Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1077448 1077354 2026-04-18T07:27:02Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1077448 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[/Randwege für Dreiecke/]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale_über_Dreiecke#KorollarDreieck|Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale/]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> g6pu5vtge6erxev60exfap1m1wu5b2n 1077460 1077448 2026-04-18T07:44:47Z Bert Niehaus 20843 /* Funktionentheorie - Teil 2 */ 1077460 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegral"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[/Randwege für Dreiecke/]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale_über_Dreiecke#KorollarDreieck|Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale/]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 36dnptjyt0al1xs0dbmasy6sroy0k08 1077463 1077460 2026-04-18T07:46:52Z Bert Niehaus 20843 /* Funktionentheorie - Teil 2 */ 1077463 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[/Randwege für Dreiecke/]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale_über_Dreiecke#KorollarDreieck|Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale/]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 602glbn84tlzpg2upt5f6yb9cca1462 1077514 1077463 2026-04-18T10:36:50Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1077514 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[/Randwege für Dreiecke#Definition/|Randwegintegral für Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale_über_Dreiecke#KorollarDreieck|Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale/]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> pp4qd71hcxywsykn6yxad1gwdu3n52t 1077515 1077514 2026-04-18T10:37:15Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1077515 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[/Randwege für Dreiecke/#Definition|Randwegintegral für Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale_über_Dreiecke#KorollarDreieck|Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale/]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 7edzaz57wwn431c9zh3tdfcqmdijd2i 1077517 1077515 2026-04-18T10:38:22Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1077517 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale_über_Dreiecke#KorollarDreieck|Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale/]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 0ai0siwsln6hia7u3wtf257e9eri1q6 1077529 1077517 2026-04-18T11:30:43Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1077529 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale_über_Dreiecke#KorollarDreieck|Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> odjxe93vs2k5crct6xkskyqfviy61p7 1077532 1077529 2026-04-18T11:39:23Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1077532 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * [[/Flächenintegrale über Dreiecke/]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * [[/Flächenintegralsatz für Dreiecke/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale_über_Dreiecke#KorollarDreieck|Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> gz41uoncj1x07wifa512k44htutjmpf 0 15230 1077454 1035901 2026-04-18T07:38:04Z Bocardodarapti 2041 1077454 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |SZ=, }} wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |SZ= }} {{ Relationskette/display | R || K[X,Y]/ {{makl| X^2-Y^3 |}} || || || |SZ=. }} Dies ist ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich||SZ= }} nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Normaler Integritätsbereich/X^2-a in R/in Q(R)/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Normalisierung| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normalisierung für Integritätsbereich/Definition |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} gleich dem Polynomring {{mathl|term= K[T] |SZ=}} ist. Skizziere{{n Sie}} die Nullstellenmenge von {{ Relationskette | F || X^2-Y^3 || || || |SZ= }} in der reellen Ebene und finde{{n Sie}} eine Parametrisierung dieses Gebildes. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen noetherschen Integritätsbereiche |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort=Neilsche Parabel |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qt83x8niyecudav75vx4lzpb7gcw1pj 0 22422 1077486 1045447 2026-04-18T09:21:56Z Bocardodarapti 2041 1077486 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation{{{zusatz1|}}} mit {{math|term= a^{-1} |SZ=}} von links folgt, dass nur {{ Relationskette/display | x || a^{-1} {{{v|\circ}}} b || || || |SZ= }} als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Lösung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kjc2hh3zwvg8082bsvqva7bk66m27zn 0 27062 1077519 1037073 2026-04-18T10:44:02Z Bocardodarapti 2041 1077519 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S |SZ=}} die Menge der Städte und {{math|term= A |SZ=}} die Menge der Autobahnen. Dann ist die Beziehung {{Anführung|liegt an|SZ=}} eine Relation {{math|term= L |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= S |und|term2= A |SZ=. }}{{{zusatz1|}}} Zwischen einer Stadt {{ Relationskette | s | \in | S || || || |SZ= }} und einer Autobahn {{ Relationskette | a | \in | A || || || |SZ= }} bedeutet {{ Math/display|term= sLa \text{ oder } L(s,a) |SZ= }} einfach, dass die konkrete Stadt {{math|term= s |SZ=}} an der Autobahn {{math|term= a |SZ=}} liegt. Zu {{math|term= s |SZ=}} ist dann die Menge {{ Relationskette/display |A_s || {{Mengebed|a \in A| L(s,a)}} || || || |SZ= }} die Menge der Autobahnen, an denen {{math|term= s |SZ=}} liegt, und zu {{ Relationskette | a | \in | A || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | S_a || {{Mengebed|s \in S| L(s,a)}} || || || |SZ= }} die Teilmenge der Städte, an denen die Autobahn {{math|term= a |SZ=}} vorbeifährt. Für {{math|term= s=\text{Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} |SZ=}} ergibt sich also {{ Relationskette/display | A_{\text{Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} } || \{A1,A30,A33\} || || || |SZ= }} und für die {{math|term= A1 |SZ=}} ergibt sich {{ Relationskette/display | S_{A1} ||\{\ldots, \text{Hamburg}, \text{Bremen}, \text{Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck}, \ldots \} || || || |SZ=. }} Diese Relation wird vollständig beschrieben, wenn man zu jeder Stadt die daran vorbeiführenden Autobahnen oder aber wenn man zu jeder Autobahn die daran liegenden Städte aufführt. Genauso gut kann man die Relation durch eine Tabelle ausdrücken mit einer Leitzeile für die Autobahnen und einer Leitspalte für die Städte, und wo im Kreuzungspunkt {{mathl|term= (s,a) |SZ=}} genau dann ein Kreuz gemacht wird, wenn {{mathl|term= L(s,a) |SZ=}} gilt. Die Aussage {{ Math/display|term= \forall s (\exists a L(s,a)) |SZ= }} bedeutet, dass jede Stadt an einer Autobahn liegt {{ Zusatz/Klammer |text=wohl falsch| |SZ= }} und die Aussage {{ Math/display|term= \forall a (\exists s L(s,a)) |SZ= }} bedeutet, dass jede Autobahn an mindestens einer Stadt vorbeiführt {{ Zusatz/Klammer |text=wohl wahr| |SZ=. }}{{{zusatz2|}}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Autobahn |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ha618wvdyoo6h3kfm50dyd6ujm40exr 2 56857 1077423 999652 2026-04-17T17:31:41Z Historiograf 2845 /* Quiz Sommersemester 2025 */ 1077423 wikitext text/x-wiki == Quiz Sommersemester 2026 == '''Bitte den Suchweg angeben!''' 1. In Papua-Neuguinea stellte ein Gericht 2025 fest: “Upon investigation by the Court after judgment was reserved, it became clear that the four authorities cited, and summarised, by the lawyer for the defendants in her written submissions were fake”. In welcher Datenbank zu KI-Halluzinationen habe ich die Entscheidung gefunden? 2. Aus welcher besonderen Suchmaschine stammt der Screenshot: * https://archivalia.tumblr.com/post/814092689531437056/quiz Und warum ist das Datum so unglaublich wichtig? 3. “GESUNDHEITS - RADI Man gehe in den Garten so man einen hat, ziehe einen dicken Rettich heraus so man einen gepflanzt hat, wasche ihn ab und esse ihn um 9 Uhr 15 mit einem Stueck Schweizer Kaese”. Die Urheberin dieses Rezepts aus einem Kochbuch von 1916 war eine rheinische Fürstin. In welcher Stadt wurde sie geboren? 4. Untaugliche OCR: “unb Wopon ber ©tabipfarrer in iicnntMH fefet”. Über den politischen Kontext, in dem es um den betreffenden Zeitungsartikel geht, existiert eine moderne Monographie, die in der gleichen digitalen Bibliothek abrufbar ist. Nachname des Autors? 5. “Freyburg im Breisgau, ich sah hier die Domkirche, welche sehr hübsch ist, sie hat schöne Gemählte” - ich finde das Zitat nicht in der Google-Websuche und auch nicht in Google Books. Es soll aus der Beschreibung einer Reise der Gräfin von Hessenstein entnommen sein. Ist es eine KI-Halluzination? 6. Wie heißt das Weblog, in dem im Januar 2026 ein englischsprachiger Beitrag über Erfurter mittelalterliche Handschriften erschien? Mit welcher Kontroverse wurde der Blogger bekannt? 7. Thema Normdaten: Wie kommt man von der Wikipedia möglichst schnell zu * https://prometheus.lmu.de/gnd/4665636-4 ? 8. Hauptstadt ohne Brot, lautet ein Kapitel im dritten Band der Freiburger Stadtgeschichte aus dem Jahr 1992. Kann man den Band elektronisch kostenlos ausleihen oder muss man in die Universitäts-, Seminar- oder Stadtbibliothek gehen, um ihn zu lesen? 9. “Die Verteilung der Hauptsprachen der Erde ist nach einer englischen Statistik ungefähr folgende: Von den 500 Millionen Menschen, welche sich einer Kultursprache bedienen, sprechen 125 Millionen oder der vierte Teil die englische, 90 Millionen die russische, 75 Millionen die deutsche [...] Sprache”. Das Zitat habe ich sprachlich modernisiert und einer Tiroler Tageszeitung entnommen. Aus welchem Jahr stammt es? 10. Im 18. Jahrhundert wurde eine Esslinger Urkunde abgeschrieben, die beweist, dass die vornehme Familie Kilse noch nach 1400 zur Führungsschicht gehörte, also einen Richter stellte. Permalink zum Eintrag in der Archivdatenbank? 11. Machen Sie den Faktencheck! Heute kostet ein halber Liter Ganter Urtrunk im Freiburger Hotel Löwen über 5 Euro. War das schon im Juli 2022 der Fall? 12. Gemini antwortete auf die letzte Frage zunächst falsch, kommentierte dann aber: “Die Lektion für Ihr Quiz: Diese Korrektur ist eigentlich viel wertvoller für Ihre Freiburger Veranstaltung als die ursprüngliche Antwort. Sie können daraus eine exzellente Fallstudie machen”. Wie lautet der Fachausdruck für übermäßiges KI-Geschleime? '''Viel Erfolg!''' == Anhang == Werkzeugkasten: * https://de.wikisource.org/wiki/Wikisource:Bibliographieren Module und Ergebnissicherung zur Freiburger Übung "Google Books und die Wunderwelt digitaler Bibliotheken": * https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Histo/Module 4wf4fjk2nn8wlnxobkztnjljssau97b 3 56866 1077422 999637 2026-04-17T17:26:07Z Historiograf 2845 /* Quiz Sommersemester 2024 */ 1077422 wikitext text/x-wiki == Quiz Herbst 2012 == (1) Wieviele evangelische Einwohner hatte Lautlingen nach der OAB Balingen 1880? (2) In welchem Monat des Jahres 1935 starb Karl Meyer, Heimatforscher von Nordhausen? (3) Marquard von Ried verfasste ein lateinisches Gedicht auf die Wiedergewinnung Jerusalems 1229. Mit welchem Wort beginnt es und wieviele Verse umfasst es? (4) Wo findet sich im Netz, was Eduard Winkelmann 1897 über dieses Gedicht schrieb? (5) Die einzige Handschrift, die dieses Werk überliefert, gehörte zeitweilig einem Kollegium in Wien. Wie hieß diese Lehranstalt? (6) Das erste Wort auf S. 267 von Thomas Müllers Buch "Imaginierter Westen" ist ein Nachname. In welchem Jahr starb diese Person? (7) Wer ließ 1924 25 Kleinstwohnungen im Westteil des ehemaligen Karmeliterklosters in Dahme einbauen? Rückfrage zu 5) Laut dem Unterkirchner-Katalog war ÖNB Cod. 926 nach dem Schottenkloster in Besitz von Bischof Fabri und danach in der Universitätsbibliothek Wien (als Cod. 843). Wo ist jetzt da ein "Kollegium" in der Besitzgeschichte? --[[Benutzer:FA2010|FA2010]] ([[Benutzer Diskussion:FA2010|Diskussion]]) 14:39, 24. Okt. 2012 (CEST) Hab's doch noch gefunden bei http://aleph.onb.ac.at/F/?func=find-b&find_code=IDN&request=AL00175922&local_base=ONB06&adjacent=N Der HANNA-Katalog ist so schlecht gemacht, dass man bei einer Suche nach "926" in "Allen Feldern" keinen einzigen Treffer zum Cod. 926 gewinnt, wenn man allerdings nur im Feld "Signatur" sucht, kommt der Treffer. Was soll dieser Bullshit? --[[Benutzer:FA2010|FA2010]] ([[Benutzer Diskussion:FA2010|Diskussion]]) 20:28, 24. Okt. 2012 (CEST) Ach so, hier meine Antworten: # 94 # August, wenn man der GND glauben will # Virginei partus anno post mille ducentos, in 57 Hexametern # http://www.mgh-bibliothek.de/etc/google/089805+0002.pdf S. 78 # Kollegium St. Nikolaus # 1951 # Wilhelm Blaue --[[Benutzer:FA2010|FA2010]] ([[Benutzer Diskussion:FA2010|Diskussion]]) 16:33, 24. Okt. 2012 (CEST) Andreas du hättest aber auch den Suchweg angeben müssen ... Trotzdem Glückwunsch von Deiner Dich ästimierenden --[[Spezial:Beiträge/84.62.64.31|84.62.64.31]] 21:53, 29. Okt. 2012 (CET) :Von Suchweg war nirgendwo die Rede. --[[Spezial:Beiträge/89.247.148.208|89.247.148.208]] 08:02, 31. Okt. 2012 (CET) == Quiz Sommersemester 2013 - bei Lösungen bitte den Suchweg angeben! == (1) “Überdies schulden die Beamten mit wissenschaftlicher Ausbildung, erst recht die Beamten, die von Amts wegen der Wissenschaft zu dienen haben, ihrem Dienstherrn schöpferische geistige Leistungen, nicht das Absitzen von Dienststunden”. Von wem stammt das Zitat? (2) In welcher Stadt hängt dieses Bild? http://u.jimdo.com/www25/o/sedc697ca741e094c/img/i21acdf0afa288c2a/1280072523/std/die-figur-der-frau.png (3) Gesucht wird der Fundort von http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ludovicus1.jpg Bitte Stadt, in der die Bibliothek liegt, Handschriftennummer und Blattziffer (ohne Band und rb) nennen (4) Welchem Ritterkanton trat der württembergische Kriegsrat Benjamin Bouwinghausen-Wallmerode 1620 laut Volker Press bei? (5) 1904 erschien in einer US-Zeitschrift ein Aufsatz, der unter anderem auf Dichteraudienzen bei Fürsten zu sprechen kommt. Wo gibt es einen kostenlosen Volltext? Bitte URL. (6) Der Kirchheimer Stadtpfarrer Schuler ließ 1607 eine Predigt auf den Amtsantritt eines Amtsbruders drucken. Ein erhaltenes Exemplar des Drucks stammt aus einer schlesischen Schlossbibliothek. Wie lautet der von einem Frauennamen abgeleitete deutsche Name des Schlosses? (7) “Wer Probleme hat, hat keine Moral, denn Probleme sind komplex, und die Moral ist einfach”, schrieb Walter Haug einmal. Gesucht wird das drittletzte Wort auf derjenigen Seite des Wiederabdrucks von 1995, auf der dieses Zitat steht. (8) Welcher damals in Bonn wohnhafte wissenschaftliche Assistent bot im Sommersemester 1976 an einer rheinischen Universität ein Proseminar “Adelsbibliotheken in der frühen Neuzeit” an? (9) Von einem nahen Verwandten, Ratsmitglied in Konstanz, erhielt ein Reformator ein lateinisch-deutsches Epitaph vom Reichstag in Speyer, das er im Sommer 1529 einem Freund mitteilte. Wie hieß die junge Frau, die angeblich von einem Bischof (1530 wurde er Kardinal) so geschändet wurde, dass sie verstarb und in Speyer begraben wurde, und welche Nummer hat der Brief mit dem Gedicht in der Ausgabe der Briefe des Reformators? (Kein US-Proxy nötig!) (10) Der spätere Bischof - er hatte in Bologna studiert - hieb im Frühjahr 1511 auf einem Turnier seinem Gegner den Arm ab und wurde daraufhin Geistlicher. Am 15. Mai 1516 ist er als Propst eines Marienstifts bezeugt. Wie lautet der Name der Stadt, in der das Stift lag, auf Tschechisch? (11) Wie hieß der Zahnarzt, der beim Typhus-Prozess im Juli 1950 als Zeuge zu beweisen versuchte, dass die von der Stadt Neuötting bezogenen Mengen Chlors bei weitem nicht für die Chlorung des Trinkwassers ausgereicht haben könnten? (12) Gesucht wird ein Digitalisat von “Tractatus de partitionibus bonorum” und zwar von der Ausgabe Genf 1756. Bitte URL. (13) Eine Frau schrieb auf, was einer anderen Frau (GND Nr. 136846505) auf der Flucht passierte. Die einzige Handschrift des Berichts enthält als erstes Wort auf Blatt 2r einen Vornamen. Wie lautet er? == Quiz Wintersemester 2013/14 - bei Lösungen bitte den Suchweg angeben! == (1) In welchem Jahr erwirkte Hexenhammer-Autor Heinrich Kramer einen Ablass für einen Kreuzweg in Merklingen bei Weil der Stadt? (2) Wo kann man den Revisions-Antrag der als Hexe beschuldigten Penzliner Bürgerin Benigna Schultzen vom 24. Januar 1709 abgedruckt nachlesen (Link)? (3) In einem Google-Schnipsel findet sich etwas über einen Hexenprozess in Halberstadt: http://books.google.de/books?&id=yEraAAAAMAAJ&q=macholdt Wo können die einschlägigen Buchseiten 39 und 40 kostenlos eingesehen werden (Link)? (4) Blick in die Welt: “Noch heute, im Jahre 1964, gibt es in England Tausende von Menschen, die allen Ernstes daran glauben, daß es Hexen gibt”. An welchem Tag erschien der Zeitungsartikel und wo ist er zu finden (Link)? (5) Ein Ministeriale übergab gemeinsam mit seinem Bruder 1147 Güter in Westhausen (Ostalbkreis) einem Kloster. Das Rechtsgeschäft wurde in einem Codex vermerkt. Wie lautet das erste Wort der dritten Zeile dieses Original-Eintrags? (6) Gesucht wird ein Bildnachweis (Link, einer von mehreren möglichen) für eine mittelalterliche Buchmalerei: Eine Klosterfrau pflückt männliche Glieder von einem Baum. (7) Welches Schloss zeigt dieses Bild? http://www.flickr.com/photos/34028941@N00/10318421593/ (8) Eine reale Anfrage in einer Mailingliste: Der Katalog der französischen Bücher der Privatbibliothek von Francesco Gonzaga in Mantua wurde im 19. Jahrhundert in der Zeitschrift “Romania” publiziert. Gibt es auch eine Edition des Teils mit den lateinischen Büchern? Bitte ggf. bibliographische Angaben. (9) Die Hauptkuppel eines astronomischen Observatoriums, von dem die “Gartenlaube” berichtete, lief auf Rollen, “deren Spitzen in das Centrum der Kuppelhalbkugel zielen”. In welcher Stadt lag es und in welchem Jahr erschien der Artikel? (10) Aus einem lateinischen Traktat stammen diese Worte: “Vinum insuper aeternae felicitatis”. Wer war sein Autor (glaubt man der Wikipedia, die den im Handschriftenkatalog einer US-Bibliothek nicht erkannten Text identifiziert hat)? == Quiz Sommersemester 2014 - Bitte den Suchweg dokumentieren == Nur kostenlose Online-Quellen! 1. Einen “überaus geschickten Fälscher” habe ein älterer Autor einen berühmten Schweizer Historiker genannt, so Bernhard Stettler. a) Wer war der Autor, der sich so über den Historiker äußerte? b) Wie lauten die ersten drei Worte auf der Seite der Originalveröffentlichung dieses Verdikts? c) Unter welchem DOI (Link angeben!) kann diese Originalveröffentlichung kostenlos eingesehen werden? d) Hat Stettler die drei Worte (siehe Satz 1) exakt zitiert? 2. Lind war er mit süßen Worten und ritt ein Pferd mit einem Kopf wie ein Stier. a) Von welchem Held ist die Rede? (Gesucht sind die drei ersten Buchstaben seines Nachnamens.) b) Auf welcher Seite der Ende des 19. Jahrhunderts vorgelegten kritischen Edition des Textes, aus dem obige Angaben stammen, kommen Schwaben vor? 3. Nils Grosch hat in seiner Habilitationsschrift den angeblich ältesten Textdruck vom populären Lied “Entlaubet ist der Walde” irrtümlich einem Ulmer Frühdrucker zugewiesen. Wie datiert der Gesamtkatalog der Wiegendrucke denjenigen Einblattdruck, der als Holzschnitt (abgebildet bei Schramm) die gleichen beiden alten Menschen zeigt wie der erwähnte Textdruck? 4. Geben Sie bitte den Persistent Link des Digitalisats der kompletten Handschrift an, aus der das folgende Bild stammt: http://37.media.tumblr.com/94966dfc22ef6a77b61a936782663a0b/tumblr_n4ejzi3Qsu1r3ksi6o1_500.jpg 5. Das Schwarzbilsenkraut, sagt ein Buch von 1799, wächst “bey uns auf dem Kirchhof zur Lage, bey Blomberg, Wendlinghausen etc.”. a) Auf welcher Seite steht das Zitat? b) In welchem Jahr starb der Herausgeber? 6. In welcher Stadt befindet sich eine Bibliothek, die eine Volltextsuche für Digitalisate anbietet, der man einen Beleg für den Begriff Raubritter 1778 entnehmen kann? 7. a) Wie nannte man im Mittelalter ein Gestell am Kachelofen, auf dem man auch liegen konnte? b) Die im Internet auffindbare Erklärung stammt aus dem Buch eines preisgekrönten Germanisten. Wie lautet das drittletzte Wort auf der gleichen Seite? 8. In einer Pseudo-Chronik heißt es irgendwo: “und begnüge mich mit dem 90. Psalm”. Gesucht wird die persistente URL der Seite mit dieser Stelle. 9. Auf https:// [bitte Zusammensetzen, Wikimedia-Spamfilter blockiert!] flic.kr/p/nn2kzg ist unten abgeschnitten, wieviele Anteile beim Ersten Mädchen-Ausstattungsverein im ersten Halbjahr 1900 eingeschrieben wurden. Wieviele waren es? 10. In einem Nachschlagewerk liest man: “der erste Teil handelt von der … als Ursprung der Seligkeit”. a) Wie ist die Lücke auszufüllen? b) Um welchen mittelalterlichen Autor geht es? == Quiz Wintersemester 2014/15 - Bitte den Suchweg dokumentieren == Nur kostenlose Online-Quellen! 1. Wer wird auf dem Bild gehäutet? http://41.media.tumblr.com/tumblr_lam2glB0cI1qdfa5lo1_500.jpg 2. Der protestantische Prediger Margitai bezieht sich auf die Geschichte in seinen 1621 in Debrezin gedruckten ungarischen Predigten. Nennt er eigentlich die Quelle Herodot? 3. Ein ungarischer Forscher hat bei den einzelnen Geschichten dieser Predigtsammlung unter anderem die Tubach-Nummer angegeben. Welche ist es in diesem Fall? 4. Ein US-Volkskundler hat die Geschichte in einem bekannten Katalog mit "Wisdom from continual reminder of foolishness in the past" verzeichnet. Wie lautet die GND-Nummer dieser Person? 5. Wie oft verweist die “Enzyklopädie des Märchens” auf die Kennung im gerade genannten bekannten Katalog? 6. Im gleichen Katalog gibt es auch einen Eintrag zum Häuten, in dem die Sagensammlung eines Schweizer Schriftstellers erwähnt wird. Wie lautet dessen Nachname? 7. Gruselig: “In aller Angst lief der Hirte davon, und als er zurückschaute, spreitete der Teufel gerade die Haut des Sennen auf dem Hüttendach aus”. Kurz davor wird gesagt, durch welche Öffnung der Hirte die Häutung sehen konnte. Welche Bezeichnung für diese Öffnung wählte die Sagensammlung? 8. Die gerade genannte Sagensammlung enthält 16 Zeichnungen eines Illustrators. Gesucht wird genaues Geburtsdatum und Geburtsort dieses Illustrators. 9. In der ersten Aufsichtsratssitzung der neu gegründeten Kriegschemikalien Aktiengesellschaft am 28. September 1914 wurde der Mietvertrag über ein Geschäftslokal gutgeheißen. Der Vertragspartner war eine Firma, die nach diversen Fusionen heute noch als Privatbank existiert. Wie lautet ihr heutiger Name und wie hieß die Firma damals? 10. Wie teuer war Straubes historische Novelle “Die Schweden vor Brünn” im November 1843 in Joseph Eberles Buchhandlung? 11. In welchem alten Druck aus dem Jahr 1732 (Link der Seite aus dem Digitalisat angeben!) wird die Schlussschrift der derzeit nicht in einem Exemplar nachweisbaren Inkunabel “GW M30968” zitiert? 12. “Lustra venenatis postquam montana sagittis” ist eine Zeile neulateinischer Poesie, für die http://www.philological.bham.ac.uk/BIBLIOGRAPHY/l.html einen E-Text-Nachweis bot. Wo kann man diesen am ursprünglichen Ort verschwundenen E-Text im Netz nachlesen? 13. “Von Nadelfleisch von Rind wird ein Gulyas gemacht”. So beginnt ein Rezept in einem zweisprachigen Kochbuch. Wer wird als Urheberin dieses Rezepts angegeben? 14. Wann und wo heiratete diese Dame? 15. Welche griechische Stadtbibliothek hat Gardthausens Palaeographie (1879) ins Netz gestellt? == Quiz Sommersemester 2015 - bitte den Suchweg dokumentieren == Nur kostenlose Internetquellen. (1) Wo findet man den Volltext des Aufsatzes, zu dem das folgende Bild gehört? https://www.flickr.com/photos/34028941@N00/16911106440/ (2) In welchem Jahr wurde der schwedische Zahnarzt geboren, der laut einer medizinhistorischen Fachbibliographie am 6. März 1953 in der Stockholmer zahnmedizinischen Vereinigung einen Vortrag hielt? (3) Nach Vancouver hat es eine “kurzweilige histori” verschlagen. Welchem fürstlichen Haus gehörte der alte Druck früher? (4) Welches wichtige Nachweisinstrument gibt der folgende Screenshot wieder? https://www.flickr.com/photos/34028941@N00/16838080839/ (5) Mit grotesk falschen Metadaten ist die deutsche Übersetzung (1919) der “Schritten” (!) einer 1582 gestorbenen spanischen Mystikerin online. In der Europeana ist die Digitale Bibliothek, die das Digitalisat anbietet, sonst gut vertreten, aber dieses Buch fehlt. Welche Datenbank in DBIS (URL!) hilft weiter, wenn man die Verschreibung “Schritten” kennt (oder den spanischen Namen der Heiligen)? 6) Niederbayerische Prämonstratenser trugen im Mittelalter und darüber hinaus die Namen und Todesdaten ihrer Äbte auf zwei Seiten einer ihrer Handschriften ein. Einer der Äbte vor 1500 starb am Tag “Marcellini et Petri”. Wo ist die betreffende Handschriftenseite im Netz einsehbar (persistenter Link)? An welchem Wochentag starb der Abt? Ein Mettener Benediktiner veröffentlichte im 19. Jahrhundert diese Abtsliste in der Zeitschrift eines historischen Vereins. Gesucht wird der Link zur für diesen Eintrag einschlägigen Seite eines (ohne US-Proxy zugänglichen, aber schlechten) Digitalisats. (7) “Mit dem Schriftsteller Utrillo gebummelt. In der Kathedrale fühlt man sich anfangs wie in einem Tunnel”. Über welche Stadt schrieb Julius Meier-Graefe diese Sätze, und wo kann man die Erstausgabe seines Reisetagebuchs ohne US-Proxy einsehen (Link zum PDF)? (8) Ein Schnipsel aus Google Books: https://www.flickr.com/photos/34028941@N00/16380492414/ Wie hieß der Kanzler? == Quiz Wintersemester 2015/16 == Bitte Suchweg dokumentieren! [1] Seine Stücke waren ohne “soziale Schärfe”, und den rohen Kasperl auf der Dult hat der Gesuchte literarisiert. Wie hießen der vielseitige Graf (Familienname) und seine narzisstische Kasperl-Hauptfigur? [2] Apropos Kasperl: Von wem stammt die hier ausschnittsweise gezeigte Darstellung? http://archivalia.tumblr.com/post/131443299580/kasperl [3] Werfen wir nun einen Blick auf ein Scherzrätsel: http://archivalia.tumblr.com/post/131444952405 Welche Tiere nennt der Schüler seinem Lehrer in dem Witz, der direkt über der Auflösung des Rätsels steht? [4] Ein wissenschaftlicher Aufsatz aus dem Jahr 1970 zitiert die Worte: "hic rursum munere laetus obtulit hanc Soli". Gesucht ist der anklickbare DOI der nicht frei verfügbaren Publikation, die man aber unter bestimmten Bedingungen kostenlos einsehen kann. [5] “Wir Brider drei” ist eine baltendeutsche Schwankaufzeichnung, die in der mehrere Texte umfassenden Feldforschungsaufnahme gefolgt wird von einer Erzählung, in der es um eine Frau geht, die ein schwarzes Kleid braucht. Wie hieß die Frau? [6] Im ersten großen erfolgreichen deutschen Massenblatt erschien ein Aufsatz, aus dem folgendes Textbruchstück stammt: “über Roland und die anderen großen Helden und über die fahrenden Frauen zur Zeit Karls des Großen". Wie lautet sein Titel? [7] "must tlierelnre still Im nincivd up at oighl" - was mag das wohl - übersetzt aus der Ausgabe von Optical Character Recognition - heißen? Wenn man die große digitale Bibliothek nicht kennt, in der es eben nicht nur Google-Scans gibt, dann hilft einem weder der Hinweis auf eine alte Gartenzeitschrift 1866 noch der Ortsname Amherst. [8] Wann verkauften Heinrich “van Loyvenbuurgh” und seine Gemahlin Lysa den Gebrüdern Rost eine Leibzuchtrente von 12 Malter Roggen aus ihrem Hof (mit gleichem Namen L.), und welcher Wikipedia-Artikel unterrichtet über dieses ehemals adelige Anwesen? [9] Ein friesisches Sprichwort “Pankratius halet sine Tüffelen wedder” ist schon in einer Chronik von 1666 belegt. Gesucht wird der Link zur Seite des Digitalisats. [10] “Hexen-Peter” kämpfte vergebens gegen Gespenster, lautete die Überschrift eines Artikels über einen Bauern, der seinen Heimatort im damaligen niederbayerischen Landkreis Rottenburg verließ, da er der Ansicht war, dass die Hexen gesiegt hätten. An welchem Tag erschien der Zeitungsartikel? [11] Er wurde in Barmen bei Jülich geboren und dient nun einem der Geschichtsvereine seiner Heimat als Kassierer. Aber wer war sein Vorgänger in diesem Amt am 14. November 2003? [12] Wer schaut in der Open-Access-Woche (jetzt!) so unverwandt ins Repositorium? Die gesuchte Suchmaschine heißt nicht Cuisine, in der man eine studentische Arbeit findet, die doch tatsächlich das Buch mit der I S B N 3896024043 zitiert. Wer betreibt die Suchmaschine und wie lautet der Name der Autorin? == Quiz Sommersemester 2016 == Bitte den Suchweg dokumentieren! [1] In welchem Ort wurde die Tracht getragen, die diesen Hochzeiter kleidet? http://archivalia.tumblr.com/post/142809192985/costume-saec-xix [2] http://archivalia.tumblr.com/post/142811624030/newspaper-clip An welchem Tag erschien die Zeitung, aus der der Ausschnitt stammt? [3] Das Hamburger Abendblatt verweist bei der Redewendung “einen Sack Flöhe hüten” auf die lateinische Sprichwörtersammlung eines deutschen Humanisten, aber https://books.google.de/books?id=UVXZAAAAMAAJ&q=%22sack+fl%C3%B6he%22 legt einen älteren Nachweis nahe. Gesucht wird die Stelle (Seitenzahl) in der Ausgabe der genannten lateinischen Sprichwörtersammlung 1879, der Link zur Seite im vollständigen Abdruck des in dem Schnipsel genannten Schreibens an den Markgrafen von Baden und die Nummer in den “Regesten der Markgrafen von Baden”. [4] Mit welcher Suchmaschine oder Metasuchmaschine findet man den Wortlaut des Gedichts eines schwäbischen Arbeiterdichters, aus dem die Worte stammen: “Ich bin ins Joch geschmiedet / Im dunstigen Maschinensaal” [5] In welchem Gasthaus in Baden hielt Dr. C. H. Moetteli am 14. Dezember 1943 seinen Vortrag “Die Schweizerische Wirtschaft und die Nachkriegszeit”? [6] Wo erschien das Kochbuch, aus dem das folgende Rezept stammt? http://archivalia.tumblr.com/post/142821977505 [7] 2003 gab es eine kleine Internet-Diskussion um Verkäufe von Inkunabel-Dubletten. Zur Sprache kam auch ein Einblattdruck, von dem ein Exemplar aus der Zisterze Schöntal stammte. Für wieviel Dollar wurde er 1987 ersteigert? In welcher von einem einzelnen Wissenschaftler aufgebauten, im Internet zugänglichen Datenbank (bitte URL angeben) findet man, dass ein Straßburger Druck von 1488 bei Sotheby’s am 21, November 1989 versteigert wurde, der der gleichen Klosterbibliothek angehörte? [8] In einer Studie von 2012 wird “a now lost wall painting in the abbey at Lorsch in Swabia” erwähnt. Welcher württembergische Pfarrer (bitte auch GND angeben) widmete dieser merkwürdigen Darstellung ein Gedicht, und wo findet man im Netz die komplette Farbabbildung einer besonders eindrucksvollen Darstellung des gleichen Bildmotivs in einem Psalter aus Amiens (13. Jahrhundert)? [9] http://archivalia.tumblr.com/post/142804226840/manuscript-saec-xi Es geht am Anfang um Benedikt und das allererste Kloster seines Ordens. Die Schriftzüge (eine Beneventana genannte Schönschrift) sind schwierig zu entziffern, selbst für den, der deutsche Handschriften des 11. Jahrhunderts einigermaßen lesen kann. Aber da die mehrfach gedruckten Verse (eine Huldigung an einen Abt und späteren Papst) auch im Internet präsent sind, braucht man nur ganz wenige Bruckstücke des Texts, um ihn zu identifizieren und die Nummer in der allgemeinen Reihe der lateinischen Handschriften der päpstlichen Bibliothek herauszufinden. Gesucht wird neben dieser Nummer auch die “Persistent URL” der abgebildeten Seite. [10] Seit 1094 leben Benediktiner in ?, dessen Bibliothek ein im April 2016 ins Netz gestelltes Manuskript des 12. Jahrhunderts verwahrt, in der sich eine Erzählung über die Wahl König ? findet. Der erste Buchstabe von Zeile 4 des Textes in der Handschrift ist ein: ?, und der Nachname des Autors, der sich 1910 auf 20 Seiten über das Geschichtswerk ausließ, lautet: ?. Sieht man den Lückentext ???? als Akrostichon an, erhält man eine Archivabkürzung. In welchem Jahr wurde die Stadt gegründet, in der das Archiv liegt? Viel Erfolg! == Quiz Wintersemester 2016/17 == '''Bitte den Suchweg dokumentieren!''' (1) http://archivalia.tumblr.com/image/151948614920 Es gibt eine Spezialsuchmaschine, die eine Menge Fragen beantwortet, bei denen Google versagt. Wie heißt sie? (2) http://archivalia.tumblr.com/image/151714120700 Wer malte das links angeschnittene Bild? Welche Website zeigt der Screenshot? (3) Auf seinen Reisen, vor allem in den Sabinerbergen, schuf er Landschaften und idyllische Genreszenen, etwa die Marienprozession im Sabinergebirge. Was wurde laut Festkarte beim Bankett anlässlich seines 70. Geburtstags nach der Poularde de Bresse rotie gereicht? (4) Welchem Autor ging es um die “Bestätigung der von Kurrelmeyer und Schirokauer vermuteten Erklärung des Ursprungs” eines Sprichworts? Wo ist der Autor geboren und welchen ersten Vornamen trug seine Ehefrau? (5) Ein Mitglied der Wiener Staatsoper singt. http://archivalia.tumblr.com/post/151708178905/a-member-of-the-vienna-state-opera-singsexcerpt Gesucht wird der offizielle Permanentlink der Aufnahme (natürlich auf der Ursprungsseite). Gibt es noch eine weitere frei zugängliche Aufnahme der gleichen Arie mit einem solchem dauerhaften Link? (6) http://archivalia.tumblr.com/image/151712414675 Welches Suchwerkzeug (Link) zeigt der Screenshot? (7) http://archivalia.tumblr.com/post/151722506855 An welchem Wochentag fand die Vorstellung 1928 statt? (8) “Wer werd dann uf den schene Dag <br> Nit aach uf Derkem fahre” Wie lautet der Titel des Gedichts (aus einem 1893 bei Groos erschienen Band, den es als Digitalisat gibt), bei dem es um ein noch heute bestehendes Volksfest geht? Um welches? (9) http://archivalia.tumblr.com/image/151727127640 Welche reichsstädtische Markung zeigt die alte Karte? Und wer hat sie gemalt? (10) http://archivalia.tumblr.com/image/151719382635 An welchem Tag erschien der Zeitungsartikel? (11) Rüdiger von Hinkhoven griff im 13. Jahrhundert in seiner Erzählung “Der Schlegel” einen weitverbreiteten Stoff auf, zu dem es in der Enzyklopädie des Märchens einen Artikel gibt. Wie lautet der Titel des Artikels, in welcher Fußnote wird auf den “Schlegel” Bezug genommen und wie findet man den Artikel? (12) http://archivalia.tumblr.com/post/151947918715/coat-of-arms-saec-xviii Auf dem Bild sieht man zwei sogenannte "redende" Wappen. Eines gehört dem Vorsteher des Klosters (genauer: regulierten Chorherrenstifts), eines einer mittelalterlichen Adelsfamilie. Wie geht die Beschriftung des Originalbilds weiter: “Wappen des Prälaten zu …”? (13) Wie lautet der heutige Name der Stadt, in der 1451 ein Schreiben zugunsten von Niclusz Palcz, Herold des Herzogs von Burgund, ausgestellt wurde? (14) https://digipress2.digitale-sammlungen.de/view/bsb00085866_00845_u001/4?cq=burre%C3%9F Wurde eigentlich der 15-jährige Teenager Adam Burress aus Havaco wie vorgesehen am 29. Oktober 1926 gehängt? '''Viel Erfolg!''' == Quiz Sommersemester 2017 == '''Bitte den Suchweg dokumentieren!''' [1] http://archivalia.tumblr.com/post/159581714265 In welcher Stadt wurde dieses Bild aufgenommen? [2] Dem Bibliothekar wurde 1910 “der Amtstitel Direktor verliehen”. Gesucht ist sein genaues Todesdatum. [3] Ulrich Falk, Zur Folter im deutschen Strafprozeß. Das Regelungsmodell von Benedict Carpzov (1595-1666) (20. Juni 2001), in forum historiae iuris, http://www.forhistiur.de/2001-06-falk/ Mit welchen zwei Autoren/Autorinnen-Namen aus den Anmerkungen - erlaubt sind nur Schriften ausdrücklich zum Thema Folter und natürlich nicht Falk oder Carpzov - kann man den Aufsatz in der Google-Websuche auf Platz 1 einer Trefferliste befördern? [4] https://books.google.de/books?id=EKqlDAAAQBAJ&pg=PA242 Wie bekommt man die darauffolgende Seite zu Gesicht? [5] http://archivalia.tumblr.com/post/159580122755 Wann erschien das Familienbuch, aus dem der abgebildete Ausschnitt stammt? [6] “Die Ernennung Gregor Hövelmanns zum Leiter des Kreisarchivs in Geldern am 1. August 1969 war für viele” was? [7] “Sulnapmett bal ganje” ist nicht Klingonisch, sondern Optical Character Recognition für? [8] http://archivalia.tumblr.com/post/159580909960 Mit welchem “Zitierlink” (Permalink) ist diese Abbildung aus einer Satirezeitschrift erreichbar? [9] http://archivalia.tumblr.com/post/159585908575 Unter welchem Permalink findet man den Wörterbuch-Eintrag, aus dem dieser Auszug stammt? [10] http://archivalia.tumblr.com/post/159579289090 Wann erschien der Artikel mit der Erwähnung des Irenenrings? [11] Wann wurde der spätere Mainzer Professor Leonhard Buranus zum Doktor der Theologie promoviert? [12] Wie lautet die erste Zeile des auf der Internetseite “Hexen im Internet. Ein virtueller Spaziergang durch das Angebot wissenschaftlicher, kommerzieller und ‘abgedrehter’ Websites” verlinkten Gedichtes über das Ende der Hexenverfolgungen? [13] “ein altes Sprichwort (1:15) lautet Holzkasten”, behauptet eine ganz besondere Suchmaschine. Wie muss “Holzkasten” richtig heißen? [14] http://archivalia.tumblr.com/post/159565142140 zeigt ein Digitalisat. Von wann stammt das im Darin-Vermerk der zugehörigen Verzeichnungseinheit aufgeführte Dokument? '''Viel Erfolg!''' == Quiz Wintersemester 2017/18 == (1) In Paris erinnert gerade eine Ausstellung an eine Chansonsängerin, deren Lied über eine deutsche Stadt (welche?) Symbol der deutsch-französischen Aussöhnung wurde. Auf YouTube gibt es eine deutsche Version mit Lyrics. Auf wen spielt die Erwähnung der Märchen an? (2) http://archivalia.tumblr.com/post/166479314095 Welches Museum in New York verwahrt diese Miniatur? (3) http://archivalia.tumblr.com/post/166475997850 Unter welchem Persistent Uniform Resource Locator ist das retrodigitalisierte Werk von 1902 abrufbar, aus dem die Seite stammt? (4) Eine App (für Android und iOS) ermöglicht es, mit dem Smartphone mit Bibliotheken weltweit zu bibliothekarischen Auskunftszwecken zu chatten. Welche deutsche Bibliothek nimmt teil? (5) http://archivalia.tumblr.com/image/166483046350 Von welcher Suchmaschine stammt die Trefferliste? (6) http://archivalia.tumblr.com/image/166478813190 In welchem Kino lief denn der Film mit Lil Dagover? (7) https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/da/Gnd_beacon.jpg Um wen geht es? Wie kommt man an diese Trefferliste? (8) Wolf Erich Kellner veröffentlichte 1962 das Buch “Johann Philipp Chelius (1610–1683). Die Reichsstadt Wetzlar und die Anfänge ihrer Geschichtsschreibung”. Sollte man nicht annehmen, dass es egal ist, ob man bei Google Books nach *"Johann Philipp Chelius (1610–1683)" *kellner chelius wetzlar *"1683 die reichsstadt" *"1683 die reichsstadt wetzlar" sucht, wenn man Arbeiten finden möchte, in denen dieses Werk zitiert wird? Da die Trefferlisten differieren, ist eine Abfrage zu finden, die die meisten solcher Zitationen enthält. Wo findet man heraus, auf welcher Seite das Werk in den Nassauischen Annalen 1969 erwähnt wird? Und welche Seite ist es? (9) Von welcher Website stammt der folgende Screenshot: http://archivalia.tumblr.com/image/166474908430 Um welche Person geht es, und wann erschien das Werk, das 1889 ins Italienische übersetzt wurde? (10) Gesucht wird für eine Fernleihe die bibliographische Angabe des Aufsatzes, aus dem die ersten beiden Schnipsel auf https://books.google.de/books?id=KFhmAAAAMAAJ&q=Hehr stammen. (11) In welchem Jahr wurde das gute Stück versteigert? http://archivalia.tumblr.com/image/166481828915 (12) 1914 verstarb in Gray ein angesehener Hymenopterologe. Wie heißt das Portal, das einen ausführlichen zeitgenössischen Nachruf kostenlos als Faksimile bereitstellt? (13) Auf https://books.google.de/books?id=Nl04AQAAIAAJ&pg=PA91 