Rationale Zahlen/Z^3/Injektive Abbildung/Aufgabe/Lösung

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    <title>Rationale Zahlen/Z^3/Injektive Abbildung/Aufgabe/Lösung</title>
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      <contributor>
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Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
Es seien
{{
mathkor|term1=
(m,n,k)
|und|term2=
(a,b,c)
|SZ=
}}
aus {{math|term= \Z^3 |SZ=}} gegeben, die unter {{math|term= \varphi |SZ=}} auf das gleiche Element abgebildet werden. Dann ist
{{
Relationskette/display
| 2^m \cdot 3^n \cdot 5^k
|| 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c
||
||
||
|SZ=.
}}
Durch beidseitige Multiplikation mit {{mathl|term= 2^r\cdot 3^s \cdot 5^t |SZ=}} mit {{mathl|term= r,s,t |SZ=}} hinreichend groß kann man erreichen, dass alle Exponenten positiv sind. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und da {{math|term= 2,3,5 |SZ=}} Primzahlen sind,  folgt, dass die Exponenten links und rechts übereinstimmen. Also ist
{{
Relationskette/display
| (m,n,k)
|| (a,b,c)
||
||
||
|SZ=
}}
und die Abbildung ist injektiv.

Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise {{math|term= 7 |SZ=}} nicht im Bild liegt. Wäre nämlich
{{
Relationskette/display
| 7
|| 2^m \cdot 3^n \cdot 5^k
||
||
||
|SZ=,
}}
so könnte man die negativen Exponenten der rechten Seite nach links bringen und es würde sich ein Widerspruch zur eindeutigen Primfaktorzerlegung ergeben.
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Aufgabe=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    <title>Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Polynomring/1/Körper/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis]] nach [[Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
Lediglich die Gültigkeit des Assoziativgesetzes für die Multiplikation und des Distributivgesetzes sind nicht unmittelbar klar. Zum Nachweis dieser Eigenschaften schreiben wir abkürzend die beteiligten Polynome als
{{
Math/display|term=
  \sum_{i} a_i X^{i} , \,  \sum_{j } b_j X^{j}  \text{ und }  \sum_{k}  c_k X^k
|SZ=.
}}
Mit diesen Bezeichnungen ist
{{
Relationskette/align/handlinks
| {{makl| {{makl| \sum_{i} a_i X^{i}  |}}  {{makl| \sum_{j } b_j X^{j}  |}} |}}  {{makl| \sum_{k}  c_k X^k }}
|| {{makl| \sum_{r }  {{makl| \sum_{i+ j {{=}} r}  a_i b_{j}  |}}   X^{r}  |}}  {{makl| \sum_{k}  c_k X^k }}
|| {{makl| \sum_{s }             {{makl| \sum_{i+ j +k {{=}} s}  a_i b_{j}c_k  |}}               X^{s}  |}}  
||
|SZ=,
}}
woraus wegen der Symmetrie des Ausdrucks die Assoziativität ablesbar ist. Ferner ist
{{
Relationskette/align/handlinks
| {{makl| \sum_{i} a_i X^{i}  |}}  {{makl| {{makl| \sum_{j } b_j X^{j}  |}}  + {{makl| \sum_{j}  c_j X^j }}  |}} 
|| {{makl| \sum_{i} a_i X^{i}  |}}      {{makl| \sum_{j }  {{makl| b_j +c_j |}}  X^{j}  |}}    
|| \sum_{r }  {{makl| \sum_{i+ j {{=}} r}  a_i  {{makl| b_j + c_{j} |}}  |}}   X^{r} 
|| \sum_{r }  {{makl| \sum_{i+ j {{=}} r}  a_i  b_j + a_i c_{j}   |}}   X^{r}  
|| \sum_{r }  {{makl| \sum_{i+ j {{=}} r}  a_i  b_{j} |}}    X^{r}  +  \sum_{r }  {{makl| \sum_{i+ j {{=}} r}  a_i  c_{j} |}}    X^{r}  
|| {{makl| \sum_{i} a_i X^{i}  |}}  {{makl| \sum_{j } b_j X^{j}  |}}  +  {{makl| \sum_{i} a_i X^{i}  |}}  {{makl| \sum_{j}  c_j X^j  |}} 
|SZ=,
}} 
was die Distributivität bedeutet.
|Abschluss=
}}
|Textart=Beweis 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    <title>Polynomring/1/Körper/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Polynomring/1/Körper/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe]] nach [[Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Zeige{{n Sie}}, dass der
{{
Definitionslink
|Polynomring|
|Kontext=1 K|
|SZ=
}}
{{mathl|term= K[X] |SZ=}} über einem 
{{
Definitionslink
|Körper|
|Kontext=|
|SZ=
}}
{{math|term= K|SZ=}} 
ein
{{
Definitionslink
|kommutativer Ring|
|Kontext=|
|SZ=
}}
ist.
|Textart=Aufgabe 
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|Objektkategorie=
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|Punkte=5
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      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe]] nach [[Polynomring/1/Körper/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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    <title>Polynomring/1/Körper/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung</title>
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      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Polynomring/1/Körper/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung]] nach [[Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik/3/Klausur</title>
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe|p|||
|Flußüberquerung/Wolf Schaf Kohl/Aufgabe|p|||
|Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|10-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p|||
|Zug/Schiffe/Begegnungen/Aufgabe|p|||
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|Distributivgesetz/Mehrfaches Produkt/Aufgabe|p|||
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|/Aufgabe|p|||
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
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|Restklassenkörper/Z mod 93/Inverses Element zu 55/Aufgabe|p|||
|Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe|p|||  
|Lineare Rekursion/2. Ordnung/Charakteristisches Polynom/1/Aufgabe|p||| 
|Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|p|||
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik/7/Klausur</title>
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe|p|||
|20-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p|||
|Puzzleteile/Rechteckig/Typ/Aufgabe|p|||
|Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Quadrat/Teilquadrate/Anzahl/Aufgabe|p|||
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|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus/Langsame Version/Aufgabe|p|||
|Ganze Zahl/Teilbarkeitsbedingungen/Bestimme/1/Aufgabe|p|||
|Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation auf ZxN +/2/Aufgabe|p|||
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|Vollständiger Graph/4 Knoten/Überschneidungsfrei/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||   
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe|p|||
|20-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p|||
|Puzzleteile/Rechteckig/Typ/Aufgabe|p|||
|Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Quadrat/Teilquadrate/Anzahl/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus/Langsame Version/Aufgabe|p|||
|Ganze Zahl/Teilbarkeitsbedingungen/Bestimme/1/Aufgabe|p|||
|Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation auf ZxN +/2/Aufgabe|p|||
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Zusammenhang zu Ringhomomorphismus und Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p|||
|Vollständiger Graph/4 Knoten/Überschneidungsfrei/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||  
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
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Klausur19
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Klausur19
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Klausur19
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Klausur19
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe|p|||
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|Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe|p|||
|U-Bahn/Zugang und Ausgang/Aufgabe|p|||
|Mengentheorie/4 Mengen/2-Fächer-Bachelor/Skizziere Diagramm/Aufgabe|p|||
|Endliche Mengen/Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Darstellung/Aufgabe|p|||
|Brettspiel/Gewinnstellung/Rekursive Definition/Aufgabe|p|||
|Gruppentheorie/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|N/Summe 65/Produkt 1000/Aufgabe|p|||
|Division mit Rest/N/Erläuterung mit Eimern/Aufgabe|p|||
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
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|Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe|p|||
|Höhle/Taschenlampe/Aufgabe|p|||
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|Natürliche Zahlen/Bis 1000/Ziffernanzahl/Aufgabe|p|||
|Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Polynom/R/Bijektiv/Umkehrfunktion/Aufgabe|p|||
|Bruch/Primfaktorzerlegung/Allgemein/Aufgabe|p|||
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|/Aufgabe|p|||
|Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
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|Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||   
|Lineare Rekursion/Startwertedifferenz/Differenz/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe|p|||
|Geldautomat/100/Möglichkeiten/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Wochentag/In 1000 Tagen/Aufgabe|p|||
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|Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p|||
|Binomialkoeffizient/Summe aus teilerfremden Zahlen/Teilbarkeit/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/1071 und 1029/Aufgabe|p|||
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Komplexe Zahlen/17. Potenz/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p|||
|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Dobble/F 2/Projektive Ebene/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||   
|/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe|p|||
|Knopfloch/Finger verstaucht/Aufgabe|p|||
|Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe|p|||
|Kommutativer Halbring/1,2,viele/Aufgabe|p|||
|Gruppe/abc ist 1/Aufgabe|p|||
|Ganzwertige Polynome über Z/Nicht in Z X/Beispiel/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Primzahlen/Abstand 10/Aufgabe|p|||
|Vierertupel/Differenzbetrag/Abstieg/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Strassen-Algorithmus/2x2/Aufgabe|p|||
|Matrixrekursion/C/Potenz/Beschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
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|/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe|p|||
|Knopfloch/Finger verstaucht/Aufgabe|p|||
|Hörsaal/Tafelgestell/Reihenfolgen/Aufgabe|p|||
|Kommutativer Halbring/1,2,viele/Aufgabe|p|||
|Gruppe/abc ist 1/Aufgabe|p|||
|Ganzwertige Polynome über Z/Nicht in Z X/Beispiel/Aufgabe|p|||
|Flöhe/Sprungmöglichkeiten/Treffen/1/Aufgabe|p|||
|Primzahlen/Abstand 10/Aufgabe|p|||
|Vierertupel/Differenzbetrag/Abstieg/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Strassen-Algorithmus/2x2/Aufgabe|p|||
|Matrixrekursion/C/Potenz/Beschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||   
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe|p|||
|Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe|p|||
|Endliche Menge/Abbildung/Iteration/Wiederholung/Aufgabe|p|||
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|Polynom/(-2x^3+3x^2+3x-2)/2. Potenz/Aufgabe|p|||
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|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe|p|||
|Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe|p|||
|Endliche Menge/Abbildung/Iteration/Wiederholung/Aufgabe|p|||
|Endliche Permutationen/Teilmenge/Aufteilung/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Polynom/(-2x^3+3x^2+3x-2)/2. Potenz/Aufgabe|p|||
|Relationstabelle/Eigenschaften/3/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p|||
|Natürliche Zahlen/Rechnung/1/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe|p|||
|Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe|p|||
|Endliche Menge/Abbildung/Iteration/Wiederholung/Aufgabe|p|||
|Endliche Permutationen/Teilmenge/Aufteilung/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Polynom/(-2x^3+3x^2+3x-2)/2. Potenz/Aufgabe|p|||
|Relationstabelle/Eigenschaften/3/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p|||
|Natürliche Zahlen/Rechnung/1/Aufgabe|p|||
|Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p|||
|Kein Ringhomomorphismus/Q nach Z/Aufgabe|p|||
|Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe|p|||
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|Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe|p|||
|Ponyhof/Ausflug/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Permutationen/4/Auflistung/Fixpunktfrei/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p|||
|Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
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|/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe|p|||
|Ponyhof/Ausflug/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Permutationen/4/Auflistung/Fixpunktfrei/Aufgabe|p|||
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|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe|p|||
|Ponyhof/Ausflug/Aufgabe|p|||
|Holzstück/Zerlegung in Stücke/30 bis 40/Aufgabe|p|||
|Permutationen/4/Auflistung/Fixpunktfrei/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p|||
|Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Matrixrekursion/Eigenvektor/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||   
|/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe|p|||
|Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe|p|||
|Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|5 Geraden/4 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p|||
|Potenzen/GgT und KgV/Aufgabe|p|||
|Polynom/Begriffe/2/Aufgabe|p|||
|Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|p|||
|Äquivalenzrelation/Modulo 6/Aufgabe|p|||
|Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||   
|Gerichteter Graph/Symmetrisch/Vorgängermenge/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
|Kategorie=Diskrete Mathematik
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe|p|||
|Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe|p|||
|Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|5 Geraden/4 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p|||
|Potenzen/GgT und KgV/Aufgabe|p|||
|Polynom/Begriffe/2/Aufgabe|p|||
|Äquivalenzrelation/Modulo 6/Aufgabe|p|||
|Kein Ringhomomorphismus/C nach R/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||   
|Gerichteter Graph/Symmetrisch/Vorgängermenge/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe|p|||
|Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe|p|||
|Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|5 Geraden/4 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p|||
|Potenzen/GgT und KgV/Aufgabe|p|||
|Polynom/Begriffe/2/Aufgabe|p|||
|Äquivalenzrelation/Modulo 6/Aufgabe|p|||
|2x2-Matrizen/Determinante/Direkt/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p|||
|Kein Ringhomomorphismus/C nach R/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||   
|Gerichteter Graph/Symmetrisch/Vorgängermenge/Aufgabe|p|||
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|/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe|p|||
|Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Zehnersystem/Verknüpfung/Hintereinanderschaltung/Aufgabe|p|||
|Gruppe/abc ist 1/Inverses von b/Aufgabe|p|||
|Polynomring/Eine Variable/Kein Körper/Aufgabe|p|||
|Nahrungskette/Relation/Arktis/Aufgabe|p|||
|Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p|||
|Stetige Funktionen/R/Äquivalenzrelation durch Multiplikation mit Einheit/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||   
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
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    <title>Polynomring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Einführung/Textabschnitt</title>
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      <text bytes="3871" sha1="4f8vaaxs9iied0lxfu1aeg6uus0wtfs" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Zu einem kommutativen Ausgangsring wie {{math|term=\Z|SZ=}} oder {{math|term=\R|SZ=}} und einer fixierten Variablen {{math|term= X|SZ=}} kann man sich fragen, welche Terme man mit dieser Variablen über diesem Ring {{Anführung|basteln}} kann. Dazu gehören
{{
Math/display|term=
5, \, 3X+3,\, 3(X+1),\, (2X-6)(4X+3), \, X \cdot ( X \cdot X), \,5 +3 X -6X^2+7X^3, \, X^2-4 + 5X^2 +7X -13X
|SZ=,
}}
wobei wir Potenzschreibweise verwendet und einige Klammern weggelassen haben. Als Terme sind
{{
mathkor|term1=
 3X+3
|und|term2=
3(X+1)
|SZ=
}}
verschieden. Bei jeder Interpretation von {{math|term= X|SZ=}} in einem Ring sind diese Ausdrücke aber gleich. Der Polynomring besteht aus genau diesen Termen, wobei allerdings Terme miteinander identifiziert werden, wenn dies in jedem kommutativen Ring gilt
{{
Zusatz/Klammer
|text=die Menge aller Terme ist kein Ring|
|ISZ=|ESZ=!
}}

