Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.21 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 99954 1076227 1076116 2026-03-30T14:52:06Z Bert Niehaus 20843 /* (HK4) Lokal in Potenzreihen entwickelbar */ 1076227 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Holomorphie einer Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> in einem Punkt <math>z_0\in U</math> ist eine Umgebungseigenschaft von <math>z_0</math>. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. Im Folgenden sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] als Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. === Animation - Veranschaulichung der Abbildung === Die Animation zeigt für die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>. Für die Animation werden <math>z</math> in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt <math>f(z)</math> in roter Farbe dargestellt. Der Punkt <math>z</math> und <math>f(z)</math> werden dabei in <math>\mathbb{C}\widetilde{=}\mathbb{R}^2</math> dargestellt. Die <math>y</math>-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl <math>z</math> bzw. <math>f(z)</math>. Der blaue Punkt <math>z</math> bewegt sich auf dem Weg <math>\gamma(t):=t\cdot (cos(t)+ i\cdot \sin(t)) </math> [[File:Mapping f z equal 1 over z.gif|400px|zentriert|Animation]] === Komplexe Differenzierbarkeit === Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Holomorphie === Die Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U_0 \subseteq U</math> von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. Ist <math>f</math> auf ganz <math>U</math> holomorph, so nennt man <math>f</math> holomorph. Ist weiter <math>U=\mathbb{C}</math>, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' ==Holomorphiekriterien== Sei <math>f:U\to\mathbb{C}</math> eine Funktion <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen <math>f</math> äquivalent: === (HK1) 1x komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f</math> ist einmal komplex differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK2) beliebig oft komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f</math> ist beliebig oft komplex differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK3) Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Real- und Imaginärteil erfüllen die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK4) Lokal in Potenzreihen entwickelbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> in eine komplexe [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. === (HK5) Lokale Stammfunktionen === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> eine Stammfunktion mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math>. === (HK5) Wegintegrale 0 === Die Funktion <math>f</math> ist stetig und das [[w:Kurvenintegral|Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet (d.h. [[Umlaufzahl]] des Wegintegrals für alle Punkte aus dem Komplement von <math>U</math> ist 0). === (HK6) Cauchysche Integralformel === Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. === (HK7) Cauchy-Riemann-Operator === <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt<br /><math>\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,</math><br />wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. == Aufgaben == * Seinen <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, es gelte <math>a \ne z_o</math>. Entwickeln Sie nun den Funktion <math>f(z):=\frac{1}{z-a}</math> für <math>z\in\mathbb{C}\setminus \{a\}</math> in eine Potenzreihe um <math>z_o \in \mathbb{C}</math> und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math display="block">f(z)=\frac{1}{z-a} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(a-z_o)^{n+1}} \cdot (z-z_o)^n</math> * Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der [[Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|Konvergenzradius]] in der berechneten Weise von <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> abhängt und nicht größer sein kann! * Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion <math>f</math> auch folgt, dass <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz <math>\mathbb{R}</math> definierte Funktion <math>g(x):= x \cdot |x|</math>. * Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Quiz]] == Quellen == <noinclude>[[en:Holomorphic function/Criteria]]</noinclude> 74cqojz5tz2jqn0l9n3cp2puv4h2j2k 1076228 1076227 2026-03-30T14:59:21Z Bert Niehaus 20843 /* Holomorphiekriterien */ 1076228 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Holomorphie einer Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> in einem Punkt <math>z_0\in U</math> ist eine Umgebungseigenschaft von <math>z_0</math>. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. Im Folgenden sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] als Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. === Animation - Veranschaulichung der Abbildung === Die Animation zeigt für die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>. Für die Animation werden <math>z</math> in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt <math>f(z)</math> in roter Farbe dargestellt. Der Punkt <math>z</math> und <math>f(z)</math> werden dabei in <math>\mathbb{C}\widetilde{=}\mathbb{R}^2</math> dargestellt. Die <math>y</math>-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl <math>z</math> bzw. <math>f(z)</math>. Der blaue Punkt <math>z</math> bewegt sich auf dem Weg <math>\gamma(t):=t\cdot (cos(t)+ i\cdot \sin(t)) </math> [[File:Mapping f z equal 1 over z.gif|400px|zentriert|Animation]] === Komplexe Differenzierbarkeit === Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Holomorphie === Die Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U_0 \subseteq U</math> von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. Ist <math>f</math> auf ganz <math>U</math> holomorph, so nennt man <math>f</math> holomorph. Ist weiter <math>U=\mathbb{C}</math>, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' ==Holomorphiekriterien== Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine Funktion <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen <math>f</math> äquivalent: === (HK1) 1x komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist einmal komplex differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK2) beliebig oft komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist beliebig oft komplex differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK3) Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Real- <math>f_1</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> erfüllen die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] und <math>f_1, f_2</math> sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK4) Lokal in Potenzreihen entwickelbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> in eine komplexe [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. === (HK5) Lokale Stammfunktionen === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> eine Stammfunktion mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math>. === (HK6) Wegintegrale 0 === Ist <math>G</math> einfach zusammenhängend, ist das folgende Bedingung ebenfalls ein Holomorphiekriterium. : Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist stetig und das [[w:Kurvenintegral|Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. === (HK7) Cauchysche Integralformel === Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. === (HK8) Cauchy-Riemann-Operator === <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt<br /><math>\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,</math><br />wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. == Aufgaben == * Seinen <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, es gelte <math>a \ne z_o</math>. Entwickeln Sie nun den Funktion <math>f(z):=\frac{1}{z-a}</math> für <math>z\in\mathbb{C}\setminus \{a\}</math> in eine Potenzreihe um <math>z_o \in \mathbb{C}</math> und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math display="block">f(z)=\frac{1}{z-a} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(a-z_o)^{n+1}} \cdot (z-z_o)^n</math> * Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der [[Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|Konvergenzradius]] in der berechneten Weise von <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> abhängt und nicht größer sein kann! * Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion <math>f</math> auch folgt, dass <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz <math>\mathbb{R}</math> definierte Funktion <math>g(x):= x \cdot |x|</math>. * Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Quiz]] == Quellen == <noinclude>[[en:Holomorphic function/Criteria]]</noinclude> bh1ep244qote9los1x44ia7i4seyvov 106 103705 1076239 1075904 2026-03-30T16:33:54Z Bert Niehaus 20843 /* Mehrdimensionale Normalverteilung */ 1076239 wikitext text/x-wiki == Einführung == <!-- {{Infobox Verteilung | name = | type = density | pdf_image = [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|350px]] Dichtefunktionen der Normalverteilung <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0;1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0;5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2;\,0{,}5)</math> (grün) | cdf_image = [[Datei:Normal-distribution-cumulative-density-function-many.svg|350px]] Verteilungsfunktionen der Normalverteilungen:<br /><math>\mathcal N(0;0{,}2)</math> (blau), <math>\mathcal N(0,1)</math> (rot), <math>\mathcal N(0,5)</math> (gelb) und <math>\mathcal{N}(-2,\,0{,}5)</math> (grün) | notation = <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> | parameters = <math>\mu \in \R</math> – Erwartungswert<br /><math>\sigma^2 > 0</math> – Varianz | pdf = <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\operatorname{exp}\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\}</math> | cdf = <math>\frac12\left(1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right) </math><br />– mit [[w:de:Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] <math>\operatorname{erf}(x)</math> | mean = <math>\mu</math> | median = <math>\mu</math> | variance = <math>\sigma^2\,</math> | mgf = <math>\exp\left\{\mu t + \tfrac{1}{2}\sigma^2t^2\right\}</math> | char = <math>\exp\left\{i\mu t - \tfrac{1}{2}\sigma^2 t^2\right\}</math> | conjugate prior = Normal distribution }} --> Die '''Normal-''' oder '''Gauß-Verteilung''' (nach [[w:de: Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauß]]) ist in der [[w:de:Stochastik|Stochastik]] ein wichtiger Typ stetiger [[w:de:Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]. Ihre [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] wird auch Gauß-Funktion, Gaußsche Normalverteilung, Gaußsche Verteilungskurve, Gauß-Kurve, Gaußsche Glockenkurve, Gaußsche Glockenfunktion, Gauß-Glocke oder schlicht Glockenkurve genannt. <br> === Bedeutung der Normalverteilung === Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem [[w:de:Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]], dem zufolge Verteilungen, die durch additive Überlagerung einer großen Zahl von [[stochastische Unabhängigkeit|unabhängigen]] Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind. === Normalverteilte Abweichung vom Erwartungswert === Die Abweichungen der Messwerte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurwissenschaftlicher Vorgänge vom [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] lassen sich durch die Normalverteilung (bei biologischen Prozessen oft [[w:de:logarithmische Normalverteilung|logarithmische Normalverteilung]]) entweder exakt oder zumindest in sehr guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken). === Beispiele für die Beschreibung zufälliger Vorgänge === Zufallsvariablen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie: * '''(Messung fehlerhaft)''' zufällige [[w:de:Messabweichung|Messfehler]], * '''(Werkstücke fehlerhaft)'''zufällige Abweichungen vom [[w:de:Sollmaß|Sollmaß]] bei der Fertigung von Werkstücken, * '''(Bewegung zufällig)''' Beschreibung der [[w:de:Brownsche Bewegung|brownschen Molekularbewegung]]. === Versicherungsmathematik - Schadensdaten === In der [[w:de:Versicherungsmathematik|Versicherungsmathematik]] wird die Normalverteilung zur Modellierung von Schadensdaten im Bereich mittlerer Schadenshöhen verwenden. Dabei ist allerdings zu berücksichtigten, dass die Normalverteilung als [[Ergebnisraum]] <math>\Omega = \mathbb{R}</math> === Interpretation Erwartungswert und Standardabweichung === Somit kann neben dem [[Erwartungswert]] <math>\mu</math>, der als Schwerpunkt der Verteilung interpretiert werden kann, auch der [[w:de:Standardabweichung|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> eine einfache Bedeutung im Hinblick auf die Größenordnungen der auftretenden Abweichungen der normalverteilten Messwerte vom [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> zugeordnet werden. === Glockenkurve === Der Graph dieser Dichtefunktion hat eine [[Glockenkurve|„glockenförmige Gestalt“]] und ist [[w:de:Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrisch]] mit dem [[w:de:Parameter (Statistik)|Parameter]] <math>\mu</math> als ''Symmetriezentrum'', der auch den [[w:de:ErwartungswertErwartungswert]] und den [[w:de:Median (Stochastik)|Median]] der Verteilung darstellt. Die Varianz von <math>X</math> ist der Parameter <math>\sigma^2</math>. Weiterhin hat die Wahrscheinlichkeitsdichte [[w:de:Wendepunkt|Wendepunkte]] bei <math>x=\mu\pm\sigma</math>. === Graph der Dichtefunktion === [[Datei:Normal Distribution PDF.svg|350px|zentriert|Dichtefunktion der Normalverteiung]] == Definition - Normalverteilung== Eine [[w:de:stetige Zufallsvariable|stetige Zufallsvariable]] <math>X</math> hat eine (''Gauß-'' oder) ''Normalverteilung mit [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] <math>\mu</math> und [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\sigma^2</math>'' (<math>-\infty<\mu<\infty, \sigma^2>0</math>), oft geschrieben als <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math>, wenn <math>X</math> die folgende [[w:de:Dichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]] hat:<ref>Bei <math>e^x</math> handelt es sich um die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] mit der Basis <math>e.</math></ref><ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 47.</ref> <br> :<math> \begin{array}{rcl} f(x \mid\mu,\sigma^2) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \ \ \ -\infty < x < +\infty \\ & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2 \cdot \sigma^{2})^n} \cdot (x-\mu)^{2n} \\ \end{array} </math> === Alternative Notation der Dichtefunktion === Die Transformation der [[w:de:Standardnormalverteilung|Standardnormalverteilung]] in die Normalverteilung mit dem Verteilungsparameter <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> erfolgt über den Term <math display="inline">\frac{x-\mu}{\sigma}</math>. Wenn man diese Transformation in der Dichtefunktion sichtbar machen möchte, eignet sich die folgende Umformung der obigen Dichtefunktion: :<math> \begin{array}{rcl} f(x \mid\mu,\sigma^2) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma} \cdot \operatorname{exp}\left(-\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right) \\ \end{array} </math> === Verteilungsfunktion - Normalverteilung === Bei integrablen Wahrscheinlichkeitsdichten <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{o}^{+}</math> ist die eindimensionale Verteilungsfunktion wie folgt definiert: : <math> \begin{array}{rcl} F(x) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt , \quad x \in \mathbb{R} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2 \cdot \sigma^{2})^n} \cdot \frac{(x-\mu)^{2n+1}}{2n+1} \\ \end{array} </math> Die Reihendarstellung ergibt sich durch summandenweise Intergration der Taylorreihe für die Dichtefunktion <math>\varphi</math> der [[w:de:Standardnormalverteilung|Standardnormalverteilung]] und der Transformation in eine Normalverteilung mit [[Erwartungswert]] <math>\mu</math> und [[Varianz]] <math>\sigma</math>. === Graph der Verteilungsfunktion === [[Datei:Normal-distribution-cumulative-distribution-function-many.svg|350px|center|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] === Numerische Berechnung von Wahrscheinlichkeiten === Die Funktionswert der [[Verteilungsfunktion]] kann man über die [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] der [[Verteilungsfunktion]] numerisch berechnen. === Standardnormalverteilungstabelle === Die Wahrscheinlichkeiten können mithilfe einer [[w:de:Standardnormalverteilungstabelle|Standardnormalverteilungstabelle]] berechnet werden, die eine [[w:de:Standardisierung (Statistik)|Standardform]] verwendet. Um das zu sehen, benutzt man die Tatsache, dass eine [[w:de:lineare Funktion|lineare Funktion]] einer normalverteilten Zufallsvariablen selbst wieder normalverteilt ist. == Lineare Transformation normalverteilter Zufallsvariablen== Konkret heißt das, wenn <math>X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)</math> und <math>Y=aX+b</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> Konstanten sind mit <math>a \ne 0</math>, dann gilt <math>Y\sim\mathcal{N}\left(a\mu+b,a^2\sigma^2\right)</math>. Als Folgerung daraus ergibt sich die Zufallsvariable<ref>George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' 1988, S. 48.