Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1077354 1077034 2026-04-17T05:48:05Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1077354 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[/Randwege für Dreiecke/]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale/]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> jfuhdwvzeyh9fxz502pambrq7aod5xa 106 84474 1077364 1055073 2026-04-17T10:09:29Z Bert Niehaus 20843 /* Bearbeitete Themen zur Mathematischen Modellbildung */ 1077364 wikitext text/x-wiki == Inhalte des Kurses == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In der Modellbildung wird Mathematik<ref>Garcia, Francisco Javier, et al. "Mathematical modelling as a tool for the connection of school mathematics." ZDM 38.3 (2006): 226-246.</ref> aus unterschiedlichen Teilgebieten dazu verwendet, um Modelle als mathematische Umsetzung von Teilaspekten eine beobachteten Systems (deskriptive Modelle) oder eines zu entwickelnden Systems (präskriptive Modelle) zu realisieren und zyklisch weiter zu verbessern. Hierbei werden [[w:de:Analysis|Analysis]], [[w:de:Lineare_Algebra|Lineare Algebra]] als Grundkenntnis im unversitären Kontext vorausgesetzt. Ferner dient die Angewandte Mathematik als Werkzeug für die Modellentwicklung. Ziel der Auseinandersetzung mit Modellbildung ist es, geeignete fachmathematische Werkzeuge aus Statistik, Numerik, Geometrie, Differentialgleichungen, ... zu für die Modellentwicklung zu identifizieren und für die Entwicklung der Modelle einzusetzen. Gleichzeitig sind Grundlagen in der Nutzung von (OpenSource-)Werkzeugen notwendig, um die Modelle in einer konkreten Datenverarbeitung zu analysieren. === '''[[/Themen/|Bearbeitete Themen zur Mathematischen Modellbildung]]'''=== :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' === Ablauf der Lehrveranstaltung WS 2025/26=== Ziel ist es, innerhalb der Lehrveranstaltung ein schriftliches Portfolio zu einer ausgewähltem Thema anzufertigen und im Rahmen einer Wikiversity Seite zu dokumentieren. Innerhalb der ersten 4 Semesterwochen werden zuerst Einführungsvorlesungen zu den ausgewählten Themen aus der Methoden der mathematischen Modellbildung gehalten. In dieser Zeit sollen Studierende kleinere Gruppen bilden, zusammen ein passendes Modellierungsthema finden und die erste Schritte wie Datenrecherche durchführen oder passende mathematischen Methoden vorschlagen. In der fünften Semesterwoche finden Kurzpräsentationen aller Modellierungsthemen durch die Gruppenteilnehmer statt, diese sollten die Einführung in das Thema und die Notwendigkeit der Untersuchungen im Bezug auf Nachhaltigkeitsziele darstellen, sowie auch die erste Vorschläge für mathematische Herangehensweise, zumindest auf dem Schulniveau, beinhalten. Die Kleingruppen bekommen bei der Erstvorstellung der Modellierungsthemen einen Feedback vom Dozenten und von den Studienkollegen. Ab der sechster Semesterwoche bearbeiten die Studierende in Kleingruppen die Modellierungsthemen (mindesten 2 Modellierungszyklen) und pflegen ihren Fortschritt in Wikiversity-Porfolien durchgehend ein. Geprüft werden können die Studierenden, die aktiv an der Entwickung des Portfolios beigetragen haben, siehe auch [[/Aufgaben/]]: die gemeinsame Bearbeitung und die schriftliche Ausarbeitung des Modellierungsportfolios zählt als '''Studienleistung zur Zulassung zur mündlicher Prüfung'''. Ablauf: * '''(1) Einführunsgvorträge''' - (20.10-10.11.2025): ausgewählte Themen, siehe Material im Olat-Kurs [https://olat.vcrp.de/url/RepositoryEntry/2169471063 Olat-Kurs] * '''(2) [[/Aufgaben/| Kurzvorstellung aller Modellierungsthemen]]''' auch bzgl. des zweiten Faches (17.11.2025) - siehe auf [[/Themen/|bisher bearbeitete Themen]] * '''(3) [[/Aufgaben/|(Wiki)Quellen]]''' - (durchgehend): Sammeln Sie wissenschaftliche Quellen und für Sie nutzbare Wikipedia- und Wikiversity-Quellen. Überprüfen Sie und ergänzen Sie ggf. Quellen in Wikipedia und Wikiversity mit Ihrem Quellenstudium, die Sie in wissenschaftlicher Literatur oder wissenschaftlichen Journals finden. * '''(4) Gruppenarbeit:''' - (ab 24.11. 2025): intensive Arbeit in Kleingruppen, die [[/Themen/2025-26_Wintersemester| aktuellen Themen]] sind festgelegt, die Ausarbeitung wird durch den Dozenten betreuut. * '''(5) Finalisierungsphase:''' - (ab 26.01. 2026): letzte Verbesserungen des Modells, Finalisierung der textuellen und grafische Dokumentation, ggf. Probevorträge. === Ablauf der Lehrveranstaltung WS 2022/23=== Entsprechend des Schaubildes rechts zum Modellierungzyklus wird sich die Veranstaltung aufbauen. Ziel ist es, innerhalb der Lehrveranstaltung das Portfolio anzufertigen. Geprüft werden können die Studierenden, die aktiv an der Entwickung des Portfolios beigetragen haben, siehe auch [[/Aufgaben/]]. Unter Rahmenbedingungen von [[COVID-19]] werden Projekte in dem [[Videokonferenz|BigBlueButton-Videokonferenzsystem]] vorgestellt und in [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppen gemeinsam entwickelt]]. * '''(1) [[/Themen|Vorstellung der Themenbereich]]''' bzgl. des zweiten Faches (24.10.2022) - siehe auf [[/Themen/|bisher bearbeitete Themen]] * '''(2) [[/Aufgaben/|Modellierungsthema Kurzvorstellung]]''' (31.10.2022) - Bitte in LibreOffice-Impress die Themenstellung kurz vorstellen. Das Querformat ist dafür am besten geeignet. Exportieren Sie die Präsentation in LibreOffice-Impress als PDF. Diese können Sie dann bei der Vorstellung im Plenum zeigen. Sie