Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.23 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1076999 1076873 2026-04-12T18:09:12Z Bert Niehaus 20843 /* Cauchy-Integralformel CIF */ 1076999 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphiekriterien]] == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] * [[/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale/]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> n6ygvfvjgfrjdwmht76g9sl1owpt011 1077012 1076999 2026-04-12T19:30:49Z Bert Niehaus 20843 /* Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen */ 1077012 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphiekriterien]] == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] * [[/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale/]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 35gg2cl6q9h9iju9wreu2n8s05xsueo 1077013 1077012 2026-04-12T19:31:40Z Bert Niehaus 20843 /* Cauchy-Integralsatz CIS */ 1077013 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] * [[/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale/]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> omwnweeorkzcm6x4akb6wb2a7xnhtr6 1077014 1077013 2026-04-12T19:32:46Z Bert Niehaus 20843 /* Cauchy-Integralformel CIF */ 1077014 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] === Cauchy-Ungleichung und Maximumsprinzip === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] * [[/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale/]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> mamh8qb29enyad8opuzo8kb0taztpiw 1077015 1077014 2026-04-12T19:33:29Z Bert Niehaus 20843 /* Cauchy-Ungleichung und Maximumsprinzip */ 1077015 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] * [[/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale/]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 8jk5tmxnrbtm25bn7c9b1b7xhfrjfg9 1077034 1077015 2026-04-13T06:11:51Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1077034 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale/]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> ftwf3ed3gox1poks1m8uicede449d5o 106 22122 1077085 791382 2026-04-13T08:54:14Z Bocardodarapti 2041 1077085 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblattgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|Aufwärmaufgaben|}} {{ inputaufgabe |Homomorphiesatz/Anwendung auf 1 nach g/Aufgabe|| |ref1= |ref2= |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homomorphiesatz/Gleichmächtige zyklische Gruppen sind isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Homomorphiesatz/Kern des induziertes Homomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primzahl/Homomorphismus Q nach Z/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/10/Explizites Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Bahn als Äquivalenzklasse/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Zyklische Gruppen/Homomorphismen/Surjektiv und injektiv/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Gruppentheorie/Gruppen mit vier Elementen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} In der folgenden Aufgabe wird das {{Stichwort|Zentrum|SZ=}} einer Gruppe verwendet. {{:Gruppentheorie/Zentrum/Definition}} {{ inputaufgabe |Zentrum/Normalteiler/Zusammenhang zu Konjugation/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eigentliche Würfelgruppe/Maximale Kette von Untergruppen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungen/Surjektiv, injektiv, Inverse/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Partition der Grundmenge/Untergruppe/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 74iwrhh9aevma61x5b74z61pici502w 0 23102 1077084 1035956 2026-04-13T08:53:34Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Permutation/Zykel als Äquivalenzklasse/Aufgabe]] nach [[Permutation/Bahn als Äquivalenzklasse/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1035956 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und sei {{ Abbildung |name=\sigma | M | M || |SZ= }} eine Permutation. Definiere{{n Sie}} auf {{math|term= M|SZ=}} die {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=Menge |SZ= }} {{math|term= R|SZ=}} durch {{ Math/display|term= xRy \text{ genau dann, wenn es ein } n \in \Z \text{ gibt mit } y= \sigma^{n} (x) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} ist. Wie sieht es aus, wenn man nur {{math|term= n \in \N|SZ=}} zulässt, und wie, wenn {{math|term= M|SZ=}} endlich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ol4sdxoogcz9ij2i7s09o6wjn1m0ar9 0 23127 1077033 952058 2026-04-13T06:11:51Z Bocardodarapti 2041 1077033 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Gruppe der eigentlichen Bewegungen an einem Würfel. Für eine fixierte Raumdiagonale {{math|term= W |SZ=}} betrachten wir die Untergruppe {{math|term= H |SZ=}} derjenigen Bewegungen, die diese Raumdiagonale in sich überführen. Das sind einerseits die drei Drehungen um diese Achse um {{math|term= 0,120,240 |SZ=}} Grad, andererseits aber auch die drei Halbdrehungen um diejenigen Kantenmittelpunktsachsen, deren Kanten nicht an den Ecken von {{math|term= W |SZ=}} anliegen. Diese drei Halbdrehungen führen ebenfalls {{math|term= W |SZ=}} in sich über, wobei allerdings die Eckpunkte vertauscht werden. Es seien {{math|term= B,G|SZ=}} und {{math|term= R |SZ=}} die drei anderen Raumdiagonalachsen. Dann definiert jede Bewegung aus {{math|term= H |SZ=}} eine Permutation der Menge {{math|term= \{B,G,R\} |SZ=.}} Die beiden Dritteldrehungen definieren dabei die beiden Zyklen {{ mathkor|term1= \langle B,G,R \rangle |und|term2= \langle B,R,G \rangle |SZ=, }} und die drei Halbdrehungen definieren jeweils eine Transposition. Damit ist {{math|term= H |SZ=}} isomorph zu {{math|term= S_3 |SZ=}} und somit ist {{math|term= S_3 |SZ=}} eine Untergruppe der Würfelgruppe. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationsgruppen |Kategorie2=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Würfelgruppe |Objektkategorie2=Die Permutationsgruppe S3 |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k3gxhs2he5ynrpmns02upocbe131dfm 0 25980 1077065 1054365 2026-04-13T06:29:34Z Bocardodarapti 2041 1077065 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4/a |Die Wertetabellen für die angegebenen Permutationen sind {{Wertetabelle8 |text1= {{math|term= x |SZ=}} | A | B | C | D | E | F | G |H |text2= {{math|term= \alpha(x) |SZ=}} | A | D | H | E | B | C | G |F}} {{Wertetabelle8 |text1= {{math|term= x |SZ=}} | A | B | C | D | E | F | G |H |text2= {{math|term= \beta(x) |SZ=}} | C | D | A | B | G | H | E |F}} {{Wertetabelle8 |text1= {{math|term= x |SZ=}} | A | B | C | D | E | F | G |H |text2= {{math|term= \alpha \beta (x) |SZ=}} | H | E | A | D | G | F | B |C}} {{Wertetabelle8 |text1= {{math|term= x |SZ=}} | A | B | C | D | E | F | G |H |text2= {{math|term= \beta \alpha (x) |SZ=}} | C | B | F | G | D | A | E |H}} |Die Drehachse von {{math|term= \alpha \beta |SZ=}} ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte {{ mathkor|term1= D |und|term2= F |SZ= }} und die Drehachse von {{math|term= \beta \alpha |SZ=}} ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte {{ mathkor|term1= B |und|term2= H |SZ=. }} Beides sind Dritteldrehungen, ihre Ordnung ist 3. |Aus der Wertetabelle für {{math|term= \alpha |SZ=}} kann man leicht diejenige für {{math|term= \alpha^2 |SZ=}} errechnen, und damit auch die Zykledarstellung. Diese ist {{ Math/display|term= \langle B, E,D \rangle \langle C,F,H \rangle |SZ=. }} Die Ordnung von {{math|term= \alpha|SZ=}} ist 3, daher ist {{ Relationskette | \alpha^{1001} || \alpha^2 || || || |SZ=. }} |{{math|term= \sigma |SZ=}} stimmt auf den unteren Eckpunkten {{math|term= E,F,G,H |SZ=}} mit der durch {{math|term= \beta|SZ=}} definierten Permutation überein. Würde {{math|term= \sigma |SZ=}} von einer Würfelbewegung {{math|term= \gamma|SZ=}} herrühren, so wäre {{math|term= \beta \gamma^{-1} |SZ=}} die Identität auf der unteren Ebenen und müßte dann überhaupt die Identität sein. Dann wäre {{ Relationskette/display | \beta || \gamma || || || |SZ=, }} was aber wegen {{ Relationskette/display |\beta(A) || C |\neq| B || \gamma(A) |SZ= }} nicht der Fall ist. {{math|term= \sigma |SZ=}} hat die Zyklendarstelung {{ Relationskette/display | \sigma || \langle A,B,C,D \rangle \langle E,G \rangle \langle H,F \rangle || || || |SZ=, }} die wir als Produktdarstellung lesen. Der vordere Zyklus ist als Produkt geschrieben {{ Relationskette/display | \langle A,B,C,D \rangle || \langle B,C \rangle \langle C,D \rangle \langle D,A \rangle || || || |SZ=. }} Insgesamt ist {{math|term= \sigma |SZ=}} das Produkt von {{math|term= 5 |SZ=}} Transpositionen und daher ist das Signum {{math|term= -1 |SZ=.}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m54k3szlni8nle9cwf9yikan2eqhw0v 10 48543 1077099 1076372 2026-04-13T10:42:16Z Bocardodarapti 2041 1077099 wikitext text/x-wiki {{Netz oder Druck| |\thispagestyle{empty} \large}} {{Seitenüberschrift|Diskrete Mathematik - Blätter {{{Blatt1}}} und {{{Blatt2}}} }} {{deckblattabstand}} Abgabegruppe: {{deckblattabstand}} Rückgabe in Tutorium/Übungsgruppe: {{deckblattabstand}} {{#switch: {{#expr: {{{bis1|}}} - {{{von1|}}} + 1}} |2 = {{Wertetabelle2 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |3 = {{Wertetabelle3 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 2 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |4 = {{Wertetabelle4 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 2 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 3 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |5 = {{Wertetabelle5 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 2 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 3 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 4 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |6 = {{Wertetabelle6 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 2 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 3 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 4 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 5 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |7 ={{Wertetabelle7 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 2 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 3 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 4 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 5 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 6 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |8 ={{Wertetabelle8 |text1=Aufgabe |{{{Blatt1}}}.{{{von1}}} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 1 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 2 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 3 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 4 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 5 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 6 }} |{{{Blatt1}}}.{{#expr: {{{von1|}}} + 7 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |#default = }} {{deckblattabstand}} {{#switch: {{#expr: {{{bis2|}}} - {{{von2|}}} + 1}} |2 = {{Wertetabelle2 |text1=Aufgabe |{{{Blatt2}}}.{{{von2}}} |{{{Blatt2}}}.{{#expr: {{{von2|}}} + 1 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |3 = {{Wertetabelle3 |text1=Aufgabe |{{{Blatt2}}}.{{{von2}}} |{{{Blatt2}}}.{{#expr: {{{von2|}}} + 1 }} |{{{Blatt2}}}.{{#expr: {{{von2|}}} + 2 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |4 = {{Wertetabelle4 |text1=Aufgabe |{{{Blatt2}}}.{{{von2}}} |{{{Blatt2}}}.{{#expr: {{{von2|}}} + 1 }} |{{{Blatt2}}}.{{#expr: {{{von2|}}} + 2 }} |{{{Blatt2}}}.{{#expr: {{{von2|}}} + 3 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |5 = {{Wertetabelle5 |text1=Aufgabe |{{{Blatt2}}}.{{{von2}}} 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|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |8 ={{Wertetabelle8 |text1=Aufgabe |{{{Blatt2}}}.{{{von2}}} |{{{Blatt2}}}.{{#expr: {{{von2|}}} + 1 }} |{{{Blatt2}}}.{{#expr: {{{von2|}}} + 2 }} |{{{Blatt2}}}.{{#expr: {{{von2|}}} + 3 }} |{{{Blatt2}}}.{{#expr: {{{von2|}}} + 4 }} |{{{Blatt2}}}.{{#expr: {{{von2|}}} + 5 }} |{{{Blatt2}}}.{{#expr: {{{von2|}}} + 6 }} |{{{Blatt2}}}.{{#expr: {{{von2|}}} + 7 }} |text2=Punkte |\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|\,|}} |#default = }} {{deckblattabstand}} Gesamtpunktzahl: <noinclude>[[Kategorie:Vorlagen zur Kursgestaltung]]</noinclude> buph3r3zz7jyj1n0fqh95h3rmyq7h50 106 60892 1077081 920092 2026-04-13T08:51:15Z Bocardodarapti 2041 1077081 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|18| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln. {{ inputaufgabe |Potenzfunktion/Bestimme Ableitung/x^n/n in N/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Bestimme Ableitung/x^n/n in Z/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Funktion/Bestimme Ableitung/x^(1 durch n)/n in N/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Funktion/Bestimme Ableitung/x^q/q in Q/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ableitung/Direkt/x^3+2x^2-5x+3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |X^2+1/Lineare Tangenten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reeller Absolutbetrag/Nullpunkt/Nicht differenzierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Bestimme Ableitung/x^2+1 durch x^3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Ableitung/Rational/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kettenregel/x^3+4x^2-1 und y^2-y+2/Bestätige/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kettenregel/x^2+5x-2 durch x+1 und y-2 durch y^2+3/Bestätige/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomfunktion/C/Grad d/(d+1)-te Ableitung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ableitung/(g(f(x)))^2f(g(x))/f ist x^2-1 und g ist x+2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Funktion/x mal Betrag x/Differenzierbar, Ableitung nicht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Höhere Ableitungen/R/Höhere Produktregel/Binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Weniger Tangente/Nullpunkt/Zweifache Nullstelle/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/C/Weniger Tangente/Zweifache Nullstelle/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie}} {{ inputaufgabe |Ziffernfolge/Grundschule/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.) }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Bestimme Ableitung/x^2+x-1 durch x^3-x+2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Konjugation/Komplex ableitbar/Bestimme/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ableitung/K/Produkt von n Funktionen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomfunktion/C/(X-a)^n teilt/Ableitungsnullstelle/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/C/Ableitung/Polynom genau dann, wenn eine Ableitung null ist/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernfolge/Grundschule/Abbildung/Eigenschaften/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Weihnachtsaufgabe}} {{ inputaufgabe |Ziffernfolge/Grundschule/Abbildung/Zyklus/Aufgabe|p| |zusatz=(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.) |tipp= }} }} dxqlqj99odvz61fyebefcf6k933b766 0 63998 1077077 1015329 2026-04-13T08:49:53Z Bocardodarapti 2041 1077077 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=f |\N|\N || |SZ=, }} die dem Bildungsgesetz aus {{Aufgabelink |Aufgabeseitenname=Ziffernfolge/Grundschule/Aufgabe }} entspricht. Unter einem {{Betonung|Zyklus}} von {{mathl|term= f }} der Länge {{math|term= n}} verstehen wir ein {{ Relationskette | x | \in | \N || || || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | f^n(x) || x || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathl|term= f^n |SZ=}} bezeichnet die {{mathl|term= n|SZ=-}}te Hintereinanderschaltung von {{mathl|term= f }} mit sich selbst| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette | f^{i}(x) | \neq | x || || || || |SZ= }} ist für {{ Relationskette | i || 1,2 {{kommadots}} n-1 || || || |SZ=. }} Besitzt {{math|term= f |SZ=}} Zyklen der Länge {{ Relationskette | n | \geq | 2 || || || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2=Theorie der Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aah365cdqoetbq3aokgiuj0f1560vxm 1077078 1077077 2026-04-13T08:50:09Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Ziffernfolge/Grundschule/Abbildung/Zykel/Aufgabe]] nach [[Ziffernfolge/Grundschule/Abbildung/Zyklus/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1077077 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=f |\N|\N || |SZ=, }} die dem Bildungsgesetz aus {{Aufgabelink |Aufgabeseitenname=Ziffernfolge/Grundschule/Aufgabe }} entspricht. Unter einem {{Betonung|Zyklus}} von {{mathl|term= f }} der Länge {{math|term= n}} verstehen wir ein {{ Relationskette | x | \in | \N || || || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | f^n(x) || x || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathl|term= f^n |SZ=}} bezeichnet die {{mathl|term= n|SZ=-}}te Hintereinanderschaltung von {{mathl|term= f }} mit sich selbst| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette | f^{i}(x) | \neq | x || || || || |SZ= }} ist für {{ Relationskette | i || 1,2 {{kommadots}} n-1 || || || |SZ=. }} Besitzt {{math|term= f |SZ=}} Zyklen der Länge {{ Relationskette | n | \geq | 2 || || || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2=Theorie der Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aah365cdqoetbq3aokgiuj0f1560vxm 106 64928 1077027 1069573 2026-04-13T06:09:00Z Bocardodarapti 2041 1077027 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Vorlesungsgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Isomorphie und elementare Äquivalenz im endlichen Fall}} {{ inputbeispiel |Ein Funktionssymbol/Bijektiv/Permutation/Zyklus/Beispiel|| }} Aus den Überlegungen der letzten Vorlesung erhalten wir das folgende Resultat. Im Beweis arbeiten wir mit folgender Definition. {{ inputdefinition |Modell/Teilmenge/Funktional abgeschlossen/Definition|| }} Unter einem {{Stichwort|formal-zusammengesetzten Funktionssymbol|msw=formal-zusammengesetztes Funktionssymbol|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Funktionssymbolbaum|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} versteht man die Elemente der folgenden rekursiv festgelegten Menge {{ Zusatz/Klammer |text=innerhalb der Menge von Stammbäumen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung2 |Jedes Funktionssymbol {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Konstanten| |ISZ=|ESZ= }} gehört dazu. |Wenn {{math|term= f|SZ=}} ein {{math|term= k|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol ist und {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_k |SZ=}} formal-zusammengesetzte Funktionssymbole, so ist auch der Stammbaum {{ Zusatz/Klammer |text=nicht die Symbolkette| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= fF_1 \ldots F_k |SZ=}} ein formal-zusammengesetztes Funktionssymbol. }} Bei einer Interpretation mit Grundmenge {{math|term= M|SZ=}} wird ein formal-zusammengesetztes Funktionssymbol {{math|term= F|SZ=}} als Hintereinanderschaltung der beteiligten Abbildungen interpretiert, wofür wir wieder {{math|term= F^M|SZ=}} schreiben. Eine funktional abgeschlossene Menge ist auch unter jeder formal-zusammengesetzten Funktion abgeschlossen, und zu einer Startmenge {{mathl|term= U \subseteq M|SZ=}} besteht die kleinste funktional abgeschlossene Teilmenge, die {{math|term= U|SZ=}} enthält, genau aus den Werten der formal-zusammengesetzten Funktionen mit Argumenten aus {{math|term= U|SZ=.}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Stichwort|funktionale Hülle|SZ=}} von {{math|term= U|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|Nichtstandardmodelle}} {{ inputdefinition |Modell/Nichtstandardmodell/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Modell/Nichtstandardmodell/Sprachgebrauch/Bemerkung|| }} Es ist keineswegs selbstverständlich, dass es Nichtstandardmodelle gibt. Dies ergibt sich, und zwar ganz allgemein für jede unendliche Struktur, aus einer Reihe von Überlegungen, die an den Vollständigkeitssatz anschließen. Ein wesentlicher Punkt ist dabei, dass man zwar die Unendlichkeit eines Modells durch ein erststufiges Axiomenschema beschreiben kann, nicht aber erststufig verschiedene Mächtigkeiten unterscheiden kann. Zu {{mathl|term= n\in \N|SZ=}} beschreibt die Aussage {{ Relationskette/display | \alpha_n || \exists x_1 \ldots \exists x_n {{makl| {{logund}}_{i \neq j} (x_i \neq x_j) |}} || || || |SZ=, }} dass es mindestens {{math|term= n|SZ=}} verschiedene Elemente gibt {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. diese Aussage ist interpretiert in einem Modell {{math|term= M|SZ=}} genau dann richtig, wenn {{math|term= M|SZ=}} mindestens {{math|term= n|SZ=}} Elemente besitzt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Ausdrucksmenge {{ Relationskette/display |\Gamma_\infty || {{mengebed|\alpha_n |n \in \N}} || || || |SZ= }} beschreibt daher die Unendlichkeit einer Menge. {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Peano-Halbring/Nichtarchimedische Modelle/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} zeigt, dass es Nichtstandardmodelle der Arithmetik gibt und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Löwenheim Skolem/Abzählbar/Aufgabe |Nr= |SZ= }} zeigt {{ Zusatz/Klammer |text=das Argument werden wir gleich wiederholen| |ISZ=|ESZ=, }} dass es abzählbare Modelle gibt, die zu den reellen Zahlen elementar äquivalent sind. Man spricht von reell-abgeschlossenen Körpern. {{Zwischenüberschrift|Reell-abgeschlossene Körper}} {{:Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Reelle Zahlen/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{Fußnotenliste}} }} 7s5ry6grtycn8800pfk1i06shefx9ex 0 65915 1077023 1035440 2026-04-13T06:05:46Z Bocardodarapti 2041 1077023 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Symbolalphabet| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} bestehe {{ Zusatz/Klammer |text=neben Variablen| |ISZ=|ESZ= }} aus einem einstelligen Funktionssymbol {{math|term= f |SZ=.}} Die Ausdrucksmenge {{math|term= \Gamma |SZ=}} bestehe aus einem Satz, der inhaltlich besagt, dass eine erfüllende Menge genau {{math|term= n |SZ=}} Elemente besitzen muss, und einen Satz, der besagt, dass die Funktion {{ Definitionslink |bijektiv| |Kontext=| |SZ= }} ist. Ein Modell für {{math|term= \Gamma |SZ=}} ist also eine {{math|term= n |SZ=-}}elementige Menge {{math|term= M |SZ=}} zusammen mit einer fixierten {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=endlich| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f^M | M | M || |SZ= }} auf dieser Menge. Eine Teilmenge {{ Relationskette |T | \subseteq | M || || || |SZ= }} der Form {{ Zusatz/Klammer |text=wir schreiben {{math|term= f |SZ=}} statt {{math|term= f^M|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display |T || \{ m, f(m), f^2(m) {{kommadots|}} f^{k-1} (m) \} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f^k(m) || m || || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette | f^{i}(m) | \neq|m || || || |SZ= }} für alle {{ mathbed|term= i ||bedterm1= 1 \leq i \leq k-1 ||bedterm2= |SZ=, }} nennt man Zyklus zu {{math|term= f |SZ=}} der Länge {{math|term= k |SZ=.}} Die Menge {{math|term= M |SZ=}} ist die {{ Definitionslink |disjunkte Vereinigung| |Kontext=| |SZ= }} von Zyklen unterschiedlicher Länge. Zwei Elemente {{ Relationskette | m,n | \in | M || || || |SZ= }} sind genau dann elementar äquivalent, wenn sie beide in einem gleichlangen {{ Zusatz/Klammer |text=aber nicht unbedingt im gleichen| |ISZ=|ESZ= }} Zyklus liegen: Einerseits lässt sich die Zykluslänge {{math|term= k |SZ=}} erststufig formalisieren, etwa durch {{ Math/display|term= f^kx=x {{logund|}} f^{k-1}x \neq x {{logunddots|}} fx \neq x |SZ=, }} wobei die Potenzen ausgeschrieben werden müssen. Andererseits kann man einfach Automorphismen angeben, indem man aus jedem Zyklus {{math|term= Z_j |SZ=}} ein Element {{math|term= m_j |SZ=}} auswählt und dieses auf ein beliebiges Element {{ Relationskette | n_j || \psi(m_j) || || || |SZ= }} eines Zyklus gleicher Länge schickt, wobei jeder Zyklus genau einmal getroffen wird. Durch {{ Relationskette/display | \psi(f^i(m_j)) | {{defeq|}} |f^i( \psi(m_j)) || || || |SZ= }} erhält man einen wohldefinierten Automorphismus. Insbesondere kann man einen Automorphismus konstruieren, der {{math|term= m |SZ=}} auf {{math|term= n |SZ=}} abbildet. Wenn man {{math|term= m |SZ=}} auf {{math|term= n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=elementar äquivalent zu {{math|term= m |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} abbilden möchte, so ist dadurch schon bestimmt, wohin man die Elemente aus dem Zyklus zu {{math|term= m |SZ=}} abbilden muss. Es muss nämlich {{ Relationskette | \psi(f(m)) || f (\psi(m)) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | \psi(f(f(m))) || f(f (\psi(m))) || || || |SZ=, }} u.s.w. gelten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o1iqciuan5hv9pgt5qdh16bz7c010oj 1077024 1077023 2026-04-13T06:06:14Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Ein Funktionssymbol/Bijektiv/Permutation/Zykel/Beispiel]] nach [[Ein Funktionssymbol/Bijektiv/Permutation/Zyklus/Beispiel]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1077023 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Symbolalphabet| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} bestehe {{ Zusatz/Klammer |text=neben Variablen| |ISZ=|ESZ= }} aus einem einstelligen Funktionssymbol {{math|term= f |SZ=.}} Die Ausdrucksmenge {{math|term= \Gamma |SZ=}} bestehe aus einem Satz, der inhaltlich besagt, dass eine erfüllende Menge genau {{math|term= n |SZ=}} Elemente besitzen muss, und einen Satz, der besagt, dass die Funktion {{ Definitionslink |bijektiv| |Kontext=| |SZ= }} ist. Ein Modell für {{math|term= \Gamma |SZ=}} ist also eine {{math|term= n |SZ=-}}elementige Menge {{math|term= M |SZ=}} zusammen mit einer fixierten {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=endlich| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f^M | M | M || |SZ= }} auf dieser Menge. Eine Teilmenge {{ Relationskette |T | \subseteq | M || || || |SZ= }} der Form {{ Zusatz/Klammer |text=wir schreiben {{math|term= f |SZ=}} statt {{math|term= f^M|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display |T || \{ m, f(m), f^2(m) {{kommadots|}} f^{k-1} (m) \} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f^k(m) || m || || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette | f^{i}(m) | \neq|m || || || |SZ= }} für alle {{ mathbed|term= i ||bedterm1= 1 \leq i \leq k-1 ||bedterm2= |SZ=, }} nennt man Zyklus zu {{math|term= f |SZ=}} der Länge {{math|term= k |SZ=.