{{
inputdefinition
|Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition||
}}

{{:Polynomring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Begrifflichkeiten/Bemerkung}} 
Beispielsweise ist
{{
Relationskette/align/drucklinks
| {{makl| {{imaginäre Einheit|}} X^2 + (3-{{imaginäre Einheit|}})X+5 |}}  {{makl| -X^2 + 4X+2{{imaginäre Einheit|}} |}} 
|| -{{imaginäre Einheit|}} X^4 + ( 4{{imaginäre Einheit|}} -(3-{{imaginäre Einheit|}}) ) X^3  + (2 {{imaginäre Einheit|}} {{imaginäre Einheit|}} +(3-{{imaginäre Einheit|}})4 -5  )X^2  +(  (3-{{imaginäre Einheit|}}) 2{{imaginäre Einheit|}} +20 )X    +10{{imaginäre Einheit|}} 
|| -{{imaginäre Einheit|}} X^4 + ( -3 + 5{{imaginäre Einheit|}} ) X^3  + ( 5 -4{{imaginäre Einheit|}} )X^2  + ( 22 +6{{imaginäre Einheit|}} )X    +10{{imaginäre Einheit|}}
||
||
|SZ=.
}}

{{
inputfaktbeweis
|Polynomring/Eine Variable/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Unterring/Zugehörige Polynomringe/Fakt|Korollar||
}}
Die vorstehende Aussage bedeutet einfach, dass man ein Polynom mit Koeffizienten aus {{math|term= S |SZ=}} direkt auch als Polynom mit Koeffizienten aus {{math|term= R |SZ=}} auffassen kann. So ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten insbesondere auch ein Polynom mit rationalen Koeffizienten und mit reellen Koeffizienten. Die Addition und die Multiplikation von zwei Polynomen hängt nicht davon ab, ob man sie über einem kleineren oder einem größeren Grundring ausrechnet, so lange dieser nur alle beteiligten Koeffizienten enthält. Es gibt aber auch viele wichtige Eigenschaften, die vom Grundring abhängen, wie beispielsweise die Eigenschaft, irreduzibel zu sein, siehe
{{
Beispiellink
|Präwort=|| Beispielseitenname= 
Irreduzible Polynome/Abhängigkeit vom Grundkörper/Q,R,C/Beispiel
|Nr=
|SZ=.
}}

In ein Polynom
{{
Relationskette
| P
| \in | R[X] 
||
||
||
|SZ=
}} 
kann man ein Element
{{
Relationskette
| r
| \in | R
||
||
||
|SZ=
}}
einsetzen. Dabei ersetzt man überall die Variable {{math|term= X |SZ=}} durch {{math|term= r |SZ=}} und rechnet das Ergebnis in {{math|term= R |SZ=}} aus. Dieses Ergebnis wird mit {{math|term= P(r) |SZ=}} bezeichnet. Ein fixiertes Element
{{
Relationskette
| r
| \in | R
||
||
||
|SZ=
}} 
definiert dann eine Abbildung
{{
Zusatz/Klammer
|text=die {{Stichwort|Auswertungsabbildung}} zu {{math|term= r |SZ=}} |
|ISZ=|ESZ=
}}
{{
Abbildung/display
|name= 
|R[X]|R
| P | P(r)
|SZ=.
}}
Andererseits definiert ein fixiertes Polynom
{{
Relationskette
| P
| \in | R[X] 
||
||
||
|SZ=
}} 
die zugehörige Polynomfunktion, die durch
{{
Abbildung/display
|name= 
| R | R
| x | P(x)
|SZ=.
}}
Diese wird insbesondere bei einem Körper
{{
Relationskette
| R
|| K
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
studiert{{{zusatz1|.}}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über einem kommutativen Ring
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
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    <title>Kurs:Elementare Algebra/100/Klausur</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <text bytes="1203" sha1="abbw4hcijnd5i09qw1hq38dun5s0kvn" xml:space="preserve">{{
Klausur15{{{opt|}}}
|Polynom/(-x^2+x-1)/3. Potenz/Aufgabe|p|||
|Division mit Rest/N/Erläuterung mit Eimern/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus (Z)/19 und 109/Chinesischer Restsatz/Aufgabe|p|||
|Einheitskreis/Rationaler Punkt/Zweite Potenz/Abstand zu 1 rational/Aufgabe|p|||
|Binomialkoeffizient/Summe aus teilerfremden Zahlen/Teilbarkeit/Aufgabe|p|||
|Polynom/Summenfunktion/4 Werte/Aufgabe|p|||
|Linksnebenklasse, Index und Normalteiler/Erläutere/Index 2/Aufgabe|p|||
|Inverse Matrix/2/Lineares Gleichungssystem/1/Aufgabe|p|||
|Cauchy-Folge/R/Nullfolgen/R/Aufgabe|p|||
|Geradengleichung/Punktrichtungsform/1/Aufgabe|p|||
|3 hoch 1 durch 16/Quadratwurzel/Aufgabe|p|||
|Polynom/Bezout/X^3-1 und X^4-1/Aufgabe|p|||   
|Winkel/Umrechnung/Tabelle/Prozent/Aufgabe|p|||
|Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Restklassenkörper (Z)/Summe von zwei Quadraten/Lösung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
|Kategorie=Elementare Algebra
|Kategorie2=
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|Objektkategorie=
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|Klausurtyp=
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik/100/Klausur</title>
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      <text bytes="994" sha1="8wlndv9g8zudkdspcxcdacgrcewfkdf" xml:space="preserve">{{
Klausur20{{{opt|}}}
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p|||
|Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p|||
|Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p|||
|Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p|||
|Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p|||
|Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p|||
|Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe|p|||
|Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||   
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
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|Kategorie3=
|Objektkategorie=
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|Semester=
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Klausur20{{{opt|}}}
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p|||
|Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p|||
|Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p|||
|Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p|||
|Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p|||
|Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p|||
|Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe|p|||
|Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|p|||
|Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||   
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
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Klausur24{{{opt|}}}
|Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p|||
|Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p|||
|Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p|||
|Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p|||
|Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p|||
|Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p|||
|Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe|p|||
|Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|p|||
|Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p|||
|Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p|||   
|Z/GgT/Faktoren/Beispiele/Aufgabe|p|||
|Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|KgV/Primzahlzerlegung/Aufgabe|p|||
|Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe|p|||
|Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe|p|||
|Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/Aufgabe|p|||
|Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|p|||
|Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p|||
|Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe|p|||
|Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p|||
|KgV/116901 und 138689/Aufgabe|p|||
|Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Wurzel/Gruppenhomomorphismus/Verschiedene Verknüpfungen/Aufgabe|p|||
|Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p|||
|Teilbarkeit (N)/Produkt von drei Zahlen/Minimale Anzahl an Teilern/Aufgabe|p|||
|Endliche Permutation/Element mit Ordnung/Größer/Aufgabe|p|||
|Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe|p|||
|Zweidimensionales Gitter/(1,1) und (1,-1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p|||
|Kein Ringhomomorphismus/R nach Q/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
|Kategorie=Diskrete Mathematik
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesung 5</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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{{Zwischenüberschrift|Gruppen}}

{{:Gruppentheorie/Gleichungen/Einführung/Textabschnitt}}

{{:Gruppe/Potenzen/Monoid bekannt/Textabschnitt}} 

{{:Gruppe/Untergruppe/Z/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Kommutative Ringe}}

{{:Ring/Kommutativ/Halbring vorausgesetzt/Textabschnitt|zusatz1=
Einen weiteren endlichen Ring 
{{
Zusatz/Klammer
|text=und zwar einen Körper|
|ISZ=|ESZ=
}}
haben wir bereits in
{{
Beispiellink
|Beispielseitenname=
Kommutativer Halbring/Körper/Zwei Elemente/Beispiel
|Nr=
|SZ=
}}
kennengelernt. In der zwölften Vorlesung werden wir einer Vielzahl von weiteren endlichen Ringen begegnen.}} 

{{Zwischenüberschrift|Körper}}

{{:Körper/Ring vorausgesetzt/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Polynomring}}

{{
inputdefinition
|Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition||
}}

{{:Polynomring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Begrifflichkeiten/Bemerkung}}

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      <text bytes="1062" sha1="6xphhmi7gt19h752fgd6yr990g8h456" xml:space="preserve">{{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|5|

{{Zwischenüberschrift|Gruppen}}

{{:Gruppentheorie/Gleichungen/Einführung/Textabschnitt}}

{{:Gruppe/Potenzen/Monoid bekannt/Textabschnitt}} 

{{:Gruppe/Untergruppe/Z/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Kommutative Ringe}}

{{:Ring/Kommutativ/Halbring vorausgesetzt/Textabschnitt|zusatz1=
Einen weiteren endlichen Ring 
{{
Zusatz/Klammer
|text=und zwar einen Körper|
|ISZ=|ESZ=
}}
haben wir bereits in
{{
Beispiellink
|Beispielseitenname=
Kommutativer Halbring/Körper/Zwei Elemente/Beispiel
|Nr=
|SZ=
}}
kennengelernt. In der zwölften Vorlesung werden wir einer Vielzahl von weiteren endlichen Ringen begegnen.}} 

{{Zwischenüberschrift|Körper}}

{{:Körper/Ring vorausgesetzt/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Polynomring}}

{{
inputdefinition
|Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition||
}}

{{:Polynomring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Begrifflichkeiten/Bemerkung|zusatz1= &amp;nbsp;und {{math|term= n |SZ=}} heißt der Grad des Polynoms}}

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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblatt 5</title>
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      <text bytes="4035" sha1="2po0hp60el94jzn5zh93c02jr4hxfs1" xml:space="preserve">{{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|5|

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Ring/Zweite binomische Formel/Aus erster binomischer Formel/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Gruppe/Inverses/Selbstinvers/Aufgabe||
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|tipp=
}}

{{
inputaufgabekommentar
|Gruppe/Inverses von xy/Aufgabe||
|zusatz=
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}}

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inputaufgabe
|Menge/Bijektive Abbildungen/Gruppen/Aufgabe||
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{{
inputaufgabe
|Gruppe/Verknüpfung/Bijektiv/Aufgabe||
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{{
inputaufgabe
|Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/Aufgabe||
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{{
inputaufgabe
|Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Aufgabe||
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}}

{{
inputaufgabe
|Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Gruppe/Aufgabe||
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}}

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inputaufgabe
|Gruppe/Potenzgesetze/Funktionalgleichungen/Aufgabe||
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}}

{{
inputaufgabe
|Kommutative Gruppe/Potenzgesetz/Basisprodukt/Aufgabe||
|zusatz=
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}}

{{
inputaufgabe
|Ziffernsystem/Ohne Übertrag/Gesetze/Gabi/Aufgabe||
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|tipp=
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{{
inputaufgabe
|Untergruppenkriterium/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Durchschnitt von Untergruppen/Endlich/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ringtheorie/Rechnung/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Ring/Endliche geometrische Reihe/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Ring/Dritte binomische Formel/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Potenzmenge/Ringstruktur mit symmetrischer Differenz/Aufgabe||
|zusatz=
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}}

{{
inputaufgabe
|Ring mit 0 ist 1/Ist Nullring/Aufgabe||
|zusatz=
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}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Ring/Multiplikation mit -1/Aufgabe||
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{{
inputaufgabe
|Ring/Z/Positiv und negativ/Absolut und relativ/Aufgabe||
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{{
inputaufgabe
|Binomialkoeffizent/Wechselsumme/0/Binomischer Lehrsatz/Aufgabe||
|zusatz=
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}}

{{
inputaufgabe
|Quadratische Matrizen/Matrizenring/Aufgabe||
|zusatz=
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}}

{{
inputaufgabekommentar
|Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Beziehungen/Aufgabe||
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}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Ring/N und Z/Kanonische Abbildung/Aufgabe||
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{{
inputaufgabe
|Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe||
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{{
inputaufgabe
|Ringstruktur auf Menge der Abbildungen nach Ring/Aufgabe||
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{{
inputaufgabe
|Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe||
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}}

{{
inputaufgabe
|Produktring/Z^2/Komponentenweise/Kommutativer Ring/Integrität/Aufgabe||
|zusatz=
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}}

{{
inputaufgabe
|Körper/Integritätsbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Einen kommutativen Ring {{math|term= \neq 0 |SZ=,}} der die Nichtnullteilereigenschaft aus
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Körper/Integritätsbereich/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
erfüllt, heißt {{Stichwort|Integritätsbereich|SZ=.}} Die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} sind ein Integritätsbereich, aber kein Körper. Für endliche Ringe gilt aber die folgende Aussage.