können dazu auch Abbildung aus WikiCommons verwenden. * '''(3) [[/Aufgaben/|Wikipedia/Wikiversity-Quellen]]''' (07.11.2022) - Sammeln Sie wissenschaftliche Quellen und für Sie nutzbare Wikipedia- und Wikiversity-Quellen. Überprüfen Sie und ergänzen Sie ggf. Quellen in Wikipedia und Wikiversity mit Ihrem Quellenstudium, die Sie in wissenschaftlicher Literatur oder wissenschaftlichen Journals finden. * '''(4) Gruppenarbeit:''' - (14.11.2022) ** '''(4.1) [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Güte von Modellen|Güte von Modellen]]''' - (14.11.2022) Gruppe Schadstoffverteilung, Gruppe Sprache - ** '''(4.2) [[Integration mit mehreren Veränderlichen|Integration mit mehreren Veränderlichen]]''' - (21.11.2022) Integration auf einem merhdimensionalen Grundraum - (Gruppenarbeit) === Kapitel 1: Einführung === * '''[[/Portfolioprüfung/|Portfolioprüfung Modellbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische_Modellbildung/Portfoliopr%C3%BCfung&author=Wiki-Autoren&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Folien]) [[File:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] Hinweise zu einer mündlichen Portfolioprüfung * '''[[Objektorientierte Mathematische Modellbildung|Objektorientierte Mathematische Modellbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Digitale 3D Modelle/]]''' Hinweise zum Erstellen von 3D Modellen * '''[[/Modellbildungszyklus/]]:''' Die Portfolios sollten mindestens zwei Durchläufe des Zyklus enthalten. * '''[[/Bilder für das Portfolio/]]:''' Hinweise für die Nutzung von Bilder in einem Portfolio * '''[[/Rückmeldung zum Portfolio/]]:''' Rückmeldungen und Anmerkungen von Dozenten, Tutoren oder Studenten. * '''[[/Aufgaben/|Modellierungsaufgaben]]''' Modellierungsaufgaben strukturieren die Schritte in der Modellbildung und zeigen, wie das das Portofolio weiter ausgebaut werden kann. ** Man darf/soll für den gegenwärtigen Stand der Modellbildung Vorschläge für die Weiterentwuicklung machen, ** die dann im weiteren Verlauf auf ihre Brauchbarkeit/Passung hin bewertet werden und ** ggf. auch wieder verworfen werden, weil der Modellierungsschritt sich als ungeeignet erwiesen hat. Dies ist kein Makel in dem Portfolio, sondern man sollte begründen, warum ein bestimmtes mathematische Werkzeug in der konkrete Anwendung unbrauchbare Ergebnisse liefert. : Die Dokumentation des Entwicklungsprozesses ist für die Modellbildung entscheidend und macht die Modellierungsideen nachvollziehbar und nicht nur das fertige Produkt. D.h. Portfolio sollte auch die Dokumentation enthalten, warum bestimmte mathematische Werkzeuge nicht die gewünschten Ergebnisse geliefert hat. === Kapitel 2: Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. === Kapitel 3: Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 4: Editierungshilfen === * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] === Kaptitel 5: Kurse === * [https://de.wikibooks.org/wiki/Blender_3D Wiki-Buch: Blender und 3D-Modellierung] * [https://niebert.github.io/WikiCommons2AFrame/load_images2zip.html 360-Gradbilder in AFrame einbinden] - 3D-Modellierung. * [[Markers4Map]] - Icon auf OpenStreetMap-Karten erzeugen === Beispiele === * [https://www.geogebra.org/m/VEdAAcPD Approximation mit drei Datenpunkten] * Interaktive Simulationsumgebung [https://c-roads.climateinteractive.org/ C-ROADS Climate Interactive]<ref>Sterman, J., Fiddaman, T., Franck, T. R., Jones, A., McCauley, S., Rice, P., ... & Siegel, L. (2012). Climate interactive: the C-ROADS climate policy model.</ref> * [[Kryptologie/Grundlagen_der_Kryptologie|Verschlüsselung und Modellbildung - Einführung]] == Portfolio == Ein Wikiversity-Portfolio ist eine digitale Sammlung von Materialien, die einen mathematischen Modellierungsprozess veranschaulichen. Diese Materialien werden von Studierende erzeugt. * '''[[/Themen/|Themen zur Mathematischen Modellbildung]]''' * '''[[/Aufgaben/]]''' für das Modellbildungsthema für alle Gruppen * '''[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:An_Teallach_panorama.jpg Bildquellen für Ihr Projekt aus WikiMedia Commons]''' *Le Monde '''Atlas der Globalisierung - Welt in Bewegung<ref>Atlas der Globalisierung - Welt in Bewegung (2019) Le Monde Diplomatique, taz. Verlags und Vertriebs GmbH, Berlin.</ref> == Nutzung der Materialien für Lehrveranstaltungen == Die Vorlesung wird in einem PanDoc-Folien-Format ([[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]) bereitgestellt, das mit dem Werkzeug [http://niebert.github.io/PanDocElectron PanDocElectron] online in Präsentationfolien. == Ursprung der Materialen == Im Sinne der OER (Open Educational Resources) sollten die Vorlesungsinhalten zur freien Verfügungen gestellt werden. Gleichzeitig werden die aus dem anpassbaren Wikiinhalten erstellten Folien in einem GitHib-Repository bereitgestellt, um die Download und Nutzung von weiter zu Vereinfachen. Die Artikel sind in der Regel mit so wenig Text versehen, damit die Erzeugung der Folien direkt aus den Inhalten möglich ist. Alle Folienseiten in Wikiversity haben daher am Ende der Seiten einen Hinweis ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]''. Wenn Sie diese Seiten editieren, achten Sie bitte darauf, dass die Folien nicht zu voll werden. Ausführlichere Texte zu den Slides werden in der Regel in eigenen Artikeln erstellt. Falls sich die Erläuterungsseiten explizit auf eine Folien beziehen, erhält die Erläuterungsseite eine Markierung ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-TEXT]]'' und SLIDE- bzw. TEXT-Version verweisen wechselseitig aufeinander. == Siehe auch == * [[Projektarbeit in Wikiversity]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Räumliche Modellbildung]] * [[w:de:Analysis|Analysis]] * [[w:de:Lineare_Algebra|Lineare Algebra]] * [[Videokonferenz]] und [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Videokonferenzen]] * [[COVID-19]] * [[Octave]] * [[Geogebra]] * [[Maxima CAS]] * [[w:de:Wikipedia:Tutorial|Tutorial: Wikiversity editieren]] == Quellen/Literatur == [[Category:Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Kurs]] h3g9ypywjzgrlvylpbzwx0g6qsqjzzx 0 118648 1077362 1048902 2026-04-17T09:39:08Z Bocardodarapti 2041 1077362 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nehmen wir zuerst an, dass es einen alternierenden Weg gibt, der die Punkte {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} verbindet, die beide nicht durch die Paarung abgedeckt sind. Wir müssen zeigen, dass man eine Paarung konstruieren kann, die mehr Kanten als die gegebene Paarung besitzt. Es sei {{ Math/display|term= \{ u,u_2\}, \{u_2,u_3\} {{kommadots|}} \{u_{n-1},v\} |SZ= }} der alternierende Weg. Dabei gehören die beiden Endkanten nicht zu {{math|term= P |SZ=,}} da die beiden Endpunkte nicht durch {{math|term= P |SZ=}} abgedeckt sind. Die Länge des Weges, also {{math|term= n-1 |SZ=,}} ist ungerade. Wir modifizieren nun die Paarung, indem wir die Kanten {{mathl|term= \{u_i,u_{i+1} \} |SZ=}} für {{math|term= i |SZ=}} gerade herausnehmen und die Kanten {{mathl|term= \{u_i,u_{i+1} \} |SZ=}} für {{math|term= i |SZ=}} ungerade hinzunehmen. Dabei wird die Gesamtzahl der Kanten um {{math|term= 1 |SZ=}} erhöht. Ferner handelt es sich nach wie vor um eine Paarung. Würde es nämlich in der neuen Paarung einen Knotenpunkt geben, der mit zwei Kanten inzident ist, so würde eine Kante davon gleich {{mathl|term= \{ u_i, u_{i+1} \} |SZ=}} sein {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= i |SZ=}} ungerade| |ISZ=|ESZ= }} und die andere Kante gleich {{mathl|term= \{ u_i,x \} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder gleich {{mathlk|term= \{ u_{i+1},x \} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn diese zweite Kante nicht zum alternierenden Weg gehört, so gehört sie zu {{math|term= P |SZ=}} und würde zusammen mit {{mathl|term= \{ u_{i-1}, u_{i} \} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathlk|term=\{ u_{i+1}, u_{i+2} \} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} der Paarungseigenschaft von {{math|term= P |SZ=}} widersprechen. Wenn sie zum alternierenden Weg gehört, so wäre sie gleich {{mathl|term= \{u_j,u_{j+1} \} |SZ=}} mit {{math|term= j |SZ=}} ungerade, und dann würden die an dem Durchschnittspunkt anliegenden Kanten aus {{math|term= P |SZ=}} der Paarungseigenschaft von {{math|term= P |SZ=}} widersprechen {{ Zusatz/Klammer |text=bei den Endkanten muss man etwas anders argumentieren| |ISZ=|ESZ=. }} Nehmen wir nun an, dass {{math|term= P |SZ=}} nicht optimal ist. Es sei {{math|term= Q |SZ=}} eine optimale Paarung, die ja dann nach Definition mehr Kanten als {{math|term= P |SZ=}} besitzt. Es ist zu zeigen, dass es einen alternierenden Weg für {{math|term= P |SZ=}} gibt, dessen Endpunkte von {{math|term= P |SZ=}} nicht abgedeckt sind. Wir betrachten den Graphen {{math|term= H |SZ=}} auf {{math|term= V |SZ=}} mit der {{ Definitionslink |symmetrischen Differenz| |Kontext=| |SZ= }} von {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} als Kantenmenge. Da {{math|term= Q |SZ=}} mehr Kanten als {{math|term= P |SZ=}} besitzt, gibt es in {{math|term= H |SZ=}} mehr Kanten aus {{math|term= Q\setminus P |SZ=}} als aus {{math|term= P \setminus Q |SZ=.}} Dies muss dann auch für eine {{ Definitionslink |Zusammenhangskomponente| |Kontext=Graph| |SZ= }} von {{math|term= H |SZ=}} gelten, und deren Möglichkeiten sind in {{ Faktlink |Faktseitenname= Graph/Paarungen/Symmetrische Differenz/Fakt |Nr= |SZ= }} aufgelistet. Daher muss eine Komponente ein linearer Graph sein, mit Kanten abwechselnd aus {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} und wobei die Endkanten aus {{math|term= Q \setminus P |SZ=}} sind. Die Endpunkte sind dann insbesondere verschieden und nicht durch {{math|term= P |SZ=}} abgedeckt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qd7ypmnq0eupxoxw8rnnaln5rk1k8cg 106 121869 1077346 1077316 2026-04-16T14:51:47Z Bocardodarapti 2041 1077346 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe|p||| |20-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p||| |Puzzleteile/Rechteckig/Typ/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Quadrat/Teilquadrate/Anzahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Langsame Version/Aufgabe|p||| |N^2-1/Wann prim/Aufgabe|p||| |Ganze Zahl/Teilbarkeitsbedingungen/Bestimme/1/Aufgabe|p||| |Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation auf ZxN +/2/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Zusammenhang zu Ringhomomorphismus und Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Vollständiger Graph/4 Knoten/Überschneidungsfrei/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ej7pp9wfsd5nrvzk760tj269ciyqjao 106 121947 1077347 1072806 2026-04-16T14:52:42Z Bocardodarapti 2041 1077347 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe|p||| |Tripel/Summe ist 