Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.23 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1076422 1076134 2026-04-07T16:18:01Z Bert Niehaus 20843 /* Integral über messbare Menge */ 1076422 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphiekriterien]] == Funktionentheorie - Teil 2 == === Integral über messbare Menge === * [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen als Potenzreihen]] * [[/Definition Flächenintegrale/]] über Stammfunktionen * [[/Flächenintegrale über Rechtecke/]] * [[/Flächenstammfunktion/]] und Unterschied zur Stammfunktion * [[/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale/]] * [[/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil/]] * [[/Wegintegral und Flächenintegrale/|Vergleich - Wegintegrale, Doppelintegrale und Flächenintegrale]] * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 757u4tw961e4mxvllin4qy0xk696k1y 1076453 1076422 2026-04-07T19:37:51Z Bert Niehaus 20843 /* Integral über messbare Menge */ 1076453 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphiekriterien]] == Funktionentheorie - Teil 2 == === Integral über messbare Menge === * [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen als Potenzreihen]] * [[/Differenzsatz für Stammfunktionen/]] * [[/Definition Flächenintegrale/]] über Stammfunktionen * [[/Flächenintegrale über Rechtecke/]] * [[/Flächenstammfunktion/]] und Unterschied zur Stammfunktion * [[/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale/]] * [[/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil/]] * [[/Wegintegral und Flächenintegrale/|Vergleich - Wegintegrale, Doppelintegrale und Flächenintegrale]] * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> nr4iy5kbobrcmfm5ewqcmw2phr4nple 2 156742 1076456 1055170 2026-04-08T07:15:40Z CommonsDelinker 1336 Removing [[:c:File:ONLYOFFICE_logo_(default).svg|ONLYOFFICE_logo_(default).svg]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:Túrelio|Túrelio]] because: This file is ONLY published under a license that does not allow unrestricted commercial use. Under [ 1076456 wikitext text/x-wiki = Textverarbeitung = == Merkmale == * '''Text erstellen und bearbeiten''': Sie ermöglichen das Eingeben, Bearbeiten und Formatieren von Texten. * '''[[:w:Textformatierung|Formatierung]]smöglichkeiten''': Funktionen wie Schriftart, Schriftgröße, Fett, Kursiv, Unterstrichen und Textausrichtung (links, rechts, zentriert, Blocksatz) sind standardmäßig verfügbar. * '''Speichern und Laden von Dateien''': Texte können gespeichert und später wieder geöffnet werden, meist in verschiedenen Dateiformaten (z. B. .docx, .odt, .rtf, .txt, oder .pdf). * '''Druckfunktion''': Die Programme bieten Optionen, Dokumente direkt zu drucken oder als Druckvorschau anzuzeigen. * '''Kopieren, Einfügen und Ausschneiden''': Standardbearbeitungsfunktionen wie das Kopieren, Ausschneiden und Einfügen von Text oder Elementen sind immer integriert. * '''Rechtschreib- und Grammatikprüfung''': Die meisten Textverarbeitungsprogramme haben eine automatische Überprüfung von Rechtschreibung und Grammatik. * '''Tabellen und Listen''': Sie unterstützen die Erstellung von Tabellen und nummerierten oder Aufzählungslisten. * '''Suchen und Ersetzen''': Eine Funktion, mit der bestimmte Wörter oder Zeichenfolgen im Text gesucht und durch andere ersetzt werden können. * '''Unterstützung von Multimedia-Elementen''': Viele Programme erlauben das Einfügen von Bildern, Diagrammen und anderen Medien. * '''Kompatibilität mit anderen Programmen''': Textverarbeitungsprogramme können oft mit anderen Office-Anwendungen zusammenarbeiten, wie z. B. Tabellenkalkulationsprogrammen oder Präsentationstools. Die Unterschiede zwischen Programmen liegen oft in der Benutzeroberfläche, der Anzahl der Funktionen und der Integration mit anderen Tools oder Plattformen. == Beispiele == === [[:w:Microsoft Word|Microsoft Word]]''' === [[Datei:Microsoft Office Word (2019–2025).svg|thumb|70px]] Plattformen: Windows, macOS, Web, Mobile (iOS und Android) Merkmale: * Weit verbreitet und Standard in vielen Unternehmen. * Umfangreiche Funktionen für Formatierung, Layout, und Zusammenarbeit. * Integration in Microsoft 365 und Cloud-Speicherung mit OneDrive. === [[:w:Google Docs|Google Docs]] === [[Datei:Google_Docs_logo_(2014-2020).svg|thumb|70px]] Plattformen: Web, Mobile (iOS und Android) Merkmale: * Kostenlos und cloudbasiert. * Echtzeit-Zusammenarbeit mit anderen Nutzern. * Automatisches Speichern und Integration in Google Drive. === [[:w:LibreOffice Writer|LibreOffice Writer]] === [[Datei:LibreOffice_7.5_Writer_Icon.svg|thumb|70px]] Plattformen: Windows, macOS, Linux Merkmale: * Open-Source-Alternative zu Microsoft Word. * Unterstützt viele Dateiformate, darunter Microsoft-Formate (.docx, .doc). * Kostenlos und ohne Lizenzkosten. === [[:w:Pages (Software)|Apple Pages]] === [[Datei:New_Pages_icon.png|thumb|70px]] Plattformen: macOS, iOS, Web Merkmale: * Kostenlos für Apple-Nutzer. * Integration in iCloud für geräteübergreifendes Arbeiten. * Geeignet für kreative Layouts und Designs. === [[:w:WPS Office|WPS Office Writer]] === Plattformen: Windows, macOS, Linux, Mobile (iOS und Android) Merkmale: * Ähnelt Microsoft Word in Funktionalität. * Kostenlos verfügbar mit Premium-Option. * Cloud-Integration und plattformübergreifende Nutzung. === [[:w:OnlyOffice|OnlyOffice]] === Plattformen: Windows, macOS, Linux, Web Merkmale: * Fokussiert auf Teamarbeit und Integration mit Cloud-Diensten. * Unterstützt Microsoft- und Open-Source-Formate. * Open-Source-Option verfügbar. === [[:w:en:Zoho Corporation|Zoho Writer]] === Plattformen: Web, Mobile (iOS und Android) Merkmale: * Teil der Zoho Office Suite. * Cloud-basiert mit Fokus auf Zusammenarbeit. * Integriert in andere Zoho-Produkte wie CRM. === [[:w:Scrivener (software)|Scrivener]] === Plattformen: Windows, macOS, iOS Merkmale: * Beliebt bei Autoren, die an umfangreichen Projekten arbeiten (z. B. Bücher, Drehbücher). * Unterstützt Notizen, Recherche und Strukturierung langer Texte. = Varia = * '''Symbole/Sonderzeichen:''' [[:w:Liste_der_Unicodeblöcke#Liste_der_Blöcke|Unicode]] (vierstellig hexadezimal) + {{Taste|Alt}}+{{Taste|C}} == Kunst mit der Zeichentools-Funktion == Mit den Formen, Linien und Freihandzeichnungen in Word kann man richtige Kunstwerke erstellen, wie detaillierte Vektorgrafiken oder abstrakte Kunst. Dies funktioniert besonders gut, wenn man die Füll- und Transparenzeffekte kombiniert. == Text-Animationen in Kombination mit SmartArt == Mit geschicktem Einsatz von WordArt und SmartArt kann man Texte so gestalten, dass sie fast wie animierte Grafiken wirken. Die Effekte lassen Texte dynamischer aussehen, als man es in einem Textverarbeitungsprogramm erwarten würde. == Eigene Spiele programmieren == Durch geschickten Einsatz von Hyperlinks, Textfeldern und Makros können einfache interaktive Spiele wie Quizze oder "Choose-Your-Own-Adventure"-Abenteuer in Word erstellt werden. == Design von komplexen Formularen == Word kann genutzt werden, um dynamische und interaktive Formulare zu erstellen. Diese können Dropdown-Menüs, Schaltflächen und sogar Makros enthalten, um automatisch Daten zu verarbeiten. == Dokument als HTML-Website exportieren == Word kann Dokumente so gestalten, dass sie wie Webseiten aussehen und direkt als HTML-Datei exportiert werden. Dadurch kann man schnell und einfach eine einfache Website erstellen, die professionell wirkt. == Automatisches Erstellen von Gedichten oder Geschichten == Mit VBA (Makros) kann Word genutzt werden, um automatisch Texte wie Gedichte oder Geschichten zu generieren, die auf zufälligen Wörtern oder bestimmten Eingaben basieren. == Labyrinthe und Rätsel == Mit Tabellen und Formen kann man kreative Labyrinthe oder Rätsel in Word gestalten, die interaktiv gelöst werden können. == Typografische Meisterwerke == Word erlaubt es, mit Schriftarten, Spationierung und Absatzformatierungen so präzise zu arbeiten, dass man typografisch hochwertige Dokumente wie Poster oder Cover-Designs erstellen kann, die mit professionellen Designprogrammen konkurrieren. == Dynamische Diagramme und Datenvisualisierungen == Durch die Verknüpfung von Diagrammen mit Excel oder durch VBA-Skripte können interaktive Diagramme erstellt werden, die sich mit neuen Daten automatisch aktualisieren. == Schreiben in Geheimsprachen oder Codes == Word kann mit speziellen Schriftarten (z. B. Runen, Braille oder Alien-Schriften) genutzt werden, um Nachrichten in Geheimschriften zu erstellen. == Virtuelle Escape Rooms == Mit der Kombination von Bildern, Texten, Hyperlinks und bedingten Texten (z. B. durch Felder und Makros) kann man Escape Rooms oder Rätselspiele in Word simulieren. = Geschäftskorrespondenz = == Briefvorlage erstellen == * Word → Register «Layout» * DIN 5008-Seitenrand: 5 oben (für Briefkopf) → Empfängeradresse ist im Couvertfenster; 3 unten, 3 links (für Ordner-Löcher), 1.5 rechts * Aufbau: Empfänger, drei Leerzeilen, Datum, drei Leerzeilen, Betreff, zwei Leerzeilen, Anrede, eine Leerzeile, Fliesstext, eine Leerzeile, Grussformel, eine Leerzeile, Firmenname, drei Leerzeilen für Unterschrift, mein Name, ein paar Leerzeilen, Beilage * Register «Einfügen» → Gruppe «Text» → «Datum und Uhrzeit»: alphanumerisches Format auswählen * Zufalls-Fliesstext generieren: «=rand()» oder «=rand(3,5)» oder «=lorem()» eingeben, dann {{Taste|↵}} drücken * Format (A3, A4, A5 usw.), Spalten, Umbrüche wählen * Register «Start» → «Formatvorlagen» → «Kein Leerraum» * Register «Start» → Gruppe «Schriftart» → Schriftart Calibri, Arial oder Aptos, Schriftgrösse 11 oder 12 * Logo im Briefkopf einfügen * Wasserzeichen im Register Entwurf einfügen * Hintergrund mit Register Einfügen > Form gestalten * Als Briefvorlage.dotx speichern: Register «Datei» → «Speichern» → als Word-Vorlage: automatisch in «Benutzerdefinierte Office-Vorlage» = Allgemeines = == Links, Textmarken, Querverweise == Verknüpfungen verschlüsselt anzeigen: Datei > Optionen > Erweitert > Abschnitt Dokumentinhalt anzeigen und die Option "Feldfunktionen anstelle von Werten anzeigen" aktivieren bzw. deaktivieren. Dann werden im Dokument grundsätzlich die Inhalte der Felder angezeigt. Alt+F9 = Feldfunktionen anzeigen/ausblenden. === Link === * Register «Einfügen» → Gruppe «Links» → «Link» :* «Datei oder Website» → Ordner/Dokument anklicken oder URL einfügen :* «Aktuelles Dokument» → verknüpft Überschriften, Testmarken usw. :* «Neues Dokument erstellen» → öffnet leeres Worddokument :* «E-Mail-Adresse» → automatisch ''mailto'' * Mit gedrückter {{Taste|Ctrl}}-Taste auf Link klicken → Eingabemarke springt an gewünschte Stelle === Textmarke === * Register «Einfügen» → Gruppe «Links» → «Textmarke» * Textmarke wiederfinden: Register «Start» → Gruppe «Bearbeiten» → Schaltfläche «Suchen» → «Gehe zu…» === Querverweis === * Register «Einfügen» → Gruppe «Links» → «Querverweis» → Verweistyp auswählen * Querverweise aktualisieren: desamtes Dokument mit {{Taste|Ctrl}} + {{Taste|A}} markieren → ({{Taste|Alt}} +) {{Taste|F9}} Oder: Mausklick rechts → Aktualisieren == alleinstehende Zeilen == [[Datei:Hurenkind.jpg|mini]] Vermeide # alleinstehende letzte Zeilen eines Absatzes oben auf einer Seite und # alleinstehende erste Zeilen eines Absatzes unten auf einer Seite: {{Taste|Start}} → {{Taste|Absatz}} → {{Taste|Zeilen- und Seitenumbruch}} → {{Taste|Absatzkontrolle}} == Excel in Word verknüpfen == * Auf Excel eine Tabelle mit einem Diagramm erstellen * Diagramm mit {{Taste|Ctrl}}+{{Taste|C}} in Zwischenablage kopieren und mit {{Taste|Ctrl}}+{{Taste|V}} in Word einfügen :Oder: Word Register «Start» → Gruppe «Zwischenablage» → Schaltfläche «Einfügen» → «Inhalte einfügen» → «Verknüpfung einfügen» → «Microsoft Excel-Diagramm-Objekt» * Auf Excel Tabelle mit Diagramm verändern * auf Word Mausklick rechts und «Verknüpfung aktualisieren» → automatische Veränderung sehen == Alle Tabellen markieren == Führe folgendes Makro aus: :Sub selecttables() :Dim mytable As Table : :For Each mytable In ActiveDocument.Tables :mytable.Range.Editors.Add wdEditorEveryone :Next :ActiveDocument.SelectAllEditableRanges (wdEditorEveryone) :ActiveDocument.DeleteAllEditableRanges (wdEditorEveryone) :End Sub == Makros aufzeichnen == # Register «Ansicht» → Gruppe «Makros» → «Makro aufzeichnen» → «OK» # schreiben, formatieren usw. # «Ansicht» → «Makros» → «Aufzeichnung beenden» # «Ansicht» → «Makros» → «Makros anzeigen» → «Ausführen» == Text gemeinsam überarbeiten == * Briefvorlage.dotx in Word öffnen * Zufalls-Geschäftsbrief in KI-Chatbot generieren und in das Worddokument kopieren: «Einfügeoptionen» → «Nur den Text übernehmen» * Register «Überprüfen» → Gruppe «Nachverfolgung» → «Änderungen nachverfolgen» antippen * «Markup: alle», dann Triviales aus dem KI-generierten Text löschen * Register «Einfügen»: Kommentar einfügen * Das Dokument speichern und den anderen Studierenden verfügbar machen * Dokumente anderer Studierender auf Änderungen und Kommentare hin überprüfen: :Register «Überprüfen» → Gruppe «Änderungen» * Zusatz: Gruppe «Vergleichen» ausprobieren = Test = == Teil 1: Formatierung und Layout (20 Punkte) == === Formatieren