</ref> <br> :<math>Z=\frac{1}{\sigma}(X-\mu)\sim\mathcal{N}(0,1),</math> die auch ''standardnormalverteilte Zufallsvariable'' <math>Z</math> genannt wird. == Definition - Standardnormalverteilung== Die ''Standardnormalverteilung'' ist also die Normalverteilung mit Parametern <math>\mu = 0</math> und <math>\sigma^2 = 1</math>. Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist gegeben durch :<math>\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}, - \infty < x < \infty . </math> Ihr Verlauf ist nachfolgend graphisch dargestellt. <br> === Mehrdimensionale Normalverteilung === Die mehrdimensionale Verallgemeinerung ist im Artikel [[w:de:mehrdimensionale Normalverteilung|mehrdimensionale Normalverteilung]] zu finden. [[Datei:Multivariate_Gaussian.png|zentriert|rahmenlos|450px|mehrdimensionale (multivariate) Normalverteilung]] <span id="Funktionentheorie"></span> == Normalverteilung in der Funktionentheorie == Die Dichte der Normalverteilung kann man als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] in der Funktionen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] behandeln und dann mit den allgemeinen Eigenschaften einer Verteilungsfunktion mit dem Identitätssatz und der gleichmäßigen Konvergenz auf Kreisscheiben in <math>\mathbb{C}</math> die Reihendarstellung der [[Verteilungsfunktion]] herleiten. Mit <math>\mathbb{R} \subset \mathbb{C}</math> erhält man damit auch eine Reihendarstellung der [[Verteilungsfunktion]] auf <math>\mathbb{R}</math>. === Taylorentwicklung der Verteilungsfunktion === Zunächst betrachtet man die Reihendarstellung der Standardnormalverteilung als komplexe [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion, wobei man den Definitionsbereich von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{C}</math> erweitert. Dieser Schritt erfolgt, um Sätze aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] für die Verteilungsfunktion verwenden zu können. === Voraussetzung === Um die Resultate aus der [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] verwenden zu können betrachtet man die Dichtefunktion mit der Erweiterung des Definitionsbereiches auf <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \begin{array}{rrcl} \varphi : &\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle \varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{z^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \underbrace{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot z^{2n} }_{=e^{-\frac{z^2}{2}}} \end{array} </math> === Dichtefunktion als holomorphe Funktion === <math>\varphi</math> ist als Verkettung von zwei auf ganz <math>\mathbb{C}</math> [[Holomorphie|holomorphen]] Funktion <math>f(x)=e^x</math> und <math display="inline">g(x)=-\frac{x^2}{2}</math> wieder eine [[w:de:Ganze_Funktion|ganze Funktion]] <math>\varphi=f\circ g</math>, die eine Reihendarstellung für alle <math>x\in\mathbb{C}</math> besitzt und damit insbesondere für alle <math>x\in\mathbb{R}</math>. Der Konvergenzradius der [[Taylorreihe]] von [[w:de:Ganze_Funktion|ganzen Funktion]] ist unendlich. === Partialsummen der Potenzreihe === Man betrachtet nun die Funktionenfolge <math>\varphi_n:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> der Partialsummen mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \varphi_n : &\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \varphi_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!\cdot 2^k} \cdot z^{2k} \end{array} </math> Die Funktionenfolge <math>(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|konvergiert]] auf jeder abgeschlossenen Einheitskreisscheibe <math>\overline{D_r(0)}=\{x\in \mathbb{C} \,\colon\, |x|\leq r\} </math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen <math>\varphi</math>. === Gleichmäßige Konvergenz auf Kreisscheiben === Da die Partialsummenfolgen <math>(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}} </math> der [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] auf abgeschlossenen Kreisscheiben <math>\overline{D_r(0)}=\{x\in \mathbb{C} \,\colon\, |x|\leq r\} </math> für beliebige <math>r > 0</math> gegen die <math>\varphi</math> konvergieren, kann man [[w:de:Integration (Mathematik)|Integration]] und Grenzwertprozess der [[w:de:Funktionenfolge|Funktionenfolge]] vertauschen. und bei der [[w:de:Integration (Mathematik)|Integration]] summandenweise integrieren. === Stammfunktion auf Kreisscheiben === Damit erhält man eine Stammfunktion <math>\widehat{\Phi}_r</math> von <math>\varphi</math> auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(0)} \subset \mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \widehat{\Phi}_r : & \overline{D_r(0)} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \widehat{\Phi}_r(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot z^{2n+1} \end{array} </math> === Stammfunktion der Dichtefunktion === Nach dem [[Identitätssatz]] stimmt die Potenzreihe <math>\widehat{\Phi}_r</math> auf einer nicht diskreten Teilmenge <math>\overline{D_r(0)}=\{x\in \mathbb{C} \,\colon\, |x|\leq r\} </math> mit <math>\widehat{\Phi}</math> auf <math>\overline{D_r(0)}</math> überein, damit muss die ganze Funktion <math>\widehat{\Phi}_r</math> auf ganz <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\widehat{\Phi}</math> übereinstimmen. Damit erhält man folgende [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>\varphi</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \widehat{\Phi} : &\mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \widehat{\Phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot z^{2n+1} \end{array} </math> Weitere Stammfunktionen <math>\widetilde{\Phi}</math> von <math>\varphi</math> unterscheiden sich von <math>\widehat{\Phi}</math> lediglich um eine Konstante <math>c</math> mit <math>\widetilde{\Phi}(x) = \widehat{\Phi}(x) + c</math>. ==== Eigenschaften der Verteilungsfunktion ==== Die gesuchte Potenzreihe der [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] <math>\Phi</math> ist insbesondere eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] der Dichte <math>\varphi</math>, aber nicht jede [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>\widetilde{\Phi}</math> ist auch eine [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]], da eine Verteilungsfunktion weitere Eigenschaften folgende charakterisierende erfüllen muss: :<math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} F(x) = 1</math>. ==== Grenzwerteigenschaften der komplexwertigen Einbettung der Verteilungsfunktion ==== Für die Stammfunktion müsste daher auf der reellen Achse das folgende Grenzwertverhalten gelten: : <math>\lim_{x \to -\infty} \Phi(x+0\cdot i) = 0</math> und <math>\lim_{x \to \infty} \Phi(x+0\cdot i) = 1</math> Um die nun weitere in den reellen Zahlen die Eigenschaften der Stammfunktion untersuchen zu können, betrachtet man nun noch die Einschränkung der Potenzreihe <math>\widehat{\Phi}</math> auf die reellen Zahlen. ==== Stammfunktion auf den reellen Zahlen ==== Wenn <math>\widehat{\Phi}</math> eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] von <math>\varphi</math> auf <math>\mathbb{C}</math> ist, dann ist <math>\widehat{\Phi}</math> insbesondere eine Stammfunktion von <math>\varphi</math> auf <math>\mathbb{R}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \widehat{\Phi} : &\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \displaystyle \widehat{\Phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot x^{2n+1} \end{array} </math> ==== Funktionswert der Stammfunktion in 0 ==== Man betrachtet nun den Funktionswert der Stammfunktion in 0 und nutzt die [[w:de:Achsensymmetrie|Achsensymmetrie]] der Standardnormalverteilung zur <math>y</math>-Achse aus. :<math> \widehat{\Phi}(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot 0^{2n+1} = 0 </math> Gleichzeitig gilt <math>\widehat{\Phi}(-x) = - \widehat{\Phi}(x)</math>, weil die Potenzreihe nur ungerade Exponenten <math>x^{2n+1} </math> besitzt. ==== Uneigentliches Integral und Normierung ==== Weil die [[Standardnormalverteilung]] eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] ist, gilt für das [[w:de:uneigentliches Integral|uneigentliche Integral]] und der Normierung der [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]: :<math> \begin{array}{rcl} 1 & = & P(\Omega) = P(\mathbb{R}) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}x^2}\, dx \\ & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \lim_{r\to +\infty} \int_{-r}^{+r} e^{-\frac{1}{2}x^2}\, dx \\ \end{array} </math> ==== Zerlegung des uneigentlichen Integrals ==== Man zerlegt nun das uneigentlichen Integral in zwei Teilintegrale nutzt dann die Symmetrie von <math>\varphi</math> mit <math>\varphi(x)=\varphi(-x)</math> aus. :<math> \begin{array}{rcl} \Phi(0) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \int_{-\infty}^{0} e^{-\frac{1}{2}x^2}\, dx = \displaystyle \int_{-\infty}^{0} \varphi(x) \, dx \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \int_{-\infty}^{0} \varphi(x) \, dx + \int_{-\infty}^{0} \underbrace{\varphi(x)}_{=\varphi(-x)} \, dx \bigg) \\ & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \int_{-\infty}^{0} \varphi(x) \, dx + \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \, dx \bigg) = \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \underbrace{ \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) \, dx }_{=1} \end{array} </math> Damit muss bei der Verteilungsfunktion der [[Standardnormalverteilung]] <math> \Phi(0)=\frac{1}{2}</math> gelten. ==== Konstante für die Verteilungsfunktion ==== Damit ist die Konstante <math>c=\frac{1}{2}</math> der [[Verteilungsfunktion]] <math> \Phi</math> festgelegt und man erhält: :<math> \Phi(0)=\frac{1}{2}+\underbrace{\widehat{\Phi}(0)}_{=0} \mbox{ mit } \Phi(x)= c + \widehat{\Phi}(x) </math> Die darstellende Potenzreihe der Verteilungsfunktion ist damit: :<math> \Phi(x)= \frac{1}{2} + \widehat{\Phi}(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot 2^n} \cdot \frac{1}{2n+1} \cdot x^{2n+1} </math> === Alternative Taylorentwicklung der Verteilungsfunktion === Über [[w:de:partielle Integration|partielle Integration]] erhält man die folgende Darstellung der Verteilungsfunktion: :<math> \Phi(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2} \left( x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{3\cdot 5} + \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!!} + \cdots\right)\,. </math> Dabei bezeichnet <math>n!!=n\cdot (n-2)\cdot (n-4) \cdot ...</math> die [[w:de:Doppelfakultät|Doppelfakultät]] von <math>n</math>. === Bemerkung zur Taylordarstellung === Die Addition von <math>\frac{1}{2}</math> sorgt dafür, dass die Verteilungsfunktion für <math>x\to -\infty </math> jeweils gegen 0 bzw. 1 konvergiert. Der Vorfaktor <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> sorgt für die Normierung des Flächeninhaltes und damit auf für das Grenzwertverhalten <math>x\to +\infty </math> gegen 1. == Eigenschaften == === Verteilungsfunktion === Die [[w:de:Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] der Normalverteilung ist durch :<math>F(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt</math> gegeben. ==== Symmetrie Standardnormalverteilung ==== * Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist symmetrisch zur <math>y</math>-Achse und * die Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt <math display="inline">\left(0,\frac{1}{2}\right)\in \mathbb{R}^2</math> ==== Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ==== Betrachtet man die Verteilungsfunktion für die Dichte der Standardnormalverteilung mit <math>\mu=0</math> und <math>\sigma^2 = 1</math> erhält man die folgende mit <math>\Phi</math> bezeichnete Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung: :<math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} t^2} \mathrm dt.</math> ==== Transformation - Integral Standardnormalverteilung ==== Wenn man durch die [[w:de:Substitutionsregel|Substitution]] <math>t=\sigma z + \mu</math> statt <math>t</math> eine neue Integrationsvariable <math>z := \tfrac{t-\mu}{\sigma}</math> einführt, ergibt sich ein Integral über die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung: :<math>F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{(x-\mu)/\sigma} e^{-\frac 12 z^2} \mathrm d z = \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).</math> === Symmetrie === Der [[w:de:Funktionsgraph|Graph]] der Wahrscheinlichkeitsdichte <math>f\colon\ \mathbb R\to\mathbb R</math> ist eine Gaußsche Glockenkurve, deren Höhe und Breite von <math>\sigma</math> abhängt. Sie ist [[w:de:Achsensymmetrie#Achsensymmetrie von Funktionsgraphen|achsensymmetrisch]] zur Geraden mit der Gleichung <math>x = \mu</math> und somit eine [[w:de:symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung]] um ihren Erwartungswert. Der Graph der Verteilungsfunktion <math>F</math> ist [[w:de:Punktsymmetrie#Punktsymmetrie von Funktionsgraphen|punktsymmetrisch]] zum Punkt <math>(\mu ; 0{,}5).</math> Für <math>\mu=0</math> gilt insbesondere <math>\varphi(-x) =\varphi(x)</math> und <math>\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)</math> für alle <math>x \in \mathbb R</math>. === Maximalwert und Wendepunkte der Dichtefunktion === Mit Hilfe der ersten und zweiten [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] lassen sich der Maximalwert und die Wendepunkte bestimmen. Die erste Ableitung ist :<math>f'(x) = -\frac{x-\mu}{\sigma^2} f(x).</math> Das Maximum der Dichtefunktion der Normalverteilung liegt demnach bei <math>x_\mathrm{max} = \mu</math> und beträgt dort <math>f_\mathrm{max} = \tfrac 1{\sigma\sqrt{2\pi}}</math>. <br> Die zweite Ableitung lautet :<math>f' '(x) = \frac 1{ \sigma ^2} \left ( \frac 1{ \sigma ^2}(x- \mu )^2 -1 \right ) f(x). </math> Somit liegen die [[w:de:Wendepunkt|Wendestellen]] der Dichtefunktion bei <math>x=\mu\pm\sigma</math>. Die Dichtefunktion hat dort den Wert <math>\tfrac 1{\sigma\sqrt{2\pi e}}</math>. == Normierung der Normalverteilung == Um nachzuweisen das die Verteilung mit der obigen Dichtefunktion tatsächlich ein Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, muss man das Axiom der Normiertheit für das Wahrscheinlichkeitmaß <math>P: \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> zeigen. Dies wird für die Standardnormalverteilung <math>\mathcal{N}(0,1)</math> umgesetzt. :<math> P(\Omega) = P(\mathbb{R}) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} z^2} \mathrm dz </math> === Normierung (1) === Wichtig ist, dass die gesamte Fläche unter der [[w:de:Funktionsgraph|Kurve]] gleich <math>1</math>, also gleich der Wahrscheinlichkeit des sicheren [[w:de:Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignisses]], ist. Somit folgt, dass, wenn zwei Gaußsche Glockenkurven dasselbe <math>\mu</math>, aber unterschiedliches <math>\sigma</math> haben, die Kurve mit dem größeren <math>\sigma</math> breiter und niedriger ist (da ja beide zugehörigen Flächen jeweils den Wert <math>1</math> haben und nur die Standardabweichung größer ist). Zwei Glockenkurven mit gleichem <math>\sigma,</math> aber unterschiedlichem <math>\mu</math> haben kongruente Graphen, die um die Differenz der <math>\mu</math>-Werte parallel zur <math>x</math>-Achse gegeneinander verschoben sind. === Normierung (2) === Jede Normalverteilung ist tatsächlich normiert, denn mit Hilfe der linearen [[w:de:Integration durch Substitution|Substitution]] <math>z= \tfrac{x-\mu}\sigma</math> erhalten wir :<math> \int_{-\infty}^\infty \frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac 12 \left(\frac{x-\mu}\sigma\right)^2} \mathrm dx= \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 z^2} \mathrm dz=1.