}} Die Menge {{math|term= M |SZ=}} ist die {{ Definitionslink |disjunkte Vereinigung| |Kontext=| |SZ= }} von Zyklen unterschiedlicher Länge. 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Insbesondere kann man einen Automorphismus konstruieren, der {{math|term= m |SZ=}} auf {{math|term= n |SZ=}} abbildet. Wenn man {{math|term= m |SZ=}} auf {{math|term= n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=elementar äquivalent zu {{math|term= m |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} abbilden möchte, so ist dadurch schon bestimmt, wohin man die Elemente aus dem Zyklus zu {{math|term= m |SZ=}} abbilden muss. 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Beziehen sich die Eigenschaften auf die Gruppe als Ganzes oder auf einzelne Teams in der Gruppe? |Denken Sie sich Bezeichnungen für Eigenschaften aus, die Sie für das Verständnis von strukturellen Eigenschaften von WM-Gruppen relevant finden. |Können Sie sich unter den folgenden Begriffen etwas vorstellen, wie würden Sie diese Begriffe definieren? Eine hierarchische Gruppe. Ein dominantes Element {{ Zusatz/Klammer |text=oder Team| |ISZ=|ESZ= }} in einer Gruppe. Ein neutrales Element, ein rezessives Element. Ein {{ Zusatz/Klammer |text=paradoxer| |ISZ=|ESZ= }} Zyklus in einer Gruppe. Äquivalente Teams. Eine geordnete Gruppe. Eine ausgeglichene Gruppe. Eine transitive Gruppe. Ein Automorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=oder Selbst-Isomorphismus| |ISZ=|ESZ=. }} |Was ist mit einer numerischen Invariante einer WM-Gruppe gemeint? |Kann man aus der Punktabschlusstabelle {{ Zusatz/Klammer |text=in der {{mathl|term= 3-1-0 |SZ=-}}Zählweise| |ISZ=|ESZ= }} einer WM-Gruppe die Gesamtanzahl der Siege ablesen? Gibt es dafür eine Formel? |Kann es die folgenden Punktabschlusstabellen geben? {{ Math/display|term= 5-5-4-3 |SZ=, }} {{ Math/display|term= 5-5-4-1 |SZ=, }} {{ Math/display|term= 5-5-4-0 |SZ=, }} {{ Math/display|term= 5-5-5-2 |SZ=. }} |Finden Sie ein Beispiel für Gruppen, die zueinander nicht isomorph sind, die aber die gleiche Punktabschlusstabelle besitzen. |In einer Punktabschlusstabelle besitze ein Team {{math|term= 3 |SZ=}} Punkte. Kann man aus der Punktabschlusstabelle erschließen, ob dieses Team einmal gewonnen {{ Zusatz/Klammer |text=und zweimal verloren| |ISZ=|ESZ= }} oder dreimal unentschieden gespielt hat? |Welche abstrakten WM-Gruppen {{ Zusatz/Klammer |text=welcher Isomorphietyp| |ISZ=|ESZ= }} kommen historisch besonders häufig vor? Wie kann man das erklären? }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der gerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} i8ocqhltu05v0zv5a917jkv4cajw900 106 67787 1077082 1010998 2026-04-13T08:51:31Z Bocardodarapti 2041 1077082 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|20| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputbild |Diciembre|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |Text=Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten! |Autor= |Benutzer=Lumentzaspi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Konvexe Funktionen/Summe ebenfalls/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konvexe Funktion/Negation/Konkav/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konvexe Funktion/Differenz/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konvexe Funktion/Produkt/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/Konvex/Graphtest/Aufgabe|| |zusatz=(Bemerkung: Eine konvexe Funktion auf einem offenen Intervall ist übrigens immer stetig.) |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und zweite Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Ungerader Grad/Nicht linear/Nicht konvex/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Potenzreihe/Formale Ableitung/Keinen größeren Radius/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Funktion/Ableitung/z^2 exp(z^3-4z)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Höhere Ableitung/C/x e hoch x/Induktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Inflation/2 Prozent/Verdopplung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Grenzwert einer Funktion/x-1 durch ln x/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Grenzwert einer Funktion/ln x+1 durch sin 2x/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Exponentialfunktion/Charakterisierung durch Ableitung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ableitung/Quotientenversion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Exponentialfunktion/Berechne e^i/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe‎|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Über Exponentialfunktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinus/Bestimme 1034871 Ableitung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kosinus vom Logarithmus/Erste und zweite Ableitung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Funktion/Ableitung/sin cos/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Funktion/Ableitung/sin^n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/C/n-te Ableitung in a/Direkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionslimes/Verschiedene ableitbare Brüche/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionslimes/Sinus 1 durch x/Mit verschiedenen Vorfaktoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Grenzwert/(x-1)^a durch ln x/a positiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Sinh-cosh-r-28pt|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} right {{!}} |Text=Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen. |Autor= |Benutzer=Emdee |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{:Hyperbelfunktion/Komplex/Sinus hyperbolicus/Definition|}} {{:Hyperbelfunktion/Komplex/Kosinus hyperbolicus/Definition|}} {{ inputaufgabe |Hyperbelfunktion/C/Elementare Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hyperbelfunktion/Ableitungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hyperbelfunktion/Additionstheoreme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinus hyperbolicus/Wachsend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kosinus hyperbolicus/Monotonieverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Aufgrund dieser beiden Aufgaben gibt es Umkehrfunktionen, die man {{Stichwort|Areasinus hyperbolicus|SZ=}} bzw. {{Stichwort|Areakosinus hyperbolicus|SZ=}} nennt. {{ inputaufgabe |Areacosh/ln x + sqrt (x^2-1)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie}} {{ inputaufgabe |Ziffernfolge/Grundschule/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.) }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Konvexe Funktion/Jensensche Ungleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konvexität/Wendepunkte/2x^4-x^3-3x^2+7x+5/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerade Funktion/Nicht linear/Nicht konvex/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Funktion/Ableitung/sin (cos z)/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Funktion/Ableitung/x^x/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernfolge/Grundschule/Abbildung/Eigenschaften/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Weihnachtsaufgabe}} {{ inputaufgabe |Ziffernfolge/Grundschule/Abbildung/Zyklus/Aufgabe|p| |zusatz=(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.) |tipp= }} }} cd8vlfst0dchohz853r3h65lv97mi9v 106 74581 1077080 791785 2026-04-13T08:51:01Z Bocardodarapti 2041 1077080 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_I/Arbeitsblattgestaltung|20| {{ inputbild |Diciembre|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |Text=Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten! |Autor= |Benutzer=Lumentzaspi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Polynomring/Einsetzung/R_nach_Mat2R/x^2-5x+3/67/-45/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Polynom/f(-1)ist2,f(1)ist0,f(3)ist5/Gleichungssystem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/f(0)ist1,f(1)ist2,f(2)ist0,f(-1)ist1/Gleichungssystem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Unendliche Auflistung/Polynomiales Gesetz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Einsetzung/R nach Mat2R/2x^3-5x^2+7x-4/41/53/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Einsetzung/Matrixprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |2x2-Matrix/Charakteristisches Polynom direkt/Annullierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Abbildung/Minimalpolynom/Hauptideal/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ 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|zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Einsetzung/R nach Mat3R/-x^3+6x^2-6x+27/532/541/730/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismus/Konjugation/Polynomiale Einsetzung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernfolge/Grundschule/Abbildung/Eigenschaften/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Weihnachtsaufgabe}} {{ inputaufgabe |Ziffernfolge/Grundschule/Abbildung/Zyklus/Aufgabe|p| |zusatz=(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.) |tipp= }} }} 6gbsi41f8i690ffui4nmer2xmqnxgtv 106 74585 1077051 791789 2026-04-13T06:23:03Z Bocardodarapti 2041 1077051 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_I/Arbeitsblattgestaltung|24| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/Matrix/47 53/Überprüfe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/2x2 Matrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ 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{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/Matrix/745 638 221/Überprüfe/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Annullierendes Polynom/Inverse Matrix/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismen/Direkte Summe/Minimalpolynom/Idealduchschnitt/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutationsmatrix/C/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 2wg3xckfjs773lrjklbe0sz2w9dz8dz 106 76496 1077046 925658 2026-04-13T06:19:49Z Bocardodarapti 2041 1077046 wikitext text/x-wiki {{ Klausur15 |Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe|p||| |Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe|p||| |Vollständige Induktion/Erläuterung/Aufgabe|p+||| |Matrixprodukt/2-i -1-3i -1 i 0 4-21 mal 1+i 1-i 2+5i/Aufgabe|p||| |Linear Unabhängig/Summe/3/Aufgabe|p||| |Untervektorräume/Gleiche Dimension/Gemeinsames direktes Komplement/Aufgabe|p||| |K^4 nach K^3/Urbild von Untervektorraum/1/Aufgabe|p||| |Lineare 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Die zugehörige Permutationsmatrix {{math|term= M_\rho|SZ=}} ist bezüglich {{mathl|term= e_{k+1} {{kommadots|}} e_n |SZ=}} die Einheitsmatrix und hat bezüglich der ersten {{math|term= k |SZ=}} Standardvektoren die Gestalt {{ Math/display|term= {{Op:Matrix55| 0 |0|\ldots | 0 | 1 |1| 0 |0|\ldots| 0 |0 |1 | 0 |\ldots|0 |\vdots|\ddots|\ddots|\ddots|\vdots | 0 |\ldots| 0 | 1 |0 |}} |SZ=. }} Die Determinante zu {{mathl|term= XE_n - M_\rho|SZ=}} ist {{mathl|term= (X-1)^{n-k} |SZ=}} multipliziert mit der Determinante von {{ Math/display|term= {{Op:Matrix55| X | 0 |\ldots | 0 | -1| -1| X | 0 |\ldots| 0 |0 | -1 | X |\ldots|0 |\vdots|\ddots|\ddots|\ddots|\vdots | 0 |\ldots| 0 | -1|X |}} |SZ=. }} Die Entwicklung nach der ersten Zeile liefert {{ Relationskette/display |X^k+ (-1)^{k+1} (-1) (-1)^{k-1} || X^k -1 || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ajck8zot1zyd6ivj75q0dpph8aomcq 106 78150 1077069 970037 2026-04-13T06:32:02Z Bocardodarapti 2041 1077069 wikitext text/x-wiki {{ Klausur17 |Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe|p||| |Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe|p||| |Differenzmenge/Assoziativität/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Wechselsumme mit Zweierpotenzen/Aufgabe|p||| |Gleichungssystem/Inhomogen/2/Aufgabe|p||| |Vektorraum/Untervektorraum/Dimensionsvergleich/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Matrix/3x3/Parameter/Rang/Aufgabe|p||| |Vektorraum/Bidual/Natürliche Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Determinante/C/Berechne/2+6i 8-3i/5-i 3+7i/Aufgabe|p||| |Permutation/Zyklus/Signumsberechnung/Aufgabe|p||| |Quadratische Gleichungen/Breite und Höhe aus Umfang und Fläche eines Rechtecks/Aufgabe|p||| |Polynomring/X^(n-1)+...+1/X-1/Darstellung der 1/Aufgabe|p||| |Minimalpolynom/0 Nullstelle/Aufgabe|p||| |Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Wohldefiniert/Aufgabe|p||| |Vektorraum/Fahne/Invariant unter Endomorphismus/Aufgabe|p||| |Jordansche Normalform/Jordan-Matrix/4/Potenzen/Aufgabe|p||| |Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/5/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Lineare Algebra (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ryfccxqa5lop0ximkvfsspka1oy8z87 0 78284 1077048 1046274 2026-04-13T06:21:17Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Permutationsmatrix/Zykel/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Aufgabe]] nach [[Permutationsmatrix/Zyklenzerlegung/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1046274 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Von einer {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | \pi | \in | S_n || || || |SZ= }} sei die {{ Definitionslink |Zyklenzerlegung| |Kontext=| |SZ= }} bekannt. Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |SZ= }} und das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Permutationsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M_\pi |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie2=Das charakteristische Polynom von Matrizen (Körper) |Kategorie3=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7xz5qyacovz7rvq7p6uc64suai84xnh 0 78599 1077030 1076890 2026-04-13T06:10:26Z Bocardodarapti 2041 1077030 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Ordnung (Zyklus)|Anf=Or| |Siehe= |Ziel=Permutation/Zyklus/Definition }} rpmwadbqbkln29dec6a4j6ml70r70lq 0 78878 1077042 1050847 2026-04-13T06:18:25Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Zykel/Minimalpolynom/Aufgabe]] nach [[Zyklus/Minimalpolynom/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1050847 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei der Zykel {{mathl|term= 1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto \ldots \mapsto n \mapsto 1|SZ=}} gegeben und sei {{math|term= M|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Permutationsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K|SZ=.}} {{ Aufzählung3/a |Es sei {{ Relationskette | P | \in | K[X] || || || |SZ= }} ein Polynom vom Grad {{mathl|term= < n|SZ=.}} Erstelle{{n Sie}} eine Formel für {{mathl|term= (P(M))(e_1) |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=.}} | {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Endomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \varphi |SZ=}} auf einem reellen Vektorraum {{math|term= V |SZ=}} mit untereinander verschiedenen Vektoren {{ Relationskette | v_1,v_2,v_3 | \in | V || || || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | \varphi(v_1) || v_2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | \varphi(v_2) || v_3 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \varphi(v_3) || v_1 || || || |SZ= }} gilt und dass das Minimalpolynom von {{math|term= \varphi |SZ=}} nicht {{mathl|term= X^3-1 |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie2=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4h263t1pisho46nxpnsr058x9zanwcw 1077045 1077042 2026-04-13T06:19:03Z Bocardodarapti 2041 1077045 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei der {{ Definitionslink |Prämath= |Zyklus| |Kontext=Permutation| |SZ= }} {{mathl|term= 1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto \ldots \mapsto n \mapsto 1|SZ=}} gegeben und sei {{math|term= M |SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= n \times n |Permutationsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} über einem Körper {{math|term= K |SZ=.}} {{ Aufzählung3/a |Es sei {{ Relationskette | P | \in | K[X] || || || |SZ= }} ein Polynom vom Grad {{mathl|term= < n|SZ=.}} Erstelle{{n Sie}} eine Formel für {{mathl|term= (P(M))(e_1) |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=.}} | {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Endomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \varphi |SZ=}} auf einem reellen Vektorraum {{math|term= V |SZ=}} mit untereinander verschiedenen Vektoren {{ Relationskette | v_1,v_2,v_3 | \in | V || || || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | \varphi(v_1) || v_2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | \varphi(v_2) || v_3 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \varphi(v_3) || v_1 || || || |SZ= }} gilt und dass das Minimalpolynom von {{math|term= \varphi |SZ=}} nicht {{mathl|term= X^3-1 |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie2=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} omqvygmpfrhk4n576yjulwicgoz6e8d 0 78879 1077043 1030337 2026-04-13T06:18:25Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Zykel/Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung]] nach [[Zyklus/Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1030337 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3/a |Es sei {{ Relationskette/display | P || a_0+a_1X+a_2X^2 {{plusdots|}} a_{n-1}X^{n-1} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | M^{i} (e_1) || e_{i+1} || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | i | < | n || || || |SZ= }} ist dann {{ Relationskette/align | (P(M))(e_1) || {{makl| a_0+a_1M+a_2M^2 {{plusdots|}} a_{n-1}M^{n-1} |}} (e_1) || a_0 e_1+a_1M(e_1)+a_2M^2 (e_1) {{plusdots|}} a_{n-1}M^{n-1} (e_1) || a_0 e_1+a_1 e_2+a_2 e_3 {{plusdots|}} a_{n-1} e_n || \sum_{i {{=}} 0}^{n-1} a_i e_{i+1} |SZ=. }} |Das Minimalpolynom ist {{mathl|term= X^n -1 |SZ=.}} Da der Zykel die Ordnung {{math|term= n |SZ=}} besitzt, ist {{ Relationskette/display |M^n || E_n || || || |SZ= }} und daher annulliert {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} die Matrix. Für ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes Polynom {{math|term= P |SZ=}} vom Grad {{math|term= < n |SZ=}} ist nach Teil a) {{ Relationskette |(P(M))(e_1) |\neq|0 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | P(M) |\neq| 0 || || || |SZ= }} und somit ist {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} das annullierende Polynom minimalen Grades. |Wir betrachten im {{math|term= \R^2 |SZ=}} eine Drehung {{math|term= \varphi |SZ=}} um {{math|term= 120 |SZ=}} Grad. Es sei {{ Relationskette | v_1 || e_1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |v_2 || \varphi(e_1) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | v_3 || \varphi(v_2) || || || |SZ=. }} Die dritte Potenz von {{math|term= \varphi |SZ=}} ist die Identität, daher ist insbesondere {{ Relationskette/display |\varphi(v_3) || e_1 || || || |SZ=. }} Da sich alles in der Dimension {{math|term= 2 |SZ=}} abspielt, besitzt das charakteristische Polynom den Grad {{math|term= 2 |SZ=}} und annulliert diesen Endomorphismus. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s3iuucbiws55ggzwqp16f7u6ak36vyr 106 80094 1077029 1069579 2026-04-13T06:09:31Z Bocardodarapti 2041 1077029 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Vorlesungsgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Isomorphie und elementare Äquivalenz im endlichen Fall}} {{ inputbeispiel |Ein Funktionssymbol/Bijektiv/Permutation/Zyklus/Beispiel|| }} Aus den Überlegungen der letzten Vorlesung erhalten wir das folgende Resultat. Im Beweis arbeiten wir mit folgender Definition. {{ inputdefinition |Modell/Teilmenge/Funktional abgeschlossen/Definition|| }} Unter einem {{Stichwort|formal-zusammengesetzten Funktionssymbol|msw=formal-zusammengesetztes Funktionssymbol|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Funktionssymbolbaum|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} versteht man die Elemente der folgenden rekursiv festgelegten Menge {{ Zusatz/Klammer |text=innerhalb der Menge von Stammbäumen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung2 |Jedes Funktionssymbol {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Konstanten| |ISZ=|ESZ= }} gehört dazu. |Wenn {{math|term= f|SZ=}} ein {{math|term= k|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol ist und {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_k |SZ=}} formal-zusammengesetzte Funktionssymbole, so ist auch der Stammbaum {{ Zusatz/Klammer |text=nicht die Symbolkette| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= fF_1 \ldots F_k |SZ=}} ein formal-zusammengesetztes Funktionssymbol. }} Bei einer Interpretation mit Grundmenge {{math|term= M|SZ=}} wird ein formal-zusammengesetztes Funktionssymbol {{math|term= F|SZ=}} als Hintereinanderschaltung der beteiligten Abbildungen interpretiert, wofür wir wieder {{math|term= F^M|SZ=}} schreiben. Eine funktional abgeschlossene Menge ist auch unter jeder formal-zusammengesetzten Funktion abgeschlossen, und zu einer Startmenge {{mathl|term= U \subseteq M|SZ=}} besteht die kleinste funktional abgeschlossene Teilmenge, die {{math|term= U|SZ=}} enthält, genau aus den Werten der formal-zusammengesetzten Funktionen mit Argumenten aus {{math|term= U|SZ=.}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Stichwort|funktionale Hülle|SZ=}} von {{math|term= U|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|Nichtstandardmodelle}} {{ inputdefinition |Modell/Nichtstandardmodell/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Modell/Nichtstandardmodell/Sprachgebrauch/Bemerkung|| }} Es ist keineswegs selbstverständlich, dass es Nichtstandardmodelle gibt. Dies ergibt sich, und zwar ganz allgemein für jede unendliche Struktur, aus einer Reihe von Überlegungen, die an den Vollständigkeitssatz anschließen. Ein wesentlicher Punkt ist dabei, dass man zwar die Unendlichkeit eines Modells durch ein erststufiges Axiomenschema beschreiben kann, nicht aber erststufig verschiedene Mächtigkeiten unterscheiden kann. Zu {{mathl|term= n\in \N|SZ=}} beschreibt die Aussage {{ Relationskette/display | \alpha_n || \exists x_1 \ldots \exists x_n {{makl| {{logund}}_{i \neq j} (x_i \neq x_j) |}} || || || |SZ=, }} dass es mindestens {{math|term= n|SZ=}} verschiedene Elemente gibt {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. diese Aussage ist interpretiert in einem Modell {{math|term= M|SZ=}} genau dann richtig, wenn {{math|term= M|SZ=}} mindestens {{math|term= n|SZ=}} Elemente besitzt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Ausdrucksmenge {{ Relationskette/display |\Gamma_\infty || {{mengebed|\alpha_n |n \in \N}} || || || |SZ= }} beschreibt daher die Unendlichkeit einer Menge. {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Peano-Halbring/N/Nichtstandardmodelle/Aufgabe |Nr= |SZ= }} zeigt, dass es Nichtstandardmodelle der Arithmetik gibt und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Löwenheim Skolem/Abzählbar/Aufgabe |Nr= |SZ= }} zeigt {{ Zusatz/Klammer |text=das Argument werden wir gleich wiederholen| |ISZ=|ESZ=, }} dass es abzählbare Modelle gibt, die zu den reellen Zahlen elementar äquivalent sind. Man spricht von reell-abgeschlossenen Körpern. {{Zwischenüberschrift|Reell-abgeschlossene Körper}} {{:Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Reelle Zahlen/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{Fußnotenliste}} }} 7z6xrjdgj4e6xf0pklvkbn28362buop 106 84332 1077056 566906 2026-04-13T06:25:31Z Bocardodarapti 2041 1077056 wikitext text/x-wiki {{ Klausur21 |Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe|p||| |Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe|p||| |Konstant/Prädikatenlogisch/Aufgabe|p||| |Verknüpfung/Tabelle/4/2/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/20 mal a/Wenig Additionen/Aufgabe|p||| |Abbildung/Definiere Transposition/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|p||| |Gabi Hochster/Vokalaustausch/Anzahl/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe|p+||| |Differenz/Doppelsumme/Größenverhältnis/Aufgabe|p||| |Teilbarkeit/Vier Zahlen/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/Betragsrest/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/3146 und 1515/Darstellung/Aufgabe|p||| |KgV/Primzahlzerlegung/Aufgabe|p||| |Tafel Schokolade/Kalorien/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Bruch/Subtraktion/Formel/Aufgabe|p||| |Bruch/Nullen/Stellensystem unbekannt/Aufgabe|p||| |Dezimalbrüche/Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Äpfelpackung/6 Äpfel/Größe/Aufgabe|p||| |Ganzzahlige Exponentialfunktion/1,03/Vergleich mit Quadrat/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Elementare Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} m1zldnil5n3zbnpdm7fop5p2l3umfbq 0 85137 1077053 986694 2026-04-13T06:24:57Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Ordnungsrelation/Zykel/Gleichheit/Aufgabe]] nach [[Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 986694 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge und {{mathl|term= \preccurlyeq|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} durch Induktion über {{math|term= n \geq 2|SZ=}} die Aussage: Wenn für Elemente {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n \in M |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display |a_1 |\preccurlyeq |a_2 |\preccurlyeq| \ldots |\preccurlyeq| a_{n-1} |\preccurlyeq| a_n || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |a_n |\preccurlyeq| a_1 || || || |SZ= }} gilt, dann sind alle {{math|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} gleich. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2=Vollständige Induktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 09gp3529becdd987crva44vzibwpoja 0 85138 1077054 1029693 2026-04-13T06:24:57Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Ordnungsrelation/Zykel/Gleichheit/Aufgabe/Lösung]] nach [[Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe/Lösung]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1029693 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Der Induktionsanfang {{ Relationskette |n || 2 || || || |SZ= }} folgt unmittelbar aus der Antisymmetrie. Es sei also die Aussage für ein gewisses {{math|term= n \geq 2 |SZ=}} schon bewiesen und es liegen {{math|term= n+1 |SZ=}} Elemente mit den Abschätzungen {{ Relationskette/display |a_1 |\preccurlyeq |a_2 |\preccurlyeq| \ldots |\preccurlyeq| a_{n} |\preccurlyeq| a_{n+1} || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |a_{n+1} |\preccurlyeq| a_1 || || || |SZ= }} vor. Wegen der Transitivität der Ordnung gilt dann auch {{ Relationskette/display |a_{n} |\preccurlyeq| a_1 || || || |SZ= }} und damit gelten auch die Bedingungen in der Induktionsvoraussetzung. Somit ist also {{ Relationskette/display |a_1 || a_2 || \ldots || a_{n} || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display |a_{n} |\preccurlyeq| a_{n+1} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |a_{n+1} |\preccurlyeq| a_{1} || || || |SZ= }} stimmt auch {{mathl|term= a_{n+1} |SZ=}} mit diesem Element überein. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} koqcezmxxidobdmno27aumfu7atlkor 106 91567 1077050 791922 2026-04-13T06:22:47Z Bocardodarapti 2041 1077050 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Arbeitsblattgestaltung|24| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/Matrix/47 53/Überprüfe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/2x2 Matrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cayley-Hamilton/Jordanform/Direkt/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/Obere Dreiecksmatrix/Konstante Diagonale/Direkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/Diagonalisierbar/Direkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismus/Direkte Summe/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Polynome/Q/Koeffizientenmatrix/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minimalpolynom/Zerfällt und reduziert/Diagonalisierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitswurzeln/Körper/Bilden Untergruppe der Einheitsgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Einheitswurzel/Einheitskreis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe benötigt den Begriff der konvergenten Potenzreihe, wie er in der Analysis entwickelt wird. {{ inputaufgabe |Komplexe Potenzreihe/Träger/Invariant unter n-ten Einheitswurzeln/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Einheitswurzeln/Primitive Einheitswurzel/Definition}} {{ inputaufgabe |Primitive Einheitswurzel/Schwerpunktformel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reine Gleichung/Einheitswurzeln/Beziehung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Transpositionsmatrix/Q/Diagonalisierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zyklus/Minimalpolynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutationsmatrix/Zyklenzerlegung/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutationsmatrix/Invariante Standardunterräume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Körper/Einheit/Endliche Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Körper/Invertierbare Matrix/Z mod 3/0120/Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Körper/Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Q/2/Ordnung 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/Matrix/745 638 221/Überprüfe/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Annullierendes Polynom/Inverse Matrix/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismen/Direkte Summe/Minimalpolynom/Idealduchschnitt/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Körper/Invertierbare Matrix/Z mod 5/4123/Ordnung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutationsmatrix/C/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} c78qqrb0uedhtodieuspgq6hck8yz9q 106 93429 1077088 996193 2026-04-13T08:55:08Z Bocardodarapti 2041 1077088 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/52/Aufgabe|p||| |Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/52/Aufgabe|p||| |Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe|p||| |Langzeitstudie/Psychologie/Aufgabe|p||| |Bernoulli-Zahlen/Summe mit Binomialkoeffizienten/Berechnung/Aufgabe|p||| |Zwei Punkte in Ebene/(2,3), (5,-7)/Gerade/Punktvektorform/Aufgabe|p||| |Gleichungssystem/Inhomogen/1/Aufgabe|p||| |Matrixprodukt/C/1/Aufgabe|p||| |Lineare Abbildung/0 auf 0/Aufgabe|p||| |Streckung/In jeder Basis gleich/Aufgabe|p||| |K^4 nach K^3/Urbild von Untervektorraum/3/Aufgabe|p||| |Matrix/Adjungierte/Formel mit Determinante/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Permutationsgruppe/Anzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Polynom/Bezout/X^3+1 und X^2-1/Aufgabe|p||| |Permutationsmatrix/Zyklus/4/Invariante Untervektorräume/Aufgabe|p||| |Trigonalisierbarer Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Lineare inhomogene Gleichung/Lösungsraum/Affine Basis/8/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Lineare Algebra (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 9okho3iitw3eev4zbm115x790vjicp1 0 94506 1077103 1028690 2026-04-13T11:20:38Z Λυκας 38324 1077103 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Diese Verknüpfung ist bei {{ Relationskette |M |\neq \emptyset || || || |SZ= }} nicht assoziativ. Um dies zu zeigen, kann man einfach {{ Relationskette/display |A || B || C || M || |SZ= }} nehmen, wobei {{math|term= M |SZ=}} eine nichtleere Menge sei. Dann ist {{ Relationskette |M \setminus M || \emptyset || || || |SZ= }} und somit ist einerseits {{ Relationskette/display |(M \setminus M) \setminus M || \emptyset \setminus M || \emptyset || || |SZ= }} und andererseits {{ Relationskette/display |M \setminus ( M \setminus M ) || M \setminus \emptyset || M || || |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 16sn5j68h99ysv78tmw8xo3foyr83hu 0 94967 1077067 1046217 2026-04-13T06:31:26Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Permutation/Zykel/Signumsberechnung/Aufgabe]] nach [[Permutation/Zyklus/Signumsberechnung/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1046217 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Wertetabelle {{Wertetabelle7|text1= {{math|term= x|SZ=}} | 1 | 2 | 3|\ldots |n-2|n-1 | n |text2= {{math|term= \pi (x)|SZ=}} | 2 | 3 | 4 |\ldots|n-1| n | 1 |}} gegebene Permutation {{math|term= \pi|SZ=}} zu {{ Relationskette/display |n | \geq |2 || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Signum| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \pi|SZ=}} auf möglichst viele unterschiedliche Arten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3nw056rf640mzs81gflvfn8k0z8kn97 0 94968 1077068 986123 2026-04-13T06:31:27Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Permutation/Zykel/Signumsberechnung/Aufgabe/Lösung]] nach [[Permutation/Zyklus/Signumsberechnung/Aufgabe/Lösung]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 986123 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Gemäß der Definition des Signums ist {{ Relationskette/align | {{op:Signum|\pi|}} || \prod_{1 \leq i < j \leq n} {{op:Bruch|\pi(j) - \pi(i) |j-i}} || \prod_{1 \leq i < j \leq n-1} {{op:Bruch|\pi(j) - \pi(i) |j-i}} \cdot \prod_{1 \leq i < j {{=}} n} {{op:Bruch|\pi(n) - \pi(i) |n-i}} ||\prod_{1 \leq i < j \leq n-1} {{op:Bruch|j +1 - (i+1) |j-i}} \cdot \prod_{1 \leq i < n} {{op:Bruch|1 - (i+1) |n-i}} ||\prod_{1 \leq i < j \leq n-1} {{op:Bruch|j - i |j-i}} \cdot \prod_{1 \leq i < n} {{op:Bruch| - i |n-i}} || 1 \cdot \prod_{1 \leq i < j {{=}} n} (-1)^{n-1} {{op:Bruch| i |n-i}} || \prod_{1 \leq i < j {{=}} n} (-1)^{n-1} {{op:Bruch|1 \cdot 2 \cdots (n-2) (n-1) |(n-1) (n-2) \cdots 2\cdot 1}} || (-1)^{n-1} |SZ=. }} |Wir bestimmen die Fehlstände der Permutation. Zu {{mathl|term= i<j < n |SZ=}} liegt kein Fehlstand vor. Dagegen liegt zu {{mathl|term= i<n|SZ=}} stets ein Fehlstand vor. Es gibt also insgesamt {{mathl|term= n-1 |SZ=}} Fehlstände, und das Signum ist {{mathl|term= (-1)^{n-1} |SZ=.}} |Die Permutation {{math|term= \pi|SZ=}} kann man als Produkt der Transpositionen {{ Relationskette/display | \pi || \langle 1,2 \rangle \circ \langle 2,3 \rangle {{circdots|}} \langle n-1,n \rangle || || || |SZ= }} darstellen, da ja {{math|term= n |SZ=}} mit jeder Transposition um {{math|term= 1 |SZ=}} nach unten transportiert wird und jede Zahl {{math|term= i<n|SZ=}} durch die Transposition {{mathl|term= \langle i,i+1 \rangle |SZ=}} auf {{math|term= i+1 |SZ=}} abgebildet wird, was von den Transpositionen weiter links nicht mehr verändert wird. Es liegt also eine Zerlegung in {{math|term= n-1 |SZ=}} Transpositionen vor und das Signum ist {{mathl|term= (-1)^{n-1} |SZ=.}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pnrdvm7tx81wi0wuenn8d7ya9dzs466 106 95645 1077028 1069592 2026-04-13T06:09:14Z Bocardodarapti 2041 1077028 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Vorlesungsgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Isomorphie und elementare Äquivalenz im endlichen Fall}} Wir möchten zeigen, dass bei endlichen Mengen die elementare Äquivalenz den Isomorphietyp bereits festlegt. Wir besprechen zunächst einige typische Beispiele, die als Orientierung für den komplexen Beweis dienen sollen. {{ inputbeispiel |Endliche Struktur/Keine Symbole/Freiheit/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ein Funktionssymbol/Bijektiv/Permutation/Zyklus/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Endliche Gruppe/Z mod 8/Elementar äquivalent und isomorph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Endliche Struktur/Einelementige elementare Äquivalenzlassen/Wohldefiniert/Beispiel|| }} Aus den Überlegungen der letzten Vorlesung erhalten wir das folgende Resultat. Im Beweis arbeiten wir mit folgender Definition. {{ inputdefinition |Modell/Teilmenge/Funktional abgeschlossen/Definition|| }} Unter einem {{Stichwort|formal-zusammengesetzten Funktionssymbol|msw=formal-zusammengesetztes Funktionssymbol|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Funktionssymbolbaum|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} versteht man die Elemente der folgenden rekursiv festgelegten Menge {{ Zusatz/Klammer |text=innerhalb der Menge von Stammbäumen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung2 |Jedes Funktionssymbol {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Konstanten| |ISZ=|ESZ= }} gehört dazu. |Wenn {{math|term= f|SZ=}} ein {{math|term= k|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol ist und {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_k |SZ=}} formal-zusammengesetzte Funktionssymbole, so ist auch der Stammbaum {{ Zusatz/Klammer |text=nicht die Symbolkette| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= fF_1 \ldots F_k |SZ=}} ein formal-zusammengesetztes Funktionssymbol. }} Bei einer Interpretation mit Grundmenge {{math|term= M|SZ=}} wird ein formal-zusammengesetztes Funktionssymbol {{math|term= F|SZ=}} als Hintereinanderschaltung der beteiligten Abbildungen interpretiert, wofür wir wieder {{math|term= F^M|SZ=}} schreiben. Eine funktional abgeschlossene Menge ist auch unter jeder formal-zusammengesetzten Funktion abgeschlossen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Funktional abgeschlossen/Formales Funktionssymbol/Abgeschlossen/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und zu einer Startmenge {{ Relationskette |U |\subseteq|M || || || |SZ= }} besteht die kleinste funktional abgeschlossene Teilmenge, die {{math|term= U|SZ=}} enthält, genau aus den Werten der formal-zusammengesetzten Funktionen mit Argumenten aus {{math|term= U|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man nennt dies die {{Stichwort|funktionale Hülle|SZ=}} von {{math|term= U|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn man mit einem Element {{math|term= m|SZ=}} startet, und nur ein einstelliges Funktionssymbol zur Verfügugn hat, so besteht die funktionale Hülle einfach aus {{mathl|term= m,f(m),f(f(m)),f(f(f(m))), ... |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Fakt|Satz|| || }} Das im Beweis beschriebene Verfahren zur Konsrtuktion eines Isomorphismus ist grundsätzlich konstruktiv. {{Zwischenüberschrift|Nichtstandardmodelle}} {{ inputdefinition |Modell/Nichtstandardmodell/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Modell/Nichtstandardmodell/Sprachgebrauch/Bemerkung|| }} Es ist keineswegs selbstverständlich, dass es Nichtstandardmodelle gibt. Dies ergibt sich, und zwar ganz allgemein für jede unendliche Struktur, aus einer Reihe von Überlegungen, die an den Vollständigkeitssatz anschließen. Ein wesentlicher Punkt ist dabei, dass man zwar die Unendlichkeit eines Modells durch ein erststufiges Axiomenschema beschreiben kann, nicht aber erststufig verschiedene Mächtigkeiten unterscheiden kann. Zu {{mathl|term= n\in \N|SZ=}} beschreibt die Aussage {{ Relationskette/display | \alpha_n || \exists x_1 \ldots \exists x_n {{makl| {{logund}}_{i \neq j} (x_i \neq x_j) |}} || || || |SZ=, }} dass es mindestens {{math|term= n|SZ=}} verschiedene Elemente gibt {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. diese Aussage ist interpretiert in einem Modell {{math|term= M|SZ=}} genau dann richtig, wenn {{math|term= M|SZ=}} mindestens {{math|term= n|SZ=}} Elemente besitzt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Ausdrucksmenge {{ Relationskette/display |\Gamma_\infty || {{mengebed|\alpha_n |n \in \N}} || || || |SZ= }} beschreibt daher die Unendlichkeit einer Menge. {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Peano-Halbring/N/Nichtstandardmodelle/Aufgabe |Nr= |SZ= }} zeigt, dass es Nichtstandardmodelle der Arithmetik gibt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe auch {{ Faktlink |Faktseitenname= Peano-Halbring/Nichtarchimedische Modelle/Existenz/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Löwenheim Skolem/Abzählbar/Aufgabe |Nr= |SZ= }} zeigt {{ Zusatz/Klammer |text=das Argument werden wir gleich wiederholen| |ISZ=|ESZ=, }} dass es abzählbare Modelle gibt, die zu den reellen Zahlen elementar äquivalent sind. Man spricht von reell-abgeschlossenen Körpern. {{Zwischenüberschrift|Reell-abgeschlossene Körper}} {{:Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Reelle Zahlen/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{Fußnotenliste}} }} 13u93rgyftllri2dseadzwg7kou20wt 0 97215 1077064 1023729 2026-04-13T06:28:44Z Bocardodarapti 2041 1077064 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |{{math|term= \sigma^2 |SZ=}} wird durch die Wertetabelle {{Wertetabelle10 |text1= {{math|term= x |SZ=}} |1|2|3|4|5|6|7|8|9|10 |text2= {{math|term= \sigma(x) |SZ=}} |8|3|4|6|9|10|5|2|7|1}} beschrieben. |Es ist {{ Math/display|term= 1 \mapsto 4 \mapsto 8 \mapsto 6 \mapsto 2 \mapsto 10 \mapsto 3 \mapsto 1, \, 5 \mapsto 7 \mapsto 9 \mapsto 5 |SZ=. }} Die Zyklenzerlegung ist also {{ Relationskette/display | \sigma || (1,4,8,6,2,10,3) (5,7,9) || || || |SZ=. }} |Die beiden beteiligten Zyklen haben ungerade Länge, somit ist ihr Signum jeweils {{math|term= 1 |SZ=.}} Wegen der Multiplikativität des Signums ist somit auch das Signum von {{math|term= \sigma|SZ=}} gleich {{math|term= 1 |SZ=.}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} essewg9hej3v9t1kwnsaefs2vziqak5 0 99142 1077066 1076591 2026-04-13T06:30:47Z Bocardodarapti 2041 1077066 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|Wichteln}} Eine gewisse Gruppe von Personen möchte wichteln. D.h. jeder Person wird eine weitere Person zugelost, die die erste Person beschenken soll, und dabei wird größtmögliche Geheimhaltung angestrebt. Typischerweise legt man die Zuordnung so fest, dass man die Namen der beteiligten Personen einzeln auf einen Zettel schreibt und dann die Leute ziehen lässt. Die ziehende Person beschenkt die Person, deren Namen auf dem gezogenen Zettel steht. Wenn eine Person sich selbst zieht, so hat man ein Problem. Die übliche praktische Lösung ist, alles zurück in den Topf zu werfen und nochmal probieren, solange, bis es keine Selbstziehungen mehr gibt. Wir wollen verstehen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich jemand bei einer Ziehung selbst zieht, und daher das Ganze wiederholt werden muss. Insbesondere wollen wir die Asymptotik verstehen, wenn die Anzahl der beteiligten Personen sehr groß ist bzw. wird. Es sei {{math|term= n |SZ=}} die Anzahl der Personen, die wichteln möchten. {{ Relationskette/display |n ||1 || || || |SZ=. }} Hier gibt es nur eine Ziehung, die eine Person zieht sich selbst, dies ist unvermeidbar. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine {{ Zusatz/Klammer |text=erlaubte| |ISZ=|ESZ= }} Wichtelzuordnung gezogen wird, ist also {{math|term= 0 |SZ=,}} und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nichtwichtelzuordnung gezogen wird, ist {{math|term= 1 |SZ=.}} {{ Relationskette/display |n ||2 || || || |SZ=. }} Nennen wir die Personen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=. }} Hier gibt es zwei Ziehmöglichkeiten, nämlich {{Wertetabelle2 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|B}} und {{Wertetabelle2 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|A}} Die erste Möglichkeit ist die Identität, die zweite die Vertauschung. Die erste ist nicht erlaubt, die zweite ist eine erlaubte Wichtelzuordnung. Die Wahrscheinlichkeit is also {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=.}} Die Ziehmöglichkeiten werden hier durch eine Wertetabelle angegeben, und zwar eine solche, bei der jede Person genau einmal als Wert {{ Zusatz/Klammer |text=in der unteren Reihe| |ISZ=|ESZ= }} auftritt. Eine solche Zuordnung heißt bijektive Abbildung oder {{Stichwort|Permutation|SZ=.}} Wir interessieren uns also für den Anteil derjenigen Permutation, wo keine Person auf sich selbst abgebildet wird, innerhalb der Gesamtheit aller Permutationen. {{ Relationskette/display |n ||3 || || || |SZ=. }} Nennen wir die Personen {{ mathkor|term1= A,B |und|term2= C |SZ=. }} Hier gibt es sechs Ziehmöglichkeiten, nämlich {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|B|C}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|C|B}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|A|C}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|C|A}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|A|B}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|B|A}} Von den sechs Möglichkeiten sind nur die vierte und die fünfte ohne Selbstziehung {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Fixpunkt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit für eine fixpunktfreie Ziehung ist demnach {{mathl|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=.}} Wie kommt man auf die Liste dieser insgesamt sechs Ziehmöglichkeiten? Um sich dies klar zu machen, vergessen wir kurz die Frage nach den Selbstziehungen. Die erste Person {{math|term= A |SZ=}} hat drei Ziehmöglichkeiten, nämlich {{math|term= A,B,C|SZ=.}} Wenn dies festgelegt ist, so hat die zweite Person, {{math|term= B |SZ=,}} nur noch zwei Ziehmöglichkeiten, die jeweils von {{math|term= A |SZ=}} gezogene Person ist ja nicht mehr möglich. Für die letzte Person, {{math|term= C |SZ=,}} gibt es nur noch eine Möglichkeit, sie muss den verbliebenen Zettel ziehen. Diese Beobachtung gilt stets. Bei {{math|term= n |SZ=}} Personen gibt es insgesamt {{ Math/display|term= n (n-1) (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 |SZ= }} Permutationen. Diese von {{math|term= n |SZ=}} abhängige Zahl bekommt einen eigenen Namen, man nennt sie die {{Stichwort|Fakultät|SZ=}} von {{math|term= n |SZ=}} und bezeichnet sie mit {{math|term= n!|SZ=.}} Diese Funktion wächst ziemlich schnell. {{Wertetabelle8 |text1={{math|term= n |SZ=}}|0|1|2|3|4|5|6|7 |text2={{math|term= n! |SZ=}}|1|1|2|6|24|120|720|5040}} Der Wert {{mathl|term= 0!=1 |SZ=}} mag überraschen, ist aber sinnvoll. Die Grundmenge aller Permutationen besitzt also {{math|term= n!|SZ=}} Elemente, darin müssen wir diejenigen Permutationen zählen, die keinen Fixpunkt besitzen. {{ Relationskette/display |n ||4 || || || |SZ=. }} Nennen wir die Personen {{ mathkor|term1= A,B,C |und|term2= D |SZ=. }} Wir wissen, dass es insgesamt {{math|term= 24 |SZ=}} Permutationen gibt. Alle aufzulisten und einfach zu schauen, welche einen Fixpunkt haben und welche nicht, ist schon ziemlich aufwändig. Wir werden gleich bessere Abzählmöglichkeiten finden. {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|B|C|D}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|B|D|C}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|C|B|D}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|C|D|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|D|B|C}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|D|C|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|A|C|D}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|A|D|C}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|C|A|D}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|C|D|A}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|D|A|C}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|D|C|A}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|A|B|D}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|A|D|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|B|A|D}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|B|D|A}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|D|A|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|D|B|A}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|A|B|C}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|A|C|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|B|A|C}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|B|C|A}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|C|A|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|C|B|A}} Eine Durchsicht der Liste zeigt, dass es unter den {{math|term= 24 |SZ=}} Permutationen {{math|term= 9 |SZ=}} fixpunktfreie Permutationen gibt. Auf diese Zahl kann man schneller kommen, indem man die Struktur von Permutationen besser versteht. Entscheidend dafür ist das Konzept eines Zyklus. Bei der zuletzt angeführten Permutation wird beispielsweise {{math|term= A |SZ=}} auf {{math|term= D |SZ=}} und {{math|term= D |SZ=}} wiederum auf {{math|term= A |SZ=}} abgebildet, und ebenso wird {{math|term= B |SZ=}} mit {{math|term= C |SZ=}} vertauscht. Insgesamt kann man diese Abbildung als {{ Math/display|term= A \leftrightarrow B, \, \, \, C \leftrightarrow D |SZ= }} darstellen. Man hat zwei Zyklen der Länge zwei. In der darüber stehenden Permutation hat man die Zuordnung {{ Math/display|term= A \mapsto D \mapsto B \mapsto C |SZ=. }} Man spricht von einem Zyklus der Länge {{math|term= 4 |SZ=.}} In der darüber stehenden Permutation hat man die Zuordnung {{ Math/display|term= A \leftrightarrow D , \, \, \, B , \, \, \, C |SZ=. }} Man hat einen Zyklus der Länge zwei und zwei Fixpunkte, ein Fixpunkt ist ein Zyklus der Länge eins. Die Zerlegung einer Permutation in die Zyklen verschiedener Länge nennt man den Typ der Permutation. Es geht also darum, wie viele Zyklen welcher Länge es gibt. Im Falle {{ Relationskette |n ||4 || || || |SZ= }} gibt es nun lediglich zwei Typen, wie eine fixpunktfreie Permutation aussehen kann, nämlich den Viererzyklus und den doppelten Zweierzyklus. Beim ersten Typ kann man an jeder Stelle anfangen, die Reihenfolge der Elemente legt dann den Zyklus fest. Davon gibt es also {{ Relationskette |3! ||6 || || || |SZ= }} Stück. Beim zweiten Typ geht es um die Einteilung der Menge in zwei Paare, danach ist alles festgelegt. Davon gibt es {{math|term= 3 |SZ=}} Stück. Jedenfalls ist die Wahrscheinlichkeit für eine fixpunktfreie Permutation bei vier Personen gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|9|24}} |SZ=.}} {{ Relationskette/display |n ||5 || || || |SZ=. }} Hier gibt es schon {{mathl|term= 120 |SZ=}} Permutationen, eine Auflistung erübrigt sich. Es gibt aber wieder nur zwei Typen von fixpunktfreien Permutationen, nämlich einerseits die {{math|term= 5 |SZ=-}}Zyklus und andererseits diejenigen Permutationen, die aus einem Zweier-Zyklus und einem Dreier-Zyklus bestehen. Vom ersten Typ gibt es, mit dem gleichen Argument wie oben, {{ Relationskette |4! ||24 || || || |SZ= }} Möglichkeiten. Vom zweiten Typ muss man die Anzahl der Möglichkeiten bestimmen, in einer fünfelementigen Menge eine zweielementige Teilmenge zu fixieren. Diese Zahlen werden wir gleich allgemeiner benötigen: Wie viele Möglichkeiten gibt es, in einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Teilmenge zu fixieren? Hier treten wieder die Fakultäten auf. {{ inputdefinition |Binomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputfakt |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz|| }} Der Grund für diese Formel ist im Wesentlichen: Wenn man eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Teilmenge fixieren möchte, so hat man zunächst {{math|term= n |SZ=}} Wahlmöglichkeiten, dann {{mathl|term= n-1 |SZ=}} Wahlmöglichkeiten bis man schließlich {{mathl|term= n-k+1 |SZ=}} Wahlmöglichkeiten für das letzte, {{math|term= k |SZ=-}}te Element hat. Allerdings gibt es dabei {{math|term= k!|SZ=}} viele Reihenfolgen, letztlich die gleiche Menge auszuwählen. Daher ist die richtige Anzahl gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+2) (n-k+1)|k!}} || {{op:Bruch|n!|(n-k)! k!