5/Berechnung/Aufgabe|p||| |Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe|p||| |Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bernoulli-Zahlen/Summe mit Binomialkoeffizienten/Berechnung/Aufgabe|p||| |Addition/Multiplikation/Potenz/N/Injektivität/Aufgabe|p||| |Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|p||| |Graph/3 Punkte/1 Kante/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} efghmeu6s7hzxtfeol3zgcfbfcgfysp 106 121948 1077345 1077315 2026-04-16T14:45:40Z Bocardodarapti 2041 1077345 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Pickel/Ausdrücken/Reihenfolge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/1/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/5371400 und 695700/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Gruppe/x ist y oder Inverses/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} gppvpjnal2y9foatqhgjsgslom0mxdu 106 121955 1077343 1077300 2026-04-16T14:42:16Z Bocardodarapti 2041 1077343 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe|p||| |Höhle/Taschenlampe/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Bis 1000/Ziffernanzahl/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Quadrat und Kubik/Minimal/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/R/Bijektiv/Umkehrfunktion/Aufgabe|p||| |Bruch/Primfaktorzerlegung/Allgemein/Aufgabe|p||| |Darstellung der 1/11 und 13/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Startwertedifferenz/Differenz/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 2gheiqev4i7c4o2qxob7lkbk90ae6dm 106 121959 1077341 1077314 2026-04-16T14:34:07Z Bocardodarapti 2041 1077341 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe|p||| |Ponyhof/Ausflug/Aufgabe|p||| |Holzstück/Zerlegung in Stücke/30 bis 40/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Permutationen/4/Auflistung/Fixpunktfrei/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p||| |Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/Eigenvektor/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 5urvv7d8vgjvzz7gpfet1cdy093fb0a 0 133501 1077365 1077219 2026-04-17T10:35:36Z C.Koltzenburg 13981 /* Berichte (FSP, Teil 2) */ 1077365 wikitext text/x-wiki * Siehe auch [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Patientenvorstellungen]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] == Beispielformulierungen für Ihre Berichte == [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] == Berichte (FSP, Teil 2) == (Die jüngsten Berichte stehen oben.) * 23. [[Anamneseberichte/Uschi_Strohbach_45_J|'''Uschi Strohbach 45 J.''']] (VD Rheumatoide Arthritis - mit [[Anamneseberichte/Uschi_Strohbach_45_J#OA-Fragen|'''OA-Fragen''']]) * 22. [[Anamneseberichte/Sandra_Ummendorf_39_J|'''Sandra Ummendorf 39 J.''']] (VD Hyperthyreose - mit [[Anamneseberichte/Sandra_Ummendorf_39_J#OA-Fragen|'''OA-Fragen''']]) * 21. [[Anamneseberichte/Thomas_Bredenmeyer_70_J|'''Thomas Bredenmeyer, 70 J.''']] (VD Sprunggelenksfraktur - mit [[Anamneseberichte/Thomas_Bredenmeyer_70_J#OA-Fragen|'''OA-Fragen''']]) * 20. [[Anamneseberichte/Hans-Jörg_Meier_34_J|'''Hans-Jörg Meier, 36 J.''']] (VD obere GiB) * 19. [[Anamneseberichte/Olga_Müller_36_J|'''Olga Müller, 36 J.''']] (VD Pyelonephritis, FSP in Karlsruhe am 29.1.2026) * 18. [[Anamneseberichte/Nina_Hagenbeck_58_J|'''Nina Hagenbeck, 58 J.''']] (VD Ulcus ventriculi mit oberer gastrointestinaler Blutung) * 17. [[Anamneseberichte/Ralf_Merklinger_48_J|'''Ralf Merklinger, 48 J.''']] (VD Panikattacke) -- [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_8|Patientenvorstellung dazu]] * 16. [[Anamneseberichte/Janus_Hubertus_48_J|'''Janus Hubertus, 48 J.''']] (VD Phäochromozytom) * 15. [[Anamneseberichte/Arnold_Hartmann_78_J|'''Arnold Hartmann, 78 J.''']] (VD TIA) * 14. [[Anamneseberichte/Julia_Nolte_28_J|'''Julia Nolte, 28 J.''']] (VD Endokarditis) * 13. [[Anamneseberichte/Wulf_Albrecht_51_J|'''Wulf Albrecht, 51 J.''']] (VD Pneumonie) * 12. [[Anamneseberichte/Walter_Schumann_73_J|'''Walter Schumann, 73 J.''']] (VD Lungenembolie) * 11. [[Anamneseberichte/Erich_Neumeister_66_J|'''Erich Neumeister, 66 J.''']] (VD Leberzirrhose) * 10. [[Anamneseberichte/Katharina_Strauß-Huber_45_J|'''Katharina Strauß-Huber, 45 J.''']] (VD Karzinoid) * 9. [[Anamneseberichte/Renate-Marija_Kovermeyer_40_J|'''Renate-Marija Kovermeyer, 40 J.''']] (VD Migräne) * 8. [[Anamneseberichte/Walter_Vogelmayr_65_J|'''Walter Vogelmayr, 65 J.''']] (VD Periphere arterielle Verschlusskrankheit (pAVK)) * 7. [[Anamneseberichte/Rolf_Pfander_45_J|'''Rolf Pfander, 45 J.''']] (VD Lymphom, div.) * 6. [[Anamneseberichte/Maren_Scharbowski_75_J|'''Maren Scharbowski, 75 J.''']] (VD Angina pectoris) * 5. [[Anamneseberichte/Susanne_Bay_35_J|'''Susanne Bay, 35 J.''']] (VD Colon irritabile/ Reizdarmsyndrom (RDS)) * 4. [[Anamneseberichte/Hans-Joachim_Klinkmüller_43_J|'''Hans-Joachim Klinkmüller, 43 J.''']] (VD (Non-)Hodgkin Lymphom) * 3. [[Anamneseberichte/Manfred_ Markovich_84_J|'''Manfred Markovich, 84 J.''']] (zwei verschiedene VD) * 2. [[Anamneseberichte/Fabian_Hartmann_48_J|'''Fabian Hartmann, 48 J. / Joachim Metzmacher, 48 J.''']] (VD Panikattacke, Berichte (5 Beispiele), teilweise mit Formulierungen wie für eine Patientenvorstellung, plus Wortschatz und Tipps für Fragen) * 1. [[Anamneseberichte/Gertraude_Heinrichsmeier_80_J|'''Gertraude Heinrichsmeier, 80 J.''']], (VD Fraktur, Hüftgelenk oder Oberschenkelhals) 36bhis8saompi5hjnkowjfinfpkdis5 4 141067 1077371 1076481 2026-04-17T11:54:52Z Alexis Jazz 32026 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 1077371 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Diese Daten stammen aus dem Cache. Der Zeitpunkt der letzten Aktualisierung: 2026-04-16, 07:43:32Z Uhr. 