</math> === Normierung (3) === Um die Normiertheit <math>\Phi( \infty )=1</math> nachzuweisen, berechnet man das Quadrat <math>I^2</math> des folgenden :<math>I := \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt.</math> Da die Dichtefunktion im Integranden eine positive Funktion ist, muss <math>I\geq 0</math>. Daher kann man aus <math>I^2=1</math> auch auf <math>I=1</math> === Normierung (4) - Lösungsansätze zur Berechnung des Integrals === Man kann die [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] des Integranden als [[w:de:elementare Funktion|elementare Funktion]] angeben, gibt es trotzdem mehr als ein halbes Dutzend Lösungswege, seinen Wert zu bestimmen, angefangen bei ersten Näherungen [[w:de:Abraham de Moivre|De Moivres]] aus dem Jahr 1733 über die Arbeiten von [[w:de:Pierre-Simon Laplace|Laplace]] und [[w:de:Siméon Denis Poisson|Poisson]] aus der Zeit um 1800 bis hin zu einem gänzlich neuen Lösungsansatz S. P. Evesons aus dem Jahr 2005.<ref>[https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/normal_history.pdf Peter M. Lee: ''The probability integral''; University of York, Department of Mathematics, 2011], zuletzt abgerufen am 14. Mai 2016.</ref> === Normierung (5) - Lösungsansätze zur Berechnung des Integrals === Einer der entscheidenden Tricks für seine Berechnung (angeblich von Poisson<ref>[https://ems.press/content/serial-article-files/4007 Denis Bell: ''Poisson’s remarkable calculation - a method or a trick?''; Elemente der Mathematik 65, 2010] (PDF; 248&nbsp;kB)</ref>) ist es, auf eine höhere Dimension auszuweichen und das resultierende 2D-Integrationsgebiet über Polarkoordinaten zu parametrisieren. === Normierung (6) - Lösungsansätze zur Berechnung des Integrals === :<math>\begin{align} I^2 &= \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx\right)\cdot \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dy\right)\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2} \cdot e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dx\,\mathrm dy\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 \left(x^2 + y^2\right)}\mathrm dx\,\mathrm dy. \end{align}</math> Grundlage für die erste Umformung ist die [[Lineare Abbildung|Linearität]] des Integrals. === Normierung (7) - Verwendung der Parametertransformation in Polarkoordinaten === Statt längs kartesischer Koordinaten wird über <math>\mathbb{R}^2</math> nun längs [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] integriert, was der Substitution <math> x = r \cos(\varphi), y = r \sin (\varphi) </math> und daraus <math>r^2 = x^2 + y^2</math> entspricht. === Normierung (8) - Verwendung der Parametertransformation in Polarkoordinaten === Nun erhält man das Integral über die Verwendung der [[Transformationsformel|Transformationssatz]] :<math>\begin{align} I^2 &= \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dr\\ &= 2 \pi \int_0^\infty e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm dr\\ &= -2 \pi \left[e^{-\frac 12 r^2}\right]_{r=0}^\infty\\ &= 2 \pi. \end{align}</math> === Normierung (9) - Verwendung der Parametertransformation in Polarkoordinaten === Damit erhält man das gesuchte Integral mit der Voraussetzung <math>I \geq 0</math>: :<math>\lim_{z \to \infty} \Phi(z) = \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt=\frac 1{\sqrt{2\pi}}I = 1.</math> === Berechnung === Da sich <math>\Phi(z)</math> nicht auf eine elementare [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] zurückführen lässt, wurde für die Berechnung früher meist auf Tabellen zurückgegriffen (siehe [[w:de:Standardnormalverteilungstabelle|Standardnormalverteilungstabelle]]). Heutzutage sind in statistischen Programmiersprachen wie zum Beispiel [[w:de:R (Programmiersprache)|R]] Funktionen verfügbar, die auch die Transformation auf beliebige <math> \mu </math> und <math> \sigma </math> beherrschen. == Erwartungswert == Der [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]] der Standardnormalverteilung ist <math>0</math>. Es sei <math>X \sim \mathcal N\left(0,1\right)</math>, so gilt :<math> \operatorname{E}(X) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\ e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx = 0,</math> da der Integrand [[w:de:Uneigentliches Integral|integrierbar]] und [[w:de:Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] ist. === Stammfunktion des Integranden === Der Integrand beim Erwartungswert <math>f(x)=x\cdot e^{-x^2}</math> besitzt eine Stammfunktion <math>F(x)=-\frac{1}{2} \cdot e^{-x^2}</math>, denn es gilt: :<math> f(x)=x\cdot e^{-x^2} = -\frac{1}{2} \cdot (-2x) \cdot e^{-x^2} </math> Mit dieser kleinen Transformation ist <math>-2x</math> die innere Ableitung von <math>-x^2</math>. Mit der Anwendung der Substitutionregel in der Integralrechnung erhält man eine Stammfunktion <math>F(x)=-\frac{1}{2} \cdot e^{-x^2}</math>. === Lineare Transformation - Linearität des Erwartungswertes === Ist nun <math>Y \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)</math>, so gilt <math>X=(Y-\mu)/\sigma</math> ist standardnormalverteilt, und somit kann man mit der [[Linearität Erwartungswert|Linearität des Erwartungswertes]] :<math> \operatorname{E}(Y)=\operatorname{E}(\sigma X + \mu)=\sigma \underbrace{\operatorname{E}(X)}_{=0} + \mu=\mu.</math> == Varianz == Die [[w:de:Varianz (Stochastik)|Varianz]] der <math>(\mu, \sigma^2)</math>-normalverteilten Zufallsvariablen entspricht dem Parameter <math>\sigma^2</math> :<math>\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\int_{-\infty}^\infty(x-\mu)^2 e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, \mathrm dx=\sigma^2.</math> === Berechnung der Varianz (1) === Die Berechnung der Varianz erfolgt über [[w:de:partielle Integration|partielle Integration]] für den Integranden <math>x^2 \cdot e^{-x^2}</math> der Standardnormalverteilung <math>\mathcal{N}(0,1)</math>. Für die Varianz gilt: :<math>Var(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - {\underbrace{E(X)}_{=0}}^2 = E(X^2)</math> Also muss man für die Berechnung der Varianz nur das zweite Moment <math> E(X^2) </math> berechnen. === Berechnung der Varianz (2) === Die Berechnung des zweiten Momentes nutzt die [[w:de:partielle Integration|partielle Integration]] und die [[w:de:Kettenregel|Kettenregel]] für die Verkettung von Funktionen bei der Berechnung von <math>g'(x)</math> :<math> \begin{align} f(x) & = x \\ f\,'\!(x) & = 1 \\ g(x) & = e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ g\,'\!(x) & = -x\cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ \end{align} </math> === Berechnung der Varianz (2) === Mit der obigen Definition der Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> erhält man mit der partiellen Integrationregel :<math> \lim_{r \to +\infty} \int_{-r}^{+r} f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{r \to +\infty}\Big[f(x)\cdot g(x)\Big]_{-r}^{+r} - \lim_{r \to +\infty} \int_{-r}^{+r} f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x </math> für uneigentliche Integral. === Berechnung der Varianz (3) === Die Berechnung des 2. Momentes ergibt daher über: :<math> \begin{align} E(X^2) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! x^2 \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2}\mathrm dx = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! \underbrace{x}_{=:f(x)} \cdot \underbrace{ \left( -x \cdot e^{- \frac{1}{2} x^2} \right) }_{=:g\,'(x)} \mathrm dx \\ & = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \underbrace{ \bigg[ \underbrace{x}_{=:f(x)} \cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2} x^2}}_{=:g(x)} \bigg]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0} + \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \!\!\! \underbrace{1}_{=f\,'(x)} \cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2} x^2} }_{=g(x)} \mathrm dx }_{=P(\mathbb{R})=1} = 1 \\ \end{align} </math> === Berechnung der Varianz (4) === Insgesamt ergibt sich damit die Berechnung der Varianz für die Standardnormalverteilung <math>\mathcal{N}(0,1)</math>. :<math>Var(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - {\underbrace{E(X)}_{=0}}^2 = E(X^2) = 1</math> == Wahrscheinlichkeitsdichte als Taylorreihe == Für Taylorreihen kann man für Wert <math>x</math> aus dem Konvergenzbereich die Dichtefunktion als Potenzreihe darstellen und von Potenzreihen kann man eine Stammfunktion direkt über die Integration der Summanden der Taylorreihe (Polynome <math>n</math>-ten Grades) bilden. Dazu muss man die Taylorkoeffizienten <math>a_n= \frac{f^{(n)}(0)}{n!} </math> berechnen. === Taylorkoeffizienten der Standardnormalverteilungsdichte === Zunächst müssen die Ableitungen der Dichtefunktion <math>f^{(n)}(x)</math> mit der mit der [[w:de:Produktregel|Produktregel]] gebildet werden. :<math> \begin{align} f^{(0)}(x) & = f(x) = e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(1)}(x) & = -x \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(2)}(x) & = (x^2 - 1) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(3)}(x) & = (-x^3 - 3x) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ f^{(4)}(x) & = (x^4 - 6x^2 + 3) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ \vdots \,\,\, & = \,\,\, \vdots \\ f^{(n)}(x) & = p^{(n)}(x) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^2} \\ \end{align} </math> <math>p^{(n)}</math> ist ein Polynom <math>n</math>-ten Grades. Siehe auch [[Maxima CAS/Taylorkoeffizienten]] === Aufgabe für Studierende === * Bestimmen Sie die Ableitungen der Dichtefunktion in einer expliziten Form für das führende Polynom <math>p^{(n)}(x)</math> * Zeigen Sie, dass <math>p^{(2n+1)}(0) = 0</math> für ungeradzahlige Ableitungen gilt! * Berechnen Sie explizit <math>p^{(2n)}(0)</math> für geradzahlige Ableitungen! === Entwicklungspunkt 0 === Mit dem Entwicklungspunkt 0 verschwindet viele Summand aus dem vorangestellten ersten Polynom. Insbesondere sind die Koeffizienten mit ungeradem Summanden 0. Die fortgesetzten Ableitung wurden mit der [[w:de:Produktregel|Produktregel]] berechnet. == Charakteristische Funktion == Die [[w:de:Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z \sim \mathcal N(0,1)</math> ist :<math>\varphi_Z(t) = e^{-\frac 12 t^2}.</math> Für eine Zufallsvariable <math>X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)</math> erhält man daraus mit <math>X = \sigma Z + \mu</math>: :<math>\varphi_X(t)=\operatorname E(e^{it(\sigma Z + \mu)})=\operatorname E(e^{it\sigma Z}e^{it\mu})= e^{it\mu}\operatorname{E}(e^{it\sigma Z})</math> :<math>=e^{it\mu}\varphi_Z(\sigma t)= \exp\left\{it\mu-\tfrac 12 \sigma^2 t^2\right\}.</math> == Faltung von Wahrscheinlichkeitsdichten == Die Faltung von Wahrscheinlichkeitsdichten <math>f_1:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_o^+ </math>, <math>f_2:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_o^+ </math> für zwei normalverteilten [[stochastisch unabhängig|stochastisch unabhängigen]] Zufallfallsgrößen <math>X_1, X_2</math> liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte <math>f_1 \ast f_2</math> der Summenverteilung <math>X_1+X_2</math>. === Invarianz gegenüber Faltung (1)=== Die Normalverteilung ist [[w:de:invariant|invariant]] gegenüber der [[w:de:Faltung (Stochastik)|Faltung]], d.&nbsp;h., die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt (siehe dazu auch unter [[w:de:Alpha-stabile Verteilungen|stabile Verteilungen]] bzw. unter [[w:de:Unendliche Teilbarkeit|unendliche teilbare Verteilungen]]). Eine veranschaulichende Formulierung dieses Sachverhaltes lautet: Die Faltung einer Gaußkurve der [[w:de:Halbwertsbreite|Halbwertsbreite]] <math>\Gamma_a</math> mit einer Gaußkurve der Halbwertsbreite <math>\Gamma_b</math> ergibt wieder eine Gaußkurve mit der Halbwertsbreite :<math>\Gamma_c = \sqrt{\Gamma_a^2 + \Gamma_b^2}.</math> === Invarianz gegenüber Faltung (2)=== Sind also <math>X, Y</math> zwei unabhängige Zufallsvariablen mit :<math>X \sim \mathcal N(\mu_X,\sigma_X^2),\ Y \sim \mathcal N(\mu_Y,\sigma_Y^2),</math> so ist deren Summe ebenfalls normalverteilt: :<math>X+Y \sim \mathcal N(\mu_X+\mu_Y,\sigma_X^2+\sigma_Y^2)</math> Das kann beispielsweise mit Hilfe von charakteristischen Funktionen gezeigt werden, indem man verwendet, dass die charakteristische Funktion der Summe das Produkt der charakteristischen Funktionen der Summanden ist (vgl. [[w:de:Faltungssatz|Faltungssatz]] der Fouriertransformation). === Invarianz gegenüber Faltung (3)=== Gegeben seien allgemeiner <math>n</math> unabhängige und normalverteilte Zufallsvariablen <math>X_i \sim \mathcal N(\mu_i, \sigma_i^2)</math>.<br> Dann ist deren Summe wieder normalverteilt :<math>\sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal N\left(\sum_{i=1}^n \mu_i, \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right)</math> und das arithmetische Mittel ebenfalls :<math>\frac 1n \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal N\left(\frac 1n \sum_{i=1}^n \mu_i, \frac 1{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right).</math> Nach dem [[w:de:Satz von Cramér|Satz von Cramér]] gilt sogar die Umkehrung. == Beziehungen zu anderen Verteilungsfunktionen == === Transformation zur Standardnormalverteilung (1)=== Eine Normalverteilung mit beliebigen <math> \mu </math> und <math> \sigma </math> und der Verteilungsfunktion <math>F</math> hat, wie oben erwähnt, die nachfolgende Beziehung zur <math>\mathcal{N}(0,1)</math>-Verteilung: :<math>F(x) = \Phi \left(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\right).</math> Darin ist <math>\Phi</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.<br> === Transformation zur Standardnormalverteilung (2)=== Wenn <math>X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>, dann führt die [[w:de:Standardisierung (Statistik)|Z-Transformation]] :<math>Z=\frac{X-\mu}{\sigma}</math> zu einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen <math>Z</math>, denn :<math>P(Z\le z)=P\left(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\le z\right)=P\left(X\le \sigma z+\mu\right)=F(\sigma z+\mu)=\Phi(z).</math> Geometrisch betrachtet entspricht die durchgeführte Substitution einer flächentreuen Transformation der Glockenkurve von <math> \mathcal{N}(\mu;\sigma^2) </math> zur Glockenkurve von <math>\mathcal{N}(0,1)</math>. === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (1)=== <!--{{Hauptartikel|Normal-Approximation}}--> Die Normalverteilung kann zur Approximation der [[w:de:Binomialverteilung|Binomialverteilung]] verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und in der Grundgesamtheit der Anteil der gesuchten Eigenschaft weder zu groß noch zu klein ist ([[w:de:Satz von Moivre-Laplace|Satz von Moivre-Laplace]], [[w:de:zentraler Grenzwertsatz|zentraler Grenzwertsatz]], zur experimentellen Bestätigung siehe auch unter [[w:de:Galtonbrett|Galtonbrett]]).<br> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (2)=== Ist ein Bernoulli-Versuch mit <math>n</math> voneinander unabhängigen Stufen (bzw. [[w:de:Zufallsexperiment|Zufallsexperimenten]]) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> gegeben, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit für <math>k</math> Erfolge allgemein berechnen mittels :<math>P(X=k) = \tbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k},\quad k = 0, 1, \dotsc, n.</math> Diese Binomialverteilung kann durch eine Normalverteilung approximiert werden, wenn <math>n</math> hinreichend groß und <math>p</math> weder zu groß noch zu klein ist. Als Faustregel dafür gilt <math>np(1-p)\geq 9</math>. Für den Erwartungswert <math>\mu</math> und die Standardabweichung <math>\sigma</math> gilt dann: === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (3)=== :<math>\mu=n\cdot p </math> und <math>\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}</math>.<br> Damit gilt für die Standardabweichung <math>\sigma\geq 3</math>. Falls diese Bedingung nicht erfüllt sein sollte, ist die Ungenauigkeit der Näherung immer noch vertretbar, wenn gilt: <math>np\geq 4</math> und zugleich <math>n(1-p)\geq 4</math>.<br> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (4)=== Folgende Näherung ist dann brauchbar: :<math>P(x_1 \leq X \leq x_2) = \underbrace{\sum_{k=x_1}^{x_2} {n \choose k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}_{\mathrm{BV}}</math> :<math> \approx \underbrace { \Phi \left( \frac {x_2 + 0,5 - \mu }{ \sigma } \right ) - \Phi \left ( \frac { x_1 - 0,5 - \mu }{ \sigma } \right) }_{ \mathrm { NV } }.