Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.23 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 103350 1077259 1073774 2026-04-15T10:40:23Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077259 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die '''Cauchy-Integralformel''' (nach [[w:de:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy]]) ist eine der fundamentalen Aussagen der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], eines Teilgebietes der [[w:de:Mathematik|Mathematik]]. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. === Bezeichnung - CI-Formel - CI-Satz === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die Holomorphie von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die in die Integraldarstellung von <math>f(z)</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der Existenz von Stammfunktionen mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Schritte === Die folgenden Ausführungen tragen dazu bei, die lokale Entwicklung in Potenzreihen zu zeigen. Dieses ist ein Holomorphiekriterium. * der Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert eine Integraldarstellung für <math>f(z)</math>. * die Darstellung wird dazu verwendet, um zu zeigen, dass eine holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist. * Damit kann man die Taylorreihe der Funktion lokal erzeugen, weil nun alle Ableitung existieren (Cauchy-Kern). === Darstellung von Funktionswerten in Kreisscheiben durch Wegintegrale === Mit der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel]] kann man beliebige Punkte <math>z</math> im Inneren einer abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)} \subset G</math> durch ein geschlossenes Wegintegral über Rand der Kreisscheibe darstellen. Dies erscheint auf den ersten Blick ein sehr ungewöhnliches Resultat zu sein, da die Integrationsvariable <math>\zeta \in \partial U</math> im Integranden per Definition auf dem Rand der Kreisscheibe liegt und daher immer verschieden zu <math>z</math> als Argument von <math>f(z)</math> ist, wobei <math>z</math> im Inneren der Kreisscheibe liegt, also <math> z \in D_r(z_o)</math>. == Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben == Ist <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> offen, <math>f\colon G\to\mathbb{C}</math> holomorph, <math>z_o \in G</math> ein Punkt in <math>z_o \in G</math> und <math>U:=D_r(z_o)\subset G</math> eine beschränkte Kreisscheibe mit <math>\overline{U} \subset G</math>, dann gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> (also für alle <math>z</math> mit <math>|z-z_o|<r</math>: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math> Dabei ist <math>\partial U</math> die positiv orientierte Kurve <math>t\mapsto z_{0}+re^{\mathrm{i}t}</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> über den Rand der Kreisscheibe <math>U</math>. ==== Bemerkung - Rand der Kreisscheibe ==== Die Bedingung <math>\overline{U} \subset G</math> bezeichnet, dass der Abschluss der Kreisscheibe auch in <math>U</math> liegen muss. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Spur des Integrationsweges über den Kreisrand auch in <math>G</math> liegt und die Funktion <math>f</math> auf dem Rand definiert ist. === Beweis 1 - Definition der Funktion g === Für festes <math>z\in U</math> sei die Funktion <math>g\colon U\to\mathbb{C}</math> definiert durch: :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z)}{\xi - z} & , & \xi \not= z \\ f'(z) & , & \xi = z \\ \end{cases} \end{array} </math> <math>g</math> ist stetig auf <math>U</math> und holomorph auf <math>U\setminus\{z\}</math>. Ziel ist die Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemmas von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]. === Beweis 2 - Differenzenquotient und Linearität === Mit der Definition <math>g</math> und <math>w\not= z</math> kann man mit der Linearität des Integrals folgende Darstellung erzielen: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle \oint_{\partial U} g(\zeta) d\zeta = \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - \oint_{\partial U}\frac{f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - f(z)\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z} \end{array} </math>. === Beweis 3 - Holomorphie des Integrationsterms === Die Funktion <math>h\colon U\to\mathbb{C}</math>, <math>\textstyle w\mapsto\oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-w}</math> ist holomorph mit der Ableitung <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2}</math>. === Beweis 4 - Wegintegral mit Stammfunktion === Der Integrand <math>\widehat{h}:\zeta\mapsto \tfrac{1}{(\zeta-w)^2}</math> hat als [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>\widehat{H}:\zeta\mapsto -\tfrac{1}{\zeta-w}</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]]. Daher ergibt sich ein [[Wegintegral]] über Weg <math>\gamma: [a,b]\to \mathbb{C}</math> über <math>\widehat{H}(\gamma(b))-\widehat{H}(\gamma(a))</math> und das [[Wegintegral]] über geschlossene Wege ist 0, da <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> gilt. === Beweis 5 - Wegintegral über Ableitung === Die Funktion <math>h'</math> hat die Stammfunktion <math>h</math> und für das geschlossene Wegintegral gilt <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2} = 0 </math>. Damit <math>h'</math> die Nullfunktion und damit muss <math>h</math> konstant sein. === Beweis 6 - Wegintegral das Zentrum der Kreisscheibe berechnen === Für das Zentrum der Kreisschreibe lässt sich der Wert des Integrals für <math>h(z_o)</math> wie folgt berechnen: :<math> h(z_o) = \oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z_o} = \int_{0}^{2\pi} \frac{i\cdot r\cdot e^{it} }{ r\cdot e^{it} } \mathrm{d} t = \int_{0}^{2\pi} i \, \mathrm{d} t = 2\pi i </math> === Beweis 7 - Konstanz von h === Wegen der Konstanz der Funktion <math>h</math> muss <math>h</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>z \in D_r(z_o)</math> konstant sein: :<math> h(z)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-z\right)} = 2\pi i </math> . &nbsp; <math>\Box</math> == Folgerungen CIF == Aus dem Cauchy-Integralsatz (CIF) ergeben sich folgende Korrolare: * '''(CIF1)''' Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe, * '''(CIF2)''' Integraldarstellung von Ableitungen, * '''(CIF3)''' Betragsmäßige Abschätzung der Koeffizienten der [[Taylorreihe]], * '''(CIF4)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]], === CIF1 - Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe === Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei <math>\zeta (t)=z_o +re^{\mathrm{i}t}\,,\ \mathrm{d}\zeta=\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t</math>. Test :<math> \begin{align} f|_{U}(z_o) &= \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{re^{\mathrm{i}t}}\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})\,\mathrm{d}t \end{align} </math> === CIF2 - Ableitungen der Cauchy-Integralformel === Jede holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für <math>|z-z_o|<r</math>, <math>U:=D_r(z_o)</math>, <math>\overline{U} \subset G</math> und <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left( \zeta-z \right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta.</math> ==== Beweis - CIF2 ==== In dem folgenden Beweis wurde verwendet, dass die Differentiation und Integration vertauscht werden dürfen. :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe === Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)</math> gilt: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> ==== Beweis CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten ==== Für die Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein <math>M>0</math> mit <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-z_o|=r</math>. Dann gilt für <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>\begin{align} |a_{n}|&=\left|\frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t\right|\\ &\leq\frac{1}{2\pi r^n} \underbrace{\int_0^{2\pi} \underbrace{|f(z_o+re^{\mathrm{i} t})|}_{\leq M} \,\mathrm{d}t }_{\leq M\cdot 2\pi} \leq \frac{M}{r^{n}} \end{align}</math> === CIF4 - Satz von Liouville === Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] (jede [[w:de:Ganze Funktion|auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe]] beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. ==== Beweis CIF4 - Satz von Liouville ==== Ist <math>f</math> auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorph und beschränkt, also <math>|f(z)|=|\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}|\leq M</math> für alle <math>z\in\mathbb C</math>, dann gilt wie vorher für alle <math>r>0</math>: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> Da <math>r</math> beliebig war, gilt dann <math>a_n=0</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>. Somit folgt aus der Beschränktheit von <math>f</math>: : <math>f(z)=a_0</math> Das heißt jede beschränkte auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville). === CIF5 - Fundamentalsatz der Algebra === Mit [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] kann man wiederum leicht den [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] beweisen, und damit jedes Polynom <math>p</math> vom Grad <math>n</math> in in <math>\mathbb{C}</math> in <math>n</math> Linearfaktoren mit <math>z_k\in \mathbb{C}</math> zerfällt. :<math> p(z) = \prod_{k=1}^n (z-z_k) </math> Siehe Beweis [[Fundamentalsatz der Algebra]]. === Beispiel === Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden: :<math>\oint_{\partial U_2(0)}\frac{e^{2\zeta}}{\left(\zeta+1\right)^4}\mathrm{d}\zeta = \frac{2\pi\mathrm{i}}{3!} \cdot \frac{\partial^3}{\partial z^3}e^{2z}|_{z=-1} = \frac{8\pi\mathrm{i}}{3e^2}</math> == Cauchysche Integralformel für Polyzylinder == Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum <math>\Complex^n</math> verallgemeinert. Seien <math>U_1, \ldots , U_n</math> Kreisscheiben in <math>\Complex</math>, dann ist <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ein [[w:de:Polyzylinder|Polyzylinder]] in <math>\Complex^n</math>. Sei <math>f \colon U \to \Complex</math> eine holomorphe Funktion und <math>\xi \in U.</math> Dann ist die cauchysche Integralformel durch :<math>f(z_1,\ldots,z_n)=\frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)\cdots (\xi_n-z_n)} \mathrm{d} \xi_1\cdots \mathrm{d} \xi_n</math> erklärt. === Einschränkungen mehrdimensionaler Raum === Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der [[w:de:Multiindex|Multiindex]]schreibweise kann die Formel wieder zu :<math>f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)} \, \mathrm{d} \xi</math>, mit <math>\partial U = \partial U_1 \times \cdots \times \partial U_n</math> verkürzt werden. === Polyzylinder === Polyzylinder werden über einen Vektor von Radien definiert, wobei <math>\textstyle M := \max_{\xi \in U} |f(\xi)|</math> und <math>r = (r_1, \ldots , r_n)</math> der Radius des Polyzylinders <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ist.<ref>[[w:de:Lars Hörmander|Lars Hörmander]]: ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.'' North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, lSBN 0-444-10523-9, S. 25–27.</ref> Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === Vorgehen im mehrdimensionalen Fall === Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel :<math>D^{k} f(z_1,\ldots,z_n) = \frac{k!}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n</math> für die Ableitungen der holomorphen Funktion <math>f</math> als auch die cauchysche Ungleichung :<math>\left|D^k f(z)\right |\le \frac{M \cdot k!}{r^k},</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Zyklus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Wegintegral über Funktionen mit Stammfunktion]] * [[Integralformel von Cauchy|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[nullhomolog]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * Kurt Endl, [[w:de:Wolfgang Luh|Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Funktionentheorie, Differentialgleichungen.'' 