{{
inputaufgabe
|Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe||
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}}

{{
inputaufgabe
|Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe||
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{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

{{
inputaufgabe
|Ringtheorie/(x^2-3yzy-2zy^2+4xy^2)(2xy^3x-z^2xyx)(1-3zyxz^2y)/Berechne/Aufgabe|p|
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}}

{{
inputaufgabe
|Vektor/Endomorphismen mit diesen Eigenvektor/Ring/Dimension/Aufgabe|p|
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}}

{{
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|Ganze Zahlen/Umgekehrtes Distributivgesetz/Lösungen/Aufgabe|p|
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|Uhr/6/Stunden und Minutenzeiger/Gegenüberliegend/Aufgabe|p|
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{{
inputaufgabe
|Rationale Zahlen/Dummenregel/Keine positive Lösung/Aufgabe|p|
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{{
inputaufgabe
|Körper/Bijektivität der einseitigen Operationen/Aufgabe|p|
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}}</text>
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      <text bytes="4135" sha1="ebcdldouvj8bp5nps6k98z4fwzkkull" xml:space="preserve">{{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|5|

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

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inputaufgabe
|Kommutativer Ring/Zweite binomische Formel/Aus erster binomischer Formel/Aufgabe||
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inputaufgabe
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|Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe||
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|Körper/Integritätsbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe||
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{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Körper/Integritätsbereich/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
erfüllt, heißt {{Stichwort|Integritätsbereich|SZ=.}} Die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} sind ein Integritätsbereich, aber kein Körper. Für endliche Ringe gilt aber die folgende Aussage.

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inputaufgabe
|Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe||
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|Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe||
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|Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe||
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{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

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inputaufgabe
|Ringtheorie/(x^2-3yzy-2zy^2+4xy^2)(2xy^3x-z^2xyx)(1-3zyxz^2y)/Berechne/Aufgabe|p|
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{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

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inputaufgabe
|Kommutativer Ring/Zweite binomische Formel/Aus erster binomischer Formel/Aufgabe||
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|Gruppe/Inverses/Selbstinvers/Aufgabe||
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|Gruppe/Inverses von xy/Aufgabe||
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|Menge/Bijektive Abbildungen/Gruppen/Aufgabe||
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|Gruppe/Verknüpfung/Bijektiv/Aufgabe||
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|Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/Aufgabe||
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|Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe||
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|Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Beziehungen/Aufgabe||
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{{
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|Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe||
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Faktlink
|Faktseitenname=
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}}
erfüllt, heißt {{Stichwort|Integritätsbereich|SZ=.}} Die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} sind ein Integritätsbereich, aber kein Körper. Für endliche Ringe gilt aber die folgende Aussage.

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|Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe||
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{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

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|Ringtheorie/(x^2-3yzy-2zy^2+4xy^2)(2xy^3x-z^2xyx)(1-3zyxz^2y)/Berechne/Aufgabe|p|
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|Vektor/Endomorphismen mit diesen Eigenvektor/Ring/Dimension/Aufgabe|p|
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|Ganze Zahlen/Umgekehrtes Distributivgesetz/Lösungen/Aufgabe|p|
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Definitionsliste</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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      </contributor>
      <origin>1077302</origin>
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      <text bytes="13102" sha1="jrb8bfsp8cikcxagw50xv5u2b2qzk9b" xml:space="preserve">
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|Mengentheorie/Disjunkt/Definition||
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|Produktmenge/Zwei Mengen/Definition||
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|Mengen/Potenzmenge/Definition||
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|Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition||
}}

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|Abbildung/Injektiv/Definition||
}}

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|Abbildung/Surjektiv/Definition||
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|Abbildung/Bijektiv/Definition||
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|Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition||
}}

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|Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition||
}}

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|Endliche Menge/1...n/Definition||
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|Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition||
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|Menge/Permutation/Definition||
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|Binomialkoeffizient/Definition||
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|Verknüpfung/Definition||
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|Verknüpfung/Kommutativ/Definition||
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|Verknüpfung/Assoziativ/Definition||
}}

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|Verknüpfung/Neutrales Element/Definition||
}}

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|Verknüpfung/Inverses Element/Definition||
}}

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|Verknüpfungen/Monoid/Definition||
}}

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|Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition||
}}

&lt;!--
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|Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v=\circ
}}

{{
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|Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition||v=\circ
}}

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|Gruppentheorie/Untergruppe/Definition||
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|Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition||
}}

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|Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition||
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|Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition||
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|Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition||
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|Mengentheorie/Relation/Definition||
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|Abbildung/Graph (Menge)/Definition||
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|Relation/Linkseindeutig/Definition||
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|Relation/Rechtseindeutig/Definition||
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|Relation/Linksvollständig/Definition||
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|Relation/Rechtsvollständig/Definition||
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|Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition||
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|Menge/Relation/Reflexiv/Definition||
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|Menge/Relation/Transitiv/Definition||
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|Menge/Relation/Symmetrisch/Definition||
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|Menge/Relation/Antisymmetrisch/Definition||
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|Menge/Relation/Relationstreue Abbildung/Definition||
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|Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition||
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|Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition||
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|Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition||
}}

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|Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition||
}}

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|Geordnete Mengen/Produktordnung/Definition||
}}

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|Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition||
}}

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|Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition||
}}

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|Geordnete Mengen/Abbildung/Antimonoton/Definition||
}}

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|Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition||
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|Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Kleinstes Element/Definition||
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|Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition||
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|Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Minimales Element/Definition||
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|Geordnete Menge/Teilmenge/Obere Schranke/Definition||
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|Geordnete Menge/Teilmenge/Untere Schranke/Definition||
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|Geordnete Menge/Teilmenge/Supremum/Definition||
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|Geordnete Menge/Teilmenge/Infimum/Definition||
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|Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition||
}}

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|Teilbarkeitstheorie (N)/Größter gemeinsamer Teiler/Definition||
}}

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|Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition||
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|Teilbarkeitstheorie (N)/Kleinstes gemeinsames Vielfache/Definition||
}}

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|Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition||ref1=
}}

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|Verband/Ordnung/Definition||
}}

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|Verband/Algebraisch/Definition||
}}

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|Verband/Algebraisch/Ordnung/Definition||
}}

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|Verband/Beschränkt/Definition||
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|Verband/Komplementär/Definition||
}}

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|Verband/Distributiv/Definition||
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|Verband/Boolesch/Definition||
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|Geordnete Menge/Kleinstes Element/Atom/Definition||
}}

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|Mengen/Äquivalenzrelation/Definition||
}}

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|Mengentheorie/Relationen/Äquivalenzklasse/Definition||
}}

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|Äquivalenzrelation/Repräsentantensystem/Definition||
}}

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|Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Definition|
}}

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|Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition|
}}

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|Gruppenhomomorphismus/Definition||
}}

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|Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition||
}}

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|Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition||
}}

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|Restklassengruppe/Kommutativ/Repräsentant/Definition||
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|Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition||
}}

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|Multinomialkoeffizient/Definition||
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|Menge/Partition/Definition||
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|Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Definition||
}}

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|Partitionen/Bellzahl/Definition||
}}

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|Lineare Rekursion/Körper/Definition||
}}

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|Matrixrekursion/Körper/Definition||
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|Formale Potenzreihe/Eine Variable/Körper/Definition||
}}

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|Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition||
}}

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|Folge/C/Erzeugende Funktion/Definition||
}}

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|Graph/Ungerichtet/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Nachbarn/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Vollständig/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Kantenfrei/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Pfad/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Sterngraph/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Punkt/Grad/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Isolierter Knoten/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Blatt/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Minimalgrad/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Maximalgrad/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Regulär/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Untergraph/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Untergraph/Voll/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Isomorphismus/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Isomorph/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Schwach/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Automorphismus/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Homogen/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Starr/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Komplementärer Graph/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Kantenteilmenge/Restgraph/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Kantengraph/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Äquivalenzrelation/Quotientengraph/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Kontraktionsgraph/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Disjunkte Vereinigung/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Kartesisches Produkt/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Weg/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Zusammenhangskomponente/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Weg/Länge/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Punkte/Abstand/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Durchmesser/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Radius/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Exzentrizität/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Zyklus/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Kreis/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Taille/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Umfang/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Wald/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Baum/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Aufspannender Baum/Definition||
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|Matroid/Definition||
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|Matroid/Basis/Definition||
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|Matroid/Rang/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Aufspannender Wald/Definition||
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|Multigraph/Ungerichtet/Definition||
}}

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|Ungerichteter Graph/Adjazenzmatrix/Definition||
}}

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|Graph/Adjazenzmatrix/Charakteristisches Polynom/Definition|| 	
}}

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|Ungerichteter Graph/Inzidenzmatrix/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Gradmatrix/Definition||
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|Multigraph/Laplace-Matrix/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Bipartit/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Bipartit/Vollständig/Definition||
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|Ungerichter Graph/Paarung/Definition||
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|Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition||
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|Ungerichter Graph/Knotenteilmenge/Paarung/Definition||
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|Ungerichter Graph/Perfekte Paarung/Definition||
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|Ungerichter Graph/Maximale Paarung/Definition||
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|Ungerichter Graph/Optimale Paarung/Definition||
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|Ungerichter Graph/Paarungszahl/Definition||
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|Bipartiter Graph/Teilmenge/Paarungsbedingung/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Paarung/Alternierender Weg/Definition||
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|Graph/Knotenüberdeckung/Definition||
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|Graph/Knotenüberdeckung/Minimal/Definition||
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|Graph/Knotenüberdeckung/Optimal/Definition||
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|Graph/Knotenüberdeckungszahl/Definition||
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|Graph/Hamiltonkreis/Definition||
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|Graph/Hamiltonsch/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Eulerscher Kantenzug/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Eulersch/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Untergraph/Kantendisjunkt/Definition||
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|Graph/Färbung/Definition||
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|Graph/Färbung/Zulässig/Definition||
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|Graph/Färbung/Chromatische Zahl/Definition||
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|Graph/Färbungen/Chromatisches Polynom/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/R^n/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Planar/Definition||
}}

--&gt;
&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Listen]]&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale</title>
    <ns>106</ns>
    <id>170062</id>
    <revision>
      <id>1077308</id>
      <parentid>1077257</parentid>
      <timestamp>2026-04-16T06:32:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Definition - komplexe orientierte Fläche */</comment>
      <origin>1077308</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="15746" sha1="dlaltaxfzbquuv9878zr7zphuaw0b7u" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein.

== Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; auf einer konvexen Menge &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G&lt;/math&gt; auf ganz  &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. 

=== Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring ===
Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wird für die Maßerweiterung auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt.

=== Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; oder eine offene Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| &lt; r \}&lt;/math&gt; um &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral &lt;math&gt;\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; als Abbildung von einem Rechteck  &lt;math&gt;[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet.

[[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]]

&lt;span id=&quot;orientierteFlaeche&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe orientierte Fläche ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann bezeichnet &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gibt in einem Punkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplexe Orientierung &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; an.

== Definition - normalisierte orientierte Fläche ==
Eine komplexwertige orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; ist. 

=== Beispiel 1 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Menge wird als Abbildung beschrieben.
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; z.B. durch die Abbildung &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  beschreibt. Die Orientierung ist dann &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; definiert.

=== Beispiel 2 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; ist eine Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; als komplexe Zahlen

==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ====
Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;z_1 = a_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;  
* &lt;math&gt;z_2 = b_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_3 = a_1 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_4 = a_2 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   

==== Rechteck als Konvexkombination ====
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\widehat{\gamma}&lt;/math&gt; ist dann die Abbildung: 
:&lt;math&gt;
 \widehat{\gamma}(t_1,t_2)
 =
 (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 
 \,\,\, +\,\,\,  
 (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 
&lt;/math&gt; 
Die Orientierung ist dann über den Gradienten  
:&lt;math&gt;
 Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2
&lt;/math&gt; 
in &lt;math&gt;\widehat{\gamma}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; 
definiert.

=== Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen ===
Ein abgeschlossenes Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; lässt sich damit über &lt;math&gt;0 \le \lambda_i \le 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; wie folgt beschreiben:
: &lt;math&gt; 
z  =  \lambda_1 \cdot  z_1 + \lambda_2 \cdot  z_2  + \lambda_3 \cdot  z_3 
&lt;/math&gt;

==== Dreieck als Abbildung ====
Durch die Abhängigkeit der Skalare &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei 
:&lt;math&gt;
 K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,}
&lt;/math&gt; 

==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ====
Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\gamma_{_\Delta} 
  : [0,1] \times [0,1] 
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big)
\end{array}
&lt;/math&gt;

==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ====
Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
  (1-t_2)\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_2
    }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  +
  t_2\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_3
    }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  \\
 &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2
 \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei wurde &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1&lt;/math&gt; zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term &lt;math&gt;(z_3-z_1)\cdot t_2&lt;/math&gt; durchgeführt.

==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1, während &lt;math&gt;t_2=\tfrac{1}{5}&lt;/math&gt; gewählt wurde.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. 
In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t_2=\tfrac{3}{4}&lt;/math&gt; gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt &lt;math&gt;z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bei wachsendem &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,3)&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; dargestellt.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen &lt;math&gt;z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)&lt;/math&gt; gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}&lt;/math&gt; der Punkt &lt;math&gt;z\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Konvexkombination &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})&lt;/math&gt; berechnet.

&lt;span id=&quot;OrientierungDreieck&quot;&gt;&lt;/span&gt;

==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ====
Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2
 \\
  Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ====
Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle &lt;math&gt;z=\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; eingetragen.
[[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]]

=== Beispiel 3 - Kreisscheibe ===
Eine abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}&lt;/math&gt; parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\gamma 
  :  [0,r] \times  [0,2\pi]
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  \gamma(t_1,t_2)= z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2}
\end{array}
&lt;/math&gt;
Die Orientierung an der Stelle &lt;math&gt; \gamma(t_1,t_2) &lt;/math&gt; kann wieder über den Gradienten direkt angeben:
:&lt;math&gt; Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe Flächenintegrale ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann wird das Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
  \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1}  f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
&lt;/math&gt;

=== Notation - Flächenintegrale ===
Die Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; werden mit einem Doppenintegral &lt;math&gt;\iint_\gamma \ldots &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ldots \, d^2\!z\, &lt;/math&gt; notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; unterscheiden zu können. Ferner zeigt &lt;math&gt; d^2\!z\, &lt;/math&gt;, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen.

=== Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral ===
Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann.

=== Aufgabe für Studierende ===
Welchen Bedeutung hat der Gradient &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt;? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; festhalten und dann &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; als komplexen Vektor mit Anfangspunkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; einzeichnen.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]

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    <revision>
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      <timestamp>2026-04-16T06:37:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beispiel 1 - Rechteck */</comment>
      <origin>1077312</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16374" sha1="8w3e4tzwslqfvjj5z42r7huvqvhgye7" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein.

== Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; auf einer konvexen Menge &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G&lt;/math&gt; auf ganz  &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. 

=== Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring ===
Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wird für die Maßerweiterung auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt.

=== Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; oder eine offene Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| &lt; r \}&lt;/math&gt; um &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral &lt;math&gt;\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; als Abbildung von einem Rechteck  &lt;math&gt;[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet.

[[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]]

&lt;span id=&quot;orientierteFlaeche&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe orientierte Fläche ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann bezeichnet &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gibt in einem Punkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplexe Orientierung &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; an.

== Definition - normalisierte orientierte Fläche ==
Eine komplexwertige orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; ist. 

=== Beispiel 1 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Menge wird als Abbildung beschrieben.
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; z.B. durch die Abbildung &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  beschreibt. Die Orientierung ist dann &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; definiert.

==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Behält man das Rechteck  &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  über die [[Transformationsformel]] zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; nicht verändert.

=== Beispiel 2 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; ist eine Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; als komplexe Zahlen

==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ====
Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;z_1 = a_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;  
* &lt;math&gt;z_2 = b_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_3 = a_1 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_4 = a_2 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   

==== Rechteck als Konvexkombination ====
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\widehat{\gamma}&lt;/math&gt; ist dann die Abbildung: 
:&lt;math&gt;
 \widehat{\gamma}(t_1,t_2)
 =
 (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 
 \,\,\, +\,\,\,  
 (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 
&lt;/math&gt; 
Die Orientierung ist dann über den Gradienten  
:&lt;math&gt;
 Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2
&lt;/math&gt; 
in &lt;math&gt;\widehat{\gamma}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; 
definiert.

=== Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen ===
Ein abgeschlossenes Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; lässt sich damit über &lt;math&gt;0 \le \lambda_i \le 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; wie folgt beschreiben:
: &lt;math&gt; 
z  =  \lambda_1 \cdot  z_1 + \lambda_2 \cdot  z_2  + \lambda_3 \cdot  z_3 
&lt;/math&gt;

==== Dreieck als Abbildung ====
Durch die Abhängigkeit der Skalare &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei 
:&lt;math&gt;
 K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,}
&lt;/math&gt; 

==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ====
Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\gamma_{_\Delta} 
  : [0,1] \times [0,1] 
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big)
\end{array}
&lt;/math&gt;

==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ====
Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
  (1-t_2)\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_2
    }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  +
  t_2\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_3
    }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  \\
 &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2
 \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei wurde &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1&lt;/math&gt; zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term &lt;math&gt;(z_3-z_1)\cdot t_2&lt;/math&gt; durchgeführt.

==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1, während &lt;math&gt;t_2=\tfrac{1}{5}&lt;/math&gt; gewählt wurde.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. 
In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t_2=\tfrac{3}{4}&lt;/math&gt; gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt &lt;math&gt;z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bei wachsendem &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,3)&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; dargestellt.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen &lt;math&gt;z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)&lt;/math&gt; gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}&lt;/math&gt; der Punkt &lt;math&gt;z\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Konvexkombination &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})&lt;/math&gt; berechnet.

&lt;span id=&quot;OrientierungDreieck&quot;&gt;&lt;/span&gt;

==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ====
Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2
 \\
  Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ====
Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle &lt;math&gt;z=\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; eingetragen.
[[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]]

=== Beispiel 3 - Kreisscheibe ===
Eine abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}&lt;/math&gt; parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\gamma 
  :  [0,r] \times  [0,2\pi]
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  \gamma(t_1,t_2)= z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2}
\end{array}
&lt;/math&gt;
Die Orientierung an der Stelle &lt;math&gt; \gamma(t_1,t_2) &lt;/math&gt; kann wieder über den Gradienten direkt angeben:
:&lt;math&gt; Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe Flächenintegrale ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann wird das Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
  \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1}  f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
&lt;/math&gt;

=== Notation - Flächenintegrale ===
Die Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; werden mit einem Doppenintegral &lt;math&gt;\iint_\gamma \ldots &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ldots \, d^2\!z\, &lt;/math&gt; notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; unterscheiden zu können. Ferner zeigt &lt;math&gt; d^2\!z\, &lt;/math&gt;, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen.

=== Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral ===
Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann.

=== Aufgabe für Studierende ===
Welchen Bedeutung hat der Gradient &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt;? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; festhalten und dann &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; als komplexen Vektor mit Anfangspunkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; einzeichnen.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]

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[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <timestamp>2026-04-16T08:26:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche */</comment>
      <origin>1077324</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16461" sha1="h72cz1qgyyr4p4wiz0dhhb4p3mb4kf8" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein.

== Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; auf einer konvexen Menge &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G&lt;/math&gt; auf ganz  &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. 

=== Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring ===
Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wird für die Maßerweiterung auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt.

=== Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; oder eine offene Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| &lt; r \}&lt;/math&gt; um &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral &lt;math&gt;\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; als Abbildung von einem Rechteck  &lt;math&gt;[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet.

[[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]]

&lt;span id=&quot;orientierteFlaeche&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe orientierte Fläche ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann bezeichnet &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gibt in einem Punkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplexe Orientierung &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; an.

== Definition - normalisierte orientierte Fläche ==
Eine komplexwertige orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; ist. 

=== Beispiel 1 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Menge wird als Abbildung beschrieben.
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; z.B. durch die Abbildung &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  beschreibt. Die Orientierung ist dann &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; definiert.

==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Behält man das Rechteck  &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  über die [[Transformationsformel]] zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration!

=== Beispiel 2 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; ist eine Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; als komplexe Zahlen

==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ====
Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;z_1 = a_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;  
* &lt;math&gt;z_2 = b_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_3 = a_1 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_4 = a_2 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   

==== Rechteck als Konvexkombination ====
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\widehat{\gamma}&lt;/math&gt; ist dann die Abbildung: 
:&lt;math&gt;
 \widehat{\gamma}(t_1,t_2)
 =
 (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 
 \,\,\, +\,\,\,  
 (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 
&lt;/math&gt; 
Die Orientierung ist dann über den Gradienten  
:&lt;math&gt;
 Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2
&lt;/math&gt; 
in &lt;math&gt;\widehat{\gamma}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; 
definiert.

=== Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen ===
Ein abgeschlossenes Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; lässt sich damit über &lt;math&gt;0 \le \lambda_i \le 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; wie folgt beschreiben:
: &lt;math&gt; 
z  =  \lambda_1 \cdot  z_1 + \lambda_2 \cdot  z_2  + \lambda_3 \cdot  z_3 
&lt;/math&gt;

==== Dreieck als Abbildung ====
Durch die Abhängigkeit der Skalare &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei 
:&lt;math&gt;
 K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,}
&lt;/math&gt; 

==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ====
Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\gamma_{_\Delta} 
  : [0,1] \times [0,1] 
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big)
\end{array}
&lt;/math&gt;

==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ====
Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
  (1-t_2)\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_2
    }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  +
  t_2\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_3
    }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  \\
 &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2
 \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei wurde &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1&lt;/math&gt; zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term &lt;math&gt;(z_3-z_1)\cdot t_2&lt;/math&gt; durchgeführt.

==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1, während &lt;math&gt;t_2=\tfrac{1}{5}&lt;/math&gt; gewählt wurde.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. 
In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t_2=\tfrac{3}{4}&lt;/math&gt; gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt &lt;math&gt;z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bei wachsendem &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,3)&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; dargestellt.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen &lt;math&gt;z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)&lt;/math&gt; gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}&lt;/math&gt; der Punkt &lt;math&gt;z\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Konvexkombination &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})&lt;/math&gt; berechnet.

&lt;span id=&quot;OrientierungDreieck&quot;&gt;&lt;/span&gt;

==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ====
Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2
 \\
  Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ====
Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle &lt;math&gt;z=\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; eingetragen.
[[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]]

=== Beispiel 3 - Kreisscheibe ===
Eine abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}&lt;/math&gt; parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\gamma 
  :  [0,r] \times  [0,2\pi]
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  \gamma(t_1,t_2)= z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2}
\end{array}
&lt;/math&gt;
Die Orientierung an der Stelle &lt;math&gt; \gamma(t_1,t_2) &lt;/math&gt; kann wieder über den Gradienten direkt angeben:
:&lt;math&gt; Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe Flächenintegrale ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann wird das Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
  \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1}  f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
&lt;/math&gt;

=== Notation - Flächenintegrale ===
Die Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; werden mit einem Doppenintegral &lt;math&gt;\iint_\gamma \ldots &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ldots \, d^2\!z\, &lt;/math&gt; notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; unterscheiden zu können. Ferner zeigt &lt;math&gt; d^2\!z\, &lt;/math&gt;, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen.

=== Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral ===
Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann.

=== Aufgabe für Studierende ===
Welchen Bedeutung hat der Gradient &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt;? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; festhalten und dann &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; als komplexen Vektor mit Anfangspunkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; einzeichnen.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]

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    <revision>
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      <timestamp>2026-04-16T08:28:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16592" sha1="439uqxf7b4z32dcsldmb8k7oawryf28" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein.

== Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; auf einer konvexen Menge &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G&lt;/math&gt; auf ganz  &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. 

=== Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring ===
Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wird für die Maßerweiterung auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt.

=== Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; oder eine offene Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| &lt; r \}&lt;/math&gt; um &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral &lt;math&gt;\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; als Abbildung von einem Rechteck  &lt;math&gt;[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet.

[[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]]

&lt;span id=&quot;orientierteFlaeche&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe orientierte Fläche ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann bezeichnet &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gibt in einem Punkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplexe Orientierung &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; an.

== Definition - normalisierte orientierte Fläche ==
Eine komplexwertige orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; ist. 

=== Beispiel 1 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Menge wird als Abbildung beschrieben.
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; z.B. durch die Abbildung &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  beschreibt. Die Orientierung ist dann &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; definiert.

==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Behält man das Rechteck  &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration!

=== Beispiel 2 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; ist eine Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; als komplexe Zahlen

==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ====
Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;z_1 = a_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;  
* &lt;math&gt;z_2 = b_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_3 = a_1 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_4 = a_2 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   

==== Rechteck als Konvexkombination ====
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\widehat{\gamma}&lt;/math&gt; ist dann die Abbildung: 
:&lt;math&gt;
 \widehat{\gamma}(t_1,t_2)
 =
 (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 
 \,\,\, +\,\,\,  
 (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 
&lt;/math&gt; 
Die Orientierung ist dann über den Gradienten  
:&lt;math&gt;
 Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2
&lt;/math&gt; 
in &lt;math&gt;\widehat{\gamma}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; 
definiert.

=== Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen ===
Ein abgeschlossenes Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; lässt sich damit über &lt;math&gt;0 \le \lambda_i \le 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; wie folgt beschreiben:
: &lt;math&gt; 
z  =  \lambda_1 \cdot  z_1 + \lambda_2 \cdot  z_2  + \lambda_3 \cdot  z_3 
&lt;/math&gt;

==== Dreieck als Abbildung ====
Durch die Abhängigkeit der Skalare &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei 
:&lt;math&gt;
 K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,}
&lt;/math&gt; 

==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ====
Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\gamma_{_\Delta} 
  : [0,1] \times [0,1] 
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big)
\end{array}
&lt;/math&gt;

==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ====
Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
  (1-t_2)\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_2
    }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  +
  t_2\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_3
    }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  \\
 &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2
 \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei wurde &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1&lt;/math&gt; zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term &lt;math&gt;(z_3-z_1)\cdot t_2&lt;/math&gt; durchgeführt.

==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1, während &lt;math&gt;t_2=\tfrac{1}{5}&lt;/math&gt; gewählt wurde.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. 
In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t_2=\tfrac{3}{4}&lt;/math&gt; gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt &lt;math&gt;z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bei wachsendem &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,3)&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; dargestellt.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen &lt;math&gt;z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)&lt;/math&gt; gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}&lt;/math&gt; der Punkt &lt;math&gt;z\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Konvexkombination &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})&lt;/math&gt; berechnet.

&lt;span id=&quot;OrientierungDreieck&quot;&gt;&lt;/span&gt;

==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ====
Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2
 \\
  Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ====
Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle &lt;math&gt;z=\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; eingetragen.
[[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]]

=== Beispiel 3 - Kreisscheibe ===
Eine abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}&lt;/math&gt; parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\gamma 
  :  [0,r] \times  [0,2\pi]
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  \gamma(t_1,t_2)= z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2}
\end{array}
&lt;/math&gt;
Die Orientierung an der Stelle &lt;math&gt; \gamma(t_1,t_2) &lt;/math&gt; kann wieder über den Gradienten direkt angeben:
:&lt;math&gt; Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe Flächenintegrale ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann wird das Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
  \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1}  f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
&lt;/math&gt;

=== Notation - Flächenintegrale ===
Die Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; werden mit einem Doppenintegral &lt;math&gt;\iint_\gamma \ldots &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ldots \, d^2\!z\, &lt;/math&gt; notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; unterscheiden zu können. Ferner zeigt &lt;math&gt; d^2\!z\, &lt;/math&gt;, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen.

=== Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral ===
Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann.

=== Aufgabe für Studierende ===
Welchen Bedeutung hat der Gradient &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt;? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; festhalten und dann &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; als komplexen Vektor mit Anfangspunkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; einzeichnen.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]

== Seiteninformation ==
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[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
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      <text bytes="16670" sha1="a2zy2flzdex68zu16ww9jh6qnr0vkh8" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein.

== Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; auf einer konvexen Menge &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G&lt;/math&gt; auf ganz  &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. 

=== Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring ===
Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wird für die Maßerweiterung auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt.

=== Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; oder eine offene Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| &lt; r \}&lt;/math&gt; um &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral &lt;math&gt;\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; als Abbildung von einem Rechteck  &lt;math&gt;[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet.

[[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]]

&lt;span id=&quot;orientierteFlaeche&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe orientierte Fläche ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann bezeichnet &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gibt in einem Punkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplexe Orientierung &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; an.

== Definition - normalisierte orientierte Fläche ==
Eine komplexwertige orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; ist. 

=== Beispiel 1 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Menge wird als Abbildung beschrieben.
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; z.B. durch die Abbildung &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  beschreibt. Die Orientierung ist dann &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; definiert.

==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Behält man das Rechteck  &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration!

=== Beispiel 2 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; ist eine Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; als komplexe Zahlen

==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ====
Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;z_1 = a_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;  
* &lt;math&gt;z_2 = b_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_3 = a_1 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_4 = a_2 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   

==== Rechteck als Konvexkombination ====
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\widehat{\gamma}&lt;/math&gt; ist dann die Abbildung: 
:&lt;math&gt;
 \widehat{\gamma}(t_1,t_2)
 =
 (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 
 \,\,\, +\,\,\,  
 (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 
&lt;/math&gt; 
Die Orientierung ist dann über den Gradienten  
:&lt;math&gt;
 Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2
&lt;/math&gt; 
in &lt;math&gt;\widehat{\gamma}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; 
definiert.

=== Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen ===
Ein abgeschlossenes Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; lässt sich damit über &lt;math&gt;0 \le \lambda_i \le 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; wie folgt beschreiben:
: &lt;math&gt; 
z  =  \lambda_1 \cdot  z_1 + \lambda_2 \cdot  z_2  + \lambda_3 \cdot  z_3 
&lt;/math&gt;

==== Dreieck als Abbildung ====
Durch die Abhängigkeit der Skalare &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei 
:&lt;math&gt;
 K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,}
&lt;/math&gt; 

==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ====
Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\gamma_{_\Delta} 
  : [0,1] \times [0,1] 
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big)
\end{array}
&lt;/math&gt;

==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ====
Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
  (1-t_2)\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_2
    }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  +
  t_2\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_3
    }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  \\
 &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2
 \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei wurde &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1&lt;/math&gt; zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term &lt;math&gt;(z_3-z_1)\cdot t_2&lt;/math&gt; durchgeführt.

==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1, während &lt;math&gt;t_2=\tfrac{1}{5}&lt;/math&gt; gewählt wurde.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. 
In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t_2=\tfrac{3}{4}&lt;/math&gt; gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt &lt;math&gt;z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bei wachsendem &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,3)&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; dargestellt.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen &lt;math&gt;z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)&lt;/math&gt; gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}&lt;/math&gt; der Punkt &lt;math&gt;z\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Konvexkombination &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})&lt;/math&gt; berechnet.

&lt;span id=&quot;OrientierungDreieck&quot;&gt;&lt;/span&gt;

==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ====
Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2
 \\
  Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ====
Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle &lt;math&gt;z=\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; eingetragen.
[[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]]

=== Beispiel 3 - Kreisscheibe ===
Eine abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}&lt;/math&gt; parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\gamma 
  :  [0,r] \times  [0,2\pi]
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  \gamma(t_1,t_2)= z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2}
\end{array}
&lt;/math&gt;
Die Orientierung an der Stelle &lt;math&gt; \gamma(t_1,t_2) &lt;/math&gt; kann wieder über den Gradienten direkt angeben:
:&lt;math&gt; Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe Flächenintegrale ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann wird das Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
  \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1}  f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
&lt;/math&gt;

=== Notation - Flächenintegrale ===
Die Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; werden mit einem Doppenintegral &lt;math&gt;\iint_\gamma \ldots &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ldots \, d^2\!z\, &lt;/math&gt; notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; unterscheiden zu können. Ferner zeigt &lt;math&gt; d^2\!z\, &lt;/math&gt;, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen.

=== Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral ===
Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann.

=== Aufgabe für Studierende ===
Welchen Bedeutung hat der Gradient &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt;? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; festhalten und dann &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; als komplexen Vektor mit Anfangspunkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; einzeichnen.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
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      <comment>/* Beispiel 3 - Kreisscheibe */</comment>
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      <text bytes="16672" sha1="gvpkia8zq80ph245idxvvbogjey9pin" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein.

== Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; auf einer konvexen Menge &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G&lt;/math&gt; auf ganz  &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. 

=== Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring ===
Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wird für die Maßerweiterung auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt.

=== Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; oder eine offene Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| &lt; r \}&lt;/math&gt; um &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral &lt;math&gt;\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; als Abbildung von einem Rechteck  &lt;math&gt;[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet.

[[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]]

&lt;span id=&quot;orientierteFlaeche&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe orientierte Fläche ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann bezeichnet &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gibt in einem Punkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplexe Orientierung &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; an.

== Definition - normalisierte orientierte Fläche ==
Eine komplexwertige orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; ist. 

=== Beispiel 1 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Menge wird als Abbildung beschrieben.
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; z.B. durch die Abbildung &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  beschreibt. Die Orientierung ist dann &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; definiert.

==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Behält man das Rechteck  &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration!

=== Beispiel 2 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; ist eine Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; als komplexe Zahlen

==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ====
Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;z_1 = a_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;  
* &lt;math&gt;z_2 = b_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_3 = a_1 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_4 = a_2 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   

==== Rechteck als Konvexkombination ====
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\widehat{\gamma}&lt;/math&gt; ist dann die Abbildung: 
:&lt;math&gt;
 \widehat{\gamma}(t_1,t_2)
 =
 (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 
 \,\,\, +\,\,\,  
 (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 
&lt;/math&gt; 
Die Orientierung ist dann über den Gradienten  
:&lt;math&gt;
 Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2
&lt;/math&gt; 
in &lt;math&gt;\widehat{\gamma}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; 
definiert.

=== Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen ===
Ein abgeschlossenes Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; lässt sich damit über &lt;math&gt;0 \le \lambda_i \le 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; wie folgt beschreiben:
: &lt;math&gt; 
z  =  \lambda_1 \cdot  z_1 + \lambda_2 \cdot  z_2  + \lambda_3 \cdot  z_3 
&lt;/math&gt;

==== Dreieck als Abbildung ====
Durch die Abhängigkeit der Skalare &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei 
:&lt;math&gt;
 K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,}
&lt;/math&gt; 

==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ====
Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\gamma_{_\Delta} 
  : [0,1] \times [0,1] 
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big)
\end{array}
&lt;/math&gt;

==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ====
Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
  (1-t_2)\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_2
    }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  +
  t_2\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_3
    }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  \\
 &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2
 \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei wurde &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1&lt;/math&gt; zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term &lt;math&gt;(z_3-z_1)\cdot t_2&lt;/math&gt; durchgeführt.

==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1, während &lt;math&gt;t_2=\tfrac{1}{5}&lt;/math&gt; gewählt wurde.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. 
In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t_2=\tfrac{3}{4}&lt;/math&gt; gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt &lt;math&gt;z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bei wachsendem &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,3)&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; dargestellt.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen &lt;math&gt;z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)&lt;/math&gt; gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}&lt;/math&gt; der Punkt &lt;math&gt;z\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Konvexkombination &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})&lt;/math&gt; berechnet.

&lt;span id=&quot;OrientierungDreieck&quot;&gt;&lt;/span&gt;

==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ====
Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2
 \\
  Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ====
Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle &lt;math&gt;z=\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; eingetragen.
[[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]]

=== Beispiel 3 - Kreisscheibe ===
Eine abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}&lt;/math&gt; parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;

\begin{array}{rcl}
\gamma 
  :  [0,r] \times  [0,2\pi]
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  \gamma(t_1,t_2)= z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2}
\end{array}

&lt;/math&gt;
Die Orientierung an der Stelle &lt;math&gt; \gamma(t_1,t_2) &lt;/math&gt; kann wieder über den Gradienten direkt angeben:
:&lt;math&gt; Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe Flächenintegrale ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann wird das Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
  \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1}  f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
&lt;/math&gt;

=== Notation - Flächenintegrale ===
Die Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; werden mit einem Doppenintegral &lt;math&gt;\iint_\gamma \ldots &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ldots \, d^2\!z\, &lt;/math&gt; notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; unterscheiden zu können. Ferner zeigt &lt;math&gt; d^2\!z\, &lt;/math&gt;, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen.

=== Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral ===
Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann.

=== Aufgabe für Studierende ===
Welchen Bedeutung hat der Gradient &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt;? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; festhalten und dann &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; als komplexen Vektor mit Anfangspunkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; einzeichnen.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

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Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein.

== Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; auf einer konvexen Menge &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G&lt;/math&gt; auf ganz  &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. 

=== Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring ===
Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wird für die Maßerweiterung auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt.

=== Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; oder eine offene Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| &lt; r \}&lt;/math&gt; um &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral &lt;math&gt;\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; als Abbildung von einem Rechteck  &lt;math&gt;[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet.

[[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]]

&lt;span id=&quot;orientierteFlaeche&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe orientierte Fläche ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann bezeichnet &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gibt in einem Punkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplexe Orientierung &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; an.

== Definition - normalisierte orientierte Fläche ==
Eine komplexwertige orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; ist. 

=== Beispiel 1 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Menge wird als Abbildung beschrieben.
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; z.B. durch die Abbildung &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  beschreibt. Die Orientierung ist dann &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; definiert.

==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Behält man das Rechteck  &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration!

=== Beispiel 2 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; ist eine Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; als komplexe Zahlen

==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ====
Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;z_1 = a_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;  
* &lt;math&gt;z_2 = b_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_3 = a_1 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_4 = a_2 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   

==== Rechteck als Konvexkombination ====
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\widehat{\gamma}&lt;/math&gt; ist dann die Abbildung: 
:&lt;math&gt;
 \widehat{\gamma}(t_1,t_2)
 =
 (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 
 \,\,\, +\,\,\,  
 (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 
&lt;/math&gt; 
Die Orientierung ist dann über den Gradienten  
:&lt;math&gt;
 Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2
&lt;/math&gt; 
in &lt;math&gt;\widehat{\gamma}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; 
definiert.

=== Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen ===
Ein abgeschlossenes Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; lässt sich damit über &lt;math&gt;0 \le \lambda_i \le 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; wie folgt beschreiben:
: &lt;math&gt; 
z  =  \lambda_1 \cdot  z_1 + \lambda_2 \cdot  z_2  + \lambda_3 \cdot  z_3 
&lt;/math&gt;

==== Dreieck als Abbildung ====
Durch die Abhängigkeit der Skalare &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei 
:&lt;math&gt;
 K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,}
&lt;/math&gt; 

==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ====
Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\gamma_{_\Delta} 
  : [0,1] \times [0,1] 
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big)
\end{array}
&lt;/math&gt;

==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ====
Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
  (1-t_2)\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_2
    }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  +
  t_2\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_3
    }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  \\
 &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2
 \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei wurde &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1&lt;/math&gt; zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term &lt;math&gt;(z_3-z_1)\cdot t_2&lt;/math&gt; durchgeführt.

==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1, während &lt;math&gt;t_2=\tfrac{1}{5}&lt;/math&gt; gewählt wurde.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. 
In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t_2=\tfrac{3}{4}&lt;/math&gt; gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt &lt;math&gt;z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bei wachsendem &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,3)&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; dargestellt.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen &lt;math&gt;z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)&lt;/math&gt; gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}&lt;/math&gt; der Punkt &lt;math&gt;z\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Konvexkombination &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})&lt;/math&gt; berechnet.

&lt;span id=&quot;OrientierungDreieck&quot;&gt;&lt;/span&gt;

==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ====
Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2
 \\
  Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ====
Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle &lt;math&gt;z=\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; eingetragen.
[[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]]

=== Beispiel 3 - Kreisscheibe ===
Eine abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}&lt;/math&gt; parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;

\begin{array}{rcl}
\gamma 
  :  [0,r] \times  [0,2\pi]
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\
\end{array}

&lt;/math&gt;
Die Orientierung an der Stelle &lt;math&gt; \gamma(t_1,t_2) &lt;/math&gt; kann wieder über den Gradienten direkt angeben:
:&lt;math&gt; Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe Flächenintegrale ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann wird das Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
  \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1}  f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
&lt;/math&gt;

=== Notation - Flächenintegrale ===
Die Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; werden mit einem Doppenintegral &lt;math&gt;\iint_\gamma \ldots &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ldots \, d^2\!z\, &lt;/math&gt; notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; unterscheiden zu können. Ferner zeigt &lt;math&gt; d^2\!z\, &lt;/math&gt;, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen.

=== Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral ===
Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann.

=== Aufgabe für Studierende ===
Welchen Bedeutung hat der Gradient &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt;? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; festhalten und dann &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; als komplexen Vektor mit Anfangspunkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; einzeichnen.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

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&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;

[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <timestamp>2026-04-16T11:36:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen */</comment>
      <origin>1077329</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16898" sha1="8ykog46lpdncooq2f5nhyaa19nksfe6" xml:space="preserve">== Einleitung ==
Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein.

== Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; auf einer konvexen Menge &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G&lt;/math&gt; auf ganz  &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. 

=== Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring ===
Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wird für die Maßerweiterung auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf &lt;math&gt;\mathcal{B}(G)&lt;/math&gt; erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt.

=== Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; oder eine offene Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| &lt; r \}&lt;/math&gt; um &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral &lt;math&gt;\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; als Abbildung von einem Rechteck  &lt;math&gt;[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet.

[[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]]

&lt;span id=&quot;orientierteFlaeche&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe orientierte Fläche ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann bezeichnet &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gibt in einem Punkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplexe Orientierung &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; an.

== Definition - normalisierte orientierte Fläche ==
Eine komplexwertige orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; ist. 

=== Beispiel 1 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Menge wird als Abbildung beschrieben.
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; z.B. durch die Abbildung &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  beschreibt. Die Orientierung ist dann &lt;math&gt;Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; definiert.

==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Behält man das Rechteck  &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; als Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt;  über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; mit dem Definitionsbereich &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ====
Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration!

=== Beispiel 2 - Rechteck ===
Ein Rechteck &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt; ist eine Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt; und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; als komplexe Zahlen

==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ====
Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von &lt;math&gt;R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;z_1 = a_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;  
* &lt;math&gt;z_2 = b_1 + i\cdot a_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_3 = a_1 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   
* &lt;math&gt;z_4 = a_2 + i\cdot b_2&lt;/math&gt;   

==== Rechteck als Konvexkombination ====
Das Rechteck &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\widehat{\gamma}&lt;/math&gt; ist dann die Abbildung: 
:&lt;math&gt;
 \widehat{\gamma}(t_1,t_2)
 =
 (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 
 \,\,\, +\,\,\,  
 (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 
&lt;/math&gt; 
Die Orientierung ist dann über den Gradienten  
:&lt;math&gt;
 Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2
&lt;/math&gt; 
in &lt;math&gt;\widehat{\gamma}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; 
definiert.

=== Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen ===
Ein abgeschlossenes Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; lässt sich damit über &lt;math&gt;0 \le \lambda_i \le 1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]):
: &lt;math&gt; 
z  =  \lambda_1 \cdot  z_1 + \lambda_2 \cdot  z_2  + \lambda_3 \cdot  z_3 
&lt;/math&gt;

==== Dreieck als Abbildung ====
Durch die Abhängigkeit der Skalare &lt;math&gt;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 &lt;/math&gt; kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei 
:&lt;math&gt;
 K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,}
&lt;/math&gt; 

==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ====
Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\gamma_{_\Delta} 
  : [0,1] \times [0,1] 
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C}
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big)
\end{array}
&lt;/math&gt;

==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ====
Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
  (1-t_2)\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_2
    }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  +
  t_2\big( 
    \underbrace{
    (1-t_1) z_1 + t_1 z_3
    }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1}
  \big)
  \\
 &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2
 \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei wurde &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; und  &lt;math&gt;t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1&lt;/math&gt; zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term &lt;math&gt;(z_3-z_1)\cdot t_2&lt;/math&gt; durchgeführt.

==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1, während &lt;math&gt;t_2=\tfrac{1}{5}&lt;/math&gt; gewählt wurde.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. 
In der Animation wächst &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t_2=\tfrac{3}{4}&lt;/math&gt; gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt &lt;math&gt;z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bei wachsendem &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt &lt;math&gt;z\in \Delta(z_1,z_2,3)&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; dargestellt.

[[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]]

==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ====
Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen &lt;math&gt;z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)&lt;/math&gt; gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}&lt;/math&gt; der Punkt &lt;math&gt;z\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; als Konvexkombination &lt;math&gt;\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})&lt;/math&gt; berechnet.

&lt;span id=&quot;OrientierungDreieck&quot;&gt;&lt;/span&gt;

==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ====
Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
  \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2
 \\
  Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) 
  &amp; = &amp;
 \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ====
Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle &lt;math&gt;z=\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Dreieck &lt;math&gt;\Delta(z_1,z_2,z_3)&lt;/math&gt; eingetragen.
[[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]]

=== Beispiel 3 - Kreisscheibe ===
Eine abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}&lt;/math&gt; parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;

\begin{array}{rcl}
\gamma 
  :  [0,r] \times  [0,2\pi]
  &amp; \to &amp;
  \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad
  \\
  (t_1,t_2)
  &amp; \mapsto &amp;
  \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\
\end{array}

&lt;/math&gt;
Die Orientierung an der Stelle &lt;math&gt; \gamma(t_1,t_2) &lt;/math&gt; kann wieder über den Gradienten direkt angeben:
:&lt;math&gt; Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;

&lt;span id=&quot;Definition&quot;&gt;&lt;/span&gt;

== Definition - komplexe Flächenintegrale ==
Sei &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, dann wird das Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; wie folgt definiert:
:&lt;math&gt;
  \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1}  f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
&lt;/math&gt;

=== Notation - Flächenintegrale ===
Die Flächenintegral über &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; werden mit einem Doppenintegral &lt;math&gt;\iint_\gamma \ldots &lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ldots \, d^2\!z\, &lt;/math&gt; notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg &lt;math&gt;\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; unterscheiden zu können. Ferner zeigt &lt;math&gt; d^2\!z\, &lt;/math&gt;, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen.

=== Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral ===
Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt; gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann.

=== Aufgabe für Studierende ===
Welchen Bedeutung hat der Gradient &lt;math&gt;Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})&lt;/math&gt;? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; festhalten und dann &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)&lt;/math&gt; in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)&lt;/math&gt; als komplexen Vektor mit Anfangspunkt &lt;math&gt;\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; einzeichnen.

== Siehe auch ==
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

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* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;

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    <title>Anamneseberichte/Beispielformulierungen</title>
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      <contributor>
        <username>C.Koltzenburg</username>
        <id>13981</id>
      </contributor>
      <comment>/* Aktuelle Anamnese (in ganzen Sätzen) */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4994" sha1="gjluuqd4jahnasdmozdng49pqc34z6k" xml:space="preserve">= Berichtsstruktur mit Beispielformulierungen =

== nur Stichworte (Blatt 1) ==

[VN NN] &lt;br /&gt;
Sina Gowitz  &lt;br /&gt;

[A + GD] &lt;br /&gt;
22 J., 18.04.2002 &lt;br /&gt;

[Gewicht] &lt;br /&gt;
80 kg &lt;br /&gt;

[Größe] &lt;br /&gt;
184 cm  &lt;br /&gt;
[DE ist ein &quot;Kommaland&quot;, also: 1,84 m (Dezimaltrennzeichen)]

[All/Unv] &lt;br /&gt;
Amoxicillin - Dyspnoe &lt;br /&gt;
Apfel, Kiwi, Ananas - Pruritus, Hauterythem 

[Noxen] &lt;br /&gt;
Nikotin:  &lt;br /&gt;
Nichtraucherin

C2:  &lt;br /&gt;
| trinke 1 Bier geleg., alle 3 Wochen im Sommer, alle 6 Wochen im Winter &lt;br /&gt;
| trinke 2-3 Fl. Bier alle 3-6 Wochen, teils alkoholfrei(es Bier) &lt;br /&gt;
[+ Verb im Konjunktiv I, denn zu Alkoholsucht gehört, dass die Menge geleugnet wird, also sind Sie anamnestisch bei diesen Angaben vorsichtig, also auch bei Stichworten mit Konjunktiv I]

Drogenkonsum:  &lt;br /&gt;
| wurde verneint [Passiv] &lt;br /&gt;
| habe vor 1 Jahr einmal Cannabis probiert &lt;br /&gt;
[+ Verb im Konjunktiv I]

[SozA] &lt;br /&gt;
Physikstudentin, wohnt in einer Wohngemeinschaft/ WG &lt;br /&gt;

[FA] &lt;br /&gt;
Mutter: Herzinsuffizienz &lt;br /&gt;
Vater: M. Bechterew, Pyelonephritis (?) &lt;br /&gt;
Bruder: Pyelonephritis (?) &lt;br /&gt;

&lt;-- Ende des Abschnitts im Stichwortstil &lt;br /&gt;
ab hier --&gt;

== Aktuelle Anamnese (in ganzen Sätzen) ==

'''''C. ist am besten, weil es am schnellsten geht (wenn man die Syntax verstanden hat).'''''

=== 1. Satz (oder 1-3 Sätze) ===

==== A. [Beginn: Variante 1 (mit + Dativ)] ==== 
[in 3 Sätzen]

Die Patientin stellte sich mit akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts vor, die gestern Abend plötzlich aufgetreten seien. Ursprünglich waren die Schmerzen im Epigastrium lokalisiert, aber innerhalb von 2 Stunden seien sie in den rechten Unterbauch gewandert. Die Patientin gab die Schmerzen mit 7 von 10 NRS an.

==== B. [1. Satz: Variante 2 (wegen + Dativ)] ====
[im Relativsatz mit Konjunktiv I]

Frau Gowitz kam heute zu uns wegen seit dem Vorabend bestehenden, akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), die zuerst um den Nabel herum gewesen seien.

==== C. [1. Satz: Variante 3 (aufgrund + Genitiv)] ====
[mit verkürztem Relativsatz und mehr FS]

Die Patientin stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vorabend bestehender, akuter, progredienter, dumpfer Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), aus der Regio umbilicalis in die Regio inguinalis dextra gewandert.

