischen Kartografie- und Katasterbehörde.
*: auch als [https://norgeskart.no/#!?zoom={osmzoom}&amp;lon={utm33easting}&amp;lat={utm33northing}&amp;project=norgeskart&amp;layers=1003 Luftbild]
* [http://kart.gulesider.no/?c={latdegdec},{londegdec}&amp;z={osmzoom} '''Gule Sider''']. Straßenkarten und Routenplanung. 
*: auch als [http://kart.gulesider.no/?c={latdegdec},{londegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;l=aerial Luftbild] und [http://kart.gulesider.no/?c={latdegdec},{londegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;l=hybrid Hybrid]
* [http://norgeibilder.no/?x={utm33easting}&amp;y={utm33northing}&amp;level={osmzoom}&amp;utm=33&amp;projects=&amp;layers=&amp;planned=0 '''Norge i bilder''']. Aktuelle und historische Luftbilder
* [http://kart.finn.no/?lng={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;zoom={osmzoom}&amp;mapType=normap '''Finn.no'''] (Karte), [http://kart.finn.no/?lng={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;zoom={osmzoom}&amp;mapType=norortho Luftbild]

===== Spitzbergen (Svalbard) =====
* [http://toposvalbard.npolar.no/?lat={latdegdec}&amp;long={londegdec}&amp;zoom={zoom}&amp;layer=map '''TopoSvalbard'''] (Karte), [http://toposvalbard.npolar.no/?lat={latdegdec}&amp;long={londegdec}&amp;zoom={zoom}&amp;layer=aerial Luftbild]

===== Jan Mayen =====
* [http://topojanmayen.npolar.no/?lat={latdegdec}&amp;long={londegdec}&amp;zoom={zoom}&amp;layer=map '''TopoJanMayen'''] (Karte)
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-AT&quot;&gt;

==== {{AUT}} ====
&lt;!--
Dokumentation zum Geolink-Dienst siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Vorlage:GeoTemplate/GeolinkConfig
--&gt;
{| class=&quot;wikitable toptextcells zebra&quot;
! Dienst !! Bundesland !! Kartenlink
|-
| '''Austrian Map'''&lt;br/&gt;&lt;small&gt;Karte des Bundesamtes für Eich- und Vermessungswesen (bis ÖK 1:50.000)&lt;/small&gt;
|style=&quot;text-align:center;&quot;| Alle
| [https://maps.bev.gv.at/#/center/{londegdec},{latdegdec}/zoom/{osmzoom} Karte]
|-
| '''Österreichischer Kataster'''&lt;br/&gt;&lt;small&gt;Katasterkarte des Bundesamtes für Eich- und Vermessungswesen&lt;/small&gt;
|style=&quot;text-align:center;&quot;| Alle
| [https://kataster.bev.gv.at/#/center/{londegdec},{latdegdec}/zoom/{osmzoom} Karte]
|-
| '''geoland.at'''&lt;br/&gt;&lt;small&gt;Geodatenportal der österreichischen Länder&lt;/small&gt;
|style=&quot;text-align:center;&quot;| Alle
| 
[https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=geoland&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale}&amp;style=basemap Karte]&amp;nbsp;&amp;middot;
[https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=geoland&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale}&amp;style=basemap_of,basemap_ov Luftbild]&amp;nbsp;&amp;middot;
[https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=geoland&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale}&amp;style=bm_gel,basemap_ov Gelände]&lt;!--&amp;nbsp;&amp;middot;
[https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=geoland&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale}&amp;style=ba_dom,basemap_ov Oberfläche]--&gt;
|-
|colspan=&quot;3&quot;| '''Kartendienste der Länder'''
|- 
| GeoDaten Burgenland
| {{AT-1}}
| [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=burgenland&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|-
| Kärnten Atlas
| {{AT-2}}
| [https://gis.ktn.gv.at/webgisviewer/atlas-mobile/map/Basiskarten/0rientierung%20u.%20Kataster?center={londegdec},{latdegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|- 
| Niederösterreich ATLAS
| {{AT-3}} (tw. Wien)
| [https://atlas.noe.gv.at/atlas/portal/noe-atlas/map/Planung%20und%20Kataster/Grundst%C3%BCcke?center={londegdec},{latdegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|-
| DORIS weboffice
| {{AT-4}}
| [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=ooeatlas&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|- 
| SAGIS
| {{AT-5}}
| [https://www.salzburg.gv.at/sagismobile/sagisonline/map/Basiskarten/Alle%20Themen?center={londegdec},{latdegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|-
| Digitaler Atlas Steiermark
| {{AT-6}}
| [https://gis.stmk.gv.at/wgportal/atlasmobile/map/Basiskarten/Basiskarte?center={londegdec},{latdegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|- 
| tirisMaps
| {{AT-7}}
| [https://wikitools.toolforge.org/geolink.php?config=tirol&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|-
| VoGIS
| {{AT-8}}
| [https://atlas.vorarlberg.at/portal/map/Basiskarten/Adressen?center={londegdec},{latdegdec}&amp;scale={scale} Karte]
|-
| Stadtplan Wien
| {{AT-9}}
| &lt;small&gt;''[https://www.wien.gv.at/stadtplan Karte ohne Direktlink]''&lt;/small&gt;
|}
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-PL&quot;&gt;

==== {{POL}} ====
* [http://mapy.geoportal.gov.pl/imap/?actions=acAddPoint@x={londegdec};y={latdegdec};epsg=4326 '''geoportal.gov.pl''']
* [http://mapa.targeo.pl/Wikipedia,{londegdec},{latdegdec} '''Mapa Polski Targeo''']
* [http://mapa.szukacz.pl/?n={latdegdec}&amp;e={londegdec}&amp;z=3 '''Szukacz.pl''']
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-SK&quot;&gt;

==== {{SVK}} ====
* [http://mapy.atlas.sk/GPS%3A{latdegdec}N+{londegdec}E '''Mapy.Atlas.sk''']
* [http://www.turistickamapa.sk/?y={latdegdec}&amp;x={londegdec} '''TuristickaMapa.sk''']
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-SI&quot;&gt;
==== {{SVN}} ====
* [http://gaeaplus.si/webstart?version=gaeaplus&amp;command=FlyLookAt;{latdegdec};{londegdec};2500;WGS84;0.0;45.0; '''Gaea+'''] 3D-Satelliten-Bilder (Java)
* [http://www.geabios.com/html/services/maps/PublicMap.htm?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;fov={span} '''GeaBios'''] Satelliten-Bilder und -Karten
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-SE&quot;&gt;
==== {{SWE}} ====
* [https://minkarta.lantmateriet.se/?e={utm33easting}&amp;n={utm33northing}&amp;z={zoom} '''Lantmäteriet''']. Topografische Karten, Luftbilder des Landesvermessungsamts Schweden.
* [http://kartor.eniro.se/?q={latdegdec},{londegdec}&amp;z={zoom} '''Eniro''']. Karten- und Luftbilddienste des skandinavischen Suchmaschinen-Anbieters Eniro.
* [https://www.hitta.se/kartan!~{latdegdec},{londegdec},13z/GPS!l={latdegdec}:{londegdec} '''hitta.se''']. Karten- und Luftbilddienste des Suchmaschinen-Anbieters hitta.se.
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-CH&quot;&gt;

==== {{CHE}} ====
{{Anker|CH|Schweiz}}
{| class=&quot;wikitable toptextcells zebra&quot;
|-
|'''Swisstopo''' ''(map.geo.admin.ch)''
| [http://map.geo.admin.ch/?zoom=8&amp;X={ch1903northing}&amp;Y={ch1903easting}&amp;crosshair=marker Karte]&amp;nbsp;([http://map.geo.admin.ch/?topic=swisstopo&amp;X={ch1903northing}&amp;Y={ch1903easting}&amp;zoom=8&amp;time=1954&amp;layers=ch.swisstopo.zeitreihen&amp;crosshair=marker Zeitreise]) &amp;middot;&amp;nbsp;[http://map.geo.admin.ch/?zoom=8&amp;X={ch1903northing}&amp;Y={ch1903easting}&amp;bgLayer=ch.swisstopo.swissimage&amp;crosshair=marker Luftbild]&amp;nbsp;([http://map.geo.admin.ch/?topic=swisstopo&amp;X={ch1903northing}&amp;Y={ch1903easting}&amp;zoom=8&amp;time=1984&amp;layers=ch.swisstopo.swissimage-product&amp;crosshair=marker Zeitreise])
|-
| '''map.search.ch'''
| [http://map.search.ch/{ch1903easting},{ch1903northing} Karte]
|-
| '''Mapplus/Tydac'''
| [http://www.mapplus.ch/frame.php?map=&amp;x=2{ch1903easting}&amp;y=1{ch1903northing}&amp;zl=8 Karte]
|-
| '''SchweizMobil'''
| [http://map.wanderland.ch/?lang=de&amp;X={ch1903easting}&amp;Y={ch1903northing}&amp;scale=25000&amp;layers=Wanderland Wanderland]&amp;nbsp;&amp;middot; [http://map.veloland.ch/?lang=de&amp;X={ch1903easting}&amp;Y={ch1903northing}&amp;scale=25000&amp;layers=Veloland Veloland]&amp;nbsp;&amp;middot; [http://map.mountainbikeland.ch/?lang=de&amp;X={ch1903easting}&amp;Y={ch1903northing}&amp;scale=25000&amp;layers=Mountainbikeland Mountainbikeland]&amp;nbsp;&amp;middot; [http://map.skatingland.ch/?lang=de&amp;X={ch1903easting}&amp;Y={ch1903northing}&amp;scale=25000&amp;layers=Skatingland Skatingland]&amp;nbsp;&amp;middot; [http://map.kanuland.ch/?lang=de&amp;X={ch1903easting}&amp;Y={ch1903northing}&amp;scale=25000&amp;layers=Kanuland Kanuland]
|-
| '''geoportal.ch''' ''(Publikationsorgan für amtl. Geodaten)''
| Karte: [https://www.geoportal.ch/ktag/map/40?y=2{ch1903easting}&amp;x=1{ch1903northing}&amp;scale=25000 AG] [https://www.geoportal.ch/ktai/map/40?y=2{ch1903easting}&amp;x=1{ch1903northing}&amp;scale=25000 AI] [https://www.geoportal.ch/ktar/map/40?y=2{ch1903easting}&amp;x=1{ch1903northing}&amp;scale=25000 AR] [https://www.geoportal.ch/ktbl/map/40?y=2{ch1903easting}&amp;x=1{ch1903northing}&amp;scale=25000 BL] [https://www.geoportal.ch/ktsg/map/40?y=2{ch1903easting}&amp;x=1{ch1903northing}&amp;scale=25000 SG] [https://www.geoportal.ch/ktso/map/40?y=2{ch1903easting}&amp;x=1{ch1903northing}&amp;scale=25000 SO] [https://www.geoportal.ch/ktsz/map/40?y=2{ch1903easting}&amp;x=1{ch1903northing}&amp;scale=25000 SZ] [https://www.geoportal.ch/ktzh/map/40?y=2{ch1903easting}&amp;x=1{ch1903northing}&amp;scale=25000 ZH]
|}

[[Schweizer Landeskoordinaten]]: 
* [[Schweizer Landeskoordinaten#Landesvermessung 1995|CH1903+ / LV95]]: ca. '''E=2{ch1903easting},&amp;nbsp;N=1{ch1903northing}'''
* CH1903 / LV03: '''{ch1903easting},&amp;nbsp;{ch1903northing}'''
&lt;!--
Quadrat:
* CH1903+: {{#expr: floor({ch1903easting}/1000)+2000 }}/{{#expr: floor({ch1903northing}/1000)+1000 }}
* CH1903: {{#expr: floor({ch1903easting}/1000) }}/{{#expr: floor({ch1903northing}/1000) }}
--&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-ES&quot;&gt;

==== {{ESP}} ====
* [https://www.ign.es/iberpix/visor/ '''Iberpix'''] Instituto Geográfico Nacional (Karten und Luftbilder ohne Direktlink; Benutzerführung spanisch und englisch)
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-CZ&quot;&gt;

==== {{CZE}} ====
* [https://mapy.cz/?x={londegdec}&amp;y={latdegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;q={titlee} '''Mapy.cz'''] ([https://mapy.cz/?x={londegdec}&amp;y={latdegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;q={titlee}&amp;base=ophoto Satellit], [https://mapy.cz/19stoleti?x={londegdec}&amp;y={latdegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;q={titlee} Historisch])
&lt;/div&gt;

&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-XA&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-XI&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-XN&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-XO&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-XP&quot;&gt;
&lt;div id=&quot;GEOTEMPLATE-XS&quot;&gt;
&lt;!--
=== Ozeane ===
--&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;!-- End region specific --&gt;
&lt;/div&gt;

== Andere ortsbezogene Informationen ==
=== Karten ===
{| class=&quot;wikitable toptextcells zebra&quot;
|-
! style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;| Dienst
! style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;| Anwendung
! style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;| Links
|-
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot; rowspan=&quot;2&quot;| '''Apple Maps'''
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;|Apple
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;| [https://maps.apple.com/?ll={latdegdec},{londegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;q={latdegdec},{londegdec} Apple Karten/Maps]
|-
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;|DuckDuckGo 
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;| [https://duckduckgo.com/?q={latdegdec},{londegdec}&amp;ia=web&amp;iaxm=maps DuckDuckGo Maps] &lt;small&gt;(nutzt Apple Maps)&lt;/small&gt;
|-
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot; rowspan=&quot;2&quot;| '''Google''' 
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;|Earth Web
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;|[https://earth.google.com/web/@{latdegdec},{londegdec},0a,{scale}d,1y,0h,60t,0r Web]
|-
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;|Earth Desktop
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;|[https://tools.wmflabs.org/wp-world/earth.php?long={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;name={pagename} KML]&amp;nbsp;&amp;middot; [https://tools.wmflabs.org/wp-world/world-link.php?long={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;lang={{CONTENTLANG}} KML mit deutschsprachigem Wikipedia-Layer]&amp;nbsp;&amp;middot; [https://tools.wmflabs.org/wp-world/world-link.php?long={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;lang={{CONTENTLANG}}&amp;thumbs=yes KML mit Bildern] &lt;small&gt;(benötigt [https://earth.google.com Google Earth])&lt;/small&gt;
|-
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;&quot; rowspan=&quot;2&quot;| '''Here''' 
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;|Here WeGo
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;|[https://wego.here.com/location/?map={latdegdec},{londegdec},{osmzoom},normal&amp;msg={title} Karte]&amp;nbsp;&amp;middot; [https://wego.here.com/location/?map={latdegdec},{londegdec},{osmzoom},satellite&amp;msg={title} Satellit]&amp;nbsp;&amp;middot; [https://wego.here.com/location/?map={latdegdec},{londegdec},{osmzoom},terrain&amp;msg={title} Relief]&lt;br /&gt;
|-
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;|Falk
|style=&quot;padding-left:0.5em; padding-right:0.5em;&quot;|[https://www.falk.de/?adr={latdegdec},{londegdec}&amp;z={osmzoom} Falk] &lt;small&gt;(nutzt Here)&lt;/small&gt;
|}

