Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.23 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1076793 1076724 2026-04-11T05:42:51Z Bert Niehaus 20843 /* Integral über messbare Menge */ 1076793 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphiekriterien]] == Funktionentheorie - Teil 2 == === Integral über messbare Menge === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[orientierte Fläche]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Flächenstammfunktion/]] und Unterschied zur Stammfunktion * [[/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale/]] * [[/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil/]] * [[/Wegintegral und Flächenintegrale/|Vergleich - Wegintegrale, Doppelintegrale und Flächenintegrale]] * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> bnbqmaol5whpjm10oky5dv05pus0ehi 1076795 1076793 2026-04-11T05:45:27Z Bert Niehaus 20843 /* Integral über messbare Menge */ 1076795 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphiekriterien]] == Funktionentheorie - Teil 2 == === Integral über messbare Menge === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Flächenstammfunktion/]] und Unterschied zur Stammfunktion * [[/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale/]] * [[/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil/]] * [[/Wegintegral und Flächenintegrale/|Vergleich - Wegintegrale, Doppelintegrale und Flächenintegrale]] * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 8mjdts7whaiyua9b27xe8g8i3o2ahwb 1076813 1076795 2026-04-11T07:18:58Z Bert Niehaus 20843 /* Integral über messbare Menge */ 1076813 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphiekriterien]] == Funktionentheorie - Teil 2 == === Integral über messbare Menge === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale/]] * [[/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil/]] * [[/Wegintegral und Flächenintegrale/|Vergleich - Wegintegrale, Doppelintegrale und Flächenintegrale]] * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> fe4edivgndyvqfdvsvrh02gx9nf7nld 1076816 1076813 2026-04-11T07:25:09Z Bert Niehaus 20843 /* Funktionentheorie - Teil 2 */ 1076816 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphiekriterien]] == Funktionentheorie - Teil 2 == === Integral über messbare Menge === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil/]] * [[/Wegintegral und Flächenintegrale/|Vergleich - Wegintegrale, Doppelintegrale und Flächenintegrale]] * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> hya7hbf3jyc3zq5nstyzponx50s5jxh 1076821 1076816 2026-04-11T07:36:08Z Bert Niehaus 20843 /* Integral über messbare Menge */ 1076821 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphiekriterien]] == Funktionentheorie - Teil 2 == === Integral über messbare Menge === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wegintegral und Flächenintegrale/|Vergleich - Wegintegrale, Doppelintegrale und Flächenintegrale]] * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> fly5ticntg160v293h61kup0s77mkgt 1076822 1076821 2026-04-11T07:38:26Z Bert Niehaus 20843 /* Integral über messbare Menge */ 1076822 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphiekriterien]] == Funktionentheorie - Teil 2 == === Integral über messbare Menge === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 6x5hf3ofck4m7497krxmcj0e5gcsjaj 0 45096 1076771 1038865 2026-04-10T15:59:56Z Bocardodarapti 2041 1076771 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= (G, \circ, e_G) |und|term2= (H, \circ, e_H) |SZ= }} {{ Definitionslink |Monoide| |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \psi | G | H || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|Monoidhomomorphismus|SZ=,}} wenn {{ Relationskette | \psi(e_G) || e_H || || || |SZ= }} und die Gleichheit {{ Relationskette/display | \psi( g \circ g') || \psi (g) \circ \psi (g') || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | g,g' | \in | G || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Monoidhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Monoidhomomorphismus |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6czayr4rg959biq9f5c92646e4s9xb4 0 99954 1076797 1076228 2026-04-11T05:51:20Z Bert Niehaus 20843 /* (HK5) Lokale Stammfunktionen */ 1076797 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Holomorphie einer Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> in einem Punkt <math>z_0\in U</math> ist eine Umgebungseigenschaft von <math>z_0</math>. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. Im Folgenden sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] als Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. === Animation - Veranschaulichung der Abbildung === Die Animation zeigt für die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>. Für die Animation werden <math>z</math> in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt <math>f(z)</math> in roter Farbe dargestellt. Der Punkt <math>z</math> und <math>f(z)</math> werden dabei in <math>\mathbb{C}\widetilde{=}\mathbb{R}^2</math> dargestellt. Die <math>y</math>-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl <math>z</math> bzw. <math>f(z)</math>. Der blaue Punkt <math>z</math> bewegt sich auf dem Weg <math>\gamma(t):=t\cdot (cos(t)+ i\cdot \sin(t)) </math> [[File:Mapping f z equal 1 over z.gif|400px|zentriert|Animation]] === Komplexe Differenzierbarkeit === Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Holomorphie === Die Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U_0 \subseteq U</math> von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. Ist <math>f</math> auf ganz <math>U</math> holomorph, so nennt man <math>f</math> holomorph. Ist weiter <math>U=\mathbb{C}</math>, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' ==Holomorphiekriterien== Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine Funktion <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen <math>f</math> äquivalent: === (HK1) 1x komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist einmal komplex differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK2) beliebig oft komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist beliebig oft komplex differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK3) Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Real- <math>f_1</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> erfüllen die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] und <math>f_1, f_2</math> sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK4) Lokal in Potenzreihen entwickelbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> in eine komplexe [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. === (HK5) Lokale Stammfunktionen === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> eine Stammfunktion mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math>. === (HK6) Lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. === (HK6) Wegintegrale 0 === Ist <math>G</math> einfach zusammenhängend, ist das folgende Bedingung ebenfalls ein Holomorphiekriterium. : Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist stetig und das [[w:Kurvenintegral|Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. === (HK7) Cauchysche Integralformel === Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. === (HK8) Cauchy-Riemann-Operator === <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt<br /><math>\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,</math><br />wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. == Aufgaben == * Seinen <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, es gelte <math>a \ne z_o</math>. Entwickeln Sie nun den Funktion <math>f(z):=\frac{1}{z-a}</math> für <math>z\in\mathbb{C}\setminus \{a\}</math> in eine Potenzreihe um <math>z_o \in \mathbb{C}</math> und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math display="block">f(z)=\frac{1}{z-a} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(a-z_o)^{n+1}} \cdot (z-z_o)^n</math> * Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der [[Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|Konvergenzradius]] in der berechneten Weise von <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> abhängt und nicht größer sein kann! * Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion <math>f</math> auch folgt, dass <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz <math>\mathbb{R}</math> definierte Funktion <math>g(x):= x \cdot |x|</math>. * Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Quiz]] == Quellen == <noinclude>[[en:Holomorphic function/Criteria]]</noinclude> fa8dywst864o0ij7022w8ic0nr71y35 1076798 1076797 2026-04-11T05:53:05Z Bert Niehaus 20843 /* Holomorphiekriterien */ 1076798 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Holomorphie einer Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> in einem Punkt <math>z_0\in U</math> ist eine Umgebungseigenschaft von <math>z_0</math>. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. Im Folgenden sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] als Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. === Animation - Veranschaulichung der Abbildung === Die Animation zeigt für die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>. Für die Animation werden <math>z</math> in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt <math>f(z)</math> in roter Farbe dargestellt. Der Punkt <math>z</math> und <math>f(z)</math> werden dabei in <math>\mathbb{C}\widetilde{=}\mathbb{R}^2</math> dargestellt. Die <math>y</math>-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl <math>z</math> bzw. <math>f(z)</math>. Der blaue Punkt <math>z</math> bewegt sich auf dem Weg <math>\gamma(t):=t\cdot (cos(t)+ i\cdot \sin(t)) </math> [[File:Mapping f z equal 1 over z.gif|400px|zentriert|Animation]] === Komplexe Differenzierbarkeit === Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Holomorphie === Die Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U_0 \subseteq U</math> von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. Ist <math>f</math> auf ganz <math>U</math> holomorph, so nennt man <math>f</math> holomorph. Ist weiter <math>U=\mathbb{C}</math>, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' ==Holomorphiekriterien== Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine Funktion <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen <math>f</math> äquivalent: === (HK1) 1x komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist einmal komplex differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK2) beliebig oft komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist beliebig oft komplex differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK3) Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Real- <math>f_1</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> erfüllen die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] und <math>f_1, f_2</math> sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK4) Lokal in Potenzreihen entwickelbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> in eine komplexe [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. === (HK5) Lokale Stammfunktionen === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> eine Stammfunktion mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math>. <span id="HKStammfunktionOrdnung"></span> === (HK6) Lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. === (HK7) Wegintegrale 0 === Ist <math>G</math> einfach zusammenhängend, ist das folgende Bedingung ebenfalls ein Holomorphiekriterium. : Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist stetig und das [[w:Kurvenintegral|Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. === (HK8) Cauchysche Integralformel === Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. === (HK9) Cauchy-Riemann-Operator === <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt<br /><math>\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,</math><br />wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. == Aufgaben == * Seinen <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, es gelte <math>a \ne z_o</math>. Entwickeln Sie nun den Funktion <math>f(z):=\frac{1}{z-a}</math> für <math>z\in\mathbb{C}\setminus \{a\}</math> in eine Potenzreihe um <math>z_o \in \mathbb{C}</math> und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math display="block">f(z)=\frac{1}{z-a} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(a-z_o)^{n+1}} \cdot (z-z_o)^n</math> * Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der [[Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|Konvergenzradius]] in der berechneten Weise von <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> abhängt und nicht größer sein kann! * Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion <math>f</math> auch folgt, dass <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz <math>\mathbb{R}</math> definierte Funktion <math>g(x):= x \cdot |x|</math>. * Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Quiz]] == Quellen == <noinclude>[[en:Holomorphic function/Criteria]]</noinclude> leq8pkevda5qkm6fygfmgx6kvn9yle7 1076806 1076798 2026-04-11T07:07:55Z Bert Niehaus 20843 /* Holomorphiekriterien */ 1076806 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Holomorphie einer Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> in einem Punkt <math>z_0\in U</math> ist eine Umgebungseigenschaft von <math>z_0</math>. Dazu gibt es in der komplexen Analysis zahlreiche Kriterien, mit denen man die Holomorphie überprüfen kann. Im Folgenden sei <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> ein [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] als Teilmenge der komplexen Ebene und <math>z_0\in U</math> ein Punkt dieser Teilmenge. === Animation - Veranschaulichung der Abbildung === Die Animation zeigt für die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>. Für die Animation werden <math>z</math> in blauer Farbe und der zugehörige Bildpunkt <math>f(z)</math> in roter Farbe dargestellt. Der Punkt <math>z</math> und <math>f(z)</math> werden dabei in <math>\mathbb{C}\widetilde{=}\mathbb{R}^2</math> dargestellt. Die <math>y</math>-Achse repräsentiert den Imaginärteil einer komplexen Zahl <math>z</math> bzw. <math>f(z)</math>. Der blaue Punkt <math>z</math> bewegt sich auf dem Weg <math>\gamma(t):=t\cdot (cos(t)+ i\cdot \sin(t)) </math> [[File:Mapping f z equal 1 over z.gif|400px|zentriert|Animation]] === Komplexe Differenzierbarkeit === Eine Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''komplex differenzierbar''' im Punkt <math>z_0</math>, falls der [[w:de:Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] :<math>\lim_{h \to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}</math> mit <math>h\in\mathbb{C}</math> existiert. Man bezeichnet ihn dann als <math>f'(z_0)</math>. === Holomorphie === Die Funktion <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> heißt '''holomorph im Punkt <math>z_0</math>,''' falls eine [[w:de:Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] <math>U_0 \subseteq U</math> von <math>z_0</math> existiert, in der <math>f</math> komplex differenzierbar ist. Ist <math>f</math> auf ganz <math>U</math> holomorph, so nennt man <math>f</math> holomorph. Ist weiter <math>U=\mathbb{C}</math>, so nennt man <math>f</math> eine ''[[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]].'' ==Holomorphiekriterien== Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine Funktion <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> Gebiet, dann sind folgende Eigenschaften der komplexwertigen Funktionen <math>f</math> äquivalent: === (HK1) 1x komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist einmal komplex differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK2) beliebig oft komplex differenzierbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist beliebig oft komplex differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK3) Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen === Real- <math>f_1</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2</math> mit <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> erfüllen die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]] und <math>f_1, f_2</math> sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar auf <math>U</math>. === (HK4) Lokal in Potenzreihen entwickelbar === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> in eine komplexe [[w:Potenzreihe|Potenzreihe]] entwickeln. <span id="StammfunktionOrdnung"></span> === (HK5) Lokale Stammfunktionen === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> eine Stammfunktion mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math>. <span id="LokaleStammfunktionOrdnung"></span> === (HK6) Lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung === Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt lokal auf Kreisscheiben <math>U:=D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G </math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math>F_{(k)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|mit beliebig hoher Ordung]] <math>k\in\mathbb{N}</math>. === (HK7) Wegintegrale 0 === Ist <math>G</math> einfach zusammenhängend, ist das folgende Bedingung ebenfalls ein Holomorphiekriterium. : Die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist stetig und das [[w:Kurvenintegral|Wegintegral]] der Funktion über einen beliebigen geschlossenen [[w:de:Homotopie|zusammenziehbaren]] Weg verschwindet. === (HK8) Cauchysche Integralformel === Die Funktionswerte im Inneren einer [[w:Kreisscheibe|Kreisscheibe]] lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der [[w:Cauchysche Integralformel|cauchyschen Integralformel]] ermitteln. === (HK9) Cauchy-Riemann-Operator === <math>f</math> ist reell differenzierbar und es gilt<br /><math>\quad\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0,</math><br />wobei <math>\tfrac{\partial}{\partial \bar z}</math> der [[w:Cauchy-Riemann-Operator|Cauchy-Riemann-Operator]] ist, der durch <math>\tfrac\partial{\partial\bar z} := \tfrac12\left(\tfrac\partial{\partial x}+i\tfrac\partial{\partial y}\right)</math> definiert ist. == Aufgaben == * Seinen <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> beliebig gewählt, es gelte <math>a \ne z_o</math>. Entwickeln Sie nun den Funktion <math>f(z):=\frac{1}{z-a}</math> für <math>z\in\mathbb{C}\setminus \{a\}</math> in eine Potenzreihe um <math>z_o \in \mathbb{C}</math> und zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: :<math display="block">f(z)=\frac{1}{z-a} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{(a-z_o)^{n+1}} \cdot (z-z_o)^n</math> * Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe! Erläutern Sie, warum der [[Komplexe Potenzreihe/Konvergenzradius/Definition|Konvergenzradius]] in der berechneten Weise von <math>a,z_o \in \mathbb{C}</math> abhängt und nicht größer sein kann! * Dass aus der einmaligen Differenzierbarkeit der holomorphen Funktion <math>f</math> auch folgt, dass <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist, gilt in der reellen Analysis nicht. Betrachten Sie die auf ganz <math>\mathbb{R}</math> definierte Funktion <math>g(x):= x \cdot |x|</math>. * Erläutern Sie, mit welchen zentralen Satz der Funktionaltheorie aus dem Kriterium 1 das Kriterium 2 folgt! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Quiz]] == Quellen == <noinclude>[[en:Holomorphic function/Criteria]]</noinclude> o6zkkd745wyx3qz57634bcnavrc29hd 0 107484 1076803 1042233 2026-04-11T07:04:20Z Bocardodarapti 2041 1076803 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |angeordneter Körper| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{math|term= M|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Intervallschachtelungen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= K|SZ=.}} Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen {{ mathkor|term1= I_n,\, n \in \N, |und|term2= J_n,\, n \in \N, |SZ= }} zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem {{ Relationskette |m | \in |\N || || || |SZ= }} gibt es ein {{ Relationskette |n | \in |\N || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | J_n | \subseteq| I_m || || || |SZ= }} und zu jedem {{ Relationskette |n | \in |\N || || || |SZ= }} gibt es ein {{ Relationskette |k | \in |\N || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | I_k | \subseteq| J_n || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} ist. |Es sei {{ Relationskette |K ||\R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren. | {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=2 |p2=3 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 83alocmfahw2w8j3jqvv9azce0nde6t 0 117107 1076764 1076389 2026-04-10T15:25:08Z Bocardodarapti 2041 1076764 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine gewisse Gruppe von Personen möchte wichteln. D.h. jeder Person wird eine weitere Person zugelost, die die erste Person beschenken soll, und dabei wird größtmögliche Geheimhaltung angestrebt. Typischerweise legt man die Zuordnung so fest, dass man die Namen der beteiligten Personen einzeln auf einen Zettel schreibt und dann die Leute ziehen lässt. Die ziehende Person beschenkt die Person, deren Namen auf dem gezogenen Zettel steht. Wenn eine Person sich selbst zieht, so hat man ein Problem. Die übliche praktische Lösung ist, alles zurück in den Topf zu werfen und nochmal probieren, solange, bis es keine Selbstziehungen mehr gibt. Wir wollen verstehen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich jemand bei einer Ziehung selbst zieht, und daher das Ganze wiederholt werden muss. Insbesondere wollen wir die Asymptotik verstehen, wenn die Anzahl der beteiligten Personen sehr groß ist bzw. wird. Wir erinnern an das Konzept eines Fixpunktes. {{ inputdefinition |Abbildung/In sich/Fixpunkt/Definition|| }} Es geht also um die fixpunktfreien Permutationen. Es sei {{math|term= n |SZ=}} die Anzahl der Personen, die wichteln möchten. {{ Relationskette/display | n || 1 || || || |SZ=. }} Hier gibt es nur eine Ziehung, die eine Person zieht sich selbst, dies ist unvermeidbar. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine {{ Zusatz/Klammer |text=erlaubte| |ISZ=|ESZ= }} Wichtelzuordnung gezogen wird, ist also {{math|term= 0 |SZ=,}} und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nichtwichtelzuordnung gezogen wird, ist {{math|term= 1 |SZ=.}} {{ Relationskette/display | n || 2 || || || |SZ=. }} Nennen wir die Personen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=. }} Hier gibt es zwei Ziehmöglichkeiten, nämlich {{Wertetabelle2 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|B}} und {{Wertetabelle2 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|A}} Die erste Möglichkeit ist die Identität, die zweite die Vertauschung. Die erste ist nicht erlaubt, die zweite ist eine erlaubte Wichtelzuordnung. Die Wahrscheinlichkeit ist also {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=.}} {{ Relationskette/display | n || 3 || || || |SZ=. }} Nennen wir die Personen {{ mathkor|term1= A,B |und|term2= C |SZ=. }} Hier gibt es sechs Ziehmöglichkeiten, nämlich {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|B|C}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|C|B}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|A|C}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|C|A}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|A|B}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|B|A}} Von den sechs Möglichkeiten sind nur die vierte und die fünfte ohne Selbstziehung {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Fixpunkt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit für eine fixpunktfreie Ziehung ist demnach {{mathl|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=.}} {{ Relationskette/display | n || 4 || || || |SZ=. }} Nennen wir die Personen {{ mathkor|term1= A,B,C |und|term2= D |SZ=. }} Wir wissen, dass es insgesamt {{math|term= 24 |SZ=}} Permutationen gibt. Alle aufzulisten und einfach zu schauen, welche einen Fixpunkt haben und welche nicht, ist schon ziemlich aufwändig, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Permutationen/4/Auflistung/Fixpunktfrei/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Es ergeben sich {{math|term= 9 |SZ=}} fixpunktfreie Permutationen. Wir werden mit einer besseren Abzählmöglichkeit arbeiten. Auf diese Zahl kann man schneller kommen, indem man die Struktur von Permutationen besser versteht. Entscheidend dafür ist das Konzept eines Zykels. {{ inputdefinition |Permutation/Zykel/Definition|| }} Dabei kann man statt {{math|term= z |SZ=}} jedes andere Element aus {{math|term= Z |SZ=}} als Anfangsglied nehmen. Die Menge {{math|term= Z |SZ=}} heißt auch der {{Stichwort|Wirkungsbereich|SZ=}} des Zykels. {{ inputdefinition |Permutation/Zyklendarstellung/Definition|| }} Wir erläutern dies kurz an einigen Permutationen auf einer vierelementigen Menge. {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|B|C|A}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|C|A|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|C|B|A}} Bei der zuletzt angeführten Permutation wird {{math|term= A |SZ=}} auf {{math|term= D |SZ=}} und {{math|term= D |SZ=}} wiederum auf {{math|term= A |SZ=}} abgebildet, und ebenso wird {{math|term= B |SZ=}} mit {{math|term= C |SZ=}} vertauscht. Insgesamt kann man diese Abbildung als {{ Math/display|term= A \leftrightarrow D, \, \, \, B \leftrightarrow C |SZ= }} darstellen. Man hat zwei Zykel der Länge zwei. In der darüber stehenden Permutation hat man die Zuordnung {{ Math/display|term= A \mapsto D \mapsto B \mapsto C |SZ=. }} Man spricht von einem Zyklus der Länge {{math|term= 4 |SZ=.}} In der darüber stehenden Permutation hat man die Zuordnung {{ Math/display|term= A \leftrightarrow D , \, \, \, B , \, \, \, C |SZ=. }} Man hat einen Zyklus der Länge zwei und zwei Fixpunkte, ein Fixpunkt ist ein Zyklus der Länge eins. Die Zerlegung einer Permutation in die Zykel verschiedener Länge nennt man den Typ der Permutation. Es geht also darum, wie viele Zykel welcher Länge es gibt. Im Falle {{ Relationskette | n || 4 || || || |SZ= }} gibt es nun lediglich zwei Typen, wie eine fixpunktfreie Permutation aussehen kann, nämlich den Viererzyklus und den doppelten Zweierzyklus. Beim ersten Typ kann man an jeder Stelle anfangen, die Reihenfolge der Elemente legt dann den Zyklus fest. Davon gibt es also {{ Relationskette | 3! || 6 || || || |SZ= }} Stück. Beim zweiten Typ geht es um die Einteilung der Menge in zwei Paare, danach ist alles festgelegt. Davon gibt es {{math|term= 3 |SZ=}} Stück. Jedenfalls ist die Wahrscheinlichkeit für eine fixpunktfreie Permutation bei vier Personen gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|9|24}} |SZ=.}} {{ Relationskette/display | n || 5 || || || |SZ=. }} Hier gibt es schon {{mathl|term= 120 |SZ=}} Permutationen, eine Auflistung erübrigt sich. Es gibt aber wieder nur zwei Typen von fixpunktfreien Permutationen, nämlich einerseits die {{math|term= 5 |SZ=-}}Zykel und andererseits diejenigen Permutationen, die aus einem Zweier-Zyklus und einem Dreier-Zyklus bestehen. Vom ersten Typ gibt es, mit dem gleichen Argument wie oben, {{ Relationskette | 4! || 24 || || || |SZ= }} Möglichkeiten. Vom zweiten Typ muss man die Anzahl der Möglichkeiten bestimmen, in einer fünfelementigen Menge eine zweielementige Teilmenge zu fixieren. In der fünfelementigen Menge gibt es genau {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient|5|2}} || {{op:Bruch|5 \cdot 4|2}} || 10 || || |SZ= }} zweielementige Teilmengen. Wenn diese fixiert ist, muss man noch sagen, wie der Dreierzyklus auf dem Komplement aussehen soll. Dafür gibt es jeweils zwei Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also unter den {{math|term= 120 |SZ=}} Permutationen {{ Relationskette/display | 24+ 10 \cdot 2 || 44 || || || |SZ= }} fixpunktfreie Permutationen. Die Wahrscheinlichkeit, eine erlaubte Wichtelzuordnung zu ziehen, ist somit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|44|120}} || {{op:Bruch|11|30}} || || || |SZ=. }} Für deutlich größere {{math|term= n |SZ=}} wird es auch mit der Zykelmethode schwierig, die genaue Anzahl der fixpunktfreien Permutationen zu bestimmen. Wir werden gleich eine bessere Methode kennenlernen. Wir fassen kurz die berechneten Wahrscheinlichkeiten zusammen. {{Wertetabelle6 |text1={{math|term= n |SZ=}}|1|2|3|4|5| \ldots |text2={{math|term= w(n) |SZ=}}|0| {{op:Bruch|1|2}} | {{op:Bruch|1|3}} | {{op:Bruch|9|24}} | {{op:Bruch|11|30}} | ? }} In gerundeten Prozent ist dies {{Wertetabelle6 |text1={{math|term= n |SZ=}}|1|2|3|4|5| \ldots |text2={{math|term= w(n) |SZ=}}|0| 50 | 33{,}3 | 37{,}5 | 36{,}6 | ? }} Diese Zahlen gehen hoch und runter. Wir möchten uns mit dem Problem beschäftigen, wie sich diese Zahlen verhalten, wenn {{math|term= n |SZ=}} groß und größer wird, gegen unendlich geht. {{ inputproblem |Wichteln/Wahrscheinlichkeit/Problem||| }} Wie sieht es etwa für {{ Relationskette | n || 1000 || || || |SZ= }} aus? {{Anführung|Streben}} die Wahrscheinlichkeiten einer bestimmten Zahl entgegen oder varieren sie in alle Richtungen? Wenn sie gegen eine bestimmte Zahl streben, gegen welche? Gegen {{math|term= 0 |SZ=,}} gegen {{math|term= 1 |SZ=,}} gegen irgendwas dazwischen? Heuristisch ist es hier schwierig, einen Tipp abzugeben. Einerseits ist, wenn {{math|term= n |SZ=}} groß ist, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person sich selbst zieht, sehr klein. Andererseits darf aber gar keine Person sich selbst ziehen, und das sind wiederum viele Bedingungen, und viele kleine Wahrscheinlichkeiten können sich zu einer großen Zahl aufaddieren. Wir beschreiben nun eine einfache Möglichkeit, für jedes {{math|term= n |SZ=}} die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen anzugeben. Betrachten wir zuerst das Problem, dass bei einer Permutation eine bestimmte Person auf sich selbst abgebildet wird. Dies haben wir schon weiter oben für einzelne Zahlen bestimmt, es gibt {{mathl|term= (n-1)! |SZ=}} Permutationen von dieser Art, da ja die eine Person auf sich selbst abgebildet wird, und es ansonsten keine weitere Bedingung gibt, es sich also einfach um die Gesamtzahl der Permutationen von {{math|term= n-1 |SZ=}} Personen handelt. Falsch wäre es jetzt, diese Anzahl {{math|term= n |SZ=-}}mal aufzuaddieren, da wir dann eine Permutation mit mehreren Fixpunkten mehrfach zählen würden. Stattdessen müssen wir die Siebformel anwenden. {{ inputfaktbeweis |Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt|Lemma|| }} Die Wahrscheinlichkeit, eine wichtelkonforme {{ Zusatz/Klammer |text=fixpunktfreie| |ISZ=|ESZ= }} Permutation zu ziehen, ist somit gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| \sum_{k {{=}} 0}^n (-1)^{k} {{op:Bruch| n! |k! }} |n! }} || \sum_{k {{=}} 0}^n (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} |SZ=. }} Das Schöne an der jetzt gefundenen Formel ist, dass sich der nächste Wert {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man {{math|term= n |SZ=}} auf {{math|term= n+1 |SZ=}} erhöht| |ISZ=|ESZ= }} durch Hinzunahme oder Abzug eines einfachen Bruches aus der zuvor berechneten Zahl ergibt. Vor allem aber erinnert die Formel an die Definition der Exponentialreihe, die die Exponentialfunktion beschreibt. {{ inputbild |Exponential function|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Exponential_function |Text= |Autor= |Benutzer=Luks |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei, |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Exponentialfunktion/Über Reihe/Definition||n=k }} Dabei ist {{ Relationskette/display | e || {{op:exp|1|}} || \sum_{k {{=}} 0}^{\infty} {{op:Bruch|1 |k! }} || 1+1+ {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|1|6}} + {{op:Bruch|1|24}} + {{op:Bruch|1|120}} + \ldots || 2{,}71828 \ldots || |SZ= }} die {{Stichwort|eulersche Zahl|SZ=}} und {{ Relationskette/display | e^{-1} || \sum_{k {{=}} 0}^{\infty} (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} || 1-1+ {{op:Bruch|1|2}} - {{op:Bruch|1|6}} + {{op:Bruch|1|24}} - {{op:Bruch|1|120}} \pm \ldots || || |SZ= }} ist die inverse eulersche Zahl. Somit ist die oben ermittelte Formel für die Wahrscheinlichkeit, eine fixpunktfreie Permutation zu ziehen, gleich der Anfangssumme von {{mathl|term= e^{-1} |SZ=.}} Insbesondere konvergiert diese Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= w(n) |SZ=}} gegen {{mathl|term= e^{-1} |SZ=}} für {{math|term= n |SZ=}} gegen unendlich. Der numerische Wert ist {{ Relationskette/display | e^{-1} || 0{,}367879 \ldots || || || |SZ=, }} die oben zuletzt ausgerechneten Werte sind also schon ziemlich gut. {{Zwischenüberschrift|Andere Auswahlverfahren}} Beim üblichen Ziehen ist, wie wir gesehen haben, die Wahrscheinlichkeit, dass jemand sich selbst zieht und die Ziehung dann wiederholt werden muss, nicht zu vernachlässigen. Gibt es andere Auswahlverfahren? Es soll jede (fixpunktfreie) Zuordnung gleichwahrscheinlich sein und jede Person sollte außer der zu beschenkenden Person keinerlei weitere Information haben. Es sei zumindest {{ Relationskette | n |\geq| 3 || || || |SZ=. }} Wir besprechen zwei mögliche Ansätze. Methode 1 Statt leerer Zettel nimmt man einseitig mit von {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= n |SZ=}} durchnummerierte Zettel. Diese werden mit der Nummer nach unten hingelegt und jede Person zieht zufällig einen Zettel mit der Nummer, und zwar ohne den Zettel zurück zu legen. Nach diesem ersten Schritt besitzt also jede Person genau einen Zettel mit einer Nummer. Jede Person merkt sich ihre Nummer und schreibt auf ihrem Zettel den eigenen Namen auf der leeren Seite drauf. Die Zettel werden nun mit der Nummer nach oben wieder hingelegt, was die anderen wieder nicht sehen dürfen. Im letzten Schritt zieht nun jede Person ihre Nachfolgerzahl, wenn also eine Person die Nummer {{math|term= k |SZ=}} gezogen hat, muss sie jetzt den Zettel mit der Nummer {{mathl|term= k+1 |SZ=}} rausgreifen {{ Zusatz/Klammer |text=was im Fall {{ Relationskette/k | k || n || || || |SZ= }} als {{math|term= 1 |SZ=}} zu verstehen ist| |ISZ=|ESZ=, }} den Zettel umdrehen und den Namen lesen. Die darauf stehende Person ist zu beschenken, der Zettel wird mit der Nummer nach oben wieder zurückgelegt. Bei diesem letzten Schritt müssen alle anderen Personen wegschauen, da es ja geheim sein soll, welche Nummer zu welcher Person gehört. Diese Methode ist nicht ganz korrekt, da sie etwas Information über die Gesamtzuordnung mitliefert. Man weiß nämlich, dass die Person, der ich etwas schenken soll, definitiv nicht mein Schenker sein kann. Bei einer zufälligen Ziehung kann es aber sein, dass man selbst in einem Zweierzyklus landet. Methode 2 Man macht für jede mögliche fixpunktfreie Permutation einen großen Umschlag {{ Zusatz/Klammer |text=das sind also sehr viele Umschläge| |ISZ=|ESZ=, }} der wiederum {{math|term= n |SZ=}} kleine Umschläge enthält. Auf jedem kleinen Umschlag steht außen ein Name und im Innern ist ein Zettel mit einem weiteren Namen. Jede Permutation kann man ja durch solche Umschläge kodieren, die kleinen Umschläge zusammen übernehmen also die Rolle der Wertetabelle. Die Gruppe muss dann einen großen Umschlag wählen, ihn öffnen und jede Person öffnet dann den kleinen Umschlag, auf dem ihr Name steht. Die im kleinen Umschlag innen benannte Person ist zu bewichteln. Diese Methode ist mathematisch völlig korrekt, aber praktisch undurchführbar. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Fixpunkte von endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der eulerschen Zahl |Kategorie3= |Objektkategorie=Die eulersche Zahl |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8z01dilxagruvvkg3wqdl3akpkthpgu 0 119324 1076763 1014003 2026-04-10T15:22:04Z Bocardodarapti 2041 1076763 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle eine Liste von sämtlichen {{ Definitionslink |Permutationen| |SZ= }} auf der Menge {{mathl|term= \{A,B,C,D\} |SZ=}} und bestimme, welche von ihnen {{ Definitionslink |fixpunktfrei| |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fixpunkte von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h0054s80ny9y599ngyyus95jquq6h6c 0 119337 1076765 1036435 2026-04-10T15:25:56Z Bocardodarapti 2041 1076765 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Permutationen| |SZ= }} auf einer {{math|term= 5 |SZ=-}}elementigen Menge, wie viele davon genau {{math|term= r |SZ=}} {{ Definitionslink |Fixpunkte| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | r || 0,1,2,3,4,5 || || || |SZ= }}|ISZ=|ESZ= }} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fixpunkte von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6amvvfmy4vhk8b2uamqysqbqom9zmdh 0 119341 1076766 1072660 2026-04-10T15:28:07Z Bocardodarapti 2041 1076766 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Diversity and Unity|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Diversity_and_Unity |Text= |Autor= |Benutzer=DolphinBGG |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} Gabi Hochster und Heinz Ngolo wollen {{Anführung|Händchen halten|SZ=}} üben und verschiedene Varianten durchprobieren. Jedenfalls soll die rechte Hand von Gabi und die linke Hand von Heinz sich vorderseitig berühren und die Finger der einen Hand sollen in den Fingerzwischenräumen der anderen Hand liegen, der Platz jenseits von Daumen und kleinem Finger gilt als Fingerzwischenraum. Dabei wird die anatomische Reihenfolge der Finger beibehalten. {{ Aufzählung2/a |Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn in jedem Fingerzwischenraum höchstens ein Finger zu liegen kommt? |Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn in jedem Fingerzwischenraum höchstens zwei Finger zu liegen kommen? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Elementare Kombinatorik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie= Gabi Hochster |Personenkategorie2=Heinz Ngolo |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9xbvbhfegw9e29knv7dxiand68zhw1v 0 119570 1076761 1036331 2026-04-10T15:16:18Z Bocardodarapti 2041 1076761 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Aus der linearen Algebra ist die Formel {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension| U_1 + U_2 }} || {{op:Vektorraumdimension| U_1 }} + {{op:Vektorraumdimension| U_2 }} - {{op:Vektorraumdimension| U_1 \cap U_2 }} || || || |SZ= }} für {{ Definitionslink |Untervektorräume| |SZ= }} {{ Relationskette | U_1,U_2 | \subseteq | V || || || |SZ= }} bekannt, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Untervektorraum/Summe und Durchschnitt/Dimensionsvergleich/Fakt |Nr= |SZ=, }} die an {{ Faktlink |Präwort=die|Siebformel|Faktseitenname= Endliche Menge/Siebformel/Fakt |Nr= |SZ= }} für zwei Mengen erinnert. Gilt für Untervektorräume {{ Relationskette | U_1, U_2 {{kommadots|}} U_n | \subseteq | V || || || |SZ= }} die entsprechende Formel {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension|K=| U_1 + U_2 {{plusdots}} U_n |}} || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{makl| \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots}} n \} ,\, {{op:Anzahl| J |}} {{=}} k } {{op:Vektorraumdimension|U_J|K=}} |}} || || || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette | U_J || \bigcap_{ j \in J} U_j || || || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2=Die Siebformel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g4u11w15cfzifg6502fgahdd897wbgp 106 121949 1076809 647272 2026-04-11T07:09:18Z Bocardodarapti 2041 1076809 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe|p||| |Weihnachtsbaum/10 Kerzen/Anzündmöglichkeiten/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Verknüpfung/Surjektive Abbildung/Übertragung der Assoziativität/Aufgabe|p||| |Ordnung/Echte Ordnung/Eigenschaften/Aufgabe|p||| |Boolescher Verband/Komplementäregeln/De Morgan/1/Aufgabe|p||| |Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 101/Inverses Element zu 35/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Faserbeschränkung/3/Aufgabe|p||| |Graph/Wege/Numerische Invarianten/Metro Manila/Aufgabe|p||| |Graph/Jeder Grad einmal/Bis 8/Skizze/Aufgabe|p||| |Graph/3 Punkte/1 Kante/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Graph/Laplace-Matrix/Spannbaum/4/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Vollständig/2 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |Schachfiguren/Planarer Graph/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 1m50mkl5wj0vtwsnad9fgr8sijf61lz 106 121950 1076781 658975 2026-04-10T16:13:37Z Bocardodarapti 2041 1076781 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe|p||| |Endliche Produkte von Mengen/Surjektivität von Produktabbildung/Aufgabe|p||| |Fußball-Weltmeisterschaft/Teilinformation/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Induktionsaufgabe/3^n \geq n^4/Aufgabe|p||| |Differenzmenge/Assoziativität/Aufgabe|p||| |Z/Endliche Teilmengen/Halbringeigenschaften/Aufgabe|p||| |Ring mit 0 ist 1/Ist Nullring/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe/Aus Lehrsatz/Aufgabe|p||| 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text/x-wiki {{ Klausur18 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/18/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Rechnung/4/Aufgabe|p||| |Würfel/In Würfel/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Schokolade/Teilung/Brechungstiefe/Aufgabe|p||| |Stammbruch/Summe/Gekürzte Darstellung/Aufgabe|p||| |Gruppe/Inverses/Selbstinvers/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Mäuse und Löcher/Allrelation/Aufgabe|p||| |Farbberatung/Relation/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Blatt/Hinwegnahme/Zusammenhang/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Multigraph/Aufspannender_Baum/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Wasser/Gas/Elektrizität/Eine Überschneidung/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= 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|Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} pb7cgciudd6ez2q4gv4xghf7s6nrppb 106 121956 1076776 1076684 2026-04-10T16:05:32Z Bocardodarapti 2041 1076776 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe|p||| |Geldautomat/100/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Wochentag/In 1000 Tagen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ebene/7 Geraden/8 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe aus teilerfremden Zahlen/Teilbarkeit/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/1071 und 1029/Aufgabe|p||| |Komplexe Zahlen/17. 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|Strassen-Algorithmus/2x2/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/C/Potenz/Beschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} hir4yjn0x7qlgisebraurfgyohveu71 106 121958 1076774 1072773 2026-04-10T16:03:19Z Bocardodarapti 2041 1076774 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Abbildung/Iteration/Wiederholung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| 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|Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} feqt580syndpvi14ps0c7qvl59jstg4 106 121959 1076762 1076703 2026-04-10T15:21:41Z Bocardodarapti 2041 1076762 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe|p||| |Ponyhof/Ausflug/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Permutationen/4/Auflistung/Fixpunktfrei/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Restklassenring 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[[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] == Patientenvorstellungen == * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 9|'''PatV 9''': Sina Gowitz, 22 J.]] (VD Appendizitis) -- [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 8|'''PatV 8''': Ralf Merklinger, 48 J.]] (VD Panikattacke) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 7|'''PatV 7''': Frank Boppes, 67 J.]] (VD Prostatakarzinom) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 6|'''PatV 6''': Tatjana Märker, 32 J.]] (VD Intoxikation) -- [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 5|'''PatV 5 a.''' (+ b. to do): Gisela Reuters, 58 J.]] (VD Mesenterialinfarkt) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 4|'''PatV 4''': Agnes Schulz, 48 J.]] (VD Appendizitis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 3|'''PatV 3''': Sebastian Mayer, 66 J.]] (VD exazerbierte COPD) -- [[Anamnesegespräche#Fall_13|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 2|'''PatV 2''': Sabine Nelius, 63 J.]] (VD Pyelonephritis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 1|'''PatV 1''': Magda Wienhäuser, 46 J.]] (VD Panikattacke) = Patientenvorstellung 1 = == Magda Wienhäuser, 46 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde Ihnen gern die Patientin Magda Wienhäuser vorstellen. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja, bitte legen Sie los."'' "Magda Wienhäuser ist 46 Jahre alt, sie ist am 01.06.1976 ("ersten sechsten sechsundsiebzig) geboren, [161 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einen Meter einundsechzig groß und wiegt [68 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtundsechzig Kilo. Die Patientin stellte sich heute Morgen um halb acht in der Notaufnahme vor, nachdem sie mit dem Auto zur Arbeit fahren wollte und, im Auto sitzend, verschiedene, sehr stark ausgeprägte Symptome bemerkte, nämlich: Tachykardie, Kaltschweißigkeit, Todesangst, Dyspnoe, das Gefühl, sich nicht mehr bewegen zu können. Außerdem berichtete sie von Kribbeln in den Händen und Ohrensausen. Ferner gab sie an, ihr sei übel gewesen. Erbrochen habe sie aber nicht. Nach Angaben der Patientin hat sie ungefähr 15 Minuten im Auto gesessen und ist dann mit großer Mühe in die Klinik gefahren, um sich bei uns vorzustellen. Aus der Vorgeschichte ist bekannt: <br /> * eine rheumatoide Arthritis seit der zweiten Schwangerschaft, also seit 14 Jahren. Diese rheumatoide Arthritis wird mit Diclofenac zwei Mal täglich behandelt. * Außerdem eine Migräne mit Aura seit der Jugend. Die Patientin nimmt bei Bedarf Sumatriptan und Ibuprofen. * Ein Bandscheibenvorfall, also Diskusprolaps, mit 42 Jahren, der konservativ behandelt wurde. An Operationen nannte die Patientin eine Myomentfernung in 2021 und eine Mammareduktion mit 20 Jahren. Unsere Patientin ist Nichtraucherin, hat auch nie geraucht, sie trinke ab und zu Alkohol, insbesondere Aperol Spritz, ungefähr einmal im Monat, und sie gab an, in der Jugend einmal Amphetamine genommen zu haben. Zur gynäkologischen Anamnese: Sie hat ungefähr alle zwei bis drei Monate ihre Mensis, zuletzt vor zwei Wochen. Die Patientin nannte eine Allergie gegen Haselnüsse, was sich mit Dyspnö und Exanthem äußert, außerdem hat sie eine Glutenintoleranz, also es liegt vermutlich eine Zöliakie vor. Zur Familenanamnese: Der Vater der Patientin verstarb mit 47 an einem Hodenkarzinom, die Mutter ist 72 Jahre alt, leidet an leichter Demenz und lebt in einem Pflegeheim. Bei der Schwester ist eine Alopecia areata bekannt und der jüngere Bruder der Patientin ist aufgrund eines angeborenen Herzfehlers bereits verstorben, mit Anfang 30. Unsere Patientin ist Fleischerei-Fachverkäuferin bei Edeka, sie ist seit fünf Jahren geschieden. Sie ist alleinerziehend mit drei Kindern, 15, 14 und 9, wobei der jüngste Sohn im Alter von vier Jahren Leukämie hatte. Das sei eine schwierige Zeit gewesen und hier sei es auch zur Trennung vom Partner gekommen. Der Ex-Mann unserer Patientin ist Polizist und laut Frau Wienhäuser gibt es immer wieder Probleme zwischen den beiden, wo es dann um den Umgang der Kinder geht. Die Patientin hat seit zwei Jahren einen neuen Freund, der ebenfalls Mitarbeiter bei Edeka ist. Die Patientin treibt Sport, sie geht zum Zumba. Ich denke, das waren die wichtigsten Informationen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Panikattacke. Natürlich muss ich, wenn ich diese Diagnose vermute, erstmal alle somatischen Erkrankungen ausschließen, unter anderem einen Myokardinfarkt, eine Refluxösophagitis, einen Magenulkus, eine Lungenembolie. Zu den Untersuchungen: Die Patientin muss natürlich ausführlich körperlich untersucht werden, vor allem Herz und Lungen müssen auskultiert werden. Ich benötige eine Messung der Vitalparameter, selbstverständlich, dann ist eine Blutuntersuchung notwendig. Wir würden hier vor allem die Herzenzyme, die Entzündungsparameter und eine BGA bestimmen. Außerdem schreiben wir ein EKG und wir könnten gegebenenfalls auch ein Herz-Echo oder eine Sonografie des Abdomens durchführen, wobei in der Regel ja schon die ersten Befunde in etwa die Richtung anzeigen, in die es weitergeht. Wenn wir tatsächlich in den Befunden nichts Pathologisches feststellen, dann würden wir erstmal von einer Panikattacke ausgehen. Die Panikattacke hört normalerweise von selbst wieder auf. Bei ausgeprägter Hyperventilation sollte man der Patientin eine Tüte geben, so dass sie in die Tüte atmet. Manchmal ist eine beruhigende Medikation erforderlich, zum Beispiel mit Benzodiazepin, wobei man da sehr gut aufpassen muss, weil das zu Abhängigkeit führen kann. Die Patientin sollte aufgeklärt werden über diese Erkrankung und auch darüber, dass es häufig zu rezidivierenden Panikattacken kommt, aber dass es sozusagen nichts Schlimmes ist. Falls es immer wieder zu Panikattacken kommt, kann die Patientin auch verhaltenstherapeutisch behandelt werden, wobei hier in den meisten Fällen eine ambulante Therapie ausreicht. Das wäre alles meinerseits." ''"Welche Laborwerte würden Sie anordnen?"'' "Ah, welche genau? Also: die Herzenzyme, also Troponin T [teh] und CK-MB [zeh kah emm beh], LDH [ell deh hah] und natürlich ein Blutbild, in der Regel ein großes Blutbild, um einen guten Überblick zu erhalten, Entzündungswerte neben den Leukozyten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh]. In der BGA achte ich darauf, wie Sauerstoff und Co2 [zeh oh zwei] verteilt sind, ob es bereits eine Azidose gibt. Das wären die wichtigsten Werte, denke ich." ''"Würden Sie thyreoide Hormone anordnen?"'' "Ah, Schilddrüsenhormone, ja. Ich würde auf jeden Fall das TSH [teh ess hah] bestimmen, um einen ersten Eindruck zu bekommen. Schon bei der körperlichen Untersuchung würde ich auf den Halsbereich achten, also ob da vielleicht schon einen Vergrößerung der Schilddrüse zu sehen oder zu spüren ist." ''"Vielen Dank. Dann verfahren Sie mit Ihrer Patientin bitte so."'' = Patientenvorstellung 2 = == Sabine Nelius, 63 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja."'' "Es geht um Sabine Nelius, eine 63-jährige [dreiundsechzigjährige] Patientin, geboren am 02.01.1961 [am zweiten Januar einundsechzig], [171 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einseinundsiebzig groß und [61 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] 61 Kilo schwer. Die Patientin stellte sich bei uns vor wegen starker, linksseitiger Flankenschmerzen. Die Schmerzen habe sie seit drei Tagen und sie würden stärker, also sind progredient, von der Qualität her ziehend, teilweise klopfend, mit Ausstrahlung in die linke Leiste. Sie gab an, seit gestern auch Fieber zu haben, knapp über [38° C <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtunddreißig Grad Celsius, Schüttelfrost, Schwindel, ihr sei übel, sie habe leichten Durchfall gehabt. Darüber hinaus müsse sie häufig Wasser lassen, dabei würde der Urin nicht einfach kommen und es würde sogar brennen, also dysurische Beschwerden. Der Urin sei rötlich. Die Patienen glaubt selbst, es sei Blut. Sie klagt über ein allgemeines Krankheitsgefühl und Herzrasen. Die Schmerzen würden vor allem durch Bewegung, durch Gehen, verstärkt und in Ruhe seien die Schmerzen etwas besser auszuhalten. Die Patientin hat einige Vorerkrankungen, unter anderem hatte sie 2018 einen Myokardinfarkt, sie hat eine Psoriasis seit 6 Jahren und vor 7 Jahren wurde ihr aufgrund einer Perforation im Sigma ein Teil des Sigmas entfernt. An Operationen ist außerdem eine Tonsillektomie, 1972, bekannt. Die Medikation besteht aus ASS 100 mg einmal morgens und Citalopram 75 mg einmal morgens. In der Sozialanamnese gab die Patientin an, dass ihre Tochter im Alter von 30 [dreißig] Jahren bei einem Autounfall verunglückt sei. Die Patientin selbst lebe mit ihrem gehbehinderten Ehemann zusammen und ist seit einem halben Jahr in Rente. Vorher hat sie als Frisörin gearbeitet. In der Familienanamnese ist ein Diabetes mellitus Typ 2 bekannt, er ist 91 Jahre alt und lebt in einem Pflegeheim. Die Mutter sei gesund, mit 85 Jahren und ein Onkel mütterlicherseits sei vor 15 Jahren im Alter von 79 Jahren an Prostatakrebs verstorben. Auch die Schwester der Patientin, aktuell 62 Jahre alt, hatte im Alter von 45 Jahren ein Zervixkarzinom, was aber kurativ behandelt werden konnte. Zu den Noxen: Die Patientin raucht ca. 10 Zigaretten täglich seit 50 Jahren, also 25 pack years [päck years, also Englisch gesprochen], sie trinke täglich eine Flasche Bier, Drogenkonsum wurde verneint. Allergien wurden glaubhaft verneint. Sie gab allerdings an, dass eine Unverträglichkeit gegen Milch bekannt sei, ich vermute, (es handelt sich um) eine Laktoseintoleranz. Aufgrund der Schmerzen in der linken Flanke und dieser Dysurie vermute ich einen Harnwegsinfekt, und zwar eine Pyelonephritis. An Differenzialdiagnosen kommen eine Zystitis oder eine Divertikulitis in Betracht. Zur Abklärung würde ich die Patientin körperlich untersuchen, mit Fokus auf das Abdomen und die Flanken, also prüfen, ob die Nieren klopfschmerzhaft sind. Dann würde ich mit Urinstix (also Urinteststreifen) den Urin untersuchen, auf Protein, PH und so weiter. Auch schauen, ob eine Hämaturie besteht, dann eine Blutentnahme, ich würde ein großes Blutbild anordnen, mit Entzündungswerten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh], außerdem Creatinin, Harnstoff, Elektrolyte, Leberwerte bestimmen, wobei ich bei einer akuten Pyelonephritis vor allem eine Erhöhung der Entzündungparameter erwarte. Ich benötige außerdem eine Urinkultur, um den Erreger zu bestimmen. An bildgebenden Verfahren benötige ich eine Sonografie des Abdomens, damit kann ich in der Regel schon ganz gut abschätzen, ob ein Harnaufstau besteht oder ich könnte differenzialdiagnostisch eine Urolithiasis, also einen Stein feststellen. Den könnte man auch mit einem Röntgen Abdomen sehen. Meistens reicht die Sonografie Abdomen aus, um die Diagnose zu stellen, aber falls noch unklar sein sollte, was die Patientin hat, wäre auch ein CT [zeh teh] Abdomen in Betracht zu ziehen. Therapeutisch empfehle ich Bettruhe, ausreichend Flüssigkeit, entweder oral oder intravenös, außerdem ein Analgetikum wie zum Beispiel Novalgin oder Paracetamol. Bevor der Befund der Urinkultur vorliegt, behandele ich bereits empirisch, beispielweise mit einem Cephalosporin oder Ciprofloxacin, da gibt es verschiedene Optionen. Das Antibiogramm lässt sich anpassen, sobald die Befunde der Urinkultur vorliegen. In der Regel wird die Pyelonephritis intravenös behandelt, später kann es auch oralisiert werden. Das wäre (soweit erstmal) alles meinerseits." ''"Gut, danke. Ich habe keine Fragen. Bitte machen Sie mit der Patientin weiter."'' = Patientenvorstellung 3 = == Sebastian Mayer == Kandidatin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Kandidatin: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los. Kandidatin: Dankeschön. Es handelt sich um Herrn Sebastian Mayer, einen 66-jährigen Patienten, geboren am 15.6.1958, 177 cm, 80 kg, den ich heute gegen 11 Uhr gesehen habe. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 3 Tagen bestehenden Hustens, seit gestern mit gelblich-grünem Sputum, Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, und Fieber. Seit der Kindheit besteht Asthma und vor 3 Jahren wurden pulmonale Emphyseme bei ihm diagnostiziert. Laut Patient wird sein Asthma mit Prolenium behandelt und er nutzt Salbutamol Spray bei Bedarf. Bisher sei das aber nur ein Mal der Fall gewesen. Vor 3 Tagen seien ihm blaue Lippen aufgefallen und etwas Herzrasen, also Hypoxie-Zeichen, und laut Patient ist es schlimmer geworden. Es gehe ihm insgesamt nicht gut und er sei oft nervös. An Begleitsymptomen liegen vor: schnelle Ermüdung bei Bewegung, sowie Insomnie. Verneint wurden die Fragen nach Schmerz sowie Miktions- und Defäkationsstörungen. Bei ihm ist eine Pencillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe und Rubor äußert. Vor 4 Monaten habe er ein neues Knie bekommen (rechts). In der Familienanamnese fand sich Asthma bei Vater und Bruder. Er lebt mit seiner Frau zusammen und hat zwei gesunde Töchter. Meine Verdachtsdiagnose lautet: COPD, vielleicht exazerbierte COPD. Differenzialdiagnostisch kommen Salbutamol-Abusus und Pneumonie in Betracht. Für meine Verdachtsdiagnose sprechen: Husten mit Sputum, Fieber und - wie heißt nochmal der Fachbegriff für Atemnot? Oberärztin: Dyspnoe Kandidatin: Ach ja, vielen Dank, also … und Dyspnoe. Dazu kommt Asthma als Vorerkrankung und die Lungenemphysem-Diagnose vor 3 Jahren. Zur Bestätigung dieser Verdachtsdiagnose brauche ich natürlich eine körperliche Untersuchung mit Auskultation und Palpation, ein EKG wegen der Hypoxiesymptome, um Herzprobleme ausschließen zu können, dazu Laborwerte, Entzündungszeichen und Leukozyten, ein Röntgen des Thorax - und, falls notwendig, ein CT. Eine Antibiotikum-Therapie wäre zu empfehlen, denn Herr Mayer war wegen dieser Symptome noch nicht beim Hausarzt und ich denke, dass deswegen eine symptomatische Behandlung nicht ausreicht. Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Vorstellung. Was könnte der Auslöser gewesen sein? Kandidatin: Ich denke, es könnte die Erkältung sein, mit Husten, den er seit 3 Tagen hat. Oberärztin: Was genau spricht für ein Lungenemphysem? Kandidatin: Die Anamnese, also die Vordiagnose. Und dass sein Brustkorb größer geworden ist. Oberärztin: Wie nennt man dieses Zeichen? '''Kandidatin''': Oh, das weiß ich nicht. '''Oberärztin''': Fassthorax. '''Kandidatin''': Dankeschön. Und dazu Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, mit dem Gefühl, dass Luft in der Lunge bleibt, er also nicht vollständig ausatmen kann. '''Oberärztin''': Ja genau, gut. Welche Risikofaktoren hat der Patient? '''Kandidatin''': Er ist starker Raucher, mit mehr als 30 pack years. '''Oberärztin''': Was spricht für eine akute exazerbierte COPD? '''Kandidatin''': Dafür spricht produktiver Husten, Fieber, Zyanose, Tachykardie. '''Oberärztin''': Und es liegt ein expiratorischer Stridor vor. '''Kandidatin''': Ah ja, er hat ein Pfeifen erwähnt. Das gibt es auch bei Asthma bronchiale. '''Oberärztin''': Mit welchen lebensbedrohlichen Komplikationen müssen Sie hier rechnen? '''Kandidatin''': Ich denke an eine Insuffizienz der rechten Herzkammer, denn die Lungenbeschwerden können zuerst zu einer Hypertrophie führen und danach zu einer Herzinsuffizienz. '''Oberärztin''': Ja, aber das tritt überwiegend bei chronisch erkrankten Patienten auf. '''Kandidatin''': Und in akuten Fällen kann es vielleicht zu akuter respiratorischer Insuffizienz führen, oder? '''Oberärztin''': Warum? '''Kandidatin''': Weil bei Exazerbation Auswurf besteht und dann können Patienten bei weiterer Verschlechterung kaum noch ausatmen, was auch zu einem Pneumothorax führen kann. '''Oberärztin''': Was genau führt zu einem Pneumothorax? '''Kandidatin''': Da bin ich mir nicht sicher, aber bei Vorliegen eines (exazerbierten?) Emphysems (das sich verschlechtert hat) ... , aber ich habe keine Erfahrung mit COPD-Patienten und kenne mich deswegen nicht so gut damit aus. '''Oberärztin''': Ok. Bei so einer Komplikation: Welche Untersuchung machen Sie zuerst? '''Kandidatin''': Ich mache zuerst eine Auskultation und höre dabei vermutlich keine respiratorischen Geräusche. '''Oberärztin''': Wie heißt das in Fachsprache? '''Kandidatin''': Totenstille. '''Oberärztin''': Gut. Was brauchen Sie in so einer Situation? '''Kandidatin''': Zur Bestätigung benötige ich ein Röntgen des Thorax. '''Oberärztin''': Was können Sie damit bestätigen? Was sehen Sie auf dem Röntgenbild? '''Kandidatin''': Ich denke: Einige Teile des Lungengewebes sind gar nicht zu sehen. '''Oberärztin''': Aber welche genau? Rechts, links, oben, unten …? '''Kandidatin''': Hm, das weiß ich nicht. Ich kann es jetzt nur vermuten. Erklären Sie es mir, bitte? '''Oberärztin''': Gern. Hier geht die Luft nach oben und die Lunge geht in die Mitte oder nach unten. Bei einem Hydrothorax hingegen befindet sich die Flüssigkeit unten und die Lunge bewegt sich nach oben. '''Kandidatin''': Ah, sehr interessant und logisch: Flüssigkeit ist schwerer und Luft leichter. '''Oberärztin''': Welche Erste Hilfe empfehlen Sie bei einem ausgedehnteren Pneumothorax? '''Kandidatin''': Vielleicht eine Thoraxdrainage? '''Oberärztin''': Ja, mit einem Nadelstich in den zweiten Interkostalraum, damit die Luft rauskommt. Ein risikoreicher Eingriff in einer lebensbedrohlichen Lage, um ein Menschenleben zu retten. '''Kandidatin''': So etwas wäre mir bestimmt zu riskant. '''Oberärztin''': Naja, wenn es sein muss, muss es eben sein. Vielen Dank für Ihre Patientenvorstellung. = Patientenvorstellung 4 = == Agnes Schulz == Kandidatin: Guten Tag, ich würde Ihnen gern eine neue Patientin vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja. Kandidatin: Unsere Patientin Agnes Schulz ist 48 Jahre alt, 160 Zentimeter groß und 63 Kilo schwer. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vortag bestehender, akuter, stechender Bauchschmerzen, die vom Nabel nach unten rechts gewandert seien. Paracetamoleinnahme habe keine Linderung gebracht. FS | Begleitend besteht Nausea sowie Obstipation mit dunkelgrauer Defäkation, ferner erhöhte Temperatur gestern Abend, 38,3° [Grad] Celsius, oral gemessen. <br /> PS | Zudem klagte sie über Übelkeit sowie Verstopfung mit dunkelgrauem Stuhl, ferner über Fiebergefühl, 38,3° [Grad] Celsius, im Mund gemessen. Die Frage nach Emesis, Nachtschweiß und kaltem Schweiß wurde verneint. Es sind keine Vorerkrankungen bekannt. FS | Vor 14 Jahren wurde sie aufgrund einer Tubargravidität operiert. <br /> PS | Sie sei vor 14 Jahren wegen einer Eileiterschwangerschaft operiert worden. Sie nehme regelmäßig Eisentabletten seit 3 Wochen, weil sie Veganerin ist. Sie sei Nichtraucherin seit ihrer ersten Schwangerschaft, davor 12 PY. <br /> Sie trinke keinen Alkohol, Drogenkontakt wurde verneint. <br /> Sie sei verheiratet, habe zwei gesunde Kinder und sie wohnen als Familie zusammen. Sie sei Buchhalterin von Beruf. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. | Aufgrund dieser anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf eine Appendizitis aus. <br /> | Meine Verdachtsdiagnose lautet auf Appendizitis. Oberärztin: Was spricht dafür? Kandidatin: Dafür sprechen Nausea und akute Schmerzen am McBurney-Punkt, Nausea und Fieber. Oberärztin: Welche Differenzialdiagnosen kommen denn in Betracht? Kandidatin: Als Differenzialdiagnosen kommen Morbus Crohn, Nephrolithiasis oder Urolithiasis sowie bei Frauen eine Tubargravidität in Betracht. Oberärztin: Ja, gibt es noch andere gynäkologische Erkrankungen, die solche Bauchschmerzen verursachen könnten? Kandidatin: Es könnte auch eine Ruptur der Ovarien sein. Oberärztin: Sehr gut. Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Kandidatin: Labordiagnostisch finden wir: Leukozytose sowie CRP höher als 10 Milligramm pro Liter und erhöhte BSG (Blutsenkungsgeschwindigkeit). Und ich würde ein Sonographie des Abdomens machen. Oberärztin: Was sehen wir denn in der Sonographie typischerweise, wenn es sich um eine Appendizitis handelt? Kandidatin: Ich erwarte einen vergrößerten Appendix vermiformis von mehr als 6 Millimetern Durchmesser und eine Wandstärke von mehr als 3 Millimetern. Oberärztin: Ja, ... Kandidatin: Auch die mesenterialen Lymphknoten sind vergrößert. Oberärztin: Nehmen wir mal an, Sie finden jetzt sonographisch die Appendix nicht, aber Sie entdecken freie Flüssigkeit. Was ist hier los? Kandidatin: Sie meinen: intestinale Flüssigkeit? Oberärztin: Ja, was für eine Flüssigkeit könnte das sein? Ich denke jetzt an eine Komplikation der Appendizitis. Kandidatin: Dann wäre es eine Peritonitis. Oberärztin: Und vor allem eine Ruptur. Kommen wir zum nächsten Punkt: Welche Behandlung würden Sie denn empfehlen, wenn Sie jetzt die Appendizitis bestätigen? Kandidatin: Dann wäre eine Appendektomie innerhalb von 24 Stunden anzuraten. Oberärztin: Ok, und könnten Sie ein bisschen was über so eine Operation sagen: Welche Möglichkeiten gibt es da? Kandidatin: Eine Laparoskopie hätte den Vorteil, dass man nur sehr kleine Schnitte benötigt, weswegen die Heilung schneller geht. Oberärztin: Meine letzte Frage ist: Kann man eine akute Appendizitis auch konservativ behandeln? Kandidatin: Wenn eine Patientin früh genug kommt, lässt sich eine Appendizitis mit Antibiotika und Analgetika behandeln. Oberärztin: Gut, dankeschön. Kandidatin: Ich danke Ihnen. = Patientenvorstellung 5 = == (Gisela Reuters) == === a. === Guten Tag usw., ["Guten Tag/ Hallo ... Wie war der Dienst?" -- "Es war viel los und ..."] wir haben eine neue Patientin (und ich würde Ihnen gern über sie berichten), hätten Sie kurz Zeit? [Ja, bitte berichten Sie mir.] Vielen Dank. Frau Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin, stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 1,5 Stunden (eineinhalb Stunden) bestehender, plötzlich aufgetretener, krampfartiger, stechender Abdominalschmerzen (NRS 8 von 10) vor, ohne Ausstrahlung. Laut Patientin hat der Schmerz um den Nabel herum begonnen (also umbilikal), ist immer stärker geworden und aktuell im ganzen Bauch. Sie war zu Uhrzeit und Person voll orientiert. Die Schmerzintensität wird von der Patientin bei ungefähr 8 von 10 NRS eingeordnet. An Begleitsymptomatik fand sich Herzrasen und Ohrensausen seit circa 20 Minuten und Verstopfung sei dem Vortag. Die Patientin leide an Schlafstörungen und Schweißausbrüchen. An Vorerkrankungen und Voroperationen sind bei ihr bekannt: Arterielle Hypertonie seit 5 Jahren und Vorhofflimmern, behandelt mit Metoprolol und Marcumar. Sie nehme gelegentlich Aspirin. Sie sei 4 Mal operiert worden: Leistenbruch [FS??], Appendektomie, Ostheosynthese der linken oberen Extremität und Sectio Caesarea. Es besteht eine Penicillin-Allergie, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußert. In der Noxenanamnese fand sich: Raucherin seit 35 Jahren, 35 pack years, sie trinke 1-2 Bier täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Sie habe alle empfohlenen Impfungen. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. Die Patientin befindet sich in den Wechseljahren [im Klimakterium]. Die Reiseanamnese ist leer. Die Familienanamnese ergab arterielle Hypertonie und Diabetes mellitus bei der Mutter, einen Herzinfarkt beim Vater, an dem er verstorben ist. Sie treibt keinen Sport. Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf einen Mesenterialinfarkt aus. Differenzialdiagnostisch sollte ein Ileus ausgeschlossen werden, ebenso eine Darmperforation. Wir sollten auch vasogene Ursachen ausschließen, zum Beispiel eine Aortendissektion oder andere Mesenterialthrombosen. === OA-Fragen === Was spricht für einen Mesenterialinfarkt? Könnten Sie bitte den Zusammenhang zwischen Vorhofflimmern und Mesenterialinfarkt erklären? Was passiert zwischen dem Vorhof und dem Mesenterium? Wo entsteht das Blutgerinnsel? Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Welche Blutwerte sind denn hilfreich für uns? Was erwarten Sie denn in der Gerinnung - bei einer Marcumar-Patientin? Wie verändert sich zum Beispiel der INR [International Normalised Ratio], wenn man Marcumar einnimmt? Mal angenommen, unsere Patientin hat einen Mesenterialinfarkt. Wie kann man das behandeln? = Patientenvorstellung 6 = == Tatjana Märker == Arzt: Hallo. Ich möchte Ihnen die Patientin Frau Märker vorstellen - wenn Sie kurz Zeit hätten? Oberarzt: Ja, habe ich. Arzt: Frau Märker ist zweiunddreißig Jahre alt, einundsiebzig Kilogramm schwer, hat Dr. Werner als Hausärztin. Sie stellte sich bei uns wegen seit etwa 12 Stunden bestehender Tachykardie und Palpitation vor, mit innerer Unruhe und Angst einhergehend. Sie berichtete von einem Flackern vor den Augen, weswegen ich gleich ein EKG durchgeführt habe, um mögliche Rhytmusstörungen auszuschließen. Oberarzt: An welche Rhytmusstörungen haben Sie gedacht? Arzt: Wegen der Ecstasyeinnahme der Patientin. Oberarzt: Ich will wissen, an welche Rhytmusstörungen Sie gedacht haben. Arzt: An eine aurikulare Fibrillation, Vorhofflimmern. Oberarzt: Ja. Was gibt es noch bei jüngeren Patienten? Arzt: Bei jüngeren Patienten? Oberarzt: Gibt es supraventrikulare Tachykardien? Arzt: Supraventrikulare Tachykardien und auch einen ventrikularen Block. Oberarzt: Gut. Bitte weiter. Arzt: Bei genauer Befragung berichtete sie, dass sie vorher keine Drogen genommen hat, außer gestern zwei Mal Ecstasy nacheinander. Oberarzt: Warum zwei nacheinander? Arzt: Sie habe zuerst nichts gefühlt, wollte aber das High-Sein erleben, was dann auch eintrat, aber mit Palpitation und Tachykardie, trockenem Mund und innerer Angst und Unruhe. Oberarzt: Wie sah die Ecstasy aus? Arzt: Es seien rosa Tabletten gewesen. Oberarzt: Ok. Welche Form? Arzt: Das habe ich leider nicht nachgefragt. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Zur Sozialanamnese: Sie hat zwei Kinder, eine dreijährige Tochter und einen eineinhalbjährigen Sohn. Oberarzt: Was haben die Kinder gemacht, während sie Ecstasy genommen hat? Also: Wo waren die Kinder da? Arzt: Die Mutter der Patientin hat sich um die Kinder gekümmert, während die Patientin mit ihrer Freundin feiern ging. Laut Patientin war es das erste Mal, dass sie Drogen ausprobiert hat. Sie lebt allein mit zwei Kindern, ist Bäckereifachverkäuferin von Beruf, aber seit viereinhalb Jahren erwerbslos. Ferner erwähnte sie einen stressigen Lebenskontext mit dem Vater der Kinder. Oberarzt: Was ist mit dem Mann? Sie hat „on off“ gesagt. Was heißt das denn? Arzt: „On off“ bedeutet: manchmal ok, manchmal Probleme. Ich habe es so verstanden, dass sie sich in einer toxischen Beziehung mit dem Mann befindet. Oberarzt: Genau. „On off“ heißt: Manchmal sind sie ein Paar, manchmal sind sie getrennt, immer im Wechsel. Arzt: Ja, toxisch. Oberarzt: Nun, das ist Ihre Beurteilung. Arzt: An Vorerkrankungen ist eine Hypothreose bekannt, seit sie siebzehn Jahre alt ist. Und dagegen nimmt sie L-Thyroxin 15 µg. Und sie wurde einmal operiert, eine Schönheits-OP ihrer Nase, mit neunzehn. In der Familienananese fand sich Diabetes mellitus bei der Mutter, sie spritzt Insulin. Und Grauer Star beim Vater. Oberarzt: Was ist das? Arzt: Der Fachbegriff fällt mir gerade nicht ein, sorry. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Wie lautet der Fachbegriff? Oberarzt: Katarakt. Arzt: Ach ja, danke. Sie ist Einzelkind, hat also keine Geschwister. Sie ist allergisch gegen Nüsse. Sie ist vollständig geimpft, auch ein Mal gegen Covid-19. In der Noxenanamnese ergab sich ein Nikotinkonsum von zwei bis drei Zigaretten bei Gelegenheit sowie Alkoholkonsum, aber sie trinke nicht jedes Wochenende. Drogenkonsum wurde verneint – bis auf dieses Mal. Ich gehe von einer Metamphethamin-Intoxikation aus. Differentialdiagnostisch ist eine Rhythmusstörung auszuschließen. Basisdiagnostisch mache ich eine körperliche Untersuchung, eine Blutabnahme, eine Überprüfung von Elektrolyten und Blutgasen, um zu sehen, ob eine Azidose besteht oder nicht. Sie hat auch viel geschwitzt. Oberarzt: Können wir denn auch diesen Ecstasykonsum verifizieren? Arzt: Ja, mittels einer toxikologischen Blutabnahme vielleicht? Oberarzt: Gibt es noch andere Möglichkeiten? Arzt: Im Urin? Oberarzt: Ja, Genau. Arzt: Was noch? Eine Infusiontherapie, um den Mangel an Elektrolyten und Flüssigkeit auszugleichen. Man könnte auch eine Magenspülung machen. Aber in diesem Fall ist es noch nicht notwendig. Oberarzt: Wie ist denn die Prognose? Arzt: Ja, die Prognose ist gut, denke ich. Die Patientin hat ein bisschen übertrieben wegen der Angst und weil sie es zum ersten Mal ausprobiert hat. Oberarzt: Wie kann man denn Patienten behandeln, die sehr agitiert sind, sehr unruhig, sehr ängstlich. Kennen Sie Medikamente, die stark, ruhigend und angstlösend wirken? Arzt: Benzodiazepine? Oberarzt: Ja. Sehr gut. Vielen Dank. Arzt: Ganz meinerseits. [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] == (Gisela Reuters) == === b. === Hallo, schönen guten Tag, Frau Oberärztin, ich habe eine neue Patientin und würde ihren Fall gern mit Ihnen besprechen. Hätten Sie kurz Zeit? ''Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los.'' Es geht um Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund vor 1,5 Stunden plötzlich aufgetretener, umbilikaler, progredienter, postprandialer Schmerzen, ohne Linderung nach Ibuprofeneinnahme. Sie habe vor 10 Tagen schon einmal ähnliche Beschwerden gehabt. Begleitend fand sich: Obstipation seit 3 Tagen, Meteorismus, Völlegefühl, Hyperhidrose, Tachykardie und Tinnitus. Die vegetative Anamnese ist unauffällig, bis auf Inappetenz und stressbedingte Insomnie. Sie sei in den Wechseljahren. Es sei eine Penicillin-Allergie bekannt, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußern würde. Sie hat Vorhofflimmern seit 5 Jahren und vor 20 Jahren hatte sie einen Ikterus nach einer Marokkoreise. An Medikamenten nehme sie: Metoprolol und Marcumar regelmäßig sowie ACC bei Bedarf. Bei der Patientin wurde mit 14 Jahren eine Appendektomie durchgeführt. Sie hatte auch eine Inguinalhernie und eine Fußknochenfraktur wegen eines Fahrradunfalls. Sie rauche 20 Zigaretten pro Tag seit 20 Jahren und trinke 1-2 Flaschen Bier am Wochenende. Die Familienanamnese ergab Folgendes: Die Mutter leide an arterieller Hypertonie und Diabetes mellitus, der Vater sei mit 58 Jahren an einem Herzinfarkt gestorben. Eine ihrer Schwestern sei bei einem Sportunfall ums Leben gekommen, die andere habe eine Nierenerkrankung. Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf einem Mesenterialinfarkt hin. An Differenzialdiagnosen kommen folgende in Betracht: eine Appendizitis, vielleicht eine Cholezystitis. Zur weiteren Abklärung führe ich folgende Maßnahmen durch: eine körperliche Untersuchung, Blutabnahme, Blutbild (Koagulationswerte), Abdomen Angiographie mit Kontrastmittel. Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: Koagulationskorrektur, Thrombektomie, ein kardiologisches Konsil - ja, was war alles. ''Oberärztin: Vielen Dank. Welche Risikofaktoren hat diese Patientin?'' Als Risikofaktoren kommen folgende in Betracht: Vorhofflimmern, arterielle Hypertonie in der Vorgeschichte der Patientin, dazu Adipositas. Es könnte auch eine Hyperlipidämie sein. Auch hormonelle Veränderungen aufgrund der Menopause könnten bei der Gerinnung eine Rolle spielen. ''Oberärztin: Welche Komplikationen können hier auftreten?'' Die Patientin hat schon seit 3 Tagen Obstipation, daher ist an einen Ileus zu denken, und bei der körperlichen Untersuchung können wir dumpfe Bauchgeräusche hören. ''Oberärztin: Was wäre im Verlauf die schlimmste Komplikation?'' Es könnte einen Apoplex auslösen. ''Oberärztin: Aha, Sie denken an das Neuro-System. Und im System Gastro?'' Eine Darmnekrose, die zu einer Peritonitis mit Sepsis führen könnte. ''Oberärztin: Was würden Sie der Patientin zur Prophylaxe geben?'' Antibiotika. ''Oberärztin: Welche weiteren Maßnahmen würden Sie durchführen?'' Ich würde eine regelmäßige INR-Bestimmung machen, um die Koagulationswerte im Auge zu behalten. ''Oberärztin: Und was wäre hier die wichtigste Therapieform?'' Eine Thrombektomie, also ein chirurgischer Eingriff. ''Oberärztin: Wie ist die Prognose, nicht nur für diese Patientin, sondern generell?'' Es hängt von rechtzeitiger Therapie ab. Bei sofortiger Behandlung ist die Prognose günstiger. Bei späterem Behandlungsbeginn treten häufig Komplikationen auf, was oft zu einer ungünstigen Prognose führt, weil die Letalität steigt. ''Oberärztin: Aber warum steigt dann die Letalität?'' Weil solche Komplikationen einen Apoplex im Gehirn verursachen können. ''Oberärztin: Warum im Gehirn?'' Bei unserer Patientin besteht das Problem in den Arterien, denn sie hat seit 5 Jahren Vorhofflimmern. Es könnte deshalb sein, dass eine periphere Ischämie auftritt und ein Thrombus ins Gehirn gelangt. ''Oberärztin: Warum besteht bei dieser Erkrankung ein so hohes Risiko?'' Falls es sich um nicht eingestelltes Vorhofflimmern handelt, treten häufig Komplikationen auf, zum Beispiel eine Embolie. ''Oberärztin: Ich sehe noch ein anderes Problem: Hier könnte ein verstecktes Bauchproblem bestehen, sie nannten schon die Angiographie. Aber in der Klinik ist die Zeit knapp, weshalb wir nicht erst alle Probleme im Bauch ausschließen können. Also bekommen Patienten zuerst eine explorative Laparoskopie, um möglichst schnell den Auslöser zu identifizieren.'' Im aktuellen Fall denke ich, dass eher ein CT mit Kontrastmittel geeignet ist. ''Oberärztin: Nach einer Laparoskopie. Und die häufigste Therapie ist dann die Entfernung des betroffenen Teils des Darms, um mögliche Komplikationen zu vermeiden. Kommen wir nochmal zurück zur körperlichen Untersuchung: Was erwarten Sie bei der Auskultation?'' Ich erwarte fehlende oder weniger starke Bauchgeräusche, wegen des Ileus. ''Oberärztin: Und bei der Perkussion?'' Da rechne ich mit Abwehrspannung und mit Loslassschmerz. Und bei einer Perforation als Komplikation sehen wir Luft im Bauchfell. ''Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Ausführungen.'' Vielen Dank. = Patientenvorstellung 7 = == Frank Boppes == (ohne OA-Fragen) Arzt: Guten Tag, Frau Oberärztin. Oberärztin: Hallo. Arzt: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja, natürlich, bitteschön. Arzt: Es handelt sich um Herrn Frank Boppes, einen 67-jährigen Patienten, geboren am 23.11.1958, einen Meter fünfundachtzig groß [1,85 m], 90 Kilo schwer. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 6 Wochen bestehender, allmählich aufgetretener, progredienter Dysurie. Darüber hinaus klagte er über Unterbauchschmerzen ohne Ausstrahlung. Die Schmerzintensität wurde mit 7 von 10 bewertet. Begleitend liegt Hämaturie vor. Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Nachtschweiß sowie Gewichtsabnahme (8 kg innerhalb von 6 Monaten). An Vorerkrankungen fand sich ein Reizdarmsyndrom seit 15 Jahren, COPD seit 20 Jahren und Prostatahyperplasie seit 4 Jahren. Gegen COPD nimmt er ggf. ein Kortikosteroidspray. Beim Patienten wurde vor zwei Jahren wegen eines Tumors im Rückenbereich eine Operation durchgeführt, die laut Patient komplikationslos war. Familienanamnestisch relevant ist ein Kolonkarzinom beim Vater, mit 65 Jahren daran verstorben. Allergien sind keine bekannt und es besteht eine Milchprodukteunverträglichkeit (Laktoseintoleranz), Nikotinabusus (100 PY). Er trinke ein Glas Rotwein täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Er sei verheiratet und wohne mit seiner Frau zusammen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Prostatakarzinom. <br /> Differenzialdiagnostisch kommen eine benigne Prostatahyperplasie, Harnwegsentzündung, z.B. eine Pyelonephritis, Zystitis. <br /> Basisdiagnostisch würde ich eine körperliche Untersuchung durchführen, Vitalparameter messen und den Patienten inspizieren, palpieren und auskultieren. Die Palpation ist in diesem Fall entscheidend. Zur weiteren Abklärung würde ich Blut abnehmen, um Entzündungswerte zu bestimmen. Im nächsten Schritt würde ich die apparative Diagnostik einsetzen, eine Abdomenspiegelung machen und ein CT. Ah, und für die körperliche Untersuchung ist auch eine digital-rektale Untersuchung notwendig. = Patientenvorstellung 8 = == Ralf Merklinger == mit Dank an I.K. Ärztin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Ärztin: Ich möchte Ihnen einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja natürlich, bitteschön. Ärztin: Es handelt sich um Herrn Ralf Merklinger, 48 Jahre alt. Er stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einer Woche bestehender, anfallsartig auftretender Tachykardie und Palpitation. Zudem berichtete der Patient, dass diese Anfälle einmal pro Tag auftreten und ungefähr 15 Minuten dauern. Sie würden sich spontan zurückbilden. Nach Angaben des Patienten hilft Ablenkung. Begleitend bestehen inspiratorische Dyspnoe, Vertigo, Angstgefühl, Diaphorese und Kontrollverlust. Er berichtete von Angst vor den nächsten Anfällen. Zudem klagte er über Konzentrationsstörungen. Bei ihm liegt auch ein Schuldgefühl und eine depressive Verstimmung vor. Die Frage nach Thoraxschmerzen, nach ähnlichen vorherigen Beschwerden, Suizidgedanken, Derealisation und Depersonalisation wurden verneint. In der vegetativen Anamnese zeigten sich nächtliche Hyperhidrose und beschwerdebedingte Insomnie in Form von Einschlafstörungen. In der Vorgeschichte fand sich Hypothyreose, mit L-Thyroxin 100 mcg behandelt. Es besteht ferner Bruxismus seit 20 Jahren, weswegen er nachts eine Schiene trägt. Zudem habe er sich mit 22 Jahren eine Tibiafraktur links zugezogen, die operativ behandelt wurde. Erwähnenswert ist, dass er vor einer Woche einen Autounfall erlitten hat, dabei wurde seine Frau verletzt. Sie ist aktuell in einer Klinik und er macht sich Gedanken, ob er sie heute auch wieder besuchen kann, denn er macht sich Vorwürfe und hat Schuldgefühle. Oberärztin: Aha, daher kommen die Schuldgefühle! Was haben Sie dem Patienten empfohlen, bezüglich der Schuldgefühle? Ärztin: Ich habe psychologische Hilfe angeboten und habe versucht, ihm zu erklären, dass ihn keine Schuld trifft und dass es manchmal nicht von einem selbst abhängt, was passiert ist. Ich habe ihm auch empfohlen, offen mit seiner Frau zu sprechen. Oberärztin: Warum haben Sie es ihm angeboten? Ärztin: Er hatte mich danach gefragt, ob er es seiner Frau sagen soll, dass er selbst jetzt auch ärztliche Hilfe benötigt und er sie deshalb wahrscheinlich heute nicht besuchen kann. Denn meiner Meinung nach ist es immer besser, ehrlich zu sein und nichts zu verheimlichen. Oberärztin: Würden Sie den Patienten stationär aufnehmen? Ärztin: Ja, denn es sollte zuerst alles abgeklärt werden. Auch organische Ursachen müssen ausgeschlossen werden, etwa eine koronare Herzkrankheit. Deshalb habe ich gezielt nach Thoraxschmerzen gefragt und danach, ob sie in Ruhe oder bei Belastung auftreten und ob er so etwas schon einmal hatte. Oberärztin: Ja, ok. Welche Laborwerte würden Sie anordnen? Ärztin: Bei diesem Fall beginne ich mit hochsensitivem Troponin-T und I, um einen Myokardinfarkt auszuschließen. Zudem überprüfe ich weitere Parameter, wie D-Dimere, um eine Lungenembolie auszuschließen und weitere Parameter wie Nierenwerte, Entzündungsparameter, für die Einschätzung des Allgemeinzustands. Oberärztin: Welche Rolle spielen die Informationen aus der Medikamentenanamnese? Ärztin: Ah ja, es ist wichtig, auch TSH und freie T4 und freie T3 zu bestimmen, da eine Überdosierung von L-Thyroxin die Ursache sein könnte. Also sollten auch die Schilddrüsenhormone bestimmt werden. Oberärztin: Gut. Welche Therapie würden Sie vorschlagen? Ärztin: Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, würde ich zuerst ein psychologisches bzw. ein psychiatrisches Konsil anraten. Hier kommt eine kognitive Verhaltenstherapie in Frage, um Denkmuster zu erkennen, sie zu bearbeiten und zu verändern. Falls nötig, kann auch eine Antidepressiva-Therapie eingesetzt werden. Zuerst müssen wir dem Patienten einen Fragebogen anbieten und dann sehen wir, ob es auch um eine Depression geht. Oberärztin: Wie kommen Sie auf Depression? Ärztin: Depressionen können auftreten, wenn ein Patient ein traumatisches Erlebnis hatte. Und er hat Schuldgefühle. Und seiner Frau sei eine depressive Stimmung an ihm aufgefallen. Deshalb müssen wir das ernst nehmen. Oberärztin: Vielen Dank, dann verfahren Sie bitte so. = Patientenvorstellung 9 = [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] == Sina Gowitz == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) Ä: Ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben aufgenommen habe. Es geht um eine zweiundzwanzigjährige Patientin, sie heißt Sina Gowitz, geboren am vierzehnten Vierten zweitausendzwei [14.4.2002], relativ groß, eins fünfundachtzig, und achtzig Kilo schwer. Die Patientin stellte sich eigenständig bei uns vor mit starken Bauchschmerzen, vor allem im rechten Unterbauch lokalisiert. Anfangs seien die Schmerzen aber eher so in der Mitte gewesen, also im Epigastrium. Außerdem habe sie Fieber und Durchfall, wobei sie angab, dass sie beides auch schon vor zwei Wochen mal gehabt habe und zwischenzeitlich symptomfrei gewesen sei. Außerdem habe sie vor zwei Wochen einen eitrigen vaginalen Ausfluss gehabt, der auch behandelt worden sei. Der Zyklus sei generell unregelmäßig bei ihr. Sie gab an, dass es nicht möglich sei, dass sie schwanger wäre, denn sie habe keinen Geschlechtsverkehr. Die Schmerzintensität bewertete die Patientin mit initial acht von zehn. Nach Medikation mit Novalgin intravenös war das dann noch bei sechs von zehn. An Vorerkrankungen sind so unspezifische Abdominalsymptome bekannt. Es sei laut Hausärztin fraglich, ob das vielleicht ein Reizdarmsyndrom sei. Es wurde aber wohl keine Koloskopie bislang durchgeführt. Außerdem hat die Patientin Asthma und hatte mal eine Urolithiasis mit achtzehn. Sie hat sich auch mal eine Tibiafraktur zugezogen, die operativ versorgt wurde, das Osteosynthesematerial sei noch einliegend. Und bei ihr wurde eine Tonsillektomie durchgeführt. Wann, weiß ich leider nicht genau, denn dazu machte die Patientin keine Angaben. Medikation nimmt die Patientin nur bei Bedarf. Zum einen Atrovent Spray gegen das Asthma und Duspatal Tabletten gegen die Verstopfung. Unsere Patientin ist Studentin, studiert Physik, lebt in einer Sechser-WG, in der ansonsten niemand ähnliche Beschwerden habe. Sie spielt Basketball und war vor Kurzem in Belgien. Das ist aber, denke ich, nicht besonders relevant. Der Impfstatus sei vollständig. Sie hat vor allem FSME im März aufgefrischt. Zur Familienanamnese ist bei der Mutter eine Herzinsuffizienz bekannt. Auch der Bruder hat wohl eine Herzerkrankung, die sie nicht näher benennen konnte. Beim Vater ist Morbus Bechterew bekannt und auch beim Großvater väterlicherseits. Zu den Noxen: Die Patientin ist Nichtraucherin, sie trinkt gelegentlich Alkohol, im Sommer häufiger mal, und sie hat einmalig Cannabis ausprobiert. An Allergien ist eine Amoxicillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe äußert, und sie vertrage einige Früchte nicht, zum Beispiel Äpfel, Kiwi und Ananas. Es fragt sich, ob es sich hier um eine Allergie handelt. Aufgrund der anamnestischen Angaben und auch der wirklich starken Abdominalschmerzen gehe ich aktuell von einer Appendizitis aus. Differentialdiagnostisch müssen wir auch an eine gynäkologische Erkrankung denken, zum Beispiel an eine Adnexitis, eine obturierte Ovarialzyste oder eine, ja, vielleicht sexuell übertragbare Erkrankung. Es könnte auch eine akute Gastroenteritis sein. Als Diagnostik empfehle ich natürlich eine ausführliche körperliche Untersuchung, wobei wir auf die Appendizitiszeichen achten, dann eine Sonografie des Abdomens. Hier suchen wir nach einem sogenannten Kokardenphänomen im rechten Unterbauch. Zu den Laborwerten: Bei einer Appendizitis erwarte ich eine Leukozytose, ein erhöhtes CAP, eine erhöhte BSG und eventuell auch erhöhtes Procalcitonin. Falls der sonographische Befund unklar ist, könnte man auch ein CT Abdomen erwägen. Und wenn ja, wenn wir Hinweise auf eine akute Appendizitis haben, würden wir in jedem Fall, denk ich, eine operative Behandlung empfehlen, also eine laparoskopische Appendektomie. Hätten Sie dazu noch Fragen? OÄ: Könnten Sie bitte diese spezifischen ultrasonographischen Befunde erklären? Was ist ein Kokardenphänomen genau? Ä: Das Kokardenphänomen? Ja, also dieser Wurmfortsatz am Zirkum stellt sich bei einer akuten Appendizitis verdickt dar. Wir sehen deutlich die Wand der Appendix und häufig auch ein Begleitödem. Und wenn wir das sonographisch feststellen können, dann ist das ein deutlicher Hinweis auf eine Appendizitis. Manchmal sehen wir auch begleitend eine Lymphadenopathie, also eine abdominelle Lymphadenopathie, das ist auch ganz typisch, glaube ich. OÄ: Ist ein Appendix generell im Ultraschall zu sehen? Ä: Nein, eigentlich nicht, das heißt, wenn wir die Appendix sehen, dann ist das schon ein Hinweis auf eine Appendizitis. OÄ: Ja. Soweit mal, vielen Dank. Ä: Ich habe zu danken. 5aqjlgmgz6yotwwn7hxici8c4psukb7 1076758 1076757 2026-04-10T14:51:50Z C.Koltzenburg 13981 /* Sabine Nelius, 63 J */ 1076758 wikitext text/x-wiki * Siehe auch [[Anamnesegespräche]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] == Patientenvorstellungen == * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 9|'''PatV 9''': Sina Gowitz, 22 J.]] (VD Appendizitis) -- [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 8|'''PatV 8''': Ralf Merklinger, 48 J.]] (VD Panikattacke) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 7|'''PatV 7''': Frank Boppes, 67 J.]] (VD Prostatakarzinom) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 6|'''PatV 6''': Tatjana Märker, 32 J.]] (VD Intoxikation) -- [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 5|'''PatV 5 a.''' (+ b. to do): Gisela Reuters, 58 J.]] (VD Mesenterialinfarkt) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 4|'''PatV 4''': Agnes Schulz, 48 J.]] (VD Appendizitis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 3|'''PatV 3''': Sebastian Mayer, 66 J.]] (VD exazerbierte COPD) -- [[Anamnesegespräche#Fall_13|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 2|'''PatV 2''': Sabine Nelius, 63 J.]] (VD Pyelonephritis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 1|'''PatV 1''': Magda Wienhäuser, 46 J.]] (VD Panikattacke) = Patientenvorstellung 1 = == Magda Wienhäuser, 46 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde Ihnen gern die Patientin Magda Wienhäuser vorstellen. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja, bitte legen Sie los."'' "Magda Wienhäuser ist 46 Jahre alt, sie ist am 01.06.1976 ("ersten sechsten sechsundsiebzig) geboren, [161 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einen Meter einundsechzig groß und wiegt [68 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtundsechzig Kilo. Die Patientin stellte sich heute Morgen um halb acht in der Notaufnahme vor, nachdem sie mit dem Auto zur Arbeit fahren wollte und, im Auto sitzend, verschiedene, sehr stark ausgeprägte Symptome bemerkte, nämlich: Tachykardie, Kaltschweißigkeit, Todesangst, Dyspnoe, das Gefühl, sich nicht mehr bewegen zu können. Außerdem berichtete sie von Kribbeln in den Händen und Ohrensausen. Ferner gab sie an, ihr sei übel gewesen. Erbrochen habe sie aber nicht. Nach Angaben der Patientin hat sie ungefähr 15 Minuten im Auto gesessen und ist dann mit großer Mühe in die Klinik gefahren, um sich bei uns vorzustellen. Aus der Vorgeschichte ist bekannt: <br /> * eine rheumatoide Arthritis seit der zweiten Schwangerschaft, also seit 14 Jahren. Diese rheumatoide Arthritis wird mit Diclofenac zwei Mal täglich behandelt. * Außerdem eine Migräne mit Aura seit der Jugend. Die Patientin nimmt bei Bedarf Sumatriptan und Ibuprofen. * Ein Bandscheibenvorfall, also Diskusprolaps, mit 42 Jahren, der konservativ behandelt wurde. An Operationen nannte die Patientin eine Myomentfernung in 2021 und eine Mammareduktion mit 20 Jahren. Unsere Patientin ist Nichtraucherin, hat auch nie geraucht, sie trinke ab und zu Alkohol, insbesondere Aperol Spritz, ungefähr einmal im Monat, und sie gab an, in der Jugend einmal Amphetamine genommen zu haben. Zur gynäkologischen Anamnese: Sie hat ungefähr alle zwei bis drei Monate ihre Mensis, zuletzt vor zwei Wochen. Die Patientin nannte eine Allergie gegen Haselnüsse, was sich mit Dyspnö und Exanthem äußert, außerdem hat sie eine Glutenintoleranz, also es liegt vermutlich eine Zöliakie vor. Zur Familenanamnese: Der Vater der Patientin verstarb mit 47 an einem Hodenkarzinom, die Mutter ist 72 Jahre alt, leidet an leichter Demenz und lebt in einem Pflegeheim. Bei der Schwester ist eine Alopecia areata bekannt und der jüngere Bruder der Patientin ist aufgrund eines angeborenen Herzfehlers bereits verstorben, mit Anfang 30. Unsere Patientin ist Fleischerei-Fachverkäuferin bei Edeka, sie ist seit fünf Jahren geschieden. Sie ist alleinerziehend mit drei Kindern, 15, 14 und 9, wobei der jüngste Sohn im Alter von vier Jahren Leukämie hatte. Das sei eine schwierige Zeit gewesen und hier sei es auch zur Trennung vom Partner gekommen. Der Ex-Mann unserer Patientin ist Polizist und laut Frau Wienhäuser gibt es immer wieder Probleme zwischen den beiden, wo es dann um den Umgang der Kinder geht. Die Patientin hat seit zwei Jahren einen neuen Freund, der ebenfalls Mitarbeiter bei Edeka ist. Die Patientin treibt Sport, sie geht zum Zumba. Ich denke, das waren die wichtigsten Informationen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Panikattacke. Natürlich muss ich, wenn ich diese Diagnose vermute, erstmal alle somatischen Erkrankungen ausschließen, unter anderem einen Myokardinfarkt, eine Refluxösophagitis, einen Magenulkus, eine Lungenembolie. Zu den Untersuchungen: Die Patientin muss natürlich ausführlich körperlich untersucht werden, vor allem Herz und Lungen müssen auskultiert werden. Ich benötige eine Messung der Vitalparameter, selbstverständlich, dann ist eine Blutuntersuchung notwendig. Wir würden hier vor allem die Herzenzyme, die Entzündungsparameter und eine BGA bestimmen. Außerdem schreiben wir ein EKG und wir könnten gegebenenfalls auch ein Herz-Echo oder eine Sonografie des Abdomens durchführen, wobei in der Regel ja schon die ersten Befunde in etwa die Richtung anzeigen, in die es weitergeht. Wenn wir tatsächlich in den Befunden nichts Pathologisches feststellen, dann würden wir erstmal von einer Panikattacke ausgehen. Die Panikattacke hört normalerweise von selbst wieder auf. Bei ausgeprägter Hyperventilation sollte man der Patientin eine Tüte geben, so dass sie in die Tüte atmet. Manchmal ist eine beruhigende Medikation erforderlich, zum Beispiel mit Benzodiazepin, wobei man da sehr gut aufpassen muss, weil das zu Abhängigkeit führen kann. Die Patientin sollte aufgeklärt werden über diese Erkrankung und auch darüber, dass es häufig zu rezidivierenden Panikattacken kommt, aber dass es sozusagen nichts Schlimmes ist. Falls es immer wieder zu Panikattacken kommt, kann die Patientin auch verhaltenstherapeutisch behandelt werden, wobei hier in den meisten Fällen eine ambulante Therapie ausreicht. Das wäre alles meinerseits." ''"Welche Laborwerte würden Sie anordnen?"'' "Ah, welche genau? Also: die Herzenzyme, also Troponin T [teh] und CK-MB [zeh kah emm beh], LDH [ell deh hah] und natürlich ein Blutbild, in der Regel ein großes Blutbild, um einen guten Überblick zu erhalten, Entzündungswerte neben den Leukozyten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh]. In der BGA achte ich darauf, wie Sauerstoff und Co2 [zeh oh zwei] verteilt sind, ob es bereits eine Azidose gibt. Das wären die wichtigsten Werte, denke ich." ''"Würden Sie thyreoide Hormone anordnen?"'' "Ah, Schilddrüsenhormone, ja. Ich würde auf jeden Fall das TSH [teh ess hah] bestimmen, um einen ersten Eindruck zu bekommen. Schon bei der körperlichen Untersuchung würde ich auf den Halsbereich achten, also ob da vielleicht schon einen Vergrößerung der Schilddrüse zu sehen oder zu spüren ist." ''"Vielen Dank. Dann verfahren Sie mit Ihrer Patientin bitte so."'' = Patientenvorstellung 2 = == Sabine Nelius, 63 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja."'' "Es geht um Sabine Nelius, eine 63-jährige [dreiundsechzigjährige] Patientin, geboren am 02.01.1961 [am zweiten Januar einundsechzig], [171 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einseinundsiebzig groß und [61 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] 61 Kilo schwer. Die Patientin stellte sich bei uns vor wegen starker, linksseitiger Flankenschmerzen. Die Schmerzen habe sie seit drei Tagen und sie würden stärker, also sind progredient, von der Qualität her ziehend, teilweise klopfend, mit Ausstrahlung in die linke Leiste. Sie gab an, seit gestern auch Fieber zu haben, knapp über [38° C <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtunddreißig Grad Celsius, Schüttelfrost, Schwindel, ihr sei übel, sie habe leichten Durchfall gehabt. Darüber hinaus müsse sie häufig Wasser lassen, dabei würde der Urin nicht einfach kommen und es würde sogar brennen, also dysurische Beschwerden. Der Urin sei rötlich. Die Patienen glaubt selbst, es sei Blut. Sie klagt über ein allgemeines Krankheitsgefühl und Herzrasen. Die Schmerzen würden vor allem durch Bewegung, durch Gehen, verstärkt und in Ruhe seien die Schmerzen etwas besser auszuhalten. Die Patientin hat einige Vorerkrankungen, unter anderem hatte sie 2018 einen Myokardinfarkt, sie hat eine Psoriasis seit 6 Jahren und vor 7 Jahren wurde ihr aufgrund einer Perforation im Sigma ein Teil des Sigmas entfernt. An Operationen ist außerdem eine Tonsillektomie, 1972, bekannt. Die Medikation besteht aus ASS 100 mg einmal morgens und Citalopram 75 mg einmal morgens. In der Sozialanamnese gab die Patientin an, dass ihre Tochter im Alter von 30 [dreißig] Jahren bei einem Autounfall verunglückt sei. Die Patientin selbst lebe mit ihrem gehbehinderten Ehemann zusammen und ist seit einem halben Jahr in Rente. Vorher hat sie als Frisörin gearbeitet. In der Familienanamnese ist beim Vater ein Diabetes mellitus Typ 2 bekannt, er ist 91 Jahre alt und lebt in einem Pflegeheim. Die Mutter sei gesund, mit 85 Jahren, und ein Onkel mütterlicherseits sei vor 15 Jahren im Alter von 79 Jahren an Prostatakrebs verstorben. Auch die Schwester der Patientin, aktuell 62 Jahre alt, hatte im Alter von 45 Jahren ein Zervixkarzinom, was aber kurativ behandelt werden konnte. Zu den Noxen: Die Patientin raucht ca. 10 Zigaretten täglich seit 50 Jahren, also 25 pack years [päck years, also Englisch gesprochen], sie trinke täglich eine Flasche Bier, Drogenkonsum wurde verneint. Allergien wurden glaubhaft verneint. Sie gab allerdings an, dass eine Unverträglichkeit gegen Milch bekannt sei, ich vermute, (es handelt sich um) eine Laktoseintoleranz. Aufgrund der Schmerzen in der linken Flanke und dieser Dysurie vermute ich einen Harnwegsinfekt, und zwar eine Pyelonephritis. An Differenzialdiagnosen kommen eine Zystitis oder eine Divertikulitis in Betracht. Zur Abklärung würde ich die Patientin körperlich untersuchen, mit Fokus auf das Abdomen und die Flanken, also prüfen, ob die Nieren klopfschmerzhaft sind. Dann würde ich mit Urinstix (also Urinteststreifen) den Urin untersuchen, auf Protein, PH und so weiter. Auch schauen, ob eine Hämaturie besteht, dann eine Blutentnahme, ich würde ein großes Blutbild anordnen, mit Entzündungswerten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh], außerdem Creatinin, Harnstoff, Elektrolyte, Leberwerte bestimmen, wobei ich bei einer akuten Pyelonephritis vor allem eine Erhöhung der Entzündungsparameter erwarte. Ich benötige außerdem eine Urinkultur, um den Erreger zu bestimmen. An bildgebenden Verfahren benötige ich eine Sonografie des Abdomens, damit kann ich in der Regel schon ganz gut abschätzen, ob ein Harnaufstau besteht oder ich könnte differenzialdiagnostisch eine Urolithiasis, also einen Stein feststellen. Den könnte man auch mit einem Röntgen Abdomen sehen. Meistens reicht die Sonografie Abdomen aus, um die Diagnose zu stellen, aber falls noch unklar sein sollte, was die Patientin hat, wäre auch ein CT [zeh teh] Abdomen in Betracht zu ziehen. Therapeutisch empfehle ich Bettruhe, ausreichend Flüssigkeit, entweder oral oder intravenös, außerdem ein Analgetikum wie zum Beispiel Novalgin oder Paracetamol. Bevor der Befund der Urinkultur vorliegt, behandele ich bereits empirisch, beispielweise mit einem Cephalosporin oder Ciprofloxacin, da gibt es verschiedene Optionen. Das Antibiogramm lässt sich anpassen, sobald die Befunde der Urinkultur vorliegen. In der Regel wird die Pyelonephritis intravenös behandelt, später kann es auch oralisiert werden. Das wäre (soweit erstmal) alles meinerseits." ''"Gut, danke. Ich habe keine Fragen. Bitte machen Sie mit der Patientin weiter."'' = Patientenvorstellung 3 = == Sebastian Mayer == Kandidatin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Kandidatin: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los. Kandidatin: Dankeschön. Es handelt sich um Herrn Sebastian Mayer, einen 66-jährigen Patienten, geboren am 15.6.1958, 177 cm, 80 kg, den ich heute gegen 11 Uhr gesehen habe. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 3 Tagen bestehenden Hustens, seit gestern mit gelblich-grünem Sputum, Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, und Fieber. Seit der Kindheit besteht Asthma und vor 3 Jahren wurden pulmonale Emphyseme bei ihm diagnostiziert. Laut Patient wird sein Asthma mit Prolenium behandelt und er nutzt Salbutamol Spray bei Bedarf. Bisher sei das aber nur ein Mal der Fall gewesen. Vor 3 Tagen seien ihm blaue Lippen aufgefallen und etwas Herzrasen, also Hypoxie-Zeichen, und laut Patient ist es schlimmer geworden. Es gehe ihm insgesamt nicht gut und er sei oft nervös. An Begleitsymptomen liegen vor: schnelle Ermüdung bei Bewegung, sowie Insomnie. Verneint wurden die Fragen nach Schmerz sowie Miktions- und Defäkationsstörungen. Bei ihm ist eine Pencillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe und Rubor äußert. Vor 4 Monaten habe er ein neues Knie bekommen (rechts). In der Familienanamnese fand sich Asthma bei Vater und Bruder. Er lebt mit seiner Frau zusammen und hat zwei gesunde Töchter. Meine Verdachtsdiagnose lautet: COPD, vielleicht exazerbierte COPD. Differenzialdiagnostisch kommen Salbutamol-Abusus und Pneumonie in Betracht. Für meine Verdachtsdiagnose sprechen: Husten mit Sputum, Fieber und - wie heißt nochmal der Fachbegriff für Atemnot? Oberärztin: Dyspnoe Kandidatin: Ach ja, vielen Dank, also … und Dyspnoe. Dazu kommt Asthma als Vorerkrankung und die Lungenemphysem-Diagnose vor 3 Jahren. Zur Bestätigung dieser Verdachtsdiagnose brauche ich natürlich eine körperliche Untersuchung mit Auskultation und Palpation, ein EKG wegen der Hypoxiesymptome, um Herzprobleme ausschließen zu können, dazu Laborwerte, Entzündungszeichen und Leukozyten, ein Röntgen des Thorax - und, falls notwendig, ein CT. Eine Antibiotikum-Therapie wäre zu empfehlen, denn Herr Mayer war wegen dieser Symptome noch nicht beim Hausarzt und ich denke, dass deswegen eine symptomatische Behandlung nicht ausreicht. Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Vorstellung. Was könnte der Auslöser gewesen sein? Kandidatin: Ich denke, es könnte die Erkältung sein, mit Husten, den er seit 3 Tagen hat. Oberärztin: Was genau spricht für ein Lungenemphysem? Kandidatin: Die Anamnese, also die Vordiagnose. Und dass sein Brustkorb größer geworden ist. Oberärztin: Wie nennt man dieses Zeichen? '''Kandidatin''': Oh, das weiß ich nicht. '''Oberärztin''': Fassthorax. '''Kandidatin''': Dankeschön. Und dazu Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, mit dem Gefühl, dass Luft in der Lunge bleibt, er also nicht vollständig ausatmen kann. '''Oberärztin''': Ja genau, gut. Welche Risikofaktoren hat der Patient? '''Kandidatin''': Er ist starker Raucher, mit mehr als 30 pack years. '''Oberärztin''': Was spricht für eine akute exazerbierte COPD? '''Kandidatin''': Dafür spricht produktiver Husten, Fieber, Zyanose, Tachykardie. '''Oberärztin''': Und es liegt ein expiratorischer Stridor vor. '''Kandidatin''': Ah ja, er hat ein Pfeifen erwähnt. Das gibt es auch bei Asthma bronchiale. '''Oberärztin''': Mit welchen lebensbedrohlichen Komplikationen müssen Sie hier rechnen? '''Kandidatin''': Ich denke an eine Insuffizienz der rechten Herzkammer, denn die Lungenbeschwerden können zuerst zu einer Hypertrophie führen und danach zu einer Herzinsuffizienz. '''Oberärztin''': Ja, aber das tritt überwiegend bei chronisch erkrankten Patienten auf. '''Kandidatin''': Und in akuten Fällen kann es vielleicht zu akuter respiratorischer Insuffizienz führen, oder? '''Oberärztin''': Warum? '''Kandidatin''': Weil bei Exazerbation Auswurf besteht und dann können Patienten bei weiterer Verschlechterung kaum noch ausatmen, was auch zu einem Pneumothorax führen kann. '''Oberärztin''': Was genau führt zu einem Pneumothorax? '''Kandidatin''': Da bin ich mir nicht sicher, aber bei Vorliegen eines (exazerbierten?) Emphysems (das sich verschlechtert hat) ... , aber ich habe keine Erfahrung mit COPD-Patienten und kenne mich deswegen nicht so gut damit aus. '''Oberärztin''': Ok. Bei so einer Komplikation: Welche Untersuchung machen Sie zuerst? '''Kandidatin''': Ich mache zuerst eine Auskultation und höre dabei vermutlich keine respiratorischen Geräusche. '''Oberärztin''': Wie heißt das in Fachsprache? '''Kandidatin''': Totenstille. '''Oberärztin''': Gut. Was brauchen Sie in so einer Situation? '''Kandidatin''': Zur Bestätigung benötige ich ein Röntgen des Thorax. '''Oberärztin''': Was können Sie damit bestätigen? Was sehen Sie auf dem Röntgenbild? '''Kandidatin''': Ich denke: Einige Teile des Lungengewebes sind gar nicht zu sehen. '''Oberärztin''': Aber welche genau? Rechts, links, oben, unten …? '''Kandidatin''': Hm, das weiß ich nicht. Ich kann es jetzt nur vermuten. Erklären Sie es mir, bitte? '''Oberärztin''': Gern. Hier geht die Luft nach oben und die Lunge geht in die Mitte oder nach unten. Bei einem Hydrothorax hingegen befindet sich die Flüssigkeit unten und die Lunge bewegt sich nach oben. '''Kandidatin''': Ah, sehr interessant und logisch: Flüssigkeit ist schwerer und Luft leichter. '''Oberärztin''': Welche Erste Hilfe empfehlen Sie bei einem ausgedehnteren Pneumothorax? '''Kandidatin''': Vielleicht eine Thoraxdrainage? '''Oberärztin''': Ja, mit einem Nadelstich in den zweiten Interkostalraum, damit die Luft rauskommt. Ein risikoreicher Eingriff in einer lebensbedrohlichen Lage, um ein Menschenleben zu retten. '''Kandidatin''': So etwas wäre mir bestimmt zu riskant. '''Oberärztin''': Naja, wenn es sein muss, muss es eben sein. Vielen Dank für Ihre Patientenvorstellung. = Patientenvorstellung 4 = == Agnes Schulz == Kandidatin: Guten Tag, ich würde Ihnen gern eine neue Patientin vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja. Kandidatin: Unsere Patientin Agnes Schulz ist 48 Jahre alt, 160 Zentimeter groß und 63 Kilo schwer. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vortag bestehender, akuter, stechender Bauchschmerzen, die vom Nabel nach unten rechts gewandert seien. Paracetamoleinnahme habe keine Linderung gebracht. FS | Begleitend besteht Nausea sowie Obstipation mit dunkelgrauer Defäkation, ferner erhöhte Temperatur gestern Abend, 38,3° [Grad] Celsius, oral gemessen. <br /> PS | Zudem klagte sie über Übelkeit sowie Verstopfung mit dunkelgrauem Stuhl, ferner über Fiebergefühl, 38,3° [Grad] Celsius, im Mund gemessen. Die Frage nach Emesis, Nachtschweiß und kaltem Schweiß wurde verneint. Es sind keine Vorerkrankungen bekannt. FS | Vor 14 Jahren wurde sie aufgrund einer Tubargravidität operiert. <br /> PS | Sie sei vor 14 Jahren wegen einer Eileiterschwangerschaft operiert worden. Sie nehme regelmäßig Eisentabletten seit 3 Wochen, weil sie Veganerin ist. Sie sei Nichtraucherin seit ihrer ersten Schwangerschaft, davor 12 PY. <br /> Sie trinke keinen Alkohol, Drogenkontakt wurde verneint. <br /> Sie sei verheiratet, habe zwei gesunde Kinder und sie wohnen als Familie zusammen. Sie sei Buchhalterin von Beruf. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. | Aufgrund dieser anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf eine Appendizitis aus. <br /> | Meine Verdachtsdiagnose lautet auf Appendizitis. Oberärztin: Was spricht dafür? Kandidatin: Dafür sprechen Nausea und akute Schmerzen am McBurney-Punkt, Nausea und Fieber. Oberärztin: Welche Differenzialdiagnosen kommen denn in Betracht? Kandidatin: Als Differenzialdiagnosen kommen Morbus Crohn, Nephrolithiasis oder Urolithiasis sowie bei Frauen eine Tubargravidität in Betracht. Oberärztin: Ja, gibt es noch andere gynäkologische Erkrankungen, die solche Bauchschmerzen verursachen könnten? Kandidatin: Es könnte auch eine Ruptur der Ovarien sein. Oberärztin: Sehr gut. Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Kandidatin: Labordiagnostisch finden wir: Leukozytose sowie CRP höher als 10 Milligramm pro Liter und erhöhte BSG (Blutsenkungsgeschwindigkeit). Und ich würde ein Sonographie des Abdomens machen. Oberärztin: Was sehen wir denn in der Sonographie typischerweise, wenn es sich um eine Appendizitis handelt? Kandidatin: Ich erwarte einen vergrößerten Appendix vermiformis von mehr als 6 Millimetern Durchmesser und eine Wandstärke von mehr als 3 Millimetern. Oberärztin: Ja, ... Kandidatin: Auch die mesenterialen Lymphknoten sind vergrößert. Oberärztin: Nehmen wir mal an, Sie finden jetzt sonographisch die Appendix nicht, aber Sie entdecken freie Flüssigkeit. Was ist hier los? Kandidatin: Sie meinen: intestinale Flüssigkeit? Oberärztin: Ja, was für eine Flüssigkeit könnte das sein? Ich denke jetzt an eine Komplikation der Appendizitis. Kandidatin: Dann wäre es eine Peritonitis. Oberärztin: Und vor allem eine Ruptur. Kommen wir zum nächsten Punkt: Welche Behandlung würden Sie denn empfehlen, wenn Sie jetzt die Appendizitis bestätigen? Kandidatin: Dann wäre eine Appendektomie innerhalb von 24 Stunden anzuraten. Oberärztin: Ok, und könnten Sie ein bisschen was über so eine Operation sagen: Welche Möglichkeiten gibt es da? Kandidatin: Eine Laparoskopie hätte den Vorteil, dass man nur sehr kleine Schnitte benötigt, weswegen die Heilung schneller geht. Oberärztin: Meine letzte Frage ist: Kann man eine akute Appendizitis auch konservativ behandeln? Kandidatin: Wenn eine Patientin früh genug kommt, lässt sich eine Appendizitis mit Antibiotika und Analgetika behandeln. Oberärztin: Gut, dankeschön. Kandidatin: Ich danke Ihnen. = Patientenvorstellung 5 = == (Gisela Reuters) == === a. === Guten Tag usw., ["Guten Tag/ Hallo ... Wie war der Dienst?" -- "Es war viel los und ..."] wir haben eine neue Patientin (und ich würde Ihnen gern über sie berichten), hätten Sie kurz Zeit? [Ja, bitte berichten Sie mir.] Vielen Dank. Frau Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin, stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 1,5 Stunden (eineinhalb Stunden) bestehender, plötzlich aufgetretener, krampfartiger, stechender Abdominalschmerzen (NRS 8 von 10) vor, ohne Ausstrahlung. Laut Patientin hat der Schmerz um den Nabel herum begonnen (also umbilikal), ist immer stärker geworden und aktuell im ganzen Bauch. Sie war zu Uhrzeit und Person voll orientiert. Die Schmerzintensität wird von der Patientin bei ungefähr 8 von 10 NRS eingeordnet. An Begleitsymptomatik fand sich Herzrasen und Ohrensausen seit circa 20 Minuten und Verstopfung sei dem Vortag. Die Patientin leide an Schlafstörungen und Schweißausbrüchen. An Vorerkrankungen und Voroperationen sind bei ihr bekannt: Arterielle Hypertonie seit 5 Jahren und Vorhofflimmern, behandelt mit Metoprolol und Marcumar. Sie nehme gelegentlich Aspirin. Sie sei 4 Mal operiert worden: Leistenbruch [FS??], Appendektomie, Ostheosynthese der linken oberen Extremität und Sectio Caesarea. Es besteht eine Penicillin-Allergie, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußert. In der Noxenanamnese fand sich: Raucherin seit 35 Jahren, 35 pack years, sie trinke 1-2 Bier täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Sie habe alle empfohlenen Impfungen. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. Die Patientin befindet sich in den Wechseljahren [im Klimakterium]. Die Reiseanamnese ist leer. Die Familienanamnese ergab arterielle Hypertonie und Diabetes mellitus bei der Mutter, einen Herzinfarkt beim Vater, an dem er verstorben ist. Sie treibt keinen Sport. Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf einen Mesenterialinfarkt aus. Differenzialdiagnostisch sollte ein Ileus ausgeschlossen werden, ebenso eine Darmperforation. Wir sollten auch vasogene Ursachen ausschließen, zum Beispiel eine Aortendissektion oder andere Mesenterialthrombosen. === OA-Fragen === Was spricht für einen Mesenterialinfarkt? Könnten Sie bitte den Zusammenhang zwischen Vorhofflimmern und Mesenterialinfarkt erklären? Was passiert zwischen dem Vorhof und dem Mesenterium? Wo entsteht das Blutgerinnsel? Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Welche Blutwerte sind denn hilfreich für uns? Was erwarten Sie denn in der Gerinnung - bei einer Marcumar-Patientin? Wie verändert sich zum Beispiel der INR [International Normalised Ratio], wenn man Marcumar einnimmt? Mal angenommen, unsere Patientin hat einen Mesenterialinfarkt. Wie kann man das behandeln? = Patientenvorstellung 6 = == Tatjana Märker == Arzt: Hallo. Ich möchte Ihnen die Patientin Frau Märker vorstellen - wenn Sie kurz Zeit hätten? Oberarzt: Ja, habe ich. Arzt: Frau Märker ist zweiunddreißig Jahre alt, einundsiebzig Kilogramm schwer, hat Dr. Werner als Hausärztin. Sie stellte sich bei uns wegen seit etwa 12 Stunden bestehender Tachykardie und Palpitation vor, mit innerer Unruhe und Angst einhergehend. Sie berichtete von einem Flackern vor den Augen, weswegen ich gleich ein EKG durchgeführt habe, um mögliche Rhytmusstörungen auszuschließen. Oberarzt: An welche Rhytmusstörungen haben Sie gedacht? Arzt: Wegen der Ecstasyeinnahme der Patientin. Oberarzt: Ich will wissen, an welche Rhytmusstörungen Sie gedacht haben. Arzt: An eine aurikulare Fibrillation, Vorhofflimmern. Oberarzt: Ja. Was gibt es noch bei jüngeren Patienten? Arzt: Bei jüngeren Patienten? Oberarzt: Gibt es supraventrikulare Tachykardien? Arzt: Supraventrikulare Tachykardien und auch einen ventrikularen Block. Oberarzt: Gut. Bitte weiter. Arzt: Bei genauer Befragung berichtete sie, dass sie vorher keine Drogen genommen hat, außer gestern zwei Mal Ecstasy nacheinander. Oberarzt: Warum zwei nacheinander? Arzt: Sie habe zuerst nichts gefühlt, wollte aber das High-Sein erleben, was dann auch eintrat, aber mit Palpitation und Tachykardie, trockenem Mund und innerer Angst und Unruhe. Oberarzt: Wie sah die Ecstasy aus? Arzt: Es seien rosa Tabletten gewesen. Oberarzt: Ok. Welche Form? Arzt: Das habe ich leider nicht nachgefragt. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Zur Sozialanamnese: Sie hat zwei Kinder, eine dreijährige Tochter und einen eineinhalbjährigen Sohn. Oberarzt: Was haben die Kinder gemacht, während sie Ecstasy genommen hat? Also: Wo waren die Kinder da? Arzt: Die Mutter der Patientin hat sich um die Kinder gekümmert, während die Patientin mit ihrer Freundin feiern ging. Laut Patientin war es das erste Mal, dass sie Drogen ausprobiert hat. Sie lebt allein mit zwei Kindern, ist Bäckereifachverkäuferin von Beruf, aber seit viereinhalb Jahren erwerbslos. Ferner erwähnte sie einen stressigen Lebenskontext mit dem Vater der Kinder. Oberarzt: Was ist mit dem Mann? Sie hat „on off“ gesagt. Was heißt das denn? Arzt: „On off“ bedeutet: manchmal ok, manchmal Probleme. Ich habe es so verstanden, dass sie sich in einer toxischen Beziehung mit dem Mann befindet. Oberarzt: Genau. „On off“ heißt: Manchmal sind sie ein Paar, manchmal sind sie getrennt, immer im Wechsel. Arzt: Ja, toxisch. Oberarzt: Nun, das ist Ihre Beurteilung. Arzt: An Vorerkrankungen ist eine Hypothreose bekannt, seit sie siebzehn Jahre alt ist. Und dagegen nimmt sie L-Thyroxin 15 µg. Und sie wurde einmal operiert, eine Schönheits-OP ihrer Nase, mit neunzehn. In der Familienananese fand sich Diabetes mellitus bei der Mutter, sie spritzt Insulin. Und Grauer Star beim Vater. Oberarzt: Was ist das? Arzt: Der Fachbegriff fällt mir gerade nicht ein, sorry. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Wie lautet der Fachbegriff? Oberarzt: Katarakt. Arzt: Ach ja, danke. Sie ist Einzelkind, hat also keine Geschwister. Sie ist allergisch gegen Nüsse. Sie ist vollständig geimpft, auch ein Mal gegen Covid-19. In der Noxenanamnese ergab sich ein Nikotinkonsum von zwei bis drei Zigaretten bei Gelegenheit sowie Alkoholkonsum, aber sie trinke nicht jedes Wochenende. Drogenkonsum wurde verneint – bis auf dieses Mal. Ich gehe von einer Metamphethamin-Intoxikation aus. Differentialdiagnostisch ist eine Rhythmusstörung auszuschließen. Basisdiagnostisch mache ich eine körperliche Untersuchung, eine Blutabnahme, eine Überprüfung von Elektrolyten und Blutgasen, um zu sehen, ob eine Azidose besteht oder nicht. Sie hat auch viel geschwitzt. Oberarzt: Können wir denn auch diesen Ecstasykonsum verifizieren? Arzt: Ja, mittels einer toxikologischen Blutabnahme vielleicht? Oberarzt: Gibt es noch andere Möglichkeiten? Arzt: Im Urin? Oberarzt: Ja, Genau. Arzt: Was noch? Eine Infusiontherapie, um den Mangel an Elektrolyten und Flüssigkeit auszugleichen. Man könnte auch eine Magenspülung machen. Aber in diesem Fall ist es noch nicht notwendig. Oberarzt: Wie ist denn die Prognose? Arzt: Ja, die Prognose ist gut, denke ich. Die Patientin hat ein bisschen übertrieben wegen der Angst und weil sie es zum ersten Mal ausprobiert hat. Oberarzt: Wie kann man denn Patienten behandeln, die sehr agitiert sind, sehr unruhig, sehr ängstlich. Kennen Sie Medikamente, die stark, ruhigend und angstlösend wirken? Arzt: Benzodiazepine? Oberarzt: Ja. Sehr gut. Vielen Dank. Arzt: Ganz meinerseits. [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] == (Gisela Reuters) == === b. === Hallo, schönen guten Tag, Frau Oberärztin, ich habe eine neue Patientin und würde ihren Fall gern mit Ihnen besprechen. Hätten Sie kurz Zeit? ''Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los.'' Es geht um Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund vor 1,5 Stunden plötzlich aufgetretener, umbilikaler, progredienter, postprandialer Schmerzen, ohne Linderung nach Ibuprofeneinnahme. Sie habe vor 10 Tagen schon einmal ähnliche Beschwerden gehabt. Begleitend fand sich: Obstipation seit 3 Tagen, Meteorismus, Völlegefühl, Hyperhidrose, Tachykardie und Tinnitus. Die vegetative Anamnese ist unauffällig, bis auf Inappetenz und stressbedingte Insomnie. Sie sei in den Wechseljahren. Es sei eine Penicillin-Allergie bekannt, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußern würde. Sie hat Vorhofflimmern seit 5 Jahren und vor 20 Jahren hatte sie einen Ikterus nach einer Marokkoreise. An Medikamenten nehme sie: Metoprolol und Marcumar regelmäßig sowie ACC bei Bedarf. Bei der Patientin wurde mit 14 Jahren eine Appendektomie durchgeführt. Sie hatte auch eine Inguinalhernie und eine Fußknochenfraktur wegen eines Fahrradunfalls. Sie rauche 20 Zigaretten pro Tag seit 20 Jahren und trinke 1-2 Flaschen Bier am Wochenende. Die Familienanamnese ergab Folgendes: Die Mutter leide an arterieller Hypertonie und Diabetes mellitus, der Vater sei mit 58 Jahren an einem Herzinfarkt gestorben. Eine ihrer Schwestern sei bei einem Sportunfall ums Leben gekommen, die andere habe eine Nierenerkrankung. Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf einem Mesenterialinfarkt hin. An Differenzialdiagnosen kommen folgende in Betracht: eine Appendizitis, vielleicht eine Cholezystitis. Zur weiteren Abklärung führe ich folgende Maßnahmen durch: eine körperliche Untersuchung, Blutabnahme, Blutbild (Koagulationswerte), Abdomen Angiographie mit Kontrastmittel. Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: Koagulationskorrektur, Thrombektomie, ein kardiologisches Konsil - ja, was war alles. ''Oberärztin: Vielen Dank. Welche Risikofaktoren hat diese Patientin?'' Als Risikofaktoren kommen folgende in Betracht: Vorhofflimmern, arterielle Hypertonie in der Vorgeschichte der Patientin, dazu Adipositas. Es könnte auch eine Hyperlipidämie sein. Auch hormonelle Veränderungen aufgrund der Menopause könnten bei der Gerinnung eine Rolle spielen. ''Oberärztin: Welche Komplikationen können hier auftreten?'' Die Patientin hat schon seit 3 Tagen Obstipation, daher ist an einen Ileus zu denken, und bei der körperlichen Untersuchung können wir dumpfe Bauchgeräusche hören. ''Oberärztin: Was wäre im Verlauf die schlimmste Komplikation?'' Es könnte einen Apoplex auslösen. ''Oberärztin: Aha, Sie denken an das Neuro-System. Und im System Gastro?'' Eine Darmnekrose, die zu einer Peritonitis mit Sepsis führen könnte. ''Oberärztin: Was würden Sie der Patientin zur Prophylaxe geben?'' Antibiotika. ''Oberärztin: Welche weiteren Maßnahmen würden Sie durchführen?'' Ich würde eine regelmäßige INR-Bestimmung machen, um die Koagulationswerte im Auge zu behalten. ''Oberärztin: Und was wäre hier die wichtigste Therapieform?'' Eine Thrombektomie, also ein chirurgischer Eingriff. ''Oberärztin: Wie ist die Prognose, nicht nur für diese Patientin, sondern generell?'' Es hängt von rechtzeitiger Therapie ab. Bei sofortiger Behandlung ist die Prognose günstiger. Bei späterem Behandlungsbeginn treten häufig Komplikationen auf, was oft zu einer ungünstigen Prognose führt, weil die Letalität steigt. ''Oberärztin: Aber warum steigt dann die Letalität?'' Weil solche Komplikationen einen Apoplex im Gehirn verursachen können. ''Oberärztin: Warum im Gehirn?'' Bei unserer Patientin besteht das Problem in den Arterien, denn sie hat seit 5 Jahren Vorhofflimmern. Es könnte deshalb sein, dass eine periphere Ischämie auftritt und ein Thrombus ins Gehirn gelangt. ''Oberärztin: Warum besteht bei dieser Erkrankung ein so hohes Risiko?'' Falls es sich um nicht eingestelltes Vorhofflimmern handelt, treten häufig Komplikationen auf, zum Beispiel eine Embolie. ''Oberärztin: Ich sehe noch ein anderes Problem: Hier könnte ein verstecktes Bauchproblem bestehen, sie nannten schon die Angiographie. Aber in der Klinik ist die Zeit knapp, weshalb wir nicht erst alle Probleme im Bauch ausschließen können. Also bekommen Patienten zuerst eine explorative Laparoskopie, um möglichst schnell den Auslöser zu identifizieren.'' Im aktuellen Fall denke ich, dass eher ein CT mit Kontrastmittel geeignet ist. ''Oberärztin: Nach einer Laparoskopie. Und die häufigste Therapie ist dann die Entfernung des betroffenen Teils des Darms, um mögliche Komplikationen zu vermeiden. Kommen wir nochmal zurück zur körperlichen Untersuchung: Was erwarten Sie bei der Auskultation?'' Ich erwarte fehlende oder weniger starke Bauchgeräusche, wegen des Ileus. ''Oberärztin: Und bei der Perkussion?'' Da rechne ich mit Abwehrspannung und mit Loslassschmerz. Und bei einer Perforation als Komplikation sehen wir Luft im Bauchfell. ''Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Ausführungen.'' Vielen Dank. = Patientenvorstellung 7 = == Frank Boppes == (ohne OA-Fragen) Arzt: Guten Tag, Frau Oberärztin. Oberärztin: Hallo. Arzt: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja, natürlich, bitteschön. Arzt: Es handelt sich um Herrn Frank Boppes, einen 67-jährigen Patienten, geboren am 23.11.1958, einen Meter fünfundachtzig groß [1,85 m], 90 Kilo schwer. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 6 Wochen bestehender, allmählich aufgetretener, progredienter Dysurie. Darüber hinaus klagte er über Unterbauchschmerzen ohne Ausstrahlung. Die Schmerzintensität wurde mit 7 von 10 bewertet. Begleitend liegt Hämaturie vor. Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Nachtschweiß sowie Gewichtsabnahme (8 kg innerhalb von 6 Monaten). An Vorerkrankungen fand sich ein Reizdarmsyndrom seit 15 Jahren, COPD seit 20 Jahren und Prostatahyperplasie seit 4 Jahren. Gegen COPD nimmt er ggf. ein Kortikosteroidspray. Beim Patienten wurde vor zwei Jahren wegen eines Tumors im Rückenbereich eine Operation durchgeführt, die laut Patient komplikationslos war. Familienanamnestisch relevant ist ein Kolonkarzinom beim Vater, mit 65 Jahren daran verstorben. Allergien sind keine bekannt und es besteht eine Milchprodukteunverträglichkeit (Laktoseintoleranz), Nikotinabusus (100 PY). Er trinke ein Glas Rotwein täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Er sei verheiratet und wohne mit seiner Frau zusammen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Prostatakarzinom. <br /> Differenzialdiagnostisch kommen eine benigne Prostatahyperplasie, Harnwegsentzündung, z.B. eine Pyelonephritis, Zystitis. <br /> Basisdiagnostisch würde ich eine körperliche Untersuchung durchführen, Vitalparameter messen und den Patienten inspizieren, palpieren und auskultieren. Die Palpation ist in diesem Fall entscheidend. Zur weiteren Abklärung würde ich Blut abnehmen, um Entzündungswerte zu bestimmen. Im nächsten Schritt würde ich die apparative Diagnostik einsetzen, eine Abdomenspiegelung machen und ein CT. Ah, und für die körperliche Untersuchung ist auch eine digital-rektale Untersuchung notwendig. = Patientenvorstellung 8 = == Ralf Merklinger == mit Dank an I.K. Ärztin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Ärztin: Ich möchte Ihnen einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja natürlich, bitteschön. Ärztin: Es handelt sich um Herrn Ralf Merklinger, 48 Jahre alt. Er stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einer Woche bestehender, anfallsartig auftretender Tachykardie und Palpitation. Zudem berichtete der Patient, dass diese Anfälle einmal pro Tag auftreten und ungefähr 15 Minuten dauern. Sie würden sich spontan zurückbilden. Nach Angaben des Patienten hilft Ablenkung. Begleitend bestehen inspiratorische Dyspnoe, Vertigo, Angstgefühl, Diaphorese und Kontrollverlust. Er berichtete von Angst vor den nächsten Anfällen. Zudem klagte er über Konzentrationsstörungen. Bei ihm liegt auch ein Schuldgefühl und eine depressive Verstimmung vor. Die Frage nach Thoraxschmerzen, nach ähnlichen vorherigen Beschwerden, Suizidgedanken, Derealisation und Depersonalisation wurden verneint. In der vegetativen Anamnese zeigten sich nächtliche Hyperhidrose und beschwerdebedingte Insomnie in Form von Einschlafstörungen. In der Vorgeschichte fand sich Hypothyreose, mit L-Thyroxin 100 mcg behandelt. Es besteht ferner Bruxismus seit 20 Jahren, weswegen er nachts eine Schiene trägt. Zudem habe er sich mit 22 Jahren eine Tibiafraktur links zugezogen, die operativ behandelt wurde. Erwähnenswert ist, dass er vor einer Woche einen Autounfall erlitten hat, dabei wurde seine Frau verletzt. Sie ist aktuell in einer Klinik und er macht sich Gedanken, ob er sie heute auch wieder besuchen kann, denn er macht sich Vorwürfe und hat Schuldgefühle. Oberärztin: Aha, daher kommen die Schuldgefühle! Was haben Sie dem Patienten empfohlen, bezüglich der Schuldgefühle? Ärztin: Ich habe psychologische Hilfe angeboten und habe versucht, ihm zu erklären, dass ihn keine Schuld trifft und dass es manchmal nicht von einem selbst abhängt, was passiert ist. Ich habe ihm auch empfohlen, offen mit seiner Frau zu sprechen. Oberärztin: Warum haben Sie es ihm angeboten? Ärztin: Er hatte mich danach gefragt, ob er es seiner Frau sagen soll, dass er selbst jetzt auch ärztliche Hilfe benötigt und er sie deshalb wahrscheinlich heute nicht besuchen kann. Denn meiner Meinung nach ist es immer besser, ehrlich zu sein und nichts zu verheimlichen. Oberärztin: Würden Sie den Patienten stationär aufnehmen? Ärztin: Ja, denn es sollte zuerst alles abgeklärt werden. Auch organische Ursachen müssen ausgeschlossen werden, etwa eine koronare Herzkrankheit. Deshalb habe ich gezielt nach Thoraxschmerzen gefragt und danach, ob sie in Ruhe oder bei Belastung auftreten und ob er so etwas schon einmal hatte. Oberärztin: Ja, ok. Welche Laborwerte würden Sie anordnen? Ärztin: Bei diesem Fall beginne ich mit hochsensitivem Troponin-T und I, um einen Myokardinfarkt auszuschließen. Zudem überprüfe ich weitere Parameter, wie D-Dimere, um eine Lungenembolie auszuschließen und weitere Parameter wie Nierenwerte, Entzündungsparameter, für die Einschätzung des Allgemeinzustands. Oberärztin: Welche Rolle spielen die Informationen aus der Medikamentenanamnese? Ärztin: Ah ja, es ist wichtig, auch TSH und freie T4 und freie T3 zu bestimmen, da eine Überdosierung von L-Thyroxin die Ursache sein könnte. Also sollten auch die Schilddrüsenhormone bestimmt werden. Oberärztin: Gut. Welche Therapie würden Sie vorschlagen? Ärztin: Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, würde ich zuerst ein psychologisches bzw. ein psychiatrisches Konsil anraten. Hier kommt eine kognitive Verhaltenstherapie in Frage, um Denkmuster zu erkennen, sie zu bearbeiten und zu verändern. Falls nötig, kann auch eine Antidepressiva-Therapie eingesetzt werden. Zuerst müssen wir dem Patienten einen Fragebogen anbieten und dann sehen wir, ob es auch um eine Depression geht. Oberärztin: Wie kommen Sie auf Depression? Ärztin: Depressionen können auftreten, wenn ein Patient ein traumatisches Erlebnis hatte. Und er hat Schuldgefühle. Und seiner Frau sei eine depressive Stimmung an ihm aufgefallen. Deshalb müssen wir das ernst nehmen. Oberärztin: Vielen Dank, dann verfahren Sie bitte so. = Patientenvorstellung 9 = [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] == Sina Gowitz == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) Ä: Ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben aufgenommen habe. Es geht um eine zweiundzwanzigjährige Patientin, sie heißt Sina Gowitz, geboren am vierzehnten Vierten zweitausendzwei [14.4.2002], relativ groß, eins fünfundachtzig, und achtzig Kilo schwer. Die Patientin stellte sich eigenständig bei uns vor mit starken Bauchschmerzen, vor allem im rechten Unterbauch lokalisiert. Anfangs seien die Schmerzen aber eher so in der Mitte gewesen, also im Epigastrium. Außerdem habe sie Fieber und Durchfall, wobei sie angab, dass sie beides auch schon vor zwei Wochen mal gehabt habe und zwischenzeitlich symptomfrei gewesen sei. Außerdem habe sie vor zwei Wochen einen eitrigen vaginalen Ausfluss gehabt, der auch behandelt worden sei. Der Zyklus sei generell unregelmäßig bei ihr. Sie gab an, dass es nicht möglich sei, dass sie schwanger wäre, denn sie habe keinen Geschlechtsverkehr. Die Schmerzintensität bewertete die Patientin mit initial acht von zehn. Nach Medikation mit Novalgin intravenös war das dann noch bei sechs von zehn. An Vorerkrankungen sind so unspezifische Abdominalsymptome bekannt. Es sei laut Hausärztin fraglich, ob das vielleicht ein Reizdarmsyndrom sei. Es wurde aber wohl keine Koloskopie bislang durchgeführt. Außerdem hat die Patientin Asthma und hatte mal eine Urolithiasis mit achtzehn. Sie hat sich auch mal eine Tibiafraktur zugezogen, die operativ versorgt wurde, das Osteosynthesematerial sei noch einliegend. Und bei ihr wurde eine Tonsillektomie durchgeführt. Wann, weiß ich leider nicht genau, denn dazu machte die Patientin keine Angaben. Medikation nimmt die Patientin nur bei Bedarf. Zum einen Atrovent Spray gegen das Asthma und Duspatal Tabletten gegen die Verstopfung. Unsere Patientin ist Studentin, studiert Physik, lebt in einer Sechser-WG, in der ansonsten niemand ähnliche Beschwerden habe. Sie spielt Basketball und war vor Kurzem in Belgien. Das ist aber, denke ich, nicht besonders relevant. Der Impfstatus sei vollständig. Sie hat vor allem FSME im März aufgefrischt. Zur Familienanamnese ist bei der Mutter eine Herzinsuffizienz bekannt. Auch der Bruder hat wohl eine Herzerkrankung, die sie nicht näher benennen konnte. Beim Vater ist Morbus Bechterew bekannt und auch beim Großvater väterlicherseits. Zu den Noxen: Die Patientin ist Nichtraucherin, sie trinkt gelegentlich Alkohol, im Sommer häufiger mal, und sie hat einmalig Cannabis ausprobiert. An Allergien ist eine Amoxicillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe äußert, und sie vertrage einige Früchte nicht, zum Beispiel Äpfel, Kiwi und Ananas. Es fragt sich, ob es sich hier um eine Allergie handelt. Aufgrund der anamnestischen Angaben und auch der wirklich starken Abdominalschmerzen gehe ich aktuell von einer Appendizitis aus. Differentialdiagnostisch müssen wir auch an eine gynäkologische Erkrankung denken, zum Beispiel an eine Adnexitis, eine obturierte Ovarialzyste oder eine, ja, vielleicht sexuell übertragbare Erkrankung. Es könnte auch eine akute Gastroenteritis sein. Als Diagnostik empfehle ich natürlich eine ausführliche körperliche Untersuchung, wobei wir auf die Appendizitiszeichen achten, dann eine Sonografie des Abdomens. Hier suchen wir nach einem sogenannten Kokardenphänomen im rechten Unterbauch. Zu den Laborwerten: Bei einer Appendizitis erwarte ich eine Leukozytose, ein erhöhtes CAP, eine erhöhte BSG und eventuell auch erhöhtes Procalcitonin. Falls der sonographische Befund unklar ist, könnte man auch ein CT Abdomen erwägen. Und wenn ja, wenn wir Hinweise auf eine akute Appendizitis haben, würden wir in jedem Fall, denk ich, eine operative Behandlung empfehlen, also eine laparoskopische Appendektomie. Hätten Sie dazu noch Fragen? OÄ: Könnten Sie bitte diese spezifischen ultrasonographischen Befunde erklären? Was ist ein Kokardenphänomen genau? Ä: Das Kokardenphänomen? Ja, also dieser Wurmfortsatz am Zirkum stellt sich bei einer akuten Appendizitis verdickt dar. Wir sehen deutlich die Wand der Appendix und häufig auch ein Begleitödem. Und wenn wir das sonographisch feststellen können, dann ist das ein deutlicher Hinweis auf eine Appendizitis. Manchmal sehen wir auch begleitend eine Lymphadenopathie, also eine abdominelle Lymphadenopathie, das ist auch ganz typisch, glaube ich. OÄ: Ist ein Appendix generell im Ultraschall zu sehen? Ä: Nein, eigentlich nicht, das heißt, wenn wir die Appendix sehen, dann ist das schon ein Hinweis auf eine Appendizitis. OÄ: Ja. Soweit mal, vielen Dank. Ä: Ich habe zu danken. 9fjos03dxn82r7wc3hafv4l3i31y2ve 1076759 1076758 2026-04-10T15:03:36Z C.Koltzenburg 13981 /* a. */ 1076759 wikitext text/x-wiki * Siehe auch [[Anamnesegespräche]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] == Patientenvorstellungen == * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 9|'''PatV 9''': Sina Gowitz, 22 J.]] (VD Appendizitis) -- [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 8|'''PatV 8''': Ralf Merklinger, 48 J.]] (VD Panikattacke) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 7|'''PatV 7''': Frank Boppes, 67 J.]] (VD Prostatakarzinom) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 6|'''PatV 6''': Tatjana Märker, 32 J.]] (VD Intoxikation) -- [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 5|'''PatV 5 a.''' (+ b. to do): Gisela Reuters, 58 J.]] (VD Mesenterialinfarkt) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 4|'''PatV 4''': Agnes Schulz, 48 J.]] (VD Appendizitis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 3|'''PatV 3''': Sebastian Mayer, 66 J.]] (VD exazerbierte COPD) -- [[Anamnesegespräche#Fall_13|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 2|'''PatV 2''': Sabine Nelius, 63 J.]] (VD Pyelonephritis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 1|'''PatV 1''': Magda Wienhäuser, 46 J.]] (VD Panikattacke) = Patientenvorstellung 1 = == Magda Wienhäuser, 46 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde Ihnen gern die Patientin Magda Wienhäuser vorstellen. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja, bitte legen Sie los."'' "Magda Wienhäuser ist 46 Jahre alt, sie ist am 01.06.1976 ("ersten sechsten sechsundsiebzig) geboren, [161 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einen Meter einundsechzig groß und wiegt [68 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtundsechzig Kilo. Die Patientin stellte sich heute Morgen um halb acht in der Notaufnahme vor, nachdem sie mit dem Auto zur Arbeit fahren wollte und, im Auto sitzend, verschiedene, sehr stark ausgeprägte Symptome bemerkte, nämlich: Tachykardie, Kaltschweißigkeit, Todesangst, Dyspnoe, das Gefühl, sich nicht mehr bewegen zu können. Außerdem berichtete sie von Kribbeln in den Händen und Ohrensausen. Ferner gab sie an, ihr sei übel gewesen. Erbrochen habe sie aber nicht. Nach Angaben der Patientin hat sie ungefähr 15 Minuten im Auto gesessen und ist dann mit großer Mühe in die Klinik gefahren, um sich bei uns vorzustellen. Aus der Vorgeschichte ist bekannt: <br /> * eine rheumatoide Arthritis seit der zweiten Schwangerschaft, also seit 14 Jahren. Diese rheumatoide Arthritis wird mit Diclofenac zwei Mal täglich behandelt. * Außerdem eine Migräne mit Aura seit der Jugend. Die Patientin nimmt bei Bedarf Sumatriptan und Ibuprofen. * Ein Bandscheibenvorfall, also Diskusprolaps, mit 42 Jahren, der konservativ behandelt wurde. An Operationen nannte die Patientin eine Myomentfernung in 2021 und eine Mammareduktion mit 20 Jahren. Unsere Patientin ist Nichtraucherin, hat auch nie geraucht, sie trinke ab und zu Alkohol, insbesondere Aperol Spritz, ungefähr einmal im Monat, und sie gab an, in der Jugend einmal Amphetamine genommen zu haben. Zur gynäkologischen Anamnese: Sie hat ungefähr alle zwei bis drei Monate ihre Mensis, zuletzt vor zwei Wochen. Die Patientin nannte eine Allergie gegen Haselnüsse, was sich mit Dyspnö und Exanthem äußert, außerdem hat sie eine Glutenintoleranz, also es liegt vermutlich eine Zöliakie vor. Zur Familenanamnese: Der Vater der Patientin verstarb mit 47 an einem Hodenkarzinom, die Mutter ist 72 Jahre alt, leidet an leichter Demenz und lebt in einem Pflegeheim. Bei der Schwester ist eine Alopecia areata bekannt und der jüngere Bruder der Patientin ist aufgrund eines angeborenen Herzfehlers bereits verstorben, mit Anfang 30. Unsere Patientin ist Fleischerei-Fachverkäuferin bei Edeka, sie ist seit fünf Jahren geschieden. Sie ist alleinerziehend mit drei Kindern, 15, 14 und 9, wobei der jüngste Sohn im Alter von vier Jahren Leukämie hatte. Das sei eine schwierige Zeit gewesen und hier sei es auch zur Trennung vom Partner gekommen. Der Ex-Mann unserer Patientin ist Polizist und laut Frau Wienhäuser gibt es immer wieder Probleme zwischen den beiden, wo es dann um den Umgang der Kinder geht. Die Patientin hat seit zwei Jahren einen neuen Freund, der ebenfalls Mitarbeiter bei Edeka ist. Die Patientin treibt Sport, sie geht zum Zumba. Ich denke, das waren die wichtigsten Informationen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Panikattacke. Natürlich muss ich, wenn ich diese Diagnose vermute, erstmal alle somatischen Erkrankungen ausschließen, unter anderem einen Myokardinfarkt, eine Refluxösophagitis, einen Magenulkus, eine Lungenembolie. Zu den Untersuchungen: Die Patientin muss natürlich ausführlich körperlich untersucht werden, vor allem Herz und Lungen müssen auskultiert werden. Ich benötige eine Messung der Vitalparameter, selbstverständlich, dann ist eine Blutuntersuchung notwendig. Wir würden hier vor allem die Herzenzyme, die Entzündungsparameter und eine BGA bestimmen. Außerdem schreiben wir ein EKG und wir könnten gegebenenfalls auch ein Herz-Echo oder eine Sonografie des Abdomens durchführen, wobei in der Regel ja schon die ersten Befunde in etwa die Richtung anzeigen, in die es weitergeht. Wenn wir tatsächlich in den Befunden nichts Pathologisches feststellen, dann würden wir erstmal von einer Panikattacke ausgehen. Die Panikattacke hört normalerweise von selbst wieder auf. Bei ausgeprägter Hyperventilation sollte man der Patientin eine Tüte geben, so dass sie in die Tüte atmet. Manchmal ist eine beruhigende Medikation erforderlich, zum Beispiel mit Benzodiazepin, wobei man da sehr gut aufpassen muss, weil das zu Abhängigkeit führen kann. Die Patientin sollte aufgeklärt werden über diese Erkrankung und auch darüber, dass es häufig zu rezidivierenden Panikattacken kommt, aber dass es sozusagen nichts Schlimmes ist. Falls es immer wieder zu Panikattacken kommt, kann die Patientin auch verhaltenstherapeutisch behandelt werden, wobei hier in den meisten Fällen eine ambulante Therapie ausreicht. Das wäre alles meinerseits." ''"Welche Laborwerte würden Sie anordnen?"'' "Ah, welche genau? Also: die Herzenzyme, also Troponin T [teh] und CK-MB [zeh kah emm beh], LDH [ell deh hah] und natürlich ein Blutbild, in der Regel ein großes Blutbild, um einen guten Überblick zu erhalten, Entzündungswerte neben den Leukozyten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh]. In der BGA achte ich darauf, wie Sauerstoff und Co2 [zeh oh zwei] verteilt sind, ob es bereits eine Azidose gibt. Das wären die wichtigsten Werte, denke ich." ''"Würden Sie thyreoide Hormone anordnen?"'' "Ah, Schilddrüsenhormone, ja. Ich würde auf jeden Fall das TSH [teh ess hah] bestimmen, um einen ersten Eindruck zu bekommen. Schon bei der körperlichen Untersuchung würde ich auf den Halsbereich achten, also ob da vielleicht schon einen Vergrößerung der Schilddrüse zu sehen oder zu spüren ist." ''"Vielen Dank. Dann verfahren Sie mit Ihrer Patientin bitte so."'' = Patientenvorstellung 2 = == Sabine Nelius, 63 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja."'' "Es geht um Sabine Nelius, eine 63-jährige [dreiundsechzigjährige] Patientin, geboren am 02.01.1961 [am zweiten Januar einundsechzig], [171 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einseinundsiebzig groß und [61 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] 61 Kilo schwer. Die Patientin stellte sich bei uns vor wegen starker, linksseitiger Flankenschmerzen. Die Schmerzen habe sie seit drei Tagen und sie würden stärker, also sind progredient, von der Qualität her ziehend, teilweise klopfend, mit Ausstrahlung in die linke Leiste. Sie gab an, seit gestern auch Fieber zu haben, knapp über [38° C <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtunddreißig Grad Celsius, Schüttelfrost, Schwindel, ihr sei übel, sie habe leichten Durchfall gehabt. Darüber hinaus müsse sie häufig Wasser lassen, dabei würde der Urin nicht einfach kommen und es würde sogar brennen, also dysurische Beschwerden. Der Urin sei rötlich. Die Patienen glaubt selbst, es sei Blut. Sie klagt über ein allgemeines Krankheitsgefühl und Herzrasen. Die Schmerzen würden vor allem durch Bewegung, durch Gehen, verstärkt und in Ruhe seien die Schmerzen etwas besser auszuhalten. Die Patientin hat einige Vorerkrankungen, unter anderem hatte sie 2018 einen Myokardinfarkt, sie hat eine Psoriasis seit 6 Jahren und vor 7 Jahren wurde ihr aufgrund einer Perforation im Sigma ein Teil des Sigmas entfernt. An Operationen ist außerdem eine Tonsillektomie, 1972, bekannt. Die Medikation besteht aus ASS 100 mg einmal morgens und Citalopram 75 mg einmal morgens. In der Sozialanamnese gab die Patientin an, dass ihre Tochter im Alter von 30 [dreißig] Jahren bei einem Autounfall verunglückt sei. Die Patientin selbst lebe mit ihrem gehbehinderten Ehemann zusammen und ist seit einem halben Jahr in Rente. Vorher hat sie als Frisörin gearbeitet. In der Familienanamnese ist beim Vater ein Diabetes mellitus Typ 2 bekannt, er ist 91 Jahre alt und lebt in einem Pflegeheim. Die Mutter sei gesund, mit 85 Jahren, und ein Onkel mütterlicherseits sei vor 15 Jahren im Alter von 79 Jahren an Prostatakrebs verstorben. Auch die Schwester der Patientin, aktuell 62 Jahre alt, hatte im Alter von 45 Jahren ein Zervixkarzinom, was aber kurativ behandelt werden konnte. Zu den Noxen: Die Patientin raucht ca. 10 Zigaretten täglich seit 50 Jahren, also 25 pack years [päck years, also Englisch gesprochen], sie trinke täglich eine Flasche Bier, Drogenkonsum wurde verneint. Allergien wurden glaubhaft verneint. Sie gab allerdings an, dass eine Unverträglichkeit gegen Milch bekannt sei, ich vermute, (es handelt sich um) eine Laktoseintoleranz. Aufgrund der Schmerzen in der linken Flanke und dieser Dysurie vermute ich einen Harnwegsinfekt, und zwar eine Pyelonephritis. An Differenzialdiagnosen kommen eine Zystitis oder eine Divertikulitis in Betracht. Zur Abklärung würde ich die Patientin körperlich untersuchen, mit Fokus auf das Abdomen und die Flanken, also prüfen, ob die Nieren klopfschmerzhaft sind. Dann würde ich mit Urinstix (also Urinteststreifen) den Urin untersuchen, auf Protein, PH und so weiter. Auch schauen, ob eine Hämaturie besteht, dann eine Blutentnahme, ich würde ein großes Blutbild anordnen, mit Entzündungswerten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh], außerdem Creatinin, Harnstoff, Elektrolyte, Leberwerte bestimmen, wobei ich bei einer akuten Pyelonephritis vor allem eine Erhöhung der Entzündungsparameter erwarte. Ich benötige außerdem eine Urinkultur, um den Erreger zu bestimmen. An bildgebenden Verfahren benötige ich eine Sonografie des Abdomens, damit kann ich in der Regel schon ganz gut abschätzen, ob ein Harnaufstau besteht oder ich könnte differenzialdiagnostisch eine Urolithiasis, also einen Stein feststellen. Den könnte man auch mit einem Röntgen Abdomen sehen. Meistens reicht die Sonografie Abdomen aus, um die Diagnose zu stellen, aber falls noch unklar sein sollte, was die Patientin hat, wäre auch ein CT [zeh teh] Abdomen in Betracht zu ziehen. Therapeutisch empfehle ich Bettruhe, ausreichend Flüssigkeit, entweder oral oder intravenös, außerdem ein Analgetikum wie zum Beispiel Novalgin oder Paracetamol. Bevor der Befund der Urinkultur vorliegt, behandele ich bereits empirisch, beispielweise mit einem Cephalosporin oder Ciprofloxacin, da gibt es verschiedene Optionen. Das Antibiogramm lässt sich anpassen, sobald die Befunde der Urinkultur vorliegen. In der Regel wird die Pyelonephritis intravenös behandelt, später kann es auch oralisiert werden. Das wäre (soweit erstmal) alles meinerseits." ''"Gut, danke. Ich habe keine Fragen. Bitte machen Sie mit der Patientin weiter."'' = Patientenvorstellung 3 = == Sebastian Mayer == Kandidatin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Kandidatin: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los. Kandidatin: Dankeschön. Es handelt sich um Herrn Sebastian Mayer, einen 66-jährigen Patienten, geboren am 15.6.1958, 177 cm, 80 kg, den ich heute gegen 11 Uhr gesehen habe. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 3 Tagen bestehenden Hustens, seit gestern mit gelblich-grünem Sputum, Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, und Fieber. Seit der Kindheit besteht Asthma und vor 3 Jahren wurden pulmonale Emphyseme bei ihm diagnostiziert. Laut Patient wird sein Asthma mit Prolenium behandelt und er nutzt Salbutamol Spray bei Bedarf. Bisher sei das aber nur ein Mal der Fall gewesen. Vor 3 Tagen seien ihm blaue Lippen aufgefallen und etwas Herzrasen, also Hypoxie-Zeichen, und laut Patient ist es schlimmer geworden. Es gehe ihm insgesamt nicht gut und er sei oft nervös. An Begleitsymptomen liegen vor: schnelle Ermüdung bei Bewegung, sowie Insomnie. Verneint wurden die Fragen nach Schmerz sowie Miktions- und Defäkationsstörungen. Bei ihm ist eine Pencillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe und Rubor äußert. Vor 4 Monaten habe er ein neues Knie bekommen (rechts). In der Familienanamnese fand sich Asthma bei Vater und Bruder. Er lebt mit seiner Frau zusammen und hat zwei gesunde Töchter. Meine Verdachtsdiagnose lautet: COPD, vielleicht exazerbierte COPD. Differenzialdiagnostisch kommen Salbutamol-Abusus und Pneumonie in Betracht. Für meine Verdachtsdiagnose sprechen: Husten mit Sputum, Fieber und - wie heißt nochmal der Fachbegriff für Atemnot? Oberärztin: Dyspnoe Kandidatin: Ach ja, vielen Dank, also … und Dyspnoe. Dazu kommt Asthma als Vorerkrankung und die Lungenemphysem-Diagnose vor 3 Jahren. Zur Bestätigung dieser Verdachtsdiagnose brauche ich natürlich eine körperliche Untersuchung mit Auskultation und Palpation, ein EKG wegen der Hypoxiesymptome, um Herzprobleme ausschließen zu können, dazu Laborwerte, Entzündungszeichen und Leukozyten, ein Röntgen des Thorax - und, falls notwendig, ein CT. Eine Antibiotikum-Therapie wäre zu empfehlen, denn Herr Mayer war wegen dieser Symptome noch nicht beim Hausarzt und ich denke, dass deswegen eine symptomatische Behandlung nicht ausreicht. Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Vorstellung. Was könnte der Auslöser gewesen sein? Kandidatin: Ich denke, es könnte die Erkältung sein, mit Husten, den er seit 3 Tagen hat. Oberärztin: Was genau spricht für ein Lungenemphysem? Kandidatin: Die Anamnese, also die Vordiagnose. Und dass sein Brustkorb größer geworden ist. Oberärztin: Wie nennt man dieses Zeichen? '''Kandidatin''': Oh, das weiß ich nicht. '''Oberärztin''': Fassthorax. '''Kandidatin''': Dankeschön. Und dazu Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, mit dem Gefühl, dass Luft in der Lunge bleibt, er also nicht vollständig ausatmen kann. '''Oberärztin''': Ja genau, gut. Welche Risikofaktoren hat der Patient? '''Kandidatin''': Er ist starker Raucher, mit mehr als 30 pack years. '''Oberärztin''': Was spricht für eine akute exazerbierte COPD? '''Kandidatin''': Dafür spricht produktiver Husten, Fieber, Zyanose, Tachykardie. '''Oberärztin''': Und es liegt ein expiratorischer Stridor vor. '''Kandidatin''': Ah ja, er hat ein Pfeifen erwähnt. Das gibt es auch bei Asthma bronchiale. '''Oberärztin''': Mit welchen lebensbedrohlichen Komplikationen müssen Sie hier rechnen? '''Kandidatin''': Ich denke an eine Insuffizienz der rechten Herzkammer, denn die Lungenbeschwerden können zuerst zu einer Hypertrophie führen und danach zu einer Herzinsuffizienz. '''Oberärztin''': Ja, aber das tritt überwiegend bei chronisch erkrankten Patienten auf. '''Kandidatin''': Und in akuten Fällen kann es vielleicht zu akuter respiratorischer Insuffizienz führen, oder? '''Oberärztin''': Warum? '''Kandidatin''': Weil bei Exazerbation Auswurf besteht und dann können Patienten bei weiterer Verschlechterung kaum noch ausatmen, was auch zu einem Pneumothorax führen kann. '''Oberärztin''': Was genau führt zu einem Pneumothorax? '''Kandidatin''': Da bin ich mir nicht sicher, aber bei Vorliegen eines (exazerbierten?) Emphysems (das sich verschlechtert hat) ... , aber ich habe keine Erfahrung mit COPD-Patienten und kenne mich deswegen nicht so gut damit aus. '''Oberärztin''': Ok. Bei so einer Komplikation: Welche Untersuchung machen Sie zuerst? '''Kandidatin''': Ich mache zuerst eine Auskultation und höre dabei vermutlich keine respiratorischen Geräusche. '''Oberärztin''': Wie heißt das in Fachsprache? '''Kandidatin''': Totenstille. '''Oberärztin''': Gut. Was brauchen Sie in so einer Situation? '''Kandidatin''': Zur Bestätigung benötige ich ein Röntgen des Thorax. '''Oberärztin''': Was können Sie damit bestätigen? Was sehen Sie auf dem Röntgenbild? '''Kandidatin''': Ich denke: Einige Teile des Lungengewebes sind gar nicht zu sehen. '''Oberärztin''': Aber welche genau? Rechts, links, oben, unten …? '''Kandidatin''': Hm, das weiß ich nicht. Ich kann es jetzt nur vermuten. Erklären Sie es mir, bitte? '''Oberärztin''': Gern. Hier geht die Luft nach oben und die Lunge geht in die Mitte oder nach unten. Bei einem Hydrothorax hingegen befindet sich die Flüssigkeit unten und die Lunge bewegt sich nach oben. '''Kandidatin''': Ah, sehr interessant und logisch: Flüssigkeit ist schwerer und Luft leichter. '''Oberärztin''': Welche Erste Hilfe empfehlen Sie bei einem ausgedehnteren Pneumothorax? '''Kandidatin''': Vielleicht eine Thoraxdrainage? '''Oberärztin''': Ja, mit einem Nadelstich in den zweiten Interkostalraum, damit die Luft rauskommt. Ein risikoreicher Eingriff in einer lebensbedrohlichen Lage, um ein Menschenleben zu retten. '''Kandidatin''': So etwas wäre mir bestimmt zu riskant. '''Oberärztin''': Naja, wenn es sein muss, muss es eben sein. Vielen Dank für Ihre Patientenvorstellung. = Patientenvorstellung 4 = == Agnes Schulz == Kandidatin: Guten Tag, ich würde Ihnen gern eine neue Patientin vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja. Kandidatin: Unsere Patientin Agnes Schulz ist 48 Jahre alt, 160 Zentimeter groß und 63 Kilo schwer. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vortag bestehender, akuter, stechender Bauchschmerzen, die vom Nabel nach unten rechts gewandert seien. Paracetamoleinnahme habe keine Linderung gebracht. FS | Begleitend besteht Nausea sowie Obstipation mit dunkelgrauer Defäkation, ferner erhöhte Temperatur gestern Abend, 38,3° [Grad] Celsius, oral gemessen. <br /> PS | Zudem klagte sie über Übelkeit sowie Verstopfung mit dunkelgrauem Stuhl, ferner über Fiebergefühl, 38,3° [Grad] Celsius, im Mund gemessen. Die Frage nach Emesis, Nachtschweiß und kaltem Schweiß wurde verneint. Es sind keine Vorerkrankungen bekannt. FS | Vor 14 Jahren wurde sie aufgrund einer Tubargravidität operiert. <br /> PS | Sie sei vor 14 Jahren wegen einer Eileiterschwangerschaft operiert worden. Sie nehme regelmäßig Eisentabletten seit 3 Wochen, weil sie Veganerin ist. Sie sei Nichtraucherin seit ihrer ersten Schwangerschaft, davor 12 PY. <br /> Sie trinke keinen Alkohol, Drogenkontakt wurde verneint. <br /> Sie sei verheiratet, habe zwei gesunde Kinder und sie wohnen als Familie zusammen. Sie sei Buchhalterin von Beruf. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. | Aufgrund dieser anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf eine Appendizitis aus. <br /> | Meine Verdachtsdiagnose lautet auf Appendizitis. Oberärztin: Was spricht dafür? Kandidatin: Dafür sprechen Nausea und akute Schmerzen am McBurney-Punkt, Nausea und Fieber. Oberärztin: Welche Differenzialdiagnosen kommen denn in Betracht? Kandidatin: Als Differenzialdiagnosen kommen Morbus Crohn, Nephrolithiasis oder Urolithiasis sowie bei Frauen eine Tubargravidität in Betracht. Oberärztin: Ja, gibt es noch andere gynäkologische Erkrankungen, die solche Bauchschmerzen verursachen könnten? Kandidatin: Es könnte auch eine Ruptur der Ovarien sein. Oberärztin: Sehr gut. Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Kandidatin: Labordiagnostisch finden wir: Leukozytose sowie CRP höher als 10 Milligramm pro Liter und erhöhte BSG (Blutsenkungsgeschwindigkeit). Und ich würde ein Sonographie des Abdomens machen. Oberärztin: Was sehen wir denn in der Sonographie typischerweise, wenn es sich um eine Appendizitis handelt? Kandidatin: Ich erwarte einen vergrößerten Appendix vermiformis von mehr als 6 Millimetern Durchmesser und eine Wandstärke von mehr als 3 Millimetern. Oberärztin: Ja, ... Kandidatin: Auch die mesenterialen Lymphknoten sind vergrößert. Oberärztin: Nehmen wir mal an, Sie finden jetzt sonographisch die Appendix nicht, aber Sie entdecken freie Flüssigkeit. Was ist hier los? Kandidatin: Sie meinen: intestinale Flüssigkeit? Oberärztin: Ja, was für eine Flüssigkeit könnte das sein? Ich denke jetzt an eine Komplikation der Appendizitis. Kandidatin: Dann wäre es eine Peritonitis. Oberärztin: Und vor allem eine Ruptur. Kommen wir zum nächsten Punkt: Welche Behandlung würden Sie denn empfehlen, wenn Sie jetzt die Appendizitis bestätigen? Kandidatin: Dann wäre eine Appendektomie innerhalb von 24 Stunden anzuraten. Oberärztin: Ok, und könnten Sie ein bisschen was über so eine Operation sagen: Welche Möglichkeiten gibt es da? Kandidatin: Eine Laparoskopie hätte den Vorteil, dass man nur sehr kleine Schnitte benötigt, weswegen die Heilung schneller geht. Oberärztin: Meine letzte Frage ist: Kann man eine akute Appendizitis auch konservativ behandeln? Kandidatin: Wenn eine Patientin früh genug kommt, lässt sich eine Appendizitis mit Antibiotika und Analgetika behandeln. Oberärztin: Gut, dankeschön. Kandidatin: Ich danke Ihnen. = Patientenvorstellung 5 = == (Gisela Reuters) == === a. === Guten Tag usw., ["Guten Tag/ Hallo ... Wie war der Dienst?" -- "Es war viel los und ..."] wir haben eine neue Patientin (und ich würde Ihnen gern über sie berichten), hätten Sie kurz Zeit? [Ja, bitte berichten Sie mir.] Vielen Dank. Frau Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin, stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 1,5 Stunden (eineinhalb Stunden) bestehender, plötzlich aufgetretener, krampfartiger, stechender Abdominalschmerzen (NRS 8 von 10), ohne Ausstrahlung. Laut Patientin hat der Schmerz um den Nabel herum begonnen (also umbilikal), ist immer stärker geworden und aktuell im ganzen Bauch. Sie war zu Uhrzeit und Person voll orientiert. Die Schmerzintensität wird von der Patientin bei ungefähr 8 von 10 NRS eingeordnet. An Begleitsymptomatik fand sich Herzrasen und Ohrensausen seit circa 20 Minuten und Verstopfung sei dem Vortag. Die Patientin leide an Schlafstörungen und Schweißausbrüchen. An Vorerkrankungen und Voroperationen sind bei ihr bekannt: Arterielle Hypertonie seit 5 Jahren und Vorhofflimmern, behandelt mit Metoprolol und Marcumar. Sie nehme gelegentlich Aspirin. Sie sei 4 Mal operiert worden: Leistenbruch [FS??], Appendektomie, Ostheosynthese der linken oberen Extremität und Sectio Caesarea. Es besteht eine Penicillin-Allergie, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußert. In der Noxenanamnese fand sich: Raucherin seit 35 Jahren, 35 pack years, sie trinke 1-2 Bier täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Sie habe alle empfohlenen Impfungen. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. Die Patientin befindet sich in den Wechseljahren [im Klimakterium]. Die Reiseanamnese ist leer. Die Familienanamnese ergab arterielle Hypertonie und Diabetes mellitus bei der Mutter, einen Herzinfarkt beim Vater, an dem er verstorben ist. Sie treibt keinen Sport. Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf einen Mesenterialinfarkt aus. Differenzialdiagnostisch sollte ein Ileus ausgeschlossen werden, ebenso eine Darmperforation. Wir sollten auch vasogene Ursachen ausschließen, zum Beispiel eine Aortendissektion oder andere Mesenterialthrombosen. === OA-Fragen === Was spricht für einen Mesenterialinfarkt? Könnten Sie bitte den Zusammenhang zwischen Vorhofflimmern und Mesenterialinfarkt erklären? Was passiert zwischen dem Vorhof und dem Mesenterium? Wo entsteht das Blutgerinnsel? Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Welche Blutwerte sind denn hilfreich für uns? Was erwarten Sie denn in der Gerinnung - bei einer Marcumar-Patientin? Wie verändert sich zum Beispiel der INR [International Normalised Ratio], wenn man Marcumar einnimmt? Mal angenommen, unsere Patientin hat einen Mesenterialinfarkt. Wie kann man das behandeln? = Patientenvorstellung 6 = == Tatjana Märker == Arzt: Hallo. Ich möchte Ihnen die Patientin Frau Märker vorstellen - wenn Sie kurz Zeit hätten? Oberarzt: Ja, habe ich. Arzt: Frau Märker ist zweiunddreißig Jahre alt, einundsiebzig Kilogramm schwer, hat Dr. Werner als Hausärztin. Sie stellte sich bei uns wegen seit etwa 12 Stunden bestehender Tachykardie und Palpitation vor, mit innerer Unruhe und Angst einhergehend. Sie berichtete von einem Flackern vor den Augen, weswegen ich gleich ein EKG durchgeführt habe, um mögliche Rhytmusstörungen auszuschließen. Oberarzt: An welche Rhytmusstörungen haben Sie gedacht? Arzt: Wegen der Ecstasyeinnahme der Patientin. Oberarzt: Ich will wissen, an welche Rhytmusstörungen Sie gedacht haben. Arzt: An eine aurikulare Fibrillation, Vorhofflimmern. Oberarzt: Ja. Was gibt es noch bei jüngeren Patienten? Arzt: Bei jüngeren Patienten? Oberarzt: Gibt es supraventrikulare Tachykardien? Arzt: Supraventrikulare Tachykardien und auch einen ventrikularen Block. Oberarzt: Gut. Bitte weiter. Arzt: Bei genauer Befragung berichtete sie, dass sie vorher keine Drogen genommen hat, außer gestern zwei Mal Ecstasy nacheinander. Oberarzt: Warum zwei nacheinander? Arzt: Sie habe zuerst nichts gefühlt, wollte aber das High-Sein erleben, was dann auch eintrat, aber mit Palpitation und Tachykardie, trockenem Mund und innerer Angst und Unruhe. Oberarzt: Wie sah die Ecstasy aus? Arzt: Es seien rosa Tabletten gewesen. Oberarzt: Ok. Welche Form? Arzt: Das habe ich leider nicht nachgefragt. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Zur Sozialanamnese: Sie hat zwei Kinder, eine dreijährige Tochter und einen eineinhalbjährigen Sohn. Oberarzt: Was haben die Kinder gemacht, während sie Ecstasy genommen hat? Also: Wo waren die Kinder da? Arzt: Die Mutter der Patientin hat sich um die Kinder gekümmert, während die Patientin mit ihrer Freundin feiern ging. Laut Patientin war es das erste Mal, dass sie Drogen ausprobiert hat. Sie lebt allein mit zwei Kindern, ist Bäckereifachverkäuferin von Beruf, aber seit viereinhalb Jahren erwerbslos. Ferner erwähnte sie einen stressigen Lebenskontext mit dem Vater der Kinder. Oberarzt: Was ist mit dem Mann? Sie hat „on off“ gesagt. Was heißt das denn? Arzt: „On off“ bedeutet: manchmal ok, manchmal Probleme. Ich habe es so verstanden, dass sie sich in einer toxischen Beziehung mit dem Mann befindet. Oberarzt: Genau. „On off“ heißt: Manchmal sind sie ein Paar, manchmal sind sie getrennt, immer im Wechsel. Arzt: Ja, toxisch. Oberarzt: Nun, das ist Ihre Beurteilung. Arzt: An Vorerkrankungen ist eine Hypothreose bekannt, seit sie siebzehn Jahre alt ist. Und dagegen nimmt sie L-Thyroxin 15 µg. Und sie wurde einmal operiert, eine Schönheits-OP ihrer Nase, mit neunzehn. In der Familienananese fand sich Diabetes mellitus bei der Mutter, sie spritzt Insulin. Und Grauer Star beim Vater. Oberarzt: Was ist das? Arzt: Der Fachbegriff fällt mir gerade nicht ein, sorry. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Wie lautet der Fachbegriff? Oberarzt: Katarakt. Arzt: Ach ja, danke. Sie ist Einzelkind, hat also keine Geschwister. Sie ist allergisch gegen Nüsse. Sie ist vollständig geimpft, auch ein Mal gegen Covid-19. In der Noxenanamnese ergab sich ein Nikotinkonsum von zwei bis drei Zigaretten bei Gelegenheit sowie Alkoholkonsum, aber sie trinke nicht jedes Wochenende. Drogenkonsum wurde verneint – bis auf dieses Mal. Ich gehe von einer Metamphethamin-Intoxikation aus. Differentialdiagnostisch ist eine Rhythmusstörung auszuschließen. Basisdiagnostisch mache ich eine körperliche Untersuchung, eine Blutabnahme, eine Überprüfung von Elektrolyten und Blutgasen, um zu sehen, ob eine Azidose besteht oder nicht. Sie hat auch viel geschwitzt. Oberarzt: Können wir denn auch diesen Ecstasykonsum verifizieren? Arzt: Ja, mittels einer toxikologischen Blutabnahme vielleicht? Oberarzt: Gibt es noch andere Möglichkeiten? Arzt: Im Urin? Oberarzt: Ja, Genau. Arzt: Was noch? Eine Infusiontherapie, um den Mangel an Elektrolyten und Flüssigkeit auszugleichen. Man könnte auch eine Magenspülung machen. Aber in diesem Fall ist es noch nicht notwendig. Oberarzt: Wie ist denn die Prognose? Arzt: Ja, die Prognose ist gut, denke ich. Die Patientin hat ein bisschen übertrieben wegen der Angst und weil sie es zum ersten Mal ausprobiert hat. Oberarzt: Wie kann man denn Patienten behandeln, die sehr agitiert sind, sehr unruhig, sehr ängstlich. Kennen Sie Medikamente, die stark, ruhigend und angstlösend wirken? Arzt: Benzodiazepine? Oberarzt: Ja. Sehr gut. Vielen Dank. Arzt: Ganz meinerseits. [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] == (Gisela Reuters) == === b. === Hallo, schönen guten Tag, Frau Oberärztin, ich habe eine neue Patientin und würde ihren Fall gern mit Ihnen besprechen. Hätten Sie kurz Zeit? ''Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los.'' Es geht um Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund vor 1,5 Stunden plötzlich aufgetretener, umbilikaler, progredienter, postprandialer Schmerzen, ohne Linderung nach Ibuprofeneinnahme. Sie habe vor 10 Tagen schon einmal ähnliche Beschwerden gehabt. Begleitend fand sich: Obstipation seit 3 Tagen, Meteorismus, Völlegefühl, Hyperhidrose, Tachykardie und Tinnitus. Die vegetative Anamnese ist unauffällig, bis auf Inappetenz und stressbedingte Insomnie. Sie sei in den Wechseljahren. Es sei eine Penicillin-Allergie bekannt, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußern würde. Sie hat Vorhofflimmern seit 5 Jahren und vor 20 Jahren hatte sie einen Ikterus nach einer Marokkoreise. An Medikamenten nehme sie: Metoprolol und Marcumar regelmäßig sowie ACC bei Bedarf. Bei der Patientin wurde mit 14 Jahren eine Appendektomie durchgeführt. Sie hatte auch eine Inguinalhernie und eine Fußknochenfraktur wegen eines Fahrradunfalls. Sie rauche 20 Zigaretten pro Tag seit 20 Jahren und trinke 1-2 Flaschen Bier am Wochenende. Die Familienanamnese ergab Folgendes: Die Mutter leide an arterieller Hypertonie und Diabetes mellitus, der Vater sei mit 58 Jahren an einem Herzinfarkt gestorben. Eine ihrer Schwestern sei bei einem Sportunfall ums Leben gekommen, die andere habe eine Nierenerkrankung. Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf einem Mesenterialinfarkt hin. An Differenzialdiagnosen kommen folgende in Betracht: eine Appendizitis, vielleicht eine Cholezystitis. Zur weiteren Abklärung führe ich folgende Maßnahmen durch: eine körperliche Untersuchung, Blutabnahme, Blutbild (Koagulationswerte), Abdomen Angiographie mit Kontrastmittel. Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: Koagulationskorrektur, Thrombektomie, ein kardiologisches Konsil - ja, was war alles. ''Oberärztin: Vielen Dank. Welche Risikofaktoren hat diese Patientin?'' Als Risikofaktoren kommen folgende in Betracht: Vorhofflimmern, arterielle Hypertonie in der Vorgeschichte der Patientin, dazu Adipositas. Es könnte auch eine Hyperlipidämie sein. Auch hormonelle Veränderungen aufgrund der Menopause könnten bei der Gerinnung eine Rolle spielen. ''Oberärztin: Welche Komplikationen können hier auftreten?'' Die Patientin hat schon seit 3 Tagen Obstipation, daher ist an einen Ileus zu denken, und bei der körperlichen Untersuchung können wir dumpfe Bauchgeräusche hören. ''Oberärztin: Was wäre im Verlauf die schlimmste Komplikation?'' Es könnte einen Apoplex auslösen. ''Oberärztin: Aha, Sie denken an das Neuro-System. Und im System Gastro?'' Eine Darmnekrose, die zu einer Peritonitis mit Sepsis führen könnte. ''Oberärztin: Was würden Sie der Patientin zur Prophylaxe geben?'' Antibiotika. ''Oberärztin: Welche weiteren Maßnahmen würden Sie durchführen?'' Ich würde eine regelmäßige INR-Bestimmung machen, um die Koagulationswerte im Auge zu behalten. ''Oberärztin: Und was wäre hier die wichtigste Therapieform?'' Eine Thrombektomie, also ein chirurgischer Eingriff. ''Oberärztin: Wie ist die Prognose, nicht nur für diese Patientin, sondern generell?'' Es hängt von rechtzeitiger Therapie ab. Bei sofortiger Behandlung ist die Prognose günstiger. Bei späterem Behandlungsbeginn treten häufig Komplikationen auf, was oft zu einer ungünstigen Prognose führt, weil die Letalität steigt. ''Oberärztin: Aber warum steigt dann die Letalität?'' Weil solche Komplikationen einen Apoplex im Gehirn verursachen können. ''Oberärztin: Warum im Gehirn?'' Bei unserer Patientin besteht das Problem in den Arterien, denn sie hat seit 5 Jahren Vorhofflimmern. Es könnte deshalb sein, dass eine periphere Ischämie auftritt und ein Thrombus ins Gehirn gelangt. ''Oberärztin: Warum besteht bei dieser Erkrankung ein so hohes Risiko?'' Falls es sich um nicht eingestelltes Vorhofflimmern handelt, treten häufig Komplikationen auf, zum Beispiel eine Embolie. ''Oberärztin: Ich sehe noch ein anderes Problem: Hier könnte ein verstecktes Bauchproblem bestehen, sie nannten schon die Angiographie. Aber in der Klinik ist die Zeit knapp, weshalb wir nicht erst alle Probleme im Bauch ausschließen können. Also bekommen Patienten zuerst eine explorative Laparoskopie, um möglichst schnell den Auslöser zu identifizieren.'' Im aktuellen Fall denke ich, dass eher ein CT mit Kontrastmittel geeignet ist. ''Oberärztin: Nach einer Laparoskopie. Und die häufigste Therapie ist dann die Entfernung des betroffenen Teils des Darms, um mögliche Komplikationen zu vermeiden. Kommen wir nochmal zurück zur körperlichen Untersuchung: Was erwarten Sie bei der Auskultation?'' Ich erwarte fehlende oder weniger starke Bauchgeräusche, wegen des Ileus. ''Oberärztin: Und bei der Perkussion?'' Da rechne ich mit Abwehrspannung und mit Loslassschmerz. Und bei einer Perforation als Komplikation sehen wir Luft im Bauchfell. ''Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Ausführungen.'' Vielen Dank. = Patientenvorstellung 7 = == Frank Boppes == (ohne OA-Fragen) Arzt: Guten Tag, Frau Oberärztin. Oberärztin: Hallo. Arzt: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja, natürlich, bitteschön. Arzt: Es handelt sich um Herrn Frank Boppes, einen 67-jährigen Patienten, geboren am 23.11.1958, einen Meter fünfundachtzig groß [1,85 m], 90 Kilo schwer. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 6 Wochen bestehender, allmählich aufgetretener, progredienter Dysurie. Darüber hinaus klagte er über Unterbauchschmerzen ohne Ausstrahlung. Die Schmerzintensität wurde mit 7 von 10 bewertet. Begleitend liegt Hämaturie vor. Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Nachtschweiß sowie Gewichtsabnahme (8 kg innerhalb von 6 Monaten). An Vorerkrankungen fand sich ein Reizdarmsyndrom seit 15 Jahren, COPD seit 20 Jahren und Prostatahyperplasie seit 4 Jahren. Gegen COPD nimmt er ggf. ein Kortikosteroidspray. Beim Patienten wurde vor zwei Jahren wegen eines Tumors im Rückenbereich eine Operation durchgeführt, die laut Patient komplikationslos war. Familienanamnestisch relevant ist ein Kolonkarzinom beim Vater, mit 65 Jahren daran verstorben. Allergien sind keine bekannt und es besteht eine Milchprodukteunverträglichkeit (Laktoseintoleranz), Nikotinabusus (100 PY). Er trinke ein Glas Rotwein täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Er sei verheiratet und wohne mit seiner Frau zusammen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Prostatakarzinom. <br /> Differenzialdiagnostisch kommen eine benigne Prostatahyperplasie, Harnwegsentzündung, z.B. eine Pyelonephritis, Zystitis. <br /> Basisdiagnostisch würde ich eine körperliche Untersuchung durchführen, Vitalparameter messen und den Patienten inspizieren, palpieren und auskultieren. Die Palpation ist in diesem Fall entscheidend. Zur weiteren Abklärung würde ich Blut abnehmen, um Entzündungswerte zu bestimmen. Im nächsten Schritt würde ich die apparative Diagnostik einsetzen, eine Abdomenspiegelung machen und ein CT. Ah, und für die körperliche Untersuchung ist auch eine digital-rektale Untersuchung notwendig. = Patientenvorstellung 8 = == Ralf Merklinger == mit Dank an I.K. Ärztin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Ärztin: Ich möchte Ihnen einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja natürlich, bitteschön. Ärztin: Es handelt sich um Herrn Ralf Merklinger, 48 Jahre alt. Er stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einer Woche bestehender, anfallsartig auftretender Tachykardie und Palpitation. Zudem berichtete der Patient, dass diese Anfälle einmal pro Tag auftreten und ungefähr 15 Minuten dauern. Sie würden sich spontan zurückbilden. Nach Angaben des Patienten hilft Ablenkung. Begleitend bestehen inspiratorische Dyspnoe, Vertigo, Angstgefühl, Diaphorese und Kontrollverlust. Er berichtete von Angst vor den nächsten Anfällen. Zudem klagte er über Konzentrationsstörungen. Bei ihm liegt auch ein Schuldgefühl und eine depressive Verstimmung vor. Die Frage nach Thoraxschmerzen, nach ähnlichen vorherigen Beschwerden, Suizidgedanken, Derealisation und Depersonalisation wurden verneint. In der vegetativen Anamnese zeigten sich nächtliche Hyperhidrose und beschwerdebedingte Insomnie in Form von Einschlafstörungen. In der Vorgeschichte fand sich Hypothyreose, mit L-Thyroxin 100 mcg behandelt. Es besteht ferner Bruxismus seit 20 Jahren, weswegen er nachts eine Schiene trägt. Zudem habe er sich mit 22 Jahren eine Tibiafraktur links zugezogen, die operativ behandelt wurde. Erwähnenswert ist, dass er vor einer Woche einen Autounfall erlitten hat, dabei wurde seine Frau verletzt. Sie ist aktuell in einer Klinik und er macht sich Gedanken, ob er sie heute auch wieder besuchen kann, denn er macht sich Vorwürfe und hat Schuldgefühle. Oberärztin: Aha, daher kommen die Schuldgefühle! Was haben Sie dem Patienten empfohlen, bezüglich der Schuldgefühle? Ärztin: Ich habe psychologische Hilfe angeboten und habe versucht, ihm zu erklären, dass ihn keine Schuld trifft und dass es manchmal nicht von einem selbst abhängt, was passiert ist. Ich habe ihm auch empfohlen, offen mit seiner Frau zu sprechen. Oberärztin: Warum haben Sie es ihm angeboten? Ärztin: Er hatte mich danach gefragt, ob er es seiner Frau sagen soll, dass er selbst jetzt auch ärztliche Hilfe benötigt und er sie deshalb wahrscheinlich heute nicht besuchen kann. Denn meiner Meinung nach ist es immer besser, ehrlich zu sein und nichts zu verheimlichen. Oberärztin: Würden Sie den Patienten stationär aufnehmen? Ärztin: Ja, denn es sollte zuerst alles abgeklärt werden. Auch organische Ursachen müssen ausgeschlossen werden, etwa eine koronare Herzkrankheit. Deshalb habe ich gezielt nach Thoraxschmerzen gefragt und danach, ob sie in Ruhe oder bei Belastung auftreten und ob er so etwas schon einmal hatte. Oberärztin: Ja, ok. Welche Laborwerte würden Sie anordnen? Ärztin: Bei diesem Fall beginne ich mit hochsensitivem Troponin-T und I, um einen Myokardinfarkt auszuschließen. Zudem überprüfe ich weitere Parameter, wie D-Dimere, um eine Lungenembolie auszuschließen und weitere Parameter wie Nierenwerte, Entzündungsparameter, für die Einschätzung des Allgemeinzustands. Oberärztin: Welche Rolle spielen die Informationen aus der Medikamentenanamnese? Ärztin: Ah ja, es ist wichtig, auch TSH und freie T4 und freie T3 zu bestimmen, da eine Überdosierung von L-Thyroxin die Ursache sein könnte. Also sollten auch die Schilddrüsenhormone bestimmt werden. Oberärztin: Gut. Welche Therapie würden Sie vorschlagen? Ärztin: Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, würde ich zuerst ein psychologisches bzw. ein psychiatrisches Konsil anraten. Hier kommt eine kognitive Verhaltenstherapie in Frage, um Denkmuster zu erkennen, sie zu bearbeiten und zu verändern. Falls nötig, kann auch eine Antidepressiva-Therapie eingesetzt werden. Zuerst müssen wir dem Patienten einen Fragebogen anbieten und dann sehen wir, ob es auch um eine Depression geht. Oberärztin: Wie kommen Sie auf Depression? Ärztin: Depressionen können auftreten, wenn ein Patient ein traumatisches Erlebnis hatte. Und er hat Schuldgefühle. Und seiner Frau sei eine depressive Stimmung an ihm aufgefallen. Deshalb müssen wir das ernst nehmen. Oberärztin: Vielen Dank, dann verfahren Sie bitte so. = Patientenvorstellung 9 = [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] == Sina Gowitz == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) Ä: Ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben aufgenommen habe. Es geht um eine zweiundzwanzigjährige Patientin, sie heißt Sina Gowitz, geboren am vierzehnten Vierten zweitausendzwei [14.4.2002], relativ groß, eins fünfundachtzig, und achtzig Kilo schwer. Die Patientin stellte sich eigenständig bei uns vor mit starken Bauchschmerzen, vor allem im rechten Unterbauch lokalisiert. Anfangs seien die Schmerzen aber eher so in der Mitte gewesen, also im Epigastrium. Außerdem habe sie Fieber und Durchfall, wobei sie angab, dass sie beides auch schon vor zwei Wochen mal gehabt habe und zwischenzeitlich symptomfrei gewesen sei. Außerdem habe sie vor zwei Wochen einen eitrigen vaginalen Ausfluss gehabt, der auch behandelt worden sei. Der Zyklus sei generell unregelmäßig bei ihr. Sie gab an, dass es nicht möglich sei, dass sie schwanger wäre, denn sie habe keinen Geschlechtsverkehr. Die Schmerzintensität bewertete die Patientin mit initial acht von zehn. Nach Medikation mit Novalgin intravenös war das dann noch bei sechs von zehn. An Vorerkrankungen sind so unspezifische Abdominalsymptome bekannt. Es sei laut Hausärztin fraglich, ob das vielleicht ein Reizdarmsyndrom sei. Es wurde aber wohl keine Koloskopie bislang durchgeführt. Außerdem hat die Patientin Asthma und hatte mal eine Urolithiasis mit achtzehn. Sie hat sich auch mal eine Tibiafraktur zugezogen, die operativ versorgt wurde, das Osteosynthesematerial sei noch einliegend. Und bei ihr wurde eine Tonsillektomie durchgeführt. Wann, weiß ich leider nicht genau, denn dazu machte die Patientin keine Angaben. Medikation nimmt die Patientin nur bei Bedarf. Zum einen Atrovent Spray gegen das Asthma und Duspatal Tabletten gegen die Verstopfung. Unsere Patientin ist Studentin, studiert Physik, lebt in einer Sechser-WG, in der ansonsten niemand ähnliche Beschwerden habe. Sie spielt Basketball und war vor Kurzem in Belgien. Das ist aber, denke ich, nicht besonders relevant. Der Impfstatus sei vollständig. Sie hat vor allem FSME im März aufgefrischt. Zur Familienanamnese ist bei der Mutter eine Herzinsuffizienz bekannt. Auch der Bruder hat wohl eine Herzerkrankung, die sie nicht näher benennen konnte. Beim Vater ist Morbus Bechterew bekannt und auch beim Großvater väterlicherseits. Zu den Noxen: Die Patientin ist Nichtraucherin, sie trinkt gelegentlich Alkohol, im Sommer häufiger mal, und sie hat einmalig Cannabis ausprobiert. An Allergien ist eine Amoxicillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe äußert, und sie vertrage einige Früchte nicht, zum Beispiel Äpfel, Kiwi und Ananas. Es fragt sich, ob es sich hier um eine Allergie handelt. Aufgrund der anamnestischen Angaben und auch der wirklich starken Abdominalschmerzen gehe ich aktuell von einer Appendizitis aus. Differentialdiagnostisch müssen wir auch an eine gynäkologische Erkrankung denken, zum Beispiel an eine Adnexitis, eine obturierte Ovarialzyste oder eine, ja, vielleicht sexuell übertragbare Erkrankung. Es könnte auch eine akute Gastroenteritis sein. Als Diagnostik empfehle ich natürlich eine ausführliche körperliche Untersuchung, wobei wir auf die Appendizitiszeichen achten, dann eine Sonografie des Abdomens. Hier suchen wir nach einem sogenannten Kokardenphänomen im rechten Unterbauch. Zu den Laborwerten: Bei einer Appendizitis erwarte ich eine Leukozytose, ein erhöhtes CAP, eine erhöhte BSG und eventuell auch erhöhtes Procalcitonin. Falls der sonographische Befund unklar ist, könnte man auch ein CT Abdomen erwägen. Und wenn ja, wenn wir Hinweise auf eine akute Appendizitis haben, würden wir in jedem Fall, denk ich, eine operative Behandlung empfehlen, also eine laparoskopische Appendektomie. Hätten Sie dazu noch Fragen? OÄ: Könnten Sie bitte diese spezifischen ultrasonographischen Befunde erklären? Was ist ein Kokardenphänomen genau? Ä: Das Kokardenphänomen? Ja, also dieser Wurmfortsatz am Zirkum stellt sich bei einer akuten Appendizitis verdickt dar. Wir sehen deutlich die Wand der Appendix und häufig auch ein Begleitödem. Und wenn wir das sonographisch feststellen können, dann ist das ein deutlicher Hinweis auf eine Appendizitis. Manchmal sehen wir auch begleitend eine Lymphadenopathie, also eine abdominelle Lymphadenopathie, das ist auch ganz typisch, glaube ich. OÄ: Ist ein Appendix generell im Ultraschall zu sehen? Ä: Nein, eigentlich nicht, das heißt, wenn wir die Appendix sehen, dann ist das schon ein Hinweis auf eine Appendizitis. OÄ: Ja. Soweit mal, vielen Dank. Ä: Ich habe zu danken. 0rmskk572hvvpgkusqy962aiztbmyf6 1076760 1076759 2026-04-10T15:10:45Z C.Koltzenburg 13981 /* Tatjana Märker */ 1076760 wikitext text/x-wiki * Siehe auch [[Anamnesegespräche]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] == Patientenvorstellungen == * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 9|'''PatV 9''': Sina Gowitz, 22 J.]] (VD Appendizitis) -- [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 8|'''PatV 8''': Ralf Merklinger, 48 J.]] (VD Panikattacke) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 7|'''PatV 7''': Frank Boppes, 67 J.]] (VD Prostatakarzinom) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 6|'''PatV 6''': Tatjana Märker, 32 J.]] (VD Intoxikation) -- [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 5|'''PatV 5 a.''' (+ b. to do): Gisela Reuters, 58 J.]] (VD Mesenterialinfarkt) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 4|'''PatV 4''': Agnes Schulz, 48 J.]] (VD Appendizitis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 3|'''PatV 3''': Sebastian Mayer, 66 J.]] (VD exazerbierte COPD) -- [[Anamnesegespräche#Fall_13|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 2|'''PatV 2''': Sabine Nelius, 63 J.]] (VD Pyelonephritis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 1|'''PatV 1''': Magda Wienhäuser, 46 J.]] (VD Panikattacke) = Patientenvorstellung 1 = == Magda Wienhäuser, 46 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde Ihnen gern die Patientin Magda Wienhäuser vorstellen. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja, bitte legen Sie los."'' "Magda Wienhäuser ist 46 Jahre alt, sie ist am 01.06.1976 ("ersten sechsten sechsundsiebzig) geboren, [161 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einen Meter einundsechzig groß und wiegt [68 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtundsechzig Kilo. Die Patientin stellte sich heute Morgen um halb acht in der Notaufnahme vor, nachdem sie mit dem Auto zur Arbeit fahren wollte und, im Auto sitzend, verschiedene, sehr stark ausgeprägte Symptome bemerkte, nämlich: Tachykardie, Kaltschweißigkeit, Todesangst, Dyspnoe, das Gefühl, sich nicht mehr bewegen zu können. Außerdem berichtete sie von Kribbeln in den Händen und Ohrensausen. Ferner gab sie an, ihr sei übel gewesen. Erbrochen habe sie aber nicht. Nach Angaben der Patientin hat sie ungefähr 15 Minuten im Auto gesessen und ist dann mit großer Mühe in die Klinik gefahren, um sich bei uns vorzustellen. Aus der Vorgeschichte ist bekannt: <br /> * eine rheumatoide Arthritis seit der zweiten Schwangerschaft, also seit 14 Jahren. Diese rheumatoide Arthritis wird mit Diclofenac zwei Mal täglich behandelt. * Außerdem eine Migräne mit Aura seit der Jugend. Die Patientin nimmt bei Bedarf Sumatriptan und Ibuprofen. * Ein Bandscheibenvorfall, also Diskusprolaps, mit 42 Jahren, der konservativ behandelt wurde. An Operationen nannte die Patientin eine Myomentfernung in 2021 und eine Mammareduktion mit 20 Jahren. Unsere Patientin ist Nichtraucherin, hat auch nie geraucht, sie trinke ab und zu Alkohol, insbesondere Aperol Spritz, ungefähr einmal im Monat, und sie gab an, in der Jugend einmal Amphetamine genommen zu haben. Zur gynäkologischen Anamnese: Sie hat ungefähr alle zwei bis drei Monate ihre Mensis, zuletzt vor zwei Wochen. Die Patientin nannte eine Allergie gegen Haselnüsse, was sich mit Dyspnö und Exanthem äußert, außerdem hat sie eine Glutenintoleranz, also es liegt vermutlich eine Zöliakie vor. Zur Familenanamnese: Der Vater der Patientin verstarb mit 47 an einem Hodenkarzinom, die Mutter ist 72 Jahre alt, leidet an leichter Demenz und lebt in einem Pflegeheim. Bei der Schwester ist eine Alopecia areata bekannt und der jüngere Bruder der Patientin ist aufgrund eines angeborenen Herzfehlers bereits verstorben, mit Anfang 30. Unsere Patientin ist Fleischerei-Fachverkäuferin bei Edeka, sie ist seit fünf Jahren geschieden. Sie ist alleinerziehend mit drei Kindern, 15, 14 und 9, wobei der jüngste Sohn im Alter von vier Jahren Leukämie hatte. Das sei eine schwierige Zeit gewesen und hier sei es auch zur Trennung vom Partner gekommen. Der Ex-Mann unserer Patientin ist Polizist und laut Frau Wienhäuser gibt es immer wieder Probleme zwischen den beiden, wo es dann um den Umgang der Kinder geht. Die Patientin hat seit zwei Jahren einen neuen Freund, der ebenfalls Mitarbeiter bei Edeka ist. Die Patientin treibt Sport, sie geht zum Zumba. Ich denke, das waren die wichtigsten Informationen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Panikattacke. Natürlich muss ich, wenn ich diese Diagnose vermute, erstmal alle somatischen Erkrankungen ausschließen, unter anderem einen Myokardinfarkt, eine Refluxösophagitis, einen Magenulkus, eine Lungenembolie. Zu den Untersuchungen: Die Patientin muss natürlich ausführlich körperlich untersucht werden, vor allem Herz und Lungen müssen auskultiert werden. Ich benötige eine Messung der Vitalparameter, selbstverständlich, dann ist eine Blutuntersuchung notwendig. Wir würden hier vor allem die Herzenzyme, die Entzündungsparameter und eine BGA bestimmen. Außerdem schreiben wir ein EKG und wir könnten gegebenenfalls auch ein Herz-Echo oder eine Sonografie des Abdomens durchführen, wobei in der Regel ja schon die ersten Befunde in etwa die Richtung anzeigen, in die es weitergeht. Wenn wir tatsächlich in den Befunden nichts Pathologisches feststellen, dann würden wir erstmal von einer Panikattacke ausgehen. Die Panikattacke hört normalerweise von selbst wieder auf. Bei ausgeprägter Hyperventilation sollte man der Patientin eine Tüte geben, so dass sie in die Tüte atmet. Manchmal ist eine beruhigende Medikation erforderlich, zum Beispiel mit Benzodiazepin, wobei man da sehr gut aufpassen muss, weil das zu Abhängigkeit führen kann. Die Patientin sollte aufgeklärt werden über diese Erkrankung und auch darüber, dass es häufig zu rezidivierenden Panikattacken kommt, aber dass es sozusagen nichts Schlimmes ist. Falls es immer wieder zu Panikattacken kommt, kann die Patientin auch verhaltenstherapeutisch behandelt werden, wobei hier in den meisten Fällen eine ambulante Therapie ausreicht. Das wäre alles meinerseits." ''"Welche Laborwerte würden Sie anordnen?"'' "Ah, welche genau? Also: die Herzenzyme, also Troponin T [teh] und CK-MB [zeh kah emm beh], LDH [ell deh hah] und natürlich ein Blutbild, in der Regel ein großes Blutbild, um einen guten Überblick zu erhalten, Entzündungswerte neben den Leukozyten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh]. In der BGA achte ich darauf, wie Sauerstoff und Co2 [zeh oh zwei] verteilt sind, ob es bereits eine Azidose gibt. Das wären die wichtigsten Werte, denke ich." ''"Würden Sie thyreoide Hormone anordnen?"'' "Ah, Schilddrüsenhormone, ja. Ich würde auf jeden Fall das TSH [teh ess hah] bestimmen, um einen ersten Eindruck zu bekommen. Schon bei der körperlichen Untersuchung würde ich auf den Halsbereich achten, also ob da vielleicht schon einen Vergrößerung der Schilddrüse zu sehen oder zu spüren ist." ''"Vielen Dank. Dann verfahren Sie mit Ihrer Patientin bitte so."'' = Patientenvorstellung 2 = == Sabine Nelius, 63 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja."'' "Es geht um Sabine Nelius, eine 63-jährige [dreiundsechzigjährige] Patientin, geboren am 02.01.1961 [am zweiten Januar einundsechzig], [171 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einseinundsiebzig groß und [61 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] 61 Kilo schwer. Die Patientin stellte sich bei uns vor wegen starker, linksseitiger Flankenschmerzen. Die Schmerzen habe sie seit drei Tagen und sie würden stärker, also sind progredient, von der Qualität her ziehend, teilweise klopfend, mit Ausstrahlung in die linke Leiste. Sie gab an, seit gestern auch Fieber zu haben, knapp über [38° C <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtunddreißig Grad Celsius, Schüttelfrost, Schwindel, ihr sei übel, sie habe leichten Durchfall gehabt. Darüber hinaus müsse sie häufig Wasser lassen, dabei würde der Urin nicht einfach kommen und es würde sogar brennen, also dysurische Beschwerden. Der Urin sei rötlich. Die Patienen glaubt selbst, es sei Blut. Sie klagt über ein allgemeines Krankheitsgefühl und Herzrasen. Die Schmerzen würden vor allem durch Bewegung, durch Gehen, verstärkt und in Ruhe seien die Schmerzen etwas besser auszuhalten. Die Patientin hat einige Vorerkrankungen, unter anderem hatte sie 2018 einen Myokardinfarkt, sie hat eine Psoriasis seit 6 Jahren und vor 7 Jahren wurde ihr aufgrund einer Perforation im Sigma ein Teil des Sigmas entfernt. An Operationen ist außerdem eine Tonsillektomie, 1972, bekannt. Die Medikation besteht aus ASS 100 mg einmal morgens und Citalopram 75 mg einmal morgens. In der Sozialanamnese gab die Patientin an, dass ihre Tochter im Alter von 30 [dreißig] Jahren bei einem Autounfall verunglückt sei. Die Patientin selbst lebe mit ihrem gehbehinderten Ehemann zusammen und ist seit einem halben Jahr in Rente. Vorher hat sie als Frisörin gearbeitet. In der Familienanamnese ist beim Vater ein Diabetes mellitus Typ 2 bekannt, er ist 91 Jahre alt und lebt in einem Pflegeheim. Die Mutter sei gesund, mit 85 Jahren, und ein Onkel mütterlicherseits sei vor 15 Jahren im Alter von 79 Jahren an Prostatakrebs verstorben. Auch die Schwester der Patientin, aktuell 62 Jahre alt, hatte im Alter von 45 Jahren ein Zervixkarzinom, was aber kurativ behandelt werden konnte. Zu den Noxen: Die Patientin raucht ca. 10 Zigaretten täglich seit 50 Jahren, also 25 pack years [päck years, also Englisch gesprochen], sie trinke täglich eine Flasche Bier, Drogenkonsum wurde verneint. Allergien wurden glaubhaft verneint. Sie gab allerdings an, dass eine Unverträglichkeit gegen Milch bekannt sei, ich vermute, (es handelt sich um) eine Laktoseintoleranz. Aufgrund der Schmerzen in der linken Flanke und dieser Dysurie vermute ich einen Harnwegsinfekt, und zwar eine Pyelonephritis. An Differenzialdiagnosen kommen eine Zystitis oder eine Divertikulitis in Betracht. Zur Abklärung würde ich die Patientin körperlich untersuchen, mit Fokus auf das Abdomen und die Flanken, also prüfen, ob die Nieren klopfschmerzhaft sind. Dann würde ich mit Urinstix (also Urinteststreifen) den Urin untersuchen, auf Protein, PH und so weiter. Auch schauen, ob eine Hämaturie besteht, dann eine Blutentnahme, ich würde ein großes Blutbild anordnen, mit Entzündungswerten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh], außerdem Creatinin, Harnstoff, Elektrolyte, Leberwerte bestimmen, wobei ich bei einer akuten Pyelonephritis vor allem eine Erhöhung der Entzündungsparameter erwarte. Ich benötige außerdem eine Urinkultur, um den Erreger zu bestimmen. An bildgebenden Verfahren benötige ich eine Sonografie des Abdomens, damit kann ich in der Regel schon ganz gut abschätzen, ob ein Harnaufstau besteht oder ich könnte differenzialdiagnostisch eine Urolithiasis, also einen Stein feststellen. Den könnte man auch mit einem Röntgen Abdomen sehen. Meistens reicht die Sonografie Abdomen aus, um die Diagnose zu stellen, aber falls noch unklar sein sollte, was die Patientin hat, wäre auch ein CT [zeh teh] Abdomen in Betracht zu ziehen. Therapeutisch empfehle ich Bettruhe, ausreichend Flüssigkeit, entweder oral oder intravenös, außerdem ein Analgetikum wie zum Beispiel Novalgin oder Paracetamol. Bevor der Befund der Urinkultur vorliegt, behandele ich bereits empirisch, beispielweise mit einem Cephalosporin oder Ciprofloxacin, da gibt es verschiedene Optionen. Das Antibiogramm lässt sich anpassen, sobald die Befunde der Urinkultur vorliegen. In der Regel wird die Pyelonephritis intravenös behandelt, später kann es auch oralisiert werden. Das wäre (soweit erstmal) alles meinerseits." ''"Gut, danke. Ich habe keine Fragen. Bitte machen Sie mit der Patientin weiter."'' = Patientenvorstellung 3 = == Sebastian Mayer == Kandidatin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Kandidatin: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los. Kandidatin: Dankeschön. Es handelt sich um Herrn Sebastian Mayer, einen 66-jährigen Patienten, geboren am 15.6.1958, 177 cm, 80 kg, den ich heute gegen 11 Uhr gesehen habe. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 3 Tagen bestehenden Hustens, seit gestern mit gelblich-grünem Sputum, Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, und Fieber. Seit der Kindheit besteht Asthma und vor 3 Jahren wurden pulmonale Emphyseme bei ihm diagnostiziert. Laut Patient wird sein Asthma mit Prolenium behandelt und er nutzt Salbutamol Spray bei Bedarf. Bisher sei das aber nur ein Mal der Fall gewesen. Vor 3 Tagen seien ihm blaue Lippen aufgefallen und etwas Herzrasen, also Hypoxie-Zeichen, und laut Patient ist es schlimmer geworden. Es gehe ihm insgesamt nicht gut und er sei oft nervös. An Begleitsymptomen liegen vor: schnelle Ermüdung bei Bewegung, sowie Insomnie. Verneint wurden die Fragen nach Schmerz sowie Miktions- und Defäkationsstörungen. Bei ihm ist eine Pencillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe und Rubor äußert. Vor 4 Monaten habe er ein neues Knie bekommen (rechts). In der Familienanamnese fand sich Asthma bei Vater und Bruder. Er lebt mit seiner Frau zusammen und hat zwei gesunde Töchter. Meine Verdachtsdiagnose lautet: COPD, vielleicht exazerbierte COPD. Differenzialdiagnostisch kommen Salbutamol-Abusus und Pneumonie in Betracht. Für meine Verdachtsdiagnose sprechen: Husten mit Sputum, Fieber und - wie heißt nochmal der Fachbegriff für Atemnot? Oberärztin: Dyspnoe Kandidatin: Ach ja, vielen Dank, also … und Dyspnoe. Dazu kommt Asthma als Vorerkrankung und die Lungenemphysem-Diagnose vor 3 Jahren. Zur Bestätigung dieser Verdachtsdiagnose brauche ich natürlich eine körperliche Untersuchung mit Auskultation und Palpation, ein EKG wegen der Hypoxiesymptome, um Herzprobleme ausschließen zu können, dazu Laborwerte, Entzündungszeichen und Leukozyten, ein Röntgen des Thorax - und, falls notwendig, ein CT. Eine Antibiotikum-Therapie wäre zu empfehlen, denn Herr Mayer war wegen dieser Symptome noch nicht beim Hausarzt und ich denke, dass deswegen eine symptomatische Behandlung nicht ausreicht. Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Vorstellung. Was könnte der Auslöser gewesen sein? Kandidatin: Ich denke, es könnte die Erkältung sein, mit Husten, den er seit 3 Tagen hat. Oberärztin: Was genau spricht für ein Lungenemphysem? Kandidatin: Die Anamnese, also die Vordiagnose. Und dass sein Brustkorb größer geworden ist. Oberärztin: Wie nennt man dieses Zeichen? '''Kandidatin''': Oh, das weiß ich nicht. '''Oberärztin''': Fassthorax. '''Kandidatin''': Dankeschön. Und dazu Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, mit dem Gefühl, dass Luft in der Lunge bleibt, er also nicht vollständig ausatmen kann. '''Oberärztin''': Ja genau, gut. Welche Risikofaktoren hat der Patient? '''Kandidatin''': Er ist starker Raucher, mit mehr als 30 pack years. '''Oberärztin''': Was spricht für eine akute exazerbierte COPD? '''Kandidatin''': Dafür spricht produktiver Husten, Fieber, Zyanose, Tachykardie. '''Oberärztin''': Und es liegt ein expiratorischer Stridor vor. '''Kandidatin''': Ah ja, er hat ein Pfeifen erwähnt. Das gibt es auch bei Asthma bronchiale. '''Oberärztin''': Mit welchen lebensbedrohlichen Komplikationen müssen Sie hier rechnen? '''Kandidatin''': Ich denke an eine Insuffizienz der rechten Herzkammer, denn die Lungenbeschwerden können zuerst zu einer Hypertrophie führen und danach zu einer Herzinsuffizienz. '''Oberärztin''': Ja, aber das tritt überwiegend bei chronisch erkrankten Patienten auf. '''Kandidatin''': Und in akuten Fällen kann es vielleicht zu akuter respiratorischer Insuffizienz führen, oder? '''Oberärztin''': Warum? '''Kandidatin''': Weil bei Exazerbation Auswurf besteht und dann können Patienten bei weiterer Verschlechterung kaum noch ausatmen, was auch zu einem Pneumothorax führen kann. '''Oberärztin''': Was genau führt zu einem Pneumothorax? '''Kandidatin''': Da bin ich mir nicht sicher, aber bei Vorliegen eines (exazerbierten?) Emphysems (das sich verschlechtert hat) ... , aber ich habe keine Erfahrung mit COPD-Patienten und kenne mich deswegen nicht so gut damit aus. '''Oberärztin''': Ok. Bei so einer Komplikation: Welche Untersuchung machen Sie zuerst? '''Kandidatin''': Ich mache zuerst eine Auskultation und höre dabei vermutlich keine respiratorischen Geräusche. '''Oberärztin''': Wie heißt das in Fachsprache? '''Kandidatin''': Totenstille. '''Oberärztin''': Gut. Was brauchen Sie in so einer Situation? '''Kandidatin''': Zur Bestätigung benötige ich ein Röntgen des Thorax. '''Oberärztin''': Was können Sie damit bestätigen? Was sehen Sie auf dem Röntgenbild? '''Kandidatin''': Ich denke: Einige Teile des Lungengewebes sind gar nicht zu sehen. '''Oberärztin''': Aber welche genau? Rechts, links, oben, unten …? '''Kandidatin''': Hm, das weiß ich nicht. Ich kann es jetzt nur vermuten. Erklären Sie es mir, bitte? '''Oberärztin''': Gern. Hier geht die Luft nach oben und die Lunge geht in die Mitte oder nach unten. Bei einem Hydrothorax hingegen befindet sich die Flüssigkeit unten und die Lunge bewegt sich nach oben. '''Kandidatin''': Ah, sehr interessant und logisch: Flüssigkeit ist schwerer und Luft leichter. '''Oberärztin''': Welche Erste Hilfe empfehlen Sie bei einem ausgedehnteren Pneumothorax? '''Kandidatin''': Vielleicht eine Thoraxdrainage? '''Oberärztin''': Ja, mit einem Nadelstich in den zweiten Interkostalraum, damit die Luft rauskommt. Ein risikoreicher Eingriff in einer lebensbedrohlichen Lage, um ein Menschenleben zu retten. '''Kandidatin''': So etwas wäre mir bestimmt zu riskant. '''Oberärztin''': Naja, wenn es sein muss, muss es eben sein. Vielen Dank für Ihre Patientenvorstellung. = Patientenvorstellung 4 = == Agnes Schulz == Kandidatin: Guten Tag, ich würde Ihnen gern eine neue Patientin vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja. Kandidatin: Unsere Patientin Agnes Schulz ist 48 Jahre alt, 160 Zentimeter groß und 63 Kilo schwer. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vortag bestehender, akuter, stechender Bauchschmerzen, die vom Nabel nach unten rechts gewandert seien. Paracetamoleinnahme habe keine Linderung gebracht. FS | Begleitend besteht Nausea sowie Obstipation mit dunkelgrauer Defäkation, ferner erhöhte Temperatur gestern Abend, 38,3° [Grad] Celsius, oral gemessen. <br /> PS | Zudem klagte sie über Übelkeit sowie Verstopfung mit dunkelgrauem Stuhl, ferner über Fiebergefühl, 38,3° [Grad] Celsius, im Mund gemessen. Die Frage nach Emesis, Nachtschweiß und kaltem Schweiß wurde verneint. Es sind keine Vorerkrankungen bekannt. FS | Vor 14 Jahren wurde sie aufgrund einer Tubargravidität operiert. <br /> PS | Sie sei vor 14 Jahren wegen einer Eileiterschwangerschaft operiert worden. Sie nehme regelmäßig Eisentabletten seit 3 Wochen, weil sie Veganerin ist. Sie sei Nichtraucherin seit ihrer ersten Schwangerschaft, davor 12 PY. <br /> Sie trinke keinen Alkohol, Drogenkontakt wurde verneint. <br /> Sie sei verheiratet, habe zwei gesunde Kinder und sie wohnen als Familie zusammen. Sie sei Buchhalterin von Beruf. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. | Aufgrund dieser anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf eine Appendizitis aus. <br /> | Meine Verdachtsdiagnose lautet auf Appendizitis. Oberärztin: Was spricht dafür? Kandidatin: Dafür sprechen Nausea und akute Schmerzen am McBurney-Punkt, Nausea und Fieber. Oberärztin: Welche Differenzialdiagnosen kommen denn in Betracht? Kandidatin: Als Differenzialdiagnosen kommen Morbus Crohn, Nephrolithiasis oder Urolithiasis sowie bei Frauen eine Tubargravidität in Betracht. Oberärztin: Ja, gibt es noch andere gynäkologische Erkrankungen, die solche Bauchschmerzen verursachen könnten? Kandidatin: Es könnte auch eine Ruptur der Ovarien sein. Oberärztin: Sehr gut. Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Kandidatin: Labordiagnostisch finden wir: Leukozytose sowie CRP höher als 10 Milligramm pro Liter und erhöhte BSG (Blutsenkungsgeschwindigkeit). Und ich würde ein Sonographie des Abdomens machen. Oberärztin: Was sehen wir denn in der Sonographie typischerweise, wenn es sich um eine Appendizitis handelt? Kandidatin: Ich erwarte einen vergrößerten Appendix vermiformis von mehr als 6 Millimetern Durchmesser und eine Wandstärke von mehr als 3 Millimetern. Oberärztin: Ja, ... Kandidatin: Auch die mesenterialen Lymphknoten sind vergrößert. Oberärztin: Nehmen wir mal an, Sie finden jetzt sonographisch die Appendix nicht, aber Sie entdecken freie Flüssigkeit. Was ist hier los? Kandidatin: Sie meinen: intestinale Flüssigkeit? Oberärztin: Ja, was für eine Flüssigkeit könnte das sein? Ich denke jetzt an eine Komplikation der Appendizitis. Kandidatin: Dann wäre es eine Peritonitis. Oberärztin: Und vor allem eine Ruptur. Kommen wir zum nächsten Punkt: Welche Behandlung würden Sie denn empfehlen, wenn Sie jetzt die Appendizitis bestätigen? Kandidatin: Dann wäre eine Appendektomie innerhalb von 24 Stunden anzuraten. Oberärztin: Ok, und könnten Sie ein bisschen was über so eine Operation sagen: Welche Möglichkeiten gibt es da? Kandidatin: Eine Laparoskopie hätte den Vorteil, dass man nur sehr kleine Schnitte benötigt, weswegen die Heilung schneller geht. Oberärztin: Meine letzte Frage ist: Kann man eine akute Appendizitis auch konservativ behandeln? Kandidatin: Wenn eine Patientin früh genug kommt, lässt sich eine Appendizitis mit Antibiotika und Analgetika behandeln. Oberärztin: Gut, dankeschön. Kandidatin: Ich danke Ihnen. = Patientenvorstellung 5 = == (Gisela Reuters) == === a. === Guten Tag usw., ["Guten Tag/ Hallo ... Wie war der Dienst?" -- "Es war viel los und ..."] wir haben eine neue Patientin (und ich würde Ihnen gern über sie berichten), hätten Sie kurz Zeit? [Ja, bitte berichten Sie mir.] Vielen Dank. Frau Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin, stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 1,5 Stunden (eineinhalb Stunden) bestehender, plötzlich aufgetretener, krampfartiger, stechender Abdominalschmerzen (NRS 8 von 10), ohne Ausstrahlung. Laut Patientin hat der Schmerz um den Nabel herum begonnen (also umbilikal), ist immer stärker geworden und aktuell im ganzen Bauch. Sie war zu Uhrzeit und Person voll orientiert. Die Schmerzintensität wird von der Patientin bei ungefähr 8 von 10 NRS eingeordnet. An Begleitsymptomatik fand sich Herzrasen und Ohrensausen seit circa 20 Minuten und Verstopfung sei dem Vortag. Die Patientin leide an Schlafstörungen und Schweißausbrüchen. An Vorerkrankungen und Voroperationen sind bei ihr bekannt: Arterielle Hypertonie seit 5 Jahren und Vorhofflimmern, behandelt mit Metoprolol und Marcumar. Sie nehme gelegentlich Aspirin. Sie sei 4 Mal operiert worden: Leistenbruch [FS??], Appendektomie, Ostheosynthese der linken oberen Extremität und Sectio Caesarea. Es besteht eine Penicillin-Allergie, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußert. In der Noxenanamnese fand sich: Raucherin seit 35 Jahren, 35 pack years, sie trinke 1-2 Bier täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Sie habe alle empfohlenen Impfungen. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. Die Patientin befindet sich in den Wechseljahren [im Klimakterium]. Die Reiseanamnese ist leer. Die Familienanamnese ergab arterielle Hypertonie und Diabetes mellitus bei der Mutter, einen Herzinfarkt beim Vater, an dem er verstorben ist. Sie treibt keinen Sport. Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf einen Mesenterialinfarkt aus. Differenzialdiagnostisch sollte ein Ileus ausgeschlossen werden, ebenso eine Darmperforation. Wir sollten auch vasogene Ursachen ausschließen, zum Beispiel eine Aortendissektion oder andere Mesenterialthrombosen. === OA-Fragen === Was spricht für einen Mesenterialinfarkt? Könnten Sie bitte den Zusammenhang zwischen Vorhofflimmern und Mesenterialinfarkt erklären? Was passiert zwischen dem Vorhof und dem Mesenterium? Wo entsteht das Blutgerinnsel? Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Welche Blutwerte sind denn hilfreich für uns? Was erwarten Sie denn in der Gerinnung - bei einer Marcumar-Patientin? Wie verändert sich zum Beispiel der INR [International Normalised Ratio], wenn man Marcumar einnimmt? Mal angenommen, unsere Patientin hat einen Mesenterialinfarkt. Wie kann man das behandeln? = Patientenvorstellung 6 = == Tatjana Märker == Arzt: Hallo. Ich möchte Ihnen die Patientin Frau Märker vorstellen - wenn Sie kurz Zeit hätten? Oberarzt: Ja, habe ich. Arzt: Frau Märker ist zweiunddreißig Jahre alt, einundsiebzig Kilogramm schwer, hat Dr. Werner als Hausärztin. Sie stellte sich bei uns wegen seit etwa 12 Stunden bestehender Tachykardie und Palpitation vor, mit innerer Unruhe und Angst einhergehend. Sie berichtete von einem Flackern vor den Augen, weswegen ich gleich ein EKG durchgeführt habe, um mögliche Rhythmusstörungen auszuschließen. Oberarzt: An welche Rhythmusstörungen haben Sie gedacht? Arzt: Wegen der Ecstasyeinnahme der Patientin. Oberarzt: Ich will wissen, an welche Rhythmusstörungen Sie gedacht haben. Arzt: An eine aurikulare Fibrillation, Vorhofflimmern. Oberarzt: Ja. Was gibt es noch bei jüngeren Patienten? Arzt: Bei jüngeren Patienten? Oberarzt: Gibt es supraventrikulare Tachykardien? Arzt: Supraventrikulare Tachykardien und auch einen ventrikularen Block. Oberarzt: Gut. Bitte weiter. Arzt: Bei genauer Befragung berichtete sie, dass sie vorher keine Drogen genommen hat, außer gestern zwei Mal Ecstasy nacheinander. Oberarzt: Warum zwei nacheinander? Arzt: Sie habe zuerst nichts gefühlt, wollte aber das High-Sein erleben, was dann auch eintrat, aber mit Palpitation und Tachykardie, trockenem Mund und innerer Angst und Unruhe. Oberarzt: Wie sah die Ecstasy aus? Arzt: Es seien rosa Tabletten gewesen. Oberarzt: Ok. Welche Form? Arzt: Das habe ich leider nicht nachgefragt. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Zur Sozialanamnese: Sie hat zwei Kinder, eine dreijährige Tochter und einen eineinhalbjährigen Sohn. Oberarzt: Was haben die Kinder gemacht, während sie Ecstasy genommen hat? Also: Wo waren die Kinder da? Arzt: Die Mutter der Patientin hat sich um die Kinder gekümmert, während die Patientin mit ihrer Freundin feiern ging. Laut Patientin war es das erste Mal, dass sie Drogen ausprobiert hat. Sie lebt allein mit zwei Kindern, ist Bäckereifachverkäuferin von Beruf, aber seit viereinhalb Jahren erwerbslos. Ferner erwähnte sie einen stressigen Lebenskontext mit dem Vater der Kinder. Oberarzt: Was ist mit dem Mann? Sie hat „on off“ gesagt. Was heißt das denn? Arzt: „On off“ bedeutet: manchmal ok, manchmal Probleme. Ich habe es so verstanden, dass sie sich in einer toxischen Beziehung mit dem Mann befindet. Oberarzt: Genau. „On off“ heißt: Manchmal sind sie ein Paar, manchmal sind sie getrennt, immer im Wechsel. Arzt: Ja, toxisch. Oberarzt: Nun, das ist Ihre Beurteilung. Arzt: An Vorerkrankungen ist eine Hypothyreose bekannt, seit sie siebzehn Jahre alt ist. Und dagegen nimmt sie L-Thyroxin 15 µg. Und sie wurde einmal operiert, eine Schönheits-OP ihrer Nase, mit neunzehn. In der Familienanamnese fand sich Diabetes mellitus bei der Mutter, sie spritzt Insulin. Und Grauer Star beim Vater. Oberarzt: Was ist das? Arzt: Der Fachbegriff fällt mir gerade nicht ein, sorry. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Wie lautet der Fachbegriff? Oberarzt: Katarakt. Arzt: Ach ja, danke. Sie ist Einzelkind, hat also keine Geschwister. Sie ist allergisch gegen Nüsse. Sie ist vollständig geimpft, auch ein Mal gegen Covid-19. In der Noxenanamnese ergab sich ein Nikotinkonsum von zwei bis drei Zigaretten bei Gelegenheit sowie Alkoholkonsum, aber sie trinke nicht jedes Wochenende. Drogenkonsum wurde verneint – bis auf dieses Mal. Ich gehe von einer Metamphethamin-Intoxikation aus. Differentialdiagnostisch ist eine Rhythmusstörung auszuschließen. Basisdiagnostisch mache ich eine körperliche Untersuchung, eine Blutabnahme, eine Überprüfung von Elektrolyten und Blutgasen, um zu sehen, ob eine Azidose besteht oder nicht. Sie hat auch viel geschwitzt. Oberarzt: Können wir denn auch diesen Ecstasykonsum verifizieren? Arzt: Ja, mittels einer toxikologischen Blutabnahme vielleicht? Oberarzt: Gibt es noch andere Möglichkeiten? Arzt: Im Urin? Oberarzt: Ja, Genau. Arzt: Was noch? Eine Infusiontherapie, um den Mangel an Elektrolyten und Flüssigkeit auszugleichen. Man könnte auch eine Magenspülung machen. Aber in diesem Fall ist es noch nicht notwendig. Oberarzt: Wie ist denn die Prognose? Arzt: Ja, die Prognose ist gut, denke ich. Die Patientin hat ein bisschen übertrieben wegen der Angst und weil sie es zum ersten Mal ausprobiert hat. Oberarzt: Wie kann man denn Patienten behandeln, die sehr agitiert sind, sehr unruhig, sehr ängstlich. Kennen Sie Medikamente, die stark, beruhigend und angstlösend wirken? Arzt: Benzodiazepine? Oberarzt: Ja. Sehr gut. Vielen Dank. Arzt: Ganz meinerseits. [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] == (Gisela Reuters) == === b. === Hallo, schönen guten Tag, Frau Oberärztin, ich habe eine neue Patientin und würde ihren Fall gern mit Ihnen besprechen. Hätten Sie kurz Zeit? ''Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los.'' Es geht um Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund vor 1,5 Stunden plötzlich aufgetretener, umbilikaler, progredienter, postprandialer Schmerzen, ohne Linderung nach Ibuprofeneinnahme. Sie habe vor 10 Tagen schon einmal ähnliche Beschwerden gehabt. Begleitend fand sich: Obstipation seit 3 Tagen, Meteorismus, Völlegefühl, Hyperhidrose, Tachykardie und Tinnitus. Die vegetative Anamnese ist unauffällig, bis auf Inappetenz und stressbedingte Insomnie. Sie sei in den Wechseljahren. Es sei eine Penicillin-Allergie bekannt, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußern würde. Sie hat Vorhofflimmern seit 5 Jahren und vor 20 Jahren hatte sie einen Ikterus nach einer Marokkoreise. An Medikamenten nehme sie: Metoprolol und Marcumar regelmäßig sowie ACC bei Bedarf. Bei der Patientin wurde mit 14 Jahren eine Appendektomie durchgeführt. Sie hatte auch eine Inguinalhernie und eine Fußknochenfraktur wegen eines Fahrradunfalls. Sie rauche 20 Zigaretten pro Tag seit 20 Jahren und trinke 1-2 Flaschen Bier am Wochenende. Die Familienanamnese ergab Folgendes: Die Mutter leide an arterieller Hypertonie und Diabetes mellitus, der Vater sei mit 58 Jahren an einem Herzinfarkt gestorben. Eine ihrer Schwestern sei bei einem Sportunfall ums Leben gekommen, die andere habe eine Nierenerkrankung. Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf einem Mesenterialinfarkt hin. An Differenzialdiagnosen kommen folgende in Betracht: eine Appendizitis, vielleicht eine Cholezystitis. Zur weiteren Abklärung führe ich folgende Maßnahmen durch: eine körperliche Untersuchung, Blutabnahme, Blutbild (Koagulationswerte), Abdomen Angiographie mit Kontrastmittel. Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: Koagulationskorrektur, Thrombektomie, ein kardiologisches Konsil - ja, was war alles. ''Oberärztin: Vielen Dank. Welche Risikofaktoren hat diese Patientin?'' Als Risikofaktoren kommen folgende in Betracht: Vorhofflimmern, arterielle Hypertonie in der Vorgeschichte der Patientin, dazu Adipositas. Es könnte auch eine Hyperlipidämie sein. Auch hormonelle Veränderungen aufgrund der Menopause könnten bei der Gerinnung eine Rolle spielen. ''Oberärztin: Welche Komplikationen können hier auftreten?'' Die Patientin hat schon seit 3 Tagen Obstipation, daher ist an einen Ileus zu denken, und bei der körperlichen Untersuchung können wir dumpfe Bauchgeräusche hören. ''Oberärztin: Was wäre im Verlauf die schlimmste Komplikation?'' Es könnte einen Apoplex auslösen. ''Oberärztin: Aha, Sie denken an das Neuro-System. Und im System Gastro?'' Eine Darmnekrose, die zu einer Peritonitis mit Sepsis führen könnte. ''Oberärztin: Was würden Sie der Patientin zur Prophylaxe geben?'' Antibiotika. ''Oberärztin: Welche weiteren Maßnahmen würden Sie durchführen?'' Ich würde eine regelmäßige INR-Bestimmung machen, um die Koagulationswerte im Auge zu behalten. ''Oberärztin: Und was wäre hier die wichtigste Therapieform?'' Eine Thrombektomie, also ein chirurgischer Eingriff. ''Oberärztin: Wie ist die Prognose, nicht nur für diese Patientin, sondern generell?'' Es hängt von rechtzeitiger Therapie ab. Bei sofortiger Behandlung ist die Prognose günstiger. Bei späterem Behandlungsbeginn treten häufig Komplikationen auf, was oft zu einer ungünstigen Prognose führt, weil die Letalität steigt. ''Oberärztin: Aber warum steigt dann die Letalität?'' Weil solche Komplikationen einen Apoplex im Gehirn verursachen können. ''Oberärztin: Warum im Gehirn?'' Bei unserer Patientin besteht das Problem in den Arterien, denn sie hat seit 5 Jahren Vorhofflimmern. Es könnte deshalb sein, dass eine periphere Ischämie auftritt und ein Thrombus ins Gehirn gelangt. ''Oberärztin: Warum besteht bei dieser Erkrankung ein so hohes Risiko?'' Falls es sich um nicht eingestelltes Vorhofflimmern handelt, treten häufig Komplikationen auf, zum Beispiel eine Embolie. ''Oberärztin: Ich sehe noch ein anderes Problem: Hier könnte ein verstecktes Bauchproblem bestehen, sie nannten schon die Angiographie. Aber in der Klinik ist die Zeit knapp, weshalb wir nicht erst alle Probleme im Bauch ausschließen können. Also bekommen Patienten zuerst eine explorative Laparoskopie, um möglichst schnell den Auslöser zu identifizieren.'' Im aktuellen Fall denke ich, dass eher ein CT mit Kontrastmittel geeignet ist. ''Oberärztin: Nach einer Laparoskopie. Und die häufigste Therapie ist dann die Entfernung des betroffenen Teils des Darms, um mögliche Komplikationen zu vermeiden. Kommen wir nochmal zurück zur körperlichen Untersuchung: Was erwarten Sie bei der Auskultation?'' Ich erwarte fehlende oder weniger starke Bauchgeräusche, wegen des Ileus. ''Oberärztin: Und bei der Perkussion?'' Da rechne ich mit Abwehrspannung und mit Loslassschmerz. Und bei einer Perforation als Komplikation sehen wir Luft im Bauchfell. ''Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Ausführungen.'' Vielen Dank. = Patientenvorstellung 7 = == Frank Boppes == (ohne OA-Fragen) Arzt: Guten Tag, Frau Oberärztin. Oberärztin: Hallo. Arzt: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja, natürlich, bitteschön. Arzt: Es handelt sich um Herrn Frank Boppes, einen 67-jährigen Patienten, geboren am 23.11.1958, einen Meter fünfundachtzig groß [1,85 m], 90 Kilo schwer. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 6 Wochen bestehender, allmählich aufgetretener, progredienter Dysurie. Darüber hinaus klagte er über Unterbauchschmerzen ohne Ausstrahlung. Die Schmerzintensität wurde mit 7 von 10 bewertet. Begleitend liegt Hämaturie vor. Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Nachtschweiß sowie Gewichtsabnahme (8 kg innerhalb von 6 Monaten). An Vorerkrankungen fand sich ein Reizdarmsyndrom seit 15 Jahren, COPD seit 20 Jahren und Prostatahyperplasie seit 4 Jahren. Gegen COPD nimmt er ggf. ein Kortikosteroidspray. Beim Patienten wurde vor zwei Jahren wegen eines Tumors im Rückenbereich eine Operation durchgeführt, die laut Patient komplikationslos war. Familienanamnestisch relevant ist ein Kolonkarzinom beim Vater, mit 65 Jahren daran verstorben. Allergien sind keine bekannt und es besteht eine Milchprodukteunverträglichkeit (Laktoseintoleranz), Nikotinabusus (100 PY). Er trinke ein Glas Rotwein täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Er sei verheiratet und wohne mit seiner Frau zusammen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Prostatakarzinom. <br /> Differenzialdiagnostisch kommen eine benigne Prostatahyperplasie, Harnwegsentzündung, z.B. eine Pyelonephritis, Zystitis. <br /> Basisdiagnostisch würde ich eine körperliche Untersuchung durchführen, Vitalparameter messen und den Patienten inspizieren, palpieren und auskultieren. Die Palpation ist in diesem Fall entscheidend. Zur weiteren Abklärung würde ich Blut abnehmen, um Entzündungswerte zu bestimmen. Im nächsten Schritt würde ich die apparative Diagnostik einsetzen, eine Abdomenspiegelung machen und ein CT. Ah, und für die körperliche Untersuchung ist auch eine digital-rektale Untersuchung notwendig. = Patientenvorstellung 8 = == Ralf Merklinger == mit Dank an I.K. Ärztin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Ärztin: Ich möchte Ihnen einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja natürlich, bitteschön. Ärztin: Es handelt sich um Herrn Ralf Merklinger, 48 Jahre alt. Er stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einer Woche bestehender, anfallsartig auftretender Tachykardie und Palpitation. Zudem berichtete der Patient, dass diese Anfälle einmal pro Tag auftreten und ungefähr 15 Minuten dauern. Sie würden sich spontan zurückbilden. Nach Angaben des Patienten hilft Ablenkung. Begleitend bestehen inspiratorische Dyspnoe, Vertigo, Angstgefühl, Diaphorese und Kontrollverlust. Er berichtete von Angst vor den nächsten Anfällen. Zudem klagte er über Konzentrationsstörungen. Bei ihm liegt auch ein Schuldgefühl und eine depressive Verstimmung vor. Die Frage nach Thoraxschmerzen, nach ähnlichen vorherigen Beschwerden, Suizidgedanken, Derealisation und Depersonalisation wurden verneint. In der vegetativen Anamnese zeigten sich nächtliche Hyperhidrose und beschwerdebedingte Insomnie in Form von Einschlafstörungen. In der Vorgeschichte fand sich Hypothyreose, mit L-Thyroxin 100 mcg behandelt. Es besteht ferner Bruxismus seit 20 Jahren, weswegen er nachts eine Schiene trägt. Zudem habe er sich mit 22 Jahren eine Tibiafraktur links zugezogen, die operativ behandelt wurde. Erwähnenswert ist, dass er vor einer Woche einen Autounfall erlitten hat, dabei wurde seine Frau verletzt. Sie ist aktuell in einer Klinik und er macht sich Gedanken, ob er sie heute auch wieder besuchen kann, denn er macht sich Vorwürfe und hat Schuldgefühle. Oberärztin: Aha, daher kommen die Schuldgefühle! Was haben Sie dem Patienten empfohlen, bezüglich der Schuldgefühle? Ärztin: Ich habe psychologische Hilfe angeboten und habe versucht, ihm zu erklären, dass ihn keine Schuld trifft und dass es manchmal nicht von einem selbst abhängt, was passiert ist. Ich habe ihm auch empfohlen, offen mit seiner Frau zu sprechen. Oberärztin: Warum haben Sie es ihm angeboten? Ärztin: Er hatte mich danach gefragt, ob er es seiner Frau sagen soll, dass er selbst jetzt auch ärztliche Hilfe benötigt und er sie deshalb wahrscheinlich heute nicht besuchen kann. Denn meiner Meinung nach ist es immer besser, ehrlich zu sein und nichts zu verheimlichen. Oberärztin: Würden Sie den Patienten stationär aufnehmen? Ärztin: Ja, denn es sollte zuerst alles abgeklärt werden. Auch organische Ursachen müssen ausgeschlossen werden, etwa eine koronare Herzkrankheit. Deshalb habe ich gezielt nach Thoraxschmerzen gefragt und danach, ob sie in Ruhe oder bei Belastung auftreten und ob er so etwas schon einmal hatte. Oberärztin: Ja, ok. Welche Laborwerte würden Sie anordnen? Ärztin: Bei diesem Fall beginne ich mit hochsensitivem Troponin-T und I, um einen Myokardinfarkt auszuschließen. Zudem überprüfe ich weitere Parameter, wie D-Dimere, um eine Lungenembolie auszuschließen und weitere Parameter wie Nierenwerte, Entzündungsparameter, für die Einschätzung des Allgemeinzustands. Oberärztin: Welche Rolle spielen die Informationen aus der Medikamentenanamnese? Ärztin: Ah ja, es ist wichtig, auch TSH und freie T4 und freie T3 zu bestimmen, da eine Überdosierung von L-Thyroxin die Ursache sein könnte. Also sollten auch die Schilddrüsenhormone bestimmt werden. Oberärztin: Gut. Welche Therapie würden Sie vorschlagen? Ärztin: Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, würde ich zuerst ein psychologisches bzw. ein psychiatrisches Konsil anraten. Hier kommt eine kognitive Verhaltenstherapie in Frage, um Denkmuster zu erkennen, sie zu bearbeiten und zu verändern. Falls nötig, kann auch eine Antidepressiva-Therapie eingesetzt werden. Zuerst müssen wir dem Patienten einen Fragebogen anbieten und dann sehen wir, ob es auch um eine Depression geht. Oberärztin: Wie kommen Sie auf Depression? Ärztin: Depressionen können auftreten, wenn ein Patient ein traumatisches Erlebnis hatte. Und er hat Schuldgefühle. Und seiner Frau sei eine depressive Stimmung an ihm aufgefallen. Deshalb müssen wir das ernst nehmen. Oberärztin: Vielen Dank, dann verfahren Sie bitte so. = Patientenvorstellung 9 = [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] == Sina Gowitz == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) Ä: Ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben aufgenommen habe. Es geht um eine zweiundzwanzigjährige Patientin, sie heißt Sina Gowitz, geboren am vierzehnten Vierten zweitausendzwei [14.4.2002], relativ groß, eins fünfundachtzig, und achtzig Kilo schwer. Die Patientin stellte sich eigenständig bei uns vor mit starken Bauchschmerzen, vor allem im rechten Unterbauch lokalisiert. Anfangs seien die Schmerzen aber eher so in der Mitte gewesen, also im Epigastrium. Außerdem habe sie Fieber und Durchfall, wobei sie angab, dass sie beides auch schon vor zwei Wochen mal gehabt habe und zwischenzeitlich symptomfrei gewesen sei. Außerdem habe sie vor zwei Wochen einen eitrigen vaginalen Ausfluss gehabt, der auch behandelt worden sei. Der Zyklus sei generell unregelmäßig bei ihr. Sie gab an, dass es nicht möglich sei, dass sie schwanger wäre, denn sie habe keinen Geschlechtsverkehr. Die Schmerzintensität bewertete die Patientin mit initial acht von zehn. Nach Medikation mit Novalgin intravenös war das dann noch bei sechs von zehn. An Vorerkrankungen sind so unspezifische Abdominalsymptome bekannt. Es sei laut Hausärztin fraglich, ob das vielleicht ein Reizdarmsyndrom sei. Es wurde aber wohl keine Koloskopie bislang durchgeführt. Außerdem hat die Patientin Asthma und hatte mal eine Urolithiasis mit achtzehn. Sie hat sich auch mal eine Tibiafraktur zugezogen, die operativ versorgt wurde, das Osteosynthesematerial sei noch einliegend. Und bei ihr wurde eine Tonsillektomie durchgeführt. Wann, weiß ich leider nicht genau, denn dazu machte die Patientin keine Angaben. Medikation nimmt die Patientin nur bei Bedarf. Zum einen Atrovent Spray gegen das Asthma und Duspatal Tabletten gegen die Verstopfung. Unsere Patientin ist Studentin, studiert Physik, lebt in einer Sechser-WG, in der ansonsten niemand ähnliche Beschwerden habe. Sie spielt Basketball und war vor Kurzem in Belgien. Das ist aber, denke ich, nicht besonders relevant. Der Impfstatus sei vollständig. Sie hat vor allem FSME im März aufgefrischt. Zur Familienanamnese ist bei der Mutter eine Herzinsuffizienz bekannt. Auch der Bruder hat wohl eine Herzerkrankung, die sie nicht näher benennen konnte. Beim Vater ist Morbus Bechterew bekannt und auch beim Großvater väterlicherseits. Zu den Noxen: Die Patientin ist Nichtraucherin, sie trinkt gelegentlich Alkohol, im Sommer häufiger mal, und sie hat einmalig Cannabis ausprobiert. An Allergien ist eine Amoxicillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe äußert, und sie vertrage einige Früchte nicht, zum Beispiel Äpfel, Kiwi und Ananas. Es fragt sich, ob es sich hier um eine Allergie handelt. Aufgrund der anamnestischen Angaben und auch der wirklich starken Abdominalschmerzen gehe ich aktuell von einer Appendizitis aus. Differentialdiagnostisch müssen wir auch an eine gynäkologische Erkrankung denken, zum Beispiel an eine Adnexitis, eine obturierte Ovarialzyste oder eine, ja, vielleicht sexuell übertragbare Erkrankung. Es könnte auch eine akute Gastroenteritis sein. Als Diagnostik empfehle ich natürlich eine ausführliche körperliche Untersuchung, wobei wir auf die Appendizitiszeichen achten, dann eine Sonografie des Abdomens. Hier suchen wir nach einem sogenannten Kokardenphänomen im rechten Unterbauch. Zu den Laborwerten: Bei einer Appendizitis erwarte ich eine Leukozytose, ein erhöhtes CAP, eine erhöhte BSG und eventuell auch erhöhtes Procalcitonin. Falls der sonographische Befund unklar ist, könnte man auch ein CT Abdomen erwägen. Und wenn ja, wenn wir Hinweise auf eine akute Appendizitis haben, würden wir in jedem Fall, denk ich, eine operative Behandlung empfehlen, also eine laparoskopische Appendektomie. Hätten Sie dazu noch Fragen? OÄ: Könnten Sie bitte diese spezifischen ultrasonographischen Befunde erklären? Was ist ein Kokardenphänomen genau? Ä: Das Kokardenphänomen? Ja, also dieser Wurmfortsatz am Zirkum stellt sich bei einer akuten Appendizitis verdickt dar. Wir sehen deutlich die Wand der Appendix und häufig auch ein Begleitödem. Und wenn wir das sonographisch feststellen können, dann ist das ein deutlicher Hinweis auf eine Appendizitis. Manchmal sehen wir auch begleitend eine Lymphadenopathie, also eine abdominelle Lymphadenopathie, das ist auch ganz typisch, glaube ich. OÄ: Ist ein Appendix generell im Ultraschall zu sehen? Ä: Nein, eigentlich nicht, das heißt, wenn wir die Appendix sehen, dann ist das schon ein Hinweis auf eine Appendizitis. OÄ: Ja. Soweit mal, vielen Dank. Ä: Ich habe zu danken. 