=== darauffolgende Abschnitte ===

[BS] &lt;br /&gt;
| Begleitend fand/en sich: [+ Nominativ] &lt;br /&gt;
| Begleitend nannte sie: [+ Akkusativ] &lt;br /&gt;
| Die Patientin gab an, Fieber zu haben (bis 39,0 °C, axillar gemessen). Außerdem klagte sie über Nausea.  &lt;br /&gt;
| Die Frage nach ... wurde verneint. [wiss. Sing., auch mehrere Fragen werden hier als Paket gesehen] &lt;br /&gt;

[VA] &lt;br /&gt;
| In der vegetativen Anamnese nannte sie/ er: ... &lt;br /&gt;
| In der vegetativen Anamnese zeigten sich Insomnie sowie Inappetenz. Die sonstige vegetative Anamnese ist/ war unauffällig. &lt;br /&gt;
| Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Insomnie und Inappetenz.  &lt;br /&gt;


[VE/VO] &lt;br /&gt;
| An Vorerkrankungen und Operationen sind folgende zu nennen: 
| Bei der Patientin sind folgende Vorerkrankungen bekannt: &lt;br /&gt;
(| In der Vorgeschichte der Patientin finden sich:)  &lt;br /&gt;
| In der Vorgeschichte der Patientin fanden sich:  &lt;br /&gt;
Asthma bronchiale seit der Kindheit, Colon irritable seit 2 Jahren.

| Keine Operationen sind bekannt. &lt;br /&gt;
| Z.n Tibiafraktur 2021, Z.n Tonsillektomie mit 10 Jahren.  &lt;br /&gt;
| Bei der Patientin sind folgende Operationen durchgeführt worden: ..., ..., ... &lt;br /&gt;
| Sie hat sich mit 10 Jahren einer Tonsillektomie unterzogen. &lt;br /&gt;
| Sie hat sich 2021 eine Tibiafraktur zugezogen, die operativ behandelt worden ist (Osteosynthese). &lt;br /&gt;

[Med] &lt;br /&gt;
Die Anamnese der Medikation ergab: Atrovent, Duspatolin bB, Paracetamol vor 2 Wochen während 3 Tagen.  &lt;br /&gt;
Die Medikation besteht aus ... .

[VD] &lt;br /&gt;
| Meine VD lautet: akute Appendizitis. &lt;br /&gt;
| Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine akute Appendizitis hin. &lt;br /&gt;
| Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf [Artikel][VD] aus. &lt;br /&gt;

[DD]  &lt;br /&gt;
| An Differenzialdiagnosen kommen die folgenden in Betracht:  &lt;br /&gt;
| Differenzialdiagnostisch kommen in Betracht: &lt;br /&gt;
Nephrolithiasis, Adnexitis, Eileiterschwangerschaft

[M / diagnostische Maßnahmen] &lt;br /&gt;
| Zur weiteren Abklärung werden empfohlen: &lt;br /&gt;
| Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: &lt;br /&gt;
| An weiteren Maßnahmen empfehle ich: &lt;br /&gt;
körperliche Untersuchung, Labor: großes, kleines Blutbild, Entzündungsparameter (CRP, BSG, Procalcitonin), Leber- und Nierenparameter, Elektrolyte, Abdomensonographie.

[Th] &lt;br /&gt;
| Therapeutisch empfehle ich: &lt;br /&gt;
| Als Therapie empfehle ich bei Bestätigung der VD: &lt;br /&gt;    
| An therapeutischen Maßnahmen würde ich empfehlen: &lt;br /&gt;
| Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: &lt;br /&gt;
laparoskopische Appendektomie, Antibiotikatherapie, Flüssigkeitszufuhr.</text>
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      <contributor>
        <username>C.Koltzenburg</username>
        <id>13981</id>
      </contributor>
      <comment>/* darauffolgende Abschnitte */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5037" sha1="1xeatl70a1xhqavnyq47zf8l270q7bb" xml:space="preserve">= Berichtsstruktur mit Beispielformulierungen =

== nur Stichworte (Blatt 1) ==

[VN NN] &lt;br /&gt;
Sina Gowitz  &lt;br /&gt;

[A + GD] &lt;br /&gt;
22 J., 18.04.2002 &lt;br /&gt;

[Gewicht] &lt;br /&gt;
80 kg &lt;br /&gt;

[Größe] &lt;br /&gt;
184 cm  &lt;br /&gt;
[DE ist ein &quot;Kommaland&quot;, also: 1,84 m (Dezimaltrennzeichen)]

[All/Unv] &lt;br /&gt;
Amoxicillin - Dyspnoe &lt;br /&gt;
Apfel, Kiwi, Ananas - Pruritus, Hauterythem 

[Noxen] &lt;br /&gt;
Nikotin:  &lt;br /&gt;
Nichtraucherin

C2:  &lt;br /&gt;
| trinke 1 Bier geleg., alle 3 Wochen im Sommer, alle 6 Wochen im Winter &lt;br /&gt;
| trinke 2-3 Fl. Bier alle 3-6 Wochen, teils alkoholfrei(es Bier) &lt;br /&gt;
[+ Verb im Konjunktiv I, denn zu Alkoholsucht gehört, dass die Menge geleugnet wird, also sind Sie anamnestisch bei diesen Angaben vorsichtig, also auch bei Stichworten mit Konjunktiv I]

Drogenkonsum:  &lt;br /&gt;
| wurde verneint [Passiv] &lt;br /&gt;
| habe vor 1 Jahr einmal Cannabis probiert &lt;br /&gt;
[+ Verb im Konjunktiv I]

[SozA] &lt;br /&gt;
Physikstudentin, wohnt in einer Wohngemeinschaft/ WG &lt;br /&gt;

[FA] &lt;br /&gt;
Mutter: Herzinsuffizienz &lt;br /&gt;
Vater: M. Bechterew, Pyelonephritis (?) &lt;br /&gt;
Bruder: Pyelonephritis (?) &lt;br /&gt;

&lt;-- Ende des Abschnitts im Stichwortstil &lt;br /&gt;
ab hier --&gt;

== Aktuelle Anamnese (in ganzen Sätzen) ==

'''''C. ist am besten, weil es am schnellsten geht (wenn man die Syntax verstanden hat).'''''

=== 1. Satz (oder 1-3 Sätze) ===

==== A. [Beginn: Variante 1 (mit + Dativ)] ==== 
[in 3 Sätzen]

Die Patientin stellte sich mit akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts vor, die gestern Abend plötzlich aufgetreten seien. Ursprünglich waren die Schmerzen im Epigastrium lokalisiert, aber innerhalb von 2 Stunden seien sie in den rechten Unterbauch gewandert. Die Patientin gab die Schmerzen mit 7 von 10 NRS an.

==== B. [1. Satz: Variante 2 (wegen + Dativ)] ====
[im Relativsatz mit Konjunktiv I]

Frau Gowitz kam heute zu uns wegen seit dem Vorabend bestehenden, akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), die zuerst um den Nabel herum gewesen seien.

==== C. [1. Satz: Variante 3 (aufgrund + Genitiv)] ====
[mit verkürztem Relativsatz und mehr FS]

Die Patientin stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vorabend bestehender, akuter, progredienter, dumpfer Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), aus der Regio umbilicalis in die Regio inguinalis dextra gewandert.

=== darauffolgende Abschnitte ===

[BS] &lt;br /&gt;
| Begleitend fand/en sich: [+ Nominativ] &lt;br /&gt;
| Begleitend nannte sie: [+ Akkusativ] &lt;br /&gt;
| Begleitend besteht: [+ Nominativ] &lt;br /&gt;
| Die Patientin gab an, Fieber zu haben (bis 39,0 °C, axillar gemessen). Außerdem klagte sie über Nausea.  &lt;br /&gt;
| Die Frage nach ... wurde verneint. [wiss. Sing., auch mehrere Fragen werden hier als Paket gesehen] &lt;br /&gt;

[VA] &lt;br /&gt;
| In der vegetativen Anamnese nannte sie/ er: ... &lt;br /&gt;
| In der vegetativen Anamnese zeigten sich Insomnie sowie Inappetenz. Die sonstige vegetative Anamnese ist/ war unauffällig. &lt;br /&gt;
| Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Insomnie und Inappetenz.  &lt;br /&gt;


[VE/VO] &lt;br /&gt;
| An Vorerkrankungen und Operationen sind folgende zu nennen: 
| Bei der Patientin sind folgende Vorerkrankungen bekannt: &lt;br /&gt;
(| In der Vorgeschichte der Patientin finden sich:)  &lt;br /&gt;
| In der Vorgeschichte der Patientin fanden sich:  &lt;br /&gt;
Asthma bronchiale seit der Kindheit, Colon irritable seit 2 Jahren.

| Keine Operationen sind bekannt. &lt;br /&gt;
| Z.n Tibiafraktur 2021, Z.n Tonsillektomie mit 10 Jahren.  &lt;br /&gt;
| Bei der Patientin sind folgende Operationen durchgeführt worden: ..., ..., ... &lt;br /&gt;
| Sie hat sich mit 10 Jahren einer Tonsillektomie unterzogen. &lt;br /&gt;
| Sie hat sich 2021 eine Tibiafraktur zugezogen, die operativ behandelt worden ist (Osteosynthese). &lt;br /&gt;

[Med] &lt;br /&gt;
Die Anamnese der Medikation ergab: Atrovent, Duspatolin bB, Paracetamol vor 2 Wochen während 3 Tagen.  &lt;br /&gt;
Die Medikation besteht aus ... .

[VD] &lt;br /&gt;
| Meine VD lautet: akute Appendizitis. &lt;br /&gt;
| Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine akute Appendizitis hin. &lt;br /&gt;
| Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf [Artikel][VD] aus. &lt;br /&gt;

[DD]  &lt;br /&gt;
| An Differenzialdiagnosen kommen die folgenden in Betracht:  &lt;br /&gt;
| Differenzialdiagnostisch kommen in Betracht: &lt;br /&gt;
Nephrolithiasis, Adnexitis, Eileiterschwangerschaft

[M / diagnostische Maßnahmen] &lt;br /&gt;
| Zur weiteren Abklärung werden empfohlen: &lt;br /&gt;
| Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: &lt;br /&gt;
| An weiteren Maßnahmen empfehle ich: &lt;br /&gt;
körperliche Untersuchung, Labor: großes, kleines Blutbild, Entzündungsparameter (CRP, BSG, Procalcitonin), Leber- und Nierenparameter, Elektrolyte, Abdomensonographie.

[Th] &lt;br /&gt;
| Therapeutisch empfehle ich: &lt;br /&gt;
| Als Therapie empfehle ich bei Bestätigung der VD: &lt;br /&gt;    
| An therapeutischen Maßnahmen würde ich empfehlen: &lt;br /&gt;
| Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: &lt;br /&gt;
laparoskopische Appendektomie, Antibiotikatherapie, Flüssigkeitszufuhr.</text>
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      <comment>/* darauffolgende Abschnitte */</comment>
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== nur Stichworte (Blatt 1) ==

[VN NN] &lt;br /&gt;
Sina Gowitz  &lt;br /&gt;

[A + GD] &lt;br /&gt;
22 J., 18.04.2002 &lt;br /&gt;

[Gewicht] &lt;br /&gt;
80 kg &lt;br /&gt;

[Größe] &lt;br /&gt;
184 cm  &lt;br /&gt;
[DE ist ein &quot;Kommaland&quot;, also: 1,84 m (Dezimaltrennzeichen)]

[All/Unv] &lt;br /&gt;
Amoxicillin - Dyspnoe &lt;br /&gt;
Apfel, Kiwi, Ananas - Pruritus, Hauterythem 

[Noxen] &lt;br /&gt;
Nikotin:  &lt;br /&gt;
Nichtraucherin

C2:  &lt;br /&gt;
| trinke 1 Bier geleg., alle 3 Wochen im Sommer, alle 6 Wochen im Winter &lt;br /&gt;
| trinke 2-3 Fl. Bier alle 3-6 Wochen, teils alkoholfrei(es Bier) &lt;br /&gt;
[+ Verb im Konjunktiv I, denn zu Alkoholsucht gehört, dass die Menge geleugnet wird, also sind Sie anamnestisch bei diesen Angaben vorsichtig, also auch bei Stichworten mit Konjunktiv I]

Drogenkonsum:  &lt;br /&gt;
| wurde verneint [Passiv] &lt;br /&gt;
| habe vor 1 Jahr einmal Cannabis probiert &lt;br /&gt;
[+ Verb im Konjunktiv I]

[SozA] &lt;br /&gt;
Physikstudentin, wohnt in einer Wohngemeinschaft/ WG &lt;br /&gt;

[FA] &lt;br /&gt;
Mutter: Herzinsuffizienz &lt;br /&gt;
Vater: M. Bechterew, Pyelonephritis (?) &lt;br /&gt;
Bruder: Pyelonephritis (?) &lt;br /&gt;

&lt;-- Ende des Abschnitts im Stichwortstil &lt;br /&gt;
ab hier --&gt;

== Aktuelle Anamnese (in ganzen Sätzen) ==

'''''C. ist am besten, weil es am schnellsten geht (wenn man die Syntax verstanden hat).'''''

=== 1. Satz (oder 1-3 Sätze) ===

==== A. [Beginn: Variante 1 (mit + Dativ)] ==== 
[in 3 Sätzen]

Die Patientin stellte sich mit akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts vor, die gestern Abend plötzlich aufgetreten seien. Ursprünglich waren die Schmerzen im Epigastrium lokalisiert, aber innerhalb von 2 Stunden seien sie in den rechten Unterbauch gewandert. Die Patientin gab die Schmerzen mit 7 von 10 NRS an.

==== B. [1. Satz: Variante 2 (wegen + Dativ)] ====
[im Relativsatz mit Konjunktiv I]

Frau Gowitz kam heute zu uns wegen seit dem Vorabend bestehenden, akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), die zuerst um den Nabel herum gewesen seien.