=== Anwendungen mit Wiki-Aspekt&lt;!-- Systems with Wiki aspects --&gt; ===
* für Wikipedia
** WikiMap: [https://wikimap.toolforge.org/?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;zoom={osmzoom}&amp;lang={{CONTENTLANG}}&amp;commons=false Artikel im Umkreis] ([https://wikimap.toolforge.org/?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;zoom={osmzoom}&amp;lang={{CONTENTLANG}} inkl. Commons-Bilder]) – [https://wikimap.toolforge.org/?page={pagenamee}&amp;lang={{CONTENTLANG}} Alle Koordinaten von ''{pagename}'']
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Special:Nearby#/coord/{latdegdec},{londegdec} Wikipedia-Artikel in der Nähe] (Special:Nearby)
** Artikel: [https://de.wikipedia.org/w/index.php?search=nearcoord:1km,{latdegdec},{londegdec}&amp;ns0=1 1 km], [https://de.wikipedia.org/w/index.php?search=nearcoord:5km,{latdegdec},{londegdec}&amp;ns0=1 5 km], [https://de.wikipedia.org/w/index.php?search=nearcoord:10km,{latdegdec},{londegdec}&amp;ns0=1 10 km] (Spezial:Suche, mit nearcoord)
&lt;!-- nicht erreichbar, redirect nach https://wp-world.toolforge.org/ ** [[Wikipedia:WikiProjekt Georeferenzierung/Hauptseite/Wikipedia-World|Wikipedia-World]]-Karte in folgenden Sprachen: [https://tools.wmflabs.org/wp-world/umkreis.php?la=en&amp;lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;rang=50&amp;map=1 Englisch], [https://tools.wmflabs.org/wp-world/umkreis.php?la=de&amp;lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;rang=50&amp;map=1 Deutsch], [https://tools.wmflabs.org/wp-world/umkreis.php?la=es&amp;lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;rang=50&amp;map=1 Spanisch], [https://tools.wmflabs.org/wp-world/umkreis.php?la=fr&amp;lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;rang=50&amp;map=1 Französisch], [https://tools.wmflabs.org/wp-world/umkreis.php?la=it&amp;lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;rang=50&amp;map=1 Italienisch], [https://tools.wmflabs.org/wp-world/umkreis.php?la=ja&amp;lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;rang=50&amp;map=1 Japanisch], [https://tools.wmflabs.org/wp-world/umkreis.php?la=nl&amp;lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;rang=50&amp;map=1 Niederländisch], [https://tools.wmflabs.org/wp-world/umkreis.php?la=pl&amp;lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;rang=50&amp;map=1 Polnisch], [https://tools.wmflabs.org/wp-world/umkreis.php?la=pt&amp;lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;rang=50&amp;map=1 Portugiesisch], [https://tools.wmflabs.org/wp-world/umkreis.php?la=ru&amp;lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;rang=50&amp;map=1 Russisch], [https://tools.wmflabs.org/wp-world/umkreis.php?la=sv&amp;lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;rang=50&amp;map=1 Schwedisch].--&gt;
** [https://copernix.io/#?where={londegdec},{latdegdec},{osmzoom}&amp;query=&amp;pagename={pagename} Copernix], Artikel (englische Wikipedia) auf Satellitenbildern und Karten
* für Commons
** Bilder im Umkreis von [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:MediaSearch&amp;type=image&amp;search=nearcoord:100m,{latdegdec},{londegdec} 100 m], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:MediaSearch&amp;type=image&amp;search=nearcoord:250m,{latdegdec},{londegdec} 250 m], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:MediaSearch&amp;type=image&amp;search=nearcoord:500m,{latdegdec},{londegdec} 500 m], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:MediaSearch&amp;type=image&amp;search=nearcoord:1km,{latdegdec},{londegdec} 1 km], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:MediaSearch&amp;type=image&amp;search=nearcoord:2km,{latdegdec},{londegdec} 2 km], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:MediaSearch&amp;type=image&amp;search=nearcoord:5km,{latdegdec},{londegdec} 5 km], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:MediaSearch&amp;type=image&amp;search=nearcoord:10km,{latdegdec},{londegdec} 10 km] (Special:MediaSearch mit nearcoord)
** [https://wikimap.toolforge.org/?wp=false&amp;cluster=false&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;zoom={osmzoom}&amp;lang={{CONTENTLANG}} Wikimap]
** [https://wiwosm.toolforge.org/osm-on-ol/commons-on-osm.php?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec} Commons on OSM], georeferenzierte Bilder von Wikimedia Commons auf OpenStreetMap
** [https://commons-coverage.toolforge.org/#{osmzoom}/{latdegdec}/{londegdec} Commons Coverage], Abdeckung mit georeferenzierten Bildern von Wikimedia Commons
** [https://warper.wmflabs.org/maps/geosearch?show_warped=1 Wikimaps Warper] für historische Karten: manuelle Eingabe: {latdegdec},{londegdec}
* für [https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby#/coord/{latdegdec},{londegdec} Wikidata] (Special:Nearby)
* Bilderwünsche
** [https://bldrwnsch.toolforge.org/#map={osmzoom}/{londegdec}/{latdegdec} Bilderwünsche] (toolforge:Bldrwnsch)
** [https://wikishootme.toolforge.org/#lat={latdegdec}&amp;lng={londegdec}&amp;zoom=15 WikiShootMe!] – Umkreissuche nach unbebilderten Wikipedia-Artikeln und Wikidata-Items; Anzeige von georeferenzierten Bildern von Wikimedia Commons
** Fotografierwillige Wikipedianer im Umkreis von [http://wikipedia.ramselehof.de/foto_range.php?lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;radius=50&amp;go=go 50 km], [http://wikipedia.ramselehof.de/foto_range.php?lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;radius=100&amp;go=go 100 km] und [http://wikipedia.ramselehof.de/foto_range.php?lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec}&amp;radius=150&amp;go=go 150 km] (von [[Wikipedia:Bilderangebote]])
** [http://tools.freeside.sk/geolocator/geolocator.html?q={latdegdec},{londegdec} GeoLocator], [http://tools.freeside.sk/geolocator/geolocator.html?q={latdegdec},{londegdec}&amp;ct=%7B%7BBilderwunsch%7CKoordinaten%7CBreitengrad%3D%7Blatdegdec%7D%7CL%E4ngengrad%3D%7Blondegdec%7D%7CISO-Region%3D%7Bregion%7D%7CBenutzer%3D&lt;!-- --&gt;~&lt;!-- --&gt;~&lt;!-- --&gt;~%7D%7D  mit Vorlage:Bilderwunsch] und [http://tools.freeside.sk/geolocator/geolocator.html?q={latdegdec},{londegdec}&amp;ct=%7B%7BBilderwunsch/Listeneintrag%7CBREITENGRAD%3D%7Blatdegdec%7D%7CL%C4NGENGRAD%3D%7Blondegdec%7D%7CNAME%3D%7D%7D Vorlage:Bilderwunsch/Listeneintrag]
** [[Wikipedia:Bilderwünsche/bwAPI|bwAPI]] (nicht aktualisiert): Bilderwünsche im Umkreis von [https://request.toolforge.org/bwAPI/map.php?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;dist=10 10 km], [https://request.toolforge.org/bwAPI/map.php?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;dist=25 25 km] oder [https://request.toolforge.org/bwAPI/map.php?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;dist=50 50 km]
* Andere
** [http://www.flickr.com/map/?&amp;fLat={latdegdec}&amp;fLon={londegdec}&amp;zl=5 Flickr-Map]
** [http://loc.alize.us/#/geo:{latdegdec},{londegdec},14,m/ Loc.alize.us]
** [http://www.mapillary.com/map/im/{osmzoom}/{latdegdec}/{londegdec} Mapillary.com] (Crowd sourced street view)
** [http://wiki.worldflicks.org/earth.php?lat={latdegdec}&amp;long={londegdec}&amp;z={span} Wiki.WorldFlicks.org] – Sightseeing with user-filtered [[Flickr]] photos positioned on map/satellite
** [http://wikimapia.org/#lang={{CONTENTLANG}}&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;z={osmzoom}&amp;m=b WikiMapia]

=== Amateurfunk ===
* [http://www.echolink.org/links.jsp?sel=latlon&amp;lat_deg={latdegabs}&amp;lat_min={latmindec}&amp;lat_NS={latNS}&amp;lon_deg={londegabs}&amp;lon_min={lonmindec}&amp;lon_EW={lonEW} www.echolink.org] Zeigt den nächstgelegenen [[Echolink]]-Gateway  an  (weltweites Amateurfunk VoIP Netzwerk)
* [http://www.findu.com/cgi-bin/near.cgi?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec} www.findu.com] Display nearest Stations using [[Automatic Packet Reporting System|APRS]] – an amateur radio based automatic position reporting system.
* [http://relaislisten.darc.de/cgi-bin/relais.pl?latdegdec={latdegdec}&amp;londegdec={londegdec}&amp;sel=latlondec relaislisten.darc.de] Display nearest repeaters using the [http://relaislisten.darc.de/ DL3EL] database.

=== Bergpanorama ===
* [https://www.peakfinder.org/?lat={latdegdec}&amp;lng={londegdec} PeakFinder] zeigt ein 360°-Panorama mit den Namen aller Berge
* [http://www.udeuschle.de/panoramas/makepanoramas.htm?data=lon:{londegdec}$$$lat:{latdegdec}$$$title:{title} udeuschle.de] Zeigt und benennt die Berge, die man vom Standort in einer anzugebenden Blickrichtung sehen kann

=== Biodiversität ===
* [https://www.avitopia.net/index.php?main_page=my_bird_guides&amp;geo=5&amp;tr01={latdegdec}&amp;tr00={londegdec}&amp;amod=html avitopia.net] Vogelwelt

=== Geocaching ===
* [https://www.geocaching.com/seek/nearest.aspx?origin_lat={latdegdec}&amp;origin_long={londegdec}&amp;dist=100&amp;submit3=Search geocaching.com] Eine Auflistung von [[geocaching|Geocaches]], die sich in der Nähe des Standorts befinden (geocaching.com-Account benötigt)
* [http://coord.info/map?ll={latdegdec},{londegdec}&amp;z=15 geocaching.com (Karte)] Zeigt eine Karte von Geocaches in der Nähe des Ortes an (geocaching.com-Account benötigt)

=== Geoinformationen ===
* [http://www.geody.com/geolook.php?world=terra&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec} Geody]
* [http://www.geonames.org/maps/google_{latdegdec}_{londegdec}.html  GeoNames] 
* [https://www.koordinaten-umrechner.de/decimal/{latdegdec},{londegdec}?karte=OpenStreetMap&amp;zoom=16 Koordinaten-Umrechner]
* [https://labs.strava.com/heatmap/#14/{londegdec}/{latdegdec}/hot/all Strava-FitnessApp] Karte von Bewegungsprofilen
* [https://wma.wmflabs.org/iframe.html?wma={latdegdec}_{londegdec}_700_500_{{CONTENTLANG}}_{zoom}_{{CONTENTLANG}}&amp;globe=Earth&amp;lang={{CONTENTLANG}}&amp;page={pagename} WikiMiniAtlas]
* [https://zoom.earth/?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;z=15&amp;r=0&amp;src=ggl Zoom Earth] Satelliten- und Luftbilder.

=== Historische Karten ===
&lt;!-- Mitteleuropa sehr gut, Resteuropa nur vereinzelt --&gt;
* [https://kartenforum.slub-dresden.de/vkviewer/?welcomepage=off&amp;z=8&amp;c={londegdec}%2C{latdegdec} Virtuelles Kartenforum 2.0] Sammlung historischer Karten überwiegend Mitteleuropas
* [http://www.oldmapsonline.org/?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec} Old maps online]
* [https://maps.vlasenko.net/?lon={londegdec}&amp;lat={latdegdec} Sowjetische Generalstabskarte] 1:50.000 bis 1:1.000.000 für viele Gebiete der Sowjetunion sowie Griechenland, Türkei, Albanien, Mazedonien, VAE, Pakistan (teilweise nicht komplette Abdeckung, nicht alle Maßstäbe)&lt;!-- könnte ggf. noch erweitert werden --&gt;
* [http://www.etomesto.com/?x={londegdec}&amp;y={latdegdec} EtoMesto], historische Karten der Sowjetunion

=== Satelliten- und Luftbilder, Wetter ===
* [http://earth.nullschool.net/#current/wind/isobaric/1000hPa/orthographic={londegdec},{latdegdec},3000 earth.nullschool.net] Visualisierung der aktuellen und zukünftigen Windgeschwindigkeiten in verschiedenen Höhen
* [https://www.fourmilab.ch/cgi-bin/uncgi/Earth?imgsize=320&amp;opt=-l&amp;lat={latdegdec}&amp;ns=North&amp;lon={londegneg}&amp;ew=West&amp;alt={altitude}&amp;img=nasa.evif Fourmilab] Auf einen Globus projizierte Satellitenbilder.
* NASA: [https://weather.msfc.nasa.gov/cgi-bin/get-goes?satellite=Global%20Composite&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;zoom=1&amp;info=ir&amp;palette=spect.pal&amp;width=600&amp;height=500 weather.msfc.nasa.gov] für satellitengestützte Wetterkarten der NASA, [worldwind://goto/world=Earth&amp;lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;view={span} World Wind] (Satellitenkarten/Luftbilder, benötigt [https://worldwind.arc.nasa.gov/java/ World Wind])
* WetterOnline: [https://www.wetteronline.de/wetterradar?wrx={latdegdec},{londegdec}&amp;wrp=periodCurrentHighRes&amp;wrm=7 Wetterradar],  [https://www.wetteronline.de/regenradar?mode=interactive&amp;wrx={latdegdec},{londegdec}&amp;wrp=periodCurrentHighRes&amp;wrm=7 Regenradar]
* Windy.com: [https://www.windy.com/?{latdegdec},{londegdec},{osmzoom} Wind map and weather forecast]

=== Sonnenaufgang/Sonnenuntergang ===
* [http://www.sunrisesunset.com/calendar.asp?comb_city_info=Long:{londegneg},Lat:{latdegdec};{londegneg};{latdegdec};0;0&amp;month={{CURRENTMONTH}}&amp;year={{CURRENTYEAR}}&amp;time_type=1&amp;use_dst=0&amp;want_twi_civ=1&amp;want_twi_naut=1&amp;want_twi_astro=1&amp;want_mrms=1&amp;want_mphase=1 www.sunrisesunset.com] Sonnenaufgang, Sonnenuntergang, Dämmerung, Mond. (GMT ohne Sommerzeit)
* [http://www.geody.com/geosunriset.php?c1={latdegdec}+{londegdec} Geody Sunrise and Sunset] (GMT) für jedes beliebige Datum.