Sie den Text nach Vorgabe (10 Punkte) === # Erstellen Sie mit ChatGPT einen fiktiven technischen Bericht von fünf Seiten Länge. # Formatieren Sie die Überschriften im gesamten Dokument mit der Formatvorlage ''Überschrift 1'' und ändern Sie Schriftart in ''Arial'', Schriftgröße 14 pt, Farbe Dunkelblau. # Setzen Sie den gesamten Fließtext auf Schriftart ''Times New Roman'', Schriftgröße 12 pt, Zeilenabstand 1,5-fach. === Erstellen Sie ein Seitenlayout (10 Punkte) === # Fügen Sie eine Kopfzeile hinzu. Links: Ihr Name (Platzhalter ''Name'' verwenden), rechts: Datum (automatisch einfügen). # Fügen Sie Seitenzahlen unten rechts ein. # Stellen Sie den Seitenrand auf 2 cm oben/unten und 2,5 cm links/rechts ein. == Teil 2: Tabellen und Grafiken (30 Punkte) == === Erstellen Sie eine Tabelle (15 Punkte) === * Erstellen Sie eine Tabelle mit den folgenden Spalten: Bauteil, Material, Kosten (CHF), Menge. * Fügen Sie die folgenden Daten ein: | Bauteil | Material | Kosten (CHF) | Menge | |---------------|--------------|---------------|-------| | Schraube | Stahl | 0.50 | 100 | | Mutter | Kunststoff | 0.30 | 200 | | Dichtung | Gummi | 1.20 | 50 | * Berechnen Sie in der letzten Spalte den Gesamtpreis für jedes Bauteil (Kosten x Menge) mit einer eingebetteten Word-Formel. === Grafik einfügen und bearbeiten (15 Punkte) === * Fügen Sie das Bild _Technisches_Schema.png_ ein (bereitgestellt). * Platzieren Sie das Bild rechts neben der Tabelle. * Stellen Sie sicher, dass der Text um das Bild fließt (Textumbruch: Mit Text in Zeilen). * Verkleinern Sie das Bild proportional auf eine Breite von 6 cm. == Teil 3: Referenzen und Verzeichnisse (30 Punkte) == === Erstellen Sie ein Inhaltsverzeichnis (15 Punkte) === * Fügen Sie ein Inhaltsverzeichnis auf der ersten Seite ein. * Verwenden Sie die Formatvorlage ''Automatisch – Tabelle 2''. * Aktualisieren Sie das Inhaltsverzeichnis nach Änderungen im Dokument. === Quellenverwaltung und Literaturverzeichnis (15 Punkte) === * Fügen Sie zwei Literaturquellen in das Dokument ein: :Buch: ''Technische Konstruktionen'', Autor: Maria Muster, Jahr: 2022. :Website: www.technikbeispiel.ch, aufgerufen am 15.11.2024. * Verweisen Sie im Text mit einem Zitat auf diese Quellen. * Erstellen Sie ein Literaturverzeichnis am Ende des Dokuments. == Teil 4: Makros und Schnellbausteine (20 Punkte) == === Erstellen Sie ein Makro (10 Punkte) === * Erstellen Sie ein Makro namens «FormatVorlage», das den markierten Text auf Schriftart ''Courier New'', Schriftgröße 10 pt und fett ändert. * Weisen Sie dem Makro eine Tastenkombination Ihrer Wahl zu. === Schnellbaustein erstellen (10 Punkte) === * Erstellen Sie einen Schnellbaustein namens «FirmaInfo», der den folgenden Text enthält: Firma Mustertechnik AG Musterstrasse 10, 8000 Zürich * Speichern Sie den Schnellbaustein und fügen Sie ihn im Dokument ein. == Hinweise für die Bewertung == * Genauigkeit der Formatierungen und Inhalte. * Funktionalität der Tabellenberechnungen und Makros. * Vollständigkeit und korrekte Anwendung der Referenzwerkzeuge. <!--== Einfache Prüfung == # Öffne ein neues Worddokument # Speichere es als Word-Vorlage mit deinem Namen ab # Register Start: Gruppen "Schriftart" und "Absatz" Register Einfügen: Gruppen "Illustrationen" (Formen) und "Kopf- und Fusszeile" Register Layout: Gruppe "Seite einrichten" Als Word-Vorlage (.dotx) abspeichern == Schwierige Prüfung == === Teil 1 === # Erstelle eine Bestellung nach allen Regeln der Kunst gemäss DIN 5008 und farbigem Briefkopf. # Mache einen Serienbrief für vier Personen daraus. Reiche das druckfertige Dokument als PDF ein. Erstelle einen Text mit kurzem Inhaltsverzeichnis und jeweils mindestens einer Textmarke, einem Querverweis, einem Kommentar und einer nachverfolgten Überarbeitung. Speichere das Dokument als Worddokument ab. Lade beide Dokumente hier im Aufgabenbereich hoch. == Absatzmarken färben == Absatzmarken färben, zum Beispiel rot: * Entwicklertools > Visual Basic > Einfügen > Modul: Sub document_new() absatzmarkenRot End Sub Sub document_open() absatzmarkenRot End Sub Sub absatzmarkenRot() With ActiveDocument.Content.Find .Text = "^13" .Replacement.Font.ColorIndex = wdRed .Execute Replace:=wdReplaceAll End With End Sub Dann: Entwicklertools > Makros > absatzmarkenRot > ausführen == Register «Datei» == Datei > Informationen > Dokument schützen Datei > Informationen > Dokument prüfen Auf eine Seite schrumpfen: Datei > Menuband > Alle Befehle > Auf eine Seite verkleinern > Neue Registerkarte > Hinzufügen > Umbenennen > OK == PDF == * Word-PDF-Word * [[:w:PDF24 Creator|PDF24 Creator]] Markieren, dann {{Taste|Ctrl}}+{{Taste|F3}}. {{Taste|Ctrl}}+{{Taste|Shift}}+{{Taste|F3}} Vertikale Textauswahl: {{Taste|Alt}} + Markieren Text verstecken: Markieren → Ctrl+D → «✓ Ausgeblendet»: Sichtbar nur mit «Start» → «Absatz» → Absatzmarken? m7wh2b1jyyqoa4ect6ibai6i93ges88 106 167917 1076461 1067707 2026-04-08T10:27:41Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1076461 wikitext text/x-wiki == Entwicklung in Potenzreihe == Nun wird ein beliebiger Entwicklungspunkt <math>z_o \not= 0 </math> aus der komplexen Zahlenebene für die Darstellung von :<math>f(z)=\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> in eine Potenzreihenentwicklung gewählt. Die Koeffizienten <math>a_n\in \mathbb{C} </math> werden über [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnet. === Schritt 1 - geometrische Reihe === Der Grenzwert einer geometrischen Reihe lautet: :<math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> mit <math>q \in \mathbb{C} </math> und <math> |q|<1 </math>. Diese Reihendarstellung wird im Folgenden verwendet, um die Potenzreihe durch eine Umformung des Funktionsterms <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in die Form <math> \frac{1}{1-q} </math> zu erhalten. === Schritt 2 - Konvergenzradius === Nun wird der Term <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in einen Ausdruck der Form :<math>f(z)=\frac{1}{z}= a\cdot \frac{1}{1-q}</math> umgeformt, wobei <math>q:=\frac{z-z_o}{b}</math> als Quotient die Eigenschaft <math> |q| < 1 </math> bzw. <math> |z-z_o| < |b| </math> für die Konvergenz der geometrischen Reihe als Eigenschaft erfüllen muss. Der [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] ist damit <math>r=|b|</math>. === Schritt 3 - Vorzeichen von z=== Das Vorzeichen von <math>z</math> muss im Grenzwert der geometrischen Reihe <math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> negativ sein, da <math>q</math> als Quotient <math>q=\frac{z-z_o}{b}</math> mit <math>b \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> durch Umformungen erzeugt wird. Daher stellt man <math>\frac{1}{z}</math> in einem ersten Schritt als folgenden Bruch dar: :<math>f(z)=\frac{1}{z}= -\frac{1}{-z}</math> === Schritt 4 - Ergänzung der 0 === Für die Potenzreihe benötigt man den Term <math>z-z_o </math> für einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_o\not= 0</math>. Daher ergänzt man im Nenner die <math>0 = z_o - z_o </math>. :<math>f(z)=\frac{1}{z}= -\frac{1}{-z} = -\frac{1}{(z_o-z_o)-z} = -\frac{1}{-z_o-(z-z_o)} </math> === Schritt 5 - Transformation Nenner in Grenzwert geometrischer Reihe === Für die Transformation des Nenners in der Grenzwert einer geometrischen Reihe <math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> ist es notwendig, den Faktor <math>-z_o</math> im Nenner auszuklammern, damit ein <math>1-q</math> im Nenner entsteht: :<math> \begin{array}{rcl} f(z) & = & -\frac{1}{-z_o-(z-z_o)} = -\frac{1}{(-z_o)\cdot \left( 1-\left( \frac{z-z_o}{-z_o} \right) \right)} \\ & = & \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } \\ \end{array} </math> === Schritt 6 - Darstellung als geometrische Reihe === Nun kann man den rechten Bruch als <math>\frac{1}{1-q}</math> interpretieren und als eine geometrische Reihe darstellen: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \frac{1}{z_o} \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n </math> === Schritt 7 - Darstellung als geometrische Reihe === Die geometrische Reihe liefert nun die Potenzen <math>(z-z_o)^n</math>und der verbleibende Faktor bildet jeweils den Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> der gesuchten Potenzreihe: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> wobei <math>|q|:= \left|\frac{z-z_o}{-z_o} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left|z-z_o \right| < |-z_o| = |z_o|</math> gilt. Dabei ist der Konvergenzradius der Abstand von <math> z_o\not= 0 </math> zur Singularität 0 von <math>f(z)</math>. === Bemerkung - Taylorreihe === Alternativ zu dem oben angegebenen Vorgehen kann man die Koeffizienten <math>a_n</math> auch über die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihenkoeffizienten]] mit <math> a_n= \frac{f^{(n)}(z_o)}{n!} </math> berechnen. <span id="Stammfunktion_Logarithmus"></span> == Zweig des Logarithmus - Stammfunktion == Mit der obigen Potenzreihendarstellung von <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> kann man <math>f</math> um jeden Punkt <math>z_o\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> in eine Potenzreihe entwickeln, wobei der Konvergenzradius der Reihe <math>r= |z_o| > 0 </math> ist. Ferner kann man damit auch die Potenzreihenentwicklung der lokalen Stammfunktion <math>F_{z_o}</math> von <math>f</math> angeben. :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Aufgabe für Studierende === Auf welcher geschlitzen Ebene ist der obige [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Zweig des Logarithmus]] definiert? Fertigen Sie eine Skizze mit <math>z_o\in \mathbb{C}</math> an! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele_für_Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte im Komplexen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Examples for Power Series/Approach]]</noinclude> pmm0juclmonyzbu0piiu8mjg8f5brld 1076462 1076461 2026-04-08T10:29:12Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1076462 wikitext text/x-wiki == Entwicklung in Potenzreihe == Nun wird ein beliebiger Entwicklungspunkt <math>z_o \not= 0 </math> aus der komplexen Zahlenebene für die Darstellung von :<math>f(z)=\frac{1}{z}=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> in eine Potenzreihenentwicklung gewählt. Die Koeffizienten <math>a_n\in \mathbb{C} </math> werden über [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] berechnet. === Schritt 1 - geometrische Reihe === Der Grenzwert einer geometrischen Reihe lautet: :<math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> mit <math>q \in \mathbb{C} </math> und <math> |q|<1 </math>. Diese Reihendarstellung wird im Folgenden verwendet, um die Potenzreihe durch eine Umformung des Funktionsterms <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in die Form <math> \frac{1}{1-q} </math> zu erhalten. === Schritt 2 - Konvergenzradius === Nun wird der Term <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> in einen Ausdruck der Form :<math>f(z)=\frac{1}{z}= a\cdot \frac{1}{1-q}</math> umgeformt, wobei <math>q:=\frac{z-z_o}{b}</math> als Quotient die Eigenschaft <math> |q| < 1 </math> bzw. <math> |z-z_o| < |b| </math> für die Konvergenz der geometrischen Reihe als Eigenschaft erfüllen muss. Der [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] ist damit <math>r=|b|</math>. === Schritt 3 - Vorzeichen von z=== Das Vorzeichen von <math>z</math> muss im Grenzwert der geometrischen Reihe <math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> negativ sein, da <math>q</math> als Quotient <math>q=\frac{z-z_o}{b}</math> mit <math>b \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> durch Umformungen erzeugt wird. Daher stellt man <math>\frac{1}{z}</math> in einem ersten Schritt als folgenden Bruch dar: :<math>f(z)=\frac{1}{z}= -\frac{1}{-z}</math> === Schritt 4 - Ergänzung der 0 === Für die Potenzreihe benötigt man den Term <math>z-z_o </math> für einen beliebigen Entwicklungspunkt <math>z_o\not= 0</math>. Daher ergänzt man im Nenner die <math>0 = z_o - z_o </math>. :<math>f(z)=\frac{1}{z}= -\frac{1}{-z} = -\frac{1}{(z_o-z_o)-z} = -\frac{1}{-z_o-(z-z_o)} </math> === Schritt 5 - Transformation Nenner in Grenzwert geometrischer Reihe === Für die Transformation des Nenners in der Grenzwert einer geometrischen Reihe <math> \frac{1}{1-q} = \sum_{n=0}^\infty q^n </math> ist es notwendig, den Faktor <math>-z_o</math> im Nenner auszuklammern, damit ein <math>1-q</math> im Nenner entsteht: :<math> \begin{array}{rcl} f(z) & = & -\frac{1}{-z_o-(z-z_o)} = -\frac{1}{(-z_o)\cdot \left( 1-\left( \frac{z-z_o}{-z_o} \right) \right)} \\ & = & \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } \\ \end{array} </math> === Schritt 6 - Darstellung als geometrische Reihe === Nun kann man den rechten Bruch als <math>\frac{1}{1-q}</math> interpretieren und als eine geometrische Reihe darstellen: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \frac{1}{z_o} \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n </math> === Schritt 7 - Darstellung als geometrische Reihe === Die geometrische Reihe liefert nun die Potenzen <math>(z-z_o)^n</math>und der verbleibende Faktor bildet jeweils den Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> der gesuchten Potenzreihe: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> wobei <math>|q|:= \left|\frac{z-z_o}{-z_o} \right| < 1 </math> bzw. <math> \left|z-z_o \right| < |-z_o| = |z_o|</math> gilt. Dabei ist der Konvergenzradius der Abstand von <math> z_o\not= 0 </math> zur Singularität 0 von <math>f(z)</math>. === Bemerkung - Taylorreihe === Alternativ zu dem oben angegebenen Vorgehen kann man die Koeffizienten <math>a_n</math> auch über die [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihenkoeffizienten]] mit <math> a_n= \frac{f^{(n)}(z_o)}{n!