}} || {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} || || |SZ=. }} Somit gibt es in der fünfelementigen Menge genau {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient|5|2}} || {{op:Bruch|5 \cdot 4|2}} || 10 || || |SZ= }} zweielementige Teilmengen. Wenn diese fixiert ist, muss man noch sagen, wie der Dreierzyklus auf dem Komplement aussehen soll. Dafür gibt es jeweils zwei Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also unter den {{math|term= 120 |SZ=}} Permutationen {{ Relationskette/display | 24+ 10 \cdot 2 || 44 || || || |SZ= }} fixpunktfreie Permutationen. Die Wahrscheinlichkeit, eine erlaubte Wichtelzuordnung zu ziehen, ist somit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|44|120}} || {{op:Bruch|11|30}} || || || |SZ=. }} Für deutlich größere {{math|term= n |SZ=}} wird es auch mit der Zyklenmethode schwierig, die genaue Anzahl der fixpunktfreien Permutationen zu bestimmen. Wir werden gleich eine bessere Methode kennenlernen. Wir fassen kurz die berechneten Wahrscheinlichkeiten zusammen. {{Wertetabelle6 |text1={{math|term= n |SZ=}}|1|2|3|4|5| \ldots |text2={{math|term= w(n) |SZ=}}|0| {{op:Bruch|1|2}} | {{op:Bruch|1|3}} | {{op:Bruch|9|24}} | {{op:Bruch|11|30}} | ? }} In gerundeten Prozent ist dies {{Wertetabelle6 |text1={{math|term= n |SZ=}}|1|2|3|4|5| \ldots |text2={{math|term= w(n) |SZ=}}|0| 50 | 33{,}3 | 37{,}5 | 36{,}6 | ? }} Diese Zahlen gehen hoch und runter. Wir möchten uns mit dem Problem beschäftigen, wie sich diese Zahlen verhalten, wenn {{math|term= n |SZ=}} groß und größer wird, gegen unendlich geht. {{ inputproblem |Wichteln/Wahrscheinlichkeit/Problem||| || }} Wie sieht es etwa für {{ Relationskette |n ||1000 || || || |SZ= }} aus? {{Anführung|Streben}} die Wahrscheinlichkeiten einer bestimmten Zahl entgegen oder varieren sie in alle Richtungen? Wenn sie gegen eine bestimmte Zahl streben, gegen welche? Gegen {{math|term= 0 |SZ=,}} gegen {{math|term= 1 |SZ=,}} gegen irgendwas dazwischen? Heuristisch ist es hier schwierig, einen Tipp abzugeben. Einerseits ist, wenn {{math|term= n |SZ=}} groß ist, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person sich selbst zieht, sehr klein. Andererseits darf aber gar keine Person sich selbst ziehen, und das sind wiederum viele Bedingungen, und viele kleine Wahrscheinlichkeiten können sich zu einer großen Zahl aufaddieren. Wir beschreiben nun eine einfache Möglichkeit, für jedes {{math|term= n |SZ=}} die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen anzugeben. Betrachten wir zuerst das Problem, dass bei einer Permutation eine bestimmte Person auf sich selbst abgebildet wird. Dies haben wir schon weiter oben für einzelne Zahlen bestimmt, es gibt {{mathl|term= (n-1)!|SZ=}} Permutationen von dieser Art, da ja die eine Person auf sich selbst abgebildet wird, und es ansonsten keine weitere Bedingung gibt, es sich also einfach um die Gesamtzahl der Permutationen von {{math|term= n-1 |SZ=}} Personen handelt. Falsch wäre es jetzt, diese Anzahl {{math|term= n |SZ=-}}mal aufzuaddieren, da wir dann eine Permutation mit mehreren Fixpunkten mehrfach zählen würden. {{ inputbild |Inclusion-exclusion|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Chris-martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir müssen die sogenannte {{Stichwort|Siebformel|SZ=}} anwenden. Sie berechnet die Anzahl in einer Vereinigung von Mengen, wenn die einzelnen Anzahlen der Mengen und ihrer Durchschnitte bekannt sind. Im einfachsten Fall, bei {{ Relationskette/display |M ||A \cup B || || || |SZ=, }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl|M|}} || {{op:Anzahl|A|}} + {{op:Anzahl|B |}} - {{op:Anzahl|A \cap B|}} || || || |SZ=. }} Um die Elemente, die sowohl in {{math|term= A |SZ=}} als auch in {{math|term= B |SZ=}} sind, nicht doppelt zu zählen, muss man deren Anzahl abziehen. Bei drei Mengen {{ Relationskette/display |M ||A \cup B \cup C || || || |SZ=, }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl|M|}} || {{op:Anzahl|A|}} + {{op:Anzahl|B |}} + {{op:Anzahl|C |}} - {{op:Anzahl|A \cap B|}}- {{op:Anzahl|A \cap C|}}- {{op:Anzahl|B \cap C|}} + {{op:Anzahl|A \cap B \cap C|}} || || || |SZ=. }} Die allgemeine Formel für eine Vereinigung von {{math|term= n |SZ=}} Mengen {{mathl|term= A_1,A_2 {{kommadots|}} A_n |SZ=}} wird im folgenden Satz beschrieben. {{ inputfakt |Endliche Menge/Siebformel/Fakt|Satz|| || }} Kehren wir zu unserer Frage zurück. Zu jedem {{math|term= i \in {{Menge1n}} |SZ=}} sei {{math|term= A_i |SZ=}} die Menge aller Permutationen auf {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=,}} die {{math|term= i |SZ=}} auf sich selbst abbilden. Somit ist {{mathl|term= A_1 \cup A_2 {{cupdots}} A_n |SZ=}} die Menge aller Permutationen, die mindestens einen Fixpunkt haben. Um die Siebformel anwenden zu können, müssen wir zu {{ Relationskette |J |\subseteq| {{Menge1n|}} || || || |SZ= }} die Durchschnitte {{mathl|term= \bigcap_{i \in J} A_j |SZ=}} verstehen. Bei dieser Menge handelt es sich um diejenigen Permutationen, für die alle Elemente aus {{math|term= J |SZ=}} Fixpunkte sind {{ Zusatz/Klammer |text=und die auch noch weitere Fixpunkte außerhalb von {{math|term= J |SZ=}} haben können| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn die Anzahl von {{math|term= J |SZ=}} gleich {{math|term= k |SZ=}} ist, so gibt es {{mathl|term= (n-k)!|SZ=}} solche Permutationen, da ja die Permutation auf {{math|term= J |SZ=}} die Identität sein muss und es außerhalb von {{math|term= J |SZ=}} keine Einschränkung gibt. Bei fixiertem {{math|term= k |SZ=}} wissen wir auch, wie viele Teilmengen {{math|term= J |SZ=}} mit {{math|term= k |SZ=}} Elementen zu berücksichtigen sind, nämlich {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} |SZ=.}} Mit diesen Zahlen ergibt sich nun mit Hilfe der Siebformel der Ausdruck {{ Relationskette/align |{{op:Anzahl| A_1 \cup A_2 {{cupdots}} A_n |}} || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} (n-k)! || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{op:Bruch|n!|k! (n-k)! }} (n-k)! || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{op:Bruch|n!|k! }} || || |SZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit, eine wichtelkonforme {{ Zusatz/Klammer |text=fixpunktfreie| |ISZ=|ESZ= }} bijektive Abbildung zu ziehen, ist somit gleich {{ Relationskette/align | {{op:Bruch|n! - {{op:Anzahl| A_1 \cup A_2 {{cupdots}} A_n }}|n! }} || 1- {{op:Bruch| \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{op:Bruch|n!|k! }} |n!}} || 1- {{makl| \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{op:Bruch|1 |k! }} |}} || 1+ \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} || \sum_{k {{=}} 0}^n (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} |SZ=. }} Wir berechnen diese Ausdrücke für {{ Relationskette |n |\leq|5 || || || |SZ= }} und vergleichen sie mit den oben gefundenen. Es ist {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=}} 0}^1 (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} || 1-1 || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=}} 0}^2 (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} ||1-1 +{{op:Bruch|1 |2 }} || {{op:Bruch|1 |2 }} || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=}} 0}^3 (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} ||1-1 +{{op:Bruch|1 |2 }} - {{op:Bruch|1 |6 }} || {{op:Bruch|1 |3 }} || || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=}} 0}^4 (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} ||1-1 +{{op:Bruch|1 |2 }} - {{op:Bruch|1 |6 }} + {{op:Bruch|1 |24 }} || {{op:Bruch|9 |24 }} || || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=}} 0}^5 (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} ||1-1 +{{op:Bruch|1 |2 }} - {{op:Bruch|1 |6 }} + {{op:Bruch|1 |24 }} - {{op:Bruch|1|120}} || {{op:Bruch|44 |120 }} || || || || |SZ=. }} Das Schöne an der jetzt gefundenen Formel ist, dass sich der nächste Wert durch Hinzunahme oder Abzug eines einfachen Bruches aus der zuvor berechneten Zahl ergibt. {{Zwischenüberschrift|Die eulersche Zahl}} {{ inputbild |Exponential function|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Luks |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei, |Bemerkung= }} Die eulersche Zahl {{ Relationskette/display |e || 2{,}71828 \ldots || || || |SZ= }} gehört zu den wichtigsten Zahlen der Mathematik überhaupt, und kommt in sehr vielen verschiedenen Gebieten der Mathematik vor. Das gleiche gilt für die zugehörige Exponentialfunktion, also die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R|\R |x|e^x |SZ=. }} Die Exponentialfunktion hat die folgende Darstellung. {{ inputfakt |Reelle Exponentialfunktion/Grenzwert und Potenzreihe/Fakt|Satz|| || }} Insbesondere ist also {{ Relationskette/display |e ||\sum_{k {{=}} 0}^n {{op:Bruch|1 |k! }} ||1+1+ {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|1|6}} + {{op:Bruch|1|24}} + {{op:Bruch|1|120}} + \ldots || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | e^{-1} || \sum_{k {{=}} 0}^n (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} || 1-1+ {{op:Bruch|1|2}} - {{op:Bruch|1|6}} + {{op:Bruch|1|24}} - {{op:Bruch|1|120}} \pm \ldots || || |SZ=. }} Somit ist die oben ermittelte Formel für die Wahrscheinlichkeit, eine fixpuntfreie Permutation zu ziehen, gleich der Anfangssumme von {{mathl|term= e^{-1} |SZ=.}} Insbesondere konvergiert diese Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= w(n) |SZ=}} gegen {{mathl|term= e^{-1} |SZ=}} für {{math|term= n |SZ=}} gegen unendlich. Der numerische Wert ist {{ Relationskette/display |e^{-1} || 0{,}367879 \ldots || || || |SZ=, }} die oben zuletzt ausgerechneten Werte sind also schon ziemlich gut. {{Zwischenüberschrift|Andere Auswahlverfahren}} Beim üblichen Ziehen ist, wie wir gesehen haben, die Wahrscheinlichkeit, dass jemand sich selbst zieht und die Ziehung dann wiederholt werden muss, nicht zu vernachlässigen. Gibt es andere Auswahlverfahren? Es soll jede (fixpunktfreie) Zuordnung gleichwahrscheinlich sein und jede Person sollte außer der zu beschenkenden Person keinerlei weitere Information haben. Es sei zumindest {{ Relationskette |n |\geq|3 || || || |SZ=. }} Wir besprechen zwei mögliche Ansätze. Methode 1 Statt leerer Zettel nimmt man einseitig mit von {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= n |SZ=}} durchnummerierte Zettel. Diese werden mit der Nummer nach unten hingelegt und jede Person zieht zufällig einen Zettel mit der Nummer, und zwar ohne den Zettel zurück zu legen. Nach diesem ersten Schritt besitzt also jede Person genau einen Zettel mit einer Nummer. Jede Person merkt sich ihre Nummer und schreibt auf ihrem Zettel den eigenen Namen auf der leeren Seite drauf. Die Zettel werden nun mit der Nummer nach oben wieder hingelegt, was die anderen nicht sehen dürfen. Im letzten Schritt zieht nun jede Person ihre Nachfolgerzahl, wenn also eine Person die Nummer {{math|term= k |SZ=}} gezogen hat, muss sie jetzt den Zettel mit der Nummer {{mathl|term= k+1 |SZ=}} rausgreifen {{ Zusatz/Klammer |text=was im Fall {{mathl|term= k= n |SZ=}} als {{math|term= 1 |SZ=}} zu verstehen ist| |ISZ=|ESZ=, }} den Zettel umdrehen und den Namen lesen. Die darauf stehende Person ist zu beschenken, der Zettel wird mit der Nummer nach oben wieder zurückgelegt. Bei diesem letzten Schritt müssen wieder alle anderen Personen wegschauen, da es ja geheim sein soll, welche Nummer zu welcher Person gehört. Diese Methode ist nicht ganz korrekt, da sie etwas Information über die Gesamtzuordnung mitliefert. Man weiß nämlich, dass die Person, der ich etwas schenken soll, definitiv nicht mein Schenker sein kann. Bei einer zufälligen Ziehung kann es aber sein, dass man selbst in einem Zweierzyklus landet. Methode 2 Man macht für jede mögliche fixpunktfreie Permutation einen großen Umschlag {{ Zusatz/Klammer |text=das sind also sehr viele Umschläge| |ISZ=|ESZ=, }} der wiederum {{math|term= n |SZ=}} kleine Umschläge enthält. Auf jedem kleinen Umschlag steht außen ein Name und im Innern ist ein Zettel mit einem weiteren Namen. Jede Permutation kann man ja durch solche Umschläge kodieren, die kleinen Umschläge übernehmen also die Rolle der Wertetabelle. Die Gruppe muss dann einen großen Umschlag wählen, ihn öffnen und jede Person öffnet dann den kleinen Umschlag, auf dem ihr Name steht. Die im kleinen Umschlag innen benannte Person ist zu bewichteln. Diese Methode ist mathematisch völlig korrekt, aber praktisch undurchführbar. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Fixpunkte von endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der eulerschen Zahl |Kategorie3= |Objektkategorie=Die eulersche Zahl |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 01g12an0m6y9pbev072e47jnm8srdki 0 103801 1077070 959442 2026-04-13T06:33:09Z Bocardodarapti 2041 1077070 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Aufgrund der Transitivität muss es für jedes {{ Relationskette | y | \in | {{Menge1n}} || || || |SZ= }} ein Element {{ Relationskette | \pi | \in | G || || || |SZ= }} geben, das die {{math|term= 1 |SZ=}} auf {{math|term= y |SZ=}} abbildet, also muss es zumindest {{math|term= n |SZ=}} Gruppenelemente in {{math|term= G |SZ=}} geben. |Wir betrachten die vom Zyklus {{mathl|term= 1 \mapsto 2 \mapsto \ldots \mapsto n \mapsto 1 |SZ=}} erzeugte Untergruppe. Diese ist zyklisch der Ordnung {{math|term= n |SZ=}} und besitzt insbesondere {{math|term= n |SZ=}} Elemente. Die Transitivität ist klar. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kwttx4q5nphjs1hinu0jr30jfc3opm2 0 112532 1077002 1075488 2026-04-12T18:11:01Z Bert Niehaus 20843 /* Seiten-Information */ 1077002 wikitext text/x-wiki == Einführung == * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition ;Denn es gilt :<math>x = \log_b a</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ;Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Division :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ;Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Subtraktion :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b a</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== ==== Produkte ==== Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. ==== Quotienten ==== Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \frac xy = \log_b x - \log_b y</math> angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Insbesondere ergibt sich daraus (da <math>\log 1 = 0</math>): :<math>\log_b \frac 1x = - \log_b x</math> Allgemeiner ergibt sich direkt aus der obigen Quotientenregel das [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]]<nowiki />gesetz: :<math>\log_b \frac{x}{y} = - \log_b \frac{y}{x}</math> ==== Summen und Differenzen (selten genutzt)==== Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> ==== Potenzen ==== Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. ==== Wurzeln ==== Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac 1n\log_b x. </math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> # Berechne <math>(\log_{12}(24))^2</math> # Berechne <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Basisumrechnung == <!-- Ü.: Georg-Johann: zu Gesetze oder Praxis --> Um Logarithmen zur Basis <math>b</math> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math>a</math> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang :<math>\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}</math> denn mit <math>y = \log_b x</math> gelten die Umformungen :<math> \begin{align} b^y &= x \\ \log_a b^y &= \log_a x \\ y \log_a b &= \log_a x \\ y &= \frac{\log_a x}{\log_a b} \end{align} </math> Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet: :<math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math> oder <math>\log_a b \cdot \log_b a=1</math> ;Beispiel: :<math>\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}</math> :für beliebige positive Zahlen <math>x</math> ist <math>\frac{\ln x}{\log_{10} x} = \ln 10 \approx 2{,}302585</math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_4(10)</math> # Berechne <math>\log_{12}(36)</math> # Berechne <math>\ln(e)</math> # Berechne <math>\log_5(5)</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Komplexer Logarithmus == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] qvpldpbb38r6s59ot54x0o6w0r3ldzt 1077003 1077002 2026-04-12T18:12:14Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077003 wikitext text/x-wiki == Einführung == * Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] ist die Umkehrung des [[w:de:Potenz (Mathematik)|Potenzierens]] * Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation * Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition ;Denn es gilt :<math>x = \log_b a</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = b^{\log_b a}</math> :<math>\Leftrightarrow b^x = a</math> ;Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Division :<math>x = \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = b \cdot \frac{a}{b}</math> :<math>\Leftrightarrow b \cdot x = a</math> ;Dies ist deckungsgleich zur Umkehrung der Subtraktion :<math>x = a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = b + a-b</math> :<math>\Leftrightarrow b + x = a</math> == Schreibweise == Man schreibt für den Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math> :<math>x = \log_b a</math> und sagt: ''„<math>x</math> ist der Logarithmus von <math>a</math> zur Basis <math>b</math>“''. <math>a</math> heißt ''Numerus'' oder veraltet auch ''Logarithmand.''<ref name="Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin">Wissenschaftliche Zeitschrift der Humboldt-Universität zu Berlin. 38, 1989, S. 5.</ref> Das Ergebnis <math>x</math> des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis <math>b</math> potenzieren muss, um den Numerus <math>a</math> zu erhalten.<ref>Lothar Kusch: ''Mathematik, Bd 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie.'' W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S.&nbsp;162 f.</ref> Passend zu <math display='inline'>x = \log_b a</math> ist also <math display='inline'>b^x = a</math>. ==Rechenregeln== ==== Produkte ==== Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht die hilfreiche Rechenregel :<math>\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y</math> zur Verfügung; Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren. ==== Quotienten ==== Die Quotienten leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall :<math>\log_b \frac xy = \log_b x - \log_b y</math> angegeben. Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers <math>x</math> minus den Logarithmus des Nenners <math>y</math>. Insbesondere ergibt sich daraus (da <math>\log 1 = 0</math>): :<math>\log_b \frac 1x = - \log_b x</math> Allgemeiner ergibt sich direkt aus der obigen Quotientenregel das [[w:de:Kehrwert|Kehrwert]]<nowiki />gesetz: :<math>\log_b \frac{x}{y} = - \log_b \frac{y}{x}</math> ==== Summen und Differenzen (selten genutzt)==== Aus der Formel für Produkte kann eine Formel für Logarithmen von Summen (und Differenzen) wie <math>x+y</math> hergeleitet werden, indem <math>x</math> ausgeklammert wird: :<math>x+y = x \left(1+\frac yx\right).</math> Damit ergibt sich die „Regel“ :<math>\log_b (x + y) = \log_b x + \log_b \left(1 + \frac yx\right).</math> ==== Potenzen ==== Für Potenzen mit reellem Exponent <math>r</math> gilt die Regel :<math>\log_b \left(x^r\right) = r \log_b x.</math> Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis. Auch daraus lässt sich für <math>r = -1</math> :<math>\log_b \frac 1x = -\log_b x</math> ermitteln. Der Logarithmus eines [[w:de:Stammbruch|Stammbruchs]] <math>\tfrac{1}{x}</math> ist der negative Logarithmus des Nenners <math>x</math>. Diese Rechenregeln lassen sich von den [[w:de:Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] ableiten. ==== Wurzeln ==== Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus die Rechenregel :<math> \log_b \sqrt[n]{x} = \log_b \left(x^{\frac 1n}\right) = \frac 1n\log_b x. </math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_{10}(4)+\log_{10}(25)</math> # Berechne <math>(\log_{12}(24))^2</math> # Berechne <math>\frac{ln(e)}{(ln(e^3))}</math> == Basisumrechnung == <!-- Ü.: Georg-Johann: zu Gesetze oder Praxis --> Um Logarithmen zur Basis <math>b</math> mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis <math>a</math> zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang :<math>\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}</math> denn mit <math>y = \log_b x</math> gelten die Umformungen :<math> \begin{align} b^y &= x \\ \log_a b^y &= \log_a x \\ y \log_a b &= \log_a x \\ y &= \frac{\log_a x}{\log_a b} \end{align} </math> Damit sieht man, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden. Die meisten Tabellenwerke stellen Logarithmen nur zur Basis 10 zur Verfügung, Taschenrechner auch zur Basis e (den natürlichen Logarithmus). Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen. Ein prominenter Spezialfall, der sich aus obiger Formel ergibt, lautet: :<math>\log_a b = \frac{1}{\log_b a}</math> oder <math>\log_a b \cdot \log_b a=1</math> ;Beispiel: :<math>\log_{10} 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 10} = \frac{\ln 8}{\ln 10}</math> :für beliebige positive Zahlen <math>x</math> ist <math>\frac{\ln x}{\log_{10} x} = \ln 10 \approx 2{,}302585</math> ===Aufgaben=== # Berechne <math>\log_4(10)</math> # Berechne <math>\log_{12}(36)</math> # Berechne <math>\ln(e)</math> # Berechne <math>\log_5(5)</math> == Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion == Der [[w:de:Logarithmus|Logarithmus]] bzw. die Logarithmusfunktion ist die [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrung]] der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]]. Betrechten wir die Allgemeine Exponentialfunktion <math display="inline">f</math>, mit der Basis <math display="inline">a</math> (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\ne1</math>). ;Exponentialfunktion :<math display="inline">f_a(x) = a^x</math> [[Datei:Exponentialfunktion pfc.png|mini|Graphen der Exponentialfunktion für die Basen a=2, a=3 und a=4.]] ;Logarithmusfunktion :<math display="inline">\tilde f_a(x) = \log_a(x)</math> [[Datei:ExponentialfunktionUndLog pfc.png|mini|Exponentialfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4; Logarithmusfunktionen mit Basen a=2, a=3, a=4]] ===Spezielle Exponentialfunktionen und Logarithmen=== Neben der allgemeinen Schreibweise :<math display="inline">f_a(x)=a^x</math> :<math display="inline">\tilde f_a(x)=\log_a(x)</math> gibt es noch weitere spezielle [[w:de:Logarithmus#Bezeichnungen|Bezeichnungen]], je nach benutzter Basis <math display="inline">a</math>. ====Basis <math display="inline">a=2</math>==== :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2=log_2(x)=ld(x)</math>, <math display="inline">ld</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_2</math> und steht für logarithmus dualis (2er Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=e</math>==== :<math display="inline">f_e(x)=e^x</math>, :<math display="inline">e</math> steht hier für die [[w:de:Eulersche Zahl|Eulersche Zahl]] und entspricht in etwa <math display="inline">e=2{,}718</math> :<math display="inline">\tilde f_e=log_e(x)=ln(x)</math>, <math display="inline">ln</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_e</math> und steht für logarithmus naturalis (Natürlicher Logarithmus). ====Basis <math display="inline">a=10</math>==== :<math display="inline">f_{10}(x)=10^x</math> :<math display="inline">\tilde f_{10}=log_{10}(x)=lg(x)</math>, <math display="inline">lg</math> ist die Abkürzung für <math display="inline">log_{10}</math> (Dekadischer Logarithmus). '''Auf dem Taschenrechner wird <math display="inline">lg</math> oft fälschlicherweise als <math display="inline">log</math> bezeichnet.''' ==Umkehrfunktionen und die Bedeutung davon== Was bedeutet eigentlich Umkehrfunktion bzw. Umkehrung. Gehen wir einen Schritt zurück und schauen uns die Quadratische- und Wurzelfunktion an. === Quadratfunktion === Wir definieren die quadratische Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> Betrachten wir zusätzlich dazu den Definitionsbereich <math display="inline">\mathbb{D}</math> und Wertebereich <math display="inline">\mathbb{W}</math> von <math display="inline">f</math>. Der Definitionsbereich gibt an welche Zahlen in die Funktion <math display="inline">f</math> eingesetzt werden dürfen. Der Werteberich gibt an welche Zahlen der Funktionswert <math display="inline">f(x)</math> bzw. <math display="inline">y</math> annehmen können. In die Funktion <math display="inline"> f(x) = x^2</math> dürfen alle beliebigen reelen Zahlen eingesetzt werden der Definitionsbereich ist also <math display="inline">\R</math>. Der Wertebereich sind alle reelen Zahlen die größer oder gleich der 0 sind (Der Graph der Normalparabel liegt oberhalb der x-Achse und berührt diese im Punkt <math display="inline">(0,0)</math>). Der Wertebereich ist also <math display="inline">\R_0^+</math>. ;Mathematische Notation der Quadrat-Funktion :<math display="inline">f\colon \R \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto f(x)= x^2</math> Die erste Zeile gibt den Namen der Funktion an, gefolgt von einem Doppelpunkt. Danach stehen der Definitionsbereich (links) und der Wertebereich (rechts) von einem Pfeil getrennt. Die zweite Zeile gibt die Variable an, in diesem Fall <math display="inline">x</math>, gefolgt von einem Zuordnungspfeil und anschließend der Zuordnungsvorschrift (hier: <math display="inline">f(x)= x^2</math>). === Wurzelfunktion === Wir wissen, dass unter der Wurzel nur Zahlen stehen dürfen die größer oder gleich null sind, dies ist der Definitionsbereich. Abgekürzt schreiben wir für alle relle Zahlen größer oder gleich null: :<math display="inline">\R_0^+</math>. Ebenso ist der Wertebereich definiert. ;Mathematische Notation der Wurzel-Funktion :<math display="inline">\tilde f\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto \tilde f(x)= \sqrt{x}</math> === Was passiert beim Umkehren === Unter dem Umkehren versteht man das hintereinanderausführen einer Funktion und seiner Umkehrfunktion. Betrachten wir als Beispiel die oben definierten Funktionen <math display="inline">f</math> und <math display="inline">\tilde f</math>. Zuerst ziehen wir die Wurzel, danach wird Quadriert, dies bezeichnen wir als neue Funktion <math display="inline">g</math>. Die Definition von <math display="inline">g</math> ist: :<math display="inline">g\colon \R_0^+ \to \R_0^+</math> :<math display="inline">x\mapsto g(x)= f(\tilde f(x))= f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2=x</math> Wir sehen anhand der Zuordnungsvorschrift, dass für alle <math display="inline">x</math> aus dem Definitionsbereich, als Ergebnis wieder <math display="inline">x</math> herauskommt. ===Beispiel=== Sei <math display="inline">x=3</math>. :<math display="inline">f(x)=x^2 \Rightarrow f(3)=3^2=9</math> :<math display="inline">\tilde f(x)= \sqrt{x} \Rightarrow \tilde f(f(x))=\sqrt{f(x)} \Rightarrow \tilde f(9)=\sqrt9 = 3 = x</math> ==Logarithmusfunktion als Umkehrung der Exponentialfunktion== ===Exponentialfunktion=== In die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis <math display="inline">a</math>, hier benannt als <math display="inline">f_a</math>, können alle rellen Zahlen eingesetzt werden (<math display="inline">\mathbb{D}=\R</math>). Alle Funktionswerte von <math display="inline">f_a</math> sind größer als <math display="inline">0</math>, der Wertebereich sind alle rellen Zahlen größer <math display="inline">0</math> (<math display="inline">\mathbb{W}=\R^+</math>). In anderen Worten <math display="inline">x</math> kann zwischen <math display="inline">-\infty</math> und <math display="inline">\infty</math> liegen, also <math display="inline">-\infty < x < \infty</math>. Die Funktionswerte sind größer <math display="inline">0</math>, also <math display="inline">0 < f_a(x) < \infty</math>. :<math display="inline">f_a\colon \R \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto f_a(x)=a^x</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Logarithmusfunktion=== Die allgemeine Logarithmusfunktion mit Basis <math display="inline">a</math>, hier als <math display="inline">\tilde f_a</math> bezeichnet, hat den Definitionsbereich <math display="inline">\R^+</math> und den Wertebereich <math display="inline">\R</math>. :<math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> :<math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> mit (<math display="inline">a>0</math> und <math display="inline">a\neq 1</math>) ===Was passiert beim Umkehren=== Wir wollen nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion (beide mit gleicher Basis <math display="inline">a</math>) nacheinander ausführen. Wir führen zuest <math display="inline">\tilde f_a</math> aus und dann <math display="inline">f_a</math>, bennenen wir dies als <math display="inline">g_a</math> dann gilt: :<math display="inline">g_a\colon \R^+ \to \R^+</math> :<math display="inline">x \mapsto g_a(x)=f(\tilde f(x))=a^{log_a(x)}=x</math> ===Beispiel=== Sei die Basis <math display="inline">a = 2</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x)=log_2(x)=ld(x)</math> (<math display="inline">ld</math> steht für logarithmus dualis und ist eine abkürzende schreibweise für <math display="inline">log_2</math>) :<math display="inline">g_a(x)=2^ld(x)</math> Sei <math display="inline">x = 8</math>. :<math display="inline">f_2(x)=2^x \Rightarrow f_2(8)=2^8=256</math> :<math display="inline">\tilde f_2(x) = ld(x) \Rightarrow \tilde f_2((f_2(8))=ld(2^8)=ld(256)=8</math> ===Aufgaben=== # In welchem Bereich (zwischen welchen Grenzen) liegen die Zahlen <math display="inline">x</math>, die in die Funktion <math display="inline">\tilde f_a\colon \R^+ \to \R </math> mit <math display="inline">x \mapsto \tilde f_a(x)=log_a(x)</math> eingesetzt werden dürfen. # In welchem Bereich liegen die Funktionswerte von <math display="inline">\tilde f_a</math>. # Schreibe die vollständige Funktionendefinition der Funktion <math display="inline">h_a</math> mit Definitions- sowie Wertebereich und Zuordnungsvorschrift auf. <math display="inline">h_a</math> soll die Funktion sein bei der zuerst <math display="inline">f_a</math> und dann <math display="inline">\tilde f_a</math> ausgeführt wird. # Mithilfe des folgenden Links kannst du dir die Umkehrung von <math display="inline">a^x</math> und <math display="inline">\log_a(x)</math> verdeutlichen. Ziehe am x-Wert und ändere die Basis mit dem Schieberegler: https://www.geogebra.org/m/deyhqh92 <span id="komplexwertig"></span> == Komplexer Logarithmus == [[Datei:Riemann surface log.svg|mini|[[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] der komplexen Logarithmus-Funktion: Die Blätter spiegeln die Mehrdeutigkeit des Logarithmus wider, die aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion, folgt.]] [[Datei:Complex log.jpg|mini|Hauptwert <math>\ln z</math> des Logarithmus]] Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. Für jedes <math>z \in \Complex \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \Z</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb C: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' ({{enS|principal value}}) des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln z</math>. Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg z + 2k\pi\right), \quad k\in\Z</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math> . <math>\ln</math> ist nicht stetig auf <math>\mathbb C\setminus\{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb C\setminus\{x \in \R: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Zweige des Logarithmus als [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]n === Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[w:de:holomorphe Funktion|holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. ; Zur Beachtung Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von : <math>\ln(-1+\mathrm{i}) + \ln(-1+\mathrm{i}) = \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) + \left(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\right) = \ln2 + \frac{3\pi}2\mathrm{i}</math> mit :<math> \ln\bigl((-1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> zeigt, dass : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für alle von <math>0</math> verschiedenen komplexen Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> richtig ist. Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln x = \ln{x^y}</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln \mathrm{e} = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\R^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiten-Information == === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 13.3.2026 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity ==Literatur== <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|komplexwertiger Logarithmus]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] p31ou3rpitg5907yx05wduzpmn91lve 106 114946 1077057 832398 2026-04-13T06:25:46Z Bocardodarapti 2041 1077057 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Arbeitsblattgestaltung|7| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Ordnung/Lexikographisch/Definiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnung/Auf N/Zweierpotenzen rausziehen/Totale Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnung/Endliche Menge/Total geordnet/Bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Teilmenge/Potenzmenge/Induzierte Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Teilmengen/Anzahlrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnungsrelation/Totale Ordnung/Endliche Teilmengen/Maximum und Minimum/Induktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnungsrelation/Inklusion für echte Teilmenge/Maximale und minimale Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Ordnung/Wohlordnung/Definition|}} {{ inputaufgabe |Ganze Zahlen/Keine Wohlordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Ganze Zahlen/Definiere Wohlordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unendliche Menge/Nicht beidseitig wohlgeordnet/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Lemma von Dickson/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Beweise dies zuerst für {{ Vergleichskette |r ||2 || || || |SZ=. }} }} {{ inputaufgabe |R^2/Produktordnung/Kreis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Zahlen/N/Obere Schranke/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche_Mengen/Monotone_Abbildungen/Standard/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeit/Produktmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilerdiagramm/100/Begriffe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fakultät/Teilt gleichlanges Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilbarkeit/Größergleichbeziehung/Ordnungstreu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnungsstruktur/Unendliche Teilmengen von N+/Reelles halboffenes Einheitsintervall/Bijektiv/Kein Isomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Konvergente Folge/Grenzwertabbildung/Ordnungstheoretisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Inklusionsdiagramm/Dreielementige Menge/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreielementige Menge/Ordnungen/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vierelementige Menge/Ordnungen/Isomorphie/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnung/Ordnungsvolltreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Antimonoton/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geordnete Menge/Ein maximales Element/Größtes Element/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} b7h1qtv1tcr1jz5oelrd76wqkxzv2kl 0 116812 1077039 620929 2026-04-13T06:15:07Z Bocardodarapti 2041 1077039 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Gebietsanzahl/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Abschätzungen/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbeispiel |Vollständiger Graph/5/Nicht planar/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vollständiger bipartiter Graph/3/Nicht planar/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die eulersche Polyederformel für planare Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} e15mmj3cvv8flsg5kn0th3xvlbeo7dv 0 116827 1077036 1047351 2026-04-13T06:13:37Z Bocardodarapti 2041 1077036 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über die Anzahl {{math|term= g |SZ=}} der Gebiete. Bei {{ Relationskette |g || 1 || || || |SZ= }} liegt ein {{ Definitionslink |Baum| |Kontext=| |SZ= }} vor und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |n-m+1 || n- (n-1) +1 || 2 || || |SZ=. }} Es sei die Aussage nun für einen jeden planaren Graphen mit {{math|term= g |SZ=}} Gebieten bewiesen und sei {{math|term= G |SZ=}} ein zusammenhängender planarer Graph mit {{math|term= g+1 |SZ=}} Gebieten. Es ist dann {{math|term= G |SZ=}} kein Baum und besitzt daher einen {{ Definitionslink |Zyklus| |Kontext=Graph| |SZ= }} und damit auch einen {{ Definitionslink |Kreis| |Kontext=Graph| |SZ=, }} sagen wir {{ Relationskette |v_1 | \sim |v_2 | {{simdots|}} |v_r || || |SZ=. }} Bei der Herausnahme der Kante {{mathl|term= v_1v_2 |SZ=}} bleibt der Graph zusammenhängend und planar. Die Anzahl der Knoten bleibt gleich, die Anzahl der Kanten reduziert sich um {{math|term= 1 |SZ=}} und die beiden durch die Kante {{mathl|term= v_1v_2 |SZ=}} begrenzten Gebiete werden zu einem Gebiet vereinigt, die anderen Gebiete ändern sich nicht. Insgesamt reduziert sich also die Anzahl der Gebiete um {{math|term= 1 |SZ=.}} Da die Anzahl der Kanten und der Gebiete mit unterschiedlichem Vorzeichen in die Wechselsumme eingeht, ändert sich diese bei Herausnahme der Kante nicht. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Wechselsumme des reduzierten Graphen gleich {{math|term= 2 |SZ=,}} deshalb ist die Wechselsumme von {{math|term= G |SZ=}} ebenfalls gleich {{math|term= 2 |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f638w3ffa4u80g1ud38seqdlhgnloea 0 117288 1077037 1044294 2026-04-13T06:14:39Z Bocardodarapti 2041 1077037 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über die Anzahl der Knoten, wobei die Aussage bei höchstens {{math|term= 5 |SZ=}} Knoten unmittelbar klar ist. Es liege also ein ebener Graph {{math|term= G |SZ=}} mit {{math|term= n |SZ=}} Knoten vor und für jeden ebenen Graphen mit weniger als {{math|term= n |SZ=}} Knoten wissen wir, dass es eine zulässige Färbung mit höchstens {{math|term= 5 |SZ=}} Farben gibt. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Abschätzungen/Fakt |Nr=2 |SZ= }} gibt es einen Knoten {{math|term= u |SZ=}} mit höchstens {{math|term= 5 |SZ=}} Nachbarn. Es sei {{math|term= H |SZ=}} der Graph, der aus {{math|term= G |SZ=}} entsteht, wenn man {{math|term= u |SZ=}} und die an {{math|term= u |SZ=}} anliegenden Kanten herausnimmt. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt {{math|term= H |SZ=}} eine zulässige Färbung mit höchstens fünf Farben. Wenn die Nachbarn von {{math|term= u |SZ=}} nur höchstens vier Farben verwenden, was insbesondere dann der Fall ist, wenn {{math|term= u |SZ=}} höchstens vier Nachbarn besitzt, so kann man unmittelbar eine zulässige Färbung von {{math|term= H |SZ=}} zu einer zulässigen Färbung von {{math|term= G |SZ=}} ausbauen, indem man {{math|term= u |SZ=}} eine Farbe gibt, die in seinen Nachbarn nicht vorkommt. Der Punkt {{math|term= u |SZ=}} habe also genau {{math|term= 5 |SZ=}} Nachbarn mit {{math|term= 5 |SZ=}} verschiedenen Farben. Wir fixieren eine ebene Realisierung und wir bezeichnen die Nachbarn von {{math|term= u |SZ=}} mit {{math|term= v_1,v_2,v_3,v_4,v_5 |SZ=}} im Uhrzeigersinn {{ Zusatz/Klammer |text=ein kleiner Kreis um {{math|term= u |SZ=}} in {{math|term= \R^2 |SZ=,}} der keinen weiteren Knotenpunkt enthält, trifft jeden Verbindungsweg zu den Nachbarn in einem Punkt der Peripherie, dies legt die Reihenfolge fest| |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{math|term= c |SZ=}} eine zulässige Färbung auf {{math|term= H |SZ=.}} Wie betrachten den {{ Definitionslink |induzierten Untergraphen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |V_{13} || {{Mengebed|v \in H|c(v) {{=|}} c(v_1) \text{ oder } c(v) {{=|}} c(v_3) }} || || || |SZ=. }} Wir machen nun eine Fallunterscheidung je nachdem, ob {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_3 |SZ= }} in {{math|term= V_{13} |SZ=}} miteinander durch einen {{ Definitionslink |Weg| |Kontext=Graph| |SZ= }} verbunden sind oder nicht. Fall 1. Sie sind nicht miteinander verbunden. Es sei {{mathl|term= W_{13} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Zusammenhangskomponente| |Kontext=Graph| |SZ= }} von {{math|term= V_{13} |SZ=,}} die {{math|term= v_1 |SZ=}} enthält. Dabei gilt {{ Relationskette |v_3 |\notin| W_{13} || || || |SZ=. }} Wir legen jetzt auf {{math|term= H |SZ=}} eine neue Färbung {{math|term= c'|SZ=}} fest, indem wir {{ Relationskette/display | c'(v) || \begin{cases} c(v),\, \text{ falls } v \notin W_{13} \, , \\ c(v_3),\, \text{ falls } v \in W_{13} \text{ und } c(v) {{=|}} c(v_1) \, , \\ c(v_1),\, \text{ falls } v \in W_{13} \text{ und } c(v) {{=|}} c(v_3) \, . \end{cases} || || || |SZ= }} festlegen. Für die Knoten aus {{math|term= W_{13} |SZ=}} werden also die beiden Farben {{ mathkor|term1= c(v_1) |und|term2= c(v_3) |SZ= }} vertauscht, alle anderen Knoten behalten ihre Farben. Diese Färbung ist wieder zulässig. Dies ist klar für Kanten, die ganz außerhalb von {{math|term= W_{13} |SZ=}} oder ganz innerhalb von {{math|term= W_{13} |SZ=}} verlaufen. Bei {{ Relationskette |x | \in | W_{13} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |y |\notin|W_{13} || || || |SZ= }} besitzt bei {{ Relationskette |y |\notin| V_{13} || || || |SZ= }} dieser Knoten eine von {{ mathkor|term1= c(v_1) |und|term2= c(v_3) |SZ= }} verschiedene Farbe, und bei {{ Relationskette |y | \in | V_{13} || || || |SZ= }} gibt es keine Kante. Fall 2. Es gibt nun einen verbindenen Weg in {{math|term= V_{13} |SZ=}} von {{math|term= v_1 |SZ=}} nach {{math|term= v_3 |SZ=.}} Wenn es keinen verbindenden Weg von {{math|term= v_2 |SZ=}} nach {{math|term= v_4 |SZ=}} innerhalb des entsprechend definierten Untergraphen {{math|term= V_{24} |SZ=}} gibt, so sind wir aufgrund der Argumentation im ersten Fall fertig. Wir sind somit in der Situation, wo es einen Weg {{math|term= P_{13} |SZ=}} von {{math|term= v_1 |SZ=}} nach {{math|term= v_3 |SZ=}} in {{math|term= V_{13} |SZ=}} und einen Weg {{math|term= P_{24} |SZ=}} von {{math|term= v_2 |SZ=}} nach {{math|term= v_4 |SZ=}} in {{math|term= V_{24} |SZ=}} gibt. Wir ergänzen {{math|term= P_{13} |SZ=}} durch die Kanten {{ mathkor|term1= \{u, v_1\} |und|term2= \{u, v_3\} |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Zyklus| |Kontext=Graph| |SZ= }} in {{math|term= G |SZ=,}} der in der ebenen Realisierung einem geschlossenen Weg entspricht {{ Zusatz/Klammer |text=indem wir {{math|term= P_{13} |SZ=}} ohne Knotenwiederholungen wählen, können wir diesen geschlossenen Weg als überschneidungsfrei annehmen| |ISZ=|ESZ=. }} Hierbei liegt einer der Punkte {{ mathkor|term1= v_2 |oder|term2= v_4 |SZ= }} im Inneren des durch den Weg begrenzten Gebietes und der andere außerhalb davon. Dann gibt es aber eine Überschneidung der beiden Wege, und diese muss in einem Knotenpunkt vorliegen. Dies ist aber ein Widerspruch, da die Farben {{mathl|term= c(v_1),c(v_2),c(v_3),c(v_4) |SZ=}} alle verschieden sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jr4vij374fplsmvzr7y6p659mz783zc 0 119479 1077063 832329 2026-04-13T06:28:04Z Bocardodarapti 2041 1077063 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Für jedes {{math|term=P|SZ=}} berechnet man das Bild von {{math|term=P|SZ=}} unter {{math|term= \sigma^2 |SZ=}} durch {{ Math/display|term= P\mapsto\sigma(P)\mapsto\sigma(\sigma(P)). |SZ= }} Also z.B. {{math|term= \sigma^2(1)= 4|SZ=}}, da {{math|term= 1\mapsto 7\mapsto 4. |SZ=}} Auf diese Weise erhält man die Wertetabelle für {{math|term= \sigma^2 |SZ=}}, und ähnlich für {{math|term= \sigma^3 |SZ=}}. Um die Zyklendarstellung für {{math|term= \sigma |SZ=}} zu erhalten, muss man alle Zyklen von {{math|term= \sigma |SZ=}} finden. Sei {{math|term=P|SZ=}} beliebig. Der Zyklus von {{math|term= \sigma |SZ=,}} der {{math|term=P|SZ=}} enthält, wird durch Bestimmen des minimalen {{math|term=n \in \N_+|SZ=}} mit {{ Math/display|term= P\mapsto\sigma(P)\mapsto\sigma^2(P)\mapsto\cdots\mapsto \sigma^n(P)=P|SZ= }} gefunden. In diesem Fall ist {{ Math/display|term= Z=\langle P, \sigma(P), \dots, \sigma^{n-1}(P) \rangle|SZ= }} ein Zyklus von {{math|term= \sigma |SZ=.}} Die Bestimmung von {{math|term=n|SZ=}} und damit von {{math|term=Z|SZ=}} kann leicht mit der Wertetabelle von {{math|term= \sigma |SZ=}} erfolgen. Sei nun {{math|term=Q\not\in Z|SZ=}}. Ähnlich wie zuvor kann man einen Zyklus {{math|term=Z'|SZ=}} von {{math|term= \sigma |SZ=}} finden, der {{math|term=Q|SZ=}} enthält. Wenn man dieses Verfahren fortsetzt, erhält man alle Zyklen von {{math|term= \sigma |SZ=}} in endlich vielen Schritten. Die Zyklendarstellungen für {{math|term= \sigma^2 |SZ=}} und {{math|term= \sigma^3 |SZ=}} kann man wie oben aus ihren Wertetabellen ableiten. Man kann diese Darstellungen aber auch direkt aus der Zyklendarstellung von {{math|term= \sigma |SZ=}} erhalten. Zum Beispiel ist {{ Math/display|term= Z=\langle 1, 7, 4, 9, 8 \rangle|SZ= }} ein Zyklus von {{math|term= \sigma |SZ=}}. Dann sieht man leicht, dass {{ Math/display|term= \hat{Z}=\langle 1, 4, 8, 7, 9 \rangle|SZ= }} ein Zyklus von {{math|term= \sigma^2 |SZ=}}. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s6tvctmj8hnpofaxtsk2i1trdt0vft4 106 121948 1077058 647281 2026-04-13T06:25:58Z Bocardodarapti 2041 1077058 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe|p||| |Pickel/Ausdrücken/Reihenfolge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Darstellung der 1/11 und 13/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Gruppe/x ist y oder Inverses/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ev3s5p7nly87m09o48bd1qha7hf16fk 1 122895 1077055 646985 2026-04-13T06:24:57Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Diskussion:Ordnungsrelation/Zykel/Gleichheit/Aufgabe/Lösung]] nach [[Diskussion:Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe/Lösung]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 646985 wikitext text/x-wiki Müsste es zu Beginn für den Induktionsanfang nicht die Anti-Symmetrie einer Ordnung sein und nicht die Symmetrie? :ja, Danke. bvv3l7tdjxol6klf4mvfm1icsokwjdc 0 130764 1077025 1018893 2026-04-13T06:08:20Z Bocardodarapti 2041 1077025 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir möchten zeigen, dass bei endlichen Mengen die elementare Äquivalenz den Isomorphietyp bereits festlegt. Wir besprechen zunächst einige typische Beispiele, die als Orientierung für den komplexen Beweis dienen sollen. {{ inputbeispiel |Endliche Struktur/Keine Symbole/Freiheit/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ein Funktionssymbol/Bijektiv/Permutation/Zyklus/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Endliche Gruppe/Z mod 8/Elementar äquivalent und isomorph/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Endliche Struktur/Einelementige elementare Äquivalenzlassen/Wohldefiniert/Beispiel|| }} Aus den Überlegungen der letzten Vorlesung erhalten wir das folgende Resultat. Im Beweis arbeiten wir mit folgender Definition. {{ inputdefinition |Modell/Teilmenge/Funktional abgeschlossen/Definition|| }} Unter einem {{Stichwort|formal-zusammengesetzten Funktionssymbol|msw=formal-zusammengesetztes Funktionssymbol|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Funktionssymbolbaum|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} versteht man die Elemente der folgenden rekursiv festgelegten Menge {{ Zusatz/Klammer |text=innerhalb der Menge von Stammbäumen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung2 |Jedes Funktionssymbol {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Konstanten| |ISZ=|ESZ= }} gehört dazu. |Wenn {{math|term= f |SZ=}} ein {{math|term= k |SZ=-}}stelliges Funktionssymbol ist und {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_k |SZ=}} formal-zusammengesetzte Funktionssymbole sind, so ist auch der Stammbaum {{ Zusatz/Klammer |text=nicht die Symbolkette| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= fF_1 \ldots F_k |SZ=}} ein formal-zusammengesetztes Funktionssymbol. }} Ein formal-zusammengesetztes Funktionssymbol besitzt eine natürliche Stelligkeit. Bei einer Interpretation mit Grundmenge {{math|term= M |SZ=}} wird ein formal-zusammengesetztes Funktionssymbol {{math|term= F |SZ=}} als Hintereinanderschaltung der beteiligten Abbildungen interpretiert, wofür wir wieder {{math|term= F^M |SZ=}} schreiben. Eine funktional abgeschlossene Menge ist auch unter jeder formal-zusammengesetzten Funktion abgeschlossen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Funktional abgeschlossen/Formales Funktionssymbol/Abgeschlossen/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und zu einer Startmenge {{ Relationskette |U |\subseteq|M || || || |SZ= }} besteht die kleinste funktional abgeschlossene Teilmenge, die {{math|term= U |SZ=}} enthält, genau aus den Werten der formal-zusammengesetzten Funktionen mit Argumenten aus {{math|term= U |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man nennt dies die {{Stichwort|funktionale Hülle|SZ=}} von {{math|term= U |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn man mit einem Element {{math|term= m |SZ=}} startet, und nur ein einstelliges Funktionssymbol zur Verfügung hat, so besteht die funktionale Hülle einfach aus {{mathl|term= m,f(m),f(f(m)),f(f(f(m))), ... |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Fakt|Satz|| || }} Das im Beweis beschriebene Verfahren zur Konstruktion eines Isomorphismus ist grundsätzlich konstruktiv. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3p9pbx2ea5rry2hp7w8kv82xnngmwzr 106 131097 1077079 791296 2026-04-13T08:50:44Z Bocardodarapti 2041 1077079 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|19| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputbild |Diciembre|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |Text=Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten! |Autor= |Benutzer=Lumentzaspi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Polynomiale Gleichung/Sprachlich/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zickzacklinie/Stetigkeit/Differenzierbarkeit/Extrema/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reeller Funktionsverlauf/Extrema/4x^3+3x^2-x+2/Steigungspunkt von -3 bis 3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Funktionen/Ableitung gleich/Punktgleich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Funktionen/Größer und Ableitung größer/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Funktion/Zweifacher Schnitt mit Diagonale/Ableitung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/x^3+x-1/Nullstelle zwischen 0 und 1/Berechnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktion/Stetig differenzierbar/Ableitung nicht 0/Lokale Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomfunktion/Funktionsverlauf aus Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Funktion/Extremum/Zweite Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reeller Funktionsverlauf/Extrema/2x^3-5x^2+4x-1/Von -2 bis 5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Drei Städte/Symmetrisch/Schienenverbindung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rechteckiges Areal/An Fluss/1000 qm/Minimaler Zaun/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/2x-3 durch 5x^2-3x+4/Diskussion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Funktion/Höhere Ableitung/Positiv/Nullstellen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mittelwertsatz/Differentialrechnung/Quotientenversion/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mittelwertsatz/Erster aus zweitem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Funktionen auf Intervall/Ableitungsabbildung/Linear Kern Dimension/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Grenzwert/Rationale Funktion/3x^2-5x-2 durch x^3-4x^2+x+6/Polynomdivision/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Limes/Hospital/x^3-2x^2+x+4 durch x^2+x/a ist -1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Grenzwert/Hospital und Polynomdivision/x^2-3x+2 durch x^3-2x+1/x ist 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Grenzwert/Wurzel 1-x durch dritte Wurzel 1-x^2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hospital/Differenzierbar im Innern/Lineare Approximation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie}} {{ inputaufgabe |Ziffernfolge/Grundschule/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.) }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Reeller Funktionsverlauf/Extrema/3x^3-7x^2+6x-3/Von -4 bis 4/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/3x^2-2x+1 durch x-4/Diskussion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomfunktion/Grad d/Maximale Anzahl von Maxima und Minima/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Quotient aus linearen Polynomen/Keine Extrema/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Limes/Hospital/x^4+2x^3-3x^2+5x-5 durch 2x^3-x^2-4x+3/a ist 1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernfolge/Grundschule/Abbildung/Eigenschaften/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Weihnachtsaufgabe}} {{ inputaufgabe |Ziffernfolge/Grundschule/Abbildung/Zyklus/Aufgabe|p| |zusatz=(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.) |tipp= }} }} d6jnwnvx55323syf2psx6de6q343mni 106 157688 1077047 1067745 2026-04-13T06:20:24Z Bocardodarapti 2041 1077047 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|24| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/Matrix/47 53/Überprüfe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Cayley-Hamilton/Jordanform/Direkt/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/Obere Dreiecksmatrix/Konstante Diagonale/Direkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/Diagonalisierbar/Direkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismus/Direkte Summe/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Polynome/Q/Koeffizientenmatrix/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Minimalpolynom/Zerfällt und reduziert/Diagonalisierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitswurzeln/Körper/Bilden Untergruppe der Einheitsgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Einheitswurzel/Einheitskreis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Einheitswurzeln/Primitive Einheitswurzel/Definition}} {{ inputaufgabe |X^n-1/Division durch X-1/Eigenschaft einer Einheitswurzel neq 1/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Transpositionsmatrix/Q/Diagonalisierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zyklus/Minimalpolynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutationsmatrix/Zyklus/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutationsmatrix/Invariante Standardunterräume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/2/Wurzeln aus Einheitsmatrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Körper/Einheit/Endliche Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Körper/Invertierbare Matrix/Z mod 3/0120/Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Körper/Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Q/2/Ordnung 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/Matrix/745 638 221/Überprüfe/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/Annullierendes Polynom/Inverse Matrix/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endomorphismen/Direkte Summe/Minimalpolynom/Idealduchschnitt/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Körper/Invertierbare Matrix/Z mod 5/4123/Ordnung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutationsmatrix/C/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 0dd347jogkse1d6n99r8kx0tib3qoyk 1077049 1077047 2026-04-13T06:22:25Z Bocardodarapti 2041 1077049 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|24| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/Matrix/47 53/Überprüfe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Cayley-Hamilton/Jordanform/Direkt/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cayley Hamilton/Obere Dreiecksmatrix/Konstante Diagonale/Direkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cayley 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|zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutationsmatrix/C/Diagonalisierbar/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} k5z829onfk4c5vhdmv590fk95jz0jf2 0 161070 1077086 1034947 2026-04-13T08:54:47Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Permutationsmatrix/Zykel/4/Invariante Untervektorräume/Aufgabe]] nach [[Permutationsmatrix/Zyklus/4/Invariante Untervektorräume/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1034947 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Permutationsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | M || {{op:Matrix44| 0 |0| 0 | 1 |1| 0 |0| 0 |0| 1 | 0 |0| 0 |0| 1 |0}} || || || |SZ= }} über {{math|term= \R |SZ=.