</math> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (5)=== Bei der Normalverteilung wird die untere Grenze um 0,5 verkleinert und die obere Grenze um 0,5 vergrößert, um eine bessere Approximation gewährleisten zu können. Dies nennt man auch „Stetigkeitskorrektur“. Nur wenn <math>\sigma</math> einen sehr hohen Wert besitzt, kann auf sie verzichtet werden.<br> Da die Binomialverteilung diskret ist, muss auf einige Punkte geachtet werden: === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (6)=== * Der Unterschied zwischen <math><</math> oder <math>\leq</math> (sowie zwischen ''größer'' und ''größer gleich'') muss beachtet werden (was ja bei der Normalverteilung nicht der Fall ist). Deshalb muss bei <math> P(X_\text{BV} < x) </math> die nächstkleinere natürliche Zahl gewählt werden, d.&nbsp;h. :<math> P(X_\text{BV} < x) = P(X_\text{BV} \leq x-1) </math> bzw. <math>P(X_\text{BV}>x)=P(X_\text{BV}\geq x+1)</math>, :damit mit der Normalverteilung weitergerechnet werden kann. :Zum Beispiel: <math>P(X_\text{BV}<70) = P(X_\text{BV}\leq 69)</math> === Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (7)=== Außerdem ist * <math> P(X_\text{BV} \leq x) = P(0 \leq X_\text{BV} \leq x) </math> * <math> P(X_\text{BV} \geq x) = P(x \leq X_\text{BV} \leq n) </math> * <math> P(X_\text{BV} = x) = P(x \leq X_\text{BV} \leq x) </math> (unbedingt mit Stetigkeitskorrektur) und lässt sich somit durch die oben angegebene Formel berechnen.<br> Der große Vorteil der Approximation liegt darin, dass sehr viele Stufen einer Binomialverteilung sehr schnell und einfach bestimmt werden können. === Beziehung zur logarithmischen Normalverteilung === Ist die Zufallsvariable <math>X</math> normalverteilt mit <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})</math>, dann ist die Zufallsvariable <math>Y=e^{X}</math> [[w:de:Logarithmische Normalverteilung|logarithmisch-normalverteilt]], also <math>Y \sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^{2})</math>. Die Entstehung einer [[w:de:Logarithmische Normalverteilung|logarithmischen Normalverteilung]] ist auf multiplikatives, die einer Normalverteilung auf additives Zusammenwirken vieler Zufallsvariablen zurückführen. == Rechnen mit der Standardnormalverteilung (1) == Bei Aufgabenstellungen, bei denen die Wahrscheinlichkeit für <math>\mu</math>-<math>{\sigma}^2</math>-normalverteilte Zufallsvariablen durch die Standardnormalverteilung ermittelt werden soll, ist es nicht nötig, die oben angegebene Transformation jedes Mal durchzurechnen. Stattdessen wird einfach die Transformation :<math>Z = \frac {X-\mu}{\sigma}</math> verwendet, um eine <math>\mathcal{N}(0,1)</math>-verteilte Zufallsvariable <math>Z</math> zu erzeugen. == Rechnen mit der Standardnormalverteilung (2) == Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass z.&nbsp;B. <math>X</math> im Intervall <math>[x,y]</math> liegt, ist durch folgende Umrechnung gleich einer Wahrscheinlichkeit der Standardnormalverteilung: <math> \begin{align} P(x \leq X \leq y) &= P\left(\frac {x-\mu}{\sigma} \leq \frac {X-\mu}{\sigma} \leq \frac {y-\mu}{\sigma}\right)\\ &=P\left(\frac {x-\mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac {y-\mu}{\sigma}\right)\\ &=\Phi\left(\frac {y-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac {x-\mu}{\sigma}\right) \end{align} </math>. === Grundlegende Fragestellungen (1) === Allgemein gibt die Verteilungsfunktion die Fläche unter der Glockenkurve bis zum Wert <math>x</math> an, d.&nbsp;h., es wird das [[w:de:bestimmtes Integral|bestimmte Integral]] von <math>-\infty</math> bis <math>x</math> berechnet. Dies entspricht in Aufgabenstellungen einer gesuchten [[w:de:Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]], bei der die Zufallsvariable <math>X</math> ''kleiner'' oder ''nicht größer'' als eine bestimmte Zahl <math>x</math> ist. Wegen der [[w:de:Stetigkeit|Stetigkeit]] der Normalverteilung macht es keinen Unterschied, ob nun <math><</math> oder <math>\leq</math> verlangt ist, weil z.&nbsp;B. :<math>P(X = 3) = \int_3^3 f(x)\mathrm dx = 0</math> und somit <math>P(X<3) = P(X \leq 3)</math>. Analoges gilt für „größer“ und „nicht kleiner“. === Grundlegende Fragestellungen (2) === Dadurch, dass <math>X</math> nur kleiner oder größer als eine Grenze sein (oder innerhalb oder außerhalb zweier Grenzen liegen) kann, ergeben sich für Aufgaben bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen zu Normalverteilungen zwei grundlegende Fragestellungen: * Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsexperiment die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> ''höchstens'' den Wert <math>z</math> annimmt? * <math>P(Z \leq z)=\Phi(z)</math> In der Schulmathematik wird für diese Aussage gelegentlich auch die Bezeichnung ''linker Spitz'' verwendet, da die [[w:de:Flächeninhalt|Fläche]] unter der Gaußkurve von links bis zur Grenze verläuft. Für <math>z</math> sind auch negative Werte erlaubt. === Grundlegende Fragestellungen (3) === Allerdings haben viele Tabellen der Standardnormalverteilung nur positive Einträge –&nbsp;wegen der Symmetrie der Kurve und der Negativitätsregel ::<math>\Phi(-z)\ =\ 1-\Phi(z)</math> :des „linken Spitzes“ stellt dies aber keine Einschränkung dar. === Grundlegende Fragestellungen (4) === Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsexperiment die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> ''mindestens'' den Wert <math>z</math> annimmt? :<math>P(Z \geq z) = 1 - \Phi(z)</math> Hier wird gelegentlich die Bezeichnung ''rechter Spitz'' verwendet, mit :<math>P(Z \geq -z)= 1- \Phi(-z)= 1-(1-\Phi(z)) = \Phi(z)</math> gibt es auch hier eine Negativitätsregel.<br> Da jede Zufallsvariable <math>X</math> mit der allgemeinen Normalverteilung sich in die Zufallsvariable <math>Z = \frac{X -\mu}{\sigma}</math> mit der Standardnormalverteilung umwandeln lässt, gelten die Fragestellungen für beide Größen gleichbedeutend. === Streubereich und Antistreubereich (1)=== Häufig ist die Wahrscheinlichkeit für einen ''Streubereich'' von Interesse, d.&nbsp;h. die Wahrscheinlichkeit, dass die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> Werte zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> annimmt: :<math>P(z_1 \le Z \le z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)</math> Beim Sonderfall des symmetrischen Streubereiches (<math>z_1=-z_2</math>, mit <math>z_2>0</math>) gilt: <math> \begin{align} P(-z\le Z\le z ) &= P (|Z|\le z)\\ &= \Phi(z)-\Phi(-z)\\ &= \Phi(z)-(1-\Phi(z))\\ &= 2\Phi(z)-1 \end{align} </math> === Streubereich und Antistreubereich (2)=== Für den entsprechenden ''Antistreubereich'' ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass die standardnormalverteilte Zufallsvariable <math>Z</math> Werte außerhalb des Bereichs zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> annimmt, zu: :<math>P(Z\le z_1\text{ oder }Z\ge z_2) = \Phi(z_1) + (1-\Phi(z_2)).</math> Somit folgt bei einem symmetrischen Antistreubereich <math> \begin{align} P(Z\le -z\text{ oder }Z\ge z) &= P(|Z|\ge z)\\ &=\Phi(-z)+1-\Phi(z)\\ &= 1-\Phi(z)+1-\Phi(z)\\ &=2-2 \Phi(z). \end{align} </math> === Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung (1)=== Besondere Bedeutung haben beide Streubereiche z.&nbsp;B. bei der [[w:de:Qualitätssicherung|Qualitätssicherung]] von technischen oder wirtschaftlichen [[w:de:Produktion|Produktionsprozessen]]. Hier gibt es einzuhaltende [[w:de:Toleranz (Technik)|Toleranzgrenzen]] <math>x_1</math> und <math>x_2</math>, wobei es meist einen größten noch akzeptablen Abstand <math>\epsilon</math> vom Erwartungswert <math>\mu</math> (=&nbsp;dem optimalen Sollwert) gibt. Die Standardabweichung <math>\sigma</math> kann hingegen [[w:de:empirisch|empirisch]] aus dem Produktionsprozess gewonnen werden.<br> Wurde <math>[x_1;x_2]=[\mu-\epsilon;\mu+\epsilon]</math> als einzuhaltendes Toleranzintervall angegeben, so liegt (je nach Fragestellung) ein symmetrischer Streu- oder Antistreubereich vor.<br> === Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung (2)=== Im Falle des Streubereiches gilt: <math>\begin{align} P(x_1 \leq X \leq x_2) &= P(|X-\mu|\leq\epsilon)\\ &= P(\mu-\epsilon \leq X \leq \mu+\epsilon)\\ &= P\left(\frac{-\epsilon}{\sigma} \leq Z \leq \frac{\epsilon}{\sigma}\right)\\ &= \Phi\left(\frac{\epsilon}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\epsilon}{\sigma}\right)\\ &= 2 \Phi\left(\frac{\epsilon}{\sigma}\right)-1\\ &= \gamma \end{align} </math> Der Antistreubereich ergibt sich dann aus <math> P( | X - \mu | \geq \epsilon ) = 1 - \gamma. \,</math> <br> === Streubereiche am Beispiel der Qualitätssicherung (3)=== Wenn kein Streubereich berechnet wurde durch <math>P(|X- \mu|\geq \epsilon )=2\cdot\left(1- \Phi\left(\frac{\epsilon} {\sigma}\right)\right)=\alpha.</math> <br> Das Ergebnis <math> \gamma </math> ist also die Wahrscheinlichkeit für verkaufbare Produkte, während <math> \alpha </math> die Wahrscheinlichkeit für Ausschuss bedeutet, wobei beides von den Vorgaben von <math> \mu </math>, <math> \sigma </math> und <math> \epsilon </math> abhängig ist. Ist bekannt, dass die maximale Abweichung <math> \epsilon </math> symmetrisch um den Erwartungswert liegt, so sind auch Fragestellungen möglich, bei denen die Wahrscheinlichkeit vorgegeben und eine der anderen Größen zu berechnen ist. == Testen auf Normalverteilung (1)== [[Datei:Quantile graph.svg|mini|300px|]] Die Abbildung zeigt die [[w:de:Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantile]] einer Normalverteilung und einer [[w:de:Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-Verteilung]]. == Testen auf Normalverteilung (2)== [[Datei:Anpassungstests.svg|mini|300px|]] Eine χ²-verteilte Zufallsvariable mit 5 Freiheitsgraden wird auf Normalverteilung getestet. Für jeden Stichprobenumfang werden 10.000 Stichproben simuliert und anschließend jeweils 5 Anpassungstests zu einem Niveau von 5 % durchgeführt. == Testen auf Normalverteilung (3)== Überprüfungen auf Normalverteilungen sind möglich mittels: * [[w:de:Chi-Quadrat-Test|Chi-Quadrat-Test]] * [[w:de:Kolmogorow-Smirnow-Test|Kolmogorow-Smirnow-Test]] * [[w:de:Anderson-Darling-Test|Anderson-Darling-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests) * [[w:de:Lilliefors-Test|Lilliefors-Test]] (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests) * [[w:de:Cramér-von-Mises-Test|Cramér-von-Mises-Test]] * [[w:de:Shapiro-Wilk-Test|Shapiro-Wilk-Test]] * [[w:de:Jarque-Bera-Test|Jarque-Bera-Test]] * [[w:de:Q-Q-Plot|Q-Q-Plot]] (deskriptive Überprüfung) * [[w:de:Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Methode]] (deskriptive Überprüfung) == Testen auf Normalverteilung (4)== Die Tests haben unterschiedliche Eigenschaften hinsichtlich der Art der Abweichungen von der Normalverteilung, die sie erkennen. So erkennt der Kolmogorov-Smirnov-Test Abweichungen in der Mitte der Verteilung eher als Abweichungen an den Rändern, während der Jarque-Bera-Test ziemlich sensibel auf stark abweichende Einzelwerte an den Rändern („[[w:de:Heavy-tailed-Verteilung|heavy tails]]“) reagiert. == Testen auf Normalverteilung (5)== Beim Lilliefors-Test muss im Gegensatz zum Kolmogorov-Smirnov-Test nicht standardisiert werden, d.&nbsp;h., <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der angenommenen Normalverteilung dürfen unbekannt sein.<br> Mit Hilfe von [[w:de:Q-Q-Plot|Quantil-Quantil-Plots]] (auch Normal-Quantil-Plots oder kurz Q-Q-Plots) ist eine einfache grafische Überprüfung auf Normalverteilung möglich.<br />Mit der Maximum-Likelihood-Methode können die Parameter <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> der Normalverteilung geschätzt und die empirischen Daten mit der angepassten Normalverteilung grafisch verglichen werden. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (1)== <!--{{Hauptartikel|Normalverteilungsmodell}}--> Viele der statistischen Fragestellungen, in denen die Normalverteilung vorkommt, sind gut untersucht. Wichtigster Fall ist das sog. Normalverteilungsmodell, in dem man von der Durchführung von <math>n</math> unabhängigen und normalverteilten Versuchen ausgeht. Es existieren drei Fälle: * der Erwartungswert ist unbekannt und die Varianz bekannt * die Varianz ist unbekannt und der Erwartungswert ist bekannt * Erwartungswert und Varianz sind unbekannt. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (2)== Je nachdem, welcher dieser Fälle auftritt, ergeben sich verschiedene [[w:de:Schätzfunktion|Schätzfunktionen]], [[w:de:Konfidenzbereich|Konfidenzbereiche]] oder Tests. Diese sind detailliert im Hauptartikel Normalverteilungsmodell zusammengefasst. Dabei kommt den folgenden Schätzfunktionen eine besondere Bedeutung zu: == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (3)== Das [[w:de:Stichprobenmittel|Stichprobenmittel]] :<math> \overline X =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i </math> ist ein [[w:de:Erwartungstreue|erwartungstreuer]] [[w:de:Punktschätzer|Schätzer]] für den unbekannten Erwartungswert sowohl für den Fall einer bekannten als auch einer unbekannten Varianz. Er ist sogar der [[w:de:Bester erwartungstreuer Schätzer|beste erwartungstreue Schätzer]], d.&nbsp;h. der Schätzer mit der kleinsten Varianz. Sowohl die [[w:de:Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Methode]] als auch die [[w:de:Momentenmethode|Momentenmethode]] liefern das Stichprobenmittel als Schätzfunktion. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (4)== Die unkorrigierte [[w:de:Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)|Stichprobenvarianz]] :<math>V(X)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2</math> ist ein erwartungstreuer Schätzer für die unbekannte Varianz bei gegebenem Erwartungswert <math>\mu_0 </math>. Auch sie kann sowohl aus der Maximum-Likelihood-Methode als auch aus der Momentenmethode gewonnen werden. == Parameterschätzung, Konfidenzintervalle und Tests (5)== Die [[w:de:korrigierte Stichprobenvarianz|korrigierte Stichprobenvarianz]] :<math>V^*(X)=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline X)^2</math> ist ein erwartungstreuer Schätzer für die unbekannte Varianz bei unbekanntem Erwartungswert. == Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen == Alle folgenden Verfahren erzeugen standardnormalverteilte Zufallszahlen. Durch lineare Transformation lassen sich hieraus beliebige normalverteilte Zufallszahlen erzeugen: Ist die Zufallsvariable <math>x \sim \mathcal{N}(0,1)</math>-verteilt, so ist <math>a \cdot x + b</math> schließlich <math>\mathcal{N}(b,a^2)</math>-verteilt. === Box-Muller-Methode === Nach der [[w:de:Box-Muller-Methode|Box-Muller-Methode]] lassen sich zwei unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> aus zwei unabhängigen, [[w:de:Gleichverteilung|gleichverteilten]] Zufallsvariablen <math>U_1,U_2 \sim U(0,1)</math>, sogenannten [[w:de:Standardzufallszahl|Standardzufallszahlen]], simulieren: :<math>X= \cos( 2 \pi U_1) \sqrt{-2\ln U_2}</math> und :<math>Y = \sin ( 2 \pi U_1 ) \sqrt{-2 \ln U_2}.</math> === Polar-Methode === <!--{{Hauptartikel|Polar-Methode}}--> Die Polar-Methode von [[w:de:George Marsaglia|George Marsaglia]] ist auf einem Computer noch schneller, da sie keine Auswertungen von trigonometrischen Funktionen benötigt: * Erzeuge zwei voneinander unabhängige, im Intervall <math> [ -1, 1 ] </math> gleichverteilte Zufallszahlen <math>u_1</math> und <math>u_2</math> * Berechne <math>q=u_1^2+u_2^2</math>. Falls <math>q = 0</math> oder <math>q \geq 1</math>, gehe zurück zu Schritt 1. * Berechne <math>p = \sqrt {\frac{-2 \cdot \ln q}{q}}</math>. * <math>x_i=u_i \cdot p</math> für <math>i=1,2</math> liefert zwei voneinander unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math>. <!