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, lSBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1. * Wolfgang Fischer, [[w:de:Ingo Lieb|Ingo Lieb]]: ''Funktionentheorie.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, lSBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (''Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik'' 47). [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Cauchysche Integralformel]] == Seiten-Information == Die folgenden Informationen geben an, wie diese Seiten entstanden ist und mit warum die Quelle aus Wikipedia mit dem [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter] zur [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Nutzung als Online-Präsentation] mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] modifziert wurde, damit die Inhalte der Abschnitte jeweils auf eine einzelne Folie passen. === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Cauchysche_Integralformel] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel * Datum: 21.12.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Cauchy's Integral Theorem for Disks]]</noinclude> 9vw4frwwrk7v8a6us5gqgo0qpiix1j0 0 119686 1077228 631775 2026-04-14T12:51:45Z Bocardodarapti 2041 1077228 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Den Albert mit {{Anführung|Albert|}} bezeichnen oder drauf zeigen, kann jeder. Es geht in dieser Aufgabe darum, die Personen ohne diese direkten Wege zu charakterisieren, zu adressieren, wo allein auf die beiden angegebenen Relationen Bezug genommen wird. Diese Situation kennt man aus dem Alltag, man möchte beispielsweise bei einer Party vom Gastgeber wissen, wie denn eine Person heißt, die man selber nicht kennt. Dann sagt man vielleicht etwas wie: ich meine diejenige, die den Kartoffelsalat mitgebracht hat, viel Sekt getrunken hat und zum Schluss mit jemanden, der keinen Kartoffelsalat mitgebracht hat, auf den Tischen getanzt hat. Zwar haben viele Leute Kartotoffelsalat mitgebracht und auch viele von diesen viel Sekt getrunken, aber von diesen hat nur eine Person mit einem auf den Tischen getanzt, der keinen Kartoffelsalat mitgebracht hat (die andern haben eben nur mit anderen Kartoffelsalatmitbringern auf den Tischen getanzt), deshalb ist diese Charakterisierung eindeutig. Dabei können Konstruktionen wie {{Anführung|diejenige, die ... }} beliebig verschachtelt werden. Ein einfacheres Beispiel: Wenn nur A und C da sind, und A kochen kann und C nicht, so sagt man einfach: {{Anführung|derjenige, der kochen kann|SZ=.}} Zum vorliegenden Beispiel. Generell ist es sinnvoll, mit den Leuten anzufangen, die zu einem kleinen Personenkreis gehören, der durch eine Relation beschrieben werden kann. Im vorliegenden Fall beginnt man mit der Kochfähigkeit, da das nur zwei Leute erfüllen. Diese beiden {{ Zusatz/Klammer |text=also A und B| |ISZ=|ESZ= }} müssen jetzt unter Bezug auf die zweite Relation, das Dooffinden, von einander getrennt werden. Da A von drei Leuten doof gefunden wird, und B nur von einer Person, kann man dies direkt verwenden, es ist also {{Anführung|diejenige Person, die kochen kann und von genau einer Person doof gefunden wird|SZ=}} eine Charakterisierung von B. Die schon gewonnenen Charakterisierungen kann man dann zur Charakterisierung weiterer Personen heranziehen. Da E den B doof findet, ist {{Anführung|diejenige Person, die diejenige Person doof findet, die kochen kann und nur von einer Person doof gefunden wird}} eine Charakterisierung von E. Dagegen wäre {{Anführung|diejenige Person, die genau eine Person doof findet, die kochen kann}} keine Charakterisierung von E, da dies auch auf G zutrifft. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jb9a8ubr3qepilue5cxiwc8sesisiq9 106 121957 1077246 1077106 2026-04-15T06:56:54Z Bocardodarapti 2041 1077246 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe|p||| |Knopfloch/Finger verstaucht/Aufgabe|p||| |Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/1,2,viele/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Abstand 10/Aufgabe|p||| |Vierertupel/Differenzbetrag/Abstieg/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Strassen-Algorithmus/2x2/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/C/Potenz/Beschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} gv90nnq0ul0u0x7r7zbbd4kgndtin7s 106 121958 1077229 1076805 2026-04-14T12:54:41Z Bocardodarapti 2041 1077229 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Abbildung/Iteration/Wiederholung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Relationstabelle/Eigenschaften/3/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} i30rnqausrjgdxt90sehk39rlyp7u47 1077244 1077229 2026-04-15T06:55:27Z Bocardodarapti 2041 1077244 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe|p||| |Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Abbildung/Iteration/Wiederholung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Relationstabelle/Eigenschaften/3/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} finh7tm23t2yh5emh1wx0u2yo67xpch 1077250 1077244 2026-04-15T08:55:08Z Bocardodarapti 2041 1077250 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe|p||| |Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Abbildung/Iteration/Wiederholung/Aufgabe|p||| |Endliche Permutationen/Teilmenge/Aufteilung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Relationstabelle/Eigenschaften/3/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} q35s9joclv8p2pgszcjq11usdfridi1 106 121961 1077230 1076665 2026-04-14T12:55:44Z Bocardodarapti 2041 1077230 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe|p||| |Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zehnersystem/Verknüpfung/Hintereinanderschaltung/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Inverses von b/Aufgabe|p||| |Nahrungskette/Relation/Arktis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p||| |Stetige