geht es um ein Kölner Gedicht in einer Trierer Handschrift, die inzwischen digitalisiert im Internet einzusehen ist. Welche Nummer hat der Scan der Seite, auf der das Gedicht beginnt? (14) http://archivalia.tumblr.com/image/166482587945 Wer hat den Adventskalender-Wettbewerb gewonnen? '''Viel Erfolg!''' == Quiz Sommersemester 2018 == '''Bitte Suchweg dokumentieren!''' (1) http://archivalia.tumblr.com/post/172902510075 (2) Seit welchem Jahr ist die Handschrift online, aus der die abgebildete Initiale stammt? http://archivalia.tumblr.com/post/172899140760 (3) Oswald Kabasta dirigierte eine Aufnahme der Brasilianischen Impressionen von Respighi. Welche europäische Nationalbibliothek ermöglicht, die Aufnahme online anzuhören? Wie findet man diese Information, wenn man keine Volltextsuchmaschine benutzen darf? (4) Auf dem Screenshot http://archivalia.tumblr.com/post/172896413920 sieht man Links zu verschiedenen Recherchewerkzeugen. a) Mit welchem Werkzeug kann man am besten die Frage beantworten “An welchem Tag wurde in Alaska 2001 der jährliche Kälterekord (-41 Grad Celsius) erreicht”? b) Welcher Tag war es? c) Von welcher Website (URL) stammt der Screenshot? (5) Wo sucht man am besten, wenn man herausfinden will, in welchen Büchern von 2011 “Schatzgräber” in einer Kapitelüberschrift vorkommt? (6) “VnI DeotrIno”. So beginnt eine kurze lateinische Inschrift, in der nicht ohne Grund bestimmte Buchstaben abweichend vom sonstigen Gebrauch großgeschrieben sind. Sie befindet sich in einer Pfarrkirche im Landkreis Augsburg, die dem Halswehpatron geweiht ist. Auf welche Jahreszahl führt die Inschrift und welche Angabe zur genauen Lage der Inschrift liefert der “Dehio”? (7) http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b6000369q/f218.image.r Was macht die Nonne da links unten? Ähnliche Darstellungen gibt es ein paar, auch auf Burgen und auf einem Kästchen in einem südwestdeutschen Museum. In einer einschlägigen Dissertation wird als Vergleichsbeispiel ein spätmittelalterliches Keramikobjekt vom Mittelrhein abgebildet. Welchen Vornamen trug der berühmte private Sammler, der es besaß, bevor es an das österreichische Museum gelangte, in dem es heute verwahrt wird? (8) Welche Suchmaschine lieferte die folgende Trefferliste? http://archivalia.tumblr.com/post/172898805720 (9) Um das Digitalisat zu verlinken, aus dem der Ausschnitt http://archivalia.tumblr.com/post/172910734315 stammt, verwendet man welchen Persistent Uniform Resource Locator? (10) Ein Wunderheiler machte 1949 Reporter mit ein paar Schluck Milch betrunken, meldete eine niederbayerische Tageszeitung. a) In welchem Monat erschien der Artikel? b) Unter welcher GND-Nummer ist der angebliche Heiler registriert? (11) Wer schrieb die folgenden Worte: “D. K. Wilgus bemoans the fact that in many cases folklorists are simply at the mercy of song collectors”? (12) Ein sehr spezielles Suchwerkzeug hat sich beim Anhören eines Radiobeitrags von 2013 verhört: “herausfinden wie Menschen von Tausend Namen gebaut und gewerkelt haben”. Es geht um ein umstrittenes Projekt, das vor wenigen Tagen eine Kooperation mit einer Universität eingegangen ist. Mit welcher? (13) Wer unterzeichnete die auf dem Bild sichtbare Vorbemerkung zur Aufzeichnung des Dr. Beer? http://archivalia.tumblr.com/post/172907944160 (14) Zu übersetzen ist folgende OCR-Passage: “bes rebegewonbten Sfirofefforo 3wcicr”. (15) Angenommen, man weiß nicht, dass es eine Bachelorarbeit “Frauen im Tatort“ gibt. Gesucht ist eine möglichst realistische Suchabfrage für die Google Websuche, mit der man https://monami.hs-mittweida.de/files/4310/Bachelor1.pdf unter den ersten 10 Treffern findet. Die Begriffe der Metadaten (Frauen, Tatort, Kommissarin, Neumann-Mangoldt usw.) dürfen nicht verwendet werden. Bei welcher Metadatensuche landet die Studie bei der Suche nach “Tatort” auf Platz 3? '''Viel Erfolg!''' == Quiz Wintersemester 2018/19 == '''Bitte den Suchweg möglichst genau angeben!''' (1) "Im Bestreben nach umfassender schriftlicher Fixierung", heißt es in einem Aufsatz. Gesucht ist das vierte Wort dieses Artikels. (2) http://archivalia.tumblr.com/post/178864348580 Was steht im geschwärzten Bereich? (3) Wer sich die Rechenaufgaben auf https://archivalia.hypotheses.org/63172 anschaut, staunt Bauklötze, was Lehramtsbewerber anno 1905 im Kopf rechnen können mussten. Gesucht ist die Lösung der Aufgabe 3 (Schriftliches Rechnen). Rechnen oder die Antwort nachschlagen! (4) Wide wide witt bum bum, singen wir mit https://www.youtube.com/watch?v=nOp334i0OPE und fragen uns, wo wir einen Scan des Erstabdrucks eines Dokuments finden, aus dem eine Texterkennung “bekräfftiget So geschehen zu Rochtitz, den 27. Febr. 1619” ausgezogen hat. Bitte die richtige Jahreszahl und den offiziellen Permalink der Seite angeben! (5) In der Wikipedia fand ich folgende unvollständige bibliographische Angabe: Georg Lau: Der Franziskanermönch Ludolphus Naamani Gesucht wird der Titel der Zeitschrift, der Ort, an dem man ein Exemplar von ihr einsehen kann, das Erscheinungsjahr und die genauen Seitenzahlen. (6) Bleiben wir kurz bei der Wikipedia. In welchem Monat ist der Wikipedianer geboren, der im Artikel über den ersten mittelalterlichen Übersetzer der Werke Homers ins Lateinische nähere Angaben über eine Pariser Handschrift einbrachte? (7) Die Ereignisse in Chemnitz 2018 hatten Vorläufer. Ein Film “greift die Ausschreitungen gegen die Ausländer im Sonnenblumenhaus (Rostock-Lichtenhagen) im August 1992 auf. Die Arbeit versucht sich über eine Filmanalyse der Frage zu nähern, ob der Spielfilm den historischen Ereignissen gerecht werden kann”. Unter welchem Uniform Resource Name ist die Bachelorarbeit einsehbar? (8) Welchen Namen trägt die höchst nützliche Website, von der folgender Screenshot stammt? http://archivalia.tumblr.com/post/178862452190 (9) Apropos Postmeister. In einer genealogischen Mailingliste wurde nach der Bedeutung der Bezeichnung Postmüller gefragt. In einem Regionalwiki fand ich zu dem Gebäude https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Industriem%C3%BChle,_ehem._Postm%C3%BChle_in_Stockerau.jpg den Hinweis auf ein PDF, in dem es heißt: “Heute ist nur mehr das stattliche, barocke Haustor vorhanden, das ein viergeteiltes Wappen ziert. Zu sehen ist darauf ein Posthorn und ein ….. Das Wappen weist auf die Familie ….. hin.” Wie sind die Lücken zu füllen? (10) In welcher großen digitalen Bibliothek führt die Volltextsuche Sestan "La citta comunale italiana dei secoli XI-XIII" haverkamp fasoli auf den freien Volltext einer kompletten Gedenkschrift für einen Wissenschaftler? (11) http://archivalia.tumblr.com/post/178866720145 J'ai trouvé cette image dans le bulletin d'un musée français. Dans quel portail est-il scanné? (12) And Now for Something Completely Different. Kennetses Kloschder Kenigsbronn bei Horna? Viel isch ned davo ibrig. Ogfehr 1895 hot ebbr innem wirddembergischa Gschichtsbläddle ebbes aussem alde handschriftlicha Buach vo 1471 abdruggd. Do stodt wia sich d Baura innam Dorf 1514 gegas Kloschder gwehrt hennd. Und vo dem Dorf uffam Aalbuch kaamr a Video "Verkehr in der Hauptstraße" (noi, koi Sex) innam graußa landeskundlicha Pordal aschaua, wennmr woisch wo. Wann isch des Filmle dreht worra? (13) Zum Ausgleich gibt es etwas Plattdeutsch: http://archivalia.tumblr.com/post/178867091820 Rechts steht im Original des Zeitungsausschnitts eine Übersetzung. Wie wird Buskerl übertragen? (14) An welchem Tag werden die Werke des elsässischen Ehrenkanonikers und Predigtforschers Landmann in Deutschland gemeinfrei? (15) Soll das auch ein Wurf seyn? In einem Brief vom Mai 1844 erzählte Eduard Mörike ein heute noch witziges “Fabulamentum”, das man auch in einer heute in der Slowakei befindlichen Handschrift antrifft, die nicht nur seit vielen Jahren auf dem Server der Universitätsbibliothek Bielefeld, sondern auch in der Slowakei digitalisiert online einsehbar ist. Unter welcher Top-Level-Domain? (16) Eine deutsche Stadtbibliothek bietet viele ganz kurze Lesungen von Schriftstellern und Schriftstellerinnen online an. Da kann man auch die Wendung “"dürre Hand mit den hervorquellenden Adern" hören. Ich wüsste nicht, wie man die durchaus in der Google Websuche vorhandene Internetadresse möglichst einfach herausbekommt, aber vielleicht ist es doch nicht unmöglich oder jedenfalls höllisch schwer? Gesucht ist in erster Linie (a) der Suchweg und dann die URL der Übersichtsseite mit den Autoren (b). '''Viel Erfolg!''' == Quiz Sommersemester 2019 == '''Bitte den Suchweg möglichst genau angeben!''' (1) Nach wem ist die Landesbibliothek benannt, die das Buch mit folgendem Ausschnitt ins Netz gestellt hat? http://archivalia.tumblr.com/image/159580122755 (2) http://reader.ekt.gr/bookReader/show/index.php?lib=GRSER&path=GRSER_00000000000007898_#page/10/mode/2up Gesucht wird der Permanentlink für das digitalisierte Buch. Was muss man also auf http://proxy.handle.net/ eingeben, damit das Buch gefunden wird? (3) Claas R. behauptet: Am Abend des 9. März 1999 besuchte der Rektor der Otto Beisheim School of Management, Prof. Dr. Adolf-Friedrich Jacob, eine Filmvorführung in der Reihe "Fluß - Küste - Meer im deutschen Film" des Kulturamtes der Stadt Koblenz und des Bundesarchivs. Machen Sie einen Faktencheck! Stimmt das? (4) Der Sudan hat 50 Ägypter verhaftet, las man auf der Titelseite einer europäischen Zeitung am 21. Februar 1958. In welchem Ort wurden sie festgenommen? (5) https://www.flickr.com/photos/34028941@N00/16838080839/ Wieviele Treffer sind es heute? (Auf 100 gerundet.) (6) https://archivalia.tumblr.com/post/184393746690 Direkt über dieser Anzeige steht eine andere, in der eine Firma einen Archivleiter sucht. Welche Firma? (7) “Werfen Sie beispielsweise Ihre Uhr ins Wasser”, empfahl eine Schweizer Satirezeitschrift in einem Horoskop den Steinböcken. Wann erschien die Ausgabe? (8) “Welches Bild zeichnen Medien also, die ein zentrales Kommunikationsmittel moderner funktional differenzierter Massengesellschaften sind, von diesem Krankheitsbild und wie wirkt dieses auf den Diskurs ein?” Das stammt aus der Zusammenfassung einer akademischen Abschlussarbeit. Wie lautet der Nachname der Autorin? (9) In welchem Land kann man 84.000 historische Dokumente einer Feuerversicherungsgesellschaft online einsehen? (10) Welcher Rektor der Mainzer Universität im 16. Jahrhundert war auch Pfarrer in Miltenberg und Hofpfalzgraf? (11) Ein Ex-Mönch schrieb 1529 aus Herisau einen Brief, in den er ein lateinisches und deutsches Gedicht über eine Kinderschändung, die einem späteren Kardinal unterstellt wurde, aufnahm. Der Verfasser der Verse bleibt im Brief ungenannt. Wie lautet die GND des Autors der lateinischen Fassung? (12) “Hämpferbafeins oolljog”. Das ist nicht Klingonisch, sondern stammt aus einer missglückten Texterkennung. Womit muss ich die URL http://n2t.net/ hinten ergänzen, damit sich ein Link zum Digitalisat ergibt? (13) “Oi tu putin”, sang 1980 eine litauische Volkssängerin. In welcher Ressource, die in der Theorie im Karlsruher Virtuellen Katalog eingebunden ist, kann man sich das direkt anhören? Dieses Werkzeug findet eigenartigerweise nicht den Vortrag von Vincas Jurčikonis, der ebenfalls online ist. In welchem Jahr wurde er aufgenommen? (14) http://archivalia.tumblr.com/image/184235255370 Aus welchem Jahr stammt der Brief? (15) http://archivalia.tumblr.com/image/184250156200 Wie lautet die URL der Seite dieses Digitalisats? (16) https://archivalia.tumblr.com/post/184394565950 Die Bilderhandschrift, kurz besprochen in einer Fachzeitschrift zur Geschichte der Medizin 1913, ist online. In welche Stadt müsste man reisen, um sie zu bewundern? (Ohne Wertung: Welches der vielen Bilder gefällt Ihnen am besten?) '''Viel Erfolg!''' == Quiz Wintersemester 2019/20 == Bitte den Suchweg möglichst genau angeben! (1 ) In Weißrussland liegt eine Kölner Inkunabeldublette: “На [1]а лісце пячатка : Gymnasial Bibliothek in Koeln (пагашаная "Veraussert Dublette"); на адвароце верхняга вечка выразка з аўкцыённага каталога з апiсаннем выдання”. Wie lautet in DBIS die Kurzform des Katalogs, mit der man sie aufspüren kann? (2) https://archivalia.tumblr.com/image/188479479540 Die Arbeiter im Weinberg stammen aus einer berühmten Handschrift, die kürzlich von ihrem Eigentümer ins Netz gestellt wurde. Wie lautet der Permalink der Bildseite, aus dem man den Ausschnitt entnommen hat? (3) Die Internationale Arbeitsgemeinschaft der Archiv-, Bibliotheks- und Graphikrestauratoren (IADA) veranstaltet vom 22. bis 26. September 2003 in Goettingen ihren X. Congress, schrieb ich im Juni 2003. Im verlinkten vorläufigen Programm findet sich ein Vortrag “Sekundärformen Mikrofilm und Digitalisierung - Zwei starke Partner für Erhaltung und Zugriff”. An welchem Ort waren der Referent und die Referentin tätig? (4) Zu den Archivalien über Indien in deutschen Archiven zählt: Verfahren Ella Hayn, Colaba, Mumbai, Maharashtra/Indien, gegen das Deutsche Reich. In welcher Stadt kann man die Akte einsehen? (5) https://archivalia.tumblr.com/post/188473855895 Gesucht ist die Geburtsfamilie der Gräfin, der dieses hübsche handschriftliche Gebetbuch gehörte. Man müsste herausbekommen, welchen Gegenstand das linke (heraldisch rechte) Wappen des Ehemanns zeigt … Wie lautet der Permalink der Seite des Handschriftendigitalisats? (6) Dass es nicht “unehrenhaft ist Todesstrafen zu blockieren”, soll nach einer Suchmaschine für Wortbeiträge ein Prominenter 1983 gesagt haben. Was hat er statt Todesstrafen in Wirklichkeit gesagt und wer war es? (7) Zu dem Ort, wo sich das damals blockierte Objekt befand, wird in einem landesgeschichtlichen Portal eine angebliche Namensform 1410 angegeben. Wie lautete diese? Anzugeben ist auch der Perrmalink des Digitalisats der Urkunde von 1410. Unter welcher GND findet man den winzigen Ort, der im 15. Jahrhundert in Wirklichkeit unter dieser Namensform bekannt war? (8) Welches Tool weist zu dieser GND die Nennungen in den einzelnen Ressourcen nach? (Link zur GND in diesem Angebot.) (9) https://archivalia.tumblr.com/image/188472525165 Welche Signatur trägt das abgebildete Aktenstück? Wie hieß der Staatssekretär (Vor- und Nachname)? (10) https://archivalia.tumblr.com/image/188473058800 Wo erschien die Rundschau? (11) https://digisam.ub.uni-giessen.de/ubg-ihd-hm/content/zoom/3260218 In welcher großen Akademikerdatenbank findet man den Verfasser des Texts? Bitte Permalink des Eintrags. (12) https://archivalia.tumblr.com/post/131444952405 Wie heißt der Nachbar des Ritters in der Ballade rechts? (13) https://archivalia.tumblr.com/image/188472803675 Der Screenshot wurde mit Hilfe eines US-Proxy erstellt. Wie lautet der Permalink des Buchs in dieser riesigen digitalen Bibliothek? (14) Immer wieder kurios: misslungene OCR. “Dr. igöfler hat eine foldhe ©ebrattdhSanroeifung”. Hä? Wie heißt der Doktor wirklich und wie lautet das erste Wort seines Aufsatzes? (15) https://archivalia.tumblr.com/image/188478198535 Um welche Insel geht es hier? '''Viel Erfolg!''' == Quiz Sommersemester 2020 == '''Bitte den Suchweg möglichst genau angeben''' (1) Aufmerksames Durchlesen der URL https://books.google.de/books?id=e11kAAAAcAAJ&pg=PA25&lq=geile+stute&q=waisenrichter&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjdr8P3jvXoAhUrBhAIHSOgDqcQ6AEIPzAD#v=onepage&q=waisenrichter&f=false lässt es geraten erscheinen, “Grafs Rasiermesser für Links” anzuwenden. Wie lautet die kürzestmögliche Internetadresse, die auf die betreffende Seite in Google Books führt? (2) Was steht in der Adresszeile des ungemein nützlichen Internetangebots, aus dem der folgende Screenshot stammt: https://archivalia.tumblr.com/post/615851124053999616 (3) An welchem Tag des Februars 1759 wurde der Vater des Theologen Johann Philipp Le Pique in ein berühmtes Hanauer Gymnasium aufgenommen? (4) https://archivalia.tumblr.com/post/615854693752733696 Wie heißt der Bürgermeister der Stadtgemeinde, in der dieses Schloss liegt? (5) “Die lautlichen Elemente patach furtivum, Schwa, Chateph-Vokale und …” Mit welchem Wort endet diese Zwischenüberschrift einer Mainzer Dissertation? (6) 1962 erschien ein englischsprachiger Aufsatz über Augsburg und die frühen Wiedertäufer. Kann man die Festschrift, in der er veröffentlicht wurde, kostenlos und legal als PDF herunterladen? (7) Welche spezielle Suchmaschine bietet eine Abfrage, mit der man das Jahr 2020 in babylonischen Ziffern ausgeben lassen kann? (8) https://archivalia.tumblr.com/image/166482587945 Unter welcher Telefonnummer konnten Interessenten für das Praktikum am Uni-Radio Näheres erfahren? (9) Seine Festschrift pries den einzigartigen Unterrichtsstil von “Charlie the music educator”. Trug er auf dem beigegebenen Foto eine Krawatte mit Punkten oder mit Streifen? (10) https://archivalia.tumblr.com/image/615853908793933824 In welchem Jahr erschien diese Darstellung in den “Fliegenden Blättern”? Anzugeben ist auch der Permalink der Seite des Digitalisats der Universitätsbibliothek ... (11) Nennen Sie mindestens eine deutsche wissenschaftliche Bibliothek, die Bürgerinnen und Bürgern, die zu keiner Uni gehören, den Zugriff von zuhause (mit Bibliotheksausweis) auf Renate Lachmanns Lexikonartikel über die “Verkehrte Welt” ermöglicht. (12) Wer schrieb in den Heimatblättern für Stadt und Kreis Büren im März 1927 etwas über den Drewergau? Auch ohne Google bekommt man das heraus, wenn man ein Werkzeug zum Ermitteln des Zeitschriftendigitalisats benutzt, dessen Abkürzung mit einer der beiden folgenden Institutionen übereinstimmt: *Europäische Zentralbank *Zentralverband des Deutschen Baugewerbes Und für den Vornamen des Heimatforschers ergibt sich die Lösung analog durch Befragung der Kommunistischen Volkspartei Kasachstans. (13) “Felsenstirnen der Alb winkten dem heranwachsenden Knaben verlockend zu”. Wie hieß das junge Talent? (14) https://archivalia.tumblr.com/post/615865153726119936/recordify-20042020-001544 Das Zusammentreiben der Schafe überlässt man am besten den Schäfern. Die Musik aus einem Filmklassiker, die mich immer wieder begeistert, geht letztlich auf einen Komponisten des 17. Jahrhunderts zurück, dessen Wikidata-Nummer gefragt ist. (15) Zum Schluss noch etwas Schweres: https://archivalia.tumblr.com/image/615904418161999872 Der Eintrag aus dem handschriftlichen Handschriftenkatalog eines oberschwäbischen Klosters betrifft einen online konsultierbaren Codex. Wie lautet der URI des Digitalisats? '''Viel Erfolg!''' == Quiz Wintersemester 2020/21 == '''Bitte den Suchweg möglichst genau angeben''' (1) Alter Schwede! Wann wurde der geboren? https://archivalia.tumblr.com/post/633620898370519040 (2) In dem Beitrag https://archivalia.hypotheses.org/3546 ist der Link zu dem Aufsatz Burmeisters defekt. Anzugeben ist die neue Internetadresse der betreffenden Seite und die “Persistente Url” des Jahrgangs. (3) Aus welcher Open-Access-Volltextsuche stammt dieser Screenshot? https://archivalia.tumblr.com/post/633624769673281536 (4) In welcher Stadt schaute sich der junge Kunsinyire, später ein bekannter Xylophonist in Ghana, nach einem Job als Farmer um, nachdem er seine Geburtsstadt verlassen hatte? (5) “Zu Michael Asphalebius bräuchte ich die Hilfe von Griechischkundigen”. Google findet dazu nix. Welche anderen Suchmaschinen überliefern das Jahr der Anfrage? (6) Im Landesarchiv Baden-Württemberg recherchiert eine Forscherinnengruppe in Massenakten. Für welches der folgenden Familiennamenpaare ist die Wahrscheinlichkeit am größten, dass Unterlagen vorhanden sind? a) Bobic und Gómez b) Hoeneß und Sammer c) Ozil und Träsch d) Retter und Waldner (7) Hören wir kurz in eine Rede hinein. https://archivalia.tumblr.com/post/633629228481560576/mozart-speech Wer hat das gesagt und mit welcher großen Metadatensuche findet man die Tonaufnahme? (8) War am 15. April 1997 das Stadtarchiv meiner Heimatstadt regulär am Nachmittag geöffnet? (9) Aus welchem Jahr stammt diese Zeitungsseite? https://archivalia.tumblr.com/post/633623343687450624 (10) Wann erschien ein Aufsatz, in dem Zwaigenrichter statt richtig zwaig(er) (= zweier) richter gelesen wird? (11) In der Volltextsuche einer großen Digitalen Sammlung stieß ich auf den Brief eines Kriegsgefangenen, der am 3. Juni 1917 aus Castres schrieb: “Hier bin ich auf Kommando bei einem Bauern, da gefällt es mir ganz gut, von mir aus kann der Krieg noch lange dauern, ich bin gesund und wohl auf. Die Heuernte hat auch schon begonnen und wir haben schon 5 Wagen voll heimgefahren”. Wie war sein Nachname? (12) Schon in einem früheren Quiz beschäftigte mich eine Urkunde von 1390 aus dem Stadtarchiv Neuss. Nun nahm ich mir die Mitsiegler “Geylis van Beggenhoven und Claes van Velrode” vor. Ein Schnipsel aus einem Aachener Regestenwerk in Google Books ließ mich zu dem Schluss kommen, dass die erste Person anders hieß. a) An welchem Tag feierte der erste Mitsiegler seinen Namenstag? b) Die sich später nach Anstel nennende Familie lebte offenbar vorher auf einem 1317 an eine Abtei (welche?) verkauften Hof, der in der Nähe welcher Autobahn lag? c) Den ersten Mitsiegler fand ich dann zum Datum 1405 September 18 in den Publikationen der Gesellschaft für Rheinische Geschichtskunde wieder. Wie lautet der Permalink des Digitalisats dieses Werks? d) Die zweite Person lebte vermutlich auf einem denkmalgeschützten Anwesen, das als “Hofesfeste” des 18. Jahrhunderts noch vorhanden ist. Welche Jahreszahl befindet sich dort auf einem Keilstein am Tor? == Quiz Sommersemester 2021 == '''Bitte den Suchweg möglichst genau angeben''' (1) Beginnen wir hochseriös im 14. Jahrhundert: “do gefieng her Marqwart der Wichser den selben Thoman von Ramingen”. Zwar hat die mehrbändige Quellenausgabe eines 2020 verstorbenen Freiburger Historikers (noch) kein Register, aber mittels einer zu wenig bekannten großen digitalen Bibliothek in den USA bekommt man die Seitenzahl unseres Zitats heraus. (2) Von wann stammt diese hübsche Postkarte aus Sibirien? Tipp: kein Google-Produkt verwenden. https://archivalia.tumblr.com/image/648741114289995776 (3) Ist von Schaffsteins Blauen Bändchen die Nr. 162 kostenlos online? (4) Aus welchem Jahr stammt diese Akte? https://archivalia.tumblr.com/image/648753126425444352 (5) Wieviel bekam Glasmaler Hecht für sein Kirchenfenster von Martha und Maria? https://archivalia.tumblr.com/image/648742802287624192 Bitte anhand von https://www.eurologisch.at/docroot/waehrungsrechner/#/ in Euro umrechnen. (6) Ein anderer Glasmaler des 19. Jahrhunderts schuf für die gleiche Kirche ein Heiligenfenster, das neben dem hl. Cyriakus in der Mitte einen ausnahmsweise nicht kopflosen Heiligen zeigt. Gesucht ist die GND-Nummer von Sankt X. Welches Tool weist zu dieser Nummer auch den Eintrag in der "Great Russian Encyclopedia Online ID" nach? (7) Welche ungewöhnliche Suchmaschine liefert das folgende Ergebnis? https://archivalia.tumblr.com/image/648742217392046080 (8) Machen Sie einen Faktencheck! Claas R. behauptet: Im Juli 1998 habe ich auf der englischen Version der Homepage der Württembergischen Landesbibliothek recherchiert. Kann das stimmen? (9) “Not macht erfinderisch. Gegenbeweis: der bayerische Landtag”. An welchem Tag erschien 1948 die Ausgabe der Münchner Satirezeitschrift, in der diese Aussage zu finden ist? (10) Mit welcher großen Suchmaschine, die einen Filter nach Art des Mediums (“Ton”) ermöglicht, ist die folgende historische Aufnahme, die mit einem “Permalink” adressierbar ist, zu finden und wie lautet der Permalink? https://archivalia.tumblr.com/post/648754585014534145/recordify-18042021-005408 (11) “Die mann, die du gesehen hast zwischen des tyers Zenen, das waren zwen risen”. Wie hießen die zwei Riesen zwischen den Zähnen des Tiers in der mittelhochdeutschen Quelle? (12) Am 2. März 2021 wurde auf Twitter das Auftauchen einer bisher unbekannten Handschrift einer Klosterchronik (der Verfasser starb 1521) im Handel angezeigt. In welcher Stadt ist die meldende Institution ansässig? (13) “Durch Ergänzen einer Phrase um die Tilde (~) plus einer Zahl wird der maximale Abstand der Suchterme zueinander festgelegt”. Welche neue Volltextsuche in Digitalisaten bietet diese Möglichkeit? (14) Der schwäbische Dichter, dessen bekannteste Verse als Kriegslied heute sehr umstritten sind, vermerkte am 17. August 1811 in seinem Tagebuch ein Treffen im “Löwen”, bei dem ihm ein Freund von der handschriftlichen Beschreibung einer katholischen Reichsstadt erzählte. Drei Jahre später ließ der Freund einen Auszug abdrucken, in dem es um einen Spielmann geht. Auf welcher Seite endet der Abdruck, und wo liegt der Spielmann begraben? Und in welchem Monat heiratete der Verfasser des Werks über die Reichsstadt? '''Viel Erfolg!''' == Quiz Wintersemester 2021/22 == '''Bitte den Suchweg möglichst genau angeben''' (1) In welcher Stadt habe ich folgendes Urlaubsfoto gemacht? https://archivalia.tumblr.com/post/666581553645797376 (2) In der Verfassungsgeschichte von Waitz liest man: “Urk. v. J. 823, Mon. patr. XIII, S. 187”. In welchem Monat wurde das betreffende Dokument ausgestellt? Was ist an dem Zitat problematisch? (3) Auf welches hilfreiche Werkzeug bezieht sich die folgende Liste? https://archivalia.tumblr.com/post/666765966119747584 (4) Wo finde ich im Acrobat Reader die Möglichkeit, eine Volltextsuche über alle PDF-Dokumente eines Verzeichnisses auf meiner Festplatte durchzuführen? (5) Welche deutsche Landesbibliothek bietet eine Online-Registrierung (nicht nur für Landeskinder) für elektronische Ressourcen (19 Euro Jahresgebühr) an, die nicht nur Onleihe und Overdrive, sondern auch die Genios-Pressedatenbank enthält? (6) Aus welcher ungewöhnlichen Suchmaschine stammt dieser Screenshot? https://archivalia.tumblr.com/post/666761778791858176 (7) “"Fette junge Tauben werden mit guter Fleischbruehe [...] gekocht". Wie lautet der Titel des Kochrezepts aus dem in einem Weltkrieg erschienenen Kochbuch? (8) Machen Sie den Faktencheck! Claas R. behauptet: Am 13. April 2013 kostete eine Flasche Köstritzer Schwarzbier im Freiburger “Löwen” mehr als 4 Euro. Stimmt das? (9) Wie teuer war das Modell KASUN in der Standardausführung in meinem Geburtsjahr 1958 bei IKEA in Schweden? (10) In welchem englischsprachigen Blog erschien 2014 ein Beitrag über versprengte Miniaturen aus einer ehemaligen Sigmaringer Handschrift? (11) Wie lautet der Name des Autors eines kürzlich online erschienen Beitrags über die Menschenjagd auf einen Star, über den eine bestimmte deutschsprachige Presse über 1000 Artikel pro Jahr veröffentlicht? https://archivalia.tumblr.com/post/666762496554811392 (12) Folgende Notiz erschien in Wien: https://archivalia.tumblr.com/post/666580826739359744 In welchem Jahr? (13) Was ist der Unterschied zwischen den Beacon-Findbüchern PND-AKS und GND-AKS? (14) “Bekandt, habe Busch Im Vorwercke 2 Stockhe Immen gestolen, vnd abgebrochen etzlich hennich Verkaufft, auch etzlich aufgefreßen” In welcher Stadt ist die Universitätsbibliothek ansässig, deren Digitale Bibliothek - ungewöhnlich genug - einen OCR-Text für handschriftliche Gerichtsakten anbietet? Aus welchem Jahr stammt die zitierte Akte? (15) Zuletzt noch eine Scherzfrage aus dem späten Mittelalter: Wo furzte ein Esel, dass es die ganze Welt hörte? == Quiz Sommersemester 2022 == '''Bitte den Suchweg möglichst genau angeben''' (1) Beginnen wir ausnahmsweise mit zwei schnellen Aufwärmrunden à la Einer wird Millionär. Ordnen Sie bitte die folgende Zeugnisse nach dem Alter, beginnend mit dem ältesten: *a) das Voynich-Manuskript in Yale *b) die Vinland-Karte in Yale *c) der Rhetograph *d) Ohio's Serpent Mound (2) Ordnen Sie bitte die folgenden Internetquellen nach der Qualität als wissenschaftliche Volltextsuchmaschine, beginnend mit der schlechtesten *a) Bielefelds BASE *b) CORE.AC.UK *c) Facebook-Suche *d) Google Scholar (3) Wo schaue ich nach, wenn ich wissen möchte, ob es in den Niederlanden eine Stadtbibliothek gibt, die das Digitalisat mindestens eines gemeinfreien deutschsprachigen Werks anbietet? (4) “Weber Sinkels Chronik ju neresheim; son Gråter. 3. B. '457. S." sagt uns Googles OCR. Gesucht ist die Nummer der Handschriftenbeschreibung der betreffenden Handschrift im handschriftencensus.de. (5) Aus welcher Digitalen Bibliothek stammt der Screenshot? https://archivalia.tumblr.com/post/682613595128971264 (6) Eine der historischen Orgeln Indonesiens stammt bereits aus dem Jahr 1843. An welchem Wochentag wurde der Grundstein der Kirche gelegt? (7) “Wir müssen staunen, welche Energien ihm seine Waldheimat auf den Lebensweg mitgegeben hatte.” Die katholische Kirche seines Geburtsorts findet man unter welcher Wikidata-Nummer? (8) An welchem für mich wichtigen Tag meldete die Honnefer Volkszeitung die Einstellung der letzten Schlenkerfähre über den Rhein? (9) Von der “Tradition einer Special-historia” liest man in einem alten Handschriftenkatalog. Wie muss das erste Substantiv richtig heißen? (10) https://archivalia.tumblr.com/post/682614865159929856 Wie hieß der Vorsitzender des Grubenvorstands mit Vornamen? (11) Im Sommersemester 2021 lautete Frage 12: "Am 2. März 2021 wurde auf Twitter das Auftauchen einer bisher unbekannten Handschrift einer Klosterchronik (der Verfasser starb 1521) im Handel angezeigt. In welcher Stadt ist die meldende Institution ansässig?" Mit welchem Suchwort aus dem gesuchten Tweet https://twitter.com/mss_oeaw/status/1366768376949977092 würde man in der Erweiterten Suche von Twitter vernünftigerweise starten, wenn man weder Autor (Öheim oder Öhem) noch Kloster (Reichenau) kennt? Erörtern Sie anhand anderer Suchbeispiele Gründe, wieso das nicht klappt. (Anmeldung erforderlich.) == Quiz Sommersemester 2024 == '''Bitte den Suchweg möglichst genau angeben''' (1) Welche Website ermöglicht es, nach kostenloser Registrierung über 70.000 deutschsprachige elektronische Bücher für eine Stunde auszuleihen? (2) Παρακαλώ συγκρίνετε τη μετάφραση αυτού του κειμένου στα γερμανικά στα δύο κύρια διαδικτυακά μεταφραστικά εργαλεία. Παρακαλείστε να αποδώσετε σχολικούς βαθμούς. Το ένα είναι το καλύτερο σημάδι. (3) In welcher Koblenzer Straße wohnte der Archivar im Jahr 1993, der das Archivprogramm SACHAV vertrieb? (4) „Hexenbanner ziehen durch die Lande“, hieß es in einem Zeitungsartikel vom 16.3.1962 (PNP). Wie lautet die GND-Nummer des Volkskundlers, der im Mittelpunkt steht? (5) Neun Zitate weist Google Scholar für Mitgaus Buch über Berufsvererbung nach. Welches Buch ist von diesen Publikationen komplett auf einem Open-Access-Hochschulschriftenserver einzusehen? (6) Mehr als 400000 PDF Dateien, darunter auch viele aus landesgeschichtlichen Zeitschriften, umfasst derzeit eine Open-Access-Datenbank aus Österreich. Wie heißt sie? (7) „Since early childhood, when he first started to learn to be a sculptor, Michael has suffered from an obsession“. Wer war der Regisseur des Films? (8) Wie findet man große Firmen, die in Hamburg Tee importieren? Nicht mit Google, sagt der Beitrag eines Autors, dessen Nachname das Anagramm einer wichtigen Top-Level-Domain ist. Welcher? (9) Machen Sie den Faktencheck! Claas R. behauptet, das Hotel Emmerich in Winningen bot im Jahr 2000 weniger als 25 Zimmer an. Stimmt das? (10) In einer rheinischen Totenzetteldatenbank fand ich Johanna Zimmermann, gestorben 1931. Wie war ihr Geburtsname? (11) Im Wintersemester 1912/13 wurde eine Frau Burda in die Medizinische Fakultät der Universität Wien eingeschrieben. Wie hieß sie mit Vornamen? (12) In einem früheren Semesterquiz von mir ging es um eine Abschlussarbeit, die sich mit ausländerfeindlichen Ausschreitungen 1992 befasst. Die Frage funktioniert nicht mehr, da das frühere Abstract beim Serverwechsel verschwunden ist. Nun hat die Arbeit auch einen DOI. Welchen? '''Viel Erfolg!''' == Quiz Sommersemester 2025 == Bitte den Suchweg angeben! (1) Mit welcher Abfrage (URL) erhält man über 1 Million in Polen digitalisierte deutschsprachige Schriften? (2) Ein Schnipsel aus Google Books: “Eberhardsburg "im Eulbacher Park ( 1818 ) 265 ). Bei dieser leidenschaftlichen Hinwendung zu der vaterländischen Vergangenheit lag es nahe”. Welcher DOI führt zum Volltext? (3) In einem aktuellen Essay heißt es (übersetzt): “Die Hexerei, die ihrer fantastischen Folklore beraubt wurde, ist Ausdruck einer moralischen Vorstellungskraft, die sich um die Themen Ungleichheit, Macht, Reichtum und die damit verbundenen Gefühle der Ungerechtigkeit dreht. Indem das Gerücht durch Verschwörungstheorien erklärt wird, greift Infox das Motiv der Anprangerung der Schandtaten der Mächtigen auf, lenkt aber die Anklage von den nationalen Eliten auf den Westen, insbesondere auf Frankreich und Emmanuel Macron, um.” Wie lautet die Wikidata-Kennung des Autors? (4) Wo sucht man am besten, wenn man herausfinden will, in welchen Büchern von 2010 “Schatzgräber” in einer Kapitelüberschrift vorkommt? (5) Wie kommt man schnell zu einem Digitalisat des Buchs, das sich hinter dem Zitat “Luther WA 54, 142” verbirgt? (6) “Stuf bie f?rag«,. ob fie eine £>ei;e fei unb toie alt fic fei, anttuorieit”. Wo befindet sich die Vorlage für die missglückte OCR (URL)? (7) “1 Liter Weiss oder Braunbier, 1 Unze geriebenes Schwarzbrot, etwas Zitronenschale, 1/4 Unze Zucker, etwas Cardamom oder Kuemmel, gestossen, 1/8 Quart Wasser, eine Zitronenscheibe ohne Kern, 2 Unzen Korinten in Wasser aufgekocht”. Wo steht das Rezept für eine Bier-Kaltschale (offizieller Seitenlink)? (8) Die Redewendung von der “Frau von Bensheim” begegnet schon in den 1830er Jahren in einem Theaterstück in Darmstädter Mundart. Auf welcher Seite der Erstausgabe steht die Stelle? (9) Im Kalendarium der Darmstädter Handschrift 1955 stehen laut https://books.google.de/books?id=fhY1yHdHqSMC&pg=PA27 zwei Einträge zur Familie Percy. Das ist ein Irrtum. In welcher Handschrift finden sie sich wirklich? (10) Um 1933 entstanden Listen von "auszusondernder" Literatur (heute im im Bundesarchiv). Das NS-Regime machte damit Vorgaben für Volksbüchereien. Wie wurde das Verdikt über das Buch Eva Leidmanns “Auch meine Mutter freute sich nicht” begründet und wo kann man es heute online lesen (Permalink)? (11) Manche deutsche Bibliotheken ermöglichen Bürgerinnen und Bürgern den Zugriff auf gewisse lizenzierte Datenbanken und Ebooks. Wo außer bei der Bayerischen Staatsbibliothek München kann man sich anmelden, wenn man das neue Buch von Gerd Schwerhoff “Auf dem Weg zum Bauernkrieg” lesen möchte? (12) Machen Sie den Faktencheck! Claas R. behauptet: Im November 2005 speiste ich im Arosa in Ochtendung und zahlte für eine Roulade vom Hirsch gefüllt mit Nüssen und Trauben in einer Holunderjus mit Butterbrösel- Kartoffelroulade und Wirsing in Rahm keine 15 Euro? Stimmt das? (13) Bei wem wurde 1933 ein Humpen mit Wappen der Münchner Patrizierfamilien Reitmor und Ligsalz versteigert? (14) Thema Normdaten. Wie kommt man möglichst schnell von der Wikipedia zur Seite https://prometheus.lmu.de/gnd/117551848 und was leistet dieses Angebot? erfh8jkkewqu86vg91lol7y0l9nbm7e 14 64816 1077497 866376 2026-04-18T09:40:28Z Bocardodarapti 2041 1077497 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der kommutativen Monoide|Halbring |Theorie der Halbringe|Kommutativ}}{{Wikidatanummern{{{optu|}}}|WDK=Q114705188|WD=Q114705189}} 0rb94oa4bu0ev4s0a8r8o6evrxni9by 14 67172 1077505 397956 2026-04-18T09:43:43Z Bocardodarapti 2041 1077505 wikitext text/x-wiki {{Aufgaben-Kategorie unter}} rlx6vbjzsocfumyk0vs76mvwpuhptd4 0 83115 1077491 1076963 2026-04-18T09:36:50Z Bocardodarapti 2041 1077491 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{Definitionswort|kommutativer Halbring}} {{math|term= R |SZ=}} ist eine Menge mit {{ Definitionslink |Verknüpfungen| |SZ= }} {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=genannt {{Stichwort|Addition|SZ=}} und {{Stichwort|Multiplikation|SZ=}} | |ESZ= }} und mit ausgezeichneten Elementen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind: {{Aufzählung3|Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die {{math|term= 0 |SZ=}} das {{ Definitionslink |neutrale Element| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die {{math|term= 1 |SZ=}} das {{ Definitionslink |neutrale Element| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Es gilt das {{Definitionswort/enp|Distributivgesetz|SZ=,}} also {{ Relationskette/display | a \cdot (b+c) || ( a \cdot b) + (a \cdot c) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | a,b,c | \in | R || || || |SZ=. }} |}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Kommutativer Halbring |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8qkl52ppk1ekfjyclffi4sc9a106co 14 83135 1077500 470521 2026-04-18T09:42:08Z Bocardodarapti 2041 1077500 wikitext text/x-wiki {{Fakten-Kategorie unter}} 5ntylwabftrxg0fnzszakdbi1oomvk6 14 83137 1077504 470523 2026-04-18T09:43:25Z Bocardodarapti 2041 1077504 wikitext text/x-wiki {{Beweis-Kategorie unter}} 33l06mtti6of7n1boxwu0pr328ga1mf 14 83235 1077503 470796 2026-04-18T09:43:12Z Bocardodarapti 2041 1077503 wikitext text/x-wiki {{Textabschnitts-Kategorie unter}} bl0v8l79nyghz6bnoof6be1czzigwqe 14 83238 1077501 470801 2026-04-18T09:42:23Z Bocardodarapti 2041 1077501 wikitext text/x-wiki {{Beispiel-Kategorie unter}} 0a9odcwfk06m5yt8zebpp3mlusjo7tn 0 83321 1077433 848796 2026-04-18T06:48:25Z Λυκας 38324 1077433 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge mit einer {{ Definitionslink |Verknüpfung| |Kontext=| |SZ= }} darauf, die wir als Produkt schreiben. {{ Aufzählung2 |Wie viele sinnvolle Klammerungen gibt es für die Verknüpfung von vier Elementen? |Die Verknüpfung sei nun {{ Definitionslink |assoziativ| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das Produkt von vier Elementen nicht von irgendeiner Klammerung abhängt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tcfcud09385pii8tq2rt0s6g0i1wvvw 0 88855 1077410 1048974 2026-04-17T15:32:51Z Bocardodarapti 2041 1077410 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |M ||\{a,b,c\} || || || |SZ= }} eine dreielementige Menge. Beschreibe{{n Sie}} vollständig {{ Zusatz/Klammer |text=durch Auflistung aller zugehörigen Paare| |ISZ=|ESZ= }} die Relation auf der {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge| M |}} |SZ=,}} die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer endlichen Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bxt3hasyrh54bwm9slc7zstiqzi50vt 0 89026 1077520 1075080 2026-04-18T10:44:28Z Bocardodarapti 2041 1077520 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= P |SZ=}} eine Menge von Personen und {{math|term= E |SZ=}} eine Menge von Eigenschaften, die eine Person haben kann oder auch nicht, und zwar sollen hier nur solche Eigenschaften betrachtet werden, wo es nur die beiden Möglichkeiten des Zukommens oder des Nichtzukommens gibt. Die Gesamtinformation, welche der beteiligten Personen welche Eigenschaft besitzt, kann man dann auf verschiedene Arten ausdrücken. Man kann beispielsweise eine Liste von allen zutreffenden Person-Eigenschafts-Paaren erstellen, also {{ Einrückung|term= (Anna, klug), (Hans, schön), (Berta, schön), (Hans, lustig), (Anna, lustig) |SZ=, }} oder man kann zu jeder Person die ihr zukommenden Eigenschaften auflisten, also {{ Einrückung|term= Anna: klug, lustig |SZ=, }} {{ Einrückung|term= Berta: schön |SZ=, }}{{ Einrückung|term= Hans: schön, lustig |SZ=, }} oder umgekehrt zu einer Eigenschaft die Personen auflisten, die diese Eigenschaft erfüllen, also {{ Einrückung|term= Schön: Berta, Hans |SZ=, }} {{ Einrückung|term= Klug: Anna |SZ=, }} {{ Einrückung|term= Lustig: Anna, Hans |SZ=. }} Man kann auch das ganze in eine Tabelle schreiben, wo die eine Leiste die Personen und die andere Leiste die Eigenschaften repräsentiert, und dann diejenigen Kreuzungspunkte, die eine zutreffende Beziehung repräsentieren, ankreuzen, also {{Tabelleleitdreixdrei|lz1=Anna|lz2=Berta|lz3=Hans|ls1=Schön|ls2=Klug|ls3=Lustig|a1,1=|a1,2=\text{x} |a1,3=\text{x} |a2,1=\text{x} |a2,2=|a2,3=|a3,1=\text{x} |a3,2=|a3,3=\text{x} }} {{ inputbild |AnnaBertaHans|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-da 4.0 |Bemerkung= }} Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Information durch ein Verbindungsdiagramm auszudrücken, bei dem eine Person und eine Eigenschaft genau dann durch eine Strecke oder eine Kurve verbunden werden, wenn die Eigenschaft auf die Person zutrifft. Der mathematische Begriff, um Beziehungen zwischen den Elementen von zwei Mengen zu beschreiben, heißt Relation. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Relation/Definition|| }} Statt {{ Relationskette | (x,y) |\in| R || || || |SZ= }} schreibt man häufig auch {{mathl|term= R(x,y) |SZ=}} oder {{mathl|term= xRy |SZ=}} und sagt, dass {{Anführung|{{math|term= x |SZ=}} in Relation {{math|term= R |SZ=}} zu {{math|term= y |SZ=}} steht|SZ=.}} Typische mathematische Relationen sind: ist gleich, ist größer als, ist Element von, ist Teilmenge von, ist disjunkt zu, usw. Wenn {{ Relationskette |R |\subseteq| M \times N || || || |SZ= }} eine Relation ist, so heißt für jedes {{ Relationskette | m |\in| M || || || |SZ= }} die Menge{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=In einer solchen Situation sagt man manchmal: {{Anführung|für jedes feste {{math|term= m |SZ=}}}} oder {{Anführung|für jedes beliebige, aber feste {{math|term= m |SZ=.}}}} Damit deutet man an, dass es in {{ Relationskette | N_m || {{Mengebed| y \in N | R(m,y) }} || || || |SZ= }} zwischen den beiden Variablen {{ mathkor|term1= m |und|term2= y |SZ= }} einen Unterschied gibt, da in der Gesamtdefinition {{math|term= m |SZ=}} zwar variabel, innerhalb der Menge aber fest ist, wohingegen {{math|term= y |SZ=}} auch innerhalb der Menge variabel ist| |SZ=. }} {{ Relationskette/display | N_m || {{Mengebed| y \in N | R(m,y)}} || || || |SZ= }} die {{Stichwort|Faser|SZ=}} durch {{math|term= m |SZ=}} und für jedes {{ Relationskette | n |\in| N || || || |SZ= }} heißt die Menge {{ Relationskette/display | M_n || {{Mengebed|x \in M|R(x,n)}} || || || |SZ= }} die Faser durch {{math|term= n |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Essen und Getränke/Relation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Mengentheorie/Relation/Stadt und Autobahn/Beispiel| |zusatz1= {{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Hier wird die Relation inhaltlich erklärt und es wird ihr zugleich sozusagen im Vorbeigehen die Bezeichnung {{math|term= L |SZ=}} gegeben| |SZ=. }} |zusatz2= {{ Zusatz/{{{zusatz3|}}} |text=Hier werden die Variablen ohne expliziten Bezug auf eine Menge, in der sie sich bewegen dürfen, angegeben. Dies steckt aber implizit in der Variablenbenennung drin, das {{math|term= s |SZ=}} soll auf Stadt und das {{math|term= a |SZ=}} auf Autobahn hindeuten| |SZ=. }} }} {{ inputbeispiel |Mengentheorie/Ebene/Inzidenzrelation/Punkte und Geraden/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Mengentheorie/Relation/Menge und Potenzmenge/Inzidenzrelation/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} so3ayymeoz1ibrrtfb96hq0d2b09kcv 0 93206 1077430 906362 2026-04-18T05:21:09Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben für Studierende */ 1077430 wikitext text/x-wiki [[Datei:Spreadsheet.png|miniatur|Einfache Tabellenkalkulation mit [[w:de:OpenOffice.org|OpenOffice.org]]]] Eine '''Tabellenkalkulation''' ist eine [[w:de:Software|Software]] für die [[w:de:Interaktion|interaktive]] Eingabe und Verarbeitung von numerischen und [[w:de:alphanumerisch|alphanumerisch]]en Daten in Form einer [[w:de:Tabelle|Tabelle]]. Vielfach erlaubt sie zusätzlich die grafische Darstellung der Ergebnisse in verschiedenen Anzeigeformen. Das Bildschirmfenster der Software ist dabei in Zeilen und Spalten eingeteilt. Je nach Programm bzw. Bedienungskonzept heißt dieser Bereich zum Beispiel ''Arbeitsblatt'', ''Worksheet'' oder ''Spreadsheet''. Jede Zelle der Tabelle kann eine Konstante (Zahl, Text, Datum, Uhrzeit&nbsp;…) oder eine Formel enthalten. Für die Formeln stehen meist zahlreiche [[w:de:Bibliotheksfunktion|Bibliotheksfunktion]]en zur Verfügung. Die Formeln können Werte aus anderen Zellen benutzen. Bei Änderung der [[w:de:Referenz (Programmierung)|referenzierten]] Zellen einer Formel aktualisiert die Software den erst angezeigten Wert der Formelzelle normalerweise automatisch, ggf. aber auch nur auf Anforderung. Werden Formeln eines Tabellenfeldes an andere Stellen kopiert, muss zwischen absolutem und relativem [[w:de:Zellbezug|Zellbezug]] unterschieden werden. Formelzellen können auf andere Formelzellen verweisen. Mit diesem Prinzip können komplizierte Rechengänge mit vielen verknüpften Teil-Ergebnissen übersichtlich dargestellt werden.<ref>„Tabellenkalkulation“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 13. Oktober 2017, 20:50 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Tabellenkalkulation&oldid=169963210 (Abgerufen: 31. Oktober 2017, 10:43 UTC) </ref> == Aufgaben für Studierende == Betrachten Sie die [https://niebert.github.io/wikiversity_files/ LibreOffice-Datei zur lateralen Inhibition (<kbd>laterale_inhibition.ods</kbd>)]<ref>Niehaus, Bert (2014) LibreOffice Datei zur Lateralen Inhibition - [https://www.github.com/niebert/wikiversity_files GitHub Repository] für Wikiversity Lernressourcen - URL: https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/laterale_inhibition.ods </ref> und analysieren Sie das Konzept der bedingten Formatierung in Hinblick auf die Veranschaulichung von Bildmatrizen und deren digitaler Verarbeitung in Tabellenkalkulation. == Videos == * [https://www.youtube.com/watch?v=qAqhLsNPLhM Erste einfache Berechnungen in LibreOffice Calc] == Bemerkung == Die Definition ist aus Wikipedia entnommen (siehe Literaturquelle). Im Gegensatz zu einer allgemeiner Definition des Begriffs in Wikipedia hat Wikiversity das Ziel, die Lernenden bei der Einführung in die Softwarenutzung unterstützen. == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[R-Statistiksoftware]] == Literatur == 9mngqeic892h7v1vpl0qyz7huwwnzrr 0 93249 1077419 1042347 2026-04-17T16:03:09Z Bocardodarapti 2041 1077419 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Tabelle, in der alle Produkte {{mathl|term= i \cdot j|SZ=}} mit {{ Relationskette |1 | \leq | i,j | \leq | 9 || || |SZ= }} stehen. Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Primfaktorzerlegung| |Kontext=Z| |SZ= }} des Produktes über alle Einträge in der Tabelle. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q1dl39pnrz8lh8hq1qsecaodmoeykp9 0 118198 1077434 1076945 2026-04-18T06:48:43Z Λυκας 38324 1077434 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | S || \{1,2,3\} || || || |SZ=. }} {{ManSie|Man schreibe|Schreiben Sie}} ein Computerprogramm, das die Menge {{math|term= M |SZ=}} aller Abbildungen von {{math|term= S |SZ=}} nach {{math|term= S |SZ=}} auflistet und eine Verknüpfungstabelle für {{math|term= M |SZ=}} ausgibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungsmonoide |Kategorie2=Theorie der Algorithmen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bez7glcv57wxgmope3cc2qk2ddayncf 0 119604 1077487 1045453 2026-04-18T09:26:39Z Bocardodarapti 2041 1077487 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1) folgt aus {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Gruppe/Inverses/Selbstinvers/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} (2). Bei {{ Relationskette | n | \in |\N || || || |SZ= }} ist die Gleichheit eine Definition. Die Behauptung folgt aus {{ Relationskette/display | {{makl| a^{-1} |}}^n \cdot a^n || {{makl| a^{-1} a|}}^n || 1^n || 1 || |SZ=. }} Daraus folgt die Aussage für negatives {{math|term= n |SZ=,}} sagen wir {{ Relationskette | n || -k || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | k | \in | \N || || || |SZ=, }} aus {{ Relationskette/display | a^{-n} || a^k || {{makl| {{makl| a^{-1} |}}^{-1} |}}^k || {{makl| a^{-1} |}}^{-k} || {{makl| a^{-1} |}}^n |SZ=. }} Für (3), (4) siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Gruppe/Potenzgesetze/Funktionalgleichungen/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} svp60zn94keacz24lgucgu3b2dc8pas 0 119627 1077389 1039584 2026-04-17T13:56:52Z Bocardodarapti 2041 1077389 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Kommutativer Ring/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass man jeder natürlichen Zahl {{ Relationskette |n | \in | \N || || || |SZ= }} ein Ringelement {{math|term= n_R |SZ=}} zuordnen kann, derart, dass {{math|term= 0_R |SZ=}} das Nullelement in {{math|term= R |SZ=}} und {{math|term= 1_R|SZ=}} das Einselement in {{math|term= R |SZ=}} ist und dass {{ Relationskette/display | (n+1)_R || n_R+1_R || || || |SZ= }} gilt. Zeige{{n Sie}}, dass diese Zuordnung die Eigenschaften {{ Math/display|term= (n+m)_R = n_R + m_R \text{ und } (nm)_R = n_R \cdot m_R |SZ= }} besitzt. Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen {{math|term=\Z|SZ=}} und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2=Der kanonische Ringhomomorphismus von Z nach einem Ring |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cdji3y1u9j1b5r1e3fu8cz5qwkuo7we 1077393 1077389 2026-04-17T14:21:32Z Bocardodarapti 2041 1077393 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Kommutativer Ring/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass man jeder natürlichen Zahl {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ= }} ein Ringelement {{math|term= n_R |SZ=}} zuordnen kann, derart, dass {{math|term= 0_R |SZ=}} das Nullelement in {{math|term= R |SZ=}} und {{math|term= 1_R|SZ=}} das Einselement in {{math|term= R |SZ=}} ist und dass {{ Relationskette/display | (n+1)_R || n_R+1_R || || || |SZ= }} gilt.{{ManSie|Man zeige|Zeigeen Sie}}, dass diese Zuordnung die Eigenschaften {{ Math/display|term= (n+m)_R = n_R + m_R \text{ und } (nm)_R = n_R \cdot m_R |SZ= }} besitzt. Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der kanonische Ringhomomorphismus von Z nach einem Ring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b4trx82o37n10itracl6l2tawjf3ck2 0 119838 1077406 1027742 2026-04-17T15:12:28Z Bocardodarapti 2041 1077406 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Eine Warnung vorneweg: es sind nicht die allerwichtigsten Eigenschaften einer Abbildung, die durch die wichtigsten Relationseigenschaften beschrieben werden. Dies liegt darin begründet, dass bei einer Abbildung jedes {{ Relationskette |x | \in | M || || || |SZ= }} nur mit genau einem Element {{math|term= y |SZ=}} rechts in Relation steht, nämlich eben mit {{ Relationskette |y || f(x) || || || |SZ=. }} Von daher handelt es sich um eine {{Anführung|dünn besetzte|}} Relation. Die Relationseigenschaften haben aber häufig {{ Zusatz/Klammer |text=symmetrisch, transitiv| |ISZ=|ESZ= }} die Form, dass wenn etwas in Relation steht, dass dann auch etwas anderes in Relation steht, was typischerweise bedeutet, dass viele Paare zur Relation gehören. Machen wir uns die in Frage stehende Relation noch mal kurz klar. {{mathl|term= xRy|SZ=}} bedeutet hier einfach {{ Relationskette |f(x) || y || || || |SZ=, }} also dass {{math|term= x |SZ=}} auf {{math|term= y |SZ=}} abgebildet wird. Die Reflexivität bedeutet {{mathl|term= xRx |SZ=,}} also hier {{ Relationskette | f(x) || x || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | M || || || |SZ=. }} D.h. die einzige Abbildung mit einem reflexiven Graphen ist die Identität. Die Transitivität bedeutet, dass wenn {{math|term= x |SZ=}} unter {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= y |SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} unter {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= z |SZ=}} abgebildet wird, dass dann {{math|term= x |SZ=}} unter {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= z |SZ=}} abgebildet wird. Das hört sich erst mal komisch an, grad wurde ja {{math|term= x |SZ=}} auf {{math|term= y |SZ=}} abgebildet und jetzt soll es auf {{math|term= z |SZ=}} abgebildet werden. Die einzige verbleibende Möglichkeit ist {{ Relationskette |y || z || || || |SZ=. }} D.h. die Transitivität des Graphen bedeutet, dass Elemente, die zum Bild der Abbildung gehören, auf sich selbst abgebildet werden, also {{ Relationskette | f(f(x)) || f(x) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |x | \in | \R || || || |SZ=. }} Hier gibt es aus der linearen Algebra wichtige Beispiele, die sogenannten Projektionen im Sinne von {{ Definitionslink |Definition| |Definitionsseitenname= Projektion/Idempotent/Definition |SZ=. }} Beispielsweise ist die lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \R^2 | \R^2 | (x,y) | (x,0) |SZ=, }} eine solche Projektion, nämlich die Projektion auf die {{math|term= x |SZ=-}}Achse, aufgefasst im {{math|term= \R^2 |SZ=.}} Symmetrie und Antisymmetrie haben mit Fixpunkteigenschaften zu tun. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e9h9mu7zlgdui1nvc9r6uqpk4smy5vh 106 121868 1077412 1076689 2026-04-17T15:46:33Z Bocardodarapti 2041 1077412 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Eins dazu/Anzahl/Aufgabe|p||| |Fingernägel/Reihenfolge/2/Aufgabe|p||| |100 Fakultät/Anzahl der 0 hinten/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Injektive und surjektive Abbildungen/Vergleich für kleine Zahlen/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Surjektiv/Kommutativ/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Graph/Kein Dreierkreis/Nicht bipartit/Aufgabe|p||| |Graph/Paarung/Paarungszahl/1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ebener Graph/Sechs_Farben/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 2csqqfccupsbsjp6gjbwxgivx1prle4 106 121871 1077413 1076686 2026-04-17T15:47:15Z Bocardodarapti 2041 1077413 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe|p||| |Menge/Disjunkte Vereinigung/Bijektion der Potenzmengen/2/Aufgabe|p||| |Eissorten/Auswahl/Lucy/Aufgabe|p||| |Körper/Potenzen/Multiplikationen/Anzahl/Aufgabe|p||| |Vier Geraden/Zwei Schnittpunkte/Raum und Ebene/Aufgabe|p||| |Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/15 über 5/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/Teilerfremd/Aufgabe|p||| |Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 6d23ixmst8l326bdm3vimcg21icapkj 106 121948 1077392 1077345 2026-04-17T14:05:01Z Bocardodarapti 2041 1077392 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Pickel/Ausdrücken/Reihenfolge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/1/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/5371400 und 695700/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ggt und kgV/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Gruppe/x ist y oder Inverses/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 0tvjaqvifb89c252hx1i3zvp7wdz9qe 1077414 1077392 2026-04-17T15:49:29Z Bocardodarapti 2041 1077414 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Pickel/Ausdrücken/Reihenfolge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/1/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/5371400 und 695700/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ggt und kgV/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Gruppe/x ist y oder Inverses/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 7yi001jfrut1w7n2n9ma38a7vfqmw5h 106 121955 1077418 1077343 2026-04-17T15:58:25Z Bocardodarapti 2041 1077418 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe|p||| |Höhle/Taschenlampe/Aufgabe|p||| |Finger und Zehen/Aufteilung/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Bis 1000/Ziffernanzahl/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Quadrat und Kubik/Minimal/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/R/Bijektiv/Umkehrfunktion/Aufgabe|p||| |Bruch/Primfaktorzerlegung/Allgemein/Aufgabe|p||| |Darstellung der 1/11 und 13/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Startwertedifferenz/Differenz/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} hr6vt6frllu4ci2aml2yajvavgbkz6y 106 122343 1077391 1068401 2026-04-17T14:04:33Z Bocardodarapti 2041 1077391 wikitext text/x-wiki [[Holger Brenner/Klausur/Format|Klausurformat]] [[Benutzer:Bocardodarapti/Klausurbewertung/Linear|Klausurbewertung]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/1/Klausur|Beispielklausur 1]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/1/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/2/Klausur|Beispielklausur 2]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/2/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] die folgenden Klausuren sind noch nicht fertig, bitte aber auch studieren und Fehler melden. Es gibt deutlich weniger Aufgaben über Graphen in ihnen als zum anderen Stoff. *[[Kurs:Diskrete Mathematik/3/Klausur|Beispielklausur 3]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/3/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/4/Klausur|Beispielklausur 4]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/4/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/5/Klausur|Beispielklausur 5]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/5/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/6/Klausur|Beispielklausur 6]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/6/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/7/Klausur|Beispielklausur 7]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/7/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/8/Klausur|Beispielklausur 8]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/8/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/9/Klausur|Beispielklausur 9]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/9/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/10/Klausur|Beispielklausur 10]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/10/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/11/Klausur|Beispielklausur 11]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/11/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/12/Klausur|Beispielklausur 12]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/12/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/13/Klausur|Beispielklausur 13]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/13/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/14/Klausur|Beispielklausur 14]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/14/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/15/Klausur|Beispielklausur 15]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/15/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/16/Klausur|Beispielklausur 16]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/16/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/17/Klausur|Beispielklausur 17]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/17/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/18/Klausur|Beispielklausur 18]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/18/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/19/Klausur|Beispielklausur 19]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/19/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/20/Klausur|Beispielklausur 20]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/20/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/21/Klausur|Beispielklausur 21]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/21/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/22/Klausur|Beispielklausur 22]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/22/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/23/Klausur|Beispielklausur 23]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/23/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/24/Klausur|Beispielklausur 24]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/24/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/25/Klausur|Beispielklausur 25]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/25/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] bmnfl4juy41vzsbd3ugc0nkpuxac1sy 0 125959 1077522 1074398 2026-04-18T10:46:59Z Bocardodarapti 2041 1077522 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{Bildskip|}} {{ inputbild |SpektrumQuadratabbildung|xcf|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Sieht aus wie die Wurzel, soll aber die Quadrierung sein. Die Quadratabbildung sieht man, wenn man ausgehend von der hier vertikalen x-Achse horizontal auf den Graphen geht und dann nach unten projiziert. Diese Sichtweise betont, wie die Fasern zu variierendem {{math|term= b |SZ=}} aussieht. |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-sa-by 4.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |P | \in | K[X] || || || |SZ= }} ein Polynom in einer Variablen. Wir betrachten den zugehörigen {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | K[Y] | K[X] | Y | P |SZ=. }} Das Urbild zu einem linearen Primideal {{ Relationskette | (X-a) | \in | K[X] || || || |SZ= }} ist das Primideal {{ Relationskette |(Y-P(a)) | \in | K[Y] || || || |SZ=. }} Dies sieht man am einfachsten, wenn man die Hintereinanderschaltung {{ Math/display|term= K[Y] \longrightarrow K[X] \stackrel{ \text{Ev}_a}{ \longrightarrow } K |SZ= }} betrachtet, die die Evaluation an {{math|term= P(a) |SZ=}} ist, und die Kerne beachtet. Deshalb liegt das kommutative Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| K | {{op:Spek|K[X] |}} | K | {{op:Spek|K[Y] |}} |abb13= P |abb24= }} vor, wobei in den Horizontalen die Zuordnungen {{ mathkor|term1= a \mapsto (X-a) |bzw.|term2= b \mapsto (Y-b) |SZ= }} stehen und rechts die Spektrumsabbildung steht. Die Spektrumsabbildung ist also eine natürliche Erweiterung der durch das Polynom {{math|term= P |SZ=}} direkt definierten Abbildung von {{math|term= K |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=,}} die zusätzlich noch alle Primideale berücksichtigt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2=Theorie der affinen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pg9a9e6zvo9gyx5sm3ruhpbj099saa4 0 128943 1077399 1076261 2026-04-17T14:37:25Z Jeb 26942 1077399 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == April == :) == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] c04yl80lpu6hael1lniwy5sq2pb5mby 1077477 1077399 2026-04-18T08:20:53Z A. Wagner 16035 + Arbeitsstand 1077477 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == April == ;Frühjahrsputz beim Poenicke: <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] 5ylzq2fnhjhuxd7y32mbzxwqtoctoy7 0 147593 1077394 1034030 2026-04-17T14:25:40Z Bocardodarapti 2041 1077394 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit den Verknüpfungen {{math|term= +_R, \cdot_R |SZ=}} und den speziellen Elementen {{math|term= 0_R,1_R |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es genau eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | \N | R || |SZ= }} gibt, die die Eigenschaften {{ Relationskette | \varphi(0) || 0_R || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | \varphi(1) || 1_R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \varphi(m+n) || \varphi(m) +_R \varphi(n) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | m,n | \in | \N || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 96w3fqiv8r45ypfw1xpd5hmb7zljgs2 0 151436 1077415 1034527 2026-04-17T15:50:51Z Bocardodarapti 2041 1077415 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Tabelle, in der alle Produkte {{mathl|term= i \cdot j |SZ=}} mit {{ Relationskette |1 | \leq | i,j | \leq | 9 || || |SZ= }} stehen. {{ Aufzählung3 |Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale {{ Zusatz/Klammer |text=von links oben nach rechts unten| |ISZ=|ESZ= }} eine Quadratzahl? |Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale eine Kubikzahl? |Ist das Produkt über alle Einträge in der Nebendiagonale {{ Zusatz/Klammer |text=von links unten nach rechts oben| |ISZ=|ESZ= }} eine Quadratzahl? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z) |Kategorie2=Theorie der Quadratzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kslmsnhfk6p5e0h3hotl3w8jxpwzymx 0 157148 1077432 1066563 2026-04-18T05:35:52Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ references Tag fehlte 1077432 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Selbstorganisierende Karte'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Selbstorganisierende%20Karte&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Selbstorganisierende%20Karte&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Motivation für neuronale Karten in der [[w:de:Neurophysiologie|Neurophysiologie]] * (2) Mathematische Grundlagen und visuelle Darstellung * (3) Implementation von Methoden z.B. in [[b:de:GNU R|GNU R]] oder [[Octave]] [[Datei:Anatomytool Sensory homunculus English.jpg|mini|Sensorischer Homunculus - Somatotopische Abbildung]] == Zielsetzung == Diese Lernressource ist es ''Selbstorganisierende Karten'' neurophysiologisch zu motivieren und in die mathematische Modellbildung und Implementation der Methoden einzuführen. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Selbstorganisierende Karte'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * Mathematische Grundkenntnisse aus der [[w:de:Lineare Algebra|lineare Algebra]] * Grundvorstellungen zur Funktionsweise von [[w:de:Künstliches neuronales Netz|neuronalen Netzen]] == Begriff und Einbettung des Themas == Als '''Selbstorganisierende Karten''', '''Kohonenkarten''' oder '''Kohonennetze''' (nach [[w:de:Teuvo Kohonen|Teuvo Kohonen]]; {{enS|self-organizing map}}, ''SOM'' bzw. ''{{lang|en|self-organizing feature map}}'', ''SOFM'') bezeichnet man eine Art von [[w:de:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Sie sind als [[w:de:Unüberwachtes Lernen|unüberwachtes Lernverfahren]] ein leistungsfähiges Werkzeug des [[w:de:Data-Mining|Data-Mining]]. === Animation === Deformation eines Netzes durch geclusterte Trainingsdaten [[File:TrainSOM.gif|350px|Deformation eines Netzes durch geclusterte Trainingsdaten ]] === Funktionsprinzip === Das Funktionsprinzip selbstorganisierender Karten beruht auf der biologischen Erkenntnis, dass viele Strukturen im Gehirn eine lineare oder planare [[w:de:Anatomie#Makroskopische Anatomie|neurophysiologische Topologie]] aufweisen. Mathematische Strukturen, mit denen diese neurophysiologische Strukturen modelliert werden können, werden im Kontext der [[w:de:Graphentheorie|Graphentheorie]] und auch der [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] behandelt. === Dimensionsreduktion === Die Signale des Eingangsraums, z.&nbsp;B. visuelle Reize, sind jedoch multidimensional. Es stellt sich also die Frage, wie diese multidimensionalen Eindrücke durch planare Strukturen verarbeitet werden. Biologische Untersuchungen zeigen, dass die Eingangssignale so abgebildet werden, dass ähnliche Reize nahe beieinander liegen. Der [[w:de:Phasenraum|Phasenraum]] der angelegten Reize wird also kartiert. === Sensorische Karte === Erhält eine selbstorganisierende Karte Signale als Eingaben, so werden nur diejenigen Gebiete der Karte erregt, die dem Signal ähnlich sind. Die Neuronenschicht wirkt als ''topologische Merkmalskarte'', wenn die Lage der am stärksten erregten [[w:de:Künstliches Neuron|Neuronen]] in gesetzmäßiger und stetiger Weise mit wichtigen Signalmerkmalen korreliert ist. === Anwendungsgebiete === Anwendung finden selbstorganisierende Karten zum Beispiel in der [[w:de:Computergrafik|Computergrafik]] (als [[w:de:Quantisierung (Signalverarbeitung)|Quantisierungsalgorithmus]] zur [[w:de:Farbreduktion|Farbreduktion]] von [[w:de:Rastergrafik|Rastergrafik]]daten) und zur [[w:de:Clusteranalyse|Clusteranalyse]]. == Laterale Umfeldhemmung == Ein allgemeines Arbeitsprinzip des [[w:de:Nervensystem|Nervensystem]]s ist, dass aktive lokale Gruppen von [[w:de:Nervenzelle|Nervenzelle]]n andere Gruppen ihrer Umgebung hemmen, und somit deren Aktivität unterdrücken (siehe [[w:de:laterale Hemmung|laterale Hemmung]]). Die Aktivität einer Nervenzelle wird daher aus der Überlagerung des erregenden Eingangssignals und den hemmenden Beiträgen aller Schichtneuronen bestimmt. Da diese laterale Hemmung überall gilt, kommt es zu einem ständigen Wettbewerb um die Vorherrschaft. Der Verlauf der lateralen Hemmung ist für kurze Distanzen erregend/verstärkend und für lange Distanzen hemmend/schwächend. Es lässt sich zeigen, dass dieser Effekt ausreichend ist, eine Lokalisierung der Erregungsantwort in der Nähe der maximalen äußeren Erregung zu bewirken. === Laterale Inhibition - Optische Täuschung === Hell-Dunkel-Wechsel als Ausgangsbild für die optische Täuschung. [[File:Laterale Inhibition sinus weiss schwarz.png|450px|Lateral inhibition with sine change of brightness without grey rectangle as image.]] === Laterale Inhibition - Monochromes graues Rechteck === Auf dem gegebenen Hell-Dunkel-Wechsel als Ausgangsbild wird nun ein monochromes graues Rechteck ergänzt. [[File:Lateral inhibition with sine change of brightness with grey rectangle.png|450px|Lateral inhibition with sine change of brightness with grey rectangle]] === Aufgabe - Laterale Inhibition === Das graue Rechtecht ist monochrome. Dennoch scheint sich ein komplementärer Wechsel von helleren zu dunkleren Bereichen von dem benachbarten Übergänge zwischen schwarz und weiß zu induzieren. Nehmen Sie zwei Blätter Papier und bedecken Sie den Bildschirm so, dass nur noch das graue Rechteck zu sehen ist. Die laterale Inhibition is so als optische Täuschung zu erkennen. Erläutern Sie den Mechanismus der [[w:de:laterale Inhibition|lateralen Inhibition]] an diesem Beispiel. Laden Sie die Datei [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/laterale_inhibition.ods laterale_inhibition.ods]<ref>Bert Niehaus (2025) Wikiversity Files for Learning Resources - Laterale Inhibition URL: https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/laterale_inhibition.ods Repository: https://www.github.com/niebert/wikiversity_files </ref> in LibreOffice-Calc als Tabellenkalkulation und analysieren Sie die mathematische Umsetzung der Kantendetektion. == Struktur und Lernen == [[Datei:Self-Organizing Map.jpg|mini|Ein Adaptionsschritt: Der Reiz &#x1D463; zieht an dem Gewichtsvektor &#x1D464; des am besten angepassten Neurons. Dieser Zug wird mit zunehmendem Abstand, gemessen im Competitive Layer vom besten Neuron, zunehmend schwächer. Einfach ausgedrückt, beult sich die Karte in Richtung des Reizes &#x1D463; aus.]] === Eingabeschicht === Eine Eingabeschicht mit &#x1D45B; Neuronen ist vollständig mit allen Neuronen innerhalb der Kohonenkarte (der sogenannte {{lang|en|''competitive layer''}}), im Folgenden einfach Karte, verbunden. Jeder zu kartierende Eingangsreiz &#x1D463; wird über die Verbindungen an jedes Neuron dieser Karte weitergegeben. === Verbindungsgewichte === Die Verbindungsgewichte &#x1D464; zwischen den [[w:de:Künstliches Neuron|Neuronen]] der Eingabeschicht und den Neuronen in der Karte definieren je einen Punkt im Eingangsraum der angelegten Reize &#x1D463;. Alle Neuronen innerhalb der Karte sind untereinander [[w:de:Inhibition (Neuron)|inhibitorisch]] (hemmend) vernetzt. === Erläuterungen zu Iteration === * (1) Die Abbildung zeigt einen Adaptionsschritt im Modell von [[w:de:Teuvo Kohonen|Kohonen]]. Ein Reiz &#x1D463; wird an das Netz angelegt. * (2) Das Netz sucht das Erregungszentrum &#x1D460; in der Karte, dessen Gewichtsvektor &#x1D464; am nächsten zu &#x1D463; liegt (kleinster Abstand). * (3) Der Unterschied zwischen &#x1D464; und &#x1D463; wird in einem Adaptionsschritt verringert. * (4) Die Neuronen nahe am Erregungszentrum &#x1D460; werden auch adaptiert, aber umso weniger, je weiter sie vom Erregungszentrum entfernt sind. === Euklidischer Abstand === Es ist gebräuchlich, aber nicht zwingend, sowohl für die Lernvektoren als auch für die Karte den [[w:de:Euklidischer Abstand|euklidischen Abstand]] als Abstandsmaß zu verwenden. === Epoche für Trainingsdaten === Steht ein Satz verschiedener Trainingsdaten zur Verfügung, so ist eine ''Epoche'' im Training vollständig, wenn alle Reize genau einmal in zufälliger Reihenfolge an die Eingabeschicht angelegt worden sind. Das Training endet, wenn das Netz seinen stabilen Endzustand erreicht hat. === Animation - Training SOM === === Lernen als Interationsprozess === Das Lernen in einer selbstorganisierten Karte kann formal als [[w:de:Iteration|iterativer Prozess]] beschrieben werden. Im Anfangszustand sind die Gewichtsvektoren der Neuronen zufällig im Netz verteilt und in jedem Lernschritt wird an das Netz ein Reiz angelegt. Die selbstorganisierende Karte verändert die Gewichtsvektoren der Neuronen entsprechend der [[w:de:Hebbsche Lernregel|Hebbschen Lernregel]], sodass sich im Laufe der Zeit eine topografische [[w:de:Kartennetzentwurf|Abbildung]] ergibt. == Training einer SOM im Beispiel == Die folgende Tabelle zeigt ein Netz, dessen Neuronen in einem Gitter angeordnet sind und zu Beginn zufällig im Raum verteilt sind. Es wird mit Eingabereizen aus dem Quadrat trainiert, die gleichverteilt sind. {| |- |[[Datei:Gitter BW.png|mini|Zufällig initialisiertes Netz]] |[[Datei:Gitter BW1.png|mini|10 Trainingschritte]] |[[Datei:Gitter BW2.png|mini|100 Trainingsschritte]] |- |[[Datei:Gitter BW3.png|mini|1.000 Trainingsschritte]] |[[Datei:Gitter BW4.png|mini|10.000 Trainingsschritte]] |[[Datei:Gitter BW5.png|mini|100.000 Trainingsschritte]] |} == Formale Beschreibung des Trainings == Gegeben ist eine endliche Menge <math> \mathbb{D} </math> von Trainingsstimuli <math>x^{(i)}</math>, die durch einen n-dimensionalen Vektor <math>\mathbb{R}^n</math> spezifiziert sind: : <math>\mathbb{D} = \{ x^{(i)} = (x^{(i)}_1,\ldots ,x^{(i)}_n) \mid x^{(i)} \in X \subseteq \mathbb{R}^n, i=1,...,d \}</math> Weiterhin sei eine Menge von <math>N</math> Neuronen gegeben, denen jeweils ein Gewichtsvektor <math>w_i \in X \subset \mathbb{R}^n</math> und eine Position k_i auf einer Kohonen-Karte zugeordnet wird. === Beispiel - zweidimensionaler Grundraum === Im weiteren Verlauf wird der Grundraum des Kohonennetzes als zweidimensional angenommen, da so das Prinzip der Kohonennetze gut veranschaulicht werden kann. Die Kartendimension kann beliebig-dimensional gewählt werden, wobei Kartendimensionen kleiner-gleich drei zur Visualisierung von hochdimensionalen Zusammenhängen verwendet werden. Die Positionen auf der Karte sollen diskreten, quadratischen Gitterpunkten entsprechen (alternative Nachbarschaftstopologien wie z.&nbsp;B. hexagonale Topologien sind ebenfalls möglich), und jeder Gitterpunkt soll durch genau ein Neuron besetzt sein: : <math> N = \{ n_i = (w_i, k_i) \mid w_i \in X \subseteq \mathbb{R}^n, k_i \in K^2, i=1,...,\mu _N \} </math> === Lernphase === In der '''Lernphase''' wird aus der Menge der Stimuli zum Präsentationszeitpunkt ''t'' ein Element ''m_j^t'' gleichverteilt zufällig ausgewählt. Dieser Stimulus legt auf der Karte ein Gewinnerneuron ''n_s^t'' fest, das als '''Erregungszentrum''' bezeichnet wird. Es handelt sich dabei um genau das Neuron, dessen Gewichtsvektor ''w_s^t'' den geringsten Abstand im Raum '''X''' zu dem Stimulusvektor ''x_j^t'' besitzt, wobei eine Metrik ''d_X''(.,.) des Inputraumes gegeben sei: : <math> d_X (x^t_j, w^t_s) = min \{ d_X (x^t_j, w^t_i) \mid i=1,...,\mu _N\} </math> Nachdem ''n_s^t'' ermittelt wurde, werden alle Neuronen ''n_i^t'' bestimmt, die neben dem Erregungszentrum ihre Gewichtsvektoren anpassen dürfen. Es handelt sich dabei um die Neuronen, deren Entfernung ''d_A''(''k_s'', ''k_i'') auf der Karte nicht größer ist als ein zeitabhängiger Schwellenwert, der als '''Entfernungsreichweite''' δ^t bezeichnet wird, wobei eine Metrik ''d_A''(.,.) der Karte gegeben sei. Diese Neuronen werden in einer Teilmenge '''N^+t''' ⊂ '''N^t''' zusammengefasst: : <math> N^{+t} = \{ n_i = (w_i,k_i) \mid d_A(k_s,k_i) \leq \delta^t \} </math> Im folgenden Adaptionsschritt wird auf alle Neuronen aus '''N^+t''' ein Lernschritt angewendet, der die Gewichtsvektoren verändert. Der Lernschritt ist interpretierbar als eine Verschiebung der Gewichtsvektoren in Richtung des Stimulusvektors ''x_j^t''. Es wird entsprechend dem Modell von Ritter et al. (1991) dabei die folgende Adaptionsregel verwendet: : <math> w_s^{t+1} = w_s^t + \epsilon^t \cdot h_{si}^t \cdot (x_j - w_s^t) </math> mit den zeitabhängigen Parametergleichungen ε^t und ''h_si^t'', die festgelegt werden als: 1) Die zeitabhängige [[w:de:Lernrate|Lernrate]] ε^t: : <math> \epsilon^t = \epsilon_\text{start} \cdot \left( \frac{\epsilon_\text{end}} {\epsilon_\text{start}} \right) ^ {\frac{t}{t_{\text{max}}}} </math> mit der Startlernrate ε_start und ε_end als der Lernrate zum Ende des Verfahrens, d.&nbsp;h. nach t_max Stimuluspräsentationen. 2) Die zeitabhängige Entfernungsgewichtungsfunktion ''h_si^t'': : <math> h_{si}^t = e^{\frac{-d_A(k_s,k_i)^2}{2 \cdot (\delta^{t})^{2} } } </math> mit δ^t als dem Nachbarschafts- oder Adaptionsradius um das Gewinner-Neuron auf der Karte: : <math> \delta^t=\delta_\text{start} \cdot \left( \frac{\delta_\text{end}}{\delta_\text{start}} \right) ^{\frac{t}{t_\text{max}}} </math> mit dem Adaptionsradius δ_start zum Anfang des Verfahrens, und δ_end als dem Adaptionsradius zum Ende des Verfahrens. Damit eine topologie-erhaltende Abbildung entsteht, d.&nbsp;h., dass benachbarte Punkte im Inputraum '''X''' auf benachbarte Punkte auf der Karte abgebildet werden, müssen zwei Faktoren berücksichtigt werden: # Die topologische Nachbarschaft ''h_si^t'' um das Erregungszentrum muss anfangs groß gewählt und im Laufe des Verfahrens verkleinert werden. # Die Adaptionsstärke ε^t muss ausgehend von einem großen Wert im Laufe des Verfahrens auf einen kleinen Restwert sinken. In dem dargestellten Lernprozess werden t_max Präsentationen durchgeführt, wonach die SOM in die '''Anwendungsphase''' überführt werden kann, in der Stimuli präsentiert werden, die in der Lernmenge nicht vorkamen. Ein solcher Stimulus wird dem Gewinnerneuron zugeordnet, dessen Gewichtsvektor die geringste Distanz von dem Stimulusvektor besitzt, sodass dem Stimulus über den Umweg des Gewichtsvektors ein Neuron und eine Position auf der Neuronenkarte zugeordnet werden kann. Auf diese Weise wird der neue Stimulus automatisch klassifiziert und visualisiert. == Varianten der SOM == Es wurden eine Vielzahl von Varianten und Erweiterungen zu dem ursprünglichen Modell von Kohonen entwickelt, u.&nbsp;a.: * Kontext-SOM (K-SOM) * Temporäre SOM (T-SOM) * Motorische SOM (M-SOM) * [[w:de:Neuronen-Gas|Neuronen-Gas]] (NG-SOM) * Wachsende Zellstrukturen (GCS-SOM) * Wachsende Gitterstruktur (GG-SOM) * Wachsende hierarchische SOM (GH-SOM) * [[w:de:GNG-SOM|Wachsendes Neuronen-Gas (GNG-SOM)]] * [[w:de:Parametrische SOM|Parametrische SOM]] (P-SOM) * [[w:de:Hyperbolische SOM|Hyperbolische SOM]] (H-SOM) * Interpolierende SOM (I-SOM) * Local-Weighted-Regression-SOM (LWR-SOM) * Selektive-Aufmerksamkeits-SOM (SA-SOM) * Gelernte Erwartungen in GNG-SOMs (LE-GNG-SOM) * Fuzzy-SOM (F-SOM) * Adaptive-Subraum-SOM (AS-SOM) * Generative Topographische Karte (GTM) == Literatur == * Günter Bachelier: ''Einführung in selbstorganisierende Karten''. Tectum-Verlag, Marburg 1998, ISBN 3-8288-5017-0 * [[w:de:Teuvo Kohonen|Teuvo Kohonen]]: ''Self-Organizing Maps''. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-58600-8 * [[w:de:Helge Ritter|Helge Ritter]], [[w:de:Thomas Martinetz|Thomas Martinetz]], Klaus Schulten: ''Neuronale Netze. Eine Einführung in die Neuroinformatik selbstorganisierender Netzwerke''. Addison-Wesley, Bonn 1991, ISBN 3-89319-131-3 == Weblinks == {{Commonscat|Self-organizing maps|Selbstorganisierende Karte}} * [http://demogng.de/js/demogng.html?model=SOM&showAutoRestart DemoGNG.js] JavaScript Simulator für SOMs und andere Netzwerkmodelle (Neural Gas, Growing Neural Gas, Growing Grid etc.) * [https://github.com/ANNetGPGPU/ANNetGPGPU ANNetGPGPU]: C++ Library mit einer Implementierung für SOMs auf GPUs und CPUs und Python Interface * [http://www.cis.hut.fi/research/som-research/ SOM-Research] an der Helsinki University of Technology (Teuvo Kohonen) * Über SOM in der [ftp://ftp.sas.com/pub/neural/FAQ.html#A_Kohonen_SOM comp.ai.neural-nets FAQ] * [http://www.ifs.tuwien.ac.at/dm/somtoolbox/ Java SOMToolbox]: Open-Source-Anwendung zum Erstellen, Analysieren und Interagieren mit Selbstorganisierenden Karten, entwickelt an der Technischen Universität Wien. * Ultsch Marburg: [https://www.uni-marburg.de/fb12/datenbionik Datenbionik] – Datenvisualisierung und Data-Mining mit Emergenten SOM. * [https://musicminer.sf.net/ MusicMiner]: Visualisierung von Musiksammlungen ESOM * [http://www.gnod.net/ GNOD], ''The '''G'''lobal '''N'''etwork '''o'''f '''D'''reams'', ein Kohonen-Netz zur Bestimmung von Ähnlichkeiten von [https://www.gnoosic.com/ Musik], [https://www.gnovies.com/ Film] und [https://www.gnooks.com/ Buchautoren] * [http://www.informatik.htw-dresden.de/~iwe/Belege/Schneider/som.html Demonstrationsbeispiel]: HTW Dresden – ein SOM fängt einen Ball * [https://www.viscovery.net/somine Viscovery SOMine]: SOM Technologie Tool von Viscovery * [https://www.nnwj.de/ Neural Networks with Java] [[Kategorie:Neuroinformatik]] [[Kategorie:Maschinelles Lernen]] [[Kategorie:Computational Neuroscience]] [[Kategorie:Clusteranalyse]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Selbstorganisierende%20Karte&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Selbstorganisierende%20Karte&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Selbstorganisierende%20Karte&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Selbstorganisierende%20Karte&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Maschinelles%20Lernen Kurs:Maschinelles Lernen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Selbstorganisierende%20Karte https://de.wikiversity.org/wiki/Selbstorganisierende%20Karte] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Selbstorganisierende%20Karte Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Selbstorganisierende%20Karte * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Selbstorganisierende%20Karte&author=Kurs:Maschinelles%20Lernen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Selbstorganisierende%20Karte&coursetitle=Kurs:Maschinelles%20Lernen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Selbstorganisierende%20Karte Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Selbstorganisierende%20Karte Selbstorganisierende Karte] https://de.wikipedia.org/wiki/Selbstorganisierende%20Karte * Datum: 13.6.2024 * [https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 0wvisv3zd0u1io14ldyszay90obnkud 106 160377 1077416 1077348 2026-04-17T15:51:35Z Bocardodarapti 2041 1077416 wikitext text/x-wiki {{ Klausur24{{{opt|}}} |Endliche Permutation/Element mit Ordnung/Größer/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe|p||| |Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/5 und 8/1/Aufgabe|p||| |Metallstäbe/Länge/Darstellung/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Z/GgT/Faktoren/Beispiele/Aufgabe|p||| |KgV/Primzahlzerlegung/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod p/Additive und multiplikative Ordnung sind teilerfremd/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe|p||| |Binomische Formeln/999/Aufgabe|p||| |Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Teileranzahl/Ungerade/Quadratzahl/Aufgabe|p||| |Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe|p||| |Teilbarkeit (N)/Produkt von drei Zahlen/Minimale Anzahl an Teilern/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 17/Inverses Element zu 8/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p||| |Größter gemeinsamer Teiler/4369, 4131, 3383/Aufgabe|p||| |KgV/116901 und 138689/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Wurzel/Gruppenhomomorphismus/Verschiedene Verknüpfungen/Aufgabe|p||| |Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Multiplikation/Gruppenhomomorphismus/Kern/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(1,1) und (1,-1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/R nach Q/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 78e3h66746mrbj4i556jr447udn777d 1077421 1077416 2026-04-17T16:29:22Z Bocardodarapti 2041 1077421 wikitext text/x-wiki {{ Klausur24{{{opt|}}} |Endliche Permutation/Element mit Ordnung/Größer/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |Binomische Formeln/999/Aufgabe|p||| |Term/Einsetzen/4/Aufgabe|p||| |Polynom/Einsetzung/Beispiel/1/Aufgabe|p||| |Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe|p||| |Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe|p||| |Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/5 und 8/1/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/7 und 10/1/Aufgabe|p||| |Metallstäbe/Länge/Darstellung/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Z/GgT/Faktoren/Beispiele/Aufgabe|p||| |KgV/Primzahlzerlegung/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/2/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe|p||| |Exponent/72657/Zu 3/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/10!/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Letzte Ziffer/3/Bedingungen/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Produkt aller Zahlen/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |Vier natürliche Zahlen/Hintereinander/Produkt/Teilbar durch 8/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Abstand 6/Aufgabe|p||| |Teileranzahl/Unter 1000/Rekord/Aufgabe|p||| |Fakultäten/GgT und KgV/Aufgabe|p||| |10/Teilerfremd/Endziffer/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Potenzierung/Identität/Aufgabe|p||| |Z mod 7/Modulo x^3+4x^2+x+5/(2x^2+5x+3)(3x^2+x+6)/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod p/Additive und multiplikative Ordnung sind teilerfremd/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Dritte Potenz/Wertetabelle/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Potenzierung/Identität/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe|p||| |Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Teileranzahl/Ungerade/Quadratzahl/Aufgabe|p||| |Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe|p||| |Teilbarkeit (N)/Produkt von drei Zahlen/Minimale Anzahl an Teilern/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 17/Inverses Element zu 8/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p||| |Größter gemeinsamer Teiler/4369, 4131, 3383/Aufgabe|p||| |KgV/116901 und 138689/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Wurzel/Gruppenhomomorphismus/Verschiedene Verknüpfungen/Aufgabe|p||| |Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Multiplikation/Gruppenhomomorphismus/Kern/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(1,1) und (1,-1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/R nach Q/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 23u0ezgwesqg90jihixnc9vhz1zpq6y 0 167926 1077435 1063044 2026-04-18T06:59:36Z Bert Niehaus 20843 /* 1. Zugänglichkeit */ 1077435 wikitext text/x-wiki == Einleitung == OSCAR (Open Source Core Access Rules) fasst Aspekte zusammen, die sich auf die Zugänglichkeit und den Schutz von Open-Source-Software (OSS) im Sinne von [[w:en:Privacy_by_design|Privacy by Design]] konzentriert. == 1. Zugänglichkeit== * Alle Open-Source-Software (OSS) muss frei zugänglich sein, d.h. jede(r) Benutzer:in muss die Möglichkeit haben, die Software kostenlos zu nutzen, zu modifizieren und zu verteilen. * Die Software muss unter einer Open-Source-Lizenz stehen, die die oben genannten Rechte gewährt. * In der Kernfunktionalität (OSCAR-Version) wurde keine Telemetrie verbaut, die nicht für die Kernfunktionalität notwendig ist. Telemetriedaten können einerseits für die Entwicklerinnen und Entwickler wichtige Hinweise für die Optimierung liefern oder auch ein ungewollte Client-Serverkommunikation aufbauen. * Versionsmanagement der OSS erlaubt interne Tests vor der Einführung von neuen Softwareversionen (Releases). Sind weiterhin Sicherheitsaspekte und Anforderungen für den produktiven Einsatz erfüllt. == 2. Offenheit== * Der Quellcode der Software muss öffentlich zugänglich sein, d.h. jeder Benutzer muss die Möglichkeit haben, den Quellcode zu lesen, zu modifizieren und zu verteilen. * Die Software muss in einem offenen Format vorliegen, das von jedem Benutzer gelesen und bearbeitet werden kann. * Wenn eine Software eine OSCAR-Version ohne [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] bereitstellt, so sollten auch die Derivate in einer offenen OSCAR-Version vorliegen, damit auch weiterhin alle Benutzer telemetriefrei Software verwenden kann kann. * Wenn eine Client-Server-Kommunikation durchgeführt wird, muss kenntlich gemacht werden, ob die Funktionalität des OpenSource-Client von eine unfreien Dienst als Serverbackend abhängt (z.B. in [[w:de:F-Droid|F-Droid]] umgesetzt). == 3. Modifikationsrecht== * Alle Nutzer:innen haben das Recht haben, die Software zu modifizieren und zu verbessern und zu einer [[w:de:Telemetrie (Software)|telemetriebasierten]] Version auch eine OSCAR-kompatible (z.B. Offline-Version) zu erstellen oder den Client nur mit unter eigener oder vertrauenswürdiger Serverinfrastruktur kommunizieren lassen. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie einfach modifiziert werden kann, ohne dass spezifische Kenntnisse oder Werkzeuge erforderlich sind. * OSCAR-kompatible modulare Softwarekonzepte sollte in eine transparenten Verweiskette auch alle Teilmodule in einer OSCAR-kompatiblen Form nutzbar sein, damit z.B. nicht durch die Kompilierung von Teilmodul die Telemetriefreiheit verletzt wird, bzw. Austausch von Daten über Telemetrie erfolgt, die nicht von einer Forschungs- oder Bildungseinrichtung gewünscht ist. * [[w:de:Compiler|Compiler]] sollten keine [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] in die compilierte OpenSource-Software integrieren, insbesondere dann, wenn der OpenSource-Quellcode keine Codezeilen für Telemetrie und kommerzielle Datenernte enthält. == 4. Verteilungsrecht== * Alle Nutzer haben das Recht, die Software auch in einer OSCAR-kompatiblen Version zu verteilen und zu teilen (z.B. ohne Telemetrie bzw. nur mit Telemetrie für eine festgelegten Telemetrieendpunkt z.B. für eine Forschungs- und Bildungseinrichtung). * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie einfach verteilt werden kann, ohne dass spezifische Kenntnisse oder Werkzeuge erforderlich sind, um z.B. ggf. erst technische aufwendig aus einer Version mit [[kommerzielle Datenernte|kommerzieller Datenernte]] eine OSCAR-kompatible Basisversion erstellen zu müssen. == 5. Schutz der Gemeinschaft== * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie die Gemeinschaft der Benutzer schützt und fördert. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie die Privatsphäre und die Sicherheit der Benutzer schützt.Compiler * Offlinefähige OpenSource-Software kommunziert in der OSCAR-Version mit keinem anderen Server und versendet im Sinne von [[w:en:Privacy by Design|Privacy by Design]] bzw. [[w:de:Datenvermeidung_und_Datensparsamkeit|Datenvermeidung und Datensparsamkeit]] keine Daten, die die Privatsphäre und die Sicherheit der Benutzer verletzen. == 6. Dokumentation== * Die Software muss ausreichend dokumentiert sein, um dass die Benutzer die Software einfach nutzen und modifizieren können. * Die Dokumentation muss öffentlich zugänglich sein und regelmäßig aktualisiert werden. == 7. Kompatibilität== * Die Software sollte so gestaltet sein, dass sie mit anderen Open-Source-Software kompatibel ist und keine Notwendigkeit indirekt erzeugt, proprietäre Dienst für die Funktionaliät zwingend erforderlich sind. * Die Software sollte so gestaltet sein, dass sie auf verschiedenen Plattformen und Betriebssystemen laufen kann. * OSCAR-kompatible Komponenten sollte bei kompatiblen OpenSource-Lizenzen keine Abhängigkeiten erzeugen, die nicht OSCAR-kompatibel sind. * Es wird kenntlich gemacht, welche Bibliotheken verwendet werden, die nicht OSCAR-kompatibel sind. == 8. Transparenz== * Die Software sollte so gestaltet sein, dass die Entscheidungsfindung für die Auswahl von Modulen und die Entwicklung transparent sind. * Telemetrieendpunkte der Client-Server-Kommunikation können von den Nutzer:innen zumindest festgelegt werden- * Die Software sollte so gestaltet sein, dass die Benutzer die Möglichkeit haben, an der Entwicklung teilzunehmen und ihre Meinungen zu äußern und auf Verletzung von OSCAR-Anforderungen zu kommunizieren. == 9. Serverunabhängigkeit== * Die Software muss in einer Basisversion ohne Serverbackend auskommen oder nur mit Serverinfrastruktur auf Open-Source-Basis kommunizieren. * Die Serverinfrastruktur muss von den Nutzer:innen ausgewählt werden können, um die Unabhängigkeit und die Kontrolle über die eigenen Daten zu gewährleisten. * Eine Serverkommunikation muss nur dann erfolgen, wenn diese für die Funktionalität der Software zwingend notwendig ist. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie ohne Serverkommunikation funktioniert, wenn dies technisch möglich ist. == 10. Datensouveränität== * Die Software muss so gestaltet sein, dass die Benutzer die volle Kontrolle über ihre eigenen Daten haben. * Die Software muss so gestaltet sein, dass die Benutzer ihre Daten jederzeit exportieren und auf andere Plattformen übertragen können. == Zusammenfassung == Dieses Aspekte von OSCAR sollen die Unabhängigkeit und die Kontrolle der Benutzer:innen über ihre eigenen Daten gewährleisten und auch bei Client-Server-Kommunikation [[kommerzielle Datenernte]] über ungewollte [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] vermeiden und die Unabhängigkeit von Open-Source-Software fördern. Die Transparenz und die Kompatibilität von Open-Source-Software verbessern, damit ein modulares (z.B. [[Objektorientierte Programmierung|objektorientiertes]]) Softwarekonzept durch Vererbung ungewollte [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] in alle darauf aufbauende Software integriert wird. == Siehe auch == * [[kommerzielle Datenernte]] * [[w:de:Datenvermeidung_und_Datensparsamkeit|Datenvermeidung und Datensparsamkeit]] * [[w:en:Privacy_by_design|Privacy by Design - PbD]] * [[w:en:AppLSAC|AppLSAC]] cz7cn7vz545ezmyowo6ga8vituca0a6 1077436 1077435 2026-04-18T07:02:06Z Bert Niehaus 20843 /* 1. Zugänglichkeit */ 1077436 wikitext text/x-wiki == Einleitung == OSCAR (Open Source Core Access Rules) fasst Aspekte zusammen, die sich auf die Zugänglichkeit und den Schutz von Open-Source-Software (OSS) im Sinne von [[w:en:Privacy_by_design|Privacy by Design]] konzentriert. == 1. Zugänglichkeit== * Alle Open-Source-Software (OSS) muss frei zugänglich sein, d.h. jede(r) Benutzer:in muss die Möglichkeit haben, die Software kostenlos zu nutzen, zu modifizieren und zu verteilen. * Die Software muss unter einer Open-Source-Lizenz stehen, die die oben genannten Rechte gewährt. * In der Kernfunktionalität (OSCAR-Version) wurde keine Telemetrie verbaut, die nicht für die Kernfunktionalität notwendig ist. Telemetriedaten können einerseits für die Entwicklerinnen und Entwickler wichtige Hinweise für die Optimierung liefern oder auch ein ungewollte Client-Serverkommunikation aufbauen. * Versionsmanagement der OSS erlaubt interne Tests vor der Einführung von neuen Softwareversionen (Releases). Kernfrage ist dabei, ob weiterhin Sicherheitsaspekte und Anforderungen für den produktiven Einsatz der Version erfüllt oder ist ein [[Fork (Software)|Fork]] der Software in Kooperation mit anderen Einrichtungen notwendig, um die Anforderungen weiterhin zu erfüllen. == 2. Offenheit== * Der Quellcode der Software muss öffentlich zugänglich sein, d.h. jeder Benutzer muss die Möglichkeit haben, den Quellcode zu lesen, zu modifizieren und zu verteilen. * Die Software muss in einem offenen Format vorliegen, das von jedem Benutzer gelesen und bearbeitet werden kann. * Wenn eine Software eine OSCAR-Version ohne [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] bereitstellt, so sollten auch die Derivate in einer offenen OSCAR-Version vorliegen, damit auch weiterhin alle Benutzer telemetriefrei Software verwenden kann kann. * Wenn eine Client-Server-Kommunikation durchgeführt wird, muss kenntlich gemacht werden, ob die Funktionalität des OpenSource-Client von eine unfreien Dienst als Serverbackend abhängt (z.B. in [[w:de:F-Droid|F-Droid]] umgesetzt). == 3. Modifikationsrecht== * Alle Nutzer:innen haben das Recht haben, die Software zu modifizieren und zu verbessern und zu einer [[w:de:Telemetrie (Software)|telemetriebasierten]] Version auch eine OSCAR-kompatible (z.B. Offline-Version) zu erstellen oder den Client nur mit unter eigener oder vertrauenswürdiger Serverinfrastruktur kommunizieren lassen. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie einfach modifiziert werden kann, ohne dass spezifische Kenntnisse oder Werkzeuge erforderlich sind. * OSCAR-kompatible modulare Softwarekonzepte sollte in eine transparenten Verweiskette auch alle Teilmodule in einer OSCAR-kompatiblen Form nutzbar sein, damit z.B. nicht durch die Kompilierung von Teilmodul die Telemetriefreiheit verletzt wird, bzw. Austausch von Daten über Telemetrie erfolgt, die nicht von einer Forschungs- oder Bildungseinrichtung gewünscht ist. * [[w:de:Compiler|Compiler]] sollten keine [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] in die compilierte OpenSource-Software integrieren, insbesondere dann, wenn der OpenSource-Quellcode keine Codezeilen für Telemetrie und kommerzielle Datenernte enthält. == 4. Verteilungsrecht== * Alle Nutzer haben das Recht, die Software auch in einer OSCAR-kompatiblen Version zu verteilen und zu teilen (z.B. ohne Telemetrie bzw. nur mit Telemetrie für eine festgelegten Telemetrieendpunkt z.B. für eine Forschungs- und Bildungseinrichtung). * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie einfach verteilt werden kann, ohne dass spezifische Kenntnisse oder Werkzeuge erforderlich sind, um z.B. ggf. erst technische aufwendig aus einer Version mit [[kommerzielle Datenernte|kommerzieller Datenernte]] eine OSCAR-kompatible Basisversion erstellen zu müssen. == 5. Schutz der Gemeinschaft== * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie die Gemeinschaft der Benutzer schützt und fördert. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie die Privatsphäre und die Sicherheit der Benutzer schützt.Compiler * Offlinefähige OpenSource-Software kommunziert in der OSCAR-Version mit keinem anderen Server und versendet im Sinne von [[w:en:Privacy by Design|Privacy by Design]] bzw. [[w:de:Datenvermeidung_und_Datensparsamkeit|Datenvermeidung und Datensparsamkeit]] keine Daten, die die Privatsphäre und die Sicherheit der Benutzer verletzen. == 6. Dokumentation== * Die Software muss ausreichend dokumentiert sein, um dass die Benutzer die Software einfach nutzen und modifizieren können. * Die Dokumentation muss öffentlich zugänglich sein und regelmäßig aktualisiert werden. == 7. Kompatibilität== * Die Software sollte so gestaltet sein, dass sie mit anderen Open-Source-Software kompatibel ist und keine Notwendigkeit indirekt erzeugt, proprietäre Dienst für die Funktionaliät zwingend erforderlich sind. * Die Software sollte so gestaltet sein, dass sie auf verschiedenen Plattformen und Betriebssystemen laufen kann. * OSCAR-kompatible Komponenten sollte bei kompatiblen OpenSource-Lizenzen keine Abhängigkeiten erzeugen, die nicht OSCAR-kompatibel sind. * Es wird kenntlich gemacht, welche Bibliotheken verwendet werden, die nicht OSCAR-kompatibel sind. == 8. Transparenz== * Die Software sollte so gestaltet sein, dass die Entscheidungsfindung für die Auswahl von Modulen und die Entwicklung transparent sind. * Telemetrieendpunkte der Client-Server-Kommunikation können von den Nutzer:innen zumindest festgelegt werden- * Die Software sollte so gestaltet sein, dass die Benutzer die Möglichkeit haben, an der Entwicklung teilzunehmen und ihre Meinungen zu äußern und auf Verletzung von OSCAR-Anforderungen zu kommunizieren. == 9. Serverunabhängigkeit== * Die Software muss in einer Basisversion ohne Serverbackend auskommen oder nur mit Serverinfrastruktur auf Open-Source-Basis kommunizieren. * Die Serverinfrastruktur muss von den Nutzer:innen ausgewählt werden können, um die Unabhängigkeit und die Kontrolle über die eigenen Daten zu gewährleisten. * Eine Serverkommunikation muss nur dann erfolgen, wenn diese für die Funktionalität der Software zwingend notwendig ist. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie ohne Serverkommunikation funktioniert, wenn dies technisch möglich ist. == 10. Datensouveränität== * Die Software muss so gestaltet sein, dass die Benutzer die volle Kontrolle über ihre eigenen Daten haben. * Die Software muss so gestaltet sein, dass die Benutzer ihre Daten jederzeit exportieren und auf andere Plattformen übertragen können. == Zusammenfassung == Dieses Aspekte von OSCAR sollen die Unabhängigkeit und die Kontrolle der Benutzer:innen über ihre eigenen Daten gewährleisten und auch bei Client-Server-Kommunikation [[kommerzielle Datenernte]] über ungewollte [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] vermeiden und die Unabhängigkeit von Open-Source-Software fördern. Die Transparenz und die Kompatibilität von Open-Source-Software verbessern, damit ein modulares (z.B. [[Objektorientierte Programmierung|objektorientiertes]]) Softwarekonzept durch Vererbung ungewollte [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] in alle darauf aufbauende Software integriert wird. == Siehe auch == * [[kommerzielle Datenernte]] * [[w:de:Datenvermeidung_und_Datensparsamkeit|Datenvermeidung und Datensparsamkeit]] * [[w:en:Privacy_by_design|Privacy by Design - PbD]] * [[w:en:AppLSAC|AppLSAC]] fsnxbn940gl74kdjd8x7nfth8dbvyk0 1077437 1077436 2026-04-18T07:04:03Z Bert Niehaus 20843 /* 1. Zugänglichkeit */ 1077437 wikitext text/x-wiki == Einleitung == OSCAR (Open Source Core Access Rules) fasst Aspekte zusammen, die sich auf die Zugänglichkeit und den Schutz von Open-Source-Software (OSS) im Sinne von [[w:en:Privacy_by_design|Privacy by Design]] konzentriert. == 1. Zugänglichkeit== * Alle Open-Source-Software (OSS) muss frei zugänglich sein, d.h. jede(r) Benutzer:in muss die Möglichkeit haben, die Software kostenlos zu nutzen, zu modifizieren und zu verteilen. * Die Software muss unter einer Open-Source-Lizenz stehen, die die oben genannten Rechte gewährt. * In der Kernfunktionalität (OSCAR-Version) wurde keine Telemetrie verbaut, die nicht für die Kernfunktionalität notwendig ist. Telemetriedaten können einerseits für die Entwicklerinnen und Entwickler wichtige Hinweise für die Optimierung liefern oder auch ein ungewollte Client-Serverkommunikation aufbauen. * Versionsmanagement der OSS erlaubt interne Tests vor der Einführung von neuen Softwareversionen (Releases). Kernfrage ist dabei, ob weiterhin Sicherheitsaspekte und Anforderungen für den produktiven Einsatz der Version erfüllt sind oder ein [[Fork (Software)|Fork der Software]] in Kooperation mit anderen Einrichtungen notwendig ist, um die Anforderungen für den Produktiveinsatz weiterhin zu erfüllen. == 2. Offenheit== * Der Quellcode der Software muss öffentlich zugänglich sein, d.h. jeder Benutzer muss die Möglichkeit haben, den Quellcode zu lesen, zu modifizieren und zu verteilen. * Die Software muss in einem offenen Format vorliegen, das von jedem Benutzer gelesen und bearbeitet werden kann. * Wenn eine Software eine OSCAR-Version ohne [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] bereitstellt, so sollten auch die Derivate in einer offenen OSCAR-Version vorliegen, damit auch weiterhin alle Benutzer telemetriefrei Software verwenden kann kann. * Wenn eine Client-Server-Kommunikation durchgeführt wird, muss kenntlich gemacht werden, ob die Funktionalität des OpenSource-Client von eine unfreien Dienst als Serverbackend abhängt (z.B. in [[w:de:F-Droid|F-Droid]] umgesetzt). == 3. Modifikationsrecht== * Alle Nutzer:innen haben das Recht haben, die Software zu modifizieren und zu verbessern und zu einer [[w:de:Telemetrie (Software)|telemetriebasierten]] Version auch eine OSCAR-kompatible (z.B. Offline-Version) zu erstellen oder den Client nur mit unter eigener oder vertrauenswürdiger Serverinfrastruktur kommunizieren lassen. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie einfach modifiziert werden kann, ohne dass spezifische Kenntnisse oder Werkzeuge erforderlich sind. * OSCAR-kompatible modulare Softwarekonzepte sollte in eine transparenten Verweiskette auch alle Teilmodule in einer OSCAR-kompatiblen Form nutzbar sein, damit z.B. nicht durch die Kompilierung von Teilmodul die Telemetriefreiheit verletzt wird, bzw. Austausch von Daten über Telemetrie erfolgt, die nicht von einer Forschungs- oder Bildungseinrichtung gewünscht ist. * [[w:de:Compiler|Compiler]] sollten keine [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] in die compilierte OpenSource-Software integrieren, insbesondere dann, wenn der OpenSource-Quellcode keine Codezeilen für Telemetrie und kommerzielle Datenernte enthält. == 4. Verteilungsrecht== * Alle Nutzer haben das Recht, die Software auch in einer OSCAR-kompatiblen Version zu verteilen und zu teilen (z.B. ohne Telemetrie bzw. nur mit Telemetrie für eine festgelegten Telemetrieendpunkt z.B. für eine Forschungs- und Bildungseinrichtung). * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie einfach verteilt werden kann, ohne dass spezifische Kenntnisse oder Werkzeuge erforderlich sind, um z.B. ggf. erst technische aufwendig aus einer Version mit [[kommerzielle Datenernte|kommerzieller Datenernte]] eine OSCAR-kompatible Basisversion erstellen zu müssen. == 5. Schutz der Gemeinschaft== * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie die Gemeinschaft der Benutzer schützt und fördert. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie die Privatsphäre und die Sicherheit der Benutzer schützt.Compiler * Offlinefähige OpenSource-Software kommunziert in der OSCAR-Version mit keinem anderen Server und versendet im Sinne von [[w:en:Privacy by Design|Privacy by Design]] bzw. [[w:de:Datenvermeidung_und_Datensparsamkeit|Datenvermeidung und Datensparsamkeit]] keine Daten, die die Privatsphäre und die Sicherheit der Benutzer verletzen. == 6. Dokumentation== * Die Software muss ausreichend dokumentiert sein, um dass die Benutzer die Software einfach nutzen und modifizieren können. * Die Dokumentation muss öffentlich zugänglich sein und regelmäßig aktualisiert werden. == 7. Kompatibilität== * Die Software sollte so gestaltet sein, dass sie mit anderen Open-Source-Software kompatibel ist und keine Notwendigkeit indirekt erzeugt, proprietäre Dienst für die Funktionaliät zwingend erforderlich sind. * Die Software sollte so gestaltet sein, dass sie auf verschiedenen Plattformen und Betriebssystemen laufen kann. * OSCAR-kompatible Komponenten sollte bei kompatiblen OpenSource-Lizenzen keine Abhängigkeiten erzeugen, die nicht OSCAR-kompatibel sind. * Es wird kenntlich gemacht, welche Bibliotheken verwendet werden, die nicht OSCAR-kompatibel sind. == 8. Transparenz== * Die Software sollte so gestaltet sein, dass die Entscheidungsfindung für die Auswahl von Modulen und die Entwicklung transparent sind. * Telemetrieendpunkte der Client-Server-Kommunikation können von den Nutzer:innen zumindest festgelegt werden- * Die Software sollte so gestaltet sein, dass die Benutzer die Möglichkeit haben, an der Entwicklung teilzunehmen und ihre Meinungen zu äußern und auf Verletzung von OSCAR-Anforderungen zu kommunizieren. == 9. Serverunabhängigkeit== * Die Software muss in einer Basisversion ohne Serverbackend auskommen oder nur mit Serverinfrastruktur auf Open-Source-Basis kommunizieren. * Die Serverinfrastruktur muss von den Nutzer:innen ausgewählt werden können, um die Unabhängigkeit und die Kontrolle über die eigenen Daten zu gewährleisten. * Eine Serverkommunikation muss nur dann erfolgen, wenn diese für die Funktionalität der Software zwingend notwendig ist. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie ohne Serverkommunikation funktioniert, wenn dies technisch möglich ist. == 10. Datensouveränität== * Die Software muss so gestaltet sein, dass die Benutzer die volle Kontrolle über ihre eigenen Daten haben. * Die Software muss so gestaltet sein, dass die Benutzer ihre Daten jederzeit exportieren und auf andere Plattformen übertragen können. == Zusammenfassung == Dieses Aspekte von OSCAR sollen die Unabhängigkeit und die Kontrolle der Benutzer:innen über ihre eigenen Daten gewährleisten und auch bei Client-Server-Kommunikation [[kommerzielle Datenernte]] über ungewollte [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] vermeiden und die Unabhängigkeit von Open-Source-Software fördern. Die Transparenz und die Kompatibilität von Open-Source-Software verbessern, damit ein modulares (z.B. [[Objektorientierte Programmierung|objektorientiertes]]) Softwarekonzept durch Vererbung ungewollte [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] in alle darauf aufbauende Software integriert wird. == Siehe auch == * [[kommerzielle Datenernte]] * [[w:de:Datenvermeidung_und_Datensparsamkeit|Datenvermeidung und Datensparsamkeit]] * [[w:en:Privacy_by_design|Privacy by Design - PbD]] * [[w:en:AppLSAC|AppLSAC]] c1wgt5s0ehnwrhl69bhr1tfoox3g9dr 1077440 1077437 2026-04-18T07:17:06Z Bert Niehaus 20843 /* 3. Modifikationsrecht */ 1077440 wikitext text/x-wiki == Einleitung == OSCAR (Open Source Core Access Rules) fasst Aspekte zusammen, die sich auf die Zugänglichkeit und den Schutz von Open-Source-Software (OSS) im Sinne von [[w:en:Privacy_by_design|Privacy by Design]] konzentriert. == 1. Zugänglichkeit== * Alle Open-Source-Software (OSS) muss frei zugänglich sein, d.h. jede(r) Benutzer:in muss die Möglichkeit haben, die Software kostenlos zu nutzen, zu modifizieren und zu verteilen. * Die Software muss unter einer Open-Source-Lizenz stehen, die die oben genannten Rechte gewährt. * In der Kernfunktionalität (OSCAR-Version) wurde keine Telemetrie verbaut, die nicht für die Kernfunktionalität notwendig ist. Telemetriedaten können einerseits für die Entwicklerinnen und Entwickler wichtige Hinweise für die Optimierung liefern oder auch ein ungewollte Client-Serverkommunikation aufbauen. * Versionsmanagement der OSS erlaubt interne Tests vor der Einführung von neuen Softwareversionen (Releases). Kernfrage ist dabei, ob weiterhin Sicherheitsaspekte und Anforderungen für den produktiven Einsatz der Version erfüllt sind oder ein [[Fork (Software)|Fork der Software]] in Kooperation mit anderen Einrichtungen notwendig ist, um die Anforderungen für den Produktiveinsatz weiterhin zu erfüllen. == 2. Offenheit== * Der Quellcode der Software muss öffentlich zugänglich sein, d.h. jeder Benutzer muss die Möglichkeit haben, den Quellcode zu lesen, zu modifizieren und zu verteilen. * Die Software muss in einem offenen Format vorliegen, das von jedem Benutzer gelesen und bearbeitet werden kann. * Wenn eine Software eine OSCAR-Version ohne [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] bereitstellt, so sollten auch die Derivate in einer offenen OSCAR-Version vorliegen, damit auch weiterhin alle Benutzer telemetriefrei Software verwenden kann kann. * Wenn eine Client-Server-Kommunikation durchgeführt wird, muss kenntlich gemacht werden, ob die Funktionalität des OpenSource-Client von eine unfreien Dienst als Serverbackend abhängt (z.B. in [[w:de:F-Droid|F-Droid]] umgesetzt). == 3. Modifikationsrecht== * Alle Nutzer:innen haben das Recht haben, die Software zu modifizieren und zu verbessern und zu einer [[w:de:Telemetrie (Software)|telemetriebasierten]] Version auch eine OSCAR-kompatible (z.B. Offline-Version) zu erstellen oder den Client nur mit unter eigener oder vertrauenswürdiger Serverinfrastruktur kommunizieren lassen. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie einfach modifiziert werden kann, ohne dass spezifische Kenntnisse oder Werkzeuge erforderlich sind. * OSCAR-kompatible modulare Softwarekonzepte sollte in eine transparenten Verweiskette auch alle Teilmodule in einer OSCAR-kompatiblen Form nutzbar sein, damit z.B. nicht durch die Kompilierung von Teilmodul die Telemetriefreiheit verletzt wird, bzw. Austausch von Daten über Telemetrie erfolgt, die nicht von einer Forschungs- oder Bildungseinrichtung gewünscht ist. * [[w:de:Compiler|Compiler]] sollten keine [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] in die compilierte OpenSource-Software integrieren. Dies ist insbesondere dann wesentlich, wenn der OpenSource-Quellcode selbst keine Codezeilen für Telemetrie enthält. Dies gilt analog für importierte Pakete des Compilers, denn durch den Import von Paketen kann ggf. Telemetrie ungewollt integriert. * Wenn Telemetrie aus Gründen des Softwaremanagements notwendig ist (z.B. um Probleme mit der Software im Produktiveinsatz zu identifizieren), dann sollten die Telemetriekomponenten als letzter Schritt in eine telemetriefreie Basisversion integriert werden, damit Kommunikationsendpunkte der Telemetrie im Verantwortungsbereich der Einrichtung liegen. == 4. Verteilungsrecht== * Alle Nutzer haben das Recht, die Software auch in einer OSCAR-kompatiblen Version zu verteilen und zu teilen (z.B. ohne Telemetrie bzw. nur mit Telemetrie für eine festgelegten Telemetrieendpunkt z.B. für eine Forschungs- und Bildungseinrichtung). * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie einfach verteilt werden kann, ohne dass spezifische Kenntnisse oder Werkzeuge erforderlich sind, um z.B. ggf. erst technische aufwendig aus einer Version mit [[kommerzielle Datenernte|kommerzieller Datenernte]] eine OSCAR-kompatible Basisversion erstellen zu müssen. == 5. Schutz der Gemeinschaft== * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie die Gemeinschaft der Benutzer schützt und fördert. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie die Privatsphäre und die Sicherheit der Benutzer schützt.Compiler * Offlinefähige OpenSource-Software kommunziert in der OSCAR-Version mit keinem anderen Server und versendet im Sinne von [[w:en:Privacy by Design|Privacy by Design]] bzw. [[w:de:Datenvermeidung_und_Datensparsamkeit|Datenvermeidung und Datensparsamkeit]] keine Daten, die die Privatsphäre und die Sicherheit der Benutzer verletzen. == 6. Dokumentation== * Die Software muss ausreichend dokumentiert sein, um dass die Benutzer die Software einfach nutzen und modifizieren können. * Die Dokumentation muss öffentlich zugänglich sein und regelmäßig aktualisiert werden. == 7. Kompatibilität== * Die Software sollte so gestaltet sein, dass sie mit anderen Open-Source-Software kompatibel ist und keine Notwendigkeit indirekt erzeugt, proprietäre Dienst für die Funktionaliät zwingend erforderlich sind. * Die Software sollte so gestaltet sein, dass sie auf verschiedenen Plattformen und Betriebssystemen laufen kann. * OSCAR-kompatible Komponenten sollte bei kompatiblen OpenSource-Lizenzen keine Abhängigkeiten erzeugen, die nicht OSCAR-kompatibel sind. * Es wird kenntlich gemacht, welche Bibliotheken verwendet werden, die nicht OSCAR-kompatibel sind. == 8. Transparenz== * Die Software sollte so gestaltet sein, dass die Entscheidungsfindung für die Auswahl von Modulen und die Entwicklung transparent sind. * Telemetrieendpunkte der Client-Server-Kommunikation können von den Nutzer:innen zumindest festgelegt werden- * Die Software sollte so gestaltet sein, dass die Benutzer die Möglichkeit haben, an der Entwicklung teilzunehmen und ihre Meinungen zu äußern und auf Verletzung von OSCAR-Anforderungen zu kommunizieren. == 9. Serverunabhängigkeit== * Die Software muss in einer Basisversion ohne Serverbackend auskommen oder nur mit Serverinfrastruktur auf Open-Source-Basis kommunizieren. * Die Serverinfrastruktur muss von den Nutzer:innen ausgewählt werden können, um die Unabhängigkeit und die Kontrolle über die eigenen Daten zu gewährleisten. * Eine Serverkommunikation muss nur dann erfolgen, wenn diese für die Funktionalität der Software zwingend notwendig ist. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie ohne Serverkommunikation funktioniert, wenn dies technisch möglich ist. == 10. Datensouveränität== * Die Software muss so gestaltet sein, dass die Benutzer die volle Kontrolle über ihre eigenen Daten haben. * Die Software muss so gestaltet sein, dass die Benutzer ihre Daten jederzeit exportieren und auf andere Plattformen übertragen können. == Zusammenfassung == Dieses Aspekte von OSCAR sollen die Unabhängigkeit und die Kontrolle der Benutzer:innen über ihre eigenen Daten gewährleisten und auch bei Client-Server-Kommunikation [[kommerzielle Datenernte]] über ungewollte [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] vermeiden und die Unabhängigkeit von Open-Source-Software fördern. Die Transparenz und die Kompatibilität von Open-Source-Software verbessern, damit ein modulares (z.B. [[Objektorientierte Programmierung|objektorientiertes]]) Softwarekonzept durch Vererbung ungewollte [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] in alle darauf aufbauende Software integriert wird. == Siehe auch == * [[kommerzielle Datenernte]] * [[w:de:Datenvermeidung_und_Datensparsamkeit|Datenvermeidung und Datensparsamkeit]] * [[w:en:Privacy_by_design|Privacy by Design - PbD]] * [[w:en:AppLSAC|AppLSAC]] tjvk59se0c4sdu9hujqgq84mcnzligp 1077444 1077440 2026-04-18T07:22:17Z Bert Niehaus 20843 /* 3. Modifikationsrecht */ 1077444 wikitext text/x-wiki == Einleitung == OSCAR (Open Source Core Access Rules) fasst Aspekte zusammen, die sich auf die Zugänglichkeit und den Schutz von Open-Source-Software (OSS) im Sinne von [[w:en:Privacy_by_design|Privacy by Design]] konzentriert. == 1. Zugänglichkeit== * Alle Open-Source-Software (OSS) muss frei zugänglich sein, d.h. jede(r) Benutzer:in muss die Möglichkeit haben, die Software kostenlos zu nutzen, zu modifizieren und zu verteilen. * Die Software muss unter einer Open-Source-Lizenz stehen, die die oben genannten Rechte gewährt. * In der Kernfunktionalität (OSCAR-Version) wurde keine Telemetrie verbaut, die nicht für die Kernfunktionalität notwendig ist. Telemetriedaten können einerseits für die Entwicklerinnen und Entwickler wichtige Hinweise für die Optimierung liefern oder auch ein ungewollte Client-Serverkommunikation aufbauen. * Versionsmanagement der OSS erlaubt interne Tests vor der Einführung von neuen Softwareversionen (Releases). Kernfrage ist dabei, ob weiterhin Sicherheitsaspekte und Anforderungen für den produktiven Einsatz der Version erfüllt sind oder ein [[Fork (Software)|Fork der Software]] in Kooperation mit anderen Einrichtungen notwendig ist, um die Anforderungen für den Produktiveinsatz weiterhin zu erfüllen. == 2. Offenheit== * Der Quellcode der Software muss öffentlich zugänglich sein, d.h. jeder Benutzer muss die Möglichkeit haben, den Quellcode zu lesen, zu modifizieren und zu verteilen. * Die Software muss in einem offenen Format vorliegen, das von jedem Benutzer gelesen und bearbeitet werden kann. * Wenn eine Software eine OSCAR-Version ohne [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] bereitstellt, so sollten auch die Derivate in einer offenen OSCAR-Version vorliegen, damit auch weiterhin alle Benutzer telemetriefrei Software verwenden kann kann. * Wenn eine Client-Server-Kommunikation durchgeführt wird, muss kenntlich gemacht werden, ob die Funktionalität des OpenSource-Client von eine unfreien Dienst als Serverbackend abhängt (z.B. in [[w:de:F-Droid|F-Droid]] umgesetzt). == 3. Modifikationsrecht== * Alle Nutzer:innen haben das Recht haben, die Software zu modifizieren und zu verbessern und zu einer [[w:de:Telemetrie (Software)|telemetriebasierten]] Version auch eine OSCAR-kompatible (z.B. Offline-Version) zu erstellen oder den Client nur mit unter eigener oder vertrauenswürdiger Serverinfrastruktur kommunizieren lassen. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie einfach modifiziert werden kann, ohne dass spezifische Kenntnisse oder Werkzeuge erforderlich sind. * OSCAR-kompatible modulare Softwarekonzepte sollte in eine transparenten Verweiskette auch alle Teilmodule in einer OSCAR-kompatiblen Form nutzbar sein, damit z.B. nicht durch die Kompilierung von Teilmodul die Telemetriefreiheit verletzt wird, bzw. Austausch von Daten über Telemetrie erfolgt, die nicht von einer Forschungs- oder Bildungseinrichtung gewünscht ist. * [[w:de:Compiler|Compiler]] sollten keine [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] in die compilierte OpenSource-Software integrieren. Dies ist insbesondere dann wesentlich, wenn der OpenSource-Quellcode selbst keine Codezeilen für Telemetrie enthält. Dies gilt analog für importierte Pakete des Compilers, denn durch den Import von Paketen kann ggf. Telemetrie ungewollt integriert. * Wenn [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] aus Gründen des [[w:de:4+1 Sichtenmodell|Softwaremanagements]] notwendig ist (z.B. um Probleme mit der Software im Produktiveinsatz zu identifizieren), dann sollten die Telemetriekomponenten in einem letzten Schritt in eine telemetriefreie Basisversion der OpenSource-Software integriert werden, damit Kommunikationsendpunkte der Telemetrie im Verantwortungsbereich der Einrichtung liegen und keine Kommunikation zu ungewollten Telemetrieservern in die Software integriert werden. Diese Schritt ist bei OpenSource-Software möglich, da die Modifikation der Software möglich und der Quellcode einsehbar ist. == 4. Verteilungsrecht== * Alle Nutzer haben das Recht, die Software auch in einer OSCAR-kompatiblen Version zu verteilen und zu teilen (z.B. ohne Telemetrie bzw. nur mit Telemetrie für eine festgelegten Telemetrieendpunkt z.B. für eine Forschungs- und Bildungseinrichtung). * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie einfach verteilt werden kann, ohne dass spezifische Kenntnisse oder Werkzeuge erforderlich sind, um z.B. ggf. erst technische aufwendig aus einer Version mit [[kommerzielle Datenernte|kommerzieller Datenernte]] eine OSCAR-kompatible Basisversion erstellen zu müssen. == 5. Schutz der Gemeinschaft== * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie die Gemeinschaft der Benutzer schützt und fördert. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie die Privatsphäre und die Sicherheit der Benutzer schützt.Compiler * Offlinefähige OpenSource-Software kommunziert in der OSCAR-Version mit keinem anderen Server und versendet im Sinne von [[w:en:Privacy by Design|Privacy by Design]] bzw. [[w:de:Datenvermeidung_und_Datensparsamkeit|Datenvermeidung und Datensparsamkeit]] keine Daten, die die Privatsphäre und die Sicherheit der Benutzer verletzen. == 6. Dokumentation== * Die Software muss ausreichend dokumentiert sein, um dass die Benutzer die Software einfach nutzen und modifizieren können. * Die Dokumentation muss öffentlich zugänglich sein und regelmäßig aktualisiert werden. == 7. Kompatibilität== * Die Software sollte so gestaltet sein, dass sie mit anderen Open-Source-Software kompatibel ist und keine Notwendigkeit indirekt erzeugt, proprietäre Dienst für die Funktionaliät zwingend erforderlich sind. * Die Software sollte so gestaltet sein, dass sie auf verschiedenen Plattformen und Betriebssystemen laufen kann. * OSCAR-kompatible Komponenten sollte bei kompatiblen OpenSource-Lizenzen keine Abhängigkeiten erzeugen, die nicht OSCAR-kompatibel sind. * Es wird kenntlich gemacht, welche Bibliotheken verwendet werden, die nicht OSCAR-kompatibel sind. == 8. Transparenz== * Die Software sollte so gestaltet sein, dass die Entscheidungsfindung für die Auswahl von Modulen und die Entwicklung transparent sind. * Telemetrieendpunkte der Client-Server-Kommunikation können von den Nutzer:innen zumindest festgelegt werden- * Die Software sollte so gestaltet sein, dass die Benutzer die Möglichkeit haben, an der Entwicklung teilzunehmen und ihre Meinungen zu äußern und auf Verletzung von OSCAR-Anforderungen zu kommunizieren. == 9. Serverunabhängigkeit== * Die Software muss in einer Basisversion ohne Serverbackend auskommen oder nur mit Serverinfrastruktur auf Open-Source-Basis kommunizieren. * Die Serverinfrastruktur muss von den Nutzer:innen ausgewählt werden können, um die Unabhängigkeit und die Kontrolle über die eigenen Daten zu gewährleisten. * Eine Serverkommunikation muss nur dann erfolgen, wenn diese für die Funktionalität der Software zwingend notwendig ist. * Die Software muss so gestaltet sein, dass sie ohne Serverkommunikation funktioniert, wenn dies technisch möglich ist. == 10. Datensouveränität== * Die Software muss so gestaltet sein, dass die Benutzer die volle Kontrolle über ihre eigenen Daten haben. * Die Software muss so gestaltet sein, dass die Benutzer ihre Daten jederzeit exportieren und auf andere Plattformen übertragen können. == Zusammenfassung == Dieses Aspekte von OSCAR sollen die Unabhängigkeit und die Kontrolle der Benutzer:innen über ihre eigenen Daten gewährleisten und auch bei Client-Server-Kommunikation [[kommerzielle Datenernte]] über ungewollte [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] vermeiden und die Unabhängigkeit von Open-Source-Software fördern. Die Transparenz und die Kompatibilität von Open-Source-Software verbessern, damit ein modulares (z.B. [[Objektorientierte Programmierung|objektorientiertes]]) Softwarekonzept durch Vererbung ungewollte [[w:de:Telemetrie (Software)|Telemetrie]] in alle darauf aufbauende Software integriert wird. == Siehe auch == * [[kommerzielle Datenernte]] * [[w:de:Datenvermeidung_und_Datensparsamkeit|Datenvermeidung und Datensparsamkeit]] * [[w:en:Privacy_by_design|Privacy by Design - PbD]] * [[w:en:AppLSAC|AppLSAC]] bwyiflokr0nsjgru6qvse8z68yybzqv 0 168557 1077488 1069290 2026-04-18T09:29:01Z Bocardodarapti 2041 1077488 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Untergruppe/Definition|| }} In einer Untergruppe kann man also die Verknüpfung der Gruppe ausführen, man kann das Inverse nehmen und das neutrale Element gehört dazu. In additiver Schreibweise bedeuten die Bedingungen einfach {{ Aufzählung3 |{{ Relationskette | 0 |\in| H || || || |SZ=. }} |Mit {{ Relationskette | g,h |\in| H || || || |SZ= }} ist auch {{ Relationskette | g+h |\in| H || || || |SZ=. }} |Mit {{ Relationskette | g |\in| H || || || |SZ= }} ist auch das Negative {{ Relationskette | -g |\in| H || || || |SZ=. }} }} Beispielsweise bilden alle Vielfachen der {{math|term= 5 |SZ=}} innerhalb der ganzen Zahlen eine Untergruppe, die wir mit {{math|term= \Z 5 |SZ=}} bezeichnen. Es ist ja {{ Relationskette/display | 0 || 0 \cdot 5 || || || |SZ=, }} wenn {{ Relationskette | g || 5 \cdot a || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | h || 5 \cdot b || || || |SZ= }} sind, so ist {{ Relationskette/display | h+g || 5 \cdot (a+b) || || || |SZ= }} nach dem Distributivgesetz und mit {{ Relationskette |g || 5 \cdot a || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | -g || 5 \cdot (-a) || || || |SZ=. }} Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt |Nr= |SZ= }} sehen, dass jede Untergruppe von {{math|term= \Z |SZ=}} diese Bauart hat. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Untergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} mbn3fw1ybosznhlactkexb4mwcx8fe9 0 168558 1077489 1069295 2026-04-18T09:32:44Z Bocardodarapti 2041 1077489 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ring/Über Halbring/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition|| }} Ein kommutativer Ring ist insbesondere ein kommutativer Halbring, alle für kommutative Halbringe geltenden Eigenschaften wie beispielsweise die allgemeine binomische Formel gelten insbesondere auch für kommutative Ringe. Der wesentliche Unterschied liegt in der zusätzlichen Existenz des Negativen. Dies bedeutet, dass in einem Ring das additive Monoid {{math|term= (R,+,0) |SZ=}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=kommutative| |ISZ=|ESZ= }} Gruppe ist. Dieses Negative ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt |Nr= |SZ= }} eindeutig bestimmt. Für das zu jedem {{ Relationskette | a |\in| R || || || |SZ= }} eindeutig bestimmte Negative schreiben wir {{mathl|term= -a |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette/display | a + (-a) || 0 || || || |SZ= }} ist {{math|term= a |SZ=}} auch das Negative zu {{math|term= -a |SZ=,}} also {{ Relationskette | -(-a) || a || || || |SZ=. }} Mit diesem Begriff können wir festhalten. {{ inputfakt |Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Kommutative Ringtheorie/Nullring/Beispiel|| }} {{{zusatz1|}}} In einem kommutativen Ring {{math|term= R |SZ=}} und Elemente {{ Relationskette | a,b |\in| R || || || |SZ= }} verwendet man {{ Relationskette/display | a-b || a + (-b) || || || |SZ= }} als abkürzende Schreibweise. Man spricht von der {{Stichwort|Subtraktion|SZ=}} bzw. der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Subtraktion {{mathl|term= a-b |SZ=}} ist also die Addition von {{math|term= a |SZ=}} mit dem Negativen {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= -b |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= b |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Vorzeichen/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} Wie in jedem kommutativen Halbring kann man in jedem kommutativen Ring {{math|term= R |SZ=}} Ausdrücke der Form {{math|term= nx |SZ=}} mit {{ Relationskette |n |\in|\N || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |x |\in|R || || || |SZ= }} sinnvoll interpretieren, und zwar ist {{math|term= nx |SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= x|SZ=}} mit sich selbst. Auch die Potenzschreibweise {{mathl|term= x^n |SZ=}} wird wieder verwendet und es gelten insbesondere die in {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoid/Potenzgesetze/Fakt |Nr= |SZ= }} formulierten Potenzgesetze. Darüber hinaus kann man auch für negative Zahlen {{math|term= -n |SZ=}} den Ausdruck {{mathl|term= (-n) x |SZ=}} interpretieren, nämlich als {{ Relationskette/display | (-n)x || n (-x) || \underbrace{ (-x) {{plusdots }} (-x) }_{n\text{-mal} } || || |SZ=. }} Insbesondere ist {{ Relationskette/display | - n || (-n) \cdot 1 || n \cdot (-1) || \underbrace{ (-1) {{plusdots }} (-1) }_{n\text{-mal} } || |SZ= }} in jedem kommutativen Ring sinnvoll interpretierbar. Dabei gelten naheliegende Rechengesetze, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Beziehungen/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 18dhsqe18wbmk9sax3blb26rtqjao49 1077507 1077489 2026-04-18T09:46:00Z Bocardodarapti 2041 1077507 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ring/Über Halbring/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition|| }} Ein kommutativer Ring ist insbesondere ein kommutativer Halbring, alle für kommutative Halbringe geltenden Eigenschaften wie beispielsweise die allgemeine binomische Formel gelten insbesondere auch für kommutative Ringe. Der wesentliche Unterschied liegt in der zusätzlichen Existenz des Negativen. Dies bedeutet, dass in einem Ring das additive Monoid {{mathl|term= (R,+,0) |SZ=}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=kommutative| |ISZ=|ESZ= }} Gruppe ist. Dieses Negative ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt |Nr= |SZ= }} eindeutig bestimmt. Für das zu jedem {{ Relationskette | a |\in| R || || || |SZ= }} eindeutig bestimmte Negative schreiben wir {{mathl|term= -a |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette/display | a + (-a) || 0 || || || |SZ= }} ist {{math|term= a |SZ=}} auch das Negative zu {{math|term= -a |SZ=,}} also {{ Relationskette | -(-a) || a || || || |SZ=. }} Mit diesem Begriff können wir festhalten. {{ inputfakt |Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Kommutative Ringtheorie/Nullring/Beispiel|| }} {{{zusatz1|}}} Für Elemente {{ Relationskette | a,b |\in| R || || || |SZ= }} in einem kommutativen Ring {{math|term= R |SZ=}} verwendet man {{ Relationskette/display | a-b || a + (-b) || || || |SZ= }} als abkürzende Schreibweise. Man spricht von der {{Stichwort|Subtraktion|SZ=}} bzw. der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Subtraktion {{mathl|term= a-b |SZ=}} ist also die Addition von {{math|term= a |SZ=}} mit dem Negativen {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= -b |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= b |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Vorzeichen/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} Wie in jedem kommutativen Halbring kann man in jedem kommutativen Ring {{math|term= R |SZ=}} Ausdrücke der Form {{math|term= nx |SZ=}} mit {{ Relationskette |n |\in|\N || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |x |\in|R || || || |SZ= }} sinnvoll interpretieren, und zwar ist {{math|term= nx |SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= x|SZ=}} mit sich selbst. Auch die Potenzschreibweise {{mathl|term= x^n |SZ=}} wird wieder verwendet und es gelten insbesondere die in {{ Faktlink |Faktseitenname= Monoid/Potenzgesetze/Fakt |Nr= |SZ= }} formulierten Potenzgesetze. Darüber hinaus kann man auch für negative Zahlen {{math|term= -n |SZ=}} den Ausdruck {{mathl|term= (-n) x |SZ=}} interpretieren, nämlich als {{ Relationskette/display | (-n)x || n (-x) || \underbrace{ (-x) {{plusdots }} (-x) }_{n\text{-mal} } || || |SZ=. }} Insbesondere ist {{ Relationskette/display | - n || (-n) \cdot 1 || n \cdot (-1) || \underbrace{ (-1) {{plusdots }} (-1) }_{n\text{-mal} } || |SZ= }} in jedem kommutativen Ring sinnvoll interpretierbar. Dabei gelten naheliegende Rechengesetze, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Beziehungen/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} lq1qpwmfecqqwmr8kmj8a3710ctbpce 106 168644 1077398 1076964 2026-04-17T14:32:05Z Bocardodarapti 2041 1077398 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Tabelle/4/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Arithmetisches Mittel auf Geraden/Nicht assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganze Zahlen/Betrag der Differenz/Strukturelle Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzmenge/Assoziativität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweielementige Menge/Verknüpfungstabelle für Vereinigung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungsmonoid/0,1/Verknüpfungstabelle und Untermonoide/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/Inverses/Eindeutig/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Monoidhomomorphismus/Definition|}} {{ inputaufgabekommentar |Monoid/Cayley/Abbildungsmonoid/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Surjektive Abbildung/Übertragung der Assoziativität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Rechnung/3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Rechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Dreiersumme/Zweite Potenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Kommutativer Halbring/N/Eindeutige Abbildung/Multiplikativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Distributivgesetz/Rechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Zwei Elemente/Körper/Keine umgekehrte Distribution/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Summe und Produkt von polynomialen Ausdrücken/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Numbered cake pops|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Numbered_cake_pops |Text= |Autor= |Benutzer=Flickr upload bot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} Bei einer Summe oder einem Produkt von mehreren Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Elementen eines kommutativen Halbringes| |ISZ=|ESZ= }} ist es nicht immer sinnvoll, eine feste Reihenfolge der Indexmenge zu haben. Häufig ist es besser, die Reihenfolge zu wechseln und oft gibt es gar keine natürliche Reihenfolge. Man muss sich zuerst klar machen, dass die Summe nicht von der Reihenfolge abhängt. Die Argumente sind ähnlich wie im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Menge/1 bis k/Eins heraus/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabekommentar |Kommutativer Halbring/Summe und Produkt/Beliebige Indexmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Distributivgesetz/Mehrfaches Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/0 mal Einsersumme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Produkthalbring/N^2/Komponentenweise/Integrität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Für die folgenden Aufgaben ist die allgemeine binomische Formel hilfreich. {{ inputaufgabe |Induktionsaufgabe/3^n \geq n^4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abschätzung/n hoch n+1 und n+1 hoch n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/4 Faktoren/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreielementige Menge/Abbildungsmenge/Verknüpfungstabelle/Programm/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Addition und Potenzierung/Halbringeigenschaften/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Rechnung/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische Formel/Vierte Potenz/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} mzuyjlg54ljf7b9d3n5qa9dwl3fjnd6 1077402 1077398 2026-04-17T14:52:30Z Bocardodarapti 2041 1077402 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Tabelle/4/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Arithmetisches Mittel auf Geraden/Nicht assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganze Zahlen/Betrag der Differenz/Strukturelle Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzmenge/Assoziativität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweielementige Menge/Verknüpfungstabelle für Vereinigung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungsmonoid/0,1/Verknüpfungstabelle und Untermonoide/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/Inverses/Eindeutig/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Monoidhomomorphismus/Definition|}} {{ inputaufgabekommentar |Monoid/Cayley/Abbildungsmonoid/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Surjektive Abbildung/Übertragung der Assoziativität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Rechnung/3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Rechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Dreiersumme/Zweite Potenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Kommutativer Halbring/N/Eindeutige Abbildung/Multiplikativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Kommutativer Halbring/N+/Eindeutige Abbildung/Vielfache/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Distributivgesetz/Rechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Zwei Elemente/Körper/Keine umgekehrte Distribution/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Summe und Produkt von polynomialen Ausdrücken/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Numbered cake pops|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Numbered_cake_pops |Text= |Autor= |Benutzer=Flickr upload bot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} Bei einer Summe oder einem Produkt von mehreren Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Elementen eines kommutativen Halbringes| |ISZ=|ESZ= }} ist es nicht immer sinnvoll, eine feste Reihenfolge der Indexmenge zu haben. Häufig ist es besser, die Reihenfolge zu wechseln und oft gibt es gar keine natürliche Reihenfolge. Man muss sich zuerst klar machen, dass die Summe nicht von der Reihenfolge abhängt. Die Argumente sind ähnlich wie im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Menge/1 bis k/Eins heraus/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabekommentar |Kommutativer Halbring/Summe und Produkt/Beliebige Indexmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Distributivgesetz/Mehrfaches Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/0 mal Einsersumme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Produkthalbring/N^2/Komponentenweise/Integrität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Für die folgenden Aufgaben ist die allgemeine binomische Formel hilfreich. {{ inputaufgabe |Induktionsaufgabe/3^n \geq n^4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abschätzung/n hoch n+1 und n+1 hoch n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/4 Faktoren/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreielementige Menge/Abbildungsmenge/Verknüpfungstabelle/Programm/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Addition und Potenzierung/Halbringeigenschaften/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Rechnung/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomische Formel/Vierte Potenz/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} jx3raf6ev5p6fhb4zrvqb4ox4bs9k6j 106 168645 1077390 1077363 2026-04-17T14:00:11Z Bocardodarapti 2041 1077390 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppe/Inverses/Selbstinvers/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Gruppe/Inverses von xy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Bijektive Abbildungen/Gruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Verknüpfung/Bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die beiden folgenden Aufgaben verallgemeinern {{ Faktlink |Präwort=die|Potenzgesetze|Faktseitenname= Monoid/Potenzgesetze/Fakt |Nr= |SZ= }} für den Fall einer Gruppe auf ganzzahlige Exponenten. {{ inputaufgabe |Gruppe/Potenzgesetze/Funktionalgleichungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Potenzgesetz/Basisprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernsystem/Ohne Übertrag/Gesetze/Gabi/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Untergruppenkriterium/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Durchschnitt von Untergruppen/Endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/Rechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Zweite binomische Formel/Aus erster binomischer Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Dritte binomische Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Endliche geometrische Reihe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Ringstruktur mit symmetrischer Differenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ring mit 0 ist 1/Ist Nullring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Multiplikation mit -1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ring/Z/Positiv und negativ/Absolut und relativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizent/Wechselsumme/0/Binomischer Lehrsatz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Matrizen/Matrizenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/N und Z/Kanonische Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringstruktur auf Menge der Abbildungen nach Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktring/Z^2/Komponentenweise/Kommutativer Ring/Integrität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Integritätsbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Einen kommutativen Ring {{math|term= \neq 0 |SZ=,}} der die Nichtnullteilereigenschaft aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper/Integritätsbereich/Fakt |Nr= |SZ= }} erfüllt, heißt {{Stichwort|Integritätsbereich|SZ=.}} Die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} sind ein Integritätsbereich, aber kein Körper. Für endliche Ringe gilt aber die folgende Aussage. {{ inputaufgabe |Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganzwertige Polynome über Z/Nicht in Z X/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/(x^2-3yzy-2zy^2+4xy^2)(2xy^3x-z^2xyx)(1-3zyxz^2y)/Berechne/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektor/Endomorphismen mit diesen Eigenvektor/Ring/Dimension/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganze Zahlen/Umgekehrtes Distributivgesetz/Lösungen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uhr/6/Stunden und Minutenzeiger/Gegenüberliegend/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Zahlen/Dummenregel/Keine positive Lösung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Bijektivität der einseitigen Operationen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 8zvzpjvhgmf15w48cx3w9efh2ezceqp 1077397 1077390 2026-04-17T14:30:51Z Bocardodarapti 2041 1077397 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppe/Inverses/Selbstinvers/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Gruppe/Inverses von xy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Bijektive Abbildungen/Gruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Verknüpfung/Bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die beiden folgenden Aufgaben verallgemeinern {{ Faktlink |Präwort=die|Potenzgesetze|Faktseitenname= Monoid/Potenzgesetze/Fakt |Nr= |SZ= }} für den Fall einer Gruppe auf ganzzahlige Exponenten. {{ inputaufgabe |Gruppe/Potenzgesetze/Funktionalgleichungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Potenzgesetz/Basisprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernsystem/Ohne Übertrag/Gesetze/Gabi/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Untergruppenkriterium/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Durchschnitt von Untergruppen/Endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/Rechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Zweite binomische Formel/Aus erster binomischer Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Dritte binomische Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Endliche geometrische Reihe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Ringstruktur mit symmetrischer Differenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ring mit 0 ist 1/Ist Nullring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Multiplikation mit -1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ring/Z/Positiv und negativ/Absolut und relativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizent/Wechselsumme/0/Binomischer Lehrsatz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Matrizen/Matrizenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/N/Eindeutige Abbildung/Multiplikativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/N und Z/Kanonische Abbildung/Halbring bekannt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringstruktur auf Menge der Abbildungen nach Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktring/Z^2/Komponentenweise/Kommutativer Ring/Integrität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Integritätsbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Einen kommutativen Ring {{math|term= \neq 0 |SZ=,}} der die Nichtnullteilereigenschaft aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper/Integritätsbereich/Fakt |Nr= |SZ= }} erfüllt, heißt {{Stichwort|Integritätsbereich|SZ=.}} Die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} sind ein Integritätsbereich, aber kein Körper. Für endliche Ringe gilt aber die folgende Aussage. {{ inputaufgabe |Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganzwertige Polynome über Z/Nicht in Z X/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/(x^2-3yzy-2zy^2+4xy^2)(2xy^3x-z^2xyx)(1-3zyxz^2y)/Berechne/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektor/Endomorphismen mit diesen Eigenvektor/Ring/Dimension/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganze Zahlen/Umgekehrtes Distributivgesetz/Lösungen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uhr/6/Stunden und Minutenzeiger/Gegenüberliegend/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Zahlen/Dummenregel/Keine positive Lösung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Bijektivität der einseitigen Operationen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} o9vwrcm8gk308mggnuzq3joxs2wl7vi 1077404 1077397 2026-04-17T14:56:57Z Bocardodarapti 2041 1077404 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppe/Inverses/Selbstinvers/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Gruppe/Inverses von xy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Bijektive Abbildungen/Gruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Verknüpfung/Bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die beiden folgenden Aufgaben verallgemeinern {{ Faktlink |Präwort=die|Potenzgesetze|Faktseitenname= Monoid/Potenzgesetze/Fakt |Nr= |SZ= }} für den Fall einer Gruppe auf ganzzahlige Exponenten. {{ inputaufgabe |Gruppe/Potenzgesetze/Funktionalgleichungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Potenzgesetz/Basisprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernsystem/Ohne Übertrag/Gesetze/Gabi/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Untergruppenkriterium/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Durchschnitt von Untergruppen/Endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/Rechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Zweite binomische Formel/Aus erster binomischer Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Dritte binomische Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Endliche geometrische Reihe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Ringstruktur mit symmetrischer Differenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ring mit 0 ist 1/Ist Nullring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Multiplikation mit -1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ring/Z/Positiv und negativ/Absolut und relativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizent/Wechselsumme/0/Binomischer Lehrsatz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Matrizen/Matrizenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/N/Eindeutige Abbildung/Multiplikativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Es gibt also für jede natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} in jedem kommutativen Halbring eine {{Anführung|Version}} dieser Zahl. Sie wird mit {{math|term= n_R |SZ=}} oder direkt wieder mit {{math|term= n |SZ=}} bezeichnet. {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/N und Z/Kanonische Abbildung/Halbring bekannt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringstruktur auf Menge der Abbildungen nach Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktring/Z^2/Komponentenweise/Kommutativer Ring/Integrität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Integritätsbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Einen kommutativen Ring {{math|term= \neq 0 |SZ=,}} der die Nichtnullteilereigenschaft aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper/Integritätsbereich/Fakt |Nr= |SZ= }} erfüllt, heißt {{Stichwort|Integritätsbereich|SZ=.}} Die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} sind ein Integritätsbereich, aber kein Körper. Für endliche Ringe gilt aber die folgende Aussage. {{ inputaufgabe |Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganzwertige Polynome über Z/Nicht in Z X/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/(x^2-3yzy-2zy^2+4xy^2)(2xy^3x-z^2xyx)(1-3zyxz^2y)/Berechne/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektor/Endomorphismen mit diesen Eigenvektor/Ring/Dimension/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganze Zahlen/Umgekehrtes Distributivgesetz/Lösungen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uhr/6/Stunden und Minutenzeiger/Gegenüberliegend/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Zahlen/Dummenregel/Keine positive Lösung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Bijektivität der einseitigen Operationen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} gbrium0qeqpethqg066fsvcyum4i6cb 1077405 1077404 2026-04-17T14:58:34Z Bocardodarapti 2041 1077405 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppe/Inverses/Selbstinvers/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Gruppe/Inverses von xy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Bijektive Abbildungen/Gruppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Verknüpfung/Bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die beiden folgenden Aufgaben verallgemeinern {{ Faktlink |Präwort=die|Potenzgesetze|Faktseitenname= Monoid/Potenzgesetze/Fakt |Nr= |SZ= }} für den Fall einer Gruppe auf ganzzahlige Exponenten. {{ inputaufgabe |Gruppe/Potenzgesetze/Funktionalgleichungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Potenzgesetz/Basisprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ziffernsystem/Ohne Übertrag/Gesetze/Gabi/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Untergruppenkriterium/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Durchschnitt von Untergruppen/Endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/Rechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Zweite binomische Formel/Aus erster binomischer Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Dritte binomische Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Endliche geometrische Reihe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Ringstruktur mit symmetrischer Differenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ring mit 0 ist 1/Ist Nullring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Multiplikation mit -1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ring/Z/Positiv und negativ/Absolut und relativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binomialkoeffizent/Wechselsumme/0/Binomischer Lehrsatz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Matrizen/Matrizenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/N/Eindeutige Abbildung/Multiplikativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Es gibt also für jede natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} in jedem kommutativen Halbring eine {{Anführung|Version}} dieser Zahl. Sie wird mit {{math|term= n_R |SZ=}} oder direkt wieder mit {{math|term= n |SZ=}} bezeichnet. {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/N und Z/Kanonische Abbildung/Halbring bekannt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Kommutativer Ring/Ganze Zahlen/Beziehungen/Aufgabe||Obiges ändern, Bezug auf Halbring. |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringstruktur auf Menge der Abbildungen nach Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktring/Z^2/Komponentenweise/Kommutativer Ring/Integrität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Integritätsbereich/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Einen kommutativen Ring {{math|term= \neq 0 |SZ=,}} der die Nichtnullteilereigenschaft aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper/Integritätsbereich/Fakt |Nr= |SZ= }} erfüllt, heißt {{Stichwort|Integritätsbereich|SZ=.}} Die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} sind ein Integritätsbereich, aber kein Körper. Für endliche Ringe gilt aber die folgende Aussage. {{ inputaufgabe |Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganzwertige Polynome über Z/Nicht in Z X/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/(x^2-3yzy-2zy^2+4xy^2)(2xy^3x-z^2xyx)(1-3zyxz^2y)/Berechne/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektor/Endomorphismen mit diesen Eigenvektor/Ring/Dimension/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganze Zahlen/Umgekehrtes Distributivgesetz/Lösungen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uhr/6/Stunden und Minutenzeiger/Gegenüberliegend/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Zahlen/Dummenregel/Keine positive Lösung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Bijektivität der einseitigen Operationen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 2lztl02vxpf54c3oky9v7jpi26yfyf2 106 168812 1077521 1073555 2026-04-18T10:45:41Z Bocardodarapti 2041 1077521 wikitext text/x-wiki {{Vorlesungsaufzählung29 |Kurs:Algebraische_Zahlentheorie_(Osnabrück_2026)| |V1=Einführung |V2=Teilbarkeitseigenschaften |V3=Zahlen und Funktionen |V4=Nenneraufnahme |V5=Die Spektrumsabbildung |V6=Ganzheit |V7=Algebraische Zahlbereiche |V8=Diskriminante |V9=Quadratische Zahlbereiche |V10=Diskrete Bewertungsringe |V11=Hauptdivisoren |V12=Der Satz von Dedekind |V13=Divisoren |V14=Die Divisorenklassengruppe |V15=Normalitätskriterien |V16=Kubische Zahlbereiche |V17=Kreisteilungsringe |V18=Verzweigung |V19=Differentiale und Verzweigung |V20=Zerlegungsverhalten |V21=Invariantenringe |V22=Zerlegung in Galoiserweiterungen |V23=Zerlegung in Kreisteilungsringen |V24=Gitter |V25=Zahlbereiche als Gitter |V26=Die Endlichkeit der Klassenzahl |V27=Einheitswurzeln |V28=Der Dirichletsche Einheitensatz |V29=Fundamentaleinheiten |V30= }}<noinclude>[[Kategorie:Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungen]]</noinclude> etz94qug2dhrflnn8lirfh01l7s4zlo 106 168818 1077441 1074234 2026-04-18T07:18:36Z Bocardodarapti 2041 1077441 wikitext text/x-wiki *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Definitionsliste|Definitionsliste]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]] *[[Modultheorie (kommutative Algebra)/Einführung/Textabschnitt|Moduln]] *[[Lemma von Gauß (Z)/Eisenstein-Kriterium/Einführung/Textabschnitt|Eisenstein-Kriterium]] *[[Zahlentheorie/Euklidischer Bereich/Einführung/Textabschnitt|Euklidische Bereiche]] *[[Zahlentheorie/Gaußsche Zahlen/Bild/Primfaktorlinks|Primfaktorzerlegung in {{math|term=\Z[ {{imaginäre Einheit|}} ]|SZ=}}]] *[[Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Spektrumsabbildung/Textabschnitt|Spektrumsabbildung bei Ganzheit]] *[[Spur/Kommutativer Ring/Matrix/Lineare Abbildung/Einführung/Textabschnitt|Spur]] *[[Ganzzahlige Matrix/Determinante/Restklassengruppe/Textabschnitt|Ganzzahlige Matrizen]] *[[Endliche Algebra/Separabel/Ableitung/Textabschnitt|Separabilität]] *[[Algebraische Derivationen und Differentiale/Einführung/Textabschnitt|Differentiale]] *[[Restklassenring/Z/Quadratische Reste/Ergänzungssätze/Einführung/Textabschnitt|Quadratreste]] *[[Projekt:Minkowski Gitterpunktsatz/Animationen|Animationen zum Gitterpunktsatz]] *[[Summe von 4 Quadraten/Gitterpunktsatz/Textabschnitt|Der 4-Quadrate-Satz]]<noinclude>[[Kategorie:Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> lwghd1vo2poskw073tm2rs1h5oupemi 106 168862 1077446 1072092 2026-04-18T07:25:26Z Bocardodarapti 2041 1077446 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{:Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition|}} {{inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Einheit/Assoziiertheit/Äquivalenzrelation/Aufgabe| }} {{inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe| }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Teilen und Assoziiertheit/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Teilen und Einheiten/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe| }} {{ inputaufgabe |Ringtheorie/Unterring eines Körpers ist ein Integritätsbereich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nichtnullteiler/Produkt ist Nichtnullteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integritätsbereich/Kürzungseigenschaft/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nullteiler und Einheiten/Charakterisierung mit Multiplikationsabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q/Z Untergruppe, kein Ideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Genau zwei Ideale/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Einheitsideal/Endlich viele Erzeuger/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringe/Idealtheorie/Aufsteigende Kette ist Ideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integritätsbereich/p/Irreduzibel und Hauptideale/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/K/Variable/Irreduziblel und prim/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/KX/Einheiten_und_assoziiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynome/Formel für X^ungerade+1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring über Körper/Bis Grad drei/Irreduzibilitätskriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/X^6-1/Primfaktorzerlegung über Q, R, C, Z mod 7, Z mod 5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eisenstein Kriterium/Verschiedene Polynome/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 2 3 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubisches irreduzibles Polynom/Q/Reelle Nullstellen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Polynome/Ungerader Grad/Nicht irreduzibel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |X^3-3X+1/Irreduzibel über Q/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |X^3-3X-1/Irreduzibel über Q/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring über Körper/Eine Variable/Faktoriell/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring über Körper/Eine Variable/Produkt von Linearfaktoren/Teiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Modulo p/Irreduzible Liftung über Z/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Beispiele für Nichthauptidealbereiche/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Z/Ideal/Erzeuger/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Primelement bleibt prim/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebraisch abgeschlossen/Irreduzible Polynome/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring über Körper/Eine Variable/Unendlich viele irreduzible Polynome/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/R/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/K/Einsetzen von a aus L/Struktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/K/Endomorphismus/Körpererweiterung/Einsetzen/Vergleich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben benutzen das Produkt von Idealen. {{:Idealoperationen/Idealprodukt/Definition}} Für das {{math|term=n|SZ=-}}fache Produkt eines Ideals {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} mit sich selbst schreibt man {{math|term= {{ideala|}}^n |SZ=.