-- #Generiere zwei gleichverteilte Zufallsvariablen <math>u_1,u_2 = U(0,1)</math> #Berechne <math>v=(2u_1-1)^2+(2u_2-1)^2</math>. Falls <math>v \ge 1</math> wiederhole 1. #<math>x=(2u_1-1)(-2\log v /v)^{1/2}</math> --> === Zwölferregel (1)=== Der [[w:de:Zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]] besagt, dass sich unter bestimmten Voraussetzungen die Verteilung der Summe [[w:de:Unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängig, identisch verteilter Zufallszahlen]] einer Normalverteilung nähert. Ein Spezialfall ist die [[w:de:Zwölferregel|Zwölferregel]], die sich auf die Summe von zwölf Zufallszahlen aus einer Gleichverteilung auf dem Intervall [0,1] beschränkt und bereits zu passablen Verteilungen führt. === Zwölferregel (2)=== Allerdings ist die geforderte Unabhängigkeit der zwölf Zufallsvariablen <math>X_i</math> bei den immer noch häufig verwendeten [[w:de:Kongruenzgenerator#Linearer Kongruenzgenerator|Linearen Kongruenzgeneratoren (LKG)]] nicht garantiert. Im Gegenteil wird vom [[w:de:Spektraltest|Spektraltest]] für LKG meist nur die Unabhängigkeit von maximal vier bis sieben der <math>X_i</math> garantiert. Für numerische Simulationen ist die Zwölferregel daher sehr bedenklich und sollte, wenn überhaupt, dann ausschließlich mit aufwändigeren, aber besseren Pseudo-Zufallsgeneratoren wie z.&nbsp;B. dem [[w:de:Mersenne-Twister|Mersenne-Twister]] (Standard in [[w:de:Python (Programmiersprache)|Python]], [[w:de:GNU R|GNU R]]) oder [[w:de:WELL|WELL]] genutzt werden. Andere, sogar leichter zu programmierende Verfahren, sind daher i.&nbsp;d.&nbsp;R. der Zwölferregel vorzuziehen. === Verwerfungsmethode === Normalverteilungen lassen sich mit der [[w:de:Verwerfungsmethode|Verwerfungsmethode]] (siehe dort) simulieren. == Anwendungen außerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung == Die Normalverteilung lässt sich auch zur Beschreibung nicht direkt stochastischer Sachverhalte verwenden, etwa in der [[w:de:Physik|Physik]] für das [[w:de:Amplitude|Amplitudenprofil]] der [[w:de:Gauß-Strahl|Gauß-Strahlen]] und andere Verteilungsprofile. Zudem findet sie Verwendung in der [[w:de:Gabor-Transformation|Gabor-Transformation]]. == Siehe auch == * [[w:de:Additives weißes gaußsches Rauschen|Additives weißes gaußsches Rauschen]] * [[w:de:Lineare Regression|Lineare Regression]] * [[w:de:Normalverteilung|Normalverteilung]] * [[w:de:Produktregel|Produktregel]] * [[Taylorreihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Literatur == * Stephen M. Stigler: ''The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900.'' Belknap Series. Harvard University Press, 1986. ISBN 9780674403413. == Weblinks == {{Commonscat|Normal distribution|Normalverteilung}} {{Wikibooks|Statistik: Normalverteilung|Anschauliche Darstellung der Normalverteilung}} * [http://matheguru.com/stochastik/normalverteilung.html Anschauliche Erklärung der Normalverteilung mit interaktivem Graphen] * [http://www.madeasy.de/2/gauss.htm Darstellung mit Programmcode] in [[w:de:Visual Basic|Visual Basic]] * [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/no.php?language=deutsch Online-Rechner Normalverteilung] == Einzelnachweise == <references> </references> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik/Normalverteilung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung Normalverteilung] https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung * Datum: 15.1.2019 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] safa5lttwu7omu1trp8hzxtss5f9eh0 0 128943 1076246 1075936 2026-03-31T04:58:04Z Jeb 26942 31.3. 1076246 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] oa01esgilxpjcbmink2iucxsrtgpzk4 106 156632 1076248 1068159 2026-03-31T08:09:25Z Bert Niehaus 20843 1076248 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lehrveranstaltung werden mathematischen Methoden und Algorithmen behandelt, auf denen das maschinelle Lernen basiert. Das Treffen von Vorhersagen durch Regressionsverfahren, das Erlernen von Entscheidungsregeln, die Grundlagen Neuronaler Netze sowie das Auffinden von zusammenhängenden Strukturen (Cluster) in Datensätzen werden dabei als Aufgabenbeispiele verwendet. Neben den theoretischen Betrachtungen werden auch Beispiele an Hand von Jupyter Notebooks in der Programmiersprache Python bzw. R untersucht und darin die gelernten Methoden implementiert. Die Veranstaltung beginnt mit einer Zusammenfassung der benötigten mathematischen Vorkenntnisse der Oberstufe und alle weiteren benötigte Kenntnisse werden davon ausgehend aufgebaut. == Kapitel 0 - Mathematische Vorkenntnisse == In diesem Kapitel werden einige grundlegende mathematische Methoden aufbereitet. Es wird dazu auf Konzepte aus der gymnasialen Oberstufe eingegangen und darauf aufgebaut. Zu den behandelten Themen zählen das Bilden von Ableitungen und Auffinden von Extremstellen, der Umgang mit Vektoren und das Beschreiben von Ebenen im Raum sowie den Abstand von Punkten zu diesen Ebenen. Dazu werden Matrizen und ihre Wirkung auf Vektoren diskutiert. * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Ableitungen|Ableitungen]]''' * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Vektoren|Vektoren]]''' * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Matrizen|Matrizen]]''' == Kapitel 1 - Grundlagen des maschinellen Lernens == In diesem Kapitel werden einige grundlegende Begriffe des maschinellen Lernens vorgestellt und diskutiert. === 1.1 Begriffsklärung === * '''[[Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Maschinelles%20Lernen&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen/Grundbegriffe des maschinellen Lernens|Grundbegriffe des maschinellen Lernens]]''' * '''[[Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]]''' - Begriffsklärung - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=K%C3%BCnstliche%20Intelligenz&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=K%C3%BCnstliche%20Intelligenz&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Neuroinformatik|Neuroinformatik]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Neuroinformatik&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Neuroinformatik&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === 1.2 Daten === * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen/Trainingsdaten|Trainingsdaten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Maschinelles%20Lernen/Trainingsdaten&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Trainingsdaten&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen/Testdaten|Testdaten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Maschinelles%20Lernen/Testdaten&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Testdaten&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen/Hypothesen aus Daten ableiten|Hypothesen aus Daten ableiten]]''' === 1.3 Grundlegende Werkzeuge === * '''[[Assoziative Netze|Assoziative Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Assoziative%20Netze&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Assoziative%20Netze&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Stochastische Netze|Stochastische Netze]] ** [[Textanalyse und Textgenerierung]] * '''[[Maschinelles Lernen/Koaktivitätsmatrix|Koaktivitätsmatrix]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Koaktivit%C3%A4tsmatrix&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Koaktivit%C3%A4tsmatrix&coursetitle=Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Maschinelles Lernen/Hebbsche Lernregel|Hebbsche Lernregel]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen/Hebbsche%20Lernregel&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hebbsche%20Lernregel&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Fuzzylogik|Fuzzylogik]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzylogik&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Gleitender Mittelwert]]''' ==== Implementation ==== Für den Kurs gibt es ein GitHub-Repository ''[https://www.github.com/niebert/knitr4education knitr4education]''<ref>Bert Niehaus (2018) knitr4education - URL: https://www.github.com/niebert/knitr4education (2025/05/26)</ref>. Das Repositorium enthält die Demodatei für Wikiversity-Lerneinheiten. * [[/Daten laden und speichern/]] * [[Kurs:KnitR/Laden_und_Speichern|Laden und Speichern]] aus dem [[KnitR|Kurs zu KnitR]] * [[b:de:GNU_R:_Matrix-_und_Listenoperationen#Beispiel_-_Matrixmultiplikation|Matrixmultiplikation in R]] * [[Maxima CAS/Matrixmultiplikation|Matrixmultiplikation in Maxima]] * [[Kurs:Didaktik_der_Stochastik_für_Lernumgebungen/Technische_Umsetzung/Fuzzylogik_für_Aufgaben|Fuzzylogik für Aufgaben in R]] == Kapitel 2 - Einfache Regressionsverfahren == In diesem Kapitel wird darauf eingegangen, wie sich mit den Methoden der linearen Regression einfache Modelle zur Vorhersage einer kontinuerlichen Ausgabevariable erstellen lassen. Dies wird auf höherdimensionale und nicht lineare Probleme durch Feature Engineering erweitert. In einem Jupyter Notebook werden die entsprchenden Themen abschließend implementiert und an konkreten Beispielen erprobt. * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen/Lineare Regression in einer Dimension|Lineare Regression in einer Dimension]]''' * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen/Lineare Regression in d Dimension|Lineare Regression in d Dimension]]''' * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen/Feature Engineering|Feature Engineering]]''' ** [https://github.com/MarkEich96/Maschinelles-Lernen-SoSe-2024/blob/main/Einfache%20Regressionsverfahren.ipynb Jupyter Notebook zu linearen Regressionen] * '''[[Gradient (Mathematik)|Gradient]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradient%20(Mathematik)&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradient%20(Mathematik)&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[b:de:GNU R: lm|Regressionsanalyse in R]]''' * '''[[Mehrdimensionale lineare Regression/Schätzfunktion - eindimensional|Schätzfunktion - eindimensional]] * '''[[Mehrdimensionale lineare Regression|Mehrdimensionale lineare Regression]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Mehrdimensionale%20lineare%20Regression&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mehrdimensionale%20lineare%20Regression&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Mehrdimensionale lineare Regression/Rechenbeispiel|Rechenbeispiel - mehrdimensionale lineare Regression]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Mehrdimensionale%20lineare%20Regression/Rechenbeispiel&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechenbeispiel&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Mehrdimensionale lineare Regression/Implementation R|Implementation in R]] == Kapitel 3 - Klassifikationsverfahren == In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Klassifikationsverfahren besprochen. Zunächst wird darauf eingegangen, wie dies durch einen einfachen Gradientenabstieg erfolgen kann und an einigen Beispielen mit einem Jupyter Notebook implementiert. Danach wird auf die spezielle Methode der Support Vector Machines eingegangen, die versuchen, eine möglichst gute Lösung im Versionspace zu finden. * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen%20(SoSe%202024)&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen%20(SoSe%202024) Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Klassifikation mittels Gradientenabstieg|Klassifikation mittels Gradientenabstieg]]''' *'''[https://github.com/MarkEich96/Maschinelles-Lernen-SoSe-2024/blob/main/Klassifikationsverfahren.ipynb Jupyter Notebook zu Klassifikationsverfahren mittels Gradientenabstieg]''' * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen/Klassifikation mittels Support Vector Machines|Klassifikation mittels Support Vector Machines]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Maschinelles%20Lernen/Klassifikation%20mittels%20Support%20Vector%20Machines&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Klassifikation%20mittels%20Support%20Vector%20Machines&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Klassifikation - elementares Beispiel/]] ** [[/Fuzzy-Klassifikation/]] ** [[Fuzzylogik/Dichten_und_Zugehörigkeitsfunktionen|Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen]] ** Implementation in R<ref>Niehaus, Bert (2025) knitr4education - File: demo_17_support_vector_machine.Rmd - GitHub-Repository - URL https://github.com/niebert/knitr4education/blob/main/de/demo_17_support_vector_machine.Rmd - (accessed 2025-07-09)</ref> === Implementation - Digitale Lernumgebungen === Die folgenden Beispiele zielen auf einführende Beispiel zu Klassifikation und Nutzung in [[Digitale Lernumgebung|digitalen adaptiven Lernumgebungen]], die sich an die Lernvoraussetzungen anpassen * [[Digitale Lernumgebung/automatische Notenberechnung|Notengebung mit Bestehensgrenze]] als elementare Klassifikation * Fuzzy-Klassifikation für die Auswahl == Kapitel 4 - Neuronale Netze == In diesem Kapitel wird eine kleine Einführung in Neuronale Netze gegeben. Es wird behandelt, wie sie aufgebaut und mathematisch als eine Verkettung von Funktionen aufgefasst werden können. Auch wie sich Neuronale Netze ressourcenschonend durch Backpropagation trainieren lassen, soll hier behandelt werden. Schlussendlich werden die gelernten Konzepte in einem Jupyter Notebook an Beispielen erprobt. * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Grundidee der Neuronalen Netze|Grundidee der Neuronalen Netze]]''' * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Neuronale Netze trainieren|Neuronale Netze trainieren]]''' *'''[https://github.com/MarkEich96/Maschinelles-Lernen-SoSe-2024/blob/main/Neuronale%20Netze.ipynb Jupyter Notebook zu Backpropagation Network]''' * '''[[Selbstorganisierende Karte|Kohonennetze / Selbstorganisierende Karte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Selbstorganisierende%20Karte&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Selbstorganisierende%20Karte&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Kapitel 5 - Unüberwachtes Lernen == In diesem Kapitel soll nur die Clusteranalyse an Hand des k-Means- und DBSCAN-Algorithmus untersucht werden. Zum Trainieren künstlicher Intelligenz bedarf es häufig großer Datenmengen. Rohe Daten ohne Label sind dabei wesentlich leichter zu beschaffen als Daten mit Labeln. Daher bietet es sich an, Algorithmen zu entwickeln, die in der Lage sind, zusammenhängende Strukturen (Cluster) in den Datenpunkten zu finden. * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/k-Means Algorithmus|k-Means Algorithmus]]''' * '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/DBSCAN|DBSCAN]]''' *'''[https://github.com/MarkEich96/Maschinelles-Lernen-SoSe-2024/blob/main/Clustering.ipynb Jupyter Notebook zu Methoden der Clusteranalyse]''' == KnitR zur Dokumentengenerierung == Die folgenden Folien beziehen sich auf die dynamische Dokumentengenerierung in [[KnitR]]. * '''[[KnitR/Computer Algebra in R|KnitR/Computer Algebra in R]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=KnitR/Computer%20Algebra%20in%20R&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=KnitR/Computer%20Algebra%20in%20R&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Weiterführende Literatur == Hier soll eine kleine Auswahl an Lehrbüchern und weiteren Lernressourcen gegeben werden. ===Bücher zu maschinellem Lernen === * ''Data Science - Grundlagen, Statistik und maschinelles Lernen'', Matthias Plaue, Springer Spektrum Berlin, (2021), [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-63489-9#toc] * ''Statistisches und maschinelles Lernen - Gängige Verfahren im Überblick'', Stefan Richter, Springer Spektrum Berlin, (2019), [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-59354-7] * ''Statistik und maschinelles Lernen - Eine mathematische Einführung in klassische und moderne Methoden'', Mathias Trabs, Moritz Jirak, Konstantin Krenz, Markus Reiß, Springer Spektrum Berlin, (2021), [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-62938-3] * Raul Rojas (1996) Neural Networks, Springer Verlag URL: https://www.inf.fu-berlin.de/inst/ag-ki/rojas_home/documents/1996/NeuralNetworks/neuron.pdf === Python Pakete === * Tensorflow (EN) [https://www.tensorflow.org/] * PyTorch (EN) [https://pytorch.org/] * Keras (EN) [https://keras.io/] == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Maschinelles_Lernen|Wikiversity - Maschinelles Lernen]] * [[w:de:Maschinelles_Lernen| Wikipedia - Maschinelles Lernen]] * [[Digitale Lernumgebung|Digitale Lernumgebungen]] * [[Kurs:Ethik und Digitalisierung]] * [[KnitR]] * [[Maschinelles Lernen]] * [[w:de:Rectifier (neuronale Netzwerke)|RELU Rectifier - Funktion]] if41n1ddi5utq7yszcbxnyf52wjuppp 106 160956 1076232 1075481 2026-03-30T16:13:01Z Bert Niehaus 20843 1076232 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) <math>f(z)=\frac{1}{z} </math> [[/Vorgehen/|lokal in Potenzreihen]] entwickeln und [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] über [[w:de:geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] bestimmen, die auch für die Reihendarstellung des [[Logarithmus]] wesentlich ist. * (2) Dichte der [[/Standardnormalverteilung/]] <math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}</math> in Potenzreihe in <math>\mathbb{C}</math> entwickeln. * (3) [[/Cauchy-Dichte/]] <math>f(z)=c\cdot \frac{1}{1+z^2} </math> in eine Potenzreihe in <math>\mathbb{C}</math> entwickeln. === Grundlegendes Vorgehen === Ziel des Vorgehens ist es eine Darstellung des Grenzwertes <math>\frac{1}{1-q}</math> einer geometrischen Reihe zu erzeugen. Dabei soll <math>q</math> die folgende Darstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> besitzen: :<math> q:=c\cdot (z-z_o) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{c^n \cdot (z-z_0)^n}_{=q^n} {}_{,} </math> Mit der geometrischen Reihe kann man alle Koeffizienten <math>c_n:= c^n \in \mathbb{C}</math> auch direkt angeben, ohne für die darstellende [[Taylorreihe]] die Koeffizienten <math>c_n = \frac{f^{(n)}(z_o)}{n!