=== Verkehrswesen ===
* [http://www.flightradar24.com/simple_index.php?lat={latdegdec}&amp;lon={londegdec}&amp;z=8 flightradar24.com] Zeigt Flugbewegungen an.
* [https://www.marinetraffic.com/en/ais/home/centerx:{londegdec}/centery:{latdegdec}/zoom:9 marinetraffic.com] Zeigt Positionen von Schiffen auf Meeren und Binnengewässern an.
* [https://www.openaip.net/map#{osmzoom}.00/{latdegdec}/{londegdec} openaip.net] Flugzonen für Drohnen usw.

=== Zeitzonen ===
* [http://new.earthtools.org/timezone/{latdegdec}/{londegdec} earthtools.org] Zeigt Zeitzonen-Information für diesen Ort an (das Resultat ist im [[Extensible Markup Language|XML]]-Format)

== Koordinaten für Kartendienste ohne Direktlinks ==
Manche Dienste müssen manuell navigiert werden, wobei die manuelle Eingabe der Koordinaten-Daten erforderlich ist. Ist dies der Fall, so könnten folgende Informationen hilfreich sein.

&lt;div style=&quot;overflow-x:auto;&quot;&gt;
{|  class=&quot;wikitable toptextcells zebra&quot;
| rowspan=&quot;3&quot;| [[Geographische Breite]] (latitude),&lt;br /&gt;[[Geographische Länge]] (longitude)
| Grad, Minuten, Dezimalsekunden
| '''{latdegabs}° {latminint}&amp;prime; {latsecdec}&amp;Prime; {latNS} {londegabs}° {lonminint}&amp;prime; {lonsecdec}&amp;Prime; {lonEW}'''
| [[World Geodetic System 1984|WGS84]]
|-
| Grad, Dezimalminuten
| '''{latdegabs}° {latmindec}&amp;prime; {latNS} {londegabs}° {lonmindec}&amp;prime; {lonEW}'''
| WGS84
|-
| Dezimalgrade
| '''&lt;div class=&quot;geo&quot;&gt;&lt;span class=&quot;latitude&quot;&gt;{latdegdec}&lt;/span&gt;; &lt;span class=&quot;longitude&quot;&gt;{londegdec}&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;'''
| WGS84
|-
| [[UTM-Koordinatensystem]]
| Zone, Rechtswert/Ostwert, Hochwert/Nordwert
| '''{utmzone} {utmeasting} {utmnorthing}'''
| WGS84
|-
| [[Schweizer Landeskoordinaten|CH1903]] (CH)
| y, x
| '''{ch1903easting} {ch1903northing}'''
| Bessel 1841
|-
| [[National Grid (Ordnance Survey)|National Grid]] (GB&lt;!-- nicht UK, denn Nordirland verwendet das nicht--&gt;)
|
| '''{osgb36ref}'''
| Airy 1830
|-
| Wikipedia
|colspan=&quot;2&quot;| 
;Artikel:&lt;nowiki&gt;{{Coordinate|NS={latdegdec}|EW={londegdec}|type={type}|region={region}}}&lt;/nowiki&gt;
;Text: &lt;nowiki&gt;{{Coordinate|text=/|NS={latdegdec}|EW={londegdec}|type={type}|region={region}|name={title}}}&lt;/nowiki&gt;
;Bilderwunsch: &lt;nowiki&gt;{{Bilderwunsch|Koordinaten|Genauere Beschreibung zu {title}|Breitengrad={latdegdec}|Längengrad={londegdec}|ISO-Region={region}}}&lt;/nowiki&gt;
;Bilderwunsch-Listeneintrag
:&lt;nowiki&gt;{{Bilderwunsch/Listeneintrag|BREITENGRAD={latdegdec}|LÄNGENGRAD={londegdec}|NAME={title}}}&lt;/nowiki&gt;
| WGS84
|-
| Commons
|colspan=&quot;2&quot;| 
;Standort Betrachter/Kamera:&lt;nowiki&gt;{{Location|{latdegdec}|{londegdec}|region:{region}}}&lt;/nowiki&gt;
;Objektstandort:&lt;nowiki&gt;{{Object location|{latdegdec}|{londegdec}|type:{type}_region:{region}_name:{title}}}&lt;/nowiki&gt;
| WGS84
|}
&lt;/div&gt;

Koordinatenangaben mit dem Datum WGS84 sind auch für NAD83 und EU89 gültig.

== Über diese Seite ==
Diese Seite bietet für eine vorgegebene Koordinate eine Vielzahl von Geodiensten an. Die Organisation dieses Services erfolgt im
[[Wikipedia:WikiProjekt Georeferenzierung|WikiProjekt Georeferenzierung]]. Diese Seite kann unter [https://de.wikipedia.org/wiki/Vorlage:GeoTemplate Vorlage:GeoTemplate] bearbeitet werden. Anregungen und Wünsche können unter [[Vorlage Diskussion:GeoTemplate]] gestellt werden.

{{#invoke:TemplUtl|fakes|prefix=GeoTemplate/
|GeolinkConfig
|callisto
|europa
|ganymede
|io
|jupiter
|mars
|mercury
|moon
|titan
|venus
}}
__NOTOC__
[[Kategorie:Vorlage:mit Koordinate|@GeoTemplate]]</text>
      <sha1>pc73q24lscaf3rn7voj6jypk43exe7a</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Tabellenkalkulation/Formel und Funktion</title>
    <ns>106</ns>
    <id>170017</id>
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      <id>1076226</id>
      <parentid>1076175</parentid>
      <timestamp>2026-03-30T11:05:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Paul Sutermeister</username>
        <id>37610</id>
      </contributor>
      <origin>1076226</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2726" sha1="qvwslr6vbxl25odtp61ndjy3ixqvbqs" xml:space="preserve">&lt;div style=&quot;
 border-left:6px solid #ffb703;
 background:#fff7e6;
 padding:0.9em;
 margin:1em 0;
 border-radius:8px;
 box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08);
&quot;&gt;
&lt;big&gt;D - Formel und Funktion&lt;/big&gt;

'''Formeln'''

* [https://zenodo.org/records/15796617 Grundrechenarten]
* [https://zenodo.org/records/16750288 Ausfüllen Rechnen Prozente]

'''Funktionen'''

* [https://zenodo.org/records/15033093 Summe Mittelwert]
* [https://zenodo.org/records/18051993 Maximum Minimum]
* [https://zenodo.org/records/15298974 Anzahl Zählenwenn]
* WENN

&lt;/div&gt;

= Übung =

# Öffne die Vorlage Zeitaufwand-Vorlage in deinem Laufwerk C.
# Schreibe in H2 &quot;Gesamtzeit&quot;. Berechne in der Zelle I2 mit einer Funktion die '''Summe''' aller Stunden.
# Berechne in der Zelle E3 den Anteil von Stunden am Gesamten aller Aufgaben mit der Formel: D2 '''dividiert''' durch C2. Gib die Zellbezüge so ein, dass du die Formel nach unten kopieren kannst. Kopiere die Formel nach unten bis zur Zelle E53.
# Berechne in der Zelle X99 mit einer Funktion den '''Durchschnitt''' der Werte im Bereich C2 bis C53.
# Gib in F2 eine Funktion ein, die Folgendes bewirkt: '''Wenn''' die Zahl in E2 kleiner ist als 0.1, dann soll &quot;ok&quot; ausgegeben werden, sonst soll der Text &quot;viel Arbeit&quot; ausgegeben werden. Kopiere diese Funktion in den Bereich F3 bis F53.
# Erweitere die Formel in E2:E53 mit dem Faktor 60. Dann hast du die Anzahl Minuten. Formatiere E2:E53 bedingt, sodass in den Zellen das Wort Minuten steht.
# Ändere die WENN-Formel in Zelle F2 so ab, dass &quot;viel Arbeit&quot; angezeigt wird, solange E2 gleich oder grösser ist als 5. Kopiere die Formel nach unten.
# Schreibe in E1 &quot;Minuten pro Aufgabe&quot;.

= Weitere Übungen =
{{inuse}}

(Ändere nicht das bereits zugewiesene Prozentformat.)

# Berechne in der Zelle G99 das Total mit der Formel: B10 '''mal''' B20
# Berechne in der Zelle G99 die Differenz von Verkaufspreis '''minus''' Einkaufspreis.
# Ermittle in der Zelle R99 mit einer Funktion den '''kleinsten''' Wert im Bereich P88 bis Q99.
# Ermittl in der Zelle S44 mit einer Funktion den höchsten Wert im Bereich R3 bis S33.
# Ändere in der Zelle P99 die Formel so, dass sie der guten Praxis bei der Erstellung von Formeln entspricht.
# In der Zelle C15 wird '''#WERT!''' angezeigt. Korrigiere den Zellinhalt, der zu dieser Fehlermeldung führt.
# Korrigiere die Funktion in der Zelle G77. (es steht dort '''#NAME?''')
# Ermittle in der Zelle F88 mit einer Funktion die '''Anzahl''' der Beträge im Bereich P88 bis R99.
# Gib in Zelle M44 ein: Gehalt gerundet. Gib in die Zelle M45 eine Funktion ein, die den Inhalt der Zelle L45 auf 0 Dezimalstellen kaufmännisch rundet. Kopiere diese Funktion nach unten bis M100.

[[Kategorie:Kurs:Tabellenkalkulation]]</text>
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    <title>Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke</title>
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      <id>1076211</id>
      <parentid>1076208</parentid>
      <timestamp>2026-03-29T12:59:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale */</comment>
      <origin>1076211</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28344" sha1="amf1lq6an19tff5wafy5ucixd5jc1bu" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt &lt;math&gt;A_{\Delta}&lt;/math&gt; eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:
:&lt;math&gt;
 A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2}
&lt;/math&gt;
Dabei ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; die Länge der Grundseite und &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

=== Lernvoraussetzungen ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]]

=== Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt ===
Sei &lt;math&gt;A\in \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt;  eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; und die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß &lt;math&gt;\mu_f(A)&lt;/math&gt; auffassen, wobei &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. 
:&lt;math&gt; 
\mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;
Gilt für die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{R}_o^{+}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu_f(G) = 1&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;\mu_f : \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] &lt;math&gt;(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))&lt;/math&gt;

=== Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck ===
Ist &lt;math&gt;\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit den Eckpunkten &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3&lt;/math&gt;, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:
:&lt;math&gt;
 \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral ===
Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen.

[[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]]

=== Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral ===
Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke:

[[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]]
&lt;!--
[[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]]
--&gt;

==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ====
Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0.

== Flächenintegralsatz für Dreiecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{\Delta} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
  \displaystyle
   \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:
* die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert 
* die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet. Der Faktor &lt;math&gt;\tfrac{1}{2}&lt;/math&gt; entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ====
Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion &lt;math&gt;F(z)&lt;/math&gt; berechnet werden: 
:&lt;math&gt;
  \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) 
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ====
In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,1)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R_{(n,2)}&lt;/math&gt; eingezeichnet. Mit wachsendem &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]]

==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ====
Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden wie folgt benannt:

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Approximation der Dreiecksfläche ====
Um den komplexen Flächenintegrale von &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; über eine Dreiecksfläche &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt; ausgedrückt. Die natürliche &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert.


=== Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]].
Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden dafür zunächst definiert.

==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ====
Die Diagonale zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; im Rechteck wird in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  d_0 &amp; = &amp; z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\
  d_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Die vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; im Rechteck wird ebenfalls in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  v_0 &amp; = &amp; z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\
  v_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, v_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks.

==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke  ====
Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; mit dem Realteil von &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und der Imaginärteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; muss mit dem Imaginärteil von &lt;math&gt;v_{k-1}&lt;/math&gt; übereinstimmen und man erhält für &lt;math&gt;k\in \{1, \ldots , n\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  w_0 &amp; = &amp; z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot  b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
  w_{k-1} &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf &lt;math&gt;f=f_1 + i\cdot f_2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a=0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=1&lt;/math&gt;  und &lt;math&gt;b-a = 1&lt;/math&gt; und der [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle&lt;/math&gt; anwenden mit:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit gibt es &lt;math&gt;t_1,t_2\in [0,1]&lt;/math&gt;, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2)  \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1}
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Dabei ist die Ableitung &lt;math&gt; \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} &lt;/math&gt; eine Konstante für alle &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt;. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1))  + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1})
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite  ====
Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;. Die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet.:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  \widehat{w_k} &amp; = &amp; \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot  z_2\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
 
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.


&lt;span id=&quot;Zerlegungslemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen &lt;math&gt;K\subseteq G&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; mit der Stammfunktion &lt;math&gt; F:K\to  \mathbb{C}&lt;/math&gt; folgende Gleichung:
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz  + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck ===
Die Eckpunkt des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. 
[[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]]


=== Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck ===
Die Diagonale des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]]

=== Motivation des Zerlegungslemmas ===
Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet.

[[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]]

=== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ===
In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

== Beweis - Zerlegungslemma ==
Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liefern. Die Schnittmenge der &lt;math&gt;\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset&lt;/math&gt; ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.  

=== Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke ===
Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1)
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas ===
Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{R} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ===
Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  0 
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle }  f(z) \, dz 
  \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   +
    \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   +
    \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int}  f(z) \, dz
 \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   -
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;
In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals.

=== Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale ===
Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    -
 \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz  
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    = 
    \int_R  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke ===
In das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge &lt;math&gt;\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; verwenden. Seien &lt;math&gt;a, b &gt; 0 &lt;/math&gt; die Breite und Höhe des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Damit gilt &lt;math&gt;z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i}  \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; für ein achsenparalleles Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. 

=== Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ===
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ====
Das Ausgangsrechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; wurde in zwei Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen:  
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; im Rechteck in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;\widetilde{v_k}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \widetilde{v_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\
  \widetilde{v_k} &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_2 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ====
Analog zum Vorgehen für das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1})
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals ===
Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau).

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ====
Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten &lt;math&gt;v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}&lt;/math&gt; kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge  Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (Punkte der Strecke zwischen &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist.

==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ====
Man definiert nun die &lt;math&gt;M_{(n,k)}&lt;/math&gt; als Vereinigung  der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; über &lt;math&gt;M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung:
:&lt;math&gt; 
\int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz  = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;
Wenn man die Summe über &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ====
Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{R} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\Delta} f(z) \, dz 
}
+
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
}
\\
&amp; = &amp;
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
     \\ 

\end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens ===
Insgesamt wurde das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Teildreiecken &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über die Rechteckteilflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist.
&lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]]
* [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]]
* [[Lemma von Goursat]]
* [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]]</text>
      <sha1>amf1lq6an19tff5wafy5ucixd5jc1bu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1076212</id>
      <parentid>1076211</parentid>
      <timestamp>2026-03-29T13:33:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite */</comment>
      <origin>1076212</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28344" sha1="22hofiw6i9y970y7fykehmiudnigrcj" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt &lt;math&gt;A_{\Delta}&lt;/math&gt; eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:
:&lt;math&gt;
 A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2}
&lt;/math&gt;
Dabei ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; die Länge der Grundseite und &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

=== Lernvoraussetzungen ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]]

=== Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt ===
Sei &lt;math&gt;A\in \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt;  eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; und die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß &lt;math&gt;\mu_f(A)&lt;/math&gt; auffassen, wobei &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. 
:&lt;math&gt; 
\mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;
Gilt für die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{R}_o^{+}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu_f(G) = 1&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;\mu_f : \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] &lt;math&gt;(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))&lt;/math&gt;

=== Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck ===
Ist &lt;math&gt;\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit den Eckpunkten &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3&lt;/math&gt;, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:
:&lt;math&gt;
 \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral ===
Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen.

[[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]]

=== Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral ===
Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke:

[[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]]
&lt;!--
[[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]]
--&gt;

==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ====
Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0.

== Flächenintegralsatz für Dreiecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{\Delta} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
  \displaystyle
   \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:
* die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert 
* die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet. Der Faktor &lt;math&gt;\tfrac{1}{2}&lt;/math&gt; entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ====
Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion &lt;math&gt;F(z)&lt;/math&gt; berechnet werden: 
:&lt;math&gt;
  \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) 
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ====
In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,1)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R_{(n,2)}&lt;/math&gt; eingezeichnet. Mit wachsendem &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]]

==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ====
Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden wie folgt benannt:

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Approximation der Dreiecksfläche ====
Um den komplexen Flächenintegrale von &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; über eine Dreiecksfläche &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt; ausgedrückt. Die natürliche &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert.


=== Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]].
Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden dafür zunächst definiert.

==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ====
Die Diagonale zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; im Rechteck wird in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  d_0 &amp; = &amp; z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\
  d_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Die vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; im Rechteck wird ebenfalls in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  v_0 &amp; = &amp; z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\
  v_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, v_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks.

==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke  ====
Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; mit dem Realteil von &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und der Imaginärteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; muss mit dem Imaginärteil von &lt;math&gt;v_{k-1}&lt;/math&gt; übereinstimmen und man erhält für &lt;math&gt;k\in \{1, \ldots , n\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  w_0 &amp; = &amp; z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot  b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
  w_{k-1} &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf &lt;math&gt;f=f_1 + i\cdot f_2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a=0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=1&lt;/math&gt;  und &lt;math&gt;b-a = 1&lt;/math&gt; und der [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle&lt;/math&gt; anwenden mit:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit gibt es &lt;math&gt;t_1,t_2\in [0,1]&lt;/math&gt;, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2)  \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1}
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Dabei ist die Ableitung &lt;math&gt; \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} &lt;/math&gt; eine Konstante für alle &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt;. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1))  + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1})
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite  ====
Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;. Die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet.:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  \widehat{w_k} &amp; = &amp; \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot  z_2\quad \quad w_0 \,\, = \,\, z_2 \\
 
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.


&lt;span id=&quot;Zerlegungslemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen &lt;math&gt;K\subseteq G&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; mit der Stammfunktion &lt;math&gt; F:K\to  \mathbb{C}&lt;/math&gt; folgende Gleichung:
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz  + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck ===
Die Eckpunkt des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. 
[[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]]


=== Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck ===
Die Diagonale des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]]

=== Motivation des Zerlegungslemmas ===
Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet.

[[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]]

=== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ===
In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

== Beweis - Zerlegungslemma ==
Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liefern. Die Schnittmenge der &lt;math&gt;\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset&lt;/math&gt; ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.  

=== Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke ===
Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1)
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas ===
Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{R} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ===
Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  0 
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle }  f(z) \, dz 
  \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   +
    \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   +
    \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int}  f(z) \, dz
 \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   -
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;
In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals.

=== Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale ===
Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    -
 \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz  
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    = 
    \int_R  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke ===
In das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge &lt;math&gt;\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; verwenden. Seien &lt;math&gt;a, b &gt; 0 &lt;/math&gt; die Breite und Höhe des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Damit gilt &lt;math&gt;z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i}  \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; für ein achsenparalleles Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. 

=== Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ===
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ====
Das Ausgangsrechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; wurde in zwei Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen:  
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; im Rechteck in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;\widetilde{v_k}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \widetilde{v_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\
  \widetilde{v_k} &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_2 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ====
Analog zum Vorgehen für das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1})
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals ===
Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau).

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ====
Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten &lt;math&gt;v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}&lt;/math&gt; kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge  Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (Punkte der Strecke zwischen &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist.

==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ====
Man definiert nun die &lt;math&gt;M_{(n,k)}&lt;/math&gt; als Vereinigung  der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; über &lt;math&gt;M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung:
:&lt;math&gt; 
\int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz  = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;
Wenn man die Summe über &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ====
Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{R} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\Delta} f(z) \, dz 
}
+
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
}
\\
&amp; = &amp;
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
     \\ 

\end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens ===
Insgesamt wurde das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Teildreiecken &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über die Rechteckteilflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist.
&lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]]
* [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]]
* [[Lemma von Goursat]]
* [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]]</text>
      <sha1>22hofiw6i9y970y7fykehmiudnigrcj</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1076213</id>
      <parentid>1076212</parentid>
      <timestamp>2026-03-29T13:37:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite */</comment>
      <origin>1076213</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28387" sha1="k2k36nvgpn95yolsmbj7tod7292m5ci" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt &lt;math&gt;A_{\Delta}&lt;/math&gt; eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:
:&lt;math&gt;
 A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2}
&lt;/math&gt;
Dabei ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; die Länge der Grundseite und &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

=== Lernvoraussetzungen ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]]

=== Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt ===
Sei &lt;math&gt;A\in \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt;  eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; und die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß &lt;math&gt;\mu_f(A)&lt;/math&gt; auffassen, wobei &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. 
:&lt;math&gt; 
\mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;
Gilt für die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{R}_o^{+}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu_f(G) = 1&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;\mu_f : \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] &lt;math&gt;(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))&lt;/math&gt;

=== Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck ===
Ist &lt;math&gt;\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit den Eckpunkten &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3&lt;/math&gt;, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:
:&lt;math&gt;
 \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral ===
Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen.

[[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]]

=== Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral ===
Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke:

[[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]]
&lt;!--
[[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]]
--&gt;

==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ====
Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0.

== Flächenintegralsatz für Dreiecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{\Delta} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
  \displaystyle
   \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:
* die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert 
* die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet. Der Faktor &lt;math&gt;\tfrac{1}{2}&lt;/math&gt; entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ====
Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion &lt;math&gt;F(z)&lt;/math&gt; berechnet werden: 
:&lt;math&gt;
  \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) 
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ====
In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,1)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R_{(n,2)}&lt;/math&gt; eingezeichnet. Mit wachsendem &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]]

==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ====
Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden wie folgt benannt:

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Approximation der Dreiecksfläche ====
Um den komplexen Flächenintegrale von &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; über eine Dreiecksfläche &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt; ausgedrückt. Die natürliche &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert.


=== Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]].
Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden dafür zunächst definiert.

==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ====
Die Diagonale zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; im Rechteck wird in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  d_0 &amp; = &amp; z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\
  d_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Die vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; im Rechteck wird ebenfalls in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  v_0 &amp; = &amp; z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\
  v_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, v_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks.

==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke  ====
Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; mit dem Realteil von &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und der Imaginärteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; muss mit dem Imaginärteil von &lt;math&gt;v_{k-1}&lt;/math&gt; übereinstimmen und man erhält für &lt;math&gt;k\in \{1, \ldots , n\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  w_0 &amp; = &amp; z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot  b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
  w_{k-1} &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf &lt;math&gt;f=f_1 + i\cdot f_2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a=0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=1&lt;/math&gt;  und &lt;math&gt;b-a = 1&lt;/math&gt; und der [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle&lt;/math&gt; anwenden mit:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit gibt es &lt;math&gt;t_1,t_2\in [0,1]&lt;/math&gt;, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2)  \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1}
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Dabei ist die Ableitung &lt;math&gt; \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} &lt;/math&gt; eine Konstante für alle &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt;. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1))  + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1})
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite  ====
Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;. Die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet.:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  \widehat{w_k} &amp; = &amp; \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot  z_2\quad \quad \widehat{w_0} \,\, = \,\, z_2 \\
 
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k+1}&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.


&lt;span id=&quot;Zerlegungslemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen &lt;math&gt;K\subseteq G&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; mit der Stammfunktion &lt;math&gt; F:K\to  \mathbb{C}&lt;/math&gt; folgende Gleichung:
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz  + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck ===
Die Eckpunkt des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. 
[[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]]


=== Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck ===
Die Diagonale des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]]

=== Motivation des Zerlegungslemmas ===
Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet.

[[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]]

=== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ===
In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

== Beweis - Zerlegungslemma ==
Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liefern. Die Schnittmenge der &lt;math&gt;\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset&lt;/math&gt; ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.  

=== Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke ===
Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1)
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas ===
Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{R} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ===
Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  0 
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle }  f(z) \, dz 
  \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   +
    \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   +
    \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int}  f(z) \, dz
 \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   -
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;
In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals.

=== Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale ===
Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    -
 \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz  
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    = 
    \int_R  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke ===
In das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge &lt;math&gt;\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; verwenden. Seien &lt;math&gt;a, b &gt; 0 &lt;/math&gt; die Breite und Höhe des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Damit gilt &lt;math&gt;z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i}  \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; für ein achsenparalleles Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. 

=== Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ===
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ====
Das Ausgangsrechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; wurde in zwei Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen:  
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; im Rechteck in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;\widetilde{v_k}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \widetilde{v_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\
  \widetilde{v_k} &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_2 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ====
Analog zum Vorgehen für das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1})
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals ===
Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau).

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ====
Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten &lt;math&gt;v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}&lt;/math&gt; kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge  Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (Punkte der Strecke zwischen &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist.

==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ====
Man definiert nun die &lt;math&gt;M_{(n,k)}&lt;/math&gt; als Vereinigung  der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; über &lt;math&gt;M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung:
:&lt;math&gt; 
\int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz  = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;
Wenn man die Summe über &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ====
Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{R} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\Delta} f(z) \, dz 
}
+
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
}
\\
&amp; = &amp;
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
     \\ 

\end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens ===
Insgesamt wurde das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Teildreiecken &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über die Rechteckteilflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist.
&lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]]
* [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]]
* [[Lemma von Goursat]]
* [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]]</text>
      <sha1>k2k36nvgpn95yolsmbj7tod7292m5ci</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1076214</id>
      <parentid>1076213</parentid>
      <timestamp>2026-03-29T13:38:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite */</comment>
      <origin>1076214</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28889" sha1="r2qidgm8bzkrdhm2mamfhjxu1nsez1o" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt &lt;math&gt;A_{\Delta}&lt;/math&gt; eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:
:&lt;math&gt;
 A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2}
&lt;/math&gt;
Dabei ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; die Länge der Grundseite und &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

=== Lernvoraussetzungen ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]]

=== Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt ===
Sei &lt;math&gt;A\in \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt;  eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; und die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß &lt;math&gt;\mu_f(A)&lt;/math&gt; auffassen, wobei &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. 
:&lt;math&gt; 
\mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;
Gilt für die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{R}_o^{+}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu_f(G) = 1&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;\mu_f : \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] &lt;math&gt;(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))&lt;/math&gt;

=== Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck ===
Ist &lt;math&gt;\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit den Eckpunkten &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3&lt;/math&gt;, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:
:&lt;math&gt;
 \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral ===
Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen.

[[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]]

=== Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral ===
Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke:

[[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]]
&lt;!--
[[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]]
--&gt;

==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ====
Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0.

== Flächenintegralsatz für Dreiecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{\Delta} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
  \displaystyle
   \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:
* die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert 
* die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet. Der Faktor &lt;math&gt;\tfrac{1}{2}&lt;/math&gt; entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ====
Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion &lt;math&gt;F(z)&lt;/math&gt; berechnet werden: 
:&lt;math&gt;
  \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) 
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ====
In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,1)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R_{(n,2)}&lt;/math&gt; eingezeichnet. Mit wachsendem &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]]

==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ====
Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden wie folgt benannt:

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Approximation der Dreiecksfläche ====
Um den komplexen Flächenintegrale von &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; über eine Dreiecksfläche &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt; ausgedrückt. Die natürliche &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert.


=== Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]].
Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden dafür zunächst definiert.

==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ====
Die Diagonale zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; im Rechteck wird in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  d_0 &amp; = &amp; z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\
  d_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Die vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; im Rechteck wird ebenfalls in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  v_0 &amp; = &amp; z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\
  v_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, v_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks.