}} {{ inputaufgabe |Hauptideal/Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ideal/Durchschnitt und Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ideal/Potenzen/Radikal gleich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ideal/Binomische Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} qmqyu5sulebflj5vxadjzuyz1mi9nw6 106 168863 1077424 1073577 2026-04-17T18:03:46Z Bocardodarapti 2041 1077424 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} Die folgenden Aufgaben betrachten Ringeigenschaften am Beispiel von Ringen von stetigen Funktionen. {{ inputaufgabe |Stetige Funktionen/R/Nachweis/Integritätsbereich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktionen/R/Nichtnullteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Assoziiertheit/Stetige Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/Halbgerade/Lokales Nullteilerpaar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Funktorialität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Brent method example|png|230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Brent_method_example |Text= |Autor= |Benutzer=Jitse Niesen |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/C/Evaluationsabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Verschwindungsordnung/Analogie zu Zahlbereich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einsetzungshomomorphismus/X_nach_a/Kern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einsetzungshomomorphismus/X nach P/Nicht konstant/Ist isomorpher Unterring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/f nicht nilpotent/Existenz von Primidealen/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Primelement und Primhauptideal/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primelement/Charakterisierung mit Restklassenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Maximale Ideale/Existenz/Lemma von Zorn/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Primideal/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Idealtheorie (kommutative Algebra)/Ideale im Restklassenring/Korrespondenz/Aufgabe| |zusatz=Zeige{{n Sie}}, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt. |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Unter Morphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primkörper/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Nullring und leeres Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Ist Topologie/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod p X/Spektrum/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |ZX/Spektrum/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 3p56mt1kofmh0sq6dliy9r0nitytf9t 1077450 1077424 2026-04-18T07:30:18Z Bocardodarapti 2041 1077450 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} Die folgenden Aufgaben betrachten Ringeigenschaften am Beispiel von Ringen von stetigen Funktionen. {{ inputaufgabe |Stetige Funktionen/R/Nachweis/Integritätsbereich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktionen/R/Nichtnullteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Assoziiertheit/Stetige Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/Halbgerade/Lokales Nullteilerpaar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Funktorialität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Brent method example|png|230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Brent_method_example |Text= |Autor= |Benutzer=Jitse Niesen |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/C/Evaluationsabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Verschwindungsordnung/Analogie zu Zahlbereich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einsetzungshomomorphismus/X_nach_a/Kern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einsetzungshomomorphismus/X nach P/Nicht konstant/Ist isomorpher Unterring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/f nicht nilpotent/Existenz von Primidealen/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Primelement und Primhauptideal/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primelement/Charakterisierung mit Restklassenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Maximale Ideale/Existenz/Lemma von Zorn/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Primideal/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Idealtheorie (kommutative Algebra)/Ideale im Restklassenring/Korrespondenz/Aufgabe| |zusatz=Zeige{{n Sie}}, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt. |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod 7/Modulo x^3+4x^2+x+5/(2x^2+5x+3)(3x^2+x+6)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Unter Morphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primkörper/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Nullring und leeres Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Ist Topologie/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod p X/Spektrum/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |ZX/Spektrum/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} i21yueqawzxv2ik049br6aw7lb1ow0g 1077451 1077450 2026-04-18T07:32:32Z Bocardodarapti 2041 1077451 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Einsetzungshomomorphismus/X_nach_a/Kern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einsetzungshomomorphismus/X nach P/Nicht konstant/Ist isomorpher Unterring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben betrachten Ringeigenschaften am Beispiel von Ringen von stetigen Funktionen. {{ inputaufgabe |Stetige Funktionen/R/Nachweis/Integritätsbereich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktionen/R/Nichtnullteiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Assoziiertheit/Stetige Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktion/Halbgerade/Lokales Nullteilerpaar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Ring der stetigen reellwertigen Funktionen/Funktorialität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Brent method example|png|230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Brent_method_example |Text= |Autor= |Benutzer=Jitse Niesen |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/f nicht nilpotent/Existenz von Primidealen/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Primelement und Primhauptideal/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primelement/Charakterisierung mit Restklassenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Maximale Ideale/Existenz/Lemma von Zorn/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Primideal/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Idealtheorie (kommutative Algebra)/Ideale im Restklassenring/Korrespondenz/Aufgabe| |zusatz=Zeige{{n Sie}}, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt. |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod 7/Modulo x^3+4x^2+x+5/(2x^2+5x+3)(3x^2+x+6)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Unter Morphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primkörper/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Nullring und leeres Spektrum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Ist Topologie/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod p X/Spektrum/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |ZX/Spektrum/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} jtqx2qx22qiwz09k09elhdgea8k1l9g 106 168864 1077439 1076984 2026-04-18T07:17:02Z Bocardodarapti 2041 1077439 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/1+Ideal/Multiplikatives System/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ideal/Multiplikatives System/Zurück/Direkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktionen/Teilmenge/Nullstellenfrei/Multiplikatives System/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Multiplikatives System/Saturiert/Definition}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler/Sind saturiertes multiplikatives System/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Multiplikatives System/Saturiert/Urbild der Einheitengruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutative Ringtheorie/Multiplikative Systeme/Ultrafilter/Definition}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Charakterisierung von Ultrafilter/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Maximal ohne 1/Komplement ist minimales Primideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ideal und multiplikatives System/Disjunkt/Primideal/Zorn/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Paare/Äquivalenzrelation/Wohldefiniertheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Ist Unterring/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primzahlen/Teilmenge/Unterring von Q/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unterringe von Q/Von 2/3 erzeugt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Ein Element/Restklassendarstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Element/Beziehung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/f/Nilpotent/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hauptidealbereich/Zwischenring in Quotientenkörper/Ist Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebren von endlichem Typ/Q ist nicht über Z/Aufgabe| }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Verhalten von Primidealen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokalisierung/Idealzugehörigkeit/Lokaler Test/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Restklassenbildung/Vertauschbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Idealerzeuger/Nenneraufnahme an Element/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlich erzeugte integre K-Algebra/C/Nenneraufnahme/Kein maximales Ideal überlebt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Zahlen/Unterringe/Lokaler Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition äquivalent/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Enthält Körper/Gleiche Charakteristik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Nach Körper/Evaluationsabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Restklassenring/Einheiten surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringhomomorphismus/Primideal/Abbildung der Lokalisierung und der Restekörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokalisierung/Ideal im Kern/Lokalisierung von Restklassenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme (kommutative Algebra)/Moduln/Einführung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 7goxmqo5u08p20hso2czeus0zhj6q00 1077443 1077439 2026-04-18T07:21:18Z Bocardodarapti 2041 1077443 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/1+Ideal/Multiplikatives System/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ideal/Multiplikatives System/Zurück/Direkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktionen/Teilmenge/Nullstellenfrei/Multiplikatives System/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Multiplikatives System/Saturiert/Definition}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler/Sind saturiertes multiplikatives System/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Multiplikatives System/Saturiert/Urbild der Einheitengruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutative Ringtheorie/Multiplikative Systeme/Ultrafilter/Definition}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Charakterisierung von Ultrafilter/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Maximal ohne 1/Komplement ist minimales Primideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ideal und multiplikatives System/Disjunkt/Primideal/Zorn/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Paare/Äquivalenzrelation/Wohldefiniertheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Ist Unterring/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primzahlen/Teilmenge/Unterring von Q/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unterringe von Q/Von 2/3 erzeugt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Ein Element/Restklassendarstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Element/Beziehung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/f/Nilpotent/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hauptidealbereich/Zwischenring in Quotientenkörper/Ist Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebren von endlichem Typ/Q ist nicht über Z/Aufgabe| }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Verhalten von Primidealen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokalisierung/Idealzugehörigkeit/Lokaler Test/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Restklassenbildung/Vertauschbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Idealerzeuger/Nenneraufnahme an Element/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlich erzeugte integre K-Algebra/C/Nenneraufnahme/Kein maximales Ideal überlebt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Zahlen/Unterringe/Lokaler Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition äquivalent/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Enthält Körper/Gleiche Charakteristik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Nach Körper/Evaluationsabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Restklassenring/Einheiten surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringhomomorphismus/Primideal/Abbildung der Lokalisierung und der Restekörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokalisierung/Ideal im Kern/Lokalisierung von Restklassenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Algebra/Abelsche Gruppe/Z-Modul/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Modul/Kommutativer Ring/Allgemeines Distributivgesetz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Algebren/Moduldefinition und Ringhomomorphismus/Äquivalenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Abbildung/Moduln/Bild und Urbild/Untermoduln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme (kommutative Algebra)/Moduln/Einführung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 6xks7a27dd2h4e33aoczqar1k4rabat 1077453 1077443 2026-04-18T07:35:54Z Bocardodarapti 2041 1077453 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/1+Ideal/Multiplikatives System/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ideal/Multiplikatives System/Zurück/Direkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Funktionen/Teilmenge/Nullstellenfrei/Multiplikatives System/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Multiplikatives System/Saturiert/Definition}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler/Sind saturiertes multiplikatives System/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Multiplikatives System/Saturiert/Urbild der Einheitengruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutative Ringtheorie/Multiplikative Systeme/Ultrafilter/Definition}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Charakterisierung von Ultrafilter/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Maximal ohne 1/Komplement ist minimales Primideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ideal und multiplikatives System/Disjunkt/Primideal/Zorn/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Paare/Äquivalenzrelation/Wohldefiniertheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Ist Unterring/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primzahlen/Teilmenge/Unterring von Q/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Unterringe von Q/Von 2/3 erzeugt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hauptidealbereich/Zwischenring in Quotientenkörper/Ist Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Ein Element/Restklassendarstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Element/Beziehung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/f/Nilpotent/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebren von endlichem Typ/Q ist nicht über Z/Aufgabe| }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Verhalten von Primidealen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokalisierung/Idealzugehörigkeit/Lokaler Test/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Restklassenbildung/Vertauschbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Idealerzeuger/Nenneraufnahme an Element/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlich erzeugte integre K-Algebra/C/Nenneraufnahme/Kein maximales Ideal überlebt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Zahlen/Unterringe/Lokaler Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition äquivalent/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Enthält Körper/Gleiche Charakteristik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Nach Körper/Evaluationsabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/C/Evaluationsabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Verschwindungsordnung/Analogie zu Zahlbereich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokaler Ring/Restklassenring/Einheiten surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringhomomorphismus/Primideal/Abbildung der Lokalisierung und der Restekörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokalisierung/Ideal im Kern/Lokalisierung von Restklassenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Algebra/Abelsche Gruppe/Z-Modul/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Modul/Kommutativer Ring/Allgemeines Distributivgesetz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Algebren/Moduldefinition und Ringhomomorphismus/Äquivalenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Abbildung/Moduln/Bild und Urbild/Untermoduln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme (kommutative Algebra)/Moduln/Einführung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} s4e1graszymnjpxuxko4b0bc521cvld 106 168865 1077438 1072094 2026-04-18T07:16:22Z Bocardodarapti 2041 1077438 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Unter Morphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reduktion/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokalisierung/Beschreibung des Spektrums/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubische Ringerweiterung/Z/Faserringe/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zur vorstehenden Aufgabe vergleiche auch {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Kubische Ringerweiterung/Z/X^3+2X-1/Faserring zu 59/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Zahlbereiche/Z(X)/(X^4+X^3+X^2+X+1)/Bestimme Primideale über p ist 2,3,5,7/Aufgabe| }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Mehrere Variablen/Fasern der Spektrumsabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integre endlich erzeugte Algebren/Lokaler Isomorphismus/In Umgebung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |RX in CX/Spektrumsabbildung/Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |QX in RX/Spektrumsabbildung/Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Algebren/Moduldefinition und Ringhomomorphismus/Äquivalenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Algebra/Abelsche Gruppe/Z-Modul/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Modul/Kommutativer Ring/Allgemeines Distributivgesetz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Abbildung/Moduln/Bild und Urbild/Untermoduln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Vektorraum/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |C über R/Grad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Grad eins/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körperautomorphismus/Identität auf Primkörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Körpererweiterung/Q/Wurzel 7/Inverses von 2 5 sqrt(7)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Basis/Multiplikation mit Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/C/C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Grad ist Primzahl/Zwischenkörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Wurzel aus 5/Dritte Wurzel aus 2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Q/Jeder Grad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Festlegung der Multiplikation auf Basis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterungen von Q/Teilerfremder Grad/Durchschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratwurzel aus 3/Nicht in Q sqrt(2)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Capelli/Irreduzibilitätskriterium/Exponent ist prim/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Q in R/Nicht endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |C/Endliche Erweiterung/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper der rationalen Funktionen über R/Keine endliche Körpererweiterung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Charakteristik/Positiv/Frobenius/Existenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Charakteristik/Positiv/Frobenius/Iteration/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Frobeniushomomorphismus/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Frobenius/Matrix zu Basis/p ist 2/e ist 2,3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod p/Rest 3 mod 4/i/Frobenius/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 0tf1idvswm1x45e2dskahtzneg9j6xr 1077442 1077438 2026-04-18T07:20:51Z Bocardodarapti 2041 1077442 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Unter Morphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reduktion/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokalisierung/Beschreibung des Spektrums/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubische Ringerweiterung/Z/Faserringe/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zur vorstehenden Aufgabe vergleiche auch {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Kubische Ringerweiterung/Z/X^3+2X-1/Faserring zu 59/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Zahlbereiche/Z(X)/(X^4+X^3+X^2+X+1)/Bestimme Primideale über p ist 2,3,5,7/Aufgabe| }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Mehrere Variablen/Fasern der Spektrumsabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integre endlich erzeugte Algebren/Lokaler Isomorphismus/In Umgebung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |RX in CX/Spektrumsabbildung/Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |QX in RX/Spektrumsabbildung/Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Vektorraum/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |C über R/Grad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Grad eins/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körperautomorphismus/Identität auf Primkörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Körpererweiterung/Q/Wurzel 7/Inverses von 2 5 sqrt(7)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Basis/Multiplikation mit Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/C/C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Grad ist Primzahl/Zwischenkörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Wurzel aus 5/Dritte Wurzel aus 2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Q/Jeder Grad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Festlegung der Multiplikation auf Basis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterungen von Q/Teilerfremder Grad/Durchschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratwurzel aus 3/Nicht in Q sqrt(2)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Capelli/Irreduzibilitätskriterium/Exponent ist prim/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Q in R/Nicht endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |C/Endliche Erweiterung/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper der rationalen Funktionen über R/Keine endliche Körpererweiterung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Theorie der endlichen Ringe/Bereich ist Körper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Charakteristik/Positiv/Frobenius/Existenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Charakteristik/Positiv/Frobenius/Iteration/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Frobeniushomomorphismus/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Frobenius/Matrix zu Basis/p ist 2/e ist 2,3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod p/Rest 3 mod 4/i/Frobenius/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} jkg3w9r9xw2nam4lu1wpoz35g3s3s2w 1077445 1077442 2026-04-18T07:24:41Z Bocardodarapti 2041 1077445 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Unter Morphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reduktion/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokalisierung/Beschreibung des Spektrums/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubische Ringerweiterung/Z/Faserringe/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zur vorstehenden Aufgabe vergleiche auch {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Kubische Ringerweiterung/Z/X^3+2X-1/Faserring zu 59/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Zahlbereiche/Z(X)/(X^4+X^3+X^2+X+1)/Bestimme Primideale über p ist 2,3,5,7/Aufgabe| }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Mehrere Variablen/Fasern der Spektrumsabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integre endlich erzeugte Algebren/Lokaler Isomorphismus/In Umgebung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |RX in CX/Spektrumsabbildung/Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |QX in RX/Spektrumsabbildung/Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Vektorraum/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |C über R/Grad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Grad eins/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körperautomorphismus/Identität auf Primkörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Körpererweiterung/Q/Wurzel 7/Inverses von 2 5 sqrt(7)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Basis/Multiplikation mit Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/C/C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Grad ist Primzahl/Zwischenkörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Wurzel aus 5/Dritte Wurzel aus 2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Q/Jeder Grad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Festlegung der Multiplikation auf Basis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterungen von Q/Teilerfremder Grad/Durchschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratwurzel aus 3/Nicht in Q sqrt(2)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Capelli/Irreduzibilitätskriterium/Exponent ist prim/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Q in R/Nicht endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |C/Endliche Erweiterung/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper der rationalen Funktionen über R/Keine endliche Körpererweiterung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Charakteristik/Positiv/Frobenius/Existenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Charakteristik/Positiv/Frobenius/Iteration/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Frobeniushomomorphismus/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Frobenius/Matrix zu Basis/p ist 2/e ist 2,3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z mod p/Rest 3 mod 4/i/Frobenius/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} c5bk8p44tllif5c9d8qdo262zpzxqxp 106 168866 1077449 1072097 2026-04-18T07:29:12Z Bocardodarapti 2041 1077449 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{inputaufgabe |Eisensteinzahlen/Irreduzible Ganzheitsgleichung für dritte Einheitswurzel/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Ganzheit/Algebraisch/bei Körper gleich/nicht für Z/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Ganze Erweiterung/Integritätsbereich/Nichteinheit bleibt Nichteinheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganze Erweiterung/Nichteinheit bleibt Nichteinheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integritätsbereich/Ganze Erweiterung/Wird Nullteiler/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Algebra über Körper/Ganz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Ringe/Erweiterung/Ganz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlich erzeugte Algebra/Ganz/Endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganzheit von integren Ringen/Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganzheit/Polynomring/Ganz-abgeschlossen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Integritätsbereich/Normal und Normalisierung/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Integritätsbereich/Normalisierung ist Körper/Körper/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Normal/Nenneraufnahme ist normal/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Normal/Durchschnitt von normalen Ringen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integritätsbereich/Normal/Lokale Eigenschaft/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Normaler Integritätsbereich/X^2-a in R/in Q(R)/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Normalisierung/Führungsideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Ganzheit/Gaußsche Zahlen über Z(ki)/Aufgabe|}} In den folgenden Aufgaben wird der Polynomring {{mathl|term= K[X,Y] |SZ=}} in zwei Variablen über einem Körper {{math|term= K |SZ=}} verwendet. Diesen kann man definieren als {{mathl|term= (K[X])[Y] |SZ=.}} Die Elemente in ihm, also die Polynome in zwei Variablen, haben die Gestalt {{ Relationskette/display | P || \sum_{i,j} a_{ij}X^{i}Y^{j} || || || |SZ=. }} Wir interessieren uns für Restklassenringe vom Typ {{ Relationskette | R || K[X,Y]/(F) || || || |SZ=. }} Die Nullstellenmenge von{{math|term= F |SZ=}} besteht aus der Menge derjenigen Punkte {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} in der Ebene, für die {{ Relationskette | F(x,y) || 0 || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=dieses Nullstellengebilde ist eine geometrische Version des Ringes {{math|term= R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{inputaufgabe |Ebene algebraische Kurven/Neilsche Parabel/Normalisierung/Aufgabe|}} Polynomringe kann man entsprechend über jedem Grundring und mit beliebig vielen Variablen definieren. {{ inputaufgabe |Ganzheit/Zwei Polynome/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Ganze Ringerweiterung für Integritätsbereiche/Hauptideale/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Normalität (Z)/Teilbarkeit/a hoch n - b hoch n teilt nicht a hoch n + b hoch n/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Ganzheit/Transitivität/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Ebene algebraische Kurven/Parameterdarstellung/x ist (t-1)(t+1) y ist t(t-1)(t+1)/Gleichung für Bild/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Parametrisierung der pythagoreischen Tripel/Ringebene/Aufgabe||ref1=Parametrisierung der pythagoreischen Tripel}} }} 2ie6dxxdth0o9294es1ijizefhalgzz 106 170010 1077459 1077044 2026-04-18T07:42:56Z Bert Niehaus 20843 /* Animation - orientierte Fläche für Rechtecke */ 1077459 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> <span id="Orientierung"></span> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="Rechteckintegrallemma"></span> <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> bzgl. der [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] bb2r9qz4lo3brppqwjowbdez4lbg5eh 106 170024 1077461 1077216 2026-04-18T07:46:01Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1077461 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Existenz lokaler Stammfunktionen für eine Funktion <math> f:G\to\mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit der Existenz lokal Stammfunktionen <math>F:D_r(z_o)\to \mathbb{C}</math> mit <math>F' = f</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> ist <math>F</math> und damit auch <math>F' = f</math> auf <math>D_r(z_0)</math>. Da <math>f</math> auf ganz <math>G</math> lokale Stammfunktionen besitzt ist <math>f</math> auch überall komplex differenzierbar und damit holomorph auf <math>G</math>. Lokale Stammfunktionen werden verwendet, um [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] berechnen zu können. === Stammfunktionen und Ableitungen === In der komplexen Analysis (Funktionentheorie) wurde im ersten Teil des Kurses gezeigt, dass ''"1x komplex differenzierbar"'' schon ''"unendlich oft komplex differenzierbar"''. Der folgende Satz zeigt, dass dieses auch für [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen#Satz|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] gilt. Allerdings gilt diese Eigenschaft wegen der Konvergenzradien von Potenzradien und dem [[Abelsches Lemma|Abelschen Lemma]] nur auf lokal auf Kreischeiben <math>D_r(z_0)</math>. <span id="DefinitionOrdnung"></span> == Definition - Stammfunktion höherer Ordnung == Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> heißt <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> lokale Stammfunktion der Ordnung <math>k</math>, wenn gilt: * Kreischeibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> mit <math> F_{(0)}:= f </math>, * <math> F_{(1)}:= F </math> ist eine Stammfunktion von <math>f</math> auf <math> D_r(z_o)</math> (d.h. <math>F' = f</math>), * <math> F'_{(i+1)}:= F_{(i)} </math> für alle <math>i \in \{1,\ldots ,k-1\}</math>. === Ableitungen und Stammfunktion === Bezeichnet <math>g^{(k)}:G\to \mathbb{C} </math> die <math>k</math>-te Ableitung einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>g:G\to \mathbb{C} </math>, so kann man für <math>k\in \mathbb{N}_0</math> den folgenden Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen herstellen: :<math> \big(F_{(k)}\big)^{(k)}:= f </math> Dabei gilt <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> gilt im Allgemeinen nicht. === Aufgabe für Studierende === Geben Sie eine Gegenbeispiel für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> an, dass <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> im Allgemeinen nicht gilt. <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)}</math> bezeichnet dabei, dass zunächst die Ableitungen gebildet werden und dann eine Stammfunktionen der Ordnung <math>k</math> gebildet wird. <span id="Satz"></span> == Satz über lokale Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], die auf der Kreisscheibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> die folgende Potenzreihendarstellung besitzt :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n,</math> dann besitzt <math>f</math> lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>, die die folgende [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] für <math>|z-z_o|<r</math> besitzt: :<math>F_{(k)} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k},</math> === Bemerkung - Existenzaussage Stammfunktion k-ter Ordnung === Der obige Satz ist eine Existenzaussage für Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>. Der [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] zeigt dann, dass sich zwei beliebige Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> und <math>\widehat{F_{(k)}}</math> der Ordnung <math>k</math> durch eine Polynom der Ordung <math>k-1\in \mathbb{N}</math> unterscheiden. Für Stammfunktionen <math>F</math> (also Stammfunktion erster Ordnung) unterscheiden sich diese um eine Konstante <math>c\in \mathbb{C}</math>. == Beweis == Der Beweis nutzt die summandenweise Integration, weil die Folge der Partialsummen der Potenzreihe von <math>f</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] konvergiert. Der Beweis gliedert sich in die folgenden beiden Teilaussagen: * '''(B1) Existenz:''' lokale Stammfunktion <math>F_{(1)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> erster Ordnung <math>k=1</math>, * '''(B2) Potenzreihendarstellung:''' die Stammfunktion <math>F_{(k)}</math> der Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> besitzt die angegebene Potenzreihendarstellung und * '''(B3) Konvergenzradius:''' der Konvergenzradius der lokalen Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> entspricht dem Konvergenzradius <math>r > 0</math> der Potenzreihe für <math>f</math>. === Beweis B1 - Existenz === Die Existenzaussage lokaler Stammfunktionen (erster Ordnung) erfolgt über die Cauchy-Integralformel und der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen von der Potenzreihe gegen die Potenzreihe der Stammfunktion. Durch das induktive bilden der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math> aus der Stammfunktion der Ordnung <math>n</math> erhält man die lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebiger Ordnung. ==== Beweisschritt B1.1 - Cauchy-Integralformel ==== Über die Cauchy-Integralformel und die Verwendung des [[Cauchy-Kern]]s kann man die Funktion <math>f</math> lokal auf Kreisscheiben <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> in die folgende Potenzreihe entwickeln: :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \underbrace{ \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{=a_n}(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] ist für einen Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> nach dem [[Identitätssatz]] eindeutig bestimmt. Mit der [[Cauchy-Integralformel|Integralformel]] für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. ==== Beweisschritt B1.2 - Gleichmäßige Konvergenz ==== Analog zum Behandlung der [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung in der Funktionentheorie]] nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Potenzreihe, um die darstellende Potenzreihe für <math>f(z)</math> summandenweise integrieren zu können. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>F(z_o)=0</math>. :<math>F(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1}</math> ==== Beweisschritt B1.3 - Stammfunktion der Ordnung 2 ==== Da auch für <math>F</math> die Partialsummen der Potenzreihe von <math>F</math> wieder gleichmäßig gegen die darstellende Potenzreihe für <math>F(z)</math> konvergieren, kann man auch <math>F</math> summandenweise integrieren. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F_{(2)}</math> von <math>F</math>, die ebenfalls die Eigenschaft <math>F_{(2)}(z_o)=0</math> erfüllt. Die Potenzreihe hat damit die folgende Darstellung: :<math>F_{(2)}(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{(n+1)\cdot (n+2)} \cdot (z-z_o)^{n+2}</math> === Beweisschritt B2 - Stammfunktion beliebig hoher Ordnung === Durch fortgesetzte Integration der Stammfunktion erhält man die Existenz lokaler Stammfunktionen (B1) über Erweiterung mit <math>n!</math> im Bruch <math>\tfrac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}</math>. :<math> \begin{array}{rcl} F_{(k)} & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k} \\ & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k}, \\ \end{array} </math> === Beweisschritt B3 - Konvergenzradius der Stammfunktion höherer Ordnung === In dem Beweiteil B3 wird gezeigt, dass der Konvergenzradius der Stammfunktionen <math> F_{(k)}</math> mit beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der lokalen Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> übereinstimmt. ==== Beweisschritt B3.1 - Definition Konvergenzradius ==== Der Konvergenzradius einer Potenzreihe <math display="inline">f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}</math> ist als das [[w:de:Supremum|Supremum]] aller Zahlen <math>r_z \geq 0</math> definiert, für welche die Potenzreihe für (mindestens) ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z-z_0| = r_z</math> [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]]: :<math>r:=\sup \left\{ |z-z_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\ \text{konvergiert}\right.\right\} </math> Falls <math>f</math> eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] ist, dann konvergiert die Potenzreihe für alle komplexen Zahlen und man definiert den Konvergenzradius dann als unendlich: <math>r := \infty</math>. ==== Beweisschritt B3.2 - Satz von Cauchy-Hadamard ==== Der Konvergenzradius lässt sich mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnen: Es gilt :<math>r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.</math> Dabei setzt man <math>r = 0</math>, falls der [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner gegen <math>+\infty</math> konvergiert, und <math>r = +\infty</math>, falls dieser gegen <math>0</math> strebt. ==== Beweisschritt B3.3 - Anwendung auf Stammfunktion ==== Die Potenzreihendarstellung von <math>F</math> lautet unter Verwendung der Indexverschiebung: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{a_{n-1}}{n}}_{=b_n} \cdot (z-z_o)^n. </math> Mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] erhält man: :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)}.</math> ==== Beweisschritt B3.4 - Analyse des Limes Superior ==== Betrachtet man das Argument des [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner, so erhält man durch Umformung folgende Term: :<math> \sqrt[n]{|b_n|} = \sqrt[n]{\left|\frac{a_{n-1}}{n}\right|} = \frac{\sqrt[n]{|a_{n-1}|}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} </math> Für <math>n\to \infty </math> konvergiert der Term <math>\frac{n-1}{n}</math> gegen 1. ==== Beweisschritt B3.5 - Analyse des Limes Superior ==== Mit den [[w:de:Regel_von_de_L’Hospital|Regel von L’Hospital]] lässt sich zeigen, das der Term <math>\sqrt[n]{n}</math> für <math>n\to \infty </math> ebenfalls gegen 1 konvergiert, denn es gilt bei Lograithmierung des Terms <math>\sqrt[n]{n} > 0</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} \ln (\sqrt[n]{n} ) = \lim_{n\to \infty} \frac{\ln (n)}{n} \,\,\, \stackrel{_{L'Hospital}}{=} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \frac{\tfrac{1}{n}}{1} = 0 </math> Damit gilt für <math>\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}= \lim_{n\to \infty} \exp(\ln (\sqrt[n]{n} )) = \exp(0)=1</math>: ==== Beweisschritt B3.6 - Limes Superior und Konvergenzradius ==== Für den [[w:de:Limes superior|Limes superior]] gilt damit insgesamt: :<math> \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} \right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right) </math> Angewendet auf den Konvergenzradius <math>r_{\!_F}</math> erhält man dann Gleichheit der Konvergenzradien von <math>f</math> und <math>F:</math> :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)} = r.</math> ==== Beweisschritt B3.7 - Konvergenzradius und Limes Superior ==== Durch induktive Anwendung des Vorgehens von B3.1 bis B3.6 auf lokale Stammfunktionen höherer Ordnung erhält man die Aussage, dass die Konvergenzradien von aller Stammfunktionen höherer Ordnung mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] übereinstimmt. <math>\Box</math> === Bemerkung - Holomorphiekriterium === Die Existenz lokaler Stammfunktionen <math>F:D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zu einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit dieser Eigenschaft gilt auf <math>z\in D_r(z_0)</math> auch <math>F'(z) = f(z)</math>. Damit ist auch <math> f</math> auf dem gesamten Gebiet <math>G</math> holomorph. == Siehe auch == * [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Behandlung der Normalverteilung in der Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] pawjwwmge2ptlmkxrg2cais0o8nkow3 1077464 1077461 2026-04-18T07:47:39Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077464 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Existenz lokaler Stammfunktionen für eine Funktion <math> f:G\to\mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit der Existenz lokal Stammfunktionen <math>F:D_r(z_o)\to \mathbb{C}</math> mit <math>F' = f</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> ist <math>F</math> und damit auch <math>F' = f</math> auf <math>D_r(z_0)</math>. Da <math>f</math> auf ganz <math>G</math> lokale Stammfunktionen besitzt ist <math>f</math> auch überall komplex differenzierbar und damit holomorph auf <math>G</math>. Lokale Stammfunktionen werden verwendet, um [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] berechnen zu können. === Stammfunktionen und Ableitungen === In der komplexen Analysis (Funktionentheorie) wurde im ersten Teil des Kurses gezeigt, dass ''"1x komplex differenzierbar"'' schon ''"unendlich oft komplex differenzierbar"''. Der folgende Satz zeigt, dass dieses auch für [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen#Satz|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] gilt. Allerdings gilt diese Eigenschaft wegen der Konvergenzradien von Potenzradien und dem [[Abelsches Lemma|Abelschen Lemma]] nur auf lokal auf Kreischeiben <math>D_r(z_0)</math>. <span id="DefinitionOrdnung"></span> == Definition - Stammfunktion höherer Ordnung == Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> heißt <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> lokale Stammfunktion der Ordnung <math>k</math>, wenn gilt: * Kreischeibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> mit <math> F_{(0)}:= f </math>, * <math> F_{(1)}:= F </math> ist eine Stammfunktion von <math>f</math> auf <math> D_r(z_o)</math> (d.h. <math>F' = f</math>), * <math> F'_{(i+1)}:= F_{(i)} </math> für alle <math>i \in \{1,\ldots ,k-1\}</math>. === Ableitungen und Stammfunktion === Bezeichnet <math>g^{(k)}:G\to \mathbb{C} </math> die <math>k</math>-te Ableitung einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>g:G\to \mathbb{C} </math>, so kann man für <math>k\in \mathbb{N}_0</math> den folgenden Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen herstellen: :<math> \big(F_{(k)}\big)^{(k)}:= f </math> Dabei gilt <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> gilt im Allgemeinen nicht. === Aufgabe für Studierende === Geben Sie eine Gegenbeispiel für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> an, dass <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> im Allgemeinen nicht gilt. <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)}</math> bezeichnet dabei, dass zunächst die Ableitungen gebildet werden und dann eine Stammfunktionen der Ordnung <math>k</math> gebildet wird. <span id="Satz"></span> == Satz über lokale Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], die auf der Kreisscheibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> die folgende Potenzreihendarstellung besitzt :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n,</math> dann besitzt <math>f</math> lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>, die die folgende [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] für <math>|z-z_o|<r</math> besitzt: :<math>F_{(k)} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k},</math> === Bemerkung - Existenzaussage Stammfunktion k-ter Ordnung === Der obige Satz ist eine Existenzaussage für Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>. Der [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] zeigt dann, dass sich zwei beliebige Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> und <math>\widehat{F_{(k)}}</math> der Ordnung <math>k</math> durch eine Polynom der Ordung <math>k-1\in \mathbb{N}</math> unterscheiden. Für Stammfunktionen <math>F</math> (also Stammfunktion erster Ordnung) unterscheiden sich diese um eine Konstante <math>c\in \mathbb{C}</math>. == Beweis == Der Beweis nutzt die summandenweise Integration, weil die Folge der Partialsummen der Potenzreihe von <math>f</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] konvergiert. Der Beweis gliedert sich in die folgenden beiden Teilaussagen: * '''(B1) Existenz:''' lokale Stammfunktion <math>F_{(1)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> erster Ordnung <math>k=1</math>, * '''(B2) Potenzreihendarstellung:''' die Stammfunktion <math>F_{(k)}</math> der Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> besitzt die angegebene Potenzreihendarstellung und * '''(B3) Konvergenzradius:''' der Konvergenzradius der lokalen Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> entspricht dem Konvergenzradius <math>r > 0</math> der Potenzreihe für <math>f</math>. === Beweis B1 - Existenz === Die Existenzaussage lokaler Stammfunktionen (erster Ordnung) erfolgt über die Cauchy-Integralformel und der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen von der Potenzreihe gegen die Potenzreihe der Stammfunktion. Durch das induktive bilden der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math> aus der Stammfunktion der Ordnung <math>n</math> erhält man die lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebiger Ordnung. ==== Beweisschritt B1.1 - Cauchy-Integralformel ==== Über die Cauchy-Integralformel und die Verwendung des [[Cauchy-Kern]]s kann man die Funktion <math>f</math> lokal auf Kreisscheiben <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> in die folgende Potenzreihe entwickeln: :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \underbrace{ \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{=a_n}(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] ist für einen Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> nach dem [[Identitätssatz]] eindeutig bestimmt. Mit der [[Cauchy-Integralformel|Integralformel]] für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. ==== Beweisschritt B1.2 - Gleichmäßige Konvergenz ==== Analog zum Behandlung der [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung in der Funktionentheorie]] nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Potenzreihe, um die darstellende Potenzreihe für <math>f(z)</math> summandenweise integrieren zu können. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>F(z_o)=0</math>. :<math>F(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1}</math> ==== Beweisschritt B1.3 - Stammfunktion der Ordnung 2 ==== Da auch für <math>F</math> die Partialsummen der Potenzreihe von <math>F</math> wieder gleichmäßig gegen die darstellende Potenzreihe für <math>F(z)</math> konvergieren, kann man auch <math>F</math> summandenweise integrieren. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F_{(2)}</math> von <math>F</math>, die ebenfalls die Eigenschaft <math>F_{(2)}(z_o)=0</math> erfüllt. Die Potenzreihe hat damit die folgende Darstellung: :<math>F_{(2)}(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{(n+1)\cdot (n+2)} \cdot (z-z_o)^{n+2}</math> === Beweisschritt B2 - Stammfunktion beliebig hoher Ordnung === Durch fortgesetzte Integration der Stammfunktion erhält man die Existenz lokaler Stammfunktionen (B1) über Erweiterung mit <math>n!</math> im Bruch <math>\tfrac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}</math>. :<math> \begin{array}{rcl} F_{(k)} & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k} \\ & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k}, \\ \end{array} </math> === Beweisschritt B3 - Konvergenzradius der Stammfunktion höherer Ordnung === In dem Beweiteil B3 wird gezeigt, dass der Konvergenzradius der Stammfunktionen <math> F_{(k)}</math> mit beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der lokalen Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> übereinstimmt. ==== Beweisschritt B3.1 - Definition Konvergenzradius ==== Der Konvergenzradius einer Potenzreihe <math display="inline">f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}</math> ist als das [[w:de:Supremum|Supremum]] aller Zahlen <math>r_z \geq 0</math> definiert, für welche die Potenzreihe für (mindestens) ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z-z_0| = r_z</math> [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]]: :<math>r:=\sup \left\{ |z-z_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\ \text{konvergiert}\right.\right\} </math> Falls <math>f</math> eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] ist, dann konvergiert die Potenzreihe für alle komplexen Zahlen und man definiert den Konvergenzradius dann als unendlich: <math>r := \infty</math>. ==== Beweisschritt B3.2 - Satz von Cauchy-Hadamard ==== Der Konvergenzradius lässt sich mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnen: Es gilt :<math>r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.</math> Dabei setzt man <math>r = 0</math>, falls der [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner gegen <math>+\infty</math> konvergiert, und <math>r = +\infty</math>, falls dieser gegen <math>0</math> strebt. ==== Beweisschritt B3.3 - Anwendung auf Stammfunktion ==== Die Potenzreihendarstellung von <math>F</math> lautet unter Verwendung der Indexverschiebung: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{a_{n-1}}{n}}_{=b_n} \cdot (z-z_o)^n. </math> Mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] erhält man: :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)}.</math> ==== Beweisschritt B3.4 - Analyse des Limes Superior ==== Betrachtet man das Argument des [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner, so erhält man durch Umformung folgende Term: :<math> \sqrt[n]{|b_n|} = \sqrt[n]{\left|\frac{a_{n-1}}{n}\right|} = \frac{\sqrt[n]{|a_{n-1}|}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} </math> Für <math>n\to \infty </math> konvergiert der Term <math>\frac{n-1}{n}</math> gegen 1. ==== Beweisschritt B3.5 - Analyse des Limes Superior ==== Mit den [[w:de:Regel_von_de_L’Hospital|Regel von L’Hospital]] lässt sich zeigen, das der Term <math>\sqrt[n]{n}</math> für <math>n\to \infty </math> ebenfalls gegen 1 konvergiert, denn es gilt bei Lograithmierung des Terms <math>\sqrt[n]{n} > 0</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} \ln (\sqrt[n]{n} ) = \lim_{n\to \infty} \frac{\ln (n)}{n} \,\,\, \stackrel{_{L'Hospital}}{=} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \frac{\tfrac{1}{n}}{1} = 0 </math> Damit gilt für <math>\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}= \lim_{n\to \infty} \exp(\ln (\sqrt[n]{n} )) = \exp(0)=1</math>: ==== Beweisschritt B3.6 - Limes Superior und Konvergenzradius ==== Für den [[w:de:Limes superior|Limes superior]] gilt damit insgesamt: :<math> \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} \right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right) </math> Angewendet auf den Konvergenzradius <math>r_{\!_F}</math> erhält man dann Gleichheit der Konvergenzradien von <math>f</math> und <math>F:</math> :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)} = r.</math> ==== Beweisschritt B3.7 - Konvergenzradius und Limes Superior ==== Durch induktive Anwendung des Vorgehens von B3.1 bis B3.6 auf lokale Stammfunktionen höherer Ordnung erhält man die Aussage, dass die Konvergenzradien von aller Stammfunktionen höherer Ordnung mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] übereinstimmt. <math>\Box</math> === Bemerkung - Holomorphiekriterium === Die Existenz lokaler Stammfunktionen <math>F:D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zu einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit dieser Eigenschaft gilt auf <math>z\in D_r(z_0)</math> auch <math>F'(z) = f(z)</math>. Damit ist auch <math> f</math> auf dem gesamten Gebiet <math>G</math> holomorph. == Siehe auch == * [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Behandlung der Normalverteilung in der Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] jr7mignbrqp3zku7sypm5jjin2emkjl 106 170032 1077377 1077344 2026-04-17T12:48:54Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke */ 1077377 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="RandintegralDreieck"></span> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von Dreiecke]] stellt also das Flächenintegral über Dreiecke damit als Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> darstellen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten, * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des Korollars gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] ri6woz0vilire5pts8y980j2izum9rc 1077447 1077377 2026-04-18T07:25:51Z Bert Niehaus 20843 /* Notation der Wegintegrale */ 1077447 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="RandintegralDreieck"></span> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von Dreiecke]] stellt also das Flächenintegral über Dreiecke damit als Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> darstellen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten, * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. <span id="KorollarDreieck"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des Korollars gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] 5uj1nl9za5varm8qenqfz9nd6x51k8t 1077452 1077447 2026-04-18T07:33:16Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals */ 1077452 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="RandintegralDreieck"></span> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von Dreiecke]] stellt also das Flächenintegral über Dreiecke damit als Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> darstellen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten, * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen die Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math>. <span id="KorollarDreieck"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des Korollars gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] 6oyqywjukhefuhk3dnr5nfutkockk7m 1077455 1077452 2026-04-18T07:38:22Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Randintegral für Dreiecksfläche */ 1077455 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="RandintegralDreieck"></span> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von Dreiecke]] stellt also das Flächenintegral über Dreiecke damit als Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> darstellen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreieck"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des Korollars gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] ghkfgt1o69yf1gss2cty29tmtz7ynsi 1077456 1077455 2026-04-18T07:39:32Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Korollar */ 1077456 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="RandintegralDreieck"></span> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von Dreiecke]] stellt also das Flächenintegral über Dreiecke damit als Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> darstellen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreieck"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] 35ywq22zu5rrw9jxnv99rm6hxx6ixaw 1077458 1077456 2026-04-18T07:40:26Z Bert Niehaus 20843 /* Notation der Wegintegrale */ 1077458 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="RandintegralDreieck"></span> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von Dreiecke]] stellt also das Flächenintegral über Dreiecke damit als Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> darstellen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreiecke"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] 1swuze9q9e2ka0yfd63goztveoa18dg 1077531 1077458 2026-04-18T11:33:55Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077531 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="RandintegralDreieck"></span> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von Dreiecke]] stellt also das Flächenintegral über Dreiecke damit als Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> darstellen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreiecke"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tkz66ibbmy3arhxoxv76oulqyx9wq79 1077535 1077531 2026-04-18T11:41:53Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Flächenintegralsatz */ 1077535 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von Dreiecke]] stellt also das Flächenintegral über Dreiecke damit als Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> darstellen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreiecke"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 69vs6wav6aw0omae0r8q0eiyll21skf 1077536 1077535 2026-04-18T11:42:13Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077536 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Definition - Randintegral für Dreiecksfläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende [[orientierte Fläche]] auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Randintegral von <math>f</math> für die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Die obige Definition der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von Dreiecke]] stellt also das Flächenintegral über Dreiecke damit als Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dar. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> darstellen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreiecke"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] k24sgd232ns5ulhsgb0ffxv5maenyjl 106 170062 1077372 1077370 2026-04-17T12:01:46Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen */ 1077372 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot z_1 + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot z_3 + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 8rkymys5iifuk7dczbrk4baf69vhu10 1077427 1077372 2026-04-18T05:04:16Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen */ 1077427 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot z_1 + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot z_3 + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] kr6c4ih27r6tf3i976ukwz4g6lmmbe3 1077428 1077427 2026-04-18T05:04:45Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen */ 1077428 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot z_1 + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot z_3 + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 8rkymys5iifuk7dczbrk4baf69vhu10 1077429 1077428 2026-04-18T05:06:12Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen */ 1077429 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot z_1 + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot z_3 + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] kdkilatqlppk7eh7bd89wwgfkpe4syx 1077431 1077429 2026-04-18T05:31:55Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3 - Kreisscheibe */ 1077431 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot z_1 + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot z_3 + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qwt6md27pyfdk4b4rnoj1ok226rfamy 1077466 1077431 2026-04-18T07:48:25Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077466 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = (1-t_1)\cdot z_1 + t_1\cdot z_2 \,\,\, +\,\,\, (1-t_2)\cdot z_3 + t_2\cdot z_4 </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_4-z_3)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - komplexe Flächenintegrale == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] pn0kmffgtfbh71jsu4co1x697pxjdxf 106 170064 1077425 1077075 2026-04-18T05:03:07Z Bert Niehaus 20843 /* Induktionsschritt */ 1077425 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der reellen Analysis ist bekannt, dass sich zwei Stammfunktionen <math>F</math> und <math>\widehat{F}</math> von einer Funktion <math>f:D\to\mathbb{R}</math> um eine Konstante <math>a\in\mathbb{R}</math> unterscheiden (d.h. <math>F-\widehat{F} = c</math>). Dieses Aussage wird mit dem Differenzsatz für Stammfunktionen auf Stammfunktionen beliebiger hoher Ordnung erweitert. Für holomorphe Funktionen <math>f</math> existieren immer lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung. Allgemeiner unterscheiden sich zwei <math>F_{(n)}</math> und <math>\widehat{F}_{(n)}</math> um ein Polynom <math>p</math> der Ordnung <math>n-1</math>. === Lernvoraussetzungen === * [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] für die Anwendung der aus der Analysis bekannten Definition übertragen auf die komplexe Differenzierbarkeit * [[w:de:vollständige Induktion|vollständige Induktion]] als Beweistyp * [[Satz über lokale Stammfunktionen]], weil holomorphe Funktion == Differenzsatz für Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] und <math>D_r(z_0)</math> eine Kreisscheibe mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math>. Seien ferner <math>F_{(n)} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{F}_{(n)} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zwei Stammfunktionen der Ordnung <math>n\in \mathbb{N}</math>, dann existiert der Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> der Ordnung <math>n-1</math> mit: :<math> F_{(n)}(z) - \widehat{F}_{(n)}(z) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot (z-z_o)^k </math> == Aufgabe für Studierende == Beweisen Sie den obigen Satz induktiv und starten bei zwei lokalen Stammfunktionen <math>F : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{F} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> mit <math> F=F_{(1)}</math> und <math>\widehat{F}=\widehat{F}_{(1)}</math> und betrachten Sie <math>(F-\widehat{F})'</math>. Für den Induktionsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> betrachten Sie die Differenz der Stammfunktionen <math>n+1</math>-ter Ordnung bzgl. <math>(F_{(n+1)}-\widehat{F}_{(n+1)})'</math> und verwenden Sie jeweils die Induktionsvorausetzung für die Stammfunktionen <math>n</math>-ter Ordnung! Stellen Sie den Beweis in der Übung zur Vorlesung vor und erläutern Sie den Zusammenhang zu [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] über eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math>. === Induktionsanfang === Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> holomorph. Für <math>n=1</math> gilt die folgende Gleichung: : <math>(F_{(1)}-\widehat{F}_{(1)})' = (F-\widehat{F})'= F'-\widehat{F}\,' = f-f = 0 </math> Damit ist <math>F_{(1)}-\widehat{F}_{(1)}</math> konstant. Man wählt dazu ein <math>z</math> aus dem Definitionsbereich, auf dem sowohl <math>F_{(1)}</math> als auch <math>\widehat{F}_{(1)}</math> definiert sind. Man setzt <math>a_0:=F_{(1)}(z)-\widehat{F}_{(1)}(z)\in</math> kann beliebig gewählt werden. === Induktionsvoraussetzung === Die Differenz der Stammfunktionen <math>n</math>-ter Ordnung sei durch das folgende Polynom beschrieben. :<math> F_{(n)}(z) - \widehat{F}_{(n)}(z) = \sum_{k=0}^{n-1} \widehat{a_k} \cdot (z-z_o)^k </math> Ferner gilt nach Definition der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math>, dass <math>F\,'\!_{(n+1)} = F_{(n)}</math> und <math>\widehat{F}\,'\!_{(n+1)} = \widehat{F}_{(n)}</math> gilt. === Induktionsbehauptung === Die Differenz der Stammfunktionen <math>n+1</math>-ter Ordnung lässt durch das folgende Polynom beschrieben mit <math>a_0, \ldots , a_n \in \mathbb{C} </math>. :<math> F_{(n+1)}(z) - \widehat{F}_{(n+1)}(z) = \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot (z-z_o)^k </math> === Induktionsschritt === Durch Verwendung der Induktionsvoraussetzung für <math>n=1</math> erhält man: :<math> p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} \widehat{a_k} \cdot (z-z_o)^k = F_{(n)}(z) - \widehat{F}_{(n)} = (F_{(n+1)}(z) - \widehat{F}_{(n+1)}(z))' </math> Um die Differenz von <math>F_{(n+1)}(z) - \widehat{F}_{(n+1)}</math> darzustellen, muss man eine Stammfunktion von <math display="inline">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1}\widehat{a_k} \cdot (z-z_o)^k </math>. Die lautet für ein beliebiges <math>a_0\in \mathbb{C}</math> als Konstante: :<math>P(z)=a_0 + \sum_{k=0}^{n-1}\underbrace{\frac{\widehat{a_k}}{k+1}}_{:=a_{k+1}} \cdot (z-z_o)^{k+1} = \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot (z-z_o)^k </math>. Damit gilt die Induktionsbehauptung mit entsprechender Indexverschiebung. <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 6660gmkujgta1xtuqrnakw684m5xky5 1077426 1077425 2026-04-18T05:03:28Z Bert Niehaus 20843 /* Induktionsschritt */ 1077426 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der reellen Analysis ist bekannt, dass sich zwei Stammfunktionen <math>F</math> und <math>\widehat{F}</math> von einer Funktion <math>f:D\to\mathbb{R}</math> um eine Konstante <math>a\in\mathbb{R}</math> unterscheiden (d.h. <math>F-\widehat{F} = c</math>). Dieses Aussage wird mit dem Differenzsatz für Stammfunktionen auf Stammfunktionen beliebiger hoher Ordnung erweitert. Für holomorphe Funktionen <math>f</math> existieren immer lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung. Allgemeiner unterscheiden sich zwei <math>F_{(n)}</math> und <math>\widehat{F}_{(n)}</math> um ein Polynom <math>p</math> der Ordnung <math>n-1</math>. === Lernvoraussetzungen === * [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] für die Anwendung der aus der Analysis bekannten Definition übertragen auf die komplexe Differenzierbarkeit * [[w:de:vollständige Induktion|vollständige Induktion]] als Beweistyp * [[Satz über lokale Stammfunktionen]], weil holomorphe Funktion == Differenzsatz für Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] und <math>D_r(z_0)</math> eine Kreisscheibe mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math>. Seien ferner <math>F_{(n)} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{F}_{(n)} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zwei Stammfunktionen der Ordnung <math>n\in \mathbb{N}</math>, dann existiert der Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> der Ordnung <math>n-1</math> mit: :<math> F_{(n)}(z) - \widehat{F}_{(n)}(z) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot (z-z_o)^k </math> == Aufgabe für Studierende == Beweisen Sie den obigen Satz induktiv und starten bei zwei lokalen Stammfunktionen <math>F : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{F} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> mit <math> F=F_{(1)}</math> und <math>\widehat{F}=\widehat{F}_{(1)}</math> und betrachten Sie <math>(F-\widehat{F})'</math>. Für den Induktionsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> betrachten Sie die Differenz der Stammfunktionen <math>n+1</math>-ter Ordnung bzgl. <math>(F_{(n+1)}-\widehat{F}_{(n+1)})'</math> und verwenden Sie jeweils die Induktionsvorausetzung für die Stammfunktionen <math>n</math>-ter Ordnung! Stellen Sie den Beweis in der Übung zur Vorlesung vor und erläutern Sie den Zusammenhang zu [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] über eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math>. === Induktionsanfang === Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> holomorph. Für <math>n=1</math> gilt die folgende Gleichung: : <math>(F_{(1)}-\widehat{F}_{(1)})' = (F-\widehat{F})'= F'-\widehat{F}\,' = f-f = 0 </math> Damit ist <math>F_{(1)}-\widehat{F}_{(1)}</math> konstant. Man wählt dazu ein <math>z</math> aus dem Definitionsbereich, auf dem sowohl <math>F_{(1)}</math> als auch <math>\widehat{F}_{(1)}</math> definiert sind. Man setzt <math>a_0:=F_{(1)}(z)-\widehat{F}_{(1)}(z)\in</math> kann beliebig gewählt werden. === Induktionsvoraussetzung === Die Differenz der Stammfunktionen <math>n</math>-ter Ordnung sei durch das folgende Polynom beschrieben. :<math> F_{(n)}(z) - \widehat{F}_{(n)}(z) = \sum_{k=0}^{n-1} \widehat{a_k} \cdot (z-z_o)^k </math> Ferner gilt nach Definition der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math>, dass <math>F\,'\!_{(n+1)} = F_{(n)}</math> und <math>\widehat{F}\,'\!_{(n+1)} = \widehat{F}_{(n)}</math> gilt. === Induktionsbehauptung === Die Differenz der Stammfunktionen <math>n+1</math>-ter Ordnung lässt durch das folgende Polynom beschrieben mit <math>a_0, \ldots , a_n \in \mathbb{C} </math>. :<math> F_{(n+1)}(z) - \widehat{F}_{(n+1)}(z) = \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot (z-z_o)^k </math> === Induktionsschritt === Durch Verwendung der Induktionsvoraussetzung für <math>n=1</math> erhält man: :<math> p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} \widehat{a_k} \cdot (z-z_o)^k = F_{(n)}(z) - \widehat{F}_{(n)} = (F_{(n+1)}(z) - \widehat{F}_{(n+1)}(z))' </math> Um die Differenz von <math>F_{(n+1)}(z) - \widehat{F}_{(n+1)}</math> darzustellen, muss man eine Stammfunktion von <math display="inline">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1}\widehat{a_k} \cdot (z-z_o)^k </math>. Die lautet für ein beliebiges <math>a_0\in \mathbb{C}</math> als Konstante: :<math>P(z)=a_0 + \sum_{k=0}^{n-1}\underbrace{\frac{\widehat{a_k}}{k+1}}_{:=a_{k+1}} \cdot (z-z_o)^{k+1} = \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot (z-z_o)^k </math>. Damit gilt die Induktionsbehauptung mit entsprechender Indexverschiebung. <math>\quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] akvune9xuwny2k7p0p9pid8dc6ijysl 1077465 1077426 2026-04-18T07:48:01Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077465 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der reellen Analysis ist bekannt, dass sich zwei Stammfunktionen <math>F</math> und <math>\widehat{F}</math> von einer Funktion <math>f:D\to\mathbb{R}</math> um eine Konstante <math>a\in\mathbb{R}</math> unterscheiden (d.h. <math>F-\widehat{F} = c</math>). Dieses Aussage wird mit dem Differenzsatz für Stammfunktionen auf Stammfunktionen beliebiger hoher Ordnung erweitert. Für holomorphe Funktionen <math>f</math> existieren immer lokale Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung. Allgemeiner unterscheiden sich zwei <math>F_{(n)}</math> und <math>\widehat{F}_{(n)}</math> um ein Polynom <math>p</math> der Ordnung <math>n-1</math>. === Lernvoraussetzungen === * [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]] für die Anwendung der aus der Analysis bekannten Definition übertragen auf die komplexe Differenzierbarkeit * [[w:de:vollständige Induktion|vollständige Induktion]] als Beweistyp * [[Satz über lokale Stammfunktionen]], weil holomorphe Funktion == Differenzsatz für Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to\mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] und <math>D_r(z_0)</math> eine Kreisscheibe mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math>. Seien ferner <math>F_{(n)} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{F}_{(n)} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zwei Stammfunktionen der Ordnung <math>n\in \mathbb{N}</math>, dann existiert der Polynom mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> der Ordnung <math>n-1</math> mit: :<math> F_{(n)}(z) - \widehat{F}_{(n)}(z) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k \cdot (z-z_o)^k </math> == Aufgabe für Studierende == Beweisen Sie den obigen Satz induktiv und starten bei zwei lokalen Stammfunktionen <math>F : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{F} : D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> mit <math> F=F_{(1)}</math> und <math>\widehat{F}=\widehat{F}_{(1)}</math> und betrachten Sie <math>(F-\widehat{F})'</math>. Für den Induktionsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> betrachten Sie die Differenz der Stammfunktionen <math>n+1</math>-ter Ordnung bzgl. <math>(F_{(n+1)}-\widehat{F}_{(n+1)})'</math> und verwenden Sie jeweils die Induktionsvorausetzung für die Stammfunktionen <math>n</math>-ter Ordnung! Stellen Sie den Beweis in der Übung zur Vorlesung vor und erläutern Sie den Zusammenhang zu [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] über eine [[holomorphe Funktion]] <math>f</math>. === Induktionsanfang === Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> holomorph. Für <math>n=1</math> gilt die folgende Gleichung: : <math>(F_{(1)}-\widehat{F}_{(1)})' = (F-\widehat{F})'= F'-\widehat{F}\,' = f-f = 0 </math> Damit ist <math>F_{(1)}-\widehat{F}_{(1)}</math> konstant. Man wählt dazu ein <math>z</math> aus dem Definitionsbereich, auf dem sowohl <math>F_{(1)}</math> als auch <math>\widehat{F}_{(1)}</math> definiert sind. Man setzt <math>a_0:=F_{(1)}(z)-\widehat{F}_{(1)}(z)\in</math> kann beliebig gewählt werden. === Induktionsvoraussetzung === Die Differenz der Stammfunktionen <math>n</math>-ter Ordnung sei durch das folgende Polynom beschrieben. :<math> F_{(n)}(z) - \widehat{F}_{(n)}(z) = \sum_{k=0}^{n-1} \widehat{a_k} \cdot (z-z_o)^k </math> Ferner gilt nach Definition der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math>, dass <math>F\,'\!_{(n+1)} = F_{(n)}</math> und <math>\widehat{F}\,'\!