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Helferlein !! data-sort-type="number" | Anzahl der Benutzer !! data-sort-type="number" | Aktive Benutzer |- |EnhancedTalkBlue || 52 || 0 |- |EnhancedTalkSand || 39 || 1 |- |EnhancedTalkSun || 32 || 0 |- |HotCat || 54 || 2 |- |MicroButtons || 114 || 1 |- |PageWatcher || 65 || 1 |- |ResizeGalleries || 66 || 1 |- |SemanticTemplates || 96 || 1 |- |SemanticTemplatesNew || 35 || 1 |- |Upload || 13 || 1 |- |show-usergroup || 52 || 2 |- |show-usergroup-with-external || 36 || 1 |- |toolserver-integration || 96 || 2 |- |wikEd || 89 || 0 |} * [[Spezial:GadgetUsage]] * [[m:Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]] <!-- data in CSV format: EnhancedTalkBlue,52,0 EnhancedTalkSand,39,1 EnhancedTalkSun,32,0 HotCat,54,2 MicroButtons,114,1 PageWatcher,65,1 ResizeGalleries,66,1 SemanticTemplates,96,1 SemanticTemplatesNew,35,1 Upload,13,1 show-usergroup,52,2 show-usergroup-with-external,36,1 toolserver-integration,96,2 wikEd,89,0 --> 4s6c7ktj32ql47eqm874qpm1zjauspt 106 160377 1077348 1077323 2026-04-16T14:57:08Z Bocardodarapti 2041 1077348 wikitext text/x-wiki {{ Klausur24{{{opt|}}} |Endliche Permutation/Element mit Ordnung/Größer/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe|p||| |Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/5 und 8/1/Aufgabe|p||| |Metallstäbe/Länge/Darstellung/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Z/GgT/Faktoren/Beispiele/Aufgabe|p||| |KgV/Primzahlzerlegung/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe|p||| |Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Teileranzahl/Ungerade/Quadratzahl/Aufgabe|p||| |Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe|p||| |Teilbarkeit (N)/Produkt von drei Zahlen/Minimale Anzahl an Teilern/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 17/Inverses Element zu 8/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p||| |Größter gemeinsamer Teiler/4369, 4131, 3383/Aufgabe|p||| |KgV/116901 und 138689/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Wurzel/Gruppenhomomorphismus/Verschiedene Verknüpfungen/Aufgabe|p||| |Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Multiplikation/Gruppenhomomorphismus/Kern/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(1,1) und (1,-1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/R nach Q/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} obey42n75wnmfd993eecwcakezh106y 106 168587 1077339 1077202 2026-04-16T14:32:38Z Bocardodarapti 2041 1077339 wikitext text/x-wiki {{Textmitschalter/{{{opt|}}} |An= |Text= }} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Information]]</noinclude> qc4w7ra8x3fp6btptmjvwe10gslggt2 106 168645 1077363 1077293 2026-04-17T09:55:10Z Bocardodarapti 2041 1077363 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppe/Inverses/Selbstinvers/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Gruppe/Inverses von xy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Bijektive Abbildungen/Gruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Verknüpfung/Bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Potenzgesetze/Funktionalgleichungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Potenzgesetz/Basisprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ 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|Binomialkoeffizent/Wechselsumme/0/Binomischer Lehrsatz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Matrizen/Matrizenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/N und Z/Kanonische Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringstruktur auf Menge der Abbildungen nach Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktring/Z^2/Komponentenweise/Kommutativer Ring/Integrität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Integritätsbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Einen kommutativen Ring {{math|term= \neq 0 |SZ=,}} der die Nichtnullteilereigenschaft aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper/Integritätsbereich/Fakt |Nr= |SZ= }} erfüllt, heißt {{Stichwort|Integritätsbereich|SZ=.}} Die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} sind ein Integritätsbereich, aber kein Körper. Für endliche Ringe gilt aber die folgende Aussage. {{ inputaufgabe |Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganzwertige Polynome über Z/Nicht in Z X/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/(x^2-3yzy-2zy^2+4xy^2)(2xy^3x-z^2xyx)(1-3zyxz^2y)/Berechne/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektor/Endomorphismen mit diesen Eigenvektor/Ring/Dimension/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganze Zahlen/Umgekehrtes Distributivgesetz/Lösungen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uhr/6/Stunden und Minutenzeiger/Gegenüberliegend/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Zahlen/Dummenregel/Keine positive Lösung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Bijektivität der einseitigen Operationen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} nnxld66i0w4olx4dpbzpoulfejdp2tv 106 170021 1077331 1076827 2026-04-16T14:15:20Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals */ 1077331 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] == Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann wird das komplexe Integral über die Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] für die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. == Siehe auch == * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qt8zeha62tnl3gxgfp8lqq2wv5m57tn 1077332 1077331 2026-04-16T14:17:34Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077332 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] == Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann wird das komplexe Integral über die Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] für die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. == Siehe auch == * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] eqq9djkci52bav5rg30g88dlqogufvh 106 170032 1077333 1077204 2026-04-16T14:18:07Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077333 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Definition - Flächenintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral von <math>f</math> für das Dreieck <math>\Delta</math> wird : :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten, * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des Korollars gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] cw2kos4dr3um2qvbkgpsq437rhe7e2o 1077334 1077333 2026-04-16T14:18:39Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077334 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Definition - Flächenintegrale für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral von <math>f</math> für das Dreieck <math>\Delta</math> wird : :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten, * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des Korollars gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] aqkf8524a8l5vd0rkrnvc3p3vrl2q0a 1077335 1077334 2026-04-16T14:28:03Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Flächenintegrale für Dreiecke */ 1077335 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="RandintegralDreieck"></span> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten, * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des Korollars gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] 0c9sgadkfd26xyyoyllwqfdor7yiln5 1077336 1077335 2026-04-16T14:29:13Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen */ 1077336 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="RandintegralDreieck"></span> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten, * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des Korollars gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] i7etxw4yqkhjgl65mrj4r6t07t4ernv 1077338 1077336 2026-04-16T14:30:54Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Randintegral für Dreiecksfläche */ 1077338 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="RandintegralDreieck"></span> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten, * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des Korollars gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] fqyetz725sijbe0nsc9dxogxei22dvo 1077340 1077338 2026-04-16T14:32:56Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke */ 1077340 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="RandintegralDreieck"></span> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> darstellen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten, * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des Korollars gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] 9fsz48ndpvtsf1q68io1osu3frc4mhh 1077342 1077340 2026-04-16T14:39:34Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis zu K2D - Orientierung */ 1077342 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="RandintegralDreieck"></span> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> darstellen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten, * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des Korollars gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gibt das [[Randintegral für Dreieck]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt der zugehörigen [[orientierten Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] s4pe7n0smt76k9p8fzoq5g2tampf2xk 1077344 1077342 2026-04-16T14:44:43Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis zu K2D - Orientierung */ 1077344 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="RandintegralDreieck"></span> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition stellt also das Flächenintegrale über Dreiecke als Wegintegral über die Stammfunktion dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> darstellen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten, * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des Korollars gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] 1fdbox9mcqq11iqyowr7sahfqzkejfv 2 170055 1077357 1076358 2026-04-17T06:22:10Z Bocardodarapti 2041 1077357 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ Math/display|term= f=CD-4E^4-E^3, \, g=C^2+ \alpha D^2- \alpha E^5-16E^3+8E^2 -E |SZ=. }} Zusammen mit {{mathl|term= -4EC+16D-C |SZ=.}} Nach {{math|term= D |SZ=}} auflösen ergibt {{ Relationskette/display | 16 D || 4EC+C || || || |SZ= }} und dann {{ Math/display|term= C (4EC+C) - 16(4E^4-E^3) \text{ und } 256 C^2 + \alpha 256 {{makl| 4EC+C |}}^2 + 256 {{makl| - \alpha E^5-16E^3+8E^2 -E |}} |SZ=. }} {{math|term= \R |SZ=-}}Algebra {{math|term= A |SZ=}} und {{ Relationskette/display | B || A {{tensor|\R}} {{CC}} || || || |SZ= }} mit der Konjugation. Der Invariantenring ist {{math|term= A |SZ=.