==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke  ====
Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; mit dem Realteil von &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und der Imaginärteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; muss mit dem Imaginärteil von &lt;math&gt;v_{k-1}&lt;/math&gt; übereinstimmen und man erhält für &lt;math&gt;k\in \{1, \ldots , n\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  w_0 &amp; = &amp; z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot  b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
  w_{k-1} &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf &lt;math&gt;f=f_1 + i\cdot f_2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a=0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=1&lt;/math&gt;  und &lt;math&gt;b-a = 1&lt;/math&gt; und der [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle&lt;/math&gt; anwenden mit:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit gibt es &lt;math&gt;t_1,t_2\in [0,1]&lt;/math&gt;, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2)  \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1}
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Dabei ist die Ableitung &lt;math&gt; \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} &lt;/math&gt; eine Konstante für alle &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt;. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1))  + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1})
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite  ====
Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;. Die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet.:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  \widehat{w_k} &amp; = &amp; \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot  z_2\quad \quad \widehat{w_0} \,\, = \,\, z_2 \\
 
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k+1}&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Zerlegungslemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen &lt;math&gt;K\subseteq G&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; mit der Stammfunktion &lt;math&gt; F:K\to  \mathbb{C}&lt;/math&gt; folgende Gleichung:
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz  + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck ===
Die Eckpunkt des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. 
[[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]]


=== Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck ===
Die Diagonale des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]]

=== Motivation des Zerlegungslemmas ===
Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet.

[[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]]

=== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ===
In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

== Beweis - Zerlegungslemma ==
Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liefern. Die Schnittmenge der &lt;math&gt;\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset&lt;/math&gt; ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.  

=== Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke ===
Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1)
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas ===
Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{R} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ===
Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  0 
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle }  f(z) \, dz 
  \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   +
    \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   +
    \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int}  f(z) \, dz
 \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   -
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;
In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals.

=== Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale ===
Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    -
 \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz  
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    = 
    \int_R  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke ===
In das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge &lt;math&gt;\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; verwenden. Seien &lt;math&gt;a, b &gt; 0 &lt;/math&gt; die Breite und Höhe des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Damit gilt &lt;math&gt;z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i}  \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; für ein achsenparalleles Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. 

=== Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ===
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ====
Das Ausgangsrechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; wurde in zwei Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen:  
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; im Rechteck in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;\widetilde{v_k}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \widetilde{v_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\
  \widetilde{v_k} &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_2 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ====
Analog zum Vorgehen für das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1})
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals ===
Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau).

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ====
Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten &lt;math&gt;v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}&lt;/math&gt; kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge  Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (Punkte der Strecke zwischen &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist.

==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ====
Man definiert nun die &lt;math&gt;M_{(n,k)}&lt;/math&gt; als Vereinigung  der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; über &lt;math&gt;M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung:
:&lt;math&gt; 
\int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz  = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;
Wenn man die Summe über &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ====
Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{R} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\Delta} f(z) \, dz 
}
+
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
}
\\
&amp; = &amp;
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
     \\ 

\end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens ===
Insgesamt wurde das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Teildreiecken &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über die Rechteckteilflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist.
&lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]]
* [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]]
* [[Lemma von Goursat]]
* [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]]</text>
      <sha1>r2qidgm8bzkrdhm2mamfhjxu1nsez1o</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1076215</id>
      <parentid>1076214</parentid>
      <timestamp>2026-03-29T13:40:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche */</comment>
      <origin>1076215</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29857" sha1="e4m96aoltc5y5r0j3ieyi8ejfy8bwf3" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt &lt;math&gt;A_{\Delta}&lt;/math&gt; eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:
:&lt;math&gt;
 A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2}
&lt;/math&gt;
Dabei ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; die Länge der Grundseite und &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

=== Lernvoraussetzungen ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]]

=== Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt ===
Sei &lt;math&gt;A\in \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt;  eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; und die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß &lt;math&gt;\mu_f(A)&lt;/math&gt; auffassen, wobei &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. 
:&lt;math&gt; 
\mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;
Gilt für die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{R}_o^{+}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu_f(G) = 1&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;\mu_f : \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] &lt;math&gt;(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))&lt;/math&gt;

=== Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck ===
Ist &lt;math&gt;\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit den Eckpunkten &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3&lt;/math&gt;, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:
:&lt;math&gt;
 \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral ===
Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen.

[[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]]

=== Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral ===
Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke:

[[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]]
&lt;!--
[[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]]
--&gt;

==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ====
Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0.

== Flächenintegralsatz für Dreiecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{\Delta} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
  \displaystyle
   \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:
* die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert 
* die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet. Der Faktor &lt;math&gt;\tfrac{1}{2}&lt;/math&gt; entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ====
Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion &lt;math&gt;F(z)&lt;/math&gt; berechnet werden: 
:&lt;math&gt;
  \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) 
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ====
In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,1)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R_{(n,2)}&lt;/math&gt; eingezeichnet. Mit wachsendem &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]]

==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ====
Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden wie folgt benannt:

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Approximation der Dreiecksfläche ====
Um den komplexen Flächenintegrale von &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; über eine Dreiecksfläche &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt; ausgedrückt. Die natürliche &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert.


=== Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]].
Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden dafür zunächst definiert.

==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ====
Die Diagonale zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; im Rechteck wird in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  d_0 &amp; = &amp; z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\
  d_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Die vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; im Rechteck wird ebenfalls in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  v_0 &amp; = &amp; z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\
  v_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, v_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks.

==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke  ====
Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; mit dem Realteil von &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und der Imaginärteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; muss mit dem Imaginärteil von &lt;math&gt;v_{k-1}&lt;/math&gt; übereinstimmen und man erhält für &lt;math&gt;k\in \{1, \ldots , n\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  w_0 &amp; = &amp; z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot  b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
  w_{k-1} &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf &lt;math&gt;f=f_1 + i\cdot f_2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a=0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=1&lt;/math&gt;  und &lt;math&gt;b-a = 1&lt;/math&gt; und der [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle&lt;/math&gt; anwenden mit:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit gibt es &lt;math&gt;t_1,t_2\in [0,1]&lt;/math&gt;, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2)  \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1}
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Dabei ist die Ableitung &lt;math&gt; \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} &lt;/math&gt; eine Konstante für alle &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt;. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1))  + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1})
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite  ====
Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;. Die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet.:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  \widehat{w_k} &amp; = &amp; \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot  z_2\quad \quad \widehat{w_0} \,\, = \,\, z_2 \\
 
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k+1}&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Zerlegungslemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen &lt;math&gt;K\subseteq G&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; mit der Stammfunktion &lt;math&gt; F:K\to  \mathbb{C}&lt;/math&gt; folgende Gleichung:
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz  + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck ===
Die Eckpunkt des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. 
[[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]]


=== Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck ===
Die Diagonale des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]]

=== Motivation des Zerlegungslemmas ===
Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet.

[[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]]

=== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ===
In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

== Beweis - Zerlegungslemma ==
Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liefern. Die Schnittmenge der &lt;math&gt;\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset&lt;/math&gt; ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.  

=== Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke ===
Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1)
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas ===
Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{R} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ===
Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  0 
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle }  f(z) \, dz 
  \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   +
    \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   +
    \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int}  f(z) \, dz
 \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   -
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;
In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals.

=== Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale ===
Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    -
 \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz  
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    = 
    \int_R  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke ===
In das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge &lt;math&gt;\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; verwenden. Seien &lt;math&gt;a, b &gt; 0 &lt;/math&gt; die Breite und Höhe des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Damit gilt &lt;math&gt;z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i}  \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; für ein achsenparalleles Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. 

=== Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ===
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ====
Das Ausgangsrechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; wurde in zwei Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen:  
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; im Rechteck in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;\widetilde{v_k}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \widetilde{v_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\
  \widetilde{v_k} &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_2 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ====
Analog zum Vorgehen für das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1})
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals ===
Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau).

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ====
Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten &lt;math&gt;v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}&lt;/math&gt; kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge  Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (Punkte der Strecke zwischen &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist.

==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ====
Man definiert nun die &lt;math&gt;M_{(n,k)}&lt;/math&gt; als Vereinigung  der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; über &lt;math&gt;M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung:
:&lt;math&gt; 
\int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz  = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;
Wenn man die Summe über &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ====
Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{R} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\Delta} f(z) \, dz 
}
+
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
}
\\
&amp; = &amp;
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
     \\ 

\end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens ===
Insgesamt wurde das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Teildreiecken &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über die Rechteckteilflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist.
&lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]]
* [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]]
* [[Lemma von Goursat]]
* [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]]</text>
      <sha1>e4m96aoltc5y5r0j3ieyi8ejfy8bwf3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1076216</id>
      <parentid>1076215</parentid>
      <timestamp>2026-03-29T13:40:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche */</comment>
      <origin>1076216</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29938" sha1="4s2su2m58fdsl2v9fnvwaeoovb8nnpz" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt &lt;math&gt;A_{\Delta}&lt;/math&gt; eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:
:&lt;math&gt;
 A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2}
&lt;/math&gt;
Dabei ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; die Länge der Grundseite und &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

=== Lernvoraussetzungen ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]]

=== Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt ===
Sei &lt;math&gt;A\in \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt;  eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; und die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß &lt;math&gt;\mu_f(A)&lt;/math&gt; auffassen, wobei &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. 
:&lt;math&gt; 
\mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;
Gilt für die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{R}_o^{+}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu_f(G) = 1&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;\mu_f : \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] &lt;math&gt;(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))&lt;/math&gt;

=== Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck ===
Ist &lt;math&gt;\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit den Eckpunkten &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3&lt;/math&gt;, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:
:&lt;math&gt;
 \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral ===
Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen.

[[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]]

=== Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral ===
Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke:

[[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]]
&lt;!--
[[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]]
--&gt;

==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ====
Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0.

== Flächenintegralsatz für Dreiecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{\Delta} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
  \displaystyle
   \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:
* die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert 
* die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet. Der Faktor &lt;math&gt;\tfrac{1}{2}&lt;/math&gt; entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ====
Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion &lt;math&gt;F(z)&lt;/math&gt; berechnet werden: 
:&lt;math&gt;
  \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) 
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ====
In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,1)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R_{(n,2)}&lt;/math&gt; eingezeichnet. Mit wachsendem &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]]

==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ====
Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden wie folgt benannt:

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Approximation der Dreiecksfläche ====
Um den komplexen Flächenintegrale von &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; über eine Dreiecksfläche &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt; ausgedrückt. Die natürliche &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert.


=== Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]].
Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden dafür zunächst definiert.

==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ====
Die Diagonale zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; im Rechteck wird in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  d_0 &amp; = &amp; z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\
  d_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Die vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; im Rechteck wird ebenfalls in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  v_0 &amp; = &amp; z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\
  v_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, v_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks.

==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke  ====
Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; mit dem Realteil von &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und der Imaginärteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; muss mit dem Imaginärteil von &lt;math&gt;v_{k-1}&lt;/math&gt; übereinstimmen und man erhält für &lt;math&gt;k\in \{1, \ldots , n\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  w_0 &amp; = &amp; z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot  b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
  w_{k-1} &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf &lt;math&gt;f=f_1 + i\cdot f_2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a=0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=1&lt;/math&gt;  und &lt;math&gt;b-a = 1&lt;/math&gt; und der [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle&lt;/math&gt; anwenden mit:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit gibt es &lt;math&gt;t_1,t_2\in [0,1]&lt;/math&gt;, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2)  \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1}
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Dabei ist die Ableitung &lt;math&gt; \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} &lt;/math&gt; eine Konstante für alle &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt;. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1))  + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1})
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite  ====
Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;. Die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet.:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  \widehat{w_k} &amp; = &amp; \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot  z_2\quad \quad \widehat{w_0} \,\, = \,\, z_2 \\
 
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k+1}&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====

==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Zerlegungslemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen &lt;math&gt;K\subseteq G&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; mit der Stammfunktion &lt;math&gt; F:K\to  \mathbb{C}&lt;/math&gt; folgende Gleichung:
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz  + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck ===
Die Eckpunkt des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. 
[[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]]


=== Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck ===
Die Diagonale des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]]

=== Motivation des Zerlegungslemmas ===
Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet.

[[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]]

=== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ===
In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

== Beweis - Zerlegungslemma ==
Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liefern. Die Schnittmenge der &lt;math&gt;\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset&lt;/math&gt; ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.  

=== Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke ===
Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1)
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas ===
Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{R} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ===
Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  0 
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle }  f(z) \, dz 
  \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   +
    \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   +
    \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int}  f(z) \, dz
 \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   -
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;
In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals.

=== Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale ===
Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    -
 \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz  
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    = 
    \int_R  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke ===
In das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge &lt;math&gt;\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; verwenden. Seien &lt;math&gt;a, b &gt; 0 &lt;/math&gt; die Breite und Höhe des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Damit gilt &lt;math&gt;z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i}  \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; für ein achsenparalleles Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. 

=== Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ===
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ====
Das Ausgangsrechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; wurde in zwei Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen:  
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; im Rechteck in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;\widetilde{v_k}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \widetilde{v_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\
  \widetilde{v_k} &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_2 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ====
Analog zum Vorgehen für das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1})
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals ===
Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau).

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ====
Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten &lt;math&gt;v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}&lt;/math&gt; kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge  Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (Punkte der Strecke zwischen &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist.

==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ====
Man definiert nun die &lt;math&gt;M_{(n,k)}&lt;/math&gt; als Vereinigung  der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; über &lt;math&gt;M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung:
:&lt;math&gt; 
\int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz  = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;
Wenn man die Summe über &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ====
Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{R} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\Delta} f(z) \, dz 
}
+
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
}
\\
&amp; = &amp;
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
     \\ 

\end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens ===
Insgesamt wurde das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Teildreiecken &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über die Rechteckteilflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist.
&lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]]
* [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]]
* [[Lemma von Goursat]]
* [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]]</text>
      <sha1>4s2su2m58fdsl2v9fnvwaeoovb8nnpz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1076217</id>
      <parentid>1076216</parentid>
      <timestamp>2026-03-29T13:47:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke */</comment>
      <origin>1076217</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="30343" sha1="s432hy5h44pi34l3ua98yx83zl8yj88" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt &lt;math&gt;A_{\Delta}&lt;/math&gt; eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:
:&lt;math&gt;
 A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2}
&lt;/math&gt;
Dabei ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; die Länge der Grundseite und &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

=== Lernvoraussetzungen ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]]

=== Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt ===
Sei &lt;math&gt;A\in \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt;  eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; und die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß &lt;math&gt;\mu_f(A)&lt;/math&gt; auffassen, wobei &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. 
:&lt;math&gt; 
\mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;
Gilt für die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{R}_o^{+}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu_f(G) = 1&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;\mu_f : \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] &lt;math&gt;(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))&lt;/math&gt;

=== Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck ===
Ist &lt;math&gt;\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit den Eckpunkten &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3&lt;/math&gt;, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:
:&lt;math&gt;
 \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral ===
Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen.