_{(n+1)} = \widehat{F}_{(n)}</math> gilt. === Induktionsbehauptung === Die Differenz der Stammfunktionen <math>n+1</math>-ter Ordnung lässt durch das folgende Polynom beschrieben mit <math>a_0, \ldots , a_n \in \mathbb{C} </math>. :<math> F_{(n+1)}(z) - \widehat{F}_{(n+1)}(z) = \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot (z-z_o)^k </math> === Induktionsschritt === Durch Verwendung der Induktionsvoraussetzung für <math>n=1</math> erhält man: :<math> p(z)=\sum_{k=0}^{n-1} \widehat{a_k} \cdot (z-z_o)^k = F_{(n)}(z) - \widehat{F}_{(n)} = (F_{(n+1)}(z) - \widehat{F}_{(n+1)}(z))' </math> Um die Differenz von <math>F_{(n+1)}(z) - \widehat{F}_{(n+1)}</math> darzustellen, muss man eine Stammfunktion von <math display="inline">p(z)=\sum_{k=0}^{n-1}\widehat{a_k} \cdot (z-z_o)^k </math>. Die lautet für ein beliebiges <math>a_0\in \mathbb{C}</math> als Konstante: :<math>P(z)=a_0 + \sum_{k=0}^{n-1}\underbrace{\frac{\widehat{a_k}}{k+1}}_{:=a_{k+1}} \cdot (z-z_o)^{k+1} = \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot (z-z_o)^k </math>. Damit gilt die Induktionsbehauptung mit entsprechender Indexverschiebung. <math>\quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qgzz3mngrgpvv1c2a16szu7etdlseq0 106 170097 1077409 1077017 2026-04-17T15:28:50Z Bert Niehaus 20843 /* Ziel der Lerneinheit */ 1077409 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] 67x0uvan1nrnd1gi5g955dsmm8yi8dn 1077411 1077409 2026-04-17T15:41:10Z Bert Niehaus 20843 /* Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke */ 1077411 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale|Darstellungslemmas für komplexwertige Flächenintegrale]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \int_{R} f(z) \, dz = F(z_4)-F(z_3)-F(z_2)+F(z_1) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] be0qkjwkfa6t8le4ldpwclmlr7bnqqo 1077417 1077411 2026-04-17T15:51:41Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Zerlegungslemma */ 1077417 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{=\iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz} + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\iint_{\Delta} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] pfuaq4l9xrpp0qcjhqwsrp3shaysnud 1077420 1077417 2026-04-17T16:06:07Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke */ 1077420 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\overset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2z } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\overset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\underset{z_4}{\iint}} f(z) \, d^2z } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === Da Rechteck <math>R\subset G</math> ist eine konvex Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math>. Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{=\iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz} + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\iint_{\Delta} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] 1xn0rb27y780r1temz2jd9idb0oz8bu 1077481 1077420 2026-04-18T08:50:25Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke */ 1077481 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\overset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \, d^2z } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\overset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \, d^2z } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === Da Rechteck <math>R\subset G</math> ist eine konvex Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math>. Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{=\iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz} + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\iint_{\Delta} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] msf8oljzr5etbr6vdvz5hkbeehof6xt 1077482 1077481 2026-04-18T08:55:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke */ 1077482 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Rechteckintergrallemma]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktionen zweiter Ordnung berechnen. Man erhält mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\overset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \, d^2z } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\overset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \, d^2z } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === Da Rechteck <math>R\subset G</math> ist eine konvex Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math>. Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{=\iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz} + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\iint_{\Delta} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] lydppfh6i8rn596ltiqb9yky3q1xrj3 1077483 1077482 2026-04-18T08:57:37Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke */ 1077483 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\overset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \, d^2z } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\overset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \, d^2z } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === Da Rechteck <math>R\subset G</math> ist eine konvex Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math>. Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{=\iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz} + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\iint_{\Delta} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] 9n4ep3w607ueqhq0vrchcx7vok1fh6l 1077484 1077483 2026-04-18T08:58:47Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke */ 1077484 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\overset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \, d^2z } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\overset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \, d^2z } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === Da Rechteck <math>R\subset G</math> ist eine konvex Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math>. Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{=\iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz} + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\iint_{\Delta} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] gkqw0m71wplc800s5duddrtucjnh17k 1077485 1077484 2026-04-18T09:01:27Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke */ 1077485 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_1,z_2 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === Da Rechteck <math>R\subset G</math> ist eine konvex Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math>. Die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals über Stammfunktion erhält man den komplexen Flächeninhalt für das Rechteck <math>R</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{=\iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz} + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\iint_{\Delta} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] 9z9de77a6tj23h7bt08emm4veuprbxj 1077508 1077485 2026-04-18T09:48:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Zerlegungslemma */ 1077508 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Motivation des Zerlegungslemmas === Die Integrationswege auf der Diagonalen sind farblich unterschiedlich markiert. Das Prinzip des Hinzufügens von sich annullierenden Wegintegralen wurde beim [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] bereits verwendet. [[File:Flaechenintegration v12.png|350px|center|Integration over triangle v12 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese werden nun durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] ersetzt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{=\iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz} + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\iint_{\Delta} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] qgk1sk0kwu4w27ar7nw8aq4j4up4v1s 1077509 1077508 2026-04-18T09:48:55Z Bert Niehaus 20843 /* Motivation des Zerlegungslemmas */ 1077509 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese werden nun durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] ersetzt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{=\iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz} + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\iint_{\Delta} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] c212o7r1kj4sk99h58qvyfybf0awut1 1077510 1077509 2026-04-18T10:01:02Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077510 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 -Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese werden nun durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] ersetzt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{=\iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz} + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\iint_{\Delta} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] gr0j8injt4353ol71vyuyr5f88juqxy 1077511 1077510 2026-04-18T10:04:24Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 -Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077511 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese werden nun durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] ersetzt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{=\iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz} + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\iint_{\Delta} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] bmtmthxzsvqfc59ww5jeuwiwfijq0a8 1077512 1077511 2026-04-18T10:13:35Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077512 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese werden nun durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] ersetzt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{=\iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz} + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\iint_{\Delta} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] om7g990zsewfa9xxpc76m6dvslkiqvz 1077523 1077512 2026-04-18T11:06:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077523 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> === Beweisschritt 3 - Anwendung des Darstellungslemmas === Die Anwendung des [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] liefert folgende Gleichungskette: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Anwendung des Cauchy-Integralsatzes === Wenn man den [[Cauchy-Integralsatz]] auf das [[Wegintegral]] über den Vierecksrand anwendet erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 0 & = & \displaystyle \int_{ \langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle } f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz \end{array} </math> In der 3. Gleichungszeile entsteht ein negatives Vorzeichen durch Umkehrung der Laufrichtung des Wegintegrals. === Beweisschritt 5 - Darstellung als Flächenintegrale === Durch die algebraische Umformung der Cauchy-Integralformel erhält man mit Beweisschritt 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} f(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} f(z) \, dz = \int_R f(z) \, dz \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Approximation der Dreieckfläche durch Rechtecke === In das Dreieck <math>\Delta</math> werden nun Rechtecke eingesetzt, die den komplexen Flächeninhalt des Dreiecks im Sinne der Riemannintegrals in der reellen Analysis approximieren. Diese Ansatz soll zunächst die geometrische Näherung der komplexwertigen Flächenintegral für die messbare Menge <math>\Delta\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> verwenden. Seien <math>a, b > 0 </math> die Breite und Höhe des Rechtecks <math>R</math>. Damit gilt <math>z_2-z_1 = b_1-a_1 \in \mathbb{R}</math> und <math>b_2-a_2 = \frac{z_3-z_1}{i} \in \mathbb{R}</math> für ein achsenparalleles Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. === Beweisschritt 8 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> ==== Beweisschritt 8.2 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals ==== Setzt man die in Schritt 8.1 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Zerlegung in zwei Teildreiecke ==== Das Ausgangsrechteck <math>R</math> wurde in zwei Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> zerlegt. Ziel ist es, das in Integral über das Rechteck <math>R</math> in die Summe der beiden Integrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> darzustellen und dann zu zeigen, dass die Integral über die Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> übereinstimmen. Ziel ist also der Nachweis der beiden Gleichungen: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks ==== Dazu wird auch die zweite vertikale Seite zwischen <math>z_2</math> und <math>z_4</math> im Rechteck in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>\widetilde{v_k}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \widetilde{v_0} & = & z_2 \quad \quad \widetilde{v_n} \,\, = \,\, z_4 \\ \widetilde{v_k} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_4 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot (z_2 + i\cdot b) \\ & = & z_2 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>\widetilde{v_{_{k-1}}}, \widetilde{v_k}, d_k </math> und <math>w_{k-1}</math> nun die 4 Eckpunkte des in das Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> eingeschriebenen Rechtecks <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>. ==== Beweisschritt 8.5 - Berechnung des Flächenintegrals für das zweite Teildreieck ==== Analog zum Vorgehen für das Dreieck <math>\Delta</math> approxiert man das komplexe Flächenintegral nun auch für Dreieck <math>\widetilde{\Delta}</math> über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.6 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Analog zu Schritt 11 wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(\widetilde{v_{k}}) - F(d_k) - F(\widetilde{v_{_{k-1}}}) + F(w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung des Flächenintegrals === Insgesamt liegen mit der Festlegung der Punkte aus Schritt 8 folgende Festlegung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau). [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] ==== Beweisschritt 9.1 - Nullmengen ==== Bei der Berechnung des komplexwertigen Flächeninhalts der Rechtecks mit den Eckpunkten <math>v_{k},v_{k-1},\widetilde{v_{k-1}}, \widetilde{v_{k}}</math> kann man bei den Integralen über die Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> (rot) und <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math> (blau) additiv vorgehen, da die Schnittmenge Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)} \cap \widetilde{R_{(n,k)}}</math> (Punkte der Strecke zwischen <math>d_k</math> und <math>w_k</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] des [[w:de:Lebesque-Integral|Lebesque-Integrales]] ist. ==== Beweisschritt 9.2 - Additive Integraldarstellung - Zerlegungsrechtecke ==== Man definiert nun die <math>M_{(n,k)}</math> als Vereinigung der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und <math> \widetilde{R_{(n,k)}} </math> über <math>M_{(n,k)}:= R_{(n,k)} \cup \widetilde{R_{(n,k)}} </math> und berechnet das Flächenintegral über diese Vereinigung: :<math> \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> Wenn man die Summe über <math>n</math> und <math>k</math> bildet erhält man das folgende Darstellung des Flächenintegrals für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{M_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 9.3 - Integraldarstellung für das Rechteck durch Zerlegungsdreiecke ==== Mit dem Beweisschritt 9.3 erhält man die erste Zerlegungsdarstellung durch das Integral über die beiden Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\Delta} f(z) \, dz } + \underbrace{ \lim_{n\to \infty } \sum_{k=1}^{n} \int_{\widetilde{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz }_{ = \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz } \\ & = & \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 11 - Zusammenfassung des Vorgehens === Insgesamt wurde das Rechteck <math>R</math> in zwei Teildreiecke zerlegt, wobei die komplexwertigen Flächenintegrale über die holomorphe Funktion <math>f</math> und den Teildreiecken <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math> über die Rechteckteilflächen <math>R_{(n,k)}</math> bzw. <math>\widetilde{R_{(n,k)}}</math>approximiert, für die ein komplexes Flächenintegral definiert über Stammfunktionen definiert ist. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] dtemqj1q0jyevp75akpmqf22sk5vhix 1077524 1077523 2026-04-18T11:08:31Z Bert Niehaus 20843 1077524 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] jyuc86187buvtn3da3e8npdj7vwy3e1 1077525 1077524 2026-04-18T11:12:20Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck */ 1077525 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_4,z_3)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \int_{R} f(z) \, dz = \int_{\Delta} f(z) \, dz + \int_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] i00plabb2qibjbjh05zgor401kggo7h 1077526 1077525 2026-04-18T11:14:30Z Bert Niehaus 20843 /* Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale */ 1077526 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] kglj72tbjqrzb6sj4zt3fkuju6ci1dj 1077527 1077526 2026-04-18T11:28:31Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077527 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Bezug zur Geometrie der Ebene == Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. <math>g\cdot h=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)</math> liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>. Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> kann man nicht voraussetzen, dass <math>f</math> konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> nicht notwendig den gleichen Wert. === Veranschaulichung Teildreiecke === In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> in dem Rechteck <math>R</math> dargestellt. In dem zweiten Teildreick <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> in <math>R</math> wird die Funktion <math>f</math> an einer anderen Stelle im Definitionsbereich <math>G</math> ausgewertet. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] tr7fektc88vk1fvgu396yon023yimok 1077528 1077527 2026-04-18T11:29:17Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077528 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Bezug zur Geometrie der Ebene == Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. <math>g\cdot h=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)</math> liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>. Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> kann man nicht voraussetzen, dass <math>f</math> konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> nicht notwendig den gleichen Wert. === Veranschaulichung Teildreiecke === In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> in dem Rechteck <math>R</math> dargestellt. In dem zweiten Teildreick <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> in <math>R</math> wird die Funktion <math>f</math> an einer anderen Stelle im Definitionsbereich <math>G</math> ausgewertet. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] fl0g5qyclt5f4pdzlv6jmg8v8oe07xy 1077530 1077528 2026-04-18T11:31:37Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077530 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Bezug zur Geometrie der Ebene == Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. <math>g\cdot h=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)</math> liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>. Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> kann man nicht voraussetzen, dass <math>f</math> konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> nicht notwendig den gleichen Wert. === Veranschaulichung Teildreiecke === In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> in dem Rechteck <math>R</math> dargestellt. In dem zweiten Teildreick <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> in <math>R</math> wird die Funktion <math>f</math> an einer anderen Stelle im Definitionsbereich <math>G</math> ausgewertet. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] q4b06rdiwc8xhecw7yaq7gdjfu8c0gf 0 170114 1077537 1077035 2026-04-18T11:42:51Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitungsziel von [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke]] geändert 1077537 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke]] nzr4wrot3pxj408r479k1tuapxj7uo3 106 170179 1077467 1077306 2026-04-18T07:49:23Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1077467 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] behandelt. == Siehe auch == mcvjfq3haji6yf62g00tnie0wnhm6fy 1077468 1077467 2026-04-18T07:49:54Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077468 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] behandelt. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] pdzifduhk1lg58o0bkzofw5fd9o6pt5 1077469 1077468 2026-04-18T07:50:41Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077469 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] behandelt. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] o2i638eir17kzs04prfukjz2gm21q6z 1077470 1077469 2026-04-18T07:51:15Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077470 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] behandelt. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] 6m6j2jycnphg0ov1730twwsrvlqrpmz 1077471 1077470 2026-04-18T08:01:52Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1077471 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] behandelt. === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den Extremalpunkten der Fläche festgelegt ist. Die Extremal eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral aber nur von Eckpunkten von <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> ab. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] 3815h5e75ye5gqngler7ukzvww9ibcf 1077472 1077471 2026-04-18T08:04:40Z Bert Niehaus 20843 /* Extremalpunkte eines Kreise */ 1077472 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] behandelt. === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den Extremalpunkten der Fläche festgelegt ist. Die Extremal eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] 6ytu4b5f02k4xbt7fn98kzwo90491nd 106 170191 1077373 1077361 2026-04-17T12:02:36Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen */ 1077373 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. === Randweg - Integrationsweg zu Punkt === === Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges === == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] t1v923fcvsxzr7i7wkm5pqeil9kymlx 1077374 1077373 2026-04-17T12:28:05Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg - Punkt zu Integrationsweg */ 1077374 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über die orientierte Fläche dargestellt werden. === Randweg - Integrationsweg zu Punkt === === Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges === == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 7r8xls3fgq1nbwk2kv1ufr2c3mkgdok 1077375 1077374 2026-04-17T12:32:04Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges */ 1077375 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über die orientierte Fläche dargestellt werden. === Randweg - Integrationsweg zu Punkt === === Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges === In dieser orientierten Flächen startet man mit dem Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] pyy4j2isjkaqyb6m97aw0u781yy2zb3 1077376 1077375 2026-04-17T12:34:59Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg - Punkt zu Integrationsweg */ 1077376 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über die orientierte Fläche dargestellt werden. [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] === Randweg - Integrationsweg zu Punkt === === Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges === In dieser orientierten Flächen startet man mit dem Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] bex68odw64m9u61p9qn2mjbxecs5hfc 1077378 1077376 2026-04-17T12:50:37Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg - Punkt zu Integrationsweg */ 1077378 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] === Randweg - Integrationsweg zu Punkt === === Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges === In dieser orientierten Flächen startet man mit dem Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] hh1aodc8a8fx2zjxfg1vg8sf5apgczb 1077379 1077378 2026-04-17T12:51:16Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg - Punkt zu Integrationsweg */ 1077379 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] === Randweg - Integrationsweg zu Punkt === === Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges === In dieser orientierten Flächen startet man mit dem Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] abylri1b86l1xy77gvh03eu2j5qf66e 1077380 1077379 2026-04-17T12:51:40Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg - Integrationsweg zu Punkt */ 1077380 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== === Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges === In dieser orientierten Flächen startet man mit dem Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 06vyhqcqlifmxul0x4ysttz0439foz4 1077381 1077380 2026-04-17T13:01:00Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt */ 1077381 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== === Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges === In dieser orientierten Flächen startet man mit dem Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] kp05gg604znz2f739mzmtdjzefnrb8y 1077382 1077381 2026-04-17T13:29:41Z Bert Niehaus 20843 /* Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt */ 1077382 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges === In dieser orientierten Flächen startet man mit dem Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] jkavihcvmxpbq4tz5qdamva9bfvz0cx 1077383 1077382 2026-04-17T13:32:38Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg - Orientierungswechsel des Integrationsweges */ 1077383 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] ds3qpglay6241y2xhkxj70j6d9j01lq 1077384 1077383 2026-04-17T13:34:08Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges */ 1077384 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] bw38zjt19g4an8egco9zvso4ck9ecr5 1077385 1077384 2026-04-17T13:36:24Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges */ 1077385 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 0tkz3lioemcn7cs15nkgksqnb9lecpa 1077386 1077385 2026-04-17T13:41:03Z Bert Niehaus 20843 /* Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg */ 1077386 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> </math> === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 6uqg64g0ioapn2oxyngw5fv0yrqdgb9 1077387 1077386 2026-04-17T13:53:18Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg */ 1077387 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] gpj27s0vyisrslzcua1nt6b0tp9wohr 1077388 1077387 2026-04-17T13:56:39Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges */ 1077388 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Umformung der Darstellung ==== :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = -\underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 6imuo9njtyktx4h51nrm1sh4sothxxm 1077407 1077388 2026-04-17T15:25:44Z Bert Niehaus 20843 /* Umformung der Darstellung */ 1077407 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Umformung der Darstellung ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle -\underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi -\underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_{3}) - F_{_\Box}(z_{2}) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 6lb4gm3kxblt0e15auo6qxdqh1n343l 1077408 1077407 2026-04-17T15:26:08Z Bert Niehaus 20843 /* Umformung der Darstellung */ 1077408 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle -\underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi -\underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_{3}) - F_{_\Box}(z_{2}) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 3glvuhpttfr0zimed0yumdxef3lqult 1077473 1077408 2026-04-18T08:07:25Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg */ 1077473 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle -\underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi -\underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_{3}) - F_{_\Box}(z_{2}) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 7prc9p4qrnfpwoi3cvajqspfc5n7urh 1077474 1077473 2026-04-18T08:07:55Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt */ 1077474 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle -\underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi -\underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_{3}) - F_{_\Box}(z_{2}) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] ng7z488h337obx57eczfpldc2gcwcpb 1077475 1077474 2026-04-18T08:08:52Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges */ 1077475 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle -\underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi -\underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_{3}) - F_{_\Box}(z_{2}) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] ltsx2l7hwbwgbcz3i55q50p4ov5gc3l 1077476 1077475 2026-04-18T08:18:09Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg 3 - Umformung der Darstellung */ 1077476 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] s74xbk0dwcyazoz1hyjs6q2iwctn4um 1077478 1077476 2026-04-18T08:29:03Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg 3 - Umformung der Darstellung */ 1077478 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = - \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 8q9feflda5vfnp501jno0ukdzd799ia 1077479 1077478 2026-04-18T08:37:29Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg 3 - Umformung der Darstellung */ 1077479 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] t2p1x0jwdmeyycr6wmkz8ry0ed2i2x7 1077480 1077479 2026-04-18T08:44:02Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg 3 - Umformung der Darstellung */ 1077480 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] etjqnunvgfok81b78kihnxz3r3or3zn 1077513 1077480 2026-04-18T10:35:24Z Bert Niehaus 20843 /* Kombinatorische Möglichkeiten */ 1077513 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des Randwegintegrals für Dreiecke auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] qje7hrl2lqcsk24abvc627tkr64spqb 1077516 1077513 2026-04-18T10:37:42Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Randwegintegral Dreieck */ 1077516 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. <span id="Definition"></span> == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des Randwegintegrals für Dreiecke auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] byo2q0tcutr206tqngbv6b0j51i666o 0 170193 1077395 2026-04-17T14:27:38Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077395 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit den Verknüpfungen {{math|term= +_R, \cdot_R |SZ=}} und den speziellen Elementen {{math|term= 0_R,1_R |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es genau eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | \N | R || |SZ= }} gibt, die die Eigenschaften {{ Relationskette | \varphi(0) || 0_R || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | \varphi(1) || 1_R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \varphi(m+n) || \varphi(m) +_R \varphi(n) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | m,n | \in | \N || || || |SZ= }} erfüllt. Zeige{{n Sie}}, dass dabei auch {{ Relationskette/display | \varphi(m \cdot n) || \varphi(m) \cdot_R \varphi(n) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | m,n | \in | \N || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} anihqkvw4p6z3d4dgu1ckoz7pp2wc3q 0 170194 1077396 2026-04-17T14:28:55Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077396 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Kommutativer Ring/Situation|SZ=.}} Erweitere die Zuordnung {{ Abbildung/display |name= | \N | R |n| n_R |SZ=, }} aus {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kommutativer Halbring/N/Eindeutige Abbildung/Multiplikativ/Aufgabe |Nr= |SZ= }} auf die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} und zeige, dass die strukturellen Eigenschaften {{ Math/display|term= (n+m)_R = n_R + m_R \text{ und } (nm)_R = n_R \cdot m_R |SZ= }} ebenfalls gelten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der kanonische Ringhomomorphismus von Z nach einem Ring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hez6ch9ru709yj8e22wjb0ztseo0xgm 0 170195 1077400 2026-04-17T14:51:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077400 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit den Verknüpfungen {{math|term= +_R, \cdot_R |SZ=}} und den speziellen Elementen {{math|term= 0_R,1_R |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x | \in | R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | nx || n_R \cdot_R x || || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= nx |SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= x |SZ=}} mit sich selbst und {{math|term= n_R |SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= 1_R |SZ=}} mit sich selbst im Sinne von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kommutativer_Halbring/N/Eindeutige_Abbildung/Multiplikativ/Aufgabe |Nr= |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4y93gzs5lb6sya3uoa9ycm2z66bl5ft 1077401 1077400 2026-04-17T14:52:10Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Kommutativer Halbring/N /Eindeutige Abbildung/Vielfache/Aufgabe]] nach [[Kommutativer Halbring/N+/Eindeutige Abbildung/Vielfache/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1077400 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit den Verknüpfungen {{math|term= +_R, \cdot_R |SZ=}} und den speziellen Elementen {{math|term= 0_R,1_R |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x | \in | R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | nx || n_R \cdot_R x || || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= nx |SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= x |SZ=}} mit sich selbst und {{math|term= n_R |SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= 1_R |SZ=}} mit sich selbst im Sinne von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kommutativer_Halbring/N/Eindeutige_Abbildung/Multiplikativ/Aufgabe |Nr= |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4y93gzs5lb6sya3uoa9ycm2z66bl5ft 106 170196 1077403 2026-04-17T14:54:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077403 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|5|24|Kurs=|}} rzo8fd70rvzi8eavqbgn2rq9yhcrgtm 0 170197 1077457 2026-04-18T07:39:57Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#KorollarDreiecke]] erstellt 1077457 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#KorollarDreiecke]] 02r20s942nmllzw03ta98mr5xrrej0n 0 170198 1077462 2026-04-18T07:46:34Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale]] erstellt 1077462 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale]] foeoauhyckxwof8x012gkh4x7rcgysj 0 170199 1077490 2026-04-18T09:34:58Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077490 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Prämath= |Halbring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term=( R,0,1,+, \cdot) |SZ=}} heißt ein {{Definitionswort|Ring|SZ=,}} wenn es zu jedem {{ Relationskette | a | \in | R || || || |SZ= }} ein Element {{ Relationskette | b | \in | R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a+b || 0 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Grundlagen der Ringtheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Ring |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8dx9tsid87pvhnsssla4b5tlvc7bw1a 0 170200 1077492 2026-04-18T09:37:52Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077492 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{Definitionswort|Halbring}} {{math|term= R |SZ=}} ist eine Menge mit {{ Definitionslink |Verknüpfungen| |SZ= }} {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=genannt {{Stichwort|Addition|SZ=}} und {{Stichwort|Multiplikation|SZ=}}| |ESZ= }} und mit ausgezeichneten Elementen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind: {{Aufzählung3|Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die {{math|term= 0 |SZ=}} das {{ Definitionslink |neutrale Element| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Die Multiplikation ist eine assoziative Verknüpfung, für die {{math|term= 1 |SZ=}} das {{ Definitionslink |neutrale Element| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Es gilt das {{Definitionswort/enp|Distributivgesetz|SZ=,}} also {{ Relationskette/display | a \cdot (b+c) || ( a \cdot b) + (a \cdot c) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | a,b,c | \in | R || || || |SZ=. }}|}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Halbringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Halbring |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5mi9umpmgex7em3v4y59uaqp42n836x 14 170201 1077493 2026-04-18T09:37:59Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077493 wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=H|Anf2=a|Anf3=l|Halbring (MSW)}} rkmfwlb19xbk0iu3luvdp865goto5rp 0 170202 1077494 2026-04-18T09:38:19Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077494 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Halbring|Anf=Ha| |Siehe= |Ziel=Halbring/Ausführlich/Definition }} r4lptc8vlwdioi4wzgzhhpqj62ao5ga 14 170203 1077495 2026-04-18T09:39:24Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077495 wikitext text/x-wiki {{Definitions-Kategorie unter}} ls4sw8lzp64qkyjccp3etf8xupqojj9 14 170204 1077496 2026-04-18T09:39:42Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077496 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Monoide|Halbring ||}} kq067xo4o05qatfqex3yl7j0ix3vvz2 14 170205 1077498 2026-04-18T09:40:46Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077498 wikitext text/x-wiki {{Fakten-Kategorie unter}} 5ntylwabftrxg0fnzszakdbi1oomvk6 14 170206 1077499 2026-04-18T09:40:57Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077499 wikitext text/x-wiki {{Beispiel-Kategorie unter}} 0a9odcwfk06m5yt8zebpp3mlusjo7tn 14 170207 1077502 2026-04-18T09:42:44Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077502 wikitext text/x-wiki {{Bemerkungs-Kategorie unter}} 3455m3wga4ghco6djzc4nepq77ptx44 14 170208 1077506 2026-04-18T09:43:49Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077506 wikitext text/x-wiki {{Aufgaben-Kategorie unter}} rlx6vbjzsocfumyk0vs76mvwpuhptd4 0 170209 1077518 2026-04-18T10:39:00Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke#Definition]] erstellt 1077518 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke#Definition]] cp08lmiumoy1y7c88smzx0n7hdxcoio 106 170210 1077533 2026-04-18T11:39:31Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077533 wikitext text/x-wiki == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> h063rc8ituvi150hlcl07vandkainj0 1077534 1077533 2026-04-18T11:40:57Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077534 wikitext text/x-wiki == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale für Dreiecke]] olbnrs60y4ujfw5ntj62lw6xr74vjqd 1077538 1077534 2026-04-18T11:43:19Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077538 wikitext text/x-wiki == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale für Dreiecke]] 5vz2erj540hezmvrrc3r7db0ntvg1e5 1077539 1077538 2026-04-18T11:44:25Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077539 wikitext text/x-wiki == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] omcaz1pryo2wx2lnja8ct87kedt1l3l