Funktionen/R/Äquivalenzrelation durch Multiplikation mit Einheit/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 449koownhxnbmho3i336k5ainnlmlml 0 122410 1077231 1029691 2026-04-14T12:57:35Z Bocardodarapti 2041 1077231 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |Es sei {{ Relationskette |x |\prec|y || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |y |\prec|z || || || |SZ=. }} Das bedeutet {{ Relationskette |x |\preccurlyeq|y || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |y |\preccurlyeq|z || || || |SZ= }} und somit ist wegen der Transitivität von {{math|term= \preccurlyeq|SZ=}} auch {{ Relationskette |x |\preccurlyeq|z || || || |SZ=. }} Wäre {{ Relationskette |x || z || || || |SZ=, }} so wäre wegen der Antisymmetrie von {{math|term= \preccurlyeq|SZ=}} auch {{ Relationskette |x || y || || || |SZ=, }} was den Voraussetzungen widerspricht. |Die Relation {{math|term= \prec|SZ=}} ist nicht reflexiv, da {{ Relationskette |x |\prec|y || || || |SZ= }} die Verschiedenheit von {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} beinhaltet. |Die Relation {{math|term= \prec|SZ=}} ist nicht symmetrisch, außer wenn {{math|term= \preccurlyeq |SZ=}} die Identität ist. In diesem Fall ist nämlich {{math|term= \prec|SZ=}} die leere Relation, und diese ist symmetrisch. Wenn es hingegen ein Paar {{ Relationskette |x |\preccurlyeq|y || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |x |\neq|y || || || |SZ= }} gibt, so ist {{ Relationskette |x |\prec|y || || || |SZ=, }} aber nicht umgekehrt. |Die Relation {{math|term= \prec|SZ=}} ist antisymmetrisch. Sei {{ Relationskette |x |\prec|y || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |y |\prec|x || || || |SZ=. }} Dann ist insbesondere{{ Relationskette |x |\preccurlyeq|y || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |y |\preccurlyeq|x || || || |SZ= }} und die Antisymmetrie der Ordnungsrelation impliziert {{ Relationskette |x || y || || || |SZ=. }} Doch dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. D.h. die Voraussetzung in der Eigenschaft Antisymmetrie kann gar nicht erfüllt sein und daher ist die Antisymmetrie erfüllt. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} il2cg5ivpt6k65m9doaw1oxagdohv63 0 123885 1077234 1076969 2026-04-14T13:50:11Z Bocardodarapti 2041 1077234 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zwischen den ganzen Zahlen einerseits und den Polynomringen über einem Körper andererseits bestehen folgende Analogien, die wir hier schon mal festhalten und die wir im Laufe des Kurses vertiefen werden. Dabei haben diese Phänomene im funktionentheoretischen Kontext eine zumeist naheliegende Bedeutung, während sie im zahlentheoretischen Kontext erst erschlossen werden müssen. Dieser Prozess erlaubt es, eine geometrische Sprache in die Zahlentheorie einzuführen, die zu Beginn etwas gewöhnungsbedürftig ist, aber bald eine gute intuitive Unterstützung für das Verständnis der Zahlentheorie gibt. Wir erwähnen die folgenden Punkte, die wir hier nur kurz funktionentheoretisch erläutern. Mit der passenden Begrifflichkeit werden aus Analogien dann gemeinsame Konzepte. Analogien {{ Aufzählung14 |Man kann die gleichen algebraischen Konzepte anwenden. |Hauptidealbereich. |Punktkonzept. Restekörper. |Funktion. Nullstelle. |Rationale Funktionen. Polstelle. |Quotientenkörper. |Bilder und Urbilder. |Lokale und globale Eigenschaften. |Erweiterungen der Quotientenkörper. Ganzheit. |Gruppenoperation. |Zerlegung. |Verzweigung. |Singularitäten. |Projektiver Abschluss. }} Unterschiede {{ Aufzählung4 |Nichtidentische Ringhomomorphismen von {{math|term= K[T] |SZ=}} in sich. |Endlichkeit der Restekörper bei {{math|term= \Z |SZ=.}} Dies gilt für {{math|term= K[X] |SZ=}} auch, wenn {{math|term= K |SZ=}} ein endlicher Körper ist. Diese {{Anführung|Enge}} erzwingt häufig zusätzliche Gesetzmä{{drucktrenn}}ßigkeiten. |Analytische Methoden bei {{ Relationskette | K || \R || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | K || {{CC|}} || || || |SZ=. }} |Topologische Methoden bei {{ Relationskette | K || \R || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | K || {{CC|}} || || || |SZ=. }} }} Einige Kommentare {{ inputbild |Polynomialdeg4|svg|150px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Ein Polynom hat an jedem Punkt {{ Relationskette | a |\in| K || || || |SZ= }} einen Wert, eine besondere Rolle spielen die Nullstellen. Die Nullstellen können, wie bei {{math|term= x^2 |SZ=,}} eine größere Vielfachheit haben, und dies ist dann der Fall, wenn auch noch die Ableitung eine Nullstelle an dieser Stelle besitzt. Es gibt stets, außer beim Nullpolynom, nur endlich viele Nullstellen. Auch sonst wird jeder Wert, außer bei konstanten Polynomen, nur endlich oft angenommen. Über den komplexen Zahlen ist jedes nichtkonstante Polynom surjektiv. {{ inputbild |Function-1 x|svg| 150px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Function-1_x |Text=Die rationale Funktion {{math|term= 1/x|SZ=}} besitzt an der Stelle {{math|term= 0 |SZ=}} einen Pol. |Autor= |Benutzer=Qualc1 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} Aus Polynomen kann man durch Division auch rationale Funktionen bilden, beispielsweise {{math|term= 1/x|SZ=,}} diese sind nicht überall definiert und haben an endlich vielen Stellen, nämlich den Nullstellen des Nenners, Pole. Die Menge {{mathl|term= K(X) |SZ=}} der rationalen Funktionen bildet wie die Menge {{math|term= \Q |SZ=}} der rationalen Zahlen einen Körper. So wie man endliche Erweiterungen {{ Relationskette/display | \Z | \subseteq | \Z[\sqrt{7}] || \Z[T]/ {{makl| T^2-7 |}} || || |SZ= }} betrachten kann, kann man auch Erweiterungen wie {{ Relationskette/display | K[Y] |\subseteq| K[Y] [X]/ {{makl| X^2- Y^3+5Y-4 |}} || || || |SZ= }} betrachten, dabei wird beispielsweise einem Polynom, hier {{mathl|term= Y^3-5Y+4 |SZ=,}} eine algebraische Quadratwurzel verpasst. Es wird also eine algebraische Funktion {{mathl|term= \sqrt{y^3-5y+4} |SZ=}} adjungiert. Eine Besonderheit tritt auf, wenn man aus der Variablen {{math|term= Y |SZ=}} selbst die Quadratwurzel zieht. Dann ist nämlich {{ Relationskette/display | K[Y] [X]/ {{makl| X^2 - Y |}} |\cong| K[X] || || || |SZ=, }} da man ja {{math|term= Y |SZ=}} als Polynom in {{math|term= X |SZ=}} ausdrücken kann. In diesem Fall ist also der algebraisch definierte Erweiterungsring selbst wieder isomorph zum Polynomring selbst! Jedes Polynom {{mathl|term= P(X) |SZ=}} in einer Variablen kann man in diesem Sinne als Ringerweiterung {{ Relationskette/display | K[Y] |\subseteq| K[Y,X]/(Y- P(X)) |\cong| K[X] || || |SZ= }} interpretieren. Das Polynom {{math|term= P |SZ=}} definiert in diesem Sinne einen Ringhomomorphismus von {{math|term= K[Y] |SZ=}} nach {{math|term= K[X] |SZ=.