}} {{ Aufzählung5/a |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Charakteristisches Polynom| M |}} |SZ=}} von {{math|term= M |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Faktorzerlegung von {{math|term= {{op:Charakteristisches Polynom| M |}} |SZ=.}} Was sind die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=?}} |Bestimme{{n Sie}} die Eigenräume zu den Eigenwerten von {{math|term= M |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die direkte Summenzerlegung von {{math|term= \R^4 |SZ=}} in {{ Definitionslink |Prämath=M |invariante Untervektorräume| |Kontext=| |SZ=, }} die der Faktorzerlegung von {{math|term= {{op:Charakteristisches Polynom| M |}} |SZ=}} entspricht. |Bestimme{{n Sie}} zu einer Basis, die sich aus Basen der einzelnen invarianten Untervektorräume zusammensetzt, die beschreibende Matrix. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invarianten Untervektorräume zu einem Endomorphismus |Kategorie2=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=3 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 2zsrial9uqn3cxemmjuqgdwmc90rks2 0 161071 1077087 995329 2026-04-13T08:54:47Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Permutationsmatrix/Zykel/4/Invariante Untervektorräume/Aufgabe/Lösung]] nach [[Permutationsmatrix/Zyklus/4/Invariante Untervektorräume/Aufgabe/Lösung]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 995329 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung5/a |Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix44|X|0|0|0|0|X|0|0|0|0|X|0|0|0|0|X}} - {{op:Matrix44|0|0|0|1|1|0|0|0|0|1|0|0|0|0|1|0}} || {{op:Matrix44|X|0|0|-1|-1|X|0|0|0|-1|X|0|0|0|-1|X}} || || || |SZ=, }} das charakteristische Polynom ist also {{math|term= X^4-1 |SZ=.}} |Es sind {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ= }} Nullstellen, dies führt zur Faktorzerlegung {{ Relationskette/display | X^4-1 || (X-1)(X+1)(X^2+1) || || || |SZ=, }} der Faktor rechts ist reell nullstellenfrei und lässt sich nicht weiter zerlegen. Die Eigenwerte sind {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ=. }} |Aufgrund der Faktorzerlegung sind die beiden Eigenräume eindimensional. Der Eigenraum zu {{math|term= 1 |SZ=}} ist {{mathl|term= \R {{op:Spaltenvektor|1|1|1|1}} |SZ=.}} Der Eigenraum zu {{math|term= - 1 |SZ=}} ist der Kern von {{ Math/display|term= {{op:Matrix44|-1|0|0|-1|-1|-1|0|0|0|-1|-1|0|0|0|-1|-1}} |SZ=, }} das ist {{mathl|term= \R {{op:Spaltenvektor|1|-1|1|-1}} |SZ=.}} |Wir bestimmen den Kern der Matrix, die entsteht, wenn man in {{math|term= X^2+1 |SZ=}} die Matrix einsetzt. Wegen {{ Relationskette/display | {{op:Matrix44|0|0|0|1|1|0|0|0|0|1|0|0|0|0|1|0}} \circ {{op:Matrix44|0|0|0|1|1|0|0|0|0|1|0|0|0|0|1|0}} || {{op:Matrix44|0|0|1|0|0|0|0|1|1|0|0|0|0|1|0|0}} || || || |SZ= }} geht es um {{ Relationskette/display | {{op:Matrix44|1|0|0|0|0|1|0|0|0|0|1|0|0|0|0|1}} + {{op:Matrix44|0|0|1|0|0|0|0|1|1|0|0|0|0|1|0|0}} || {{op:Matrix44|1|0|1|0|0|1|0|1|1|0|1|0|0|1|0|1}} || || || |SZ=. }} Der Kern ist durch die beiden Erzeuger {{mathl|term= e_1-e_3 |SZ=}} und {{mathl|term= e_2-e_4 |SZ=}} gegeben, der zum Faktor {{math|term= X^2+1 |SZ=}} zugehörige invariante Untervektorraum ist also {{ Relationskette/display | U || \R {{op:Spaltenvektor|1|0|-1|0}} \oplus \R {{op:Spaltenvektor|0|1|0|-1}} || || || |SZ=. }} Die direkte Summenzerlegung ist also {{ Relationskette/display | \R^4 || \R {{op:Spaltenvektor|1|1|1|1}} \oplus \R {{op:Spaltenvektor|1|-1|1|-1}} \oplus U || || || |SZ=. }} |Bezüglich der Basis {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|1|1|1}}, \, {{op:Spaltenvektor|1|-1|1|-1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|1|0|-1|0}} , \, {{op:Spaltenvektor|0|1|0|-1}} |SZ=}} ist die beschreibende Matrix gleich {{ Math/display|term= {{op:Matrix44|1|0|0|0|0|-1|0|0|0|0|0|-1|0|0|1|0}} |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} i3fpdmm2sqr84j48cpymtl8zowwuxlf 0 161261 1077083 1001611 2026-04-13T08:52:10Z Bocardodarapti 2041 1077083 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4/a |Es geht {{math|term= 3 |SZ=}} auf {{math|term= 3 |SZ=}} und {{math|term= 1 \mapsto 2 \mapsto 4 \mapsto 6 \mapsto 5 \mapsto 1 |SZ=,}} die Zyklendarstellung ist also {{ Math/display|term= \langle 1, 2, 4,6,5 \rangle |SZ= }} und der Wirkungsbereich ist {{math|term= \{ 1, 2 ,4,5,6 \} |SZ=.}} |Die Ordnung kann man direkt aus dem einzigen nichttrivialen Zyklus ablesen, sie ist {{math|term= 5 |SZ=.}} |Die Fehlstände von {{math|term= \tau |SZ=}} sind {{ Math/display|term= (1,5),\, (2,3),\,(2,5),\,(3,5),\,(4,5),\,(4,6) |SZ=. }} Das sind insgesamt {{math|term= 6 |SZ=}} Fehlstände, daher ist das Vorzeichen {{math|term= 1 |SZ=.}} |Es ist, wie man leicht überprüft, {{ Relationskette/display | \tau || \langle 4,5 \rangle \circ \langle 5,6 \rangle \circ\langle 2,4 \rangle \circ \langle 1,2 \rangle || || || |SZ=. }} Dies ist das Produkt von {{math|term= 4 |SZ=}} Transpositionen, sodass sich erneut ergibt, dass das Vorzeichen {{math|term= -1 |SZ=}} ist. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 10xllacc8xiodcwhf8p3yaxx0re5trq 0 161307 1077072 996205 2026-04-13T06:34:34Z Bocardodarapti 2041 1077072 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4/a |Die Zyklendarstellung von {{math|term= \tau |SZ=}} ist {{ Math/display|term= \langle 1, 3,5 \rangle \langle 2,6,7,4 \rangle |SZ= }} |{{math|term= \tau^2 |SZ=}} besitzt die Wertetabelle {{Wertetabelle7|text1= {{math|term= x|SZ=}} |1|2|3|4|5|6|7|text2= {{math|term= \tau (x)|SZ=}} |5|7|1|6|3|4|2 }} |Da {{math|term= \tau |SZ=}} aus einem Zyklus der Länge {{math|term= 3 |SZ=}} und einem der Länge {{math|term= 4 |SZ=}} besteht, ist die Ordnung von {{math|term= \tau |SZ=}} gleich {{math|term= 12 |SZ=.}} |Die Fehlstände von {{math|term= \tau |SZ=}} sind {{ Math/display|term= (1,4),\, (1,5),\,(2,3),\,(2,4),\,(2,5),\,(2,7) ,\, (3,4),\,(3,5),\,(3,7),\,(4,5),\,(6,7) |SZ=. }} Das sind insgesamt {{math|term= 11 |SZ=}} Fehlstände, daher ist das Vorzeichen {{math|term= -1 |SZ=.}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} c3i9fmd98mnm67q1f06yg6f986xgdek 106 164665 1076989 1076466 2026-04-12T15:53:34Z Bert Niehaus 20843 /* Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe */ 1076989 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion betrachtet, um eine bijektive Abbildung der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen == Zweig des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> D </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in D </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus === Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und ein Zweig des Logarithmus? ::<math> F(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. ==== Surjektivität und Injektivität ==== Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> ==== Bijektive Abbildung ==== Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion bijektiv auf diesem Streifen und der Wertebereich ist <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. ==== Zusammenfassung ==== * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion einschränken, zum Beispiel auf ein horizontales Streifenmuster. * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> l3m4d8np7qfwjmo24490nb2r94wcrjz 1077000 1076989 2026-04-12T18:09:33Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077000 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion betrachtet, um eine bijektive Abbildung der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen == Zweig des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> D </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in D </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus === Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und ein Zweig des Logarithmus? ::<math> F(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. ==== Surjektivität und Injektivität ==== Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> ==== Bijektive Abbildung ==== Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion bijektiv auf diesem Streifen und der Wertebereich ist <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. ==== Zusammenfassung ==== * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion einschränken, zum Beispiel auf ein horizontales Streifenmuster. * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Logarithmus]] * [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> 70rhbd9pt9qnaoy1kohwu6dojgjauxk 1077001 1077000 2026-04-12T18:10:08Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077001 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion <math> \exp(z) </math> und <math> \frac{1}{z} </math> sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion betrachtet, um eine bijektive Abbildung der Exponentialfunktion zu erhalten. :<math> \exp(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} </math> === Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmus === Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> und Wertebereich <math>\mathbb{D} \subset \mathbb{C}</math> einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann. === Situation in der reellen Zahlen - Umkehrfunktion von exp(z) === <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von <math>\mathbb{R}</math> auf <math>\mathbb{R}^{+}</math> ist die Funktion <math> \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+}</math> bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den [[w:de:natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]]) suchen. == Aufgaben == * '''(A1)''' [[Logarithmus#A1|Injektivität und Surjektivität]] * '''(A2)''' [[Logarithmus#A2|Stammfunktion als Wegintegrale]] <span id="aufgabe1"></span> === Aufgabe 1 - Umkehrbarkeit der komplexen Exponentialfunktion === Erläutern Sie, warum <math> \exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass <math> \exp : \mathbb{D} \to \mathbb{W}</math> bijektiv ist und eine [[w:de:Umkehrfunktion|Umkehrfunktion]] besitzt! <span id="aufgabe2"></span> === Aufgabe 2 - Stammfunktion von 1/x in den reellen Zahlen === In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von <math>\frac{1}{x} </math>. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion <math>\frac{1}{x} </math>. === Eigenschaften 1/z im Komplexen === Die holomorphe Funktion <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> ist eine rationale Funktion, die auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist. Sie besitzt aber auf <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert <math>2\pi i</math> sondern 0 liefern. <math> f(z)=\frac{1}{z} </math> hat eine Polstelle bei <math> z = 0 </math>. === Einschränkung des Definitions- / Wertebereiches === * '''([[w:de:Injektivität|injektiv]])''' Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Definitionsbereich'' einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden. * '''([[w:de:Surjektivität|surjektiv]])''' Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den ''Wertebereich'' einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen == Zweig des Logarithmus == Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion <math> \log(z) </math>, die auf einer Teilmenge <math> D </math> von <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math> definiert ist und die Eigenschaft hat, dass <math> \exp(\log(z)) = z </math> für alle <math> z \in D </math>. Eine übliche Wahl für <math> D </math> ist die Menge <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als: :<math> \log(z) = \ln|z| + i \arg(z) </math> wobei <math> \arg(z) </math> der Winkel von <math> z </math> in der komplexen Ebene ist und <math> -\pi < \arg(z) \leq \pi </math>. === Aufgabe - Integraldarstellung des Logarithmus === Sei <math>z_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> beliebig gewählt und :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_z : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_0 + t\cdot z \end{array} </math> * Skizzieren Sie die Menge <math>\mathbb{C}_{z_0} := \mathbb{C} \setminus \{ -\lambda \cdot z_0 \, :\, \lambda \in \mathbb{R}_0^+ \} </math> * Ist die folgende Funktion <math>F: \mathbb{C}_{z_0} \to \mathbb{C} </math> eine wohldefinierte Funktion und ein Zweig des Logarithmus? ::<math> F(z) := \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi} \, d\xi = \int_{0}^1 \frac{1}{\gamma_z(t)} \cdot \gamma{\,}_z'(t) dt </math> === Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion === Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist periodisch mit der Periode <math> 2\pi i </math>, das heißt, <math> \exp(z + 2\pi i k) = \exp(z) </math> für alle <math> k \in \mathbb{Z} </math>. ==== Surjektivität und Injektivität ==== Die Periodizität führt dazu, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Die Exponentialfunktion ist auch nicht surjektiv, da mit <math>z=x+i\cdot y \in \mathbb{C}</math> gilt: :<math> e^z = e^{x+iy} = \underbrace{e^x}_{\not=0} \cdot \underbrace{e^{iy}}_{\not=0} \not= 0 </math> ==== Bijektive Abbildung ==== Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel: :<math> \{ z \in \mathbb{C} \mid -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \} </math> In diesem Fall ist die Exponentialfunktion bijektiv auf diesem Streifen und der Wertebereich ist <math> \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. ==== Zusammenfassung ==== * Die Exponentialfunktion <math> \exp(z) </math> ist nicht injektiv und nicht surjektiv (wegen <math> \exp(z) \not= 0)</math> auf der gesamten komplexen Ebene. * Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion einschränken, zum Beispiel auf ein horizontales Streifenmuster. * Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf <math> \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] </math>. <span id="komplex"></span> == Definition des komplexen Logarithmus == Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl <math>w</math>, welche die Gleichung : <math>\mathrm{e}^w = z</math> erfüllt, ein ''natürlicher Logarithmus'' von <math>z</math>. === Existenz === Für jedes <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}</math> existiert ein solches <math>w</math>. Man stellt dazu das Element <math>z</math> in Polarkoordinaten mit <math>t\in [0,2\pi) </math> wie folgt dar: :<math> z= |z|\cdot e^{it} </math> Dann ist <math>w:=\underbrace{\ln(|z|)}_{\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{t}_{\in \mathbb{R}}</math> ein Logarithmus in <math>\mathbb{C}</math>, da mit [[w:de:Potenzgesetze|Potenzgesetzen]] folgende Gleichung gilt: :<math> e^w = e^{\ln(|z|) + i\cdot t} = e^{\ln(|z|)} \cdot e^{i\cdot t} = |z|\cdot e^{it} = z </math> === Eindeutigkeit === Im Unterschied zum reellen Logarithmus ist der komplexe Logarithmus wegen : <math>\mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = 1, \quad k \in \mathbb{Z}</math>, nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus <math>w</math> von <math>z</math> gefunden, so ist damit auch : <math>w' =\,\! w + 2k\pi \mathrm{i}</math> mit jeder ganzen Zahl <math>k</math> ein Logarithmus von <math>z</math>, denn es gilt : <math>\mathrm{e}^{w'} = \mathrm{e}^{w + 2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot \mathrm{e}^{2k\pi \mathrm{i}} = \mathrm{e}^w \cdot 1 = \mathrm{e}^w = z</math>. === Komplexer Logarithmus als Abbildung === Für die Definition einer Abbildung muss man einen eindeutigen Funktionswerte <math>\ln(z):=w</math> definieren. Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für <math>w</math> solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z.&nbsp;B. den Streifen : <math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \operatorname{Im}\,w \leq \pi \right\}</math> verwenden. Ein Wert <math>w</math> aus diesem Streifen heißt ''Hauptwert'' (engl. ''principal value'') des Logarithmus, und man schreibt <math>w = \ln(z)</math>. === Zweige des Logarithmus === Stellt man <math>z = |z| \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \arg z}</math> in [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|Polarform]] dar, so erhält man eine einfache Darstellung des ''k-ten Zweiges'' der Logarithmusfunktion: : <math>w = \ln |z| + \mathrm{i}\left(\arg(z) + 2k\pi\right), \quad k\in\mathbb{Z}</math> mit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math>. Im Summanden <math>\ln |z|</math> wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus <math>\ln</math> verwendet. Für <math>k = 0</math> erhält man den ''Hauptzweig'' des komplexen Logarithmus zurück: : <math>\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\arg z</math>. === Stetigkeit von Zweigen des Logarithmus === <math>\ln: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}</math> ist nicht stetig in den Punkten <math>\mathcal{N} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, (z=x+i\cdot 0) \wedge (0 < x\in \mathbb{R}) \}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist <math>\ln</math> auf dem Gebiet : <math>\mathbb{C}\setminus\{x \in \mathbb{R}: x\leq 0\}</math> stetig und sogar [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]]. === Vergleich - Rechenregeln reeller/komplexer Logarithmus === Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus <math>\ln</math> gelten nicht alle der weiter oben angeführten [[w:de:Logarithmus#Logarithmengesetze|Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion]]. Sie gelten nur <math>\text{mod } 2\pi \mathrm{i}</math>. ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 1 ==== Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Es gilt: : <math>\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)+ 2\pi n \, \,\, n\in \mathbb{Z} </math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 2 ==== Der Vergleich von <math>\ln(x) + \ln(y)</math> und <math>\ln(x \cdot y)</math> zeigt: : <math> \begin{array}{rcl} \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=x}) + \ln(\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y}) & = & \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) + \bigl(\ln\sqrt2+\frac{3\pi}4\mathrm{i}\bigr) \\ & = & \ln2+\frac{3\pi}2\mathrm{i} \end{array} </math> und :<math> \ln\bigl(\underbrace{(-1+\mathrm{i}}_{=x})\cdot (\underbrace{-1+\mathrm{i}}_{=y})\bigr) = \ln(-2\mathrm{i})=\ln2-\frac\pi2\mathrm{i}</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 3 ==== Dies liefert ein Beispiel, dass <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y)</math> nicht für beliebige <math>x,y\in \mathbb{C}</math> gilt. Der rechte und linke Term unterscheiden sich, um Vielfache von <math>2\pi</math>, d.h. : <math>\ln x + \ln y = \ln(x \cdot y) + 2\pi n</math> ==== Mehrdeutigkeit und Periodizität 4 ==== Auch die Gleichung : <math>y \cdot \ln (x) = \ln\left({x^y}\right)</math> ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel : <math>2\pi \mathrm{i} \ln (\mathrm{e}) = 2\pi \mathrm{i} \; \neq \; 0 = \ln 1 = \ln(\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i}})</math> beweist. === Graphen === <gallery widths="180" heights="120" perrow="3" caption="Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus"> Ln abs.png|Betrag von <math>\ln z</math> Ln re.png|Realteil von <math>\ln z</math> Ln im.png|Imaginärteil von <math>\ln z</math> </gallery> ==== Hauptzweig ==== Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären: : <math>\ln(-x) = \ln\left\vert-x\right\vert+ \mathrm{i}\arg(-x) = \ln x + \mathrm{i}\pi, \quad x\in\mathbb{R}^+\ .</math> Das setzt voraus, dass die [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] <math>\arg</math> negativen reellen Zahlen den Wert <math>\pi</math> zuweist. ==== Bemerkung - Argumentfunktion ==== Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der [[w:de:Komplexe Zahl#Darstellung von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene|''Argument''-Funktion]] zurückzuführen ist. == Entwicklung in Potenzreihen == Jede auf einem Gebiet <math>G</math> [[holomorphe Funktion]] lässt sich lokal in eine Potenzreihe entwickelt. Durch den Zusammenhang von <math>\frac{1}{z}</math> und dem Logarithmus erhält man auch eine Potenzreihendarstellung für beliebige [[w:de:Potenzreihe|Entwicklungspunkte]] <math>z_o=|z_o|\cdot e^{it} \not=0</math> über die [[w:de:geometrische Reihe|geometrische Reihe]] mit <math>q=\frac{z-z_o}{-z_o}</math> und <math>|z-z_0| < |z_0|</math>: :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Stammfunktion - Konstante der Taylorreihe === Für den Zweig des Logarithmus erhält man daher folgende Potenzreihendarstellung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>r< |z_0|</math> und <math>c= \ln(|z_o|) + i\cdot t</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>: :<math>F(z)= c + \sum_{n=0}^\infty \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> Der zugehörige Zweig von <math>F</math> ist insgesamt auf dem Gebiet <math>G:= \C \setminus \{ z\in \C \, : \, z=\lambda \cdot z_0 \mbox{ mit } 0 \geq \lambda \in \R \}</math> definiert. === Bemerkung - Eindeutigkeitlemma für Logarithmuszweige === Das [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] zeigt, dass mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend]]en <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein <math>z_0\in G</math> der gesamte Zwei des Logarithmus eindeutig definiert ist. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative reelle Achse in <math>G</math> fehlt. == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale_Entwicklung_in_Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Logarithmus] https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus * Datum: 31.7.2025 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Logarithm]]</noinclude> nh8s1ynnklb0agqfn3e2v35ef8ho8ef 106 166143 1077090 1068714 2026-04-13T08:55:44Z Bocardodarapti 2041 1077090 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblattgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Additive Gruppe/C^2/Addition/Bahnen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Permutationsmatrix/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |K^3/Permutationsmatrix/Diagonalisiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^3/Orthonormalbasis/Permutationen/Drehachse/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die nächste Aufgabe verwendet die sogenannte {{Stichwort|Kleinsche Vierergruppe|SZ=.}} Dies ist einfach die Produktgruppe {{math|term= {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} |SZ=.