}} Dieser hat natürlich nicht nur die reellen Punkte. Ein beliebiger {{math|term= {{CC|}} |SZ=-}}Isomorphismus überführt nicht die reelle Algebra in sich. Beispielsweise {{math|term= \R[T] |SZ=}} und {{ Abbildung/display |name= | {{CC|}}[T] | {{CC|}}[T] | T | {{imaginäre Einheit|}} T |SZ=. }} Das maximale Ideal {{mathl|term= (T-z) |SZ=}} wird dabei unter der Spektrumsabbildung auf {{math|term= (T- {{imaginäre Einheit|}}z) |SZ=}} abgebildet. Daher folgt aus einem {{math|term= {{CC|}} |SZ=-}}Isomorphismus von {{math|term= B_1 |SZ=}} nach {{math|term= B_2 |SZ=}} nicht, dass die zugrundeliegenden {{math|term= \R |SZ=-}}Algebren isomorph sind. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} n8o8zdhjf0pgzi2brdf81did3vnl8hq 106 170062 1077352 1077329 2026-04-17T05:36:27Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 1 - Rechteck */ 1077352 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 13qjdhd4db0d7ywejd1smk51kpejfw2 1077353 1077352 2026-04-17T05:37:38Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche */ Index fehlt 1077353 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 15e7oqpfzxkvapirgnn5l3pilgesb2r 1077368 1077353 2026-04-17T11:44:43Z ~2026-23518-21 41493 /* Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten */ 1077368 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot (z_1) + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot (z_3) + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \cdot t_1 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 95vsi9hkoywk3jklmt5s0q62otwd74p 1077369 1077368 2026-04-17T11:48:28Z Bert Niehaus 20843 /* Rechteck als Konvexkombination */ 1077369 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot z_1 + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot z_3 + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_2 \cdot t_1 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] oa13c5u9dbzjce0y9nwanb4zgbkhhnu 1077370 1077369 2026-04-17T11:52:18Z Bert Niehaus 20843 /* Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten */ 1077370 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot z_1 + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot z_3 + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 2rsyj27x4mg0h3semez1nk7oosjs88m 0 170188 1077330 2026-04-16T13:09:03Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077330 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} ist {{ Abbildung/display |name= | {{CC|}}^\times | {{CC|}}^\times |z|z^n |SZ=, }} eine endliche {{acutee|}}tale Abbildung. Wir fassen dies, sagen wir für {{ Relationskette | n || 2 || || || |SZ=, }} als reell-polynomiale Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \R^2 \setminus \{0\} | \R^2 \setminus \{0\} | (x,y) | (x^2-y^2, 2xy) |SZ=, }} auf. Die Jacobi-Matrix ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|2x|-2y|2y|2x}} |SZ=, }} lokal liegt also außerhalb des Nullpunktes eine Diffeomorphie vor. Dies gilt nicht als Abbildung auf dem Spektrum von {{mathl|term= \R[X,Y] |SZ=}} und auch nicht, wenn man diese Abbildung nach {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} tensoriert. Der Verzweigungsort ist durch {{mathl|term= 4x^2+4y^2 |SZ=}} gegeben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4l24o0z8gv3rx07cb21khbcr22jerej 0 170189 1077337 2026-04-16T14:29:45Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#RandintegralDreieck]] erstellt 1077337 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#RandintegralDreieck]] iougxurtckyf81zhja1lb5zu5740wfr 106 170191 1077355 2026-04-17T05:53:47Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077355 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] ea0ltkwmxo3vter6zv92tb9xsycq8ry 1077356 1077355 2026-04-17T05:59:28Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1077356 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] j5b9z59v5thrledr4zx75qv4kwjsbl2 1077358 1077356 2026-04-17T06:23:26Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche */ 1077358 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Integralsatz für Dreiecksflächen]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei der Punkt in <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langlez_1,z_1\rangle</math> startet und === Randweg - Integrationsweg zu Punkt === === Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges === == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] 354gpfekasuuh6qi5deptpyg7u6e9pz 1077359 1077358 2026-04-17T06:47:15Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg - Punkt zu Integrationsweg */ 1077359 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Integralsatz für Dreiecksflächen]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. === Randweg - Integrationsweg zu Punkt === === Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges === == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] jrvtor8iglpu5n57ewy93uhvnlaaxhi 1077360 1077359 2026-04-17T06:47:47Z Bert Niehaus 20843 /* Randwege und Flächen */ 1077360 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. === Randweg - Integrationsweg zu Punkt === === Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges === == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] b22f3e0os8eemdbymdh0supfk80tjt9 1077361 1077360 2026-04-17T06:50:16Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077361 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. === Randweg - Integrationsweg zu Punkt === === Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges === == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 6ludkcirmlnusngjuihc19y5nfiferr 0 170192 1077366 2026-04-17T10:37:13Z C.Koltzenburg 13981 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077366 wikitext text/x-wiki mit Dank an M.H. [Patient/in] Uschi Strohbach [A (+ GD)] 45 J 19.08.1980 [Gewicht] 77 kg [Größe] 170 cm [All/Unv] Penicillin (Exanthem), Schimmel, Birkenpollen (Dyspnoe) Fisch, Apfel, Eier (Nausea, Emesis) [Genussmittel/ Drogen (FS: Noxen)] Nikotin: ca. 10 PY, rauche zurzeit 3 Zigaretten pro Tag seit 10 Jahren, davor ca. 18 Jahre 0,5 Schachteln pro Tag C2: trinke 1 Glas Rotwein 1 Mal/Woche Drogenkonsum: wurde verneint [SozA] Verheiratet 2 Töchter: 8, 10 Jahre, gesund Grundschullehrerin [FA] V: Herzerkrankung M: DM Typ2 Bruder: gesund Frau Strohbach stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Wochen bestehender dauerhafter beidseitiger brennender ruhebedingter Fingergelenksschmerzen in den Händen (NRS 7/10), mit Bewegungseinschränkungen und morgendlicher Steifigkeit einhergehend und Verbesserung nach Bewegung. Außerdem klagte sie über Fingerverkrümmung, Schwellungen, Überwärmung und Rötung den Fingergelenken an beiden Händen. Am Ellenbogen rechts hat sie die gleichen Symptome und dazu eine Verdickung. Die vegetative Anamnese ergab Müdigkeit, Abgeschlagenheit, schmerzbedingte Insomnie und Inappetenz. Die sonstige vegetative Anamnese ist unauffällig. An Vorerkrankungen ist Asthma Bronchiale seit 15 Jahren bekannt, was mit Budesonid Spray 2 Hub 1-0-1 behandelt wird. Mit 11 J. hatte sie einen sportbedingten Knochenbruch, der konservativ mit Gips behandelt wurde. Die Medikamentenanamnese ergab die Einnahme von Aspirin und Anwendung kalter Kompresse, die laut Patientin nur ein bisschen geholfen haben. Meine Verdachtsdiagnose lautet Rheumatoide Arthritis. Differentialdiagnostisch kommen die folgenden in Betracht: Gicht, reaktive Arthritis. Ich schlage folgende diagnostische Maßnahmen vor: - kU <br /> - Laborwerte (CRP, BSG, Rheumafaktor, Harnsäure) <br /> - Sonografie <br /> - Röntgen. <br /> Als Therapie empfehle ich: <br /> - Symptomatische Therapie Ibuprofen <br /> - Methotrexat <br /> - Prednisolon. sj2eam4j5m0w2xex0cbxiylh48zu9u1 1077367 1077366 2026-04-17T10:37:48Z C.Koltzenburg 13981 1077367 wikitext text/x-wiki == Bericht == mit Dank an M.H. [Patient/in] Uschi Strohbach [A (+ GD)] 45 J 19.08.1980 [Gewicht] 77 kg [Größe] 170 cm [All/Unv] Penicillin (Exanthem), Schimmel, Birkenpollen (Dyspnoe) Fisch, Apfel, Eier (Nausea, Emesis) [Genussmittel/ Drogen (FS: Noxen)] Nikotin: ca. 10 PY, rauche zurzeit 3 Zigaretten pro Tag seit 10 Jahren, davor ca. 18 Jahre 0,5 Schachteln pro Tag C2: trinke 1 Glas Rotwein 1 Mal/Woche Drogenkonsum: wurde verneint [SozA] Verheiratet 2 Töchter: 8, 10 Jahre, gesund Grundschullehrerin [FA] V: Herzerkrankung M: DM Typ2 Bruder: gesund Frau Strohbach stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 3 Wochen bestehender dauerhafter beidseitiger brennender ruhebedingter Fingergelenksschmerzen in den Händen (NRS 7/10), mit Bewegungseinschränkungen und morgendlicher Steifigkeit einhergehend und Verbesserung nach Bewegung. Außerdem klagte sie über Fingerverkrümmung, Schwellungen, Überwärmung und Rötung den Fingergelenken an beiden Händen. Am Ellenbogen rechts hat sie die gleichen Symptome und dazu eine Verdickung. Die vegetative Anamnese ergab Müdigkeit, Abgeschlagenheit, schmerzbedingte Insomnie und Inappetenz. Die sonstige vegetative Anamnese ist unauffällig. An Vorerkrankungen ist Asthma Bronchiale seit 15 Jahren bekannt, was mit Budesonid Spray 2 Hub 1-0-1 behandelt wird. Mit 11 J. hatte sie einen sportbedingten Knochenbruch, der konservativ mit Gips behandelt wurde. Die Medikamentenanamnese ergab die Einnahme von Aspirin und Anwendung kalter Kompresse, die laut Patientin nur ein bisschen geholfen haben. Meine Verdachtsdiagnose lautet Rheumatoide Arthritis. Differentialdiagnostisch kommen die folgenden in Betracht: Gicht, reaktive Arthritis. Ich schlage folgende diagnostische Maßnahmen vor: - kU <br /> - Laborwerte (CRP, BSG, Rheumafaktor, Harnsäure) <br /> - Sonografie <br /> - Röntgen. <br /> Als Therapie empfehle ich: <br /> - Symptomatische Therapie Ibuprofen <br /> - Methotrexat <br /> - Prednisolon. == OA-Fragen == Seit wann hat unsere Patientin diese Beschwerden und sind sie alle gleichzeitig aufgetreten? Sind die Schwellungen symmetrisch oder asymmetrisch? Was bedeutet das für Ihre VD? Was wäre andernfalls Ihre VD? Die Patientin sagte, ihr Finger seien gekrümmt. Kennen Sie den Fachbegriff dafür? Welche akuten Komplikationen können auftreten, wenn nicht behandelt wird? Und wie ist es mit chronischen Komplikationen? Was sind die Unterschiede zwischen Rheumatischem Fieber und Rheumatoider Arthritis? Kann also Rheumatoide Arthritis zu Rheumatischem Fieber führen? Was spricht bei unserer Patientin für eine Rheumatoide Arthritis? Sprechen die Symptome am Ellenbogen dafür oder dagegen? Könnte es sich auch um eine Osteomyelitis handeln? Welche apparative Diagnostik ordnen Sie an? Welche Therapie schlagen Sie vor? Was machen Sie, wenn Ihre erste Medikamentenwahl nicht hilft? Spielt Physiotherapie hier eine Rolle oder nicht? Wie ist es mit Ernährungsberatung oder Tipps zur Lebensstilveränderung? Was machen Sie, falls nichts von alledem hilft? esfuo1z0sxxnub3hp6s6r0qfjt9i3ug