}} Ferner ist die Menge {{ Relationskette/display | V(Y-P(X)) || {{Mengebed| (x,y) \in K^2 | y {{=|}} P(x) }} || || || |SZ= }} der Graph des Polynoms {{math|term= P |SZ=.}} Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K | K | x | P(x) |SZ=, }} kann man darin auch so auffassen, dass zuerst eine Bijektion zwischen {{math|term= K |SZ=}} und dem Graphen gemacht wird und dann der Graph auf die vertikale Achse projiziert wird. Bei dieser Interpretation sieht man besonders schön, welche Punkte auf einen bestimmten Punkt {{math|term= b |SZ=}} abgebildet werden, nämlich die Schnittpunkte des Graphen mit der durch {{math|term= b |SZ=}} verlaufenden horizontalen Geraden. Es ist im Hinblick auf die zahlentheoretische Interpretation üblich, das Bild an der Hauptdiagonalen zu spiegeln, damit der Graph oberhalb der Zielgeraden liegt und die Punkte quasi herunterfallen. Das Urbild von {{math|term= b |SZ=}} besteht bei dieser Veranschaulichung aus den Punkten, die oberhalb von {{math|term= b |SZ=}} liegen, und man interessiert sich insbesondere dafür, wie diese Fasern mit {{math|term= b |SZ=}} variieren. Bei einfachen Beispielen wie {{ Relationskette | P(x) || x^2 || || || |SZ= }} fällt direkt ein regelmäßiges Zerlegungsverhalten der Fasern auf. Für reelles {{math|term= b |SZ=}} besteht bei {{math|term= b |SZ=}} positiv die Faser aus {{mathl|term= \{\sqrt{b},-\sqrt{b} \} |SZ=,}} bei {{ Relationskette | b || 0 || || || |SZ= }} nur aus dem Nullpunkt und bei {{math|term= b |SZ=}} negativ ist die Faser leer. Im Komplexen besteht die Faser für {{ Relationskette | b | \neq | 0 || || || |SZ= }} stets aus zwei Punkten. Die Einzigkeit der {{math|term= 0 |SZ=}} über der {{math|term= 0 |SZ=}} wird in einem gewissen Sinne dadurch {{Anführung|aufgefangen|SZ=,}} dass dort auch die Ableitung gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist, dort fallen die beiden Urbilder zusammen, es liegt {{Anführung|Verzweigung}} vor. Ein vergleichbares Verhalten zeigt sich bei der Ringerweiterung {{ Relationskette/display | \Z |\subseteq| \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] || || || |SZ=, }} wenn man betrachtet, was dort mit den Primzahlen passiert. Für eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} mit dem Rest {{math|term= 1 |SZ=}} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} gibt es dort {{{zusatz1|}}} eine Faktorzerlegung {{ Relationskette/display |p || x^2+ {{imaginäre Einheit|}} y^2 || {{makl|x+ {{imaginäre Einheit|}} y|}} {{makl| x- {{imaginäre Einheit|}} y|}} || || |SZ= }} in zwei neue Primelemente, eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} mit dem Rest {{math|term= 3 |SZ=}} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} bleibt eine Primzahl, wobei der Restklassenkörper aber {{math|term= p^2 |SZ=}} viele Elemente besitzt, und für {{ Relationskette |p ||2 || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display |2 || - {{imaginäre Einheit|}} {{makl| 1+ {{imaginäre Einheit|}} |}}^2 || || || |SZ=, }} was dem Verzweigungsverhalten entspricht. {{ inputbild |Cusp|svg| 150px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Satipatthana |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Ein weiteres Phänomen tritt auf, wenn man Erweiterungen der Form {{ Relationskette/display | K[Y] |\subseteq| K[Y][X]/ {{makl| X^2-Y^3 |}} || || || |SZ= }} betrachtet, die zugehörige Kurve {{ Relationskette/display | V {{makl| X^2-Y^3 |}} || {{Mengebed| (x,y) | x^2 {{=|}} y^3 }} || || || |SZ= }} besitzt eine Singularität im Punkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=,}} was bei dem Graphen eines Polynoms nicht vorkommen kann. Zahlentheoretisch treten bei Erweiterungen wie {{ Relationskette |\Z |\subseteq| \Z[X]/ {{makl| X^2-27 |}} || || || |SZ=, }} also der Adjunktion von {{math|term= \sqrt{27} |SZ=,}} ähnliche Phänomene auf.{{{zusatz2|}}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} c2dhh149yfzlvwt1xdngub9rfxqwv4k 106 160377 1077238 1077105 2026-04-15T06:31:36Z Bocardodarapti 2041 1077238 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20{{{opt|}}} |Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe|p||| |Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} pyzaw71xdarx59nhgagkwosv0nxvbl0 1077243 1077238 2026-04-15T06:55:18Z Bocardodarapti 2041 1077243 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20{{{opt|}}} |Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 1kjscanbk82gccl2dknet3ryy4s2k9p 1077245 1077243 2026-04-15T06:56:05Z Bocardodarapti 2041 1077245 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20{{{opt|}}} |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} kvo40ziiqcmln6fw9xze82mb9xlq71a 106 163466 1077237 1077201 2026-04-14T17:47:33Z Bocardodarapti 2041 1077237 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Kommutative Algebra/Teil II/Vorlesungsgestaltung|37| {{Zwischenüberschrift|Symmetrische Potenz}} {{:Modul/Symmetrische Potenz/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Symmetrische Algebra}} {{:Modul/Symmetrische Algebra/Einführung/Textabschnitt}} Aufgrund der universellen Eigenschaft der symmetrischen Algebra gibt es einen Ringhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Symmetrische Algebra| {{op:Dualer Modul|M|}} |}} | {{op:Dualer Modul| {{makl| {{op:Symmetrische Algebra| M |}} |}} }} || |SZ=, }} der in der {{math|term= q |SZ=-}}ten Stufe durch {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Modul/Symmetrische Potenz/Dualer Modul/Fakt |Nr= |SZ= }} gegeben ist. {{Zwischenüberschrift|Das Dual der symmetrischen Algebra}} Wir betrachten {{mathl|term= {{op:Dualer Modul| {{makl| {{op:Symmetrische Algebra|M|}} |}} |}} |SZ=.