}} {{ inputaufgabe |Kleinsche Vierergruppe/Matrix-Darstellungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aussage ergibt sich aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Allgemeine lineare Gruppe/Konjugation/Linear/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Allgemeine lineare Gruppe/2/Konjugation/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Allgemeine lineare Gruppe/2/Konjugation/Isotropiegruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Allgemeine lineare Gruppe/Konjugation/Algebraisch abgeschlossen/Jordansche Normalform/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reguläre Darstellung/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Gruppe/Treue Darstellung in SL/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zyklische Gruppe/Operiert/Invariantenraum des Erzeugers/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutationsmatrix/Zyklus/4/Invariante Untervektorräume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z/Treue Darstellung/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q/Treue Darstellung/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrix/F5/241320013/Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Allgemeine lineare Gruppe/Endlicher Körper/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Spezielle lineare Gruppe/Endlicher Körper/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir erinnern an folgende Definition. {{:Kommutatorgruppe/Definition}} Die Kommutatorgruppe ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Kommutatorgruppe/Normalteiler/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Normalteiler, die Restklassengruppe {{mathl|term= G/K(G) |SZ=}} nennt man auch die {{Stichwort|Abelianisierung|SZ=}} von {{math|term= G |SZ=.}} {{ inputaufgabe |Eindimensionale Darstellung/Abelianisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Charaktergruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S_3/Eindimensionale Darstellungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Gruppe/Charakter/Einheitswurzeln/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitswurzeln/Endliche kommutative Gruppe/Existenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlich erzeugte kommutative Gruppe/Charaktergruppe/Explizit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Charaktergruppe/Funktorialitätseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Charaktergruppe/Evaluierungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung {{mathl|term=\operatorname{ev}_d|SZ=}} heißt {{Stichwort|Evaluierungsabbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zu {{math|term=d|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Charaktergruppe/Charakter-Korrespondenz mit Kernen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Charaktergruppe/Exponentbedingung/Charakter-Korrespondenz mit Kernen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Gruppe/Charaktergruppe/Nach K^x/Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Untergruppe/Erzeuger diagonalisierbar/Irreduzibel/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Affine Ebene (K)/Transformationsgruppe/Erzeugt x nach -x, y nach -y, x nach 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|Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} bnr6w6v0yn8w8iuln0he61vui0wf3o2 0 168511 1077094 1068845 2026-04-13T09:05:51Z C.Koltzenburg 13981 1077094 wikitext text/x-wiki (mit Dank an eine Kollegin, die ihre FSP in Karlsruhe am 29.1.2026 bestanden hat) '''Name (Vorname Nachname)''': Olga Müller '''Geburtsdatum:''' 27.10.1989 '''Alter:''' 36 J. '''Größe:''' 176 cm '''Gewicht:''' 74 kg '''Allergien/ Unverträglichkeiten''' Wespenstichallergie (Anaphylaxie) im Kindesalter '''Genussmittel/ Drogen''' Nichtraucherin <br /> C2: trinke selten <br /> Drogenkonsum: Ø <br /> '''Medikation''' [in München und Reutlingen als Stichworte] [...] '''Sozialanamnese''' Teilzeit in der Gastronomie <br /> verheiratet, 2 Söhne '''Familienanamnese''' Eltern gesund <br /> älterer Bruder: KHK, 36 J. <br /> jüngerer Bruder: gesund, 29 J. '''Aktuelle Anamnese''' Frau Müller stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3-4 Tagen bestehender, plötzlich aufgetretener Dysurie, Pollakisurie sowie Fiebergefühl seit gestern Abend, Druckgefühl im unteren Rücken und Asthenie. Die Frage nach Hämaturie, Nausea, Emesis, Hautveränderungen, Ödemen wurde verneint. In der vegetativen Anamnese fanden sich beschwerdebedingte Insomnie und Inappetenz. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. Sie sei vollständig geimpft und in letzter Zeit nicht im Ausland gewesen. An Vorerkrankungen ist eine arterielle Hypertonie seit 5 Jahren bekannt, mit Candesartan 8 mg morgens behandelt. Vor 8 Jahren hatte sie eine Commotio cerebri infolge eines Autounfalls, mit kurzem stationärem Aufenthalt (1 Nacht). Außer Candesartan und Ibuprofen b.B nehme sie keine weiteren Medikamente. Die Einnahme von Ibuprofen 800 mg gestern Abend habe keine Linderung der Symptomatik gebracht. Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine Pyelonephritis hin. Differentialdiagnostisch kommen Zystitis, Adnexitis, Uretheronephrolithiasis in Betracht. Um die VD zu bestätigen, ist Folgendes erforderlich: kU, Labor (BB, CRP, BSG, Urinstatus, Urinkult, Nieren- und Leberwerte), Sono des Abdomens und der Nieren. Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich die folgende Therapie vor: <br /> - Schonkost <br /> - Flüssigkeitszufuhr <br /> - Antibiotika (Ciprofloxacin) mit Einstellung nach Antibiogramm 1i900ojog8508dmoahs6q53fc1v0qzm 0 168529 1077092 1069136 2026-04-13T09:04:00Z C.Koltzenburg 13981 1077092 wikitext text/x-wiki (mit Dank an TP) '''Name (Vorname Nachname)''': Hans-Jörg Meier '''Geburtsdatum:''' 10.08.1991 '''Alter:''' 34 J '''Größe:''' 178 cm  '''Gewicht:''' 72 kg '''Allergien/ Unverträglichkeiten''' Pollenallergie (Konjunktivitis) <br /> Paprika (Ruktus) '''Genussmittel/ Drogen''' Nikotin: 0,5 Schachteln/Tag (ca. 7,5 PY) <br /> C2: trinke 1 Glas Wein 1 Mal pro Woche <br /> Drogenkonsum: wurde verneint '''Sozialanamnese''' lebt mit Ehefrau zusammen <br /> Apotheker '''Familienanamnese''' Mutter: Diabetes Mellitus <br /> Vater: Kolonkarzinom (Chemotherapie) <br /> Schwester: Asthma <br /> Kinder: gesund '''Aktuelle Anamnese''' Herr Meier stellt sich bei uns vor aufgrund seit heute Morgen bestehender postprandialer Hämatemesis sowie kolikartiger, nicht ausstrahlender Oberbauchschmerzen (7/10 NRS). Begleitend fanden sich Meläna seit gestern. Zudem berichtete der Pat. über postprandiales Sodbrennen seit etwa 4 Monaten. Die Frage nach Brustschmerzen, Dyspnoe und Fieber wurde verneint. Die VA ist unauffällig bis auf Meläna. Bei dem Patienten sind folgende Vorerkrankungen bekannt: Hämorrhoiden seit 3 Jahren, Anämie seit 14 Jahren, Rippenfraktur vor 3 Jahren, konservativ behandelt. Keine OPs bekannt. Die Medikation besteht aus Ibuprofen 800 mg b.B, Omeprazol gelegentlich. Meine VD lautet: eine obere gastrointestinale Blutung. Differentialdiagnostisch kommen die folgenden in Betracht: <br /> - Gastritis <br /> - Ulkus ventriculi / duodeni <br /> - Ösophagitis. Zur weiteren Abklärung werden empfohlen: - körperliche Untersuchung <br /> - Laborwerte (BB, CRP) <br /> - ÖGD. Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: - stationäre Aufnahme <br /> - Kreislaufstabilisierung <br /> - intravenöse PPI-Therapie <br /> - endoskopische Blutstillung <br /> - Aussetzen von NSAR. d4ya8e7vbwmvvv9mjbzpg8aa80uxnpb 1077093 1077092 2026-04-13T09:04:33Z C.Koltzenburg 13981 1077093 wikitext text/x-wiki (mit Dank an TP) '''Name (Vorname Nachname)''': Hans-Jörg Meier '''Geburtsdatum:''' 10.08.1991 '''Alter:''' 34 J '''Größe:''' 178 cm  '''Gewicht:''' 72 kg '''Allergien/ Unverträglichkeiten''' Pollenallergie (Konjunktivitis) <br /> Paprika (Ruktus) '''Genussmittel/ Drogen''' Nikotin: 0,5 Schachteln/Tag (ca. 7,5 PY) <br /> C2: trinke 1 Glas Wein 1 Mal pro Woche <br /> Drogenkonsum: wurde verneint '''Sozialanamnese''' lebt mit Ehefrau zusammen <br /> Apotheker Kinder: gesund '''Familienanamnese''' Mutter: Diabetes Mellitus <br /> Vater: Kolonkarzinom (Chemotherapie) <br /> Schwester: Asthma <br /> '''Aktuelle Anamnese''' Herr Meier stellt sich bei uns vor aufgrund seit heute Morgen bestehender postprandialer Hämatemesis sowie kolikartiger, nicht ausstrahlender Oberbauchschmerzen (7/10 NRS). Begleitend fanden sich Meläna seit gestern. Zudem berichtete der Pat. über postprandiales Sodbrennen seit etwa 4 Monaten. Die Frage nach Brustschmerzen, Dyspnoe und Fieber wurde verneint. Die VA ist unauffällig bis auf Meläna. Bei dem Patienten sind folgende Vorerkrankungen bekannt: Hämorrhoiden seit 3 Jahren, Anämie seit 14 Jahren, Rippenfraktur vor 3 Jahren, konservativ behandelt. Keine OPs bekannt. Die Medikation besteht aus Ibuprofen 800 mg b.B, Omeprazol gelegentlich. Meine VD lautet: eine obere gastrointestinale Blutung. Differentialdiagnostisch kommen die folgenden in Betracht: <br /> - Gastritis <br /> - Ulkus ventriculi / duodeni <br /> - Ösophagitis. Zur weiteren Abklärung werden empfohlen: - körperliche Untersuchung <br /> - Laborwerte (BB, CRP) <br /> - ÖGD. Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: - stationäre Aufnahme <br /> - Kreislaufstabilisierung <br /> - intravenöse PPI-Therapie <br /> - endoskopische Blutstillung <br /> - Aussetzen von NSAR. mpl4rzeby2e7uqzulivj1a3mv2tyt7v 106 168647 1077059 1071854 2026-04-13T06:26:12Z Bocardodarapti 2041 1077059 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|7| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Ordnung/Lexikographisch/Definiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnung/Auf N/Zweierpotenzen rausziehen/Totale Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnung/Endliche Menge/Total geordnet/Bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Teilmenge/Potenzmenge/Induzierte Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Teilmengen/Anzahlrelation/Aufgabe|| 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motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> <span id="Orientierung"></span> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="Rechteckintegrallemma"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] a48uk811ho1d6fv6ltr8oggudlslelf 1077021 1077018 2026-04-13T06:01:29Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077021 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> <span id="Orientierung"></span> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="Rechteckintegrallemma"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] jyae72r24r3ks656rvcgfsieb8kle27 1077040 1077021 2026-04-13T06:16:12Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen */ 1077040 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Flächenintegrallemma für Rechtecke]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> <span id="Orientierung"></span> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="Rechteckintegrallemma"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] dal4mwabnzikc0e9x0mj3mopc6gykuy 1077044 1077040 2026-04-13T06:18:37Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen */ 1077044 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> <span id="Orientierung"></span> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="Rechteckintegrallemma"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] n6sgajodbc9s5lk6l9h7s12zohw5l3h 0 170023 1077019 1075855 2026-04-13T06:00:04Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Darstellungslemma für komplexe Flächenberechnung]] nach [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen: Verweis von Verweis auflösen 1075855 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] 7i1ulqtylucf30thocd3z8i6iq8a42x 1077052 1077019 2026-04-13T06:23:31Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitungsziel von [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke#Rechteckintegrallemma]] geändert 1077052 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke#Rechteckintegrallemma]] e1jx2hfnibl4cwaz8lefouk0hnydz0q 106 170032 1076980 1076977 2026-04-12T13:11:04Z Bert Niehaus 20843 /* Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten */ 1076980 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \big(z_2-z_1\, , \, z_3-z_1\big) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche <math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2</math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \big(z_2-z_1\, , \, z_3-z_1\big) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Es gilt durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> : :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_2 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> == Flächenwegintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{z_1}^{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle}^{z_4} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite ==== Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> ==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ==== Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ==== Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 6nlz824x6k5f46f0ojhofwfnoav9jie 1076981 1076980 2026-04-12T13:13:36Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche */ 1076981 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \big(z_2-z_1\, , \, (z_3-z_2)\cdot t_1 )\big) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche <math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2</math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \big(z_2-z_1\, , \, z_3-z_1\big) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Es gilt durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> : :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_2 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> == Flächenwegintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{z_1}^{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle}^{z_4} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite ==== Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> ==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ==== Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ==== Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] jo3o0mobe9d237gid7iudn5663wcaek 1076982 1076981 2026-04-12T13:25:03Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche */ 1076982 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg(z_2-z_1 + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche <math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2</math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \big(z_2-z_1\, , \, z_3-z_1\big) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Es gilt durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> : :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_2 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> == Flächenwegintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{z_1}^{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle}^{z_4} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite ==== Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> ==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ==== Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ==== Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] hk4syppxu1fpgxj42wzp5qrtu9309yk 1076986 1076982 2026-04-12T15:34:38Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen */ 1076986 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg(z_2-z_1 + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche <math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2</math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \big(z_2-z_1\, , \, z_3-z_1\big) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Es gilt durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> : :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_2 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> == Flächenwegintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{z_1}^{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle}^{z_4} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite ==== Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> ==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ==== Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ==== Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 6jzurbnmmnm3w0jrdxtpp85u686c31y 1076987 1076986 2026-04-12T15:36:14Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche */ 1076987 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche <math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2</math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \big(z_2-z_1\, , \, z_3-z_1\big) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Es gilt durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> : :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_2 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> == Flächenwegintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{z_1}^{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle}^{z_4} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite ==== Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> ==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ==== Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ==== Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 5fdugkzmm0r6efir83q96h04fwidwlf 1077005 1076987 2026-04-12T18:14:39Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077005 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche <math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2</math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \big(z_2-z_1\, , \, z_3-z_1\big) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Es gilt durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> : :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_2 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> == Flächenwegintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{z_1}^{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle}^{z_4} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite ==== Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> ==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ==== Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ==== Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] cjxhpq9e5zk4d62hztmreo4azbr40bn 1077006 1077005 2026-04-12T18:18:59Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals */ 1077006 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche <math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2</math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \big(z_2-z_1\, , \, z_3-z_1\big) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Es gilt durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> : :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_2 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{4}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{3}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{2}}\big) + F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> == Flächenwegintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{z_1}^{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle}^{z_4} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite ==== Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> ==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ==== Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ==== Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 5lhowdw9m23uzxw48lqcfv3ex91utns 1077007 1077006 2026-04-12T18:23:57Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Dreiecks */ 1077007 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche <math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2</math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \big(z_2-z_1\, , \, z_3-z_1\big) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Es gilt durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> : :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_2 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{4}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{3}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{2}}\big) + F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> == Flächenwegintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{z_1}^{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle}^{z_4} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite ==== Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> ==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ==== Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ==== Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] jj0b5am0xly1r9yhc9954av0gqy9cut 1077008 1077007 2026-04-12T18:57:01Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Flächenintegralsatz */ 1077008 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche <math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2</math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Flächenwegintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{z_1}^{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle}^{z_4} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite ==== Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> ==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ==== Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ==== Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 58yqd8if1kaezb1bbfbl0h3cwvyaa2h 1077009 1077008 2026-04-12T19:00:21Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077009 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Flächenwegintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{z_1}^{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle}^{z_4} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite ==== Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> ==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ==== Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ==== Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 4wdqnz4nwygk21s2yn344vxzwbyymaf 1077010 1077009 2026-04-12T19:01:29Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenwegintegrale für Dreiecke */ 1077010 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Definition - Flächenintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> wie folgt als Summe von Wegintegrale darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{z_1}^{\langle z_{2},z_{3}\rangle } f(z) \, dz \\ \displaystyle \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{\langle z_{2},z_{3}\rangle}^{z_4} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. ==== Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck ==== Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. ==== Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke ==== Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> ==== Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale ==== Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite ==== Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. ==== Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> ==== Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche ==== Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen ==== Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen ==== Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> <span id="Zerlegungslemma"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 4in1deb1vkovvksoc3pt3y3fzxua870 1077011 1077010 2026-04-12T19:30:01Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Flächenintegrale für Dreiecke */ 1077011 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Definition - Flächenintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral von <math>f</math> für das Dreieck <math>\Delta</math> wird : :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> und mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] edphuv9ybnp6zhqrkjl71pr1t9se05q 1077026 1077011 2026-04-13T06:08:21Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077026 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Definition - Flächenintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral von <math>f</math> für das Dreieck <math>\Delta</math> wird : :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> und mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * * == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] bwna6652tn3e8nwtwelyexrw8n8la1v 1077031 1077026 2026-04-13T06:11:07Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen */ 1077031 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Definition - Flächenintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral von <math>f</math> für das Dreieck <math>\Delta</math> wird : :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> und mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * * == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] mm5vmqnc3mhoh2pnrlpkhwwfigsbnkx 1077038 1077031 2026-04-13T06:14:53Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077038 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Definition - Flächenintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral von <math>f</math> für das Dreieck <math>\Delta</math> wird : :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> und mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * * == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrallemma für Rechtecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 2sh7wiwdobbw86w8o3z611mp58smtrx 1077061 1077038 2026-04-13T06:26:58Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077061 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Definition - Flächenintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral von <math>f</math> für das Dreieck <math>\Delta</math> wird : :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> und mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> * Beweis - Korollar == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrallemma für Rechtecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] q3ozq3r1nie66rb526cz2hln3a7sr1f 1077062 1077061 2026-04-13T06:27:51Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077062 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Definition - Flächenintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral von <math>f</math> für das Dreieck <math>\Delta</math> wird : :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> und mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> * Beweis - Korollar == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] mvo86j4f1lpc0e66q1liajq3bobtr80 1077073 1077062 2026-04-13T06:35:18Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077073 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Definition - Flächenintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral von <math>f</math> für das Dreieck <math>\Delta</math> wird : :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> und mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> * Beweis - Korollar :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] 7yxwmy0r3btbzgi7g1yrtjt14hcj9ip 0 170044 1077091 1076154 2026-04-13T09:01:08Z C.Koltzenburg 13981 /* Bericht */ 1077091 wikitext text/x-wiki == Bericht == Mit Dank an E.A. (Stichworte auf Blatt 1, Beispiel hier: FSP in Stuttgart) '''Name (Vorname Nachname)''': Thomas Bredenmeyer '''Geburtsdatum:''' 09.11.1955 '''Alter:''' 70 J '''Größe:''' 193 cm '''Gewicht:''' 90 kg '''Allergien/ Unverträglichkeiten''' Pollen (Rhinitis) <br /> Unv: wurden verneint '''Genussmittel/ Drogen''' Nikotin: wurde verneint <br /> C2: trinke eine Flasche Bier täglich (Pils) <br /> Drogenkonsum: wurde verneint '''Sozialanamnese''' Rentner (vorher Bauingenieur, noch freiberuflich tätig), Witwer, lebe allein '''Familienanamnese''' Vater: HI, woran er mit 71 verstorben ist <br /> Mutter: Angina Pectoris, aHT <br /> Bruder: Lebererkrankung (?) <br /> '''Aktuelle Anamnese''' Herr Bredenmeyer stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit gestern bestehender Fußschmerzen rechts (7/10 NRS) infolge eines Unfalls beim Jogging. Er habe neue Schuhe gehabt und sich den Fuß umgeknickt. Die Schmerzen strahlen in die Wade aus und verbessern sich mit Novalgin und Kaltkompressen. Begleitend bestehen Rubor, Calor, Ödem, Hypästhesie und Bewegungseinschränkung beim betroffenen Fuß. Weitere Verletzungen wurden verneint. An Vorerkrankungen leide er an Faktor V-Leiden Mutation (erhält Blutplasmaspenden alle 6 Wochen seit er 13 ist). Er hatte einen Meniskusriss vor 30 Jahren infolge eines Fußballspiels, wurde mit Gips behandelt. Ferner gab er an, chronisch Durchfall zu haben (3 Mal pro Monat). Es besteht Heuschnupfen, der mit Loratadin (Tropfen?) b.B behandelt wird. Die Frage nach OPs wurde verneint. Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine Sprunggelenkfraktur hin. Als Differenzialdiagnosen kommen Bänderruptur, Distorsion, Sehnen-Luxation in Betracht. Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: <br /> - körperliche Untersuchung <br /> - Laborwerte (BB, CRP, BSG) <br /> - Röntgen des Sprunggelenks <br /> Sollte sich die VD bestätigen, schlage ich Folgendes vor: <br /> - Sprunggelenksfraktur nach Weber-Klassifikation beurteilen <br /> - konservative Therapie mit Unterschenkelgips <br /> - ggf. OP == OA-Fragen == Was spricht für eine Sprunggelenksfraktur? Sind diese Zeichen auch für andere Diagnosen typisch? Welche apparative Diagnostik schlagen Sie vor? Wofür eignet sich ein CT besser als ein MRT? Gibt es Ausnahmen von dieser Grundregel? Was würden Sie von einer Thromboseprophylaxe halten? Für welchen Zeitraum wäre diese Prophylaxe sinnvoll? Welche Rolle spielt die Vorerkrankung Faktor V-Leiden möglicherweise? Wie sieht es mit den Impfungen aus? Hatte er seinen Impfpass dabei? Wie ist der Patient zu uns gekommen? Welche therapeutischen Maßnahmen schlagen Sie vor? Welche Komplikationen können auftreten? Was schlagen Sie zur Vermeidung von Komplikationen vor? Nehmen wir an, es liegt ein Bänderriss vor. Kennen Sie da verschiedene Schweregrade? Was bedeutet es, wenn die Schmerzen schnell schlimmer werden? Würden Sie die Patientin/ den Patienten sofort stationär aufnehmen? 1dz9907hsx3lcp8t7wtw1ks17hdwq6v 1077095 1077091 2026-04-13T09:07:40Z C.Koltzenburg 13981 1077095 wikitext text/x-wiki == Bericht == Mit Dank an E.A. (Stichworte auf Blatt 1, Beispiel hier: FSP in Stuttgart) '''Name (Vorname Nachname)''': Thomas Bredenmeyer '''Geburtsdatum:''' 09.11.1955 '''Alter:''' 70 J '''Größe:''' 193 cm '''Gewicht:''' 90 kg '''Allergien/ Unverträglichkeiten''' Pollen (Rhinitis) <br /> Unv: wurden verneint '''Genussmittel/ Drogen''' Nikotin: wurde verneint <br /> C2: trinke eine Flasche Bier täglich (Pils) <br /> Drogenkonsum: Ø '''Sozialanamnese''' Rentner (vorher Bauingenieur, noch freiberuflich tätig), Witwer, lebe allein '''Familienanamnese''' Vater: HI, woran er mit 71 verstorben ist <br /> Mutter: Angina Pectoris, aHT <br /> Bruder: Lebererkrankung (?) <br /> '''Aktuelle Anamnese''' Herr Bredenmeyer stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit gestern bestehender Fußschmerzen rechts (7/10 NRS) infolge eines Unfalls beim Jogging. Er habe neue Schuhe gehabt und sich den Fuß umgeknickt. Die Schmerzen strahlen in die Wade aus und verbessern sich mit Novalgin und Kaltkompressen. Begleitend bestehen Rubor, Calor, Ödem, Hypästhesie und Bewegungseinschränkung beim betroffenen Fuß. Weitere Verletzungen wurden verneint. An Vorerkrankungen leide er an Faktor V-Leiden Mutation (erhält Blutplasmaspenden alle 6 Wochen seit er 13 ist). Er hatte einen Meniskusriss vor 30 Jahren infolge eines Fußballspiels, wurde mit Gips behandelt. Ferner gab er an, chronisch Durchfall zu haben (3 Mal pro Monat). Es besteht Heuschnupfen, der mit Loratadin (Tropfen?) b.B behandelt wird. Die Frage nach OPs wurde verneint. Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine Sprunggelenkfraktur hin. Als Differenzialdiagnosen kommen Bänderruptur, Distorsion, Sehnen-Luxation in Betracht. Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: <br /> - körperliche Untersuchung <br /> - Laborwerte (BB, CRP, BSG) <br /> - Röntgen des Sprunggelenks <br /> Sollte sich die VD bestätigen, schlage ich Folgendes vor: <br /> - Sprunggelenksfraktur nach Weber-Klassifikation beurteilen <br /> - konservative Therapie mit Unterschenkelgips <br /> - ggf. OP == OA-Fragen == Was spricht für eine Sprunggelenksfraktur? Sind diese Zeichen auch für andere Diagnosen typisch? Welche apparative Diagnostik schlagen Sie vor? Wofür eignet sich ein CT besser als ein MRT? Gibt es Ausnahmen von dieser Grundregel? Was würden Sie von einer Thromboseprophylaxe halten? Für welchen Zeitraum wäre diese Prophylaxe sinnvoll? Welche Rolle spielt die Vorerkrankung Faktor V-Leiden möglicherweise? Wie sieht es mit den Impfungen aus? Hatte er seinen Impfpass dabei? Wie ist der Patient zu uns gekommen? Welche therapeutischen Maßnahmen schlagen Sie vor? Welche Komplikationen können auftreten? Was schlagen Sie zur Vermeidung von Komplikationen vor? Nehmen wir an, es liegt ein Bänderriss vor. Kennen Sie da verschiedene Schweregrade? Was bedeutet es, wenn die Schmerzen schnell schlimmer werden? Würden Sie die Patientin/ den Patienten sofort stationär aufnehmen? he4t8rajqhq0af5wm8dnbrnw9g7azru 106 170062 1076983 1076953 2026-04-12T13:27:31Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche */ 1076983 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg(z_2-z_1 + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2)= z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 4q95xl0vqu6hwlwxe33d0xbwsxrrtd4 1076985 1076983 2026-04-12T15:33:59Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen */ 1076985 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg(z_2-z_1 + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2)= z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 6k2aqq8ykxfsysm9oyscvmfqspeaj9r 1076988 1076985 2026-04-12T15:37:08Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche */ 1076988 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2)= z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] mkd4qihoyjtrcuesbhxzoys98fx84rm 1077022 1076988 2026-04-13T06:02:29Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077022 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2)= z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] np6oajts6imfpqbpsuuc8igxhy6q9xs 1077074 1077022 2026-04-13T07:55:57Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077074 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2)= z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ht4vjl7qegls3bv4j8btx4ys39pjx4m 106 170064 1077075 1076711 2026-04-13T08:06:20Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077075 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der reellen Analysis ist bekannt, dass sich zwei Stammfunktionen <math>F</math> und <math>\widehat{F}</math> von einer Funktion <math>f:D\to\mathbb{R}</math> um eine Konstante <math>a\in\mathbb{R}</math> unterscheiden (d.h. <math>F-\widehat{F} = c</math>). Dieses Aussage wird mit dem Differenzsatz für Stammfunktionen auf Stammfunktionen beliebiger hoher Ordnung erweitert. Für holomorphe Funktionen <math>f</math> existieren immer lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung. Allgemeiner unterscheiden sich zwei <math>F_{(n)}</math> und <math>\widehat{F}_{(n)}</math> um ein Polynom <math>p</math> der Ordnung <math>n-1</math>. === Lernvoraussetzungen === * [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] für die Anwendung der aus der Analysis bekannten Definition übertragen auf die komplexe Differenzierbarkeit * [[w:de:vollständige Induktion|vollständige Induktion]] als Beweistyp * [[Satz über lokale Stammfunktionen]], weil holomorphe Funktion == Differenzsatz für Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] und <math>D_r(z_0)</math> eine Kreisscheibe mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math>. Seien ferner <math>F_{(n)} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{F}_{(n)} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zwei Stammfunktionen der Ordnung <math>n\in \mathbb{N}</math>, dann existiert der Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> der Ordnung <math>n-1</math> mit: :<math> F_{(n)}(z) - \widehat{F}_{(n)}(z) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot (z-z_o)^k </math> == Aufgabe für Studierende == Beweisen Sie den obigen Satz induktiv und starten bei zwei lokalen Stammfunktionen <math>F : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{F} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> mit <math> F=F_{(1)}</math> und <math>\widehat{F}=\widehat{F}_{(1)}</math> und betrachten Sie <math>(F-\widehat{F})'</math>. Für den Induktionsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> betrachten Sie die Differenz der Stammfunktionen <math>n+1</math>-ter Ordnung bzgl. <math>(F_{(n+1)}-\widehat{F}_{(n+1)})'</math> und verwenden Sie jeweils die Induktionsvorausetzung für die Stammfunktionen <math>n</math>-ter Ordnung! Stellen Sie den Beweis in der Übung zur Vorlesung vor und erläutern Sie den Zusammenhang zu [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] über eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math>. === Induktionsanfang === Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> holomorph. Für <math>n=1</math> gilt die folgende Gleichung: : <math>(F_{(1)}-\widehat{F}_{(1)})' = (F-\widehat{F})'= F'-\widehat{F}\,' = f-f = 0 </math> Damit ist <math>F_{(1)}-\widehat{F}_{(1)}</math> konstant. Man wählt dazu ein <math>z</math> aus dem Definitionsbereich, auf dem sowohl <math>F_{(1)}</math> als auch <math>\widehat{F}_{(1)}</math> definiert sind. Man setzt <math>a_0:=F_{(1)}(z)-\widehat{F}_{(1)}(z)\in</math> kann beliebig gewählt werden. === Induktionsvoraussetzung === Die Differenz der Stammfunktionen <math>n</math>-ter Ordnung sei durch das folgende Polynom beschrieben. :<math> F_{(n)}(z) - \widehat{F}_{(n)}(z) = \sum_{k=0}^{n-1} \widehat{a_k} \cdot (z-z_o)^k </math> Ferner gilt nach Definition der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math>, dass <math>F\,'\!_{(n+1)} = F_{(n)}</math> und <math>\widehat{F}\,'\!_{(n+1)} = \widehat{F}_{(n)}</math> gilt. === Induktionsbehauptung === Die Differenz der Stammfunktionen <math>n+1</math>-ter Ordnung lässt durch das folgende Polynom beschrieben mit <math>a_0, \ldots , a_n \in \mathbb{C} </math>. :<math> F_{(n+1)}(z) - \widehat{F}_{(n+1)}(z) = \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot (z-z_o)^k </math> === Induktionsschritt === Durch Verwendung der Induktionsvoraussetzung für <math>n=1</math> erhält man: :<math> p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} \widehat{a_k} \cdot (z-z_o)^k = F_{(n)}(z) - \widehat{F}_{(n)} = (F_{(n+1)}(z) - \widehat{F}_{(n+1)}(z))' </math> Um die Differenz von <math>F_{(n+1)}(z) - \widehat{F}_{(n+1)}</math> darzustellen, muss man eine Stammfunktion von <math display="inline">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1}\widehat{a_k} \cdot (z-z_o)^k </math>. Die lautet für ein beliebiges <math>a_0\in \mathbb{C}</math> als Konstante: :<math>P(z)=a_0 + \sum_{k=0}^{n-1}\underbrace{\frac{\widehat{a_k}}{k+1}}_{:=a_{k+1}} \cdot (z-z_o)^{k+1} </math>. Damit gilt die Induktionsbehauptung mit entsprechender Indexverschiebung. == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] noptxfmmwhcgbetaqh80anvit55z6bt 106 170071 1077060 1076662 2026-04-13T06:26:28Z Bocardodarapti 2041 1077060 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Fußballspiel/Begrüßung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Darstellung/Aufgabe|p||| |Rekursives Dreieck/Geometrisches Mittel/256/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Inverses von b/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Fingernägel/Reihenfolge/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Bis 1000/Ziffernanzahl/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 101/Inverses Element zu 35/Aufgabe|p||| |Schnick Schnack Schnuck/Gerichteter Graph/Aufgabe|p||| |Dating/Personen und Eigenschaften/Allrelation/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Konstruktion/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} svilkadz38x1scefd7zn70nslw2s5gp 106 170097 1077016 1076865 2026-04-13T05:53:33Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1077016 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegral]] * == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] rq6sjuquviux6y0xdvx2grolwyw7j6y 1077017 1077016 2026-04-13T05:53:55Z Bert Niehaus 20843 /* Ziel der Lerneinheit */ 1077017 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] 4g4wtipvvtyhrzoeutmchv85tqg824m 106 170112 1076990 2026-04-12T16:19:49Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1076990 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{z_o}^z \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{n}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> rtbyhe8tbpe4jowutfx8bvziweglkff 1076991 1076990 2026-04-12T16:22:23Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Eindeutigkeitslemma */ 1076991 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{z_o}^z \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{n}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. n7lcy7r2v9fjczq1qkun382rrl1gzrl 1076993 1076991 2026-04-12T16:29:07Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen */ 1076993 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{z_o}^z \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{n}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === b8gobu3m415eklg99hcj1w5a83vnmsh 1076994 1076993 2026-04-12T16:32:55Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges */ 1076994 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{z_o}^z \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{n}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> 9t52lt78isasz5klllzx008z30s0zg6 1076995 1076994 2026-04-12T16:34:23Z Bert Niehaus 20843 /* Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige */ 1076995 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{n}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> jgx9xfaf00mdrmnqhoo7j8yg6edqjkz 1076996 1076995 2026-04-12T16:41:04Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges */ 1076996 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{n}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} </math> afflmmopseb5en9mmrmzh596f4bprb4 1076997 1076996 2026-04-12T17:55:32Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten */ 1076997 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{n}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math>. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> gi50ace52ydy9t6auqwbze5bf02chus 1076998 1076997 2026-04-12T18:07:51Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges */ 1076998 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{n}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math>. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> fubusx11mt1wtl6nn2lkvju0d0w7cx8 1077004 1076998 2026-04-12T18:13:08Z Bert Niehaus 20843 /* Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus */ 1077004 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige behandelt die Eindeutigkeit eines Zweiges des Logarithmus. Dabei ist mit der Wahl eines [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebietes <math>G</math> mit <math>0\notin G</math> und der Festlegung des Imaginärteiles des Logarithmuszweige für ein einziges <math>z_0\in G</math> der gesamte Zweig des [[Logarithmus]] bereits eindeutig definiert. Ferner wird zwischen dem (reellen) Hauptzweig <math>\ln(z)</math> und dem imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_{\,i}(z)</math> unterschieden, wobei einmal der negative reelle Achse für <math>\ln(z)</math> entfernt wurde und für imaginären Hauptzweig des Logarithmus negative imaginäre Achse für <math>\ln_{\,i}(z)</math> in <math>G</math> fehlt. == Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige == Sei <math>G</math> ein [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G</math> mit <math>0\notin G</math>. Wählt man ein beliebiges <math>z_o\in G</math> mit <math>z_o = |z_o|\cdot e^{it_o}</math> mit <math>t\in \mathbb{R}</math>, so ist der Zweig des Logarithmus auf <math>G</math> eindeutig durch folgendes Integral definiert: :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. == Beweis - Eindeutigkeitslemma == Wegen <math>z_0 \not= 0</math> kann man mit <math>r:= |z_o|</math> und einem beliebigen <math>z\in G</math> mit <math> |z-z_o| < r </math> kann man <math>\tfrac{1}{n}</math> lokal auf Kreisscheiben in eine Potenzreihe um <math>z_o</math> entwickeln (siehe lokale Entwicklung in Potenzreihen). :<math>f(z)= \frac{1}{z} = \frac{1}{z_o} \cdot \frac{1}{ 1- \underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o} }_{=q} } = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1}} }_{=a_n} \cdot (z-z_o)^n </math> === Beweisschritt 1 - lokale Stammfunktionen === Nach den [[Holomorphiekriterien]] besitzt jede holomorphe Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> [[lokale Stammfunktionen]]. Wegen gleichmäßiger Konvergenz der Partialsumme der Potenzreihe für <math>\tfrac{1}{z}</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> kann man summandenweise integrieren (siehe auch [[Normalverteilung]]). Dies liefert die folgende Potenzreihe für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_r(z_o)</math>: :<math>F_{z_o}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_o^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_n} \cdot (z-z_o)^{n+1} </math> === Beweisschritt 2 - Kompakte Spur des Integrationsweges === Für die Definition des Zweiges des [[Logarithmus]] ist <math>\gamma_z : [a,b]\to G</math> ein stetig differenzierbarer Weg von <math>z_o</math> nach <math>z\in G</math>. :<math> \ln_{_{(G,z_o,t_o)}}(z) = \int_{\gamma_z} \frac{1}{\xi}\, d\xi </math> Die Spur des Wege <math>Spur(\gamma_z)</math> eine kompakte Menge. === Beweisschritt 3 - Offene Überdeckung einer kompakten === Man überdeckt nun <math>Spur(\gamma_z)</math> mit beliebigen Kreisscheiben <math>D_z</math> um <math>z\in G</math>, wobei die Kreischeiben <math>D_z\subset G</math> ganz in der offenen Menge <math> G</math>. Da die Spur kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung der Spur mit <math>D_{z_o}:= D_r(z_o)</math>: :<math> Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> === Beweisschritt 4 - Potenzreihenentwicklung für Kreisscheiben === Für alle <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> gibt es analog zur Potenzreihenentwicklung um <math>z_o</math> auch jeweils die folgenden Potenzreihenreihenentwicklungen für den Zweig des Logarithmus auf <math>D_{r_k}(z_k)</math>: :<math>F_{z_k}(z) = \sum_{n=0}^\infty \underbrace{ \frac{ (-1)^n }{z_k^{n+1} \cdot (n+1)}}_{=a_{(n,k)}} \cdot (z-z_k)^{n+1} </math> === Beweisschritt 5 - Kreisscheibe für Startpunkt des Weges === Man startet mit der offenen Kreisscheibe <math>D_{z_o}= D_r(z_o)</math>, die <math>z_o</math> als Startpunkt des Weges <math>\gamma_z</math> in der Spur von <math>\gamma_z</math> enthalten ist. Wenn <math>D_{z_o}</math> bereits die ganze Spur <math>Spur(\gamma_z)</math> abdeckt, hat man mit eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus mit <math>F_{z_o}</math> erhalten, dessen Potenzreihendarstellung mit dem [[Identitätssatz]] eindeutig auf der Kreissscheibe <math>D_r(z_o)</math> ist. === Beweisschritt 6 - Schnitte von Kreisscheiben === Falls offene Kreisscheibe <math>D_o := D_{z_o}</math> die Menge <math>Spur(\gamma_z)</math> nicht vollständig abdeckt, gibt es einen Randpunkt <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})</math> der Kreissscheibe liegt, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_1 \in \partial(D_{z_o})\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_1\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_1\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w_1 \in D_{z_{k_1}}</math>. Bezeichne <math>D_1 := D_{z_{k_1}}</math>, damit an der Bezeichnung deutlich wird, welche Kreisscheibe der offenen Überdeckung zu <math>w_1\in D_1</math> gewählt wurde. === Beweisschritt 7 - Randpunkt und Schnitte von Kreisscheiben === Da <math>w_1 \in D_1 </math> nach Auswahl aus der Überdeckung gilt, liegt <math>w_1 \in D_0 \cup D_1 </math> auch in der Vereinigung der beiden Kreisscheiben. Ferner ist <math>w_1</math> auch ein Randpunkt von <math>D_0</math>. Damit ist der Schnitt von jeder Umgebung <math>U</math> von <math>w_1</math> mit <math>D_0</math> nicht leer. Dies gilt damit insbesondere für die offene Menge <math>D_1 </math>. Da der Schnitt <math>D_0 \cap D_1 \not= \emptyset</math> eine nicht diskrete Menge ist, gilt mit dem [[Identitätssatz]], dass der Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 </math> eindeutig definiert. === Beweisschritt 8 - Überdeckung der Spur === Falls <math>D_0 \cup D_1</math> die <math>Spur(\gamma_z)</math> vollständig überdecken, hat man bereits eine eindeutige Darstellung des Zweiges des Logarithmus auf <math>Spur(\gamma_z)</math> erhalten. Falls die Spur noch nicht vollständig abdeckt wurde, gibt es wieder einen Randpunkt <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)</math>, der zugleich auch in der Spur liegt (d.h. <math>w_2 \in \partial(D_0\cup D_1)\cap Spur(\gamma_z)</math>. Mit der Überdeckung der Spur gilt dann: :<math> w_2\in Spur(\gamma_z) \subseteq \bigcup_{k=1}^n D_{z_k} \subseteq \bigcup_{k=0}^n D_{z_k} </math> Also muss es ein <math>k_2\in \{1,\ldots , n\}</math> mit <math>w \in D_{z_{k_2}}</math>. Bezeichne <math>D_2 := D_{z_{k_2}}</math> wieder als Kreisscheibe der offenen Überdeckung mit <math>w_2\in D_2</math>. === Beweisschritt 9 - Schnitte von Kreisscheiben === Da der Schnitt <math>(D_0 \cup D_1) \cap D_2 \not= \emptyset</math> wieder nicht diskret ist (d.h. besitzt Häufungspunkte), gibt es analog zu Schritt 6 mit dem [[Identitätssatz]] wieder eine eindeutige Darstellung für den Zweig des Logarithmus auch auf <math>D_0 \cup D_1 \cup D_2 </math>. Nach maximal <math>n</math> Schritten für die offene Überdeckung hat man eine eindeutig des Logarithmus auf der Vereinigung <math>U_z := D_0 \cup D_1 \cup \ldots D_m</math> erhalten wobei <math>m\leq n</math> gilt. === Beweisschritt 10 - beliebige Integrationsweg === Man hat nur für ein beliebiges <math>z\in G</math> eine Vereinigung von offenen Menge gefunden, auf der der Zweig des Logarithmus eindeutig definiert ist. Für <math>U_z</math> gilt: <math> z_o, z\in U_z \quad \mbox{ und } \quad D_0 \subseteq U_z \subseteq G </math> Betrachtet man nun zwei beliebige Integrationwege <math>\gamma_{z_1}</math> mit <math>z_1, z_2\in G</math>, so gilt <math>D_0 \subseteq U_{z_1} \cap U_{z_2} </math>. Damit ist der Zweig des Logarithmus auch auf <math> U_{z_1} \cup U_{z_2} </math> mit dem [[Identitätssatz]] wieder eindeutig definiert. === Beweisschritt 11 - Eindeutigkeit des Zweiges === Da <math>U_z \subseteq G</math> gilt und man <math>G</math> als Vereinigung der <math>U_z</math> wegen <math>z\in U_z</math> darstellen kann, erhält man einen eindeutigen Logarithmus auf <math>G</math>. <math> \quad \Box</math> == Bemerkung - geschlitzte Ebene == Eine geschlitzte Ebene <math>G_{z_o}</math> für <math>z_o\not=0</math> definiert man wie folgt: :<math> G_{z_o} := \mathbb{C} \setminus \{z \in \mathbb{C} \, : \, z = - \lambda \cdot z_o \mbox{ mit } 0 \leq \lambda \in \mathbb{R} \} </math> Mit dem obigen Satz kann also nicht nur geschlitzte Ebenen <math>G_{z_o}</math> wählen, sondern man erhält Zweige des Logarithmus für beliebige einfach zusammenhängende Gebiete <math>G</math>, die 0 nicht enthalten. == Imaginärer Hauptzweig des Logarithmus == Wählt man die geschlitzte Ebene <math>G_{i}</math> für die imaginäre Einheit <math>i\not=0</math>, so erhält man mit dem obigen Satz den imaginären Hauptzweig des Logarithmus <math>\ln_i</math>, der sowohl für die positiven als für die negativen reellen Zahlen definiert ist. Für negative Zahlen <math>z=|z|\cdot e^{i\pi} \in \mathbb{R}^- </math> ist der Logarithmus dann wie folgt eindeutig festgelegt: :<math> \ln_i(z) = \ln(|z|) + i \cdot \pi </math> == Siehe auch == * [[Logarithmus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Vorgehen|Potenzreihenentwicklungen für 1/z]] ljpk6910168iqmue6lmybalcypyppny 0 170113 1076992 2026-04-12T16:22:56Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen]] erstellt 1076992 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen]] ci9e0dd6lolrsy5rvdnl9b45qn7z3su 0 170114 1077035 2026-04-13T06:12:10Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke]] erstellt 1077035 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke]] solb1d4atx9qn6kqsn1qz6qzsutuv3h 0 170115 1077076 2026-04-13T08:09:46Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke]] erstellt 1077076 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke]] solb1d4atx9qn6kqsn1qz6qzsutuv3h 106 170116 1077098 2026-04-13T10:35:57Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1077098 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|4|9|Kurs=|}} hhzel2uo6xliir5gcy3g5csdv6aeteg 106 170117 1077100 2026-04-13T10:43:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077100 wikitext text/x-wiki {{Latex}} 3e3nqvm6nsvokcc33v86ivll7ce6lru