} </math> berechnen. <span id="Stammfunktion_Logarithmus"></span> == Zweig des Logarithmus - Stammfunktion == Mit der obigen Potenzreihendarstellung von <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> kann man <math>f</math> um jeden Punkt <math>z_o\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> in eine Potenzreihe entwickeln, wobei der Konvergenzradius der Reihe <math>r= |z_o| > 0 </math> ist. Ferner kann man damit auch die Potenzreihenentwicklung der lokalen Stammfunktion <math>F_{z_o}</math> von <math>f</math> angeben. :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Aufgabe für Studierende === Auf welcher geschlitzen Ebene ist der obige [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Zweig des Logarithmus]] definiert? Fertigen Sie eine Skizze mit <math>z_o\in \mathbb{C}</math> an! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele_für_Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte im Komplexen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Vorgehen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Examples for Power Series/Approach]]</noinclude> tqxqzij9s8aybkzizuhw2lo412920lw 106 168587 1076464 1070591 2026-04-08T10:46:44Z Bocardodarapti 2041 1076464 wikitext text/x-wiki {{Textmitschalter/{{{opt|}}} |An=x |Text=Verteilen Sie sich bitte gleichmäßig auf die beiden Übungen am Do 14-16 und am Fr 12-14. }} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Information]]</noinclude> 2vfa0h82acypmeh0kd0u4n4v76b0ch0 106 168590 1076463 1076400 2026-04-08T10:43:56Z Bocardodarapti 2041 1076463 wikitext text/x-wiki Vorlesungen Dienstag: 10:00 - 12:00, 66/E33 Donnerstag: 10:00 - 12:00, 66/E33 Übungen Donnerstag: 14-16, 35/E23-E24 Freitag: 12:00 - 14:00, 66/E33 Tutorium Montag, 14:00-16:00, 93/E44 (angefragt) <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Information]]</noinclude> 7tqgp7zts727a67vykwuwk8md7u5g9g 106 169974 1076444 1076247 2026-04-07T18:44:34Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion */ 1076444 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg ist und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Eine <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>a_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>a_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dt \, dr = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] der Stammfunktion ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt (d.h. die Konstante einer Stammfunktion), da <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>. Damit erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> die folgende Potenzreihendarstellung für <math>F_{z_o}</math> mit <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] equ518r7dt2xyijbvodiqhgr946wv2t 1076445 1076444 2026-04-07T18:45:21Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1076445 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg ist und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Eine <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>a_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>a_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dt \, dr = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] der Stammfunktion ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt (d.h. die Konstante einer Stammfunktion), da <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>. Damit erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> die folgende Potenzreihendarstellung für <math>F_{z_o}</math> mit <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 58km7qg41b2n6nihx7400cijzrktktw 1076446 1076445 2026-04-07T18:58:32Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion */ 1076446 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg ist und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Eine <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>a_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>a_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dt \, dr = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] der Stammfunktion ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt (d.h. die Konstante einer Stammfunktion), da <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>. Damit erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> die folgende Potenzreihendarstellung für <math>F_{z_o}</math> mit <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] rjvx53ndmv3k2n75h17uxk00cikviya 1076447 1076446 2026-04-07T18:59:44Z Bert Niehaus 20843 /* Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede */ 1076447 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg ist und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Eine <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>a_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>a_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dt \, dr = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] der Stammfunktion ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt (d.h. die Konstante einer Stammfunktion), da <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>. Damit erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> die folgende Potenzreihendarstellung für <math>F_{z_o}</math> mit <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 0324t543ev68jq6xico7nwpuz50i613 1076448 1076447 2026-04-07T19:10:30Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben */ 1076448 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg ist und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Eine <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>a_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>a_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dt \, dr = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Kreisscheiben === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] der Stammfunktion ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt (d.h. die Konstante einer Stammfunktion), da <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>. Damit erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> die folgende Potenzreihendarstellung für <math>F_{z_o}</math> mit <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] e6bzfm2jhvyn0h6q3r7ennnnl2zbb5d 1076449 1076448 2026-04-07T19:14:53Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben */ 1076449 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg ist und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Eine <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>a_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>a_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dt \, dr = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Kreisscheiben === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] der Stammfunktion ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt (d.h. die Konstante einer Stammfunktion), da <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>. Damit erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> die folgende Potenzreihendarstellung für <math>F_{z_o}</math> mit <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] mtttf6lapxcpqhi39d8lpsux2inbap4 1076450 1076449 2026-04-07T19:16:04Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Kreisscheiben */ 1076450 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg ist und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Eine <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>a_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>a_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dt \, dr = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] der Stammfunktion ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt (d.h. die Konstante einer Stammfunktion), da <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>. Damit erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> die folgende Potenzreihendarstellung für <math>F_{z_o}</math> mit <math>F_{z_o}(z_o) = 0</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] ck438r68gsvrcckfrx16j2dqq6ge5vv 1076451 1076450 2026-04-07T19:32:18Z Bert Niehaus 20843 /* Taylorreihe der Stammfunktion */ 1076451 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg ist und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Eine <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>a_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>a_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dt \, dr = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] jsma51tptjn0zy09bkmh53ws8xx2266 106 170010 1076401 1076126 2026-04-07T14:47:15Z Bert Niehaus 20843 /* Taylorentwicklung der Stammfunktion */ 1076401 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. === Stammfunktion === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F_{z_o}(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] lautet dann wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsummen gegen die Taylorreihe und summandenweiser Integration: :<math> F_{z_o}(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> == Definition - Flächenstammfunktion == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die Flächenstammfunktion <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die Stammfunktion <math>F</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei dem komplexen flächeninhalt ist dies anschaulich eine Referenzebene. Komplexe Flächeninhalte von konstante Funktionen auf Rechtecken <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> sind daher immer 0. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral, das auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0 ist. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=z^2</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks ist damit: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = z_4-z_3 - z_2 + z_1 </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=z</math> eine Stammfunktion in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle (2-2+1-1) + (5-3-5+3)i =0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] kl58ia93jh6ui7la3haduq09lr5bp86 1076402 1076401 2026-04-07T14:49:01Z Bert Niehaus 20843 /* Taylorentwicklung der Stammfunktion */ 1076402 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. === Stammfunktion === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F_{z_o}(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] lautet dann wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsummen gegen die Taylorreihe und summandenweiser Integration: :<math> F_{z_o}(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> == Definition - Flächenstammfunktion == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die Flächenstammfunktion <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die Stammfunktion <math>F</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei dem komplexen flächeninhalt ist dies anschaulich eine Referenzebene. Komplexe Flächeninhalte von konstante Funktionen auf Rechtecken <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> sind daher immer 0. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral, das auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0 ist. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=z^2</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks ist damit: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = z_4-z_3 - z_2 + z_1 </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=z</math> eine Stammfunktion in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle (2-2+1-1) + (5-3-5+3)i =0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] qnxooq4yvat91fx90ry9qi113benp0t 1076406 1076402 2026-04-07T14:57:38Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1076406 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Definition - Flächenstammfunktion == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die Flächenstammfunktion <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die Stammfunktion <math>F</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei dem komplexen flächeninhalt ist dies anschaulich eine Referenzebene. Komplexe Flächeninhalte von konstante Funktionen auf Rechtecken <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> sind daher immer 0. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral, das auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0 ist. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=z^2</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks ist damit: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = z_4-z_3 - z_2 + z_1 </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=z</math> eine Stammfunktion in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle (2-2+1-1) + (5-3-5+3)i =0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] h13kz1sa6bzroyhrfg9lm3jor5mxmo5 1076408 1076406 2026-04-07T15:13:55Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion */ 1076408 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Definition - Flächenstammfunktion == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die Flächenstammfunktion <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die Stammfunktion <math>F</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei dem komplexen flächeninhalt ist dies anschaulich eine Referenzebene. Komplexe Flächeninhalte von konstante Funktionen auf Rechtecken <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> sind daher immer 0. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral, das auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0 ist. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=z^2</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks ist damit: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = z_4-z_3 - z_2 + z_1 </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=z</math> eine Stammfunktion in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle (2-2+1-1) + (5-3-5+3)i =0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] qmmgux5zi9k5metzdv5eq9pbt93o1k5 1076409 1076408 2026-04-07T15:20:32Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion */ 1076409 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Definition - Flächenstammfunktion == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die Flächenstammfunktion <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die Stammfunktion <math>F</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral, das auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0 ist. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=z^2</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks ist damit: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = z_4-z_3 - z_2 + z_1 </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=z</math> eine Stammfunktion in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle (2-2+1-1) + (5-3-5+3)i =0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 23swnv1izbiulz3nqy6z4lvpijf0dm8 1076410 1076409 2026-04-07T15:23:32Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen */ 1076410 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Definition - Flächenstammfunktion == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die Flächenstammfunktion <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die Stammfunktion <math>F</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral, das auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0 ist. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks ist damit: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = z_4-z_3 - z_2 + z_1 </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=z</math> eine Stammfunktion in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle (2-2+1-1) + (5-3-5+3)i =0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] sch4g7nm9nyfjg9n8q194qzsherubyi 1076411 1076410 2026-04-07T15:23:50Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen */ 1076411 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Definition - Flächenstammfunktion == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die Flächenstammfunktion <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die Stammfunktion <math>F</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral, das auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0 ist. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks ist damit: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = z_4-z_3 - z_2 + z_1 </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=z</math> eine Stammfunktion in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle (2-2+1-1) + (5-3-5+3)i =0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] sg7fljsiujgi76vsewomqkd7323ia6m 1076412 1076411 2026-04-07T15:37:50Z Bert Niehaus 20843 /* Notation - Wegintegral - Flächenintegral */ 1076412 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Definition - Flächenstammfunktion == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die Flächenstammfunktion <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die Stammfunktion <math>F</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=z</math> eine Stammfunktion in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 05blf2985a02zr99lshijhnr4qe1afs 1076413 1076412 2026-04-07T15:40:05Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt */ 1076413 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Definition - Flächenstammfunktion == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die Flächenstammfunktion <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die Stammfunktion <math>F</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] llr2kjxfa11436h8pftxxj5csr1ptdg 1076414 1076413 2026-04-07T15:43:16Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung für die Definition */ 1076414 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Definition - Flächenstammfunktion == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die Flächenstammfunktion <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die Stammfunktion <math>F</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] ekz33lpviigqur5i9jri3t6wu0tv23e 1076415 1076414 2026-04-07T15:46:28Z Bert Niehaus 20843 /* Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion */ 1076415 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Definition - Flächenstammfunktion == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die Flächenstammfunktion <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die Stammfunktion <math>F</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] fynsjl6q3wr97hubzmrauzqjqbgjwu9 1076416 1076415 2026-04-07T16:08:34Z Bert Niehaus 20843 /* Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt */ 1076416 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Definition - Flächenstammfunktion == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die Flächenstammfunktion <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die Stammfunktion <math>F</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] r3a2u8nj5p12dbuyqnsluhcq68rm4nt 1076417 1076416 2026-04-07T16:11:39Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Flächenstammfunktion */ 1076417 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die Stammfunktion <math>F</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 4g9a2v7bx7amj0voc2e1v5a8704p3c4 1076418 1076417 2026-04-07T16:12:52Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen */ 1076418 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] lt5ntwo0rvtg8n3ouojn8rp5u3s88sr 1076419 1076418 2026-04-07T16:14:18Z Bert Niehaus 20843 /* Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt */ 1076419 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 95p5e08qh7bua9yey9mt5n5n2b4cg2y 1076420 1076419 2026-04-07T16:14:46Z Bert Niehaus 20843 /* Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt */ 1076420 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Definition"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] lt5ntwo0rvtg8n3ouojn8rp5u3s88sr 1076421 1076420 2026-04-07T16:15:34Z Bert Niehaus 20843 /* Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt */ 1076421 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 95p5e08qh7bua9yey9mt5n5n2b4cg2y 1076425 1076421 2026-04-07T16:24:09Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen: Überschrift zum Inhalt angepasst 1076421 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu Funktionentheorie und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 95p5e08qh7bua9yey9mt5n5n2b4cg2y 1076433 1076425 2026-04-07T17:28:03Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring */ 1076433 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 7vfitmn4s71hk8co85d10pom81bclqq 1076436 1076433 2026-04-07T17:34:11Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen */ 1076436 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das Flächenintegral für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine Stammfunktion 2. Ordnung, d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math> === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> == Definition - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math> liegen. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals von <math>z_o</math> nach <math>z</math> für die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Dann ist das Rechteckintegral wie folgt definiert. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). === Bemerkung - komplexe Ausgewogenheit im Vergleich zu konstanten Funktion === Der komplexwertige Flächeninhalte berechnet anschaulich die Ausgewogenheit im Vergleich zu einer konstanten Funktion, die alle Richtungen ausgewogen ist. Im der rellen Analysis kann man für eine Funktkon mit :<math> f:[a,b] \to \mathbb{R} \quad \int_a^b f(x)\, dx = 0 </math> festhalten, dass der reelle Flächeninhalt oberhalb der <math>x</math>-Achse den gleichen Wert besitzt, wie der Flächeninhalt unterhalb der <math>x</math>-Achse. Bei einem komplexen Flächeninhalt betrachtet man dies anschaulich in einer Referenzebene, wobei der komplexe Flächeninhalte für Rechtecke <math> R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> zweidimensionales Integral betrachtet werden. === Veranschaulichung für die Definition === In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. ==== Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion ==== Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] ==== Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck ==== Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] ==== Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes ==== Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes ==== Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] ==== Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R ==== Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 10yt3ym7muasj5b71rt68z2m4zbth01 106 170021 1076428 1076182 2026-04-07T17:09:38Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale */ 1076428 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] == Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann wird das komplexe Integral über die Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegrals über Stammfunktionen]] an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_4) - F_(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_2) - F_(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_4) - F_(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_3) - F_(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegrals über Stammfunktionen]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. == Siehe auch == * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] n5wb9yj4wha3bxfglz19k11eiwwmf7p 1076429 1076428 2026-04-07T17:14:39Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals */ 1076429 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] == Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann wird das komplexe Integral über die Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] für die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_2) - F_\Box(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegrals über Stammfunktionen]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. == Siehe auch == * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] qazy3uazegzi9y1prupa7ynm7510zjl 1076430 1076429 2026-04-07T17:15:31Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare */ 1076430 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] == Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann wird das komplexe Integral über die Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] für die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_2) - F_\Box(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. == Siehe auch == * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] h9gziqjwrrnxflsmny1a4gkdkhetmuy 106 170024 1076426 1076115 2026-04-07T16:32:45Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Stammfunktion höherer Ordnung */ 1076426 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Existenz lokaler Stammfunktionen für eine Funktion <math> f:G\to\mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit der Existenz lokal Stammfunktionen <math>F:D_r(z_o)\to \mathbb{C}</math> mit <math>F' = f</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> ist <math>F</math> und damit auch <math>F' = f</math> auf <math>D_r(z_0)</math>. Da <math>f</math> auf ganz <math>G</math> lokale Stammfunktionen besitzt ist <math>f</math> auch überall komplex differenzierbar und damit holomorph auf <math>G</math>. == Definition - Stammfunktion höherer Ordnung == Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> heißt <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> lokale Stammfunktion der Ordnung <math>k</math>, wenn gilt: * Kreischeibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> mit <math> F_{(0)}:= f </math>, * <math> F_{(1)}:= F </math> ist eine Stammfunktion von <math>f</math> auf <math> D_r(z_o)</math> (d.h. <math>F' = f</math>), * <math> F'_{(i+1)}:= F_{(i)} </math> für alle <math>i \in \{1,\ldots ,k-1\}</math>. === Ableitungen und Stammfunktion === Bezeichnet <math>g^{(k)}:G\to \mathbb{C} </math> die <math>k</math>-te Ableitung einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>g:G\to \mathbb{C} </math>, so kann man für <math>k\in \mathbb{N}_0</math> den folgenden Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen herstellen: :<math> \big(F_{(k)}\big)^{(k)}:= f </math> Dabei gilt <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> gilt im Allgemeinen nicht. === Aufgabe für Studierende === Geben Sie eine Gegenbeispiel für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> an, dass <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> im Allgemeinen nicht gilt. <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)}</math> bezeichnet dabei, dass zunächst die Ableitungen gebildet werden und dann eine Stammfunktionen der Ordnung <math>k</math> gebildet wird. <span id="Satz"></span> == Satz über lokale Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], die auf der Kreisscheibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> die folgende Potenzreihendarstellung besitzt :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n,</math> dann besitzt <math>f</math> lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>, die die folgende [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] für <math>|z-z_o|<r</math> besitzt: :<math>F_{(k)} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k},</math> == Beweis == Der Beweis nutzt die summandenweise Integration, weil die Folge der Partialsummen der Potenzreihe von <math>f</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] konvergiert. Der Beweis gliedert sich in die folgenden beiden Teilaussagen: * '''(B1) Existenz:''' lokale Stammfunktion <math>F_{(1)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> erster Ordnung <math>k=1</math>, * '''(B2) Potenzreihendarstellung:''' die Stammfunktion <math>F_{(k)}</math> der Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> besitzt die angegebene Potenzreihendarstellung und * '''(B3) Konvergenzradius:''' der Konvergenzradius der lokalen Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> entspricht dem Konvergenzradius <math>r > 0</math> der Potenzreihe für <math>f</math>. === Beweis B1 - Existenz === Die Existenzaussage lokaler Stammfunktionen (erster Ordnung) erfolgt über die Cauchy-Integralformel und der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen von der Potenzreihe gegen die Potenzreihe der Stammfunktion. Durch das induktive bilden der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math> aus der Stammfunktion der Ordnung <math>n</math> erhält man die lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebiger Ordnung. ==== Beweisschritt B1.1 - Cauchy-Integralformel ==== Über die Cauchy-Integralformel und die Verwendung des [[Cauchy-Kern]]s kann man die Funktion <math>f</math> lokal auf Kreisscheiben <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> in die folgende Potenzreihe entwickeln: :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \underbrace{ \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{=a_n}(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] ist für einen Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> nach dem [[Identitätssatz]] eindeutig bestimmt. Mit der [[Cauchy-Integralformel|Integralformel]] für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. ==== Beweisschritt B1.2 - Gleichmäßige Konvergenz ==== Analog zum Behandlung der [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung in der Funktionentheorie]] nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Potenzreihe, um die darstellende Potenzreihe für <math>f(z)</math> summandenweise integrieren zu können. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>F(z_o)=0</math>. :<math>F(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1}</math> ==== Beweisschritt B1.3 - Stammfunktion der Ordnung 2 ==== Da auch für <math>F</math> die Partialsummen der Potenzreihe von <math>F</math> wieder gleichmäßig gegen die darstellende Potenzreihe für <math>F(z)</math> konvergieren, kann man auch <math>F</math> summandenweise integrieren. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F_{(2)}</math> von <math>F</math>, die ebenfalls die Eigenschaft <math>F_{(2)}(z_o)=0</math> erfüllt. Die Potenzreihe hat damit die folgende Darstellung: :<math>F_{(2)}(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{(n+1)\cdot (n+2)} \cdot (z-z_o)^{n+2}</math> === Beweisschritt B2 - Stammfunktion beliebig hoher Ordnung === Durch fortgesetzte Integration der Stammfunktion erhält man die Existenz lokaler Stammfunktionen (B1) über Erweiterung mit <math>n!</math> im Bruch <math>\tfrac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}</math>. :<math> \begin{array}{rcl} F_{(k)} & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k} \\ & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k}, \\ \end{array} </math> === Beweisschritt B3 - Konvergenzradius der Stammfunktion höherer Ordnung === In dem Beweiteil B3 wird gezeigt, dass der Konvergenzradius der Stammfunktionen <math> F_{(k)}</math> mit beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der lokalen Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> übereinstimmt. ==== Beweisschritt B3.1 - Definition Konvergenzradius ==== Der Konvergenzradius einer Potenzreihe <math display="inline">f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}</math> ist als das [[w:de:Supremum|Supremum]] aller Zahlen <math>r_z \geq 0</math> definiert, für welche die Potenzreihe für (mindestens) ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z-z_0| = r_z</math> [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]]: :<math>r:=\sup \left\{ |z-z_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\ \text{konvergiert}\right.\right\} </math> Falls <math>f</math> eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] ist, dann konvergiert die Potenzreihe für alle komplexen Zahlen und man definiert den Konvergenzradius dann als unendlich: <math>r := \infty</math>. ==== Beweisschritt B3.2 - Satz von Cauchy-Hadamard ==== Der Konvergenzradius lässt sich mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnen: Es gilt :<math>r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.</math> Dabei setzt man <math>r = 0</math>, falls der [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner gegen <math>+\infty</math> konvergiert, und <math>r = +\infty</math>, falls dieser gegen <math>0</math> strebt. ==== Beweisschritt B3.3 - Anwendung auf Stammfunktion ==== Die Potenzreihendarstellung von <math>F</math> lautet unter Verwendung der Indexverschiebung: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{a_{n-1}}{n}}_{=b_n} \cdot (z-z_o)^n. </math> Mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] erhält man: :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)}.</math> ==== Beweisschritt B3.4 - Analyse des Limes Superior ==== Betrachtet man das Argument des [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner, so erhält man durch Umformung folgende Term: :<math> \sqrt[n]{|b_n|} = \sqrt[n]{\left|\frac{a_{n-1}}{n}\right|} = \frac{\sqrt[n]{|a_{n-1}|}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} </math> Für <math>n\to \infty </math> konvergiert der Term <math>\frac{n-1}{n}</math> gegen 1. ==== Beweisschritt B3.5 - Analyse des Limes Superior ==== Mit den [[w:de:Regel_von_de_L’Hospital|Regel von L’Hospital]] lässt sich zeigen, das der Term <math>\sqrt[n]{n}</math> für <math>n\to \infty </math> ebenfalls gegen 1 konvergiert, denn es gilt bei Lograithmierung des Terms <math>\sqrt[n]{n} > 0</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} \ln (\sqrt[n]{n} ) = \lim_{n\to \infty} \frac{\ln (n)}{n} \,\,\, \stackrel{_{L'Hospital}}{=} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \frac{\tfrac{1}{n}}{1} = 0 </math> Damit gilt für <math>\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}= \lim_{n\to \infty} \exp(\ln (\sqrt[n]{n} )) = \exp(0)=1</math>: ==== Beweisschritt B3.6 - Limes Superior und Konvergenzradius ==== Für den [[w:de:Limes superior|Limes superior]] gilt damit insgesamt: :<math> \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} \right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right) </math> Angewendet auf den Konvergenzradius <math>r_{\!_F}</math> erhält man dann Gleichheit der Konvergenzradien von <math>f</math> und <math>F:</math> :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)} = r.</math> ==== Beweisschritt B3.7 - Konvergenzradius und Limes Superior ==== Durch induktive Anwendung des Vorgehens von B3.1 bis B3.6 auf lokale Stammfunktionen höherer Ordnung erhält man die Aussage, dass die Konvergenzradien von aller Stammfunktionen höherer Ordnung mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] übereinstimmt. <math>\Box</math> === Bemerkung - Holomorphiekriterium === Die Existenz lokaler Stammfunktionen <math>F:D_r(z_0)\to \mathcal{C}</math> zu einer Funktion <math>f:G\to \mathcal{C}</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit dieser Eigenschaft gilt auf <math>z\in D_r(z_0)</math> auch <math>F'(z) = f(z)</math>. Damit ist auch <math> f</math> auf dem gesamten Gebiet <math>G</math> holomorph. == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Behandlung der Normalverteilung in der Funktionentheorie]] ewk36mnzp000h3cotzc3jrskw7y4n7l 1076427 1076426 2026-04-07T16:33:47Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Holomorphiekriterium */ 1076427 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Existenz lokaler Stammfunktionen für eine Funktion <math> f:G\to\mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit der Existenz lokal Stammfunktionen <math>F:D_r(z_o)\to \mathbb{C}</math> mit <math>F' = f</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> ist <math>F</math> und damit auch <math>F' = f</math> auf <math>D_r(z_0)</math>. Da <math>f</math> auf ganz <math>G</math> lokale Stammfunktionen besitzt ist <math>f</math> auch überall komplex differenzierbar und damit holomorph auf <math>G</math>. == Definition - Stammfunktion höherer Ordnung == Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> heißt <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> lokale Stammfunktion der Ordnung <math>k</math>, wenn gilt: * Kreischeibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> mit <math> F_{(0)}:= f </math>, * <math> F_{(1)}:= F </math> ist eine Stammfunktion von <math>f</math> auf <math> D_r(z_o)</math> (d.h. <math>F' = f</math>), * <math> F'_{(i+1)}:= F_{(i)} </math> für alle <math>i \in \{1,\ldots ,k-1\}</math>. === Ableitungen und Stammfunktion === Bezeichnet <math>g^{(k)}:G\to \mathbb{C} </math> die <math>k</math>-te Ableitung einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>g:G\to \mathbb{C} </math>, so kann man für <math>k\in \mathbb{N}_0</math> den folgenden Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen herstellen: :<math> \big(F_{(k)}\big)^{(k)}:= f </math> Dabei gilt <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> gilt im Allgemeinen nicht. === Aufgabe für Studierende === Geben Sie eine Gegenbeispiel für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> an, dass <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> im Allgemeinen nicht gilt. <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)}</math> bezeichnet dabei, dass zunächst die Ableitungen gebildet werden und dann eine Stammfunktionen der Ordnung <math>k</math> gebildet wird. <span id="Satz"></span> == Satz über lokale Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], die auf der Kreisscheibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> die folgende Potenzreihendarstellung besitzt :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n,</math> dann besitzt <math>f</math> lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>, die die folgende [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] für <math>|z-z_o|<r</math> besitzt: :<math>F_{(k)} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k},</math> == Beweis == Der Beweis nutzt die summandenweise Integration, weil die Folge der Partialsummen der Potenzreihe von <math>f</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] konvergiert. Der Beweis gliedert sich in die folgenden beiden Teilaussagen: * '''(B1) Existenz:''' lokale Stammfunktion <math>F_{(1)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> erster Ordnung <math>k=1</math>, * '''(B2) Potenzreihendarstellung:''' die Stammfunktion <math>F_{(k)}</math> der Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> besitzt die angegebene Potenzreihendarstellung und * '''(B3) Konvergenzradius:''' der Konvergenzradius der lokalen Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> entspricht dem Konvergenzradius <math>r > 0</math> der Potenzreihe für <math>f</math>. === Beweis B1 - Existenz === Die Existenzaussage lokaler Stammfunktionen (erster Ordnung) erfolgt über die Cauchy-Integralformel und der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen von der Potenzreihe gegen die Potenzreihe der Stammfunktion. Durch das induktive bilden der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math> aus der Stammfunktion der Ordnung <math>n</math> erhält man die lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebiger Ordnung. ==== Beweisschritt B1.1 - Cauchy-Integralformel ==== Über die Cauchy-Integralformel und die Verwendung des [[Cauchy-Kern]]s kann man die Funktion <math>f</math> lokal auf Kreisscheiben <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> in die folgende Potenzreihe entwickeln: :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \underbrace{ \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{=a_n}(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] ist für einen Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> nach dem [[Identitätssatz]] eindeutig bestimmt. Mit der [[Cauchy-Integralformel|Integralformel]] für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. ==== Beweisschritt B1.2 - Gleichmäßige Konvergenz ==== Analog zum Behandlung der [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung in der Funktionentheorie]] nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Potenzreihe, um die darstellende Potenzreihe für <math>f(z)</math> summandenweise integrieren zu können. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>F(z_o)=0</math>. :<math>F(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1}</math> ==== Beweisschritt B1.3 - Stammfunktion der Ordnung 2 ==== Da auch für <math>F</math> die Partialsummen der Potenzreihe von <math>F</math> wieder gleichmäßig gegen die darstellende Potenzreihe für <math>F(z)</math> konvergieren, kann man auch <math>F</math> summandenweise integrieren. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F_{(2)}</math> von <math>F</math>, die ebenfalls die Eigenschaft <math>F_{(2)}(z_o)=0</math> erfüllt. Die Potenzreihe hat damit die folgende Darstellung: :<math>F_{(2)}(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{(n+1)\cdot (n+2)} \cdot (z-z_o)^{n+2}</math> === Beweisschritt B2 - Stammfunktion beliebig hoher Ordnung === Durch fortgesetzte Integration der Stammfunktion erhält man die Existenz lokaler Stammfunktionen (B1) über Erweiterung mit <math>n!</math> im Bruch <math>\tfrac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}</math>. :<math> \begin{array}{rcl} F_{(k)} & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k} \\ & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k}, \\ \end{array} </math> === Beweisschritt B3 - Konvergenzradius der Stammfunktion höherer Ordnung === In dem Beweiteil B3 wird gezeigt, dass der Konvergenzradius der Stammfunktionen <math> F_{(k)}</math> mit beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der lokalen Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> übereinstimmt. ==== Beweisschritt B3.1 - Definition Konvergenzradius ==== Der Konvergenzradius einer Potenzreihe <math display="inline">f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}</math> ist als das [[w:de:Supremum|Supremum]] aller Zahlen <math>r_z \geq 0</math> definiert, für welche die Potenzreihe für (mindestens) ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z-z_0| = r_z</math> [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]]: :<math>r:=\sup \left\{ |z-z_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\ \text{konvergiert}\right.\right\} </math> Falls <math>f</math> eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] ist, dann konvergiert die Potenzreihe für alle komplexen Zahlen und man definiert den Konvergenzradius dann als unendlich: <math>r := \infty</math>. ==== Beweisschritt B3.2 - Satz von Cauchy-Hadamard ==== Der Konvergenzradius lässt sich mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnen: Es gilt :<math>r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.</math> Dabei setzt man <math>r = 0</math>, falls der [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner gegen <math>+\infty</math> konvergiert, und <math>r = +\infty</math>, falls dieser gegen <math>0</math> strebt. ==== Beweisschritt B3.3 - Anwendung auf Stammfunktion ==== Die Potenzreihendarstellung von <math>F</math> lautet unter Verwendung der Indexverschiebung: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{a_{n-1}}{n}}_{=b_n} \cdot (z-z_o)^n. </math> Mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] erhält man: :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)}.</math> ==== Beweisschritt B3.4 - Analyse des Limes Superior ==== Betrachtet man das Argument des [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner, so erhält man durch Umformung folgende Term: :<math> \sqrt[n]{|b_n|} = \sqrt[n]{\left|\frac{a_{n-1}}{n}\right|} = \frac{\sqrt[n]{|a_{n-1}|}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} </math> Für <math>n\to \infty </math> konvergiert der Term <math>\frac{n-1}{n}</math> gegen 1. ==== Beweisschritt B3.5 - Analyse des Limes Superior ==== Mit den [[w:de:Regel_von_de_L’Hospital|Regel von L’Hospital]] lässt sich zeigen, das der Term <math>\sqrt[n]{n}</math> für <math>n\to \infty </math> ebenfalls gegen 1 konvergiert, denn es gilt bei Lograithmierung des Terms <math>\sqrt[n]{n} > 0</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} \ln (\sqrt[n]{n} ) = \lim_{n\to \infty} \frac{\ln (n)}{n} \,\,\, \stackrel{_{L'Hospital}}{=} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \frac{\tfrac{1}{n}}{1} = 0 </math> Damit gilt für <math>\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}= \lim_{n\to \infty} \exp(\ln (\sqrt[n]{n} )) = \exp(0)=1</math>: ==== Beweisschritt B3.6 - Limes Superior und Konvergenzradius ==== Für den [[w:de:Limes superior|Limes superior]] gilt damit insgesamt: :<math> \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} \right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right) </math> Angewendet auf den Konvergenzradius <math>r_{\!_F}</math> erhält man dann Gleichheit der Konvergenzradien von <math>f</math> und <math>F:</math> :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)} = r.</math> ==== Beweisschritt B3.7 - Konvergenzradius und Limes Superior ==== Durch induktive Anwendung des Vorgehens von B3.1 bis B3.6 auf lokale Stammfunktionen höherer Ordnung erhält man die Aussage, dass die Konvergenzradien von aller Stammfunktionen höherer Ordnung mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] übereinstimmt. <math>\Box</math> === Bemerkung - Holomorphiekriterium === Die Existenz lokaler Stammfunktionen <math>F:D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zu einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit dieser Eigenschaft gilt auf <math>z\in D_r(z_0)</math> auch <math>F'(z) = f(z)</math>. Damit ist auch <math> f</math> auf dem gesamten Gebiet <math>G</math> holomorph. == Siehe auch == * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Behandlung der Normalverteilung in der Funktionentheorie]] jwhjtvb0m22xtr1hvq7ig1hervtuvit 106 170032 1076459 1076223 2026-04-08T09:21:48Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1076459 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{z_1}^{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle}{z_4} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> ==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ==== In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] ==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Approximation der Dreiecksfläche ==== Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite ==== Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> ==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ==== Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ==== Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 46rc2r7cel1kq4kvqt3zjeieq2h6umc 1076460 1076459 2026-04-08T09:22:11Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1076460 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für Flächentheorie]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> === Veranschaulichung 1 - Dreieck als Wegintegral === Das Flächenintegral über ein Dreieck lässt sich mit dem Flächenintegralsatz für Dreiecke über die Wegintegrale über den Rand des Dreiecks darstellen. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v16 LibreOffice Draw Export als PNG]] === Veranschaulichung 2 - Dreieck als Wegintegral === Der Flächeninhalt des zweiten Dreiecks <math>\widetilde{\Delta}</math> wird analog berechnet durch Approximation durch eingeschrieben Rechtecke: [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Flächenintegration und Zerlegung in Teildreiecke v15 LibreOffice Draw Export als PNG]] <!-- [[File:Flaechenintegration v13 dreieck.png|350px|center|Flaechenintegration v13 dreieck - mit LibreOffice Draw erstellt und als PNG exportiert]] --> ==== Bemerkung Veranschaulichung - Dreieck als Wegintegral ==== Wichtig für das Flächenintegral ist, dass das Wegintegral über den Rand des Dreiecks kein geschlossener Weg sein kann, denn dann wäre das komplexe Flächenintegral für beliebige Dreieck nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] immer 0. == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{z_1}^{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle}^{z_4} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisidee - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert * die Rechtecke werden auf zwei Arten über das Darstellungswerte berechnet und der doppelte Flächeninhalt von <math>\Delta</math> berechnet. Der Faktor <math>\tfrac{1}{2}</math> entsteht durch die Division durch 2 nach der Berechnung des doppelten Flächeninhaltes von <math>\Delta</math>. ==== Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke ==== Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen nach Definition des [[komplexes Flächenintegral|Flächenintegrals]] wie folgt über die Stammfunktion <math>F(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2) +F(z_1) </math> ==== Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche ==== In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] ==== Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Approximation der Dreiecksfläche ==== Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite ==== Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> ==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ==== Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ==== Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Zerlegungslemma von Rechteckintegralen in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] c5bnsx5522n1n07ggvkzq3omffd9ul5 106 170042 1076403 1076132 2026-04-07T14:50:53Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Flächenstammfunktion */ 1076403 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegrals über Rechtecke]] stellt sich wie in der reellen Analysis die Frage, wie sich zwei Stammfunktionen <math>F_1:G\to \mathbb{C}</math> und <math>F_2:G\to \mathbb{C}</math> zu einer Funktion holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> unterscheiden. In der reellen und komplexen Analysis unterscheiden sich zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> um eine Konstante <math>c_0\in \mathbb{C}</math>. === Unterschied - Stammfunktion und Flächenstammfunktion === Es wird sich zeigen, dass sich zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{1}^{\Box}</math> und <math>F_{2}^\Box</math> für Rechtecke, um sogar um einen affinen Term <math>c_1\cdot z + c_0</math> unterscheiden können. Ferner ist jede Stammfunktion <math>F</math> auch eine Flächenstammfunktion, aber nicht jede Flächenstammfunktion <math>F^{\Box}</math> ist auch eine Stammfunktion von <math>f</math>. === Differenzsatz für Flächenstammfunktionen === Jede Flächenstammfunktion <math>F_k^{\Box}</math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] besitzt nach der [[Cauchy-Integralformel]] eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]]. Die :<math> F_k^{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n^\cdot (z-z_0)^n </math> Der [[Differenzsatz für Flächenstammfunktionen]] zeigt dann, dass sich Stammfunktionen und eine Konstante <math>c_0\in \mathbb{C}</math> unterscheiden und zwei Flächenstammfunktionen um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>c_1\cdot z + c_0</math>. == Definition - Menge aller konvexen Rechtecken == Sei <math>G</math> ein Gebiet, dann bezeichnet <math> \mathcal{R}(G)</math> bezeichnet die Menge aller konvexen Rechtecke <math>R= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math> R\subset G</math>. === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] == Definition - Flächenintergral über Rechtecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math>. Sei <math>F^\Box :G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] <math>z_o\in K </math> auf