[[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]]

=== Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral ===
Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke:

[[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]]
&lt;!--
[[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]]
--&gt;

==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ====
Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0.

== Flächenintegralsatz für Dreiecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{\Delta} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
  \displaystyle
   \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:
* die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert 
* die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet. Der Faktor &lt;math&gt;\tfrac{1}{2}&lt;/math&gt; entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ====
Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion &lt;math&gt;F(z)&lt;/math&gt; berechnet werden: 
:&lt;math&gt;
  \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) 
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ====
In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,1)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R_{(n,2)}&lt;/math&gt; eingezeichnet. Mit wachsendem &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]]

==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ====
Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden wie folgt benannt:

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Approximation der Dreiecksfläche ====
Um den komplexen Flächenintegrale von &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; über eine Dreiecksfläche &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt; ausgedrückt. Die natürliche &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert.


=== Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]].
Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden dafür zunächst definiert.

==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ====
Die Diagonale zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; im Rechteck wird in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  d_0 &amp; = &amp; z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\
  d_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Die vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; im Rechteck wird ebenfalls in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  v_0 &amp; = &amp; z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\
  v_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, v_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks.

==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke  ====
Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; mit dem Realteil von &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und der Imaginärteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; muss mit dem Imaginärteil von &lt;math&gt;v_{k-1}&lt;/math&gt; übereinstimmen und man erhält für &lt;math&gt;k\in \{1, \ldots , n\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  w_0 &amp; = &amp; z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot  b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
  w_{k-1} &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf &lt;math&gt;f=f_1 + i\cdot f_2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a=0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=1&lt;/math&gt;  und &lt;math&gt;b-a = 1&lt;/math&gt; und der [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle&lt;/math&gt; anwenden mit:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit gibt es &lt;math&gt;t_1,t_2\in [0,1]&lt;/math&gt;, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2)  \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1}
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Dabei ist die Ableitung &lt;math&gt; \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} &lt;/math&gt; eine Konstante für alle &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt;. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1))  + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1})
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite  ====
Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;. Die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet.:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  \widehat{w_k} &amp; = &amp; \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot  z_2\quad \quad \widehat{w_0} \,\, = \,\, z_2 \\
 
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k+1}&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(\widehat{w_{k}})-F(w_{k+1})+F(\widehat{w_{k+1}})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
     F(d_k)-F(\widehat{w_{k}})-F(w_{k+1})+F(\widehat{w_{k+1}})
  }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
   \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(\widehat{w_{k+1}})-F(\widehat{w_{k}})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Zerlegungslemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen &lt;math&gt;K\subseteq G&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; mit der Stammfunktion &lt;math&gt; F:K\to  \mathbb{C}&lt;/math&gt; folgende Gleichung:
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz  + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck ===
Die Eckpunkt des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. 
[[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]]


=== Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck ===
Die Diagonale des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]]

=== Motivation des Zerlegungslemmas ===
Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet.

[[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]]

=== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ===
In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

== Beweis - Zerlegungslemma ==
Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liefern. Die Schnittmenge der &lt;math&gt;\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset&lt;/math&gt; ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.  

=== Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke ===
Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1)
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas ===
Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{R} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ===
Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  0 
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle }  f(z) \, dz 
  \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   +
    \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   +
    \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int}  f(z) \, dz
 \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   -
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;
In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals.

=== Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale ===
Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    -
 \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz  
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    = 
    \int_R  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke ===
In das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge &lt;math&gt;\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; verwenden. Seien &lt;math&gt;a, b &gt; 0 &lt;/math&gt; die Breite und Höhe des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Damit gilt &lt;math&gt;z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i}  \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; für ein achsenparalleles Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. 

=== Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ===
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ====
Das Ausgangsrechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; wurde in zwei Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen:  
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; im Rechteck in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;\widetilde{v_k}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \widetilde{v_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\
  \widetilde{v_k} &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_2 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ====
Analog zum Vorgehen für das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1})
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals ===
Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau).

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ====
Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten &lt;math&gt;v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}&lt;/math&gt; kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge  Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (Punkte der Strecke zwischen &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist.

==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ====
Man definiert nun die &lt;math&gt;M_{(n,k)}&lt;/math&gt; als Vereinigung  der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; über &lt;math&gt;M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung:
:&lt;math&gt; 
\int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz  = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;
Wenn man die Summe über &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ====
Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{R} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\Delta} f(z) \, dz 
}
+
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
}
\\
&amp; = &amp;
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
     \\ 

\end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens ===
Insgesamt wurde das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Teildreiecken &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über die Rechteckteilflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist.
&lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]]
* [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]]
* [[Lemma von Goursat]]
* [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]]</text>
      <sha1>s432hy5h44pi34l3ua98yx83zl8yj88</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1076218</id>
      <parentid>1076217</parentid>
      <timestamp>2026-03-29T13:48:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche */</comment>
      <origin>1076218</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="30341" sha1="nbx9j7sbtnlj1a8fvg5kjja2zs0j2xv" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt &lt;math&gt;A_{\Delta}&lt;/math&gt; eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:
:&lt;math&gt;
 A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2}
&lt;/math&gt;
Dabei ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; die Länge der Grundseite und &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

=== Lernvoraussetzungen ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]]

=== Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt ===
Sei &lt;math&gt;A\in \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt;  eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; und die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß &lt;math&gt;\mu_f(A)&lt;/math&gt; auffassen, wobei &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. 
:&lt;math&gt; 
\mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;
Gilt für die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{R}_o^{+}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu_f(G) = 1&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;\mu_f : \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] &lt;math&gt;(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))&lt;/math&gt;

=== Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck ===
Ist &lt;math&gt;\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit den Eckpunkten &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3&lt;/math&gt;, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:
:&lt;math&gt;
 \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral ===
Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen.

[[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]]

=== Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral ===
Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke:

[[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]]
&lt;!--
[[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]]
--&gt;

==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ====
Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0.

== Flächenintegralsatz für Dreiecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{\Delta} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
  \displaystyle
   \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:
* die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert 
* die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet. Der Faktor &lt;math&gt;\tfrac{1}{2}&lt;/math&gt; entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ====
Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion &lt;math&gt;F(z)&lt;/math&gt; berechnet werden: 
:&lt;math&gt;
  \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) 
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ====
In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,1)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R_{(n,2)}&lt;/math&gt; eingezeichnet. Mit wachsendem &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]]

==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ====
Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden wie folgt benannt:

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Approximation der Dreiecksfläche ====
Um den komplexen Flächenintegrale von &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; über eine Dreiecksfläche &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt; ausgedrückt. Die natürliche &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert.


=== Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]].
Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden dafür zunächst definiert.

==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ====
Die Diagonale zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; im Rechteck wird in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  d_0 &amp; = &amp; z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\
  d_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Die vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; im Rechteck wird ebenfalls in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  v_0 &amp; = &amp; z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\
  v_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, v_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks.

==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke  ====
Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; mit dem Realteil von &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und der Imaginärteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; muss mit dem Imaginärteil von &lt;math&gt;v_{k-1}&lt;/math&gt; übereinstimmen und man erhält für &lt;math&gt;k\in \{1, \ldots , n\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  w_0 &amp; = &amp; z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot  b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
  w_{k-1} &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf &lt;math&gt;f=f_1 + i\cdot f_2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a=0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=1&lt;/math&gt;  und &lt;math&gt;b-a = 1&lt;/math&gt; und der [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle&lt;/math&gt; anwenden mit:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit gibt es &lt;math&gt;t_1,t_2\in [0,1]&lt;/math&gt;, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2)  \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1}
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Dabei ist die Ableitung &lt;math&gt; \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} &lt;/math&gt; eine Konstante für alle &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt;. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1))  + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1})
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite  ====
Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;. Die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet.:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  \widehat{w_k} &amp; = &amp; \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot  z_2\quad \quad \widehat{w_0} \,\, = \,\, z_2 \\
 
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k+1}&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
     F(d_k)-F(\widehat{w_{k}})-F(w_{k+1})+F(\widehat{w_{k+1}})
  }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
   \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(\widehat{w_{k+1}})-F(\widehat{w_{k}})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Zerlegungslemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen &lt;math&gt;K\subseteq G&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; mit der Stammfunktion &lt;math&gt; F:K\to  \mathbb{C}&lt;/math&gt; folgende Gleichung:
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz  + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck ===
Die Eckpunkt des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. 
[[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]]


=== Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck ===
Die Diagonale des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]]

=== Motivation des Zerlegungslemmas ===
Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet.

[[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]]

=== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ===
In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

== Beweis - Zerlegungslemma ==
Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liefern. Die Schnittmenge der &lt;math&gt;\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset&lt;/math&gt; ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.  

=== Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke ===
Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1)
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas ===
Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{R} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ===
Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  0 
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle }  f(z) \, dz 
  \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   +
    \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   +
    \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int}  f(z) \, dz
 \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   -
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;
In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals.

=== Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale ===
Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    -
 \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz  
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    = 
    \int_R  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke ===
In das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge &lt;math&gt;\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; verwenden. Seien &lt;math&gt;a, b &gt; 0 &lt;/math&gt; die Breite und Höhe des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Damit gilt &lt;math&gt;z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i}  \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; für ein achsenparalleles Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. 

=== Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ===
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ====
Das Ausgangsrechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; wurde in zwei Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen:  
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; im Rechteck in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;\widetilde{v_k}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \widetilde{v_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\
  \widetilde{v_k} &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_2 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ====
Analog zum Vorgehen für das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1})
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals ===
Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau).

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ====
Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten &lt;math&gt;v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}&lt;/math&gt; kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge  Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (Punkte der Strecke zwischen &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist.

==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ====
Man definiert nun die &lt;math&gt;M_{(n,k)}&lt;/math&gt; als Vereinigung  der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; über &lt;math&gt;M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung:
:&lt;math&gt; 
\int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz  = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;
Wenn man die Summe über &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ====
Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{R} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\Delta} f(z) \, dz 
}
+
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
}
\\
&amp; = &amp;
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
     \\ 

\end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens ===
Insgesamt wurde das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Teildreiecken &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über die Rechteckteilflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist.
&lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]]
* [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]]
* [[Lemma von Goursat]]
* [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]]</text>
      <sha1>nbx9j7sbtnlj1a8fvg5kjja2zs0j2xv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1076219</id>
      <parentid>1076218</parentid>
      <timestamp>2026-03-29T14:08:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke */</comment>
      <origin>1076219</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="31055" sha1="afxaee42q868nx5w6f9ebsd2xz76o8i" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt &lt;math&gt;A_{\Delta}&lt;/math&gt; eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:
:&lt;math&gt;
 A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2}
&lt;/math&gt;
Dabei ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; die Länge der Grundseite und &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

=== Lernvoraussetzungen ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]]

=== Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt ===
Sei &lt;math&gt;A\in \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt;  eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; und die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß &lt;math&gt;\mu_f(A)&lt;/math&gt; auffassen, wobei &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. 
:&lt;math&gt; 
\mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;
Gilt für die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{R}_o^{+}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu_f(G) = 1&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;\mu_f : \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] &lt;math&gt;(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))&lt;/math&gt;

=== Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck ===
Ist &lt;math&gt;\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit den Eckpunkten &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3&lt;/math&gt;, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:
:&lt;math&gt;
 \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral ===
Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen.

[[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]]

=== Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral ===
Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke:

[[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]]
&lt;!--
[[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]]
--&gt;

==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ====
Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0.

== Flächenintegralsatz für Dreiecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{\Delta} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
  \displaystyle
   \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:
* die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert 
* die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet. Der Faktor &lt;math&gt;\tfrac{1}{2}&lt;/math&gt; entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ====
Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion &lt;math&gt;F(z)&lt;/math&gt; berechnet werden: 
:&lt;math&gt;
  \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) 
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ====
In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,1)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R_{(n,2)}&lt;/math&gt; eingezeichnet. Mit wachsendem &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]]

==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ====
Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden wie folgt benannt:

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Approximation der Dreiecksfläche ====
Um den komplexen Flächenintegrale von &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; über eine Dreiecksfläche &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt; ausgedrückt. Die natürliche &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert.


=== Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]].
Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden dafür zunächst definiert.

==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ====
Die Diagonale zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; im Rechteck wird in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  d_0 &amp; = &amp; z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\
  d_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Die vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; im Rechteck wird ebenfalls in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  v_0 &amp; = &amp; z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\
  v_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, v_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks.

==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke  ====
Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; mit dem Realteil von &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und der Imaginärteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; muss mit dem Imaginärteil von &lt;math&gt;v_{k-1}&lt;/math&gt; übereinstimmen und man erhält für &lt;math&gt;k\in \{1, \ldots , n\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  w_0 &amp; = &amp; z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot  b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
  w_{k-1} &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf &lt;math&gt;f=f_1 + i\cdot f_2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a=0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=1&lt;/math&gt;  und &lt;math&gt;b-a = 1&lt;/math&gt; und der [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle&lt;/math&gt; anwenden mit:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit gibt es &lt;math&gt;t_1,t_2\in [0,1]&lt;/math&gt;, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2)  \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1}
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Dabei ist die Ableitung &lt;math&gt; \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} &lt;/math&gt; eine Konstante für alle &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt;. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1))  + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1})
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite  ====
Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;. Die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet.:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  \widehat{w_k} &amp; = &amp; \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot  z_2 \\
 \widehat{w_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k+1}&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
     F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}})
  }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
   \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}})
     }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
    F(z_1) - F(z_2) 
     }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ====
Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
 2\cdot \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \!\!\!\!\!\!
  \underbrace{
    \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz 
     }_{=F(z_1) - F(z_2)}
     +
  \underbrace{
  \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz
     }_{=F(z_1)- F(z_3)}
    +
    2\cdot 
   \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
   \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;


&lt;span id=&quot;Zerlegungslemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen &lt;math&gt;K\subseteq G&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; mit der Stammfunktion &lt;math&gt; F:K\to  \mathbb{C}&lt;/math&gt; folgende Gleichung:
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz  + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck ===
Die Eckpunkt des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. 
[[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]]


=== Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck ===
Die Diagonale des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]]

=== Motivation des Zerlegungslemmas ===
Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet.

[[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]]

=== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ===
In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

== Beweis - Zerlegungslemma ==
Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liefern. Die Schnittmenge der &lt;math&gt;\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset&lt;/math&gt; ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.  

=== Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke ===
Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1)
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas ===
Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{R} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ===
Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  0 
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle }  f(z) \, dz 
  \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   +
    \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   +
    \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int}  f(z) \, dz
 \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   -
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;
In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals.

=== Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale ===
Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    -
 \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz  
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    = 
    \int_R  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke ===
In das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge &lt;math&gt;\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; verwenden. Seien &lt;math&gt;a, b &gt; 0 &lt;/math&gt; die Breite und Höhe des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Damit gilt &lt;math&gt;z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i}  \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; für ein achsenparalleles Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. 

=== Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ===
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ====
Das Ausgangsrechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; wurde in zwei Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen:  
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; im Rechteck in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;\widetilde{v_k}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \widetilde{v_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\
  \widetilde{v_k} &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_2 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ====
Analog zum Vorgehen für das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1})
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals ===
Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau).

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ====
Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten &lt;math&gt;v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}&lt;/math&gt; kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge  Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (Punkte der Strecke zwischen &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist.

==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ====
Man definiert nun die &lt;math&gt;M_{(n,k)}&lt;/math&gt; als Vereinigung  der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; über &lt;math&gt;M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung:
:&lt;math&gt; 
\int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz  = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;
Wenn man die Summe über &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ====
Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{R} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\Delta} f(z) \, dz 
}
+
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
}
\\
&amp; = &amp;
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
     \\ 

\end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens ===
Insgesamt wurde das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Teildreiecken &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über die Rechteckteilflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist.
&lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]]
* [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]]
* [[Lemma von Goursat]]
* [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]]</text>
      <sha1>afxaee42q868nx5w6f9ebsd2xz76o8i</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1076220</id>
      <parentid>1076219</parentid>
      <timestamp>2026-03-29T14:16:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen */</comment>
      <origin>1076220</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="31406" sha1="q7uk3xhccuizk6yjjkss2sgs9s366id" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt &lt;math&gt;A_{\Delta}&lt;/math&gt; eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:
:&lt;math&gt;
 A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2}
&lt;/math&gt;
Dabei ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; die Länge der Grundseite und &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

=== Lernvoraussetzungen ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]]

=== Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt ===
Sei &lt;math&gt;A\in \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt;  eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; und die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß &lt;math&gt;\mu_f(A)&lt;/math&gt; auffassen, wobei &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. 
:&lt;math&gt; 
\mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;
Gilt für die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{R}_o^{+}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu_f(G) = 1&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;\mu_f : \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] &lt;math&gt;(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))&lt;/math&gt;

=== Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck ===
Ist &lt;math&gt;\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit den Eckpunkten &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3&lt;/math&gt;, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:
:&lt;math&gt;
 \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral ===
Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen.

[[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]]

=== Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral ===
Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke:

[[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]]
&lt;!--
[[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]]
--&gt;

==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ====
Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0.

== Flächenintegralsatz für Dreiecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{\Delta} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
  \displaystyle
   \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:
* die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert 
* die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet. Der Faktor &lt;math&gt;\tfrac{1}{2}&lt;/math&gt; entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ====
Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion &lt;math&gt;F(z)&lt;/math&gt; berechnet werden: 
:&lt;math&gt;
  \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) 
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ====
In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,1)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R_{(n,2)}&lt;/math&gt; eingezeichnet. Mit wachsendem &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]]

==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ====
Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden wie folgt benannt:

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Approximation der Dreiecksfläche ====
Um den komplexen Flächenintegrale von &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; über eine Dreiecksfläche &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt; ausgedrückt. Die natürliche &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert.


=== Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]].
Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden dafür zunächst definiert.

==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ====
Die Diagonale zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; im Rechteck wird in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  d_0 &amp; = &amp; z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\
  d_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Die vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; im Rechteck wird ebenfalls in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  v_0 &amp; = &amp; z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\
  v_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, v_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks.

==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke  ====
Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; mit dem Realteil von &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und der Imaginärteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; muss mit dem Imaginärteil von &lt;math&gt;v_{k-1}&lt;/math&gt; übereinstimmen und man erhält für &lt;math&gt;k\in \{1, \ldots , n\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  w_0 &amp; = &amp; z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot  b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
  w_{k-1} &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf &lt;math&gt;f=f_1 + i\cdot f_2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a=0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=1&lt;/math&gt;  und &lt;math&gt;b-a = 1&lt;/math&gt; und der [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle&lt;/math&gt; anwenden mit:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit gibt es &lt;math&gt;t_1,t_2\in [0,1]&lt;/math&gt;, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2)  \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1}
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Dabei ist die Ableitung &lt;math&gt; \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} &lt;/math&gt; eine Konstante für alle &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt;. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1))  + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1})
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite  ====
Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;. Die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet.:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  \widehat{w_k} &amp; = &amp; \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot  z_2 \\
 \widehat{w_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k+1}&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
     F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}})
  }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
   \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}})
     }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
    F(z_1) - F(z_2) 
     }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ====
Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \!\!\!\!\!\!
  \frac{1}{2} \cdot \bigg(
  \underbrace{
    \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz 
     }_{=F(z_1) - F(z_2)}
     +
  \underbrace{
  \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz
     }_{=F(z_1)- F(z_3)}
     \bigg)
    +
   \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
   \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ====
Ziel ist es nun, das Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken:
:&lt;math&gt;
\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
    =
\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    \underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Zerlegungslemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen &lt;math&gt;K\subseteq G&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; mit der Stammfunktion &lt;math&gt; F:K\to  \mathbb{C}&lt;/math&gt; folgende Gleichung:
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz  + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck ===
Die Eckpunkt des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. 
[[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]]


=== Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck ===
Die Diagonale des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]]

=== Motivation des Zerlegungslemmas ===
Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet.

[[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]]

=== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ===
In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

== Beweis - Zerlegungslemma ==
Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liefern. Die Schnittmenge der &lt;math&gt;\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset&lt;/math&gt; ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.  

=== Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke ===
Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1)
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas ===
Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{R} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ===
Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  0 
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle }  f(z) \, dz 
  \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   +
    \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   +
    \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int}  f(z) \, dz
 \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   -
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;
In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals.

=== Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale ===
Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    -
 \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz  
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    = 
    \int_R  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke ===
In das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge &lt;math&gt;\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; verwenden. Seien &lt;math&gt;a, b &gt; 0 &lt;/math&gt; die Breite und Höhe des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Damit gilt &lt;math&gt;z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i}  \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; für ein achsenparalleles Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. 

=== Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ===
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ====
Das Ausgangsrechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; wurde in zwei Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen:  
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; im Rechteck in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;\widetilde{v_k}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \widetilde{v_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\
  \widetilde{v_k} &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_2 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ====
Analog zum Vorgehen für das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1})
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals ===
Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau).

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ====
Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten &lt;math&gt;v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}&lt;/math&gt; kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge  Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (Punkte der Strecke zwischen &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist.

==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ====
Man definiert nun die &lt;math&gt;M_{(n,k)}&lt;/math&gt; als Vereinigung  der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; über &lt;math&gt;M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung:
:&lt;math&gt; 
\int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz  = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;
Wenn man die Summe über &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ====
Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{R} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\Delta} f(z) \, dz 
}
+
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
}
\\
&amp; = &amp;
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
     \\ 

\end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens ===
Insgesamt wurde das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Teildreiecken &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über die Rechteckteilflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist.
&lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]]
* [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]]
* [[Lemma von Goursat]]
* [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]]</text>
      <sha1>q7uk3xhccuizk6yjjkss2sgs9s366id</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1076221</id>
      <parentid>1076220</parentid>
      <timestamp>2026-03-29T14:20:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche */</comment>
      <origin>1076221</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="31400" sha1="b5eyfjr1nqrjkifwxrqkfd8eehlwm0d" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt &lt;math&gt;A_{\Delta}&lt;/math&gt; eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:
:&lt;math&gt;
 A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2}
&lt;/math&gt;
Dabei ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; die Länge der Grundseite und &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

=== Lernvoraussetzungen ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]]

=== Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt ===
Sei &lt;math&gt;A\in \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt;  eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; und die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß &lt;math&gt;\mu_f(A)&lt;/math&gt; auffassen, wobei &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. 
:&lt;math&gt; 
\mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;
Gilt für die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{R}_o^{+}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu_f(G) = 1&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;\mu_f : \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] &lt;math&gt;(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))&lt;/math&gt;

=== Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck ===
Ist &lt;math&gt;\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit den Eckpunkten &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3&lt;/math&gt;, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:
:&lt;math&gt;
 \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral ===
Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen.

[[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]]

=== Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral ===
Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke:

[[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]]
&lt;!--
[[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]]
--&gt;

==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ====
Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0.

== Flächenintegralsatz für Dreiecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{\Delta} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
  \displaystyle
   \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:
* die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert 
* die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet. Der Faktor &lt;math&gt;\tfrac{1}{2}&lt;/math&gt; entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ====
Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion &lt;math&gt;F(z)&lt;/math&gt; berechnet werden: 
:&lt;math&gt;
  \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) 
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ====
In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,1)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R_{(n,2)}&lt;/math&gt; eingezeichnet. Mit wachsendem &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]]

==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ====
Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden wie folgt benannt:

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Approximation der Dreiecksfläche ====
Um den komplexen Flächenintegrale von &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; über eine Dreiecksfläche &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt; ausgedrückt. Die natürliche &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert.


=== Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]].
Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden dafür zunächst definiert.

==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ====
Die Diagonale zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; im Rechteck wird in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  d_0 &amp; = &amp; z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\
  d_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Die vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; im Rechteck wird ebenfalls in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  v_0 &amp; = &amp; z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\
  v_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, v_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks.

==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke  ====
Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; mit dem Realteil von &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und der Imaginärteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; muss mit dem Imaginärteil von &lt;math&gt;v_{k-1}&lt;/math&gt; übereinstimmen und man erhält für &lt;math&gt;k\in \{1, \ldots , n\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  w_0 &amp; = &amp; z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot  b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
  w_{k-1} &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf &lt;math&gt;f=f_1 + i\cdot f_2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a=0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=1&lt;/math&gt;  und &lt;math&gt;b-a = 1&lt;/math&gt; und der [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle&lt;/math&gt; anwenden mit:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit gibt es &lt;math&gt;t_1,t_2\in [0,1]&lt;/math&gt;, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2)  \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1}
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Dabei ist die Ableitung &lt;math&gt; \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} &lt;/math&gt; eine Konstante für alle &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt;. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1))  + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1})
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite  ====
Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;. Die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet.:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  \widehat{w_k} &amp; = &amp; \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot  z_2 \\
 \widehat{w_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k+1}&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
     F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}})
  }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
   \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}})
     }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
    F(z_1) - F(z_2) 
     }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k})
   }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ====
Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \!\!\!\!\!\!
  \frac{1}{2} \cdot \bigg(
  \underbrace{
    \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz 
     }_{=F(z_1) - F(z_2)}
     +
  \underbrace{
  \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz
     }_{=F(z_1)- F(z_3)}
     \bigg)
    +
   \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
   \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ====
Ziel ist es nun, das Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken:
:&lt;math&gt;
\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
    =
\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    \underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Zerlegungslemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen &lt;math&gt;K\subseteq G&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; mit der Stammfunktion &lt;math&gt; F:K\to  \mathbb{C}&lt;/math&gt; folgende Gleichung:
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz  + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck ===
Die Eckpunkt des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. 
[[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]]


=== Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck ===
Die Diagonale des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]]

=== Motivation des Zerlegungslemmas ===
Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet.

[[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]]

=== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ===
In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

== Beweis - Zerlegungslemma ==
Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liefern. Die Schnittmenge der &lt;math&gt;\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset&lt;/math&gt; ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.  

=== Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke ===
Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1)
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas ===
Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{R} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ===
Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  0 
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle }  f(z) \, dz 
  \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   +
    \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   +
    \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int}  f(z) \, dz
 \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   -
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;
In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals.

=== Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale ===
Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    -
 \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz  
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    = 
    \int_R  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke ===
In das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge &lt;math&gt;\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; verwenden. Seien &lt;math&gt;a, b &gt; 0 &lt;/math&gt; die Breite und Höhe des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Damit gilt &lt;math&gt;z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i}  \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; für ein achsenparalleles Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. 

=== Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ===
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ====
Das Ausgangsrechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; wurde in zwei Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen:  
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; im Rechteck in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;\widetilde{v_k}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \widetilde{v_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\
  \widetilde{v_k} &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_2 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ====
Analog zum Vorgehen für das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1})
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals ===
Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau).

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ====
Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten &lt;math&gt;v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}&lt;/math&gt; kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge  Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (Punkte der Strecke zwischen &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist.

==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ====
Man definiert nun die &lt;math&gt;M_{(n,k)}&lt;/math&gt; als Vereinigung  der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; über &lt;math&gt;M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung:
:&lt;math&gt; 
\int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz  = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;
Wenn man die Summe über &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ====
Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{R} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\Delta} f(z) \, dz 
}
+
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
}
\\
&amp; = &amp;
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
     \\ 

\end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens ===
Insgesamt wurde das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Teildreiecken &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über die Rechteckteilflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist.
&lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]]
* [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]]
* [[Lemma von Goursat]]
* [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]]</text>
      <sha1>b5eyfjr1nqrjkifwxrqkfd8eehlwm0d</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1076222</id>
      <parentid>1076221</parentid>
      <timestamp>2026-03-29T14:24:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen */</comment>
      <origin>1076222</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="31591" sha1="1n33egr0bmq4nimmzwiuscddjlgn8wt" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt &lt;math&gt;A_{\Delta}&lt;/math&gt; eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:
:&lt;math&gt;
 A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2}
&lt;/math&gt;
Dabei ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; die Länge der Grundseite und &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

=== Lernvoraussetzungen ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]]

=== Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt ===
Sei &lt;math&gt;A\in \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt;  eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; und die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß &lt;math&gt;\mu_f(A)&lt;/math&gt; auffassen, wobei &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. 
:&lt;math&gt; 
\mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;
Gilt für die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{R}_o^{+}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu_f(G) = 1&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;\mu_f : \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] &lt;math&gt;(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))&lt;/math&gt;

=== Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck ===
Ist &lt;math&gt;\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit den Eckpunkten &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3&lt;/math&gt;, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:
:&lt;math&gt;
 \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral ===
Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen.

[[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]]

=== Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral ===
Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke:

[[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]]
&lt;!--
[[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]]
--&gt;

==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ====
Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0.