5jorjxcnd1rld5czodsbf9qbhiy8t0z 106 160377 1076810 1076709 2026-04-11T07:10:10Z Bocardodarapti 2041 1076810 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20{{{opt|}}} |Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe|p||| |Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} beanflvnrdbrsr3eu71vbax0m4o9k69 0 163852 1076755 1076249 2026-04-10T14:11:59Z C.Koltzenburg 13981 1076755 wikitext text/x-wiki * Siehe auch [[Anamneseberichte|Anamneseberichte]] --[[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Patientenvorstellungen]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] Hier stehen erste Sätze aus verschiedenen Anamneseberichten. Um welche VD könnte es jeweils gehen? Welche DD kommen in Betracht? Üben Sie allein oder im Gespräch mit anderen. Viel Erfolg! = Rätsel 31 = Frau Burmeister, 78 Jahre, kam heute aus einem Altenpflegeheim mit massivem schwallartigen Erbrechen und wässriger Diarrhö zu uns. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 30 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit 6 Monaten bestehender dumpfer Knieschmerzen beidseitig (7/10 NRS), ohne Ausstrahlung. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 29 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Morgen bestehender akuter Tachykardie, Visusminderung und Tremor sowie Kälteintoleranz. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 28 = Frau X kam heute per RTW zu uns aufgrund seit 3 Tagen bestehender akuter dumpfer Oberbauchschmerzen links (7/10 NRS), ohne Ausstrahlung, von Tachykardie (seit dem Vortag), Husten (seit 2 Tagen), Beinödemen (abends) und Visusminderung (seit 2 Stunden) begleitet. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 27 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Tagen bestehender stechender Bauchschmerzen mittig (7-9/10 NRS), ohne Ausstrahlung, die sich nach Mahlzeiten verstärken. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 26 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einem Monat bestehenden anfallartigen nächtlichen Hustens mit schleimigem Sputum. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 25 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Tagen bestehender, plötzlich aufgetretener dumpfer Unterbauchschmerzen in der Mitte und links, mit Ausstrahlung in die linke Leiste. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 24 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit drei Wochen bestehenden, anfallartigen, produktiven Hustens sowie expiratorischer Dyspnoe. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 23 = VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 22 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Stunden bestehender, plötzlich aufgetretener, postprandialer, progredienter, krampfartiger Schmerzen im Epigastrium, mit Ausstrahlung nach rechts. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 21 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 2 Tagen bestehenden, plötzlich aufgetretenen trockenen Hustens sowie Abgeschlagenheit. Begleitend bestehen ziehende Toraxalgie beim Husten, Tachykardie und inspiratorische Dyspnoe. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 20 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Monaten bestehender, allmählich aufgetretener, postprandialer, brennender Oberbauchschmerzen links. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 19 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einer Woche bestehender, plötzlich aufgetretener, ziehender Unterbauchschmerzen in der Mitte. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 18 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Wochen bestehender, plötzlich aufgetretener, progredienter, stechender, postprandialer epigastrischer Schmerzen. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 17 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 24 Stunden bestehender, allmählich aufgetretener, progredienter, schneidender, diffuser Bauchschmerzen. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 16 = Herr X kam heute zu uns aufgrund seit 2 Monaten bestehender, indolenter, intermittierender Hämaturie, begleitet von Ödemen in den unteren Extremitäten. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 15 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 2 Jahren bestehenden ständigen produktiven Hustens mit weiß-gelblichem Sputum. Laut Patientin ist der Husten seit paar Tagen schlimmer. Begleitend besteht inspiratorische Dyspnoe. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 14 = Herr X kam zu uns aufgrund seit 5 Stunden bestehender, akuter, progredienter, drückender, kolikartiger Oberbauchschmerzen rechts. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 13 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit gestern bestehenden Hustens mit bräunlichem Sputum, inspiratorischer Dyspnoe sowie Fieber 39° C Grad (axillar gemesen). Außerdem berichtete die Patientin, Tachykardie und Thorakalgie, sowie Abgeschlagenheit seit 3-4 Tagen zu haben. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 12 = Herr x stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit gestern Nacht bestehenden, plötzlich aufgetretenen, anfallsartigen thorakalen Engegefühls sowie produktiven Hustens mit schleimigem, transparentem und zähem Sputum. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 11 = Frau x kam zu uns aufgrund seit vorgestern bestehender, erstmaliger, progedienter, stechender Bauchschmerzen (NRS 7/10) im unteren linken Quadranten, die sich beim Gehen verschlimmern, sich bei Wärme oder beim Vorbeugen verbessern und bis in den Rücken ausstrahlen. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 10 = Herr X stellte heute bei uns vor aufgrund seit 2 Stunden bestehender, plötzlich aufgetretener Thorakalgie links sowie Dyspnoe. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 9 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit einem Monat bestehender, dumpfer Schmerzen im ganzen Bauch, ohne Ausstrahlung, begleitet von progredienter Blähung, Übelkeit und Gewichtszunahme. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 8 = Herr X kam heute zu uns aufgrund seit 1 Stunde bestehender, stechender, progredienter, retrosternaler Schmerzen mit Ausstrahlung in den Rücken und den Bauch, begleitet von Dyspnoe und Tachykardie. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 7 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit 3 Tagen bestehender, progredienter, atemabhängiger Thoraxschmerzen links, mit Ausstrahlung in den linken Arm, begleitet von Tachykardie, Pyrexie und Husten. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 6 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einem Jahr bestehender Nykturie (müsse alle 2 Stunden nachts urinieren), sowie progredienter Harninkontinenz. Außerdem gab der Patient an, beim Wasserlassen die Harnblase nicht vollständig entleeren zu können und deswegen ein drückendes Gefühl im Becken zu haben. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 5 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit 2 Wochen bestehender, tastbarer, druckdolenter Raumforderung in der rechten Brust mit weiß-krümeligem Sekret. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 4 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 2 Wochen bestehender, allmählich aufgetretener, progredienter, kolikartiger Oberbauchschmerzen links. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 3 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit einer halben Stunde bestehender, zunehmender, stechender, belastungsabhängiger Schmerzen im rechten Unterschenkel, mit Ausstrahlung in den rechten Fuß. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 2 = Herr X kam heute notfallmäßig zu uns aufgrund vor 2 Stunden plötzlich aufgetretenen einmaligen, stechenden, dumpfen thorakalen Engegefühls, mit Ausstrahlung in den rechten Unterkiefer. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 1 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit dem Vortag bestehender, progredienter, anfallsartiger, pulsierender Cephalgie in der ganzen rechten Gesichtshälfte. VD: ...? DDs: ...? 8u8r0lmuuyknhpkkz0v5aqgy6wbqti1 1076756 1076755 2026-04-10T14:12:11Z C.Koltzenburg 13981 1076756 wikitext text/x-wiki * Siehe auch [[Anamneseberichte|Anamneseberichte]] --[[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Patientenvorstellungen]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] Hier stehen erste Sätze aus verschiedenen Anamneseberichten. Um welche VD könnte es jeweils gehen? Welche DD kommen in Betracht? Üben Sie allein oder im Gespräch mit anderen. Viel Erfolg! = Rätsel 31 = Frau Burmeister, 78 Jahre, kam heute aus einem Altenpflegeheim mit massivem schwallartigen Erbrechen und wässriger Diarrhö zu uns. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 30 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit 6 Monaten bestehender dumpfer Knieschmerzen beidseitig (7/10 NRS), ohne Ausstrahlung. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 29 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Morgen bestehender akuter Tachykardie, Visusminderung und Tremor sowie Kälteintoleranz. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 28 = Frau X kam heute per RTW zu uns aufgrund seit 3 Tagen bestehender akuter dumpfer Oberbauchschmerzen links (7/10 NRS), ohne Ausstrahlung, von Tachykardie (seit dem Vortag), Husten (seit 2 Tagen), Beinödemen (abends) und Visusminderung (seit 2 Stunden) begleitet. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 27 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Tagen bestehender stechender Bauchschmerzen mittig (7-9/10 NRS), ohne Ausstrahlung, die sich nach Mahlzeiten verstärken. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 26 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einem Monat bestehenden anfallartigen nächtlichen Hustens mit schleimigem Sputum. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 25 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Tagen bestehender, plötzlich aufgetretener dumpfer Unterbauchschmerzen in der Mitte und links, mit Ausstrahlung in die linke Leiste. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 24 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit drei Wochen bestehenden, anfallartigen, produktiven Hustens sowie expiratorischer Dyspnoe. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 23 = VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 22 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Stunden bestehender, plötzlich aufgetretener, postprandialer, progredienter, krampfartiger Schmerzen im Epigastrium, mit Ausstrahlung nach rechts. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 21 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 2 Tagen bestehenden, plötzlich aufgetretenen trockenen Hustens sowie Abgeschlagenheit. Begleitend bestehen ziehende Toraxalgie beim Husten, Tachykardie und inspiratorische Dyspnoe. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 20 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Monaten bestehender, allmählich aufgetretener, postprandialer, brennender Oberbauchschmerzen links. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 19 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einer Woche bestehender, plötzlich aufgetretener, ziehender Unterbauchschmerzen in der Mitte. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 18 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Wochen bestehender, plötzlich aufgetretener, progredienter, stechender, postprandialer epigastrischer Schmerzen. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 17 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 24 Stunden bestehender, allmählich aufgetretener, progredienter, schneidender, diffuser Bauchschmerzen. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 16 = Herr X kam heute zu uns aufgrund seit 2 Monaten bestehender, indolenter, intermittierender Hämaturie, begleitet von Ödemen in den unteren Extremitäten. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 15 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 2 Jahren bestehenden ständigen produktiven Hustens mit weiß-gelblichem Sputum. Laut Patientin ist der Husten seit paar Tagen schlimmer. Begleitend besteht inspiratorische Dyspnoe. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 14 = Herr X kam zu uns aufgrund seit 5 Stunden bestehender, akuter, progredienter, drückender, kolikartiger Oberbauchschmerzen rechts. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 13 = Frau X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit gestern bestehenden Hustens mit bräunlichem Sputum, inspiratorischer Dyspnoe sowie Fieber 39° C Grad (axillar gemesen). Außerdem berichtete die Patientin, Tachykardie und Thorakalgie, sowie Abgeschlagenheit seit 3-4 Tagen zu haben. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 12 = Herr x stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit gestern Nacht bestehenden, plötzlich aufgetretenen, anfallsartigen thorakalen Engegefühls sowie produktiven Hustens mit schleimigem, transparentem und zähem Sputum. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 11 = Frau x kam zu uns aufgrund seit vorgestern bestehender, erstmaliger, progedienter, stechender Bauchschmerzen (NRS 7/10) im unteren linken Quadranten, die sich beim Gehen verschlimmern, sich bei Wärme oder beim Vorbeugen verbessern und bis in den Rücken ausstrahlen. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 10 = Herr X stellte heute bei uns vor aufgrund seit 2 Stunden bestehender, plötzlich aufgetretener Thorakalgie links sowie Dyspnoe. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 9 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit einem Monat bestehender, dumpfer Schmerzen im ganzen Bauch, ohne Ausstrahlung, begleitet von progredienter Blähung, Übelkeit und Gewichtszunahme. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 8 = Herr X kam heute zu uns aufgrund seit 1 Stunde bestehender, stechender, progredienter, retrosternaler Schmerzen mit Ausstrahlung in den Rücken und den Bauch, begleitet von Dyspnoe und Tachykardie. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 7 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit 3 Tagen bestehender, progredienter, atemabhängiger Thoraxschmerzen links, mit Ausstrahlung in den linken Arm, begleitet von Tachykardie, Pyrexie und Husten. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 6 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einem Jahr bestehender Nykturie (müsse alle 2 Stunden nachts urinieren), sowie progredienter Harninkontinenz. Außerdem gab der Patient an, beim Wasserlassen die Harnblase nicht vollständig entleeren zu können und deswegen ein drückendes Gefühl im Becken zu haben. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 5 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit 2 Wochen bestehender, tastbarer, druckdolenter Raumforderung in der rechten Brust mit weiß-krümeligem Sekret. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 4 = Herr X stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 2 Wochen bestehender, allmählich aufgetretener, progredienter, kolikartiger Oberbauchschmerzen links. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 3 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit einer halben Stunde bestehender, zunehmender, stechender, belastungsabhängiger Schmerzen im rechten Unterschenkel, mit Ausstrahlung in den rechten Fuß. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 2 = Herr X kam heute notfallmäßig zu uns aufgrund vor 2 Stunden plötzlich aufgetretenen einmaligen, stechenden, dumpfen thorakalen Engegefühls, mit Ausstrahlung in den rechten Unterkiefer. VD: ...? DDs: ...? = Rätsel 1 = Frau X kam heute zu uns aufgrund seit dem Vortag bestehender, progredienter, anfallsartiger, pulsierender Cephalgie in der ganzen rechten Gesichtshälfte. VD: ...? DDs: ...? 3l3af2fjbnl6wrj5o0nxz9vofrfj4lx 106 168642 1076767 1076355 2026-04-10T15:49:24Z Bocardodarapti 2041 1076767 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Party/Händeschütteln/Gerade Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Tipp: Ein Handschütteln ist eine zweielementige Teilmenge. Es ist hier sinnvoll, dieses doppelt zu zählen und einmal als Paar {{mathl|term= (a, \{a,b\}) |SZ=}} und einmal als {{mathl|term= (b, \{a,b\}) |SZ=}} zu sehen. }} {{ inputaufgabe |Urbildanzahl/Produktmenge/Projektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Urbildanzahl/Additionsabbildung/Bis 5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Urbildanzahl/Multiplikationsabbildung/Bis 5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungsmenge/Ein Element/Auswertung/Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungsmenge/Endliche Definitionsmenge/Zugehörige Verteilungsabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Bijektionen/Abbildungsmengen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungsmenge/Ein Element/Auswertung/Komplement/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fakultät/Iterationen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Induktion/Summe ka k/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fakultät/Entsprechende Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Knopfloch Eisenbeis Vorli/Urlaub/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Bijektive Abbildungen/Auswertung/Faserlemma/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Mengen/Injektive Abbildungen/Anzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Mengen/Injektive und surjektive Abbildungen/Vergleich für kleine Zahlen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schaubild/Netzwerk/Verbindungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Pickel/Ausdrücken/Reihenfolge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zirkeltraining/Reihenfolgen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Räuberbande/Schatztruhe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Komplementbildung/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Potenzmenge/Indikatorfunktion/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Potenzmenge/Anzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Bei der folgenden Aufgabe denke man an {{math|term= A= |SZ=}} Mädchen der Klasse, {{math|term= B= |SZ=}} Jungs der Klasse. {{ inputaufgabe |Menge/Disjunkte_Vereinigung/Bijektion_der_Potenzmengen/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Keine surjektive Abbildung darauf/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Abbildung/Faseranzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizient/Über 2/Summenformel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizient/Rekursiver Zusammenhang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizient/Größenvergleich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizient/Inzidenz/Geburtstagsfeiern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizient/Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizienten/n+1 über k+1 durch Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schachbrett/Teilquadrate/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gitter/Pfade/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Ab 4/n! größer 2^n/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |20 Fakultät durch 10 Fakultät im Quadrat/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Injektive Abbildungen/L und M/Asymptotik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizient/Inzidenzformel/Doppelt/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=Für den zweiten Teil denke man an Geburtstagsparties im Sinne von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Binomialkoeffizient/Inzidenz/Geburtstagsfeiern/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Adventskranz/Zündreihenfolge/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilmengen gerader und ungerader Mächtigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 7xyab5855octsi77fp10oobv5ihcb7e 106 168644 1076778 1072661 2026-04-10T16:08:53Z Bocardodarapti 2041 1076778 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Zwei Elemente/Körper/Keine umgekehrte Distribution/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganze Zahlen/Betrag der Differenz/Strukturelle Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Arithmetisches Mittel auf Geraden/Nicht assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Arithmetisches Mittel auf Geraden/Nicht assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Tabelle/4/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzmenge/Assoziativität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweielementige Menge/Verknüpfungstabelle für Vereinigung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungsmonoid/0,1/Verknüpfungstabelle und Untermonoide/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Monoidhomomorphismus/Definition|}} {{ inputaufgabekommentar |Monoid/Cayley/Abbildungsmonoid/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Surjektive Abbildung/Übertragung der Assoziativität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Rechnung/3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Rechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Dreiersumme/Zweite Potenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Distributivgesetz/Rechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Summe und Produkt von polynomialen Ausdrücken/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Numbered cake pops|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Numbered_cake_pops |Text= |Autor= |Benutzer=Flickr upload bot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} Bei einer Summe oder einem Produkt von mehreren Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Elementen eines kommutativen Halbringes| |ISZ=|ESZ= }} ist es nicht immer sinnvoll, eine feste Reihenfolge der Indexmenge zu haben. Häufig ist es besser, die Reihenfolge zu wechseln und oft gibt es gar keine natürliche Reihenfolge. Man muss sich zuerst klar machen, dass die Summe nicht von der Reihenfolge abhängt. Die Argumente sind ähnlich wie im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Menge/1 bis k/Eins heraus/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabekommentar |Kommutativer Halbring/Summe und Produkt/Beliebige Indexmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Distributivgesetz/Mehrfaches Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/0 mal Einsersumme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Produkthalbring/N^2/Komponentenweise/Integrität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Für die folgenden Aufgaben ist die allgemeine binomische Formel hilfreich. {{ inputaufgabe |Induktionsaufgabe/3^n \geq n^4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abschätzung/n hoch n+1 und n+1 hoch n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/4 Faktoren/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreielementige Menge/Abbildungsmenge/Verknüpfungstabelle/Programm/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Addition und Potenzierung/Halbringeigenschaften/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Rechnung/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische Formel/Vierte Potenz/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} hc7jhssrsjuamrzskd977y1w69zozc9 106 168809 1076754 1073141 2026-04-10T12:26:49Z Bocardodarapti 2041 1076754 wikitext text/x-wiki Vorlesungen Dienstag: 16:00 - 18:00, 93/E44 Freitag: 12:00 - 14:00, 93/E06 <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Information]]</noinclude> gfux6rzj331a3wbxa7dfwhfrixxbvow 106 169974 1076819 1076451 2026-04-11T07:32:58Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1076819 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg ist und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Eine <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>a_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>a_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dt \, dr = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] fc0s7sgiww8ldib7cdhitjk8ubs2dx5 106 170010 1076768 1076753 2026-04-10T15:55:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral */ 1076768 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> ist für orientierte Fläche <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === === Beweisschritt 3 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 633dtrkucpyy4ywnfk8cp6eelj05hw9 1076769 1076768 2026-04-10T15:56:30Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche */ 1076769 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> ist für orientierte Fläche <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === === Beweisschritt 3 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] joddnpvdv5skafukrftb1nai8ajqw7s 1076770 1076769 2026-04-10T15:59:21Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral */ 1076770 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> ist für [[orientierte Fläche]] <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === === Beweisschritt 3 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] oz34s3nxdmpmlgsa0cqjomdx2p8bdfk 1076773 1076770 2026-04-10T16:02:25Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals */ 1076773 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> ist für [[orientierte Fläche]] <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Mengen (also inbesondere konvexen Mengen) eine Stammfunktion. Ist <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: === Beweisschritt 3 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 7k7odve82b38h17t8nqnh955pml92bf 1076782 1076773 2026-04-11T04:51:36Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral */ 1076782 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Mengen (also inbesondere konvexen Mengen) eine Stammfunktion. Ist <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: === Beweisschritt 3 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 8si581u4rckmnocu4qlinyzd7518qrr 1076783 1076782 2026-04-11T04:53:59Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals */ 1076783 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: === Beweisschritt 3 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 740zrvj9ppryfi6vxpy6bc7slnkv0od 1076784 1076783 2026-04-11T04:58:09Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals */ 1076784 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] s993uy8lovqjc17hojelvvfkt7rerp6 1076785 1076784 2026-04-11T05:06:39Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals */ 1076785 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] a1w3nne9vb5z36j3k1qtixamhgxav64 1076786 1076785 2026-04-11T05:23:24Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Berechnung des äußeren Wegintegrals */ 1076786 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung in Beweisschritt 3 einsetzt, erhält man: === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] ax9p2n6ld7xrma2v9xyokgxd9c8hws5 1076787 1076786 2026-04-11T05:24:04Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals */ 1076787 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung aus Beweisschritt 3 in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] homhukdipja37dzr5ew768h5wzwr2fs 1076788 1076787 2026-04-11T05:32:36Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals */ 1076788 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) \\ & = & F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) + F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4) -F(z_3) -F(z_2) + F(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F</math>. Das Flächenintegral ist auch [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 3a2s2yr4exd1rnz34vrp6k7zilrqwpn 1076789 1076788 2026-04-11T05:36:14Z Bert Niehaus 20843 /* Notation - Wegintegral - Flächenintegral */ 1076789 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) \\ & = & F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) + F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt * für konstante Funktionen immer 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 4ftim428fum27id4kcrj2ryvvyrwnsw 1076790 1076789 2026-04-11T05:38:53Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen */ 1076790 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) \\ & = & F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) + F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächeninhalt für eine Rechteck * für konstante Funktionen nicht 0 ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 9l3x7cdd2wwffonqg0onqmww0uvlt4i 1076791 1076790 2026-04-11T05:40:55Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen */ 1076791 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) \\ & = & F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) + F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] dsbcavb2sy0kprklovpibud9cje7892 1076792 1076791 2026-04-11T05:41:37Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1076792 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) \\ & = & F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) + F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] kxzf4xjefr89epqnxt736z4vf8ieeba 1076799 1076792 2026-04-11T06:11:11Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Lemma für Rechteckintegrale */ 1076799 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 6b24nuj7ckvcx24gqud1u1897mi1zqx 106 170021 1076814 1076430 2026-04-11T07:20:30Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1076814 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] == Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann wird das komplexe Integral über die Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] für die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_2) - F_\Box(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. == Siehe auch == * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 88uldcaclmnl1xcibuymhmxsmu9luj2 1076815 1076814 2026-04-11T07:23:32Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1076815 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] == Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann wird das komplexe Integral über die Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] für die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_2) - F_\Box(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. == Siehe auch == * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ahepc1bbby1gq6h4tr9trlvgbyx9jr1 106 170024 1076794 1076710 2026-04-11T05:44:14Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1076794 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Existenz lokaler Stammfunktionen für eine Funktion <math> f:G\to\mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit der Existenz lokal Stammfunktionen <math>F:D_r(z_o)\to \mathbb{C}</math> mit <math>F' = f</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> ist <math>F</math> und damit auch <math>F' = f</math> auf <math>D_r(z_0)</math>. Da <math>f</math> auf ganz <math>G</math> lokale Stammfunktionen besitzt ist <math>f</math> auch überall komplex differenzierbar und damit holomorph auf <math>G</math>. <span id="DefinitionOrdnung"></span> == Definition - Stammfunktion höherer Ordnung == Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> heißt <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> lokale Stammfunktion der Ordnung <math>k</math>, wenn gilt: * Kreischeibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> mit <math> F_{(0)}:= f </math>, * <math> F_{(1)}:= F </math> ist eine Stammfunktion von <math>f</math> auf <math> D_r(z_o)</math> (d.h. <math>F' = f</math>), * <math> F'_{(i+1)}:= F_{(i)} </math> für alle <math>i \in \{1,\ldots ,k-1\}</math>. === Ableitungen und Stammfunktion === Bezeichnet <math>g^{(k)}:G\to \mathbb{C} </math> die <math>k</math>-te Ableitung einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>g:G\to \mathbb{C} </math>, so kann man für <math>k\in \mathbb{N}_0</math> den folgenden Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen herstellen: :<math> \big(F_{(k)}\big)^{(k)}:= f </math> Dabei gilt <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> gilt im Allgemeinen nicht. === Aufgabe für Studierende === Geben Sie eine Gegenbeispiel für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> an, dass <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> im Allgemeinen nicht gilt. <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)}</math> bezeichnet dabei, dass zunächst die Ableitungen gebildet werden und dann eine Stammfunktionen der Ordnung <math>k</math> gebildet wird. <span id="Satz"></span> == Satz über lokale Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], die auf der Kreisscheibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> die folgende Potenzreihendarstellung besitzt :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n,</math> dann besitzt <math>f</math> lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>, die die folgende [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] für <math>|z-z_o|<r</math> besitzt: :<math>F_{(k)} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k},</math> === Bemerkung - Existenzaussage Stammfunktion k-ter Ordnung === Der obige Satz ist eine Existenzaussage für Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>. Der [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] zeigt dann, dass sich zwei beliebige Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> und <math>\widehat{F_{(k)}}</math> der Ordnung <math>k</math> durch eine Polynom der Ordung <math>k-1\in \mathbb{N}</math> unterscheiden. Für Stammfunktionen <math>F</math> (also Stammfunktion erster Ordnung) unterscheiden sich diese um eine Konstante <math>c\in \mathbb{C}</math>. == Beweis == Der Beweis nutzt die summandenweise Integration, weil die Folge der Partialsummen der Potenzreihe von <math>f</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] konvergiert. Der Beweis gliedert sich in die folgenden beiden Teilaussagen: * '''(B1) Existenz:''' lokale Stammfunktion <math>F_{(1)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> erster Ordnung <math>k=1</math>, * '''(B2) Potenzreihendarstellung:''' die Stammfunktion <math>F_{(k)}</math> der Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> besitzt die angegebene Potenzreihendarstellung und * '''(B3) Konvergenzradius:''' der Konvergenzradius der lokalen Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> entspricht dem Konvergenzradius <math>r > 0</math> der Potenzreihe für <math>f</math>. === Beweis B1 - Existenz === Die Existenzaussage lokaler Stammfunktionen (erster Ordnung) erfolgt über die Cauchy-Integralformel und der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen von der Potenzreihe gegen die Potenzreihe der Stammfunktion. Durch das induktive bilden der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math> aus der Stammfunktion der Ordnung <math>n</math> erhält man die lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebiger Ordnung. ==== Beweisschritt B1.1 - Cauchy-Integralformel ==== Über die Cauchy-Integralformel und die Verwendung des [[Cauchy-Kern]]s kann man die Funktion <math>f</math> lokal auf Kreisscheiben <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> in die folgende Potenzreihe entwickeln: :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \underbrace{ \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{=a_n}(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] ist für einen Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> nach dem [[Identitätssatz]] eindeutig bestimmt. Mit der [[Cauchy-Integralformel|Integralformel]] für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. ==== Beweisschritt B1.2 - Gleichmäßige Konvergenz ==== Analog zum Behandlung der [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung in der Funktionentheorie]] nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Potenzreihe, um die darstellende Potenzreihe für <math>f(z)</math> summandenweise integrieren zu können. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>F(z_o)=0</math>. :<math>F(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1}</math> ==== Beweisschritt B1.3 - Stammfunktion der Ordnung 2 ==== Da auch für <math>F</math> die Partialsummen der Potenzreihe von <math>F</math> wieder gleichmäßig gegen die darstellende Potenzreihe für <math>F(z)</math> konvergieren, kann man auch <math>F</math> summandenweise integrieren. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F_{(2)}</math> von <math>F</math>, die ebenfalls die Eigenschaft <math>F_{(2)}(z_o)=0</math> erfüllt. Die Potenzreihe hat damit die folgende Darstellung: :<math>F_{(2)}(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{(n+1)\cdot (n+2)} \cdot (z-z_o)^{n+2}</math> === Beweisschritt B2 - Stammfunktion beliebig hoher Ordnung === Durch fortgesetzte Integration der Stammfunktion erhält man die Existenz lokaler Stammfunktionen (B1) über Erweiterung mit <math>n!</math> im Bruch <math>\tfrac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}</math>. :<math> \begin{array}{rcl} F_{(k)} & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k} \\ & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k}, \\ \end{array} </math> === Beweisschritt B3 - Konvergenzradius der Stammfunktion höherer Ordnung === In dem Beweiteil B3 wird gezeigt, dass der Konvergenzradius der Stammfunktionen <math> F_{(k)}</math> mit beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der lokalen Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> übereinstimmt. ==== Beweisschritt B3.1 - Definition Konvergenzradius ==== Der Konvergenzradius einer Potenzreihe <math display="inline">f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}</math> ist als das [[w:de:Supremum|Supremum]] aller Zahlen <math>r_z \geq 0</math> definiert, für welche die Potenzreihe für (mindestens) ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z-z_0| = r_z</math> [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]]: :<math>r:=\sup \left\{ |z-z_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\ \text{konvergiert}\right.\right\} </math> Falls <math>f</math> eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] ist, dann konvergiert die Potenzreihe für alle komplexen Zahlen und man definiert den Konvergenzradius dann als unendlich: <math>r := \infty</math>. ==== Beweisschritt B3.2 - Satz von Cauchy-Hadamard ==== Der Konvergenzradius lässt sich mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnen: Es gilt :<math>r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.</math> Dabei setzt man <math>r = 0</math>, falls der [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner gegen <math>+\infty</math> konvergiert, und <math>r = +\infty</math>, falls dieser gegen <math>0</math> strebt. ==== Beweisschritt B3.3 - Anwendung auf Stammfunktion ==== Die Potenzreihendarstellung von <math>F</math> lautet unter Verwendung der Indexverschiebung: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{a_{n-1}}{n}}_{=b_n} \cdot (z-z_o)^n. </math> Mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] erhält man: :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)}.</math> ==== Beweisschritt B3.4 - Analyse des Limes Superior ==== Betrachtet man das Argument des [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner, so erhält man durch Umformung folgende Term: :<math> \sqrt[n]{|b_n|} = \sqrt[n]{\left|\frac{a_{n-1}}{n}\right|} = \frac{\sqrt[n]{|a_{n-1}|}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} </math> Für <math>n\to \infty </math> konvergiert der Term <math>\frac{n-1}{n}</math> gegen 1. ==== Beweisschritt B3.5 - Analyse des Limes Superior ==== Mit den [[w:de:Regel_von_de_L’Hospital|Regel von L’Hospital]] lässt sich zeigen, das der Term <math>\sqrt[n]{n}</math> für <math>n\to \infty </math> ebenfalls gegen 1 konvergiert, denn es gilt bei Lograithmierung des Terms <math>\sqrt[n]{n} > 0</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} \ln (\sqrt[n]{n} ) = \lim_{n\to \infty} \frac{\ln (n)}{n} \,\,\, \stackrel{_{L'Hospital}}{=} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \frac{\tfrac{1}{n}}{1} = 0 </math> Damit gilt für <math>\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}= \lim_{n\to \infty} \exp(\ln (\sqrt[n]{n} )) = \exp(0)=1</math>: ==== Beweisschritt B3.6 - Limes Superior und Konvergenzradius ==== Für den [[w:de:Limes superior|Limes superior]] gilt damit insgesamt: :<math> \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} \right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right) </math> Angewendet auf den Konvergenzradius <math>r_{\!_F}</math> erhält man dann Gleichheit der Konvergenzradien von <math>f</math> und <math>F:</math> :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)} = r.</math> ==== Beweisschritt B3.7 - Konvergenzradius und Limes Superior ==== Durch induktive Anwendung des Vorgehens von B3.1 bis B3.6 auf lokale Stammfunktionen höherer Ordnung erhält man die Aussage, dass die Konvergenzradien von aller Stammfunktionen höherer Ordnung mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] übereinstimmt. <math>\Box</math> === Bemerkung - Holomorphiekriterium === Die Existenz lokaler Stammfunktionen <math>F:D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zu einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit dieser Eigenschaft gilt auf <math>z\in D_r(z_0)</math> auch <math>F'(z) = f(z)</math>. Damit ist auch <math> f</math> auf dem gesamten Gebiet <math>G</math> holomorph. == Siehe auch == * [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Behandlung der Normalverteilung in der Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 6b9pa7f20t9use8m1k2v6n56argw1k1 106 170031 1076817 1075955 2026-04-11T07:29:34Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil */ 1076817 wikitext text/x-wiki == Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Das Rechteck <math>R</math> sei mit <math>a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{R}</math> als <math>R:= [a_1 ,b_1] +i\cdot [a_2,b_2]</math> gegeben. Dann wird das Doppelintegral über Real- und Imaginärteil von <math> f: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math id="Doppelintegral"> \iint_{R} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(x+iy) \, dx\, dy </math> === Bemerkung 1 - Bezug zur mehrdimensionalen Analysis === Die Integration in der mehrdimensionalen Analysis betrachtet integrable Funktionen <math>g: U \to \mathbb{R} </math>, die von <math>U\subseteq \mathbb{R}^n</math> nach <math>\mathbb{R}</math> abbilden. Wenn <math>g \geq 0</math> gilt, kann man das mehrdimensional Integral kann man zwischen :<math>R:= [a_1 ,b_1] \times \ldots \times [b_n,b_n] \subset U</math> und dem Graph von <math>g</math> eingeschlossene Volumen interpretieren. Allgemein ist das oben genannte Doppelintegral ein Spezialfall des Mehrfachintegral in der reellen Analysis: :<math> \int_{a_n}^{b_n} \ldots \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,\ldots ,x_n) \, dx_1\, \ldots \, dx_n </math> === Bemerkung 2 - Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion === Um den Bezug zur reellen Analysis deutlich zu machen, wird <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\mathbb{R}^2</math> identifiziert und die Funktion <math>f</math> in die Realteilfunktion <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> zerlegt: :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei gilt <math> f_{_{\mathbb{R}}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> und die Funktionen <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> sind klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. == Beispiel 1 - Doppelintegral über Rechtecke == Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> == Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben == Wendet man die Definition Doppelintegrals für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> auf die Kreisscheibe <math>D_r(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0= 2+i \not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(x+iy) \, dx \, dy & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} = (3+4i)\cdot 9 \cdot \pi = 27\pi + 36\pi \cdot i \not=0 \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. == Aufgabe für Studierende == Erläutern Sie die Unterschiede in der Integraldefinition von folgenden 3 Integralbegriffen für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math> f : G \to \mathbb{C} </math> auf einem Gebiet <math>G</math>: * [[Wegintegral]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil#Definition|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Wegintegrale und Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] t293r8h55pg8skwsh4aobmb55hp37kx 1076818 1076817 2026-04-11T07:29:54Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1076818 wikitext text/x-wiki == Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Das Rechteck <math>R</math> sei mit <math>a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{R}</math> als <math>R:= [a_1 ,b_1] +i\cdot [a_2,b_2]</math> gegeben. Dann wird das Doppelintegral über Real- und Imaginärteil von <math> f: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math id="Doppelintegral"> \iint_{R} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(x+iy) \, dx\, dy </math> === Bemerkung 1 - Bezug zur mehrdimensionalen Analysis === Die Integration in der mehrdimensionalen Analysis betrachtet integrable Funktionen <math>g: U \to \mathbb{R} </math>, die von <math>U\subseteq \mathbb{R}^n</math> nach <math>\mathbb{R}</math> abbilden. Wenn <math>g \geq 0</math> gilt, kann man das mehrdimensional Integral kann man zwischen :<math>R:= [a_1 ,b_1] \times \ldots \times [b_n,b_n] \subset U</math> und dem Graph von <math>g</math> eingeschlossene Volumen interpretieren. Allgemein ist das oben genannte Doppelintegral ein Spezialfall des Mehrfachintegral in der reellen Analysis: :<math> \int_{a_n}^{b_n} \ldots \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,\ldots ,x_n) \, dx_1\, \ldots \, dx_n </math> === Bemerkung 2 - Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion === Um den Bezug zur reellen Analysis deutlich zu machen, wird <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\mathbb{R}^2</math> identifiziert und die Funktion <math>f</math> in die Realteilfunktion <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> zerlegt: :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei gilt <math> f_{_{\mathbb{R}}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> und die Funktionen <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> sind klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. == Beispiel 1 - Doppelintegral über Rechtecke == Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> == Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben == Wendet man die Definition Doppelintegrals für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> auf die Kreisscheibe <math>D_r(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0= 2+i \not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(x+iy) \, dx \, dy & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} = (3+4i)\cdot 9 \cdot \pi = 27\pi + 36\pi \cdot i \not=0 \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. == Aufgabe für Studierende == Erläutern Sie die Unterschiede in der Integraldefinition von folgenden 3 Integralbegriffen für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math> f : G \to \mathbb{C} </math> auf einem Gebiet <math>G</math>: * [[Wegintegral]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil#Doppelintegral|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Wegintegrale und Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] oaamtecpv52ovqoe2r6njymghbjhkrz 1076820 1076818 2026-04-11T07:34:11Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1076820 wikitext text/x-wiki == Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Das Rechteck <math>R</math> sei mit <math>a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{R}</math> als <math>R:= [a_1 ,b_1] +i\cdot [a_2,b_2]</math> gegeben. Dann wird das Doppelintegral über Real- und Imaginärteil von <math> f: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math id="Doppelintegral"> \iint_{R} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(x+iy) \, dx\, dy </math> === Bemerkung 1 - Bezug zur mehrdimensionalen Analysis === Die Integration in der mehrdimensionalen Analysis betrachtet integrable Funktionen <math>g: U \to \mathbb{R} </math>, die von <math>U\subseteq \mathbb{R}^n</math> nach <math>\mathbb{R}</math> abbilden. Wenn <math>g \geq 0</math> gilt, kann man das mehrdimensional Integral kann man zwischen :<math>R:= [a_1 ,b_1] \times \ldots \times [b_n,b_n] \subset U</math> und dem Graph von <math>g</math> eingeschlossene Volumen interpretieren. Allgemein ist das oben genannte Doppelintegral ein Spezialfall des Mehrfachintegral in der reellen Analysis: :<math> \int_{a_n}^{b_n} \ldots \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,\ldots ,x_n) \, dx_1\, \ldots \, dx_n </math> === Bemerkung 2 - Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion === Um den Bezug zur reellen Analysis deutlich zu machen, wird <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\mathbb{R}^2</math> identifiziert und die Funktion <math>f</math> in die Realteilfunktion <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> zerlegt: :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei gilt <math> f_{_{\mathbb{R}}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> und die Funktionen <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> sind klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. == Beispiel 1 - Doppelintegral über Rechtecke == Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> == Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben == Wendet man die Definition Doppelintegrals für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> auf die Kreisscheibe <math>D_r(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0= 2+i \not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(x+iy) \, dx \, dy & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} = (3+4i)\cdot 9 \cdot \pi = 27\pi + 36\pi \cdot i \not=0 \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. == Aufgabe für Studierende == Erläutern Sie die Unterschiede in der Integraldefinition von folgenden 3 Integralbegriffen für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math> f : G \to \mathbb{C} </math> auf einem Gebiet <math>G</math>: * [[Wegintegral]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil#Doppelintegral|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Wegintegrale und Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] idp2vsvzfjj8mzxyvdjhdgfl7y25tri 106 170061 1076800 1076443 2026-04-11T06:52:23Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenstammfunktion als Wegintegral */ 1076800 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale für Rechtecke]]) zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist nun wiederum ein [[holomorphe Funktion]]. Für diese kann man wieder ein Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Flächenstammfunktion definieren, da <math>G</math> nach Voraussetzung [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> wieder ein konvexes Gebiet. Dann besitzt die holomorphe Funktion <math>F</math> nach dem [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> analog zu Stammfunktion definiert wird. :<math> F_{\Box}(z) = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} F(w)\, dw = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} \,\,\, \underset{\langle z_o,\xi\rangle}{\int} f(\zeta)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z =\langle z_o,z\rangle</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math>. == Taylorentwicklung der Funktionen == Wegen der [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] der Partialsummen der Potenzreihe gegen die Potenzreihe, darf man Grenzwertprozesse vertauschen und summandenweise differenzieren und integrieren. Die Integration liefert zunächst die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Stammfunktion und bei erneuter Intergation die Taylorentwicklung der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion#Definition|Flächenstammfunktion]]. === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] erhält man über summandenweise Integration: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Sei <math>F(z) = \sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Flächenstammfunktion erhält man analog über summandenweise Integration: :<math> F_\Box(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} F(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Konvexkombination]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] swfqwpe6l206egxwt8nwmcyag9wxze7 1076801 1076800 2026-04-11T07:02:37Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenstammfunktion als Wegintegral */ 1076801 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale für Rechtecke]]) zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist nun wiederum ein [[holomorphe Funktion]]. Für diese kann man wieder ein Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Flächenstammfunktion definieren, da <math>G</math> nach Voraussetzung [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> wieder ein konvexes Gebiet. Dann besitzt die holomorphe Funktion <math>F</math> nach dem [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> analog zu Stammfunktion definiert wird. :<math> F_{\Box}(z) = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} F(z_2)\, dz_2 = \underset{\langle z_o,z_2\rangle}{\int} \,\,\, \underset{\langle z_o,z_1\rangle}{\int} f(z_1)\,\, dz_1 \,\, dz_2 </math> Dabei ist <math>\gamma_z =\langle z_o,z\rangle</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math>. === Bemerkung - Stammfunktion höherer Ordnung === Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box = F_{(2)}</math> ist ein Spezialfall von Stammfunktionen <math> F_{(n)}</math> der Ordnung <math>n\in\mathbb{N}</math> für <math>n=2</math>. Die Ordnung <math>n</math> bestimmt die Anzahl der gebildeten Mehrfachintegrale: :<math> F_{(n)}(z) = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} F_{(n-1)}(z_n)\, dz_n = \underset{\langle z_o,z_n\rangle}{\int} \,\ldots \, \underset{\langle z_o,z_1\rangle}{\int} f(z_1)\,\, dz_1 \,\ldots \, dz_n </math> == Taylorentwicklung der Funktionen == Wegen der [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] der Partialsummen der Potenzreihe gegen die Potenzreihe, darf man Grenzwertprozesse vertauschen und summandenweise differenzieren und integrieren. Die Integration liefert zunächst die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Stammfunktion und bei erneuter Intergation die Taylorentwicklung der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion#Definition|Flächenstammfunktion]]. === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] erhält man über summandenweise Integration: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Sei <math>F(z) = \sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Flächenstammfunktion erhält man analog über summandenweise Integration: :<math> F_\Box(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} F(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Konvexkombination]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 2v54axzfv5fml3mc2d3awfsvv2w7ugo 1076802 1076801 2026-04-11T07:04:04Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Stammfunktion höherer Ordnung */ 1076802 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale für Rechtecke]]) zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist nun wiederum ein [[holomorphe Funktion]]. Für diese kann man wieder ein Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Flächenstammfunktion definieren, da <math>G</math> nach Voraussetzung [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> wieder ein konvexes Gebiet. Dann besitzt die holomorphe Funktion <math>F</math> nach dem [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> analog zu Stammfunktion definiert wird. :<math> F_{\Box}(z) = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} F(z_2)\, dz_2 = \underset{\langle z_o,z_2\rangle}{\int} \,\,\, \underset{\langle z_o,z_1\rangle}{\int} f(z_1)\,\, dz_1 \,\, dz_2 </math> Dabei ist <math>\gamma_z =\langle z_o,z\rangle</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math>. === Bemerkung - Stammfunktion höherer Ordnung === Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box = F_{(2)}</math> ist ein Spezialfall von [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math> F_{(n)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|der Ordnung]] <math>n\in\mathbb{N}</math> für <math>n=2</math>. Die Ordnung <math>n</math> bestimmt die Anzahl der gebildeten Mehrfachintegrale: :<math> F_{(n)}(z) = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} F_{(n-1)}(z_n)\, dz_n = \underset{\langle z_o,z_n\rangle}{\int} \,\ldots \, \underset{\langle z_o,z_1\rangle}{\int} f(z_1)\,\, dz_1 \,\ldots \, dz_n </math> == Taylorentwicklung der Funktionen == Wegen der [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] der Partialsummen der Potenzreihe gegen die Potenzreihe, darf man Grenzwertprozesse vertauschen und summandenweise differenzieren und integrieren. Die Integration liefert zunächst die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Stammfunktion und bei erneuter Intergation die Taylorentwicklung der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion#Definition|Flächenstammfunktion]]. === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] erhält man über summandenweise Integration: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Sei <math>F(z) = \sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Flächenstammfunktion erhält man analog über summandenweise Integration: :<math> F_\Box(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} F(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Konvexkombination]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] f5yvwif5kra4qrr6nwf9trumn21z04d 1076804 1076802 2026-04-11T07:06:13Z Bert Niehaus 20843 /* Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion */ 1076804 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale für Rechtecke]]) zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist nun wiederum ein [[holomorphe Funktion]]. Für diese kann man wieder ein Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Flächenstammfunktion definieren, da <math>G</math> nach Voraussetzung [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> wieder ein konvexes Gebiet. Dann besitzt die holomorphe Funktion <math>F</math> nach dem [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> analog zu Stammfunktion definiert wird. :<math> F_{\Box}(z) = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} F(z_2)\, dz_2 = \underset{\langle z_o,z_2\rangle}{\int} \,\,\, \underset{\langle z_o,z_1\rangle}{\int} f(z_1)\,\, dz_1 \,\, dz_2 </math> Dabei ist <math>\gamma_z =\langle z_o,z\rangle</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math>. === Bemerkung - Stammfunktion höherer Ordnung === Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box = F_{(2)}</math> ist ein Spezialfall von [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math> F_{(n)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|der Ordnung]] <math>n\in\mathbb{N}</math> für <math>n=2</math>. Die Ordnung <math>n</math> bestimmt die Anzahl der gebildeten Mehrfachintegrale: :<math> F_{(n)}(z) = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} F_{(n-1)}(z_n)\, dz_n = \underset{\langle z_o,z_n\rangle}{\int} \,\ldots \, \underset{\langle z_o,z_1\rangle}{\int} f(z_1)\,\, dz_1 \,\ldots \, dz_n </math> == Taylorentwicklung der Funktionen == Wegen der [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] der Partialsummen der Potenzreihe gegen die Potenzreihe, darf man Grenzwertprozesse vertauschen und summandenweise differenzieren und integrieren. Die Integration liefert zunächst die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Stammfunktion und bei erneuter Intergation die Taylorentwicklung der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion#Definition|Flächenstammfunktion]]. === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] erhält man über summandenweise Integration: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Sei <math>F(z) = \sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> die [[Holomorphiekriterum für lokale Stammfunktionen| lokale Stammfunktion]] von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Flächenstammfunktion erhält man analog über summandenweise Integration: :<math> F_\Box(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} F(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Konvexkombination]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 8woytvzmin3m66l8hgoi1mlks0ar5xx 1076811 1076804 2026-04-11T07:14:11Z Bert Niehaus 20843 /* Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion */ 1076811 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale für Rechtecke]]) zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist nun wiederum ein [[holomorphe Funktion]]. Für diese kann man wieder ein Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Flächenstammfunktion definieren, da <math>G</math> nach Voraussetzung [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> wieder ein konvexes Gebiet. Dann besitzt die holomorphe Funktion <math>F</math> nach dem [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> analog zu Stammfunktion definiert wird. :<math> F_{\Box}(z) = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} F(z_2)\, dz_2 = \underset{\langle z_o,z_2\rangle}{\int} \,\,\, \underset{\langle z_o,z_1\rangle}{\int} f(z_1)\,\, dz_1 \,\, dz_2 </math> Dabei ist <math>\gamma_z =\langle z_o,z\rangle</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math>. === Bemerkung - Stammfunktion höherer Ordnung === Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box = F_{(2)}</math> ist ein Spezialfall von [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math> F_{(n)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|der Ordnung]] <math>n\in\mathbb{N}</math> für <math>n=2</math>. Die Ordnung <math>n</math> bestimmt die Anzahl der gebildeten Mehrfachintegrale: :<math> F_{(n)}(z) = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} F_{(n-1)}(z_n)\, dz_n = \underset{\langle z_o,z_n\rangle}{\int} \,\ldots \, \underset{\langle z_o,z_1\rangle}{\int} f(z_1)\,\, dz_1 \,\ldots \, dz_n </math> == Taylorentwicklung der Funktionen == Wegen der [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] der Partialsummen der Potenzreihe gegen die Potenzreihe, darf man Grenzwertprozesse vertauschen und summandenweise differenzieren und integrieren. Die Integration liefert zunächst die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Stammfunktion und bei erneuter Intergation die Taylorentwicklung der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion#Definition|Flächenstammfunktion]]. === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] erhält man über summandenweise Integration: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Sei <math>F(z) = \sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> die [[Holomorphiekriterum für lokale Stammfunktionen| lokale Stammfunktion]] von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Flächenstammfunktion erhält man analog über summandenweise Integration: :<math> F_\Box(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} F(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> Die Taylorentwicklung der [[Flächenstammfunktion]] ist ein Spezialfall für [[Stammfunktionen höherer Ordnung]], die durch den [[Satz über lokale Stammfunktionen]] behandelt wird. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Konvexkombination]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 5y943p5g5nqomqx3lkfivqi24dmywbk 1076812 1076811 2026-04-11T07:17:39Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1076812 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenstammfunktionen sind Stammfunktionen zweiter Ordnung (d.h. also eine Stammfunktion der Stammfunktion. Die [[Flächenstammfunktion|Flächentammfunktionen]] dienen dazu, komplexwertige Flächenberechnung für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] (siehe [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale für Rechtecke]]) zunächst auf konvexen Gebieten für elementare Formen zu berechnen. Dabei wird ein Bezug zu [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen und Wegintegralen]] hergestellt. === Stammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist als Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Stammfunktion. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> ein konvexes Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann besitzt <math>f</math> nach dem (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] eine Stammfunktion <math>F: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> wie folgt definiert ist. :<math> F(z) := \int_{\gamma_z} f(\xi)\, d\xi = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> === Flächenstammfunktion als Wegintegral === Die Stammfunktion <math>F(z)</math> ist nun wiederum ein [[holomorphe Funktion]]. Für diese kann man wieder ein Wegintegral von einem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu dem Punkt <math>z\in G</math> als Argument der Flächenstammfunktion definieren, da <math>G</math> nach Voraussetzung [[einfach zusammenhängend]] ist. Im einfachsten Fall ist <math>G</math> wieder ein konvexes Gebiet. Dann besitzt die holomorphe Funktion <math>F</math> nach dem [[Stammfunktion als Wegintegral|Satz über Stammfunktionen als Wegintegrale]] wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box: G \to \mathbb{C}</math> auf <math>G</math>, die als Wegintegral von <math>z_0 \in G</math> nach <math>z</math> analog zu Stammfunktion definiert wird. :<math> F_{\Box}(z) = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} F(z_2)\, dz_2 = \underset{\langle z_o,z_2\rangle}{\int} \,\,\, \underset{\langle z_o,z_1\rangle}{\int} f(z_1)\,\, dz_1 \,\, dz_2 </math> Dabei ist <math>\gamma_z =\langle z_o,z\rangle</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math>. === Bemerkung - Stammfunktion höherer Ordnung === Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box = F_{(2)}</math> ist ein Spezialfall von [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen]] <math> F_{(n)}</math> [[Stammfunktionen höherer Ordnung|der Ordnung]] <math>n\in\mathbb{N}</math> für <math>n=2</math>. Die Ordnung <math>n</math> bestimmt die Anzahl der gebildeten Mehrfachintegrale: :<math> F_{(n)}(z) = \underset{\langle z_o,z\rangle}{\int} F_{(n-1)}(z_n)\, dz_n = \underset{\langle z_o,z_n\rangle}{\int} \,\ldots \, \underset{\langle z_o,z_1\rangle}{\int} f(z_1)\,\, dz_1 \,\ldots \, dz_n </math> == Taylorentwicklung der Funktionen == Wegen der [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßigen Konvergenz]] der Partialsummen der Potenzreihe gegen die Potenzreihe, darf man Grenzwertprozesse vertauschen und summandenweise differenzieren und integrieren. Die Integration liefert zunächst die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Stammfunktion und bei erneuter Intergation die Taylorentwicklung der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion#Definition|Flächenstammfunktion]]. === Taylorentwicklung der Stammfunktion === Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der [[Stammfunktion als Wegintegral]] erhält man über summandenweise Integration: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> <span id="Flaechenstammfunktion"></span> === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Sei <math>F(z) = \sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{(n+1)!} \cdot (z-z_0)^{n+1} </math> die [[Holomorphiekriterum für lokale Stammfunktionen| lokale Stammfunktion]] von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe um <math>z_0\in G</math>. Die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] der Flächenstammfunktion erhält man analog über summandenweise Integration: :<math> F_\Box(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} F(\xi)\, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> Die Taylorentwicklung der [[Flächenstammfunktion]] ist ein Spezialfall für [[Stammfunktionen höherer Ordnung]], die durch den [[Satz über lokale Stammfunktionen]] behandelt wird. == Siehe auch == * [[einfach zusammenhängend]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterum für lokale Stammfunktionen]] * [[Konvexkombination]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] i390mizk4mqpqzdhwkuji3ecv8vaza6 0 170094 1076796 2026-04-11T05:45:56Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen#DefinitionOrdnung]] erstellt 1076796 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen#DefinitionOrdnung]] trjb5g9t3heg0p3osj4d2f5i9uq542i 0 170095 1076807 2026-04-11T07:08:04Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Holomorphie/Kriterien#StammfunktionOrdnung]] erstellt 1076807 wikitext text/x-wiki #REDiRECT[[Holomorphie/Kriterien#StammfunktionOrdnung]] fizo13zt2k0jtfds9xt330f1uqp0bl2