dem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C}</math>. <math>F^\Box</math> heißt [[Flächenstammfunktion]] für <math>f</math>, falls für alle Rechtecke <math>R\in \mathcal{R}(G)</math> gilt: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F^\Box(z_4)-F^\Box(z_3)-F^\Box(z_2)+F^\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Eckpunkte des Rechtecks === Für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subseteq G</math> werden die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> wie folgt bezeichnet: * <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math> und <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2 </math> (untere Rechteckseite) * <math>z_3 := b_1 + i\cdot a_2</math> und <math>z_4 := b_1 + i\cdot b_2 </math> (obere Rechteckseite) === Bemerkung - Stammfunktion === Jede Stammfunktion ist nach Definition des Rechteckintegrals eine Flächenstammfunktion. Für <math>f(z)=z^2</math> und <math>G=\mathbb{C}</math> ist <math>F^\Box(z):=\tfrac{1}{3}z^3+10z+100</math> eine Flächenstammfunktion von <math>f</math>, aber offensichtlich keine Stammfunktion. Für die Stammfunktion <math>F(z):=\tfrac{1}{3}z^3</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe - Eigenschaft nachweisen == * Berechnen Sie für <math>G=\mathbb{C}</math> und die <math>f(z)=z^2+2i</math>, die Stammfunktion <math>F(z):=\tfrac{1}{3}z^3</math> und der Flächenstammfunktion <math>F^\Box(z):=\tfrac{1}{3}z^3+10z+100</math> die Rechteckfläche von <math>R:=[-1,1]+i\cdot [3,5]</math>: ::<math> \int_{R} f(z) \, dz = F^\Box(z_4)-F^\Box(z_3)-F^\Box(z_2)+F^\Box(z_1) </math> * Zeigen Sie für <math>f(z)=z^2+2i</math> und <math>G=\mathbb{C}</math>, dass <math>F^\Box(z):=\tfrac{1}{3}z^3+10z+100</math> eine Flächenstammfunktion für <math>f</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegral]] stkuiqp40o5lwdewy09l9pokcqv8oxk 1076404 1076403 2026-04-07T14:54:29Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Stammfunktion */ 1076404 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegrals über Rechtecke]] stellt sich wie in der reellen Analysis die Frage, wie sich zwei Stammfunktionen <math>F_1:G\to \mathbb{C}</math> und <math>F_2:G\to \mathbb{C}</math> zu einer Funktion holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> unterscheiden. In der reellen und komplexen Analysis unterscheiden sich zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> um eine Konstante <math>c_0\in \mathbb{C}</math>. === Unterschied - Stammfunktion und Flächenstammfunktion === Es wird sich zeigen, dass sich zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{1}^{\Box}</math> und <math>F_{2}^\Box</math> für Rechtecke, um sogar um einen affinen Term <math>c_1\cdot z + c_0</math> unterscheiden können. Ferner ist jede Stammfunktion <math>F</math> auch eine Flächenstammfunktion, aber nicht jede Flächenstammfunktion <math>F^{\Box}</math> ist auch eine Stammfunktion von <math>f</math>. === Differenzsatz für Flächenstammfunktionen === Jede Flächenstammfunktion <math>F_k^{\Box}</math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] besitzt nach der [[Cauchy-Integralformel]] eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]]. Die :<math> F_k^{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n^\cdot (z-z_0)^n </math> Der [[Differenzsatz für Flächenstammfunktionen]] zeigt dann, dass sich Stammfunktionen und eine Konstante <math>c_0\in \mathbb{C}</math> unterscheiden und zwei Flächenstammfunktionen um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>c_1\cdot z + c_0</math>. == Definition - Menge aller konvexen Rechtecken == Sei <math>G</math> ein Gebiet, dann bezeichnet <math> \mathcal{R}(G)</math> bezeichnet die Menge aller konvexen Rechtecke <math>R= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math> R\subset G</math>. === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] == Definition - Flächenintergral über Rechtecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math>. Sei <math>F^\Box :G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] <math>z_o\in K </math> auf dem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C}</math>. <math>F^\Box</math> heißt [[Flächenstammfunktion]] für <math>f</math>, falls für alle Rechtecke <math>R\in \mathcal{R}(G)</math> gilt: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F^\Box(z_4)-F^\Box(z_3)-F^\Box(z_2)+F^\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Eckpunkte des Rechtecks === Für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subseteq G</math> werden die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> wie folgt bezeichnet: * <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math> und <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2 </math> (untere Rechteckseite) * <math>z_3 := b_1 + i\cdot a_2</math> und <math>z_4 := b_1 + i\cdot b_2 </math> (obere Rechteckseite) === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Jede Stammfunktion zweiter Ordnung ist nach Definition des Rechteckintegrals eine [[Flächenstammfunktion]]. Für <math>f(z)=\tfrac{1}{2}\cdot z</math> und <math>G=\mathbb{C}</math> ist <math>F^\Box(z):=\tfrac{1}{3}\cdot z^3+10\cdot z+100</math> eine [[Flächenstammfunktion]] von <math>f</math>, aber offensichtlich keine Stammfunktion. Für die Stammfunktion <math>F(z):=\tfrac{1}{3}\cdot z^3</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> == Aufgabe - Eigenschaft nachweisen == * Berechnen Sie für <math>G=\mathbb{C}</math> und die <math>f(z)=z^2+2i</math>, die Stammfunktion <math>F(z):=\tfrac{1}{3}z^3</math> und der Flächenstammfunktion <math>F^\Box(z):=\tfrac{1}{3}z^3+10z+100</math> die Rechteckfläche von <math>R:=[-1,1]+i\cdot [3,5]</math>: ::<math> \int_{R} f(z) \, dz = F^\Box(z_4)-F^\Box(z_3)-F^\Box(z_2)+F^\Box(z_1) </math> * Zeigen Sie für <math>f(z)=z^2+2i</math> und <math>G=\mathbb{C}</math>, dass <math>F^\Box(z):=\tfrac{1}{3}z^3+10z+100</math> eine Flächenstammfunktion für <math>f</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegral]] 71aawrduuv4dk9b2hh12l8lespbj7tt 1076405 1076404 2026-04-07T14:55:47Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegral über Rechtecke]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen: Bezeichnung nicht mehr passend bei Zerlegung der Inhalte auf mehrere Lerneinheiten 1076404 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegrals über Rechtecke]] stellt sich wie in der reellen Analysis die Frage, wie sich zwei Stammfunktionen <math>F_1:G\to \mathbb{C}</math> und <math>F_2:G\to \mathbb{C}</math> zu einer Funktion holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> unterscheiden. In der reellen und komplexen Analysis unterscheiden sich zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> um eine Konstante <math>c_0\in \mathbb{C}</math>. === Unterschied - Stammfunktion und Flächenstammfunktion === Es wird sich zeigen, dass sich zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{1}^{\Box}</math> und <math>F_{2}^\Box</math> für Rechtecke, um sogar um einen affinen Term <math>c_1\cdot z + c_0</math> unterscheiden können. Ferner ist jede Stammfunktion <math>F</math> auch eine Flächenstammfunktion, aber nicht jede Flächenstammfunktion <math>F^{\Box}</math> ist auch eine Stammfunktion von <math>f</math>. === Differenzsatz für Flächenstammfunktionen === Jede Flächenstammfunktion <math>F_k^{\Box}</math> als [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] besitzt nach der [[Cauchy-Integralformel]] eine [[Potenzreihenalgebra|Potenzreihenentwicklung]]. Die :<math> F_k^{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n^\cdot (z-z_0)^n </math> Der [[Differenzsatz für Flächenstammfunktionen]] zeigt dann, dass sich Stammfunktionen und eine Konstante <math>c_0\in \mathbb{C}</math> unterscheiden und zwei Flächenstammfunktionen um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>c_1\cdot z + c_0</math>. == Definition - Menge aller konvexen Rechtecken == Sei <math>G</math> ein Gebiet, dann bezeichnet <math> \mathcal{R}(G)</math> bezeichnet die Menge aller konvexen Rechtecke <math>R= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math> R\subset G</math>. === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] == Definition - Flächenintergral über Rechtecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math>. Sei <math>F^\Box :G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] <math>z_o\in K </math> auf dem Gebiet <math> G\subseteq \mathbb{C}</math>. <math>F^\Box</math> heißt [[Flächenstammfunktion]] für <math>f</math>, falls für alle Rechtecke <math>R\in \mathcal{R}(G)</math> gilt: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F^\Box(z_4)-F^\Box(z_3)-F^\Box(z_2)+F^\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Eckpunkte des Rechtecks === Für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subseteq G</math> werden die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> wie folgt bezeichnet: * <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math> und <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2 </math> (untere Rechteckseite) * <math>z_3 := b_1 + i\cdot a_2</math> und <math>z_4 := b_1 + i\cdot b_2 </math> (obere Rechteckseite) === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Jede Stammfunktion zweiter Ordnung ist nach Definition des Rechteckintegrals eine [[Flächenstammfunktion]]. Für <math>f(z)=\tfrac{1}{2}\cdot z</math> und <math>G=\mathbb{C}</math> ist <math>F^\Box(z):=\tfrac{1}{3}\cdot z^3+10\cdot z+100</math> eine [[Flächenstammfunktion]] von <math>f</math>, aber offensichtlich keine Stammfunktion. 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Kohomologische Version. {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow H^1(U, {{op:Strukturgarbe|U|}} ) \stackrel{d}{\longrightarrow} H^1(U, {{op:Strukturgarbe|U|}} )^2 \stackrel{d}{\longrightarrow} H^1(U, {{op:Strukturgarbe|U|}} ) \longrightarrow 0 |SZ=. }} Dabei geht {{mathl|term= X^a Y^b |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=beide Exponenten negativ| |ISZ=|ESZ= }} auf die beiden partiellen Ableitungen {{mathl|term= {{makl| a X^{a-1}Y^b, b X^aY^{b-1} |}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{makl| X^aY^b,X^cY^d |}} |SZ=}} geht auf {{mathl|term= bX^aY^{b-1} -cX^{c-1}Y^d |SZ=.}} Dies führt auf die Bedingungen {{ Relationskette | a || c-1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | d || b-1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | b || c || || || |SZ=. }} {{math|term= C |SZ=}} glatte projektive Kurve vom Geschlecht {{math|term= g |SZ=.}} Dann führt der Komplex {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Strukturgarbe|C|}} \stackrel{d}{\longrightarrow} \omega_C \longrightarrow 0 |SZ= }} global auf {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow K \stackrel{0}{\longrightarrow} \Gamma(C, \omega_C) \cong K^g \longrightarrow 0 |SZ=, }} und dies liefert einen Beitrag {{math|term= K^g |SZ=.}} Die erste Kohomologie ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow H^1(C, {{op:Strukturgarbe|C|}} ) \cong K^g \stackrel{}{\longrightarrow} H^1(C, \omega_C) \cong K \longrightarrow 0 |SZ=, }} Nullabbildung? |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} bdqpxsjk2xdo1hf6psay1ia23xqssaq 1076439 1076423 2026-04-07T17:37:06Z Bocardodarapti 2041 1076439 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{mathl|term= {{op:Affine Ebene|K|}} \setminus \{0\} |SZ=}} {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow R \stackrel{d}{\longrightarrow} R^2 \cong \Omega \stackrel{d}{\longrightarrow} R \cong \bigwedge^2 \Omega \longrightarrow 0 |SZ= }} ist die globale Auswertung und exakt, so wie auf der vollen Ebene. 