== Flächenintegralsatz für Dreiecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{\Delta} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
  \displaystyle
   \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:
* die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert 
* die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet. Der Faktor &lt;math&gt;\tfrac{1}{2}&lt;/math&gt; entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ====
Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion &lt;math&gt;F(z)&lt;/math&gt; berechnet werden: 
:&lt;math&gt;
  \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) 
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ====
In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,1)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R_{(n,2)}&lt;/math&gt; eingezeichnet. Mit wachsendem &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]]

==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ====
Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden wie folgt benannt:

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Approximation der Dreiecksfläche ====
Um den komplexen Flächenintegrale von &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; über eine Dreiecksfläche &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt; ausgedrückt. Die natürliche &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert.


=== Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]].
Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden dafür zunächst definiert.

==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ====
Die Diagonale zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; im Rechteck wird in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  d_0 &amp; = &amp; z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\
  d_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Die vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; im Rechteck wird ebenfalls in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  v_0 &amp; = &amp; z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\
  v_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, v_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks.

==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke  ====
Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; mit dem Realteil von &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und der Imaginärteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; muss mit dem Imaginärteil von &lt;math&gt;v_{k-1}&lt;/math&gt; übereinstimmen und man erhält für &lt;math&gt;k\in \{1, \ldots , n\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  w_0 &amp; = &amp; z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot  b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
  w_{k-1} &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf &lt;math&gt;f=f_1 + i\cdot f_2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a=0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=1&lt;/math&gt;  und &lt;math&gt;b-a = 1&lt;/math&gt; und der [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle&lt;/math&gt; anwenden mit:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit gibt es &lt;math&gt;t_1,t_2\in [0,1]&lt;/math&gt;, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2)  \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1}
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Dabei ist die Ableitung &lt;math&gt; \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} &lt;/math&gt; eine Konstante für alle &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt;. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1))  + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1})
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite  ====
Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;. Die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet.:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  \widehat{w_k} &amp; = &amp; \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot  z_2 \\
 \widehat{w_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k+1}&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
     F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}})
  }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
   \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}})
     }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
    F(z_1) - F(z_2) 
     }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k})
   }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ====
Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
   \frac{1}{2} \cdot \bigg(
  \underbrace{
    \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz 
     }_{=F(z_1) - F(z_2)}
   \,\,\,\,  +
  \underbrace{
  \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz
     }_{=F(z_1)- F(z_3)}
     \bigg)\\
     &amp; &amp; 
    +
  \displaystyle
   \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
   \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
   \,\,\,\, 
   + 
   \,\,\,\, 
   \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
   \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k})
   }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ====
Ziel ist es nun, das Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken:
:&lt;math&gt;
\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
    =
\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    \underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Zerlegungslemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen &lt;math&gt;K\subseteq G&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; mit der Stammfunktion &lt;math&gt; F:K\to  \mathbb{C}&lt;/math&gt; folgende Gleichung:
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz  + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck ===
Die Eckpunkt des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. 
[[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]]


=== Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck ===
Die Diagonale des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]]

=== Motivation des Zerlegungslemmas ===
Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet.

[[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]]

=== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ===
In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

== Beweis - Zerlegungslemma ==
Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liefern. Die Schnittmenge der &lt;math&gt;\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset&lt;/math&gt; ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.  

=== Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke ===
Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1)
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas ===
Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{R} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ===
Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  0 
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle }  f(z) \, dz 
  \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   +
    \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   +
    \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int}  f(z) \, dz
 \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   -
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;
In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals.

=== Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale ===
Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    -
 \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz  
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    = 
    \int_R  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke ===
In das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge &lt;math&gt;\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; verwenden. Seien &lt;math&gt;a, b &gt; 0 &lt;/math&gt; die Breite und Höhe des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Damit gilt &lt;math&gt;z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i}  \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; für ein achsenparalleles Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. 

=== Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ===
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ====
Das Ausgangsrechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; wurde in zwei Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen:  
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; im Rechteck in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;\widetilde{v_k}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \widetilde{v_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\
  \widetilde{v_k} &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_2 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ====
Analog zum Vorgehen für das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1})
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals ===
Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau).

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ====
Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten &lt;math&gt;v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}&lt;/math&gt; kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge  Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (Punkte der Strecke zwischen &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist.

==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ====
Man definiert nun die &lt;math&gt;M_{(n,k)}&lt;/math&gt; als Vereinigung  der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; über &lt;math&gt;M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung:
:&lt;math&gt; 
\int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz  = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;
Wenn man die Summe über &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ====
Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{R} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\Delta} f(z) \, dz 
}
+
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
}
\\
&amp; = &amp;
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
     \\ 

\end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens ===
Insgesamt wurde das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Teildreiecken &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über die Rechteckteilflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist.
&lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]]
* [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]]
* [[Lemma von Goursat]]
* [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]]</text>
      <sha1>1n33egr0bmq4nimmzwiuscddjlgn8wt</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1076223</id>
      <parentid>1076222</parentid>
      <timestamp>2026-03-29T14:30:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen */</comment>
      <origin>1076223</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="31747" sha1="02a3p98qh3u3h0g24nyifx32qoa0v3p" xml:space="preserve">== Einleitung ==
In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt &lt;math&gt;A_{\Delta}&lt;/math&gt; eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert:
:&lt;math&gt;
 A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2}
&lt;/math&gt;
Dabei ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; die Länge der Grundseite und &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt.

=== Lernvoraussetzungen ===
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]]

=== Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt ===
Sei &lt;math&gt;A\in \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt;  eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet &lt;math&gt;G\subset \mathbb{C} &lt;/math&gt; und die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß &lt;math&gt;\mu_f(A)&lt;/math&gt; auffassen, wobei &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. 
:&lt;math&gt; 
\mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;
Gilt für die Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{R}_o^{+}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\mu_f(G) = 1&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;\mu_f : \mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] &lt;math&gt;(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))&lt;/math&gt;

=== Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck ===
Ist &lt;math&gt;\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit den Eckpunkten &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3&lt;/math&gt;, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;z\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit:
:&lt;math&gt;
 \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral ===
Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen.

[[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]]

=== Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral ===
Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke:

[[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]]
&lt;!--
[[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]]
--&gt;

==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ====
Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0.

== Flächenintegralsatz für Dreiecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{\Delta} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{1}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{1}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
  \displaystyle
   \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \frac{1}{2} \cdot \left(
   \int_{\langle z_{2},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{3},z_{4}\rangle } f(z) \, dz +
   \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz 
   \right)
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile:
* die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert 
* die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet. Der Faktor &lt;math&gt;\tfrac{1}{2}&lt;/math&gt; entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ====
Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion &lt;math&gt;F(z)&lt;/math&gt; berechnet werden: 
:&lt;math&gt;
  \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) 
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ====
In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,1)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R_{(n,2)}&lt;/math&gt; eingezeichnet. Mit wachsendem &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]]

==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ====
Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden wie folgt benannt:

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Approximation der Dreiecksfläche ====
Um den komplexen Flächenintegrale von &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; über eine Dreiecksfläche &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt; ausgedrückt. Die natürliche &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert.


=== Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke ===
Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]].
Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; durch eine Summe von Integralen &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
 \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz
&lt;/math&gt;
Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; werden dafür zunächst definiert.

==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ====
Die Diagonale zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; im Rechteck wird in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  d_0 &amp; = &amp; z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\
  d_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Die vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; im Rechteck wird ebenfalls in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  v_0 &amp; = &amp; z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\
  v_k &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_1 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, v_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks.

==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke  ====
Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; mit dem Realteil von &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und der Imaginärteil von &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; muss mit dem Imaginärteil von &lt;math&gt;v_{k-1}&lt;/math&gt; übereinstimmen und man erhält für &lt;math&gt;k\in \{1, \ldots , n\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  w_0 &amp; = &amp; z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot  b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\
  w_{k-1} &amp; = &amp; z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;v_{k-1}, w_{k-1}, d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_k&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf &lt;math&gt;f=f_1 + i\cdot f_2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a=0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=1&lt;/math&gt;  und &lt;math&gt;b-a = 1&lt;/math&gt; und der [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle&lt;/math&gt; anwenden mit:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma : &amp; [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k 
  \end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit gibt es &lt;math&gt;t_1,t_2\in [0,1]&lt;/math&gt;, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2)  \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1}
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ====
Dabei ist die Ableitung &lt;math&gt; \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} &lt;/math&gt; eine Konstante für alle &lt;math&gt;t\in [0,1]&lt;/math&gt;. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man:
:&lt;math&gt; {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz  = 
 \big( f_1(\gamma(t_1))  + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1})
 &lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite  ====
Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische &lt;math&gt;z_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;. Die fehlenden Punkte &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; berechnet.:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{lcl}
  \displaystyle
  \widehat{w_k} &amp; = &amp; \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot  z_2 \\
 \widehat{w_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k+1}&lt;/math&gt; die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; bei einer Zerlegung der Feinheit &lt;math&gt;n\in \mathbb{N}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke &lt;math&gt;\widehat{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ====
Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
     F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}})
  }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
   \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}})
     }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
    F(z_1) - F(z_2) 
     }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
  \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k})
   }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ====
Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
   \frac{1}{2} \cdot \bigg(
  \underbrace{
    \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz 
     }_{=F(z_1) - F(z_2)}
   \,\,\,\,  +
  \underbrace{
  \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz
     }_{=F(z_1)- F(z_3)}
     \bigg)\\
     &amp; &amp; 
    +
  \displaystyle
   \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
   \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k-1})
   }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
   \,\,\,\, 
   + 
   \,\,\,\, 
   \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
   \underbrace{
    F(d_k)-F(w_{k})
   }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz}
    \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ====
Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken:
:&lt;math&gt;
 \displaystyle
   \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
   \underbrace{
     {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz
       }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})}
   \,\,\,\, 
   + 
   \,\,\,\, 
   \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
   \underbrace{
    {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz
   }_{=F(d_k)-F(w_{k})}
&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Zerlegungslemma&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte  &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Rechecks &lt;math&gt;R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]&lt;/math&gt; sind. &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen &lt;math&gt;K\subseteq G&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;. Dann gilt für das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt; mit der Stammfunktion &lt;math&gt; F:K\to  \mathbb{C}&lt;/math&gt; folgende Gleichung:
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz  + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck ===
Die Eckpunkt des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung &lt;math&gt; z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}&lt;/math&gt;, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. 
[[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]]


=== Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck ===
Die Diagonale des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über &lt;math&gt; \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)&lt;/math&gt;.

[[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]]

=== Motivation des Zerlegungslemmas ===
Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet.

[[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]]

=== Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie ===
In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet.

== Beweis - Zerlegungslemma ==
Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; liefern. Die Schnittmenge der &lt;math&gt;\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset&lt;/math&gt; ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.  

=== Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke ===
Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;.
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1)
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas ===
Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
   \int_{R} f(z) \, dz
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
   &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   \\ 
 \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes ===
Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  0 
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
  \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle }  f(z) \, dz 
  \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   +
    \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   +
    \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int}  f(z) \, dz
 \\
  &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
   +  
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz 
   -
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;
In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals.

=== Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale ===
Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
    \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    -
 \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    &amp; = &amp; 
  \displaystyle
   \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int}  f(z) \, dz  
   -
    \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int}  f(z) \, dz
    = 
    \int_R  f(z) \, dz
\end{array}  
 &lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke ===
In das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge &lt;math&gt;\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})&lt;/math&gt; verwenden. Seien &lt;math&gt;a, b &gt; 0 &lt;/math&gt; die Breite und Höhe des Rechtecks &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Damit gilt &lt;math&gt;z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i}  \in \mathbb{R}&lt;/math&gt; für ein achsenparalleles Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. 

=== Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ===
Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\Delta} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
= F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ====
Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man:
:&lt;math&gt; 
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{\Delta} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} 
  \underbrace{
      F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1})
  }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz}
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  - \lim_{n\to \infty} 
     \underbrace{
     \sum_{k=1}^{n} 
     F(v_{k})-F(v_{k-1})
     }_{=F(v_n)-F(v_0)}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
  \underbrace{
  - F(z_3) + F(z_1) 
     }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz}
     +
    \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n}
    F(d_k)-F(w_{k-1})
  \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ====
Das Ausgangsrechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; wurde in zwei Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen:  
:&lt;math&gt; 
\int_{R} f(z) \, dz  = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz 
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ====
Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; im Rechteck in &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte &lt;math&gt;\widetilde{v_k}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{0,1, \ldots , n\}&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \widetilde{v_0} &amp; = &amp; z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\
  \widetilde{v_k} &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\
      &amp; = &amp; (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) 
      \\
      &amp; = &amp; z_2 +  i\cdot  \frac{k}{n} \cdot  b 
      \\
      
\end{array}  
&lt;/math&gt;
Damit bilden &lt;math&gt;\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_{k-1}&lt;/math&gt; nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; eingeschriebenen Rechtecks &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;.

==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ====
Analog zum Vorgehen für das Dreieck &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über den Grenzwertprozess der Unterteilung &lt;math&gt;n\to \infty&lt;/math&gt; und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt:
:&lt;math&gt; 
\int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz  = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ====
Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; an, so erhält man folgende Integraldarstellung:
:&lt;math&gt;
\int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
= F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1})
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals ===
Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau).

[[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]]

==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ====
Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten &lt;math&gt;v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}&lt;/math&gt; kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; (rot) und &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge  Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt; (Punkte der Strecke zwischen &lt;math&gt;d_k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w_k&lt;/math&gt; eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist.

==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ====
Man definiert nun die &lt;math&gt;M_{(n,k)}&lt;/math&gt; als Vereinigung  der Zerlegungsrechtecke &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; über &lt;math&gt;M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} &lt;/math&gt; und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung:
:&lt;math&gt; 
\int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz  = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;
Wenn man die Summe über &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
= \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz
&lt;/math&gt;

==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ====
Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \int_{R} f(z) \, dz  
  &amp; = &amp;
  \displaystyle
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\Delta} f(z) \, dz 
}
+
\underbrace{
\lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz
}_{
 = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
}
\\
&amp; = &amp;
  \displaystyle
\int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz
     \\ 

\end{array}  
&lt;/math&gt;

=== Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens ===
Insgesamt wurde das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Teildreiecken &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\widetilde{\Delta}&lt;/math&gt; über die Rechteckteilflächen &lt;math&gt;R_{(n,k)}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\widetilde{R_{(n,k)}}&lt;/math&gt;approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist.
&lt;math&gt;\quad \Box&lt;/math&gt;

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]]
* [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]]
* [[Lemma von Goursat]]
* [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]]</text>
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    </revision>
  </page>
</mediawiki>