}} Dies besitzt dividierte Potenzen. Ein homogenes Element {{ Abbildung/display |name= \varphi | S^q(M) |R || |SZ= }} besitzt die {{math|term= n |SZ=-}}te Potenz, die {{mathl|term= S^{nq} |SZ=}} folgendermaßen abbildet: {{ Math/display|term= a_1 \cdots a_n \longmapsto \sum_{\pi \in S_n} \varphi(a_{\pi(1)}) \cdots \varphi(a_{\pi(n)}) |SZ=. }} Dies kann man durch {{math|term= n! |SZ=}} teilen, und {{math|term= \gamma_n( \varphi) |SZ=}} bedeutet {{mathl|term= \varphi^n/n! |SZ=.}} }} 0da4l9a2orcjf1kwg5hr7o56rqav8h5 1077247 1077237 2026-04-15T07:32:20Z Bocardodarapti 2041 1077247 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Kommutative Algebra/Teil II/Vorlesungsgestaltung|37| {{Zwischenüberschrift|Symmetrische Potenz}} {{:Modul/Symmetrische Potenz/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Symmetrische Algebra}} {{:Modul/Symmetrische Algebra/Einführung/Textabschnitt}} Aufgrund der universellen Eigenschaft der symmetrischen Algebra gibt es einen Ringhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Symmetrische Algebra| {{op:Dualer 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Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2)= z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] guj3zd0ko7882g4tpghepg91zsfvn43 0 170166 1077232 1077184 2026-04-14T13:04:15Z Bocardodarapti 2041 1077232 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies folgt direkt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt |Nr= |SZ=, }} aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Exponentialreihe/Komplex/Absolute Konvergenz/Fakt |Nr= |SZ= }} und aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Exponentialreihe/Komplex/Funktionalgleichung/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} qpyypaxam4d3qchelaneca9l2gunyfg 106 170173 1077233 2026-04-14T13:04:56Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077233 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Analysis/Standardkurs|}} |}} 1km5m3rhnue3ncyipowijvyduwrjms6 0 170174 1077239 2026-04-15T06:35:40Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077239 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Teilmenge {{ Relationskette/display | A || {{Mengebed| \sum_{k {{=}} 0}^d {{op:Bruch|a_k|k!}} X^k | a_k \in \Z }} | \subseteq | \Q[X] || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= A |SZ=}} ein Unterring von {{math|term= \Q[X] |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integritätsbereiche |Kategorie2=Theorie der Unterringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 1fe7ucxs2l5tdfpinwqjcnwvsohln44 1077240 1077239 2026-04-15T06:39:13Z Bocardodarapti 2041 1077240 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Teilmenge {{ Relationskette/display | A || {{Mengebed| \sum_{k {{=}} 0}^d {{op:Bruch|a_k|k!}} X^k | a_k \in \Z }} | \subseteq | \Q[X] || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für ein Element {{ Relationskette | P | \in | A || || || |SZ=, }} das nicht zu {{mathl|term= \Z[X] |SZ=}} gehört. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für ein Element {{ Relationskette | Q | \in | \Q[X] || || || |SZ=, }} das nicht zu {{mathl|term= A |SZ=}} gehört. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= A |SZ=}} ein Unterring von {{math|term= \Q[X] |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integritätsbereiche |Kategorie2=Theorie der Unterringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=0.5 |p2=0.5 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} r0hd1oob8ja648l5b3kkcuk4h785zxt 1077242 1077240 2026-04-15T06:54:04Z Bocardodarapti 2041 1077242 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Teilmenge {{ Relationskette/display | A || {{Mengebed| \sum_{k {{=}} 0}^d {{op:Bruch|a_k|k!}} X^k | a_k \in \Z }} | \subseteq | \Q[X] || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für ein Element {{ Relationskette | P | \in | A || || || |SZ=, }} das nicht zu {{mathl|term= \Z[X] |SZ=}} gehört. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für ein Element {{ Relationskette | Q | \in | \Q[X] || || || |SZ=, }} das nicht zu {{mathl|term= A |SZ=}} gehört. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= A |SZ=}} ein Unterring von {{math|term= \Q[X] |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integritätsbereiche |Kategorie2=Theorie der Unterringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=0.5 |p2=0.5 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} jx2tvybgutchlukw9m4e4my5q5j3izo 0 170175 1077241 2026-04-15T06:53:42Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077241 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 | {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} X^2 |SZ=.}} | {{mathl|term= {{op:Bruch|1|3}} X^2 |SZ=.}} |Die Zugehörigkeiten {{ Relationskette | 0,1 | \in | A || || || |SZ= }} sind klar, ebenso, dass {{math|term= A |SZ=}} unter der Addition und das {{math|term= A |SZ=}} unter der Negation abgeschlossen ist. Es sei {{ Relationskette | P,Q | \in | A || || || |SZ=, }} sagen wir {{ Relationskette/display | P || \sum_{k {{=}} 0}^d {{op:Bruch|a_k|k!}} X^k || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | Q || \sum_{ \ell {{=}} 0}^e {{op:Bruch| b_\ell | \ell !}} X^\ell || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a_k, b_\ell | \in | \Z || || || |SZ=. }} Wir müssen zeigen, dass das {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= \Q[X] |SZ=}} ausgeführte| |ISZ=|ESZ= }} Produkt {{mathl|term= PQ |SZ=}} ebenfalls zu {{math|term= A |SZ=}} gehört. Der {{math|term= j |SZ=-}}te Koeffizient dieses Produktes ist {{ Relationskette/align | c_j || \sum_{k + \ell {{=}} j} {{op:Bruch| a_k | k !