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Ein Garbenkomplex {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{GarbeA|}}_1 \longrightarrow {{GarbeA|}}_2 \longrightarrow {{GarbeA|}}_3 \longrightarrow \ldots |SZ= }} führt zu den Homologiegarben {{ Relationskette/display | {{GarbeH|}}_i | {{defeq}} | {{op:Kern|d_{i+1}|}}/ {{op:Bild|d_{i}|}} || || || |SZ= }} und zu kurzen exakten Sequenzen {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Kern|d_{i+1}|}} | {{GarbeA|}}_i | {{GarbeA|}}_{i}/ {{op:Kern|d_{i+1}|}} }} und {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Bild|d_{i}|}} | {{op:Kern|d_{i+1}|}} | {{GarbeH|}}_i |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} laqauhe0zzfowj1zb6bu5o4730twdea 106 170061 1076407 2026-04-07T15:08:44Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1076407 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Flächenintegrale für Rechtecke]] zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F_{z_o}(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Funktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion falls <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F_{z_o}(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] lautet dann wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsummen gegen die Taylorreihe und summandenweiser Integration: :<math> F_{z_o}(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Konvexkombination]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] szdqft9gb1868vceoyt3okitk5u6fx2 1076424 1076407 2026-04-07T16:20:28Z Bert Niehaus 20843 1076424 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Kurs:Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale für Rechtecke]] zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F_{z_o}(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Funktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion falls <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F_{z_o}(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] lautet dann wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsummen gegen die Taylorreihe und summandenweiser Integration: :<math> F_{z_o}(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Konvexkombination]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] j4bnu4uz2uxzvc7p7lfhnfgfggnzka7 1076438 1076424 2026-04-07T17:37:04Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1076438 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale für Rechtecke]]) zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F_{z_o}(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Funktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion falls <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F_{z_o}(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] lautet dann wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsummen gegen die Taylorreihe und summandenweiser Integration: :<math> F_{z_o}(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Konvexkombination]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] knagrpp4e56x7u3duky0geq9o2aco6u 1076440 1076438 2026-04-07T17:47:07Z Bert Niehaus 20843 /* Stammfunktion als Wegintegral */ 1076440 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale für Rechtecke]]) zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Funktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion falls <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F_{z_o}(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] lautet dann wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsummen gegen die Taylorreihe und summandenweiser Integration: :<math> F_{z_o}(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Konvexkombination]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 6voidkapd7pucl0v9wtzaaufhiatq01 1076441 1076440 2026-04-07T17:53:20Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenstammfunktion als Wegintegral */ 1076441 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale für Rechtecke]]) zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist nun wiederum ein [[holomorphe Funktion]]. Für diese kann man wieder ein Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Flächenstammfunktion definieren, da <math>G</math> nach Voraussetzung [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> wieder ein konvexes Gebiet. Dann besitzt die holomorphe Funktion <math>F</math> nach dem [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> analog zu Stammfunktion definiert wird. :<math> F_{\Box}(z) := \int_{\gamma_z} F(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} F(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] lautet dann wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsummen gegen die Taylorreihe und summandenweiser Integration: :<math> F_{z_o}(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Konvexkombination]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] mofynmzx2t6zhtnu5c40j9hlcl7zejn 1076442 1076441 2026-04-07T17:57:57Z Bert Niehaus 20843 /* Taylorentwicklung der Stammfunktion */ 1076442 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale für Rechtecke]]) zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist nun wiederum ein [[holomorphe Funktion]]. Für diese kann man wieder ein Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Flächenstammfunktion definieren, da <math>G</math> nach Voraussetzung [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> wieder ein konvexes Gebiet. Dann besitzt die holomorphe Funktion <math>F</math> nach dem [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> analog zu Stammfunktion definiert wird. :<math> F_{\Box}(z) := \int_{\gamma_z} F(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} F(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> == Taylorentwicklung der Funktionen == Wegen der [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] der Partialsummen der Potenzreihe gegen die Potenzreihe, darf man Grenzwertprozesse vertauschen und summandenweise differenzieren und integrieren. Die Integration liefert zunächst die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Stammfunktion und bei erneuter Intergation die Taylorentwicklung der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion#Definition|Flächenstammfunktion]]. === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] lautet dann wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsummen gegen die Taylorreihe und summandenweiser Integration: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Konvexkombination]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] qftbqtfuwuqty6zdreq7o75tpvjn9qn 1076443 1076442 2026-04-07T18:03:03Z Bert Niehaus 20843 /* Taylorentwicklung der Funktionen */ 1076443 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale für Rechtecke]]) zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist nun wiederum ein [[holomorphe Funktion]]. Für diese kann man wieder ein Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Flächenstammfunktion definieren, da <math>G</math> nach Voraussetzung [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> wieder ein konvexes Gebiet. Dann besitzt die holomorphe Funktion <math>F</math> nach dem [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> analog zu Stammfunktion definiert wird. :<math> F_{\Box}(z) := \int_{\gamma_z} F(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} F(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> == Taylorentwicklung der Funktionen == Wegen der [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] der Partialsummen der Potenzreihe gegen die Potenzreihe, darf man Grenzwertprozesse vertauschen und summandenweise differenzieren und integrieren. Die Integration liefert zunächst die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Stammfunktion und bei erneuter Intergation die Taylorentwicklung der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion#Definition|Flächenstammfunktion]]. === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] erhält man über summandenweise Integration: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Sei <math>F(z) = \sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Flächenstammfunktion erhält man analog über summandenweise Integration: :<math> F_\Box(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} F(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Konvexkombination]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 3gbvhk1awqmdhh6goor28f2huzc6w93 106 170062 1076431 2026-04-07T17:23:25Z Bert Niehaus 20843 Inhalte hier wurden verschoben und für die grundlegenden Ideen hier Platz zu schaffen. 1076431 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. bmf4nkwlo4ymftpplcvn9zyz6md11y2 1076432 1076431 2026-04-07T17:25:50Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1076432 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] 1zmev5yh69nw81jickw0sdk2x2k4mfy 1076437 1076432 2026-04-07T17:35:17Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1076437 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Flächenintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] fvqtm9eh0kikk5xxalvg5sr23th8yj3 0 170063 1076434 2026-04-07T17:32:06Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke]] erstellt 1076434 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke]] r9m1q4twnj1towlkwmtoctomw296po3 1076435 1076434 2026-04-07T17:33:17Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitungsziel von [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke#Rechteckintegral]] geändert 1076435 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke#Rechteckintegral]] eawfdoqxitzz1f8vylmlqf3w65oupv1 106 170064 1076452 2026-04-07T19:37:05Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1076452 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der reellen Analysis ist bekannt, dass sich zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von einer Funktion <math>f:D\to\mathbb{R}</math> sich um eine Konstante unterscheiden. Dieses Aussage wird mit dem Differenzsatz für Stammfunktionen auf Stammfunktionen beliebiger hoher Ordnung erweitert. Für holomorphe Funktionen existieren immer lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung. == Siehe auch == * [[lokale Stammfunktionen]] dx2ihgtkymzm2qhhnqrfkvxfhxzyk0p 1076454 1076452 2026-04-07T19:38:47Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1076454 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der reellen Analysis ist bekannt, dass sich zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von einer Funktion <math>f:D\to\mathbb{R}</math> sich um eine Konstante unterscheiden. Dieses Aussage wird mit dem Differenzsatz für Stammfunktionen auf Stammfunktionen beliebiger hoher Ordnung erweitert. Für holomorphe Funktionen existieren immer lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung. == Siehe auch == * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] 07wg8c7u7n9zppdywr7mafayojl4nvo 1076455 1076454 2026-04-07T19:50:05Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1076455 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der reellen Analysis ist bekannt, dass sich zwei Stammfunktionen <math>F</math> und <math>\widehat{F}</math> von einer Funktion <math>f:D\to\mathbb{R}</math> sich um eine Konstante <math>c\in\mathbb{R}</math> unterscheiden (d.h. <math>F-\widehat{F} = c</math>). Dieses Aussage wird mit dem Differenzsatz für Stammfunktionen auf Stammfunktionen beliebiger hoher Ordnung erweitert. Für holomorphe Funktionen <math>f</math> existieren immer lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung. Allgemeiner unterscheiden sich zwei <math>F_{(n)}</math> und <math>\widehat{F}_{(n)}</math> um ein Polynom <math>p</math> der Ordnung <math>n-1</math>. == Differenzsatz für Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] und <math>D_r(z_0)</math> eine Kreisscheibe mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math>. Seien ferner <math>F_{(n)} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{F}_{(n)} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zwei Stammfunktionen der Ordnung <math>n\in \mathbb{N}</math>, dann existiert der Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> der Ordnung <math>n-1</math> mit: :<math> F_{(n)}(z) \widehat{F}_{(n)}(z) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot (z-z_o)^k </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den obigen Satz! == Siehe auch == * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] klio8uvj9f52ygdir05rao6ba4yruq9 1076458 1076455 2026-04-08T09:14:52Z Bert Niehaus 20843 /* Differenzsatz für Stammfunktionen */ 1076458 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der reellen Analysis ist bekannt, dass sich zwei Stammfunktionen <math>F</math> und <math>\widehat{F}</math> von einer Funktion <math>f:D\to\mathbb{R}</math> sich um eine Konstante <math>c\in\mathbb{R}</math> unterscheiden (d.h. <math>F-\widehat{F} = c</math>). Dieses Aussage wird mit dem Differenzsatz für Stammfunktionen auf Stammfunktionen beliebiger hoher Ordnung erweitert. Für holomorphe Funktionen <math>f</math> existieren immer lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung. Allgemeiner unterscheiden sich zwei <math>F_{(n)}</math> und <math>\widehat{F}_{(n)}</math> um ein Polynom <math>p</math> der Ordnung <math>n-1</math>. == Differenzsatz für Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] und <math>D_r(z_0)</math> eine Kreisscheibe mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math>. Seien ferner <math>F_{(n)} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{F}_{(n)} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zwei Stammfunktionen der Ordnung <math>n\in \mathbb{N}</math>, dann existiert der Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> der Ordnung <math>n-1</math> mit: :<math> F_{(n)}(z) - \widehat{F}_{(n)}(z) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot (z-z_o)^k </math> === Aufgabe für Studierende === Beweisen Sie den obigen Satz induktiv und starten bei zwei lokalen Stammfunktionen <math>F : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{F} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> mit <math> F=F_{(1)}</math> und <math>\widehat{F}=\widehat{F}_{(1)}</math> und betrachten für den Induktionsschritt induktiv jeweils die Stammfunktion der Stammfunktion <math>n</math>-ter Ordnung! == Siehe auch == * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] gu4fmyzkcas66i87bjo3oq2wcdhye6n 0 170065 1076457 2026-04-08T09:10:20Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen]] erstellt 1076457 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen]] hnp17vxujs9ysnto5d8vgx5epdrdli1