}</math> einzeln berechnen zu können. === Zielsetzung === Diese Lernressource behandelt Beispiele für Potenzreihenentwicklungen hat das Ziel, Werkzeuge aus der Analysis und Reihenentwicklung auf Potenzreihen zu übertragen. In der Funktionentheorie<ref>Jänich, K. (2004). Funktionentheorie. Springer Berlin Heidelberg.</ref> spielt die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}=z^{-1}</math> bzw. der Koeffizient <math>(z-z_o)^{-1}</math> in der [[Laurent-Reihe]] eine besondere Rolle (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]). Auf <math> \mathbb{C}/\{0\} </math> ist <math>f</math> holomorph und damit lokal in Potenzreihen entwickelbar. In dieser Lerneinheit wird diese lokale Entwicklung in Potenzreihen über [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihen]]<ref>Heuser, H. (2013). Lehrbuch der Analysis: Teil 1. Springer-Verlag.</ref> behandelt. Ferner wird über die Darstellung deutlich, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe der Abstand zwischen dem Entwicklungspunkt <math> z_o \not= 0</math> und der [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularität]] 0 ist. === Geometrische Reihe === Die Reihe <math>f(z):= \sum_{n=0}^\infty z^n = \sum_{n=0}^\infty (z-0)^n</math> ist ein Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0 und zusätzlich eine geometrische Reihe mit dem Grenzwert <math> \frac{1}{1-z} </math>. Daher stellt die Potenzreihe <math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z} </math> eine Potenzreihenentwicklung von <math> f(z)=\frac{1}{1-z} </math> mit Entwicklungspunkt 0 dar, falls <math>|z|<1 </math>. == Aufgaben für Studierende == Bestimmen Sie für das obige Beispiele der Potenzreihenentwicklungen von <math> f(z)=\frac{1}{1-z} </math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o = i </math> die ersten 3 Koeffizienten der Taylorreihenentwicklung über <math> a_n := \frac{f^{(n)}(i)}{n!} </math>. == Beispiel == In dem folgenden Beispiel wird <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in eine Potenzreihenentwicklung mit Entwicklungspunkt <math>z_o = i</math> transformiert. Auch in diesem Fall wird die geometrische Reihe verwendet, um nicht alle Koeffizenten der Taylorentwicklung jeweils einzeln über <math>f^{(n)}(i)</math> berechnen zu müssen. === Umformung in Potenzreihe === :<math> \begin{array}{rcl} \frac{1}{z} & = & -\frac{1}{-z} = - \frac{1}{(i-i)-z} = -\frac{1}{-i-z+i} \\ & = & - \frac{1}{-i-(z-i)} = - \frac{1}{-i\cdot \left(1-\frac{z-i}{-i}\right)} \\ & = & - \underbrace{ \frac{1}{-i}}_{=i} \cdot \frac{1}{ \left(1-\frac{z-i}{-i}\right)} = -i \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{z-i}{-i}\right)^n \\ & = & \displaystyle - i \cdot \sum_{n=0}^{\infty} {\underbrace{ \left( \frac{1}{-i} \right) }_{=i} }^n \cdot (z-i)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \underbrace{ - i^{n+1} }_{=a_n} \cdot (z-i)^n \end{array} </math> === Konvergenzradius === Die Reihe konvergiert für alle <math>z\in\mathbb{C}</math> mit <math> |z-i| < 1 </math> mit <math>|a_n|= 1 </math>. Dieses Vorgehen für <math>i</math> wird im Folgenden für einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_o \not=0 </math> verallgemeinert. == Aufgabe == Verallgemeinern Sie das obige Beispiel für eine lokale Taylorreihenentwicklung von <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> um einen beliebigen Punkt <math>z_o \in\mathbb{C}</math> mit <math>z_o \not=0 </math>. Geben Sie dazu auch den jeweilgen Konvergenzradius der Kreischeibe an, auf der die Potenzreihe konvergiert. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Residuum]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Potenzreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Examples for Power Series]]</noinclude> 3p8u8m92djnp6bnkym3irvun7im1m6y 1076233 1076232 2026-03-30T16:18:29Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1076233 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) <math>f(z)=\frac{1}{z} </math> [[/Vorgehen/|lokal in Potenzreihen]] entwickeln und [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] über [[w:de:geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] bestimmen, die auch für die Reihendarstellung des [[/Logarithmus/]] wesentlich ist. * (2) Dichte der [[/Standardnormalverteilung/]] <math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}</math> in Potenzreihe in <math>\mathbb{C}</math> entwickeln. * (3) [[/Cauchy-Dichte/]] <math>f(z)=c\cdot \frac{1}{1+z^2} </math> in eine Potenzreihe in <math>\mathbb{C}</math> entwickeln. === Grundlegendes Vorgehen === Ziel des Vorgehens ist es eine Darstellung des Grenzwertes <math>\frac{1}{1-q}</math> einer geometrischen Reihe zu erzeugen. Dabei soll <math>q</math> die folgende Darstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> besitzen: :<math> q:=c\cdot (z-z_o) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{c^n \cdot (z-z_0)^n}_{=q^n} {}_{,} </math> Mit der geometrischen Reihe kann man alle Koeffizienten <math>c_n:= c^n \in \mathbb{C}</math> auch direkt angeben, ohne für die darstellende [[Taylorreihe]] die Koeffizienten <math>c_n = \frac{f^{(n)}(z_o)}{n!}</math> einzeln berechnen zu können. === Zielsetzung === Diese Lernressource behandelt Beispiele für Potenzreihenentwicklungen hat das Ziel, Werkzeuge aus der Analysis und Reihenentwicklung auf Potenzreihen zu übertragen. In der Funktionentheorie<ref>Jänich, K. (2004). Funktionentheorie. Springer Berlin Heidelberg.</ref> spielt die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}=z^{-1}</math> bzw. der Koeffizient <math>(z-z_o)^{-1}</math> in der [[Laurent-Reihe]] eine besondere Rolle (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]). Auf <math> \mathbb{C}/\{0\} </math> ist <math>f</math> holomorph und damit lokal in Potenzreihen entwickelbar. In dieser Lerneinheit wird diese lokale Entwicklung in Potenzreihen über [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihen]]<ref>Heuser, H. (2013). Lehrbuch der Analysis: Teil 1. Springer-Verlag.</ref> behandelt. Ferner wird über die Darstellung deutlich, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe der Abstand zwischen dem Entwicklungspunkt <math> z_o \not= 0</math> und der [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularität]] 0 ist. === Geometrische Reihe === Die Reihe <math>f(z):= \sum_{n=0}^\infty z^n = \sum_{n=0}^\infty (z-0)^n</math> ist ein Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0 und zusätzlich eine geometrische Reihe mit dem Grenzwert <math> \frac{1}{1-z} </math>. Daher stellt die Potenzreihe <math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^n=\frac{1}{1-z} </math> eine Potenzreihenentwicklung von <math> f(z)=\frac{1}{1-z} </math> mit Entwicklungspunkt 0 dar, falls <math>|z|<1 </math>. == Aufgaben für Studierende == Bestimmen Sie für das obige Beispiele der Potenzreihenentwicklungen von <math> f(z)=\frac{1}{1-z} </math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o = i </math> die ersten 3 Koeffizienten der Taylorreihenentwicklung über <math> a_n := \frac{f^{(n)}(i)}{n!} </math>. == Beispiel == In dem folgenden Beispiel wird <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in eine Potenzreihenentwicklung mit Entwicklungspunkt <math>z_o = i</math> transformiert. Auch in diesem Fall wird die geometrische Reihe verwendet, um nicht alle Koeffizenten der Taylorentwicklung jeweils einzeln über <math>f^{(n)}(i)</math> berechnen zu müssen. === Umformung in Potenzreihe === :<math> \begin{array}{rcl} \frac{1}{z} & = & -\frac{1}{-z} = - \frac{1}{(i-i)-z} = -\frac{1}{-i-z+i} \\ & = & - \frac{1}{-i-(z-i)} = - \frac{1}{-i\cdot \left(1-\frac{z-i}{-i}\right)} \\ & = & - \underbrace{ \frac{1}{-i}}_{=i} \cdot \frac{1}{ \left(1-\frac{z-i}{-i}\right)} = -i \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{z-i}{-i}\right)^n \\ & = & \displaystyle - i \cdot \sum_{n=0}^{\infty} {\underbrace{ \left( \frac{1}{-i} \right) }_{=i} }^n \cdot (z-i)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \underbrace{ - i^{n+1} }_{=a_n} \cdot (z-i)^n \end{array} </math> === Konvergenzradius === Die Reihe konvergiert für alle <math>z\in\mathbb{C}</math> mit <math> |z-i| < 1 </math> mit <math>|a_n|= 1 </math>. Dieses Vorgehen für <math>i</math> wird im Folgenden für einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_o \not=0 </math> verallgemeinert. == Aufgabe == Verallgemeinern Sie das obige Beispiel für eine lokale Taylorreihenentwicklung von <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> um einen beliebigen Punkt <math>z_o \in\mathbb{C}</math> mit <math>z_o \not=0 </math>. Geben Sie dazu auch den jeweilgen Konvergenzradius der Kreischeibe an, auf der die Potenzreihe konvergiert. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Residuum]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihe]] * [[Open Educational Resources]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Potenzreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Examples for Power Series]]</noinclude> 6o6fn862ztdrw92b0h2y1qrxm3tgw1m 0 163852 1076249 1064195 2026-03-31T10:21:44Z C.Koltzenburg 13981 1076249 wikitext text/x-wiki Hier stehen erste Sätze aus verschiedenen Anamneseberichten. Um welche VD könnte es jeweils gehen? Welche DD kommen in Betracht? Üben Sie allein oder im Gespräch mit anderen. Viel Erfolg! = Rätsel 31 = Frau Burmeister, 78 Jahre, kam heute aus einem Altenpflegeheim mit massivem schwallartigen Erbrechen und wässriger Diarrhö zu uns. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 30 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit 6 Monaten bestehender dumpfer Knieschmerzen beidseitig (7/10 NRS), ohne Ausstrahlung. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 29 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Morgen bestehender akuter Tachykardie, Visusminderung und Tremor sowie Kälteintoleranz. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 28 = Frau X kam heute per RTW zu uns aufgrund seit 3 Tagen bestehender akuter dumpfer Oberbauchschmerzen links (7/10 NRS), ohne Ausstrahlung, von Tachykardie (seit dem Vortag), Husten (seit 2 Tagen), Beinödemen (abends) und Visusminderung (seit 2 Stunden) begleitet. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 27 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Tagen bestehender stechender Bauchschmerzen mittig (7-9/10 NRS), ohne Ausstrahlung, die sich nach Mahlzeiten verstärken. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 26 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einem Monat bestehenden anfallartigen nächtlichen Hustens mit schleimigem Sputum. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 25 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Tagen bestehender, plötzlich aufgetretener dumpfer Unterbauchschmerzen in der Mitte und links, mit Ausstrahlung in die linke Leiste. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 24 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit drei Wochen bestehenden, anfallartigen, produktiven Hustens sowie expiratorischer Dyspnoe. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 23 = VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 22 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Stunden bestehender, plötzlich aufgetretener, postprandialer, progredienter, krampfartiger Schmerzen im Epigastrium, mit Ausstrahlung nach rechts. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 21 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 2 Tagen bestehenden, plötzlich aufgetretenen trockenen Hustens sowie Abgeschlagenheit. Begleitend bestehen ziehende Toraxalgie beim Husten, Tachykardie und inspiratorische Dyspnoe. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 20 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Monaten bestehender, allmählich aufgetretener, postprandialer, brennender Oberbauchschmerzen links. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 19 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einer Woche bestehender, plötzlich aufgetretener, ziehender Unterbauchschmerzen in der Mitte. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 18 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Wochen bestehender, plötzlich aufgetretener, progredienter, stechender, postprandialer epigastrischer Schmerzen. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 17 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 24 Stunden bestehender, allmählich aufgetretener, progredienter, schneidender, diffuser Bauchschmerzen. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 16 = Herr X kam heute zu uns aufgrund seit 2 Monaten bestehender, indolenter, intermittierender Hämaturie, begleitet von Ödemen in den unteren Extremitäten. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 15 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 2 Jahren bestehenden ständigen produktiven Hustens mit weiß-gelblichem Sputum. Laut Patientin ist der Husten seit paar Tagen schlimmer. Begleitend besteht inspiratorische Dyspnoe. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 14 = Herr X kam zu uns aufgrund seit 5 Stunden bestehender, akuter, progredienter, drückender, kolikartiger Oberbauchschmerzen rechts. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 13 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit gestern bestehenden Hustens mit bräunlichem Sputum, inspiratorischer Dyspnoe sowie Fieber 39° C Grad (axillar gemesen). Außerdem berichtete die Patientin, Tachykardie und Thorakalgie, sowie Abgeschlagenheit seit 3-4 Tagen zu haben. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 12 = Herr x stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit gestern Nacht bestehenden, plötzlich aufgetretenen, anfallsartigen thorakalen Engegefühls sowie produktiven Hustens mit schleimigem, transparentem und zähem Sputum. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 11 = Frau x kam zu uns aufgrund seit vorgestern bestehender, erstmaliger, progedienter, stechender Bauchschmerzen (NRS 7/10) im unteren linken Quadranten, die sich beim Gehen verschlimmern, sich bei Wärme oder beim Vorbeugen verbessern und bis in den Rücken ausstrahlen. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 10 = Herr X stellte heute bei uns vor aufgrund seit 2 Stunden bestehender, plötzlich aufgetretener Thorakalgie links sowie Dyspnoe. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 9 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit einem Monat bestehender, dumpfer Schmerzen im ganzen Bauch, ohne Ausstrahlung, begleitet von progredienter Blähung, Übelkeit und Gewichtszunahme. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 8 = Herr X kam heute zu uns aufgrund seit 1 Stunde bestehender, stechender, progredienter, retrosternaler Schmerzen mit Ausstrahlung in den Rücken und den Bauch, begleitet von Dyspnoe und Tachykardie. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 7 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit 3 Tagen bestehender, progredienter, atemabhängiger Thoraxschmerzen links, mit Ausstrahlung in den linken Arm, begleitet von Tachykardie, Pyrexie und Husten. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 6 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einem Jahr bestehender Nykturie (müsse alle 2 Stunden nachts urinieren), sowie progredienter Harninkontinenz. Außerdem gab der Patient an, beim Wasserlassen die Harnblase nicht vollständig entleeren zu können und deswegen ein drückendes Gefühl im Becken zu haben. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 5 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit 2 Wochen bestehender, tastbarer, druckdolenter Raumforderung in der rechten Brust mit weiß-krümeligem Sekret. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 4 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 2 Wochen bestehender, allmählich aufgetretener, progredienter, kolikartiger Oberbauchschmerzen links. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 3 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit einer halben Stunde bestehender, zunehmender, stechender, belastungsabhängiger Schmerzen im rechten Unterschenkel, mit Ausstrahlung in den rechten Fuß. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 2 = Herr X kam heute notfallmäßig zu uns aufgrund vor 2 Stunden plötzlich aufgetretenen einmaligen, stechenden, dumpfen thorakalen Engegefühls, mit Ausstrahlung in den rechten Unterkiefer. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 1 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit dem Vortag bestehender, progredienter, anfallsartiger, pulsierender Cephalgie in der ganzen rechten Gesichtshälfte. VD: ...? DDs: ...? fzc8msn8aox76zo14om5zs36uq4a882 106 167873 1076230 1075865 2026-03-30T15:36:14Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen */ 1076230 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert, dass eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] unendlich oft differenzierbar ist. Damit wird es möglich, die Taylorkoeffizienten <math>a_n:=\frac{f^{(n)}(z_o)}{n!}</math> berechnen. == Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen == Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickelbar für <math>|z-z_o|<r</math>. :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Mit der Integralformel für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. == Beweis - Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen == Die Cauchy-Integralformel wird partiell nach <math>z</math> differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf. <math>\zeta</math> ist die Variable, nach der integriert wird und diese with bei der Ableitung als Konstante behandelt. Die <math>n</math>-Ableitung wird in der folgenden Notation als Differentialoperator <math> \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}</math> notiert. === Beiweisschritt 1 === Sei <math>U:= D_r(z_o)</math>, dann gilt: :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === Beweisschritt 2 - Cauchy-Kern === Entwicklung von <math>\frac{1}{\zeta-z}</math> in der Cauchy-Integralformel mit Hilfe der geometrischen Reihe ergibt ([[Cauchy-Kern]]) :<math> \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}_{=:q}} = \sum_{n=0}^{\infty} {\bigg(\underbrace{\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}_{=q} \bigg)}^{n} </math> Dabei gilt <math>|q| = \left| \frac{z-z_o}{\zeta-z_o} \right|< 1 </math> wegen <math>r= |\zeta-z_o| > |z-z_o| </math>, da <math> \zeta</math> auf dem Kreisrand liegt und <math>z</math> im Inneren des Kreisrandes. === Beweisschritt 3 - Cauchy-Kern - Taylorreihe === :<math>\begin{align} f|_{U}(z) & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o-(z-z_o)}\mathrm{d}\zeta \\ & {=} \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}\mathrm{d}\zeta\, \\ &\overset{|\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}|<1}{=} \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}\right)^{n}\mathrm{d}\zeta\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}\underbrace{\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_o)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{a_{n}}(z-z_o)^{n}\end{align}</math> === Beweisschritt 4 - Koeffizientenberechnung - Taylorreihe === Da für <math>|z-z_o|<|\zeta-z_o|=r</math> die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d.h. Summe und Integral vertauschen. Die Taylorkoeffizienten im Entwicklungspunkt <math>z_o</math> sind damit: :<math>\begin{align} a_{n} & =\frac{1}{n!}f^{(n)}|_{U}(z_o)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_o)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{(re^{\mathrm{i}t})^{n+1}} \cdot \mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\, \mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t}) \cdot e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t \end{align} </math> <math>\Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|Beispiele für die lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Cauchy-Kern]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben|Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 47y1jk5il5uu7eae8bcy3entfhxdy9w 1076231 1076230 2026-03-30T16:09:04Z Bert Niehaus 20843 1076231 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert, dass eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] unendlich oft differenzierbar ist. Damit wird es möglich, die Taylorkoeffizienten <math>a_n:=\frac{f^{(n)}(z_o)}{n!}</math> berechnen. == Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen == Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickelbar für <math>|z-z_o|<r</math>. :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Mit der Integralformel für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. == Beweis - Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen == Die Cauchy-Integralformel wird partiell nach <math>z</math> differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf. Die <math>n</math>-Ableitung wird in der folgenden Notation als Differentialoperator <math> \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}</math> notiert. === Beiweisschritt 1 === Sei <math>U:= D_r(z_o)</math>, dann gilt: :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === Beweisschritt 2 - Cauchy-Kern === Entwicklung von <math>\frac{1}{\zeta-z}</math> in der Cauchy-Integralformel mit Hilfe der geometrischen Reihe ergibt ([[Cauchy-Kern]]) :<math> \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}_{=:q}} = \sum_{n=0}^{\infty} {\bigg(\underbrace{\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}_{=q} \bigg)}^{n} </math> Dabei gilt <math>|q| = \left| \frac{z-z_o}{\zeta-z_o} \right|< 1 </math> wegen <math>r= |\zeta-z_o| > |z-z_o| </math>, da <math> \zeta</math> auf dem Kreisrand liegt und <math>z</math> im Inneren des Kreisrandes. === Beweisschritt 3 - Cauchy-Kern - Taylorreihe === :<math>\begin{align} f|_{U}(z) & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o-(z-z_o)}\mathrm{d}\zeta \\ & {=} \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}}\mathrm{d}\zeta\, \\ &\overset{|\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}|<1}{=} \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-z_o}{\zeta-z_o}\right)^{n}\mathrm{d}\zeta\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}\underbrace{\left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_o)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{a_{n}}(z-z_o)^{n}\end{align}</math> === Beweisschritt 4 - Koeffizientenberechnung - Taylorreihe === Da für <math>|z-z_o|<|\zeta-z_o|=r</math> die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d.h. Summe und Integral vertauschen. Die Taylorkoeffizienten im Entwicklungspunkt <math>z_o</math> sind damit: :<math>\begin{align} a_{n} & =\frac{1}{n!}f^{(n)}|_{U}(z_o)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial D_{r}(z_o)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_o)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{(re^{\mathrm{i}t})^{n+1}} \cdot \mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\, \mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t}) \cdot e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t \end{align} </math> <math>\Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|Beispiele für die lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Cauchy-Kern]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben|Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; <noinclude>[[en:Complex Analysis/Representation with Taylor Series]]</noinclude> [[Category:Wiki2Reveal]] e5ud3e80eqs8m8d0aqiy1tlp5a0up4z 106 167918 1076234 1063723 2026-03-30T16:23:33Z Bert Niehaus 20843 /* Konvergenzradius der Reihe */ 1076234 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel der Lerneinheit ist die Entwicklung der Dichte der [[Cauchy-Verteilung]] in eine Potenzreihe. Damit kann die Dichte der [[Cauchy-Verteilung]] in den komplexen Zahlen und damit auch in den reellen Zahlen summandenweise in der Potenzreihe integriert werden kann. === Cauchy-Dichtefunktion === Allgemein hat die [[Cauchy-Verteilung]] die folgende [[w:de:Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] mit <math>\gamma > 0</math> und <math> x_o\in \mathbb{R}</math> : <math> f_{x_o,\gamma}(x) = \frac{1}{\pi\cdot \gamma} \cdot \frac{1}{1 + \left( \frac{x-x_o}{\gamma} \right)^2} \quad \text{für} -\infty < x < +\infty </math> Der Vorfaktor <math>\frac{1}{\pi\cdot \gamma} </math> legt das Maximum der Glockenkurve an der Stelle <math>x_o\in \mathbb{R}</math> fest. === Graph der Dichtefunktion === [[Bild:Cauchy pdf.svg|center|280px|Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung]] Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung für verschiedene Werte der beiden Parameter <math>x_o</math> und <math>\gamma</math>. Dabei wirkt <math>\gamma > 0 </math> wie ein Streuparameter für die Verteilung und <math>x_o</math> aus Definition der Dichtefunktion die Stelle auf der <math>x</math>-Achse fest, an dem das Maximum der Cauchy-Dichte angenommen wird. === Vereinfachte Dichtefunktion === Man betrachtet zunächst die vereinfachte Dichtefunktion mit <math>\gamma:= 1</math> und <math>z_o:=0</math>. <math> f(z) = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{1}{(1 + z^2)} </math> Um diese Funktion in eine Potenzreihe zu entwickeln, zerlegt man nun den Nenner in die Linearfaktoren: <math> 1 + z^2 = (z - i)\cdot (z + i) </math> Die Dichte der Cauchy-Verteilung kann dann geschrieben werden als: <math> f(z) = \frac{1}{\pi}\cdot \frac{1}{(z - i)\cdot (z + i)} </math> == Potenzreihenentwicklung == Es werden zwei Vorgehen zur Potenzreihenentwicklung gezeigt: * [[/Hilfssatz/]] als Aufgabe für Studierende * [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt]] von zwei Potenzreihen, * [[w:de:Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]] === Cauchy-Produkt von Potenzreihen === Die Produktzerlegung für die beiden Nullstellen führt zur folgenden Darstellung :<math> \frac{1}{z^2 + 1} = \frac{1}{\underbrace{(z - i)\cdot (z + i)}_{=z^2+1}} = \frac{1}{z - i} \cdot \frac{1}{z + i} </math> Der 1. und 2. Bruch werden separat in eine Potenzreihendarstellung überführt und dann mit dem Cauchy-Produkt für Potenzreihen multipliziert. ==== Summand 1 als Potenzreihe ==== Der Summand wird in eine Darstellung <math>\frac{1}{1-q}</math> überführt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{1}{z - i} & = & \displaystyle -\frac{1}{i - z} = -\frac{1}{i \underbrace{- z_o + z_o}_{=0} - z} \\ & = & \displaystyle -\frac{1}{i - z_o - (z-z_o)} \\ & = & \displaystyle -\frac{1}{i - z_o} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z-z_o}{\underbrace{i - z_o}_{=q}}} = - \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(i - z_o)^{n+1}} (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> ==== Summand 2 als Potenzreihe ==== Analog wird auch der zweite Summand in eine Darstellung <math>\frac{1}{1-q}</math> überführt und als geometrische Reihe dargestellt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{1}{z + i} & = & \displaystyle -\frac{1}{-i - z} = -\frac{1}{-i \underbrace{- z_o + z_o}_{=0} - z} \\ & = & \displaystyle -\frac{1}{-i - z_o - (z-z_o)} \\ & = & \displaystyle -\frac{1}{-i - z_o} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z-z_o}{\underbrace{-i - z_o}_{=q}}} = - \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(-i - z_o)^{n+1}} (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> ==== Cauchy-Produkt der Potenzreihen ==== Das Cauchy-Produkt der Potenzreihen liefert die folgende Darstellung der Dichtefunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{1}{z - i} \cdot \frac{1}{z + i} & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{1}{(i - z_o)^{k+1}} \cdot \frac{1}{(-i - z_o)^{n-k+1}} \cdot (z-z_o)^n \\ & = & \displaystyle \frac{1}{(1 + z_o^2)} \sum_{n=0}^\infty \underbrace{\sum_{k=0}^n \frac{1}{(i - z_o)^{k}} \cdot \frac{1}{(-i - z_o)^{n-k}} }_{=:c_n} \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> Man betrachtet nun mit <math>q:=\frac{1}{i - z_o}</math> und <math>\overline{q}=\frac{1}{-i - z_o}</math> mit <math>z_o \in \mathbb{R}</math>. ==== Berechnung der Koeffizienten ==== Man zeigt nun, dass <math>c_n\in \mathbb{R}</math> reellwertig ist und betrachtet dazu den Koeffizienten <math>c_n</math> allein, wobei man über <math>c_n\cdot \frac{1}{1+z_o^2}</math> den Koeffizienten der Taylorentwicklung von <math>f(z)=\frac{1}{1+z^2}</math> in dem Entwickungspunkt <math>z_o\in \mathbb{R}</math> erhält: :<math> c_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{(i - z_o)^{k}} \cdot \frac{1}{(-i - z_o)^{n-k}} = \sum_{k=0}^n q^{k} \cdot \overline{q}^{n-k} </math> ==== Summenformel 1==== Die folgende Summenformel wird auf den obigen Term angewendet, wobei <math>\lfloor x \rfloor </math> die [[w:de:Gaußklammer|Gaußklammer]] einer reellen Zahl <math> x</math> ist. Für <math> n > 1 </math> sei <math> N:=\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor </math>. ==== Summenformel 2==== Man verwendet nun die folgende Summenformel, die allgemein für <math>a,b\in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> \sum_{k=0}^{n} a^k\cdot b^{n-k} = \sum_{K=0}^{N} (-1)^K \cdot (a\cdot b)^{K}\cdot \begin{pmatrix} n - K \\ K \\ \end{pmatrix} \cdot (a+b)^{n-2\cdot K} </math> ==== Summenformel 3==== Setzt man für <math>a=q</math> und <math>b= \overline{q}</math> so erhält man: :<math> c_n:=\sum_{k=0}^{n} q^k\cdot \overline{q}^{n-k} = \sum_{K=0}^{N} (-1)^K \cdot (q\cdot \overline{q})^{K}\cdot \begin{pmatrix} n - K \\ K \\ \end{pmatrix} \cdot (q+\overline{q})^{n-2\cdot K} </math> wobei auf der rechten Gleichungsseite sichtbar wird, dass <math>c_n\in \mathbb{R}</math> gilt, denn neben <math>q\cdot \overline{q} = |q|^2</math> und <math>q+\overline{q} = 2\cdot Re(q) = 2\cdot q_1</math> mit <math>q=q_1 +i\cdot q_2 \in \mathbb{C}</math>. ==== Summenformel 4 ==== Ferner gilt für <math>q := \frac{1}{i-z_o}</math> und <math>z_o\in \mathbb{C}\setminus\{+ i,-i\}</math>: :<math> \overline{q} = \overline{\frac{1}{i-\overline{z_o}}} = \overline{\frac{-i-\overline{z_o}}{\underbrace{(-i-\overline{z_o})\cdot (i-z_o)}_{>0}}} = \frac{i-\overline{\overline{z_o}}}{(-i-\overline{z_o})\cdot (i-z_o)} = \frac{1}{-i-\overline{z_o}} </math> ==== Summenformel 5 ==== Insbesondere gilt für <math>z_o \in \mathbb{R}</math> auch <math>z_o\not=\pm i</math> und man erhält für <math>q := \frac{1}{i-z_o}</math> und <math>z_o\in \mathbb{R}</math> die konjugiert komplexe Zahl <math>\overline{q}</math> wie folgt: :<math> \overline{q} = \overline{\frac{1}{i-\overline{z_o}}} = \overline{\frac{-i-z_o}{\underbrace{(-i-z_o)\cdot (i-z_o)}_{>0}}} = \frac{i-z_o}{(-i-z_o)\cdot (i-z_o)} = \frac{1}{-i-z_o} </math> ==== Konvergenzradius ==== Die Reihe konvergiert für alle <math>z</math> mit <math>z_o\in\mathbb{R}</math>: :<math>1 > \left| \frac{z-z_o}{i - z_o} \right| = \frac{|z-z_o|}{|i-z_o|} = \frac{|z-z_o|}{\sqrt{1+z_o^2}}</math> also kann man über die Wahl von <math>z_0</math> den Konvergenzradius beliebig vergrößern :<math> |z-z_o| \leq \sqrt{1+z_o^2}</math> ==== Reeller Konvergenzbereich ==== Der Konvergenzbereich enthält auf der reellen Achse bei positivem <math>z_o</math> die Menge <math>[0,2z_0]</math> und bei negativem <math>z_0</math> zumindest <math>[-2z_0,0]</math>. === Partialbruchzerlegung === Um die Potenzreihe zu entwickeln, betrachten wir die Partialbruchzerlegung: <math> \frac{1}{(z - i)(z + i)} = \frac{A}{z - i} + \frac{B}{z + i} </math> ==== Koeffizientenvergleich 1 ==== Über den Vergleich der Zähler erhält man die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 1= 1+0i & = & A(z + i) + B(z - i) \\ & = & Az + Ai + Bz - Bi \\ & = & (A+B)z + i(A-B) \end{array} </math> ==== Koeffizientenvergleich 2 ==== Durch Koeffizientenvergleich erhält man <math>(A+B)z= 1</math> und <math>A-B=0</math> und durch Lösung des Gleichungssystems dann <math>A=B= \frac{1}{2z}</math> für <math>z\not= 0</math>. :<math> \begin{array}{rcll} 0 & = & A-B & \implies \\ A & = & B & (\ast) \\ 1 & = & (A+B)\cdot z = 2 \cdot A \cdot z & \implies \\ A & = & B = \displaystyle \frac{1}{2z} \end{array} </math> ==== Koeffizientenvergleich 3 ==== Somit ergibt sich eine Partialbruchzerlegung für <math>z\not= 0</math>: :<math> \frac{1}{(z - i)\cdot (z + i)} = \frac{1}{2z} \cdot \left( \frac{1}{z - i} + \frac{1}{z + i} \right) </math> ==== Dichtefunktion im Komplexen ==== Die Dichte der [[Cauchy-Verteilung]] kann dann für <math>z\not= 0</math> wie folgt geschrieben werden als: <math> f(z) = \frac{1}{2\pi z} \cdot \left( \frac{1}{z - i} + \frac{1}{z + i} \right) </math> Diese Darstellung kann in eine [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihe]] lokal um <math>z_0\in \mathbb{C}\setminus\{+i,-i,0\}</math> entwickelt werden, indem man die geometrische Reihe für die Terme <math>\frac{1}{2\pi z}</math>, <math>\frac{1}{z - i}</math> und <math>\frac{1}{z + i}</math> verwendet. ==== Darstellung der Summanden als Potenzreihe ==== Man betrachtet nun einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{+i,-i,0\}</math> und erhält analog zum Cauchy-Produkt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{1}{2\pi z} & = & \displaystyle - \frac{1}{2\pi \cdot z_0} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z-z_0}{z_0}} \\ & = & \displaystyle - \frac{1}{2\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z_o^{n+1}} (z-z_o)^n \\ \displaystyle \frac{1}{z - i} & = & \displaystyle - \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(i - z_o)^{n+1}} (z-z_o)^n \\ \displaystyle \frac{1}{z + i} & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(-i - z_o)^{n+1}} (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> ==== Konvergenzradius der Reihe ==== Durch das Cauchy-Produkt der 3 obigen Potenzreihen entsteht eine neue Potenzreihe mit dem Konvergenzradius <math>r = \min \{|z_0-i|,|z_0+i|,|z_0|\}</math> mit einem beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{+i,-i,0\}</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Binomischer Lehrsatz|Binomischer Lehrsatz]] * [[Cauchy-Kern]] * [[Cauchy-Verteilung]] * [[Kurs:Stochastik/Siebformel|Siebformel als alternierende Summe in der Stochastik]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Vorgehen bei der Potenzreihenentwicklung mittels geometrischer Reihe]] 5s878m3blx1p03sd4ec9u66rjh4ovzo 106 168030 1076240 1064276 2026-03-30T16:35:23Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie]] erstellt 1076240 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie]] ii9x8fahq7q5h1pqz1n6md6boxgfryc 0 168226 1076229 1073797 2026-03-30T15:32:21Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1076229 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Satz von Morera bildet zusammen mit dem [[Cauchy-Integralsatz]] ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], der eine hinreichende Bedingung für die Holomorphie einer Funktion liefert. Er ist damit eine Art Umkehrung des Cauchyschen Integralsatzes. Als [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] erhält man damit eine äquivalente Eigenschaft zur [[Holomorphie]]. :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> == Satz von Morera == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[Stetigkeit|stetige]] Funktion auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>. Wenn für jeden geschlossenen Weg <math> \gamma </math> in <math> D </math> gilt, dass :<math> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0, </math> dann ist <math> f </math> holomorph auf <math> G </math><ref>Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2010). Complex analysis (Vol. 2). p. 53, Princeton University Press.</ref>. == Beweis des Satzes von Morera == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweisschritte * Stetigkeit und Differenzierbarkeit * Verwendung des Cauchyschen Integralsatzes * Konstruktion einer Stammfunktion * Differenzierbarkeit von <math> F </math> liefert Holomorphie von <math> f </math> === Beweisschritt 1 - Voraussetzungen=== * <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ist stetig. * <math> G </math> ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet. * Für jeden geschlossenen Weg <math> \gamma </math> in <math> G </math> gilt <math> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 </math>. === Beweisschritt 2 - Stetigkeit und Differenzierbarkeit=== Zu zeigen ist nun, dass <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf ganz <math> G </math> ist. Da <math> f </math> [[Stetigkeit|stetig]] ist, muss man für jeden Punkt <math> z_0 \in G </math> zeigen, dass <math> f </math> in <math> z_0 \in G </math> komplex differenzierbar ist, d.h. :<math> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </math> existiert. === Beweisschritt 3 - Verwendung des Cauchyschen Integralsatzes=== Der [[Cauchy-Integralsatz]] besagt, dass für eine holomorphe Funktion <math> g </math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math> G </math> und jeden geschlossenen Weg <math> \gamma </math> in <math> G </math> gilt: :<math> \oint_{\gamma} g(z) \, dz = 0. </math> Da <math> f </math> die Bedingung des Satzes von Morera erfüllt, gilt <math> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 </math> für jeden geschlossenen Weg <math> \gamma </math> in <math> G </math>. === Beweisschritt 4 - Konstruktion einer Stammfunktion=== Man definiert nun die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> als [[Wegintegral]] von dem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu einem beliebigen Punkt <math>z\in G</math>. :<math> F(z) = \int_{\gamma_z} f(\xi) \, d\xi, </math> wobei <math> \gamma_z : [a,b]\to G </math> ein zu <math> z\in G</math> gewählter [[Integrationsweg]], dessen Spur vollständig in <math> G </math> liegt. === Beweisschritt 5 - Wohldefiniertheit der Stammfunktion=== Betrachtet man einen weiteren Weg <math>\widetilde{\gamma_z}:[a,b]\to G</math> mit <math>\widetilde{\gamma_z}(a)=z_o </math> und <math>\widetilde{\gamma_z}(b)=z </math>. Dann ist <math> \gamma := \gamma_z - \widetilde{\gamma_z}</math> Da <math> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 </math> für jeden geschlossenen Weg <math> \gamma </math> in <math> G </math> gilt, ist <math> F </math> wohldefiniert und unabhängig vom speziellen Weg von <math> z_0 </math> nach <math> z </math>. <span id="Stammfunktion"></span> === Beweisschritt 6 - Differenzierbarkeit des Wegintegrals === Man zeigt dann, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in D </math>. * Sei <math> z \in D </math> und <math> h \in \mathbb{C} </math> mit <math> |h| </math> klein genug, sodass <math> z + h \in D </math>. Dann gilt: :<math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \frac{1}{h} \left( \int_{z_0}^{z + h} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{z_0}^{z} f(\zeta) \, d\zeta \right) = \frac{1}{h} \int_{z}^{z + h} f(\zeta) \, d\zeta. </math> * Da <math> f </math> stetig ist, gilt: <math> \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{z}^{z + h} f(\zeta) \, d\zeta = f(z). </math> Also ist <math> F </math> differenzierbar und <math> F'(z) = f(z) </math>. (siehe auch ausführlichere Darstellung des oben definierten Wegintegrals als Stammfunktion) === Beweisschritt 7 - Holomorphie von <math> f </math>=== * Da <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math>, ist <math> f </math> die Ableitung einer holomorphen Funktion <math> F </math>. * Da die Ableitung einer holomorphen Funktion selbst holomorph ist, ist <math> f </math> holomorph auf <math> D </math>. Insgesamt wurde gezeigt, dass eine [[Stetigkeit|stetige]] Funktion <math> f </math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math> G </math>, die die Bedingung des Satzes von Morera erfüllt, dann auch holomorph auf <math> G </math> ist. Der Beweis verwendet die Konstruktion einer Stammfunktion <math> F </math> und die Differenzierbarkeit von <math> F </math>, um die [[Holomorphie]] von <math> f </math> zu zeigen. == Literaturquellen == <references/> == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralsatz]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphie]] * [[Stetigkeit]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Satz%20von%20Morera https://de.wikiversity.org/wiki/Satz%20von%20Morera] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Satz%20von%20Morera Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Satz%20von%20Morera * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hcvj4j6p1raqingec3ltok6rdfto3wh 106 169974 1076247 1075935 2026-03-31T06:36:16Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion */ 1076247 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg ist und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Eine <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>a_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>a_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z):=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(2+5i) - F(2+3i) - F(-1+5i) + F(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \\ \end{array} </math> Die Differenz der Stammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]]. == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dt \, dr = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] der Stammfunktion ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt (d.h. die Konstante einer Stammfunktion), da <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>. Damit erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> die folgende Potenzreihendarstellung für <math>F_{z_o}</math> mit <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] h6oejolujxlowuzrch0y2vjt3nhsexj 106 170045 1076235 2026-03-30T16:27:48Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1076235 wikitext text/x-wiki == Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Swarm%20Intelligence Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Swarm%20Intelligence Swarm Intelligence] https://de.wikipedia.org/wiki/Swarm%20Intelligence * Datum: 30.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity j3ruo3up3rqdn6tdarjr3ijghvgi9cb 1076236 1076235 2026-03-30T16:29:39Z Bert Niehaus 20843 /* Seiten-Information */ 1076236 wikitext text/x-wiki == Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 30.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity 6h9ry89uekdl30lz2xsonq2cei7q1jj 1076237 1076236 2026-03-30T16:30:16Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} */ 1076237 wikitext text/x-wiki == Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur [[w:de:Logarithmus|reellen Definition]] heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 30.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ba3d0z12ft2y4cqicdk684xj0rr1bak 1076238 1076237 2026-03-30T16:31:32Z Bert Niehaus 20843 /* Zweige des Logarithmus als Potenzreihen */ 1076238 wikitext text/x-wiki == Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur [[w:de:Logarithmus|reellen Definition]] heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als Potenzreihen === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|lokal in eine Potenzreihe]] entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 30.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity 1bhtejotp9e4dsarvptpqks9cp8zv9k 1076241 1076238 2026-03-30T19:19:40Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} */ 1076241 wikitext text/x-wiki == Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur [[w:de:Logarithmus|reellen Definition]] heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Dies wird deutlich, wenn man dieses <math>z\not= 0</math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] mit <math> t\in [0,2\pi)</math> darstellt (siehe [)[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]. :<math> z = \ln(|z|) \cdot e^{it} = \ln(|z|) \cdot \cos(t) + i\cdot \sin(t) </math> === Eindeutigkeit === das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, ''nicht eindeutig'' bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als Potenzreihen === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|lokal in eine Potenzreihe]] entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 30.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity 9m35ix6y9zetbn8n55gma0aqjxu91qp 1076242 1076241 2026-03-30T19:20:07Z Bert Niehaus 20843 /* Seiten-Information */ 1076242 wikitext text/x-wiki == Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur [[w:de:Logarithmus|reellen Definition]] heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Dies wird deutlich, wenn man dieses <math>z\not= 0</math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] mit <math> t\in [0,2\pi)</math> darstellt (siehe [)[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]. :<math> z = \ln(|z|) \cdot e^{it} = \ln(|z|) \cdot \cos(t) + i\cdot \sin(t) </math> === Eindeutigkeit === das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, ''nicht eindeutig'' bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als Potenzreihen === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|lokal in eine Potenzreihe]] entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 30.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity 9armw1xsjhehu5htu2szkb4551a16kj 1076243 1076242 2026-03-30T19:20:36Z Bert Niehaus 20843 /* Existenz */ Klammer entfernt 1076243 wikitext text/x-wiki == Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur [[w:de:Logarithmus|reellen Definition]] heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Dies wird deutlich, wenn man dieses <math>z\not= 0</math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] mit <math> t\in [0,2\pi)</math> darstellt (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]. :<math> z = \ln(|z|) \cdot e^{it} = \ln(|z|) \cdot \cos(t) + i\cdot \sin(t) </math> === Eindeutigkeit === das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, ''nicht eindeutig'' bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als Potenzreihen === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|lokal in eine Potenzreihe]] entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 30.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity 4cimnrcsh2e4e52ddkmwlvtdl4mj30s 1076244 1076243 2026-03-30T19:25:34Z Bert Niehaus 20843 /* Existenz */ 1076244 wikitext text/x-wiki == Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur [[w:de:Logarithmus|reellen Definition]] heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Dies wird deutlich, wenn man dieses <math>z\not= 0</math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] mit <math> t\in [0,2\pi)</math> darstellt (siehe auch [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). :<math> z = |z| \cdot e^{it} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{it} = e^{\ln(|z|) +i\cdot t} </math> Damit ist <math>w:= \ln(|z|) +i\cdot t</math> ein möglicher [[Logarithmus]] von <math>z\not=0</math>. === Eindeutigkeit === das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, ''nicht eindeutig'' bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als Potenzreihen === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|lokal in eine Potenzreihe]] entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 30.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ht2uqgyy1ryqsznublprm04tq46f2ll 1076245 1076244 2026-03-30T19:27:52Z Bert Niehaus 20843 /* Eindeutigkeit */ 1076245 wikitext text/x-wiki == Komplexer Logarithmus {{Anker|Komplexer Log}} == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur [[w:de:Logarithmus|reellen Definition]] heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Dies wird deutlich, wenn man dieses <math>z\not= 0</math> in [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] mit <math> t\in [0,2\pi)</math> darstellt (siehe auch [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). :<math> z = |z| \cdot e^{it} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{it} = e^{\ln(|z|) +i\cdot t} </math> Damit ist <math>w:= \ln(|z|) +i\cdot t</math> ein möglicher [[Logarithmus]] von <math>z\not=0</math>. === Keine Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist dieser wegen der Periodizität von <math>e^{it}</math> und : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, ''nicht eindeutig'' bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als Potenzreihen === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|lokal in eine Potenzreihe]] entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] == Seiten-Information == Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 30.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity mdydnuwc103mzmjsah2uobiv4xjb6eh