==== C. [1. Satz: Variante 3 (aufgrund + Genitiv)] ====
[mit verkürztem Relativsatz und mehr FS]

Die Patientin stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vorabend bestehender, akuter, progredienter, dumpfer Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), aus der Regio umbilicalis in die Regio inguinalis dextra gewandert.

=== darauffolgende Abschnitte ===

[BS] &lt;br /&gt;
| Begleitend fand/en sich: [+ Nominativ] &lt;br /&gt;
| Begleitend nannte sie: [+ Akkusativ] &lt;br /&gt;
| Begleitend besteht: [+ Nominativ] &lt;br /&gt;
| Die Patientin gab an, Fieber zu haben (bis 39,0 °C, axillar gemessen). Außerdem klagte sie über Nausea.  &lt;br /&gt;
| Die Frage nach ... wurde verneint. [wiss. Sing., auch mehrere Fragen werden hier als Paket gesehen] &lt;br /&gt;

[VA] &lt;br /&gt;
| In der vegetativen Anamnese nannte sie/ er: ... &lt;br /&gt;
| In der vegetativen Anamnese zeigten sich Insomnie sowie Inappetenz. Die sonstige vegetative Anamnese ist/ war unauffällig. &lt;br /&gt;
| Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Insomnie und Inappetenz.  &lt;br /&gt;


[VE/VO] &lt;br /&gt;
| An Vorerkrankungen und Operationen sind folgende zu nennen: &lt;br /&gt;
| Bei der Patientin sind folgende Vorerkrankungen bekannt: &lt;br /&gt;
(| In der Vorgeschichte der Patientin finden sich:)  &lt;br /&gt;
| In der Vorgeschichte der Patientin fanden sich:  &lt;br /&gt;
Asthma bronchiale seit der Kindheit, Colon irritable seit 2 Jahren.

| Keine Operationen sind bekannt. &lt;br /&gt;
| Z.n Tibiafraktur 2021, Z.n Tonsillektomie mit 10 Jahren.  &lt;br /&gt;
| Bei der Patientin sind folgende Operationen durchgeführt worden: ..., ..., ... &lt;br /&gt;
| Sie hat sich mit 10 Jahren einer Tonsillektomie '''unter'''zogen. &lt;br /&gt;
| Sie hat sich 2021 eine Tibiafraktur '''zu'''gezogen, die operativ behandelt worden ist (Osteosynthese). &lt;br /&gt;

[Med] &lt;br /&gt;
| Die Anamnese der Medikation ergab: &lt;br /&gt;
| Die Medikation besteht aus &lt;br /&gt;
Atrovent, Duspatolin bB, Paracetamol vor 2 Wochen während 3 Tagen.  

[VD] &lt;br /&gt;
| Meine VD lautet: akute Appendizitis. &lt;br /&gt;
| Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine akute Appendizitis hin. &lt;br /&gt;
| Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf [Artikel][VD] aus. &lt;br /&gt;

[DD]  &lt;br /&gt;
| An Differenzialdiagnosen kommen die folgenden in Betracht:  &lt;br /&gt;
| Differenzialdiagnostisch kommen in Betracht: &lt;br /&gt;
Nephrolithiasis, Adnexitis, Eileiterschwangerschaft

[M / diagnostische Maßnahmen] &lt;br /&gt;
| Zur weiteren Abklärung werden empfohlen: &lt;br /&gt;
| Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: &lt;br /&gt;
| An weiteren Maßnahmen empfehle ich: &lt;br /&gt;
körperliche Untersuchung, Labor: großes, kleines Blutbild, Entzündungsparameter (CRP, BSG, Procalcitonin), Leber- und Nierenparameter, Elektrolyte, Abdomensonographie.

[Th] &lt;br /&gt;
| Therapeutisch empfehle ich: &lt;br /&gt;
| Als Therapie empfehle ich bei Bestätigung der VD: &lt;br /&gt;    
| An therapeutischen Maßnahmen würde ich empfehlen: &lt;br /&gt;
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laparoskopische Appendektomie, Antibiotikatherapie, Flüssigkeitszufuhr.</text>
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    <title>Modul/Symmetrische Algebra/Dual/Algebra/Textabschnitt</title>
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      <text bytes="3211" sha1="j055hkye8grv3zpm3rz016xx8jlo9rg" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Wir betrachten {{mathl|term= {{op:Dualer Modul| {{makl| {{op:Symmetrische Algebra|M|}} |}} |}} |SZ=.}} Dies lässt sich zu einer Algebra machen.
Zu linearen Abbildungen
{{
Abbildung
|name=  \varphi
|S^p (M)|R
||
|SZ=
}}
und
{{
Abbildung
|name=  \psi
|S^q (M)|R
||
|SZ=
}}
definiert man
{{
Abbildung/display
|name= \varphi \psi
|S^{p+q} (M) |R
||
|SZ=
}}
durch
{{
Relationskette/display
|   {{makl|   \varphi \psi |}}    {{makl| v_1 \cdots v_{p+q} |}}   
|| \sum_{J \subseteq \{1  {{kommadots|}} p+q \},\,   {{op:Anzahl|J|}} {{=}} p  }   \varphi  {{makl|  \prod_{j \in J} v_j |}}  \psi  {{makl|  \prod_{j \notin J} v_j |}} 
|| 
|| 
|| 
|SZ=.
}}
Bei Produkten mit mehr als zwei Faktoren muss man über alle passenden Partitionen aufsummieren.
Speziell ist zu
{{
Abbildung/display
|name= \varphi
|M|R
||
|SZ=
}}
{{
Relationskette/display
| \varphi^n {{makl| v_1 \cdots v_{n} |}} 
|| \sum_{\pi \in S_n} \varphi {{makl| v_{\pi(1)} |}} \cdots  \varphi {{makl| v_{\pi(n)} |}}
|| 
|| 
|| 
|SZ=.
}}


Gemäß
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Modul/Symmetrische Potenz/Dualer Modul/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
wird {{mathl|term= f_1 \cdots f_p \cdot g_1 \cdots g_q |SZ=}} auf die Abbildung
{{
Math/display|term=
 v_1 \cdots v_{p+q}   \longmapsto \sum_{\pi \in S_{p+q} } f_1(v_{\pi(1)}) \cdots f_p(v_{\pi(p)}) \cdot g_1( v_{\pi(p+1)} ) \cdots  g_q( v_{\pi(p+q)} )   
|SZ=
}}
abgebildet. Die Permutationen kann man dabei gemäß den
{{
Zusatz/Klammer
|text= {{math|term= p |SZ=-}}elementigen|
|ISZ=|ESZ=
}} Bildern
{{
Relationskette/display
| J
|| \pi( \{1 {{kommadots|}} p\})
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
ordnen. Die Permutation ergibt dabei über die induzierte natürliche Ordnung
{{
Abbildung/display
|name= \iota_J
| \{ 1 {{kommadots|}} p\} | J
||
|SZ=
}}
eine Permutation {{mathl|term=  \pi \circ \iota_J^{-1}|SZ=}} eine Permutation auf  {{math|term= J |SZ=}} und entsprechend eine Permutation auf dem Komplement.

Wenn {{math|term= \varphi |SZ=}} bzw. {{math|term= \psi |SZ=}} die Bildabbildungen zu {{mathl|term=   f_1 \cdots f_p  |SZ=}} bzw. {{math|term= g_1 \cdots g_q   |SZ=}} bezeichnet, so ist
{{
Relationskette/align
|     {{makl|   \varphi \psi |}}    {{makl| v_1 \cdots v_{p+q} |}}   
|| \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots|}} p+q \},\,   {{op:Anzahl|J|}} {{=}} p  }   \varphi  {{makl|  \prod_{j \in J} v_j |}}  \psi  {{makl|  \prod_{j \notin J} v_j |}} 
|| \sum_{J \subseteq \{1  {{kommadots|}} p+q \},\,   {{op:Anzahl|J|}} {{=}} p  }  {{makl| \sum_{\pi \in S (J) } f_1(v_{\pi(j_1)}) \cdots f_p(v_{\pi(j_p)}) |}}    {{makl| \sum_{\pi \in S ( \{1  {{kommadots|}} p+q \} \setminus  J) } g_1( v_{\pi(k_1)}) \cdots g_q(v_{\pi(k_q)}) |}}    
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
was mit dem Bild des Produktes übereinstimmt. Es liegt also ein Ringhomomorphismus vor.


{{
inputbeispiel
|Freier Modul/Rang 1/Symmetrische Algebra/Dual/Beispiel||
}}


Dies besitzt dividierte Potenzen. 

Dies kann man durch {{math|term= n! |SZ=}} teilen, und {{math|term=  \gamma_n( \varphi) |SZ=}} bedeutet {{mathl|term= \varphi^n/n! |SZ=.}} 
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der symmetrischen Algebren
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
|pdf=
}}</text>
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  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben</title>
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    <revision>
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      <timestamp>2026-04-16T06:24:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Einleitung */</comment>
      <origin>1077306</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="630" sha1="bl2sqv6dbyjfsq7l1xa3fxssb4y3rso" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] behandelt.</text>
      <sha1>bl2sqv6dbyjfsq7l1xa3fxssb4y3rso</sha1>
    </revision>
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    <title>Polynomring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Begrifflichkeiten/Bemerkung</title>
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      <timestamp>2026-04-15T13:26:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2169" sha1="knyh6qdwpszfya3xc0pfqfz1268gnsb" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Ein Polynom
{{
Relationskette/display
| P
|| {{polynomX| n | a |i}}
|| {{polynomX/dots| n |a}}
||
||
|SZ=
}}
ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel {{mathl|term= (a_0,a_1 {{kommadots|}} a_n ) |SZ=,}} die die {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} des Polynoms heißen. Der Ring {{math|term= R|SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|Grundring|SZ=}} des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem {{Stichwort|Nullpolynom|SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=bei dem alle Koeffizienten null sind|
|SZ=
}}
als neutralem Element. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Die Polynome mit 
{{
Relationskette
| a_i
|| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
für alle
{{
Relationskette
| i
| \geq | 1
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}  
heißen {{Stichwort|konstante Polynome|msw=Konstantes Polynom|SZ=,}} man schreibt sie einfach als {{math|term= a_0 |SZ=.}} Ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes Polynom kann man als {{mathl|term= {{polynomX| n | a |i}} |SZ=}} mit
{{
Relationskette
| a_n
|\neq| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}} 
schreiben. Der Koeffizient {{math|term= a_n |SZ=}} heißt dann der {{Stichwort|Leitkoeffizient}} des Polynoms.

Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt {{mathl|term= X^{i} X^{j} |SZ=}} ist nämlich durch die Addition der Exponenten gegeben. Dabei nennt man {{math|term= X |SZ=}} die {{Stichwort|Variable|SZ=}} des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, {{Anführung|alles mit allem}} zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:
{{
Math/display|term=
 {{Polynomring Multiplikation/Formel|}} 
|SZ=.
}}
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über einem kommutativen Ring
|Kategorie2=
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
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Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
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Ein Polynom
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||
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{{
Zusatz/Klammer
|text=bei dem alle Koeffizienten null sind|
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}}
als neutralem Element. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Die Polynome mit 
{{
Relationskette
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}}
für alle
{{
Relationskette
| i
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|| 
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}}  
heißen {{Stichwort|konstante Polynome|msw=Konstantes Polynom|SZ=,}} man schreibt sie einfach als {{math|term= a_0 |SZ=.}} Ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes Polynom kann man als {{mathl|term= {{polynomX| n | a |i}} |SZ=}} mit
{{
Relationskette
| a_n
|\neq| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}} 
schreiben. Der Koeffizient {{math|term= a_n |SZ=}} heißt dann der {{Stichwort|Leitkoeffizient}} des Polynoms{{{zusatz1|}}}.

Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt {{mathl|term= X^{i} X^{j} |SZ=}} ist nämlich durch die Addition der Exponenten gegeben. Dabei nennt man {{math|term= X |SZ=}} die {{Stichwort|Variable|SZ=}} des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, {{Anführung|alles mit allem}} zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:
{{
Math/display|term=
 {{Polynomring Multiplikation/Formel|}} 
|SZ=.
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|Textart=Bemerkung 
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    <title>Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt</title>
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      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
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Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}}
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    <title>Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung</title>
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    <title>Freier Modul/Rang 1/Symmetrische Algebra/Dual/Beispiel</title>
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Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
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Zum {{math|term= \Z |SZ=-}}Modul {{math|term= \Z |SZ=}} betrachten wir die duale Algebra {{math|term= A |SZ=}}  zur symmetrischen Algebra  
{{
Relationskette/display
|   {{op:Symmetrische Algebra| \Z |}} 
| \cong | \Z[T]
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|| 
|| 
|SZ=.
}}
Die Basisformen sind {{math|term= \theta_n |SZ=,}} die {{math|term= T^n |SZ=}} auf {{math|term= 1 |SZ=}} abbilden. Dabei gilt
{{
Relationskette/display
|  \theta_1^n
|| n! \theta_n
|| 
|| 
|| 
|SZ=.
}}
Es gibt den Isomorphismus
{{
Abbildung/display
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|A| \Z[  {{op:Bruch|U^n|n!}},\, n\in \N  ] \subset \Q[U]
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|Textart=Beispiel 
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