}} \cdot {{op:Bruch| b_\ell | \ell !}} || \sum_{k + \ell {{=}} j} {{op:Bruch| 1 | k ! \ell !}} a_k b_\ell || \sum_{k + \ell {{=}} j} {{op:Bruch|1 |(k+ \ell)! }} \cdot {{op:Bruch| (k+ \ell)! | k ! \ell !}} a_k b_\ell || \sum_{k + \ell {{=}} j} {{op:Bruch|1 |(k+ \ell)! }} \cdot {{op:Binomialkoeffizient| k+ \ell | k }} a_k b_\ell || {{op:Bruch|1 |j ! }} \cdot \sum_{k + \ell {{=}} j} {{op:Binomialkoeffizient| j | k }} a_k b_\ell |SZ=. }} Da die Binomialkoeffizienten ganze Zahlen sind, ist die hintere Summe eine ganze Zahl. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ev1p0m7pumcq5ph7i3jxbnpl3ymz6tm 0 170176 1077248 2026-04-15T08:21:11Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077248 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten {{mathl|term= {{op:Dualer Modul| {{makl| {{op:Symmetrische Algebra|M|}} |}} |}} |SZ=.}} Dies lässt sich zu einer Algebra machen. Zu linearen Abbildungen {{ Abbildung |name= \varphi |S^p (M)|R || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi |S^q (M)|R || |SZ= }} definiert man {{ Abbildung/display |name= \varphi \psi |S^{p+q} (M) |R || |SZ= }} durch {{ Relationskette/display | {{makl| \varphi \psi |}} {{makl| v_1 \cdots v_{p+q} |}} || \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots|}} p+q \},\, {{op:Anzahl|J|}} {{=}} p } \varphi {{makl| \prod_{j \in J} v_j |}} \psi {{makl| \prod_{j \notin J} v_j |}} || || || |SZ=. }} Bei Produkten mit mehr als zwei Faktoren muss man über alle passenden Partitionen aufsummieren. Speziell ist zu {{ Abbildung/display |name= \varphi |M|R || |SZ= }} {{ Relationskette/display | \varphi^n {{makl| v_1 \cdots v_{n} |}} || \sum_{\pi \in S_n} \varphi {{makl| v_{\pi(1)} |}} \cdots \varphi {{makl| v_{\pi(n)} |}} || || || |SZ=. }} Gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Modul/Symmetrische Potenz/Dualer Modul/Fakt |Nr= |SZ= }} wird {{mathl|term= f_1 \cdots f_p \cdot g_1 \cdots g_q |SZ=}} auf die Abbildung {{ Math/display|term= v_1 \cdots v_{p+q} \longmapsto \sum_{\pi \in S_{p+q} } f_1(v_{\pi(1)}) \cdots f_p(v_{\pi(p)}) \cdot g_1( v_{\pi(p+1)} ) \cdots g_q( v_{\pi(p+q)} ) |SZ= }} abgebildet. Die Permutationen kann man dabei gemäß den {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= p |SZ=-}}elementigen| |ISZ=|ESZ= }} Bildern {{ Relationskette/display | J || \pi( \{1 {{kommadots|}} p\}) || || || |SZ= }} ordnen. Die Permutation ergibt dabei über die induzierte Ordnung {{ Abbildung/display |name= \iota_J | \{ 1 {{kommadots|}} p\} | || |SZ= }} eine Permutation {{mathl|term= \pi \circ \iota_J^{-1}|SZ=}} eine Permutation auf {{math|term= J |SZ=}} und entsprechend eine Permutation auf dem Komplement. Wenn {{math|term= \varphi |SZ=}} bzw. {{math|term= \psi |SZ=}} die Bildabbildungen zu {{mathl|term= f_1 \cdots f_p |SZ=}} bzw. {{math|term= g_1 \cdots g_q |SZ=}} bezeichnet, so ist {{ Relationskette/align | {{makl| \varphi \psi |}} {{makl| v_1 \cdots v_{p+q} |}} || \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots|}} p+q \},\, {{op:Anzahl|J|}} {{=}} p } \varphi {{makl| \prod_{j \in J} v_j |}} \psi {{makl| \prod_{j \notin J} v_j |}} || \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots|}} p+q \},\, {{op:Anzahl|J|}} {{=}} p } {{makl| \sum_{\pi \in S (J) } f_1(v_{\pi(j_1)}) \cdots f_p(v_{\pi(j_p)}) |}} {{makl| \sum_{\pi \in S ( \{1 {{kommadots|}} p+q \} \setminus J) } g_1( v_{\pi(k_1)}) \cdots g_q(v_{\pi(k_q)}) |}} || || || |SZ=, }} was mit dem Bild des Produktes übereinstimmt. Es liegt also ein Ringhomomorphismus vor. Dies besitzt dividierte Potenzen. Dies kann man durch {{math|term= n! |SZ=}} teilen, und {{math|term= \gamma_n( \varphi) |SZ=}} bedeutet {{mathl|term= \varphi^n/n! |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der symmetrischen Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} bgbf86oamrkwgnbcyfdvi0opgbkx3d5 1077249 1077248 2026-04-15T08:22:05Z Bocardodarapti 2041 1077249 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten {{mathl|term= {{op:Dualer Modul| {{makl| {{op:Symmetrische Algebra|M|}} |}} |}} |SZ=.}} Dies lässt sich zu einer Algebra machen. 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Die Permutation ergibt dabei über die induzierte natürliche Ordnung {{ Abbildung/display |name= \iota_J | \{ 1 {{kommadots|}} p\} | J || |SZ= }} eine Permutation {{mathl|term= \pi \circ \iota_J^{-1}|SZ=}} eine Permutation auf {{math|term= J |SZ=}} und entsprechend eine Permutation auf dem Komplement. 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Zu {{math|term= k |SZ=}} bezeichnet {{math|term= S_k |SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Potenzmengeanzahl|n|k}} |SZ=}} bezeichnet die Menge der {{math|term= k |SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| S_n|}} || {{op:Anzahl| S_k|}} \cdot {{op:Anzahl| S_{n-k} |}} \cdot {{op:Anzahl| {{op:Potenzmengeanzahl|n|k}} |}} || || || |SZ=. }} |{{ManSie|Man definiere|Definieren Sie}} eine explizite natürliche bijektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= | S_n| S_k \times S_{n-k} \times {{op:Potenzmengeanzahl|n|k}} || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} in8dupwrpolvoyf4r3sd2gcpihhe9l8 1077252 1077251 2026-04-15T09:12:35Z Bocardodarapti 2041 1077252 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette | 1 |\leq| k |\leq| n || || || |SZ= }} natürliche Zahlen. 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Zu {{math|term= k |SZ=}} bezeichnet {{math|term= S_k |SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Potenzmengeanzahl|n|k}} |SZ=}} bezeichnet die Menge der {{math|term= k |SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| S_n|}} || {{op:Anzahl| {{op:Potenzmengeanzahl|n|k}} |}} \cdot {{op:Anzahl| S_k|}} \cdot {{op:Anzahl| S_{n-k} |}} || || || |SZ=. }} |{{ManSie|Man definiere|Definieren Sie}} eine explizite natürliche bijektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= | S_n | {{op:Potenzmengeanzahl|n|k}} \times S_k \times S_{n-k} || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9d6t21j9r666tq79wgy2kdmmiy55a6e 1077256 1077254 2026-04-15T10:08:35Z Bocardodarapti 2041 1077256 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette | 1 |\leq| k |\leq| n || || || |SZ= }} natürliche Zahlen. Zu {{math|term= k |SZ=}} bezeichnet {{math|term= S_k |SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Potenzmengeanzahl|n|k}} |SZ=}} bezeichnet die Menge der {{math|term= k |SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| S_n|}} || {{op:Anzahl| {{op:Potenzmengeanzahl|n|k}} |}} \cdot {{op:Anzahl| S_k|}} \cdot {{op:Anzahl| S_{n-k} |}} || || || |SZ=. }} |{{ManSie|Man definiere|Definieren Sie}} eine explizite natürliche bijektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= | S_n | {{op:Potenzmengeanzahl|n|k}} \times S_k \times S_{n-k} || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9fkcupco1ggck88tjizegbbnojdoeth 0 170178 1077253 2026-04-15T09:51:59Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077253 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Die rechte Seite ist gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} \cdot k! \cdot (n-k)! || {{op:Bruch|n!|k! (n-k)!}} \cdot k! \cdot (n-k)! || n! || || |SZ=, }} was mit der linken Seite übereinstimmt. |Es bezeichne {{ Abbildung/display |name= \alpha_k | \{ 1 {{kommadots|}} n-k \} | \{ k+1 {{kommadots|}} n\} |x|x+k |SZ=, }} die Addition mit {{math|term= k |SZ=,}} und zu einer {{math|term= \ell |SZ=-}}elementigen Teilmenge {{ Relationskette | J | \subseteq| {{Menge1n|}} || || || |SZ= }} bezeichne {{ Abbildung/display |name= \iota_J | \{ 1 {{kommadots}} \ell \} | J || |SZ= }} die natürliche Nummerierung von {{math|term= J |SZ=}} gemäß der Ordnung von {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=.}} Wir behaupten, dass die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |S_n | {{op:Potenzmengeanzahl|n|k}} \times S_k \times S_{n-k} | \pi | {{op:Zeilentupel| \pi {{makl| {{Menge1k|}} |}} | \iota^{-1}_{\pi {{makl| {{Menge1k|}} |}} } \circ \pi {{|}}_{ {{Menge1k|}} } | \iota^{-1}_{\pi {{makl| \{k+1 {{kommadots|}} n\} |}} } \circ \pi {{|}}_{ {{makl| \{k+1 {{kommadots|}} n\} }} } \circ \alpha_k }} |SZ= }} bijektiv ist. Die Abbildung ist wohldefiniert, da in der ersten Komponente eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Teilmenge von {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=,}} in der zweiten Komponente eine bijektive Abbildung von {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} nach {{math|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} und in der dritten Komponente eine bijektive Abbildung von {{mathl|term= \{ 1 {{kommadots|}} n-k \} |SZ=}} nach {{mathl|term= \{ 1 {{kommadots|}} n-k \} |SZ=}} steht. Wir geben explizit eine Umkehrabbildung an. Zu {{ Relationskette | (J, \sigma,\tau) | \in | {{op:Potenzmengeanzahl|n|k}} \times S_k \times S_{n-k} || || || |SZ= }} ist das Urbild die Permutation {{math|term= \pi |SZ=}} auf {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=,}} die durch {{ Relationskette/display | \pi(i) | {{defeq}} | \begin{cases} {{makl| i_J \circ \sigma |}} (i), \, \text{ falls } i \leq k , \\ {{makl| i_{ {{Menge1n}} \setminus J } \circ \tau \circ \alpha_k^{-1} |}} (i), \, \text{ falls } i \geq k+1 , \end{cases} || || || |SZ= }} gegeben ist. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ezxmg3kkoc63ker8x6caxau573mnbol 1077255 1077253 2026-04-15T10:08:23Z Bocardodarapti 2041 1077255 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Die rechte Seite ist gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} \cdot k! \cdot (n-k)! || {{op:Bruch|n!|k! 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Die Abbildung ist wohldefiniert, da in der ersten Komponente eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Teilmenge von {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=,}} in der zweiten Komponente eine bijektive Abbildung von {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} nach {{math|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} und in der dritten Komponente eine bijektive Abbildung von {{mathl|term= \{ 1 {{kommadots|}} n-k \} |SZ=}} nach {{mathl|term= \{ 1 {{kommadots|}} n-k \} |SZ=}} steht. Wir geben explizit eine Umkehrabbildung an. Zu {{ Relationskette | (J, \sigma,\tau) | \in | {{op:Potenzmengeanzahl|n|k}} \times S_k \times S_{n-k} || || || |SZ= }} ist das Urbild die Permutation {{math|term= \pi |SZ=}} auf {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=,}} die durch {{ Relationskette/display | \pi(i) | {{defeq}} | \begin{cases} {{makl| i_J \circ \sigma |}} (i), \, \text{ falls } i \leq k , \\ {{makl| i_{ {{Menge1n}} \setminus J } \circ \tau \circ \alpha_k^{-1} |}} (i), \, \text{ falls } i \geq k+1 , \end{cases} || || || |SZ= }} gegeben ist. Hierbei gilt offenbar {{ Relationskette/display | \pi( {{Menge1k|}} ) || J || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \iota^{-1}_{\pi {{makl| {{Menge1k|}} |}} } \circ \pi {{|}}_{ {{Menge1k|}} } || \iota^{-1}_{\pi {{makl| {{Menge1k|}} |}} } \circ i_J \circ \sigma || \sigma || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \iota^{-1}_{\pi {{makl| \{k+1 {{kommadots|}} n\} |}} } \circ \pi {{|}}_{ {{makl| \{k+1 {{kommadots|}} n\} }} } \circ \alpha_k || \iota^{-1}_{\pi {{makl| \{k+1 {{kommadots|}} n\} |}} } \circ i_{ {{Menge1n}} \setminus J } \circ \tau || \tau || || |SZ=, }} daher wird {{math|term= \pi |SZ=}} unter der ersten Abbildung auf dieses Dreiertupel abgebildet und die erste Abbildung ist surjektiv. Die Injektivität ergibt sich daraus und dem ersten Teil. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} k2nxkixmscvi5urormjqcnq3le6m2fh 106 170179 1077258 2026-04-15T10:38:21Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077258 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> hbe4sonokfm2q45mpw4nfb96vky2jtn 1077260 1077258 2026-04-15T10:42:19Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1077260 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math> 80fqkuj9ujgqcd7qrbvx7israsfge9c